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LABORATORIO DE SEGUNDO CURSO (FISICA IlI )

SOLIDO RIGIDO:

MOVIMIENTO GIROSCÓPICO

TEORIA Un girósco po es un só lido rígido con un eje de simetría alrededor del cual se encuentra girando. Este eje de si metría puede cambiar libremente de dirección y, po r tan to , el eje de rot ación puede cambiar libremen te de dirección. Un e jemplo típico de movimiento giroscópico es la peOI1za con la que juegan los niños, como la mostrada en Fig. 1: la peonza se encuentra girando alrededor del eje de simetría X 3 ind icado en la figur a. Este eje pivota en un punto a una distancia b del cent ro de masas e, pero es libre de girar en cualquier dirección .

x X, figura 1:

y

El movimiento de un gu óscopo es, en general, m uy complicado. Para poder entender el movimiento de este sistema, l1samos la segunda ley de Newton para. la rotación :

- diN= ­ (1)

dt

Todo lo que realmente debemos recordar es que el cambio en el momento angular L de la peO" 7, a. debe verificarse en la. dirección del momento Ñ de la fuerzil que actúa sobre ella. En nuestro caso, es ta fuer za es la fuerza de la gravedad M g. Tanto el momento ".ngular l como el lllOllleuto Ñ de la fuerza. de la gravedad se refieren al punto O de apoyo de la p eonza.

Si la peonza se sitúa inicialmente formando un cierto ángulo () con la vertical y des provista de giro, como es lógico, se caerá al suelo. El momento iJ es debido al peso )\¡fij, que actúa en el centro de maSil.S e, y es igual al producto vectori al OC X JVII/. Por tanto , ¡{ es igual

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x Z ~\~ <--D W PT

eX L sen~ _~.__ W 3 ; -'¡ - _

/' _\ D .....1 ----- - dq, ), ~. / IJ _ _ /

L dL - - -

.\

Figura 2:

en magni tud a Alqb senB y su dirección es horizon tal, perpendi cular a l eje de la peonza. En consecuencia, la peonza, que inicialmente tenía momento angular cero , adq uiere de acuerdo a (1) un momento angular hor izonta l. Esto supone un giro de la peonza en torno a un eje horizontal y, por tanto, la peonza cae al suelo.

Consideremos ahora lo que ocurre cuando la. peonza es tá ini cialmente girando en torno a.l eje de simet,ría. )(3 . Ahora, la peonza posee inicialmente un gran momento a.ngular a lo la.rgo de su eje en virtud de su giro: L = 13W3, donde h es el momento de inercia de la peonza. en t.orno a X 3 , y W3 es la ve locidad angular de gi ro en torno a este eje. Como ant.es, la fuerza de la gravedad da lugar a. un momento Ñ hori zontal , perpendicular a )(3 , y de magni tud MgbsenB . Tanto R, COlllO L y 0)3 , se muestran en Fig. 1 y 2.

En un pequeño intervalo de tiempo dt, el vector L, de acuerdo a (1) , sufre un cambio en la. di reCCIón de N

tal y como se indica en Fig. 2. F ijarse en que como N es perpendicular a L, el cambio dL que experimenta es también perpendicular. En consecuencia, L no cambia en magnitud , sólo en dirección. Este cambio se il ustra en la fig ura: el vedor L cambia. de la pos ición OA a la posición O B , siendo su cambio AB = dL paralelo a Ñ . De este mo do , el extremo del vector 1 descri be un cíl culo ,,!rededor del eje ver l.icill Z de radio AD = OA senB, donde OA = li l. Est.e giro del eje de simet ría X3 alrededor de la vertical se COlloce con el nombre de precesión , y la. velocidad con la que X 3 rota a lrededor de la vertical se denom ina velocidad de precesión elel giróscopo, 'l ue designilremos por wpT :

dlj¡ 0JpT = dt' (2 )

donde dq, es el ángulo que descr ibe X3 en tomo a Z en Lln t iempo dt. Como rep resenta un giro en t.orno a Z, wPT es paralelo a Z.

