momento curvatura

ANLISIS SECCIONALIntroduccin. Diagramas momento-

curvatura

ETSI Caminos, C. y P.

Universidade da Corua

HORMIGHORMIGN ARMADO Y PRETENSADON ARMADO Y PRETENSADO

ANANLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccinn. . DiagramasDiagramas MM--cc

1. Definiciones y nomenclatura

z Funcionamiento habitual de una viga biapoyada: Tracciones en fibra inferior Compresiones en fibra superior

R

Compresiones

Tracciones

R (radio de curvatura)

P



Fibraneutra

P

Compresin

Traccin

R (radio de curvatura)

Flecha,



As Armadura traccionadaAs Armadura comprimida

h Cantob Ancho

d Canto tilx Prof. de la fibra neutra

r Recubrimiento

x

d

'

r

r

rr

cdg

A 's

As

h

b

d


1. Hormign: curva tensin-deformacin

Deformacin de plastificacin

( )0

0.530

0.002 , 50 MPa

0.002 0.000085 50 , 50 MPac ck

c ck ck

f

f f

= = + > 4

0.0035 , 50 MPa

1000.0035 0.0144 , 50 MPa100

cu ck

ckc ck

f

f f

= = + >

Deformacin de rotura a flexin simple


(excepcionalmente, para SD, )

1. Acero: curva tensin-deformacin

Deformacin de plastificacin

max 0.010 =Deformacin de rotura a flexin simple

(segn tipo de acero)

max 0.020 =


2. Comportamiento bajo carga creciente

z En el trabajo de una viga bajo flexin se observa un doble trabajo: La deformacin () de la

viga bajo la carga P creciente: anlisis P/

Las progresivas curvatura (c = 1/r) y deformacin () de cada seccin bajo el momento creciente M: anlisis M/c


2. Comportamiento bajo carga creciente

z FASE I: Hormign no fisurado Comportamiento lineal

z FASE II: Hormign fisurado El hormign se mantiene lineal en

compresin Comportamiento lineal con menor

rigidezz FASE III: Hormign plastificado

Fase de prerrotura Acaba cuando el acero, el hormign

o ambos alcanzan su deformacin de rotura

Aumento del momento

en la seccin

0

Mfis

MIIMu

NO FIS.

FIS.

PRE-ROTURA


2. Diagrama P-

P

I II III


2. Diagramas P- y M-czDiagramas P- (carga/flecha)

Anlisis del comportamiento de una viga bajo una carga que se incrementa

zDiagramas M-c (momento/curvatura) Anlisis del comportamiento de una seccin

M es funcin de P es funcin de c

existe analoga entre las curvas P- y M-c

2

2

1 d y Mcr dx EI

= =


2. Anlisis tensodeformacional de la seccin

1. COMPATIBILIDAD Las secciones planas permanecen planas

tras la deformacin (hiptesis de Navier)

2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS

3. EQUILIBRIO Las acciones internas deben equilibrar las

acciones externas



1. COMPATIBILIDAD Las secciones planas

permanecen planas tras la deformacin (hiptesis de Navier)

2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS 3. EQUILIBRIO

Las acciones internas deben equilibrar las acciones externas


2. Anlisis tensodeformacionalde la seccin

1. COMPATIBILIDAD Las secciones planas permanecen

planas tras la deformacin (hiptesis de Navier)


3. EQUILIBRIO Las acciones internas deben

equilibrar las acciones externas



1. COMPATIBILIDAD Las secciones planas

permanecen planas tras la deformacin (hiptesis de Navier)


3. EQUILIBRIO Las acciones internas

deben equilibrar las acciones externas


2. Anlisis de la curva M-c

zCaracterizacin del comportamiento de la seccin a travs de momentos representativos

cI II III

MuMII

Mfis

Mfis Momento de fisuracin

MII Final fase II (plastificacin del hormign)

Mu Rotura (momento ltimo)


2. Fase I: hormign no fisurado

zComportamiento elstico-lineal de la seccin

Acaba cuando la fibra inferior alcanza su resistencia a traccin fct: M = Mfis (momento de fisuracin)

( )2

21

1 d y Mcr dx EI

= =


2. Fase II: hormign fisurado

zComportamiento cuasielstico de la seccin

Se desprecia la aportacin de rigidez del hormign fisurado

Acaba cuando el hormign plastifica: M = MII

( )2McEI

=


2. Fase III: hormign plastificado

z Comportamiento no lineal de la seccin

Acaba cuando uno de los materiales rompe: M = Mu

Rotura dctil Rotura frgil


2. Fase I: Momento de fisuracinh

b

d

x

t

c

t

c

z Seccin rectangular:

