monografías de ingeniería sísmica

Monografías de Ingeniería Sísmica Editor A.H. Barbat

Modelación estocástica de la acción sísmica

J.E. Hurtado

Monografía CIMNE IS-33, 1999

CENTRO INTERNACIONAL DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA

CENTRO INTERNACIONAL DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA Edificio C1, Campus Norte UPC Gran Capitán s/n 08034 Barcelona, España MONOGRAFÍAS DE INGENIERÍA SÍSMICA Editor A.H. Barbat ISSN: 1134-3249 MODELACIÓN ESTOCÁSTICA DE LA ACCIÓN SÍSMICA Monografía CIMNE IS 33

El autor ISBN: 84-89925-34-8 Depósito legal: B-4679-99

�Indice

Introducci�on iv

1. Modelaci�on estoc�astica de la acci�on s��smica 1

1.1 Introducci�on 1

1.2 Modelos estacionarios 1

1.2.1 Modelo de Kanai-Tajimi 2

1.2.2 Modelo de Clough-Penzien 5

1.2.3 Modelos sismol�ogicos 6

1.2.4 Modelos estoc�asticos derivados de espectros de respuesta 7

1.3 Modelos no estacionarios 8

1.3.1 Modelos con modulaci�on uniforme 9

1.3.2 Modelos evolutivos 11

2. Estimaci�on de modelos y simulaci�on 17


2.2 Estimaci�on de modelos espectrales a partir de acelerogramas 17

2.2.1 Estimation de la densidad espectral de potencia 17

2.2.2 Estimation de la funci�on de modulaci�on de amplitud 19

2.2.3 Modelaci�on de un espectro instant�aneo 21

2.2.4 Estimation de los par�ametros de modelos espectrales de �ltro 23

2.3 Simulaci�on de acelerogramas s��smicos 27

2.3.1 Simulaci�on de ruido blanco �ltrado 28

2.3.2 Simulaci�on de acelerogramas no estacionarios 30

2.3.3 Correcci�on del acelerograma sint�etico 31

�Indice iii

3. Modelo estoc�astico de los movimientos s��smicos en Manizales 34


3.2 Registros s��smicos obtenidos en Manizales 34

3.3 Estimaci�on de par�ametros del modelo estoc�astico 36

3.4 Generaci�on de acelerogramas arti�ciales para Manizales 36

3.5 Vulnerabilidad de edi�cios sin dise~no sismo-resistente 43

Conclusiones 50

A Variables aleatorias 51

A.1 De�nici�on de probabilidad 51

A.2 Variables, procesos y campos aleatorios 54

A.3 Funciones de distribuci�on 54

A.4 Distribuci�on de m�ultiples variables 56

A.5 Valor esperado y momentos 58

A.6 Funci�on caracter��stica 59

A.7 Modelos probabilistas 61

A.8 Generaci�on de variables aleatorias 67

B Procesos estoc�asticos 70

B.1 De�nici�on 70

B.2 Elementos de c�alculo estoc�astico 72

B.3 Procesos estacionarios 76

B.3.1 Autocorrelaci�on y densidad espectral de potencia 77

B.3.2 Ruido blanco 80

B.3.4 Ergodicidad 82

B.4 Procesos no estacionarios 82

Referencias 86

Introducci�on

En la ingenier��a s��smica ha habido desde sus comienzos un inter�es persis-

tente por considerar tanto las acciones como las respuestas estructurales desde

una perspectiva probabilista, debido a las m�ultiples causas de estocasticidad e

incertidumbre presentes en las variables que gobiernan el dise~no. Si bien los

c�odigos de construcci�on, que gobiernan la pr�actica corriente, incluyen algunos

conceptos y par�ametros probabilistas de manera expl��cita o impl��cita, tambi�en

es cierto que �estos resultan abiertamente insu�cientes para determinar de man-

era clara la respuesta estructural en t�erminos probabilistas y, especialmente, la

probabilidad de fallo. Para este prop�osito la ingenier��a estructural dispone de

varios m�etodos, los cuales pueden clasi�carse en dos grandes grupos, a saber

(cf. Casciati y Faravelli 1991):

1. M�etodos anal��ticos.

2. M�etodos seudo-estad��sticos, tambi�en llamados m�etodos de Monte Carlo.

Mientras los primeros enfocan el problema desde una perspectiva basada en

una combinaci�on de la teor��a de probabilidades y la din�amica de estructuras,

con lo cual se obtienen ecuaciones diferenciales de algunas medidas probabilis-

tas, los segundos buscan generar una muestra arti�cial de las respuestas estruc-

turales por medio de la soluci�on de m�ultiples problemas deterministas con datos

aleatorios correspondientes a la acci�on s��smica y a las variables estructurales es-

toc�asticas (Hurtado y Barbat 1998). En ambos casos se requiere de modelos

probabilistas. Variables tales como la resistencia de los materiales, las dimen-

siones de los elementos, etc. pueden ser modeladas simplemente por medio

de su funci�on de distribuci�on de probabilidad. En el caso de del movimiento

del terreno se requiere un modelo estoc�astico de la variaci�on temporal de las

ondas condicionada a la ocurrencia del fen�omeno, adem�as de la descripci�on

probabilista de �esta, que usualmente se asume de tipo Poisson. A partir de este

modelo es posible generar los m�ultiples acelerogramas arti�ciales requeridos por

el m�etodo de Monte Carlo, cuya aplicaci�on se facilita cada d��a m�as debido al

r�apido avance de la tecnolog��a de computaci�on.

v

En este trabajo se desarrolla la estimaci�on de un modelo estoc�astico de dicha

variaci�on temporal de las ondas s��smicas para la ciudad de Manizales, con base

en los registros obtenidos all�� en a~nos recientes. En el Cap��tulo 1 se exponen

algunos de los principales modelos propuestos en la literatura especializada.

Por su parte, el Cap��tulo 2 versa sobre la estimaci�on de los par�ametros de los

modelos, con especial �enfasis en el modelo escogido para la aplicaci�on a la ciudad

de Manizales, cual es el modelo de espectro evolutivo de Yeh y Wen (1990).

Asimismo, se examinan las t�ecnicas para simulaci�on de acelerogramas a partir

de modelos estoc�asticos. En el Cap��tulo 3 se exponen los criterios generales

que ha guiado la identi�caci�on de los par�ametros del modelo para Manizales a

partir de los acelerogramas registrados y se discuten los resultados obtenidos.

Para ello se han empleado t�ecnicas de identi�caci�on no lineal de par�ametros as��

como de procesamiento de se~nales aleatorias. Igualmente, y como aplicaci�on

del modelo propuesto para la ciudad, se presentan los resultados de un an�alisis

de Monte Carlo de una estructura representativa de la �epoca en la que no se

practicaba el dise~no sismo-resistente en la ciudad, que corresponde a los a~nos

anteriores a 1981. El objetivo es examinar la vulnerabilidad de dicho tipo de

construcci�on ante un sismo que tenga una probabilidad de excedencia de 10 %

en 50 a~nos, lo que corresponde a un per��odo de retorno de, grosso modo, 500

a~nos. El trabajo se cierra con unas conclusiones sobre los resultados obtenidos.

Como complemento se incluyen dos anexos sobre las teor��as de variables

aleatorias y de procesos estoc�asticos, respectivamente, que constituyen el fun-

damento matem�atico del tema tratado.

Cap��tulo 1

Modelaci�on estoc�astica de la

acci�on s��smica

1.1 Introducci�on

Los sismos son aleatorios en un doble sentido. De hecho, no solamente

su ocurrencia es estoc�astica en el tiempo sino tambi�en la trayectoria espacial

impone a sus ondas una forma altamente err�atica. Esto explica por qu�e, junto

con otras acciones estructurales, tal como el empuje del viento y las ondas

del oc�eano, ha habido un inter�es persistente en la ingenier��a estructural en

examinarlos desde el punto de vista estoc�astico a lo largo de los �ultimos decenios.

Este cap��tulo versa sobre los modelos estoc�asticos de la acci�on s��smica. Se

tratar�a de cubrir tres aspectos del tema, a saber, los modelos estacionarios y no

estacionarios, la estimaci�on de sus par�ametros a partir de registros verdaderos

y la simulaci�on digital de acelerogramas para an�alisis de din�amica de estruc-

turas. Este �ultimo punto constituye la base de la simulaci�on de Monte Carlo

emprendida en el cap��tulo siguiente como aplicaci�on del modelo estoc�astico de

sismos para Manizales desarrollado en �el.

1.2 Modelos estacionarios

Las primeras propuestas de modelos estoc�asticos de la acci�on s��smica con-

sideraban que para el an�alisis estructural ser��a su�ciente utilizar solamente la

parte m�as fuerte de un acelerograma, correspondiente a las ondas de corte,

que normalmente son mayores en amplitud que las de compresi�on y las super-

�ciales. Consiguientemente, esta porci�on se describ��a como un proceso esta-

cionario (Newmark y Rosenblueth 1971).

Esta consideraci�on se basaba en gran medida en registros como el de Impe-

rial Valley - El Centro (1940) (Figura 1.1) en el que puede observarse una parte

inicial ascendente, un intervalo corto subsiguiente de grandes amplitudes y �-

2 Modelaci�on estoc�astica de la acci�on s��smica

0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.

-200

.-1

00.

0.10

0.20

0.30

0.40

0.

T iempo

Acele

racion

Figura 1.1 Registro del sismo de El Centro (unidades: s, cm=s2)

nalmente una larga zona de ondas de amplitud decreciente. El periodograma de

esta se~nal se muestra en la Figura 1.2. Se puede ver que en su sector m�as impor-

tante hay una oscilaci�on alrededor de 100 cm2=s3, que sugiere un ruido blanco

limitado en banda como modelo grueso del sismo (Bycroft 1960). En a~nos sub-

siguientes se propusieronmodelos estacionarios m�as so�sticados de la fase fuerte

de movimiento. En el presente trabajo se describir�a en primer lugar los modelos

de �ltros lineales, los cuales pueden integrarse f�acilmente en las ecuaciones de

din�amica estructural - un aspecto deseable que se encuentra ausente en otros

modelos espectrales, orientados principalmente hacia aplicaciones puramente

sismol�ogicas, as�� como en los modelos compatibles con espectros de respuesta.

1.2.1 Modelo de Kanai y Tajimi

El modelo de Kanai-Tajimi de aceleraci�on s��smica horizontal,MKT

, se de�ne

como

MKT

= 2 �g!g_Ug + !

2

gUg (1:1)

donde Ug es la respuesta de un �ltro de segundo orden a un ruido blancoW (t):

Modelos estacionarios 3

0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80.

50.

100.

150.

200.

250.

F recuencia

Dens

idad

espe

ctra

l

Figura 1.2 Densidad espectral del sismo de El Centro (unidades: rad/s, cm2=s3

)

�Ug + 2 �g!g_Ug + !

2

gUg = �W (t) (1:2)

El modelo est�a determinado por la densidad espectral de potencia del ruido GW

as�� como por los par�ametros �g y !g . Aunque �estos se asocian usualmente al

suelo local, realmente in uyen en ellos igualmente otros factores, tales como la

magnitud de sismo y la distancia hipocentral, entre otros. (Lai 1982; Kameda

y Nojima 1988; Sawada et al. 1992).

Al aplicar la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuaci�on anterior

se puede mostrar que la funci�on de transferencia del movimiento de compuesto

MKT

es

H(i!) =!2

g+ i2 �g!g!

!2

g� !

2+ i 2 �g!g!

(1:3)

y por tanto la densidad espectral unilateral de potencia de esta respuesta com-

binada est�a dada por


GM(!)

KT= jH(i!)j

2GW

=!4

g+ 4 �

2

g!2

g!2

(!2

g� !

2)2+ 4 �

2

g!2

g!2 GW

(1:4)

La varianza del proceso, dada por la integral de la densidad espectral de

potencia sobre el eje de frecuencias (ecuaci�on B.45b), es

�2

M= �

!g(1 + 4�2

g)

4�gGW

(1:5)

0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80.

0.2

0.4

0.6

0.8

1.1.

21.

41.

61.

8

F recuencia

Dens

idad

espe

ctra

l ModelosKanai-TajimiClough-Penzien

Figura 1.3 Modelos de �ltro de la densidad espectral s��smica (unidades: rad/s,

cm2=s3

)

En la Figura 1.3 se muestra un esquema del espectro de potencia de Kanai-

Tajimi junto con el correspondiente al modelo de Clough-Penzien que se in-

troduce en el p�arrafo siguiente. Los par�ametros de �ltro son !g = 19 rad=sy �g = 0:65. Ellos dan el espectro una forma total similar al del espectro de

potencia del sismo de El Centro (�gura 1.2).


1.2.2 Modelo de Clough y Penzien

La desventaja principal del modelo de Kanai y Tajimi yace en que asigna

un valor espectral no nulo a la frecuencia cero, lo que no est�a de acuerdo con lo

observado en espectros reales (cf. �gura 1.2). Aunque este aspecto no representa

un error serio en el an�alisis de sistemas lineales de altas frecuencias naturales,

puede conducir a errores grandes para el an�alisis de estructuras inel�asticas en

las que la plasti�caci�on induce vibraciones temporales de largo per��odo. En

tales casos el uso del �ltro de Clough-Penzien en conjunto con el anterior es

un modelo m�as adecuado. Este �ltro reduce dr�asticamente las ordenadas del

espectro K-T en las frecuencias muy bajas, mientras que conserva los valores

asociados a las frecuencias mayores. (Clough y Penzien 1993). La din�amica del

�ltro adicional est�a regida por la ecuaci�on lineal convencional

�Uf+ 2 �

f!f_Uf+ !

2

fUf= �M

KT(1:6)

donde los par�ametros �fy !

fdeben ser seleccionados para el prop�osito men-

cionado. El modelo se de�ne como la respuesta de aceleraci�on del segundo �ltro,

es decir,

MCP

= �Uf= �2 �

f!f_Uf� !

2

fUf� 2 �g!g

_Ug � !2

gUg (1:7)

Su densidad espectral de potencia es, en consecuencia,

GM(!)

CP=

!4

(!2

f� !

2)2+ 4 �

2

f!2

f!2 �

!4

g+ 4 �

2

g!2

g!2

(!2

g� !

2)2+ 4 �

2

g!2

g!2 GW

(1:8)

Finalmente, la varianza del proceso es

�2

M= �

A(!)

2B(!)GW

(1:9)

donde

A(!) = !4

g(�g!f + �

f!g) + 4�

2

g!2

g[�g!

3

f+ �

f!3

g+ 4�g�f!g!f (�g!f + �

f!g)]

(1:10)y

B(!) = 2�g�f [(!2

g� !

2

f)2+ 4!

2

g!2

f(�

2

g+ �

2

f) + 4�g�f!g!f (!

2

g+ !

2

f)] (1:11)


En la �gura 1.3 el modelo de Clough y Penzien se ha dibujado usando

!f= 2 rad=s y �g = 0:6. El conjunto de los cuatro par�ametros ha sido calculado

por Yeh (1989) a partir del registro de El Centro (�gura 1.1).

1.2.3 Modelos sismol�ogicos

La investigaci�on desarrollada por Boore y otros a lo largo de las dos �ultimas

d�ecadas constituye un paso importante para la modelaci�on de movimiento del

terreno con un fuerte arraigo en la teor��a de la sismolog��a moderna (Boore y

Joyner 1982; Boore 1986; Boore y Atkinson 1987). De hecho, el objetivo de

estas propuestas es la estimaci�on del espectro de Fourier ~M (!), con base en

las funciones y par�ametros f��sicos correspondientes a la radiaci�on de energ��a en

la fuente y su atenuaci�on con la distancia. La densidad espectral de potencia

puede entonces estimarse como un periodograma, usando la duraci�on de la fase

de movimiento fuerte (cf. ecuaci�on B.44).

En general, un modelo sismol�ogico del espectro de Fourier ~M(!) consta

de los espectros de la radiaci�on en la fuente, la atenuaci�on con la distancia

adem�as de algunos par�ametros constantes relativos a la energ��a liberada. Entre

las varias formulaciones de esta clase de espectros existentes en la literatura

hemos elegido una versi�on dirigida a aplicaciones estructurales en din�amica, en

la medida en que puede ser convertida a un sistema de �ltros (Faravelli 1988a):

~M (!) = C ~Ms(!) ~Mc(!) ~Mm(!) ~Ma(!) (1:12)

En esta ecuaci�on C es un factor de escala dado por

C =R��FV

4��3R

(1:13)

donde R�� es la patr�on de radiaci�on , que expresa el direccionamiento espacial

de la radiaci�on de la energ��a en la fuente; F es la ampliaci�on debida al contacto

con la super�cie libre (generalmente se toma F = 2); V es un factor referido

a la partici�on de la energ��a en las dos direcciones ortogonales (para prop�ositos

de c�alculo se toma com�unmente como 1=p2); � es la densidad del medio, � la

velocidad de corte de las ondas y R la distancia hipocentral.

Los varios espectros contenidos en la ecuaci�on (1.11) corresponden a los

factores siguientes:

1. La energ��a de la fuente:

~Ms(!) =M0!

2

s

1 + (!s! )

2 (1:14)


donde M0es el momento s��smico y !s la frecuencia angular de esquina.

