módulo distribuciones de probabilidad

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA “Norte de la Universidad Peruana”

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL: INGENIERÍA CIVIL

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1. VARIABLE ALEATORIA Se llama variable aleatoria (v.a.) a toda aplicación o función que asocia a cada elemento del

espacio muestral (Ω) de un experimento, un número real.

Ejemplo 1:

Consideremos el experimento que consiste en revisar tres componentes de una bomba

centrífuga, que pueden ser defectuosos (D) y no defectuosos (N)

ε = Revisar tres componentes de una bomba centrífuga, el espacio muestral será:

Ω = { NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD }

Definimos la variable aleatoria (v.a.)

X = como el número de componentes defectuosos

X(CCC)=3

X(CCS)=X(CSC)= X(CSS) =2

X(SSC)=X (CSS)=X(SCS)=1

X(SSS)=0

Las variables aleatorias las podemos clasificar en:

§ Discretas, si puede tomar un número finito o infinito numerable de valores enteros

Porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Por ejemplo:

X: Variable que nos define el número de trabajadores aprobados en una capacitación de un

grupo de 40 (1, 2 ,3…ó los 40).

La variable aleatoria toma 4 valores diferentes:

X = 3,2,1,0



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PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA(X)

•0≤p(x)≤1 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser

mayores o iguales a cero y menores o iguales a 1

•Σp (xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x

debe ser igual a 1

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA

Sea X una variable aleatoria discreta. La función de probabilidad de X es una función p(x) tal

que:

VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

El valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta X, se definen por:

§ Continuas si dado un intervalo (a,b) la variable puede tomar todos los valores comprendidos

entre a y b.

X : Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de

mineral (14.8 gr, 12.1,10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, …,∞)

PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (X)

•p(x) ≥0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores

o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo

valores mayores o iguales a cero.

•El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1

xpxXE



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EJERCICIOS DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

1. Un ingeniero, jefe de una planta de producción, sabe que todos los años tienen

supervisiones generales de los procesos de producción para detectar fallas y realizar

correcciones. Por la experiencia acumulada durante años sabe que el número de

supervisiones anuales se distribuye con arreglo, según la Tabla Nº 1:

a) Calcular el valor de A.

b) Calcular el número

esperado de supervisiones

anuales.

c) Calcular la varianza y la desviación típica del número de supervisiones anuales.

d) Probabilidad de que en un año elegido al azar se celebren más de 3 supervisiones.

e) Probabilidad de que en un año elegido al azar se celebren menos de 2 supervisiones.

f) Probabilidad de que en un año elegido al azar se celebren por lo menos 4 supervisiones.

g) Probabilidad de que en un año elegido al azar se celebren a lo más 2 supervisiones.

h) Probabilidad de que en un año elegido al azar se celebren por lo menos 2 y a lo más 4

supervisiones.

2. A partir del experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas a la vez,

consideramos la variable aleatoria X = “nº de caras obtenidas”.

a) Determina la distribución de probabilidad de la variable.

b) Calcula )2( XP , )3( XP , )5,21( XP

c) Calcular la probabilidad 1 3P X

d) Determine el número esperado de caras y su desviación estándar.

3. Sea X el número de defectos diarios de artículos industriales que produce una Fábrica.

La función de probabilidad para X es:

Nº de defectos 1 2 3 4 5

Probabilidad 3k k K+0.2 0.2 k

Calcule:

a) El valor de la constante K sabiendo que la distribución es de probabilidad.

b) La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea menor a 3.

c) La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea a lo más 2.

d) La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea más de 2.

e) La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos no sea a lo más

3.

f) La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea por lo

menos 1 y a lo más 4.

g) Determine el número esperado de defectos diarios y su desviación estándar.

Nº de supervisiones 1 2 3 4 5

Probabilidad (A-3)/15 A 1/15 3/15 (A-1)/15

Tabla Nº 1



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4. Sea X el número de fallas de una probeta de concreto. La función de probabilidad para X

es:

Nº de fallas 1 2 3 4 5 6

Probabilidad 0,01 a 0,4 0.2 0,1 0,09

Calcule:

a) El valor de a.

b) La probabilidad de que el número de fallas es 3.

c) La probabilidad de que el número de fallas es a lo más 4

d) La probabilidad de que número de fallas es por lo menos 2.

e) La probabilidad de que número de fallas como máximo es 3.

f) Hallar el nº esperado de accidentes mensuales y su desviación estándar.

