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241Álgebra y trigonometría

Introducción

En matemáticas se encuentran con frecuencia expresiones complicadas que

involucran las seis funciones trigonométricas. El objeto de este módulo es poder

escribir estas expresiones de una forma más sencilla y simple mediante el uso de

identidades trigonométricas. Se exponen, inicialmente, siete identidades fundamen-

tales que hay que memorizar.

Objetivo

1. Estudiar las identidades básicas de la trigonometría.

Preguntas básicas

1. ¿Qué es una identidad trigonométrica?

2. ¿Cuáles son las identidades fundamentales?

Contenido

21.1 Identidad trigonométrica

21.2 Identidades fundamentales

Vea el módulo 21 delprograma de televisión

Álgebra y trigonometría

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21Identidades fundamentales

242

Capítulo 8: Trigonometría del círculo

21.1 Identidad trigonométrica

Una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre funciones

trigonométricas, que se cumple cualquiera sea el valor o valores de los ángulos que

aparecen en la expresión.

Ejemplo 7

La expresión 1

seccos

! es una identidad trigonométrica porque no importa el

valor del ángulo para que la igualdad se cumpla, ya que la secante de un ángulo

cualquiera es el inverso del coseno de ese ángulo.

Ejemplo 8

La expresión 2 2sen cos 1 " ! es una identidad trigonométrica.

Si P(x, y) son las coordenadas del lado terminal de un ángulo en su forma estándar

y forman parte de un círculo de radio a, se cumple que:

2 2 2.x y a" ! Por tanto

2 2

2 21

x y

a a" ! ,

2 2

1.x y

a a

# $ # $" !% & % &' ( ' (

De la definición de funciones circulares, se tiene que 2 2sen cos 1. " !

Ejemplo 9

Si en el círculo 2 2 2x y a" ! se divide por 0,x ) se tiene que:

2 2 2

2 2 2.

x y a

x x x" ! Por tanto

2 2

1 .y a

x x

# $ # $" !% & % &' ( ' (

De la definición de funciones circulares, se tiene que 2 21 tan sec . " !

21.2 Identidades fundamentales

El estudio de las identidades trigonométricas es importante porque mediante ellas

se pueden transformar expresiones que envuelven funciones trigonométricas en

otras equivalentes y estas transformaciones hacen que ciertas operaciones, como

la integración y la diferenciación, puedan efectuarse con mayor facilidad.

Las siguientes identidades trigonométricas son fundamentales:

1. 2 2sen cos 1. " !

2. 2 21 tan sec . " !


Módulo 21: Identidades fundamentales

3. 2 21 cot csc . " !

4.sen

tan .cos

!

5.1

sec .cos

!

6.1

csc .sen

!

7.1

cot .tan

!

Ejemplo 10

Si está en el segundo cuadrante y sen 4 / 5, ! encuentre los valores de las

demás funciones trigonométricas.

Solución

Como 2 2sen cos 1, " ! se tiene que * +2 24 / 5 cos 1. " ! Por tanto,

cos 3/ 5 ! , .

Como está en el segundo cuadrante, cos 0 - , o sea que cos 3 / 5 ! . .

1 5sec .

cos 3

! ! .

1 5csc .

sen 4

! !

Ahora, 2 21 tan sec , " ! 2 2tan sec 1. ! . Por tanto, 2tan 25 / 9 1 4 / 3. ! . ! ,

Como está en el segundo cuadrante, se tiene que tan 0 - , o sea que

tan 4 / 3. ! .

Finalmente,1 3

cot .tan 4

! ! .

Ejemplo 11

Utilice las identidades trigonométricas fundamentales para hallar los valores de las

funciones trigonométricas de un ángulo tal que:

a.2

sen y tan < 0.

3

!

244

Solución

Empleando la identidad trigonométrica 22sen cos 1, " ! obtenemos:

2

2 52cos 1 sin 1 .

3 3 # $! , . ! , . ! ,% &

' (

Comosen

tan < 0,

cos

! entonces cos < 0 y por tanto

5cos .

3 ! . Aplicando

las restantes identidades trigonométricas, tenemos:

, ,sen 2 1 5

tan cotcos tan 25

1 3 1 3sec , csc .

cos sen 25

! ! . ! ! .

! ! . ! !

b. tan 5 y sen > 0. !

Solución

Empleando la identidad trigonométrica 2 21 tan sec , " ! obtenemos:

2sec 1 tan 26. ! , " ! ,

Comosen

tan 5> 0,cos

! ! entonces cos >0 y 1

sec > 0.cos

! Así,

sec 26. ! Aplicando las restantes identidades, tenemos:

, ,

, .

1 1 5cos sen cos tan

sec 26 26

1 1 1 26cot csc

tan 5 sen 5

! ! ! !

! ! ! !

Ejemplo 12

Calcule (sec cos ) csc si tan 2. . !

Solución

Empleando las identidades trigonométricas, tenemos:

2 2

1 1(sec cos )csc cos

cos sen

1 cos 1 sen 1 sentan 2.

cos sen cos sen cos

# $. ! .% &' (

.! / ! / ! ! !



Módulo 21: Identidades fundamentalesEjemplo 13

Calcule (sec csc ) si cot 1. " !.

Solución

Empleando las identidades trigonométricas fundamentales, tenemos:

cos1

1 1 sen cos 1 cotsensec csc 0.cos sen sen cos cos cos

"" "" ! " ! ! ! !

Ejemplo 14

Exprese todas las funciones trigonométricas de un ángulo en términos de cot .

Solución

Empleando las identidades trigonométricas, tenemos:

2 2 2

2

2 2

2

2

,

,

,

,

.

1 cot csc csc 1 cot

1 1sen sen

csc 1 cot

1tan

cot

11 tan sec sec 1

cot

1 1cos cos

sec 11

cot

" ! 0 ! , "

! 0 ! ,"

0 !

" ! 0 ! , "

! 0 ! ,

"

Ejemplo 15

Si2csc 1,a ! " con en el primer cuadrante, calcule las funciones

trigonométricas del ángulo en términos de a.

Solución

Como está en el primer cuadrante, todos las funciones trigonométricas de son

positivas.

246

2

2

22

2

,

,

,

.

1 1sen

csc 1

cot csc 1 ,

1 1tan

cot

1sec 1 tan

1cos

sec 1

a

a

a

a

a

a

a

! !"

! . !

! !

"! " !

! !"


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