momento k-Ésimo para una variable aleatoria … · el modelo binomial una variable binomial puede...
TRANSCRIPT
MOMENTO K-ÉSIMO PARA UNA VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA RESPECTO DEL ORIGEN
k
i i
1
E(x) x .p xn
i
El primer momento centrado en el origen (k=1) es la
esperanza matemática de X
También se definen momentos alrededor de cualquier
punto fijo, en particular, alrededor de E(X)
2
2 ( )E x E x
El momento de 2do orden centrado en la esperanza, es
la varianza de X.
Momento de 3er orden centrado en E(x)
3
3 E x
Para determinar la asimetría de la distribución :
3
3As
Si As > 0 , Hay asimetría derecha.
Si As < 0 , Hay asimetría a izquierda
Si As = 0. Hay simetría.
Para determinar el grado de agudeza o curtosis:
4
4
K
Si K= 3 , mesocúrtica.
Si K>3 , leptocúrtica.
Si K< 3 , platicúrtica.
Observaciones
Los momentos de mayor orden son sólo de interés teórico.
En la mecánica elemental, los momentos están asociados
con las propiedades físicas de cuerpos de masa.
El 1er momento con respecto al origen está relacionado con
el centro de gravedad y el 2do momento con respecto al
centro de gravedad es el momento de inercia.
Otras características numéricas:
Modo: Mo es el valor de x para el cual f(x) toma su valor
máximo. (Si la fdp tiene un solo máximo).
Mediana (me)
Es el valor de X tal que
1 1 1
( ) ( ) f(x)dx ( )2 2 2
em
e e eP X m P X m ó P X m
Ejercicio: hallar la me de la variable X tal que
2 si o < x 1
2( ) si 1 < x 2
3
0 si x > 2
x
f x
Distribución de Bernoulli
Experimento de Bernoulli: sólo son posibles dos resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que:
xi P(xi)
1 (éxito) p
0 (fracaso) q=1-p 1
0
( ) ( 1) ( 0) 1 1x
P X x P X P X p p
Se verifican las propiedades:
( ) 0iP x
Calcular la Esperanza y la Varianza de la variable de Bernoulli
El modelo Binomial
Una variable binomial puede considerarse como la suma de n variables de Bernoulli independientes.
Cada prueba es una variable de Bernoulli; es decir, puede
resultar un éxito o un fracaso, con probabilidades p y 1-p respectivamente en cada prueba.
Definición : Se dice que X es una variable aleatoria binomial
con parámetros n y p si su distribución de probabilidades está
dada por:
X b(n,p)
P(x=k)= . 1n kk
np p
k
Demostrar que la variable aleatoria binomial es una
legítima distribución de probabilidad
0 0
P(x=k) . . 1n n
n kk
k k
np p
k
1-p 1
n
p
Para identificar el modelo binomial:
• Hay n repeticiones independientes.
• El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso A
o su contrario.
•La probabilidad de A es p, constante en cada prueba.
Por binomio de
Newton
Ejercicio
1. Dada la siguiente función
1x si 0 x 2
8
f(x)= k si 2< x 5
0 para todootro valor
2. Hallar el valor de k para que f(x) sea una fdp.
3. Calcular el valor de a tal que 25,0)( axP
4. ¿Qué medida de posición representa a?
Justificar la respuesta.
Ejemplos de variable binomial
Ejemplos Variable X
Lanzar una moneda 10 veces.
Hallar la probabilidad de que se obtengan 3 caras.
Nro de
caras
obtenidas
Se analizan 18 muestras de aire y se sabe que la
probabilidad de que cada muestra de aire contenga una
molécula rara es 0,1
Hallar la probabilidad de que a lo sumo 2 muestras de aire
contengan una molécula rara.
Nro de
muestras
de aire con
esa
molécula
rara.
Se administra a 30 pacientes que padecen una enfermedad,
un medicamento con el cual tienen una probabilidad de 0,35
de experimentar una mejoría.
Nro de
pacientes
mejorados
Un examen de opción múltiple contiene 20 preguntas, cada
una con cuatro opciones, y se pide a un alumno que
resuelva el examen sin haber estudiado.
Hallar la probabilidad de contestar bien 4 o 5 preguntas.
Nro de
respuestas
correctas
Características numéricas de la variable binomial X
Demostrar que si x es binomial,
E(x)= np y V(x) = n.p.(1-p)
Del ejemplo anterior, calcular el número de
pacientes esperado que experimentan mejoría y
su varianza.