5. Una variable aleatoria X puede tomar los valores 30, 40,50 y 60 con probabilidades

0.40; 0.20; 0.10 y 0.30. Represente en una tabla su función de probabilidad y

determine las siguientes probabilidades.

a) P(X≥60)

b) P(X<40)

c) P(30≤X)

d) P(50≥X)

e) P(40<X)

f) P( 40 ≤ X ≤ 60)



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2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD:

2.1. Distribuciones de Probabilidad Discreta

En una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta podemos calcular la

probabilidad de que la variable aleatoria tome un determinado valor

- Distribución Bernoulli

- Distribución Binomial

- Distribución Poisson

2.2. Distribuciones de Probabilidad Continua

En una distribución de probabilidad de la variable aleatoria continua podemos calcular la

probabilidad de que la variable pueda asumir cualquier valor dentro de un intervalo de

la recta numérica o de un conjunto de intervalos

- Distribución Normal

- Distribución Normal Estándar

- Distribución t de Student

- Distribución Chi-cuadrado

- Distribución F

2.1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

Estudiaremos tres tipos de distribuciones de probabilidades discretas: la Bernoulli, la

Binomial y la de Poisson. Aunque existen otras distribuciones de probabilidades discretas

como la Distribución Geométrica y la Hipergeométrica, sólo nos ocuparemos de las tres

primeras

2.1.1. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución

dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jacob Bernoulli, es una

distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y

valor 0 para la probabilidad de fracaso (q = 1 − p).

Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único

experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable

aleatoria X se distribuye como una Bernouilli de parámetro p. X Be (p)

Su función de probabilidad es:



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La media o valor esperado y la varianza de una variable que sigue una Dist. De Bernoulli

queda definida de la siguiente manera :

Esperanza matemática:

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.

Ejemplos de Ensayos de Bernoulli

1. Lanzar una moneda

2. Rendir un Examen

3. Encender una máquina, etc

2.1.2. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Esta distribución se origina en los Ensayos o Experimentos Bernoulli que consiste en

realizar 1 experimentos que tiene dos resultados posibles, llamados “éxito” y “fracaso”.

Experimento Binomial:

Es aquel que consiste en realizar “n” veces ensayos de Bernoulli, en el cual se debe

cumplir lo siguiente:

a. Cada ensayo tienen solo dos resultados posibles.

b. Los ensayos son independientes.

c. La probabilidad de éxito “p” es constante en cada ensayo.

Esta distribución tienen las siguientes características:

1. Su variable aleatoria está definida como:

X: Numero de éxitos en “n” ensayos.

2. Su recorrido o rango es:

Rx = {0,1,2,3,4,5, …, n}

3. Su función de probabilidad está dada por:

4. Sus parámetros son :

nxqpx

nxXPxf xnx ,...,2,1,0,)()(

Varianza:



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n : Tamaño de muestra.

p : Probabilidad de éxito en cada uno de los ensayos o proporción de interés.

5. Su notación es : X B ( n, p ) 6. Uso de tabla: Para el uso de tabla tener en cuenta lo siguiente

Ejemplo 1:

En una caja de un almacén, hay 12 artículos eléctricos de los cuales 3 son defectuosos.

Si se extrae una muestra aleatoria de 5 a partir de los artículos de la caja.

¿Cuál es la probabilidad de que:

• Ninguno sea defectuoso.

• Exactamente 1 sea defectuoso.

• Menos de 2 sean defectuosos.

