movimiento de rotación de los cuerpos. -...
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Capítulo 7. Movimiento de rotación de los cuerpos.
§ Cinemática del movimiento de rotación. .................................................................. 3
Estudio de diferentes movimientos de rotación. ....................................................... 7
Movimiento de rotación uniforme. ........................................................................... 7
Movimiento de rotación uniformemente variado ...................................................... 7
§ Dinámica del movimiento de rotación. ................................................................... 10
Momento de una fuerza o torque. .......................................................................... 10
Momento de inercia. ............................................................................................. 14
Ecuación fundamental del movimiento de rotación de un cuerpo rígido. ................. 17
§ Energía en el movimiento de rotación. ................................................................... 23
§ Cantidad de movimiento angular. .......................................................................... 25
Ley de conservación de la cantidad de movimiento angular. .................................. 26
Tareas generales. ................................................................................................ 33
Movimiento de rotación de los cuerpos.
En los capítulos anteriores se ha estudiado el movimiento mecánico de traslación
utilizando el modelo de punto material, en el que se desprecian las dimensiones de
los cuerpos porque en este movimiento todos los puntos del cuerpo, en un mismo
intervalo de tiempo, realizan igual trayectoria y para cada punto del cuerpo las
velocidades y aceleraciones son iguales en cada instante de tiempo. Por tanto, es
suficiente para describir y analizar las características del movimiento del cuerpo,
considerar uno de sus puntos y suponer que todas las fuerzas que actúan sobre el
cuerpo están aplicadas sobre dicho punto. Sin embargo, durante las interacciones
en general, los cuerpos no solo poseen movimiento de traslación sino también
pueden tener movimientos más complejos, tal como movimiento de rotación. ¿Qué
importancia tiene el estudio del movimiento de rotación para la ciencia, la tecnología
y la sociedad?
El estudio del movimiento de rotación de la Tierra ha permitido a diferentes ciencias,
entre ellas la geografía y la física, analizar fenómenos tales como la sucesión de los
días y las noches. En la actualidad, el movimiento de rotación tiene muy diversas
aplicaciones en la ciencia y la tecnología, como por ejemplo: el movimiento de las
ruedas en general, el disco duro de las computadoras, los discos compactos, las
aspas de ventiladores, los rotores de las centrales térmicas, etc. Los mecanismos de
ruedas dentadas, poleas, palancas, entre otros, juegan un decisivo papel en la
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mecanización y automatización de la industria, y en general de la tecnología. La
biología, química y otras ciencias, junto a la física, estudian el movimiento de
rotación de los átomos y moléculas, porque de este dependen algunas propiedades
de los sistemas.
En cada uno de los ejemplos citados, si definimos un sistema de referencia inercial,
los puntos que forman parte del cuerpo realizan diferentes desplazamientos y en
general se mueven con diferentes velocidades y aceleraciones, debido a esto, en el
movimiento de rotación, no se puede aplicar al cuerpo el modelo de punto material,
sino tomar en cuenta sus dimensiones y cómo se mueven cada una de sus puntos.
Para estudiar este movimiento introduciremos el modelo de cuerpo rígido, según el
cual el cuerpo rígido es un sólido que mantiene su forma y dimensiones, aún cuando
sobre él actúen fuerzas externas. Este modelo, al igual que el de punto material,
constituye una abstracción, porque todo cuerpo bajo la acción de fuerzas aplicadas
sobre él cambia su forma y dimensiones, no obstante, si estas deformaciones se
pueden despreciar, dadas las características del problema, el modelo se puede
utilizar con buena aproximación.
El movimiento de rotación es el movimiento en el que todos los puntos del cuerpo
describen circunferencias cuyos centros se encuentran sobre una misma recta que
se denomina eje de rotación, como se muestra en la figura.
Fig. 7.1
Ejes de rotación
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Los cuerpos pueden estar animados de movimiento de rotación, de traslación o de la
combinación de ambos movimientos, en este movimiento combinado el cuerpo rota
alrededor de un eje y dicho eje se traslada con respecto a un sistema de referencia
determinado. Tal es el caso de las ruedas de una bicicleta en movimiento o el de la
Tierra alrededor del Sol.
Utilizando los conceptos y leyes que estudiaremos en este capítulo se le pueden dar
respuesta a las siguientes interrogantes: ¿cómo describir el movimiento de rotación
de los cuerpos que forman parte de los sistemas siguientes: las centrífugas
utilizadas en los laboratorios, las ruedas de los automóviles, las poleas, los
generadores de electricidad, los planetas, estrellas y galaxias, los electrones en su
movimiento alrededor del núcleo? ¿Cuáles son los factores que determinan las
características del movimiento de rotación? ¿Cómo caracterizar el estado de
movimiento mecánico de un cuerpo que rota? ¿Cómo determinar las variaciones en
el estado de movimiento mecánico de rotación de los cuerpos?
§Cinemática del movimiento de rotación.
Como se planteó en la introducción, durante el movimiento de rotación, los puntos
del cuerpo rígido realizan desplazamientos diferentes, y tienen velocidades y
aceleraciones diferentes. Entonces ¿cómo se puede describir el movimiento de
rotación de un cuerpo rígido? Para dar respuesta a esta interrogante se deben
utilizar magnitudes que caractericen a los diferentes puntos del cuerpo.
La figura muestra un cuerpo rígido, fijo a un sistema x y z y que rota alrededor de
un sistema fijo x y z, y su eje de rotación está en reposo y coincide con los ejes z
y z , siendo estos dos ejes perpendiculares al plano de la figura.
Fig. 7.2
y
x
y
O x
y
O x
y
x
(a) (b)
4
La figura )a( corresponde al instante 0t . En la figura )b( se representa la rotación
realizada por el cuerpo en un intervalo posterior t , en que rotó un ángulo .
La magnitud se denomina posición angular y el ángulo rotado ,
desplazamiento angular, siendo la relación entre dichas magnitudes:
0
El desplazamiento angular es igual a la posición final menos la inicial 0 .
Estas magnitudes es conveniente expresarlas en radianes y no en grados, ya que
así se puede obtener la distancia recorrida por un punto cualquiera del cuerpo
situado a una distancia radial R. Se denomina radián al ángulo subtendido por un
arco S de longitud igual al radio R de la circunferencia correspondiente.
Por tanto para determinar el valor de θ en radianes viene dado por la ecuación:
R
S
En la figura 7.4, S es la longitud del arco recorrido por un punto P de un cuerpo, que
rota alrededor de un eje perpendicular al plano de la circunferencia y que pasa por
su centro O.
Se sabe que el ángulo completo de una circunferencia es 360C y que la
longitud S del arco completo de una circunferencia de radio R es SC = 2πR,
entonces sustituyendo en la ecuación del ángulo, R
SCC
, se tiene:
R
R2C
360radianes2C
Si = 1 radián S = R
S
R
1
radián
Fig. 7.3
P
S
R
O
Fig. 7.4
5
Y se deduce que 1 radián = 57,3.
Para cualquier intervalo de tiempo todos los puntos del cuerpo rígido realizan el
mismo desplazamiento angular . Así, aunque las magnitudes lineales del cuerpo
(desplazamiento, velocidad y aceleración) sean diferentes para diferentes puntos del
cuerpo, el desplazamiento angular de estos es el mismo para un intervalo de tiempo
determinado.
