mrezno programiranje

MREŽNO PLANIRANJE

Ciljevi ovog poglavlja su slijedeći:

Razumjeti osnove tehnike mrežnog planiranja Upoznati faze u tehnici mrežnog programiranja Identifikovati osnovne elemente mrežnog dijagrama Naučiti postupak konstruisanja mrežnog dijagrama u okviru analize

strukture Shvatiti razliku između dvije osnovne metode mrežnog programiranja Naučiti postupak analize vremena po CPM Naučiti postupak analize vremena po metodi PERT Razumjeti kako se provodi analiza troškova projekta Na konkretnim primjerima naučiti rješavati probleme pomoću metoda

mrežnog programiranja

7.1. POJAM MREŽNOG PLANIRANJA

Projektni pristup u rješavanju složenih problema poslovnog odlučivanja upravljanja savremene probleme poslovnog odlučivanja karakteriše povećanje organizacionih poslova po obimu i kompleksnosti. Kontinuirano praćenje svih poslovnih aktivnosti, u takvim uslovima, postaje sve teže, te se stoga pristupilo izgradnji novih metoda planiranja i upravljanja kompleksnim sistemima. Korištenje metoda za planiranje i upravljanje, kao i optimalno korištenje raspoloživih resursa pri realizaciji određenih projekata pojavljuje se kao problem posebno iz razloga što su to kompleksni projekti sastavljeni od niza aktivnosti. Same aktivnosti, vremenski posmatrane, mogu biti nezavisne od drugih, paralelne sa drugim ili zavisne od drugih aktivnosti. Na sličan način, kao i za aktivnosti, može se vršiti i upotreba resursa.

Na polju razvoja novih metoda planiranja i upravljanja kompleksnim projektima prvi rezultati javili su se 1957. godine u SAD. Nove metode nazvane su tehnike

5

2 Stohastički modeli u poslovnom odlučivanju

mrežnog programiranja-planiranja. Ove tehnike zasnovane su na primjeni moderne algebre, teorije grafova i matematičke statistike.

Tehnike mrežnog programiranja obuhvataju sve metode koje se koriste mrežnim dijagramom, tako da se obezbijedi planiranje, koordinacija, upravljanje i kontrola kompleksnih procesa kod kojih je neophodno vremenski uskladiti veliki broj djelimičnih zadataka, odnosno aktivnosti. Danas je poznato preko trideset različitih metoda mrežnog programiranja, ali su sve u suštini modifikacija dvije osnovne i najviše primjenljive metode:

- CPM (metoda kritičnog puta, engl. Critical Path Method) i- PERT (metoda ocjene i revizije programa, engl. Program Evaluation and

Review Technique).

Fundamentalna razlika između ove dvije metode odnosi se na mogućnosti normiranja vremena, troškova i resursa. Ako se ove norme poznaju onda se koristi CPM metoda, dok se PERT metoda koristi u slučaju neizvodljivosti normiranja, odnosno u slučaju kada norme imaju stohastički karakter.

Sve tehnike mrežnog programiranja sastoje se od slijedećih faza:(1) analiza struktura,(2) analiza vremena,(3) analiza raspoređivanja resursa i(4) analiza troškova.

Analiza strukture je za svaki projekat identična, bez obzira na upotrebu CPM-a ili PERT-a i sastoji se u krajnjoj istanci u konstrukciji mrežnog dijagrama.

U analizi vremena (po CPM-u ili PERT-u) mrežni model se transformiše u matematički tako što se određuju vremenske veličine (parametri) neophodne za kontrolu realizacije projekta.

Analiza strukture i analiza vremena vrše se nezavisno od optimalne raspodjele resursa. Stoga u praktičnim situacijama zbog ograničenih resursa mogu nastupiti problemi u realizacji pojedinih aktivnosti, tako da je neophodno odlučiti koja struktura ili vremenska kombinacija aktivnosti je najpovoljnija.

Tehnike koje se bave analizom raspoređivanja resursa, zbog opsežnosti prikaza, ovdje se neće razmatrati.