2. La ampli�caci�on de las ondas:

~Mm(!) =2

1 + (!m! )

2 (1:15)

en donde !m es una frecuencia de referencia.

3. La atenuaci�on con la distancia:

~Ma(!) = Ca

s1 + (

!

!a)2

(1:16)

donde !a es una frecuencia de corte y C un factor de atenuaci�on que general-

mente se modela como una funci�on exponencial de la frecuencia y la distancia

hipocentral.

1.2.4 Modelos estoc�asticos derivados de espectros de respuesta

En vista de la importancia pr�actica de los espectros de respuesta en el dise~o

s��smico de estructuras, algunos autores se han esforzado en hallar relaciones

te�oricas entre la densidad espectral de potencia y el espectro de respuesta de

osciladores lineales, principlamente con el �n de generar acelerogramas com-

patibles con ellos (Vanmarcke, 1976). El objetivo es calcular dicha funci�on a

partir del espectro de velocidad m�axima relativa Sv(!) correspondiente a un

sistema lineal de un grado de libertad excitado en la base, caracterizado por

una fracci�on de amortiguamiento cr��tico � y frecuencia natural !.Dentro de los l��mites de este trabajo no es posible exponer en detalle la

deducci�on de la relaci�on propuesta entre el espectro de velocidad y la densidad

espectral de potencia. Nos limitaremos a decir que sus fundamentos te�oricos

son los siguientes:

1. La relaci�on estoc�asticas entrada-salida de sistemas lineales. De acuerdo

con ella, la densidad espectral de potencia de una respuesta de un sistema

lineal sencilo es igual al cuadrado del m�odulo de la funci�on de transferencia de

la respuesta multiplicado por la densidad espectral de la excitaci�on (cf. ecuaci�on

1.4).

2. La hip�otesis de valor m�aximo de un proceso estoc�astico, realizada sobre

informaci�on probabilista de segundo orden, como la dada por la funci�on de

autocorrelaci�on o la densidad espectral. Esta hip�otesis est�a basada en la teor��a

de cruce de niveles de procesos estoc�asticos.

La relaci�on es la siguiente:


G(!) �1

!( �4�s

� 1)

"!2S2v (!)

�(s; p)�Z !

0G(!)d!

#(1:17)

donde �s es un factor de amortiguamiento modi�cado por la evoluci�on de la

respuesta desde cero hasta el estado estacionario en un tiempo s:

�s =�

1� exp(�2�!)(1:18)

Por otra parte, �(s; p) es una funci�on que relaciona el valor m�aximo probable de

la velocidad con su desviaci�on estandar. Es, por tanto, un valor dependiente de

la probabilidad de alcanzar ese m�aximo, p, y de la duraci�on que toma el sistema

en alcanzar la fase estacionaria, s:

�(s; p) �

vuut2ln

�

!s

�lnp

"1� expf�

s4�sln(�

!

�lnp)g#!

(1:19)

La �gura 1.4 muestra la densidad espectral obtenida a partir del espectro

de dise~no para Manizales propuesto por Hurtado et al. (1995), usando p = 0:5y � = 0:05.

1.3 Modelos no estacionarios

Es un hecho ampliamente reconocido que los registros de sismos son alta-

mente no estacionarios. Esto se debe a las diferencias en el tiempo de llegada

y frecuencia de sus ondas componentes. La acci�on s��smica puede ser modelada

estoc�asticamente como un proceso aleatorio no estacionario en dos formas:

1. Como un proceso uniformemente modulado, es decir un proceso esta-

cionario transformado en uno que es no estacionario �unicamente en ampli-

tud. La transfomaci�on se realiza mediante una funci�on determinista �(t), cuyospar�ametros se estiman con base en registros reales (cf. ecuaci�on B.55).

2. Como un proceso con una densidad espectral de potencia evolutiva, es

decir, como un proceso que no solamente var��a en amplitud sino tambi�en en el

contenido frecuencial a lo largo del tiempo (cf. ecuaci�on B.52). La estimaci�on de

los par�ametros del modelo a partir de registros existentes es, por supuesto, m�as

complicada que en el caso previo. A continuaci�on expondremos estos modelos

con m�as detalle.

Modelos no estacionarios 9

0. 5. 10. 15. 20.

100.

200.

300.

400.

500.

600.

700.

800.

F recuencia

Dens

idad e

spec

tral

ManizalesDensidad espectral

Figura 1.4 Densidad espectral de potencia correspondiente al espectro de dise~no develocidades (unidades: Hz, cm2=s3)

1.3.1 Modelos con modulaci�on uniforme

Sea M(t) un proceso aleatorio estacionario Gaussiano con densidad espec-

tral de potencia GM(!). Una realizaci�on a(t) del proceso A(t) correspondiente

a la aceleraci�on de movimiento de terreno con la modulaci�on uniforme entonces

est�a dada por

a(t) = �(t)m(t) (1:20)

donde m(t) es una realizaci�on de un proceso estacionario y �(t)es una funci�on

determinista que de�ne la variaci�on de la amplitud en el tiempo. Seg�un la teor��a

de procesos no estationarios esbozada en el Anexo B, la densidad espectral de

potencia del proceso a(t) es

GA(!; t) = �(t)

2GM(!) (1:21)

Las siguientes son algunas de las funciones m�as usualmente empleadas entre


las varias que pueden encontrarse en la literatura:

0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.

T iempo

Func

ion

Funciones de modulaciona=0.085, b=0.17a=0.25, b=0.5

Figura 1.7 Funciones de modulaci�on de Shinozuka-Sato

1. Shinozuka y Sato (1967)

La expresi�on de esta funci�on es

�(t) =1

c(e�at � e�bt) (1:22)

donde a; b y c son los par�ametros. El valor de c puede elegirse para dar a

la funci�on un valor m�aximo unitario, con el �n de que los par�ametros sean

independientes de la amplitud del registro deseado. Esto da como resultado

c = max(e�at � e�bt) =

" a

b

! ab�a

� a

b

! bb�a

#(1:23)

Alternativamente se puede de�nir c seg�un el criterio de energ��a como se ex-

plicar�a posteriormente. La �gura 1.7 muestra dos funciones de este tipo que

corresponden cualitativamente a duraciones s��smicas efectivas corta y larga.


2. Amin y Ang (1966)

La caracter��stica distintiva de esta funci�on es que est�a de�nida por tres de

ramas que imitan las fases respectivas del movimiento de terreno, es decir la

ascendiente, la de movimiento fuerte y la de desvanecimiento de la aceleraci�on.

Su expresi�on es

�(t) =

8>><>>:

tt1; t � t1

1; t1 � t � t2e�c(t�t

2); t2 � t

(1:24)

donde c es un par�ametro, t1 corresponde aproximadamente al tiempo de llegada

de las ondas de corte y la diferencia t2 � t1 se asocia a la duraci�on de la fase

fuerte del movimiento.

3. Yeh y Wen (1990)

Esta funci�on est�a dada por

�2(t) =

at�bexp(�ct)d+ t

e (1:25)

donde a; b; c; d y e son par�ametros.

1.3.2 Modelos evolutivos

Con base en la f��sica puramente te�orica de sismos cabe esperar que un reg-

istro obtenido en la super�cie libre tenga una naturaleza evolutiva. Por esta

expresi�on se entiende que tanto la amplitud como las frecuencias dominantes

var��en con el tiempo. Este comportamiento se debe a las diferentes energ��a

y velocidad de las varias ondas que componen el movimiento y sus m�ultiples

re exiones, refracciones y difracciones. La evoluci�on de las frecuencias aparece

claramente en algunos registros tal como el San Fernando (Orion Boulevard,

1971) que se muestra en la �gura 1.8, en la que se puede distinguir las zonas

que corresponden respectivamente a las frecuencias altas y amplitudes peque~nas

de las ondas P, la zona de grandes amplitudes de las ondas S y las bajas fre-

cuencias de las ondas de super�cie. Casos con una evoluci�on tan clara como

la mostrada en la �gura son algo raros. En la mayor��a de registros el aspecto

evolutivo no resulta tan evidente debido a los efectos de distancia (en sismos de

fuente cercana las frecuencias aparecen combinadas de manera ca�otica mientras

a largas distancias las ondas de frecuencia alta aparecen amortiguadas) o es

m�as o menos confuso debido a las m�ultiples distorsiones sufridas por las ondas


0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.

-200

.-1

50.

-100

.-5

0.0.

50.

100.

150.

200.

T iempo

Acele

racion

Figura 1.8 Registro del sismo de Orion Boulevard (unidades: s, cm=s2)

a lo largo de su trayectoria. En el sismo de Tokachi-oki (1968), por ejemplo, las

ondas de baja frecuencia aparecen en la �ultima porci�on del registro en combi-

naci�on con las frecuencia altas, mientras ondas de frecuencia baja dominan la

porci�on central (�gura 1.9).

Se han propuesto varios modelos para el an�alisis espectral de la acci�on

s��smica con inclusi�on del comportamiento evolutivo. Algunos de ellos se basan

de la teor��a de procesos no estacionarios desarrollada por Priestley (Priestley

1981), de la cual se da un brev��simo resumen en el Anexo B. El proceso con

modulaci�on uniforme discutido anteriormente es, de hecho, un caso particular

de tal modelo, en el que la funci�on de modulaci�on �(!; t) es �unicamente una

funci�on del tiempo, �(t). La funci�on �(!; t) del sismo de M�exico de 1985 ha sido

estimada por Grigoriu et al. (1988) dividiendo el registro en las tres zonas

t��picas ya mencionadas. Otras propuestas so las debidas a Spanos et al. (1992),

quienes proponen el uso de la energ��a de sistemas lineales como medida de la

densidad evolutiva de la acci�on y la de Beck y Papadimitrou (1993), quienes

desarroll�aron un m�etodo Bayesiano para el ajuste de un espectro evolutivo de

Kanai-Tajimi a registros de sismo. Enfoques similares han sido propuestos por

Fan y Ahmadi (1990), Kameda y Nojima (1988) y otros. Finalmente, algunos

interesantes modelos sismol�ogicos evolutivos han sido propuestos por Faravelli

(1988b) y Carli (1992, 1995), entre otros.


0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35.

-150

.-1

00.

-50.

0.50

.10

0.15

0.20

0.

T iempo

Acele

racio

n

Figura 1.9 Registro del sismo de Tokachi-oki (unidades: s, cm=s2)

En este trabajo se concede particular atenci�on a un modelo llamado de es-

pectro instant�aneo (Yeh y Wen 1990), debido a su facilidad de acoplamiento con

las ecuaciones de la din�amica del sistema estructural, lo que facilita su uso en el

campo de los m�etodos anal��ticos de an�alisis de vibraciones aleatorias. Se basa en

el concepto de la modulaci�on de frecuencia que es corriente en teor��a de comu-

nicaciones, as�� como en el modelo de Bendat y Piersol (1971) de representaci�on

no estacionaria (ecuaciones B.56 y B.57).

Como se indica en el Anexo B, cualquier proceso estacionario tiene una

representaci�on espectral de la forma

X(�) =Z 1�1

exp(i!�)dZ(!) (1:26)

en donde Z(!) es proceso estoc�astico, en general complejo, con media nula e

incrementos orthogonales, es decir

E[dZ(!1)dZ(!2)] = 0 (1:27)

para !1 6= !2, y


E[ jdZ(!)j2] = S

X(!)d! (1:28)

donde SX(!) es la densidad espectral de potencia de X(�). Sea el argumento

del proceso X(�) una funci�on continua, estrictamente creciente del tiempo. Se

puede crear un nuevo proceso en la forma

Y (t) = X(�(t)) (1:29)

cuya funci�on de auto-correlaci�on instant�anea puede expresarse como (cf. ecua-

ci�on 1.56)

RY(t; � ) = E[X(t +

�

2)X(t �

�

2)] =

Z 1�1

Z 1� infty

exp

�i!1�(t +

�

2)� i!2�(t�

�

2)

�E[dZ(!1)dZ(!2)] (1:30)

que, tomando en cuenta las propiedades del proceso Z(!), se reduce a

RY(t; � ) =

Z 1�1

exp(i! � _�(t))SX(!)d! (1:31)

para un � in�nitesimal. Haciendo el cambio de variable �! = _�(t)! se obtiene

�nalmente la ecuaci�on siguiente:

RY(t; � ) =

Z 1�1

exp(i �!� )1

_�(t)SX(

�!

_�(t))d�! (1:32)

Esta expresi�on constituye la relaci�on especial de Wiener-Jinchin del proceso

Y (t). La condici�on impuesta sobre la funci�on �(t) (espec��camente, de ser

una funci�on estrictamente creciente) surge de la necesidad de tener que una

densidad espectral positiva, lo que a la vez requiere una derivada positiva _�(t)en la ecuaci�on anterior. Con esta condici�on se supera la cr��tica principal dirigida

contra el modelo de Bendat y Piersol mencionado en la secci�on B.7. Una funci�on

que satisface este requerimiento y que est�a estrechamente relacionada con la

evoluci�on de la frecuencia del registro s��smico es el n�umero acumulado de cruces

de la se~nal por el nivel cero de aceleraci�on (cruces-cero) desde el inicio del

registro hasta el tiempo t. La expresi�on propuesta por Yeh y Wen (1990) para

la funci�on de modulaci�on de frecuencia es

�(t) =n(t)

_n(ts)(1:33)


donde n(t) es una funci�on polinomial del tiempo ajustada a la funci�on real de

cruces-cero y ts es el tiempo de comienzo del movimiento fuerte. La densidad

espectral evolutiva del proceso modulado y(t) = X(�(t)) es, en consecuencia,

GY(!; t)

YW=

1

_�(t)GX(!

_�(t)) (1:34)

La aplicaci�on de la modulaci�on de amplitud �(t) conducir�a entonces a una no

estacionaridad completa del proceso A(t), que est�a dado entonces por

A(t) = �(t)Y (t) = �(t)X(�(t)) (1:35)

Si los par�ametros de �(t) se ajustan de tal suerte que la varianza del proceso

estacionario X(�) sea unitaria, la energ��a del proceso compuesto A(t) quedar�acontrolada exclusivamente por la funci�on de modulaci�on de amplitud. Esto se

debe a que la varianza de Y (t), dada por

Z 1�1

GY(!; t)

YWd! =

Z 1�1

1

_�(t)GX(!

_�(t))d! (1:36)

no variar�a con el tiempo, como puede demostrarse haciendo el cambio de vari-

able � = != _�(t) en la ecuaci�on anterior. La expresi�on de la densidad espectral

evolutiva del proceso no estacionario resultante A(t) es entonces

GA(!; t)

YW= �(t)

2 1

_�(t)GX(!

_�(t)) (1:37)

Quiz�as la ventaja principal de este modelo para los prop�ositos estructurales

es su versatilidad para modelar sismos por medio de �ltros. De hecho, consider-

emos la siguiente ecuaci�on que describe la din�amica de un �ltro lineal excitado

por una aceleraci�on de terreno y(t) sobre un eje �cticio de tiempo �:

x00(�) + 2 �!x0(�) + !2x(�) = �y(�) (1:38)

Aqu�� las comas representan derivadas con respecto a �. Haciendo � = �(t) yaplicando la regla de cadena se tiene

_x =dx

dt=

dx

d�

d�

dt= x0 _� (1:39)

que implica que

x0 =_x

_�(1:40)


Luego,

�x =eld _x

dt=

dx0

d�

d�

dt_�+

d2�

dt2 x

0 (1:41)

lo que es equivalente a

�x = x00 _�2+ ��x0 (1:42)

De aqu�� se tiene que

x00 = (�x��

_�_x)

1

_�2 (1:43)

Al reemplazar estas expresiones en la ecuaci�on (1.38), la forma �nal de la

ecuaci�on din�amica del �ltro en t�erminos de �(t) es

�x+ (2 �! _��

_�) _x+ !

2_�2x = � _�

2y(�(t)) (1:44)

Sobre esta base es posible introducir la modulaci�on de frecuencia en los �ltros

convencionales de Kanai-Tajimi o de Clough-Penzien. En el primer caso se tiene

�Ug + (2 �g!g _��

_�) _Ug + !

2

g_�2Ug = � _�

2�(t)W (�(t)) (1:45)

donde la funci�on de amplitud �(t) se ha aplicado al ruidoW (�(t)). En el segundocaso se tiene, adem�as,

�Uf+ (2 �

f!f_��

��

_�) _U

f+ !

2

f_�2Uf= �2 �g!g _� _Ug � !

2

g_�2Ug (1:46)

Seg�un las ecuaciones (B.55), (1.37) y (1.44), el ruido blanco modulado de fondo

tiene una densidad espectral evolutiva igual a

GW(!; t)

YW=

1

_�(t)��

2(t) _�

4(t)G

W(!

_�(t)) = ��

2(t) _�

3(t)G

W(1:47)

donde GW

es la densidad unilateral del ruido no modulado. De otra parte, la

aceleraci�on de la base en el modelo variable de Kanai-Tajimi (ecuaci�on 1.1) es

MKT

=1

_�2 (2 �g!g _�

_Ug + !2

g�2Ug) =

2 �g!g_�

_Ug + !2

gUg (1:48)


mientras que para el espectro tipo Clough-Penzien es

MCP

=2 �

f!f

_�_Uf+ !

