1. 1. Universidad Pedaggica de El Salvador Facultad de Educacin Escuela de Ciencias Naturales y ExactasAsignatura: Bases para el estudio de las Ciencias NaturalesUnidad 3Matemtica: Lenguaje y herramienta de las Ciencias NaturalesDocente: Lic. Juan Carlos Prez MajanoPara Profesorado y Licenciatura en Ciencias Naturales
2. 2. 1.1 Fracciones AlgebraicaUna fraccin algebraica es una expresin fraccionaria en la que el numeradory denominador son polinomios; o son expresiones literales que representanel cociente entre dos expresiones algebraicas y se representa con la siguienteformula general:Se operan del mismo modo que las fracciones ordinarias. Son frecuentes loserrores de signos y los errores en el uso incorrecto de parntesis.Suma y resta: la suma y la resta de fracciones algebraicas es semejante a lade fracciones aritmticas. Empezaremos tratando la suma y resta defracciones algebraicas con denominadores iguales y, luego, extenderemos elanlisis a la suma y resta de fracciones algebraicas con denominadoresdistintos.Veamos: Dos formas de realizar adicin puede ser en denominadores igualesy diferentes:Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador esuna fraccin cuyo numerador es la suma de los denominadores, y cuyodenominador es el denominador comn.Ejemplo:Ejemplo=Sacar el m.c.d
3. 3. Multiplicacin de fracciones: el producto de las fracciones; se definede la siguiente manera ; es as que el producto de dos facciones esuna fraccin cuyo numerador es el producto de los numeradores, y cuyodenominador lo es de los denominadores.Ejemplo: Encontrar el productoDivisin de fracciones: de la divisin de fracciones tenemos queel resultado anterior muestra como transformar la divisin de fracciones enuna multiplicacin.Ejemplo: simplificar
4. 4. 1.2 Exponentes y radicalesCuando se tiene 2 . 2 . 2 . 2, esto es, cuatro factores de 2, se emplea lanotacin 24, la cual se lee, dos a la potencia de cuatro, o bien dos a lacuarta potencia.Del mismo modo, a . a . a . a . a = a5 significa cinco factores de a. El numero ase llama base y el 5, exponente. Cuando no hay este ultimo, como en x, sesupone siempre x a la potencia 1.Ntese la diferencia entre:Obsrvese tambin que mientras que 2a3 = 2(a . a . a) (2a)3 = (2a) (2a)(2a) = (2 . 2 . 2)(a. a . a) = 23a3 = 8a3Ejemplos: 1. 7a.a.a.a = 7a4 2. (-3)(-3)(-3)(-3) = -(-3)4Las reglas de los exponentes basados en teoremas: 1. 2.
5. 5. 3. 4.(mayor que) 4.1 4.2 (menor que) 5.Exponente cero y exponente negativo:a m-n = 1, o bien a0=1Por consiguiente, se define que si Cuando a = 0, se tiene 00, locual es indeterminado.De acuerdo a esta definicin, puede demostrarse que los teoremasanteriores para exponentes son validos cuando se presenta un exponentecero.Ejemplo: 1. 20=1 2. (-20)0=1 3. (a2b3)0=1Exponentes fraccionarios positivos: para los exponentes fraccionariospositivos, se debe tener la siguiente definicin:Radicales: la raz n-sima de un numero real a se denota por el smbolo,el cual se llama radical. La raz n-sima de a es un numero cuya potencia n-sima es a; esto es,
6. 6. 1. 2.El numero natural n presente en el radicalse llama ndice u orden delradical, y a se denomina radicando. Cuando no se escribe ningn ndice,como en , se sobrentiende que el ndice es 2 y se lee raz cuadrada de a.Si el ndice es 3, como en, se lee raz cubica de a.Ejemplo: 1. 2. 3. 4.Cuando se tiene de la formasiempre queEjemplo: 1. 2. 3.Cuando el valor de un radical es un nmero racional, se dice que es una razperfecta. Puesto que, un radical es raz perfecta si el radicandose puede expresar como un producto de factores, cada uno de los cuales conun exponente que sea un mltiplo entero del ndice del radical.Ejemplo: 1.2.