Ejemplo 2:

La probabilidad de error de un determinado programa de automatización industrial es

0,28. Calcular la probabilidad de que una vez instalado en 15 máquinas:

a) Ninguna tenga error

b) Todos tengan un error c) Dos de ellas tengan error

Solución:

Se trata de una Distribución Binomial de parámetros B (15 , 0, 28)

a) P ( X= 0 ) = 0.28 0 0.7215 = 0.00724

A. P ( X ≤ a ) = Usar directamente la tabla B. P ( X > a ) = 1 - P ( X ≤ a ) C. P ( X ≥ a ) = 1 - P ( X ≤ a - 1 ) D. P ( X = a ) = P ( X ≤ a ) - P ( X ≤ a - 1 ) E. P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) - P ( X ≤ a-1 ) F. P ( a ≤ X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a-1 ) G. P ( a < X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a )

15

0



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b) P(X= 15) = 0.28 15 0.72 0 = 5.097.10 -9

c) P (X = 2) = 0.28 2 0.72 13 = 0.11503

Ejemplo 3:

Un ingeniero se presenta a un examen de selección múltiple que contiene 8 preguntas

cada una con tres respuestas opcionales. Si el ingeniero está adivinando al responder

cada pregunta y además se sabe que para aprobar el examen debe responder

correctamente 6 o más preguntas. ¿ Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?.

Solución:

1. Definimos la variable aleatoria X tal que:

X = Número de respuestas correctas en las 8 preguntas

Rx = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2. Puesto que cada pregunta consta de una respuesta correcta y dos respuestas

incorrectas:

P ( E) = 1/3 = p y P ( F ) = 2/3 = q

3. Luego la distribución de probabilidad de X es:

4. Sea A, el evento: “ Aprobar el examen”, entonces:

Ejemplo 4:

La probabilidad de que un trabajador tenga un accidente es del 40 por 100.

Hallar:

a) El número esperado de trabajadores con accidentes en una fábrica de 1000.

b) La varianza

Solución: a) 1000* 0.40 = 400 trabajadores

b) 1000 * 0.40 * 0.60 = 240 trabajadores 2

15

15

15

2



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CASO Nº 01:

El almacenero del laboratorio reporta que de las treinta puntas de prueba de osciloscopios el

20% están malogradas, él desea saber la probabilidad de que:

a) Estén malogradas 4 puntas de prueba.

b) Ninguna punta de prueba esté malograda

c) A lo más 3 puntas de prueba están malogradas

d) Más de 2 puntas de prueba estén malogradas

CASO Nº 02:

Una cadena grande de tiendas compra cierto tipo de dispositivo electrónico de un fabricante. El

fabricante indica que el porcentaje de defectuosos es de 3%.

a. El inspector de la cadena elige 20 artículos al azar de un cargamento ¿Cuál es la probabilidad

de que haya a lo mas dos artículo defectuoso?

b. El inspector de la cadena elige 10 artículos al azar de un cargamento ¿Cuál es la probabilidad

de que haya al menos un artículo defectuoso?

CASO Nº 03:

La probabilidad de fallar durante el vuelo para cada uno de los seis motores de un avión es de

0.0005. Suponiendo que los seis motores trabajan independientemente, determine la

probabilidad que en un vuelo determinado:

a) No ocurra ninguna falla de motor

b) No ocurra más de una falla

c) Ocurra exactamente dos fallas

d) Hallar el valor esperado del número de fallas.

CASO Nº 04:

Cuando se prueban tarjetas de circuitos empleados en la manufactura de reproductores de

discos compactos, a la larga el porcentaje de partes defectuosas es de 5%. Sea X = número de

tarjetas defectuosas en una muestra aleatoria de tamaño 25. Determine:

a) P ( X ≤ 2)

b) P ( X ≥ 5)

c) P ( 1 ≤ X ≤ 4)

d) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las 25 tarjetas esté defectuosa?

e) Calcule el valor esperado y desviación estándar de X.

CASO Nº 05:

Se conjetura que hay impurezas en 30% de los pozos de agua potable de cierta comunidad aledaña a una actividad minera. Para obtener algún conocimiento del problema se determina que debería realizarse algún tipo de prueba. Es muy costos probar todos los pozos del área por lo que se eligieron 10 aleatoriamente para la prueba.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres pozos tengan impurezas, considerando que la conjetura es cierta?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que más de tres pozos tengan impurezas?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que más de dos pozos pero menos o igual a 5 pozos tengan impurezas? CASO Nº 06:

Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas tienen imperfecciones y deben clasificar como “de segunda”

a) Entre seis copas seleccionadas al azar ¿ Qué tan probable es que sólo una sea de segunda? b) Entre seis copas seleccionadas al azar ¿ Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos sean de

segunda? c) Entre 5 copas seleccionadas al azar ¿ Cuál es la probabilidad de que a lo más 4 sean de segunda?

