modulo las matematicas una herramienta para la gestion optima palma 11

“Las matemáticas, una herramienta para la gestión óptima” es un libro de obligada consul-ta, toda vez que esta área del conocimiento, a lo largo de la historia ha dado respuestas al desarrollo de la humanidad y hacer la vida más práctica, se relaciona con la mayoría, por no decir con todas, las demás ciencias.

El presente libro está divido en cuatro capítu-los, a través de los cuales el lector hace un re-corrido didáctico que va desde los conceptos básicos de las matemáticas hasta la incursión en el complejo mundo de la geometría, inclu-yendo el Sistema Internacional de unidades (SI), al fi nal del cual y con la ayuda de los ejercicios, dominará fórmulas y teorías funda-mentales para su formación académica y, de paso, comprobará que no es cierto el mito de su difi cultad.

i

Las matemáticas, una herramienta para la gestión óptimaLas matemáticas,una herramienta para la gestión óptima

GALINDO GALINDO, Mary Lucía

Las matemáticas, una herramienta para la gestión óptima / Mary Lucía Galindo Galindo. -- Bogotá :

Corporación Universitaria Minuto de Dios. UNIMINUTO. Instituto de Educación Virtual y a Distancia, 2009.

64 p.

CDD 511.3ISBN: 978-958-8165-59-2

1. Teoría de conjuntos. 2. Fracciones 3. Sistema Internacional (SI) de unidades 4. Geometría

Rector GeneralPadre Camilo Bernal Hadad, cjm

Asesor de Rectoría GeneralLeonidas López Herrán

Vicerrectora General AcadémicaMarelen Castillo Torres

Secretaria GeneralLynda L. Guarín Gutiérrez

Director Instituto de Educación Virtual y a DistanciaDaniel Rocha Jiménez

Director AcadémicoPadre Pablo Velazquez Abreu, cjm.

AutorMary Lucía Galindo Galindo

Revisión académicaGermán Zambrano

Correción de estiloAurora Fandiño

Editor Rocío del Pilar Montoya Chacón

DiseñoFernando Alba GuerreroIván Gómez S.

IlustracionesFernando Alba Guerrero

Las matemáticas una herramientapara la gestión óptimaISBN: 978-958-8165-59-2

UNIMINUTOCorporación Universitaria Minuto de DiosInstituto de Educación Virtual y a Distancia

Calle 81 C #72 B -05 Bogotá, D.C. Teléfono: (57-1) 2525030 – 2528849Fax: (57-1) 2237031Celular: 320 313 1732Línea nacional gratuita: 01 8000 93 66 70 [email protected]://virtual.uniminuto.edu

Impreso: Javegraf

Bogotá, D.C. octubre 2009Primera ediciónPrimera reimpresión de la primera edición autorizada para el CONVENIO DE ASOCIACIÓN CONFORMADO POR FEDEPALMA, UNIMINUTO, UNAD, FUNDEWILCHES, CORDEAGRO-PAZ, SENA REGIONAL SANTANDER Y OTROS COMO ALIADOS ESTRATÉGICOS.

© Reservados todos los derechos a Corporación Univer-sitaria Minuto de Dios. UNIMINUTO. La reproducción parcial o total de esta obra, en cualquier medio, incluido eletrónico, solamente puede realizarse con permiso ex-preso del editor y cuando las copias no son usadas para fi nes comerciales. Los textos son responsabilidad de los autores y no comprometen la opinión de UNIMINUTO.

3Las matemáticas, una herramienta para la gest ión ópt ima

Tabla de contenido

Lista de figuras ...................................................................................................................... 5Lista de tablas ....................................................................................................................... 6Lista de símbolos ................................................................................................................... 7Nota aclaratoria ..................................................................................................................... 8Introducción ........................................................................................................................... 9

Capítulo 1CONJUNTOS NUMÉRICOS 11Números reales y sus operaciones ..................................................................................... 11

Números naturales ....................................................................................................... 11Números enteros .......................................................................................................... 13Números racionales ...................................................................................................... 15Números irracionales ................................................................................................... 16

Relaciones de desigualdad en los números reales ............................................................ 18Propiedades de los números reales .................................................................................... 21Sistema decimal ................................................................................................................... 23

Redondeo de decimales ............................................................................................... 25

Capítulo 2FRACCIONES, RAZONES Y PROPORCIONES 27Fracciones, razones y proporciones..................................................................................... 27

Tipos de fracciones ...................................................................................................... 28Simplificación de fracciones ........................................................................................ 29Fracciones equivalentes ............................................................................................... 31Comparación de fracciones ......................................................................................... 32Operaciones con fracciones ......................................................................................... 33

3

Tabla de contenido

4

De decimales a fracciones........................................................................................... 36Razones y proporciones ....................................................................................................... 37

Razones ......................................................................................................................... 37Proporciones ................................................................................................................. 39

Porcentajes ........................................................................................................................... 42Uso de porcentajes ...................................................................................................... 42

Capítulo 3SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) 45

Capítulo 4GEOMETRÍA 49Ángulos ................................................................................................................................. 49Triángulos ............................................................................................................................. 51Figuras planas ...................................................................................................................... 56Figuras tridimensionales ...................................................................................................... 58

Glosario ................................................................................................................................ 62Bibliografía ........................................................................................................................... 63

Tabla de contenido

4


Lista de figuras

Figura 1. Conjunto de números reales ............................................................................... 17Figura 2. Recta real. ............................................................................................................ 17Figura 3. Semirrectas ........................................................................................................... 50Figura 4. Ángulo entre dos semirrectas. ............................................................................ 50Figura 5. Ángulos cóncavos y convexos ............................................................................. 51Figura 6. Ángulo de una circunferencia ............................................................................. 51Figura 7. Triángulos ............................................................................................................. 51Figura 8. Triángulo rectángulo ............................................................................................ 52Figura 9. Triángulos oblicuángulos. ..................................................................................... 53Figura 10. Gráfica explicativa del ejemplo 38 .................................................................. 54Figura 10a. Gráfica explicativa del ejercicio ...................................................................... 54Figura 10b. Triángulos rectángulos ..................................................................................... 54Figura 10c. Triángulos rectángulos ..................................................................................... 55Figura 11. Graficación del ejercicio .................................................................................... 55Figura 12. Triángulo oblicuángulo ...................................................................................... 56Figura 13. Círculo y circunferencia ..................................................................................... 56Figura 14. Principales triángulos y cuadriláteros .............................................................. 57Figura 15. Polígonos regulares ............................................................................................ 57Figura 16. Elipse .................................................................................................................. 58Figura 17. Prismas y cilindros ............................................................................................ 58Figura 18. Pirámides y conos ............................................................................................. 58Figura 19 Esfera .................................................................................................................. 59Figura 20. Medidas de la caja ............................................................................................ 59Figura 21. Graficación del ejemplo .................................................................................... 60Figura 22. Esquema de la pieza de oro. ........................................................................... 60

5

Lista de figuras

6

Lista de tablas

Tabla 1. Nominación de fracciones ..................................................................................... 27Tabla 2. Criterios de divisibilidad ....................................................................................... 30Tabla 3. Unidades fundamentales del SI ............................................................................ 45Tabla 4. Unidades derivadas del SI .................................................................................... 45Tabla 5. Prefijos de múltiplos y submúltiplos del SI ........................................................ 46Tabla 6. Unidades aceptadas que no pertenecen al SI ..................................................... 48Tabla 7. Clasificación de los ángulos según su medida .................................................. 50Tabla 8. Clasificación de los triángulos según sus lados. .................................................. 51Tabla 9. Clasificación de los triángulos según sus ángulos. .............................................. 51Tabla 10. Valor de las funciones trigonométricas para los ángulos notables ................ 53Tabla 11. Clasificación de los polígonos por el número de lados.................................... 57Tabla 12. Áreas cuadriláteros .............................................................................................. 58

Lista de tablas

6


Lista de símbolos

! Diferente/ Idéntico o exactamente igual. Casi igual a& Entonces3 Infinito{} Llaves que indican conjunto2 Mayor$ Mayor o igual que1 Menor# Menor o igual que6 Para todo! Perteneceg No pertenece, Sí y sólo sí; Tal que (tales que)

/ Y∨ Oj Unión+ ÁnguloT Triángulo

7

Lista de símbolos

8

Nota aclaratoria

8

Nota aclaratoria

Uso de coma (,) para separar miles y punto (.) para separar decimales

La autora Mary Lucia Galindo determinó como un valor agregado al libro “Las matemáticas, una herramienta para la gestión óp-tima”, el uso de la coma (,) como separador de los miles en las expresiones numéricas y el uso del punto (.) como separador de los decimales, aunque en nuestro quehacer colombiano es una postu-ra que sólo se encuentra en las contrataciones gubernamentales (Instituto Nacional de Salud, 2006.)Este fue un cambio realizado y aceptado por la Real Academia de la Lengua Española (Real Academia de la Lengua Española, 2009.) y retomado en este libro. Por ello, es importante que el lector tenga en cuenta esta información al mirar los ejercicios resueltos y al dar respuesta a los ejercicios y problemas propuestos. Para una mayor claridad del tema en la fi gura se ilustra el uso de estos dos signos en los números.

Punto Decimal

Punto Decimal

Coma de miles

0.47667

1,345,342.89

Mg. Martín Germán Zambrano CastroLicenciado en educación. Especialidad física y matemáticaInstituto Nacional de Salud. (5 de Diciembre de 2006). Términos de referencia convocatoria pública No 045 - 2006. Bogotá, Cundi-namarca, Colombia: Instituto Nacional de Salud.Real Academia de la Lengua Española. (s.f.). Diccionario de la Real Academia Española. Recuperado el 30 de Julio de 2009, de http://buscon.rae.es/dpdI/


Introducción

9

Al estudiante

Este texto base para el módulo “Las matemáticas, una herramienta para la gestión óptima” fue escrito con el objetivo de contribuir en el apren-dizaje de las matemáticas en la formación académica que adelanta ac-

tualmente.

El texto se encuentra estructurado en cuatro capítulos, cada uno de los cua-les contiene diversas ejemplificaciones que buscan la comprensión de los te-mas que aquí se tratan.

El primer capítulo pretende que el estudiante tenga las herramientas nece-sarias para que pueda identificar y desarrollar los conjuntos numéricos del sis-tema decimal de numeración, así como las relaciones de proporcionalidad.

El segundo capítulo se refiere a los conceptos y el uso de fracciones, razones y porcentajes.

El tercer capítulo brinda los elementos para definir las unidades pertenecien-tes al Sistema Internacional de medidas (SI), facilitándole la conversión de las unidades regionales a dicho sistema.

El último capítulo introduce al estudiante al mundo de la geometría, para que reconozca conceptos y formulaciones geométricas que facilitan la medi-ción de las estructuras sólidas.

Se recomienda al estudiante leer la teoría y las explicaciones antes de intentar resolver los ejercicios planteados, porque la lectura de un texto matemático di-fiere considerablemente de otros, como las novelas, los periódicos, las revistas o de cualquier otro tipo de lectura. Por eso es frecuente que se deba leer el texto más de una vez antes de afianzar su comprensión.

Es de gran importancia la atención que se ponga a los ejemplos, así como al proceso de desarrollo de los mismos; para ello es necesario que el estudiante repase las operaciones realizadas, a medida que se avanza en la lectura de los temas planteados a lo largo del texto.

Introducción

10

10


1CAPÍTULO

Para alcanzar un conocimiento amplio y profundo de este primer capítulo es necesa-rio dominar la organización matemática de los conjuntos numéricos, sus operaciones, sus propiedades y la asociación de los mismos con los entornos cotidianos, es decir, no sólo matemáticos.

La importancia del estudio de los números, junto con sus operaciones y propiedades, se centra en que es un medio que permite favorecer y estimular el desarrollo de las habilidades y capacidades lógicas e intelectuales. No sólo para adquirir habili-dad mental y destreza en los cálculos numéricos, sino para mejorar la capacidad de razonamiento en diversas situaciones problemáticas; esto se alcanza cuando se transfi eren los contenidos aprendidos, en los contextos de la vida cotidiana.

Pero ¿cuáles son esos entornos cotidianos? Por ejemplo, cuando se desea parcelar un terreno con exactitud, para realizar diversos sembradíos, o cuando se requiere mezclar adecuadamente las proporciones de un fertilizante, o calcular cuánta agua se puede almacenar en un tanque, o establecer el número de trabajadores necesa-rios para realizar una labor específi ca en un determinado tiempo, entre otros. Son estos contextos los que exigen el uso de los conjuntos numéricos que contiene este texto de estudio.

Para alcanzar un conocimiento amplio y profundo de este primer capítulo es necesa-

i

Números reales y sus operaciones

Todos aquellos números que concibe la mente, desde el más grande hasta el más pequeño, forman parte de una gran familia

de números, denominados números reales. Pero esta gran familia está conformada por pequeños grupos, los cuales se congregan en razón de las primeras asociaciones numéricas que se dieron entre los números.

Números naturales

Antes de que se establecieran las primeras re-presentaciones gráfi cas de lo que hoy se conoce

como números, el ser humano concibió su uso para facilitar la cuantifi cación de sus rebaños, utensilios, cultivos, etc., utilizando para ello palos de arcilla, apilando piedras, realizando hendidu-ras en diversas superfi cies o haciendo dibujos so-bre las rocas, de manera que le permitiera esta-blecer cuántos y cuáles objetos o animales eran de su propiedad.

Es decir, en la antigüedad, el hombre tenía la no-ción de contar, para lo cual empleaba elementos de su entorno con el fi n de representar cantida-des determinadas, diseñando, por llamarlo así, su primer sistema de numeración, no como hoy en día lo concibe nuestra cultura, sino valiéndose de las herramientas que encontraba en su me-

11

Conjuntos numéricos

12

dio. Estas diversas representaciones paulatina-mente fueron formalizándose y simplifi cándose hasta llegar a los números que se conocen en la actualidad.

