momento lineal y colisiones
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8/13/2019 Momento Lineal y Colisiones
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Javier Junquera
Momento lineal y colisiones
m1 m2v1i
Before collision
v2i
v1f v2f
After collision
(a)
(b)
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ibliografa
Fsica, Volumen 1, 3 edicin
Raymod A. Serway y John W. Jewett, Jr.
Ed. Thomson
ISBN: 84-9732-168-5
Captulo 8
Fsica, Volumen 1
R. P. Feynman, R. B. Leighton, y M. Sands
Ed. Pearson Eduacin
ISBN: 968-444-350-1
Captulo 9
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efinicin de momento lineal o cantidad de movimiento
caso no relativista)
Se define como momento lineal o cantidad de movimiento de unobjeto de masa mque se mueve con velocidad como el
producto de su masa por su velocidad.
Desglosando en trminos de sus componentes
El momento lineal es una magnitud vectorial (misma direccin y sentido que la velocidad)
Dimensiones: [p] = MLT-1
Unidades en el SI: kg m/s
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elacin entre cantidad de movimiento y fuerza
La tasa de variacin de la cantidad de movimiento con respecto altiempo es igual a la fuerza neta que acta sobre la partcula
Si la masa de la partcula no cambia, la expresin anterior se reduce a la segunda ley de Newton
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rincipio de conservacin de la cantidad de movimiento
caso de una partcula aislada)
La tasa de variacin de la cantidad de movimiento con respecto altiempo es igual a la fuerza neta que acta sobre la partcula
Si la fuerza neta que acta sobre un objeto es igual a cero, la derivada de lacantidad de movimiento del objeto con respecto al tiempo es cero
La cantidad de movimiento del objeto debe ser constante
(primera ley de Newton)
Este es el caso de una partcula aislada (que no interacciona con el entorno)
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elacin entre cantidad de movimiento y fuerza
La tasa de variacin de la cantidad de movimiento con respecto altiempo es igual a la fuerza neta que acta sobre la partcula
Esta es la forma original de la segunda ley de Newton, tal cul fue presentada por l.
Es ms general, ya que tambin es vlida en sistemas en los que la masa vara:
- un cohete que expulsa combustible a medida que se mueve,- sistemas relativistas (la masa depende de la velocidad)
Es una expresin verdaderamente til cuando se aplica a sistemas de dos o ms partculas
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rincipio de conservacin de la cantidad de movimiento
sistemas aislados)
Consideremos un sistema compuesto por dos partculas que:
- pueden interaccionar entre s (ejercen fuerzas entre s)
- pero estn aisladas del entorno que las rodea (no se ejerce ninguna fuerza externa sobre el sistema)
En un determinado instante:
Cantidad movimiento de la partcula 1
Cantidad movimiento de la partcula 2
Cantidad movimiento totalv2
m2
m1F21
F12
v1
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rincipio de conservacin de la cantidad de movimiento
sistemas aislados)En un determinado instante:
Cantidad movimiento de la partcula 1
Cantidad movimiento de la partcula 2
Cantidad movimiento total
Cmo cambia la cantidad de movimiento con el tiempo?
Cambio de la cantidad de movimiento de la partcula 1
Cambio de la cantidad de movimiento de la partcula 2
2 ley de Newto
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rincipio de conservacin de la cantidad de movimiento
sistemas aislados)
Cmo cambia la cantidad de movimiento con el tiempo?