Analiza troškova može nastupiti tek nakon analize strukture i analize vremena. S obzirom da se troškovi uglavnom povezuju za resurse, to se često analiza resursa postavlja kao uslov analize troškova. Analiza troškova proizilazi iz ciljeva primjene metoda mrežnog programiranja koji sadrže, pored zahtjeva za usklađivanjem aktivnosti nekog projekta (analiza strukture) i završetkom projekta u najkraćem vremenu (analiza vremena), i zahtjev za realizacijom projekta uz minimalne troškove. Među najpoznatijim metodama za ovu analizu nalazi se PERT/COST metoda, koja obezbjeđuje realno prognoziranje ukupnih troškova projekta i raspodjelu raspoloživih resursa uz održavanje rokova

7. Mrežno programiranje 3

završetka projekta. U okviru predviđenog gradiva neće se izlagati ni metode analize troškova.

7.2. ANALIZA STRUKTURE

7.2.1. Osnovni elementi mrežnog dijagrama

Metode mrežnog programiranja zasnivaju se na takvim modelima gdje su različiti događaji međusobno povezani aktivnostima. Takav model naziva se mrežnim dijagramom.

U matematičkom smislu mrežni dijagram je konačan graf orijentisan strelicama, pri čemu se graf definiše kao skup tačaka (vrhova ili događaja) 1,2,...,n i skup duži (i-j) koje povezuju neke parove tih tačaka pri čemu bilo koja duž (i-j) ima početak u tački i, a završetak u tački j. Konačni grafovi imaju slijedeće karakteristike:

- postoji samo jedna tačka (događaj) u koju ne ulaze nijedna duž orijentisana strelicama i

- postoji jedna tačka (događaj) iz koje ne izlazi nijedna orijentisana duž.

Osnovni elementi mrežnog dijagrama su:- projekat,- aktivnost i - događaj.

Tehnike mrežnog programiranja obrađuju projekte. Pod pojmom projekat ovdje se podrazumijeva skup organizacionih, ekonomskih i tehničkih mjera usmjerenih na izradu novih objekata, sistema i uređaja ili izvršenje drugih sličnih zadataka.

Svaki projekat se raščlanjuje na niz djelimičnih zadataka (poslova) koji su ograničeni tačkom početka i tačkom završetka. Definisani djelimični zadaci nazivaju se aktivnostima. Prema tome, aktivnost je djelimičan zadatak, posao ili proces koji se odigrava u vremenu. Aktivnost kao elemenat mrežnog dijagrama odražava:

(1) određenu etapu radnog procesa uz trošenje vremena i sredstava,(2) čekanje (troši se samo vrijeme) i(3) zavisnost bez trošenja vremena i sredstava (fiktivna aktivnost).

U mrežnom dijagramu, aktivnost se predstavlja pomoću orijentisanih duži dok se fiktivna aktivnost predstavlja orijentisanom isprekidanom duži.

Događaj se definiše kao trenutak početka ili završetka aktivnosti, odnosno projekta. On se predstavlja na dijagramu pomoću kruga koji se memoriše korištenjem pravila rastućeg uzastopnog numerisanja. Događaj ne troši ni vrijeme ni sredstva i za razliku od aktivnosti odigrava se trenutno.


Početni događaj je trenutak u kome neka aktivnost može otpočeti, dok je završni događaj trenutak njenog završetka. Posebnu pažnju imaju početni događaj projekta koji nema prethodnih aktivnosti i završni događaj projekta nakon kojeg nema slijedećih aktivnosti. Znači, svaki projekat ima samo jedan početni i jedan završni događaj. Predstavljanje aktivnosti Aij i događaja i i j koji povezuju aktivnost Aij ilustrovano je na slici 7.1.

Slika 7.1. Aktivnost Aij

7.2.2. Sadržina analize strukture

Analiza strukture podrazumijeva utvrđivanje logičkog redoslijeda i međusobnih zavisnosti pojedinih aktivnosti u okviru trajanja projekta. Analiza strukture sadrži:

(1) ispostavljanje spiska aktivnosti i (2) konstrukciju mrežnog dijagrama.