ESTUDIO DE CASOS



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2.1.3. LA DISTRIBUCIÓN POISSON

La Distribución de Poisson es otra de las distribuciones de probabilidad discretas más

importantes porque se aplica en muchos problemas reales. Esta distribución se origina en problemas que consiste en observar la ocurrencia de

eventos discretos en un intervalo continuo (unidad de medida). Ejemplos:

1. Numero de manchas en un metro cuadrado de un esmaltado de un refrigerador. 2. Número de vehículos que llegan a una estación de servicios durante una hora. 3. Número de llamadas telefónicas en un día. 4. Número de clientes que llegan a un banco durante las 10 y 12 p.m. 5. Numero de bacterias en un cm3 de agua.

Esta distribución tienen las siguientes características:

1. Su variable aleatoria está definida como: X: Numero de ocurrencias en 1 unidad de medida (Tiempo, Volumen,

Superficie, etc.)

2. Su recorrido o rango es:

Rx = {0,1,2,3,4,5, ….} 3. Su función de probabilidad está dada por: 4.

5. Su parámetro es λ : tasa promedio de ocurrencia en 1 unidad de medida.

5. Su notación es : X P( λ ) Ejemplo 1:

Si como promedio un tablero electrónico recibe 0.05 llamadas por segundo, ¿Cuál es

la probabilidad de que en un determinado minuto:

a. Reciban exactamente dos llamadas.

b. Reciban no más de dos llamadas.

SOLUCION:

Se tiene que λ = 0.05 llamadas por segundo

Entonces: λ = 0.05(60) = 3 llamadas por minuto

a. Reciban exactamente dos llamadas.

b. Reciban no más de dos llamadas.

,...2,1,0,!

)()()(

xx

exXPxf

x

224.02!

3e2XP

23

2)P(X1)P(X0)P(X2XP

423.0224.0149.0497.02!

3e

1!

3e

0!

3e 231303



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-

Ejemplo 2:

Un Jefe sanitario realiza una inspección en un centro educativo; sobre la calidad del

agua que consumen los estudiantes y que contiene un promedio de 4 bacterias por

cm3

a) Hallar la probabilidad de que el inspector no encuentre bacteria alguna en 0.5

cm3 de agua.

b) Hallar la probabilidad de que el inspector no encuentre bacteria alguna en 1 cm3

de agua.

c) Hallar la probabilidad de que el inspector encuentre a lo más 2 bacterias en 1 cm

3 de agua.

Solución:

Se define a X como el número de bacterias en una muestra de 1 cm3 de agua

a) La probabilidad de que el inspector no encuentre bacteria alguna en 0.5 cm3 de

agua

P(X = 0) = = 0.1353

b) Hallar la probabilidad de que el inspector no encuentre bacteria alguna en 1 cm3 de

agua.

P(X = 0) = = 0.0183

c) Hallar la probabilidad de que el inspector encuentre a lo más 2 bacterias en 1 cm 3

de agua.

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.0183 + 0.0733 + 0.1465 = 0.2381.

Ejemplo 3:

е – 2

2 0

0!

е – 4

4 0

0!



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CASO Nº 01:

En un paradero de mina, se determino que los trabajadores en horas no punta llegan

aleatoriamente a una tasa promedio de 24 trabajadores por hora. Se desea calcular las

siguientes probabilidades:

a. Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 20trabajadores durante esa hora?

b. Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 15 trabajadores durante esa hora?

c. Cuál es la probabilidad de que lleguen menos de 15 trabajadores durante esa hora?

d. Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 18 trabajadores durante esa hora?

CASO Nº 02:

Un ingeniero Jefe del Área de Control de Calidad de la empresa Coca Cola, realiza un examen

de control respecto al agua que está utilizando para la elaboración de Gaseosas. Este líquido

contiene ciertas bacterias no nocivas para la salud a razón de 5 bacterias por cm3. Si toma una

muestra de 1 cm3, calcular las siguientes probabilidades

a. Cuál es la probabilidad que la muestra no contenga bacteria alguna?

b. Cuál es la probabilidad de que en ½ cm3 haya por lo menos 2 bacteria?

c. Cuál es la probabilidad de que en 2 cm3 haya a lo más 8 caterias?

