mpp04-521-r06v (1)

Chng trnh Ging dy Kinh t Fulbright Nin kha 2011-2013

Cc phng php nh lng Bi c

Kha hc ngn v thng k kinh doanh 2nd ed. Ch. 5: Cc phn phi xc sut chun v lin tc khc

William Mendenhall v cng s 1 Bin dch: Hi ng Hiu nh: Cao Ho Thi

C H N G

CCCC PPHHNN PPHHII XXCC SSUUTT CCHHUUNN VV LLIINN TTCC KKHHCC

V chng ny:

Mt s bin s ngu nhin ri rc v cc phn phi xc sut ca chng c trnh by trong Chng 4. Mc ch ca chng ny l gii thiu vi cc bn bin s ngu nhin chun, mt trong nhng bin s ngu nhin lin tc quan trng v thng gp nht. Chng ti trnh by phn phi xc sut ca chng, v chng ti chng t cch thc m phn phi xc sut ny c th c s dng.

5

Chng trnh Ging dy Kinh t Fulbright




NGHIN CU IN HNH

MT BNH NHIN LIU NG GI BAO NHIU?

Mua mt chic xe mi lc no cng l mt tri nghim hp dn, bi v mi chng ta c nhng k vng khc nhau v vic chic xe mi ca chng ta - bt lun n c l mt chic xe con, xe gia nh hay bn ti - s ra sao v n s vn hnh th no. Mt khi chng ta quyt nh v mu sc, loi xe, v cc chn la m chng ta mun c trong chic xe m chng ta mua, th chng ta phi i mt vi nhiu tiu chun khc c lin quan n nhng quyt nh m chng ta thc thi. Liu chic xe m chng ta chn la c tit kim nhin liu khng khi di chuyn trong thnh ph cng nh trn ng cao tc? Khc bit ra sao v khong cch phanh khi ng trn t so vi khi ng kh ro? Qung ng i (vi mt bnh y nhin liu) no ca chic xe m chng ta s la chn?

Khi so snh s dm ng trung bnh tnh trn 1 galng nhin liu (mpg) khi li trong thnh ph v ngoi ng cao tc, th 20 chic xe m chng ti chn t nm s tp ch Consumer Reports (Cc Bo co v Ngi tiu dng)(thng Ging - thng Tm 1994) trung bnh t t 10 n 17 mpg khi chy trong thnh ph v t 21 n 41 mpg khi li trn ng cao tc. Qung ng i vi mt bnh nhin liu y thay i t 350 n 495 dm. Trn thc t, qung ng i trung bnh l 418,0 dm, trung v v trung bnh c trng s ln lt l 420,0 v 419,1; v lch chun l 45,8 dm. Bi v trung v v trung bnh c trng s ch khc bit rt t so vi trung bnh, chng ta t s k vng l qung ng i c trnh by trong Hnh 5.1 s c hnh dng g v, nu nh c thm nhiu loi xe hn na c kim tra, th nhiu kh nng c phn phi chun. Cc bin s nh l nhng bin s c bo co y c xu hng c phn phi chun, nh cc bin s khc m phn nh nhiu nhn t nh nhng quan trng s quyt nh gi tr ca cc bin s ny.

Ngoi mu sn v nhng chn la khc m bn c l c kh nng thm vo chic xe mi mua ca mnh, liu nhng chic xe c thc s khc bit v nhng c trng ny m rt cuc c th gip bn tit kim c mt s tin, v trong trng hp qung ng i, gip bn trnh c tnh hung kh x khi b mc kt vi mt thng nhin liu trng rng?

ng cong chun, c s dng nh l mt m hnh cho cc phn phi tn sut tng i cho nhiu bin s ngu nhin lin tc, l ch ca Chng 5. Chng ta s kho cu cc tnh cht ca chng, xem cch thc m chng c th c s dng tnh ton xc sut, v xem cch m chng ta c th quyt nh chn chic xe no da trn nhng quyt nh hp l v phn phi xc sut chun.





HNH 5.1 Qung ng i trung bnh cho n =20 chic xe i 1994

Ngun: Bo co Ngi tiu dng, thng 1-8, 1994

5.1 PHN PHI XC SUT CHO CC BIN S NGU NHIN LIN TC

Khi mt bin s x l ri rc, chng ta c th ch nh mt xc sut dng cho tng gi tr m x c th c v c c phn phi xc sut cho x. Tng ca tt c cc xc sut i cng vi nhng gi tr khc nhau ca x l 1. Tuy nhin, khng phi tt c cc th nghim u to ra nhng bin s ngu nhin m ri rc. Cc bin s ngu nhin lin tc, v d nh chiu cao v cn nng, vng i ca mt sn phm c th, hay khong cch thi gian gia nhng ln bn hng, c th c v vn gi tr tng ng vi cc im trn mt ng khong cch. Nu chng ta c n nh mt xc sut dng cho mi trong s nhng gi tr khng th m c ny, th cc xc sut s khng cn c tng l 1 na, nh vi cc bin s ngu nhin ri rc. Do vy, chng ta phi s dng mt cch tip cn khc to ra phn phi xc sut cho mt bin s ngu nhin lin tc.