2

fUf+

2 �g!g_�

_Ug + !2

gUg (1:49)

Esto completa la de�nici�on de la acci�on s��smica por medio de �ltros lineales

variables en el tiempo.

Cap��tulo 2

Estimaci�on de modelos y

simulaci�on

2.1 Introducci�on

Despu�es de haber examinado los principales modelos estoc�asticos de la

acci�on s��smica en el cap��tulo anterior, en este se examinar�a la caracterizaci�on

param�etrica de los mismos a partir de acelerogramas reales de sismos. Igual-

mente, se describir�an algunas de las t�ecnicas para simulaci�on de acelerogramas

arti�ciales a partir de los modelos as�� de�nidos, lo cual constituye un paso

necesario para el estudio probabilista de la respuesta s��smica de estructuras.

2.2 Estimaci�on de modelos espectrales a partir de acelerogramas

En esta secci�on se abordar�a la estimci�on de las funciones que caracterizan de

manera estoc�astica la acci�on s��smica a partir de registros reales. En particular,

se describir�a la estimaci�on de los par�ametros de las funciones propias del modelo

de espectro instant�aneo, el cual ser�a usado en el cap��tulo siguiente.

2.2.1 Estimaci�on de la densidad spectral de potencia

Como en m�ultiples situaciones del mundo f��sico, la estimaci�on de las carac-

ter��sticas espectrales de un sismo dado debe realizarse a partir de un registro

�unico. Esto obliga a introducir la hip�otesis de ergodicidad (cf. secci�on B.3.4),

la ual permite suponer que las medidas probabilistas obtenidas en el eje del

tiempo de una realizaci�on equivalen a las que se hubieran podido obtener en el

eje de muestras si m�as de una de ellas estuviera disponible.

En el caso de sismos se debe enfrentar el problema adicional de la no esta-

cionaridad de los registros. Como el �enfasis en ingenier��a s��smica ha ca��do sobre

18 Estimaci�on de modelos y simulaci�on

los alores m�aximos de las respuestas y �estos suelen ocurrir en la fase fuerte

del movimiento, ha sido pr�actica comun el calcular la densidad espectral sobre

dicha fase, tomada como estacionaria (Soong y Grigoriu 1993). En este caso, el

estimativo de densidad espectral es

GA(!) =

j ~A(!)j2

�s0

(2:1)

donde ~A(!) es la transformada de Fourier de la aceleraci�on del suelo a(t) y s0

es un estimativo de la duraci�on de la fase de movimiento fuerte. Con base en la

teor��a de procesos estoc�asticos, Vanmarcke y Lai (1980) proponen la siguiente

expresion para dicha duraci�on:

s0 = 2 ln�2s0Ts

� E1

max(a(t)); s0 � 1:36Ts (2:2)

y

s0 = 2E1

max(a(t)); s0 � 1:36Ts (2:3)

donde Tses el per��odo dominante de las ondas en la fase fuerte y E1 es la

energ��a del registro dada por

E1 =

Z1

0a2

(t) dt (2:4)

Como se indica en el Anexo B, la gran varianza de este estimador de densidad

espectral suele reducirse por medio de ventanas espectrales que se aplican sobre

el registro original a(t) (Oppenheim y Scha�er 1989; Priestley 1981). Con el

�n de suavizar el espectro, es posible igualmente promediar los estimadores de

densidad espectral de N diferentes porciones de la fase fuerte del movimiento

(Soong y Grigoriu 1993):

GA(!) =

1

s0

NXn=1

j ~An(!)j2

(2:5)

con

~An(!) =1

�

Z s0N

0an(t)e

�i!tdt (2:6)

Estimaci�on de modelos espectrales a partir de acelerogramas 19

El desarrollo de modelos evolutivos, unido a la observaci�on de que la omisi�on

de las fases ascendente y decadente del movimiento puede conducir a subesti-

maciones de la respuesta de la respuesta no lineal de estructuras, ha impulsado

el uso de una t�ecnica m�as elaborada de estimaci�on de la densidad espectral, que

se realiza sobre un registro estacionaria y duraci�on igual a la del registro origi-

nal, obtenido de este �eltimo por estabilizaci�on de la variaci�on de amplitudes y

frecuencias. Esta t�ecnica, que se utilizar�a en el cap��tulo siguiente para estimar

un modelo estoc�astico adecuado para Manizales, se explicar�a en el contexto de

la modelaci�on del espectro instant�aneo.

0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.

1.2.

3.4.

5.6.

7.8.

(*10

)4

T iempo

Energ

ia

Funcion de energiaEmpiricaAjustada

Figura 2.1 Funciones de energ��a del sismo de Orion (unidades: s, cm2=s3)

2.2.2 Estimaci�on de la funci�on de modulaci�on de amplitud

Los par�ametros de la funci�on de modulaci�on de amplitud �(t) se determinan

generalmente a partir de la funci�on de energ��a del registro (equaci�on 2.4), cuyo

valor total es proporcional a la conocida Intensidad de Arias usada como medida


del potencial de da~no s��smico. Igualmente, est�a relacionada con la transformada

de Fourier a trav�es del teorema de Parseval:

Z1

0a2

(t)dt =1

�

Z1

0j ~A(!)j

2

d! (2:7)

En procesos uniformemente modulados se tiene

A(t) = �(t)M(t) (2:8)

y por tanto

�2

A(t) = �

2

(t)�2

M(t) (2:9)

puesto que �(t) es determinista y M(t) tiene media nula. El valor esperado de

la energ��a es en consecuencia

E[E(t)] =Z t

0�2(t)E[M

2(t)]dt (2:10)

Como la distribuci�on relativa de la energ��a entre �(t) y M(t) es arbitraria,

siempre se puede �jar E[M2(t)] � 1 de manera que la energ��a esperada est�e

completamente controlada por �(t):

E[E(t)] =

Z t

0�2

(t)dt (2:11)

La identi�caci�on de los par�ametros de una funci�on dada �(t) puede entonces

realizarse forzando la equivalencia de las energ��as asociadas a la funci�on y al

registro original, es decir

Z t

0�2

(t)dt �Z t

0a2

(t)dt (2:12)

Para este �n se hace necesario usar t�ecnicas de identi�caci�on no lineal (Bard

1974; Press et al. 1992)

La �gura 2.1 muestra una comparaci�on de las energ��as asociadas al registro

de Orion Boulevard (sismo de San Fernando, 1971, componente NS) y a la

funci�on ajustada de Yeh-Wen, cuyos par�ametros fueron calculados por medio

del algoritmo de Levenberg-Marquart (Press et al., 1992). �estos son: a =

0:5577E02, b = 0:3214E02, c = 0:5093E00, d = 0:0 y e = 0:2782E02. Puede

verse que existe una similitud aceptable entre la curva emp��rica y la ajustada.

En la �gura 2.2 se repite el trazo del registro junto con la funci�on estimada �(t).


0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.

-200

.-1

50.

-100

.-5

0.0.

50.

100.

150.

200.

T iempo

Acel

erac

ion

Figura 2.2 Registro del sismo de Orion y funci�on de amplitudes de Yeh - Wen (u-

nidades: s, cm=s2)

2.2.3 Modelaci�on de un espectro instant�aneo

Adem�as del c�alculo de la funci�on de modulaci�on de la amplitud, la con-

strucci�on de un modelo de espectro instant�aneo requiere los siguientes pasos:

1. Ajustar un modelo de funci�on de modulaci�on de frecuencias �(t).

2. Transformar la se~nal no estacionaria original en una estacionaria usando las

funciones ajustadas de modulaci�on de amplitudes y frecuencias.

3. Calcular la densidad espectral de potencia de la se~nal modi�cada y ajustar

un modelo suave a ella, tal como el de Kanai-Tajimi o el de Clough-Penzien.

Como se dijo anteriormente, la funci�on de frecuencia se puede obtener aju-

stando un polinomio de orden M a la funci�on emp��rica de cruces por cero del

registro:

�(t) =n(t)

_n(ts)(2:13)

donde


n(t) =MXi=1

riti

(2:14)

El tiempo ts, que corresponde al inicio de la fase fuerte, se puede estimar por

inspecci�on visual como el primer punto de in exi�on de la funci�on de energ��aE(t)

del registro (ver �gura 2.1). La precisi�on en la estimaci�on de este par�ametro no

es cr��tica, ya que la densidad espectral �nal es escasamente sensible a �el.

0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.

50.

100.

150.

200.

250.

300.

350.

T iempo, s

Cruc

es-c

ero

Funcion de frecuenciaEmpiricaAjustada

Figura 2.3 Funci�on de modulaci�on de frequencia del sismo de El Centro

Las �guras 2.3 y 2.4 muestran las regresiones correpondientes a los cruces

por cero de los registros de El Centro y Orion Boulevard, respectivamente. Sus

par�ametros se consignan en la tabla 2.1 junto con los del sismo de SMART 45.

Al comparar las �guras 1.1 y 1.8 se puede ver que la evoluci�on de frecuencias

altas a bajas es mucho m�as fuerte en el registro de Orion que en el de El Centro.

El de SMART corresponde a una situaci�on intermedia entre ambos. La �gura

2.5 muestra dos instantes de la evoluci�on de un espectro de Clough-Penzien de

la �gura 1.3 calculados con la funci�on �(t) del registro de Orion Boulevard y

�(t) = 1.


Tabla 2.1 Par�ametros de las funciones de modulaci�on de frecuencia ajustadas

Sismo r1

r2

r3

ts

_n(ts)

Imperial Valley 0.7826 e 01 0.2733 e -01 -0.1260 e -02 2.0 0.7921 e 01

SMART 45 0.9806 e 01 -0.1980 e 00 0.1833 e -02 7.5 0.7145 e 01

San Fernando 0.9585 e 01 -0.2291 e 00 0.2298 e -02 2.5 0.8148 e 01

El paso siguiente es la transformaci�on de la se~nal original no estacionaria en

estacionaria. Esto se realiza en dos fases. Inicialmente se estabilia el registro en

amplitudes dividendo la se~nal por la funci�on de amplitudes emp��rica o ajustada:

m1(t) =a(t)

�(t)(2:15)

Luego, la se~nal as�� obtenida se mapea del eje de tiempo �cticio constitu��do por

la funci�on de modulaci�on de frecuencias al eje de tiempo real:

m(t) = m1(�(t)) (2:16)

Este resultado puede usarse para estimar la densidad espectral de potencia

usando la duraci�on total del registro en la ecuaci�on (2.1). Como ilustraci�on de

este proceso, la �gura 2.6 muestra la historia de aceleraci�on original del registro

del sismo de Belalc�azar (agosto 15 de 1992), componente EW, registrado en

el sitio de El Cable en Manizales. La �gura 2.7 hace lo propio con el registro

estabilizado obtenido por la t�ecnica descrita.

2.2.4 Estimaci�on de los par�ametros de modelos espectrales de �ltro

Lai (1982) y Faravelli (1988a) han propuesto estimar los par�ametros de

modelos simples y compuestos del modelo de Kanai-Tajimi por minimizaci�on

del error que media entre los primeros momentos espectrales del registro y del

modelo. Dichos momentos est�an de�nidos por

�j=Z 10

!jG(!)d! (2:17)

Como el modelo de Kanai est�a de�nido por tres par�ametros, se impone resolver

un igual n�umero de ecuaciones no lineales simult�aneamente, que corresponden a

los momentos de �ordenes 0, 1 y 2. El proceso se facilita por la disponibilidad de


0. 10. 20. 30. 40. 50. 60.

50.

100.

150.

200.

250.

T iempo, s

Cruc

es-c

ero

Funcion de frecuenciaEmpiricaAjustada

Figura 2.4 Funci�on de modulaci�on de frequencia del sismo de Orion

la siguientes expresiones expl��citas para tales momentos calculadas por Faravelli

(1988a):

�i = �0i +4�2

g�0i+2

!2g

(2:18)

con

�00 = GW

"!g

8q1� �2

g

(H1 �H2) +!g

4�g(T1 + T2)

#��!max

0

(2:19)

�01 = GW

"�

!2g

4�g

q1� �2

g

(T1 � T2)

#��!max

0

(2:20)


0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80.

1.2.

3.4.

5.6.

7.

F recuencia

Dens

idad

espe

ctra

l Espectro instantaneot = 10 st = 40 s

Figura 2.5 Densidad evolutiva tipo Clough-Penzien (unidades: rad/s, cm2=s3

)

�02 = GW

"�

!3g

8q1� �2

g

(H1 �H2) +!3g

4�g(T1 + T2)

#��!max

0

(2:21)

�03 = GW

"!4g

4(H1 +H2)�

!4g(1� 2�2

g)

4�g

q1� �2

g

(T1 � T2)

#��!max

0

(2:22)

�04 = GW

"! �

!g(3� 4�2

g)

8q1� �2

g

(H1 �H2) +!g

4�g(1� 4�2

g)(T1 + T2)

#��!max

0

(2:23)

donde !max es la frecuencia m�axima de integraci�on, estimada sobre considera-

ciones sismol�ogicas y

H1 = ln(!2g+ 2!g!

r1� �2

g+ !2) (2:24)


0 5 10 15 20 25 30 35 40−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

Tiempo, s

a(t)

Registro original

Figura 2.6 Sismo de Belalc�azar (unidades: s, cm=s2)

H2 = ln(!2g� 2!

g!

r1� �2

g+ !2) (2:25)

T1 = tan�1�! + !g

q1� �2

g

!g�g

�(2:26)

T2 = tan�1�! � !g

q1� �2

g

!g�g

�(2:27)

Para otros modelos, tales como los de Clough-Penzien y Boore se requiere

evaluar las integrales del modelo de manera num�erica en cada paso.

Un importante estudio estad��stico sobre la forma de la densidad espectral

de potencia fue realizado por Moayyad y Mohraz (1982) sobre una muestra


0 5 10 15 20 25 30 35 40−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

Tiempo, s

b(t)

Registro estabilizado

Figura 2.7 Acelerograma estacionario obtenido del sismo de Belalc�azar(unidades: s,

cm=s2)

de registros de E.U. Los autores agruparon los registros en tres categor��as,

correspondientes a tipos diferentes de suelos, espec��camente duros, medios y

blandos y promediaron los espectros normalizados. Sues et al. (1983) calcularon

los modelos de Kanai-Tajimi que se ajustasen a los promedios resultantes. Los

resultados se muestran en la tabla 2.2.

Es importante observar que cuando se ajusta el modelo Kanai-Tajimi a

registros individuales se observan valores inferiores de �g a los recogidos en

la tabla anterior. De hecho, Lai (1982) ha encontrado que �g se concentra

alrededor de una media de 0.32 con coe�ciente de variaci�on de 0.421. Esto

signi�ca que los altos valores del estudio de Moayyad y Mohraz (1982) con�eren

a los espectros una banda m�as amplia de frecuencias que para la generaci�on de

seales aleatorias puede resultar poco realista. Esto puede interpretarse como

una consecuencia del promediado de densidades espectrales correspondientes a


Tabla 2.2 Par�ametros del modelo de Kanai-Tajimi (seg�un Sues et al. 1983)

Suelo !g

�g

Blando 10.9 0.96

Intermedio 16.5 0.80

Duro 16.9 0.94

condiciones din�amicas muy diversas. En el cap��tulo siguiente, el caso Manizales

servir�a para ilustrar que la dispersi�on de estos par�ametros para condiciones m�as

homog�eneas lleva a una dispersi�on menor.

2.3 Simulaci�on de acelerogramas s��smicos

La simulaci�on sint�etica de procesos estoc�asticos y, espec��camente, de a-

celerogramas ha sido un �area activa de investigaci�on desde el surgimiento de

computadoras r�apidas. En la actualidad hay un espectro amplio de algoritmos

para ese prop�osito. La elecci�on entre ellos depende de la informaci�on disponible,

las caracter��sticas que se pretenda dar a la se~nal, la e�ciencia computacional y

la exactitud (Nigam y Narayanan 1994).

En este trabajo se har�a uso de los algoritmos que se exponen a continuaci�on,

que corresponden a procesos Gaussianos. Esta restricci�on se debe al hecho que

en el caso Gaussiano el proceso est�a completamente de�nidos por la informaci�on

estad��stica de segundo orden. Como �esta est�a dada indirectamente por la den-

sidad espectral de potencia del proceso, se tiene la certeza que las realizaciones

as�� obtenidas corresponden �elmente al modelo probabilista. Esto no es v�alido

en el caso de procesos no Gaussianos, los cuales requieren informaci�on espectral

de mayor orden.

2.3.1 Simulaci�on de ruido blanco �ltrado

Hay, en general, dos de maneras de hacer este tipo de simulaci�on. La primera

consiste en generar una realizaci�on de un proceso blanco w(t) (cf. Anexo B)

y luego calcular la respuesta de los �ltros resolviendo sus ecuaciones din�amica,

que pueden expresarse sucintamente como

L[x; t] = w(t) (2:28)

donde L[�] es el operador matem�atico del �ltro. La segunda t�ecnica se basa

en la disponibilidad de una expresi�on matem�atica o emp��rica de la funci�on de

Simulaci�on de acelerogramas s��smicos 29

densidad espectral de potencia del proceso, SX(!). Las realizaciones pueden

ser generadas por el algoritmo (Shinozuka 1987):

x(t) =MXj=1

2qSX(!

j)�! cos(!

jt+ �

j) (2:29)

donde la densidad espectral ha sido discretizada en M frecuencias, que tienen

un �angulo asociado de fase aleatorio �juniformemente distribu��do entre 0 y 2�.