CASO Nº 03:

En un estudio por parte del Ministerio de Transporte y Comunicaciones (MTC), se ha

determinado que en la carretera panamericana con destino a Lima, hay en promedio de 18

accidentes por semana (7 días), calcular las siguientes probabilidades:

a. Cuál es la probabilidad de que en una semana no haya ningún accidente.

b. Cuál es la probabilidad de que en dos semanas haya 10 accidentes.

c. Cuál es la probabilidad de que en 1semana ocurra menos de 15 accidentes.

REGLA: (aproximación de la distribución Binomial a la distribución Poisson)

CASO Nº 04:

En un estudio de Control de Calidad de determino que el 0.01% de los relojes producidos por

una empresa Taiwanesa son defectuosos.

a. Cuál es la probabilidad de que un pedido de 1000 relojes exista exactamente un reloj

defectuoso?.

b. Cuál es la probabilidad de que en el mismo pedido de 1000 relojes existan al menos dos

defectuosos?

CASO Nº 05:

En un proceso productivo de tornillos el 0.8% son defectuosos.

a. Cuál es la probabilidad de que un lote de 1000 tornillos contenga uno o más defectuosos?

b. Cuál es la probabilidad de que en este mismo lote exista exactamente 4 tornillos

defectuosos?

Si en una distribución binomial, n es grande (n ≥ 100) y la probabilidad de ocurrencia es pequeña

(p ≤ 0.05), aproximar la distribución Binomial a la distribución Poisson, calculando ( λ = np).

ESTUDIO DE CASOS



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ESTADISTICA Y PROBABILIDAD DE AUTOR “JAY L DEVORE 7E”

Desarrollar los ejercicios 79-84, propuestos en la Seccion 3.6 pg 125 (septima Edición de Jay L.

Devore).

2.2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTÍNUA

Para comprender la diferencia entre las variables aleatorias discretas y las continuas,

recordemos primero que para una variable aleatoria discreta podemos calcular la

probabilidad de que la variable aleatoria tome un determinado valor. Para las v.a continuas

el caso es muy distinto ya que puede asumir cualquier valor dentro de un intervalo de la

recta numérica o de un conjunto de intervalos

2.2.1. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL:

La distribución normal, llamada también Curva de Gauss (en recuerdo al científico

que lo descubrió), es la distribución de probabilidad más importancia en la Estadística y

por ende del Cálculo de Probabilidades.

Esta distribución de probabilidad es importante porque las variables aleatorias continuas

(peso, edad, talla, producción, gasto en publicidad, temperatura, ventas, PBI, ganancias,

etc) que son variables que más se evalúan en una investigación científica o investigación

de mercados se aproximan a esta distribución de probabilidad.

También es importante porque se utiliza como aproximación de las distribuciones

discretas tales como: la Binomial, la Poisson, etc.

CARACTERÍSTICAS

1. Tiene como parámetros a y

2. Su función de probabilidad está dada por:

Xxf

X

,2

1)(

2

2

1

Además:

- +

Donde: - < < + y > 0



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-

3. El promedio puede tomar valores entre – y + mientras que > 0, entonces

existen infinitas curvas normales.

4. Esta función de probabilidad es asintótica con respecto al eje X, (a pesar de tener

recorrido infinito, la curva nunca toca el eje X); además es unimodal y es simétrica con

respecto a la media .

5. El areá bajo esta función o curva es 1 ó 100%, de la misma manera se sabe que las

áreas comprendidas bajo la curva normal son:

1. = 68.3% 2. 2 = 95.5% 3. 3 = 99%

- 3 2 1 1 2 3 +

7. Para calcular probabilidades en la distribución normal se necesitaran infinitas tablas de

probabilidad.

2.2.2. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR:

1. Es una distribución a la cual se le ha modificado la escala original; esta modificación se

ha logrado restando la media al valor de la variable original y dividiendo este resultado

por , la nueva variable se denota por Z y recibe el nombre de variable estandarizada

ZX

2. La modificación de la escala ha permitido elaborar una tabla para el cálculo de las

probabilidades; si esto no hubiera sido posible, sería necesario construir una tabla para

cada valor de y .