Los primeros números que surgen con base en estas cuantifi caciones son los números naturales, los cuales inician con el número cero (0), que será el que señala que no hay elementos, ni animales, ni cosas qué contar.

Al enumerar objetos, personas y animales,entre otros, se tiene la tendencia de iniciar con el núme-ro uno (1), pero no se debe olvidar que el cero (0) hace parte de las posibles respuestas, puesto que cuando se carece de algo o no se halla ese ele-mento, generalmente se emplean términos como “ninguno”, “no hay” o “no existe”.

En el lenguaje matemático es habitual designar los conjuntos numéricos con las letras del alfabe-to en mayúscula y encerrar entre corchetes { }los elementos que los conforman. Para el caso de los números naturales, este conjunto se identifi ca con la letra N , y los elementos que lo conforman se representan así:

, , , ,...N 0 1 2 3=" ,

Una característica importante de los números naturales es que estos son un conjunto, en el que los elementos que lo componen (es decir, los nú-meros) aumentan en cantidades de una unidad y no hay un límite para el valor más grande, en-tonces decimos que este conjunto tiende a ser infi nito, característica que se representa por me-dio de un símbolo que tiene la forma del número ocho acostado 3^ h.

, , , ,...,N 0 1 2 3 3=" ,

¿Por qué se llaman números naturales?

Se llaman así porque fueron los primeros núme-ros utilizados por el hombre en la antigüedad, y se construyeron a partir del proceso de contar de manera natural.

Los problemas y las actividades diarias de las primeras culturas relacionadas con los procesos de contar, dieron origen a una serie de operacio-nes matemáticas como la adición o suma, la sus-tracción o resta, la multiplicación y la división, las cuales hoy se conocen como las cuatro (4) reglas de la aritmética. Al realizar cualquiera de estas operaciones con los números naturales, el resul-tado obtenido ha de pertenecer a la gran familia de los números reales, pero a su vez puede perte-necer o no al conjunto de los naturales. La razón de esto es que cuando se suman o se multiplican dos o más números naturales, se obtiene como resultado otro número natural; esto signifi ca en lenguaje matemático que estas dos operaciones (suma y multiplicación) son operaciones cerra-das* de este conjunto numérico.

(*Se dice que es una operación cerrada por-que al realizar la operación matemática entre dos o más números que pertenecen a un conjunto dado, el resultado también pertenece a este conjunto.)

Utilizando el lenguaje simbólico, lo anterior se puede expresar de la siguiente manera:

,a b N a b N6! !+

Esta representación se lee: el resultado de la suma +^ h de dos números cualquiera a y b per-


12


tenece !^ h a los números naturales N^ h , para todo 6^ h a y b que pertenecen !^ h a los natura-les N^ h.

,a b N a b N# 6! !

El resultado de la multiplicación #^ h de dos números cualquiera a y b pertenece !^ h a los números naturales N^ h, para todo 6^ h a y b que pertenecen !^ h a los naturales N^ h.

Ejemplo 1

10 50 500 10 50 60 10 2 20

0 2 2 50 2 100

# #

#

= + = =

+ = =

Los números entre los cuales se realizan las ope-raciones algebraicas de suma y multiplicación (0, 2, 10 y 50), así como los resultados de dichas operaciones (2, 20, 60, 100 y 500), pertenecen al conjunto de números naturales.

Sin embargo, cuando se restan o se dividen dos números naturales no siempre se obtiene como resultado un número natural, como se demues-tra a continuación.

Ejemplo 2

30 20 10 10 20 10

3 0.52030

2010

= =

= =

- - -

Si bien los números entre los cuales se realizan las operaciones algebraicas de resta y división (10, 20 y 30) hacen parte del conjunto de los números naturales, tan sólo los resultados de la primera y tercera operación (10 y 3) hacen parte de los naturales, mientras que los resultados de la segunda y cuarta (-10 y 0.5) no hacen parte de este conjunto.

En la resta de dos valores que pertenezcan al conjunto de números naturales, el resultado de esta operación también será parte de los natu-rales sólo en los casos en los que a un número mayor se le reste un número menor. Utilizando el lenguaje simbólico, lo anterior se puede expresar de la siguiente manera:

,a b N a b N a b+6 2! !-

El resultado de restarle -^ h a un valor a un va-lor b, pertenece !^ h a los números naturales N^ h

para todo 6^ h a y b que pertenecen !^ h a los na-turales N^ h, sí y sólo sí +^ h el valor a es mayor 2^ h que el valor b.

No obstante, aún quedan resultados de ope-raciones algebraicas entre números naturales (resta y división) que no hacen parte de éstos; entonces, es necesario definir otros conjuntos numéricos que permiten asignar los resultados obtenidos a un grupo.

Números enteros

El conjunto de números enteros, identificado con la letra F , es aquel que agrupa a los núme-ros naturales y sus valores opuestos (negativos). Utilizando el lenguaje simbólico, lo anterior se puede expresar de la siguiente manera:

, , , , ,N 1 2 3 4 5j f=F - - - - -" ,

Es decir, el conjunto de los números enteros Z^ hes igual al conjunto de los números naturales N^ h unido jh al conjunto de los valores negati-

vos de los números naturales (-1, -2, -3, -4, -5,…).

Donde, el conjunto de números enteros estaría dado por los siguientes elementos:

13

14

Como se puede apreciar, este conjunto de nú-meros tiene valores positivos, negativos y el valor cero, los cuales permiten subdividir el conjunto de los números enteros en enteros positivos, que están representados por la letra Z acompañada del signo positivo Z+ en enteros negativos, que se representan por la letra Z acompañada del signo negativo Z-, y el elemento cero.

, , , , , , , , , , ,

Enteros negativoscero

Enteros positivos

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

Z Z

f=F - - - - -

+-

" ,

Lo anterior se puede representar de la siguiente manera:

Z Z Z0j j= - +" ,

Es decir, el conjunto de los enteros Z^ h es igual al conjunto de los números enteros negativos Z-^ h unido jh al conjunto cuyo elemento es el número cero (0) y a su vez, unido jh al conjunto de enteros positivos Z+

^ h.

Entonces, de acuerdo con la descripción inicial del conjunto de los enteros, se evidencia que la unión de los enteros positivos con el valor cero (0) conforma los números naturales.

N Z0 j= +" ,

A su vez, el conjunto de los enteros está confor-mado por la unión de los números naturales y los enteros negativos.

Z Z Nj=-

Siguiendo con las operaciones aritméticas, ya se puede asignar al conjunto de los enteros to-dos los posibles resultados que se obtienen de

restar dos o más números naturales. Pero aún no se resuelve completamente el problema, ¿Qué pasa con la división? ¿El resultado de dividir dos números enteros será siempre otro número en-tero? ¿Qué condición se debe dar para que esto ocurra?

Ejemplo 3

50 10 40 10 50 60

30 50 80 30 50 20

= + =

+ = =

-

- -

Los números entre los cuales se realizan las operaciones algebraicas de suma y resta hacen parte del conjunto de los naturales y por ende de los enteros (10, 30 y 50) y los resultados de estas operaciones algebraicas hacen parte del conjun-to de los enteros (-20, 40, 60 y 80).

Sin embargo, al dividir números enteros no siempre se obtiene un número que pertenezca a este mismo conjunto, como se demuestra a con-tinuación.

Ejemplo 4

0.5 2

.

41

1020

1020 2

2010 0 5

= =

= =

- - - -

Si bien los números entre los cuales se realizan las operaciones algebraicas de división (-20, -1, 4, 10 y 20) hacen parte del conjunto de los núme-ros enteros, tan sólo los resultados de la segunda y la tercera operación (-2 y 2) hacen parte de los enteros, mientras que los resultados de la prime-ra y la cuarta (-0.25 y 0.5) no.


14


Para solucionar este problema, es necesario ampliar el campo del conjunto numérico, intro-duciendo así los números racionales.

Números racionales

El conjunto de los números enteros y los frac-cionarios se denomina conjunto de números racionales, este nuevo conjunto se representa con la letra Q y está definido de la siguiente manera:

, ,Qba a b Z 0!!= $ .

El conjunto de los números racionales Q^ h es igual al conjunto de los números de la forma a sobre b

ba

` j , tal que ;^ h a y b pertenecen !^ h a los números enteros Z^ h y el valor de b es dife-rente !^ h de cero 0^ h.

¿Racional?

El término racional hace referencia a“ración”, parte de un todo o un peda-zo de algo.

A partir de lo anterior, se puede concluir que:

Todo número entero es un número racional, 1. dado que puede ser representado como una fracción cuyo denominador es 1.

Si el numerador es múltiplo* del denomina-2. dor, siempre se obtiene un número entero como resultado.

Un número “a” es múltiplo de un nú-* mero “b” cuando existe otro número que multiplicado por b nos da como resultado el número a, es decir, c x b = a.

Estos números racionales se pueden expresar

de manera racional exacta o periódica en los si-

guientes casos:

Cuando se expresa un número de manera •

racional exacta, se hace referencia a que su

resultado genera un número con cifras deci-

males fi nitas (es decir, con un número deter-

minado de dígitos).

Cuando se expresa un número de manera •

periódica, se hace referencia a que su resul-

tado genera un número con cifras decimales

que se repiten de manera indefi nida. Estas

cualidades del resultado se pueden repre-

sentar de las siguientes formas:

Se ponen tres puntos suspensivos a. después de escribir dos o tres veces

la cifra que se repite periódicamente,

donde los puntos suspensivos hacen

referencia a los infinitos decimales que

hacen falta y que jamás se terminarían

de escribir.

Se coloca el símbolo b. 7 ó - sobre la cifra

que se repite indefi nidamente.

A pesar de haber ampliado el conjunto numé-

rico, aún se encuentran operaciones aritméticas

en las que su resultado no puede ser incluido en

los conjuntos ya defi nidos.

15

16

Ejemplo 5

.41 0 25=

El resultado (0.25) es un número racional exacto, dado que posee tan solo dos (2) cifras decimales (cantidad de números después del punto).

.4511 0 24444f=

El resultado es un número racional periódico, dado que el segundo decimal (es decir 4) se repite de manera indefinida. Por tanto el resultado puede ser representado como , . , .0 24 0 24

! ó 0.244…

,1.405100

1 405=

El resultado (1.405) es un número racional exacto, dado que posee tan sólo tres (3) cifras decimales.

.32 0 6666f=

El resultado es un número racional periódico, dado que el decimal (es decir 6) se repite de manera indefinida. Por tanto, el resultado puede ser repre-sentado como , . , .0 6 0 6

! ó 0.66…

.2295 4 3181818f=

El resultado es un número racional periódico, dado que el segundo y tercer decimal (es decir 18) se repite de manera indefinida. Por tanto, el resultado puede ser representado como , 4.318, 4.318, ó 4.31818f!

Números irracionales

Los números irracionales (representados con la letra I ) son aquellos números que no se pue-den expresar mediante la fracción o el cociente de dos enteros ni como una expresión decimal exacta o periódica. La principal característica de este grupo numérico, es que posee un número infinito de cifras decimales que no siguen un pe-riodo definido.

Dentro de este grupo se encuentra el número de la constante matemática designada por la le-tra “e”, el número expresado por la letra griega “pi” r^ h el resultado de las raíces que no son exactas,

entre otros. Sin embargo, dada la característica de poseer un número infinito de cifras decima-les, para su representación se emplean, al igual que en los racionales periódicos, los tres puntos suspensivos después de presentar varias de las cifras decimales que lo componen.

Ejemplo 6

3.1415926536... 2.718281829...

1.4142135623... . ...

e

2 5 2 236067977

= =

=

r

=

Cabe anotar que también pertenece a este con-junto numérico el resultado de realizar opera-ciones aritméticas entre números irracionales y racionales.

Ejemplo 7

10 1 .142135623

.

2 4

10 31 415926536

#

#

f

f

=

r =

En ambos casos se está multiplicando un núme-ro racional (10) por un número irracional ,2 r^ h y el resultado de estas operaciones hace parte de los números irracionales.


16


Una vez se han defi nido los diversos grupos de conjuntos numéricos, existe un gran conjun-to que los agrupa, denominado números reales, que se designa habitualmente con la letra R . En la fi gura 1 se muestra tal agrupación.

Existe una representación geométrica de este conjunto numérico, denominada recta real, que

Figura 1. Conjunto de números reales. (Adaptado por el aut or, 2008)

-∞ +∞-3 -2 -1 0 1 2 3

Figura 2. Recta real. (Autor, 2008)

tiene su origen en el número cero (0), extendién-dose hacia la izquierda para los números negati-vos hasta un número infi nito 3-

^ h, y hacia la dere-cha para los números positivos hasta un número infi nito 3+

^ h , como se observa en la fi gura 2.

En el siguiente ejemplo se puede observar cómo, al tomar algunos números, estos pertene-cen a los diferentes conjuntos numéricos.

Ejemplo 8

Marcar con una X los conjuntos a los cuales pertenecen los valores dados.

Valores N Z Z+ Z- Q I R

25 X X X X X

17

18

Valores N Z Z+ Z- Q I R

-27 X X X X

0 X X X X

0.101001000 X X

0.101001000... X X

.35 1 6=

!

X X

.27 5 19615f. X X

.3331 0 939393f=

X X

.3193 2 81=

! X X

Relaciones de desigualdad en los números reales

En diferentes situaciones del diario vivir surgen interrogantes que relacionan de manera implíci-ta los números reales con las desigualdades, es en aquellos casos donde se tiene inquietud sobre sí un valor, una persona o un objeto es más grande o más pequeño respecto de un valor dado.

Estas relaciones de desigualdad se dan cuando:

Un valor es más grande que otro.1.

Un valor es más grande o igual que otro.2.