Cambio de la cantidad de movimiento de la partcula 1
Cambio de la cantidad de movimiento de la partcula 2
2 ley de Newto
Por la 3 ley de Newton
Combinndolo con las ecuaciones anteriores
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rincipio de conservacin de la cantidad de movimiento
sistemas aislados)
Si la derivada temporal de la cantidad de movimiento total es cero, quiere decir que
O de forma equivalente
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rincipio de conservacin de la cantidad de movimiento
sistemas aislados)
La generalizacin para un sistema con cualquier nmero de partculas es trivial
La cantidad de movimiento total de un sistema aislado permanece constante,independientemente de la naturaleza de las fuerzas internas
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mpulso y cantidad de movimiento
Supongamos que sobre un partcula acta una fuerza neta y que esta fuerzapuede variar con el tiempo
Podemos integrar esta ecuacin para hallar la variacin de la cantidad demovimiento de la partcula durante el intervalo de tiempo
La integral de una fuerza a lo largo del intervalo de tiempo durante el que acta
se denomina impulso de la fuerza
El impulso de una fuerza es un vector definido por
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eorema de la cantidad de movimiento y el impulso
El impulso total de la fuerza neta sobre una partcula es igual a la variacin dela cantidad de movimiento de la partcula
Tambin se aplica a un sistema de partculas, en el que consideramos lafuerza neta externa al sistema produce una variacin en la cantidad de
movimiento total del sistema
Cuando se proporciona impulso a un sistema, estamos implicando que se transfiereuna cierta cantidad de movimiento desde un agente externo al sistema
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mpulso como magnitud vectorial
El impulso total de la fuerza neta sobre una partcula es igual a la variacin dela cantidad de movimiento de la partcula
El impulso es una magnitud vectorial, cuyo mdulo es igual al rea
comprendida bajo la curva del mdulo de la fuerza neta en funcin del tiemp
En la figura se supone que la fuerza neta vara con el tiempo y que es distintde cero en el intervalo
El vector impulso tiene la misma direccin que lavariacin de la cantidad de movimiento
Sus unidades son iguales que las de la cantidad de movimiento MLT-1
ti
F
tft
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mpulso y fuerza neta
El impulso total de la fuerza neta sobre una partcula es igual a la variacin dela cantidad de movimiento de la partcula
Dado que generalmente la fuerza puede cambiar con el tiempo, es
recomendable definir una fuerza neta promediada en el tiempo
ti tf
ti
F
(a)
tft
F
(b)
t
F
Area =Ft
El mdulo de esta fuerza neta puede interpretarse como el mdulo de unafuerza constante neta que proporcionara el mismo impulso a la partcula en el
intervalo de tiempo que la fuerza variable en el mismo intervalo de tiempo
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mpulso y fuerza neta
El impulso total de la fuerza neta sobre una partcula es igual a la variacin dela cantidad de movimiento de la partcula
ti tf
ti
F
(a)
tft
F
(b)
t
F
Area =Ft
La variacin en la cantidad de movimiento
que se experimenta en una colisin es lamisma si el coche dispone de airbags que si
no dispone de ellos
El airbag permite que se experimente esavariacin en la cantidad de movimiento en
un intervalo de tiempo mayor
La fuerza mxima que se ejerce sobre lospasajeros se reduce y se incrementan las
posibilidades de no resultar herido
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proximacin basada en el impulso
El impulso total de la fuerza neta sobre una partcula es igual a la variacin dela cantidad de movimiento de la partcula
En muchas situaciones haremos uso de la aproximacin basada en el impulso
- una de las fuerzas ejercidas sobre la partcula acta durante un brevinstante
- pero esa fuerza es mucho mayor que cualquier otra fuerza present
ti tf
ti
F
(a)
tft
F
(b)
t
F
Area =Ft
Esta aproximacin permite ignorar los efectos de otras fuerzas: dichosefectos son insignificantes durante el breve instante en el que acta la
fuerza ms grande
y son las cantidades de movimiento inmediatamente anterior yposterior a la colisin. En la aproximacin basada en el impulso, apenas
se produce movimiento de la partcula durante la colisin
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olisiones: definicin
Usamos el trmino colisin para describir un proceso durante el culdos partculas interaccionan por medio de fuerzas
Se supone que la fuerzas debidas a la colisin son mucho mayoresque cualquier otra fuerza externa presente
Podemos utilizar la aproximacin del impulso
El intervalo de tiempo durante el cul las velocidades de las partculascambian de sus valores iniciales a los finales se supone que es pequeo
Una colisin puede ser el resultado del contacto fsicoentre dos objetos. Esta situacin resulta habitual cuando
se trata de dos objetos macroscpicos (bolas de billar)
Pero debe generalizarse a situaciones en las que laspartculas que han colisionado (interaccionando por medio
de fuerzas) no han llegado nunca a estar en contacto
ll
p
+
+ +
He
(b)
m2m1
(a)
F12F21
4
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olisiones: conservacin de la cantidad de movimiento
Cuando dos partculas colisionan, las fuerzas de colisin pueden variar de una forma
muy compleja:Realizar un anlisis de la situacin utilizando la segunda ley de Newton es complicado
Sin embargo, sin importar la complejidad de la dependencia de las fuerzas con el tiempo,estas fuerzas son siempre internas al sistema formado por las dos partculas
Podemos considerar que las dos partculas forman un sistema aislado, ypor lo tanto su momento linear se conserva
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olisiones inelsticas: definicin
Se define una colisin inelstica como aquella en la que la energa cintica no se
conserva, aunque el momento total del sistema se conserve.