El desplazamiento angular puede considerarse positivo o negativo, en
dependencia del convenio que se adopte. Generalmente se elige como sentido
positivo de la rotación el que se realiza contrario a las manecillas del reloj
(antihorario), de modo que cuando un cuerpo gira en sentido antihorario ∆θ es
positivo y negativo en sentido contrario.
Otra magnitud fundamental para describir el movimiento de rotación es la velocidad
angular. En el capítulo 2, cuando se estudió el movimiento circunferencial uniforme y
se planteó que la velocidad angular de una partícula caracteriza la rapidez con que
cambia su posición angular respecto al tiempo. Esto también es válido para
cualquier punto del cuerpo rígido, porque cada uno describe una trayectoria
circunferencial alrededor del eje de rotación. Se sabe que la velocidad angular se
representa por la letra y se expresa en rad/s.
Durante el movimiento de rotación la velocidad angular puede permanecer constante
o variar. Al igual que el desplazamiento angular, la velocidad angular es la misma
para todos los puntos del cuerpo.
Cuando la velocidad angular permanece constante su valor se puede determinar de
análogamente a como se determina el valor de la velocidad en el movimiento
rectilíneo uniforme.
t
También los cuerpos que rotan pueden variar su velocidad angular, como por
ejemplo el caso de: las aspas de un ventilador, las hélices de un helicóptero, las
ruedas de un automóvil y otros casos.
También se tiene en la rotación la velocidad angular media y análogamente al
movimiento rectilíneo variado se tiene que:
tm
Esta expresión brinda información de cómo varía el desplazamiento angular para
determinado intervalo de tiempo. La magnitud física que caracteriza la variación de
la posición angular para cada instante de tiempo se denomina velocidad angular
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instantánea (o velocidad angular). En el movimiento de rotación con velocidad
angular constante la velocidad angular instantánea es igual a la velocidad angular
media, sin embargo cuando la velocidad angular varía no es posible aplicar la
ecuación t
para determinar el valor instantáneo.
¿Cómo caracterizar la rapidez con que varía la velocidad angular de un cuerpo
rígido?
Para ello es necesario utilizar una magnitud física que caracterice la rapidez de
variación de la velocidad angular. Esta magnitud se denomina aceleración angular
y se expresa en rad/s2.
La aceleración angular media se determina por la ecuación:
tm
o
om
tt
.
Esta expresión no brinda información de cómo varía la velocidad angular para cada
instante de tiempo, sino para un intervalo de tiempo. La magnitud física que
caracteriza la variación de la velocidad angular para cada instante de tiempo se
denomina aceleración angular instantánea (o aceleración angular).
Los movimientos de rotación alrededor de un eje fijo se pueden clasificar según la
constancia o no de su velocidad angular en:
Movimiento de rotación uniforme. En este caso el movimiento de rotación se realiza
con instantánea constante (similar al movimiento rectilíneo uniforme), la
aceleración angular instantánea es cero y la velocidad angular instantánea es igual a
la velocidad angular media entre dos instantes de tiempo cualesquiera.
Movimiento de rotación uniformemente variado. En este movimiento la aceleración
angular permanece constante en el tiempo y la velocidad angular varía
uniformemente, o sea, su aceleración angular es constante.
Movimiento de rotación variado. En este movimiento de rotación la aceleración
angular varía.
En este estudio solo tratamos el movimiento de rotación uniforme y uniformemente
variado. Para estas condiciones se pueden determinar la posición angular, el
desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo
rígido, para determinados intervalos de tiempo, mediante ecuaciones análogas a las
del movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente variado.
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§Estudio de diferentes movimientos de rotación.
Movimiento de rotación uniforme.
La ecuación que rige este movimiento se puede establecer por analogía con la del
MRU.
La ecuación para la velocidad angular constante está regida por la ecuación:
t
La posición angular en un intervalo de tiempo t , conocida la posición inicial y la
velocidad angular se determina mediante la ecuación:
to
Ejemplo 7.1
Determine el desplazamiento angular que realiza la rueda de un carro, que se
mueve durante 3s con una velocidad angular de 12 rad/s.
R/
to
Se sabe que: o
Por tanto:
t
s3s/rad12
rad36
Movimiento de rotación uniformemente variado
Las ecuaciones que rigen este movimiento se pueden establecer por analogía con
las del MRUV.
En este movimiento la aceleración angular es constante y se determina por:
t
Por otra parte se tiene:
to
8
La velocidad angular final , conocidos: la velocidad angular inicial 0, el intervalo
de tiempo t y la aceleración angular .
Y también:
22
o
2
La velocidad angular , conocidos: velocidad angular inicial 0, el desplazamiento
angular y la aceleración angular constante .
La velocidad angular media m se determina por:
to
m
Además:
2
tt
2
o
El desplazamiento angular , conocidos: la velocidad angular inicial 0, el intervalo
de tiempo t y la aceleración angular constante .
O también:
2
tt
2
oo
Aquí solo se trata el movimiento de rotación para un determinado eje de rotación de
dirección constante. Las magnitudes rotacionales son
vectoriales y orientadas sobre el eje de rotación y todos los
vectores que intervienen son paralelos o antiparalelos al eje
fijo de rotación. La forma de representar el sentido de la
velocidad angular es utilizando la regla de la mano derecha:
tomando el eje de rotación con la mano derecha y girando los
dedos en el sentido de la rotación, el pulgar extendido indica
entonces el sentido del vector
.
La dirección del vector
coincide con la de
pero su sentido puede ser igual o
contrario a
. De tener
igual sentido que
, entonces
aumenta su valor y de
tener estas sentidos contrarios,
disminuye su valor.
Se sabe que el ángulo girado, , por el punto P del cuerpo que rota viene dado
por R
S , siendo R el radio de la circunferencia que describe el punto P del cuerpo
Fig. 7.5
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al rotar, por tanto su desplazamiento es RS . La velocidad lineal de este punto
P del cuerpo que rota es t
Sv
, por tanto sustituyendo S, sería
t
Rv
Por otra parte la velocidad angular es t
, entonces sustituyendo se obtiene
la relación entre ambas velocidades:
Rv
Se tiene entonces que para un mismo movimiento de rotación, donde la velocidad
angular es igual para todos los puntos del cuerpo, los puntos que están más
alejados del eje de rotación, es decir con mayor R, se mueven con mayor velocidad
lineal v.
Si consideramos un movimiento de rotación uniformemente variado, en el que es
constante, podemos plantear que:
R
tt
v
RaT
Se tiene que para un mismo movimiento de rotación, donde la aceleración angular
es igual para todos los puntos del cuerpo, paro los puntos que están más alejados
del eje de rotación, es decir con mayor R, tienen mayor aceleración tangencial aT.
Se sabe que el punto al describir un movimiento circunferencial posee además una
aceleración radial aR:
RR
va 2
2
R
Resumiendo, en la descripción del movimiento de rotación de los cuerpos, que
forman parte de los sistemas en el universo (centrífugas utilizadas en los
laboratorios, las ruedas de los automóviles, las poleas, los generadores de
electricidad, los planetas, estrellas y galaxias, y tantos otros) intervienen tanto las
magnitudes angulares como las lineales.
El movimiento de rotación alrededor de un eje fijo se puede clasificar según sus
características en: movimiento de rotación uniforme, uniformemente variado y
variado. Pero, ¿qué factores determinan estos tipos de movimientos de rotación?