M hnh xc sut cho phn phi tn sut ca mt bin s ngu nhin lin tc c lin quan n s chn la mt ng cong, thng l trn tru, c gi l phn phi xc sut hay hm mt xc sut ca bin s ngu nhin . Nu phng trnh ca phn phi xc sut lin tc ny c k hiu l f(x), th xc sut ca x ri vo khong a < x < b l din tch bn di ng phn phi xc sut f(x) gia hai im a v b (xem Hnh 5.2). iu ny nht qun vi s biu din ca mt biu tn sut tng i (Chng 2), ni m nhng din tch nm pha trn mt khong trong th ny tng ng vi t l ca cc quan st ri vo khong . Bi v s lng cc gi tr m x c th c l v cng ln v khng m c, nn xc sut m x bng vi mt gi tr c th no , v d a, l bng zr. V vy nhng bo co xc sut v cc bin s ngu nhin lin tc lun lun tng ng vi cc din tch bn di phn phi xc sut trong mt khong, v d t a n b, v c biu din bng P(a < x < b). Lu rng xc sut m a





cho php chng ta thc hin nhng suy lun c th c tt nht qua vic s dng d liu ny

HNH 5.2 Phn phi xc sut cho mt bin s ngu nhin lin tc

M hnh ca chng ta c l khng phi lc no cng ph hp vi tnh hung th nghim mt cch hon ho, nhng chng ta c gng chn la mt m hnh m ph hp tt nht vi biu tn sut tng i ca tng th. M hnh ca chng ta cng c lng xp x vi thc t bao nhiu th cc suy lun ca chng ta cng tt hn by nhiu. May mn l, chng ta s tm ra rng nhiu bin s ngu nhin lin tc c phn phi tn sut theo hnh dng g. Mt m hnh xc sut m cung cp mt s c lng xp x tt cho mt s phn phi l phn phi xc sut chun, ch ca Phn 5.2.

5.2 PHN PHI XC XUT CHUN

Trong Phn 5.1, chng ta thy rng m hnh xc sut cho phn phi tn sut ca mt bin s ngu nhin lin tc c lin quan n vic la chn ng cong, thng l trn tru, c gi l phn phi xc sut. Mc d nhng phn phi ny c th c nhiu hnh dng khc nhau, th mt s ln cc bin s ngu nhin quan st c trong t nhin s hu mt phn phi tn sut m c hnh dng gn ging qu chung hay, nh mt nh thng k t s ni, l xp x mt phn phi xc sut chun. Cng thc m to ra phn phi ny c th hin di y.

Phn phi Xc sut Chun

xexf x )2/()(22

2

1)(

K hiu e v l cc hng s ton hc c gi tr xp x ln lt 2,7183 v 3,1416; v (>0) l nhng tham s i din cho trung bnh v lch chun ca tng th.

th ca mt phn phi xc sut chun vi trung bnh v lch chun c th hin trong Hnh 5.3. Trung bnh nm trung tm ca phn phi, v phn phi ny c tnh i xng qua trung bnh ca n. Do tng din tch nm di phn phi xc sut chun ny l bng vi 1, iu ny hm rng din tch nm v pha bn phi ca l 0,5 v din tch nm pha bn tri ca cng l 0,5. Hnh dng ca phn phi ny c quyt nh bi , lch chun ca tng th. Nhng gi tr ln ca lm gim i chiu cao ca ng cong v lm tng b rng; cc gi tr nh ca lm tng chiu cao ca ng cong v lm gim b rng. Hnh 5.4 l mt bn in Execustat cho thy ba phn phi xc sut chun vi nhng trung bnh v lch chun khc nhau. Lu nhng khc bit v hnh dng v v tr.





HNH 5.3 Phn phi xc sut chun

HNH 5.4 Bn in Minitab cho thy cc phn phi xc sut chun

vi nhng gi tr khc nhau ca v .

Trn thc t, chng ta t khi gp phi nhng bin s m tri di t cc gi tr m v cng ln n nhng gi tr dng ln v cng. Tuy nhin, nhiu bin s ngu nhin dng (v d nh chiu cao, cn nng v s ln) to ra mt biu tn sut m xp x rt gn vi mt phn phi chun. Php c lng xp x ny p dng c bi v hu nh tt c cc gi tr ca mt bin s ngu nhin chun nm trong phm vi ba ln lch chun ca gi tr trung bnh, v trong nhng trng hp ny ( 3) hu nh lun lun cha ng cc gi tr dng.

5.3 CC DIN TCH TO THNH BNG CA PHN PHI XC XUT CHUN TC

Xc sut m mt bin s ngu nhin lin tc c mt gi tr trong khong t a n b l bng vi din tch nm bn di hm mt xc sut gia cc im a v b (xem Hnh 5.2). Tuy th, bi v cc ng cong chun c nhng trung bnh v lch chun khc nhau (xem Hnh 5.4), nn chng ta c th to ra mt s lng ln v cng cc phn phi chun. Tng bng tnh ring cho nhng din tch i vi mi trong s cc ng cong ny r rng l khng thc t. Thay vo , chng ta mun to ra mt qui trnh chun ha m s cho php chng ta s dng cng cc khu vc ng cong chun cho tt c nhng phn phi chun.

S chun ha c thc thi d dng nht bng cch th hin gi tr ca mt bin s ngu nhin chun nh s lng cc lch chun pha bn tri hay bn phi ca gi tr trung bnh. Ni cch khc, gi tr ca mt bin s ngu nhin chun x vi trung bnh v lch chun c th c th hin nh sau:

Din tch pha bn tri ca

trung bnh bng vi 0,5

Din tch pha bn phi ca

trung bnh bng vi 0,5





xz

hay, tng ng

zx

Khi z l s m, th x nm pha bn tri ca trung bnh .

Khi z = 0, th x = .

Khi z l s dng, th x nm pha bn phi ca trung bnh .

