2016年6月18日 めだか Ruby もくもく勉強会 資料 1

「Reading, Writing and Proving」● 本書は、「算数 (Calculus)」といったアルゴリズム中心の

コースを学ぶ学生が、定理と証明を中心としたコースに変更する場合を対象として書かれている。

● このテキストでは、さまざまな証明方法だけではなく、高等数学の基本となる考え方を多く載せており、一方で学生がより高等な数学のコースで成功するために、数学の定義、例題、定理を用いて、読み書き・証明するのに必要な能力を高めることも目的としている。

● さらにいうと、数理論理学、集合論等での証明方法に加えて、本書は学生が将来学ぶであろう整数論、抽象代数学、そして解析学での証明ができるよう、基礎力をつけることも目的としている。

2016年6月18日 めだか Ruby もくもく勉強会 資料 2

序論● 論理学の基礎

– 論理式の扱い– 背理法

● A →B を示すために not A で矛盾を示す

(厄介：次スライド）

● 最大値 max・最小値 minの拡張– 上限 sup, 下限 inf

● sup(3,4] = max(3,4] = 4● inf(3,4] = 3 ≠ min(3,4] (3はminではなくinf)

– 関数minは作れても関数infは作れない？

2016年6月18日 めだか Ruby もくもく勉強会 資料 3

例題

51/3は無理数であることを示せ。

2016年6月18日 めだか Ruby もくもく勉強会 資料 4

背理法による解答

51/3 = q/p とおく。 – 約分されているのでgcd(p,q) = 1に注意。

5 = p3 / q3

5 q3 = p3

qは5を因数にもつ。pも同様。– gcd(p,q) ≠ 1 なので矛盾する。

→ 矛盾51/3 ≠ q/p　よって有理数

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例題● コインが12枚ある。

● 1枚のコインだけ重さが異なる。● はかり（天秤）を最小で何回使えば、重さの異なる

コインが見つかるか？

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直感的導出

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

よって3 回　　　　　　→ であると予想できる。

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証明の難しさ● コインが12枚ある。

● 1枚のコインだけ重さが異なる。

● はかり（天秤）を最悪で3回使えば、重さの異なるコインが見つかることを証明せよ。

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まとめ

● 「Reading, Writing, and Proving」の紹介● 導出と証明の違い

– 導出できても証明できない