movimento circular
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Movimento CircularTRANSCRIPT
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Aulas de movimento Circular. Prof. Dr. Irval C. De Faria 1
Movimento Circular
Grandezas Angulares
As grandezas até agora utilizadas de deslocamento/espaço (s, h, x, y), de velocidade (v)
e de aceleração (a), eram úteis quando o objetivo era descrever movimentos lineares,
mas na análise de movimentos circulares, devemos introduzir novas grandezas, que são
chamadas grandezas angulares, medidas sempre em radianos. São elas:
deslocamento/espaço angular: φ (phi)
velocidade angular: ω (ômega)
aceleração angular: α (alpha)
Da definição de radiano temos:
Desta definição é possível obter a relação:
E também é possível saber que o arco correspondente a 1rad é o ângulo formado quando seu
arco S tem o mesmo comprimento do raio R.
Espaço Angular (φ)
Chama-se espaço angular o espaço do arco
formado, quando um móvel encontra-se a uma
abertura de ângulo φ qualquer em relação ao
ponto denominado origem.
E é calculado por:
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Deslocamento angular (Δφ)
Assim como para o deslocamento linear, temos um deslocamento angular se
calcularmos a diferença entre a posição angular final e a posição angular inicial:
Sendo:
No sentido anti-horário o deslocamento angular é positivo.
No sentido horário o deslocamento angular é negativo.
Velocidade Angular (ω)
Análogo à velocidade linear, podemos definir a velocidade angular média, como a razão
entre o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento:
Sua unidade no Sistema Internacional é: rad/s
Sendo também encontradas: rpm, rev/min, rev/s.
Também é possível definir a velocidade angular instantânea como o limite da
velocidade angular média quando o intervalo de tempo tender a zero:
Aceleração Angular (α)
Seguindo a mesma analogia utilizada para a velocidade angular, definimos aceleração
angular média como:
Algumas relações importantes
Através da definição de radiano dada anteriormente temos que:
mas se isolarmos S:
derivando esta igualdade em ambos os lados em função do tempo obteremos:
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mas a derivada da Posição em função do tempo é igual a velocidade linear e a derivada
da Posição Angular em função do tempo é igual a velocidade angular, logo:
onde podemos novamente derivar a igualdade em função do tempo e obteremos:
mas a derivada da velocidade linear em função do tempo é igual a aceleração linear, que
no movimento circular é tangente à trajetória, e a derivada da velocidade angular em
função do tempo é igual a aceleração angular, então:
Então:
Linear
Angular
S = φR
v = ωR
a = αR
Período e Frequência
Período (T) é o intervalo de tempo mínimo para que um fenômeno ciclico se repita.
Sua unidade é a unidade de tempo (segundo, minuto, hora...)
Frequência(f) é o número de vezes que um fenômeno ocorre em certa unidade de tempo.
Sua unidade mais comum é Hertz (1Hz=1/s) sendo também encontradas kHz, MHz e
rpm. No movimento circular a frequência equivale ao número de rotações por segundo
sendo equivalente a velocidade angular.
Para converter rotações por segundo para rad/s:
sabendo que 1rotação = 2πrad,
Movimento Circular Uniforme
Um corpo está em Movimento Curvilíneo Uniforme, se sua trajetória for descrita por
um círculo com um "eixo de rotação" a uma distância R, e sua velocidade for constante,
ou seja, a mesma em todos os pontos do percurso.
No cotidiano, observamos muitos exemplos de MCU, como uma roda gigante, um
carrossel ou as pás de um ventilador girando.
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Embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudança de direção e sentido, logo
existe uma aceleração, mas como esta aceleração não influencia no módulo da
velocidade, chamamos de Aceleração Centrípeta.
Esta aceleração é relacionada com a velocidade angular da seguinte forma:
Sabendo que e que , pode-se converter a função horária do espaço linear
para o espaço angular:
então:
Movimento Circular Uniformemente Variado
Quando um corpo, que descreve trajetória circular, e sofre mudança na sua velocidade
angular, então este corpo tem aceleração angular (α).
As formas angulares das equações do Movimento Curvilíneo Uniformemente Variado
são obtidas quando divididas pelo raio R da trajetória a que se movimenta o corpo.