Evidentemente,

�! =!max

M(2:30)

donde !max es la frecuencia m�axima por dar a la se~nal, seleccionada sobre

consideraciones sismol�ogicas y estructurales. Las frecuencias !jse asignan o

bien en medio de cada intervalo o bien aleatoriamente dentro suyo. El algoritmo

est�a basado en la representaci�on espectral de procesos estoc�asticos descrita en

el Anexo B. En particular (cf. ecuaci�on B.36) la varianza total calculada sobre

las realizaciones sint�eticas

x(t) =MXj=1

Zjcos(!

jt+ �

j) (2:31)

es

�2

X=

1

2

XZ

2

j(2:32)

Por otra parte, la varianza est�a dada tambi�en por

�2

X=

Z 1�1

SX(!)d! (2:33)

Consiguientemente, se puede asignar a las amplitudes Zjel valor

Zj� 2

qSX(!

j)�! (2:34)

Puede demostrarse que la funci�on de densidad de las se~nales x(t) obtenidas por

este m�etodo tiende a la del proceso X(t) como M !1 (Shinozuka 1987).

Al expresar el coseno en la ecuaci�on (2.31) como la parte real de un expo-

nencial complejo, la simulaci�on puede ser efectuada mucho m�as e�cientemente


por medio de la transformada r�apida de Fourier (Shinozuka y Lenoe 1976). De

hecho, la ecuaci�on (2.31) puede ponerse en la forma

x(t) = <

( MXj=1

2qSX(!

j)�! exp(i�

j)� exp(i!

jt)

)(2:35)

que indica que x(t) puede calcularse como la parte real (<(�)) de la transformada

discreta de Fourier del conjunto complejo

f2qSX(!

j)�! exp(i�

j)g (2:36)

2.3.2 Simulaci�on de acelerogramas no estacionarios

La simulaci�on de realizaciones de procesos no estacionarios Gaussianos de

media nula caracterizados por una densidad espectral de potencia variable en

el tiempo SX(!

j; t) puede realizarse por una modi�caci�on simple del algoritmo

anterior:

x(t) =MXj=1

2qSX(!

j; t)�! cos(!

jt+ �

j) (2:37)

En el caso particular de procesos modelados seg�un el modelo evolutivo de Priest-

ley, es decir

SX(!; t) = j�(t; !)j

2

SY(!) (2:38)

se tiene

x(t) = j�(t; !)jMXj=1

2qSY(!

j)�! cos(!

jt+ �

j) (2:39)

que en el supuesto de modulaci�on uniforme se reduce a

x(t) = �(t)MXj=1

2qSY(!

j)�! cos(!

jt+ �

j) (2:40)

La �gura 2.8 muestra un acelerograma arti�cial generado por este m�etodo

utilizando como base el espectro de diseo propuesto para Manizales por Hurtado

et al. (1995). Para darle el caracter no estacionario se utiliz�o la funci�on de


modulaci�on de amplitudes de Amin y Ang (1966) (ecuaci�on 1.24) con t1= 2 s

y c = 0:18. En la �gura 2.9 aparece el espectro de velocidades dado junto con

el espectro del acelerograma sint�etico. Puede verse que, para efectos pr�acticos,

las diferencias entre ambos espectros son poco signi�cativas.

0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40.

-200

.-1

00.

0.10

0.20

0.30

0.

T iempo

Ace

lera

cion

ManizalesAcelerograma generado

Figura 2.8 Acelerograma arti�cial generado a partir del espectro de dise~no prop-

uesto para Manizales (Hurtado et al. 1995) (unidades: s, cm=s2)

La simulaci�on de acelerogramas seg�un el modelo de espectro instant�aneo

puede realizarse al resolver las ecuaciones de movimiento de los �ltros variables

en el tiempo excitados por las realizaciones sint�eticas del ruido blanco de fondo

(ecuaciones 1.45 y 1.46).

2.3.3 Correcci�on del acelerograma sint�etico

La se~nal generada por el m�etodo descrito presenta a�un algunas de�ciencias

que pueden ser f�acilmente eliminadas o atenuadas. El error m�as importante

corresponde al posible valor no nulo de la velocidad �nal del terreno. Para esto

se puede emplear la misma t�ecnica usada en el caso de acelerogramas registrados

por medios anal�ogicos. �Esta consiste en una correcci�on parab�olica de la l��nea

de base del acelerograma, donde los coe�cientes de la correcci�on son elegidos de

manera tal que minimicen el valor cuadr�atico medio de la velocidad.


0. 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4.

20.

40.

60.

80.

100.

120.

140.

Per iodo

Seud

ovel

ocid

ad

ManizalesEspectro dadoEspectro obtenido

Figura 2.9 Espectros de seudovelocidad de dise~no y del registro sint�etico (unidades:s, cm=s)

Si a(t) es un acelerograma obtenido mediante el procedimiento descrito, el

acelerograma corregido a0(t), tiene la forma:

a0(t) = a(t) + c0 + c1t

s+ c2

�t

s

�2(2:41)

donde s es la duraci�on de la se~nal. La velocidad se obtiene integrando la ecuaci�on

anterior con condiciones iniciales nulas y los coe�cientes c0, c1 y c2 se seleccio-

nan de manera tal que el valor cuadr�atico medio de �esta sea m��nimo en el

intervalo [0; s]. Con todo esto se llega a la relaci�on:

8><>:c0c1c2

9>=>; =

264 �300 900 �630

1800 �5760 4200

�1890 6300 �4725

3758><>:b0b1b2

9>=>; (2:42)

donde

bk = s�k�3Zs

0v(t) tk+1 dt k = 0; 1; 2 (2:43)

y donde v(t) es la velocidad correspondiente a a(t).


Las integrales de la ecuaci�on (2.43) se pueden evaluar num�ericamente, bajo

el supuesto de que la aceleraci�on a(t) var��a linealmente entre dos instantes de

tiempo consecutivos. Despu�es de esta correcci�on, la doble integraci�on de a0(t)

proporciona las velocidades y desplazamientos, respectivamente. Aunque nor-

malmente las funciones a(t) y a0(t) son muy similares, es importante la modi�-

caci�on en la velocidad v(t).

Cap��tulo 3

Modelo estoc�astico de los movimientos

s��smicos en Manizales

3.1 Introducci�on

Despu�es de haber examinado en el cap��tulo anterior algunos de los princi-

pales modelos estoc�asticos de la acci�on s��smica publicados en la literatura es-

pecializada, as�� como los pasos necesarios para la obtenci�on de sus par�ametros,

en el presente cap��tulo se aplican tales conceptos y m�etodos para obtener una

aproximaci�on razonable de un modelo tal para el caso de Manizales, a partir de

los registros disponibles. En primer lugar se describen y se relacionan dichos

registros; a continuaci�on se describen los pasos de c�alculo del programa de ob-

tenci�on de los par�ametros del modelo y �nalmente se analizan los resultados en

comparaci�on con algunos referentes a otras regiones s��smicas.

3.2 Registros s��smicos obtenidos en Manizales

La tabla 3.1 presenta los datos generales de los registros obtenidos en la ciu-

dad que se han utilizado para este estudio. Los cinco primeros fueron obtenidos

en un aceler�ometro tipo Montana de registro fotogr�a�co en papel, instalado

en la ciudad por el U. S. Geological Survey y administrado por el Instituto

Geof��sico de los Andes. Cuatro de estos registros fueron digitados por C�ordoba

y G�omez (1987), y el quinto por Hurtado et al. (1981). Los registros restantes

han sido obtenidos en los equipos digitales marca Kinemetrics gestionados por

el autor entre 1991 y 1993 en la Universidad Nacional, Sede Manizales.

Puede decirse que casi todos los registros corresponden al per�l t��pico de los

suelos de la ciudad, descrito por Aguirre y Gutierrez (1992), formado por limos

arenosos de origen volc�anico de gran espesor. A este per�l t��pico pertenecen

los sitios indicados en la tabla 3.1 como El Cable, Banco del Comercio, Uni-

versidad Nacional, Confamiliares y E. P. M. Las principales variaciones que

Registros s��smicos obtenidos en Manizales 35

Tabla 3.1 Registros s��smicos en Manizales

Sismo No. Registros No. Epicentro Fecha Estaci�on

1 1 Dabeiba 08.31.77 Banco del Comercio

2 2 Pereira 04.13.75 Banco del Comercio

3 3 Versalles 06.25.80 Banco del Comercio

4 4 Umpala 03.22.77 Banco del Comercio

5 5 La Tebaida 05.18.76 Banco del Comercio

6 6, 7 Belalc�azar 08.15.92 El Cable

8, 9 Belalc�azar 08.15.92 Universidad Nacional

7 10, 11 Murind�o 10.17.92 El Cable

12, 13 Murind�o 10.17.92 Universidad Nacional





10 22, 23 Torib��o 06.06.94 J. Hada

24, 25 Torib��o 06.06.94 E.P.M.

11 26, 27 Tauramena 01.19.95 E.P.M.

12 28, 29 Calima 02.08.95 El Cable

30, 31 Calima 02.08.95 Confamiliares

32, 33 Calima 02.08.95 E.P. M.

13 34, 35 Risaralda 08.19.95 El Cable

36, 37 Risaralda 08.19.95 E. P. M.

38, 39 Risaralda 08.19.95 Acueducto

pueden hallarse a lo largo y ancho del casco urbano corresponden a la presen-

cia de algunos rellenos mec�anicos o hidr�aulicos de diferente espesor, los cuales

alteran el comportamiento de las ondas s��smicas en una medida que resulta

dif��cil de ponderar. Las estaciones que �guran en la tabla como Universidad

Nacional, El Cable y Confamiliares presentan un per�l similar, con la diferencia

de que en el �ultimo hay una capa de espesor moderado de dichos rellenos que,

36 Modelo estoc�astico de los movimientos s��smicos en Manizales

aparentemente, parece haber ocasionado peque~nas ampli�caciones en ciertos

per��odos. Por otra parte, el suelo del edi�cio E.P.M. y zonas aleda~nas presenta

caracter��sticas excepcionales que han causado tradicionalmente mayores inten-

sidades all�� que en otras partes de la ciudad. Particularmente, la zona sufri�o

una masiva destrucci�on de viviendas de bahareque en el a~no de 1979, lo que se

re eja en las altas intensidades obtenidas en el sismo del 23 de noviembre de

1979 (no registrado), las cuales alcanzaron all�� un valor de IX.

3.3 Estimaci�on de par�ametros del modelo estoc�astico

Como se dijo en el cap��tulo anterior, un modelo estoc�astico riguroso de

la acci�on s��smica debe incluir su no estacionaridad en amplitud y en frecuen-

cia. Para ello se ha adoptado el modelo de espectro instant�aneo (Yeh y Wen

1990) descrito en detalle en el cap��tulo anterior. El proceso de c�alculo de los

par�ametros espectrales del modelo es el siguiente:

1. C�alculo de las funciones emp��ricas de modulaci�on de amplitudes, �(t) y

de frecuencias �(t).

2. Estabilizaci�on estacionaria del registro, es decir, c�alculo de un registro

estacionario equivalente obtenido al remover las tendencias no estacionarias en

amplitud y frecuencia caracterizadas por �(t) y �(t), tal como se explic�o en

el cap��tulo anterior. En este estudio se utilizaron las funciones emp��ricas de

amplitud y frecuencia en lugar de modelos no lineales ajustados a ellas. Esto se

debe a que la �ultima opci�on tiene sentido cuando se busca generar acelerogramas

sint�eticos similares a uno dado (por ejemplo, en estudios de da~nos caudados por

un evento que haya sido registrado) o cuando se persigue realizar un estudio

estad��stico de los par�ametros de las funciones �(t) y �(t). Como en el caso

presente no se trata de modelar un evento dado y, adem�as, la base de datos

disponible no es lo su�cientemente amplia como para obtener una modelaci�on

�able de los m�ultiples par�ametros de ambas funciones, se ha optado por utilizar

las funciones emp��ricas directamente en la estabilizaci�on estacionaria de cada

registro, explicada en el cap��tulo anterior, y concentrar el estudio estad��stico en

los par�ametros de la densidad espectral que son, con mucho, los m�as importantes

del modelo evolutivo completo. Las densidades espectrales de potencia de los

registros estabilizados se calcularon como el promedio de las densidades de tres

segmentos de los mismos. Para el c�alculo se utiliz�o la ventana espectral de

Hanning (cf. Priestley 1981).

3. C�alculo de la duraci�on del segmento de fase fuerte, s0, seg�un la de�nici�on

de Vanmarcke y Lai (1980) (ecuaciones 2.3 y 2.3). Esta duraci�on se utilizar�a

para modelar la modulaci�on de amplitudes en la generaci�on de acelerogramas

sint�eticos que se discute m�as adelante.

4. C�alculo de los par�ametros espectrales del modelo. En el presente caso se

Generaci�on de acelerogramas arti�ciales para Manizales 37

adopt�o el espectro de Clough y Penzien, cuya densidad espectral est�a dada por

G(!) =!4

(!2

f� !

2)2+ 4 �

2

f!

2

f!2 �

!4

g+ 4 �

2

g!

2

g!2

(!2

g� !

2)2+ 4 �

2

g!

2

g!2 GW (3:1)

A los par�ametros !fy �

fse les asignaron unos valores �jos que se juzgaron

adecuados a la vista de los espectros emp��ricos de los registros etabilizados,

mientras que los par�ametros de la parte de Kanai - Tajimi del espectro se cal-

cularon siguiendo el m�etodo de ajuste de los momentos espectrales expuesto en

el cap��tulo anterior. Para ello se utilizaron las ecuaciones expl��citas de los mo-

mentos espectrales del �ltro de Kanai - Tajimi obtenidas por Faravelli (1988a)

(ecuaciones 2.18 a 2.27). El algoritmo de ajuste no lineal utilizado fue el Leven-

verg - Marquart. Por otra parte, con el �n de evitar un sesgo en la estad��stica

de los valores se prescindi�o de algunos registros del sismo No. 8 y de todos los

del No. 9, que es una r�eplica del anterior.

La tabla 3.2 re�une los valores de los par�ametros s0, !g y �g. En las �guras

3.1 y 3.2 se presentan histogramas de los dos �ultimos valores junto con las

funciones de densidad siguientes (tipos Weibull y Lognormal, respectivamente)

que se han juzgado adecuadas para ellas:

f(!g) =1:55

5:1(!g � 7:5

5:1)0:55 exp [�(

!g � 7:5

5:1)1:55] (3:2)

f(�g) =1

0:3865p2��g

exp [�1

2(ln �

g+ 1:9442

0:3865)2] (3:3)

La �gura 3.3 muestra la densidad espectral evolutiva del registro 7 corre-

spondiente al modelo de Yeh-Wen:

G(!; t) = �(t)2 1

_�(t)G(

!

_�(t)) (3:4)

La densidad ha sido calculada con los par�ametros que aparecen en la tabla

3.2 y usando su funci�on emp��rica de evoluci�on de frecuencias �(t) y como mod-

ulaci�on de amplitudes la funci�on de Amin y Ang (1966) (ecuaci�on 1.24)

�(t) =

8>><>>:

( t

t1)2; t � t

1

1; t1� t � t

2

e�c(t�t2); t

2� t

(3:5)

con par�ametros t1= 2 s, c = 0:18 y t

2= t

1+ s

0.