De F ig . 2, se liene

ABAB = ADdlj¡ =} d<jJ = AD

2

}

x

Figura 3:

Corno AB = Idi l = IJlT Idt , Y AD = OA senO = li l sen{/ , se t iene:

d,p l/VI

dt Il lsenO

Finalmente, usando q ue IJlT I = MgbsenO , y II I = I3w3, tendremos que la velocidad angular de precesión estará dada por:

(3)

En realidad, este resultado es tan sólo aproximado. La razón es que al estar la peonza precesando en torno al eje Z, la velocidad angular total del sólido es la suma de la velocidad de rotación W3 en torno a X 3 , y de la ve loc idad angular de precesión wpr , y por consiguiente el momento angu lar de Ja peonza no es I3¡;j3 , como hemos supuesto. El result ado es que , en genero'! , el ángulo {/ no permanece constante , sino que oscila entre dos valores fijos , corno se muestra en Fig. 3, de modo que el extremo de l , al mismo t iempo que precesa alrededor de Z, osci la entre dos círculos e y e', ta l y como se indica en la figura. Este movimiento oscilatorio del eje X , se denomina nutación, No obstante, si la precesión es muy lenta (wpr « W3) el momento d,ngula,r en torno a Z puede despreciarse y el resultado (:l) es aproximadamente válido,

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2 MATERIAL

• Base (antes de uti lizarl a, debe procederse a equilibrarl a tal como se indica en las ins­Lrucciones adju ntas).

• Compresor

• Estroboscopio (su manejO está indicado en las ins trucciones adjuntas)

• Cronómetro

• Esfera perforada , varilla.

Con est.os dos últimos element os se montan las siguien te peonzas :

1. Se t iene una esfera de masa M, y radio R con una perforación ci línd rica de radio ,. y p rofLmdi dad h, t.al como se indica en la fi gura. La di st.ancia b entre el cent.ro de esl. a esfera y su cent.ro de masas viene dada por :

b - - R - ~ (4)- (4R3) _ 1 3h.r2

r ~

¡ h

1 1

b R Gt

PEONZA 1

y los momentos de inercia por:

(5)

3M,r2h (/¡2 ,.2 ( h)2) (6)1, = [, = 1" - 4R3 _ 3h,,' 12 - 4' + R - 2

1, , 12 , h son , respectivamente, los momentos de inercia de la peonza respecto a t res ejes Xl , X z, X 3 , que pasan por el centro de mas as G de la misma: X, es el eje de simet rí a

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de la peonza, y X l, X2 dos ejes perpendiculares d, X 3 y perpendi culares entre sÍ, Aunque 11 , / 2 , 1:1 son los momentos de inercia referidos al centro de masas G, aproximadamente coinciden con los momentos de inercia referidos al centro de la esfera, suponiendo que la distanci", b ,mt rc el centro de la esfera y el cent ro de masas C es suficientemente pequeña,

1I . A la peonza I se le rosca la varilla de masa M", radio 'r, y longit ud l, tal como se indica en la figura. L" distancia. b' entre el centro de la esfera y el centro de gravedad de la peonza viene dada por:

b'= M, b + M,, (R + ~ - I, ) (7)

M, + M"

y los momentos de inercia por:

(8 )I~ =

I I 2 l2r,( 1 ) 2)11 = 12 = J1 + M" "'4 + 12 + '2 + R - /, (

(9)

r ~

1

jh

! 1

b f-- G R

PEONZA II

Nuevamente, 1; , I~, 1; son los momentos de inercia referidos al cent ro de masas G de la peonza, que también coincid irán aproximadamente con los momentos de inercia referidos al centro de la esfera si suponemos que b' es sufi cientemente peq\leño.

Esta es la. peonza con la que vamos a t rabajar.

MÉTODO EXPERIMENTAL Basándonos en las nociones teóri cas que introdujimos en la sección 1, vamos a determi­

na r exper imentalmente las posición del centro de masas de la peonza II, y la razón entre los tllomerrtos de iner"ia. de esta. peonza.