Spisak aktivnosti sadrži navođenje svih poslova koji se moraju izvršiti da bi se realizovao projekat. Utvrđivanje potpunog spiska aktivnosti jednog projekta može se izvršiti slučajnim prikupljanjem aktivnosti, sistematskom evidencijom aktivnosti i sl. Na osnovu spiska aktivnosti vrši se grafičko predstavljanje projekta korištenjem mrežnog dijagrama. U mrežni dijagram sistematski se uključuju sve aktivnosti. Za svaku aktivnost utvrđuje se slijedeće:

(1) aktivnosti koje moraju biti završene prije njenog otpočinjanja,(2) aktivnosti koje slijede nakon njenog završetka,(3) aktivnosti koje se moraju nezavisno paralelno odvijati i (4) da li se razmatrana aktivnost može podijeliti na dvije ili više aktivnosti.

Nakon utvrđivanja redoslijeda i zavisnosti pojedinih aktivnosti vrši se konstrukcija mrežnog dijagrama na bazi geometrijskih pravila konstrukcije. Potom se vrši kontrola u odnosu na osnovna pravila crtanja. Na kraju analize strukture vrši se numerisanje događaja projekta.

7.2.3. Geometrijska pravila konstrukcije mrežnog dijagrama

Da bi prikaz toka odvijanja projekta bio vjerna slika realnih aktivnosti neophodno je prilikom crtanja mrežnog dijagrama pridržavati se određenih uputstava i pravila.

Mrežni dijagram treba da predstavlja jedinstven povezan sistem aktivnosti koji je konačan i ne sadrži alternativne aktivnosti. Sam oblik mrežnog dijagrama nije


bitan, već je značajno da se poštuje redoslijed aktivnosti. Pored prethodnog, prilikom crtanja mrežnog dijagrama, neophodno je poštovati slijedeća pravila:

(1) Strelice koje pokazuju aktivnost treba po pravilu orijentisati s lijeva na desno. Same strelice se mogu međusobno ukrštati, ali treba težiti ka izbjegavanju suvišnih presjeka.

(2) Svaka aktivnost započinje i završava se događajem.(3) Ako završetak jedne aktivnosti uslovljava početak druge aktivnosti, tada

je završni događaj prve aktivnosti identičan početnom događaju druge aktivnosti.

(4) Ako završetak više aktivnosti uslovljava započinjanje slijedeće aktivnosti, tada je završni događaj svih tih aktivnosti identičan početnom događaju slijedeće aktivnosti.

(5) Ako dvije ili više aktivnosti otpočinju nakon što je prethodna aktivnost završena, onda sve te aktivnosti otpočinju u završnom događaju prethodne aktivnosti.


(6) Ako dvije ili više aktivnosti imaju zajednički početni i završni događaj, tada je njihova identifikacija otežana, te je u cilju jednoznačne određenosti aktivnosti potrebno uvesti fiktivnu aktivnost u početnom ili završnom događaju.

(7) Ako u jednom događaju završava i otpočinje veći broj aktivnosti koje nisu sve međusobno zavisne, tada se stvarne zavisnosti prikazuju pomoću fiktivnih aktivnosti.

U mrežnom dijagramu može biti uveden proizvoljan broj fiktivnih aktivnosti. Bilo koja aktivnost može se odvijati samo jednom, tako da se u mrežnom dijagramu ne mogu pojavljivati petlje ili ciklusi.


7.2.4. Numerisanje događaja u mrežnom dijagramu

Nakon što je izvršena konstrukcija mrežnog dijagrama i kontrola u odnosu na pravila crtanja, pristupa se numerisanju događaja po tzv. pravilu rastuće numeracije (pravilo Fulkersona) prema kojem:

(1) Početnom događaju projekta dodjeljuje se broj 1 (ili 0).(2) Precrtavaju se sve aktivnosti koje izlaze iz numerisanog događaja.(3) Numerišu se događaji u koje ulaze sve precrtane aktivnosti. Poželjna je

rastuća numeracija s lijeva na desno i odozgo ka dole. Koraci (2) i (3) se ponavljaju dok se ne numerišu svi događaji.

7.3. ANALIZA VREMENA

Mrežni dijagram, konstruisan u analizi strukture projekta, obezbjeđuje preglednost u redoslijedu izvršavanja aktivnosti. Međutim, pored uloge u grafičkom predstavljanju projekata, mrežni dijagram se može transformisati u matematički model u svrhu analize vremena.

