modulo calculo integral
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MÓDULO
CÁLCULO INTEGRAL
Jorge Eliécer Rondon Duran
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA � UNAD �
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS
Bogotá D. C., 2007
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2
COMITÉ DIRECTIVO
Jaime Alberto Leal Afanador Rector
Gloria Herrera Vicerrectora Académica
Roberto Salazar Ramos Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas
Maribel Córdoba Guerrero Secretaria General
MÓDULO
CURSO CÁLCULO INTEGRAL SEGUNDA EDICIÓN © Copyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia ISBN 2007 Bogotá, Colombia
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CONTENIDO Introducción UNIDAD UNO: La Integración
- La Antiderivada - La Integral Indefinida - La integral Definida - Valor medio de una Función - Teorema fundamental del Cálculo - La Integral Impropia
UNIDAD DOS: Métodos de Integración
- Integrales Inmediatas - Integración por Cambio de Variable: Sustitución - Integración por Sustitución: Racionalización - Integración por Sustitución Trigonométricas - Integración por partes - Integración por Fracciones Parciales - Integración de Funciones Exponencial y Logarítmica - Integración de funciones Trigonométricas - Integración de funciones Hiperbólicas
UNIDAD TRES: Aplicación De las Integrales
- Análisis de Gráficas - Áreas de Superficies de Revolución - Longitud de una Curva - Volúmenes de Sólidos de Revolución: Método de Arandelas - Volúmenes de Sólidos de Revolución: Método de Casquetes
Cilíndricos - Volúmenes de Sólidos de Revolución: Método de Rebanadas - Integrales en la Física - Integrales en la Estadística - Integrales en la Economía
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INTRODUCCIÓN
La matemática es una ciencia eminentemente teórica, debido a que parte de teorías y
definiciones, cuyas demostraciones se soportan en el principio de la lógica, los axiomas
y postulados, que permiten el desarrollo de habilidades de pensamiento de orden superior, especialmente la Deducción, Inducción y la Abstracción, pero a su vez
presenta dificultades para poder desplegar dichas habilidades, ya que se requiere trabajar el sentido de análisis, desarrollo del raciocinio, aspectos no fáciles de activar en la mente humana. El Cálculo Integral es el área de las matemáticas, que pertenece al campo de formación
disciplinar y tiene carácter básico en cualquier área del saber, debido a que los
Ingenieros, Administradores, Economistas, Físicos, Químicos, por supuesto los Matemáticos y demás profesionales requieren de esta área del saber. Un buen conocimiento del cálculo diferencial, permite y facilita trabajar el curso de
cálculo integral, en donde se desarrollan teorías, principios y definiciones matemáticas
propias del cálculo infinitesimal. El objetivo fundamental es que los estudiantes puedan
identificar, comprender e interiorizar las temáticas que cubren el curso, con el fin de
adquirir conocimientos matemáticos que le den capacidad de resolver problemas donde el cálculo Univariado es protagonista. El Cálculo Integral es la rama de las Matemáticas muy utilizadas en Ciencias,
Tecnología, Ingeniería e Investigación, que requiere un trabajo sistemático y
planificado, para poder cumplir el propósito fundamental que es saber integrar, técnica
que permite solucionar problemas de estos campos. Por otro lado, la integración es
necesaria para otros escenarios como las Ecuaciones Diferenciales, los Métodos
Numéricos, la geometría diferencial, la Probabilidad, la Estadística Avanzada y otras
áreas del conocimiento. Las Unidades Didácticas que conforman el curso son: La Integración, Los Métodos de
Integración y Las Aplicaciones de las integrales. El la primera unidad se desarrolla lo
referente a la antiderivada o primitiva, la integral indefinida, la integral definida, el teorema fundamental del cálculo y las integrales impropias. La segunda unidad presenta
lo relacionado con las técnicas de integración, iniciando con las integrales inmediatas
producto de la definición de antiderivada, la integración por cambio de variable o
también llamada sustitución, integración por partes, integración por fracciones parciales,
integración de funciones trascendentales; tales como, exponencial, logarítmica,
trigonométricas e hiperbólicas. La tercera unidad presenta las aplicaciones de la integración, tales como áreas bajo curvas, longitud de una curva, volúmenes de sólidos
de revolución, la integración en la física, en la estadística y en la economía. En los ejercicios propuestos, para las primeras temáticas, no se dan las respuestas ya que
éstas son muy obvias, pero para las demás temáticas, se ofrecen las respuestas, con el
fin de motivar el procedimiento de los mismos. Es pertinente desarrollarlos de manera metódica y cuidadosa; además, confrontar la respuesta obtenida con la dada en el
módulo, cualquier aclaración compartirla con el tutor o el autor a través del correo
5
Como el conocimiento se va renovando y actualizando, los aportes que se hagan al presente material serán bien venidos, esperando así una actividad continua de
mejoramiento en beneficio de todos los usuarios del material. Como el material presenta las temáticas fundamentales, es pertinente complementar con otras fuentes como libros, de los cuales se presentan en la bibliografía, Internet y otros. Es recomendable desarrollar el trabajo académico de manera adecuada, como se explicita en el modelo académico � pedagógico que la UNAD tiene, para obtener los mejores resultados del curso. El estudio independiente, como primer escenario, es fundamental para la exploración, análisis y comprensión de las temáticas. El
Acompañamiento Tutorial, debe permitir complementar el trabajo realizado en el escenario anterior, especialmente en la aclaración de dudas, complementación y
profundización pertinente. En este aspecto, se deben explorar las herramientas que
estén a la mano para aprovechar de la mejor manera dichos recursos, así el grado de aprendizaje es más amplio y se verá mejor reflejado el aprendizaje autónomo.
El Autor
6
U N I D A D U N O
L A I N T E G R A C I Ó N
7
LA INTEGRACIÓN dxxf )( :
En el mundo de las Matemáticas encontramos que existen operaciones opuestas, como
la suma y la resta, el producto y el cociente, donde una deshace o anula la otra. De la misma manera la Integración es una operación opuesta a la Diferenciación. La relación
Diferenciación � Integración es una de los conocimientos más importantes en el mundo
de las Matemáticas. Ideas descubiertas en forma independiente por los grandes
Matemáticos Leibniz y Newton. Inicialmente Leibniz al proceso de integración lo
llamo: �Calculus Summatorius� pero en 1.696 influenciado por Johann Bernoulli, de la
dinastía Bernoulli, le cambio el nombre a Calculus Integrelis.
Gottfried Wilhelm von Leibniz Julio 1646 - Nov 1.716
El cálculo ha sido una secuencia de áreas matemáticas entrelazadas, donde se utilizan
principios de Álgebra, Geometría, Trigonometría, se debe destacar que para desarrollar
el curso de Cálculo Integral, es pertinente tener claros los principios de las áreas nombradas y además los de Cálculo Diferencial, ya que como se dijo en el párrafo
anterior, la integración es la opuesta a la diferenciación.
LA ANTIDERIVADA:
Para conceptuar la Antiderivada, comencemos por pensar que se tiene una función, digamos )(xf , el trabajo consiste en encontrar otra función, digamos )(xD tal que: )()(' xfxD . Así D(x) es una antiderivada de f(x). Identificar una función a
partir de su derivada, consiste en hallar un �dispositivo� (técnica) que nos de todas las funciones posibles, donde f(x) es su derivada, a dichas funciones se les llama Antiderivadas de f(x). El dispositivo para éste proceso es llamado La Integración. Veamos un ejemplo sencillo: Sea f(x) = 2x, ¿cual será una función D(x) cuya derivada es 2x? Con algo se astucia y conocimientos sólidos en diferenciación podemos
identificar que D(x) = x2. Veamos: Si derivamos D(x) = x2 obtenemos f(x) = 2x. Otro ejemplo: f(x) = cos(x), ¿cual será un D(x)? Debemos buscar una función cuya
derivada es cos(x), evidentemente es sen(x), luego D(x) = sen(x).
Gran Filosofo, politólogo y matemático. Precursor de la Lógica Matemática, desarrollo el
Cálculo, independiente de Newton, publicando su
trabajo en 1.684, su notación es la que se utiliza
actualmente. Descubrió el sistema binario, muy
utilizado en los sistemas informáticos. Contribuyo a
la creación de la Real Academia de Ciencias en
Berlín en 1.670, siendo su primer presidente.
8
Para la notación de antiderivada hubo diversas propuestas, pero la del gran Matemático
Leibniz es la más utilizada universalmente. dx... . Posteriormente se analizará esta
notación. Para los ejemplos anteriores con la notación de Leibniz se tiene:
cxdxx 2)2( Para el otro: cxsendxx )()cos(
Posteriormente se aclara el concepto de la c El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se le llama la Integral Indefinida de f(x)
y se puede escribir: cxDdxxf )()(
Demostración: Como G(x) y F(x) son antiderivadas de f(x), entonces tenemos que: G�(x) = F�(x), por
una definición previa que dice: si g�(x) = f�(x) entonces: g(x) = f(x) + c para todo x en
el intervalo I abierto. Por consiguiente: G(x) = F(x) + c, para alguna constante c. Ejemplo No 1: Encontrar todas las funciones cuya derivada es f(x) = 4x3 + 2. Solución: Una función puede ser x
4 + 2x + 5, ya que al derivarla obtenemos 4x3 + 2. Luego: Si f(x) = 4x3 + 2, entonces D(x) = x4 + 2x + 5, pero también puede ser D(x) = x4 + 2x + 12. En general cualquier función de la forma D(x) = x4 + 2x + C, es antiderivada de la función f(x), siendo C una constante.
DEFINICIÓN No 1:
Una función D(x) es una antiderivada de la función f(x), si: D�(x) = f(x). Para todo x en el dominio de f(x).
TEOREMA: Sean F(x) y G(x) antiderivadas de f(x) en un intervalo cerrado I, entonces: G(x) = F(x) + c para alguna constante c.
9
Ejemplo No 2: Encontrar todas las funciones cuya derivada es: f(x) = sec2(x). Solución: Si recordamos sobre derivadas de funciones trigonométricas, podemos saber que la
función cuya derivada corresponde a sec2(x), es tan(x), luego: Si f(x) = sec2(x), entonces D(x) = tan(x) + C Por consiguiente, la forma de las funciones cuya derivada corresponde a sec2(x) es: D(x) = tan(x) + c Ejemplo No 3: Hallar algunas funciones cuya derivada es g(x) = 12 Solución: Cualquier función de la forma 12x + C es antiderivada de g(x), luego algunas de estas puede ser: G(x) = 12x + 5, G(x) = 12x + 10, G(x) = 12x + 25 En general: G(x) = 12x + C Los ejercicios propuestos, se deben desarrollar, utilizando las definiciones y teoremas, analizados en este aparte.
10
EJERCICIOS: Encontrar la antiderivada F(x) + C de las siguientes funciones:
1. f(x) = 8
2. f(x) = 3x2 + 4
3. f(x) = x21 � x10
4. f(x) = 3/x4 � 6/x5
5. f(x) = (3x2 � 5x6) / x8 Desarrollar la operación propuesta:
6. dxx )6( 5
7. dxx2273
8.
dyy
yy
2
34
9. dxxxsen )(csc)( 2
10. dx
NOTA: Como la respuesta es directa, entonces NO se dan, por esto, los ejercicios se deben resolver en el trabajo individual y socializarlo en el pequeño grupo colaborativo.
Cualquier duda por favor consultar al Tutor. .
11
LA INTEGRAL INDEFINIDA: Conociendo el concepto de Antiderivada, podemos formalizar desde el punto de vista matemático la integral indefinida. Leibniz (1.646 � 1.716) a la Antiderivada la llamo Integral Indefinida, quizás pensando que este tipo de integrales incluye una
constante arbitraria. Luego podemos definir la integral indefinida de la siguiente manera: Donde:
Símbolo de integración.
f(x) = Integrando dx = diferencial de la variable, D(x) = La integral de f(x) c = constante de integración. Veamos un poco esta nomenclatura matemática: Por definición de derivada tenemos:
dxxfxDxfxDdx
d)()(')()(
La operación opuesta:
dxxfxDdxfdx
xDd)())(()(
))((
cdxxfxDdxxfxDd )()()())((
No debemos olvidar la constante de integración. Con base en las definiciones anteriores y los conceptos analizados, se puede obtener algunas integrales, basado en la teoría de la antiderivada.
cxDdxxf )()(
12
INTEGRALES INMEDIATAS:
INTEGRAL DERIVADA
Cxdx 1)( cxdx
d
cn
xdxx
nn
1
1
para n ≠ -1 nn
xcn
x
dx
d
1
1
cn
edxe
nxnx para n ≠ 0 nx
nx
ecn
e
dx
d
caLog
adxa
xx
)( para a > 0 x
x
acaLog
a
dx
d
)(
ck
kxdxkxsen
)cos()( para k ≠ 0 )(
)cos(kxsenc
k
kx
dx
d
cxLndx
x)(
1
xcxLn
dx
d 1)(
cxSenxdx
)(1
1 1
2
2
1
1
1)(
xxSen
dx
d
cxdxx )tan()(sec2 )(sec)tan( 2xcx
dx
d
PROPIEDADES:
Para las propiedades indefinidas, podemos destacar las siguientes propiedades, consecuencia de las aplicadas en la diferenciación.
1. dxxfdxxf )()(
2. dxxfkdxxkf )()(
3. ckxkdx
4. dxxkgdxxkfdxdxxkgdxxkf )()()()(
5. cxfLndxxf
xf
)(
)(
)('
La demostración se pude hacer por medio de sustitución.
13
6.
cp
xfdxxfxf
pp
1
)()(')(
1
La demostración se puede hacer por medio de la técnica de sustitución. Veamos algunos ejemplos:
1. cxdxdx 444 Aplicando las propiedades 1 y 2.
2. cedxedxexxx 222
2
555 Aplicando propiedad 3 e integrales inmediatas.
3. dxxsendxxdxxdxxsenxx )(243)(243 3232
Aplicamos las propiedades 3 y 4, luego:
cxxxdxxsendxxdxx )cos(2)(243 4332
4. cxLndxx
x
4343
6 22 Aplicamos la propiedad 5.
5. cxsenxdxxxxsenx 5242 )2(5
5
1)2cos(210)2(5
Aplicamos la propiedad 6. CONSTANTE DE INTEGRACIÓN:
Retomando lo manifestado en el Teorema No 1, podemos observar que las antiderivadas de una función sólo se diferencian por una constante C dada. Si recordamos el ejemplo
cxdxx )tan()(sec2 , podemos especificar algunas antiderivadas.
D(x) = 2)tan( x , D(x) = 2)tan( x , D(x) = 5)tan( x , D(x) = 100)tan( x , � . A partir de lo anterior, se afirma que la constante de integración es propia de las
integrales indefinidas, ya que son muchas las antiderivadas de una función que contiene
el integrando. Por otro lado, cuando estamos integrando donde hay suma o resta, cada término tendrá
su constante de integración, pero todas las constantes obtenidas se pueden agrupar en una sola.
14
Ejemplo No 1.
Desarrollar: dxxexx
))cos(27( 4
Solución: Aplicando las propiedades de suma y resta tenemos:
dxxexx
))cos(27( 4 = dxxdxedxxx )cos(27 4 desarrollando cada integral.
3215 )(2
5
7cxsencecx
x , luego las constantes las podemos agrupar en una
sola: 3215 )(2
5
7cxsencecx
x = Cxsenex
x )(2
5
7 5
Ejemplo No 2.
Hallar: dxexx
42
Solución: Aplicando las propiedades y las integrales inmediatas:
24
144
4
1
)2(
222 cec
Lndxedxdxe
xx
xxxx Agrupado las constantes:
ceLn
dxex
xxx
44
4
1
)2(
22
15
EJERCICIOS: Hallar las antiderivadas de las funciones dadas: 1. 20)( xf 2. 2)( 4 xxf
3. x
xxf
1)(
4. xexsenxf 22)2(3)( Aplicando las propiedades, resolver las siguientes integrales.
5. dx6
6. dxxx )3(sec225 23
7. dxxsene
t
7)5(2
8. dxx
x
)tan(
)(sec2
9. dxttt 38)234( 2
10. dxe
ex
x
5
16
LA INTEGRAL DEFINIDA: Para analizar las integrales definidas es necesario el estudio de los conceptos de Sumatorias, Sumas de Riemman y áreas bajo la curva. Cada una se irán desarrollando de manera secuencial, para poder interiorizarlas adecuadamente. El tema de Sumatorias, se desarrolló en el curso de Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica,
sin embargo para cualquier duda o aclaración es pertinente consultarlo en dicho curso. SUMAS DE RIEMMAN:
Comencemos por definir una función f(x) en el intervalo cerrado I = [a, b], en dicho
intervalo puede haber valores positivos y negativos; incluso, podría ser no continua.
Hacemos una partición P del intervalo I en n subintervalos, para facilidad se hace una partición regular, pero no necesariamente debe ser regular, dicha partición debe tener la
condición que: X0 < X1 < X2 < � < Xn-1 < Xn, donde a = X0 y b = Xn Ahora sea ∆Xi = Xi � Xi-1 El tamaño del subintervalo. En cada subintervalo se escoge
un �punto muestra�, puede ser un punto frontera. ix~ .
∆X1 = X1 � X0. ∆X2 = X2 � X1 Así para los demás
intervalos. Como la partición se hizo sobre la función f(x), entonces:
Suma de Riemman.
Aquí Rp es la suma de Riemman para f(x) en la partición P.
Georg Friedrich Bernhard Riemann Polígonos circunscritos.
1.826 Alemania � 1.866 Suiza
n
i
iip xxfR1
)~(
)()()( aFbFdxxf
b
a
17
Ejemplo No 1: Evaluar la suma de Riemman para la función f(x) = x
2 +2 en el intervalo [-2, 2], la partición es regular, tomando P = 8 Solución: Tomemos X0 = -2 y Xn = 2. Se toma ix~ como el punto medio del i-ésimo intervalo.
También: 2
1
8
)2(2
ix ∆Xi = 0,5; con esto se obtienen 8 subintervalos, cuyos
puntos medios son: -1.75, -1.25, -0.75, -0.25, 0.25, 0.75, 1.25, 1.75. Apliquemos la fórmula de sumas de Riemman:
8
1
)~(i
iip xxfR Entonces:
Rp = [f(-1.75)+f(-1.25)+f(-0.75)+f(-0.25)+f(0.25)+f(0.75)+f(1.25)+f(1.75)] * 0.5 En la función se reemplaza: 0625,52)75,1()75,1( 2 xf y así para los demás. Rp = [5.0625 + 3.5625 + 2.5625 + 2.0625 + 2.0625 + 2.5625 + 3.5625 + 5.0625] * 0.5 Rp = [25.50] * 0.5 = 13.25
Ejemplo No 2: Evaluar la suma de Riemman para la función h(t) = t
3 � 2t, en el intervalo [1, 2]. La partición es regular y los puntos muestra definidos son: 20,1~
1 x , 38,1~2 x , 68,1~
3 x ,
92,1~4 x
Solución Tenemos todos los insumos para hacer la suma correspondiente:
4
1
)~(i
iip xxfR Entonces:
Rp = [f(1.20) + f(1.38) + f(1.68) + f(1.92)] * 0.25 Rp = [-0.672 � 0.131928 + 1.3816 + 3.2779] * 0.25 Rp = [3.855] * 0.25 = 0.9637 Resolver el ejemplo anterior utilizando 8 subintervalos P = 8, definiendo el tamaño de
cada subintervalo y el punto muestra de cada uno.
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AREA BAJO LA CURVA:
Concepto Intuitivo:
Para hallar el área de una figura con lados rectos, la geometría plana (estudiada en
matemática básica) permite calcular dichas áreas, por ejemplo rectángulos, triángulos,
paralelogramos, otros. Cuando la frontera de una figura es curva la situación es de un
análisis más profundo, ya que se requiere mayor trabajo matemático. El gran
matemático de la antigüedad ARQUIMEDES, propuso una solución consistente en que
al considerar una sucesión de polígonos inscritos que aproximen la región curva, que
puede ser más y más precisa, a medida que el polígono aumenta el número de lados. Cuando P tiende a infinito ( P ), el área del polígono se hace
semejante a la del círculo.
Pero la genialidad de Arquímedes, también lo llevo a demostrar que con polígonos circunscritos, se llegaba al mismo resultado.
Estimación por Sumas Finitas: Para determinar como se halla el área bajo la curva, utilizaremos el principio de los
polígonos inscritos y además una de las funciones más conocidas: f(x) = x2. El proceso
consiste en hallar el área de la región A ( R ) acotada por el intervalo [a, b], para nuestro caso tomemos: [0, 2] La partición P del intervalo [0, 2] en n subintervalos, cuya longitud ∆x es:
19
nnn
xxx n 2020
Partición regular.