Un valor es más pequeño que otro.3.

Un valor es más pequeño o igual que otro.4.

Un valor se encuentra entre dos valores da-5.

dos, incluyendo o no los valores dados.

Ejemplo 9

Al medir la estatura (en metros) de varias perso-

nas, se obtuvieron los siguientes resultados:


18


Pedro 1.78 Sergio 1.75 Eduardo 1.86

Alberto 1.78 Laura 1.62 Beatriz 1.60

Cecilia 1.62 María 1.58

Responder los siguientes cuestionamientos:

¿Quiénes miden más de 1.78? a. Eduardo.

¿Quiénes miden 1.78 o más?b. Eduardo, Alber-to, Pedro.

¿Quiénes miden menos de 1.62? c. Beatriz y María.

¿Quiénes miden 1.62 o menos?d. Laura, Cecilia, Beatriz y María.

¿Quiénes miden menos de 1.78?e. Sergio, Laura. Cecilia, Beatriz y María.

¿Quiénes miden 1.78 o menos? f. Alberto, Pedro, Sergio, Laura, Cecilia, Beatriz y María.

¿Quiénes miden más de 1.62?g. Eduardo, Alber-to, Pedro y Sergio.

¿Quiénes miden 1.62 o más?h. Eduardo, Alber-to, Pedro, Sergio, Laura y Cecilia.

¿Quiénes miden más de 1.62, pero a la vez me-i. nos de 1.78? Sergio.

¿Quiénes miden 1.62 o más, pero a la vez 1.78 o j. menos? Alberto, Pedro, Sergio, Laura y Cecilia.

Sin embargo, utilizar palabras para definir estas desigualdades podría resultar un poco dispendio-

so, y es aquí donde resulta de gran utilidad em-plear el lenguaje matemático para representar las relaciones de desigualdad, así:

x a21. : Un valor x mayor que a.

x a$2. : Un valor x mayor o igual que a.

x a13. : Un valor x menor que b.

x a$4. : Un valor x menor o igual que b.

x a x b/2 25. : Un valor x mayor que a, pero a la vez menor que b.

x a x b/2 #6. : Un valor x mayor que a, pero a la vez menor o igual que b.

x a x b/ 1$7. : Un valor x mayor o igual que a, pero a la vez menor que b.

x a x b/$ #8. : Un valor x mayor o igual que a, pero a la vez menor o igual que b.

En el entorno matemático, con frecuencia se emplean las últimas letras (en minúscula) del al-fabeto (x, y, z) para designar los valores descono-cidos o las incógnitas (denominadas variables).

No obstante, también podemos hacer uso de la notación de intervalos así como de la recta real para definir estas relaciones de desigualdad.

19

20

Notación de intervalos

Se refi ere al uso de paréntesis para incluir o ex-cluir un conjunto de valores dentro de un grupo, se usan paréntesis cuadrados [ ] para indicar que se incluyen valores, y paréntesis redondos ( ) para indicar que se excluyen.

Representando lo anterior en notación:

, ,x a x a03 3g! + -^ ^h @1. . Un valor x mayor

que a.

Es decir, un valor de x que pertenezca !^ h al intervalo, desde un valor cercano a a (es de-cir, sin incluir el valor (a) hasta infi nito positi-vo, o 0^ h un valor x que no pertenezca g^ h

al intervalo desde infi nito negativo hasta un valor a (incluyéndolo).

, ,x a x a03 3g! + -^h h62. . Un valor x ma-

yor o igual que a.

, ,x b x b03 3g! - +^ h h63. . Un valor x me-

nor que b.

, ,x b x b03 3g! - +^ ^ h@4. . Un valor x me-

nor o igual que b.

, , ,x a b x a b0 ,3 3g! - +^ ^h h6@5. . Un valor

x mayor que a, pero a la vez menor que b.

Es decir, un valor de x que pertenezca !^ h al intervalo, desde un valor cercano a a hasta un valor cercano a b.

, , ,x a b x a b0 j3 3g! +-^ ^ ^ h@ @6. . Un valor

x mayor que a, pero a la vez menor o igual que b.

, , ,x a b x a b0 j3 3g! +-^h h h6 67. .Un va-

lor x mayor o igual que a, pero a la vez me-nor que b.

, , ,x a b x a b0 j3 3g! +-^ ^h h6 @8. . Un va-

lor x mayor e igual que a, pero a la vez menor o igual que b.

Ahora, representando gráfi camente los anterio-res intervalos en la recta real por medio de una línea punteada que muestra los valores de x:

,x a 3! +^ h1. . Un valor x mayor que a (muy

cercano al valor a, pero sin incluirlo).

a3

-

3+

¿Qué signifi can esos punticos que están rellenos o no?

Al grafi car los intervalos en la recta real, resulta de gran utilidad emplear señales que representen cuando se incluyen valores (círculo relleno) o cuan-do se excluyen (círculo sin rellenar).

,x a 3! +h62. . Un valor x mayor o igual que a

(incluyendo el valor de a).

a3

-

3+

,x b3! -^ h3. . Un valor x menor que b.

b3

-

3+

,x b3! -^ @4. . Un valor x menor o igual que b.

b3

-

3+


20


,x a b! ^ h5. . Un valor x mayor que a, pero a la vez menor que b.

a b3

-

3+

,x a b! ^ @6. . Un valor x mayor que a, pero a la vez menor o igual que b.

a b3

-

3+

,x a b! h67. . Un valor x mayor e igual que a, pero a la vez menor que b.

a b3

-

3+

,x a b! 6 @8. . Un valor x mayor o igual que a, pero a la vez menor o igual que b.

a b3

-

3+

Ejemplo 10

Representar como una desigualdad, en térmi-nos de intervalo y en la recta real, los siguientes enunciados:

Un valor a. x mayor o igual que 17.

Desigualdad: x 17$

Intervalo: ,x 17 3! +h6

173

-

3+

Un valor b. x mayor que -32, pero a la vez me-nor o igual que 40.

Desigualdad: x x32 40/2 #-

Intervalo: ,x 32 40! -^ @

Propiedades de los números reales

Una vez identificados los conjuntos numéricos que forman parte de los reales, así como las re-laciones de desigualdad que de ellos se pueden presentar, establecer las propiedades de estos números:

Si 1. , ,a b R a b R&! !+ (cerradura en la suma).

Si 2. , ,a b R a b R& #! ! (cerradura en la multiplicación).

Si 3. , , ,a b c R a b c a b c&! + + = + +^ ^h h (asociatividad en la suma).

Si 4. , , ,a b c R a b c a b c& # # # #! =^ ^h h (asociatividad en la multiplicación).

Si 5. ,a b R a b b a&! + = + (conmutativi-dad en la suma).

Si 6. ,a b R a b b a& # #! = (conmutativi-dad en la multiplicación).

Si 7. a R a a a0 0&! + = + = (neutro suma – módulo suma).

-32 403

-

3+

21

22

Si 8. a R a a a1 1& # #! = = (neutro mul-tiplicación – módulo multiplicación).

Si 9. a R a a a a 0&! + - =- + =^ h (in-verso aditivo).

Si 10. a R aa a

aaa1 1 1& # #! = = =` ` `j j j

(inverso multiplicativo).

Si 11. , ,a b c R c a b c a c b& # # #! + = +^ ^ ^h h h (distribución de la multiplicación en la suma).

Si 12. , ,a b c R a b a c b c&/ 2 2! + +

(monoticidad en la suma).

Si 13. , ,a b c R a b a c b c c a c b c c0 0&/ # # 0 # #6 62 2 2 1 1!

, ,a b c R a b a c b c c a c b c c0 0&/ # # 0 # #6 62 2 2 1 1!

(monoticidad en la multiplicación).

Si 14. , ,a b R a b b a&/ 2 1! (simetría).

Si 15. , ,a b c R a b b c &/2 2!

a b c a c/2 2 2 (transitividad).

Ejemplo 11

Establecer qué propiedad justifica los siguientes enunciados:a.

Enunciado Propiedad

34

109

109

34

+ = +Conmutativa para la suma

100 109 17 100 10

9 17# # # #- = -a ak k

Asociativa para la multiplicación

. .45 3 0 89 45 3 45 0 89# # #- + = - + -_ _ _i i i Distribución de la multiplicación en la suma

314 35 35 3

14# #- =-

Conmutativa para la multiplicación

34

109 17 3

4109 17+ + = + +a ak k

Asociativa para la suma

45 3 5 3 5 45# #- + = + -_ _i iConmutativa para la multiplicación


22


Señalar si el enunciado es verdadero (V) o b. falso (F). En caso de ser falso, establecer la

Sistema decimal

El sistema de numeración que emplea la mayo-ría de las culturas es un sistema posicional, dado que el orden en que son escritos los símbolos que representan las cantidades y los signos que los acompañan conllevan a que se hable de va-lores diferentes; por ejemplo, 100 es diferente de 001 y a su vez de -100.

respuesta correcta y enunciar la propiedad correspondiente.

Enunciado Respuesta correcta

32 32x x&$ $ F 32 Simetríax#

45 100 45 35 100 35& # #1 1- -_ _i i F45 35 100 35- -# #2_ _i i Monoticidad

15 32 15 25 32 25& # #1 1- - V Monoticidad

45 57 45 57 45 57x x x x x& &/ /2 2 2$ $ $ V Transitividad

32 1 32 1 32x x x- - - - -& &# #1 1 1 F1 32 1 32x x- - - -&# #2 2

Monoticidad

Dados los valores de:c.

m = 5 n = -7 p = 3 q = -2 , calcule el resultado de las expresiones enunciadas:

m n q p

q m n

5 7 2 3 5 7 2 3 4 3 12

2 2 5 7 2 5 7 2 2 4

# # #

# # #

+ + = + + = = =

= = + = =

- - - - - -

- - - - - - - - -

^ ^ ^^ ^

^ ^ ^^ ^^ ^

h h hh h

h h hh hh h

La base de un sistema de numeración posicio-nal corresponde al total de símbolos propios de dicho sistema.

En un sistema de numeración decimal, cuya base es diez, se presenta un total de 10 elemen-tos conformado por las cifras: cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9), que conjugados entre sí conforman el conjunto numérico.

23

24

Se inicia contando desde cero (0) unidades e in-crementando una unidad cada vez, hasta llegar a nueve (9). Pero surge el interrogante: ¿este es el límite?, la respuesta es no, dado que si se quiere seguir contando lo que debe hacerse es añadir una nueva columna a la izquierda del número e iniciar nuevamente la cuenta con los símbolos que se dispone.

Cada una de estas columnas, donde se ubican los conjuntos de diez (10) unidades, recibe un nombre de acuerdo con la posición que ocupan dichas unidades (de derecha a izquierda), de la siguiente manera:

Primera columna: Unidades•

Segunda columna: Decenas•

Tercera columna: Centenas•

Cuarta columna: Unidades de millar • (miles)

Quinta columna: Decenas de millar • (decenas de miles)

Sexta columna: Centenas de millar • (cientos de miles)

Séptima columna: Unidades de millón•

Octava columna: Decenas de millón•

Novena columna: Centenas de millón•

Pero, ¿qué sucede con los números que son más pequeños que la unidad? El procedimiento es similar al anterior. Para este caso, lo que hace-mos es agregar columnas hacia la derecha (que reciben el nombre de decimales), donde cada

una de éstas también recibe el nombre según la posición que ocupan (de izquierda a derecha) de la siguiente manera:

Primera columna: Unidades•

Segunda columna: Décimos•

Tercera columna: Centésimos•

Cuarta columna: Milésimos•

Quinta columna: Diezmilésimos•

Sexta columna: Cienmilésimos•

Como se puede evidenciar de las anteriores no-menclaturas, estos valores posicionales se agru-pan en conjuntos de tres, donde los decimales se separan con punto (.) y los miles con coma (,).

Ejemplo 12

Ordenar el número 54,827,325.21 de acuerdo con las condiciones establecidas anteriormente.

Millón MilesC D U Décimos Centésimos

C D U C D U

5 4 8 2 7 3 2 5 2 1

Es decir, el valor corresponde a:

54 millones = 5 decenas de millón + 4 unidades de millón

827 mil = 8 centenas de miles + 2 centenas de miles + 7 unidades de miles

325 = 3 centenas + 2 decenas + 5 unidades 21 centésimos.


24


Ordenar el número 107,545.8 de acuerdo con las condiciones establecidas.

Miles C D U DécimosC D U1 0 7 5 4 5 8

Es decir, el valor corresponde a:

107 mil = 1 centenas de miles + 0 centenas de

miles + 7 unidades de miles

545.8 = 5 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 8

décimos

Redondeo de decimales

Muchas veces se tienen valores con muchas cifras decimales y resulta necesario hacerlos más peque-ños, para facilitar tanto su interpretación como las operaciones aritméticas con estos números.

El método más empleado para esta reducción de decimales, que para este caso se denomina redondeo, se aplica al valor decimal situado en la siguiente posición (a la derecha) del valor que se quiere transformar; es decir, si se tiene un nú-mero de 3 decimales y se quiere redondear a 2, se aplicarán las reglas de redondeo al tercer deci-mal de la siguiente manera:

Si el dígito es menor que cinco (5), se escribe 1. la expresión resultante de dos decimales sin alterar el segundo valor.

Si el dígito es mayor que cinco (5), se escri-2. be la expresión resultante de dos decimales, incrementándole una unidad al segundo decimal.

Ejemplo 13

Reducir el número de decimales de los siguien-tes valores:

32.578.a. Dado que el último valor es mayor que cinco (5), el valor redondeado a dos de-cimales es igual a 32.58.

32.574. b. Dado que el último valor es menor que cinco (5), el valor redondeado a dos de-cimales es igual a 32.57.

32.598. c. Dado que el último valor es mayor que cinco (5), el valor redondeado a dos de-cimales es igual a 32.60.