Chng ta s hc cch tnh ton cc xc sut cho x bng cch s dng /)( xz , m

c gi l bin s ngu nhin chun chun ha. Phn phi xc sut cho z c gi l phn phi chun chun ha bi v trung bnh ca n bng zr v lch chun ca n bng 1. iu ny c trnh by trong Hnh 5.5. Din tch bn di ng cong chun chun ha gia trung bnh z = 0 v mt gi tr c xc nh ca z, v d, z0 l xc sut P (0 z z0). Din tch ny c trnh by trong Bng 3 ca Ph lc II v c th hin l din tch c t en trong Hnh 5.5. Mt phin bn ngn gn ca Bng 3 trong Ph lc II c th hin y trong Bng 5.1.

Bng cch no m chng ta c th tm ra cc din tch pha bn tri ca trung bnh? Bi v ng cong chun chun ha l i xng vi z = 0 (xem Hnh 5.5), cho nn bt k din tch no pha bn tri u c th c tm ra bng cch s dng din tch tng ng pha bn phi ca trung bnh.

HNH 5.5 Phn phi chun chun ha

BNG 5.1 Phin bn rt gn ca Bng 3 trong Ph lc II

z0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,1099 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,224

0,6 0,2257

0,7 0,2580

1,0 0,3413

2,0 0,4772





Lu rng z, bng ng vi mt phn mi gn nht, c ghi vo ct pha bn tri ca bng ny. S thp phn th hai cho z, tng ng vi mt phn trm, c ghi li hng trn cng ca bng. Nh vy, din tch gia trung bnh v z = 0,7 ln lch chun v pha bn phi, c c t ct th hai ca bng so vi z = 0,7, c tm thy bng vi 0,2580. Tng t nh vy, din tch gia trung bnh v z = 1,0 l 0,3413. Din tch gia z = -1,0 v trung bnh cng l 0,3413. Vi th din tch nm trong gii hn mt lch chun bt k pha no ca trung bnh s l hai ln ca 0,3413 hay bng 0,6826. Din tch nm trong gii hn hai lch chun ca trung bnh, chnh xc n bn s thp phn, l 2 x 0,4772 = 0,9544. Nhng con s ny nht qun vi cc gi tr xp x gn ng, 68% v 95%, c s dng trong Qui tc Thc nghim trong Chng 2.

tm ra din tch nm gia trung bnh v mt im z = 0,57 lch chun v pha bn phi ca trung bnh, chng ta tin hnh d xung ct pha bn tri n hng 0,5. Sau chng ta chuyn sang hng trn cng ca bng n ct 0,07. Giao im ca s kt hp hng-ct ny cho ta din tch thch hp, 0,2157.

Bi v phn phi chun l lin tc, cho nn din tch nm di ng cong ny kt hp vi mt im duy nht l bng zr. Hy lu rng kt qu ny ch p dng c cho cc bin s ngu nhin lin tc. V sau trong chng ny, chng ta s s dng phn phi xc sut chun c lng xp x phn phi xc sut nh thc. Bin s ngu nhin nh thc x l mt bin s ngu nhin ri rc. Nh vy, nh cc bn bit, xc sut m x c mt gi tr c th no , v d x = 10, s khng nht thit bng zr.

V D 5.1 Tm ).63,10( zP Xc sut ny tng ng vi din tch gia trung bnh (z = 0) v mt

im z = 1,63 ln lch chun v pha bn phi ca trung bnh (xem Hnh 5.6).

HNH 5.6 Xc sut c yu cu trong V d 5.1

Li gii Din tch c bi en v ch ra bi k hiu A trong Hnh 5.6. Bi v Bng 3 trong Ph lc II cho chng ta cc din tch bn di ng cong chun v pha bn phi ca trung bnh, cho nn chng ta ch cn tm gi tr ghi trong bng tng ng vi z = 1,63. D xung ct pha bn tri ca bng n z = 1,6 v d ngang hng trn cng ca bng n ct nh s 0,03. Giao im ca s kt hp hng-ct ny cho chng ta din tch A = 0,4484. V th,

.4484,0)63,10( zP

V D 5.2 Tm ).0,15,0( zP Xc sut ny tng ng vi din tch gia z = -0,5 v z = 1,0, nh

c th hin trong Hnh 5.7.

Li gii Din tch cn thit bng vi tng ca A1 v A2 c th hin trong Hnh 5.7. T Bng 3 trong Ph lc II chng ta c thy A2 = 0,3413. Din tch A1 bng vi din tch tng ng gia z = 0 v z = 0,5 hay A1 = 0,1915. Nh vy, tng din tch l:

5328,03413,01915,021 AAA





HNH 5.7 Din tch bn di ng cong chun trong V d 5.2

V D 5.3 Tm gi tr ca z, v d z0, cho chnh xc ( mc bn s thp phn) 0,95 ca din tch

nm trong gii hn 0z ln lch chun ca trung bnh.

Li gii Mt na ca din tch 0,95 s nm v pha bn tri ca trung bnh v mt na nm v pha bn phi bi v phn phi chun l i xng. V th, chng ta mun tm ra gi tr z0 tng ng vi mt din tch bng vi 0,475. Tham chiu Bng 3 trong Ph lc II, chng ta thy rng din tch 0,475 ri vo hng tng ng vi z = 1,9 v ct 0,06. Do , z0 = 1,96. Lu rng kt qu ny l rt gn vi gi tr xp x gn ng, z = 2 m c s dng trong Qui tc Thc nghim.

V D 5.4 Cho x l mt bin s ngu nhin phn phi chun vi trung bnh bng 10 v lch chun bng 2. Hy tm xc sut cho x nm trong khong 11 n 13,6.