Comencemos: X0 = 0 X1 = X0 + ∆x = ∆x X2 = X1 + ∆x = ∆x + ∆x = 2∆x X3 = X2 + ∆x = 2∆x + ∆x = 3∆x Xi = Xi-1 + ∆x = (i � 1) ∆x + ∆x = i∆x Xn-1 = (n-1) ∆x Xn = n∆x Pero ∆x = 2/n, entonces: X0 = 0, X1 = 2/n, X2 = 4/n, � , Xi = 2i/n, ,� , Xn = n(2/n) = 2 El área de la región Ri es f(xi-1) ∆x . El área total de la región Rn será la suma de las áreas de todos los rectángulos inscritos en
la curva.
xxfxxfxxfRA nn )()()()( 110
Para la función que estamos analizando tenemos:
233
222 882
*2
)( inn
i
nn
ixxxxf ii
Luego:
6
)12)(1(8)1(210
8)(
32222
3
nnn
nn
nRA n
Revisar las propiedades de las sumatorias en el modulo de Álgebra, Trigonometría y
Geometría analítica, unidad tres, donde puedes reforzar estos conceptos. Luego:
23
23 132
3
432
6
8)(
nnn
nnnRA n Entonces:
23
44
3
8)(
nnRA n
20
A medida que n se hace más grande, entonces el área de la suma de los rectángulos inscritos es más y más aproximado al área de la curva. Por consiguiente:
3
8
3
44
3
8)()(
2
nnLimRALimRAn
nn
NOTA: Realice la misma demostración pero usando rectángulos circunscritos. DEFINICIÓN: Sea f(x) una función definida en el intervalo cerrado [a, b] y continua en el intervalo abierto (a, b). Si f(x) ≥ 0 en [a, b], el área bajo la curva de f(x) en el intervalo definido
esta dado por:
n
i
in
xxfLimA1
)(
Ejemplo 1: Calcular el área bajo la curva de f(x) = 3x
2 � x en el intervalo [1, 3]. Solución:
Comencemos el proceso hallando nn
x213
10 x
n
n
nxxx
22101
n
n
nnnxxx
441
2)
21(12
n
n
nnn
nxxx
661
2423
n
in
n
ixxx ii
2211
Ahora por la definición:
n
i
iin
n
i
in
xxxLimxxfLimA11
3)(
n
in nn
in
n
inLimA
1
2222
3
21
Desarrollando las potencias y multiplicando, obtenemos:
n
in n
in
n
inin
nLimA
12
22 2121232
Aplicando las propiedades de las sumatorias, tenemos:
n
i
n
in n
in
nn
inin
nLimA
112
22 22121232
n
i
n
in
inn
in
inn
LimA11
22
21
212123
2
n
i
n
i
n
in
in
nn
in
in
nn
LimA11
22
1
2*
212123
2
Recordemos las propiedades de las sumatorias.
6
1212
2
123
2 2
2
2nnn
n
nn
nn
nLimAn
2
2*
2 2nn
nn
n
n
nnn
nn
nnn
n
nnn
nLimAn
2
2
232 2264663
2
nnnnLimAn
222
4128
12126
2
2
4224426
nnnLimAn
2
42222
nnLimAn
22
Aplicando límite: 220022 A Unidades cuadradas. EJERCICIOS:
1. Demostrar que el área bajo la curva para la función 222 xxy en el intervalo [0, 1] es
1/3. SUGERENICA: Siga el procedimiento anterior, teniendo en cuenta las propiedades de las sumatorias. Hallar el área del polígono circunscrito para la función propuesta: 2. f(x) = x + 1 donde a = -1 y b = 2 Con partición regular. 3. f(x) = x2 + 4 donde a = 2 y b = 4 Con partición regular. 4. g(x) = x3 donde a = 0 y b = 2 Con partición regular. Para las funciones dadas:
Determinar los puntos de evaluación, correspondientes a los puntos medios de cada
subintervalo dado según el valor de n. Graficar la función de los rectángulos que la aproximan. Calcular la suma de Riemman
5. f(x) = sex(x) [0, ð] y n = 4 6. g(x) = x3 � 1 [1, 2] y n = 4
7. 2)( xxh [1, 4] y n = 6
8. x
xxP
12)(
[2, 4] y n = 10
23
LA INTEGRAL DEFINIDA: Conocidos y estudiados los conocimientos sobre Sumas de Riemman y áreas bajo la
curva, podemos hacer una definición formal sobre la integral definida. DEFINICIÓN: Sea f(x) una función definida en el intervalo cerrado [a, b], la integral definida de f(x)
que va de a hasta b se define como:
b
a
n
i
in
xxfLimdxxf1
)()( Llamada también la Integral de Riemman
Donde: a = Límite Inferior b = Límite Superior f(x) = El integrando; o sea, la función que se va a integrar. dx = Diferencial de la variable. Analizando un poco el límite de la sumatoria, igual que en el caso de la derivación.
n
i
ip
LxxfLim1
0)(
Esto significa que dado un å > 0, tan pequeño como se quiera, existe un ä > 0 tal que:
n
i
i Lxxf1
)(
Para todas las sumas de Riemman xxf i )( de la función definida en el intervalo
dado, si la norma p de la partición asociada, es menor que ä, se dice que el límite
dado existe y es L. Surge la pregunta: ¿Qué funciones son integrables? La respuesta es que NO todas las
funciones son integrables en un intervalo cerrado I. Asociado al caso de límite, se
requiere que la suma de Riemman tenga límite, ya que hay casos donde esta suma se
puede hacer muy grande, como es el caso de:
n
i in xLim
1
21
Existen además funciones acotadas que pueden no ser integrables, por el grado de complejidad de la misma, como es el caso de:
2
0
2
dxex
24
Para esto existe un teorema de integrabilidad que nos garantiza las funciones integrables en un intervalo cerrado I, su demostración NO esta al alcance de este nivel ya que requiere cálculo avanzado. TEOREMA DE INTEGRABILIDAD: Si f(x) es acotada en el intervalo cerrado [a, b] y si f(x) es continua excepto en un
número finito de puntos, entonces f(x) es integrable en [a, b]. En particular si f(x) es
continua en todo el intervalo, entonces es integrable en [a, b].
Consecuencia de este teorema podemos ver que las funciones polinómicas, seno y
coseno, son integrables en todo el intervalo cerrado I. Las funciones racionales lo son en I siempre y cuando dicho intervalo no contenga puntos en donde el denominador es cero. Ahora podemos hacer la siguiente relación como conclusión de lo que venimos
analizando:
Área bajo la curva de y = f(x) en el intervalo cerrado [a, b] es equivalente a b
a
dxxf )(
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA: Las propiedades aplicadas a la integral indefinida, también son aplicables a las
integrales definidas. Veamos algunas.
1.
b
a
dxxf 0)( Para a = b
2. b
a
a
b
dxxfdxxf )()( Para a < b
3.
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()( Para a < c < b
4.
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()(()(
5.
b
a
b
a
dxxfKdxxKf )()(
6.
b
a
abKKdx )(
7. Si f(x) y g(x) son funciones integrables en el intervalo I = [a, b] y si f(x) ≥ g(x) para
25
todo x en [a, b], entonces: b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
Las demostraciones se pueden consultar en un libro de cálculo, en la bibliografía se
proponen algunos. Sería pertinente que se consultaran. V A L O R M E D I O D E U N A F U N C I Ó N: El concepto de valor medio lo conocemos muy bien, por los principios de Estadística,
pero en este caso vamos a calcular el valor promedio de una función f(x) en un intervalo
cerrado I. Para este caso escogemos una muestra de puntos en el intervalo I, construyendo la Partición correspondiente, donde: x0 < x1 < x2 � < xn; además, x0 = a y
xn = b. La diferencia entre los puntos es: n
abx
El valor promedio de la función f(x) esta dado por el promedio de los valores de la
función en x1, x2, � xn:
n
i
in xfn
xfxfxfxfn
xf1
321 )(1
)(...)()()(1
)(
Si multiplicamos y dividimos por b � a tenemos:
n
abxf
abxf
n
i
i
1
)(1
)( Recordemos que: n
abx
, luego:
xxfab
xfn
i
i
1
)(1
)( Corresponde a la suma de Riemman.
DEFINICIÓN: Para la función f(x) integrable en [a, b] y sabiendo que la suma de Riemman tiene límite:
b
a
n
i
in
dxxfab
xxfab
Limxf )(1
)(1
)(1
Ejemplo 1: Hallar el valor promedio de la función sen(x) en [0, ð] Solución: Aplicando la definición tenemos:
26
0
)(0
1)(
1)( dxxsendxxf
abxf
b
a
)0cos(()cos(1
)cos(1
)(1
)( 00
xdxxsenxf
211
1)( xf
El proceso requiere la aplicación del teorema fundamental del cálculo, el cual
estudiaremos en seguida. Ejemplo 2: Cual será el valor promedio de la función f(x) = x
2 � 2 en el intervalo [0, 4] Solución: Al igual que en el caso anterior, con la aplicación de la fórmula para valor promedio de
la función:
4
0
34
0
2 23
1
4
12
04
1)(
1)(
xxdxxdxxf
abxf
b
a
3
10
3
40
4
108
3
64
4
12
3
1
4
1)(
4
0
3
xxxf
310
)( xf
EJERCICIOS: 1. Hallar el valor promedio para la función f(x) = 4x
3 en el intervalo [1, 3]
2. Cual será el valor promedio de la función 16
)(2
x
xxg en el intervalo [0, 3]
3. Determinar el valor medio de la función: g(x) = sen2(x) cos(x) para el intervalo
[0, ð/2] 4. Cual será el valor promedio de la función f(x) = cos(x) en el intervalo [0, ð/2]
27
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: En Matemáticas hay teoremas fundamentales, como en Aritmética, Álgebra,
Geometría; el Cálculo también tiene su teorema fundamental. Para estudiar el teorema fundamental del cálculo que en verdad son dos y no uno como dice el título, vamos a
estudiarlos por separado. PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: Para enunciar el teorema, analicemos la siguiente situación: Sea A(x) el área bajo la curva de la
función f(t) a dicha función se le llama función
acumulada, ya que va acumulando el área bajo la
curva dada t = a hasta t = x. donde x > 1. Sabemos que:
x
a
dttfxA )()(
Por otro lado, sabemos por definición de áreas bajo la curva que:
n
i
in
xxfLimxA1
)()(
Al relacionar las ecuaciones anteriores:
x
a
n
i
in
dttfxxfLim )()(1
Ahora definamos a B(x) como el límite de la sumatoria, de tal manera que )(xfdx
dB
Luego: )()( xfdttfdx
dx
a
TEOREMA: Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea x un
punto en (a, b), entonces:
)()( xfdttf
dx
dx
a
28
Se debe anotar que x es variable y que la tasa de acumulación en t = x es igual al valor
de la función f(x) que se esta acumulando en t = x. Demostración: Por la definición de derivada:
x
a
xx
axx
dttfdttfx
Limx
xFxxFLimxF )()(
1)()()('
00
xx
xx
x
a
xx
ax
dttfx
Limdttfdttfx
Lim )(1
)()(1
00
Si observamos cuidadosamente la última expresión, podemos deducir que corresponde a
límite del valor promedio de f(x) en el intervalo [x, x + ∆x]. Como ∆x > 0, por
teorema de valor medio:
xx
x
cfdttfx
)()(1
Donde x < c < x + ∆x
Pero cuando ∆x tiende a cero, entonces c tiende a x; además, f(x) es continua.
)()()(1
)('00
xfcfLimdttfx
LimxFx
xx
ax
Este teorema en su concepto expresa que toda función f(x) continua en un intervalo
cerrado, tiene antiderivada. Ejemplo 1:
Desarrollar:
x
dttdx
d
1
4
Solución: Por la definición del teorema:
4
1
4xdtt
dx
dx
29
Ejemplo 2:
Dado:
x
dtttxF1
2 24)( Hallar F�(x).
Solución: El integrado por definición es F�(x) = f(x) entonces: F�(x) = x
2 + 4x � 2
Si lo resolvemos por otro lado, tenemos:
x
dtttdx
d
dx
dF
1
2 24 por definición del
teorema: 242 xx
dx
dF
Ejemplo 3:
Si 2
1
)cos()(x
dttxP Calcular P�(x).
Solución: Como el límite superior tiene potencia, hacemos cambio de variable. U = x
2, luego:
u
dttxP1
.)cos()( Por la regla de la cadena:
dx
dudtt
du
d
dx
dP
dx
du
du
dP
dx
dPu
*)cos(*1
Desarrollando:
xudx
duu
dx
dP2*)cos(*)cos( recordemos que u = x2 en este contexto.
)cos(2)(' 2xxxP
Ejemplo 4
Sea
2
1
42)(x
dttxH Hallar H�(x).
Solución: Hacemos cambio de variable así: u = x
2 ahora:
30
xudx
dudtt
dx
d
dx
dHu
2*42*)42(1
Reemplazando u tenemos
xxxxdx
dH842*42 32 Por consiguiente:
xxdx
dH84 3
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO En cálculo el estudio de los límites es fundamental, dos límites muy importantes en
cálculo son:
x
xfxxfLimxf
x
)()()('
0 y xxfLim i
n
)(
Por medio del teorema fundamental numero uno, se estudio la relación que tienen estos
dos límites, fundamental para resolver integrales definidas. La existencia de la antiderivada, lo garantiza el primer teorema fundamental del cálculo,
la evaluación de dichas integrales se garantiza por medio del segundo teorema
fundamental. TEOREMA: Sea f(x) una función continúa en un intervalo definido, por consiguiente es integrable en
el intervalo cerrado [a, b], sea P(x) una antiderivada de f(x) en el intervalo dado, entonces: Demostración: La demostración requiere los conocimientos de teoremas y definiciones estudiadas anteriormente, por lo cual se debe tener presente estos aspectos.
Sea la función x
a
dttfxG )()( para x en el intervalo [a, b], sabemos que )()(' xfxG
Para todo x en [a, b], luego G(x) es una antiderivada de f(x), pero P(x) es también
antiderivada de f(x). Por el teorema de antiderivada, sabemos: P�(x) = G�(x), donde P(x) y G(x) solo difieren por una constante, luego para todo x en
[a, b]: P(x) = G(x) + C, para P(x) y G(x) continuas en el intervalo dado, luego:
b
a
aPbPdxxf )()()(
31
P(a) = G(a) + C y P(b) = G(b) + C en el intervalo cerrado definido.
Para
ax
a
dttfaG 0)()( ¿Recuerdas?
P(a) = G(a) + C ¡saber porque verdad! P(a) = 0 + C entonces: P(a) = C, por lo tanto: P(b) � P(a) = [G(b) + C] � C = G(b). Luego al igual que G(a), podemos decir:
bx
a
dttfbG )()( Por consiguiente:
b
a
dxxfaPbP )()()( Así queda demostrado el teorema.
Esta misma demostración se puede hacer por las sumas de Riemman, veamos: Primero participamos el intervalo [a, b] en: xo, x1, x2, � , xn donde xo = a y xn = b, además: ∆x = xi � xi-1, como ∆x es el tamaño de cada subintervalo, entonces:
n
abx
para i = 1, 2, 3, � , n Ahora:
P(b) � P(a) = [P(x1) � P(xo)] + [P(x2) � P(x1)] + � + [P(xn � P(xn-1)] resumiendo:
n
i
ii xPxPaPbP1
1 )()()()(
Como P(x) es una antiderivada de f(x) derivable en (a, b) y continua en [a, b], por el teorema del valor medio
xcfxxcPxPxP iiiiii )())((')()( 11 para ci � (xi-1, xi) donde i = 1,
2, 3, � Por asociación de las dos ecuaciones anteriores:
n
i
i
n
i
ii xcfxPxPaPbP11
1 )()()()()( Si tomamos limite a ambos lados de
la ecuación cuando n tiende a infinito, obtenemos:
b
an
n
i
in
dxxfaPbPLimxcfLim )())()(()(1
Por consiguiente:
32
b
a
dxxfaPbP )()()(
Ejemplo 1:
Aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver: b
a
xdx
Solución:
b
a
bx
ax
ababx
xdx22
222
2
1
222
Ejemplo 2:
Resolver la integral: dxxx
2
0
3 4
Solución:
2424
2
0
242
0
3 0204
1222
4
12
4
14 xxdxxx
48484
164
2
0
3 dxxx
Ejemplo 3:
Demostrar que: 12
4714
12
dx
xx
Solución:
Como 2
1
xx es continua en [1, 4], se puede aplicar el teorema fundamental, luego:
4
1
4
1
14
1
22
23
21
3
2)(
1xxdxxxdx
xx Evaluando:
4
1
3
11
3
5
4
1
3
1611
3
244
3
214
1
11
22
32
3
dx
xx
33
12
47
4
1
3
1114
12
dx
xx
Ejemplo 4:
Hallar el valor de: 2
0
)(
dxxsen
Solución: La función seno es continua en el intervalo propuesto, luego se puede integral, por medio del teorema fundamental.
))0cos(()cos()cos()( 200
2
2
xdxxsen
110)(2
0
dxxsen
TEOREMA DE SIMETRÍA:
Si f(x) es una función par, entonces:
aa
a
dxxfdxxf0
)(2)(
Si f(x) es una función impar, entonces: 0)(
a
a
dxxf
Demostración: Vamos a demostrar la primera parte del teorema, el segundo se deja como ejercicio.
a
a
a
a
dxxfdxxfdxxf0
0
)()()( Ahora hacemos una sustitución u = -x, luego
du = -dx. Por definición, si f(x) es par. Se cumple: f(-x) = f(x), entonces:
0 00
)())(()(a aa
duufdxxfdxxf Luego:
aa
dxxfduuf00
)()( Por lo tanto:
34
aaaa
a
dxxfdxxfdxxfdxxf000
)(2)()()(
EJERCICIOS: 1. Escribir las siguientes integrales como una sola:
a-)
3
2
2
0
)()( dxxfdxxf
b-)
1
2
2
0
)()( dxxfdxxf
2. Hallar 4
0
.)( dxxf donde:
12
12)( 2
xsix
xsixxf
3. Calcular 4
0
.)( dxxf donde:
31
32)(
2
xsix
xsixxf
4: Desarrollar:
1
0
102 21 dxxx
5. Hallar
dxxxsex2)cos()(
6. Para un gas ideal, la presión es inversamente proporcional al volumen, el trabajo requerido para aumentar el volumen de un gas particular de V = 2 a V = 4 esta dado por
la siguiente expresión: 2
1
)(V
V
dVVP donde la constante de proporcionalidad para este
caso es de 12. Cual será el valor de la integral. 7. La temperatura T en una región particular, esta dada por la función T(t) = 75 � 20cos(ð/6)t donde t = tiempo en meses. Estimar la temperatura promedio Durante todo el año.
35
L A I N T E G R A L I M P R O P I A: El teorema fundamental del cálculo se puede aplicar bajo la condición de que la
función sea continua en el intervalo de integración. Por lo cual, cuando vamos a integral
lo primero que debemos observar es que se verifique el teorema. Existen casos en que el teorema NO se cumple, dichas situaciones son las que abordaremos en este aparte del curso. Integral Impropia con Integrando Discontinuo: La función que observamos es dada por la
ecuación:2
1)(
xxf y deseamos integrarla en
el intervalo [1, -2]. Sin pensarlo dos veces lo que haríamos es:
1
2
1
2
21
22 2
31
xdxx
x
dx
Obviamente la respuesta NO es correcta ¿Por qué? El problema requiere que recordemos dos términos: Continuidad y Acotación. La integral que estamos analizando se le llama Integral Impropia, debido a que el integrando es discontinuo en el intervalo propuesto.
Considere el caso de:
1
0 1 x
dx ¡Argumente y comparta con sus compañeros¡
DEFINICIÓN: Sea f(x) una función continua en el intervalo semiabierto [a, b), entonces: Si el límite existe y es finito, decimos que la integral impropia es convergente, donde el
límite es el valor de la integral. Si el límite no existe, decimos que la integral impropia
es divergente. Ejemplo 1:
Integral la función 3
1)(
xxf en el intervalo (0, 8].
Solución: Como la función es discontinua en x = 0, entonces planteamos una solución aplicando
la definición dada anteriormente.
b
a
t
abt
dxxfLimdxxf )()(
b
a
t
abt
dxxfLimdxxf )()(
36
32
32
32
31
2
38
2
3
2
310
8
0
8
0
8
03
tLimxLimdxxLimdxx t
tt
tt
Evaluando obtenemos:
64*4
30
2
364
2
313
238
03
dx
x Por consiguiente:
618
03
dx
x
Ejemplo 2:
Determinar la convergencia o no convergencia de la siguiente expresión:
1
0 1 x
dx
Solución: Como la función NO esta definida para x = 1, debemos tomar el límite unilateral, luego
el intervalo a tomar será [0, 1), entonces:
tt
tt
xLimx
dxLim
x
dx
0011
1
0
1211
Evaluando:
2102121 01
1
0
t
t
xLimx
dx
La integral propuesta es convergente y converge a 2. Ejemplo 3:
Demostrar que 1
0
1dx
xk
es convergente si k < 1.
Solución:
111
00
1
0 1
1
t
k
tt
k
tk k
xLimdxxLimdx
x
Evaluando:
kk
t
kk
xLimdx
x
kk
t
k
tk
1
1
11
1
1
1 1111
0
1
0
Para k < 1
37
¿Qué pasará si k ≥ 1? Hacer el análisis con los compañeros del pequeño grupo
colaborativo. DEFINICIÓN: Sea f(x) una función continua en el intervalo semiabierto (a, b], entonces: Al igual que en el caso anterior, si el límite existe la integral converge y si el límite no
existe, la integral diverge. Con las definiciones dadas, podemos resolver integrales impropias con integrado discontinuo. Con el fin de fortalecer el tema, estimado estudiante demostrar que:
a-)
1
021 x
dx Converge a
3 2
3
b-)
4
03 32 x
dx Converge a 33 1014
2
1
c-) 2
0
)2tan(
dxx Diverge.