32.004. d. Dado que el último valor es menor que cinco (5), el valor redondeado a dos de-cimales es igual a 32.00.

25

26

26


CAPÍTULO

2

Fracciones, razones y proporciones

De los conjuntos que se originan a partir de las operaciones aritméticas entre nú-meros naturales, se pudo establecer que

los números racionales corresponden a aquellos que se representan como una fracción, es decir de la forma:

, 0ba b Z b !!

Las matemáticas son de uso cotidiano, por ello, y sin percatarse, en muchas ocasiones se emplean las fracciones, las razones y las proporciones, sin conocer el contexto matemático y la operatividad de las mismas. De allí que en ese capítulo, el lector entenderá el signifi cado, cómo se resuelven y cuál es la aplicabilidad de estas formas de dividir la unidad.

Las matemáticas son de uso cotidiano,

i

En la fracción ba el valor de b (llamado denomi-

nador) representa el número de partes iguales en las que se divide a (llamado numerador).

Toda fracción se puede nombrar de acuerdo con denominador que posea, según lo estable-cido en la tabla 1.

27


28

Tabla 1. Nominación de fracciones

Nombre Denominador Nombre Denominador

Medios 2 Octavos 8

Tercios 3 Novenos 9

Cuartos 4 Décimos 10

Quintos 5 Centésimos 100

Sextos 6 Milésimos 1,000

Séptimos 7 Sufijo avos(*) > 10

(*) En los casos en que el denominador sea mayor que diez (10), se adiciona la expresión “avos” al finalizar el nombre del número.

Fuente: adaptación del autor, 2008.

Ejemplo 14

Escribir con palabras el valor de los siguientes fraccionarios:

215a. quince medios

310b. diez tercios

41c. un cuarto

58d. ocho quintos

67e. siete sextos

89f. nueve octavos

920g. veinte novenos

106h. seis décimos

145i. cinco catorceavos

3012j. doce treintavos

1002k. dos centésimos

10003l. tres milésimos

Tipos de fracciones

De acuerdo con la relación que existe entre el numerador y el denominador de una fracción, és-tas se pueden clasificar de la siguiente manera:


28


Fracción propia:1. cuando el numerador es menor que el denominador.

,ba a b b 01 !;

Fracción impropia:2. cuando el numerador es mayor o igual que el denominador.

,ba a b b 0!; $

Un caso particular de las fracciones impropias son los números mixtos. Estos corresponden a la suma de un número natural más una fracción propia. Con el siguiente ejemplo se comprende más claramente:

Ejemplo 15

Si se tiene a. 1543

+ , donde a 15 (número na-

tural) se le suma el 43 número mixto corres-

pondiente es 1543 pero, ¿cómo se lee? Este

tipo de expresiones se lee como quince en-

teros tres cuartos.

Responder si las siguientes expresiones son b. números mixtos; en caso que así sea, escribir el número correspondiente y, en caso con-trario, argumentar el porqué no hace parte de este conjunto.

Expresión Número mixto Argumento

10 52

- NoLa fracción propia no se está sumando al número natural.

8 37

+ NoEl fraccionario no es una frac-ción propia.

15 97

- + NoEl valor que se suma a la fracción propia no es un número natural.

Expresión Número mixto Argumento

16 74

+ Sí 16 7

4 dieciséis enteros, cuatro séptimos.

Sin embargo, las fracciones impropias se pueden

llevar a términos de números mixtos y viceversa:

Fracciones impropias a números mixtos:1.

se divide el numerador entre el denomina-

dor, donde el cociente es el entero del nú-

mero mixto y el residuo es el numerador del

fraccionario que lo acompaña, dejando la ex-

presión con el mismo denominador.

Números mixtos a fracciones impropias:2.

se multiplica el denominador por el número

entero y se le suma el valor del numerador;

este resultado será el numerador de la frac-

ción impropia. En cuanto al denominador, se

deja el mismo del número mixto.

Ejemplo 16

Transformar las fracciones impropias a números

mixtos o viceversa:

1634

716 7 4

7116#

=+

=^ h

a.

30116

1130 11 6

7116#

=+

=^ h

b.

759 59

3 87

759 8

73

RESIDUO COCIENTE

& &;

=

S Sc.

532 32

2 65

532 6

52

RESIDUO COCIENTE

& &;

=

S Sd.

29

30

Simplifi cación de fracciones

Para simplifi car fracciones, es decir, transformar-las en números más pequeños o fracciones equi-valentes, se deben tener en cuenta, en primer lu-gar, ciertos criterios de divisibilidad que existen para los números y que se detallan en la tabla 2.

Tabla 2. Criterios de divisibilidad

Divisible entre Criterio

2 Si el último dígito es número par, es decir 2, 4, 6, 8,…

3 Si la suma de sus dígitos es múltiplo de tres (3),es decir 3, 6, 9, 12, 15…

5 Si el último dígito es cinco (5) o cero (0).

6 Si el último dígito es par y a la vez la suma de sus dígitos

es múltiplo de tres (3).

9 Si la suma de sus dígitos es divisible entre nue-ve (9).

10 Si el último dígito es cero (0).

En segundo lugar, se deben considerar estos criterios para identifi car el número (más grande posible), que permita dividirlos y que sea común para ambos, es decir, el Máximo Común Divisor (M.C.D.).

Ahora sí se puede establecer que la simplifi -cación de fracciones consiste en dividir tanto el numerador como el denominador entre el factor común que existe entre estos ( es decir, eliminar-lo de ambas expresiones).

¿Cómo encontrar el M.C.D.?

Si se tienen dos o más números, cada uno de éstos se debe descomponer en factores hasta llegar a un valor que sea divisible únicamente entre uno (1) o entre sí mismo (números primos).

30 2 45 3 60 215 3 15 3 30 25 5 5 5 15 31 1 5 5

1

Entonces, se tiene que: 35 = 2 x 3 x 5 45 = 3 x 3 x 5 60 = 2 x 2 x 3 x 5

De los resultados, se seleccionan los núme-ros que están repetidos igual número de veces y se multiplican entre sí. En el ejem-plo, se repiten el tres (3) y el cinco (5) en 30, 45 y 60. Entonces, el valor resultante de lamultiplicación de éstos es el M.C.D.

Ejemplo 17

Simplifi car la expresión ,

49,50035 325

En primer lugar, es necesario encontrar los nú-meros cuyos numeradores como denominado-res sean divisibles.

49,500 2 35,325 324,750 2 11,775 312,375 3 3,925 5

4,125 3 785 51,375 5 157 157

275 5 155 511 111


30


Ahora se procede a descomponer en factores estos números:

ValorDivisible entre

2 3 5 6 9 10

49,500 X X X X X X

35,325 X X X

Se puede observar que ambas expresiones tie-nen en común la multiplicación 3 x 3 x 5 x 5, sien-do, por lo tanto, 225 el factor común entre ambas. En seguida, se procede a dividir cada uno de los valores entre 225.

35,32549,500

35,325

49,500

225

225157220

= =

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando repre-sentan el mismo valor, es decir, cuando al multipli-carlas en cruz los valores obtenidos son idénticos.

ba

dc a d b c+ # #= =

Existen dos maneras de obtener fracciones equivalentes: la primera corresponde a la simpli-ficación (tema desarrollado anteriormente), y la segunda, a la construcción de fracciones ampli-ficadas (es decir, multiplicar tanto el numerador como el denominador por un valor mayor que cero). Para obtener una expresión de este tipo, basta con multiplicar (fracciones amplificadas) o dividir (simplificación de fracciones) tanto el numerador como el denominador por un mismo valor, distinto de cero.

Para obtener una expresión de este tipo, basta

con multiplicar (fracciones amplificadas) o divi-

dir (simplificación de fracciones) tanto el nume-

rador como el denominador por un mismo valor,

distinto de cero.

Ejemplo 18

Las fracciones a. , , ,48

2112

2816

3520 son todas

equivalentes a la expresión 74 , dado que

cada una de éstas se obtiene multiplicando

la fracción original por 2, 3, 4 y 5 respecti-

vamente.

74

74

74

74

2 3 4 5148

2112

2816

35202 3 4 5

##

##

##

##= = = =

Cuando se tiene una incógnita en el nume-b. rador, se recurre a la definición de las frac-

ciones equivalentes, que expresan que la

multiplicación en cruz de sus componentes

debe ser igual:

,x x x14056

2020 56 140 1 120 140& &# # #= = =

Si se dividen ambos lados de la expresión (es

decir, simplificamos los términos) entre el valor

que acompaña la incógnita, se obtiene el valor

buscado:

, x x140

1 120140

140 8&#= =

Finalmente, la expresión equivalente está dada

por:

14056

208

=

31

32

En el caso de que se tenga la incógnita en c. el denominador, se realiza el mismo proce-dimiento:

108 162 6 108 972x

x x

x x

162108 6

108108

108972 9

162108

96

& &

& & &

# # #

#

= = =

= = =

¿Cómo encontrar el M.C.M.?

Si se tienen dos o más números, se descomponen en factores cada uno de éstos (es decir, los núme-ros que multiplicados entre sí dan como resultado el número deseado). De los resultados, se seleccio-nan todos los factores que componen cada uno de los números, así como el máximo número de veces que aparecen y se multiplican entre sí. El valor re-sultante es el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.).

Al descomponer en factores los números 15, 30 y 90, se tiene que:

15 = 3 x 5 30 = 2 x 3 x 5 90 = 2 x 3 x 3 x 5

El número 2 se encuentra una vez, el 3 se repite dos veces y el 5, una vez. La multiplicación de estos valores(2 x 3 x 3 x 5 = 90) da como resultado el M.C.M.

Comparación de fracciones

En algunas ocasiones se tiene necesidad de establecer cuáles fracciones son mayores o me-nores que otras (compararlas entre sí); para esto, es necesario buscar en ellas elementos, y en al-gunas ocasiones transformarlos, de manera que

permitan realizar dicha comparación. Se tiene

entonces que:

Cuando dos o más fracciones poseen el 1.

mismo denominador, será mayor aquella

que tenga un numerador más grande y, por

ende, será menor la que tenga el valor más

pequeño.

Cuando dos o más fracciones tienen deno-2.

minador diferente, es necesario amplifi car

las fracciones de manera que estas expresio-

nes tengan un denominador común (Míni-

mo Común Múltiplo, M.C.M.), para así poder

hacer la respectiva comparación.

Ejemplo 19

Ordenar de mayor a menor las siguientes a.

fracciones que tienen igual denominador:

, , ,18

31812

188

1836- -

1836

1812

183

1882 2 2- -

Ordenar de menor a mayor las siguientes frac-b.

ciones que tienen diferente denominador:

, , ,96

2517

68

152- -

Al descomponer en factores los denominado-

res, se tiene que:

9 3 3

25 5 5

6 2 3

15 3 5

#

#

#

#

=

=

=

=

MCD MCD2 3 3 5 5 450& &# # # #= =


32


Ahora, se deben hallar las fracciones que sean equivalentes, de manera que el valor del deno-minador sea 450:

68

152

5050

1818

75 30

96

96

2517

2517

96

450300

2517

450306

68

152

68

450600

152

45060

75 30

##

##

##

##

= =

= =

= =

- -

- -

- -

= - = -

De los anteriores resultados podemos estable-cer que:

450300

45060

450306

450600

96

1512

2517

68

&1 1 1

1 1 1

- -

- -

Posición del signo en fraccionarios negativos

Cuando se tienen fracciones con signo negativo, és-tas son equivalentes entre sí al encontrarse el signo negativo bien sea en la mitad, en el denominador o en el numerador.

105

105

105- =- =

-

Operaciones con fracciones

Cuando se suman dos o más fraccionarios en-tre sí, es posible que resulten fracciones que presenten igual o diferente denominador. Esta característica conlleva a que el procedimiento de la operación algebraica (suma) se realice de manera diferente.

Fracciones con igual denominador: la suma 1. de los fraccionarios se realiza sumando los numeradores y dejando el mismo denomi-nador, después se procede a simplifi car la expresión:

ca

cb

ca b

+ = +

Ejemplo 20

Realizar las siguientes operaciones:

324

310

36

324 10 6

320- + - = - + - = -

Simplificado

624

610

65

624 10 5

639

213

&= =- - - - - - -

= -a.

812

84

83

812 4 3

813

+ - = + - =b.

Fracciones con diferente denominador: para 2. realizar la suma de estos fraccionarios es ne-cesario transformarlos en fracciones equi-valentes, es decir, fracciones con el mismo denominador, para así poder sumar los nu-meradores de estas nuevas expresiones de manera directa, dejando el mismo denomi-

33

34

nador; fi nalmente se procede a simplifi car la expresión.

Ejemplo 21


47

123

65

810- + + +

Al descomponer en factores los denominado-res, se tiene que:

4 2 2 12 2 2 3

6 2 3 8 2 2 2

# # #

# # #

= =

= =

En esta descomposición, el número 2 se repite un máximo de tres veces y el número 3 se repite un máximo de una vez, entonces el MCD corres-ponde a:

MCD MCD2 2 2 3 24&# # #= =

Ahora, se deben hallar las fracciones que sean equivalentes, de manera que el valor del deno-minador sea 24:

66

22

44

33

47

47

123

123

47

2442

123

246

65

65

810

810

65

2420

810

2430

##

##

##

##

= =

= =

= =

= =

- -

- -

- -

- -

Reescribiendo la suma de fraccionarios, ésta quedaría de la siguiente manera:

47

123

65

810

2442

246

2420

2430

+ + = + +- - - -

Ahora sí se procede a hacer la operación al-gebraica:

Simplificando

2442

246

2420

2430

2442 6 20 30

2446

1223

&

+ + = + + =- - - - -

=-

Simplificando

620

94

1860

188

1860 8

1852

926

&

+ = + = =- - + -

= -

a.