Ejemplo 7.2
Las aspas de un helicóptero se ponen en movimiento y durante 1 minuto rotan con
una aceleración angular de 25 rad/s2.
10
Determina el desplazamiento angular realizado por dichas aspas.
R/
2
tt
2
o
En este caso 0 = 0, por tanto:
2
t2
, pero t = 1 min. = 60 s
2
)s60(rad/s 25 22
rad105,4 4
Ejemplo 7.3
La estrella de un parque de diversiones, de 5 m de diámetro, comienza a rotar y para
alcanzar su velocidad angular de trabajo de 3,2 rad/s, lo hace con una aceleración
angular de 2 rad/s2. Determina para cualquier niño montado en ella, considerándolo
una partícula, los valores de las aceleraciones tangencial y radial en el instante en
que alcanza su velocidad angular de trabajo.
R/
RaT , El radio R = diámetro/2, por tanto: R = 5 m/2, R = 2,5 m
m5,2s/rad2a 2
T
aT = 5 m/s2
Ra 2
R
m5,2rad/s) 3,2(a 2
R
aR = 25,6 m/s2
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§Dinámica del movimiento de rotación
Momento de una fuerza o torque.
En este epígrafe se estudia cómo las fuerzas (acciones externas) influyen en las
características del movimiento de rotación. Supongamos que tenemos un cuerpo en
reposo y que puede rotar alrededor de un eje fijo. ¿Es suficiente que exista una
fuerza sobre el cuerpo para que este comience a rotar?
La figura 7.4 muestra una puerta vista desde arriba, que puede girar en el sentido
antireloj. El eje de rotación de la puerta coincide con el eje de las bisagras, el que
pasa perpendicularmente al plano de la figura por O. Sobre la puerta se aplican
varias fuerzas constantes.
Estas fuerzas de igual valor provocan efectos diferentes:
Las fuerzas 1F
y y5F
le provocan rotación a la puerta, pero las fuerzas
2F
, 3F
,
4F
y x5F
no.
La fuerza 1F
le provoca aceleración angular a la puerta a partir del reposo.
A pesar de ser la misma fuerza cambia su punto de aplicación de a a b. La
fuerza 1F
aplicada en b, le provoca una mayor aceleración angular que
aplicada en a, al estar b a mayor distancia del eje de rotación que a.
4F
tiene el mismo valor que 1F
y ambas están aplicadas en b, pero la línea de
acción de 4F
pasa por el eje de rotación y no provoca rotación.
Las fuerzas 2F
y
3F
tienen la misma dirección y sentidos opuestos, pero
ambas son paralelas al eje de rotación y no provocan rotación
Fig. 7.6
X
Y
1F
1F
2F
O
3F
X a b
4F
5F
y5F
x5F
12
La línea de acción de 5F
también pasa por b, pero oblícuamente.
5F
se puede
descomponer en x5F
y
y5F
, y solo provoca rotación la componente en y y5F
.
De estos resultados se obtiene que las características del movimiento de rotación no
solo dependen de la magnitud, dirección y sentido de la fuerza F
, que actúa sobre el
cuerpo, sino depende también de la distancia r del eje de rotación al punto de
aplicación de la fuerza y de la línea de acción de la misma.
Para estudiar los factores que determinan las características del movimiento de
traslación de un cuerpo, que puede ser representado por un punto material, no
interviene el punto de aplicación de la fuerza sobre el cuerpo, cualquiera que sea
este produce las mismas variaciones en el movimiento. Sin embargo en el
movimiento de rotación, una misma fuerza aplicada sobre diferentes puntos del
cuerpo produce variaciones diferentes de las magnitudes que describen este
movimiento, esta es una de las diferencias notables entre la dinámica de la
traslación y la de la rotación.
La magnitud física que mide la capacidad de una fuerza para variar la velocidad
angular de un cuerpo, se denomina momento de la fuerza o torque y se representa
por
. El momento de la fuerza
respecto a un punto localizado por un vector r
se
determina mediante la ecuación:
Fr
, siendo la magnitud de este producto vectorial:
Fsenr
Aquí solo abordaremos situaciones donde este ángulo sea 90o, para el cual el senθ
alcanza su valor máximo 1 y por lo tanto el valor del momento de la fuerza o torque
respecto a un punto viene dado por:
Fr
De esta ecuación vemos que la unidad de medida del torque es el Nm.
El torque
es una magnitud vectorial. Si F
y r
están en el plano XY el torque o
momento de la fuerza
tiene la dirección del eje Z. El sentido de este vector
se
halla aplicando la regla de la mano derecha: - los cuatro dedos se giran del vector r
al vector F
, barriendo el menor ángulo entre ellos y el dedo pulgar extendido indica
la dirección y sentido de
.
La ecuación anterior también se puede aplicar a un cuerpo rígido que rota alrededor
de un eje fijo donde r es el vector que localiza al punto de aplicación de la fuerza
respecto al eje de rotación y cuyo módulo es la menor distancia posible entre el eje y
el punto de aplicación.
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Dicha ecuación muestra que el momento de una fuerza es directamente proporcional
al producto de la distancia r del eje de rotación al punto de aplicación de la fuerza y
del valor de la fuerza. Por esta razón en muchos procesos tecnológicos que utilizan
la rotación, para disminuir el valor de la fuerza los implementos utilizados se
construyen buscando una mayor magnitud de r.
Ejemplo 7.4
Se quiere hacer que un cuerpo rote alrededor de un eje que pasa por dicho cuerpo y
para ello se aplica una fuerza de 10 N, cuya línea de acción es paralela al eje de
rotación del cuerpo y su punto de aplicación en el cuerpo se encuentra a 10 cm de
dicho eje.
a) Determina el valor del torque aplicado.
b) ¿Solo depende el valor de la aceleración angular que adquiere este cuerpo de
del torque aplicado? Explique.
R/
a) Fsenr
= 900
sen 900 = 1
Fr
r = 10 cm = 0,1 m
F = 10 N
N10m1,0
Nm0,1
b) Se sabe de la traslación que la aceleración lineal de un cuerpo no solo depende
de la fuerza F que se le aplica, sino también de las características del cuerpo, que
en ese caso es su masa inercial, por tanto en la rotación debe haber una magnitud
análoga a la masa.
Si sobre un cuerpo que rota alrededor de un eje actúan varias fuerzas, el momento
resultante será igual a la suma vectorial de los momentos de cada fuerza.
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n21R ...
En el caso en que los momentos sean colineales, la operación se reduce a una
suma algebraica.
Cuando el momento o torque resultante sobre un cuerpo que puede girar alrededor
de un eje fijo es nulo y por tanto tiene un movimiento de rotación uniforme, en el cual
su velocidad angular es constante, la aceleración angular es cero. Cuando sobre el
cuerpo existe un momento resultante constante el mismo tendrá una aceleración
angular constante, y por tanto un movimiento de rotación uniformemente variado.
Entonces podemos llegar a la conclusión de que el momento resultante de las
fuerzas es uno de los factores que determinan las características del movimiento de
rotación.
Momento de inercia.