Estos ejercicios deben desarrollarlos en el pequeño grupo colaborativo y socializarlo
con el tutor.
Integral Impropia con Límites de Integración infinitos:
En el campo de las integrales impropias, también podemos encontrar unas integrales
impropias donde uno de los límites es infinito, tal es el caso de:
0
2
dxex muy
utilizada en Probabilidad, pero también hay casos en Economía, Administración y otros. La resolución de este tipo de integrales, utiliza también límites para eliminar una posible
indeterminación.
b
a
b
tat
dxxfLimdxxf )()(
38
DEFINICIÓN: Sea f(x) una función continua en el intervalo semiabierto [a, b) o (-∞, a], entonces:
a
R
aR
dxxfLimdxxf )()( o
a a
RR
dxxfLimdxxf )()(
Si los límites existen, entonces las integrales impropias son convergentes. Pero si el
límite no existe, entonces la integral impropia diverge. Ejemplo 1:
Determinar la convergencia o divergencia de:
12
1dx
x.
Solución: Observamos que el límite superior es infinito, entonces aplicando la definición
tenemos:
x
R
R
R
RLimdxxLimdx
x
1
11
2
12
1 Evaluando el límite, tenemos:
11011 1
12
RLimdxx R
La integral propuesta converge a 1. Ejemplo 2:
Demostrar que:
1
x
dx es divergente.
Solución: Siguiendo el mismo procedimiento anterior:
11
RR x
dxLim
x
dx
11
RR
xLnLimx
dx
Si evaluamos el límite:
39
RLnLnx
dx1
1
Como el límite no existe, la integral diverge. En estudios matemáticos sobre fenómenos luminosos, electricidad, sonido y en general
en fenómenos ondulatorios, se puede encontrar integrales impropias, donde los dos límites de integración son infinitos. Para resolver ente tipo de integrales, hacemos uso
de la siguiente definición: DEFINICIÓN:
Sea f(x) una función continua en el intervalo (-∞, ∞), si
a
dxxf )( y
a
dxxf )( son
convergentes, decimos que
dxxf )( es convergente y su valor se puede hallar por la
siguiente relación:
a
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Si alguna de las integrales diverge o las dos, entonces la integral total diverge. Ejemplo 1:
Dada la integral:
dx
x21
1 Determinar si converge o diverge.
Solución: Inicialmente definamos a = 0 y así aplicando la definición:
a
a
dxx
dxx
dxx
222 1
1
1
1
1
1
En seguida aplicamos el límite:
a
b
c
acb
dxx
Limdxx
Lim22 1
1
1
1 Integrando:
ca
c
a
bb
xTanLimxTanLim )()( 11
Evaluando el límite:
40
)()()()( 1111aTancTanLimbTanaTanLim
cb
Como a = 0, entonces:
0)(0 22 La integral converge. Ejemplo 2:
Demostrar que:
dxe
x
Diverge.
Solución: Aplicando la definición dada para estos casos tenemos:
0
0
dxedxedxexxx
Llamemos a la primea integral A y a la
segunda B
Desarrollemos la primera integral:
A= )(0
00R
R
o
R
x
RR
x
R
xeeLimeLimdxeLimdxe
Evaluando:
A = 101
110
0
eeedxe
x
Converge
Ahora desarrollemos la segunda integral:
B = )( 0
00
eeLimeLimdxeLimdxeR
R
R
o
x
R
R
x
R
x
Evaluando:
B =
10
0
eedxex
Diverge
41
Vemos que la primera integral converge, pero la segunda diverge, por consiguiente la integral original diverge. Ejemplo 3:
Demuestre que: dxxex
2
converge a cero.
Solución: Aplique todos los pasos utilizados en los ejemplos anteriores para obtener la solución.
Es aconsejable que lo intente usted solo estimado estudiante, si no lo puede hacer, entonces utilice el recurso del pequeño grupo colaborativo, si aun persisten dificultades,
consuluelo con el Docente.
42
EJERCICIOS: Determinar SI la integral converge o diverge, en caso de que converja, hallar el valor correspondiente:
1. dxx
1
03
1
2.
1
1
1dx
x
3. 1
0
)( dxxLn
4.
0
)tan( dxx
5.
14
dxex
6.
102 1
dxx
x
7.
1
021
2dx
X
8. 2
0
)cot(
dxx
9.
5
0
54
dxx
10.
5
4
1dx
x
43
U N I D A D D O S
M É T O D O S D E I N T E G R A C I Ó N
44
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN cLna
adxa
xx
Haciendo una reflexión sobre lo que hemos estudiado hasta el momento, vemos que el
proceso de integración se puede realizar utilizando el principio de la Antiderivada; es
decir, el principio de operación opuesta. Sin embargo existen una gran cantidad de funciones que NO se pueden integrar utilizando dicho principio, lo que conduce a buscar técnicas que permitan resolver la integral de cualquier función, por consiguiente
el trabajo en este apartado será el análisis de las técnicas de integración. INTEGRALES INMEDIATAS: Inicialmente vamos a hacer un recuento de las integrales que se pueden resolver utilizando el concepto de antiderivada. Recopilando lo estudiado en integrales indefinidas, las propiedades analizadas, podemos exponer a continuación las integrales obtenidas por definición de la antiderivada o
primitiva.
1. cxdx 2. ckxkdx para k = constante
3. cn
xdxx
nn
1
1
para n ≠ -1 4. cxLndxx
)(1
5. cLna
adxa
xx
para a > 0 y a ≠ 1 6. cen
dxenxnx
1 n ≠ 0
7. cnxn
dxnxsen )cos(1
)( n ≠ 0 8. cnxsenn
dxnx )(1
)cos( n ≠ 0
9. cxdxx )tan()(sec2 10. cxdxx )cot()(csc2
11. cxdxxx )sec()tan()sec( 12. cxdxxx )csc()cot()csc(
13. ca
xSen
xa
dx
1
22 a ≠ 0 14. c
a
xTan
axa
dx
1
22
1 a ≠ 0
15. ca
xSec
aaxx
dx
1
22
1 16. c
x
aCos
aaxx
dx
1
22
1
17. cxdxxsenh )cosh()( 18. cxsenhdxx )()cosh(
45
La idea no es memorizar estas fórmulas, solo que con un buen análisis se pueden
utilizar en muchas situaciones. Ejemplo No 1:
Resolver: dxx4
Solución: Como podemos ver se trata de una función exponencial, luego con la fórmula numero 5
se puede resolver esta integral.
cLn
dxx
x 4
44
Ejemplo No 2:
Resolver: dx5
Solución: En este caso se trata de una constante, luego con la fórmula numero 2 se puede resolver
esta integral
cxdx 55
Ejemplo No 3:
Hallar la siguiente integral: dxex430
Solución: Tenemos la integral de una constante por una función, por las propiedades estudiadas, podemos sacar la constante de la integral y luego operar la función, veamos:
dxedxexx 44 3030 Por la fórmula 6, desarrollamos la integral.
cecedxexxx
444
2
15)
4
1(3030 Por consiguiente:
46
cedxexx
44
2
1530
Ejemplo No 4:
Resolver: dxx)5cos(20
Solución: Se trata de la integral de una constante por una función trigonométrica, la solución es de
la siguiente manera:
cxsendxxdxx
)5(
5
120)5cos(20)5cos(20
ccxsendxx )5(4)5cos(20
Ejemplo No 5:
Resolver la siguiente integral: dxx22 4
Solución: Vemos que e integrado es un producto notable, es conveniente resolverlo primero paras poder luego hacer la integración.
dxdxxdxxdxxxdxx 168)168(4 242422
Se aplico la linealidad para las integrales, ahora resolvemos cada integral.
323
1524 16
3
8
5
1168 cxcxcxdxdxxdxx
Sumando las constantes en una sola, obtenemos:
cxxxcxcxcx 163
8
5
116
3
8
5
1 3532
31
5 Por consiguiente:
cxxxdxx 163
8
5
14 3522
47
En algunos casos la función NO tiene la forma directa para resolverla como integral
inmediata, pero haciendo una pequeña transformación, se puede llevar la función dada a
una forma tal que se pueda aplicar alguna de las funciones inmediatas para resolverla. Ejemplo No 6:
Resolver la integral: dxxx
223
1
Solución: Si observamos detalladamente, esta función no tiene una forma conocida de las integrales inmediatas, sin embargo por la forma de la función se puede inferir que
podemos llevarla a la forma dxxa
22
1 Para esto debemos transformar el trinomio
a la forma a2 � x2, entonces: 1)12(323 22 xxxx organizando:
2)1(4 x ahora incluyámoslo en la integral:
dx
xdx
xdx
xx
2222 )1(2
1
14
1
23
1 Ya lo tenemos de la forma
de una integral inmediata, observemos la fórmula 13, luego:
cx
Sendxx
2
1
)1(2
1 1
22 Por consiguiente:
cx
Sendxxx
2
1
23
1 1
2
Ejemplo No 7:
Resolver la integral: dxx
xsen
2
02 )(cos16
)(
Solución: La forma de la función no es conocida, pero se puede transformar a la forma
a
xTandx
xa
122
1 según la forma propuesta. Entonces:
Sea U = cos(x) luego: dU/dx = -sen(x) entonces: dU = -sen(x)dx. Apliquemos la integral sin límites, para facilitar el proceso, al final se evalúan los límites.
48
44
1
16)(cos16
)( 122
UTan
U
dUdx
x
xsen Pero U = cos(x),
Entonces reemplazamos:
4
)cos(
4
1
44
1 11 xTan
UTan Evaluando en los límites propuestos:
4
)0cos(
4
)2/cos(
4
1
4
)cos(
4
1
44
1 11
0
112
TanTanx
TanU
Tan
Resolviendo y simplificando:
4
1
4
1)4/1()0(
4
1
4
)0cos(
4
)2/cos(
4
1 11111TanTanTanTanTan
Luego:
4
1
4
1
)(cos16
)( 1
02
2
Tandxx
xsen
Ejemplo No 8:
Hallar la solución de la integral propuesta: dxx
xx
1
23 2
Solución: La función del integrado No tiene forma conocida, pero es un polinomio que podemos dividir para reducirlo lo más que se pueda.
1
113
1
23 2
xx
x
xx Aplaquémosle la integral.
dxx
xdxx
xx
1
113
1
23 2
Aplicando la linealidad obtenemos:
cxLnxxdxx
dxxdx )1(2
3
1
13 2
Un ejemplo más para adquirir destreza en este tipo de situaciones:
49
Ejemplo No 9:
Resolver la integral dada a continuación: dxx
xsen )(cos
)(2
Solución: Separemos el cos2(x) en cos(x)*cos(x) y reorganizando:
dxxx
xsendx
xx
xsendx
x
xsen
)cos(
1*
)cos(
)(
)cos(*)cos(
)(
)(cos
)(2
Por identidades trigonométricas:
dxxxdxxx
xsen)sec(*)tan(
)cos(
1*
)cos(
)( Esta última integral tiene la forma de
la fórmula 11 de las integrales inmediatas, entonces:
cxdxxx )sec()sec(*)tan( Por consiguiente:
cxdxx
xsen )sec(
)(cos)(
2
50
EJERCICIOS:
1. 42x
dx
2. dxxsen
x )(1
)cos(2
3. dxxx 22 2
4. dxx
24
1
5. dxxx 52
42
6. dxxsenh )5(
51
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN SUSTITUCIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE:
La técnica de sustitución por cambio de variable, se utiliza cuando la función que se
desea integrar NO se le puede aplicar las fórmulas de las integrales inmediatas, pero
haciendo un �Truco Matemático� llamado cambio de variable, es posible la resolución
de muchas integrales. Pero la pregunta es ¿Qué funciones se pueden integrar por cambio de variable? Cuando la función que conforma el integrando es tal que una parte es la derivada de la otra parte y las dos están en forma de producto, se puede aplicar esta técnica. Las condiciones básicas para establecer que se puede aplicar una sustitución es una buena observación
de la función a integrar y algo de perspicacia matemática. Como el método tiene que ver con el producto de una función y su derivada, estaría
implícita la regla de la cadena, el siguiente teorema sustenta dicha técnica: TEOREMA: Sea g(x) una función derivable y supongamos que P(x) es una antiderivada de la
función f(x). Si además U = g(x), entonces:
CUPdUUfdxxgxgf )()()('))((
Por consiguiente:
CxgPCUP ))(()( Demostración: Podemos demostrar que la derivada de P(g(x)) + C es la función que conforma el
integrado, veamos:
)('*))(('))(( xgxgPCxgPdx
d Pero por hipótesis P(x) es antiderivada de
f(x), luego: )(')()('*)(' xgxgfxgxgP Así queda demostrado el teorema. Los pasos para aplicar la técnica de sustitución son:
1. elegir una variable digamos u, v, w, � que sustituya parte del integrado. 2. Hallar el diferencial de la variable seleccionada: du, dv, dw,�
CUPdUUfdxxgxgf )()()('))((
52
3. Reemplazar todos los términos en el integrado de tal forma que queden
expresados solo en función de la nueva variable 4. Resolver la integral bajo la nueva variable. A veces no se puede hacer esto, lo
cual indica que dicha sustitución no es la adecuada y se debe intentar con otra forma de sustituir.
5. Una vez realizada la integración, la nueva variable se reemplaza por la variable
original y así obtenemos la integral deseada. Ejemplo No 1:
Desarrollar: dxxx 3624 410
Solución: Vemos que la función es un producto de dos funciones: 624 10x y 34 x lo que pinta para una sustitución. Definimos la nueva variable 104
xU , ahora
derivemos esta función: dxxdUxdx
dU 33 44 Reemplazando es la integral
original: dUUdxxx623624 410 Esta si se puede resolver:
cU
dUU 63
6362
. Pero la función original es x y no U, por lo cual se hace el
reemplazo de nuevo: 104
xU entonces:
c
xdxxx
63
10410
6343624
Ejemplo No 2:
Hallar: dxxsenx )(3 32
Solución:
Elegimos la nueva variable V = x3, ahora derivamos dxxdVxdx
dV 22 33 Si
reemplazamos:
cVdVVsendxxsenx )cos()()(3 32 Reemplazando el
53
valor de V en función de x, tenemos:
cxcV 3cos)cos( por consiguiente:
cxdxxsenx )cos()(3 332
Ejemplo No 3:
Desarrollar: dxx
xsen
)(
Solución: Siguiendo los pasos descritos.
x
dxdu
x
dxdux
dx
duxu
222
12
1
Reemplazando en la integral.
cuduusenduusendxx
xsen )cos(2)(22)(
)(
Como xu reemplazamos en la integral obtenida, nos resulta.
cxdxx
xsen )cos(2
)(
Ejemplo No 4: Hallemos la integral de tan(x). Solución:
dxxsenx
dxx
xsendxx )(*
)cos(
1
)cos(
)()tan( Hacemos cambio de
variable: u = cos(x), luego: dxxsenduxsendx
du)()( reemplazando:
cuLnduu
dxx
xsen
1
)cos(
)( Pero u = cos(x) entonces:
54
cxLndxx )cos()tan(
Ejemplo No 5:
Resolver: dxe
e
x
x
6
3
4
Solución: Observando detenidamente esta integral, vemos que tiene la forma de Sen-1(x), pero primero debemos ajustarlo par poder aplicar este tipo de integral.
dx
e
edx
e
e
x
x
x
x
232
3
6
3
24 Ahora si podemos hacer cambio de
variable. xew
3 Luego: dxedwx33 y
xe
dw 3
3 reemplazando en la integral:
c
wSen
w
dw
w
dw
dxe
e
x
x
23
1
23
1
23
4
1
22226
3
Finalmente:
ce
Sendxe
ex
x
x
23
1
4
31
6
3
SUSTITUCIÓN POR RACIONALIZACIÓN: Cuando el integrado presenta radicales, se puede presentar problemas para resolver la integral, la racionalización puede ser un camino para superar dicho problema, veamos
algunos casos. Ejemplo No 1:
Resolver:
dxxx
1
Solución: Haciendo un cambio de variable: dxuduxu 22 luego reemplazamos:
55
cuLuduu
duuu
u
uu
ududx
xx
12
1
12
)1(2
212
Reemplazando xu tenemos finalmente:
cxLudxxx
121
Ejemplo No 2:
Hallar la integral de: dxxx3 Solución:
Haciendo 333 VxxVxV derivamos: dxdVV 23 ,
reemplazamos en la integral original:
dVVVdVVVVdxxx )33()3)(( 36233
Desarrollando: cVV 47
4
3
7
3 Si volvemos a reemplazar, obtenemos
finalmente:
cxxdxxx 34
37
43
733
Esperamos que estos ejemplos modelos permitan desarrollar destreza para resolver este tipo de integrales.
56
EJERCICIOS: En los siguientes ejercicios desarrollar la integral, indicando paso por paso.
1. dxx x
2
3* Rta: cLn
x 2
332
1
2.
dx
x
xx
1
23 2
Rta: cxLnxx 12
3 2
3. dxxsen
xxsen
)(
)cos()( Rta: cxsenLnx )(
4.
dxx
x
4
3
3 Rta:
c
xxxxLn
32 3
9
32
27
3
93
5.
1
0 4
3dx
x Rta:
5
4246 Ln
6. dxx
x
4
2 2 Rta:
3
222 Ln
7. dxxx 233 Rta: cx
33 29
2
8. dxxsenx 1)()cos( Rta: cxsen 31)(
3
2
57
SUTITUCIÓN TRIGONOMETRICA:
La sustitución trigonométrica, es una técnica que se puede utilizar cuando en el
integrando se presentan expresiones como: 22xa , 22
xa , 22ax ; siendo
a > 0, analicemos los tres casos: PRIMER CASO:
: 22xa : La sustitución es de la forma )(asenx para
22
. La
restricción se debe a que en este intervalo, la función mantiene sus condiciones para serlo como tal. Haciendo el reemplazo )(22222 senaaxa , organizando:
)(cos)(1)( 2222222 asenasenaa . Como 22xa esta dentro de una raíz,
entonces nos resulta )cos(a . Pero la expresión final debe expresarse en función de x y no de è, lo que se resuelve usando el siguiente gráfico:
Desarrollemos:
dxxa 22 Siendo )(asenx entonces:
dadx )cos( Haciendo el reemplazo:
dasenaa )cos()(222 esto es equivalente
a:
daadasena )cos()(cos)cos()(1( 2222
dada )(cos)(cos 2222 Por la identidad: 2
)2cos(1)(cos2 x
x
reemplazamos para poder integrar:
d
ad
adada )2cos(
222
2cos1)(cos
22222
La última parte si se puede integrar, luego:
csenaa
da )2(42
)(cos22
22
2212
22
22xa
x
a
xSen
adxxa
58
Pero la variable original esta en función de X y no de è, luego transformamos a è en X, la gráfica anterior nos ayuda a hacer dicha transformación.
Por la gráfica:
a
xSen
a
xsen
1)( Por otro lado, También por la gráfica:
a
xa22
)cos(
Reemplazando:
a
xa
a
xa
a
xSen
asen
aadxxa
2221
22222 *
22)2(
42
cxax
a
xSen
adxxa
221
222
22
Ejemplo 1:
Desarrollar:
dxx 29
1
Solución:
Hacemos: ddxsenx cos3)(3 Reempezando:
dd
senddx
x )(cos3
)cos(3
)(19
)cos(3
)cos(39
)cos(3
9
12222
Simplificando: cdd
)cos(
)cos( Pero è debemos expresarlo como X,
lo que se hace por medio del cambio que se propuso inicialmente: )(3 senx
despejamos
a
xSen
a
xsen
1)( Finalmente:
ca
xSendx
x
1
29
1
59
SEGUNDO CASO:
22xa La sustitución es de la forma )tan(ax para
22
El
procedimiento es similar al caso anterior, solo que la gráfica cambia:
a
x)tan( Despejando el ángulo:
a
xTan
1
Ejemplo 2:
Resolver: dxx 216
Solución:
Hacemos el cambio de variable: )tan(4 x luego: ddx )(sec4 2 y
reemplazamos: ddxx )(sec4*)(tan41616 2222 resolviendo:
dd )(sec4*)(sec4)(sec4*)(tan116 2222 Simplificando:
d)(sec16 3 . Esta integral se puede resolver por la siguiente fórmula.
(Posteriormente se demostrará)
duun
nuu
nduu
nnn )(sec1
2)tan()(sec
1
1)(sec 22
Para n ≠ 1
Siguiendo con el ejemplo:
cdd
)sec(
2
1)tan()sec(
2
116)(sec16 3
Resolviendo:
cLnd
)tan()sec(8)tan()sec(8)sec(
2
1)tan()sec(8
Debemos transformar el ángulo en la variable x.