3. La función de densidad de la variable estandarizada es:

f z ez

( )

1

2

1

2

2

4. El promedio (valor esperado) y la varianza de Z son: E(Z) = 0 , V(Z) = 1

5. Notación:

Si X es v.a. continua distribuida normalmente con media y varianza 2 , la denotamos

por : X N( , 2).

Aplicando esta notación a la variable normal estandarizada Z, escribimos:

Z N(0 , 1) , esto se interpreta como, Z tiene distribución normal con media 0 y

varianza 1.

6. La superficie bajo la curva normal Z estandarizada también es igual a 1. Por

consiguiente, las probabilidades pueden representarse como áreas bajo la curva normal

escandalizada entre dos valores.



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-

7. Debido a que la distribución normal es simétrica muchas de las tablas disponibles

contienen solo probabilidades para valores positivos de Z.

USO DE TABLA:

Si se conoce el comportamiento de una variable, es decir, se sabe que tienen una

distribución normal, para calcular las diferentes probabilidades se tiene que estandarizar la

variable. Una vez estandarizada la variable, recién utilizar la tabla de la distribución normal

estandarizada o tabla Z.

FORMULAS:

a. )()()(

aZP

axPaxP

b. )(1)(1)(1)(

aZP

axPaxPaxP

c.

)()(

bZ

aPbxaP

Ejemplo 1:

Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral,

se Distribuye normalmente con media 6,5 y varianza 4.

a. Calcule la probabilidad de que un

aspirante obtenga 8 puntos o más.

P ( x ≥ 8)

Luego: P ( z ≥ 0.75) = 1 – P ( z ≤ 0.75) = 1 – 0.773372648 = 0.22662735

b. Determine el porcentaje de

aspirantes con calificaciones inferiores o iguales a 5 puntos. P ( x ≤ 5)



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-

c. ¿Cuántos aspirantes obtuvieron

calificaciones comprendidas entre 5 y 7,5 puntos? P ( 5 ≤ X ≤ 7.5 )

P ( 5 ≤ X ≤ 7.5 ) = P ( X ≤ 7.5 ) - P ( X ≤ 5 ) =

P ( z ≤ 0.5 ) - P ( z ≤ -0.75 ) = 0.69146246 - 0.22662735 = 0.46483511

CASO Nº 01:

El tiempo de duración de los focos de alumbrado eléctrico producidos por una compañía

eléctrica tiene una distribución normal con una media de 1000 horas y una desviación estándar

de 250 horas. Determinar la probabilidad de que:

a. Un foco tomado al azar se queme antes de las 990 horas de funcionamiento

b. Un foco se que queme entre 980 y 1120 horas de funcionamiento.

c. Un foco dure más de 998 horas

CASO Nº 02:

NEUMA Perú, es una empresa que produce llantas para automóviles en nuestro país. La vida útil

de estas llantas se distribuye aproximadamente como una normal con media y desviación

estándar iguales a 32000 y 1000 millas respectivamente. Esta empresa quiere exportar estas

llantas por lo que empieza a hacer ciertos cálculos acerca de la calidad de estas llantas, para lo

cual se hace las siguientes preguntas:

a. Cuál es la probabilidad de una llanta producida por esta empresa tenga una vida útil de

31900 millas.

b. Cuál es la probabilidad de una llanta producida por esta empresa tenga una vida útil desde

31000 y 33000 millas.

ESTUDIO DE CASOS

Multiplicando la probabilidad por el total de aspirantes

obtenemos el número de ellos que tienen

calificaciones comprendidas entre 5 y 7,5.

= 0.46483511 x 500 = 232 aspirantes.



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-

c. Si las empresa fija una garantía de 30000 millas. ¿Qué porcentaje de esta producción

necesitará ser reemplazada?

CASO Nº 03:

El tiempo requerido para realizar una pregunta de examen es una variable aleatoria cuya

distribución es aproximadamente normal con media 12.9 minutos y una desviación estándar de

2.0 minutos. ¿Cuáles son las probabilidades de que un alumno resuelva una pregunta del

examen en?

a. Al menos 11.5 minutos.

b. Entre 11.0 y 14.8 minutos. A lo más 12 minutos. Entre 10 y 13 minutos.