Analiza strukture za sve metode mrežnog programiranja izvodi se na isti način, dok se u analizi vremena metode razlikuju. Dvije osnovne metode mrežnog programiranja CPM i PERT razlikuju se u karakteru matematičkog modela jer CPM koristi deterministički model, dok PERT polazi od stohastičkog modela. Tako PERT, za razliku od CPM, u proračunu vremena unosi nesigurnost u vremenskoj procjeni trajanja pojedinih aktivnosti. U literaturi se može naći različita terminologija i označavanje pojmova u CPM i PERT, dok će se ovdje za iste pojmove koristiti isto ili slično označavanje.

Analiza vremena se obavlja u trokoračnom postupku:(1) utvrđivanje vremena trajanja aktivnosti (i-j) - tij,(2) progresivni i retrogradni proračun vremena i(3) određivanje kritičnog puta i vremenskih rezervi.

Kod analize vremena po CPM utvrđuje se jedno vrijeme trajanja aktivnosti, dok se kod PERT-a na bazi tri vremena izračunava, tzv. očekivano vrijeme trajanja aktivnosti. Na bazi ova dva vremena izračunavaju se svi ostali vremenski parametri na osnovu kojih se kontroliše vremensko odvijanje projekta.

Progresivni proračuni vremena podrazumijevaju izračunavanje najranijih početaka i najranijih završetaka aktivnosti polazeći od početnog događaja projekta. Najranije vrijeme nastupanja završnog događaja projekta ujedno predstavlja i najkraće vrijeme potrebno da bi se projekat realizovao.


Retrogradni proračun vremena polazi od završnog događaja projekta i vrši se ka početnom događaju. U retrogradnom proračunu vremena izračunavaju se najkasniji završetak i najkasniji početak svake aktivnosti.

Na osnovu proračuna u progresivnom i retrogradnom postupku određuje se kritični put projekta i izračunavaju vremenske rezerve. Pod kritičnim putem projekta podrazumijeva se niz međusobno povezanih aktivnosti između početnog i završnog događaja projekta koje imaju zbirno najduže vrijeme trajanja. Karakteristika svih događaja na kritičnom putu je identičnost najranijih i najkasnijih vremena nastupanja.

Izračunavanje vremenskih rezervi u tehnici mrežnog programiranja ima poseban značaj, pošto one pokazuju koliko vremenskih jedinica se može odložiti početak ili završetak pojedinih aktivnosti. Kod PCM izračunavaju se: ukupna, slobodna, nezavisna i uslovna vremenska rezerva. Kod PERT-a se utvrđuje samo uslovna vremenska rezerva. Na kritičnom putu sve vremenske rezerve imaju vrijednost nula.

7.3.1. Analiza vremena po CPM

Kod CPM, kao determinističke metode, analiza vremena vrši se na osnovu vremena trajanja aktivnosti koje se može normirati i precizno odrediti.

Na osnovu konstruisanog mrežnog dijagrama i utvrđenih vremena trajanja aktivnosti, u progresivnim proračunima vremena izračunava se:

- najraniji početak aktivnosti (i-j) označen sa i

- najraniji završetak aktivnosti (i-j) označen sa .

Najraniji početak aktivnosti (i-j) podrazumijeva vremenski najraniji rok

dešavanja i-tog događaja. Da bi aktivnost (i-j) otpočela neophodno je da sve aktivnosti koje joj neposredno prethode budu završene. Drugim riječima događaj i može biti postignut samo nakon isteka puta sa najdužim trajanjem.

Pod najranijim završetkom aktivnosti (i-j) podrazumijeva se najraniji rok u

kome je postignut događaj j. Izračunava se sabiranjem trajanja aktivnosti (tij) sa vremenom , tj.

= + (7.1)

U slučaju da u događaj j ulazi više puteva, onda se najraniji početak bilo koje aktivnosti koja ima j kao početni događaj izračunava iz izraza

(7.2)

gdje je: =0; i<j; i= ; j= .


Nakon progresivnog proračuna vremena pristupa se retrogradnom proračunu, pri čemu se polazi od završnog događaja projekta i ide ka početnom. U retrogradnom proračunu vremena izračunavaju se slijedeći vremenski parametri:

- najkasniji početak aktivnosti (i-j) označen sa i

- najkasniji završetak aktivnosti (i-j) označen sa .