't

fisI fMv

= 2

6t

fisbh fM =

c c cE =


2. Fase I: Rigidezh

b

d

x

t

c

t

c

z Seccin bruta:z Seccin homogeneizada:

c bM E I c=

c c cE =

c hM E I c=1M K c=


2. Fase I: Hormign no fisurado. Tensiones

C=T ; c = tM = 0.5c(b0.5h)(2/3 h) =1/6cbh2

c = t = 6M/(bh2)

C=0.5c(b0.5h)

T=0.5s(b0.5h)

2/3 h

b

1/2 h=x

1/2 h

t

c

Diagrama tensiones

M

c = t = My/Igdonde y = 0.5h

Ig = bh3/12

Cuando t = fr , comienza a fisurar la seccinMomento de fisuracin, Mfis = ftIg/(0.5h) = (ftbh2)/6


h

b

d

Zona comprimida

Zonatraccionada

Deformaciones Tensiones

2. Fase I: Hormign no fisurado. Deformaciones y curvatura

c

t

c

t

x

Curvatura = c = ~ tg = c/x = (c/E)/x = c/(0.5 h E)c=0.5 h E cM = 1/6 c b h2 = (1/12 b h3 ) E c = E I c = K1 cK1= rigidez en FASE 1Relacin lineal entre Momento y curvaturaPara M = Mfis c = cfis

c = E cM


2. Fase I: seccin homogeneizada

zCoeficiente de equivalencia: n = Es/Ecz Se sustituye el rea de acero As por rea de

hormign nAs

z Ejercicio: calcular rea y momento de inercia homogeneizados para seccin rectangular de canto h, ancho b, canto til d y seccin de acero As

DESCONTAR LOS HUECOS

QUE EL ACERO DEJA EN EL HORMIGNAs

As E s nAs E c

nA s


2. Fase II: Hormign comprimido (rango elstico), hormign traccionado fisurado

s

fy

Zona comprimida

Zona traccinfisurada

deformaciones

fc

Diagrama simplificado del hormign a compresin (bilineal)

c

Diagrama del acero

Es0.0035

tensionesM > Mfisc < 0.002; c < fcs < y ; s < fy

c < 0.002

h

b

d

Fs = s Ass = s/ Es < y

M

0.002

y


2. Fase II: anlisis de la seccin fisurada

t

< fc

s s y

c

C

T

x

/

3

z

h

b

d

x

= /E < s

< 0.002c

c s

x d x =

12 c

s s

C b x

T A

==

SE DESPRECIA LA APORTACIN DEL HORMIGN FISURADO


2. Fase II: anlisis tensional

12 c

s s

C b x

T A

==

12 3c

xM C z b x d = =

c s

x d x =

; ; /c c c s s s s cE E n E E = = =

( )c s cs

n n d xx d x x = =

2

( ) 12

( )2

cs c

s

n d xA b xx

b xA d xn

= =

1 2 1ss

n A bdxb n A

= +

sc

Abd

=

3s sxM T z A d = =

Resultantes de fuerzas:

Momento en torno a armadura:

Mom. en torno a cdg de compresiones:

Compatibilidad de deformaciones:

Ecuaciones constitutivas:21 1c

c

x nd n

= +

= c


2. Fase II: anlisis tensional

z La profundidad x no depende del momentoz Si el acero y el hormign comprimido se

comportan linealmente, la posicin de x no cambia

z La altura de fisura no vara durante la Fase II

21 1cc

x nd n

= +


2. Fase II: rigidez respecto del acero

1 1s ss s s

Tcd x d x E d x A E

= = =

13

3s s

x MM T z T d cxd x A E d

= = =

( )3s sxM d x A E d c = ( )2 3s s

xK E A d x d =

Relacin entre tensin del acero y curvatura:

Sustituyendo T = M/z,

Relacin entre momento y curvatura:

RIGIDEZ FISURADA DE LA SECCIN


2. Fase II: rigidez respecto del hormign

1 1 2c cc c

Ccx x E x b x E

= = =

1 2 1 2

3

c

cc

C Mcxx x b x E x b x d E

= = =

2

2 3 cb xM x d E c =

2

2 2 3cb x xK E d =

Relacin entre compresin del hormign y curvatura:

Sustituyendo M = C/z,

Relacin entre momento y curvatura:

RIGIDEZ FISURADA DE LA SECCIN


z La Fase II finaliza cuando uno de los materiales plastifica: Hormign:

Acero:

2. Fase II: momento MII

,2, ,2 3 2 3

c plasc c plas II c c plas c

b x b xM x d E E x dx

= = =

( )2

2

2 3 2 3y

s y II c y cb x b x xM x d E E d

d x d x = = =

2

,min ; 2 3 2 ( ) 3II c plas c y cb x b x xM E x d E d

d x =


h

b

d

Tensionescompresinfcfy

Es 0.0035

2. Fase III: Hormign comprimido en rango no elstico: Prerrotura

c < 0.0035deformaciones tensiones

s < 0.01

M >> Mfisc < 0.0035; c = fcs > y ; s = fy

Fs = s As

c

Diagrama real del hormign a compresinDiagrama del acero

Zona traccinfisurada

Zona comprimida

s

M


2. Fase III: prerroturah

b

d

x

< 0.010s

< 0.0035c

t

= fc cC

T

z


z Si est plastificado el acero, ste no puede aportar ms carga (T = As fy)z El momento slo se puede incrementar

aumentando el brazo de palanca zz Para conseguir el equilibrio de fuerzas debe

crecer la curvatura para que el hormign trabaje ms (reduciendo la profundidad)z Se produce un leve incremento de carga y la

curvatura crecer en funcin de la situacin deformacional de los dos materiales

2. Fase III: acero plastificado


z Si ha plastificado el hormign, el agotamiento est cercano: slo queda el 1.5 de deformacinz Es posible alcanzar la rotura con un leve

aumento de la carga sin que ni siquiera el acero haya plastificado

situacin de rotura frgilz Esta condicin corresponde a un menor

aprovechamiento de materiales, motivado por condicionantes geomtricos

2. Fase III: hormign plastificado


2. Fase III: resumen


z Fase I: se tiene en cuenta en la inercia homogeneizada

z Fase II: los equilibrios de fuerzas y momentos son ahora

2. Influencia de la armadura comprimida

12 c s s

s s

C b x A

T A

= +=

( )12 3c s s

xM b x d A d d = +



' 'c s s c s snx d x x d x d x x d

= = = =

s

< 0.002c < fc

s s y

c

C

T

x

/

3

z

's

d

'

A ' 's s

h

b

d

x

= /E <


z Profundidad de la fibra neutra:

zRigidez fisurada:


( ) ( )( )2

' ' '1 2 1

's s s s

s s

n A A b d A d Ax

b n A A

+ + = + +

22 '( ') ( ')2 3c s s

b xK E x d E A x d d d = +

( ) ( )( )2' '/

' 1 2 1'

s ss s

s s

d dx nd n

+ = + + +

sc

sc

Abd

Abd

= =


z Incremento de ductilidad de la seccin para armados a traccin supercrticos

zMejora el funcionamiento de secciones de hormign armado con cantos reducidos (cuantas de armadura elevadas)

zCaso lmite: armadura simtrica, habitual en elementos que pueden sufrir momentos de signos opuestos



Ejemplo: M/c en fases 1 y 2

zDatosEJEMPLO SECCIN canto h 500 mm ancho b 300 mm As2 1472.621556 mm^2 redondos 3 redondos dimetro 25 mm rec (cdg) 50 mm As1 2945.243113 mm^2 redondos 6 redondos dimetro 25 mm rec (cdg) 50 mm

b = ancho

d = canto til

x = profundidad hasta F.N.

As1 = As = rea de armadura traccionada

recubrimiento

As2 = As = rea de armadura comprimida

h = canto

canto util d 450 = h - d



zDatosMATERIALES

n 6.71616852 = Es/Ec

HORMIGN fc 35 MPa fct 2.246973709 MPa = fct,k=0,21 (fck)2/3 Ec 29778.88351 MPa = Ej = 8.500 (fcm,j)1/3

ec1 0.002 ecu 0.0035

diagrama lineal lineal 1

parablico 0

ACERO

fy 500 MPa Es 200000 MPa ey 0.0025 = fy/Es

esu 0.01

05

10152025303540

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

def h. comp

t

e

n

s

h

o

r

m

0

100

200

300

400

500

600

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

def a. tracc

t

e

n

s

a

c

e

r

o



z Fase 1: Seccin bruta

Inercia 3125000000 mm^4 0.003125 m^4 bh3/12 rigidez EcI (K1) 9.3059E+13 N mm^2

Mfis 28087171.36 N mm 28.0871714 kN m = ftIb/(0.5h) = (ftbh2)/6 c1fis 3.01821E-07 mm-1 0.30182108 km-1 = Mfis/K1