Tabla 3.2 Valores calculados de los par�ametros del modelo estoc�astico

Registro No. s0 amax !g �g

(s) (cm=s2) (rad/s)

5 9.73 48.60 8.85 0.150

6 12.04 16.30 16.34 0.247

7 20.24 16.25 17.49 0.262

8 14.31 16.29 13.93 0.250

9 13.33 14.88 15.55 0.233

10 21.34 6.22 10.92 0.093

11 21.36 6.75 10.86 0.135

12 22.17 6.34 10.17 0.093

13 22.85 5.86 9.11 0.119

14 30.70 14.83 12.09 0.145

15 32.99 13.92 11.03 0.149

24 21.46 9.44 8.83 0.052

25 29.93 5.90 9.24 0.069

26 20.34 12.30 9.11 0.077

27 13.16 19.99 9.32 0.086

28 16.53 26.42 13.66 0.191

29 20.46 38.02 13.48 0.184

30 25.34 22.98 11.23 0.133

31 14.10 28.53 11.31 0.122

32 12.94 55.86 9.01 0.136

33 25.46 35.38 9.53 0.110

34 16.14 51.58 17.03 0.229

35 11.91 46.78 18.93 0.231

36 19.30 35.26 13.22 0.181

37 24.46 34.06 12.16 0.178

3.4 Generaci�on de acelerogramas arti�ciales para Manizales

Con el �n de utilizar el modelo espectral as�� de�nido para generar acelerogra-


6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 260

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

ωg

Den

sida

d de

pro

babi

lidad

Figura 3.1 Histograma y modelo probabilista de la frecuencia de Kanai-Tajimi paraManizales (unidades: rad=s)

mas arti�ciales adecuados para Manizales, consistentes con su amenaza s��smica,

se hace necesario examinar la relaci�on existente entre los valores s0, !g y �g de

un lado y la aceleraci�on m�axima, amax, por otro, debido a que la amenaza se

encuentra de�nida para todo el territorio nacional en t�erminos de �esta (Garc��a

et al. 1984). La �gura 3.4 muestra la relaci�on existente entre s0y amax. En ella

tambi�en se recogen los datos de la costa oeste norteamericana evaluados por Lai

(1982). Puede observarse que los datos de Manizales muestran la misma ten-

dencia a una correlaci�on negativa de s0 con respecto a amax, lo cual se explica

principalmente por el hecho de que la duraci�on crece con la distancia epicentral

al contrario que la aceleraci�on m�axima. Asimismo, se puede ver que la dis-

persi�on de los datos de Manizales, en el peque~no rango de aceleraciones que ha

sido posible registrar hasta el momento, muestran una dispersi�on muy inferior

que los usados por Lai (1982), lo que se debe a la mayor homogeneidad de la


0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

νg

Den

sida

d de

pro

babi

lidad

Figura 3.2 Histograma y modelo probabilista del amortiguamiento de Kanai-Tajimipara Manizales

muestra de una misma ciudad empleada en este caso. Esto ilustra la inconve-

niencia de utilizar informaci�on de bases de datos correspondientes a regiones

diversas en estudios de objetivo local como aquellos para los cuales este trabajo

pretende servir de insumo, es decir, la generaci�on de acelerogramas arti�cales

para estudios de vulnerabilidad y riesgo en Manizales.

Sobre la base de la informaci�on reunida en la tabla 3.2 se ha calculado la

siguiente regresi�on entre duraci�on de la fase fuerte y aceleraci�on m�axima:

ln s0= �0:0102 amax+ 3:1707 + � (3:6)

En esta expresi�on � es una variable aleatoria normal con media cero y desviaci�on

est�andar 0.2867. Como quiera que para valores altos de aceleraci�on se puede

obtener duraciones muy peque~nas, se propone �jar un valor m��nimo de 1 s.


010

2030

4050

0

5

10

15

20

25

300

5

10

15

20

Tiempo, s

Modelo evolutivo

Frecuencia angular, rad/s

Figura 3.3 Densidad espectral evolutiva basada en el registro No. 7 (unidades: s,

cm=s2)

De otra parte, las �guras 3.5 y 3.6 muestran las relaciones !g - amax y

�g - amax, respectivamente. En consonancia con lo observado por Lai (1982),

ninguna de las dos variables muestra una tendencia de�nida a crecer o disminuir

con la aceleraci�on m�axima, lo cual hace que, para efectos pr�acticos, puedan ser

consideradas efectivamente como propiedades (estoc�asticas) de los suelos de la

regi�on bajo estudio, modeladas por las ecuaciones (3.2) y (3.2). Para estudios

de vulnerabilidad y riesgo, en los cuales se hace necesario generar acelerogramas

arti�ciales para un amplio rango de aceleraciones m�aximas, esta independencia

de los par�ametros espectrales del nivel de aceleraci�on s��smica permite generar

los acelerogramas a partir de una misma densidad espectral caracterizada ella

misma por par�ametros aleatorios. En consecuencia, el proceso de generaci�on

de acelerogramas arti�ciales propuesto para la ciudad, a partir del modelo es-

toc�astico as�� de�nido, es el siguiente:


0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

amax

s 0

Oeste de E. U. (Lai, 1982)Manizales

Figura 3.4 Relaci�on aceleraci�on m�axima / duraci�on de la fase fuerte (unidades: s,

cm=s2)

1. De�nir la aceleraci�on m�axima objetivo del registro.

2. Generar una duraci�on aleatoria de la fase fuerte, teniendo en cuenta que

el par�ametro � en la ecuaci�on (3.6) es aleatorio.

3. Generar valores aleatorios de los par�ametros de la densidad espectral de

potencia de acuerdo a sus distribuciones (ecuaciones 3.2 y 3.3).

4. Generaci�on de un ruido blanco de duraci�on equivalente a la duraci�on total

del evento (cf. Anexo B, secci�on B.5) y aplicaci�on de la funci�on de modulaci�on

de Amin y Ang (ecuaci�on 3.5).

5. Simulaci�on del acelerograma por medio de la soluci�on de la din�amica del

�ltro variable de Clough - Penzien (ecuaciones 1.45 y 1.46).

Vulnerabilidad de edi�cios sin dise~no sismo-resistente 43

0 10 20 30 40 50 608

10

12

14

16

18

20

amax

ωg

observacionesvalor medio

Figura 3.5 Relaci�on aceleraci�on m�axima / frecuencia del �ltro (unidades: cm=s2,

rad/s)

6. Correcci�on de la l��nea base (cf. Secci�on 2.3.3).

3.5 Vulnerabilidad de edi�cios sin dise~no sismo-resistente

Como una primera aplicaci�on pr�actica del modelo estoc�astico expuesto, en

este apartado se har�a uso de �el para estimar la vulnerabilidad de una estructura

representativa de las construcciones de concreto reforzado carentes de dise~no

sismo-resistente bajo condiciones de un sismo fuerte. Como valor indicativo de

este �ultimo se toma el correspondiente a una probabilidad de excedencia de 10%

en 50 a~nos, caracterizado por una celeraci�on m�axima de 0.25 g y reglamentado

por el c�odigo de dise~no sismo-resistente de la ciudad para las construcciones

nuevas. La meta de este an�alisis es la obtenci�on de una funci�on de distribuci�on

de probabilidad del da~no de una estructura representativa de los edi�cios de


0 10 20 30 40 50 600.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

amax

ν g

observacionesvalor medio

Figura 3.6 Relaci�on aceleraci�on m�axima / amortiguamiento del �ltro

la ciudad de la �epoca anterior a la expedici�on de la primera norma s��smica, la

cual permite estimar el escenario posible de da~nos y p�erdidas en ese grupo de

edi�cios*.

El m�etodo que se seguir�a para esta evaluaci�on es el m�etodo de Monte Carlo

(Hurtado y Barbat 1998; cf. Anexo A), que consiste en la realizaci�on de un

amplio n�umero de an�alisis deterministas de la estructura con datos aleatorios

con el �n de disponer de una muestra sobre la cual realizar las estad��sticas

correspondientes. Los pasos requeridos por el m�etodo en un caso como este son

los siguientes:

1. Dise~no de una estructura altamente representativa de la �epoca. La

estructura en cuesti�on es un edi�cio de concreto reforzado de seis plantas, con

* El dise~no de este modelo representativo fue realizado por Samuel D. Prieto y Josu�e Galvis.


Tabla 3.3 Rangos del ��ndice de Park y Ang para diferentes estados de da~no(Singhal y Kiremidjian 1996)

Estado de da~no Rango

Leve 0.1 - 0.2Moderado 0.2 - 0.5Fuerte 0.5 - 1.0Colapso > 1:0

cinco marcos de dos vanos cada uno, que soportan losas de concreto y cargas

vivas de tipo vivienda. El dise~no se realiz�o de acuerdo a las normas y costumbres

de las d�ecadas de los sesenta y setenta.

2. De�nici�on de un ��ndice de da~no. En los �ultimos a~nos se ha impuesto en

la literatura internacional el modelo de Park y Ang (Park 1984; Ang 1987) el

cual estima el da~no producido en cada elemento estructural como funci�on de la

deformaci�on m�axima y de la energ��a disipada. La ecuaci�on del ��ndice para un

elemento i es

di=

�m

�u+

�

Fy�u

ZdE

��i

(3:7)

donde �m y �u son la deformaci�on m�axima bajo carga s��smica y bajo carga

monot�onica, respectivamente, Fy la resistencia a cedencia del elemento y � un

coe�ciente de peso de la energ��a disipada por hist�eresis, E. Park (1984) propone

expresiones para las variables mencionadas y modelos de hist�eresis para cada

tipo de carga a los que t��picamente se ven sometidos los elementos estructurales

bajo sismos: exo-compresi�on, corte y adherencia. Asimismo, para un edi�cio

en su conjunto, propone tomar como ��ndice de da~no global la expresi�on

D =

PE

idiP

Ei

(3:8)

que implica el tomar la energ��a disipada como factor de ponderaci�on. La mayor

ventaja de este ��ndice es que ha sido cuidadosamente calibrado con respecto a

da~nos s��smicos realmente ocurridos por medio de an�alisis no lineales de historia

de respuesta de varios edi�cios sometidos a los registros de los terremotos cor-

respondientes (Ang 1987). La tabla 3.3 muestra los rangos de valores del ��ndice

correspondientes a varias cali�caciones del da~no, los cuales suelen ser tomados

como referencia en diferentes estudios de este tipo (Barbat et al. 1996; Singhal

y Kiremidjian 1996).


3. De�nici�on de las variables aleatorias. En este caso se tomar�an las vari-

ables que se indican en la tabla 3.4 con las distribuciones y par�ametros que all��

se indican. La variable f 0ces la resistencia �ultima del concreto a compresi�on,

cuya media se toma igual a 1.14 veces la resistencia nominal del concreto de

dise~no com�un en la �epoca, 0.02058 kN/mm2. En cuanto a la media de la re-

sistencia �ultima del acero fy, se toma un cinco por ciento superior a la nominal,

0.4116 kN/mm2.

4. Generaci�on de conjuntos de datos aleatorios y combinaci�on de los mismos

de acuerdo a una t�ecnica de reducci�on de la varianza, que para este caso ser�a

la de muestreo descriptivo (Ziha 1995) comentada en el Anexo A.

5. Generaci�on de un conjunto igual de acelerogramas sint�eticos por medio

de la soluci�on para �Ufde las ecuaciones del �ltro variable de Clough-Penzien:

�Ug + (2 �g!g _��

_�) _Ug + !

2

g_�2

Ug = � _�2

�(t)W (�(t)) (3:9)

�Uf+ (2 �

f!f_��

��

_�) _U

f+ !

2

f_�2

Uf= �2 �g!g _�

_Ug � !2

g_�2

Ug (3:10)

6. An�alisis de historia de respuesta no lineal de todos los modelos con los

grupos de datos aleatorios. Para este prop�osito se utiliz�o el programa IDARC

(Kunnath et al. 1992), desarrollado para el an�alisis inel�astico de estructuras de

concreto reforzado.

7. An�alisis estad��stico de los resultados.

Tabla 3.4 Descripci�on de las variables aleatorias

No. Variable Distribuci�on � �

1 � Normal 0 0.28672 !

gWeibull 12.096 3.022

3 �g

Lognormal 0.154 0.0624 f

0

cNormal 0.0239 0.00335

5 fy

Lognormal 0.4410 0.04851

Se realizaron en total 66 an�alisis inel�asticos del modelo. La �gura 3.7 recoge

los valores de la distribuciones emp��rica del ��ndice de da~no. A ellos se ha ajus-

tado una funci�on lognormal, la cual permite estimar las probabilidades asociadas


Tabla 3.5 Probabilidades de excedencia del ��ndice de da~no

d P [D > d]

0.1 1.000 E 000.2 7.452 E -010.3 4.214 E -030.4 3.322 E -07

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

D

Dis

trib

ució

n de

pro

babi

lidad

Monte CarloLognormal

Figura 3.7 Funciones de distribuci�on del ��ndice de da~no de Park y Ang

a estados no observados en la simulaci�on, indicados en la tabla 3.5. En ella puede

observarse que para el grado de da~no leve y en parte para el grado moderado

hay casi total certeza de su ocurrencia, mientras que las probabilidades corre-

spondientes a niveles de da~no mayores son muy reducidas. El fuerte contraste

entre estos valores de probabilidad de excedencia entre los grados leve y mod-


0.018 0.0185 0.019 0.0195 0.02 0.02050

2

4

6

8

10

12

14

θ

Fre

cuen

cia

Figura 3.8 Histograma del radio de deriva m�axima

erado, de una parte, y los mayores, de otra, se explica por el reducido valor del

coe�ciente de variaci�on del ��ndice de da~no, que es tan s�olo de 0.123. Este com-

portamiento claramente positivo de los edi�cios sin dise~no sismo-resistente se

explica en parte por la correlaci�on negativa que guardan la aceleraci�on m�axima

y la duraci�on de la fase fuerte, la cual hace que para sismos fuertes el n�umero de

pulsos de m�axima intensidad sea menor. Por esta raz�on no resulta sorprendente

que la vulnerabilidad de esta clase de estructuras ante sismos m�as moderados

sea semejante a la correspondiente a los sismos fuertes considerados, tal como

indican algunos an�alisis preliminares realizados. N�otese que la carencia de reg-

istros de una aceleraci�on m�axima semejante a la considerada obliga a estimar

los valores de s0 a partir de la informaci�on de sismos d�ebiles, lo cual genera una

cierta incertidumbre sobre estas conclusiones. Sinembargo, los datos de Lai

(1982) inclu��dos en la �gura 3.4 muestran que son poco probables los valores


altos de s0correspondientes a grandes aceleraciones m�aximas.

Una dispersi�on menor que la del ��ndice de da~no se obtuvo en el caso del

radio de deriva m�axima (de�nida como la relaci�on entre la deriva de piso y su

altura), cuyo histograma se muestra en la �gura 3.8. La media y el coe�ciente de

variaci�on de esta variable fueron, respectivamente, 0.0193 y 0.026. Con el �n de

valorar este resultado, es conveniente mencionar que los c�odigos de dise~no sismo-

resistente especi�can un valor m�aximo del radio de deriva entre 0.01 y 0.015.

Esto indica que, en general, pueden esperarse grandes da~nos en elementos no

estructurales en edi�cios de esta clase ante el tipo de evento considerado. Con

el �n de complementar esta diagn�ostico preliminar deben efectuarse estudios

similares en estructuras con dise~no sismo-resistente, as�� como un estudio m�as

amplio y detallado de las que se han examinado preliminarmente en este trabajo.

Por ejemplo, deben considerarse las distribuciones reales de f 0cy f

yde acuerdo a

los datos disponibles en laboratorios de ensayos correspondientes a las diferentes

�epocas bajo estudio, las cuales aqu�� han sido meramente supuestas.

Anexo A

Variables aleatorias

A.1 De�nici�on de probabilidad

Un suceso aleatorio puede de�nirse como el resultado de un experimento

no causal, esto es, de un experimento en el que a una causa determinada no

est�a asociado un efecto preciso sino varios efectos posibles y el resultado �-

nal depende del azar. Alternativamente, puede interpretarse tambi�en como un

resultado determinista en el que intervienen multiples causas desconocidas, lo

que hace imposible conocer por anticipado el resultado del experimento. En

ambos casos se est�a ante un espacio de resultados posibles del experimento.

Por esa raz�on interesa distinguir entre resultados m�as probables que otros. La

de�nici�on cl�asica de probabilidad a�rma que si, previamente a la realizaci�on de

experimento alguno, podemos a�rmar que en n resultados igualmente probables

del experimento, hay un n�umero na de resultados a favor de cierto suceso A, la

probabilidad de �este es

P [A] = limn!1

na

n(A:1)

El hecho de que haya m�ultiples resultados posibles en el experimento aleato-

rio sugiere el uso de la teor��a de conjuntos para la de�nici�on de los conceptos

b�asicos de probabilidad. As��, el espacio de resultados posibles �i del exper-

imento, mencionado anteriormente, se denomina espacio de probabilidad, U .

Obviamente, el tama~no de tal espacio depende de la manera como haya sido

de�nido. As��, en el caso del lanzamiento de un dado el espacio tiene seis el-

ementos, si se de�ne como el conjunto de apariciones de cada n�umero, o dos

elementos, si s�olo interesa la obtenci�on de un n�umero par o impar. Por otra

parte, en el espacio pueden considerarse diversos subconjuntos de resultados

posibles, los cuales son justamente los sucesos aleatorios. Si, por ejemplo, el

experimento consiste en el lanzamiento de una moneda dos veces al aire, el

espacio de probabilidad consistir�a de los elementos aa; ar; ra; rr, donde a y r

52 Variables aleatorias

indican el anverso y reverso de la moneda. Dentro de este espacio se podr��an

de�nir un subconjunto A, que consisitiese de los elmentos correspondientes a

salidas repetidas de cualquiera de las caras: A = aa; rr.

Los siguientes enunciados de la teor��a de conjuntos se interpretan de la

manera descrita a continuaci�on en la teor��a de probabilidades:

1. A (conjunto A): A ocurre.

2. �A (complemento de A): A no ocurre.

3. A [B (uni�on de A y B): Ocurre al menos A �o B.

4. AB = ATB (intersecci�on de A y B): Ocurren A y B.

5. AB = O (la intersecci�on de A y B es el conjunto vac��o): Los sucesos A

y B son mutuamente excluyentes.

6. A � B (A es subconjunto de B): La ocurrencia de A conlleva necesaria-

mente la de B.