Polazeći od najkasnijeg završetka projekta i uslova = , najkasniji

završetak aktivnosti koja neposredno prethodi događaju i može se izračunati korištenjem izraza

(7.3)

gdje je: = ; i<j; j=n,n-1,…,2; i=n-1,n-2,…,1.

Svi izračunati parametri unose se u mrežni dijagram u kojem su događaji konstruisani kao na slici 7.2. Događaje u mrežnom dijagramu možemo podijeliti i na četiri sektora pri čemu dodatni donji sektor označava početni događaj aktivnosti preko koje je utvrđeno najranije nastupanje događaja.

Slika 7.2. Konstruisanje događaja u mrežnom dijagramu

Na bazi prethodne slike može se uočiti da se maksimalno dozvoljeno trajanje aktivnosti (i-j) dobiva kao razlika - .

U okviru analize vremena slijedeći korak je utvrđivanje kritičnog puta koji predstavlja najduži put između početnog i završnog događaja projekta. Za aktivnosti koje se nalaze na kritičnom putu ili tzv. kritične aktivnosti važi relacija

= i = ,

odnosno najraniji i najkasniji rokovi svakog događaja su identični. Bilo kakav produžetak vremenskog trajanja kritičnih aktivnosti utiče na rok završetka cjelokupnog projekta, pošto kritične aktivnosti nemaju vremenske rezerve. Jedan projekat može imati više kritičnih puteva, ali i subkritičnih kod kojih postoji mala rezerva.

Nekritične aktivnosti, za razliku od kritičnih, raspolažu sa određenim vremenskim rezervama. Postoji više vrsta vremenskih rezervi koje su uslovljene odnosom razmatrane aktivnosti i neposredno prethodnih, odnosno neposredno


narednih aktivnosti, a to su: ukupna, slobodna, nezavisna i uslovna vremenska rezerva.

(1) Ukupna vremenska rezerva aktivnosti (i-j) definisana je izrazom

(7.4)

Ukupna vremenska rezerva pokazuje za koliko se vremenskih jedinica može pomjeriti vrijeme trajanja aktivnosti od njezinog najranijeg početka, a da se pri tome ne ugrozi realizacija krajnjeg roka projekta.

(2) Slobodna vremenska rezerva aktivnosti (i-j) definisana je izrazom

(7.5)

Ona ukazuje na to za koliko vremenskih jedinica se može produžiti trajanje aktivnosti (i-j), ako je cilj zadržavanje najranijih početaka svih slijedećih aktivnosti.

Zajednička karakteristika ukupne i slobodne vremenske rezerve je da pokazuje za koliko vremenskih jedinica se može odložiti početak aktivnosti. Ukupna vremenska rezerva obezbjeđuje nesmetani najraniji početak kritičnih aktivnosti, dok slobodna vremenska rezerva to isto obezbjeđuje i za nekritične aktivnosti.

(3) Nezavisna vremenska rezerva aktivnosti (i-j) definisana je izrazom

(7.6)

Nezavisna vremenska rezerva ukazuje na to za koliko se može produžiti vrijeme trajanja aktivnosti, odnosno pomjeriti rok najranijeg početka aktivnosti. Pomjeranje roka početka aktivnosti ili vremena trajanja sve dok se potpuno ne iscrpi nezavisna vremenska rezerva neće imati nakakvog uticaja na vremenske parametre drugih aktivnosti mrežnog dijagrama. Nezavisna vremenska rezerva može poprimiti i negativne vrijednosti, ali se tada smatra da je jednaka nuli.

(4) Uslovna vremenska rezerva se, za razliku od ostalih vremenskih rezervi koje se izračunavaju za aktivnosti, odnosi samo na događaje. Definisana je izrazom

(7.7)

7.3.2. Metoda PERT u analizi vremena

Za razliku od CPM, kod koje je vrijeme trajanja aktivnosti normirano, odnosno poznato, kod metode PERT vrijeme trajanja je neophodno procijeniti. Stoga PERT metoda ima svoju veliku primjenu kod onih projekata koji se po prvi put izvode, kao npr. istraživački ili razvojni projekti.