Simplificando

617

245

2468

245

2468 5

2463

821

&

+ = = =- -

=

b.

Ley de los signos

Cuando se multiplican dos expresiones con signos iguales, el resultado es un valor positivo; pero si tienen signos contrarios, el resultado es un valor negativo.

(+) por (+) es (+)(-) por (-) es (+)(-) por (+) es (-)(+) por (-) es (-)

Al multiplicar dos o más fraccionarios, el pro-cedimiento es mucho más sencillo, dado que se multiplican los numeradores entre si al igual que


34


los denominadores y fi nalmente se simplifi ca la expresión.

ca

db

c da b

###=

Ejemplo 22


Simplificando

610

74

6 710 4

4240

2120

&

###

= =- - - -

=

^ ha.

Simplificando

913

2010

9 2013 10

180130

1813

&

##

#= =- - -

= -

^ hb.

Simplificando

512

103

46

5 10 412 3 6

200216

2527

&

# ## #

# #= =- - - - - - -

= -

^ ^h hc.

Al dividir fraccionarios, el procedimiento es si-milar al anterior, salvo que la multiplicación aho-ra se realiza en cruz. Entonces, para encontrar el numerador del resultado (que es un fracciona-rio), se multiplica el numerador de la expresión que se va a dividir (dividendo) por el denomina-dor de la expresión que divide (divisor); de igual manera, para encontrar el denominador del re-sultado (que es un fraccionario), se multiplica el denominador de la expresión que se va a dividir (dividendo) por el numerador de la expresión que divide (divisor):

ba

dc

b ca b

DIVIDENDO DIVISOR

'##=

SS

Este procedimiento es equivalente a invertir la fracción que divide (es decir, intercambiar, en el divisor, el numerador con el denominador) y rea-lizar la multiplicación de manera directa:

ba

dc

ba

cd

b ca d

' ###= =

Producto de extremos y de medios

Cuando se tiene representada la división como una fracción de fracciones, es decir el denominador y el numerador son fracciona-rios, resulta de gran utilidad la llamada ley de la oreja, que consiste en multiplicar los extremos (cuyo producto será el numerador del resultado) y los medios de la fracción (cuyo producto será el denominador del re-sultado), así

Ejemplo 23

Realice las siguientes operaciones:

Simplificando

610

74

6 410 7

2470

1235

&

'##= =- -

=-

a.

913

209

913

920

9 913 20

81260

' ###- = - = - = -b.

35

36

Simplificando3

9

145

5 314 9

15126

542

&##= = =c.

De decimales a fracciones

Como se explicó en el conjunto de números ra-

cionales, al realizar la operación de división del

numerador por el denominador se obtiene un

número con cifras decimales que pueden ser fi-

nitas o infinitas.

A continuación se puede observar cómo se rea-

liza la transformación de estas cifras decimales a

fracciones:

Transformación de un número con cifras deci-

males finitas a fraccionario: escribir en el nume-

rador el valor sin decimales (es decir, sin la coma

que separa los decimales) y en el denominador

escribir la unidad, es decir el número 1, acompa-

ñado de tantos ceros como decimales presenta

el número, luego se procede a simplificar.

Ejemplo 24

Transformar a fracciones los siguientes números:

0.05 como el valor tiene dos (2) decimales, a.

el denominador será 1 acompañado de dos

(2) ceros:

.0 051005

=

0.0805 como el valor tiene cuatro (4) deci-b.

males, el denominador será 1 acompañado

de cuatro (4) ceros.

0.0805,

Simplificando1 000805

200161

&= =

2.08 como el valor tiene dos (2) decimales, c. el denominador será 1 acompañado de dos (2) ceros.

. Simplificando2 08100208

2552

&= =

Transformación de un número con cifras 1. decimales infinitas que se repiten periódi-camente a fraccionario: escribir en el nume-rador el resultado de restarle al número sin decimales el valor del número que queda una vez se ha eliminado la cifra que se re-pite (por ejemplo, si el valor es ,1 34r , la cifra sin decimales corresponde a 134, y la cifra sin decimales y sin el valor que se repite es 13; por tanto, el numerador corresponde al resultado de 134 - 13).

Para hallar el denominador, se debe escribir el número nueve (9) tantas veces como dígitos se encuentren en el valor periódico (es decir, la cantidad de dígitos que tiene la cifra que se repite de manera indefinida) acompañado de tantos ceros (0) como dígitos se encuen-tren entre el signo decimal y el valor que se repite (por ejemplo, si el valor es 104.32784, la cifra que se repite, es decir 784, tiene tres dí-gitos por tanto se debe escribir tres veces el número nueve; pero este número, es decir el 999, va a ir acompañado de dos ceros, dado que entre el punto que separa los decimales y la cifra periódica hay dos dígitos; por tanto, la cifra del denominador es 99900).

Ejemplo 25

Transformar a fracciones los siguientes números:

4.753r

4,753 es el valor sin cifras decimales.


36


3 es el valor que se repite.

475 es el valor sin cifras decimales y sin el

valor que se repite.

Entonces, en el numerador se debe escribir

4,278 que es el resultado de 4,753 – 475.

El número que se repite tiene una (1) cifra; por

lo tanto, en el denominador se debe escribir una

sola vez el número 9.

Entre el punto (que representa el inicio de las ci-

fras decimales) y la cifra que se repite (es decir en

número 3), hay dos valores; por lo tanto, se debe

escribir esta misma cantidad de ceros (es decir,

dos veces el cero) después del número 9 que va

en el denominador.

Entonces, en el denominador se debe escribir el

valor 900, como se indica a continuación:

., ,

Simplificando

4 753900

4 753 475900

4 278

150713

&

= =

=

-r ^ h

.7 0065a.

70,065 es el valor sin cifras decimales.

65 es el valor que se repite.

700 es el valor sin cifras decimales y sin

el valor que se repite.

Entonces, en el numerador se debe escribir

69,365, que es el resultado de 70,065 – 700.

El número que se repite tiene dos (2) cifras; por lo tanto, en el denominador se debe escribir dos veces el número 9.

Como entre el punto (que representa el inicio de las cifras decimales) y la cifra que se repite (es decir en número 65), hay dos valores, se debe co-locar esa misma cantidad de ceros (es decir, dos veces el cero) después del número 99 que va en el denominador.

Entonces, en el denominador se debe escribir el valor 9.900.

7.00,

,,,

,,

Simplificando

659 900

70 065 7009 90069 365

1 98013 873

&

= =-

=

^ h

Razones y proporciones

Razones

En matemáticas, razón es una comparación de dos cantidades semejantes y se obtiene dividien-do el primer número de la comparación entre el segundo.

Por ejemplo, si en una ciudad cualquiera hay 1,000 mujeres y 500 hombres, y comparamos la cantidad de mujeres con respecto a la cantidad de hombres como , podemos decir que por cada hombre hay dos mujeres o que 1,000 mujeres son dos veces más que 500 hombres.

De esta manera, la fracción es una razón que puede ser escrita de diversas maneras:

1,000 a 500 1. (empleando la palabra “a”)

37

38

1,0002. : 500 ( empleando dos puntos “:”)

,500

1 0003. (como una fracción que es

equivalente a una división)

Ejemplo 26

En un banco laboran 800 personas en total, de

las cuales 650 son mujeres y el resto hombres.

Responder los siguientes interrogantes:

¿Cuál es la relación que existe entre la can-a.

tidad de hombres y la cantidad de mujeres

que laboran en esa empresa?

Relación hombres a mujeres:

: :

a a

650150

133

150 650 3 13

150 650 3 13

&

&

&

Relación mujeres a hombres:

: :

a a

150650

313

650 150 13 3

650 150 13 3

&

&

&

Por cada tres (3) hombres, trece (13) son

mujeres.

¿Cuál es la relación que existe entre la canti-b.

dad de trabajadores y la cantidad de muje-

res que laboran en esa empresa?

Relación trabajadores a mujeres:

800 650 16

: :

a a

650800

1316

13

800 650 16 13

&

&

&

Relación mujeres a trabajadores:

650 800 13 16

: :

a a

800650

1613

650 800 13 16

&

&

&

Por cada dieciséis (16) empleados, trece (13)

son mujeres.

¿Cuál es la relación que existe entre la can-c.

tidad de trabajadores y la cantidad de hom-

bres que laboran en esa empresa?

Relación trabajadores a hombres:

16

800 150 16 3

: :

a a

150800

3

800 150 16 3

&

&

&

Relación hombres a trabajadores:

150 800 3 16

: :

a a

800150

163

150 800 3 16

&

&

&

Por cada dieciséis (16) empleados, tres (3)

son hombres.


38


En general, resulta conveniente expresar estas

razones de manera irreducible (simplifi cadas),

dado que hace que la interpretación sea más

comprensible.

Las razones se usan tanto para comparar canti-

dades que emplean las mismas unidades, como

para aquellas que se expresan en unidades dis-

tintas; sin embargo, cuando esto sucede se debe

tener la precaución de escribir las unidades de

referencia.

Ejemplo 27

En un pueblo de Cundinamarca hay un to-a.

tal de 800 automóviles, y de acuerdo con el

censo poblacional allí habitan 5.600 familias.

¿Cuál es la relación entre la cantidad de au-

tomóviles y la cantidad de familias?

Relación familias a automóviles:

Autom viles

Familias

Auto

Familias

Familias Auto

Familias Auto

,

:

ó

a

800

5 600

1

7

7 1

7 1

&

Relación automóviles a familias:

Auto Familias

5,600

800

7

1

1 7

1 : 7

a

Familias

Autom viles

Familias

Auto

Auto Familias

ó&

En el pueblo hay un (1) automóvil por cada

siete (7) familias.

Si una persona compra dos kilogramos de b. arroz por $700, ¿cuál es la relación que exis-te entre el costo ($) y la cantidad de arroz (kilogramos)?:

$ $ $Kilos Kilo

por kilo2

700 350 350& &

Un cultivador siembra 200 kilos de semilla c. en su fi nca, que tiene una extensión de 5 hectáreas, ¿cuál es la relación que existe en-tre la cantidad de semilla (kilogramos) y la extensión del terreno (hectáreas)?

Hect

Kilos de semilla

Kilos de semilla Hect

5

200 40

40

área

áreapor

Hect

Kilos de semilla

áreas&

&

Importante: las unidades

Los denominadores y numeradores de las ra-zones que componen una proporción deben tener las mismas unidades entre sí (pero no necesariamente entre numeradores y deno-minadores).

dc

ba

=

En la proporción anterior, a y c deben tener las mismas unidades, b y d deben tener las mismas unidades.

Proporciones

Las parejas de razones que son iguales o equivalen-tes reciben el nombre de proporciones. Las propor-ciones están con formadas por cuatro términos:

: :ba

dc a b c d a d b c# #6/= = =

39

40

Donde a y d son los extremos, b y c son los me-dios. En toda proporción el producto de los ex-tremos debe ser igual al producto de los medios.

Según el comportamiento que tienen los valo-res que componen cada razón (es decir, si uno au-menta o disminuye a medida que se incrementa el otro), existen dos tipos de proporciones:

Directas:1. si al aumentar uno de los valores, aumenta el otro; o si al disminuir uno de los valores, disminuye el otro. Por ejemplo, al in-crementar la cantidad de almuerzos vendidos por un restaurante, se incrementan los ingre-sos percibidos de dicho establecimiento.

Inversas:2. si al aumentar uno de los valores, disminuye el otro. Por ejemplo, al aumentar la velocidad de un automóvil, disminuye el tiem-po que se tarda en recorrer una distancia.

Ejemplo 28

Establecer si los siguientes enunciados y las pre-guntas que de ellos se generan corresponden a proporciones directas o a proporciones inversas.

Para pintar 5 tractomulas, se requieren 30 a. días empleando 2 máquinas para esa labor.

¿Cuántos días se requerirán para realizar la •misma labor (pintar las 5 tractomulas) em-pleando 4 máquinas?

Esta es una proporción inversa, dado que al aumentar la cantidad de máquinas disminu-ye el tiempo que se requiere para pintarlas.

¿Cuántas tractomulas se podrán pintar, em-•pleando las mismas dos máquinas en 60 días?

Esta es una proporción directa, dado que al aumentar el tiempo podrá aumentarse la cantidad de tractomulas pintadas.

¿Cuántas tractomulas podrán pintarse en el •mismo periodo de tiempo (30 días) si se incre-mentan las máquinas a 4?

Esta es una proporción directa, dado que al aumentar la cantidad de máquinas, podrá au-mentarse la cantidad de tractomulas pintadas.

Un grupo de 4 carpinteros fabrica 40 sillas b. en 7 días.

¿Cuántas sillas fabricarían el mismo grupo de •carpinteros en 15 días?

Esta es una proporción directa, dado que al aumentar el tiempo, los 4 carpinteros podrán fabricar más sillas.

¿Cuántos días tardarán 10 carpinteros en fa-•bricar la misma cantidad de sillas?

Esta es una proporción inversa, dado que al aumentar el número de carpinteros, el tiem-po empleado para esta labor disminuye.

¿Cuántas sillas fabricarían en el mismo tiempo •un grupo de 10 carpinteros?

Esta es una proporción directa, dado que al aumentar el número de carpinteros se po-drán fabricar más sillas.

Como se ve a través de los ejemplos anteriores, muchos problemas de la vida diaria emplean las proporciones, para encontrar nuevas equivalen-cias de una razón dada; sin embargo, el tener una relación directa o inversa en estas proporciones


40


resulta un factor fundamental para encontrar las equivalencias.

El planteamiento de las proporciones varía de la siguiente manera, según la relación que exista:

Si la relación es directa 1. ba

dc

RELACI N 1 RELACI NÓ Ó 2

=SS

Si la relación es inversa 2. a d b c

RELACI NÓ 2RELACI N 1Ó

# #=SS

Ejemplo 29

Cuando se prepara chocolate para tres perso-a. nas, se emplean dos (2) pastillas por cada tres (3) pocillos de agua, leche o una combinación de ambos líquidos. Pero si llegan quince invi-tados a la casa, ¿cuántas pastillas se requieren para quince (15) pocillos de líquido?

