UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL

EUDED

Tema : Números Irracionales y Reales

Curso : Matemática I

Profesora : Jorge Franco Medina

Alumnos : Cansaya Quispe, María Rodriguez Juarez, María Rosario Suclupe Ramirez Mauro Huamán Torre, Karem Shirley Prado Atencio, Verónica Carrera : Administración

Ciclo : I

Lima, junio de 2012

Introducción

El presente trabajo tiene como objetivo dar a conocer los

conceptos básicos y mostrar algunos ejemplos referente a los

números irracionales y reales; conocer sus conceptos y aplicar los

ejemplos hacen que nuestros conocimientos se amplíen más; para

ello hemos investigado y hecho uso de textos, boletines y del

internet.

Aspectos teóricos

NÚMEROS IRRACIONALES

Datos Históricos:

  La introducción de los distintos sistemas de números no ha sido

secuencial. Así en el siglo VII a.C, los griegos descubrieron las magnitudes

irracionales, es decir números que no pueden ser expresados a través de

una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la

diagonal y el lado de un cuadrado, estando, también, familiarizados con la

extracción de las raíces cuadradas y cúbicas, pero sin embargo, no conocían

los números negativos y  el cero, ni tampoco tenían un sistema de símbolos

literales bien desarrollado.

    El predominio en esta época de la Geometría fue la causa de que la

Aritmética y el Álgebra no se desarrollara independientemente. Por ejemplo,

los elementos que intervienen en los cálculos se representaban

geométricamente y las magnitudes irracionales las tomaban como

segmentos de recta. Así una ecuación que hoy en día representamos por:

                    X2 + a X = b2

para ellos significaba hallar un segmento X tal que si al cuadrado construido

sobre él, se le suma un rectángulo construido sobre ese mismo segmento y

sobre un segmento dado "a", se obtuviese un rectángulo de área

coincidente con la de un cuadrado de lado "b" conocido.

   Es en China, hacia los siglos II y I a.C, donde por primera vez se hace uso

de coeficientes negativos y se dan reglas para operar con ellos, pudiendo

resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado, buscando sólo las

soluciones positivas. También conocían técnicas rudimentarias para la

resolución de las ecuaciones de tercer grado.

    Cuando la matemática Griega comenzó a declinar, Diofanto abandonó la

representación geométrica de los números y empezó a desarrollar las reglas

del álgebra y aritmética, utilizando un literal, por ejemplo, para representar

las incógnitas de una ecuación. En esta etapa, Europa se estanca

científicamente y el desarrollo matemático se desplaza hacia la India, Asía

Central y los países árabes, inpulsándose sobre todo la Astronomía.

    Fueron los indios, entre los siglos V- XV,  los que inventaron el sistema de

numeración actual, introdujeron los números negativos y comenzaron a

operar con los números irracionales de forma semejante que con los

racionales sin representarlos geométricamente. Utilizaban símbolos

especiales para las operaciones algebraicas, como la radicación.

encontraron métodos para resolver ecuaciones, y descubrieron la fórmula

del binomio de Newton (en forma verbal).

    Durante el periodo renacentista, entre los siglos XVI y XVIII, los europeos

toman contacto con las ideas griegas a través de traducciones árabes

reemplazándolas, paulatinamente, por los métodos indios.

    A principios del siglo XVI, los italianos Tartaglia y Ferrari, lograron

resolver por radicales, de forma general, las ecuaciones de tercer y cuarto

grado, viéndose involucrados en el uso de los números imposibles

(imaginarios), aunque sin fundamento lógico. La notación algebraica se

perfecciona gracias a Viéte y Descartes, difiriendo poco de la actual.

    A mediados del siglo XVII en Gran Bretaña, Neper inventa los logaritmos y

Briggs elabora las primeras tablas de logaritmos decimales. A partir de esta

época el nacimiento del análisis hizo que se despreciase un poco el álgebra

debido al interés sobre los estudios de magnitudes variables.

    Para terminar, es importante resaltar que el conocimiento de los números

por parte de los Griegos no fue superado hasta veinticuatro siglos más

tarde. Los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano

fueron los que culminaron la obra, que duro medio siglo de investigaciones,

sobre los números naturales, enteroros, racionales e irracionales, que

considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los

números reales.