Las características del movimiento de rotación no solo dependen del momento
resultante de la fuerza aplicado sobre el cuerpo. Dos momentos resultantes iguales
aplicados sobre cuerpos diferentes pueden producir aceleraciones angulares
diferentes, incluso un mismo momento aplicado sobre un mismo cuerpo que gire
sobre ejes de rotación diferentes pueden producir aceleraciones angulares
diferentes. ¿A qué se debe esto? En el movimiento de traslación, para explicar sus
características, además de las fuerzas que actúan, se deben tener en cuenta
también la magnitud de las propiedades inerciales del cuerpo, esto es la masa
inercial. ¿Es suficiente esta magnitud para caracterizar las propiedades inerciales de
un cuerpo que rota?
¿De qué factores dependen las propiedades inerciales de un cuerpo que rota?
Si tomamos dos poleas de igual masa pero radios diferentes y aplicamos sobre ellas
un mismo momento de fuerza las aceleraciones angulares de ambas serán
diferentes. La experiencia muestra que la polea de menor radio alcanzará mayor
aceleración angular en un mismo intervalo de tiempo.
Supongamos que se tiene un tiovivo en reposo sobre el cual se encuentra un niño
en su extremo. Si aplicamos un momento de fuerza constante el sistema alcanza un
determinado valor de aceleración angular, pero si el niño se desplaza hacia el centro
del tiovivo, y se mantiene el mismo momento de fuerza, la aceleración angular
aumenta.
A partir de estos ejemplos podemos llegar a la conclusión de que las propiedades
inerciales durante la rotación no solo dependen de la masa de los cuerpos sino
también de cómo ésta se distribuye alrededor del eje de rotación.
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La magnitud física escalar que constituye la medida de las propiedades inerciales de
un cuerpo que rota alrededor de un eje dado, o lo que es lo mismo, de su capacidad
de oposición para variar su estado de movimiento de rotación se denomina momento
de inercia y se representa con la letra I. Mientras mayor es el valor del momento de
inercia I, más difícil es cambiar el estado del movimiento de rotación del cuerpo, es
decir, acelerarlo angularmente.
El momento de inercia depende de la masa del cuerpo, de la distribuc ión de la
misma alrededor del eje de rotación y de la posición del eje de rotación respecto al
punto de aplicación de la fuerza. Así, al determinar el momento de inercia de la
Tierra se puede obtener información de cómo está distribuida la masa en su inter ior.
Los resultados muestran que nuestro planeta es mucho más denso en el centro que
en sus capas exteriores.
Un mismo cuerpo que rote alrededor de ejes diferentes tiene momentos de inercia
diferentes, esto implica que para determinarlo siempre se debe especificar cuál es el
eje de rotación.
El momento de inercia de una partícula que describe una circunferencia de radio r
respecto a un eje de rotación, se determina por:
2mrI
Donde m es la masa de la partícula y r es la distancia de la partícula al eje de
rotación. El momento de inercia se expresa en kg m2.
En el ejemplo del tiovivo, el momento de inercia alrededor del eje de rotación es
mayor cuando el niño está en el extremo, donde r es mayor es mayor, que cuando
está cercano al centro, donde r es menor. Al aplicar un mismo momento de fuerza o
torque, la aceleración angular es menor donde el momento de inercia es mayor y
viceversa.
El momento de inercia de un sistema de partículas que gira respecto a un eje dado,
se determina sumando los momentos de inercia de cada una de ellas, así
2
nn
2
22
2
11 rm...rmrmI
Pero los cuerpos están compuestos por muchas partículas y estas al encuentrarse
distribuidas en todo el cuerpo, están a diferentes distancias r respecto al eje de
rotación del cuerpo, por tanto se necesita integrar la contribución de todas ellas al
momento de inercia. Teniendo en cuenta esto pues el momento de inercia I de
algunos sólidos rígidos y macizos de densidad uniforme, se muestran en la tabla a
continuación. Los procedimientos para la determinación de estas expresiones de I
no se corresponden con el nivel tratado en este estudio.
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El momento de inercia de un cuerpo depende del eje de rotación. Cuando el eje
pasa por su centro de masa, el momento de inercia para ese eje es el valor mínimo
posible. El momento de inercia para cualquier otro eje que sea paralelo a dicho eje
se determina por la ecuación:
2
cm mdII
Donde Icm es el momento de inercia para el eje que pasa por el centro de masa, m
es la masa del cuerpo y d es la distancia que hay entre los dos ejes. Esta ecuación
expresa el teorema de Steinner o de los ejes paralelos, este establece que el
momento de inercia I de un cuerpo respecto a un eje paralelo al eje que pasa por el
centro de masa Icm, es igual a la suma de este más el producto de la masa m del
cuerpo por el cuadrado de la distancia existente entre los ejes, d2.
Si retomamos los ejemplos de las poleas y del tiovivo podemos llegar a la conclusión
de que el momento de inercia también determina las características del movimiento
de rotación: mientras mayor sea el momento de inercia, menor es la aceleración
angular que un momento de fuerza dado puede producir y viceversa.
Fig. 7.7
17
El momento de inercia desempeña en la rotación un papel análogo al de la masa
inercial en la traslación, pero se diferencia de esta en que depende de la distribución
de masa respecto al eje de rotación que pasa por su centro de masa Icm y para otro
eje paralelo a este, I está dado por la aplicación del teorema de Steinner.
Ejemplo 7.5.
Dos esferas de igual masa, m = 100g, se encuentran fijas en los extremos de una
varilla de longitud de 30 cm y de masa despreciable, que puede rotar respecto a un
eje de rotación que pasa por el centro de masa del sistema. Calcula el valor del
momento de inercia del sistema.
R/
Se pueden considerar las esferas en los extremos de la fina varilla sin masa como
partículas que se encuentran en rotación respecto a un eje que pasa por el centro de
masa del sistema. Para calcular el momento de inercia del sistema se tiene que:
IS = miR2, por tanto: IS= I1 + I2, donde :
IS = m1R2 + m2R2 IS = 2mR2
Datos:
m1 = m2 = m = 100g = 0,1 kg; R = D/2; R1 = R2 = R = 15 cm = 0,15 m
IS = 2mR2 IS = 2 0,1kg (0,15 m)2
IS = 0, 0045 kg.m2
Ecuación fundamental del movimiento de rotación de un cuerpo
rígido.
Utilizando la segunda ley de Newton explicábamos gran variedad de problemas
relativos al movimiento de traslación (M.R.U.V, movimiento de proyectiles, M.C.U).
¿Existirá una expresión similar a esta ley para la explicación de problemas relativos
al movimiento de rotación?
Ahora estamos en condiciones de responder a esta interrogante. Las características
del movimiento de rotación están determinadas por dos factores: el momento
resultante de la fuerza o torque y el momento de inercia del cuerpo respecto al eje
de rotación. Estos dos factores están estrechamente relacionados con la aceleración
angular mediante la ecuación fundamental de la dinámica de la rotación, la segunda
ley de Newton para la rotación.
Su expresión es:
18
I
R
Es decir, la aceleración angular
es directamente proporcional al momento
resultante de las fuerzas R
e inversamente proporcional al momento de inercia I. De
esta ecuación también se deduce que la aceleración angular es un vector que tiene
la misma dirección y sentido que el momento de la fuerza resultante o torque.
La ecuación anterior sólo es válida para cuerpos rígidos. Analicemos cómo la
segunda ley de Newton para la rotación,
IR , permite explicar diversidad de
problemas relativos al movimiento de rotación de un cuerpo rígido.