Kod procjene vremena, s obzirom da je PERT stohastička metoda, predspostavlja se da se frekvencija trajanja pojedinih aktivnosti ponaša po zakonu Beta raspodjele.

Kod PERT metode za svaku aktivnost ocjenjuju se tri vremena:(1) Optimističko vrijeme trajanja aktivnosti aij, koje se definiše kao najkraće

vrijeme neophodno za izvršenje aktivnosti (i-j).(2) Najvjerovatnije vrijeme trajanja aktivnosti mij, koje označava

najvjerovatnije vrijeme izvršenja neke aktivnosti kod više ponavljanja pod istim uslovima.

(3) Pesimističko vrijeme trajanja aktivnosti bij, koje predstavlja najduže vrijeme izvođenja aktivnosti (i-j).

Prethodna tri vremena su reprezentativne vrijednosti Beta raspodjele. Vjerovatnoće ostvarenja optimističkog i pesimističkog vremena su nule, dok je njihov odnos prema najvjerovatnijem vremenu definisan relacijom

aij ≤ mij ≤ bij (7.8)

Na osnovu poznatih vrijednosti parametara aij, mij i bij izračunava se očekivano vrijeme trajanja aktivnosti (i-j) koje se označava sa (te)ij ili kraće tij na osnovu izraza

(7.9)

Odnos između najvjerovatnijeg i očekivanog vremena trajanja aktivnosti može se predstaviti grafički kao na slici 7.3.


Slika 7.3. Odnos između najvjerovatnijeg i očekivanog trajanja aktivnosti

Sa očekivanim vremenom trajanja aktivnosti po PERT metodi postupa se isto kao i kod CPM sa trajanjem aktivnosti, ali je neophodno utvrditi i varijansu

(ili ) da bi se utvrdila odstupanja od podataka koji se uzimaju kao

reprezentativni. Varijansa predstavlja mjeru grubosti definisanja polaznih parametara, odnosno mjeru nesigurnosti s kojom se procjenjuje trajanje aktivnosti. Varijansa očekivanog vremena trajanja aktivnosti (i-j) izračunava se korištenjem izraza

(7.10)

Na slici 7.4 predstavljen je odnos raspodjele frekvencija i varijanse.


Slika 7.4. Odnos raspodjele frekvencija i varijanse

Na osnovu prethodnog može se zaključiti da kod ulaznih parametara bij može da bude mnogo veće od aij, tj. da je , pa je u tom slučaju veće rasipanje, veća varijansa i veća nepreciznost u definisanju pojedinih aktivnosti.

Na osnovu očekivanog vremena trajanja aktivnosti na isti način kao kod CPM vrši se progresivni i retrogradni proračun vremena, određuje kritični put i izračunava uslovna vremenska rezerva (ostale vremenske rezerve se ne izračunavaju). Pošto se kod PERT metode koriste procijenjena vremena trajanja aktivnosti, ne može se biti siguran u kojem će se vremenu neka aktivnost tačno izvesti. Polazeći od distribucije vremena trajanja aktivnosti, svako vrijeme unutar intervala aij,bij ima vjerovatnoću da se realizuje kao stvarno vrijeme trajanja aktivnosti.

Najraniji završetak aktivnosti (i-j) - računa se na bazi izvjesnih prosjeka

trajanja aktivnosti, te i on ima karakter prosječne vrijednosti. Na osnovu određenih teorema (centralna granična teorema, adiciona teorema) dokazuje se da:

- raspodjela vrijednosti ponaša se po normalnoj distribuciji,


- varijansa raspodjele vrijednosti jednaka je sumi varijansi aktivnosti

koje se nalaze na putu do događaja j,- standardna devijacija distribucije izračunava se kao kvadratni

korijen sume varijansi aktivnosti koje se nalaze na putu do događaja j.

Pošto je srednja vrijednost normalne distribucije, to se na bazi tablice

normalne distribucije i zahtjevnog nivoa vjerovatnoće može utvrditi interval u kome će se desiti događaj j. To se postiže korištenjem relacije

(7.11)

gdje je z faktor vjerovatnoće koji se može pročitati iz tablice normalne distribucije (tabela 7.1). Tako se npr. unutar intervala nalazi svih

99,87% vrijednosti za .