A) Re,tli zar h s medidas necesaria.s para det.erminar las di sia.ncias b y b' mediante las expre­siones (4) y (7). Calcular el error en b y b'. Medir la masa de la peonza ¡ (M, ) Y de la var illa (Mu), y calcular usando ~il,S expresiones (5), (6) para la peonza, I y (8), (9 ) para. la peonza Il , los momentos de inercia, correspondientes. Determinar también los erro res correspollcli cntes (es Lo no es necesar io en el caso de los momentos de inercia 11 , h para la peonza 1, y para los momentos de inercia 1;,1; en el caso de la peonza II ).

B) En este apar tado, se estudiará la precesión del giróscopo (peonza I1 ) alrededor de la ver tical:

- Hacer girM el girósco po y eliminar el cabeceo del eje X3 ·

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Utilizando el estroboscopio, med ir la velocidad an¡?;U I,"I' "-'3'

Medi r el t iempo que tarda la peonza en recorrer la órbita. de precesión (o una fracción de la mi sma) y a partir de este dato, hallar la velocidad wpr '

R.epetir el proceso un mínimo de 10 veces trat.ando a ser posible de que la veloc idad angu lar "-';¡ recorra un intervalo de valores lo más amplio posibk.

Con los d,üas obt.en idos se h allMá. el va.lor de b' de dos fo rm as distin tas:

(i) Calcular w3Wp, para ca.da medida. Ha.ll ar el valor promedio de w3wpr para es tas medidas, y determinar usando la, expres ión (3) la distancia b'. Ha.cer una. est.imación del error cometido.

(ii) Si el rango de valores cubierto po r W3 es suficientemente amplio, representar gráficamente log w3 como función de log wp," Hacer un ajust.e de es tos datos a una recta por mínimos cu adrados. Interpretar los parámct. ros del aj uste. Determinar 1/ a partir de la ordenada en el origen y hacer una estimación del error comet ido. Comparar los dos valores obtenidos de b'.

CUESTIONES 1. Comprobar las expresiones (4), (5) , (6) para la peonza 1, y las expresiones (7), (8) , (9)

para la peonza TI.

2. Comparar los valores de b' obtenidos en los apartados A) y B) .

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EQUILIBRADO DE LA BASE

Antes de cornenzi\!' las medidas es necesario nivelar la base. Para ello , se dispone de tres Lomi llos niveladores, A, B y e, y hay que proceder de la siguiente forma.

Si Lu ar el giróscopo (esfera + varilla) en la posicióll (1) , lal corno indica la figura , sujetando el final de la varilla para que se mantenga horizontal. Si la base no está equilibrada, el giróscopo se moverá hacia el lado más ba.io. Si , por ejemplo , se mueve hacia. (,,) , deberá elevarse esa zona usando el Lorni llo A. Habrá que ir a justando los torn illos A y B hasta que el giróscopo se mantenga es tacionario en la posición (1) . Una vez conseguido esto , se sit ua el giróscopo en la posición (2) y se il.j\ls l·a el Lornillo e hasta que se man t.enga estacionario en est.a posición.

í z b

e

ESTROBOSCOPIO

Se t.rata de una fuente de luz que emite destellos con una frecuencia que podemos variar en el rango 10 a 10000 ft ashes / min uto.

Si enfocamos el est.roboscopio sohre un pun to que reali za un movimiento periódico, podemos hallar la in versa del periodo de ese movimiento variando la frecuencia de emisión de des tellos has t.a que el punto quede aparentemente quieto. La frecuCtl cia del movimiento es tudiado será precisamente la frecuencia de emisión del sintonizador.

Teniendo est.o en cuenta, podemos medir la velocidad ang ular, W3, alrededor del eje de simdría de 1" peiJn:¿a, fijándo le una referen cia (que, por supuesto, Tl O debe es tar sobre el eje) y sincronizándola. con el es l. roboscopio.

p llECA ti elÓN: si una frecuencia de emisión de des t.ellos sincroniza u n movimiento periódico, cu alquier submúlt.ip lo de esta frecllcllcia lo hará también.

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