Si el torque resultante es cero, entonces la aceleración angular también lo es
y el cuerpo realiza un movimiento de rotación uniforme o está en reposo
rotacional, es decir la velocidad angular
permanece constante o es cero.
Si el torque resultante y el momento de inercia son constantes, entonces la
aceleración angular también es constante y el cuerpo realiza un movimiento
de rotación uniformemente variado, donde la velocidad angular varía
uniformemente para iguales intervalos de tiempo, cualesquiera que estos
sean.
Si el torque resultante o el momento de inercia son variables, entonces la
aceleración angular también es variable y el cuerpo describe un movimiento
de rotación variado.
Ejemplo 7.5.
Un hilo inextensible y de masa despreciable se enrolla en un
disco ranurado como polea de masa 10,0 kg y radio 0,10 m,
que puede girar libremente sobre su eje central fijo y que
inicialmente se encontraba en reposo. Si se tira del hilo con
una fuerza constante de 9,0 N y tangencial al disco:
a) ¿cuál es su aceleración angular?
b) ¿cuál es su velocidad angular al cabo de 2,5 s?
c) ¿Cuántas vueltas realizó el disco en este tiempo?
R/
a) I
I
F
r
I
19
El disco gira libremente, por tanto la única fuerza que produce torque es la tensión F
del hilo inextensible y de masa despreciable.
El torque es:
Fr
El disco no es más que un cilindro corto y por tanto de inercia de este es:
2
mrI
2
Sustituyendo en la ecuación para :
I
2
mr
rF2
mr
F2
m10,0kg0,10
N92
kgm0,1
N18
2s/rad18
b) Como es constante el disco realiza un movimiento de rotación uniformemente
variado:
t0
s5,2s/rad180 2
s/rad45
c) Para determinar el número de vueltas se debe determinar el desplazamiento
angular y dividirlo entre 2π rad.
2
tt
2
0
2
)s5,2(s/rad180
22
rad3,56
20
C
N
rad2
rad3,56N
vueltas9,8N
Ejemplo 7.6.
¿Qué le sucede a la aceleración angular del ejemplo anterior si se duplica la tensión
sobre la polea? ¿Y si el momento de inercia de la polea se reduce a la mitad
manteniendo la misma tensión?
R/
I
En el primer caso al duplicarse la tensión F se duplica el momento de la fuerza y la
aceleración angular también se duplica por ser ambos directamente
proporcionales. En el segundo caso también se duplica , porque al disminuir a la
mitad el momento de inercia I, por ser inversamente proporcional a , esta se
duplica.
Mediante el ejemplo anterior vemos que las características del movimiento de
rotación están determinadas por el momento de la fuerza y por el momento de
inercia. Estas dos magnitudes permiten determinar la aceleración angular del cuerpo
rígido, y esta a su vez, permite determinar la velocidad y el desplazamiento angular.
Ejemplo 7.7.
Una rueda de radio 50 cm tiene un momento de inercia igual 4 kgm2. Gira respecto
a un eje de rotación que pasa perpendicular al plano de la figura por
su centro de masa, con velocidad angular de 10 rad/s. Se le aplica una fuerza tangencial de valor 8N para detener su movimiento. Calcula:
a) El torque de la fuerza.
b) La aceleración angular.
c) El tiempo de frenado de la rueda.
R/
Datos: r = 50 cm = 0,50 m; I = 4 kg.m2; ωo =10 rad/s; F=8N; ω=0
F
21
a) La fuerza aplicada realiza un torque que provoca la disminución de la velocidad
angular de la rueda. El sentido del vector torque es contrario al vector velocidad
angular inicial
Fr
N8m50,0
Nm4
b)
I
2kgm4
Nm4
2s/rad1
c)
t0
0t
2s/rad1
s/rad100t
s10t
Ejemplo 7.8.
Una polea cilíndrica fija P, de masa M = 0,5 kg y radio 10 cm,
tiene enrollada en su periferia una cuerda inextensible y de
masa despreciable. Del extremo libre de la cuerda cuelga un
cuerpo C de masa m = 2 kg. Cuando el cuerpo C se deja libre,
este comienza a descender, desenrollando la cuerda. Calcula:
a) La aceleración a del cuerpo C.
b) La aceleración angular de la polea.
c) La tensión T del hilo.
R/
Datos: M = 0,5 kg; r = 10 cm = 0,10 m; m = 2 kg; g = 9,8 m/s2
a)
C
P
T
22
maF
maTFg
maTmg
En la ecuación la tensión T no se conoce pero es la fuerza que genera el torque de
la polea. Entonces se plantea:
I
rT Pero:
ra
r
a
I Sustituyendo:
r
aIrT
El momento de inercia de la polea es:
2
MrI
2
Sustituyendo:
r
a
2
MrrT
2
2
MaT
Pero:
maTmg
Sustituyendo T obtenemos:
ma2
Mamg
2
Mamamg
)2
Mm(amg
g
)2
Mm(
ma
23
2s/m8,9
)2
kg5,0kg2(
kg2a
2s/m7,8a
b)
r
a
Sustituyendo:
m10,0
s/m7,8 2
2s/rad88
c) Se vio en este caso que:
2
MaT
Sustituyendo:
2
s/m7,8kg5,0T
2
N4,2T
§ Energía en el movimiento de rotación.
En muchos procesos y medios tecnológicos utilizados para generar energía está
presente la rotación. Tal es el caso de los generadores de corriente y los motores.
En el primero alguna forma de energía (cinética, potencial, etc.) se trasforma en
energía de la rotación del rotor, y luego esta se trasforma en energía eléctrica; en el
segundo caso ocurre el proceso inverso, de energía eléctrica se trasforma en
energía de la rotación y luego esta se puede transformar en otra forma de energía
(energía cinética de traslación, energía potencial, etc.)
¿Qué tipo de energía tiene un cuerpo rígido cuando rota alrededor de un eje fijo?
Cuando un cuerpo rígido rota alrededor de un eje fijo, cada partícula del cuerpo
posee una energía cinética asociada a su movimiento de traslación por una
circunferencia. La energía cinética en el movimiento de traslación es igual a:
2
vmE
2
C
24
La energía cinética total del cuerpo que rota es igual a la suma de las energías
cinéticas de todas sus partículas que se trasladan por circunferencias de distintos
radios r, pero todas con igual velocidad angular ω. La suma de todas estas energías
cinéticas constituye la energía cinética de la rotación del cuerpo con rotación, la cual
se determina mediante la expresión:
2
C2
IE
R
Donde I es el momento de inercia.
La expresión para determinar la energía cinética de rotación es análoga a la de la
traslación, cambiando la masa inercial por el momento de inercia y la velocidad lineal
por la velocidad angular.
Ejemplo 7.9.
Un aerogenerador transforma la energía cinética del viento (energía eólica) en
energía cinética de la rotación de las aspas del rotor y luego de esta a energía
eléctrica. Un aerogenerador tiene un momento de inercia 25kgm100,7I y
alcanza una velocidad angular máxima de 30,2 rpm, determina su energía cinética
de rotación.
R/
2
C2
IE
R
La velocidad angular debe convertirse de rpm (revoluciones por minuto) a rad/s.
