mouvement plan

STI CINEMATIQUE M 2-2

Mécanique Mouvement plan 1 / 5

F. Godard M 2-2 Cinématique - Mouvement plan.doc

Objectifs de la séquence :

• Résoudre graphiquement un problème de cinématique pour un mouvement plan

à savoir : Equiprojectivité

CIR

Champs des vecteurs vitesses

1. RAPPEL DES PRINCIPAUX TYPES DE MOUVEMENTS PLANS

Définition : MOUVEMENT PLAN Un solide est en mouvement plan lorsque tous les points de celui-ci se déplacent dans des plans parallèles à un plan de référence. Une translation (plane) et une rotation d’axe sont des mouvements plans particuliers. Remarque : Un mouvement plan général peut être considéré comme :

L’addition d’une translation et d’une rotation autour d’un point du plan appelé Centre Instantané de Rotation. (CIR)

O

1

x

y

C

B A 2

3

0 0

ω1/0

R0



2. VECTEUR POSITION, VECTEUR VITESSE.

2.1. VECTEUR POSITION : →

OM R0 = (O,x0 , y0 ) est un repère lié au solide de référence S0 .

Le vecteur position →

OM définit la position, à l’instant t, du point M dans son mouvement par rapport à R0.

2.2. VECTEUR DEPLACEMENT : →

21MM Considérons 1M est la position du point M à l’instant 1t .

Considérons 2M est la position du point M à l’instant.

Le vecteur →

21MM définit le déplacement du point M entre les instants 1t et 2t .

On a : →

21MM = …………………………………… … …

La durée du mouvement est : ……………………… … … …

2.3. VECTEUR VITESSE : →

MV

Vitesse moyenne :

si →

'MM est le vecteur déplacement pendant la durée du mouvement ∆t = t’-t, on définit la vitesse moyenne comme étant :

t

MMVmoy ∆

=→

→ '

Vitesse instantanée: Si maintenant, on fait tendre t’ vers t (∆t vers 0 et M’ vers M), alors la vitesse moyenne tend vers la vitesse instantanée.

Le vecteur vitesse ainsi obtenu est toujours tangen t à la trajectoire du point M. Astuce : dans le cas d’une rotation, il perpendiculaire au rayon.

L’unité de la vitesse est : ……………………

∆=

→

→∆

→

t

MMV tM

'lim 0



2.4. MOUVEMENT PARTICULIER : ROTATION D’UN SOLIDE A UTOUR D’UN POINT. Soit un solide en mouvement de rotation de centre O. Considérons un point A appartenant à ce solide. La trajectoire de ce point est un cercle de centre A et de rayon R = OA La vitesse de rotation peut être définie par : - la vitesse angulaire ……………………………………………..

- la « fréquence » de rotation : ………………….……………….

La relation entre la vitesse angulaire et la vitesse de rotation (fréquence de rotation ) est : La détermination du vecteur vitesse se fait par : - le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire :

- la norme du vecteur vitesse est déterminée par : Exercice :

Le solide tourne à une vitesse de 150 tr/min. Déterminer la vitesse du point A en sachant que OA = 22 mm

3. PROPRIETES DU CHAMPS DES VECTEURS VITESSES:

– Les modules des vecteurs vitesses aux points A,B,...,M sont proportionnels à la distance du centre de rotation O au point considéré:

O

A

B

B'

S1

M

Champ des vecteurs vitesses

– Les vecteurs situés sur une même trajectoire ont donc même module. – Champ des vecteurs vitesses: On peut à partir d'un vecteur vitesse connu déterminer

graphiquement tout les vecteurs vitesses d'un solide.

→ → →

= = =

V V VA

OA

B

OB

M

OM

1 0 1 0 1 0/ / /K



4. POINTS COINCIDENTS

Si nous observons ce système bielle-manivelle, nous observons que le point A a une trajectoire horizontale par rapport au repère fixe 0. Le point A appartient à la fois au piston 1 et à la bielle 2 ; c’est le centre de la liaison pivot entre 1 et 2.

Nous dirons que le point A est un point coïncident �� 02/1, =AV

5. EQUIPROJECTIVITE

La propriété d’équiprojectivité est l’une des propriétés les plus importantes de la cinématique du solide. Abordée à l’occasion des mouvements plan, elle est également vérifiée pour des mouvements quelconques de solides dans l’espace.

A

H B

K

£V A

£V B

Autrement dit la projection orthogonale de 0/2,AV est égale à la projection orthogonale de 0/2,BV :

concrètement : AH = BK Ordre de Construction : - TRACER la droite (AB),

- PROJETER orthogonalement 0/2,AV sur la (AB),

- MESURER [AH], - REPORTER le point K tel que [AH]=[BK], - TRACER la droite ⊥ (AB) passant par K,

- l’intersection de cette droite avec 0/2,BV∆ vous donne 0/2,BV .

Soit A et B deux points d’un solide en mouvement plan quelconque.

En traduisant que la distance [AB] est constante, nous obtenons la relation :

ABVABV BA .. 0/2,0/2, =



5. CENTRE INSTANTANE DE ROTATION : CIR

Pour tout solide en mouvement plan, il existe un point I et un seul, ayant une vitesse nulle à l’instant t

considéré et appelé : centre instantané de rotation ou CIR.

A

B

C

£VAI

£VB

£VC

£VI=£0

Centre instantané de rotation

En tant que centre de rotation, le CIR est situé à :

l’intersection des perpendiculaires aux vecteurs-vitesses du solide.

Exemple d’application :

En connaissant r

VA1 0/ et la direction de r

VB1 0/ déterminer en vous servant de la méthode du CIR, et de

l’équiprojectivité la vitesse r

VB1 0/ .

Méthode du CIR (champs des vecteurs vitesses) Méthode de l’équiprojectivité

B

A

r

VA1 0/

B

A

r

VA1 0/

mouvement plan

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