Estudios Matemáticos Argentera.

“Un matemático es un quijote moderno que lucha en el mundo real con armas imaginarias”. P. Corcho

Leonhard Euler

Nació en suiza 1707. Sus trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras.

Realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica, abordó las superficies tridimensionales, trabajó el cálculo de variaciones, la teoría de números y el análisis infinito.

Hizo aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Su productividad matemática fue extraordinaria. Nos encontramos su nombre en todas las ramas de las matemáticas. Hay fórmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales Eulerianas y líneas de Euler. Murió el 7 de septiembre de 1783.

El problema de los 7 puentes de Königsberg

En el siglo XVIII había en la ciudad de Königsberg (situada

en la antigua Prusia, hoy Kaliningrado, perteneciente a

Rusia) siete puentes que conectaban cada una de las

orillas del río Pregel con dos islas interiores. Los

ciudadanos estaban muy orgullosos de sus puentes y

bromeaban sobre la posibilidad de recorrerlos todos

pasando una sola vez por cada uno de ellos. El

matemático Euler trato de darle solución, pero fue casi

imposible pues por la geometría euclidiana no era posible

por lo que este famoso problema dio origen a la

geometría de grafos mediante la cual el famoso

matemático le busco una posible solución.

Módulo 6:

Funciones y Ecuaciones

Exponenciales y Logarítmicas.

1

Importancia y uso de La Funciones exponenciales y Logarítmicas

Las funciones logarítmicas y exponenciales son inversas, su aplicación real se puede ver a través

de modelos de crecimiento y decrecimiento en diferentes áreas como la Biología, sociología,

economía, ingeniería, estadística, probabilidades, trigonometría, física, química, cálculos

complejos.

Un ejemplo claro lo encontramos en física acústica como es el caso de los decibeles los cuales

son una unidad de medida de audio. En ingeniería para calcular el tiempo que tarda una masa

en llegar a cierta temperatura o en biología para ver el crecimiento o decrecimiento de una

especie específica. En ingeniería electrónica sirve para modelar el comportamiento de un

capacitor o para predecir la corriente que va a consumir un circuito.

El dB (debelio) relaciona la potencia de entrada y la potencia de salida en un circuito,

10*

Psdb Log

PE N

Las computadoras también usan mucho los logaritmos. La función fundamental en teoría de la

información es logarítmica. Los tipos de algoritmos y los rendimientos de diversas estructuras

de datos pueden ser logarítmicos respecto al set de entrada.

La escala sismológica de Richter, también conocida como escala de magnitud local (ML), es una

escala logarítmica arbitraria que asigna un número para cuantificar el efecto de un terremoto,

denominada así en honor del sismólogo estadounidense Charles Richter (1900-1985).

M log10A mm 3log10 8 t s 2.92

Definición de la función exponencial

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, donde la base b, es una

constante y el exponente es la variable independiente. Matemáticamente la definimos como

0, 1b b la ecuación xy b y dominio (x) todos los números reales (R).

2

Propiedades de las funciones exponenciales de base a.

1. El dominio (x) de la función exponencial está formada por el conjunto de los

números reales.

2. Su Rango (y) está representado por el conjunto de los números reales

positivos.

3. La función es creciente cuando b 1, es decir que para Las gráficas de las

funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con b 1, los valores de la función

crecen cuando x aumenta y será decreciente cuando     1o b .

4. La curva es cóncava hacia arriba cuando b 1 y también cuando     1o b 5. La grafica tocara el punto (0,1).

1. Graficar y=f(x)=2x

La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos.

X -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 1/8 1/4 ½ 1 2 4 8

x

yy = (2)^x; -3.000000 <= x <= 3.000000

3

2. Graficar la función x

1 y   

2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8

Logaritmos: Es el exponente al que hay que elevar una base positiva diferente a uno para que nos de ese número.

Función logarítmica: Se define como logby x ; siendo 0, 1b b una base y

dominio 0x . Es equivalente a y

by lob x x b

x

yy = (1/2)^x; -3.000000 <= x <= 3.000000

4

De la definición podemos deducir que:

1. No existe el logaritmo de un número con base negativa.

2. No existe el logaritmo de un número negativo.

3. No existe el logaritmo de cero.

4. El logaritmo de 1 es cero.

5. El logaritmo en base a de a es uno.

Tipos de logaritmos:

Ambos tienen las mismas propiedades aunque a nivel del cálculo se usa más ln pues su derivada es más sencilla:

Logaritmos Decimales :

Se llaman logaritmos decimales, vulgares o base 10 a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.