Tipo de proporción: directa, dado que al aumentar la cantidad de pocillos de líqui-do se incrementa la cantidad de pastillas de chocolate.

Relación 1: agua

pastillas

3

2

Relación 2: ?

agua

pastillas

15

Proporción ?

agua

pastillas

agua

pastillas

3

2

15=

Equivalencia entre estas razones:

? ? ?32

15 22 15 10& &#= = =

La respuesta es que se requieren diez (10) pastillas para los 15 pocillos de líquido.

agua

pastillas

agua

pastillas

3

2

15

10=

En el mercado mensual de un hogar se com-pran cinco (5) libras de café para un mes (30 días). ¿Para cuántos días alcanza una libra?

Tipo de proporción: directa, dado que al disminuir la cantidad de libras de café, dismi-nuyen los días para los cuales alcanza.

Relación 1: 30

libras5

d así

Relación 2: ? d así

libras1

Proporción 30 ? d así

libras libra5 1

d así =

Equivalencia entre estas razones

?? ?

305 1

51 30 6& &#= = =

La respuesta es que una libras de café alcan-zan para seis (6) días.

30 d asílibras libra5

6

1

d así =

Ir a un pueblo vecino demora veinte (20) mi-b. nutos cuando se viaja en un carro a 30 kiló-metros por hora. ¿A qué velocidad debe ir el vehículo si se quiere llegar en 10 minutos?

Tipo de proporción: Inversa, dado que al aumentar la velocidad se disminuye el tiem-po para recorrer el trayecto.

41

42

Relación 1: min kmh20 30#

Relación 2: ?min kmh10 #

Proporción:

20 30 ?min minkmh

kmh10# #=

Ordenándola, es equivalente a:

?

min min

kmh

kmh

20

30

10=

Equivalencia entre estas razones

?? ?20

3010

1020 30 60& &#= = =

La respuesta es que el vehículo debe ir a una velocidad de sesenta (60) kilómetros por hora.

Porcentajes

Un porcentaje es una forma de expresar un nú-mero como una fracción del número cien (100), salvo que a cambio de representarlo como una razón, se escribe el valor seguido del símbolo de porcentaje (%). Entonces, un porcentaje es una cantidad que corresponde proporcionalmente a una parte de cien (100):

%a a100

=

De acuerdo con la información que se tenga, se pueden convertir cifras decimales a porcentajes o porcentajes a cifras decimales (y por ende a fraccionarios), como se indica a continuación:

Cifras decimales a porcentajes: multiplicar 1. por cien (100) el valor que se tenga y al re-sultado ponerle el signo %.

Porcentajes a decimales: dividir el valor en-2. tre cien (100) y eliminar el signo %.

Ejemplo 30

Convertir los siguientes números a porcentajes o viceversa.

%%

% .51005 0 05& =a.

%%

% 0.1710017 17& =b.

%%% .123

100123 1 23& =c.

12.5 12.5 100% 1,250%& # =d.

. . 100% . %0 758 0 758 75 8& # =e.

. . % %45

45 1 25 1 25 100 125& & #= =f.

.5 .5 100% %215

215 7 7 750& & #= =g.

Cuando se multiplica por el ciento por cien-to (100%) o se divide entre el ciento por ciento (100%), se puede extraer el concepto que cero por ciento (0%) es nada (dado que corresponde a 0 partes de 100) y que ciento por ciento (100%) es todo (dado que corresponde a las 100 partes de 100), es decir que se podría usar como una es-cala básica de medición, siendo esta caracterís-tica muy útil cuando se emplean los porcentajes.

Uso de porcentajes

Los porcentajes pueden usarse de diferentes formas al realizar comparaciones, como se de-muestra a continuación:

Comparar una parte de un total:1.

%Total

Parte del total100#


42


Ejemplo 31

En una empresa laboran 800 personas en total, de las cuales 650 son mujeres y el resto son hom-bres; esto equivale a decir que de cada 16 traba-jadores 13 son mujeres y 3 son hombres.

¿Qué porcentaje de mujeres y de hombres a. labora en la empresa?

Porcentaje mujeres:

% % . %Total empleados

Total mujeres100

1613 100 81 25&# # =

El 81.25% de los empleados son mujeres, es decir que por cada 100 empleados, el 81.25 son mujeres.

Porcentaje hombre:

100% 100% . 5%Total empleados

Total163 18 7

hombres&# # =

El 18.75% de los empleados son hombres.

Comparar dos partes de un total: consiste en 2. establecer la comparación entre dos compo-nentes de un total. De la forma como ésta se plantee depende el análisis que pueda darse:

%Parte del total

Parte del total

2

1100#

Ejemplo 32

En un salón de clase hay 75 alumnos, de los a. cuales cincuenta (50) son hombres y el resto son mujeres. ¿Qué porcentaje de hombres hay respecto al de mujeres y viceversa?

Mujeres respecto a hombres:•

% %mujeres

Total

Total100

5025 100 25

hombres&# # =

Porcentajes superiores al 100%

Cuando los porcentajes resultantes de un análi-sis son superiores al 100% (es decir, cuando el decimal es superior a uno (1) o bien cuando el numerador del fraccionario es mayor que el de-nominador), resulta de utilidad restarle el valor de uno (1) al fraccionario o al decimal antes de multi-plicar por 100%, para así determinar cuánto más grande es un valor respecto al otro.Por ejemplo, si el salario del año anterior fue de $300 y el de éste es de $360, ¿Cuál es la relación porcentual entre estos?

Salario anteriorSalario actual

100% 300360 1 100% 20%- =&# #a k

El salario de este año es superior en 20% respec-to al del año anterior o, bien, el salario del año anterior se incrementó en 20% para este año.

La cantidad de mujeres del salón representa el 50% del total de los hombres que allí se encuentra.

Hombres respecto a mujeres:•

100%

100% 100%

mujeres

hombres

Total

Total1

2550 1&

#

# =

-

-

c

`

m

j

La cantidad de hombres del salón es 100% mayor que la cantidad de mujeres que allí se encuentra.

Hay tres casos diferentes para emplear porcentajes:

43

44

Para encontrar el valor que corresponde a un 1. porcentaje específico de un valor total dado. En este caso, se recurre a las proporciones.

% %

?%

%

Valor total dado

a calcular

Valor a encontrar

Valor a encontrarValor total dado a calcular

100

100

&

#

=

=

Para encontrar un total cuando se conoce 2. una parte de éste, y el porcentaje que le co-rresponde.

%?

%

?%

%

Valor a encontrar

correspondiente al valor dado

valor dado

Valor a encontrarcorrespondiente al valor dado

valor dado

100

100

&

#

=

=

Para encontrar la relación porcentual de dos 3. cantidades; es decir, qué porcentaje es un valor de otro.

? % 100%

? % 100%

es el menor del mayorMayor valor dado

Menor valor dado

es grande el mayor que el menorMenor valor dado

Mayor valor dadom sá

#

#

=

=

c

c

m

m

Ejemplo 33

Responder los siguientes interrogantes:

Si el salario mínimo es de $481,500 y se tiene a. proyectado incrementarlo en 6%, ¿de cuán-to sería ese aumento y en cuánto quedaría el salario para el próximo año?

%$ ,

%?

%$481,500 %

100481 500

6 1006

&#

=

El salario se incrementaría en $28,890, es decir que para el próximo año el salario es el 100% del que tenemos actualmente ($481,500) más el 6% ($28,890) en el que se incrementará:

%$ ,

%? ?

%$ , %

? $ .100481 500

106 100481 500 106

510 390& &#

= = =

En una fábrica de camisas, el 35% de la pro-b. ducción anual (es decir, 700 camisas) son de manga larga. ¿Cuántas camisas en total se fabricaron durante el año?

%?

%

?%

%

? ,

camisas camisas

camisascamisas

camisas camisas

100 35700

35700 100

2 000

&

#

=

=

=

El total de camisas fabricadas durante el año fue 2,000 unidades.

La cuota de un préstamo bancario era de $550 c. el año pasado. Si este año quedó en $605, ¿en qué porcentaje se incrementó la cuota?

? %$$ % %incremento de cuota550605 1 100 10#= - =c m

La cuota se incrementó en 10% respecto a la del año anterior.


44


CAPÍTULO

3

El desarrollo de las actividades huma-nas en diversos ámbitos nacionales e internacionales, así como las unidades de medida que las cuantifi can, ha con-llevado a que exista un lenguaje que permita identifi car los parámetros a los cuales se refi eren los individuos, sin importar las diferencias lingüísti-cas que puedan darse.

El desarrollo de las actividades huma-

i

Aunque en el mundo se han creado diver-sos sistemas de medición, poco a poco los países han ido adoptando el Sistema

Internacional (SI) de unidades como lenguaje co-mún en el ámbito global, poniendo así fi n a dé-cadas de confusión por los numerosos sistemas que existían en cada región del planeta.

En la tabla 3 se presentan algunas de las unida-des fundamentales del SI.

Tabla 3. Unidades fundamentales del SI

Magnitud Unidad Símbolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

Fuente: adaptación del autor,2008

De este grupo de unidades fundamentales se derivan otras que corresponden a la interrela-ción de las magnitudes enunciadas anteriormen-te, como las que se muestra en la tabla 4.

Tabla 4. Unidades derivadas del SIMagnitud Nombre Símbolo

superfi cie metro cuadrado m2

volumen metro cúbico m3

densidad kilogramo por metro cúbico kg/m3

velocidad metro por segundo m/sFuente: adaptación del autor,2008.

Ejemplo 34

Establecer las unidades para los siguientes pa-rámetros:

Distancia entre un lugar y otro: metros (m).a.

45

Sistema Internacional de unidades (SI)

46

Cantidad de agua en un vaso: metros cúbi-b. cos (m3).

Duración de un programa de televisión: se-c. gundos (s).

Rapidez de una persona cuando corre: me-d. tros por segundo (m/s).

Peso de un automóvil: kilogramos (kg).e.

Como puede verse en el ejemplo anterior, al-gunas veces es necesario reducir o ampliar estas unidades del SI (sobre todo cuando las unidades de referencia son muy grandes o muy pequeñas), para resolver estos casos existen diferentes múl-tiplos y submúltiplos que cumplen esa función. En la tabla 5 se especifican las más comunes.

Tabla 5. Prefijos de múltiplos y submúltiplos del SIPrefijo Símbolo Factor

Múltiplos

mega M 106 = 1.000.000

kilo k 103 = 1.000

hecto h 102 = 100

deca da 101 = 10

Submúltiplos

deci d 10-1 = 0.1

centi c 10-2 = 0.01

mili m 10-3 = 0.001

micro n 10-6 = 0.000001

Fuente: adaptación del autor,2008

El factor de conversión propio de cada prefi-jo significa cuántas veces es mayor o menor la unidad formada, con relación a las magnitudes básicas de longitud y masa. El siguiente ejemplo aclara cómo hacer uso de estos prefijos:

Ejemplo 35

Cambiar las siguientes unidades:

35,800 metros (m) a kilómetros (km).a.

Como el factor de conversión es mil (1,000), esto significa que cada mil (1,000) metros es igual a un (1) kilómetro.

,

?

,

?1,000

1 35,800

? 35.8

35,800 35.8

m

km

m

km

kmm

km m

km km

km km

35 800 1 000

1

&

&

#

=

=

=

=

6 metros por segundo (m/s) a centímetros b. por segundo (cm/s).

Como el factor de conversión es cien (100) pero con potencia negativa, esto significa que cada cien (100) centímetros es igual a un (1) metro.

?

?1

100 6

? 600

6 600

ms

cms

ms

cms

cms m

s

cms

ms

cms

cms

ms

cms

6 1

100

&

&

#

=

=

=

=

?

?1

100 6

? 600

6 600

ms

cms

ms

cms

cms m

s

cms

ms

cms

cms

ms

cms

6 1

100

&

&

#

=

=

=

=


46


0.0017 metros (m) a milímetros (mm).c.

Como el factor de conversión es mil (1,000), esto significa que cada mil (1,000) milímetros es igual a un (1) metro.

.

? ,

?, .

? .

m

mm

m

mm

mmm

mm m

mm mm

0 0017 1

1 000

1

1 000 0 0017

1 7

&

&

#

=

=

=

Se debe tener especial cuidado cuando se con-vierten magnitudes que relacionan cantidades cúbicas o cuadradas, dado que ese es un indica-tivo para saber cuántas veces se tiene que multi-plicar el factor de conversión entre sí.

Ejemplo 36

Convertir las siguientes unidades:

3 metros cúbicos (ma. 3) en decímetros cúbi-cos (dm3).

El factor de conversión es diez (10) pero con po-tencia negativa, esto significa que cada diez (10) decímetros es igual a un (1) metro.

Como la magnitud indicada está en metros cú-bicos, los decímetros deben guardar la misma relación:

1 1 1 1

10 10 10 1

,

m m m m

dm dm dm m

dm m1 000 1

3

3

33

&

&

# #

# #

=

=

=

Entonces el factor de conversión correspon-de a que cada mil (1,000) decímetros cúbicos es igual a un (1) metro cúbico.

0.85 kilogramos por metro cúbico (kg/mb. 3)

a kilogramos por decámetro cúbico (kg/

dam3):

El factor de conversión es diez (10), es decir

que cada diez (10) metros es igual a un (1)

decámetro, y esto equivale a que un (1) me-

tro es igual a 0,1 decámetros.

??

? .

m

dam

m

damdam

m

dam m

dam dam

1 10

1

10

1 1

0 1

3

3

3

3

3

3

3 3

3 3

&

&

#= =

=

Debe tenerse en cuenta que como la mag-

nitud está dada en metros cúbicos, los decá-

metros deben guardar la misma relación.