Li gii Nh l bc u tin, chng ta phi tnh ton cc gi tr ca z tng ng vi x =11 v x = 13,6. Nh vy:

8,12

106,135,0

2

1011 22

11

xz

xz

Xc sut mong mun v vy l )8,15,0( zP v l din tch nm gia z1 v z2, nh c

th hin trong Hnh 5.8. Din tch gia z = 0 v z1 l A1 = 0,1915, v din tch nm gia z = 0 v z2 l A2 = 0,4641; chng ta c c nhng din tch ny t Bng 3. Xc sut mong mun bng vi chnh lch gia A2 v A1; ngha l,

2726,01915,04641,0)8,15,0( 12 AAzP

V D 5.5 Cc nghin cu chng t rng vic s dng nhin liu cho cc xe hi c nh bn ti Hoa K l c phn phi chun, vi mc s dng trung bnh l 30,5 dm mi galng nhin liu (mpg) v mt lch chun l 4,5 mpg. T l phn trm ca xe c nh t mc 35 mpg hay cao hn l bao nhiu?

Li gii T l ca xe c nh t c mc 35 mpg hay cao hn c cho bi din tch bi en trong Hnh 5.9.

Chng ta phi tm ra gi tr z tng ng vi x = 35. Thay th vo cng thc tnh z, chng ta c:

0,15,4

5,3035

xz

Din tch A nm v pha bn phi ca trung bnh, tng ng vi z = 1,0 l 0,3413 (t Bng 3). Sau t l phn trm xe c nh c h s mpg bng hay ln hn 35 l bng vi ton b din tch nm v pha bn phi ca trung bnh, 0,5, tr i cho din tch A:





1587,03413,05,0)10(5,0)35( zPxP

T l phn trm vt mc 35 mpg l:

100 (0,1587) = 15,87%



V D 5.6 Tr li V d 5,5. Trong nhng thi im khan him ngun nng lng, th mt nh sn xut xe hi m c th ch to ra mt chic xe t c mc tiu hao nhin liu tit kim hn so vi xe ca cc i th cnh tranh khc s c li th cnh tranh. Nu mt nh sn xut mong mun pht trin mt chic xe c nh m vt tri hn 95% cc xe c nh hin hnh v phng din tit kim nhin liu, th mc s dng nhin liu ca chic xe mi s l bao nhiu?

HNH 5.10 V tr ca x0 cho )95,0( 0 xxP

Li gii t x l mt bin s ngu nhin phn phi chun, vi trung bnh l 30,5 v lch chun l 4,5. Nh c bin din trong Hnh 5.10, chng ta mun tm ra gi tr x0 cho:

95,0)( 0 xxP





Bc u tin, chng ta tm

5,4

5,30000

xxz

v lu rng xc sut mong mun ca chng ta l ging nh din tch nm v pha bn tri ca z0 i vi phn phi chun chun ha. Nh vy,

95,0)( 0 zzP

Din tch nm pha bn tri ca trung bnh l 0,5. Din tch nm pha bn phi ca trung bnh gia z0 v trung bnh l 0,95 - 0,5 = 0,45. Nh th, t Bng 3, chng ta tm thy rng z0 l gia 1,64 v 1,65. Lu rng din tch 0,45 chnh xc nm gia cc din tch i vi z = 1,64 v z = 1,65; ngha l z0 = 1,645.

Thay th z0 = 1,645 vo phng trnh cho z0 chng ta c:

5,4

5,30645,1 0

x

T , chng ta c c

9,374,30)5,4/()645,1(0 x

Chic xe c nh mi ca nh sn xut ny v th phi t c mc tiu th nhin liu l 37,9 c th vt qua 95% cc xe c nh hin c ti th trng Hoa K v phng din tit kim nhin liu.

V D 5.7 Mc lng ca nhng ngi tt nghip Thc s Qun tr Kinh doanh (MBA) m tham gia vo lnh vc dch v tip th bnh qun xp x 45.000 USD, vi lch chun l 2.250 USD. Nu cc mc lng ny c phn phi chun, th t l phn trm ca nhng ngi tt nghip MBA m tham gia vo lnh vc dch v tip th c mc lng vt qu 47.500 USD, m l mc lng trung bnh cho nhng ngi tt nghip i hc tham gia vo lnh vc qun tr nhn hiu/sn phm, l bao nhiu?

HNH 5.11 Din tch bn di ng cong chun cho V d 5.7

Li gii Nhm tm ra t l phn trm nhng ngi tt nghip MBA m c mc lng vt qu 47.500 USD, chng ta cn c gi tr ca z tng ng vi mc 47.500 USD. Vi = 45.000 USD v = 2.250 USD,

11,1250.2

00.45500.47

xz

Tip n, chng ta cn tm ra din tch nm di mt ng cong chun v bn phi ca z = 1,1, nh c biu din trong Hnh 5.11. Nh vy, din tch cn thit l bng vi 0,5, tng din tch v pha bn phi ca zr, tr i din tch gia 0 v 1,1.





1335,03665,05,0)500.47( xP

Do , 13,35% nhng ngi tt nghip MBA c mc lng vt qu 47.500 USD.