Variable aleatoria Hipergeométrica
La producción diaria de 850 piezas contiene 50
que no cumplen con los requerimientos del
cliente. Se toman 4 piezas al azar, sin
sustitución, de la producción del día y se
define la siguiente variable aleatoria
X: “ número de piezas que no cumplen con los
requerimientos del cliente.”
Ejercicio
Calcular la probabilidad de que 2 piezas no cumplan con los
requerimientos.
Contamos con: N = tamaño de la población.
k elementos poseen cierta
característica (no cumplir
con los requerimientos)
N-k elementos no poseen cierta
característica
n-x es el número de
elementos del tipo de N-k
X es el nro de elementos del tipo de
k en n extracciones sin reposición
Variable aleatoria Hipergeométrica
Una variable hipergeométrica es identificada según las condiciones siguientes:
• n pruebas no independientes.
• El resultado de cada prueba es dicotómico: A o su contrario.
•La probabilidad del suceso A no es constante, varía en cada prueba.
Definición: Se dice que X es una variable aleatoria hipergeométrica
con parámetros N, n y k, si su distribución de probabilidades está dada
por:
P(X=x)
N k k
n x x
N
n
Esperanza y varianza de una variable
hipergeométrica
( )k
E X nN
( ) 11
k k N nV x n
N N N
Conviene hallarlas a partir de la distribución en la tabla
Variable aleatoria de Poisson
Ejemplo:
Las fallas superficiales de un alambre de cobre en una longitud L se presentan de manera aleatoria.
¿Cuál es la variable aleatoria X que sería de interés analizar?
es el número promedio de fallas en una longitud L
Características de la distribución de Poisson
La longitud se puede dividir en n subintervalos.
Si el subintervalo es lo bastante pequeño, entonces la probabilidad de que en él se tenga más de una falla es insignificante.
Las fallas se presentan de manera aleatoria, entonces cualquier subintervalo tiene la misma probabilidad de contener una falla.
La probabilidad de que un subintervalo contenga una falla es independiente de la de otros subintervalos
La distribución de Poisson es una aproximación de la
distribución binomial si n tiende a infinito y p a cero
Demostrar que
lim P(x = k) = !
k
n
e
k
Observaciones:
1) Para n tendiendo a infinito y p a cero, el suceso es raro y
es una buena aproximación de la binomial a la de
Poisson.
2) En la práctica esto es para n mayor o igual que 50, si np
es menor o igual que 5.
0si n y p np
Variable aleatoria de Poisson
Se dice que X es una variable aleatoria de Poisson con parámetro
0 Si su distribución de probabilidades está dada por
Donde Es el promedio de ocurrencias en el intervalo y :
1. La probabilidad de más de una ocurrencia en el subintervalo es cero.
2. La probabilidad de una ocurrencia en el subintervalo es la misma para
todos los subintervalos y es proporcional a la longitud de éstos.
3. El número de ocurrencias en cada subintervalo es independiente de los
demás subintervalos.
~ ( )
( )!
k
X po
eP x k
k
La distribución de Poisson es una legítima
distribución de probabilidades
0 0 0
( ) . . 1! !
k k
k k k
eP x k e e e
k k
Ejercicio :
Para el caso del alambre de cobre,
2,3 el promedio de fallas por mm, es
Hallar P(X=2)
E(X) = V(x) =
Cuestionario
Define variable de Bernoulli Enuncia las características que permiten reconocer una
variable: a) Binomial b) De Poisson c) Hipergeométrica d) Encuentra la relación entre ellas. Deduce la esperanza matemática y la varianza de una
variable binomial. ¿Cuál es la esperanza y varianza en una distribución de
Poisson?
Actividad con GeoGebra
Se transmiten 5 señales. ¿Cuál es el espacio muestral asociado?
Se define la variable aleatoria X: “ número de señales transmitidas en forma errónea obtenidas en las cinco transmisiones”
1. Determine Rx, (conjunto de valores que toma la variable aleatoria).
2. Analice si las pruebas repetidas son independientes.
3. ¿Son mutuamente excluyentes los sucesos (c, c, c, i, i) y (c,i, i, c,c)?
4. Use el comando BinomialAleatorio de GeoGebra para simular 50 resultados de las 5 pruebas repetidas asociadas a la variable estadística X con p =0.4 y construya la distribución de frecuencias relativas.
5. Compare la distribución de frecuencias de la variable estadística X con la distribución de probabilidades de la variable aleatoria X. Extraiga conclusiones.