Assim:
MUV MCUV
Grandezas lineares Grandezas angulares
E, aceleração resultante é dada pela soma vetorial da aceleração tangencial e da
aceleração centípeta:
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Exemplo:
Um volante circular como raio 0,4 metros gira, partindo do repouso, com aceleração angular igual a
2rad/s².
(a) Qual será a sua velocidade angular depois de 10 segundos?
(b) Qual será o ângulo descrito neste tempo?
(c) Qual será o vetor aceleração resultante?
(a) Pela função horária da velocidade angular:
(b) Pela função horária do deslocamento angular:
(c) Pelas relações estabelecidas de aceleração tangencial e centrípeta:
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É de muita importância, na área de estudo do movimento circular, o assunto que
se refere a acoplamento de polias ou engrenagens.
Ocorrem estes acoplamentos quando colocamos em contato polias ou
engrenagens; conforme os exemplos abaixo.
Cinemática dos elementos de transmissão.
Nesta seção estudar-se-á a cinemática da transformação da rotação em rotação,
ou seja, a cinemática das transmissões por correias, correntes, rodas de fricção e
engrenagens. Inicialmente, vamos observar os seguintes esquemas teóricos:
Ao estudarmos os tipos de acoplamentos; constatamos que eles podem ser
tratados de deois modos diferentes:
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- acoplamentos onde temos o “tangenciamento” dos corpos (polia e/ou
engrenagem). Polias ou engrenagens se tocando.
- acoplamentos onde temos polias e/ou engrenagens acopladas pelo mesmo eixo.
Acoplamentos onde temos o “tangenciamento” dos corpos (polia e/ou
engrenagem) ou acopladas atraves de correias.
Ao analisarmos os pontos periféricos das polias ou da correia podemos afirmar
que todos têm a mesma velocidade tangencial; ou seja, a mesma velocidade linear, pois
nenhum ponto da correia ou dente da polia ultrapassa o outro quando esta está e
movimento. Melhor observado na correia.
Assim, para quaisquer tipos de transmissão de rotação por correias, correntes,
rodas de fricção e engrenagens, vale a relação :v1 v2 ;onde v1 e v2 são as
velocidades tangenciais dos elementos da transmissão 1 e 2, respectivamente.
Da cinemática da rotação sabemos que a velocidade tangencial é dada por vr=
,onde é a velocidade angular e r o raio da circunferência de contato. Desta forma, a
Temos:
.r1 .r2 ou
1 2
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𝜔1
𝑟1=
𝜔2
𝑟2
A fórmula acima evidencia que a razão das velocidades angulares são
inversamente proporcionais a razão dos raios.
Questão 1
A figura mostra polias cujos raios correspondem a
ra = 30 cm e rb = 5 cm. Determine as rotações
realizadas pela polia B, sabendo que a frequência de
rotação em A é de 10 rpm.
Questão 2 Um estudante usa sua bicicleta para chegar à escola. Durante o percurso, o aluno
dá uma pedalada por segundo, numa bicicleta em que:
• O raio da catraca Rc = 6 cm
• O raio da roda dentada Rd = 12 cm
• O raio da roda da bicicleta é Rb = 20 cm
Determine a velocidade da bicicleta.
Questão 3 Três polias de raios iguais a 10 cm, 20 cm e 40 cm, estão
conectadas, sem escorregamento, por duas correias
mantidas tensas. Se a polia de raio maior gira com
frequência de 5 Hz, a polia de tamanho intermediário tem
frequência, em Hz, de:
a) 5 b) 10 c) 20 d) 25 e) 40
Questão 4
Uma criança, montada em um velocípede, se desloca em trajetória retilínea com
velocidade constante em relação ao chão. A roda dianteira descreve uma volta completa
em um segundo. O raio da roda dianteira vale 24 cm e o das traseiras 16 cm. Podemos
afirmar que as rodas traseiras do velocípede completam uma volta em
aproximadamente:
a) ½ s b) 2/3s c) 1s d) 3/2s e) 2s
Respostas
Resposta Questão 1 vA = vB
ωA .RA = ωB .RB
2π. fA .RA = 2π. fB. RB
fA .RA = fB .RB
10 . 30 = fB . 5
300 ÷ 5 = fB
fB = 60 rpm
Resposta Questão 2 vd = vc
ωd .Rd = ωc .Rc
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2π/td . Rd = 2π/tc . Rc
12/1 = 6/tc
12. tc = 6
tc = 6 / 12
tc = ½
Logo:
ωc = 2π/ ½
ωc = 2π . 2
ωc = 4 π rad /s
Resposta Questão 3 f3. R3 = f2 .R2
5.40 = f2 . 20
f2 = 10 Hz
Alternativa b
Resposta Questão 4
fA. RA = fB .RB
1/ tA . RA = 1/tB .RB
1/1 .24 = 1/ tB .16
tB = 16/24 s
ou simplificando:
tB = 2/3s
Alternativa b
EXERCÍCICOS COMPLEMENTARES.