Logaritmos Neperianos :

Se llaman logaritmos neperianos, naturales, base e o hiperbólicos a los logaritmos que tienen

por base el número e.

Cambio de una función logarítmica a exponencial y viceversa.

La función logarítmica y la exponencial son inversas, es decir, logby x es equivalente a, yx b donde en la que tendremos que:

1. yx b , b es la base, y es el exponente, x es la potencia.

2. logby x , b es la base, y es exponente, x es la potencia.

5

Ejemplos:

a)3

464 3 4 64Log

b) 2

55 25 25 2Log

Como ya sabemos que para toda constante 0, 1b b , la ecuación de la forma

logby x , define una función logarítmica con base b y dominio toda x 0.

Propiedades de la función Logarítmica:

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos (x).

2. El rango, recorrido o contra dominio es el conjunto de todos los números

reales (y).

3. La función es creciente para 1b y decreciente cuando 0 1b .

4. La curva es cóncava hacia abajo cuando 1b y cóncava hacia arriba cuando

0 1b .

5. El punto (1, 0) pertenece a la gráfica. No hay ordenada al origen.

6. El eje y es una asíntota vertical a la curva en dirección vertical a la curva en

dirección hacia abajo cuando 1b y hacia abajo cuando 0 1b . Cuanto mayor es la base del logaritmo más cerca del cero estará. Analicemos las siguientes gráficas:

a) Cuando la Base es mayor que la unidad (a > 1).

x

yy = log (x)

y = log (3x)

y = log (5x)

y = log (3x) -2

y = log (3x)+2

y = log (-x)

6

Aquí tenemos 6 funciones Log x, Log 3x, Log 5x, log (3x)-2, log (3x)+2, log (-x). Se unen en el

punto (1,0). Analizando estas gráficas podemos concluir que mientras mayor es el valor de la

variable x más cerca de cero estará. Y la constantes como es el 2 mueve la gráfica hacia arriba o

hacia abajo, y si la variable la ponemos negativa cambia la posición de la gráfica.

Ahora se analiza la Base positiva y menor que la unidad (0 < a < 1)

1 1 1 1

3 5 9 9

, , 2,log 2Log x Log x Log x Aquí tenemos 4 gráficas de las cuales 2 tiene traslaciones. En

la función logarítmica (cuando 0 < a < 1) cuanto mayor es el denominador de la base de

logaritmo más se cerca del eje X está.

x

y(1/3)^y=x

(1/5)^y=x

(1/9)^y+2=x

(1/9)^y-2=x

7

Partes de un logaritmo:

Las partes de un logaritmo son característica y mantisa.

1. La característica: Es la parte entera de los logaritmos. Se consigue restándole uno a la

cantidad de dígitos dados.

Ejemplo: Log 859, su característica es 2 pues 3-1= 2

2. La mantisa: Es la parte decimal que está después del punto y se consigue a través de la

calculadora electrónica.

Log 859= 2.93399316331…

Anti logaritmación: Es el proceso que consiste en dado un resultado hallar el número del cual

ese es el logaritmo.

Antilogaritmo :

Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.

Es decir, consiste en elevar la base al número resultante:

1)log log q

aa anti q mm q a m

3

22 log 3 8 2 82).log 8 3 anti

Cologaritmo:

Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco.

8

Cambio de Base logarítmica :

0, 1n a b R es decir que para todo n mayor que 0, a y b siendo números reales positivos

no igual a 1.

Ejemplo: Calcular los siguientes logaritmos

4

652

5

6

4

9

log 282.4036

log 4

log82 1.91380.6797

log652 2.8156

log897 2.94404.2117

log5 0.6990

ln525 6.26343.4956

ln 6 1.791

1).log 28

2).log 82

3).log 897

4).ln 525

5).ln

8

ln 62 4.12712.9771

ln 4 1.3863

ln172

62

6).ln 17l

2

5.14752.3428

n 9 2.1972

Ahora podemos ver que si usamos el logaritmo natural el resultado será el mismo.