60
cxx
Lnxx
Ln
44
168
4*
4
168)tan()sec(8)tan()sec(8
22
Resumiendo: cxx
Lnxxd
4
16816
2
1)(sec16
223
Finalmente: cxx
Lnxxdxx
4
16816
2
116
222
TERCER CASO:
:22ax La sustitución es de la forma: )sec(ax para
22
. Los pasos
para desarrollar integrales de este tipo son similares a los casos anteriores.
a
x)sec(
a
xSec
1
Ejemplo 3:
Solucionar la integral propuesta: dxx
x
42
Solución: La sustitución: dtndxx )()sec(2)sec(2 si reemplazamos:
ddx
x
x)tan()sec(2
)sec(2
4)(sec44 22
Operando:
dddd 1)(sec2)(tan2)tan()(tan2)tan(22
1sec4 2222
Si aplicamos la linealidad, tenemos:
cdd 2)tan(22)(sec2 2
61
Por la sustitución hecha, reemplazamos el ángulo por x, luego: Según la gráfica siguiente:
a
x)sec(
2
4)tan(
2
x
Si reemplazamos:
cx
Tanx
dxx
x
2
42
2
42
4 21
22
El propósito de esta técnica es que cuando se presenten casos de integrales que
contengan las formas descritas anteriormente, se utilicen adecuada y correctamente. Esto se adquiere con mucha observación de la integral propuesta y algo de perspicacia. Pero es pertinente que se desarrollen ejercicios sobre el caso para adquirir destreza en la misma.
62
Ejercicios:
1. dxx
x
24
Rta: cxx
xLn
22
442
2
2. dx
x
x2
2
1 Rta: cxTanx
)(1
3.
dx
x
x
21
32 Rta: cxSenx
)(312 12
4.
dx
x
x
2
2
25
3 Rta: c
xSenxx
25
25
2
1925
2
1 12
5. dxx
x
1
12
2
4
2 Rta: 3
6.
dxxx
16
22
Rta: cx
xLn
1616
12
63
INTEGRACIÓN POR PARTES:
En el mundo matemático, científico y otros, se presentan casos donde la integral es un
Producto de Funciones, casos donde se aplica la técnica llamada integración por partes.
En muchas ocasiones se ha manifestado que toda regla de derivación da origen a una
regla de integración. La integración por partes esta relacionada con la regla de la
cadena. Sean f(x) y g(x) dos funciones diferenciables, entonces:
)(*)()(*)()(*)( xfdx
dxgxg
dx
dxfxgxf
dx
d Si integramos las dos ecuaciones:
)(*)()(*)()(*)( xf
dx
dxgxg
dx
dxfxgxf
dx
d Tenemos:
dxxfxgdxxgxfxgxf )('*)()('*)()(*)( Reorganizando:
dxxfxgxgxfdxxgxf )(')()(*)()('*)( Llamemos a u = f(x) y v = g(x), si
reemplazamos en la ecuación anterior:
vduvuudv * Fórmula para la regla de la cadena.
El éxito de la técnica esta en la selección de las función u y v, tal que la integral del
segundo miembro de la ecuación se pueda integrar fácilmente. La elección debe ser tal
que u se pueda derivar y v se pueda integrar. Esto se adquiere con la práctica; es decir,
haciendo diversos ejercicios, aquí vamos a relacionar algunos modelos que darán las
pautas para aplicar esta técnica. Ejemplo 1: Desarrollar: dxxxsen )(
Solución: Vemos se presenta un producto, luego se sospecha una integración por partes. Hacemos
el cambio de variable. xu y dxxsendv )( , entonces debemos derivar u e integrar v, veamos: dxdu y )cos(xv Como ya tenemos todas las partes que necesitamos, reemplazamos en la ecuación:
dxxxxdxxxsenvduvuudv )cos())cos(()(*
vduvuudv *
64
cxsenxxdxxxx )()cos()cos())cos((
Finalmente:
cxsenxxdxxxsen )()cos()(
Ejemplo 2:
Resolver: dxxLn )(
Solución: Una integral muy conocida, una vez desarrollada podemos asimilarla.
dxx
duxLnu1
)( Por otro lado: xvdxdv Si aplicamos la fórmula:
cxxxLndxx
xxxLnvduvuudv )(1
)(*
Entonces: cxLnxdxxLn 1)()(
Ejemplo 3:
Desarrollar la integral: dxxex
Solución:
Sea dxdxxu y xx
evdxedv luego:
dxexedxxevduvuudvxxx* Resolviendo:
cxedxxexx
1
Ejemplo 4:
Resolver: 2
6
2 )(csc
dxxx
65
Solución:
Elegimos: dxduxu Por otro lado: )cot()(csc2xvdxxdv
Entonces: dxxxxdxxx )cot()cot()(csc2 Resolviendo la segunda
integral: )()cot()(csc2xsenLnxxdxxx Ahora evaluemos los límites:
2
6
2
6
2 )()cot()(csc
xsenLnxxdxxx Desarrollando:
26
3)(csc
2
6
2Lndxxx
NOTA: No podemos olvidar que elegir u debe ser tal que se pueda derivar y dv tal que se pueda integrar, tengamos esto muy en cuenta. Fenómeno de Recurrencia: Hay situaciones donde se debe aplicar la integración por
partes varias veces. Teniendo en cuenta los principios del método y lo desarrollado
sobre integración, se puede resolver cualquier problema de este tipo. Ejemplo 1:
Desarrollar dxexx2
Solución: Aplicando la resolución por partes: xdxduxu 22
y xxevdxedv
luego:
dxxeexdxxeexdxexxxxxx 22 222
La última integral la resolvemos por el mismo método:
dxduxu y xx
evdxedv Reemplazando de nuevo:
cexedxexedxxexxxxx
Reagrupando:
66
cexeexdxxeexdxexxxxxxx 22 222
cxxecexeexdxexxxxxx 2222 222
El problema exigió aplicar el método dos veces. Ejemplo 2:
Resolver: dxxex )cos(
Solución:
dxedueuxx
y )()cos( xsenvdxxdv reemplazando:
dxexsenxedxxexxx )()cos()cos(
Debemos integrar esta última expresión:
dxedxeuxx y )cos()( xvdxxsendv Reemplazando:
dxexexdxexexdxexsenxxxxx )cos()cos()cos()cos()(
Como esta integral esta precedida de un signo negativo, entonces la integral quedaría:
dxexexxx )cos()cos( . Agrupando toda la integral, obtenemos:
dxexxexsenedxxexxxx )cos()cos()()cos( La
última integral es similar a la primera, luego las podemos agrupar así:
)cos()()cos()cos( xexsenedxexdxxexxxx
cxexsenedxxexxx
)cos()()cos(2
Finalmente:
67
cxxsenedxxexx )cos()(
2
1)cos(
Ejemplo 3:
Demostrar que: dxxsenxxsendxxsen )(3
2)cos()(
3
1)( 23
Solución: Intente hacer el ejercicio con sus compañeros de pequeño grupo y luego socializarlo con el tutor, para determinar si el proceso esta bien o hay errores y de que tipo. Adelante.
68
Ejercicios: Resolver las siguientes integrales usando el método de integración por partes, justificar
porque se utiliza este método.
1. dxxx )cos( Rta: cxxxsen )cos()(
2. dxxLnx )(2 Rta: cxxLnx
33
9
1)(
3
1
3. dxxx )(sec2 Rta: cxLnxx )cos()tan(
4. dyyy
2
0
1 Rta: 15
4348
5. dxx
xLn
)( Rta: cxxLnx 4)(2
6. dxxx 435 Rta: cxxx 2
5445
44
3
2 323
33
7. 2
0
2 )(cos
dxx Rta: 4
69
FRACCIONES PARCIALES: En el curso de Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica, se estudiaron los
principios sobre fracciones parciales, se dio el concepto y algunos ejemplos ilustrativos, en este aparte se va ha a utilizar esta herramienta para desarrollar un tipo particular de integrales. Profundizaremos un poco sobre las fracciones parciales y luego las llevaremos al mundo de las integrales. Por un teorema de álgebra avanzada se afirma que toda fracción racional; es decir, el
cociente de dos polinomios, se puede descomponer en suma de fracciones racionales más simples. Para desarrollar el método de fracciones parciales, se debe tener en
cuenta: Para la fracción )(
)()(
xg
xfxp con g(x) ≠ 0 sea una fracción racional propia; es
decir, f(x) debe tener menor grado que g(x) y por otro lado, que g(x) se pueda descomponer en factores primos. Teóricamente cualquier polinomio con coeficientes
reales se puede escribir como producto de factores lineales reales y / o factores cuadráticos, es posible que obtenerlos no sea tarea fácil. Veamos a continuación algunos tipos de descomposición en fracciones parciales. Descomposición En Factores Lineales Simples: Cuando g(x) se puede descomponer fácilmente; digamos por factorización, para obtener factores lineales
simples de la forma (x � ë1), (x � ë2) . . . Ejemplo 1:
Descomponer en fracciones parciales la expresión: 6
13)(
2
xx
xxp
Solución: El polinomio lo podemos expresar de la siguiente manera:
326
13)(
2
x
B
x
A
xx
xxp
El trabajo consiste en encontrar los valores de A y B. Veamos como se realizaría.
)3)(2(
23
)3)(2(
)2()3(
32
xx
BBxAAx
xx
xBxA
x
B
x
A
Como el denominador es equivalente, entonces se debe igualar los numeradores.
BBxAAxx 2313 . Luego hacemos equivalencia entre términos: Para x: 3 = A + B Para términos independientes: -1 = -3A + 2B
dxx
b
x
adx
XQ
XP
)(
)(
70
Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, que se pueden resolver por los métodos
estudiados en el curso de Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Resolviendo tenemos que: A = 7/5 y B = 8/5, reemplazando en las fracciones propuestas obtenemos:
)3(5
8
)2(5
7
6
13)(
2
xxxx
xxp
Ejemplo 2:
Descomponer en fracciones parciales 23
75)(
2
xx
xxD
Solución: Factorizando el denominador:
12
75
23
752
xx
x
xx
x
Expresamos la última fracción como suma e fracciones parciales.
12
2
12
)2()1(
1212
75
xx
BBxAAx
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x
Haciendo equivalencia de numeradores: Descomposición En Factores Lineales Repetidos: En algunos casos cuando se busca linealizar el denominador aparece un término lineal al cuadrado, entonces se escribe la suma con dos términos lineales, uno con grado 1 y el otro con grado 2.
2112)(
)()(
x
B
x
A
px
bax
xg
xfxp
Veamos unos ejemplos: Ejemplo 3:
Descomponer en fracciones parciales: 21
2)(
x
xxp
Solución:
22 111
2
x
B
x
A
x
x
El desarrollo es similar al caso anterior, sumar fracciones e igualar términos:
71
222 1
1
111
2
x
BxA
x
B
x
A
x
x Desarrollando el numerador.
22 11
1
x
BAAx
x
BxA Igualemos los numeradores:
BAAxx 2 Para la variable x: 1 = A Para término independiente: -2 = A + B Desarrollando, obtenemos que A = 1 y B = -3 Entonces:
22 1
3
1
1
1
2)(
xxx
xxp
Descomposición En Factores Cuadráticos: Cuando se presentan caso donde el denominador presenta términos cuadráticos que no se pueden reducir, se debe proceder como se ilustra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 4:
Reducir a fracciones parciales: 11
342
xx
x
Solución: La expresión la podemos escribir como:
1111
3422
x
cBx
x
A
xx
x Observemos que como el denominador tiene término
cuadrático, el numerador debe tener término lineal, entonces:
1111
11
11 2
22
2
2
2
xx
CCxBxBxAAx
xx
xcBxxA
x
cBx
x
A
Como en los casos anteriores, el denominador es similar, luego solo igualamos el numerador: Para la variable x2: 0 = A + B Para la variable x: 4 = -B + C Para el término independiente: 3 = a � C Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas, existen varios métodos de resolución,
aplique la que desees y debes llegar a : A = 7/3 B = -7/3
72
C = ½ Reemplazamos en la fracción original:
12
13
7
13
7
1111
34222
x
x
xx
cBx
x
A
xx
x Simplificando:
)1(6
143
13
7
1111
34222
x
x
xx
cBx
x
A
xx
x
Como en el caso de los factores lineales, en los cuadráticos, también se pueden
encontrar factores repetidos, en este caso el procedimiento es similar a los casos anteriores, veamos un ejemplo. Ejemplo 5:
Expresar como fracciones lineales: 22
2
23
12156
xx
xx
Solución: El planteamiento es así:
22222
2
)2(2323
12156
x
EDx
x
cBx
x
A
xx
xx
Realice todo el procedimiento como se ha venido haciendo y debe obtener: A = 1, B = -1, C = 3, D = 5, E = 0 Finalmente:
22222222
2
)2(
5
2
3
3
1
)2(2323
12156
x
x
x
x
xx
EDx
x
cBx
x
A
xx
xx
Podemos resumir esta temática, diciendo afirmando que las fracciones parciales, es un
método algebraico que permite rescribir expresiones racionales, como fracciones racionales sencillas, de tal forma que permite hacer integraciones para este tipo de expresiones algebraicas. INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES: Sabiendo como se resuelven las fracciones parciales, ahora apliquémosla para
desarrollar integrales: Ejemplo 1:
Desarrollar: dxxx
x
6
132
73
Solución: Debemos tratar de linealizar el numerador, por medio de la factorización: Del ejemplo 1
de fracciones lineales simples, vemos que esta fracción se puede escribir así:
dx
xxdx
xx
xdx
xx
x
)3(5
8
)2(5
7
23
13
6
132
Aplicando la propiedad de la suma de integrales, podemos hacer:
dx
xdx
xdx
xdx
xdx
xx 3
1
5
8
2
1
5
7
)3(5
8
)2(5
7
)3(5
8
)2(5
7
Desarrollando:
cxLnxLndxx
dxx
35
82
5
7
3
1
5
8
2
1
5
7
Ejemplo 2:
Desarrollar:
21
2
x
x para x ≠ -1
Solución: Debemos aplicar fracciones parciales a la fracción dada, en el ejemplo 3 de la
descomposición de fracciones parciales, obtuvimos que:
22 1
3
1
1
1
2
xxx
x
Luego a partir de esto podemos aplicar la integral:
dx
xxdx
x
x
22 1
3
1
1
1
2 Operando:
dx
xdx
xdx
xx 22 1
3
1
1
1
3
1
1 La primera integral es inmediata, la
segunda se puede resolver por cambio de variable, veamos:
dxxdx
x
2
213
1
3 Definimos u = x � 1 luego du = dx, reemplazando:
cu
duu
12 Agrupando los términos:
74
c
xxLn
uxLndx
xdx
x
1
31
131
1
3
1
12
Finalmente:
cx
xLndxx
x
1
31
)1(
22
Como se puede ver en los ejemplos expuestos, la transformación de la expresión
racional en fracciones más simples, es con el fin de llevar la función a una forma de
integración inmediata. Una vez integrada se hace el cambio de la variable de sustitución a la variable original. Ejemplo 3:
Integrar la función: 32
3422
23
xx
xxx
Solución: Como se trata de una fracción impropia, primero se debe hacer la división, para obtener
una fracción propia y así aplicar el método analizado.
13
352
32
352
32
34222
23
xx
xx
xx
xx
xx
xxx Ahora:
dx
xx
xx
xx
xxx
13
352
32
3422
23
Separando las integrales:
dx
xx
xxdxdx
xx
xx
13
352
13
352
La primera integral es directa, la segunda debemos hacer fracciones parciales, veamos:
1313
35
x
B
x
A
xx
x
Desarrollando, tenemos que A = 3 y B = 2. Favor corroborar este resultado: Entonces:
dxxx
xdxxx
xxx
1
2
3
32
32
3422
23
Aplicando la linealidad:
cxLnxLnxdxx
dxx
xdx
12331
2
3
32 2
Reorganizando:
75
cxxLnxdxxx
xxx
2322
23
1332
342
Ejercicios: En cada caso, resolver la integral aplicando las fracciones parciales.
1. dxx 14
3 Rta: cxLn 14
4
3
2. dxx
x
1
52 Rta: cxLnxLn 1213
3. dxxx
x
6
12 Rta: cxLnxLn 3
5
42
5
1
4.
dx
x218
3 Rta: c
x
864
3
5. dxxx
x
428
952 Rta: cxTanxxLn
1831
31
248
316724
16
5 12
6. dxxx
x
23
3172 Rta: cxLnxLn 1423
3
5
7. dxxx
x 22
3
Rta: cxLnxLnxx 13
12
3
8
2
1 2
76
INTEGRALES DE FUNCIONES TRASCENDENTALES
Todos sabemos que las funciones trascendentales tienen derivada, por lo cual también
tendrán su antiderivada, vamos a estudiar en seguida la integral de las funciones
exponencial y logarítmica. . INTEGRAL DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL: Toda función exponencial tiene una base a > 0 y diferente de uno.
Función: x
ay : Para definir la integral de este tipo de función, podemos partir de la
derivada y proceder a obtener la integral, veamos:
xay Entonces: )(aLna
dx
dy x para a ≠ 1. Para resolver la integral, hacer una
transformación de la siguiente manera: )()( axLnaLnx
eeax
Aplicando la integral:
dxedxaaxLnx )(
Multiplicamos y dividimos por )(
1
aLn tenemos:
dxaLneaLn
axLn )()(
1 )(
Hacemos cambio de variable: dxaLnduaxLnu )()(
ceaLn
eaLn
dueaLn
axLnuu )(
)(
1
)(
1
)(
1 Pero
xaxLnae
)(,
luego hacemos el reemplazo para obtener:
caaLn
dxaxx )(
1
Ejemplo 1:
Desarrollar: dxx2
cedxexx
77
Solución: Según la fórmula obtenida la integración será de la siguiente manera:
cLn
dxxx 2
)2(
12
Ejemplo 2:
Resolver dxx23
Solución: Para facilitar el proceso hagamos un cambio de variable u = 2x luego du = 2dx reemplazando:
uuux
Lndu
dudx 3
)3(
1*
2
13
2
1
2332
Reemplazando la
variable u por 2x obtenemos:
cLn
dxxx
22 3)3(2
13
Ejemplo 3:
Resolver dxx
1
0
34
Solución: Siguiendo el procedimiento anterior podemos hallar dicha integral, solo que aquí
debemos evaluarla.
dxx
1
0
34 Como u = 3x, entonces: uux
Ln
dudx 4
)4(
1*
3
1
344
1
0
3
Reemplacemos la variable:
1
0
33 4)4(3
14
)4(1
*31 xx
LnLn Evaluando:
)4(3
63
)4(3
4
)4(3
44
031
0
3
LnLnLndx
x
78
Función: x
ey : La función exponencial natural tiene como base el número de Euler,
para determinar su integral, realizamos el mismo procedimiento que el caso anterior.
dxedyedx
dyey
xxx Aplicamos la integral a ambos lados:
ceydxedyxx Por consiguiente:
cedxexx
Ejemplo 1:
Hallar la integral de x
e3
Solución: Haciendo cambio de variable u = 3x, luego du = 3dx, reemplazando:
ceduedu
edxeuuux 3
1
3
1
33
Finalmente reemplazamos u por 3x.
cedxexx
33
3
1
Ejemplo 2:
Desarrollar: dxex
13
Solución: Definimos u = 3x + 1, luego du = 3dx, entonces:
ceduedu
edxeuuux
3
1
3
1
313
Reemplazando u por 3x +1
obtenemos:
cedxexx
1313
3
1
79
INTEGRAL DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA:
Al igual que en la función exponencial, las funciones logarítmicas tienen su derivada. Es pertinente recordar las propiedades de este tipo de funciones.
Función: )(xLny : La integral de esta función se puede hacer por partes.
dxxLn )( donde u = Ln(x), luego du = dx / x.
Por otro lado: dv = dx, luego v = x Reemplazando:
cxdxxLndxx
xxxLndxxLn )(1
)()(
Finalmente:
cxxxLndxxLn )()(
Función: )(10 xLogy : Para resolver este tipo de integral, aplicamos la
conversión de cualquier logaritmo en logaritmo natural, lo cual se hace de la siguiente manera:
)10(
)()(10
Ln
xLnxLog Así, podemos desarrollar la integral.
dxxLnLn
dxLn
xLndxxLog )(
)10(
1
)10(
)()(10 La última integral, ya se desarrollo
por partes, luego:
cxxxLnLn
dxxLog )()10(
1)(10
Una forma alternativa para esta integral es:
cexLogxxLogdxxLog 101010 )()(
Intente demostrar la última igualdad, será muy interesante. Si la base del logaritmo es cualquier a > 0 y a ≠ 1, la integral es de la misma manera,
solo cambia la base.
80
Ejemplo 1:
Resolver: dxx
xLog
)(2
Solución: Primero hacemos la transformación a logaritmo natural y luego hacemos una sustitución
para poder integrar, veamos:
dxx
xLn
Lndx
xLn
xLogdx
x
xLog
)(
)2(
1
)2(
)()( 22 para x > 0
Por sustitución: u = Ln(x), du = (1/x)dx Si reemplazamos:
cuLn
uduLn
dxx
xLn
Ln
2
2
1*
)2(
1
)2(
1)(
)2(
1 Reemplazamos u por
Ln(x), para obtener:
cLn
xLndx
x
xLog )2(2
)()( 22
Ejemplo 2:
Desarrollar: dxx
xLogLn4
1
2 )()2(
Solución:
dxx
xLogLndx
x
xLogLn
)()2(
)()2( 24
1
2 Esta integral se desarrolló en el ejemplo
anterior, luego:
2
)4(
2
)1(
2
)4(
2
)(
)2(2
)(*)2(
)()2(
2224
1
24
1
22 LnLnLnxLn
Ln
xLnLndx
x
xLogLn
81
Ejercicios: Resolver las siguientes integrales, desarrollando paso por paso, para justificar la respuesta obtenida.