La de�nici�on de probabilidad que hoy se acepta universalmente es la dada

por Kolmogorov y est�a fundada en la teor��a de conjuntos. La de�nici�on se

conoce con el nombre de axiom�atica, ya que se expresa por los siguientes ax-

iomas:

1. P [A] � 0

2. P [U ] = 1

3. Si ATB = O, entonces P [A+B] = P [A] + P [B].

Seg�un el primer axioma, la probabilidad es un n�umero real, no negativo e

inferior a la unidad. El segundo establece que el espacio de todos los resultados

posibles, U , es un suceso cierto, ya que hay certeza total de que siempre se

realice. Por el contrario, el conjunto vac��o O denota un suceso imposible. Fi-

nalmente, el tercer axioma se re�ere a la probabilidad de sucesos mutuamente

excluyentes como la suma de las probabilidades individuales.

Para cualquier conjunto o espacio de probabilidad U , compuesto por m

elementos �1; �2; :::�n y del cual A, B, etc. son subconjuntos (de�nidos como

sucesos), se dan los siguientes axiomas:

1. P [O] = 0.

2. P [A] = 1� P [A]

3. Para cualesquier A;B, P [A+B] = P [A] + P [B]� P [AB].

El tercer axioma de Kolmogorov es un caso particular de este �ultimo enun-

ciado, cuando el producto (la intersecci�on) de A y B es el conjunto vac��o.

Finalmente, se de�ne la probabilidad condicional del evento A, dado el

evento B, como

P [AjB] = P [AB]

P [B](A:2)

La noci�on de independencia de dos sucesos se basa en este concepto. De

Variables, procesos y campos aleatorios 53

hecho, se a�rma que dos sucesos A y B son independientes cuando la probabil-

idad condicional de que suceda A dado B es igual a la probabilidad P [A]. En

este caso se tiene

P [AB] = P [A]P [B] (A:3)

Los siguientes teoremas son de gran importancia:

Teorema de la probabilidad total. Si los sucesos B1; B2; :::Bn son mutua-

mente excluyentes y exhaustivos (esto es, su uni�on agota el espacio U), entonces,para un suceso A cualquiera

P [A] =nX

j=1

P [AjBj ]P [Bj] (A:4)

Esto se desprende de la de�nici�on de probabilidad condicional y de la

condici�on de exclusi�on mutua. Aunque a simple vista parece que la ecuaci�on

anterior implica un rodeo para obtener la probabilidad de A, en la pr�actica

resulta muy �util, debido a que suelen ser m�as asequibles emp��ricamente las

probabilidades condicionales que las absolutas.

Teorema de Bayes. Sean A y B dos sucesos arbitrarios de probabilidad

diferente de cero. Entonces

P [BjA] = P [AjB]P [B]P [A]

(A:5)

y a partir del teorema anterior

P [BijA] =P [AjBi]P [Bi]P

nj=1 P [AjBj]P [Bj]

(A:6)

Este teorema tiene amplia aplicaci�on en las situaciones en que se trata de

predecir el comportamiento posterior de una variable a partir del conocimiento

actual del mismo.


A.2 Variables, procesos y campos aleatorios

Se denomina realizaci�on de un suceso al elemento � del espacio U que re-

sulta del experimento, como puede ser el obtener la misma cara de la moneda

en el experimento de lanzarla dos veces, dentro de las cuatro posibilidades ex-

istentes. Una variable aleatoria X(�) es un n�umero asociado a una realizaci�on

� de un experimento, por medio de una regla de correspondencia o funci�on de-

terminada. As�� de�nida, una variable aleatoria no se diferencia de una funci�on

determin��stica cualquiera, mas que por el hecho de que su valor est�a asociado a

una ocurrencia al azar de un suceso.

Matem�aticamente, el n�umero X(�) es una variable aleatoria si la funci�on

X, real o compleja, est�a de�nida en el espacio U del experimento aleatorio y si,

adem�as, el conjunto de todas las realizaciones �, tales que sus correspondientes

X(�) sean menores o iguales que cierto valor x, es un subconjunto de U . A

diferencia del caso determinista, este conjunto, denotado por [X(�) � x], no

constituye un rango de dado de valores, sino un conjunto de resultados exper-

imentales posibles en el espacio U , y que solamente puede ser apreciado con

respecto a otros intervalos por medio de una probabilidad de ocurrencia. Lo

mismo es v�alido para otros sucesos, tales como [X(�) = x], [x1 � X(�) � x2],

etc. Una condici�on adicional de la teor��a de probabilidades estipula que la

probabilidad de los sucesos [X(�) =1] y [X(�) = �1] es nula.

En lo que sigue se omitir�a la indicaci�on de la realizaci�on �. Igualmente,

las variables aleatorias asociadas a una determinista se denotar�an por medio de

letras may�usculas.

Un proceso estoc�astico o aleatorio X(t) es una colecci�on de variables aleato-

riasX asociadas a una variable independiente t, que en general denota el tiempo.

El movimiento del terreno en un sismo como funci�on del tiempo, as�� como la

respuesta estructural pueden ser considerados como realizaciones de un proceso

estoc�astico. Por otra parte, en un campo aleatorio las variables aleatorias se aso-

cian a variables independientes cualesquiera, tales como el espacio, el tiempo

o ambos. Ejemplos t��picos son el de la variaci�on aleatoria de las propiedades

de un material en el espacio, o la variaci�on espacial y temporal del movimiento

s��smico considerada en el an�alisis de estructuras de gran longitud.

A.3 Funciones de distribuci�on

Intuitivamente se comprende que de los m�ultiples resultados posibles de

un experimento puede anticiparse en ciertos casos que unos son m�as probables

que otros, o en otros que todos son igualmente probables, como en el caso del

lanzamiento del dado. La funci�on de distribuci�on de probabilidad (o su derivada,

si existe, llamada de densidad de probabilidad) caracteriza completamente la

Funciones de distribuci�on 55

probabilidad de obtener un valor o rango de valores de la variable aleatoria,

los cuales pueden formar un campo continuo, como el eje real, o discreto, como

valores enteros, racionales, etc.

Tanto para el caso discreto como para el continuo, la funci�on de distribuci�on

de probabilidad FX(x) se de�ne como la probabilidad de que la variable aleato-

ria X sea menor que una cierta cantidad x:

FX (x) = P [X � x] (A:7)

Es evidente que cuando x!1, FX (x)! 1, ya que x agota todo el campo

real. An�alogamente FX (x)! 0 cuando x! �1. En t�erminos generales, puede

decirse que la funci�on de distribuci�on es no-negativa, no decreciente, continua

por la derecha y acotada entre 0 y 1.

La probabilidad de que una variable aletoria tome valores entre dos n�umeros

a y b, tales que a < b viene dada por

P [a < X � b] = FX(b) � FX (a) (A:8)

Si la funci�on de distribuci�on es continua en el intervalo (a; b], de acuerdo al

teorema fundamental del c�alculo integral la ecuaci�on anterior puede escribirse

como

P [a < X � b] = FX (b) � FX (a) =

Zb

af(x)dx (A:9)

lo que de�ne la funci�on de densidad de probabilidad

fX (x) =dFX(x)

dx(A:10)

.

o tambi�en

FX (x) =Zx

�1fU (u)du (A:11)

Si la funci�on fX (x) es continua sobre todo el eje real, entonces

Z1

�1fX (x)dx = 1 (A:12)

En el caso de variables aleatorias que solamente puedan tomar valores dis-

cretos xi; i = 1; 2; :::n, se de�ne la funci�on de masa de probabilidad como


pX (xi) = P [X = xi] (A:13)

En consecuencia,

0 < pX (xi) � 1 (A:14)

nXi=1

pX (xi) = 1 (A:15)

Las funciones de masa y de distribuci�on de probabilidad guardan en este caso

las siguientes relaciones:

pX (xi) = FX (xi) � FX (xi�1) (A:16)

FX (x) =X

i:xi�x

pX(xi) (A:17)

Para efectos de c�alculo, resulta �util darle a la funci�on de masa una expresi�on

anal��tica usando la funci�on delta de Dirac:

fX (xi) =nX

i=1

pX (xi)�(x � xi) (A:18)

A.4 Distribuci�on de m�ultiples variables

Todo lo dicho en el apartado anterior se re�ere al comportamiento proba-

bilista de una sola variable aleatoria. En la pr�actica, se requiere con frecuencia

conocer el comportamiento de dos o m�as variables aleatorias de manera aislada

o relativamente de unas a otras. Se de�ne la funci�on de distribuci�on conjunta

de dos variables como

FX1;X2(x1; x2) = P ([X1 � x1]

\[X2 � x2]) (A:19)

y de manera an�aloga para m�as de dos variables. De acuerdo a lo dicho anteri-

ormente, se cumplen las siguientes relaciones:

Valor esperado y momentos 57

FX1;X2;:::Xn(1;1; :::) = 1;

FX1;X2;:::Xn(�1;�1; :::) = 0; (A:20)

FX1;X2;:::Xn(1;1; xj ;1; :::) = FXj

;8jEsta �ultima ecuaci�on indica que la distribuci�on de una variable cualquiera

( o distribuci�on marginal) puede obtenerse a partir de la distribuci�on conjunta

haciendo tender a in�nito las variables restantes. Por su parte, la funci�on de

densidad conjunta de m�ultiples variables se calcula derivando parcialmente la

funci�on de distribuci�on con respecto a las variables de inter�es. Por ejemplo,

para el caso de dos variables,

fX1;X2(x1; x2) =

@FX1;X2

@x1@x2

(A:21)

La relaci�on inversa a la anterior es, por tanto,

FX1;X2(x1 ; x2) =

Zx1

�1

Zx2

�1fU1;U2

(u1; u2)du1du2 (A:22)

Teniendo en cuenta la primera de las relaciones asint�oticas de la funci�on de

distribuci�on conjunta, se demuestra f�acilmente que la densidad de una vari-

able cualquiera ( o densidad marginal) puede obtenerse a partir de la densidad

conjunta integrando sobre las variables restantes:

fX1(x1) =

Z1

�1fX1;X2

(x1 ; x2)dx2 (A:23)

De acuerdo a la de�nici�on de probabilidad condicional dada m�as arriba,

para el caso de dos variables X e Y se puede de�nir una funci�on de densidad

condicional de probabilidad dada por

fXjY (xjy) =fX;Y (x; y)

fY (y)(A:24)

a partir de la cual la condici�on de independencia de las dos variables es

fXjY (xjy) = fX (x) (A:25)

�o

fX;Y (x; y) = fX (x)fY (y) (A:26)


A.5 Valor esperado y momentos

A pesar de que las funciones mencionadas en los apartados anteriores de-

scriben completamente la distribuci�on de la probabilidad de una o muchas vari-

ables aleatorias sobre sus valores posibles, en la mayor��a de los casos resulta

conveniente cali�car el comportamiento de las mismas con unos pocos ��ndices

que describen los rasgos generales de la distribuci�on.

Se de�ne el valor esperado o esperanza matem�atica de una funci�on g(X) de

la variable aleatoria X a la expresi�on

E[g(X)] =Xi

g(xi)pX (xi) (A:27)

si X es discreta y

E[g(X)] =Z1

�1g(x)fX (x)dx (A:28)

siX es continua . En estas de�niciones se ha asumido que tanto el sumatorio

como la integral impropia convergen absolutamente.

De acuerdo con esta de�nici�on, el valor esperado de una funci�on se calcula

como el promedio ponderado de la funci�on, seg�un los pesos dados por la funci�on

de densidad o de masa de probabilidad. Para el caso espec��co en que la funci�on

g(X) es igual a la potencia n��esima de la variable, el valor esperado se denomina

momento n��esimo de X:

�X;n = E[Xn] =Xi

xn

i pX(xi) (A:29)

�X;n = E[Xn] =Z1

�1xnfX (x)dx (A:30)

Un momento de m�axima importancia es el de orden n = 1, �X;1 (denotado

simplemente como mX �o E(X)), que corresponde al caso en el que la funci�on

g(X) es la variable aleatoria misma, y se conoce con el nombre de media o valormedio esperado.

Los momentos centrales est�an dados por

�X;n = E[(X �mX)n] =Xi

(xi �mx)npX(xi) (A:31)

�X;n = E[(X �mX )n] =

Z1

�1(x �mx)

nfX (x)dx (A:32)

Funci�on caracter��stica 59

El momento central de orden dos �X;2, que se denota usualmente como

Var(X), se denomina varianza de la variable aleatoria, y constituye una medida

de la dispersi�on o concentraci�on de la funci�on de densidad o de masa alrededor

de la media. Otras medidas de dispersi�on son la desviaci�on est�andar, �X , que

es la ra��z cuadrada positiva de la varianza, y el coe�ciente de variaci�on, dado

por

�X =�X

mX

(A:33)

La asimetr��a de la distribuci�on es cali�cada por el coe�ciente de sesgamiento

X;1 =�X;3

�3

X

(A:34)

que es positivo cuando la funci�on de densidad es sesgada hacia la derecha, y

negativo en caso contrario. Finalmente, el coe�ciente de curtosis cali�ca lo

plana que sea la densidad:

X;2 =�X;4

�4

X

(A:35)

Un valor de X;2 menor que 3 implica una distribuci�on un tanto plana, mientras

que en el caso contrario la funci�on de densidad tiene una forma esbelta y aguda.

A.6 Funci�on caracter��stica

Una forma alternativa de de�nir la distribuci�on de probabilidad de una vari-

able aleatoria es mediante la funci�on caracter��sitica dada por la transformada

de Fourier de la funci�on de densidad de probabilidad:

�X (t) =

Z1

�1eixtfX (x)dx (A:36)

donde i2 = �1 y t es una variable real arbitraria. Se observa que

�X (0) = 1

�X (�t) = ��X(t) (A:37)

j�X (t)j � 1

La importancia de la funci�on caracter��stica reside en que, como puede de-

mostrarse f�acilmente, permite generar los momentos de todo orden:


�X;j = i�j�(j)X

(0) (A:38)

donde �(j)X

(t) es la derivada n��esima de �X (t). Igualmente, los momentos

est�an relacionados con los llamados acumulantes, de�nidos por

�(j)X

= i�jdj

dtn�(j)X(t)jt=0 (A:39)

En los �ordenes inferiores, los acumulantes se relacionan directamente con los

primeros momentos. As��, el primero es igual a la media, el segundo a la varianza

y el tercero al tercer momento central. Para �ordenes superiores al tercero las

relaciones entre acumulantes y momentos son m�as complejas.

Adem�as de las posibilidades descritas, el conocimiento de la funci�on car-

acter��stica permite, para el caso de funciones continuas, calcular la funci�on de

densidad por medio de la transformada inversa de Fourier:

fX (x) =1

2�

Z1

�1e�ixt�X (x)dx (A:40)

En el caso de distribuciones de dos variables, la funci�on caracter��stica con-junta se de�ne por

�XY (t) = E[ei(xt+ys)] =

Z1

�1

Z1

�1ei(xt+ys)

fXY (x; y)dxdy (A:41)

donde el signi�cado de i y t; s es igual al descrito anteriormente. Tambi�en en

este caso se cumplen las relaciones

�XY (0; 0) = 1

�X(�t;�s) = ��XY

(t; s) (A:42)

j�XY (t; s)j � 1

Modelos probabilistas 61

A.7 Modelos probabilistas

Emp��ricamente, la distribuci�on de probabilidades puede calcularse a partir

de la distribuci�on de frecuencias, utilizando la de�nici�on de probabilidad dada

por la ecuaci�on (A.3.1). Para efectos anal��ticos, no obstante, resulta preferible

ajustar los datos a una funci�on de masa o de probabilidad conocida, la cual cor-

responde a un modelo determinado sobre la naturaleza de la variable aleatoria

bajo an�alisis, o calcular te�oricamente el modelo correspondiente a una variable

previamente a su obtenci�on emp��rica. A continuaci�on describiremos brevemente

algunos de los modelos m�as usuales en forma secuencial, de manera que resalte

su encadenamiento y relaciones mutuas.

1. Modelo binomial o de Bernoulli. Sea p la probabilidad de obtener

un �exito en un experimento determinado; por lo tanto, 1�p ser�a la probabilidadde fracaso. Si el experimento se repite n veces, de manera tal que los resultados

son independientes entre s�� y p se mantiene constante, el n�umero aleatorio de

�exitos X tendr�a por funci�on de masa de probabilidad

pX(x) = (nx)px(1� p)n�x (A:43)

La media y la varianza de X vendr�an dadas por

mX = np (A:44)

�2

X= np(1� p) (A:45)

2. Modelo de Poisson. Si en el modelo anterior se aumenta hasta el

in�nito el n�umero n de intentos pero se mantiene constante el valor esperado

de �exitos � = pn, la funci�on de masa de probabilidad tiende asint�oticamente a

pX (x) =�xe��

x!(A:46)

Al calcular el valor medio esperado se obtiene el valor �. La desviaci�on est�andar

tambien resulta igual a �este valor.

mX = � (A:47)

�2

X = �2

(A:48)

Una modi�caci�on usual de este modelo consiste en hacer constante la tasa

de ocurrencia de los �exitos �, antes que el n�umero total de ellos, con el �n de

dejar libre la variable temporal. Haciendo entonces � = �t, se tiene


pX(x) =(�t)xe��t

x!(A:49)

Este modelo encuentra amplia aplicaci�on en la teor��a de procesos estoc�asticos.