Bi tp

Cc K thut C bn

5.1 S dng Bng 3 trong Ph lc II, tnh ton din tch nm di ng cong chun gia nhng gi tr z ny.

a z = 0 v z = 1,6

b z = 0 v z = 1,83

5.2 Lp li Bi tp 5.1 cho nhng gi tr z sau.

a z = 0 v z = 0,90

b z = 0 v z = -0,90


a z = -1,3 v z = 1,8

b z = 0,6 v z = 1,2


a z = -1,4 v z = 1,4

b z = -2,0 v z = 2,0

c z = -3,0 v z = 3,0


a z = -1,43 v z = 0,68

b z = 0,58 v z = 1,74

c z = -1,55 v z = -0,44

5.6 Tm mt gi tr z0 cho 025,0)( 0 zzP




5.10 Tm mt gi tr z0 cho 4714,0)( 00 zzzP




5.14 Mt bin s z c phn phi chun vi trung bnh = 10 v lch chun = 2. Tm nhng xc sut ny.

a )5,13( xP

b )2,8( xP





c )6,104,9( xP

5.15 Mt bin s x c phn phi chun vi trung bnh = 1,20 v lch chun = 0,15. Tm xc sut cho x ri vo khong cho trc ny.

a 1,00 < x < 1,10

b x > 1,38

c 1,35 < x < 1,50

5.16 Mt bin s x c phn phi chun vi trung bnh cha bit v lch chun = 2. Nu xc sut cho x vt qu 7,5 l 0,8023, hy tm .

5.17 Mt bin s x c phn phi chun vi trung bnh cha bit v lch chun = 1,8. Nu xc sut cho x vt qu 14,4 l 0,3, hy tm .

5.18 Mt bin s x c phn phi chun vi trung bnh v lch chun cha bit. Xc sut cho x vt qu 4 l 0,9772, v xc sut cho x vt qu 5 l 0,9332. Hy tm v .

Cc ng dng

5.19 Mt phng php i n cc d bo kinh t l s dng mt cch tip cn chuyn gia. Mt d bo c c t mi trong s mt s lng ln cc nh phn tch; trung bnh ca nhng d bo ca mi c nhn ny l d bo ng thun. Gi nh rng cc d bo v li sut c bn thng Ging ca mi c nhn ca tt c cc nh phn tch kinh t c phn phi xp x chun vi trung bnh bng vi 7,75% v mt lch chun bng vi 1,6%. Mt nh phn tch duy nht c la chn ngu nhin t trong nhm ny.

a. Xc sut cho d bo ca nh phn tch ny v li sut c bn s vt qu 9% l bao nhiu?

b. Xc sut cho d bo ca nh phn tch ny v li sut c bn s thp hn 6% l bao nhiu?

5.20 Gi nh rng bn phi thit lp cc qui nh lin quan n s lng ngi ti a m c th cha trong mt ci thang my. Mt nghin cu v kh nng cha ca thang my ch ra rng nu tm ngi c trong thang my, th phn phi xc sut ca tng trng lng ca tm ngi ny c mt gi tr trung bnh l 1.200 pao v mt phng sai tng ng 9.800 pao. Xc sut cho tng trng lng ca tm ngi ln hn 1.300 pao l bao nhiu? 1.500 pao l bao nhiu? (Gi nh rng phn phi xc sut l xp x chun).

5.21 Vic thi ra cc cht rn l lng t mt m pht-pht c phn phi chun, vi mt mc thi trung bnh hng ngy l 27 mg/l v mt lch chun l 14 mg/l. T l phn trm nhng ngy m lng cht thi hng ngy vt qu 50 mg/l l bao nhiu?

5.22 Nhng ngi su tm tem thng mua tem mc gi bn l hay gn nh vy, nhng khi h bn th gi ny thp hn nhiu. V d, c th l mt iu hp l khi gi nh rng (ty thuc vo b su tp, tnh trng ca n, nhu cu, iu kin kinh t, v.v) mt b su tp c th c k vng c th bn mc x phn trm ca gi bn l, trong x c phn phi chun vi trung bnh bng vi 45% v lch chun bng vi 4,5%. Mt nh su tm tem c mt b su tp bn m c mt gi tr bn l l 30.000 USD.

a. Xc sut cho nh su tm tem ny nhn c nhiu hn 15.000 USD cho b su tp ny l bao nhiu?

b. Xc sut cho nh su tm tem ny nhn c t hn 15.000 USD cho b su tp ny l bao nhiu?

c. Xc sut cho nh su tm tem ny nhn c t hn 12.000 USD cho b su tp ny l bao nhiu?





5.23 Bng cch no m S Thu Ni B (IRS) quyt nh v t l phn trm ca s thu thu thu nhp kim ton cho tng tiu bang? Gi nh rng IRS thc hin iu ny bng cch chn ngu nhin 50 gi tr t mt phn phi chun vi trung bnh bng vi 1,55% v lch chun tng ng 0,45%. (Chng trnh my tnh l sn c cho loi hnh chn mu ny).

a. Xc sut cho mt tiu bang c th s c nhiu hn 2,5% s thu thu thu nhp ca tiu bang mnh c kim ton?

b. Xc sut cho mt tiu bang c th s c t hn 1% s thu thu thu nhp ca tiu bang mnh c kim ton?

5.24 Trong mt n lc y mnh cht lng sn xut ca cc cng nhn ngi M ca mnh, cng ty Saturn Corporation ang thng cho nhn cng ca mnh mt khon bnh qun 2.800 USD tin thng vo cui nm cho vic p ng sn xut t cht lng v mc tiu li nhun trong nm 1993 (Saturn Workers (Cng nhn Saturn), 1994). Gi nh rng nhng khon thng ny c phn phi xp x chun vi mt lch chun l 500 USD.

a. Xc sut cho mt cng nhn nhn c mt khon tin thng cui nm nhiu hn 3.500 USD l bao nhiu?

b. Chn mi lm phn trm tt c cng nhn s nhn c khon tin thng cui nm nm trong nhng gii hn no?