1. dxex
13
Rta: cex
13
3
1
2. dxx x )2(2
Rta: cLn
x 12
2)2(
1
3. dxeexx
2
22 2 Rta: ceexxx
44
4.
dxx
xLn
21)(
Rta: cxLn 31)(
3
1
5. dxx
xLn
)(2
Rta: cxLn )(3
1 3
6. dxx
xLn
)( Rta: cxLn
3)(3
2
82
INTEGRAL DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA:
Dentro de las funciones trascendentales tenemos las funciones trigonométricas, las cuales también tienen integrales, analizaremos a continuación las integrales de dichas funciones.
Función: )(xseny : La integral de la función sen(x) la desarrollamos por el concepto de antiderivada, pero es pertinente relacionarla en este momento, ya que estamos analizando la integral de las funciones trigonométricas.
cnxn
dxnxsen )cos(1
)(
Demostración:
Tomemos: dxnxsen )( y hacemos una sustitución: u = nx, du = ndx, luego:
duusenuu
duusendxnxsen )(
1)()( La función cuya derivada es sen(u), es el
�cos(u), por consiguiente: cxn
cxn
dxnxsen )cos(1
))cos((1
)(
Función: )cos(xy : La integral de cos(x), también se desarrolló por el concepto de antiderivada.
cnxsenn
dxnx )(1
)cos(
Demostración:
Tomemos: dxnx)cos( y hacemos una sustitución: u = nx, du = ndx, luego:
duunn
duudxnx )cos(
1)cos()cos( La función cuya derivada es cos(u), es el
sen(u), luego: cnxsenn
dxnx )(1
)cos(
Función: )tan(xy : Con los conocimientos sobre identidades trigonométricas y la
integración por cambio de variable, podemos hallar la integral de la tangente, veamos:
cxLndxx )cos()tan(
cnxsenn
dxnx )(1
)cos(
83
Demostración: Descomponemos la tangente en su equivalencia con seno y coseno, así:
dxx
xsendxx
)cos(
)()tan( Sea u = cos(x), luego du = -sen(x)dx, reemplazando:
cuLnu
dudx
x
xsen )cos(
)( Reemplazando el valor de u, obtenemos:
cxLndxx )cos()tan(
Funciones: )cot(xy : )sec(xy )csc(xy : Con los conocimientos adquiridos, se pueden obtener las siguientes integrales.
cxsenLndxx )()cot(
cxxLndxx )tan()sec()sec(
cxxLndxx )cot()csc()csc(
Demostración: Vamos a demostrar la integral de sec(x) y las demás se dejan como ejercicio para que lo
resuelvan en el pequeño grupo colaborativo y luego lo compartan con el docente.
dx
xx
xxxdx
xx
xxxdxx
)tan()sec(
)tan()sec()(sec)
)tan()sec(
)tan()sec(*)sec()sec(
2
Por
sustitución: dxxxxduxxu )(sec)tan()sec()tan()sec( 2 Reemplazando:
cuLnu
dudx
xx
xxx
)tan()sec(
)tan()sec()(sec 2
Como u = sec(x) + tan(x), reemplazamos para obtener finalmente:
cxxLndxx )tan()sec()sec(
Para la csc(x) la demostración es similar.
84
Funciones tipo: )(xseny n : )(cos xy n : Para resolver integrales de este tipo, �echamos mano� de las identidades trigonométricas, las potencias y las técnicas de
integración estudiadas. Algunos ejemplos nos ayudarán a comprender la metodología. Ejemplo 1:
Resolver: dxxsen )(2
Solución:
Por la identidad: 2
)2cos(1)(2 x
xsen
Reemplazamos
dxxdx
xdxxsen )2cos(1
21
2)2cos(1
)(2
Por la propiedad de la linealidad:
cxsenxdxxdx
)2(
2
1
2
1
2
1)2cos(
2
1
2
1 Finalmente:
cxsenxdxxsen )2(4
1
2
1)(2
Ejemplo 2:
Resolver la siguiente integral: dxx)(cos 4
Solución:
Podemos expresar )2(cos)2cos(214
1
2
)2cos(1)(cos)(cos 2
2224
xxx
xx
Aplicándole la integral:
dxxxdxx
)2(cos)2cos(21
4
1)(cos 24
=
dxxdxxdx )2(cos4
1)2cos(
2
1
4
1 2 Desarrollando obtenemos:
dxxxsenx )2(cos4
1)2(
4
1
4
1 2 Para resolver la última integral, utilizamos la
85
identidad siguiente: 2
)4cos(1)2(cos2 x
x
luego:
dxxdxx
dxx
)4cos(1
8
1
2
)4cos(1
4
1)2(cos
4
1 2 =
cxsenxdxxdx )4(32
1
8
1)4cos(
8
1
8
1 Reagrupando los resultados:
cxsenxxsenx )4(32
1
8
1)2(
4
1
4
1 Operando términos semejante:
xxx8
3
8
1
4
1 Finalmente:
cxsenxsenxdxx )4(32
1)2(
4
1
8
3)(cos 4
Funciones tipo: )(cos)( xxsenynm : Siendo m y n par. Cuando m y n son pares
positivos, usamos las identidades de ángulo mitad, para reducir el grado del integrado. Recordemos:
2
)2cos(1)(2 x
xsen
y 2
)2cos(1)(cos 2 x
x
Ejemplo 1:
Resolver: dxxxsen )(cos)( 22
Solución: Aplicando la identidad que se referencia
dxxx
dxxxsen
2
)2cos(1*
2
)2cos(1)(cos)( 22
Desarrollando:
dxxdxdxxx )2(cos4
1
4
1)2cos(1)2cos(1
4
1 2 Por la identidad
referenciada anteriormente: 2
)4cos(1)2(cos2 x
x
Reemplazamos:
86
dxxxdxx
xdxxdx
)4cos(1
8
1
4
1
2
)4cos(1
4
1
4
1)2(cos
4
1
4
1 2
Resolviendo la última integral, obtenemos:
cxsenxxdxxdxxdxxx )4(32
1
8
1
4
1)4cos(
8
1
8
1
4
1)4cos(1
8
1
4
1
Simplificando términos semejantes: xxx8
1
8
1
4
1 Finalmente:
cxsenxdxxxsen )4(32
1
8
1)(cos)( 22
Ejemplo 2: Utilizando los argumentos que se han trabajado, mostrar que:
cxsenxsenxdxxxsen )2(48
1)4(
64
1
16
1)(cos)( 342
Trabájelo con el pequeño grupo colaborativo y luego compártalo con el docente para
identificar posibles fallas.
Sugerencia: ...2
)2cos(1)(cos
24
xx Lo demás es como se ha venido trabajando.
Funciones tipo: )(cos)( xxsenynm
: Siendo m ó n par. Para el caso donde m o n es un entero par y el otro cualquier valor, se utiliza la factorización con la
identidad fundamental. Ejemplo 1: Desarrollar la integral dada:
dxxsenx )()(cos 34
Solución:
Descomponemos el integrado así: dxxsenx )(cos1)(cos 24
87
Por cambio de variable: u = cos(x) luego du = -sen(x)dx, entonces:
duuuduuudxxsenx 642424 1)(cos1)(cos
Operando la integral:
cuuduuu 7564
71
51
Reemplazando la variable:
cxxdxxsenx )(cos5
1)(cos
7
1)()(cos 5734
Ejemplo 2:
Mostrar que cxdxxsenx )(cos5
1)()(cos 54
Solución: Por cambio de variable u = cos(x), luego du = -sen(x)dx, entonces:
duuduudxxsenx444 )()()(cos
Operando la integral, tenemos:
cuduu 54
5
1 Reemplazando la equivalencia de u por cos(x), tenemos:
cxdxxsenx )(cos5
1)()(cos 54
Así queda demostrada esta integral.
Funciones tipo: dxnxmxsen )cos()( , dxnxsenmxsen )()( y dxnxsenmxsen )()( Para resolver este tipo de integrales, muy utilizadas en las áreas de ingeniería eléctrica,
química, de alimentos y otras, se utilizan identidades trigonométricas que permiten
resolver integrales de este tipo. Las identidades que resuelven el problema son:
1. xnmsenxnmsennxmxsen )()(2
1)cos()(
2. xnmxnmnxsenmxsen )cos()cos(2
1)()(
3. xnmxnmnxmx )cos()cos(2
1)cos()cos(
88
Algunos ejemplos modelos nos ilustrarán el proceso. Ejemplo 1:
Resolver: dxxxsen )5cos()4(
Solución: Utilizando la primera identidad tenemos:
dxxsenxsendxxxsen ))54()54((2
1)5cos()4(
dxxsenxsendxxsenxsen )()9(2
1))54()54((
2
1
Desarrollando la integral, tenemos:
dxxsendxxsendxxsenxsen )()9(2
1)()9(
2
1
dxxsendxxsendxxsendxxsen )(2
1)9(
2
1)()9(
2
1
cxxdxxsendxxsen )cos(2
1)9cos(
18
1)(
2
1)9(
2
1
Por consiguiente:
cxxdxxxsen )9cos(18
1)cos(
2
1)5cos()4(
Ejemplo 2: Resolver: dxxx )4cos()cos(
Solución: Aplicando la identidad 3 de las vistas atrás podemos resolver dicha integral.
dxxxdxxx )41cos()41cos(2
1)4cos()cos(
89
dxxxdxxx )3cos()5cos(2
1)41cos()41cos(
2
1
dxxdxxdxxx )3cos(2
1)5cos(
2
1)3cos()5cos(
2
1
cxsenxsendxxdxx )3(6
1)5(
10
1)3cos(
2
1)5cos(
2
1
Finalmente:
cxsenxsendxxx )3(6
1)5(
10
1)4cos()cos(
Ejercicios: Desarrollar los siguientes ejercicios, identificando con qué principio se esta trabajando,
para su solución.
1. dxxxsen )cos()(4 Rta: cxsen )(
5
1 5
2. dxxsenx )()(cos 22 Rta: cxsenx )4(
32
1
8
1
3. dxxxsen )4(cos)4( 25 Rta: cxxx )4(cos
28
1)4(cos
10
1)4(cos
12
1 753
4. dxxx
sen
2
cos2
24 Rta: cxsenxsenx )(
24
1)2(
32
1
16
1 3
5. dxxx )cos()2cos( Rta: cxsenxxxsen )()2cos(3
1)cos()2(
3
2
6. dxxsenLnx )()cos( Rta: cxsenxsenLnxsen )()()(
90
INTEGRAL DE LA FUNCIÓN HIPERBÓLICA: En cursos anteriores se ha analizado las funciones hiperbólicas y sus derivadas, en este
aparte se estudiarán las integrales de dichas funciones.
Función senh(x): Recordemos que el seno hiperbólico es de la forma: xxee
2
1
y su derivada es el cosh(x), lo que esta plenamente demostrado Entonces para obtener la integral de cosh(x), utilizamos el principio de la primitiva.
cxdxxsenh )cosh()(
Demostración: Por el principio de la antiderivada, sabemos que la función cuya derivada es el senh(x)
corresponde al cosh(x), así se justifica la integral del senh(x).
Función cosh(x): El coseno hiperbólico es de la forma xxee
2
1 y su derivada es
senh(x), luego:
cxsenhdxx )()cosh(
Demostración: Se deja como ejercicio para que el estudiante con los principios aprendidos lo demuestre y por supuesto lo comparta con sus compañeros y su tutor.
Función tanh(x): Por definición sabemos que: )cosh(
)()tanh(
x
xsenhx .
cxLndxx )cosh()tanh(
Demostración:
Apliquémosle la identidad a la integral, entonces: dxx
xsenhdxx
)cosh(
)()tanh(
hacemos cambio de variable: u = cosh(x) y du = senh(x)dx, reemplazando:
cuLnu
dudx
x
xsenhdxx )cosh(
)()tanh( Reemplazando el valor de u
tenemos:
91
cxLndxx )cosh()tanh(
Función coth(x): De la misma manera que la tangente hiperbólica, la cotangente
hiperbólica tiene su equivalencia: )(
)cosh()coth(
xsenh
xx donde:
cxsenhLndxx )()coth(
Demostración: Se deja como ejercicio para hacer en el pequeño grupo colaborativo. Función sech(x) y csch(x): Al igual que las funciones hiperbólicas anteriores, estas
últimas funciones, también tiene su integral. La demostración se recomienda trabajarla
con el tutor, para afianzar los conocimientos sobre este tipo de funciones.
cxsenhTandxxh )()(sec 1
cx
Lndxxh )2
tanh()(csc
Ejemplo 1:
Resolver: dxx)6cosh(
Solución: Hacemos cambio de variable u = 6x, du = 6dx, entonces reemplazamos:
cusenhduudu
udxx )(6
1)cosh(
6
1
6)cosh()6cosh(
Como u = 6x, reemplazamos a u por 6x, para dejar la integral en función de x y no de u.
cxsenhdxx )6(6
1)6cosh(
Ejemplo 2:
Desarrollar: dxx)3tanh(
92
Solución: Como en el caso anterior, hacemos cambio de variable u = 3x, du = 3dx, entonces:
cuLnduudu
udxx )cosh(3
1)tanh(
3
1
3)tanh()3tanh(
reemplazando el valor de u por 3x, obtenemos:
cxLndxx )3cosh(3
1)3tanh(
Ejemplo 3:
Resolver: dxxsenh )(2
Solución: Para resolver esta integral, primero debemos aplicar la identidad que dice:
2
1)2cosh()(2
xxsenh Luego:
dxx
dxxsenh
2
1)2cosh()(2
Desarrollando tenemos:
dxdxxdxxdx
x
2
1)2cosh(
2
11)2cosh(
2
1
2
1)2cosh(
Operando tenemos:
cxxsenh 2
1)2(
2
1*
2
1 Resumiendo: cxxsenh
2
1)2(
4
1
Finalmente:
cxxsenhdxxsenh 2
1)2(
4
1)(2
93
Ejercicios:
1. dxx
7tanh Rta: ceeLn
xx
777
2. dtt
tth
tanhsec Rta: cth sec2
3. dxxsenh )21( Rta: cx )21cosh(2
1
4. dxxsenh
x )(
)cosh( Rta: cxsenhLn )(
5. dxxx )5cosh( 2 Rta: cxsenh )5(2
1 2
6. dxxsensenhx ))(()cos( Rta: cxsen ))(cosh(
7. dxex
xsenh
1
0
)()cosh( Rta: 1)1(
senh
e
94
U N I D A D T R E S
A P L I C A C I O N E S D E L A S
I N T E G R A C I Ó N
95
APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES
Analizados y aprendidos los principios sobre integración; además, estudiadas las diferentes técnicas
de integración, estamos en capacidad de realizara
diversas aplicaciones que tiene esta maravillosa área de
las matemáticas. Las integrales se pueden aplicar y
tiene aplicaciones en Ingeniería, Física, Estadística,
Economía, Administración, Geometría y otras. Como
ejercicio de ilustración vamos a abordar diversos contextos que permitan comprender la amplitud que tiene las integrales como herramienta matemática para resolver problemas
de diversa índole.
ANÁLISIS DE GRAFICAS
ÁREAS DE REGIONES PLANAS: Dentro de las áreas de regiones planas, tenemos dos casos, el área bajo la curva y el área
bajo curvas. Analicemos estos casos: Área Bajo Una Curva: Cuando tenemos una línea recta de la forma como se ilustra en
la figura, el área se puede calcular por una simple fórmula geométrica.
yabhbA )(2
1*
2
1
La situación es relativamente fácil de manejar, la situación
dificulta cuando la línea no es recta, sino un curva, para
dicho caso el procedimiento es más largo y cuidadoso. Sea y = f(x) una función definida en el
intervalo I = [a, b] y continua en el intervalo abierto I; además f(x) ≥ 0, Consideremos la
región R acotada por la curva y = f(x), las
rectas x = a y x = b, la idea es hallar el área de
la región R. Primero dividamos el intervalo I en n
subintervalos iguales n
abx
Los puntos de la partición:
96
xo = a, x1 = xo + ∆x, x2 = x1 + ∆x = xo + 2∆x, � , xi = xi-1 + ∆x = xo + i∆x para i = 1,
2, 3, � , n. Cada subintervalo será la base de un rectángulo cuya altura será f(ci), para ci å [xi-1, xi]. luego se obtienen Ai = f(ci) ∆x, al sumar todas las áreas se obtiene una
aproximación al área de la región R así:
n
i
i xcfA1
)(
Si aumentamos el número de subintervalos; es decir, que n se haga suficientemente
grande, el área de R será cada vez más exacta.
b
a
n
i
in
dxxfxcfLimA )()(1
Por consiguiente:
Área bajo la curva: Ejemplo 1: Hallar el área bajo la curva para la función f(x) = 2x, entre x = 0 y x = 4. Solución: Aplicando la fórmula definida podemos hallar el área pedida
16042 224
0
24
0
xxdxA
El área es de 16 unidades cuadradas. Si resolvemos el problema por el método geométrico; es decir,
aplicando la fórmula para un
triángulo, obtenemos el mismo
resultado.
16842
1
2
1 xbxhA
FUNCIÓN y = 2x
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5
Variable x
Va
raib
le y
b
a
dxxfA )(
97
Ejemplo 2: Hallar el área acotada por la curva g(x) = x
3 en el intervalo [1, 3] Solución:
Por la fórmula tenemos:
3
1
43
1
3
4
1xdxxA
3814
133
4
1
4
1 143
1
4
xA
2119
4
78381
4
1
4
13
1
4
xA Unidades cuadradas
Ejemplo 3: Calcular el área bajo la curva
23)( xxf en el intervalo [0, 1] Solución:
dxxA )3(1
0
2
1
0
3
3
13
xxA
oA *
3
10
3
13
3
8
3
13 A Unidades cuadradas.
FUNCIÓN y = x3
0
10
20
30
0 1 2 3 4
Variable x
f(x
)
FUNCIÓN Y = 3 - x2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Variable x
Va
ria
ble
y
98
Área Entre Curvas:
Para desarrollar esta temática, partimos de dos funciones f(x) y g(x), asumiendo que f(x)
≥ g(x) para todo x en el intervalo [a, b], la idea es hallar el área entre las curvas f(x) y
g(x) sobre el intervalo dado. El método se hace utilizando rectángulos que aproximen el área de la región descrita.
Dividimos el intervalo en n
subintervalos n
abx
Los puntos
de la partición serán: xiaxi ,
para i = 1, 2, 3, � Cada subintervalo [xi-1, xi]. Forma la base de un rectángulo cuya altura será: f(ci)-g(ci) para ci � [xi-1, xi]. El área del rectángulo i-ésimo será: Ai = hi * ∆x Reemplazando: Ai = [f(ci)-g(ci)] * ∆x El área total será la suma de las áreas
de los n rectángulos, luego:
xcgcfLimAn
i
iin
*)()(
1
DEFINICIÓN: Sean f(x) y g(x) funciones continuas en el intervalo [a, b], luego el área de la región
acotada por las curvas f(x) y g(x) desde a hasta b esta dado por: Para hallar el área entre dos curvas se debe:
1. Hacer La gráfica explicativa, para identificar f(x) y g(x) y saber cual es la
función superior e inferior 2. Identificar los límites de integración 3. Establecer la fórmula de integración 4. Desarrollar la integración y valorar para hallar el área.
Ejemplo 1:
dxxgxfA
b
a
)()(
99
Hallar el área entre las curvas f(x) = 4 � x y g(x) = x2 � 16. Solución: Hallamos los límites, que consiste en buscar
en donde x coinciden:
4520164 22 xxxxxx
Luego los límites son: x = -5 y x = 4 Vemos que la función f(x) > g(x), entonces:
dxxxA
4
5
2 164
4
5
324
5
2
3
1
2
12020
xxxdxxxA Evaluando tenemos:
6
675
6
425
3
125)5(
3
1)5(
2
1)5(20)4(
3
1)4(
2
1)4(20 3232
A
El área entre las curvas es de 675/6 unidades cuadradas. Ejemplo 2: Determinar el área comprendida entre las curvas f(x) = 2 � x2 y g(x) = x2, en el intervalo [0, 2]. Solución: Como se conocen los límites, no
hay necesidad de calcularlos, como se pudiera pensar, luego lo que debemos hacer es utilizar la fórmula para obtener el área, solo
que se debe establecer cual será la
función menor y cual la función
mayor. El problema lo debemos resolver en dos partes: La primera será el
intervalo de [0, 1], donde la función mayor es f(x) = 2 � x2 y la menor g(x) = x2. La segunda parte será el intervalo
[1, 2], donde la función mayor es g(x) = x2 y la menor 2 � x2.