1-) Sabendo que a roda A gira com uma velocidade angular constante e
que não há escorregamento entre anel C e roda A roda B, qual das
seguintes afirmações sobre as velocidades angulares são verdadeiras?
a-) ωa = ωb ; b-) ωa ˃ ωb ; c-) ωa ˂ ωb ; d-) ωa = ωc
e-) o ponto de contato A e C têm a mesma aceleração
2-) O tambor de freio está ligado a um volante maior que não é
mostrado. O movimento do tambor de freio é definido pela relação
𝜑 = 36𝑡 − 1,6𝑡2, onde 𝜑 é expresso em radianos e t em segundos.
Determinar: (a) velocidade angular em t =2s, (b) o número de
revoluções, executado pelo tambor de freio, antes de parar.
Solução.
𝜑 = 36𝑡 − 1,6𝑡2 em radianos a-) fazendo a derivada para encontrar a velocidade angular
𝜔 =𝑑𝜑
𝑑𝑡= 36 − 3,2𝑡
para t = 2s
𝜔 =𝑑𝜑
𝑑𝑡= 36 − 3,2(2) ; 𝜔 = 29,6 𝑟𝑎𝑑/𝑠
b-) Quando o rotor parar 𝜔 = 0; asssim
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𝜔 =𝑑𝜑
𝑑𝑡= 36 − 3,2𝑡
0 = 36 − 3,2𝑡 logo t= 11,25s
𝜑 = 36(11,25) − 1,6𝑡(11,25)2= 202,5 rad.
em revoluções dá; 𝜑 =202,5
2𝜋 ;ou seja
𝜑 = 32,2𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠
3-) Uma série de componentes de uma pequena
máquina está sendo movida por um passe de correia
transportadora sobre uma polia intermediária raio de
120 mm. No instante mostrado, a velocidade do ponto
A é de 300 mm/s para a esquerda e sua aceleração é
180 mm/s2 para a direita. Determinar: (a) velocidade
angular e aceleração angular da polia maior, (b) a
aceleração total do componente máquina no B.
𝑣𝐵 = 𝑣𝐴 =300𝑚𝑚
𝑠 ( 𝑎𝐵)𝑡 = 𝑎𝐴 = 180𝑚𝑚/𝑠
(𝑎) 𝑣𝐵 = 𝜔𝑟𝐵. 𝜔 =𝑣𝐵
𝑟𝐵=
300
120= 2,5𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝝎 = 𝟐, 𝟓𝒓𝒂𝒅/𝒔
( 𝑎𝐵)𝑡 = 𝛼𝑟𝐵. 𝛼 =( 𝑎𝐵)𝑡
𝑟𝐵=
180
120=
1,5𝑟𝑎𝑑
𝑠 𝜶 = 𝟏,
𝟓𝒓𝒂𝒅
𝒔
(𝑏) ( 𝑎𝐵)𝑛 = 𝑟𝐵𝜔2 = (120)(2,5)2 = 750𝑚𝑚/𝑠 2
𝑎𝐵 = √( 𝑎𝐵)𝑡2 + ( 𝑎𝐵)𝑛
2 = √(180)2 + (2,5)2 = 771𝑚𝑚/𝑠 2
𝑡𝑔𝛽 =750
180 ; 𝛽 = 76,5° 𝒂𝑩 =
𝟕𝟕𝟏𝒎𝒎
𝒔 𝟐 ; 𝜷 = 𝟕𝟔, 𝟓°
4-) As duas polias mostradas podem ser operadas com uma correia
em V em qualquer uma das três posições. Se a aceleração angular
do eixo A é 6 rad/s2 e se o sistema estiver inicialmente em repouso,
determine o tempo necessário para eixo B atingir uma velocidade
de 400 rpm com a correia em cada uma das três posições.