5.25 Ngi tiu dng Hoa K ang tr nn ngy cng quan tm hn n ph tn ca nhin liu cho vic si m. Khi nhng chi ph ny gia tng, ngi tiu dng ni chung cn nhc cc nhin liu thay th, nhng ci tin vic cch nhit ca ngi nh, v nhng h thng si m mi. Gi nh rng ph tn ca kh t nhin mi b khi (MCF) c phn phi chun vi gi tr trung bnh l 6 USD v mt lch chun tng ng 1.20 USD.

a. Xc sut cho ph tn ca kh thin nhin mi MCF cho mt ngi tiu dng c th nm trong khong 7.60 n 8.00 USD l bao nhiu?

b. Ph tn trung v mi MCF cho kh thin nhin l bao nhiu?

c. Cc phn v mt phn t trn v di cho ph tn mi MCF kh thin nhin l bao nhiu?

5.4 C LNG XP X CHUN CHO PHN PHI XC SUT NH THC

Nhiu phn phi xc sut s hu mt c trng hu ch. Khi mt s iu kin c tha mn, th nhng phn phi ny tr nn xp x chun v hnh dng. Phn phi xc sut nh thc l mt trong s ny. C th l, khi mt s n cc ln th trong mt th nghim nh thc l ln v p khng qu gn vi 0 hay 1, th phn phi xc sut nh thc c mt hnh dng m xp x gn

ng vi mt ng cong chun vi trung bnh np v lch chun npq . Tnh

cht c bit ny ca phn phi xc sut nh thc l quan trng khi chng ta phi tnh ton cc xc sut nh thc p(x) cho nhng gi tr ln ca n. Cng vic t ngt v tn cng gp phi trong nhng s tnh ton ny c th trnh c bng cch s dng ng cong xp x chun.

Bi v cch thc tt nht chng t bng cch no v ti sao vic c lng xp x chun vn hnh c l s dng cc th v mt gi tr nh ca n, cho nn chng ta s minh ha qu trnh ny cho mt phn phi xc sut nh thc vi n = 10 v p = 1/2. Biu xc sut cho mt phn phi xc sut nh thc, n = 10 v p = 1/2, c biu din trong Hnh 5.12 cng vi mt ng cong xp x chun vi





58,15,22

1

2

1)10(

52

110

npq

np

HNH 5.12 So snh gia phn phi xc sut nh thc v phn phi xp x chun,

58,1);5(2/1,10 npqnppn

Mt kho st bng mt ca hnh ny gi rng s c lng xp x l kh tt, mc d mt mu nh, n = 10, l cn thit cho s minh ha bng th ny.

Gi nh rng chng ta mong mun c lng xp x xc sut cho x bng vi 2, 3 hay 4. Bn c th thy trong Hnh 5.12 rng xc sut ny bng ng vi din tch ca ba hnh ch nht nm vt qua x = 2, 3 v 4. Chng ta c th c lng xp x phn phi ny vi din tch nm di ng cong chun t x = 1,5 n x = 4,5, m c bi en trong Hnh 5.12. Lu rng din tch nm di ng cong chun t x = 2, 3 v 4 t s khng phi l mt s c lng xp x tt cho xc sut cho x = 2, 3 v 5 bi v cng vic ny t s loi tr mt na ca cc hnh ch nht xc sut tng ng vi x = 2 v x = 4. c c mt s c lng xp x tt, bn phi nh c lng xp x ton b cc din tch ca nhng hnh ch nht xc sut tng ng vi x = 2 v x = 4 bng cch thm vo din tch nm di ng cong chun t x = 1,5 n x = 4,5.

Mc d phn phi xc sut chun cung cp cho ta mt s c lng xp x chun tt cho phn phi xc sut nh thc trong Hnh 5.12, th iu ny khng phi lun lun ng. Khi trung bnh np ca mt phn phi xc sut nh thc l gn vi zr hay n, thi phn phi xc

sut nh thc s khng c tnh i xng. V d, khi p l gn vi zr, th phn ln cc gi tr ca x s l nh, qua to rao mt s phn phi m c tp trung gn x = 0 v c phn ui hng v n (xem Hnh 5.13). t hn l, khi iu ny l ng, th phn phi chun, i xng v c hnh dng qu chung, s to ra mt s c lng xp x ti cho phn phi xc sut nh thc. Vy th, bng cch no m chng ta c th ni rng liu n v p l nh vy cho phn phi nh thc l i xng?

Nhc li Qui tc Thc nghim t Chng 2, xp x 95% ca nhng s o lng i cng vi mt phn phi chun s nm trong gii hn hai lch chun ca trung bnh v hu nh tt c u nm trong gii hn ba lch chun. Chng ta ng rng phn phi xc sut nh thc t s gn nh i xng nu nh phn phi ny c kh nng tri di trn mt khong cch bng vi hai lch chun trn bt c pha no ca trung bnh, v trn thc t th iu ny l

Mt phn phi xc sut nh thc b lch c th c c lng xp x bi mt phn phi xc sut Poisson. S

c lng xp x ny, m c tho lun trong Phn 4.3, l tha mn khi n l ln v p l nh, v d np < 7.





ng. V vy, quyt nh khi no th s c lng xp x chun s ph hp, hy tnh

ton = np v npq . Nu khong )2( nm bn trong cc gii hn nh thc, 0

v n, th s c lng xp x s ph hp. S c lng xp x s tt nu khong

)3( nm trong gii hn ca khong t 0 n n. Lu rng ch tiu ny c tha mn

i vi phn phi xc sut nh thc ca Hnh 5.2, nhng khng c tha mn cho phn phi c th hin trong Hnh 5.13.