100
Para la primera parte:
dxxgxfA
1
0
1 )]()([ Reemplazando:
1
0
1
0
21
0
222 222 dxxdxdxxxA
Integrando:
3
4
3
220
3
21
3
2)0(2)1(2
3
22 33
1
0
31
01
xxA
Ahora hallamos la segunda parte.
dxxxdxxfxgA
2
1
222
1
2 2)]()([ Operando:
dxdxxdxxdxxxA
2
1
2
1
22
1
22
1
222 22)22(2 Integrando:
122123
22
3
222 332
1
2
1
32
1
2
1
22
xxdxdxxA Desarrollando:
3
82
3
1427*
3
212212
3
2 332
A
Finalmente sumamos las dos áreas para hallar el área total:
43
12
3
8
3
421 AA
El área entre las curvas es de 4 unidades cuadradas. Ejemplo 3: Determinar que el área entre las curvas cuyas funciones son: 2)( 2 xxf y
xxg )( en el intervalo [-2, 2] es 40 / 3.
101
Solución:
dxxxA )(222
2
dxxxA )222
2
Integrando:
2
2
23 22
1
3
1
xxxA Evaluando:
42
3
842
3
8)2(*2)2(
2
1)2(
3
12*22
2
12
3
1 2323A
3
40
3
14
3
26A
Así el área entre las curvas son efectivamente 40 / 3 unidades cuadradas. Ejercicios: De los ejercicios propuestos, hallar el área entre las curvas propuestas
1. 2
2)(
xxf y 3)( xg Rta: 18 unidades cuadradas
2. 44 2yx y 14
yx Rta: 15
104 unidades cuadradas
3. )(cos)( 2xxf y 1)( xg Rta:
2
unidades cuadradas
4. 1)( 2xxh y
27)( xxj Rta: 3
64 unidades cuadradas
5. La intersección entre xexp )( y 21)( xxq Rta: Trabajarla con el Tutor.
102
AREA DE SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
B
A
dsxfa )(2
Sabemos que toda curva representa una función, que se puede ilustrar en el plano cartesiano. Si giramos la curva alrededor de uno de sus ejes, se genera una Superficie de Revolución, el objetivo es determinar el área de la superficie generada. En la gráfica el giro se esta realizando
alrededor del eje x. y = f(x) denota una curva suave, con bxa . Subdividimos el intervalo a = xo < x1 < x2 < . . . < xn = b
Así la curva se divide en n partes.
Sea ∆si la longitud de i-ésimo pedazo de la
superficie y yi la ordenada, al girar se observa la banda de color amarillo que se forma. El área se puede aproximar por la de
un cono truncado; es decir, ii sy 2
Al sumar las áreas de todas las bandas y tomando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero, obtenemos lo que
llamamos el área de la superficie de revolución.
n
i
iip
syLimA1
02 Aplicando los principios de sumatorias y límites:
b
a
dsxfA )(2 Como ds es el diferencial de longitud y equivale a:
dxxf2)('1 , reemplazando, obtenemos finalmente la ecuación del área de una
superficie de revolución. Área generada de la curva f(x) alrededor del eje x: Para calcular áreas de de superficies de revolución, se puede utilizar las integrales
ordinarias, pero en muchas ocasiones se requiere un método de aproximación conocido
como los métodos numéricos.
dxxfxfA
b
a
2)('1)(2
103
Ejemplo 1: Hallar el área de la superficie generada al rotar sobre el eje x la función y = x
2 en el intervalo [0, 1] Solución: Como y = x2 entonces. y� = 2x Ahora aplicamos la ecuación para obtener
el área. 2
xy Cuando gira alrededor de x.
1
0
22 21*2 dxxxA
Esta integral no se puede resolver por los métodos tradicionales de integración, por lo
cual se recurre a los métodos numéricos, para sí obtener el valor aproximado de:
3,8097. Ejemplo 2:
Dada la curva xy la cual gira alrededor del eje x, cual será el área de la superficie
de revolución generada, para 20 x Solución:
Dado que x
xfxxf2
1)(')(
Ahora: x
xf4
1)(' 2
Luego aplicamos la
formula:
dxx
xA
4
112
2
0
1
0
22 412 dxxxA
104
dxxdx
x
xxdx
x
xxA
2
0
2
0
2
0
144
142
4
142
2
32
1
2
1
4
1uduuA Como hicimos cambio de variable, volvemos a cambiar
la variable original. Entonces:
3825,422
7281729
219
214
233
2
0
3
xA
En muchos casos el giro de la curva se hace alrededor del eje y, luego en estos casos la ecuación cambio en algunos aspectos. Si x = f(y), siendo f(y) una curva suave y además mayor o igual a cero, el área de la
superficie generada al girar la curva f(y) alrededor del eje y es de la forma: Área generada de la curva f(y) alrededor del eje y: Ejemplo 3: Calcular el área de la superficie generada al girar alrededor del eje y, de la curva
3
3
1yx en 10 y
Solución:
Como 23 '3
1yxyx por otro lado: 422 '' yxyx Ahora aplicamos la
fórmula:
dyyydyyyA
1
0
431
0
43 13
21
3
12 Por cambio de variable:
dxyduyu34 41 Luego: duu
duudyyy 2
12
11
0
43
6
1
43
21
3
2
Integrando:
23
3
2
6
1u Cambiando de nuevo la variable, tenemos:
dyyfyfA
b
a
2)('1)(2
105
189
19
11
0
34
yA Por consiguiente: 122
9
A
Ejercicios: Calcular el área de la superficie de revolución generada al girar alrededor del eje
establecido, de las funciones propuestas.
1. 24
8
1
4
1)(
xxxf Para 21 x Eje Y Rta:
20
253
2. 23
223
1)( xxg Para 20 x Eje Y Rta: 12
3. 3)( xxh Para 10 x Eje X Rta: 11010
27
4. La parábola pyx 42 En los puntos (0, 0) y
(2p, p) Eje Y Rta: 1223
8 2p
5. 22)( xrxm Para rxr Eje X Rta: 24 r
6. 3
3
1)( xxq Para 71 x Eje X Rta: 228
106
LONGITUD DE UNA CURVA 22 )()( yxPQ
Cuando queremos medir la longitud de una línea recta, solo colocamos una regla o
metro y hacemos la medición. La situación cambia cuando la línea que se desea medir
es curva, por ejemplo medir la longitud de la cuerda de luz que va de un poste a otro.
Se desea calcular la longitud de la curva y = f(x) entre [a, b], donde la función es continua. Haciendo la partición
de manera usual, y uniendo los puntos de los segmentos de tal forma que se forme una trayectoria poligonal que aproxime la curva.
Longitud 22 )()( yxPQ
Para calcular la longitud del segmento total, se debe hacer la sumatoria de la partición,
es decir:
n
i
ii yxL1
22 La aproximación a la longitud de la curva
mejora, si la partición se hace más fina; o sea, la sumatoria tiene límite calculable,
cuando la norma de la partición tiende a cero. DEFINICIÓN: Una función f(x) cuya primera derivada es continua, se denomina SUAVE y su gráfica
es una curva suave. Para una función f(x) suave, por el teorema del valor medio, existe un punto )(, kk cfc
de la curva PQ
donde la tangente es paralela a dicho segmento.
Podemos inferir que: k
k
x
yxf
)('
Luego:
kk xxfy )('
Si reemplazamos en la fórmula que
tenemos para la longitud L, obtenemos:
107
n
k
kkk xcfxL1
22 )('
Reorganizando el radical:
k
n
k
k xcfL 1
2)('1 Suma de Riemman.
DEFINICIÓN: Sea f(x) una función suave en [a, b], la longitud de la curva y = f(x) desde a hasta b equivale a: Ejemplo 1: Hallar la longitud de la curva y = x2 en el intervalo [-1, 1]. Solución: La ecuación para hallar la longitud de la curva, muestra que se debe hallar la derivada de la función y luego elevarla al cuadrado, realicemos esto: f(x) = x2 luego: f�(x) = 2x y (f�(x))
2 = (2x)2, con estos argumentos podemos aplicar la ecuación para hallar la longitud. De la curva.
dxxdxxfL
b
a
2
1
22 21)('1 Para resolver esta integral
podemos aplicar la fórmula siguiente:
cxaxLna
xax
dxxa 22
22222
22 Reemplazando:
2
1
222
1
2 21221
212
221
xxLnx
xdxxL
Simplificando y evaluando:
dxxfL
b
a
2)('1
108
2
1
222
1
22 212
121212
2
121
2
2
xLnxxxxLnx
xL
22 2*112
12*111161
2
11612 LnLnL Desarrollando:
094.112
)5(5
2
)17(172
LnLnL
Ejemplo 2: Hallar la longitud de la curva 3)( xxf en el intervalo [1, 4]. Solución: Como en el caso anterior, veamos:
213
2
3)(')( Xxfxxf Ahora aplicamos la fórmula de longitud.
dxxdxxdxxfL
b
a
4
1
4
1
2
212
4
91
2
31)('1
Hacemos cambio de variable:
dxduxu4
9
4
91 Despejamos dx = (4/9) du, luego reemplazamos:
2
34
1 32
94
94
49
1 uduudxxL
Como xu4
91 , lo sustituimos para que la solución quede en función de x, como se
propone originalmente.
4
1
23
23
4
1 49
1278
32
94
49
1
xudxxL
Evaluando:
23
234
1
23
1*49
1278
4*49
1278
49
1278
xL
109
2
3
232
32
3
4
13
27
810
27
81*
4
91
27
84*
4
91
27
8
L
634.77360.13697.94
13
27
810
27
8 23
23
L
LONGITUD DE UN ARCO EN FORMA PARAMETRICA )(tfx
En este aparte se analizará la longitud de curvas suaves, donde las funciones están
dadas en forma paramétrica. Las funciones paramétricas, definidas en x y y dependen de un parámetro t, según:
)(tfx
)(tfy
Para bta Al igual que en el caso de la longitud de curvas suaves, la idea es aproximar la curva por medio de un segmento formado por una trayectoria polinomial.
is Corresponde al segmento de
longitud de la curva.
iw Es la proyección de la
longitud de la curva en un triángulo rectángulo, del cual es
la hipotenusa. La longitud de
iw se obtiene de la siguiente
manera:
22iii yxw
Debemos definir ix y iy , los
cuales son equivalentes a:
)()( 1 iii tftfx y )()( 1 iii tgtgy Por el teorema del valor
medio, sabemos que existen los puntos ci y ki que pertenecen al intervalo ( ti-1, ti) tal que:
110
iiii tcftftf )(')()( 1 y iiii tkgtgtg )(')()( 1 Luego:
22 )(')(' iiiii tkgtcfw La longitud total de la trayectoria
polinomial será:
i
n
i
ii
n
i
i tkgcfw 1
22
1
)(')(' Si observamos bien, deducimos que
corresponde la suma de Riemman. Por consiguiente, la longitud del arco establecido, será el límite de la ecuación anterior,
cuando la norma de la partición tiende a cero, entonces: Dicho de otra manera: Así se puede calcular la longitud de una curva con ecuaciones paramétricas. Ejemplo 1: Encontrar el perímetro del círculo 1622 yx , para 20 t . La forma paramétrica de la ecuación es: y = 4sen (t) y x = 4cos (t) Solución: Como se sabe como se comporta x e y respecto a t, derivamos las dos variables respecto al parámetro.
)(4)cos(4 tsendt
dxtx y )cos(4)(4 t
dx
dytseny
Por la fórmula de longitud:
2
0
2222
)cos(4)(4 dtttsendtdt
dy
dt
dxL
b
a
dttgtfL
b
a
22 )(')('
dtdt
dy
dt
dxL
b
a
22
111
2
0
2
0
2222 )(cos)((16)cos(4)(4 dtttsendtttsenL
dtttsendtttsenL
2
0
222
0
22 )(cos)(4)(cos)(16
8)02(444)(cos)(42
0
2
0
2
0
22 tdtdtttsenL
El perímetro del círculo propuesto tiene como longitud 8ð. Ejemplo 2:
Calcular la longitud de la curva, cuya ecuación parametrica esta dada por: 3
3
1tx y
2
2
1ty para 10 t
Solución: Primero calculamos las derivadas de las funciones x e y.
23
3
1t
dt
dxtx y t
dt
dyty
2
2
1, ahora aplicamos la ecuación para hallar
la longitud.
dtttdtdt
dy
dt
dxL
b
a
1
0
22222
dtttdtttdtttL
1
0
21
0
241
0
222 1)
Por cambio de variable: tdtdutu 212 despejamos 2
dutdt Luego:
23
21
1
0
2
3
2*
2
1
2
1
21 uduu
duudtttL
No utilizamos los límites, ya que estamos trabajando con la variable u, cuando
sustituyamos de nuevo u por x sí hacemos la evaluación de los límites. Reemplazando obtenemos:
112
1223
118
3
11
6
2
3
2*
2
11
0
3223
tuL
La longitud de la curva paramétrica es de 12231
Ejercicios: Solucionar los siguientes ejercicios. 1. Por integración hallar la longitud de la curva 32)( xxf en el intervalo [1, 3]
Rta: 52
2. Hallar la longitud de la curva 33 24)( xxg Entre 81 x Rta: 9
3. Cual será la longitud de la curva 22)( xxxh en el intervalo 20 x
Rta: dxxx
2
0
2 584 Por integración numérica se obtiene: 2,9578
4. Cual será la longitud de la curva )(2
1)( 2
xLnxxp en el intervalo [2, 4]
Rta: )2(4
16 Ln 6,1732
5. Los hilos de un tendido eléctrico suspendidos entre dos torres tiene la forma de una
catenaria, cuya ecuación es:
20cosh20)(
xxf , x e y se miden en metros,
Cual será la longitud de la cuerda que descansa
entre los dos postes.
2)cosh(
xxee
x
Rta: metrossenhsenh 47)1()1(20 6. Hallar la longitud de la curva, cuya ecuación paramétrica esta dada por: )(4 tsenx
y 5)cos(4 ty , en el intervalo [0, ð] Rta: 4 7. Calcular la longitud de la hipocicloide de cuatro vértices, que tiene como ecuaciones
paramétricas: )(3 tasenx y )(cos3 tay donde 20 t Rta: 6a
113
VOLUMEN DE SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
b
a
dxxAV )(
Haciendo un seguimiento a las secciones anteriores, vemos que por medio de integrales podemos hallar áreas bajo la curva, longitud de curvas y área de superficies de una
curva al rotar. Ahora nos preguntaremos ¿Que ocurre con el volumen de figuras
engendradas al girar una curva? La respuesta esta dada también por medio de integrales. Para hallar el volumen de un sólido de revolución, hay varias técnicas, las cuales
analizaremos en seguida, solo es pertinente resaltar que sea el camino que se tome, las demostraciones siguen la línea de las sumas de Riemman. METODO DE ARANDELAS: Imaginémonos un tubo macizo, que
al hacerle una rebanada por el centro, se nos forma un tubo hueco, al particionarlo obtenemos arandelas. Toda arandela tiene un área y un
volumen, situación que vamos a
analizar.
V = Volumen de la arandela A = Área de la base h = Grosor
hAV * Pero:
22 rRA Luego:
hrRV *22
Utilizando un procedimiento similar al caso de las rebanadas o discos, podemos obtener el volumen del sólido formado por las arandelas. Podemos ver que R y r son funciones de x. Ejemplo 1: Dadas las curvas 2)( xxf y xxg 2)( , ubicadas en el primer cuadrante. Hallar el
volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y acotado por las curvas dadas.
dxxrxRV
b
a
22 )()(
114
Solución:
Como las funciones giran alrededor del eje Y, se debe expresar las funciones así: x = f(y), como vemos en la gráfica. Con estoa argumentos podemos hallar el volumen.
Reemplazando:
Integrando:
3
8
3
16864
1216
2122
4
0
34
0
2 yyV
El volumen del sólido generado es de 3
8 unidades cúbicas.
NOTA: Si observamos detenidamente, para este tipo de problemas, lo esencial es identificar las funciones R(x) y r(x); además, sobre cual eje gira. Si es alrededor del eje
x se expresa las funciones de la forma R(x) y r(x), pero si es alrededor del eje y se expresa como R(y) y r(y). Importante hacer la gráfica explicita de la situación. Ejemplo 2: Hallar el volumen del sólido generado al rotar sobre el eje x las curvas dadas por:
3 xy y 1)( 2 xxg Solución: Primero hallemos los límites de integración, esto ocurre cuando: 13 2
xx , si despejamos x obtenemos: x = -2 y x = 1. (Por favor corroborar estos límites) Entonces: 3)( xxR y 1)( 2 xxr
dxxxV
1
2
222 13 Desarrollando:
dyyryRV
b
a
22 )()(
dyyydydyy
yV
4
0
24
0
4
0
22
41
2
115
1
2
421
2
242 )68(1296 dxxxxdxxxxxV
5
117
5
1
3
138
1
2
532
xxxxV
El volumen del sólido generado es de 5
117 unidades cúbicas.
Ejemplo 3: Hallar el volumen del sólido generado al rotar la curva 422 yx alrededor del
eje x = -1. Solución:
Observando las figuras, podemos ver que la curva gira alrededor del eje x = -1. lo que origina un cilíndrico hueco de radio 1, ahora:
241)( yyR y 1)( yr , luego:
2
2
22
2 141 dyyV Luego:
2
2
22 14421 dyyyV
2
0
222
2
22 4422442 dyyydyyyV Por simetría
2
0
2
0
22
0
22
0
22 28444422 dyydydyydyyyV Integrando:
116
2
0
32
0
2
0
12
22
0
2
0
22
0
2
3
28)
2(
24
242844 yy
ySen
yy
ydyydydyyV
Evaluando:
2
0
32
0
2
0
12
22
0
2
0
22
0
2
3
28)
2(
24
242844 yy
ySen
yy
ydyydydyyV
)8(3
2160
224
3
28)
2(
24
24
2
0
32
0
2
0
12
2
yy
ySen
yy
yV
3
16164)8(
3
2160
224 2
V Operando:
3
324 2 V Unidades Cúbicas.
117
Ejercicios: 1. Sea la región R la cual esta delimitada por las curvas y = f(x) y y = g(x), donde f(x) >
g(x), si R se hace girar alrededor del eje x entre los valores a y b. Cual sería el volumen
del sólido generado. 2. Cómo se hallaría el volumen del sólido generado, cuando se hace girar la curva
3
1
xy alrededor del eje y = -1, entre x = 1 y x = 3 Rta: dx
xxV
3
136
21
3. Calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x las curvas: 1y
y )cos(xy entre -ð/2 y ð/2 Rta: 22
4. Hallar el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y las curvas 1x y
)tan(yx en: 4
0
y Rta: 44
1 2
5. Cual será el volumen del sólido generado por las curvas xy y 1y , cuando
giran alrededor del eje x. Rta: 3
2
6. Calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y las curvas 2xy , la recta 0x y la recta 2x Rta: 8 Todas las respuestas, están dadas en unidades cúbicas.
118
VOLUMEN DE SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN METODO DE CASQUETES CILÍNDRICOS: En muchos problemas de diferentes áreas del saber, el método del casquete cilíndrico
es muy adecuado para la solución de la situación presentada. Un cascarón de forma
cilíndrica, es un sólido acotado por dos cilindros circulares rectos, de forma concéntrica,
con radio interior r y radio exterior R; además, una altura h
El volumen será: hAV b * Donde Ab es el
área de la base y h la altura. Pero el área de la
base será: 22
rRAb , luego:
hrRV *22 Desarrollando:
hrRrRV *
Para obtener la ecuación que permite hallar el
volumen, debemos hacer una transformación: Multiplicamos y dividimos por 2 la última
ecuación, luego:
hrRrR
V *2
2
Ahora, definimos radio promedio como: 2
rRR
y cambio del radio como:
rRr . Por consiguiente: rhRV 2 Para hallar el volumen del sólido de revolución al girar la región acotada por la curva y = f(x) al rededor de un eje de coordenadas, hacemos la partición, llevando la norma
de ésta a cero y, sumamos las fracciones formadas, de esta manera se logra obtener el
volumen del sólido.
hrRV *22
119
Según la primera gráfica: xxxfV )(2 Si llevamos la partición a cero y
sumamos todas las partes, obtenemos:
La obtención de la ecuación, ha seguido los mismos
principios que hemos venido utilizando, o sea por medio de las sumas de Riemman.
Ejemplo 1:
Al hacer girar la curva xy alrededor del eje y entre las rectas x = 0 y x = 4, se genera un sólido de revolución, ilustrar el caso y hallar el volumen del sólido generado. Solución:
Como:
b
a
dxxxfV )(2 reemplazamos en los datos que tenemos:
dxxdxxxdxxxV
4
0
23
4
0
21
4
0
2*2*2 Aquí ya podemos integrar:
5
12804
5
4
5
22 2
54
0
25
xV Unidades cúbicas.