Una revolución es una vuelta que equivale a 2π rad y un minuto a 60s.
s60
rad22,30rpm2,30
s/rad16,3
Sustituyendo en la ecuación de la RCE :
2
C2
IE
R
2
)s/rad16,3(kgm100,7E
225
CR
J105,3E 6
CR
Esta energía cinética de rotación en el aerogenerador depende de la velocidad del
viento, la cual es variable, y por lo tanto este es solo su valor máximo. Esta se
aprovecha para transformarla en energía eléctrica, que posteriormente en las casas
25
se puede transformar en energía de la radiación electromagnética (en bombillos,
lámparas), mecánica (en un ventilador en funcionamiento, energía de la onda sonora
que emite un radio, energía cinética de los electrones en un tubo de pantalla de un
televisor), entre otras casos.
§ Cantidad de movimiento angular.
En capítulos anteriores hemos estudiado dos leyes importantes de conservación: la
ley de conservación de la cantidad de movimiento lineal y la ley de conservación de
la energía mecánica de traslación. En este epígrafe estudiaremos estas leyes para la
rotación.
Se vio que un cuerpo animado de movimiento de traslación tiene una cantidad de
movimiento lineal dada por la expresión:
vmp
Si el cuerpo además describe un movimiento de rotación, el mismo tiene una
cantidad de movimiento angular representada por el vector L
, que permite
caracterizar su cantidad de movimiento de la rotación y se determina por la
expresión:
prL
Cuyo valor es:
senprL
Donde r es el módulo del vector posición respecto al origen del sistema de
coordenadas y θ es el ángulo formado entre los vectores r y p
. La cantidad de
movimiento angular, L , es una magnitud vectorial y su dirección y sentido quedan
determinados por la regla de la mano derecha: los cuatro dedos se orientan en el
sentido de r y se giran barriendo el menor ángulo hasta quedar en el sentido de p
, el
dedo pulgar extendido indica el sentido de L .
Nótese que si r y p
tienen la misma dirección, sen = sen 00 = sen 1800 = 0,
entonces L es cero. En este estudio solo se tratan situaciones donde θ = 900 y por
tanto sen 900 = 1. Para estas condiciones r es perpendicular a p
en el plano XY y L
está en z paralelo al eje de rotación.
Como el sen 900 = 1, entonces el valor de L
prL
La cantidad de movimiento angular se mide en kg m2/s
26
Si sustituimos p por su expresión
vmrL
Pero rv y sustituyendo obtenemos que:
2rmL
donde 2mr es el momento de inercia para una partícula y entonces:
IL
Como L
y son paralelos al eje de rotación, entonces se tiene la expresión
vectorial:
IL
Podemos plantear entonces que el vector cantidad de movimiento angular de una
partícula respecto a determinado eje de rotación es igual al producto de su momento
de inercia respecto a dicho eje por el vector velocidad angular. Esta expresión es
válida para un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo z, perpendicular al
plano xy. La cantidad de movimiento angular L caracteriza el movimiento de los
cuerpos que rotan.
Ley de conservación de la cantidad de movimiento angular.
¿Cómo determinar las variaciones de la cantidad de movimiento angular de los
cuerpos?
En el capítulo 4 definimos el impulso de una fuerza y analizamos que era el
causante de la variación la cantidad de movimiento lineal:
pJ
vmtF
De manera análoga podemos definir el impulso angular como:
LJA
It
El impulso angular AJ
es un vector que tiene la misma dirección y sentido que el
momento de la fuerza o torque .
Ejemplo 7.8.
27
Una piedra de amolar en forma de disco, de diámetro 0,50 m y masa 50,0 kg, al ser
desconectada de la corriente gira libremente sin fricción a 115,1 rad/s. Al presionarla
con el filo de un cuchillo se ejerce sobre ella una fuerza constante y tangente de 48,0
N. Determina la variación de la cantidad de movimiento angular y la velocidad
angular al cabo de 5 s.
R/
En esta tarea se desprecia la fuerza de fricción del eje de rotación del disco de la
piedra en su montaje. La fuerza tangente que se aplica constituye una fuerza de
fricción entre las superficies del filo del cuchillo y el disco y tiene sentido contrario al
de la velocidad lineal del punto de aplicación.
Según las ecuaciones anteriores podemos plantear que
LJA
Lt
.
Tomemos el sentido positivo del eje de rotación como el sentido de la velocidad
angular inicial. Note que la proyección del momento de la fuerza es negativa porque
el momento de la fuerza está orientado en el sentido negativo del eje z del sistema
de referencia. Este momento de fuerza hace disminuir la velocidad angular.
Lt
.
LtFr
tFrL
El radio es la mitad del diámetro.
2
dr .
2
m50,0r .
m25,0r .
se tiene:
tFrL
s5N48m25,0L
s/mkg60L 2
La velocidad angular final se obtiene de:
28
0LLL
0IIL
)(IL 0
0I
L
0I
L
El momento de inercia del disco es:
: 2
mrI
2
: 2
)m25,0(kg50I
2
:
2kgm6,1I
Se obtiene sustituyendo los valores de las magnitudes:
0I
L
s/rad1,115
kgm6,1
s/kgm602
2
s/rad6,77
Hasta el momento hemos analizado que sobre el cuerpo se aplica solo un momento
de fuerza. Si sobre un cuerpo rígido actúan n momentos de fuerzas, el impulso
angular resultante es igual a la suma vectorial del impulso angular de cada momento
de fuerza:
nR A2A1AA J...JJJ
tJ RAR
También:
LJ
RA
De esta ecuación se deduce que ningún sistema puede variar su cantidad de
movimiento angular sin la acción de los momentos de las fuerzas externas.
29
Si el impulso angular resultante externo que actúa sobre el sistema es cero, 0JRA
,
la variación da la cantidad de movimiento angular del sistema también es cero,
0L
, es decir, la cantidad de movimiento angular del sistema, L
, permanece
constante. En resumen si el torque resultante externo es cero, 0R
se conserva la
cantidad de movimiento angular L del sistema. Este es el enunciado de la ley de
conservación de la cantidad de movimiento angular, así si L se conserva: la cantidad
de movimiento angular del sistema en el estado inicial es igual a la cantidad de
movimiento angular del sistema en el estado final.
Esto es:
LL0
La ley de conservación de la cantidad de movimiento angular es válida en todos los
niveles del universo (micromundo, macromundo, megamundo) y ha desempeñado
un papel importante en la comprensión teórica de los movimientos planetarios y de
los cuerpos celestes, del movimiento de rotación de los macrocuerpos (bailarinas,
trapecistas, etc.), así como de la estructura atómica de la sustancia.
Ejemplo 7.10.
La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es elíptica. Si la velocidad angular de la
Tierra alrededor de Sol en el punto más lejano de su órbita es de 0, su velocidad
angular en el punto más cercano de su órbita será menor, igual o mayor.
Argumente su respuesta utilizando la ley de conservación de la cantidad de
movimiento angular.
R/
Tomemos como sistema el Sol y la Tierra y nuestro sistema de referencia en el
centro de rotación del sistema. Consideraremos a la Tierra y al Sol como puntos
materiales. Debido a la masa tan grande del Sol con respecto a la Tierra, el centro
de rotación del sistema se puede considerar que se encuentra en el Sol. Si
despreciamos la interacción del resto de los planetas y los cuerpos celestes, el
impulso angular resultante externo es cero.