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑣 = 𝛼𝐴𝑡
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎: 𝑣 = 𝑟𝐴𝜔𝐴 = 𝑟𝐵𝜔𝐵
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐵: 𝜔𝐵 =𝑣
𝑟𝐵=
𝑟𝐴𝛼𝐴𝑡
𝑟𝐵
𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡: 𝑡 = 𝑟𝐵𝜔𝐵
𝑟𝐴𝛼𝐴 ; 𝜔𝐵 = 400𝑟𝑝𝑚 41,889 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑑𝑎𝑑𝑜 𝛼𝐴 = 6𝑟𝑎𝑑/𝑠 → 𝑡 = 𝑟𝐵
𝑟𝐴. 41,889
6 = 6,9813
𝑟𝐵
𝑟𝐴= 6,9813
𝑑𝐵
𝑑𝐴
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𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝐵
𝑑𝐴=
2𝑖𝑛
4𝑖𝑛 𝑡 = 3,49𝑠
𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑑𝐵
𝑑𝐴=
3𝑖𝑛
3𝑖𝑛 𝑡 = 6,98𝑠
𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝐵
𝑑𝐴=
4𝑖𝑛
2𝑖𝑛 𝑡 = 13,96𝑠
5-) Três cintos movem-se sobre duas polias sem
escorregar no sistema de redução de velocidade
mostrado. No instante mostrado a velocidade do
ponto A é 2 ft/s para a direita, diminuindo a taxa
de 6 ft/s2. Determine, a neste instante: a-)
velocidade e aceleração do ponto C na faixa de
saída,(b-) a aceleração do ponto B.
Polia esquerda
𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜: 𝑟1 = 2 𝑖𝑛 ; 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜: 𝑟1 = 4 𝑖𝑛 ;
𝑣𝐴 =2𝑓𝑡
𝑠; (𝑎𝐴)𝑡 = −
6𝑓𝑡
𝑠2
(𝑎𝐴)𝑡 = −6𝑓𝑡
𝑠2= 6
𝑓𝑡
𝑠2
𝜔1 =𝑣𝐴
𝑟2=
2
412
= 6 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝛼1 =(𝑎𝐴)𝑡
𝑟2=
6
412
= 18 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Polia intermediária
𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜: 𝑟1 = 2 𝑖𝑛 ; 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜: 𝑟1 = 4 𝑖𝑛 ;
𝑣1 = 𝑟1𝜔1 = (2
12) (6) = 1
𝑓𝑡
𝑠; (𝑎1)𝑡 = 𝑟1𝛼1 = (
2
12) (18) = 3
𝑓𝑡
𝑠2
Polia da direita
𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜: 𝑟3 = 2 𝑖𝑛 ; 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜: 𝑟4 = 4 𝑖𝑛 ;
𝜔2 =𝑣1
𝑟4=
1
412
= 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝛼2 =(𝑎1)𝑡
𝑟4=
3
412
= 9 𝑟𝑎𝑑/𝑠
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a-) velocidade e aceleração do ponto C.
𝑣𝑐 = 𝑟3𝜔2 = (2
12) (3) = 0,5
𝑓𝑡
𝑠; (𝑎𝑐)𝑡 = 𝑟3𝛼2 = (
2
12) (9) = 1,5
𝑓𝑡
𝑠2
a-) aceleração e aceleração do ponto B.
(𝑎𝐵)𝑛 = 𝑟4𝜔42 = (
4
12) (3)2 = 3
𝑓𝑡
𝑠2
(𝑎𝐵)𝑡 = 𝑟4𝛼2 = (4
12) (9) = 3
𝑓𝑡
𝑠2
𝑎𝐵 = 4,24𝑓𝑡
𝑠2
6-) Um sistema de redução de engrenagem consiste de
três engrenagens A, B e C. sabendo que a engrenagem A
gira no sentido horário com uma velocidade angular
constante ωa = 600 rpm, determinar (a) as velocidades
angulares de engrenagens B e C, (b) as acelerações dos
pontos em engrenagens B e C que estão em contato.