Tabela 7.1. Tabela normalnog rasporeda

Takođe može se izvršiti proračun faktora vjerovatnoće (z) koji služi za utvrđivanje vjerovatnoće, odnosno procenta sigurnosti planiranih rokova izvršenja nekog događaja. Faktor vjerovatnoće događaja j može se izračunati korištenjem izraza

(7.12)


ili za planirani rok završetka projekta

(7.13)

gdje je Tpj, odnosno Tpn planirani rok nastupa događaja j, odnosno n.

Na osnovu izračunatog faktora vjerovatnoće utvrđuje se vjerovatnoća nastupanja događaja korištenjem tablice normalne distribucije.

7.4. ANALIZA TROŠKOVA

Pored analize strukture i analize vremena kod realizacije projekata neophodno je izvršiti i analizu troškova. Svakoj aktivnosti ili grupi aktivnosti mogu se pridružiti troškovi ili neka druga procijenjena veličina, tako da se mogu razviti sistemi analize troškova bazirani na analizi vremena CPM, PERT ili nekom drugom metodu.

Postoji više metoda koje se koriste u analizi troškova od kojih ćemo prikazati metodu PERT-COST (PERT troškovi) koja počinje sa analizom troškova nakon analize strukture i analize vremena projekta. Od mnogih varijanti metode PERT-COST koristićemo onu koja se zasniva na optimizaciji troškova na osnovu istog mrežnog dijagrama. Realno je pretpostaviti da svaka aktivnost ima osobinu da se njeno trajanje može smanjiti do određenog nivoa. Kada se ulaganjem dodatnih sredstava ostvari ta granica, tada nikakva dodatna ulaganja ne mogu uticati na dalje skraćivanje trajanja te aktivnosti. To minimalno trajanje aktivnosti naziva se usiljeno trajanje aktivnosti, dok troškovi koji nastaju pri takvom trajanju aktivnosti nazivaju se usiljeni (maksimalni) troškovi.

Pored toga, aktivnost se karakteriše i nekim srednjim optimalnim trajanjem koje ćemo nazvati normalno trajanje aktivnosti. Ono ima osobinu da su troškovi izvršenja aktivnosti koje imaju normalno vrijeme trajanja minimalni.

Jasno je da pri izboru tih kombinacija umanjenje vremena trajanja aktivnosti dovodi do povećanja troškova, a ove zavisnosti mogu se predstaviti krivom kao u slučajevima na slici 7.5.


Slika 7.5. Odnos promjene vremena i troškova

Za svaku aktivnost (i-j) može se odrediti normalno trajanje aktivnosti (tn)ij i usiljeno trajanje aktivnosti (tu)ij kao i direktni troškovi povezani s njihovim izvršenjem (Cn)ij i (Cu)ij.

Osnovu projektovanja troškova čini pretpostavka o postojanju proporcionalnog povećanja troškova aktivnosti sa skraćivanjem vremena aktivnosti. Tada se prosječni priraštaj troškova po jedinici skraćivanja aktivnosti može izračunati pomoću izraza

(7.14)


U analizi troškova pored analize direktnih troškova, treba obuhvatiti i indirektne troškove koji su konstantni po jedinici vremena. Problem je u tome da se pronađu ukupni troškovi za razna trajanja aktivnosti. Kriva sume direktnih i indirektnih troškova ima svoj minimum kod nekog optimalnog vremena trajanja. Osnovni problem je da se pronađe tako vremensko trajanje aktivnosti kod kojeg su troškovi minimalni. Mi ćemo se u analizi troškova ograničiti samo na direktne troškove.

Skraćivanje čitavog projekta moguće je ako se pridržavamo slijedećih heurističkih principa:

(1) Na kritičnom putu skratit će se trajanje one aktivnosti za koju je prosječni priraštaj troškova minimalan.

(2) Kada se postigne minimalno vrijeme trajanja aktivnosti s minimalnim prosječnim priraštajem troškova prelazi se na dalje skraćivanje aktivnosti na kritičnom putu s neposredno većim prosječnim priraštajem troškova i to se nastavlja sve dotle dok se ne dođe do pojave novog kritičnog puta, koji povezuje drugi skup aktivnosti s istim ukupnim vremenom trajanja.