1 1 1 1

0.1 0.1 0.1 1

0.001 1

=m m m m

dam dam dam m

dam m3

3

3 3 3 3

3

&

&

# #

# #

=

=

Como el factor de conversión está dado por-

que cada 0.001 decámetros cúbicos es igual

a un (1) metro cúbico, entonces:

.

.

.

?

.

.?

.

.

? 850

.

m

kg

dam

kg

dam

kg

dam

kgkg

dam

kg dam

kg kg

kgm

kgdam

1

0 85

0 001

0 85

1 0 001

0 85

0 001

0 85 1

0 85 850

3 3

3 3 3

3

3

3 3

&

&

#

=

= =

=

=

Adicional a las unidades del SI, existen otras

que debido a su importancia y uso frecuente son

aceptadas, como las que se indican en la tabla 6:

47

48

Tabla 6. Unidades aceptadas que no pertenecen al SI

Magnitud Nombre Símbolo Valor en unidades del SI

masa tonelada t 1 t = 1.000 kg

volumen litro L ó l 1 L = 1 dm3

tiempo

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3.600 s

día d 1 d = 24 h = 86.400 sFuente: Autor, 2008.

Ejemplo 37

Convertir las siguientes unidades:

3,000 decímetros cúbicos (dma. 3) a litros (L).

,

??

,

? 3,000

, ,

dm

L

dm

Ldm

dm

L dm

L L

dm L

3 000 1

1

1

1 3 000

3 000 3 000

3 3

3

3

3

3

&

&

#= =

=

=

850 kilogramos por decámetro cúbico (kg/b. dam3) a toneladas por decámetro cúbico (t/dam3).

?

,?

,

? . .

kg

t

kg

tt

kg

t kg

t tkg

damt

dam

850 1 000

1

1 000

1 850

0 85 850 0 853 3

&

&

#= =

= =


48


CAPÍTULO

4

Todos los objetos ocupan un lugar en el espacio y están provistos de un tamaño, y es mediante los diversos conceptos geométricos que se pue-den establecer sus características y a la vez resolver problemas que les son propios.

Todos los objetos ocupan un lugar

i

En la vida diaria, la geometría ayuda a re-solver diferentes interrogantes, como los siguientes:

¿Cuántas cajas de determinado tamaño po-•demos apilar en un camión de carga?

¿Cuál es la inclinación que tiene determina-•do terreno?

¿Cuánta tela se necesita para confeccionar •las cortinas de una casa?

¿Cuántas tejas se requieren para cubrir el te-•cho de un lugar?

La distancia entre dos puntos dan origen a una recta: con la que se puede medir la altura, el largo o el ancho de un objeto. Pero ¿qué hace la diferencia entre estas tres características? La po-sición en el espacio de las rectas. Por ejemplo, la

distancia que hay entre el piso y el techo de una

habitación refi ere a la altura, y la distancia que

hay de una pared a otra muestra indica el largo o

el ancho de esa misma habitación, según el caso.

Mediante los triángulos y los ángulos es que se

pueden relacionar dos de éstas características

(largo, ancho o alto), dando origen en algunos

casos a nuevos parámetros.

Ángulos

Antes de entrar a defi nir qué es un ángulo, es

importante conocer los símbolos que se emplea-

rán a partir de este punto. Cuando se unen dos

puntos (A y B) por medio de una semirrecta se

debe colocar una fl echa sobre estas letras para

indicar el punto de partida y el punto de llegada

de cada una de las semirrectas (véase fi gura 3).

49

Geometría

50

A B

AB: Punto de partida A, punto de llegada BBA : Punto de partida B, punto de llegada A.

Figura 3. Semirrectas. (Autor, 2008).

Ahora sí, ¿qué es un ángulo? Es la porción que está comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen en común (denominado vérti-ce), es decir, dos partes de una línea recta que se encuentran unidas entre sí por un mismo punto (véase figura 4).

Gráficamente lo anterior se representa así, las dos semirrectas AB y BC , las cuales parten de un

punto en común o vértice que es B y el espacio que se forma entre ellas es el ángulo, que se re-presenta como ABC+ ó ABCt (véase figura 4).

A

C B

ABC∠

Figura 4. Ángulo entre dos semirrectas. (Autor, 2008).

Sin embargo, al trazar estas dos semirrectas se forman dos ángulos (externo e interno), de los cuales el ángulo de menor abertura se denomina convexo y el de mayor abertura, cóncavo (véase figura 5).

Tabla 7. Clasificación de los ángulos según su medida

Nombre Ángulo en grados Ángulo en radianes

Nulo 0ABC = ct 0ABC rad=t

Agudo 0 90ABCc c1 1t 0 2rad ABC rad1 1 rt

Recto 90ABC = ct2ABC rad= rt

Obtuso 90 180ABCc c1 1t2 rad ABC rad1 1r rt

Llano 180ABC = ct ABC rad= rt

Cóncavo 180 360ABCc c1 1t 2rad ABC rad1 1r rt

Completo 360ABC = ct 2ABC rad= rt

Fuente: Autor, 2008.

Geometría

50


A

CB

Ángulo convexo

Ángulo cóncavo

Figura 5. Ángulos cóncavos y convexos. (Autor, 2008).

La medida de un ángulo está determinada por la abertura que existe entre sus lados, la cual se expresa por lo general en grados. Cuando divi-dimos una circunferencia en 360 partes iguales, cada una de estas partes equivale a un grado (1º). Sin embargo, en el Sistema Internacional (SI) de unidades la unidad oficial son los radianes (rad).

3.14159rad180

o

1 6 f= =r r` j

Partiendo de esta equivalencia, se puede con-cluir que una circunferencia (que tiene 360º) tiene 2r radianes, y media circunferencia r radianes (es decir, 180º), como se detalla en la figura 6.

A

BAB∠ = 360º = 2π rad

B

Figura 6. Ángulo de una circunferencia. (Autor, 2008).

La tabla 7 presenta la clasificación de los ángu-los según su medida:

Triángulos

Un triángulo es la unión de tres segmentos de recta que se encuentran unidos de dos en dos por sus extremos, generando una figura de tres vértices, en cada uno de los cuales se forma un

ángulo interno. Estos ángulos se designan habi-tualmente con letras griegas, como se muestra en la figura 7:

CAB A

ABC B

BCA C

+

+

+

= =

= =

a

b

c = =

t

t

t

A

C B

A A

C C B

B

α

β γ

α

β γ

α

β γ

CBCA

BABC

ACAB

ˆ

ˆ

ˆ

=∠=

=∠=

=∠=

γ

β

α

Figura 7. Triángulos. (Autor, 2008).

Una propiedad que tienen los triángulos es que la suma interna de sus ángulos es igual a 180º, es decir que 180o+ + =a b c .

Los triángulos se pueden clasificar de acuerdo con la longitud de los segmentos de recta que los componen, o de acuerdo con la magnitud de los ángulos internos (véanse tablas 8 y 9).

Tabla 8. Clasificación de los triángulos según sus lados

Nombre Característica

Equiláteros Todos sus lados son iguales.

Isósceles Tiene dos lados iguales.

Escaleno Todos sus lados son desiguales.


Tabla 9. Clasificación de los triángulos según sus ángulos

Nombre Característica

Acutángulo Sus tres ángulos son agudos; es decir, menores de 90º.

Rectángulo Tiene un ángulo recto; es decir, igual a 90º.

Obtusángulo Tiene un ángulo obtuso; es decir, mayor de 90º.


51

52

Existen funciones que permiten encontrar una relación entre un ángulo y los segmentos de rec-ta (lados) que lo conforman, siempre y cuando corresponda a un triángulo rectángulo (es decir, que uno de los ángulos sea igual a 90°).

B 90º β

α

a

b c

C

A

A, B y C: Vértices

a, b y c: Magnitud de los lados

α y β: Ángulos internos

Figura 8. Triángulo rectángulo. (Autor, 2008).

Las funciones trigonométricas cumplen con la labor de establecer esta relación, pero, antes de definirlas, se requiere identificar algunos pará-metros del triángulo rectángulo de la figura 8.

Cateto opuesto (CO): al observar la figura 1. desde los vértices que poseen ángulos dife-rentes de 90º (es decir, en el punto A ó B), el segmento de recta que se encuentra frente del ángulo se denomina con este nombre. Si el punto de referencia es el vértice A y por ende el ángulo a, entonces el cateto opues-to corresponde a la magnitud C a B, es decir, a. Pero si el punto de referencia es el vértice B y por ende el ángulo b , entonces el cateto opuesto corresponde a la magnitud A a C, es decir, b.

Cateto adyacente (CA): al observar la figura 2. desde los vértices que poseen ángulos dife-rentes de 90º (es decir, en el punto A ó B), el lado del triángulo que se encuentra junto del ángulo pero que es diferente a la diago-nal, se denomina con este nombre. Si el pun-

to de referencia es el vértice A y por ende el ángulo a, entonces el cateto adyacente co-rresponde a la magnitud A a C, es decir, b.

3) Pero si el punto de referencia es el vértice B y por ende el ángulo b , entonces el cateto adyacente corresponde a la magnitud B a C, es decir, a. Hipotenusa (H): es el lado opuesto al án-gulo recto, es decir el lado c de la figura 8, y es lado más largo del triángulo rectángulo (une los puntos A y B).

La siguiente ecuación (Teorema de Pitágoras) nos permite encontrar la medida de la hipotenusa:

c a b c a b2 2 2 2 2&+ = +=

Aclarado lo anterior, se tiene que las funciones trigonométricas son: tangente (tan), seno (sen) y coseno (cos), que permiten relacionar los án-gulos y los lados del triángulo rectángulo, va-liéndose de las ecuaciones que se muestran a continuación:

sen sen ngulo

cos cos

tan tan

ÁH

COH

CO

HCA

HCA

CACO

CACO

1

1

1

&

&

&

6= = =

= =

= =

i i i

i i

i i

-

-

-

`

`

`

j

j

j

La tabla 10 muestra los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos notables (más comunes):

Geometría

52


Tabla 10. Valor de las funciones trigonométricas para los ángulos notables

Ángulo Función trigonométrica

Grados Radianes Seno Coseno Tangente

0°=i 0 rad=i 0 1 0

0°3=i rad6

=ir 0.52

1=

23

0.866. 33

0.577.

°45=i rad4

=ir

22

0.707. 22

0.707. 0

°60=i rad3

=ir

23

0.866. 0.521

= 3 1.732.

°90=i rad2

=ir 1 0 3

°180=i rad=i r 0 -1 0

°270=i 23

=ir -1 0 3-

°360=i rad2=i r 0 1 0


Pero cuando los triángulos no son rectángulos (denominados oblicuángulos, es decir, que care-cen de ángulo recto, como se ve en la fi gura 9), como los acutángulos (todos sus ángulos son agudos) o obtusángulos (tienen un ángulo obtu-so), se emplea el Teorema del seno o el Teorema del coseno, según la información que se tenga.

Importante

Para hallar el valor de las funciones trigonomé-tricas de otros ángulos, así como el valor de las raíces que no son exactas, es necesario hacer uso de calculadoras que tengan estas funciones.

A

C B

A

C B

α

β γ

α

β γ

b b c

a a

c

Figura 9. Triángulos oblicuángulos. (Autor, 2008).

Teorema del seno:1.

casen

bsen sen

=a b c

=

Teorema del coseno:2.

a b c bc Cos

b a c ac Cos

c a b ab Cos

2

2

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

#

#

#

= +

= +

= +

a

b

c

-

-

-

^

^

^

h

h

h

53

54

Los siguientes ejemplos aclaran cómo se apli-can las diversas ecuaciones en la vida diaria:

Ejemplo 38

Si se tiene una carpa de 4 m de altura y 6 m a. de ancho y los vientos (cuerdas) que ama-rran la carpa tienen una inclinación de 30º del suelo (véase figura 10).

4m

6m

30º 30º

X X

Figura 10. Gráfica explicativa del ejemplo 38. (Autor, 2008).

¿Cuál es la longitud de los lados de la carpa?•

La carpa forma dos triángulos rectángulos unidos por la altura, y la base de cada uno de éstos mide 3 m (véase figura 10a).

4m

3m 3m

Figura 10a. Gráfica explicativa del ejercicio. (Autor, 2008)

La longitud de los lados de la carpa es equi-valente a la hipotenusa de un triángulo rec-

tángulo (véase figura 8), entonces hacemos uso del Teorema de Pitágoras.

c a b c a b

c c c c3 4 9 16 25 5

2 2 2 2 2

2 2 2

&

& & &

= + = +

= + = + = =

Entonces, 5 equivale a la longitud de los la-dos de la carpa.

¿A qué distancia se encuentra la esquina infe-•rior de la carpa del lugar donde se amarra el viento (es decir la distancia X de la figura 10)?

Los vientos de la carpa forman, al igual que en el caso anterior, dos triángulos rectángu-los, pero en la base de cada uno se encuentra el interrogante, tal como se representa en la figura 10a.

4m

3m + X 3m + X 30º 30º

Figura 10b. Triángulos rectángulos. (Adaptado por el autor, 2008).

Con la información del ángulo (30º) y del cateto opuesto (4m), se recurre a la función tangente para encontrar la magnitud del ca-teto adyacente (3m + X):

30

..

tantan

° °

CACO

CACA

CA CA

430

4

0 5774 6 9

tan

&

& &. .

=

= =

i

Geometría

54


No se debe olvidar que a la base de los trián-gulos (es decir al cateto adyacente encontra-do), se le deben restar 3 metros, dado que la magnitud calculada corresponde a 3m+X.

.

.

CA X X CA X

X

3 3 6 932 3

3 932

& & .

.

= + = - -

¿Cuál es la longitud de cada viento (cuerdas •que amarran la carpa)?