(𝑎) 𝜔𝐴 = 600𝑟𝑝𝑚 =(600)(2𝜋)
60= 20𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Considere D sendo o ponto de contato entre a engrenagem A e B
𝑣𝐷 = 𝑟𝐷/𝐴𝜔𝐴 = (2)(20𝜋) = 40𝜋 𝑖𝑛/𝑠 ↓
𝜔𝐵 =𝑣𝐷
𝑟𝐷/𝐴=
40𝜋
4= 10𝜋
60
2𝜋= 300 𝑟𝑝𝑚
Considere E sendo o ponto de contato entre a engrenagem B e C
𝑣𝐸 = 𝑟𝐸/𝐵𝜔𝐵 = (2)(10𝜋) = 20𝜋 𝑖𝑛/𝑠 ↑
𝜔𝐶 =𝑣𝐸
𝑟𝐸/𝐶=
20𝜋
6= 3,333𝜋
60
2𝜋= 100 𝑟𝑝𝑚
b-) Considere D sendo o ponto de contato entre engrenagem A e B.
na polia B 𝑎𝐵 =(𝑣𝐸)2
𝑟𝐸/𝐵=
(20𝜋)2
2= 1973,9
𝑖𝑛
𝑠2 ←
na polia B 𝑎𝐶 =(𝑣𝐸)2
𝑟𝐸/𝐶=
(20𝜋)2
6= 658
𝑖𝑛
𝑠2 →
7-) Um cinto é puxado para a direita entre os cilindros A e B.
sabendo que a velocidade da correia é um constante 5 ft/s e
nenhum resvalamento ocorre, determinar as velocidades angulares
de A e B, (b) as acelerações dos pontos que estão em contacto com
o cinto
45°
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8-) O anel C tem um raio interno de 55mm e um raio externo de 60
mm e é posicionada entre duas rodas A e B, cada um dos 24-mm de
raio exterior. Sabendo que A roda gira com uma velocidade angular
constante de 300 rpm e que não escorregar ocorre, determinar a
velocidade angular do anel C e da roda B, (b) a aceleração da pontos
de A e B que estão em contato com
C.
Velocidade angular
Disco A
Disco B
Aceleração do ponto de contato
Disco A
Disco B
velocidade Ponto 1, ponto de contato entre A e C
Ponto 2, ponto de contato entre B e C
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9-) Anel B tem um raio interior r2 e trava em
relação à horizontal eixo A conforme
mostrado. O eixo A gira com uma velocidade
angular constante de 25 rad/s e não
escorrega. Sabendo que r1 =12 mm, mm r2
=30 e r3 =40 mm, determine: (a) velocidade
angular do anel B, (b) as acelerações dos
pontos do eixo A e anel B que estejam em
contacto, (c) a magnitude da aceleração de
um ponto da superfície exterior do anel B.
Aceleração
Ponto de A
Ponto de B
Ponto C, ponto de contato entre a haste e o anel
Na haste, ponto A
No anel, ponto B
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10-) Um filme plástico move-se sobre dois
tambores. Durante um intervalo de 4s, que a
velocidade da fita é aumentada uniformemente de v0
=2 ft/s de v1 =4 ft/s. Sabendo que a fita não
escorregar na bateria, determine: (a) aceleração
angular do cilindro B, (b) o número de revoluções
executado pelo tambor B durante o intervalo de 4s.
Aceleração do ponto D, ponto de fora do anel
dados
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11-) Uma polia e duas cargas estão ligadas por cabos extensível
conforme mostrado. A de carga tem uma aceleração constante
de 300 mm/s2 e uma velocidade inicial de 240 mm/s, ambos
dirigidos para cima. Determinae (a) o número de revoluções,
executado pela polia em 3 s, (b) a velocidade e a posição da
carga B após 3 s, (c) a aceleração do ponto D na borda da polia
em t = 0.
Movimento da correia
Como a correia não desliza, não escorrega, a aceleração da periferia é:
Aceleração angular do tambor B
Deslocamento angular do tambor B
em revoluções
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Movimento da polia
para
Carga B
Ponto D