.sistA LJxRe
0L .sist
Entonces
.SS 0LL
30
En un sistema donde no hay momentos de fuerzas resultantes externos, la velocidad
angular se puede controlar variando el momento de inercia. Este principio lo utilizan
los clavadistas y los bailarines. Cuando un clavadista realiza giros al saltar del
trampolín, lo logra al disminuir su momento de inercia encogiendo el cuerpo, lo cual
produce un aumento en su velocidad angular. Al acercarse al agua estira
nuevamente el cuerpo y la velocidad angular disminuye. La ley de conservación de
la cantidad de movimiento angular constituye una de las leyes fundamentales que
permite profundizar en los fenómenos del universo.
Ejemplo 7.10. Movimiento combinado de traslación y rotación
Se tiene un cilindro macizo de masa m y radio R que rueda sin resbalar sobre un
plano inclinado un ángulo . Determina:
a) Por un procedimiento energético la velocidad de su centro de masa al llegar a la parte más baja del plano inclinado.
b) Por un procedimiento dinámico la velocidad de su centro de masa al llegar a la
parte más baja del plano inclinado.
c) La relación entre el coeficiente de fricción estática s entre el plano inclinado y
el cilindro y el ángulo de inclinación del plano, para establecer la condición de
que el cilindro deslice o ruede por el plano inclinado.
R/
a) 22
0 mv2/1I2/1mgh
, velocidad angular alrededor del centro de masa y v, velocidad del centro de masa del cilindro al llegar al pie del plano inclinado.
Se sabe que I0 para el cilindro es: 2
0 mR2/1I
gF
N
senFg
cosFg
f
h S
31
Y: R
v
Sustituyendo:
2
2
2 mv2/1R
v)mR2/1(2/1mgh
gh3/4v
Si el cilindro hubiera deslizado por el plano sin rodar v hubiera sido mayor:
gh2v
Esto se debe a que la energía potencial se transforma no solo en energía cinética de traslación sino también en cinética de rotación, la suma de ambas es igual a la potencial gravitatoria. En este caso el cilindro lógicamente demora más en llegar al
pie del plano inclinado que cuando solo desliza. b)
0cosmgN
mafmgsen
0I
En este caso la fuerza que realiza el torque para que el cilindro rote es la fricción f:
Rf
Por tanto:
0IRf
Pero: 2
0 mR2/1I
y R
a
R
If 0
Sustituyendo se obtiene:
2
maf
Y sustituyendo en la ecuación de la traslación mafmgsen se obtiene:
32
ma
2
mamgsen
Por tanto:
gsen3/2a
Esta aceleración es menor que para el cilindro que solo desliza:
sena
El centro de masa posee una a constante, siendo su velocidad v:
aS2v 2
Sustituyendo la a se obtiene:
S)gsen3/2(2v 2 Pero:
S
hsen
Por tanto:
gh3/4SS
hg3/4v 2
gh3/4v Igual resultado al obtenido por el procedimiento energético.
c)
En b) se vio que la fuerza que determina el torque es la fuerza de fricción f:
2
maf
Sustituyendo:
)gsen3/2(
2
mf
Por tanto:
mgsen3/1f Pero Nf s
y
cosmgN
Sustituyendo: mgsen3/1Ns
N
mgsen3/1s
33
cosmg
mgsen3/1s
Y se obtiene:
tan3/1s
En conclusión si:
tan3/1s El cilindro desliza por el plano inclinado.
tan3/1s
El cilindro rueda por el plano inclinado.
Nota: Resultaría importante investigar, mediante un experimento informatizado, el cumplimiento de estas condiciones. Pudiera para ello utilizarse el programa Interactive Physics.
Tareas generales.
1. Calcula la velocidad angular, la velocidad lineal y la aceleración centrípeta de:
a) un punto sobre el ecuador terrestre.
b) la Luna alrededor de la Tierra
c) la Tierra alrededor del Sol.
Datos: R T = 6.410 3 km, D T–L = 3,8510 5 km, D T–S = 1.510 8 km, T L = 27.3 días.
2. Calcula la velocidad angular, la velocidad lineal y la aceleración centrípeta de las
agujas del horario, el minutero y el secundario de un reloj si sus longitudes son 5, 8 y
10 mm respectivamente.
3. En los ejemplos anteriores ¿qué parte del objeto tiene esa velocidad?, cuando se
calcula:
a) la velocidad angular.
b) la velocidad lineal.
4. Determina la aceleración centrípeta de un avión, que al salir de una picada se
mueve describiendo una trayectoria curvilínea de R = 500 m y su velocidad
v = 800 km/h en su punto más bajo.
5. Un ciclista recorre 3 000 m en una pista circunferencial de diámetro 40 m. ¿Qué
ángulo describió en ese recorrido? ¿Cuántas vueltas dio?
7. Pon ejemplos de cómo puede cambiar el momento de inercia de un cuerpo sin
alterar su valor de masa.
34
8. ¿Qué le sucede a un helicóptero en vuelo cuando la hélice de la cola se detiene?
Justifica tu respuesta usando el concepto de cantidad de movimiento angular L
.
9. Los fusiles y los cañones tienen el ánima estriada, lo cual hace que el proyectil
salga rotando. ¿Por qué se hace esto? Justifica tu respuesta usando el concepto de
cantidad de movimiento angular L
.
9. ¿Qué debe hacer:
a) un patinador de hielo para girar sobre sí mismo con un incremento de su ω?
b) un trapecista para poder realizar giros en el aire?
c) un clavadista para poder dar vueltas antes de entrar al agua?
10. Un trompo de juguete al hacerlo rotar con su pita, rota en equilibrio en posición
vertical, ¿por qué va abandonando su equilibrio vertical a medida que disminuyendo
su velocidad angular hasta que cae?
11. Tiene un huevo cocido (sin estar rota la cáscara) y uno crudo. ¿Cómo puedes
saber cuál es cuál sin romperlos ni agitarlos?
12. ¿Cómo serán los momentos de inercia de dos cilindros de iguales masas y
radios pero de metales de diferentes densidades?
13. ¿Es posible construir un helicóptero con una sola hélice? Argumenta tu respuesta.
14. Bailarines, clavadistas y patinadores logran variar su velocidad angular. ¿Cómo pueden lograrlo?
15. Tienes dos cilindros sólidos de Aluminio de radios: RA = 2RB y de largo LB = 2LA
Halla la relación entre los momentos de inercia: I A e I B, de ambos cilindros.
16. Tienes dos esferas de igual masa y radio pero una es hueca. ¿Cómo puedes
saber cuál es cuál sin romperlas o golpearlas?
17. ¿Habrá diferencia en el tiempo en que una esfera desciende por un plano inclina
rodando todo el tiempo, que si lo hace resbalando todo el tiempo? Argumenta tu
respuesta.
18. Calcula el momento de inercia de los cuerpos siguientes (de masa 1 kg) con
respecto a un eje de rotación que pasa por el centro de masa y después por el borde
del cuerpo:
a) esfera R = 10 cm,
35
b) anillo R=10 cm,
c) varilla delgada de l = 20 cm,
d) cilindro R= 10cm,
e) aro R 1 = 5cm y R 2 = 10 cm,
f) plancha delgada de a = 2 cm y b= 5 cm.