7

log 45 1.653245 1.9562

log7 0.8451Log

7

ln 45 3.806745 1.9462

ln 7 1.9559Log

Aunque sus equivalencias son diferentes, pero nos darán el mismo resultado. Pues recordemos

que ya vimos que del logaritmo vulgar trabaja en base a 10 y el natural trabaja en base a

2.78...e

9

Ecuaciones exponenciales: Es aquella donde la incógnita se encuentra en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial debemos eliminar las bases iguales para que nos quede

una ecuación lineal. En caso que estas no sean iguales debemos entonces igualarlas a través de

artificios matemáticos.

Ejemplo 1: Resolver la ecuación 4 6 3 112 2x x

4 6 3 112 2 4 6 3 11

4 3 11 6 5

x x x x

x x x

b) Si las bases son diferentes debemos convertir una en la forma de la otra y así nos quedara

también una ecuación lineal pero con productos. Veamos.

Ejemplo 2: Resolver la ecuación exponencial2 8 4 2027 3x x

2 8 4 20

3(2 8) 4 20

27 3

3 3

6 24 4 20

2 44

22

x x

x x

x x

x

x

1 1(3)

5

55 1

1

5 1

1Ejemplo3: R

8 32 2 2 3( 1) 5(5 1)

3 3 25 5 22 8

esolver

4

1

  8 32

1

 

x x

x

x x

x x x

x x x x

10

Leyes de los logaritmos

1. Logaritmo de un producto

Si M y N son positivos, b 0 y b 1 entonces:

log log logb b bMN M N El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.

Ejemplo: 356 47 356 47 2.551 3.74 1 26 3. 5721Log Log Log

2. Logaritmo de un cociente

Si M y N son positivos, b 0 y b 1 entonces:

log log logb b b

MM N

N El logaritmo de un cociente es la diferencia de los

logaritmos.

Ejemplo:

356356 47 2.5514 1.672 0.8791 3

47Log Log Log

11

3. Logaritmo de un exponente

Si M y N son positivos, b 0 y b 1 entonces:

log .logk

b bkN N El logaritmo de una expresión exponencial es igual al producto del

exponente por el logaritmo de la base.

Ejemplos: 47

356 47 356 47 2.55 119.914 581Log Log

4. Logaritmo de un radical

Si M y N son positivos, b 0 y b 1 entonces:

ay Log x bLog2

bLog NN El logaritmo de una expresión radical es igual al

logaritmo de la cantidad sub.-radical entre el índice del radical.

Ejemplo: 47 356 1.6721356

47 470.0356

LogLog

12

Ejemplos: Aplicar las propiedades logarítmicas:

log 48log 249

2

2.3962 0.8406

3.2368

1log 28 og 48 log379

2

1.447

1).log 249 48

282).log

48 379

3).

2 0.8406 2.5786

1.

l

9720

1ln ln ln ln

n

2

n q x z w y c

n q x z w

y c

l

t p k q

t p q n z

n z

a b

a b

k

7

1ln ln ln ln ln ln ln ln

2

1ln 23 570 7ln 32

2

1ln 23 ln570 7ln 32

2

13.1355 6.3456 24.2602

2

7.3896

23 5704).ln

32

n t q p k x q z n w z y a c b

13

Ecuación logarítmica: Es aquella donde la incógnita está afectada por un logaritmo.

Resolver una ecuación logarítmica consiste en determinar para qué valores de la incógnita (x) la

igualdad se convierte en identidad, es decir, para cuales valores se satisface la ecuación.

Debemos aplicar las propiedades vistas anteriormente.

Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:

2

    95) 

95 10 95 100

5

2

100 95

a Lo

x

x

gx

x

x

6 64 8 3)   

4 8 3 6

6

2

Log x L x

x

ob

x

g

x

0 2

c) 

aplicando las leyes logaritmicas inversas.

x(x-1)Log x x 1 – log 6 0 log 0

6

Llevando esta ecuaci n a su forma exponen

Lo

cial

( 1) ( 1)10

g x log x 1 – log

1 66 6

S

6

e nos forma

0

ra

ó

x x x xx x

2

1 2

una ecuaci n de 2do grado, buscar sus raices.

6 0 x 3 x 2 0  por lo tanto 3 ^ 2

La soluci n es el conjunto 3, 2

ó

x x x x

ó

1

1

) 

Aplicando Ln en ambos lados y luego resolviendo

7 7 3 7 ( 1) 3 7

R

0.71 13 3

esolver 3

7

7

12x

xd

Ln LnLn Ln x Ln Ln x x

Ln Lnx

3 27

3 33 3

3

3 3 3 3

9

cambio de base en la resta.