Cuando dos objetos colisionan y quedan unidos despus de la colisin, se produce unatransformacin del mximo porcentaje posible de la energa cintica inicial, y decimos que la
colisin es perfectamente inelstica
- dos coches que colisionan y quedan unidos, se mueven con una cierta velocidadcomn despus del choque,
- meteorito que colisiona con la Tierra y queda perfectamente sepultado en el suelo
Cuando dos objetos colisionan y no quedan unidos despus de la colisin, pero se pierdeparte de la energa cintica inicial, se dice que la colisin es inelstica sin ms adjetivos
- una pelota de goma que choca contra una superficie dura (parte de la energa
cintica se transforma en energa interna cuando la bola se deforma mientras est encontacto con la superficie).
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olisiones elsticas: definicin
Se define una colisin elstica como aquella en la que la energa cintica se conserva,
as como la cantidad de movimiento
Las colisiones reales en el mundo macroscpico, por ejemplo, las colisiones entre dos bolasde billar, son solo aproximadamente elsticas
Parte de la energa cintica se transforma y una cierta energa abandona el sistema en formade ondas mecnicas (el sonido del choque)
Entre partculas subatmicas si que se pueden producir choques perfectamente elsticos.
Las colisiones elsticas y perfectamente inelsticas son casos lmite:hay un gran nmero de colisiones posibles que caen dentro del rango
comprendido entre estos dos lmites
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olisiones elsticas e inelsticas: resumen
El momento del sistema se conserva en todas las colisiones
La energa cintica se conserva nicamente en las colisiones elsticas
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olisiones en una dimensin
Qu ocurre si la colisin tiene lugar a lo largo de una lnea recta?
Necesitamos ms ecuaciones para resolver el problema
Datos
Ecuaciones
Conservacin de lacantidad de movimiento
(ecuacin 1)
Si el choque esperfectamente inelstico
Si el choque es elsticoConservacin ener. cintica
Casos intermediosCoeficiente de restitucin
Incgnitas
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oeficiente de restitucin
e = 0: Choque perfectamente elstico
e = 1: Choque elstico
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olisiones perfectamente inelsticas en una dimensin
Consideremos dos partculas de masas yque se mueven a lo largo de la misma lnea recta con velocidades iniciales y
Suponemos que el movimiento es unidimensional (prescindimos de vectores)
Before collision
(a)
m1 m2v1i v2i
After collision
(b)
vf
m1+ m2
Las dos partculas colisionan de frente, se quedanunidas y a partir de ese momento se mueven con una
velocidad comn despus de la colisin
Como la cantidad de movimiento de un sistema aislado seconserva en cualquier colisin
Generalmente las colisiones inelsticas son difciles de analizar, a no ser que seproporcione informacin adicional. Desde un punto de vista matemtico este hecho
se refleja en que suele haber ms incgnitas que ecuaciones
En este caso, el hecho de que la
colisin sea perfectamente inelstica
proporciona la segunda ecuacin
que necesitamos
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olisiones perfectamente elsticas en una dimensin
Consideremos dos partculas de masas yque se mueven a lo largo de la misma lnea recta con velocidades iniciales y
Las dos partculas colisionan de frente, y abandonan elpunto de colisin con velocidades diferentes
Como la cantidad de movimiento de un sistema aislado seconserva en cualquier colisin
m1 m2v1i
Before collision
v2i
v1f v2f
After collision
(a)
(b)
Si la colisin es elstica tambin se conserva la energa cintica
Como estamos tratando un sistema unidimensional, podemos prescindir de los vectores y describir lasvelocidades de las partculas a partir de sus celeridades, con el signo algebraico correspondiente
Dos ecuaciones con dosincgnitas: y