19. Una estrella en el futuro cuando ya consume su combustible nuclear colapsa
hacia su interior, formando un objeto de mucho menor radio, comparable al del
planeta Tierra (6400 km), a estas estrellas se les llama enanas blancas. Si su radio
inicial es de 7105 km y giraba una vez cada 30 días, calcula cuál es su nueva
velocidad de rotación. Supón a la estrella, tanto antes como después del colapso,
como esferas.
20. Un cilindro parte del reposo desde una altura H en un plano inclinado. Determina
la velocidad lineal v del cilindro al llegar a la superficie horizontal donde su velocidad
angular es . El cilindro tiene masa m y radio R
21.- Deja rodar sin resbalar sobre un plano inclinado los objetos siguientes: un aro,
un anillo, una esfera, un cilindro. Todos tienen el mismo radio R. ¿Cuál debe llegar
primero a la base, rodando sin resbalar? Argumenta tu respuesta.
22. Un cilindro de acero de masa m = 2 kg rota a 360 rpm. Para frenarlo y detenerlo
se pone en contacto en su periferia con un plano. El radio del cilindro es R = 0.5 m.
Determina:
a) ¿En cuánto varía su momento angular?
b) ¿Qué le sucedió a la energía del cilindro?
23. Tenemos tres pomos plásticos idénticos, uno con arena en su interior, el otro con
agua y el tercero con gravilla ¿Qué hacer para hallar su momento de inercia? Diseña
el experimento y realízalo. Justifica tus resultados.
24. Con los mismos pomos del problema anterior iguala sus masas y vuelve a
realizar el experimento. Si encontraste diferencias explícalas.
25. Un bloque de 1 kg de masa cuelga de una cuerda que pasa por una polea de 2,5
kg de masa y de 20cm de radio. Determina el valor de la aceleración del bloque (que
al caer hace rotar la polea) y la aceleración angular de la polea.
26. Un disco, un aro y una esfera giran y poseen la misma masa y radio. Halla la
aceleración angular de cada uno, producto de una fuerza aplicada al borde exterior
de cada uno.
36
27. Un disco tiene una masa de 50 Kg y un radio de 0,8 m y gira con respecto a un
eje que pasa por su centro de masa. ¿Qué sucederá si se le aplica una F = 20 N
tangente al borde del disco durante 5 minutos? Justifica tu respuesta con cálculos de
las magnitudes afectadas. ¿Cómo cambiarían las respuestas anteriores si el eje de
rotación pasase por el borde del disco? Justifica tu respuesta con cálculos.
28. Una varilla con dos cuerpos de masas iguales fijados en su interior y a la misma
distancia de O, gira alrededor de un eje que pasa por su centro de masa (O). ¿Qué
sucederá si las trabillas que aguantan los cuerpos cerca del centro se sueltan?
Justifica tu respuesta y considera que la varilla tiene un tope en cada extremo.
29. Una bailarina con un momento de inercia 50 kg.m2, gira con una velocidad angular de 10 rad/s. Al recoger sus brazos, aumenta su velocidad angular hasta 30 rad/s. Calcula el momento de inercia de la bailarina en esta nueva condición.
30. Calcula el momento de inercia de una esfera homogénea y maciza de radio R y masa M respecto a un eje que pasa tangente a su superficie.
31. El disco representado en la figura se encuentra girando, en el sentido que se indica, con velocidad
a) Señala la dirección y sentido del vector b) Si se aplica una fuerza del sentido indicado, señala la dirección y sentido del torque producido por ella.
c) ¿Qué le sucede al módulo de la velocidad angular ? 32. Un cilindro de acero de masa 200 kg gira con una frecuencia de 6 Hz. Para
frenarlo y detenerlo se le aplica una fuerza tangencial de valor desconocido a la distancia de 0,5 m del eje de rotación que pasa por el centro de masa del disco. Hallar:
a) La aceleración angular del disco, si el tiempo de frenado fue de10 s. b) La fuerza aplicada. c) La variación del impulso angular del disco.
33. Calcula el momento angular y la energía cinética de rotación de un cilindro de 20 kg de masa y 50 cm de radio que gira alrededor de su eje con frecuencia de 25 Hz.
34. Una esfera de masa m atada a un hilo de longitud 20 cm, gira en un plano horizontal con una velocidad angular constante de 10 rad/s. Se recoge el hilo 10 cm
durante su movimiento. ¿Cuál será la nueva velocidad angular de la esfera? 35. Una persona gira en una plataforma rotatoria con velocidad angular de 4 rad/s y
sostiene en cada brazo extendido un libro. Recoge sus brazos y la velocidad angular es ahora de 8 rad/s. Si la longitud del brazo es 50 cm, ¿a qué distancia de la persona ahora se encuentra cada libro?
36. En un parque de diversiones un tiovivo con un momento de inercia de 100 kg.m2 gira vacío con una frecuencia de 0,5Hz. En movimiento y simultáneamente varios
F
F
r
37
niños se montan en él, disminuyendo la velocidad angular a 0,3 rad/s. Hallar el nuevo valor del momento de inercia del tiovivo y los niños.
37. ¿A cuál de las fuerzas representadas en la figura le corresponde un torque mayor
con respecto a un eje que pasa por O? Explica.
38. Calcula la cantidad de movimiento angular y la energía cinética de rotación del sistema
representado en la figura cuando gira con una frecuencia de 100Hz alrededor de un eje que pasa por su centro de masa.
(Desprecie el radio de las esferas en comparación con la distancia entre ellas) 39. ¿Qué valor debe tener una fuerza tangencial aplicada a una rueda de 2kg de
masa y 25cm de radio para que, partiendo del reposo, adquiera una velocidad angular de 100 rad/s transcurridos dos segundos? ¿Cuántas vueltas dará en ese tiempo?
40. Un disco que posee una masa de 50kg y un radio de 0,8m puede girar alrededor de un eje fijo perpendicular al mismo que pasa por su centro. Si en el borde del disco
se ejerce tangencialmente una fuerza de 20N; determine cuál será al cabo de 2s: a) Su aceleración angular. b) La aceleración tangencial de los puntos situados en el borde de la rueda.
c) El ángulo girado. d) Su cantidad de movimiento angular. e) Su energía cinética de rotación
41. Considera un cilindro macizo de masa M y radio R que rueda sin resbalar por un plano inclinado. Encuentra la velocidad de su centro de masa cuando el cilindro llega
al extremo inferior del plano. Considera que partió del reposo cuando su centro de masa tenía la altura h. 42. La polea representada en la figura posee una masa
de 0,5 kg y un radio de 20 cm. El cuerpo A tiene una masa de 2,0 kg y está atado a uno de los extremos de un hilo inextensible y de masa despreciable que está
enrollado en torno a la periferia de la polea fija. Determina el tiempo que debe transcurrir para que el cuerpo A llegue al suelo, si comienza a moverse a
partir del reposo en la posición indicada. 43. En la figura, la masa del bloque A es de 4,0 kg, la
masa de la polea es de 0,2 kg y su radio de 20 cm. El plano inclinado es liso y la inclinación es de 300. Determina:
a) La aceleración del bloque.
m A
2,0m
L L / 2
300 O N50F1
N50F2
10kg 10kg
1,0m
O
A
300
38
b) La aceleración angular de la polea. c) La cantidad de movimiento angular y la energía cinética de rotación de la
polea, 1,5 s después de comenzar el movimiento del bloque. ¿Cuántas vueltas dio la polea al cabo de ese tiempo?