    Los conceptos de intervalo y entornos asociados a los números reales, así

como una operación denominada paso al límite, consolidó y otorgó rigor al

conjunto de conceptos y métodos que constituyen la rama de las

matemáticas conocida como Cálculo diferencial.

Concepto de Números Irracionales.

Es aquella cantidad que no es posible expresarla como la división de dos números enteros, se caracteriza por tener parte decimal no periódica con infinitas cifras decimales, se representan de la siguiente manera: I =Q’

Ejemplos de Números irracionales.

Pi es un número irracional famoso. Se han

calculado más de un millón de cifras

decimales y sigue sin repetirse. Los primeros

son estos:

3.1415926535897932384626433832795 (y

sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro

número irracional famoso. Se han calculado

muchas cifras decimales de e sin encontrar

ningún patrón. Los primeros decimales son:

2.7182818284590452353602874713527 (y

sigue...)

La razón de oro es un número irracional. Sus

primeros dígitos son:

1.61803398874989484820... (y más...)

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son

irracionales. Ejemplos:

√31.732050807568877293527446341505

9 (etc)

√999.949874371066199547344798210012

1 (etc)

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las

raíces son irracionales.

NÚMEROS REALES

Datos Históricos:

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes

alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de

matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad

de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por

matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China

poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a

finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las

ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se

utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que

finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en

1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números

reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica

matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números

reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías

distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos,

cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de

Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos

matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la

historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances

previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos

como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy

y Weierstrass.

Concepto de Números Reales

Es el conjunto formado por los números racionales y los números irracionales, se designa por R.

Todos los números reales pueden ser representados en la recta numérica.

A cada punto de la Recta numérica le corresponde un número real o

viceversa; es decir, existe una correspondencia uno a uno entre los puntos

de la recta numérica y los números reales.

Cuadro Ilustrativo:

Importante:

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, razón por la cual existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.

2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie; es decir, no existe la operación de dividir entre nada.

En otras palabras, no son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y radicando negativo.

Infinito no es un número real

Infinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina.

Recuerde, además, que cualquier fracción con numerador cero, tiene como resultado final, el cero (cero dividido cualquier cosa es igual a cero)

Propiedades de los Números Reales

Suma de números Reales

1.Interna:

El resultado de sumar dos números reales es otro

número real .

a + b

+

2.Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el

resultado.

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3.Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

4.Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo

número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

+ 0 =

5.Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos

como resultado el cero.

e − e = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al

mismo número.

−(− ) =

Diferencia de números reales

La diferencia de dos números reales se define como la

suma del minuendo más el opuesto del sustraendo .

a − b = a + (−b)

Producto de números reales

La regla de los signos del producto de los números

enteros y racionales se sigue manteniendo con los

números reales.

1.Interna:

El resultado de mult ipl icar dos números reales es

otro número real.

a · b

2.Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el

resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera,

se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

(e · ) · = e · ( · )

3.Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

4. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la mult ipl icación ,

porque todo número mult ipl icado por él da el mismo

número.

a ·1 = a

· 1 =

5. Elemento inverso:

Un número es inverso del otro si al mult ipl icarlos

obtenemos como resultado el elemento unidad.

6.Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a

la suma de los productos de dicho número por cada uno

de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

· (e + ) = · e + ·

7.Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distr ibutiva.

Si varios sumandos t ienen un factor común,

podemos transformar la suma en producto extrayendo

dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

· e + · = · (e + )

División de números reales

La división de dos números reales se define como el

producto del dividendo por el inverso del divisor.

Ejemplos de Números Reales:

Calcula los valores de las siguientes potencias:

Conclusiones

En el presente trabajo se ha concluido la importancia de

conocer las propiedades y el uso de operaciones factibles en los

números irracionales y reales asi como también la representación en

la recta real y ampliar el concepto de los conjuntos numéricos que

nos servirán en la resolución de diferentes ejercicios.

Bibliografía

1.- Asociación educativa TRILCE : Tomo II Aritmética

Edición : 2008

2.- Manual Académico CESAR VALLEJO: Tomo I

Lumbreras editores- 2000

3.- Rojas Puemape Alfonso.

Razonamiento Algebraico

4.- Internet

http://www.monografias.com/trabajos15/numeros-irracionales/

numeros-irracionales.shtml