7. 7. 1.3 Ecuaciones y DesigualdadesPara resolver ecuaciones de primer grado o lineales con una variable, esdecir, para resolver cualquier ecuacin que se pueda escribir de la forma:Donde a y b son constantes reales y x es una variable. El conjunto desolucinpara una ecuacin se define como el conjunto de elementospertenecientes al conjunto de las sustituciones que hacen de la ecuacin unaproposicin verdadera. Cualquier elemento del conjunto de soluciones sedenomina solucin o raz de la ecuacin. Resolver una ecuacin es encontrarel conjunto de solucin para esta.Ejemplo cual es el conjunto de solucin para la ecuacin: lasolucin es {2,-2}.Ejemplo 1: ResulvaseEl conjunto solucin para esta ltima ecuacin es obvio. Conjunto solucin{4}.Comprobacin:
8. 8. Se llama conjunto solucin de una desigualdad al conjunto formado poraquellos nmeros reales que hacen verdadera la desigualdad.Existen casos de desigualdades como lineales y cuadrticas a continuacinveremos algunos ejemplos.Ejemplo de desigualdad lineal: Encontrar el conjunto solucin deEjemplo de desigualdad cuadrtica: Encontrar el conjunto solucin deEste es un binomio al cuadrado de la forma:Se multiplica por por que todos los trminos son divisibles entre dos.Cuando X va ser igual a cero; x=2 y X=-1 y verificamos que se cumple lapropiedad.
9. 9. 1.4 Funciones LogartmicasEn general se define la funcin logartmica de base b como la inversa de lafuncin exponencial con baseEl logaritmo de base b de x es la potencia a la cual debe elevarse b paraobtener x. 1. De las formas algortmicas a las exponenciales y viceversaEjemplos: Por definicin de logaritmo para despejar x tenemosque bajarla del exponente esto se logra aplicando logaritmo a ambos ladosde la ecuacin entonces tenemos:; despejando ,utilizando la calculadora aplicamos log 8 entre log 2 dar como resultado 3.EntoncesPropiedades de las funciones logartmicas:Si b, M, y N son nmeros reales positivos, b 1 y p es un nmero real,entonces: 1. 2. 3. 4. 5.
10. 10. Ejemplos de las propiedades: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
11. 11. 1.5 Binomio de newtonEl binomio de Newton es la frmula que nos permite elevar a cualquierpotencia de exponente natural, n, un binomio. O sea la forma de obtener, entonces la respuesta es la siguiente:Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de.El cuadrado de una sumao el cuadrado de una resta sonslo los casos ms sencillos cuando elevamos un binomio a una potencia.Para estos casos, son conocidas las frmulas "el cuadrado del primero ms (omenos) el doble del primero por el segundo ms el cuadrado del segundo",es decir:Si generalizamos esto para cualquier exponente n, tenemos lo que se conocecomo "Binomio de Newton".Precisamente los coeficientes son los nmeros de la fila ensima delTringulo de Tartaglia:
12. 12. Ejemplo:
13. 13. 1.6 Par ordenado y producto cartesianoPar ordenado: En un sistema de coordenadas cartesianas, dos rectasnumricas perpendiculares, llamadas de ejes, se intercambia se intersectanen un punto llamado origen. El eje horizontal se llama eje de x y el ejevertical, eje de y. Estos dos ejes permiten nombrar cada punto por medio deun par ordenado de nmeros llamados coordenadas del punto.Las coordenadas del origen son . Las coordenadas del punto sony las coordenadas del punto son. Ladelpunto es 3 y ladel punto es -4.Ejemplo:Dar las coordenadas de los puntos A, B y C.
14. 14. Ejercicio 1En el papel milimetrado representar de acuerdo a la grafica las coordenadasde los puntos D, E, F, G, K, J y I.Ejercicio 2En el papel milimetrado representar los puntos .Ejercicio 3
15. 15. Producto cartesiano: una pareja ordenada con primer elemento y segundoelemento la denotamos por. El producto cartesiano de dos conjuntoses el conjunto de todas las parejas ordenadas que tiene su primerelemento en y su segundo elemento ; es decir:Donde la igualdad entre parejas se define como:Observaciones: 1. En general, Por ejemplo,ya que 2. La igualdad se cumple solo si 3. 4. En general,Ejemplo: 1. Encontrar 2. Describir el conjunto
16. 16. Ejercicios: 1. Si, localizar en el plano cartesiano loselementos del producto 2. Si, encuentra: a. b. 3. Localiza en el plano los elementos de los conjuntos que se indican,tomando en cuenta que:1.7 Relaciones y funcionesSe llama relacin del conjuntoen el conjunto, a todo subconjunto delproducto cartesiano .Ejemplo: Para los conjuntosRelaciones de A en B son:1.2.3. Dominio: es el conjunto de las primeras componentes de una relacin R se llama DOMINIO de R.