ec1fis 7.54553E-05 = c1fis h/2 es1fis 6.03642E-05 = c1fis (d-h/2)



z Fase 1:Seccin homogeneizadacdg hom (desde fibra inferior) 240.3936132 mm

x 259.6063868 mm I hom 3364052900 mm^4 0.00336405 m^4 Ih

rigidez Ec Ih (K1) 1.00178E+14 N mm^2 Mfis 31444006.87 N mm 31.4440069 kN m = ftIh/x c1fis 3.13882E-07 mm-1 0.31388218 km-1

ec1fis 8.14858E-05 = c1fis x es1fis 5.97612E-05 = c1fis (d-x)

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35curv (km-1)

M

(

k

N

m

)

600

500

400

300

200

100

0

100-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5



z Fase 2: Sin intervencin de As2x2 186.4325135 mm

+= 1Andb

21bAn

xs

s

rigidez K2 6.02162E+13 N mm^2 ( )

=3x

dEAxdK ss2

M2 segn horm. 645983824 N mm

3x

dx2b

Ecplas,c

M2 segn acero 571164854.3 N mm

3x

d)xd(

x2b

E2

cy

M2 (min ant.) 571164854.3 N mm 571.164854 kN m Plastifica el acero c2 9.48524E-06 mm-1 9.48523672 km-1 = M2 / K2

c2 fis 5.22185E-07 mm-1 0.52218523 km-1 = Mfis / K2 ec2 0.001768357 = c2 x2 es2 0.0025 = c2 (d - x2)



z Fase 2: Con intervencin de As2

x2 170.2077363 mm

+

+++= 1)AA(n

)A'dAd(b21b

)AA(nx 2s

,s

'ss

'ss

rigidez K2 6.50528E+13 N mm^2 )'dd(AE)'dx(3x

dx2b

EK 'ss2

c2 +

=M2 segn horm. 764393267.2 N mm = k2 0,002 / x2 M2 segn acero 581260030.1 N mm = K2 y / (d x2)

M2 (min ant.) 581260030.1 N mm 581.26003 kN m Plastifica el acero c2 8.9352E-06 mm-1 8.93520059 km-1 = M2 / K2

c2 fis 4.83361E-07 mm-1 0.48336114 km-1 = Mfis / K2 ec2 0.00152084 = c2 x2 es2 0.0025 = c2 (d x2)



z Fase 2: Grficos

600

500

400

300

200

100

0

100-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

100

200

300

400

500

600

700

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10curv (km-1)

M

(

k

N

m

)

05

10152025303540

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

def h. comp

t

e

n

s

h

o

r

m

0

100

200

300

400

500

600

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

def a. tracc

t

e

n

s

a

c

e

r

o


Ejemplo: M/c en fase 3 (caso similar)

-550

-500

-450

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

-8 -6 -4 -2 0 2 4

450

460

470

480

490

500

510

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00c

M

6t0c

6t2c

6t4c

6t6c


Influencia de diversos factores

229

254 mm

508 mm 457 mm

28 MPa414 MPa

27

54

81

108

136

163

190

217

244

M

o

m

e

n

t

o

k

N

m

19.7 39.4 59.1 78.7

Curvatura 1/km


Influencia del axil

z Fase II

+====

ANf

xIMM

AENcIEM

ctfisI

c

c

NM

M N ( )

=+=

321

21

xdxbydNM

AxbN

cG

ssc

z Fase I

x y KII ya no son ctesz Fase III

N tiende a agotar el hormign comprimido antes Fragilizacin Se pueden alcanzar valores de M mayores si hay poco acero


Influencia del axil

EJEMPLO1 Momento - Curvatura

1/r [km-1]181614121086420

M

k

[

k

N

m

]

450400350300250

200150100

500


1/r [km-1]2826242220181614121086420

M

k

[

k

N

m

]

500450400350300250200150100

500

As1=625 ; As2=025

As1=625 ; As2=425


Nk= 0.0 Nk= 768.7 Nk= 1537.4 Nk= 2306.1Nk= 3074.9

1/r [km-1]2826242220181614121086420

M

k

[

k

N

m

]

650

600

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0


Nk= 0.0 Nk= 671.6 Nk= 1343.1 Nk= 2014.7Nk= 2686.2

1/r [km-1]181614121086420

M

k

[

k

N

m

]

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

As1=625 ; As2=025

As1=625 ; As2=425

momento curvatura

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