3. Distribuci�on exponencial. Mientras que el modelo anterior es �util

para describir la ocurrencia de �exitos, el modelo exponencial, que se deduce de

�el, caracteriza el intervalo aleatorio X de tiempo transcurrido entre dos �exitos.

Su formulaci�on, as�� como la de los modelos restantes, se da en el campo continuo.

fX (x) = �e��t; t � 0 (A:50)

mX =1

�(A:51)

�2

X=

1

�2 (A:52)

4. Distribuci�on Gamma. Finalmente, dentro de la menci�on de modelos

�utiles para la estimaci�on probabil��stica de procesos temporales, mencionaremos

la distribuci�on del tiempo X necesario para alcanzar el k��esimo �exito, y que se

deduce igualmente del modelo de Poisson. Para el caso discreto,

fX (x) =�(�x)

k�1e��x

(k � 1)!(A:53)

En el caso continuo,

fX (x) =�(�x)

k�1e��x

�(k)(A:54)

donde �(:) es la funci�on gama, dada por

�(k) =

Z 10

e�uuk�1du (A:55)

En ambos casos, la media y la desviaci�on est�andar est�an dadas por

mX =k

�(A:56)

�2

X=

k

�2 (A:57)


Puede observarse que el modelo exponencial es un caso particular de la dis-

tribuci�on Gamma, con k = 1

5. Distribuci�on normal o de Gauss. La preponderancia de esta funci�on

se debe al hecho de que surge asint�oticamente y bajo ciertas condiciones rel-

ativamente d�ebiles, como la distribuci�on de una variable que es la suma de

m�ultiples variables aleatorias. Las condiciones mencionadas se re�eren justa-

mente a la relaci�on y distribuci�on de estos sumandos. Los detalles sobre este

tema, que corresponde al conocido teorema central l��mite pueden encontrarse en

cualquier libro general de teor��a de probabilidades. Para nuestro prop�osito nos

interesa destacar solamente que el origen aditivo de esta distribuci�on la hace

adecuada para modelar las variables y procesos estoc�asticos que surgen como

superposici�on de m�ultiples efectos aleatorios.

La funci�on de densidad normal es

fX (x) =1

�p2�

e�

(x�m)

2�2

(A:58)

donde m y � son la media y la desviaci�on est�andar, respectivamente, y son, por

tanto, los �unicos par�ametros necesarios para de�nirla. Una variable aleatoria

que se caracterice por esta funci�on se denota como N(m;�).

Esta funci�on puede obtenerse a partir del modelo binomial, haciendo np(1�p) > 1 por medio de la expresi�on asint�otica dada por el teorema de De Moivre- Laplace:

(nx)px(1� p)n�x � 1qnp(1� p)

p2�

e�

(x�np)

2np(1�p) (A:59)

lo cual indica que la distribuci�on de Bernoulli tiende a N(np;qnp(1� p))

La funci�on de distribuci�on normal se expresa como

FX (x) =1

�p2�

Z x

�1

e

�(x�m)

2�2

dx (A:60)

La lista siguiente re�une los modelos de densidad m�as usados comunmente

en diversas aplicaciones.

Binomial

pX (x) =

�n

x

�px(1 � p)n�x x = 1; 2; : : : n (A:61a)


E(X) = np (A:61b)

Var(X) = np(1� p) (A:61c)

Geom�etrica

pX (x) = p(1� p)x�1 x = 1; 2; : : : (A:62a)

E(X) = 1=p (A:62b)

Var(X) = (1� p)=p2 (A:62c)

Poisson

pX (x) =�x

x!e�� x = 1; 2; : : : (A:63a)

E(X) = vt; vt = � (A:63b)

Var(X) = vt (A:63c)

ExponencialfX (x) = �e��x x � 0 (A:64a)

E(X) = 1=� (A:64b)

Var(X) = 1=�2 (A:64c)

Gamma

fX (x) =�(�x)k�1e��x

�(k)x � 0 (A:65a)

E(X) = k=� (A:65b)

Var(X) = k=�2 (A:65c)

Normal (o Gaussiana)

fX (x) =1p

2��Xexp [�1

2(x �mX

�X

)2] �1 < x <1 (A:66a)

E(X) = mX (A:66b)


Var(X) = �2X (A:66c)

Lognormal

fX (x) =1p2��x

exp [�1

2(lnx � �

�)2] x � 0 (A:67a)

E(X) = exp (�+1

2�2) (A:67b)

Var(X) = E2(X)[e�2 � 1] (A:67c)

Rayleigh

fX (x) =x

�2exp [�1

2(x

�)2] x � 0 (A:68a)

E(X) =

r�

2� (A:68b)

Var(X) = (2 � �

2)�2 (A:68c)

Uniforme

fX (x) =1

b� aa < x < b (A:69a)

E(X) = (a+ b)=2 (A:69b)

Var(X) =1

12(b � a)2 (A:69c)

Triangular

fX (x) =2

b� a(x � a

u� a) a � x � u (A:70a)

fX (x) =2

b� a(b � x

b � u) u � x � b (A:70b)

E(X) =1

3(a + b+ u) (A:70c)


Var(X) =1

18(a2 + b

2 + u2 � ab� au� bu) (A:70d)

Beta

fX (x) =1

B(q; r)

(x � a)q�1(b � x)r�1

(b � a)q+r�1a � x � b (A:71a)

E(X) = a+q

q + r(b� a) (A:71b)

Var(X) =qr

(q + r)2(q + r + 1)(b � a)2 (A:71c)

Gumbel (Tipo I-m�aximos)

fX (x) = �e��(x�u) exp [�e��(x�u)] �1 < x <1 (A:72a)

E(X) = u+0:577

�(A:72b)

Var(X) =�2

6�2(A:72c)

Fr�ech�et (Tipo II-m�aximos)

fX (x) =k

u(u

k)k+1e(u=k)

kx � 0 (A:73a)

E(X) = u�(1� 1

k) (A:73b)

Var(X) = u2[�(1� 2

k)� �2(1� 1

k)] (A:73c)

Weibull (Tipo III-m��nimos)

fX (x) =k

! � "(x � "

! � ")k�1 exp [�(x� "

! � ")k] x > " (A:74a)

E(X) = "+ (! � ")�(1 +1

k) (A:74b)

Var(X) = (! � ")2[�(1 +2

k) � �2(1 +

1

k)] (A:74c)

Generaci�on de variables aleatorias 67

A.8 Generaci�on de variables aleatorias

La generaci�on de variables aleatorias ocupa un lugar importante en las apli-

caciones modernas de la teor��a de probabilidades en aquellas situaciones en que

se requiera conocer el comportamiento estoc�astico de un sistema por medio de

simulaci�on intensa por computador. El objetivo de la generaci�on es obtener una

muestra sint�etica (es decir, arti�cial) de valores de una variable cuya funci�on

de densidad emp��rica se ajuste lo m�as �elmente posible a la dada como modelo

probabilista de ella. La �gura A.1 muestra el concepto b�asico de generaci�on

de valores aleatorios por el llamado m�etodo de inversi�on, el cual abarca los

siguientes pasos:

Figura A.1 Generaci�on de valores aleatorios por el m�etodo de inversi�on

1. Generar un n�umero con distribuci�on uniforme entre 0 y 1, el cual repre-

senta as�i un valor de la funci�on de distribuci�on de la variable FX (x) = u.

2. Calcular la funci�on inversa de la distribuci�on, lo que da como resultado

el valor buscado,

x = F�1X

(u) (A:75)

Evidentemente, la forma de la funci�on de distribuci�on hace que sea m�as

probable obtener valores en la zonas de fuerte pendiente, que corresponden a


Figura A.2 Combinaci�on de valores aleatorios de dos variables

Figura A.3 M�etodos de combinaci�on �optima de valores aleatorios

Generaci�on de variables aleatorias 69

los picos de la funci�on de densidad, que en las zonas extremas correspondientes

a valores poco frecuentes.

Esta idea de generar polaciones aleatorias arti�ciales es la base del llamado

m�etodo de Monte Carlo, el cual consiste en generar una muestra sint�etica de

respuestas de un sistema cualquiera a partir de una poblaci�on semejante de

datos del mismo. Estos �ultimos pueden ser obtenidos de la manera indicada,

combinando las muestras correspondientes a cada dato aleatorio, tal como in-

dica la �gura A.2. Estas combinaciones pueden ser dadas como insumo a un

algoritmo determinista en forma secuencial o paralela, con el �n de obtener la

poblaci�on arti�cial de respuestas cuyo estudio estad��stico se pretende realizar.

Sin embargo, puede verse en la �gura A.2 que la combinaci�on de valores all�� rep-

resentada es s�olo una de las muchas posibles. Se han propuesto varios m�etodos

que buscan generar una muestra �optima, en el sentido de que sea m��nimo el

n�umero de combinaciones posibles entre los valores aleatorios sin perjucio de la

distribuci�on de probabilidad de cada una de las variables. Algunos de ellos son

el muestreo estrati�cado (Press et al. 1992), el hipercubo latino (Florian 1992),

el muestreo descriptivo (Ziha 1995), etc. Los dos �ultimos, en particular, divi-

den el rango de las variables en zonas y realizan una selecci�on aleatoria de las

combinaciones posibles entre ellos de tal manera que no se muestree dos veces

en una misma zona (�gura A.3). Con esto se logra la m�axima econom��a en el

n�umero de an�alisis deterministas del sistema (cf. Hurtado and Barbat, 1998)

Anexo B

Procesos estoc�asticos

B.1 De�nici�on

El t�ermino proceso estoc�astico hace referencia a una variable aleatoria es-

calar o vectorial que evoluciona en el tiempo. Esto quiere decir que el valor

de una funci�on x(t) en cualquier instante t es imprecedicble con certeza y, por

tanto, es una variable aleatoria X(t) que s�olo puede ser tratada de manera prob-

abilista. De acuerdo con esta de�nici�on, la relaci�on existente entre la teor��a de

procesos estoc�asticos y la de variables aleatorias es paralela a la existente entre

la din�amica y la est�atica de estructuras.

La �gura B.1 muestra un acelerograma de un sismo. A diferencia de la visi�on

determinista corriente en din�amica estructural, que toma este registro como el

acelerograma verdadero, desde el punto de vista estoc�astico es s�olo cuesti�on de

azar que �esta y no otra historia de aceleraciones haya sido registrada y muchas

otras con una estructura probabilista de fondo semejante podr��an igualmente

haber ocurrido. Sin embargo, las respuestas estructurales ante cada realizaci�on

posible ser�an en cada caso diferentes, especialmente si el sistema es no lineal.

En consecuencia, tanto la excitaci�on como la respuesta deben ser consideradas

como procesos estoc�asticos.

La mencionada estructura probabilista de fondo es el objeto de estudio de la

teor��a de vibraciones aleatorias. Es decir, si los estados discretos de la variable

aleatoria vectorial X(t) son X1;X2;X3; : : : en los instantes t1 � t2 � t3; : : :,

la descripci�on de la variable debe hacerse por medio de medidas probabilistas

comunes para todas las realizaciones posibles x1;x

2;x

3; : : :. En dependencia de

la informaci�on disponible se pueden obtener una serie de medidas que conviene

distinguir jer�arquicamente. As��, la descripci�on probabilista m�as completa del

proceso es el conjunto de funciones de distribuci�on de probabilidad conjunta del

tipo

De�nici�on 71

0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40.

-50.

0.50

.10

0.15

0.

T iempo

Ace

lera

cion

Figure B.1 Registro de aceleraciones s��smicas (unidades: s, cm=s2)

F (x1; t1) = P [X1(t1) � x1]

F (x1; t1;x2; t2) = P [X1(t1) � x1 \X2(t2) � x2] (B:1)

F (x1; t1;x2; t2 : : :xm; tm) = P [X1(t1) � x1 \ : : :Xm(tm) � x

m]

Las correspondientes densidades de probabilidad se obtienen derivando para-

cialmente con respecto a todos los argumentos. Para un proceso escalar se

tiene

f(x1; t1;x

2; t2: : : x

m; tm) =

@m

F (x1 ; t1;x2; t2 : : : xm; tm)

@x1@x

2: : : @x

m

(B:2)

Una clase importante de procesos para los cuales la descripci�on (B.1) se

puede simpli�car en gran medida es la de procesos difusivos de Markov. Tales

procesos pueden ser especi�cados completamente por densidades condicionales

del tipo

f(x2 ; t2jx1; t1) (B:3)

que expresan la probabilidad de que el proceso pase por el estado x2 en el

instante t2dado que se hallaba en el estado x

1en el instante t

1. Esta noci�on

ha permitido el desarrollo de la teor��a de ecuaciones diferenciales estoc�asticas.

72 Procesos estoc�asticos

En muchos casos, sin embargo, a�un la determinaci�on de tales funciones de

probabilidad condicional resulta dif��cil y solamente es posible estimar algunos

momentos del vector de respuesta, dados por

�jkj(X; t) =

Zxk1

1xk2

2: : : x

kn

nf(x; t)dx (B:4)

donde k es un multi-��ndice que denota las potencias de las variables del vector

k = [k1; k2; : : :] (B:5)

y jkj es la suma de sus elementos,

jkj = k1 + k2 + : : : (B:6)

Dichos momentos constituyen, obviamente, una descripci�on probabilista del

proceso m�as pobre que las densidades. El grado m�as bajo de la jerarqu��a de

informaci�on ocurre cuando s�olo se dispone de los momentos probabilistas de

primero y segundo �ordenes (jkj = 1; 2). Empero, si el proceso es Gaussiano

(es decir, si las densidades marginales y conjuntas obedecen la ley normal), tal

descripci�on es equivalente a la densidad de probabilidad, debido a que la ley

Gaussiana puede ser especi�cada completamente por los dos primeros momen-

tos (Papoulis 1991). Si el proceso no es Gaussiano, la informaci�on de primer

y segundo orden es, de todas formas, relevante para la descripci�on aproximada

de caracter��sticas del proceso tales como m�aximos esperados, sobrepaso de um-

brales, etc.

B.2 Elementos de c�alculo estoc�astico

Como las realizaciones de un proceso estoc�astico son inciertas, las nociones

convencionales del c�alculo de Riemman, tales como l��mite, continuidad, diferen-

ciabilidad, etc., requieren un reformulaci�on en este contexto. Es decir, la incer-

tidumbre sobre la trayectoria temporal de la funci�on precisa la introducci�on de

de�niciones espec��cas de tales conceptos en forma probabilista. A continuaci�on

se presenta un resumen de tales nociones.

1. Norma de una variable aleatoria.

Se dice que una variable aleatoria X es de segundo orden si su varianza

E[X2] es �nita. Para tal situaci�on se de�ne su norma como

jjXjj = (E[X2])12 (B:7)

Elementos de c�alculo estoc�astico 73

Se puede demostrar que el valor esperado anterior cumple con las propiedades

de producto interno.

2. Distancia entre variables aleatorias.

La distancia entre las variables aleatorias X1 y X2 se de�ne como

d(X1 ;X2) = jjX1 �X2jj (B:8)

Se llama espacio L2 a uno provisto de producto interno, norma y distancia de

variables aleatorias. Para las nociones siguientes es importante la propiedad de

que en tal espacio hay un l��mite �unico para una secuencia Xn.

3. Convergencia en media cuadr�atica.

Se dice que la secuencia Xnde variables aleatorias converge en media cua-

dr�atica a la variable aleatoria X si

limn!1

jjXn�Xjj = m:s: lim

n!1Xn= 0 (B:9)

4. Continuidad en media cuadr�atica.

Un proceso estoc�astico es continuo en media cuadr�atica si la funci�on

RX(t; s) = E[X(t)X(s)] (B:10)

es continua en s = t. Esta funci�on se denomina funci�on de auto-correlaci�on y

cumple un importante rol en la teor��a y de procesos estoc�asticos.

5. Derivaci�on en media cuadr�atica.

La derivada en media cuadr�atica _X(t) de un proceso X(t) se de�ne como el

l��mite

m:s: lim�!0

X(t + � )�X(t)

�(B:11)

si �este existe. Para ello debe cumplirse que la derivada generalizada de la funci�on

de auto-correlaci�on, dada por

lim�;�!0

1

��[R

X(t+ �; s+ �) �R

X(t + �; s)�R

X(t; s + �) +R

X(t; s)] (B:12)


exista en (t; t) y sea �nita. Un resultado importante de la derivaci�on en media

cuadr�atica es que si un proceso estoc�astico es derivable en media cuadr�atica N

veces, se cumple que

EhdnX(t)

dtn

i=

dn

dtnE[X(t)] (B:13)

Igualmente, si X(n)

(t) denota la derivadadn

X(t)dtn , luego

R(n;m)

X(t; s) = E[X

(n)(t)X

(m)(s)] =

@n+m

RX(t; s)

@tn

@sm (B:14)

si las derivadas implicadas existen.