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olisiones perfectamente elsticas en una dimensin
m1 m2v1i
Before collision
v2i
v1f v2f
After collision
(a)
(b)
Mtodo alternativo que implica ciertas manipulaciones
matemticas pero que simplifica la solucin
Simplificamos el factor !y trasponiendo
Descomponemos en factores ambos lados de la ecuacin
Separamos los trminos que contienen y en la ecuacin de conservacin del momento
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olisiones perfectamente elsticas en una dimensin
m1 m2v1i
Before collision
v2i
v1f v2f
After collision
(a)
(b)
Mtodo alternativo que implica ciertas manipulaciones
matemticas pero que simplifica la solucin
Dividiendo las dos ecuaciones
O agrupando en cada lado de la ecuacin los valores
iniciales y finales
Esta ecuacin, junto con la condicin de conservacin de la cantidad de movimiento, sepueden utilizar para resolver problemas de choques elsticos en una dimensin
La velocidad relativa de los dos objetos antes de lacolisin es igual a la velocidad relativa de los dos
bjetos despus de la colisin, pero con signo negativo
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olisiones perfectamente elsticas en una dimensin
m1 m2v1i
Before collision
v2i
v1f v2f
After collision
(a)
(b)
Si suponemos que las masas y las componentes iniciales de lavelocidad de los dos objetos son conocidas, podemos conocer las
velocidades finales (sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas)
En estas ecuaciones deben incluirse los signos apropiados paracomponente de la velocidad
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olisiones perfectamente elsticas en una dimensin
m1 m2v1i
Before collision
v2i
v1f v2f
After collision
(a)
(b)
Casos particulares
Las masas de los dos objetos son iguales
Los dos objetos intercambiansus velocidades
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olisiones perfectamente elsticas en una dimensin
m1 m2v1i
Before collision
v2i
v1f v2f
After collision
(a)
(b)
Casos particulares
se encuentra inicialmente en reposo
Si adems, entonces
El objeto pesado continuasu movimiento sin alterarse
despus de la colisin
El objeto ms ligero saledespedido con una velocidad igual
a, aproximadamente, dos veces lavelocidad inicial del objeto pesado
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olisiones perfectamente elsticas en una dimensin
m1 m2v1i
Before collision
v2i
v1f v2f
After collision
(a)
(b)
Casos particulares
se encuentra inicialmente en reposo
Si adems, entonces
La velocidad del objetoligero se invierte
El objeto pesado permaneceprcticamente en reposo
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olisiones en tres dimensiones
En una colisin general entre dos objetos en un espacio tridimensional,
el principio de conservacin de la cantidad de movimiento implica que lacantidad de movimiento total en cada dimensin se conserva
La cantidad de movimiento total en un sistema aislado se conserva.Este principio aplica a todos los casos de los choques que consideramos en este tema
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olisiones en dos dimensiones
Qu ocurre si la colisin tiene lugar en un plano?
Datos Incgnitas
Ecuaciones
Conservacin de lacantidad de movimiento
(ecuaciones 1 y 2)
4. Coeficiente de restitucino alguna de las
componentes finales
Necesitamos ms ecuaciones para resolver el problema
3. Si el choque eselstico, conservacin
de la energa cintica
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olisiones en dos dimensiones
Qu ocurre si la colisin tiene lugar en un plano?Ejemplo
(a) Before the collision
v1i
(b) After the collision
v2fcos
v1fcos
v1fsin
v1f
v
2f
v2fsin
EL objeto 1 choca, sin apenas rozarlo, con el objeto 2La partcula 2 se encuentra inicialmente en reposo
Suponemos que el choque es elstico
onservacin de la energa cintica
onservacin de la cantidad de movimiento
3 ecuaciones y 4 incgnitas necesitaramos como dato una de las cuatro magnitudes