Ejemplo 2:
Dada la recta xh
ry
con r > 0 y h > 0, el eje x y la recta .hx La recta y se
hace girar al rededor del eje x. Encontrar el volumen del sólido generado. Resolverlo por:
a- Método de arandelas b- Método de casquetes
b
a
dxxxfV )(2
120
Solución: a- Por el método de arandelas.
dxxh
rVdxxrxRV
hb
a
0
222 )()( Desarrollando el cuadrado e
integrando:
hhhh
xh
rdxx
h
rdxx
h
rdxx
h
rV
0
32
2
0
22
22
02
2
0
2
3
1
Evaluando:
hrhh
rx
h
rV
h
232
2
0
32
2
3
1
3
1
3
1
hrV2
3
1 Corresponde al volumen de un cono circular recto.
b- Por el método de casquete:
121
dyyr
yhdyyr
hhydyyyfV
b
a
rr
0
2
0
122)(2
Desarrollando la integral.
r
rrhy
r
yhdyy
ryV
rr
322
3
1
22
1 32
0
32
0
2 Simplificando:
hrV2
3
1 Volumen de un cono circular recto.
Como podemos observar los dos métodos conllevan al mismo resultado. Ejemplo 3: Hallar el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y, la región por encima
de la parábola 2)( xxf y por debajo de la curva 22)( xxg . Solución: Por el tipo de grafica, las rebanadas verticales nos llevan a una buena solución.
222 xxh
Ahora:
b
a
dxxxfV )(2
1
0
1
0
321
0
2 414222 dxxxdxxxdxxxV
4
14
4
1
2
14
4
1
2
144
1
0
421
0
3 xxdxxxV
V Unidades cúbicas.
122
Ejercicios: 1. Hallar el volumen del sólido generado por los planos perpendiculares a la recta
x = -1 y x = 1, las secciones transversales perpendiculares al eje entre estos planos son
cuadrados verticales cuyas bases van del semicírculo 21 xy al semicírculo
21 xy . Rta: 16/3 2. Hallar el volumen del sólido generado entre los planos perpendiculares al eje y por y = 0 y, y = 2. Las secciones transversales perpendiculares al eje y son discos
circulares cuyos diámetros van desde el eje y hasta la parábola 25yx
Rta: 8 3. Encontrar el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la curva
xy
1 , con x = 2, x = 4 y el eje y. Rta:
4
4. Encontrar el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y la curva
14
1 3 xy , y = 1 � x y x = 1. Rta:
30
23
5. Se perfora un agujero redondo de radio r que para por el centro de una esfera sólida
de radio R, (R > r) encontrar el volumen del sólido producido Rta: 322
3
4rR
123
VOLUMEN DE SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
b
a
dxxAV )(
METODO DE LAS REBANADAS: ( DISCOS ) Para hallar el volumen del sólido descrito en
la gráfica, en cada punto x del intervalo definido, la sección transversal del sólido
corresponde a la región R(x), cuya área es
A(x). Luego A es función de x de valor real. Las capas o rebanadas formadas se suman para formar el volumen del sólido en el
intervalo definido.
iii xcAV )(
Donde ic es el punto contenido en el intervalo ii xx ,1 . El volumen del sólido será
aproximadamente la suma de Riemman, cuando la partición se hace muy pequeña.
n
i
ii xcAV1
)( Sabiendo que el área se debe obtener según el tipo de figura que
se obtiene, el volumen será de la forma:
A(x) es el área de la figura obtenida.
NOTA: Es pertinente tener presente que para resolver problemas de este tipo, se requieren buenos principios de geometría plana y espacial, por lo cual se recomienda en caso de recordar algo al respecto, consultar el módulo de Matemáticas Básicas de la
UNAD. Ejemplo 1: Una pirámide de 3 m. de altura tiene base cuadrada de 3 m. de lado, hallar el volumen
de la pirámide. Solución: El área de la sección transversal es: A(x) = x
2 ahora:
273
113
3
1
3
1 333
0
33
0
2 xdxxV
b
a
dxxAV )(
124
Resolviendo:
93
0
2 dxxV Unidades cúbicas.
El ejercicio fue relativamente fácil, ya que la figura el muy conocida, pero no ocurre
siempre así, veamos otros ejemplos. Ejemplo 2: Hallar el volumen del sólido de revolución al hacer girar la región R(x) alrededor del eje
X y acotada por la curva xxf )( en el intervalo 30 x . Solución:
El área para un círculo es:2
RA , como el volumen es área de la base por la altura, entonces:
xxfV 2)( Luego:
3
0
3
0
3
0
2)( xdxxdxdxxV
Integrando obtenemos:
2
903
2
1
2
1 223
0
23
0
xxdxV
Luego: 2
9V unidades cúbicas.
Ejemplo 3: Encontrar el volumen del sólido generado al rotar sobre el eje Y la región acotada por la
curva y = x2 en el intervalo [0, 4]. Solución: Como yxxy 2
Ya que necesitamos rotarlo alrededor de Y, como
2RA , Siendo yR , entonces:
125
yyV 2
Por la suma de Riemman, obtenemos:
22
4
0
4
0
24
0
042
1
2
1 yydyydyV
Finalmente:
8042
1 22V Unidades cúbicas.
Ejemplo 4:
Dada la función 2
2
12 xy . Hallar el volumen del sólido generado por la curva
alrededor del eje y para 20 x . Solución:
Como el giro es alrededor del eje y, despejamos x,
luego: yxxy 242
12 2
. En seguida
aplicamos la ecuación para el volumen del sólido
alrededor del eje y, entonces:
2
0
2
0
24 dyyydyV
Desarrollando:
44242
02
2
0
yydyyV Unidades cúbicas.
126
Ejercicios: 1. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por xy 2 , en
x = 0 y y = 0, alrededor del eje x. Rta: 3
8
2. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva
xy para y = 2 y x = 0, alrededor del eje y. Rta: 5
32
3. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva
xy para y = 2 y x = 0, alrededor del eje x = 4. Rta: 15
224
4. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva
3xy para y = 0 y x = 1, alrededor de x = 1 Rta: 10
1.
5. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva
12 xy para [0, 2], alrededor del eje x. Rta: 15
206
6. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva
24 xy para [0, 2], alrededor del eje x. Rta: 15
256
7. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva
24 xy para [0, 2], alrededor del eje y. Rta: 8 8. Una pirámide se levanta 500 metros sobre una base cuadrada de 750 metros de lado.
Cual será el volumen de la pirámide. Rta: 93.750 metros cúbicos
127
LAS INTEGRALES EN LA FÍSICA
TRABAJO: En el curso de Física General, aprendimos que cuando un objeto se mueve
una distancia dada, se realiza un trabajo, pero para mover el objeto, se requiere de una fuerza constante w = f*d*cos (è), donde w = trabajo, d = distancia y è el ángulo entre
el vector fuerza y el vector distancia. La mayoría de los fenómenos de la naturaleza, presentan una característica la cual
consiste en que a medida que el objeto se mueve en una trayectoria, la fuerza varia, lo que indica que la fuerza es función de la distancia. Sea F(x) la fuerza a lo largo de la
trayectoria x y sea [a, b] un intervalo donde x es continua. La idea es hallar el trabajo realizado por la fuerza F(x) en dicho intervalo. Particionamos el intervalo [a, b] en k subintervalos y sea el punto ck en cada subintervalo [xk-1, xk]. Tomamos un
kkk xxc ,1 . El trabajo realizado a lo largo del intervalo será aproximadamente F(ck)
multiplicado por ∆xk, luego el trabajo total será:
Si la partición es grande, y su norma tiende a cero, podemos
definir el trabajo W realizado por una fuerza F(x) a lo largo del intervalo [a, b] de la siguiente manera:
La parte crucial para resolver problemas de este tipo es identificar claramente la función
fuerza. Ejemplo 1:
Cual será el trabajo realizado por una fuerza 2
2)(
xxF a lo largo del intervalo [1, 5].
Solución: Como tenemos la función fuerza, podemos aplicar directamente la ecuación del trabajo.
5
8
5
42
1
1
5
12
225
1
5
12
x
dxx
W Julios
En este ejemplo la función fuerza esta definida, pero en muchas ocasiones se debe
determinar la función fuerza a partir del análisis del fenómeno presentado.
b
a
dxxfw *)(
n
k
kk xcFW1
)(
b
a
dxxFW )(
128
Ejercicios: 1. Un objeto se mueve a lo largo del eje x debido a una fuerza 212)( xxF en Newton, cual será el trabajo realizado si el objeto se desplaza de x = 1 metro a x = 3
metros. Rta: 158/3 Julios 2. Una partícula se mueve a lo largo del eje x debido a una fuerza 24)( xxF dinas. Si 100 ergios es el trabajo realizado para mover la partícula desde el origen hasta
un punto x = c Hallar c si debe cumplir que c>0 Rta: C ≈ 7,588 3. Por la Ley de Gravitación Universal de Newton, cuando dos partículas de masa m1 y m2 se atraen mutuamente, la magnitud de la fuerza de atracción es directamente
proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia entre ellas. 2
21 *
x
mmGF Donde G es la constante universal de la gravedad
y x la distancia entre las masas. Si m1=2 Kg y esta en el origen, m2= 4 Kg Qué
trabajo se realiza para mover m2 de del primer metro a quinto metro de distancia. Rta: (32/4)G Julios. LEY DE HOOKE:
Por teoría de la Física general, se sabe la ley de Hooke, la cual establece que para
mantener un resorte estirado o comprimido x unidades de su longitud natural, se requiere una fuerza kxxF )( , donde k es la constante del resorte; además, se ha
establecido que a mayor rigidez del resorte, mas alto es el valor de la constante. El trabajo realizado para estirar o comprimir un resorte, se puede calcular con la ecuación
definida para trabajo realizado por una fuerza variable. Ejemplo 1: Un resorte tiene una longitud de 2 metros, al aplicarle una fuerza de 35 Newton, dicho resorte se estira hasta 3,5 metros. Qué trabajo se requiere para que le resorte se estire 4 metros Solución:
Como b
a
dxxFW )( pero F(x) = kx, luego debemos determinar el valor de la
constante, lo cual se puede hacer con los datos del problema.
129
Al aplicar 35 Newton, el resorte se estira de 2 a 3,5 Metros, entonces x = 1,5 metros. Entonces, por la ley de Hooke: 35 = k (1,5), despejamos k y obtenemos: k = 23,33 Nw/m. Ahora planteamos la función fuerza: xxF 33,23)( y así podemos hallar el trabajo.
64,18604665,112
33,2333,2333,23)( 22
4
0
4
0
24
0
xxdxxdxdxxFW
b
a
Julios.
Los límites de integración se obtiene sabiendo que el resorte se estira 4 metros desde su posición original; es decir, x = 0. Ejemplo 2: Un resorte es tal que la fuerza requerida para mantenerlo estirado s centímetros esta
dado por F = 12s. Si la longitud del resorte es de 30 centímetros y se estira hasta 45 centímetros, cual será el trabajo realizado para estira el resorte. Solución: Tenemos la función fuerza F = 12s, por otro lado el resorte se estira de 30 a 45 centímetros; es decir, 15 centímetros, luego:
135001562
1*1212 22
15
0
215
0
ssdsW ergíos.
Ejercicios: 1. La fuerza que mantiene un resorte estirado x centímetros es F(x) = 12x dado en dinas,
qué trabajo se realiza para estirar dicho resorte 8 centímetros. Rta: 384 ergios 2. El motor de un automóvil ejerce una fuerza )1(800)( xxxF en la posición x, cual será el trabajo realizado para 10 x , Rta: 703.983 pie-Lb 3. Una cuerda tiene 50 metros de longitud, que trabajo se hace para recogerla completamente, si se encuentra completamente vertical Rta: 780 Julios
130
BOMBEO DE LÍQUIDOS:
Cuando se desea desplazar un líquido, es necesario hacer un trabajo. Debido a que los
recipientes o lugares donde se almacena el líquido no tiene forma regular, la ecuación
W = F*d no aplica directamente, se requiere una transformación según la forma del
recipiente, para si poder aplicar dicha ecuación. La resolución se sigue por las sumas de
Riemman. Con algunos ejemplos modelos podemos analizar problemas de este tipo. Ejemplo 1: Un tanque esférico de 10 metros de radio y lleno de agua, se desea bombear el agua por la parte superior del tanque. Determinar cuanto trabajo se debe hacer para bombear toda el agua. Solución:
Se debe hallar b
a
dxxFW )( La clave esta en determinar la función F(x) para el
fenómeno en mención. Inicialmente sabemos que el intervalo de la variable x esta entre 0 y 20 ¿porqué?
El radio r corresponde a la profundidad de x = ci y que es la hipotenusa del triángulo,
su valor es de 10 metros, la altura es 10 � ci, luego por Pitágoras:
2222222 20101001010 iiiiiii ccrcrrc
La fuerza para mover el líquido (agua), es la gravedad sobre el mismo.
pesoVgVVggmF ** Pero el peso es de 1.000 Kg/m3 que corresponde a la densidad del agua. Luego:
hrhrpesoVF22 10001000** Donde ya conocemos r2
131
Entonces: xccF ii 2201000 Aplicando la teoría de partición y por la
sumas de Riemman.
iiii ccxccdFW 20201000* 2 Por consiguiente:
xccdFW ii 2
201000* El trabajo total será el realizado en cada
capa.
n
i
ii xccW1
2201000 Si aplicamos límite cuando n tiende a infinito:
20
0
20
0
322 404001000201000 dxxxxdxxxW Integrando:
33,333.1310004
1
3
402001000
20
0
432
xxxW Finalmente:
33,333.333'1333,333.131000 W Julios. Ejemplo 2: Un depósito en forma de cono circular recto esta lleno de agua, si la altura es de 10 pies y el radio de la parte más ancha es de 4 pies, hallar el trabajo para: a-) Bombear el agua del tanque por la parte superior b-) Bombear el agua 10 metros por encima del nivel del tanque. Solución:
a-)
132
Según la gráfica, xy4
10 , el disco tiene como grosor y y altura y, tiene un radio
y10
4, luego el volumen será: yy
2
10
4 , con peso yv .
La fuerza necesaria para elevar el disco de agua es igual a su peso, entonces el trabajo requerido para elevar el disco de agua será:
yyydfw
10*)
10
4(* 2 Por consiguiente:
dyyydyyyw
10
0
3210
0
2 10100
1610
100
16 Resolviendo:
39,137.264
1
3
10
100
1610
100
1610
0
4310
0
32
yydyyyw Lb-pie
Se tomo la densidad como 62,4 Lb/Pie3 b-) El razonamiento es similar a la caso anterior, solo que para este caso la altura es 20 � y, luego:
dyyydyyyw
10
0
3210
0
2 20100
1620
100
16 Los límites no cambian ¿porque?
10
0
4310
0
32
4
1
3
20
25
420
25
4
yydyyyw Evaluando:
w = 130.687,60 Lb � pie Ejemplo 3: Mostrar que para un tanque lleno de agua, de forma cilíndrica vertical de 5 metros de
radio y 10 metros de altura, se debe hacer un trabajo de 69,3X106 Julios para bombear el agua 4 metros por encima del tanque. Solución:
Por un lado: hrV2 donde yh Luego: yV
25 . Por otro lado, como el peso del agua es de 9.800 N/m3, entonces: VVF 800.9 , Pero yV 25 . Luego: yyVF 000.24525*800.9 �.
133
Ahora yFdFW 14** El tanque mide 10 metros de largo y 4 metros que debe subir demás el líquido hace que la altura sea 14 metros. Ahora si podemos hallar
el trabajo:
10
0
210
0
10
0 2
114000.24514000.24514000.245
yydyydyyW
Evaluando obtenemos: W = 69,3X106 Julios. Así queda demostrado el problema. Ejercicios: 1. Un tanque esférico esta lleno de agua, el radio es de 10 pies y se desea bombear por
la parte superior el agua hasta que el tanque quede a la mitad, que trabajo se realiza en este proceso. Rta: 816.814 pies-libra 2. Un tanque cilíndrico vertical tiene 20 metros de altura y 10 metros de radio, Qué
trabajo se realiza para bombear el agua a un nivel de 4 metros por encima del tanque. Dagua = 9.800 N/m3 Rta: 862�055.040 Julios 3. Un tanque de almacenamiento de forma cilíndrico vertical tiene Kerosén, cuyo peso
es 51,2 Lb/pie3, el tanque tiene 30 pies de alto y 20 pies de diámetro. Qué trabajo se
necesita para bombear el combustible hasta el nivel superior del tanque. Rta: 7�238.229,48 pies- libra 4. Un tanque tiene forma de cono circular invertido, 10 metros de altura y 4 metros de radio en la parte más ancha. Es llenado con agua hasta 8 metros de altura, Qué trabajo
se requiere para vaciar el tanque hasta la parte superior. Rta: 3,4X106 Julios
134
MOMENTOS Y CENTRO DE MASA:
Recordando los principios de dinámica y mecánica, sabemos que el momentum es el
producto de la masa y la distancia respecto a un punto de equilibrio.
Momentum = x1*m1 + x2*m2 El triángulo nos indica el punto de
equilibrio.
Para un sistema de masas ç = m1, m2, m3, � mç ubicados en los puntos x1, x2, x3, � ,
xç respectivamente a lo largo del eje x, el momentun total M, será la suma de los
momentun individuales.
n
i
ii mxM1
* Cuando M = 0, se presenta equilibrio si el punto de equilibrio esta en el
origen. Generalmente esto no ocurre, la situación es cómo hallar el punto para que un
sistema de masas este en equilibrio. Si llamamos Ce el punto donde un sistema de masas puede estar en equilibrio, entonces: 0...332211 neneee mCxmCxmCxmCx Operando:
eneeenn CmCxCmCmmxmxmxmx ...... 321332211
Despejando Ce obtenemos lo que se conoce como el centro de masa:
n
i
i
n
i
ii
e
m
mx
C
1
1
Físicamente el centro de masa es el punto donde concentramos toda la masa del sistema.
Si deseamos distribuir dicha masa a lo largo de una recta de alambre con densidad variable, llegamos al siguiente planteamiento:
xxm )( . Siendo m la masa, )(x densidad en el punto x y x ubicación de la
masa respecto al punto de equilibrio. Luego:
Corresponde a la masa en un punto dado de la recta
Por otro lado: xxxM )( Por medio de la teoría de integrales llegamos a:
b
a
dxxm )(
135
Con todo lo anterior, podemos hallar el centro de masa a lo largo de una varilla con densidad variable. Dicho de otra manera: La parte fundamental para resolver problemas de este tipo, es identificar claramente la función densidad en el punto establecido. Ejemplo 1: Una varilla de 20 cm. De longitud presenta una densidad de 12)( 2 xx , Hallar el centro de masa. Solución: Aplicando la ecuación: Reemplazando términos:
Integramos cada parte:
800.792
400
2
000.160
2
1
2
1)2(
20
0
2420
0
3 xxdxxx
3
940.1520
3
000.16
3
2)12(
20
0
320
0
2 xxdxx
Agrupamos los dos resultados:
Centímetros
b
a
dxxxM )(
b
a
b
ae
dxx
dxxx
C
)(
)(
m
MC e
b
a
b
ae
dxx
dxxx
C
)(
)(
20
0
2
20
0
2
)12(
)12(
dxx
dxxx
C e
13,14
3940.15
800.79eC
136
Ejemplo 2: Encontrar el centro de masa de una lámina homogénea, cuya forma es una región
acotada por la curva y = sen(x) para 0 ≤ x ≤ ð. Solución: Cuando la lámina es homogénea, la densidad es constante, luego el centro de masa de la
región, será dada por la forma de la región, para estos casos hablamos de centróides.
La región es simétrica en x = ð/2,
pero para ya el centro de masa será
menor a 1/2, ya que la mayor cantidad esta por debajo de ½. Ahora:
)(*)(2
1xfxfM x
)(xfmx
Aplicando la fórmula obtenida:
0
0
2
0
0
0
)(
0)(
)(
)(2
1
)(
)(*)(2
1
dxxsen
dxxsen
dxxsen
dxxsenxsen
dxm
dxM
Ce
x
x
y Por identidades tenemos:
0
0)(
)(
)2cos(12
1
dxxsen
dxx
Ce y Integremos por separado y al fina agrupamos:
2
)2(42
)2(2
1
2
1)2cos(1
2
1
00
senxsenxdxx
2)0cos()cos()cos()(0
0
xdxxsen Agrupando:
422
)(
yCe
137
Ejemplo 3:
Mostrar que el centroide de la región acotada por las curvas 3xy y xy , es:
7
3)( yCe
25
12)( xCe
Solución:
1
0
3
1
0
3
)(
)( dxxx
dxxxx
Ce x
1
0
423
1
0
525
)(
41
32
51
52
xx
xx
Ce x
Desarrollando:
25
12
125
51
)1(41)1(3
2
)1(51)1(5
2
)(
xCe
Referente al eje y tenemos:
1
0
3
1
0
232
1
0
3
1
0
33
)(
)()(2
1
)(
2
1
dxxx
dxxx
dxxx
dxxxxx
Ce y Desarrollando:
7
3
125
185
4
1
3
2
7
1
2
1
2
12
1
1
0
423
1
0
72
1
0
3
1
0
6
)(
xx
xx
dxxx
dxxx
Ce y
138
Ejercicios:
1. Hallar el centro de masa de un objeto cuya función densidad es: 26
)( x
x para
0 ≤ x ≤ 6 Rta: Ce = 16/5
2. Calcular el centro de masa para un objeto que tiene como densidad: 44
)(2
x
x
para el intervalo: -2 ≤ x ≤ 2. Rta: Ce = 0 3. Tres partículas tienen masas 8, 4 y 6, están ubicadas a lo largo de una recta en 3, -2 y 3 respectivamente, ¿cual será el centro de masa? Rta: Ce = 17/9 4. Un alambre tiene forma semicircular con radio 10 cm y densidad de 12 gr/cm3 ¿Cuál será el centro de masa del alambre? Rta: Ce = 20/ð TEOREMA DE PAPPUS: Pappus, un griego de Alejandría, en el siglo III propuso dos fórmulas para relacionar los
centroides de superficies y con sólidos de revolución. Dichas fórmulas simplifican el
procedimiento para este tipo de problemas. Teorema Del Volumen: Si una región plana R se gira alrededor de una recta en el plano que no interfecta el interior de la región, entonces el volumen del sólido que se genera es igual al área de la
región multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de la región durante el
giro. Si D es la distancia desde el eje de rotación al centroide, entonces:
ADV *2
139
Veamos la demostración:
Sea L(y) = Longitud transversal de la sección R, perpendicular a y. Como
L(y) es continua.