17. 17. Recorrido: es el conjunto de las segundas componentes de R se llamaRECORRIDO o rango de R.Si la relacin R es un subconjunto del producto cartesiano A x A entonces sedice que R es una relacin en A.Ejemplo:Dado el conjunto de los nmeros dgitos,. Encontrar elDominio, Recorrido y graficar la relacin.Se le llama funcin a toda relacin que cumple con la condicin de que: acada valor x del dominio le hace corresponder un solo valor y delrecorrido.La notacin que se emplea para designar las funciones es la siguiente:En este caso y.A la igualdadse le llama ley de asignacin. E indica la manera enque estn ligadas la variable independiente y dependiente.Ejemplo:Una funcin como se expresa massencillamente escribiendo nicamente su ley de asignacin. Lo cual puedehacerse de las dos maneras siguientes:
18. 18. Ejemplo: De la funcin sacar raz cuadradaDad la funcin , encontrar:Dominio: se llama dominio de una funcin al conjunto de todos los valoresque puede tomar la variable independiente:Recorrido: se llama recorrido o rango de una funcin al conjunto de todos losvalores que toma la variable dependiente.Nota: cuando no se indique otra cosa deberemos entender que el dominioestar constituido por el conjunto mas amplio para el cual la ley deasignacin , tenga sentido.Ejemplo: determinar el dominio y el recorrido de la funcin.1.8 Funciones algebraicasPara la funcin polinmica ; sellama polinmica o polinomial de grado n, si los coeficientesson nmeros reales y los exponentes de la variable x, son enteros nonegativos.Ejemplo 1: , es una funcin polinomial de grado 5.La funcin polinomial da origen, de acuerdo a su grado, a varias funcionesespeciales. 1. Si el grado de una funcin polinomial es cero, entonces a la funcin sele llama constante y es de la forma
19. 19. Ejemplo 2:Graficar la funcin constanteEl dominio de esta funcin constante es R y el recorrido es {4}. 2. Si el grado de una funcin polinomial es uno, entonces a la funcin sele llama funcin lineal y es de la formaEjemplo 3:Graficar la funcin lineal 3. Si el grado de la funcin polinomial es dos, entonces se conoce con elnombre de funcin cuadrtica y es de la formaEjemplo 4:Graficar la funcin cuadrtica 4. Si el grado de la funcin polinomial es tres, entonces se conoce con elnombre de funcin cubica y es de la forma.Ejemplo 5:Graficar la funcin cubica 1.9 Funciones InversasLa operacin inversa de la suma es la resta, de la multiplicacin es la divisin;mientras que la operacin inversa de la elevacin a potencias es la extraccinde races. En suma, lo que una operacin hace, su operacin inversa lodeshace.
20. 20. De la misma manera, la funcin inversa de , la cual se denota como , esaquella funcin que deshace todo lo que hace.Ejemplo 1:La funcin . A partir de la x del dominio hace lo siguiente:Paso 1. Multiplica por 3 3xPaso 2. Suma 4Entonces la funcion inversa se obtiene invirtiendo el orden de lospasos yempleando en cada caso no la operacin original, si no que su inversa, asPaso 1. Resta 4Paso 2: divide entre 3Por lo tantoDebemos tener en cuenta que si la funcion va dehacia , entonces lafuncion inversaviene de hacia .Una manera mas practica de obtener la funcion inversa es la siguiente: 1. Se verifica que sea uno a uno (que dos elementos del dominio nodeben tener la misma imagen) 2. Se sustituye por 3. Se despejaEjemplo 2. Encontrar la iversa de la funcion 1. Se sustituye x por (x) y f(x) por x 2. Se despeja
21. 21. 1.10 Funciones TranscendentesLas funciones que se vieron anteriormente han sido algebraicas; por que sedefinen haciendo uso de variables y de las operaciones de suma, resta,multiplicacin, divisin, elevacin a potencias y extraccin de races; porejemplo .Se llaman funciones transcendentes las que no pueden ser definidassolamente en base a operaciones algebraicas. Las principales funcionestranscendentes son: exponenciales, logartmicas y trigonomtricas. 1.10.1 Funciones ExponencialLa funcin exponencial describe crecimiento o decrecimientos acelerados ytiene mltiples aplicaciones en campos tan diversos como biologa, qumica,economa, fsica, demografa, etc.Supongamos que un bilogo se encuentra analizando un cultivo de 100bacterias y que el numero de estas se duplica cada 24 horas. De tal maneraque el segundo da habr 2(100) bacterias, el tercero 22(100),, y assucesivamente el n-simo da habr 2n-1(100) bacterias; pero como el numerode bacterias no se duplica de manera brusca, cada 24 horas, si no que crececada hora, minuto o segundo, entonces una mejor manera de escribir elnumero de bacterias que habr despus de transcurrir un periodo x detiempo es 2x (100).La funcin, se llama funcin exponencialde base a.Ejemplos de funciones exponenciales: 1. 2.