CASO Nº 04:

Una COMPAÑÍA recibe importante cargamento de pernos. Estos se utilizaran en una aplicación

que necesita de una torsión de 100J. Antes de que se acepte el cargamento, un ingeniero

especialista en control de calidad sacara una muestra de 12 pernos y medirá la torsión para

romper a cada uno de ellos. El cargamento será aceptado si el ingeniero concluye que menos de

1% de los pernos tiene torsión de ruptura menor a 100 J.

a) Si los doce valores son: 107, 109, 111, 113, 113, 114, 114, 115, 117, 119, 122, 124,

calcule la media y la desviación estándar muestral.

b) Suponga que se saca una muestra de 12 valores de una población normal, y suponga

que la media y la desviación estándar muestrales calculadas en el inciso a) son

realmente la media y desviación estándar de la población. Calcule la proporción de

pernos cuya torsión de ruptura es a lo más 100 J. ¿Sera aceptado el cargamento?

c) ¿Qué pasara si los 12 valores hubieran sido 108, 110, 112, 114, 114, 115, 115, 116,

118, 120, 123, 140? Utilice el método descrito en los incisos a) y b) para determinar si el

cargamento hubiera sido aceptado?

d) Compare los conjuntos de 12 valores en los incisos a) y c) ¿En que muestra los pernos

son más resistentes?

CASO Nº 05:

La Empresa AJE está produciendo su producto Agua Cielo litro y medio en envase de PET. El

contenido promedio de envasado por unidades es de 1500 mililitros con una desviación

estándar de 50 mililitros. Según resoluciones de Indecopi, si el producto elaborado no alcanza

los 1450 mililitros la empresa será penalizada. Según el Inspector de Calidad las botellas

tampoco deben de superarlos 1550 mililitros dado a que puede ocasionar pérdida de líquido al

encapsular. Si se envasan 200000 botellas en forma diaria y se selecciona al azar a una unidad

cualquiera. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a. La empresa sea penalizada?

b. Se pierda contenido?

c. No exista problemas con Indecopi ni al encapsular?

d. Determinar cuántas botellas se derramarán si cada envase tiene una

capacidadde1575mililitros?

e. Si control de calidad debe separar a todas las unidades envasadas con menos de1450omás

de 1550mililitros,probablemente,¿Cuántas botellas serán separadas?

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD DE AUTOR “JAY L DEVORE 7E”

Desarrollar los ejercicios 28,29, 32, 33, 36, 37y 46 propuestos en la Seccion 4.3 pg 154

(septima Edición de Jay L. Devore).



pág. - 18

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2.2.3. LA DISTRIBUCION t DE STUDENT

Hallar las siguientes probabilidades



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2.2.4. LA DISTRIBUCION CHI CUADRADO

Sea X una variable que sigue una distribución Chi cuadrado con 10 gl. Hallar a siguientes probabilidades



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2.2.5. LA DISTRIBUCION F DE SNEDECOR

Es una distribución de probabilidad de gran aplicación en la inferencia estadística ,

fundamentalmente en la contrastación de la igualdad de varianzas de dos poblaciones

normales, y , fundamentalmente en el análisis de la varianza , técnica que permite detectar

la existencia o inexistencia de diferencias significativas entre muestras diferentes y que es,

por tanto esencial , en todos aquellos casos en los que se quiere investigar la relevancia de un factor en el desarrollo y naturaleza de una característica.

La distribución se plantea partiendo de dos variables X e Y tales que :

es decir una chi2 con m grados de libertad

es decir una chi2 con n grados de libertad ;

de manera que si establecemos el cociente , es decir el cociente entre ambas chi2

divididas a su vez, por sus correspondientes grados de libertad tendremos que la función F

corresponde a una distribución F de Snedecor con m y n grados de libertad ; es decir una

Sea X una variable que sigue una distribución F con 8 y 10 gl. Hallar a siguientes probabilidades

http://www.uv.es/ceaces/tex1t/3%20infemues/simple.htm

http://www.uv.es/ceaces/tex1t/6%20para/ciguvar.htm

http://www.uv.es/ceaces/anova/anova.html

http://www.uv.es/ceaces/normaMu/chi2/chi2.htm

módulo distribuciones de probabilidad

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