Log LogLog 6 Log 6

Log 27 3

1 2Log L

) Re Log 6

og

6 Log 6 Log 93 3

3

Haciendo

x xx x

x x

x

e

x

solver x

x

Log x

14

Actividades

1. Grafica las siguientes funciones Exponenciales.

1-

2-

3-

4-

5-

2. Grafica las siguientes funciones logarítmicas.

1) Y= [-2,2]

2) Y= [-2,2]

3) Y= [-2,2]

4) Y=

[-2,2]

5) Y=

[-2,2]

3. Calcular

1 ) log 2 8 =

2 ) log 97 =

3 ) log 23 =

4 ) log 3 6 =

5 ) log 5 0,2 =

15

6 ) log 2 0.7543245 =

7 ) log 0,5 16 =

8 ) log 1000 =

9 ) log 2 207 + log 4 19 =

10 ) log 8 215 log 4 7 =

11 ) log 4 64 + log 8 64 =

12 ) log 0.00003 =

13 ) Ln 5 =

14 ) log 2 log .00000097 =

15 ) log 3232 / log 20 =

16 ) Ln 569807 =

17 ) Ln 12349-Ln 136 =

18 ) log 264 log 27 =

b) Buscar el valor de la variable :

1 ) log 3 64 = x

2 ) log 2 45.90 = x

3 ) log 2 81 = ( 2x 9 ) /18

4 ) log 2 16 = x 2/ 24

5 ) log 2 x = 3

6 ) Log3 x = 2

7 ) log 3 [ 8 ( x 1 ) ] = 18

8 ) log x 125 = 3

11 ) log 4 x + 6

162 = 4

16

4. Expresar como un solo logaritmo.

1)

2)

3)

4) (

5)

5. Expresar los siguientes logaritmos como antilogaritmos o viceversa.

1)

2)

3)

4)

5)

17

6. Calcula los siguientes cologaritmos.

1)

2)

3)

4)

5)

7. Realice las siguientes ecuaciones exponenciales.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g. (

)

h.

i.

j.

18

8. Realice las siguientes ecuaciones logarítmicas.

1) 232Log

2) 3) 1

2

log 0.25 x

4) 3

2log 6x

5) ln(x+4)=ln3x-ln2

9. Cambia de una función a otra.

a) 5log 125 y

b)4log 3 x

c)3

2 6Log x 4)

)6 7w

d t u

e

10. Con la fórmula para el cambio de base resolver los siguientes logaritmos:

a)3

log 28 b) 4

log 120 c)5

log 95 d) 8

log 64

e)12

log 257 f) log 129

h) log 45620

i) log 25416

“El que se enaltece será humillado y el que se humilla será enaltecido”

(Evangelio, San Lucas. 14, 1-7;14)

19

Bibliografía

Morel Roberto, Ventura Eduardo (2008); Matemática Superior I. Santo

Domingo Rep. Dom: Universidad Católica de santo Domingo.

Sobel Max; Lerner Norbert, (2006). Precálculo. 6ta edición, México: editora Pearson Educación.

Baldor Aurelio, (1994). Algebra. Undécima edición, México: editora Codice

América, S.A.

Santillana I. serie umbral, (educación media).

(2001), 1ra edición, Rep.Dom: Editora Santillana

Demana; Waits; Foley; Kennedy y Blitzer. Matemáticas universitarias introductorias con nivelador mathlab. (2009), 1ra edición, México: Editora

Pearson Educación. 448 pág.

Peña Geraldino, Rafael. Matemática Básica Superior, (2005), 4ta edición,

Republica Dominicana. Editorial Antillanas.

Ecuaciones lineales y cuadráticas http://www.vitutor.com/ecuaciones

Los siete puentes de konigsbers en http://www.aulademate.com

Los siete puentes de konigsberghsber

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_puente

Biografía de Eulers: http://es.wikipedia.org/wikileonar-euler

Imagen de Eulers; http://www.biografiasyvidas.com/biografia,euler

Imagen de la gaviota: Autor y fuente desconocida (Pendiente)

Nota: Muchos de los ejercicios de este modulo fueron propuestas hecha por

los estudiantes del fondo 12 del instituto.

Revisado el 24 de abril 2012.

Prof. Wilton Oltmanns