22. 22. 3.La base debe de ser positiva; pero diferente de uno.Ejemplo: 1. Graficar la funcin exponencial .Se trata de una funcin exponencial d base 2.Ejercicio 1:Graficar la funcin exponencialEjercicio 2:Base 10El sistema de numeracin que nosotros utilizamos en la vida cotidiana es elque tiene como base el numero 10.La funcin exponencial de base diez esEjercicio 3: Base eUn nmero que frecuentemente sirve de base en el caso de funcionesexponenciales, es el que se reconoce como numero e y cuyo valor esaproximadamente igual a 2.7182818.El numero e es irracional transcendente. Es un nmero tan importante comoel nmero, aparece en mltiples aplicaciones matemticas.Es tan importante esta base que incluso tiene asignada una tecla en lascalculadoras de bolsillo. La funcin exponencial en este caso es.
23. 23. 1.10.2 Funciones LogartmicasActualmente la utilidad de los logaritmos es otra, puesto que ahora losclculos se simplifican haciendo uso de calculadoras de bolsillo.El creador de los logaritmos fue el religiosos escoces John Napier, que nacien el siglo 16.Recordando de la forma exponencial y logartmica:Ejemplo:Como la funcin exponencial .Ejemplo:Graficar la funcin logartmica de 1.10.3 Funciones Trigonomtricas. Solucin de tringulosConsideremos un triangulo rectnguloLos lados que forman el ngulo recto se llaman catetos. El otro lado, que esel opuesto al ngulo recto, se llama hipotensa.
24. 24. El siguiente teorema relaciona a los lados de un triangulo rectngulo.En un triangulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa c es igual a la sumade los cuadrados de los catetos a y b.Teorema de PitgorasAs en el tringulo de la figura de la figura tendremos:De donde podemos obtener:Ejemplo 1:Si los catetos de un triangulo rectngulo miden 7 y 6 centmetros, calcular lalongitud de la hipotenusa.Ejercicio 1:Si la hipotenusa de un triangulo rectngulo mide 5m y un cateto mide 3m,Cul es la longitud del otro cateto?
25. 25. Funciones trigonomtrica para un ngulo cualquieraPara definir las funciones trigonomtricas nos referimos a la siguiente figura.En el cual observamos el triangulo rectngulopdDonde0Definicin:Sea el un ngulo colocado en posicin normal y seaun puntocualquiera, distinto del origen 0, que este ubicado sobre el lado terminal de .Siendola distancia (positiva) desde 0 hasta , entonces las funcionestrigonomtricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecantedel ngulo , denotadas porrespectivamente se definen as:
26. 26. Ejemplo 2:Calcular las funciones trigonomtricas del ngulocolocado en posicinnormal, cuyo lado terminal pasa por el punto .Ejercicio 2:Calcular las funciones trigonomtricas del ngulocolocado en posicinnormal, cuyo lado terminal pasa por el puntoFunciones trigonomtrica de un ngulo agudoPodemos usar tringulos rectngulos para calcular las funcionestrigonomtricas de sus ngulos agudos. Lo que hacemos es asociar los ladosdel triangulo a las cantidades x, y, d de la definicin anterior, como se explicaa continuacin.Para
27. 27. Sea un ngulo positivo, agudo, colocado en posicin normal.Entonces cae en el primer cuadrante, y al adoptar la simbologa de la figuraanterior, las funciones trigonomtricas pueden obtenerse as:Ejemplo 3:Encontrar los valores de las funciones trigonomtricas delngulodeltriangulo rectngulo mostrado en la figura. a = 10cm90b = 5cmcEjercicio 3:Encontrar los valores de las funciones trigonomtricas del ngulo deltriangulo rectngulo mostrado en la figura anterior. a = 10cm 90b = 5cmc
28. 28. Bibliografa: 1. O Daffer, Introduccin al algebra, primera edicin, 1998, por PrenticeHall, impreso en Mxico. 2. A. Barnett Raymond, Algebra y trigonometra, tercera edicin, 1988,por Mc Graw Hill, impreso en Mxico. 3. H. Carrillo Lam, Algebra, segunda edicin, 2003, por PearsonEducacin, impreso en Mxico. 4. G. Alonso, Algebra elemental, primera edicin, 1990, por GrupoEditorial Iberoamericana. Impreso en Mxico. 5. L. Ral, Matemtica: Primer ao de bachillerato, 2004, por TalleresGrficos UCA. 6. M. Willian, N. Gloria Galo, Matemtica bsica Pre-Universitaria, 2001,por talleres Grficos UCA.