2
1
)(2y
y
dyyyLV
Para y1 y y2 dados. La coordenada en y del centróide esta
dado por :
A
dyyyL
y
y
y
2
1
)(
Luego: 2
1
)(y
y
dyyyLyA
Reemplazando yA en la ecuación de volumen, tenemos:
yAV 2 Pero Dy Por consiguiente: Ejemplo No 1: La región acotada por )(xseny para x0 , se hace girar alrededor de x. Hallar el volumen por el teorema de pappus. Solución: Como
Hallamos el área: 2)0cos()cos()cos()(0
0
xdxxsenA
El volumen del sólido de revolución será:
2
00 0
2
2
1)2(
2
1
2)2cos(1
2)(
xsenxdxxdxxsenV
Si aplicamos Pappus:
DDDAV 4*2*22
ADV *2
ADV *2
140
INVESTIGACIÓN: Leer y analizar el teorema para superficies.
MOVIMIENTO DE PROYECTILES:
Cuando estudiamos las derivadas, veíamos que a partir de la función posición
obteníamos la función velocidad y aceleración. y = s ( t ) y� = v(t) y�� = a(t) Ahora la idea es que a partir de la función aceleración obtener la función velocidad y
luego la función posición. Así describir el movimiento del cuerpo.
dt
dsv
2
2
dt
sd
dt
dva
Unos ejemplos nos ayudan a aclarar estos conceptos. Ejemplo No 1: Desde una altura de 20 metros, un nadador se lanza con una velocidad de 10 m/seg. en dirección ascendente. ¿Con qué velocidad toca el agua el nadador? Solución: h(t) es las altura sobre el nivel del mar.
gdt
hd
'
' Por la segunda ley de Newton
h(0) = 20 metros y 10)0( dt
dhmetros. Por las condiciones iniciales.
Luego: cgtdt
dhgdt
dt
dhg
dt
hd2
2
Como 10)0(10)( ccgtvdt
dh por consiguiente:
10)( gttv Ahora:
141
ctgthdtgtdttvh 102
1)10()( 2
Para hallar la constante, tenemos:
20)0(10)0(2
120 2 ccg Luego:
20102
1 2 tgth
Ejemplo No 2: Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 50 m/seg. (se ignora la resistencia el aire) cual será la altura de la pelota cuando han transcurrido 2
seg. del lanzamiento. Solución: Por definición:
gdt
hd
2
2
Siendo g = 9,8
Ahora:
cgtgdtdt
dh
Como 50)0( dt
dh Entonces:
)(50 tvgtdt
dh
Pero v(0) = 50 entonces:
ctgtdtgth 502
150 2
142
Como h(0) = o, Luego:
tgth 502
1 2
Cuando t = 2 seg, entonces:
6,214,78100)2(50)2(2
1 2 gh metros.
Ejemplo No 3: Del problema anterior, calcular la velocidad a los 3 seg. de haber sido lanzada la pelota. Solución:
Como ttv 8,950)( Entonces, reemplazando el tiempo tenemos:
./6,304,2950)3(8,950)( segmtv
143
Ejercicios: 1. Las condiciones iniciales para un objeto que se deja caer desde una altura de 150 metros son: a-) y(0) = 150 y�(0) = 0 b-) y(0) = 0 y�(0) = 150 c-) y(0) = 50 y�(0) = 15 d-) y(0) = 15 y�(0) = 150 Rta: a 2. Una persona se encuentra a 20 metros de altura de una piscina olímpica, ¿Cuál será
la velocidad con que la persona toca el agua al dejarse caer de dicha altura?
Rta: 208 m/seg. 3. Un objeto se mueve según la ecuación: )(25)('' 0 wtsentx , siendo x�(t) = 0 y
x(0) = 0, además è0 = 0 y w = 1. Cual será la ecuación de x(t) para este problema.
Rta: ttsentx4
24)4(
16
25)(
4. sabiendo que gdt
dv Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, con una
velocidad de 20 m/seg, a-) Cual será la altura máxima alcanzada por el cuerpo b-) El tiempo de vuelo del cuerpo. Rta: a-) 20,408 metros b-) 4,081 segundos
144
LAS INTEGRALES EN LA ESTADÍSTICA
En Estadística las integrales son una herramienta para hallar probabilidades de ocurrencia de sucesos de variables aleatorias tipo continuo. Estudiaremos dos casos de los muchos que se presentan, como ilustración de las integrales a la ciencia de la
estadística. Función de distribución:
Es la probabilidad de que una variable aleatoria con función de densidad de
probabilidad f(x) tome un valor menor o igual que x.
)()( xFxXP Donde: F(x) es la función de distribución y x la variable aleatoria. Este tipo de función no puede ser negativa, ya que corresponde a una función de probabilidad,
tampoco puede ser decreciente debido a que es acumulativa; además, es acumulativa.
1)(0 xF . Entonces para cualquier x, )()( xXPxF , que significa el área bajo
la función de densidad de probabilidad sobre el intervalo (-∞, x]. Por la notación de
integrales: De la función de distribución se puede resaltar: -) F(-∞) = 0 y F(∞) = 1 -) p( x1 < X ≤ x2 ) = F ( x2 ) � F ( x1 ) -) p( x1 < X ≤ x2 ) = P ( X ≤ x2 ) � P ( X ≤ x1 ) ≥ 0 Función de Densidad de Probabilidad:
También se le llama Densidad de Probabilidad. Sea f(x) una función llamada como
función de densidad de probabilidad; entonces: Área bajo la curva: Donde )( bXaP significa la probabilidad que la variable aleatoria tome un valor entre a y b, la función f(x) obviamente debe ser integrable en el intervalo establecido.
Al elemento f(x)dx se le conoce como probabilidad elemental o elemento diferencial de probabilidad.
b
a
dxxfbxaP *)()(
x
dttfxF )()(
b
a
dxxfbXaP )()(
145
Algunas propiedades de esta función: -) f(x) ≥ 0 ya que p(x)≥ 0
-) 1)()(
dxxfxp
-) 1)(0 bxap Ejemplo 1: Dada una función de distribución F(x) = 2x � x2 en [0, 1]. Hallar la función de
densidad de probabilidad Solución: La función de densidad se obtiene derivando la función de distribución Como f(x) = F�(x) entonces:
xdx
dFxf 22)(
Ejemplo 2: Para el ejemplo anterior, hallar la probabilidad de que un evento aleatorio sea 2,0X Solución:
36,004,04,0222)2,0(2,0
02
2,0
0
xxdxxXP Por consiguiente:
36,0)2,0( XP
Ejemplo 3: Una variable aleatoria tiene como función de densidad de probabilidad:
otrospara
xparaexf
x
0
02)(
2
Cual será la probabilidad de que la variable tome un valor entre 1 y 3. 31 X Solución:
Por definición:
b
a
dxxfbXaP )()(
146
Como X esta en la condición para que xexf 22)( entonces:
3
1
23
1
2 22)31( dxedxeXPxx Operando:
1328,02
2)31( 6226
3
1
2
eeeee
XPx
Ejemplo 4: Para el ejemplo anterior, cual es la probabilidad de que la variable tome un valor mayor que ½. Solución: Siguiendo el procedimiento de la definición:
21
2
21
2
21
2
222)
2
1( x
xx
ee
dxeXP
3678,0)2
1( 11
eeeeXP
Existen muchas funciones de densidad de probabilidad, utilizadas en el mundo de la
Estadística, tales como: La Normal, Log normal, x2 de Pearson, otras. Estas se pueden explorar en el curso de Estadística y de Probabilidad.
147
Ejercicios: 1. La densidad de probabilidad de una variable aleatoria esta dada por la función:
otroscasospara
xsix
xsix
xf
0
212
10
)(
a-) Hallar la función de distribución b-) Determinar la probabilidad de que una variable aleatoria con esta función de distribución tome un valor mayor a 1,8
Rta: a-) 2
2
12)( xxxF b-) 02,0)8,1( XP
2. Para el ejercicio numero 1, determinar la probabilidad de que una variable aleatoria con esta función de distribución, tome un valor entre 0,2 y 0,6 Rta: 16,0)6,02,0( XP 3. La función de distribución de una variable aleatoria esta dada por la expresión:
20
24
1)( 2
xpara
xparaxxF
Cual será la probabilidad de que la variable aleatoria: a-) Tome un valor menor que 3 b-) Tome un valor entre 4 y 5 Rta: a-) 555,0)3( xP b-) 09,0)54( xP 4. El consumo de energía de cierta planta es una variable aleatoria, cuya función de densidad de probabilidad es:
3
9
1)(
x
xexf
Para x > 0
La planta tiene una capacidad diaria de 12 millones de Kw/hr. Cual será la probabilidad de que el suministro de energía sea inadecuado en un día dado.
Rta: 0916,0)120( xP 5. la vida útil de un artículo electrónico es una variable aleatoria, con función de
densidad de probabilidad: xexf 66)( ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo dure
menos de 3 meses? Rta: 7768,0)12/30( xP 6. Para el caso de la vida útil del artículo electrónico referenciado en el ejercicio
anterior, ¿Cuál será la probabilidad de que el artículo electrónico dure entre 2 y 4 años? Rta: 000006144,0)42( xP
148
LAS INTEGRALES EN LA ECONOMÍA
En Economía son muy usados los términos demanda y oferta. La curva de demanda del
consumidor P = D(x), nos da el precio de demanda que el consumidor esta dispuesto a pagar por unidad para x unidades, la curva generalmente es decreciente, debido a que al vender cantidades mayores, el precio baja. La curva de oferta del productor P = S(x), nos da el precio por unidad al cual el vendedor esta dispuesto a ofrecer x unidades, la curva es creciente, ya que a mayores cantidades, el precio de venta sube.
CURVA DE OFERTA � DEMANDA La gráfica muestra la curva de oferta P = S(x) y la curva de demanda P = D(x). P(Xc,Yp) corresponde al punto de equilibrio. Utilidad: Es el concepto asociado con una función que describe el grado de beneficio o
satisfacción, cuando el consumidor recibe x unidades.
EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR: (E.C.) En términos sencillos, el excedente del consumidor E.C. es la cantidad de dinero que
ahorra un consumidor cuando compra un artículo a P precio, para una cantidad x de artículos. Lo anterior se traduce en la utilidad del consumidor, cuando disminuye el
precio a razón de aumentar la compra del artículo. Para Q artículos el precio es P, luego el gasto total será QP. El área total bajo la curva es la
utilidad total U.
Q
dxxDU
0
)(
D(x) es la función demanda. Asi, el excedente del consumidor será entonces la utilidad menos los gastos totales.
Excedente del Consumidor
Q
QPdxxDCE0
)(..
Q
QPdxxDCE0
)(..
149
EXCEDENTE DEL PRODUCTOR: (E.P.) Los economistas lo refieren a la utilidad que recibe el productor, cuando se ofrece mayores cantidades del artículo, a razón del aumento del precio. Esto significa los
ingresos extras que recibe el productor, cuando el consumidor aumenta la compra del artículo.
Como Q es la cantidad de artículos
ofrecidos a P precio, la cantidad recaudada será de QP. El excedente del productor E.P,
será el recaudo total menos el área bajo la
curva, que corresponde a la función oferta
de producción. Excedente del productor
Ejemplo 1: Dadas las funciones demanda D(x) = (x � 5)2 y de oferta S(x) = x2 + x + 3, hallar
a- El punto de equilibrio b- El E. C. en el punto de equilibrio c- El E. P. en el punto de equilibrio
Solución: a- El punto de equilibrio es donde D(x) = S(x), es decir: (x � 5)2 = x2 + x + 3. Haciendo las operaciones algebraicas: 32510 22
xxxx , despejamos la variable, luego: xE = 2. Ahora podemos hallar el valor de y, así: yE = (2 � 5)2 = 9, el punto de equilibrio será: P(2, 9) b- Para calcular el excedente del consumidor, utilizados la ecuación para E. C.
)9(*)2(53
15..
2
0
2
0
32 xQPdxxCE
Evaluando y simplificando:
667,1418667,3218125273
1.. CE
c- De igual manera que en el caso anterior, el excedente del productor se calcula con la ecuación para este fin.
Q
dxxSQPPE0
)(..
150
dxxxdxxSQPPE
2
0
22
0
318)(. Desarrollando tenemos:
33,73
22
3
32183
2
1
3
118.
2
0
23
xxxPE
Ejemplo 2: La demanda de un producto esta gobernada por la función:
20001.02.0200.1)( xxxD ¿Cuál será el excedente del consumidor para un nivel
de ventas de 500 unidades? Solución: Para este caso Q = 500, luego P = 1.200 � 0,2(500) � 0,0001(500) = 1.075, entonces el gasto total será de QP = 500*1075 = 537.500 Ahora calculamos el E. C. utilizando la ecuación correspondiente.
500.5370001,02,0200.1..500
0
2 dxxxCE
500.5375,837.570500.5371033,31,0200.1..500
0
52 XxxCE
5,337.33500.5375,837.570.. CE
Ejemplo 3:
Determinar el E. P. Para un producto cuya función oferta es: xxxS 22
1)( , para
x = 20. Solución: Para este caso Q = 20, luego P = 20/2 + 2(20) = 50. Entonces: QP = 20*50 = 1.000 A continuación se calcula el E: P.
400100000.14
1000.12
2
1000.1..
20
0
2220
0
xxdxxxPE
500400100000.1.. PE
151
Ejercicios:
1. La función oferta de cierto artículo esta dada por: 510
)( x
xs . Para un precio de
venta de $10. Calcular el excedente del productor cuando el precio de venta es de $10. Rta: E.P.=$4.166,67
2. La función demanda para un producto es de la forma 8
450)(
xxD .
a-) Cual será el nivel de venta para un precio de $10 b-) encontrar el excedente del consumidor para el nivel de ventas de la parte a. Rta: a-) Q = 37 b-)E.C.= 407,15 3. En un análisis económico, la función demanda y oferta son respectivamente:
24)( xxD y 62)( 2 xxxS . Calcular el excedente del productor en el punto de equilibrio.
Rta: E. P. = $1,67 4. Para el caso el problema 3, calcular el excedente del consumidor, cuando la venta es de un artículo.
Rta: E. C. = $3,33
COSTO TOTAL: Siguiendo el estudio de las integrales en la economía, se debe hacer notar otros términos
que en economía son frecuentes como costo marginal y costo total. El concepto de
�Marginal� hace referencia al cambio que manifiesta una cantidad, cuando hay un cambio muy pequeño de una segunda cantidad, en este orden de ideas si conocemos la
función costo marginal C�(x) o dC/dx, se puede hallar el costo total. C(x), entendiendo
este último como el costo necesario para producir x unidades de cierto artículo. El costo marginal será C�(x) siendo x=xi para i = 1, 2, 3, � Si la derivada existe,
entonces a dicha función se le llama función costo marginal. Con el principio de la antiderivada, podemos inferir que a partir del costo marginal podemos hallar el costo total. Al realizar el proceso de integración, la constante
arbitraria, se puede evaluar si se conoce el costo general; es decir, el costo sin producir unidad alguna, entonces:
Costo total de producción
NOTA: El costo marginal, no puede ser negativo, luego c�(x) ≥ 0
dxxcxC )(')(
152
Ejemplo 1:
Dad la función costo marginal .123 xdx
dC la producción de 4 unidades, origina un
costo de $16. Hallar la función costo total. Solución:
Como 01230 xdx
dC Luego 4x Ahora:
cxxdxxxC 122
3)123()( 2
Pero C(4) = 16, entonces: c )4(12)4(2
316 2 despejando c, se obtiene: c = 40. Por
consiguiente:
40122
3)( 2
xxxC
Pero la mínima cantidad que se debe producir es de 4 unidades. 4x Ejemplo 2:
En un proceso de producción la función costo marginal esta dada por: 45
3
xdx
dC
El costo general es de $10, ¿Cuál será el costo total? Solución:
45
345
3)(
x
dxdx
xxC Aplicando cambio de variable: u = 5x + 4 entonces
du = 5dx, despejando dx = du/5, ahora reemplazamos en la integral original.
duu
u
du
x
dx 2/1
5
35345
3 Integrando se obtiene:
cucu
5
6
2/1*
5
3 2/1
Luego:
cxxC 455
6)(
153
Para hallar el valor de c, tomamos las condiciones dadas: C(0) = 10, entonces:
c 4)0(55
610 Despejando c se obtiene: c = 38/5. Finalmente:
5
3845
5
6)( xxC
INGRESO TOTAL: Para estudiar el ingreso total, debemos recordar el concepto de ingreso marginal, denotado por R � (x), para x = xi con i = 1, 2, 3, � La función R � (xi) si existe se le llama ingreso marginal. �Esta función puede ser positiva, negativa o cero� Se interpreta
como la tasa de cambio del ingreso total cuando se requieren x unidades. A partir del ingreso marginal, podemos obtener el ingreso total, por medio de integrales indefinidas. Si p es el precio unitario y x las unidades vendidas, entonces el ingreso será: R(x) = p*x Según la ecuación anterior, el ingreso total lo podemos obtener a partir del ingreso
marginal. Ejemplo 1: Cual será el ingreso total para la función marginal R � (x) = 300 � x Solución:
Por definición: cxxdxxxRdxxRxR 2
2
1300300)()(')(
Para hallar el valor de c, partimos de la siguiente premisa: El ingreso es cero, cuando el número de unidades es cero; es decir, R(0) = 0 Reemplazando en la función obtenida: 300(0) � ½(0)
2 +c = 0, despejando c se obtiene que c = 0, por consiguiente:
2
2
1300)( xxxR
Recordemos que cuando x = 0, no hay ingresos.
dxxRxR )(')(
154
Ejemplo 2: La utilidad total se le llama P(x) y se define como: Una compañía tiene para un artículo el valor de $100 la unidad; precio de venta. Si
produce diariamente x unidades, el valor por producción marginal es 2x + 20. El costo
general es de $700. Hallar a-) La función utilidad total b-) La utilidad que se obtiene al producir 40 unidades. Solución:
a-) C � (x) = 2x + 20 Entonces: cxxdxxxC 20202)( 2
Para C(0) = 700, luego: 700 = 02 + 20(0) + c, c = 700, la función costo total será:
70020)( 2 xxxC La función ingreso será: R(x) = 100x como tenemos la función costo total C(x),
entonces podemos calcular la función utilidad.
7008070020100)( 22 xxxxxxP
Así, la función utilidad total será: 70080)( 2 xxxP b-) Como conocemos la función utilidad, solo reemplazamos para x = 40, entonces:
700)40(80)40()40( 2 R Desarrollando:
900300.2200.3)40( xR
)()()( xCxRxP
155
Ejercicios: 1. Para cierta mercancía la función ingreso marginal esta dada por: R � (x) = 20 � 4x, cual será el ingreso total cuando se requieren 10 unidades de la mercancía. Rta: R(x =10) = 0
2. La función costo marginal para cierto artículo esta gobernado por: 45
3)('
xxC
Si el costo general es de $10, cual será el costo total en la producción de 50 artículos. Rta: C( x = 50 ) = 26, 725 3. En la producción de una pasta de jabón para tocador, la función ingreso marginal se
determinó como: 228)(' xxxR . ¿Cuál será el ingreso total para 12 unidades? Rta: R(x =12) = 528 4. La fábrica de bombillas �El Alumbrador� tiene como precio de venta para su artículo
el valor de $700 la unidad. Si produce diariamente x unidades, el valor por producción
marginal es 5x + 8. El costo general es de $800. ¿Cuál será la utilidad al producir 50
bombillas? Rta: P(x) = $27.550
156
BIBLIOGRAFÍA
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Bogotá, 2001. LARSON, Ronald, HOSTETLER, Robert. Cálculo Vol. 1, Mc Graw Hill, sexta
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sexta, Addison Wesley Iberoamericana. México, 1987. LEYTOLD, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica. Harla, México, 1.987. PURCELL, Edwin y Otros. Cálculo, Prentice hall, Octava Edición, México, 2.001 PITA, Claudio. Cálculo de Una Variable, Prentice hall, México, 1.998 APOSTOL, Tom M, Calculus Vol. 1, Editorial Reverte, España, 1.982