Para encontrar esta magnitud se parte de la misma explicación del punto anterior, pero con el fin de encontrar el valor de la hipote-nusa (véase figura 10c).

4m

30º 30º

Figura 10c. Triángulos rectángulos. (Adaptado por el autor, 2008).

Entonces, con la información del ángulo (30º) y del cateto opuesto (4m), se recurre a la función seno:

30

.

sensen

° °

HCO

HH

H H

430

4

0 54 8

sen

&

&

= =

=i

= =

Alternativamente también se hubiera podido utilizar la función coseno, dado que el ángulo fal-tante es igual a 60º (teniendo en cuenta que la suma de los ángulos internos de un triángulo es

igual a 180º), pero ahora los 4 metros correspon-den al cateto adyacente.

60

.

coscos

° °

HCA

HH H

H H

460

0 54 8

cos

&

& &

=

= =

i

= =

Para llegar a la cima de una montaña desde b. un punto A, existen dos alternativas: la pri-mera, caminar una distancia de 9 km hasta la base de la montaña para luego subir en línea recta una distancia X (bajo el supues-to que la montaña tiene una inclinación perfecta); la segunda, viajar en un teleférico (que cuenta con una inclinación de 30º) una distancia de 30 km (véase figura 11).

A 90

X 30

30º

Figura 11. Graficación del ejercicio. (Autor, 2008)

¿Cuál es la distancia que se debe recorrer desde •la base de la montaña hasta la cima (es decir, la distancia X del gráfico)?

De acuerdo con las dimensiones que provee el ejercicio, se puede establecer que la figu-ra corresponde a un triángulo oblicuángulo (véase figura 12).

55

56

30º

9

X 30

Figura 12. Triángulo oblicuángulo. (Adaptado por el autor, 2008)

Entonces, para encontrar el valor de X se debe

hacer uso del Teorema del seno o del Teorema

del coseno, dependiendo de la información que

se tenga.

De acuerdo con los parámetros establecidos

en la figura 12, el ejercicio brinda la siguiente

información:

° a b c X30 9 30c = = = =

Esta información permite identificar que la si-

guiente ecuación (del Teorema del coseno) es la

única que contiene todas aquellas variables que

relaciona el ejercicio:

9 30

81 900

981 981 467.6537

513.3463

. .

°

°

c a b ab Cos

c Cos

c Cos

c c

c

c c

2

2 9 30 30

540 30

54023

513 3463 22 657

2 2 2

2 2 2

2

2 2

2

&

&

&

&

#

# # #

#

# .

.

. .

= +

= +

= +

=

c-

-

-

- -

^

^

^

c

h

h

h

m

Figuras planas

Las figuras planas hacen referencia a las figuras geométricas de dos dimensiones, es decir, que tie-nen ancho y largo o ancho y alto o largo y alto; todo depende del lugar donde se haga la observación.

Por ejemplo, si una persona está en el piso más alto de un edificio y mira hacia abajo, ve el lar-go y el ancho de las calles; pero si se ubica en la puerta de una casa para divisar la vivienda que se encuentra al frente puede identificar el ancho y el alto de la misma.

Dentro de este grupo de figuras se encuentran la circunferencia, el círculo y el polígono, los cua-les se definen a continuación (véase figura 13).

Centro r Semicírculo

Semicircunferencia

Diámetro

Radio

Sector circular Segmento

circular

Figura 13. Círculo y circunferencia. (Autor, 2008).

Circunferencia:i. es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran a igual distancia de otro punto interior lla-mado centro (es la línea cerrada y plana). La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se denomina radio (r), y el diámetro de una circunferencia es dos veces el radio (2 x r).

Círculo:ii. es la superficie plana que se en-cuentra delimitada por la circunferencia.

Polígono: iii. es la unión de tres o más seg-mentos de recta que sólo se cortan en sus extremos (vértices). Una característica de

Geometría

56


los polígonos es que en cada vértice sólo se encuentran los extremos de dos segmentos de recta. El número de lados que conforman los polígonos tienen directa relación con el nombre que los identifica, así como con la suma de sus ángulos internos (véanse tabla 5 y figura 14).

Tabla 11. Clasificación de los polígonos por el número de lados

Número de lados Nombre

3 Triángulo

4 Cuadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octágono

9 Eneágono

10 Decágono

12 Dodecágono


Cuadrado

L

L

h

b

Rectángulo

h

b

Triángulo

L

L

Triángulo equilátero

L

Paralelogramo

b B

Trapecio

d

D

Rombo

b

h h

b

Figura 14. Principales triángulos y cuadriláteros. (Autor, 2008).

Una propiedad de los polígonos es que la suma de los ángulos internos está dada por la siguien-

te relación: 180º (n-2), donde n corresponde al número de lados del polígono.

Cuando los polígonos tienen sus lados y sus ángulos internos iguales se llaman polígonos re-gulares. Una característica de estos polígonos es que pueden ser ubicados (inscritos) dentro de en una circunferencia (es decir, todos los vértices son puntos de ésta), como se muestra en la figura 15:

Cuadrado Hexágono Pentágono

r

r r

L L L

Figura 15. Polígonos regulares. (Autor, 2008).

Existen dos magnitudes relacionadas con las fi-guras planas: el perímetro (P) y el área (A).

Perímetro:1. es la longitud del contorno de una figura.

En la circunferencia, se calcula con la fór-•mula 2 rP # #= r

En los polígonos, es igual a la suma de la •longitud de todos sus lados.

Área:2. es la superficie comprendida dentro de una figura.

En la circunferencia, se calcula con la •fórmula A r2

#= r

En la elipse (véase figura 16), que hace •parte de los cuerpos geométricos re-dondos, el área se calcula con la fórmula A a b# #r= , donde a y b correspon-den a los radios (menor y mayor).

57

58

b a

Figura 16. Elipse.(Autor, 2008).

Para los polígonos, la tabla 12 muestra las •

ecuaciones para encontrar el área de la figu-

ra (los parámetros corresponden a los desig-

nados en la figura 5 y la figura 6).

Tabla 12. Áreas cuadriláteros.

Polígono Ecuación del área

Cuadrado A l2=

Rectángulo A b h= #

Triángulo2A b h= #

Triángulo equilátero 2

3A l2

=

Paralelogramo A b h= #

Trapecio2A

B b h=

+ #_ i

Rombo2A D d= #

Polígonos regulares A 4

P 4r l P Perímetro2 2

= - =6


Figuras tridimensionales

Cuando se mencionan figuras tridimensionales se hace referencia a figuras o cuerpos geométri-cos que tienen ancho, largo y alto. Las figuras tri-dimensionales pueden ser redondas o planas.

Cilindros y prismas:1. cuerpos en los cuales dos de sus caras (bases) corresponden a fi-guras planas exactamente iguales que se encuentran paralelas (reciben el nombre de prismas cuando las caras son polígono, y ci-lindros cuando sus caras son circunferencias o elipses).

h

Polígono de cuatro lados


h

Circunferencia o elipse


h

Triángulo

Triángulo

Figura 17. Prismas y cilindros. (Autor, 2008).

Conos y pirámides:2. cuerpos en los cuales su base es una figura plana y el extremo pa-ralelo a esta es un vértice común (reciben el nombre de pirámide cuando la base es un polígono, y el nombre de cono cuando la base es una circunferencia o elipse).


Vértice


h h

Vértice

Figura 18. Pirámides y conos. (Autor, 2008).

Esfera: 3. cuerpo sólido de superficie curva, cuyos puntos se encuentran a la misma dis-tancia del centro, como se detalla en la figu-ra 19. (Esta distancia corresponde al radio de la esfera.)

Geometría

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r

Figura 19. Esfera.(Autor, 2008).

La principal magnitud relacionada con estos cuerpos geométricos corresponde al espacio que ocupan, es decir el volumen (V ).

El volumen de los cilindros y prismas está 1. dado por el producto del área de la base por la altura de la fi gura.

El volumen de los conos y las pirámides está 2. dado por el producto de la tercera parte del área de la base por la altura de la fi gura.

Vde la base

Altura3

reaÁ#=

El volumen de la esfera corresponde a:3.

r r3

4 3# #r=

Importante: nuevamente las unidades

Para calcular el área y el volumen de cuerpos geométricos se debe tener especial precaución de emplear las mismas unidades en todos los parámetros (alto, ancho y largo).

En los siguientes ejemplos se pueden obser-var los casos donde se emplean los conceptos geométricos vistos hasta este punto.

Ejemplo 39

Para enviar una encomienda empacada en a. una caja a la ciudad de Cartagena, una em-presa de mensajería ofrece dos alternativas para el cobro del envío: la primera, es un co-bro por peso ($500/kg), y la segunda, un co-bro por volumen ($150,000/m3).

La encomienda pesa (20 kg), por lo tanto, el valor que se pagaría es $10,000 ($500/kg x 20 kg). Pero ¿qué debe hacerse para averiguar si es más económico que cobren por volumen?

Primero se procede a medir el tamaño de la caja, la cual tiene de base de 20 cm x 15 cm, y de altura, 1.3 m (véase fi gura 20).

1.3 m

20 cm 15 cm

Figura 20. Medidas de la caja. (Adaptado por el autor, 2008).

Es decir, la caja es un prisma, y para hallar el vo-lumen de esta fi gura se debe calcular primero el área de la base, y este resultado multiplicarlo por la altura de la caja, así:

. . . .V m m m V m0 2 0 15 1 3 0 039

de la Base Altura

3

reaÁ

&# #= =1 2 3444 444 S

59

60

Una vez encontrado el volumen, se puede establecer que el valor que se cobraría por volumen sería de $5,850 ($150,000/ m3 x 0.039 m3).

Entonces, se deduce que la mejor alternativa para pagar el envío de la encomienda es por volumen.

Una persona necesita que le fabriquen una b. pieza de oro en forma de cruz; pero, como éste es un metal precioso muy costoso, ne-cesita saber la cantidad exacta que requiere el trabajador que la va a elaborar. ¿Cómo se puede averiguar este dato si se tienen las si-guientes medidas?

3 cm

Base

6 cm

2 cm

2 cm

6 cm

6 cm

Base

Figura 21. Graficación del ejemplo. (Autor, 2008).

Al igual que el ejemplo anterior (a), la figura co-rresponde a una prisma, y para hallar su volumen debe calcularse primero el área de la base y este resultado multiplicarlo por la altura de la caja. Al observar con detenimiento la figura 22, se pue-de establecer que está compuesta por cuatro rectángulos de 6 cm de largo x 2 cm de ancho cada uno, y un cuadrado (en el centro) de 2 cm de lado.

6 cm

2 cm

2 cm

6 cm

6 cm

Figura 22. Esquema de la pieza de oro. (Adaptado por el autor, 2008).

Entonces, el área de la figura corresponde a la suma de las áreas individuales, (las de los rectángulos y la del cuadrado).

A cm cm A cm

A cm cm A cm

A cm cm cm cm cm

A cm

6 2 12

2 2 4

4 12 12 12 12

52

Rect ngulo Rect ngulo

Cuadrado Cuadrado

Figura

Rect ngulo 1 Rect ngulo 2 Rect ngulo 3 Rect ngulo 4

Figura

á á

á á á áCuadrado

2

2

2 2 2 2 2

2

&

&

#

#

= =

= =

= + + + +

=

SSSSS

Ahora sí se puede encontrar el volumen de la figura:

V cm cm V cm52 3 156Área de la Base Altura

2 3#= = =

SS

Sin embargo, hay materiales que se comercia-lizan por peso mas no por volumen, como en

Geometría

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este caso, siendo necesario el uso de la densidad

(relaciona peso con volumen) para encontrar el

peso de 156 cm3 de oro.

La densidad del oro es igual a 19.32 g/cm3, es

decir que 19.32 gramos de oro ocupan un espa-

cio de un (1) centímetro cúbico.

. ??

.

? , .

cm

g

cmg

gcm

g cm

g g

19 32

156

19 32 156

3 013 92

3 3 3

3

&

&

#= =

=

Finalmente, la cantidad de oro que se debe pro-porcionar (y por tanto el peso que ha de tener nuestra pieza) es de 3,013.92 gramos de oro.

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62

Glosario

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Glosario

Cantidad: número que resulta de una medida u operación.

Constante: cantidad que tiene un valor fijo en un determinado proceso, cál-culo, etc.

Desigualdad: relación de falta de igualdad entre dos cantidades o expresiones.

Ecuación: igualdad que contiene una o más incógnitas.

Expresión algebraica: expresión analítica que solo contiene aquellas fun-ciones calculables con las operaciones del álgebra, es decir, la suma, la multi-plicación y sus inversas.

Operación: conjunto de reglas que permiten, partiendo de una o varias can-tidades o expresiones, llamadas datos, obtener otras cantidades o expresio-nes llamadas resultados.

Parámetro: variable que, en una familia de elementos, sirve para identificar cada uno de ellos mediante su valor numérico.

Razón: cociente de dos números o, en general, de dos cantidades compara-bles entre sí.

Variable: magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendi-dos en un conjunto.

63Las matemáticas, una herramienta para la gest ión ópt ima 63

Bibliografía

Barnett, R. y Uribe, J. (1998). Álgebra y geometría 2. Colombia: McGraw-Hill.

Instituto Colombiano de Normas Técnicas y Certificación. (2004). Metrología: Sistema Internacional de unidades. (5ª actualización). Bogotá, Colombia: Icontec.

Ruiz, H. y Gil, P. (1994). Matemática básica. Bogotá, Colombia: Universidad San-to Tomás, Centro de Enseñanza Desescolarizada.

Swokowsk, E. y Cole, J. (2006). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (11ª ed.). México: Thomson Editores.

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Las matemáticas, una herramienta para la gestión óptimaPrimera ediciónEste libro se terminó de imprimir en marzo de 2010 en Javegraf.

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