HNH 5.13 So snh mt phn phi xc sut nh thc (c bi en) v phn phi

xp x chun, ).95,0;1(1,0,10 npqnppn

Cc cng thc cho c lng xp x chun ca s phn phi xc sut nh thc c cung cp trong phn trnh by di y.

S c lng Xp x Chun cho Phn phi Xc sut Nh thc

c lng xp x phn phi xc sut nh thc bng cch s dng mt ng cong chun vi

npq

np

trong n = s lng cc ln th; p = xc sut ca thnh cng trong mt ln th duy nht; q = 1 - p.

c lng xp x s ph hp khi n ln v khi khong np ri vo gia 0 v n.

V D 5.8 xem ng cong chun c th c s dng tt nh th no trong vic c lng xp x cc xc sut nh thc, hy xem li th nghim nh thc c minh ha trong Hnh 5.12, vi n = 10, p = 0,5. Tnh xc sut cho x= 2, 3 hay 4, hiu chnh v ba con s thp phn, bng cch s dng Bng 1 trong Ph lc II. Sau tnh ton c lng xp x chun tng ng cho xc sut ny.

Li gii Xc sut chnh xc ny c th c tnh ton vi n = 10 bng cch s dng Bng 1 trong Ph lc II. Nh vy,

4

2

4

0

1

0

366,0011,0377,0)()()(x x x

xpxpxp

Trong Hnh 5.12, cc hnh ch nht xc sut nh thc cho x = 2, 3 v 4 tng ng vi din tch gia x1 = 1,5 v x2 = 4,5 bn di ng cong xp x chun tng ng vi = 1,5 v = 1,58. Cc gi tr tng ng ca z l:





32,058,1

55,4

22,258,1

55,1

22

11

xz

xz

Xc sut ny c th hin trong Hnh 5.14. Din tch gia z = 0 v z = 2,22 l A1 = 0,4868. Tng t nh vy, din tch gia z = 0 v z = 0,32 l A2 = 0,1255. T Hnh 5.14,

3613,01255,04868,0)32,022,2( zP

Lu rng s c lng xp x chun l rt gn vi phn phi nh thc chnh xc, 0,366 m c c t Bng 1.

Bn phi cn trng khng loi tr mt na ca hai hnh ch nht xc sut hai thi cc khi s dng c lng xp x chun i vi phn phi xc sut nh thc. Cc gi tr x c s dng tnh ton nhng gi tr z lun lun kt thc 0,5.

HNH 5.14 Din tch c yu cu cho V d 5.8

iu chnh cho tnh Lin tc

Qui trnh ca vic cng thm hay tr bt 0,5 trong vic iu chnh cc gi tr ca x cho phn phi nh thc i vi cc gi tr cho vic c lng xp x phn phi chun c gi l s iu chnh cho tnh lin tc.

chc chn rng bn thc hin vic iu chnh ph hp cho s lin tc, hy lun lun v ra mt phc tho nhp tng t nh Hnh 5.12.

V D 5.9 tin cy ca mt cu ch in l xc sut cho cu ch , c chn ngu nhin t s sn phm sn xut ra, s hot ng c trong nhng iu kin m qua n c thit k. Mt mu ngu nhin gm 1.000 cu ch c kim tra v x = 27 cu ch c li c quan st. Tnh xc sut ca vic quan st thy 27 hay nhiu hn s cu ch b li, bng cch gi nh rng tin cy ca cu ch l 0,98.

Li gii Xc sut ca vic quan st mt sn phm b li khi mt cu ch duy nht c kim tra l p = 0,02, khi bit tin cy ca cu ch l 0,98. Sau

43,4)98,0)(02,0(1000

20)02,0(1000

npq

np

Xc sut ca 27 hay nhiu hn s cu ch b li, khi bit n = 1000 l

)1000()999(...)29()28()27(

)27(

ppppp

xPP





c lng xp x chun ca P l din tch nm di ng cong chun v pha bn phi ca x = 26,5. Khi thc hin s iu chnh cho tnh lin tc, chng ta phi s dng x = 26,5 hn l x = 27 nhm thm vo ton b hnh ch nht xc sut i cng vi x = 27. Gi tr z tng ng vi x = 26.5 l:

47,143,4

5,6

43,4

205,26

xz

v din tch gia z = 0 v z = 1,47 l bng vi 0,4292, nh c th hin trong Hnh 5.15. Bi v ton b din tch v pha bn phi ca trung bnh l bng vi 0,5, cho nn

0708,04292,05,0)27( xP

HNH 5.15 c lng xp x chun cho phn phi nh thc trong V d 5.9

Bi tp

Cc K thut C bn

5.26 t x l mt bin s ngu nhin nh thc vi n = 25, p = 0,3.

a. S dng Bng 1 trong Ph lc II tm ra ).108( xP

b. Tm v cho phn phi nh thc, v s dng c lng xp x chun tm ra

).108( xP So snh s c lng xp x ny vi gi tr chnh xc c tnh trong phn

(a).

5.27 Tm c lng xp x chun cho )6( xP cho phn phi xc sut nh thc vi n = 10, p = 5.

5.28 Tm c lng xp x chun cho )6( xP cho phn phi xc sut nh thc vi n = 10, p = 5.

5.29 Tm c lng xp x chun cho )22( xP cho phn phi xc sut nh thc vi n = 100, p =

0,2.

5.30 Tm c lng xp x chun cho )22( xP cho phn phi xc sut nh thc vi n = 100, p =

0,2.