6. Integraci�on en media cuadr�atica

El concepto de integrales de Riemann o Riemann-Stieltjes en media cua-

dr�atica requiere de algunas de�niciones previas. Consid�erese una partici�on del

intervalo [t0; tN ] � T en N puntos. Es decir, los puntos tk; k = 0; 1; 2; : : : ;N

son tales que t0< t

1< t

2< : : : t

N. Sean

�N = max(tk� t

k�1) (B:15)

yX(t) un proceso estoc�astico con momentos de segundo orden �nitos y de�nidos

en [t0; tN ]. Finalmente, sea f(t; u) una funci�on determinista de�nida en el mismo

intervalo e integrable en sentido ordinario de Riemann para todo u 2 U . La

variable

YN(u) =

NXk=1

f(�k; u)X(�

k)(t

k� t

k�1) (B:16)

donde �kes un punto arbitrario en el intervalo [t

k�1; tk), es una variable aleatoria

dependiente de U de�nida para tal partici�on. Si para todo u 2 U y una secuencia

de subdivisiones [t0; tN ] existe el l��mite

m:s: limN!1�N!0

YN= Y (u) (B:17)

�este se denomina integral de Riemann en media cuadr�atica de f(t; u) en el

intervalo [t0; tN ] y se denota por

Procesos estacionarios 75

Y (u) =Z t

N

t0

f(t; u)X(t)dt (B:18)

La condici�on necesaria y su�ciente para la existencia de esta integral en media

cuadr�atica es que la integral ordinaria

Z tN

t0

Z tN

t0

f(t; u)f(s; u)RX(t; s)dtds (B:19)

exista y sea �nita.

Las integrales de Riemann-Stieltjes en media cuadr�atica se pueden plantear

de manera similar. Por ejemplo, la integral

I =

Z tN

t0

X(t)dF (t) (B:20)

en la que X(t) es un proceso estoc�astico y F (t) es una funci�on determinista

o estoc�astica no necesariamente continua, puede expresarse como el l��mite en

media cuadr�atica

I = m:s: limN!1�N!0

IN

(B:21)

donde

IN(u) =

NXk=1

X(�k)[F (t

k) � F (t

k�1)] (B:22)

Una condici�on su�ciente para la existencia de este l��mite es que F (t) var��e de

manera acotada, es decir,

NXk=1

jF (tk)� F (t

k�1)j < M (B:23)

dondeM is un valor �nito. Esta condici�on es violada por funciones estoc�asticas

tales como el proceso de Wiener (conocido en f��sica como movimiento Browni-

ano).


B.3 Procesos estacionarios

Una clase importante de procesos est�a formada por aquellos cuya estructura

probabilista no var��a en el tiempo. M�as claramente, un proceso estacionario en

sentido estricto se de�ne como aquel para el cual sus distribuciones probabilistas

(B.1) permanecen inalteradas para una traslaci�on arbitraria � del eje de tiempo,

o sea,

F (x1; x2 ; : : : xm ; t1; t2; : : : tm) = F (x1; x2 ; : : : xm ; t1+�; t2+�; : : : tm+� ) (B:24)

Haciendo � = �t1 se puede ver que las distribuciones no dependen de la posici�on

absoluta en el eje de tiempo sino del retraso temporal � solamente.

Para el caso espec��co de la distribuci�on de primer orden (m = 1) no hay

dependencia temporal en absoluto, por lo cual los momentos del proceso ser�an

constantes:

E[Xi

(t)] = const; i = 1; 2; : : : (B:25)

Por su parte, los momentos de segundo orden depender�an solamente de la difer-

encia � = t2 � t1 y en consecuencia

E[X(t1)X(t2)] = E[X(t)X(t + � )] = RX(� ) (B:26)

Por tanto, la funci�on de auto-covarianza, de�nida como

�X(t1; t2) = E[fX(t1)� �(t1)gfX(t2)� �(t2)g] (B:27)

donde �(ti) es la media del proceso en el tiempo t

i,

�(ti) = E[X(t

i)]; i = 1; 2 (B:28)

se reduce a

�X(t1; t2) = R

X(� )� �

2(B:29)

para � = t2� t

1.

La exigente condici�on, mencionada anteriormente, para considerar un pro-

ceso como estacionario en sentido estricto puede ser relajada para dar lugar a

los procesos estacionarios en sentido d�ebil. �Estos se de�nen por las condiciones

siguientes: (a) los momentos de primer y segundo �ordenes son constantes y (b)


la funci�on de auto-correlaci�on depende s�olamente del retraso temporal, como en

la ecuaci�on (B.26). Como los procesos estacionarios en sentido estricto cumplen

estas condiciones, puede decirse que la estacionaridad en sentido d�ebil no im-

plica la estacionaridad en sentido fuerte. La �unica excepci�on la constituyen los

procesos Gaussianos, por estar de�nidos completamente por los momentos de

los dos primeros �ordenes.

B.3.1 Auto-correlaci�on y de densidad espectral de potencia

Una clase importante de procesos estacionarios en sentido d�ebil es la de los

llamados procesos con incrementos ortogonales. Su de�nici�on matem�atica se

puede deducir a partir del examen del siguiente proceso:

X(t) = Z1ei!1t + Z2e

i!2t (B:30)

donde Z1y Z

2son variables aleatorias complejas de media nula, i2 = �1 y !

1,

!2 son constantes. La media del proceso es, evidentemente,

E[X(t)] = 0 (B:31)

debido a la naturaleza arm�onica de la funci�on exponencial compleja. La funci�on

de auto-correlaci�on es

E[X(t)XC(t + � )] = E[Z1Z

C

1]e�i!1� + E[Z1Z

C

2]ei[!1t�!2(t+� )]+

E[Z2ZC

1]ei[!2t�!1(t+� )] + E[Z

2ZC

2]e�i!2� (B:32)

Para que el proceso sea estacionario en sentido d�ebil se requiere que E[Z1ZC

2] =

E[Z2ZC

1] = 0, de manera que la funci�on de auto-correlaci�on no dependa del

tiempo t (de ah�� el nombre de ortogonal). Bajo estas condiciones la funci�on de

auto-correlaci�on se reduce a

E[X(t)XC(t+ � )] = E[jZ

1j2]e�i!1� + E[jZ

2j2]e�i!2� (B:33)

Generalizando, un proceso estacionario con auto-correlaci�on

RX(� ) = E[X(t)X

C(t + � )] =

nXk=1

E[ jZkj2]e�i!k� (B:34)

puede ser constru��do con la suma de arm�onicos


X(t) =nX

k=1

Zkei!kt (B:35)

bajo la condici�on de que E[ZjZC

k] = 0; j 6= k.

La versi�on continua de este proceso da origen a la llamada representaci�on

espectral de procesos estacionarios, la cual est�a dada por la integral estoc�astica

de Fourier-Stieltjes

X(t) =

Z 1�1

ei!tdZ(!) (B:36)

en la que Z(!) es un proceso estoc�astico complejo con incrementos ortogonales,

o sea,

E[dZ(!1)dZ(!2)C] = 0; !1 6= !2 (B:37)

y

E[jdZ(!)j2] = d�(!) (B:38)

donde �(!) es una funci�on aleatoria no necesariamente continua. La diferencia

entre esta representaci�on y la de una integral convencional de Fourier-Stieltjes

reside en que la funci�on Z(!) es tambi�en un proceso estoc�astico, lo cual im-

plica que es diferente para las diversas realizaciones del proceso X(t). Por

tanto, los diferenciales en integrales involucrados en esta representaci�on deben

ser entendidos en sentido estoc�astico (o sea, en media cuadr�atica), tal como se

explic�o anteriormente. Seg�un las anteriores derivaciones, la funci�on de auto -

correlaci�on de este proceso est�a dada por

RX(� ) =

Z 1

�1

E[jdZ(!)j2]e�i!t

Z 1

�1

e�i!td�(!) (B:39)

Si la funci�on �(!) es absolutamente continua su diferencial poder representarse

como

d�(!) = SX(!)d! (B:40)

y entonces la funci�on de auto - correlaci�on est�a dada por la siguiente transfor-

mada de Fourier :


RX(� ) =

Z 1�1

e�i!tSX(!)d! (B:41)

La funci�on SX(!), que puede ser obtenida por inversi�on de la expresi�on anterior

SX(!) =

1

2�

Z 1

�1

ei!tRX(� )d� (B:42)

se llama la densidad espectral de potencia del proceso. Estas relaciones de

Fourier se conocen con el nombre de f�ormulas de Wiener-Jinchin.

La densidad espectral es una funci�on real y no negativa que juega un papel

similar al que la transformada de Fourier hace en el an�alisis de se~nales deter-

ministas. De hecho, provee una descripci�on de la distribuci�on de la energ��a

esperada asociada a las varias frecuencias que est�an presentes en las realiza-

ciones del proceso. El nexo entre ambas funciones frecuenciales est�a dado por

la de�nici�on de la densidad espectral usada en la teor��a de se~nales

SX(!) = lim

s!1

E[j ~X(!)j2]

2�s(B:43)

Aqu�� ~X(!) indica la transformada de Fourier de las realizaciones de un proceso

estacionario X(t) de duraci�on s. Mediante una derivaci�on algo tediosa puede

mostrarse que esta ecuaci�on reduce a la anterior de�nici�on de la densidad es-

pectral (B.42). En la pr�actica cotidiana de proceso de se~nales, la densidad se

estimada por la aproximaci�on

SX(!) �

j ~X(!)j2

2�s(B:44)

que se conoce con el nombre de periodograma. La gran varianza inherente a

esta estimaci�on se suele reducir por medio de las llamadas ventanas espectrales

(Priestley 1981). Alternativamente, el espectro de potencia puede ser estimado

con base en el principio de m�axima entrop��a, que coincide con del modelo Auto

- Regresivo (AR) (Papoulis 1991).

N�otese que de las de�niciones de las funciones de auto-correlaci�on y espectral

de potencia se sigue que la varianza de un proceso con media nula est�a dada

por

�2= R

X(0) (B:45a)

as�� como por


�2=

Z 1

�1

SX(!)d! (B:45b)

Finalmente, debe anotarse que el uso de la densidad espectral unilateral de

potencia

GX(!) = 2S

X(!); ! > 0 (B:45c)

es convencional en aplicaciones de ingenier��a debido a la no-negatividad de las

frecuencias f��sicas.

B.3.2 Ruido blanco

Un importante proceso estoc�astico estacionario es el ruido blanco, W (t),

que puede de�nirse como un proceso que tiene una densidad espectral constante

sobre todo el eje de frecuencias, es decir,

SW(!) = const (B:46)

lo que signi�ca que a cada frecuencia se asocia una cantidad igual de energ��a

(lo que explica el t�ermino \blanco"). La funci�on de autocorrelaci�on se obtiene

por transformaci�on de Fourier, o sea

RW(� ) = 2�S

W�(� ) (B:47)

donde �(�) es la funci�on delta de Dirac. El signi�cado de esta ecuaci�on es

que cualquier valor del proceso se correlaciona �unicamente con s�� mismo. Si,

adem�as, el ruido es Gaussiano, �este es completamente independiente de los

valores pr�oximo o previo. Esta es, por supuesto, una situaci�on altamente ideal-

izada que es imposible encontrar en el mundo f��sico. No obstante, el proceso de

ruido blanco es muy �util en derivaciones te�oricas y el an�alisis pr�actico de vibra-

ciones aleatorias y sus realizaciones se pueden simular por medio del algoritmo

siguiente (Clough y Penzien 1993; Nigam y Narayanan 1994):

1. Generar un conjunto de n�umeros aleatorios con distribuci�on uniforme

fx1; x

2; : : : x

ng en el rango [0; 1].

2. Hacer la transformaci�on

yi=q�2 lnx

icos 2�x

i+1 (B:48)

yi+1 =

q�2 lnx

isin 2�x

i+1


3. Multiplicar todos los n�umeros yipor la intensidad del proceso 2�S

Wy

asignarlos a valores de tiempo igualmente espaciados a intervalos h.

Puede demostrarse que el proceso resultante tiende al un ruido blanco seg�un

h ! 0. La �gura B.2 muestra una realizaci�on de un ruido blanco de SW

= 1

obtenida de esta manera. La importancia de ruido blanco en la mec�anica yace

en el hecho que muchas cargas aleatorias (y, en general, muchos fen�omenos

naturales) pueden modelarse o bien como ruido blanco o bien como la respuesta

de �ltros lineales o no lineales a excitaci�on blanca. Este punto se tratar�a en el

cap��tulo siguiente en el caso espec��co de excitaci�on s��smica.

0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40.

-100

0.-5

00.

0.50

0.10

00.

1500

.

T iempo, s

Figura B.2 Realizaci�on de un ruido blanco

B.3.3 Ergodicidad

Una hip�otesis importante para la obtenci�on de los par�ametros estad��sticos

de un proceso estoc�astico estacionario a partir de sus realizaciones f��sicas es la de

ergodicidad, por que se establce una equivalencia entre los promedios obtenidos

en el espacio de muestreo y los calculados a partir de una realizaci�on �unica

sobre el eje temporal. Espec��camente, si x(t) es una realizaci�on del proceso


estoc�astico X(t), el promedio de tiempo de una funci�on determinista de esta

realizaci�on, g[x(t)] est�a dado por

< g[x(t)] >= limT!1

1

2T

Z T

�T

g[x(t)] dt (B:49)

Consiguientemente, un proceso estoc�astico se denomina erg�odico con respecto

al espacio de funciones G si, para cada g[x(t)] 2 G el promedio obtenido sobre

el eje de tiempo g[�] iguala el promedio de conjunto con probabilidad uno. Esto

es,

< g[X(t)] >= Ehg[X(t)]

i(B:50)

En la pr�actica, el mayor inter�es reside principalmente sobre la ergodicidad con

respecto a promedios comunes tales como la media, media cuadrad�atica y la auto

- correlaci�on. Las condiciones para la existencia de tales tipos de ergodicidad

se puede hallar en textos b�asicos sobre procesos aleatorios.

B.4 Procesos no estacionarios

Como se dijo anteriormente, un proceso aleatorio estacionario admite una

representaci�on espectral del tipo

X(t) =

Z 1�1

ei!tdZ(!) (B:51)

donde Z(!) es un proceso aleatorio con incrementos independientes que en gen-

eral debe ser representado en el campo complejo. Esta ecuaci�on indica que

cualquier proceso estacionario puede descomponerse en una suma in�nita de

arm�onicos de amplitudes aleatorias, que pueden ser relacionados estad��stica-

mente con su frecuencia respectiva mediante una funci�on aleatoria que tenga

una naturaleza espectral. Esta descomposici�on constituye, de hecho, el funda-

mento de la simulaci�on de procesos aleatorios continuos, como se mostrar�a en el

cap��tulo siguiente. En el caso de procesos no estacionarios, sin embargo, no es

posible representarlos como una suma de funciones seno y coseno porque estas

son completamente estacionarias. Como la representaci�on espectral es atractiva

tanto en sentido te�orico (para c�alculos anal��ticos) como pr�actico (para �nes de

simulaci�on) por el hecho de que el espectro del proceso est�a impl��cito en su

de�nici�on, algunos autores han propuesto modelos no estacionarios basados en

la representaci�on espectral. La propuesta m�as divulgada es la debida a Priestley

(1981). Debido a que la trasformada de Fourier de una funci�on seno o coseno

Procesos no estacionarios 83

es un pulso de Dirac ubicado en la frecuencia respectiva, mientras el de un

arm�onico amortiguado exponencialmente es una funci�on Gaussiana centrada a

su alrededor, Priestley propuso interpretar esto �ultimo como la trasformada de

Fourier de una onda con amplitud evolutiva y, consiguientemente, desarroll�o la

teor��a de funciones oscilatorias y de espectro evolutivo. La teor��a generaliza el

concepto de frecuencia y permite la conservaci�on del signi�cado de densidad

espectral en el caso de procesos no estacionarios. En este trabajo, sin embargo,

s�olo es posible resumir brevemente la noci�on de espectro evolutivo, el cual est�a

dado por

SX(!; t) = j�(!; t)j

2SY(!) (B:52)

donde SY(!) es la densidad espectral de potencia de un proceso asociado Y (t)

y �(!; t) es una funci�on oscilatoria suave (en general, compleja) que controla

la evoluci�on del proceso tanto en amplitud como en frecuencia. Esta ecuaci�on

es la base de la representaci�on espectral de procesos no estacionarios propuesta

por Priestley

X(t) =

Z 1�1

�(!; t)ei!tdZ(!) (B:53)

que es posible si se cumplen algunas condiciones impuestas sobre �(!; t). Una

simpli�caci�on ampliamente usada de este modelo es el de modulaci�on uniforme,

en que la funci�on de modulaci�on es real e independiente de la frecuencia, es

decir,

�(!; t) � �(t) (B:54)

por lo cual controla �unicamente la amplitud del proceso. La densidad espectral

evolutiva se reduce a

SX(!; t) = �(t)

2SY(!) (B:55)

Otro enfoque para la descripci�on espectral de procesos no estacionarios se

debe a Bendat y Piersol (1971) quienes proponen describir el proceso por medio

de la funci�on local de auto - correlaci�on

RX(t; � ) = E

hX

�t �

�

2

�X

�t+

�

2

�i(B:56)

Una densidad espectral de potencia dependiente del tiempo puede derivarse

como la transformada de Fourier


SX(!; t) =

1

2�

Z 1

�1

ei!tRX(t; � )d� (B:57)

Se ha observado, sin embargo, que en el anterior modelo no siempre se respeta la

no negatividad que por de�nici�on debe tener el espectro de potencia (Priestley

1981).

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monografías de ingeniería sísmica

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