movimento oscilat ó rio e caos
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Movimento oscilat ó rio e Caos. Do mais simples para o mais complicado. MHS Amortecimento Não linearidade Caos. Nas aulas anteriores. {. Hoje. Movimento Harmônico Simples. Na penúltima aula: Pêndulo simples. . Movimento Harmônico Simples. Hoje: pêndulo - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Movimento oscilatório e Caos
Do mais simples para o mais complicado ...
MHS Amortecimento Não linearidade Caos
Hoje
Nas aulas anteriores
Movimento Harmônico Simples
Na penúltima aula:Pêndulo simples
Movimento Harmônico Simples
Hoje: pêndulo não-linear sen() forçado FDsen(Dt) amortecido -b d/dt
T
P
Decompondo
PR=TFR=0
2
2
dt
s dm F
Mas s=l
2
2
dt
dml F
F = P+Fext +Famort
P =-mg sen()
Fext=FDsen(Dt)
Famort=-b d/dt
ml
F
dt
d 2
2
Tomando FD/ml e q b/ml
) ( ) ( 2
2
t sendt
dq sen
l
g
dt
dD
1 equação diferencial não-linear não-homogênea de 2a ordem
Juntando
Solução desconhecida!
Aplicar o Método de Euler-Cromer
Transformar
1 equação diferencial de 2a ordem
em
2 equações diferenciais de 1a ordem
Como aplicar o Método de Euler-Cromer?
) ( ) (t sendt
dq sen
l
g
dt
dD
2 equações de 1a ordem
dt
d
Iterando
t
t t t
dt
d
) ( ) (
dt
d
t t t tdt
dt t t ) ( ) ( ) ( ) (
i+t= i + i+1tIgual a
aulas anteriores
Iterando
t
t t t
dt
d
) ( ) (
t t sen t t q t t senl
gt t tD ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) (
) ( ) (t sendt
dq sen
l
g
dt
dD
tdt
dt t t ) ( ) (
Iterando
t t sen t t q t t senl
gt t tD ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( i+t= i – (g/l)senit-
qit+sen(Dti) t
diferente das aulas anteriores
O programa
i+t= i + i+1t
Inicializa
Itera(até n)
0=... e 0=...
Imprime Print, write ...
i+t= i - (g/l)senit-qit+sen(Dti) t
Testando o programa
l =1m g = 9,8 m/s2
0=0,2 rad sen(0)=0,199 sen(0) 0
t= 0,04 ss
g
l2 2
q= 0= 00= 0
Rodando o programa
Ok ! 0 2 4 6 8 10
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
(ra
d)
t(s)
sen 0=0,2 rad
sen(0)= 0,199 sen(0) 0
Amortecimento
0 2 4 6 8-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3 q=0 q=1.5625
q=3.125 q=6.25 q=12.5
(ra
d)
t(s)
Sub-crítico
crítico
Amortecimento
0 2 4 60,00
0,05
0,10
0,15
0,20
q=0 q=1.5625 q=12.5
E
nerg
ia
t(s)
Força externa
0 10 20 30-0,1
0,0
0,1
0,2
q=0.625
t(s)
l =9.8 m g = 9,8 m/s2
t= 0,04 s
0= 0 0= 0.02
= 0.0
q= 0.625
=2
transiente
Força externa
0 10 20 30 40
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 =0 =0.5 =1.2
q=0.625
t(s)
= 0= 0.5= 1.2
q= 0.625
transiente
Força externa
l =9.8 m g = 9,8 m/s2
t= 0,04 s
0= 0 0= 0.02
q= 0.5
0 10 20 30 40 50 60
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
=0 =0.5 =1.2
q=0.02
(ra
d)
t(s)CAOS!
Força externa
l =9.8 m g = 9,8 m/s2
t= 0,04 s
0= 0 0= 0.02
q= 0.5
0 10 20 30 40 50 60-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
=0 =0.5 =1.2
q=0.02
(ra
d/s)
t(s)
Caos
Um sistema pode obedecer àsleis determinísticas da física e ainda assim ter seu comportamento não predizível devido a uma extrema sensibilidade às condições iniciais
Esse sistema é dito caótico
Trajetória no espaço de fase
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
(ra
d/s)
(rad)
q= 0.5
= 0.5
0= 0.02
Sem caos
Trajetória no espaço de fase
q= 0.5
= 1.2
0= 0.02
Caos -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
(ra
d/s)
(rad)Tf=60s
Caos
-20 -15 -10 -5 0 5-3
-2
-1
0
1
2
3
(ra
d/s)
(rad)
Tf=360s
Sensibilidade às condições iniciais
(t=0)=0.001
0 10 20 30 401E-10
1E-9
1E-8
1E-7
1E-6
1E-5
1E-4
1E-3
||
t(s)
= 0.5
~ et
~-0.25 < 0
Expoente de Liapunov
(t=0)=0.001
= 1.2
~ et
> 00 50 100 1501E-6
1E-5
1E-4
1E-3
0,01
0,1
1
10
t(s)
Caos
> 0
< 0=0.5
> 0.5 < 1.2
Caos
Sem caos
Transição: = 0
=1.2
BifurcaçãoPara cada (FD) calcula-se (t)
Depois de 300 períodos (transiente vai a zero)
Até 400 períodos
Pegar para t em fase com a força externa: Dt=n
Bifurcação
Referência
Computational Physics
Nicholas J. Giordano