5.31 t x l mt bin s ngu nhin nh thc vi n = 25, p = 0,2.

a. S dng Bng 1 trong Ph lc II tnh ).64( xP

b. Tm v cho phn phi nh thc, v s dng c lng xp x chun tm ra

).64( xP Lu rng gi tr ny l mt s c lng xp x tt cho gi tr chnh xc

ca ).64( xP

5.32 Xem xt mt th nghim nh thc vi n = 20, p = 0,4. Hy tnh )10( xP bng cch s dng:

a. Bng 1 trong Ph lc II.





b. c lng xp x chun cho phn phi xc sut nh thc.

5.33 Tm c lng xp x chun cho )360355( xP cho mt phn phi xc sut nh thc vi n

= 400 v p = 0,9.

Cc ng dng

5.34 Mt s nhn hiu ca cc gia dng chnh yu l ng tin cy hn nhng nhn hiu khc. V d, xp x 10% my sy Maytag c mua trong giai on 1986 n 1992 cha bao gi cn n s sa cha (Getting Things Fixed (Sa cha c), 1994). Gi nh rng mt nhm ngi tiu dng iu tra 56 ngi s hu my sy Maytag.

a. Xc sut cho mi hay nhiu hn my sy cha bao gi cn n s sa cha l bao nhiu?

b. Xc sut cho c t hn nm my sy cha bao gi cn n s sa cha l bao nhiu?

c. Gi nh no m bn cn thc hin cho cc xc sut tm thy trong cc phn (a) v (b) l chnh xc?

d. Nu cuc iu tra ny cho thy rng 15 trong s 56 my sy cha bao gi cn n s sa cha, liu bn c nghi ng rng con s 10% l khng chnh xc khng? Hy gii thch.

5.35 Cc hng hng khng v khch sn thng chp thun vic t phng trc vt qu nng lc phng nhm gim thiu nhng tn tht do vic t phng nhng khng s dng. Gi nh rng ghi nhn ca mt khch sn dc ng cho thy rng, tnh trung bnh th c 10% khch sp n ca h s khng yu cu t ch trc. Nu khch sn ny chp nhn 215 ch t trc v ch c 200 phng trong khch sn , th xc sut m tt c khch n yu cu mt phng s nhn c mt phng l bao nhiu?

5.36 tui trung bnh ca hi ng qun tr l bao nhiu? Su mi by phn trm cc nh ch ti chnh c hi ng qun tr c tui trung bnh l 57 hay nhiu hn (ly t American Demographics (Nhn khu hc nc M), thng Mi Mt 1990, trang 22).

a. Trong mt mu ngu nhin gm n = 400 nh ch ti chnh, xc sut cho 300 hay nhiu hn hi ng qun tr c tui trung bnh l 57 hay nhiu hn l bao nhiu?

b. Nu con s 67% ny l chnh xc, th s lng hi ng qun tr vi tui trung bnh l 57 hay nhiu hn nn nm trong hai gi tr no vi xc sut l 95%? (Khng s dng vic iu chnh cho s lin tc).

5.37 Dch v v s h tr tr thnh mt vn quan trng cho nhng ngi s dng my tnh c nhn (PC) khi gi c ca my tnh c nhn ang ngy cng tr nn ging nhau. Cc cng ty c s h tr k thut chuyn mn nhanh chng nhn thy rng cc khch hng ca mnh c tha mn, ngay c khi h c vn vi my tnh ca mnh. V d, 82% s khch hng m c cc vn vi my tnh bn Dell s sn sng mua mt my PC khc t cng ty Dell (Amirrezvani, 1994). Gi nh rng mt mu ngu nhin gm 200 khch hng ca Dell m c cc vn vi cc my tnh bn ca mnh c phng vn; hy s dng s c lng xp x chun cho phn phi nh thc tr li cc cu hi sau y.

a. Xc sut ca vic quan st ch c 160 khch hng m sn lng mua my tnh c nhn Dell khc l bao nhiu?

b. Bn k vng rng s lng khch hng sn sng mua mt my tnh c nhn Dell khc ri vo trong nhng gii hn no m?

5.38 Phn phi theo tui ca nhng ch h l mt cng c quan trng cho nhng nh tip th quan tm n vic qung co ph hp vi tui cho mt sn phm c th m h mong mun tung ra th trng. Mt nghin cu do Joint Center for Housing Studies (Trung tm Chung Nghin cu Nh ) thc hin c tnh rng vo nm 1995 th 31% tt c cc ch h s nm





trong tui t 45 n 64 (Darnay, 1994). Gi nh mt mu gm 500 ch h c ly trong nm 1995.

a. Xc sut cho c t hn 135 ch h nm trong tui t 45 n 64 l bao nhiu?

b. Xc sut cho c t 135 n 180 ch h s nm trong tui t 45 n 64 l bao nhiu?

5.39 Vo qu u tin ca nm 1994, thu nhp trung v ton quc ti Hoa K l 39.900 USD (Midwest, South (Min Trung Ty, Min Nam),, 1994). Gi nh rng 25 ngi lm cng n lng c chn ngu nhin v thu nhp ca h c ghi nhn.

a. S dng Bng 1 trong Ph lc II tm ra xc sut cho c t nht 20 ngi lm cng n lng c thu nhp vt qu mc trung v ca ton quc.

b. S dng c lng xp x chun cho phn phi nh thc c lng xp x xc sut c tm ra trong phn (a). c lng xp x ny ca bn so vi xc sut thc s l nh th no?

c. Nu mu m bn chn b hn ch nhng ngi lm cng n lng sng trong mt khu vc a l nht nh, th xc sut tnh c trong phn (a) c th hm iu g v tnh i din ca mu bn chn?

mpp04-521-r06v (1)

Documents