(3) U toku skraćivanja projekta moguće je da se pojavi više kritičnih puteva. To vodi tome da se istovremeno mora skratiti više aktivnosti da bi se skratio čitav projekat. Skraćivanje svakog kritičnog puta vrši se za isti broj vremenskih jedinica, a pri tome se vodi računa da se skrate najjeftinije aktivnosti.

(4) Postupak se nastavlja na sličan način sve dok se ne postigne unaprijed planirani rok projekta ili se ne iskoriste sva moguća skraćenja vremena trajanja aktivnosti na kritičnim putevima koji nastaju u pojedinim etapama.

DODATAK VII: PRIMJENA MREŽNOG PROGRAMIRANJA

VII-1. Primjena CPM

Primjer 1.: Za realizaciju jednog projekta neophodno je obaviti 10 aktivnosti, čije su međusobne zavisnosti i vremena trajanja prikazani u slijedećoj tabeli.


Potrebno je izvršiti analizu strukture i analizu vremena ovog projekta.

Rješenje:

Analiza strukture podrazumijeva konstrukciju mrežnog dijagrama koji se dobiva u skladu sa geometrijskim pravilima za konstrukciju i Fulkersonovim pravilom za numerisanje.

Analiza vremena se sastoji iz:- progresivnog i retrogradnog proračuna vremena;- određivanja kritičnog puta i- izračunavanje vremenskih rezervi.

Progresivni proračun vremena vrši se na osnovu vremena trajanja aktivnosti i konstruisanog mrežnog dijagrama. Za svaku aktivnost (i-j) izračunava se najraniji početak ( ) i najraniji završetak ( ) pomoću izraza 7.1 i 7.2. Za

fiktivnu aktivnost (3-4) vrijeme trajanja je nula.


Ovaj proračun se vrši tako što idemo od prvog događaja projekta, za koji je

=0, prema posljednjem događaju projekta vodeći računa o tome da jedna aktivnost ne može početi prije nego se završe sve aktivnosti koje joj prethode. Tako, pošto su događaji 4 i 7 završni za više aktivnosti, najraniji počeci aktivnosti (4-6) i (7-8) su

.

Najranije početke aktivnosti u mrežnom dijagramu upisujemo u donji lijevi sektor svakog događaja, a za događaj 10 u donji lijevi sektor upisujemo najraniji završetak aktivnosti (9-10).

Kod retrogradnog proračuna vremena polazi se od završnog događaja projekta i ide ka početnom, a za svaku aktivnost (i-j) utvrđuje se najkasniji početak ( ) i

najkasniji završetak ( ) pomoću izraza 7.3 i uslova = .

Kod događaja 3 i 2 koji su početni za više aktivnosti, najkasniji završeci aktivnosti (2-3) i (1-2) koje im neposredno prethode su

Najkasnije završetke aktivnosti upisujemo u donji desni sektor svakog događaja u mrežnom dijagramu. Za događaj 1 u donji desni sektor upisujemo nulu. Nakon izvršene analize vremena dobivamo mrežni dijagram u kojem su iznad strelica koje pokazuju aktivnosti upisana njihova vremena trajanja.

Aktivnosti kod kojih su isti najraniji i najkasniji počeci, kao i najraniji i najkasniji završeci čine kritične aktivnosti (u mrežnom dijagramu su označene debljim strelicama). To su one aktivnosti koje imaju najduža vremena trajanja. Ukoliko želimo da skratimo vrijeme trajanja projekta neophodno je skratiti


vrijeme trajanja kritičnih aktivnosti. Kritične aktivnosti određuju kritični put. Na dijagramu vidimo da projekat ima dva kritična puta: 1-2-4-6-7-8-9-10 i 1-2-3-5-7-8-9-10.

Vremenske rezerve izračunavamo prema izrazima 7.4, 7.5, 7.6 i 7.7, odnosno:- ukupna vremenska rezerva aktivnosti ,

- slobodna vremenska rezerva aktivnosti ,

- nezavisna vremenska rezerva aktivnosti i

- uslovna vremenska rezerva događaja .

Izvršena analiza vremena prikazana je u tabeli iz koje možemo primijetiti da su kod kritičnih aktivnosti sve vremenske rezerve jednake su nuli.

VII-2. Primjena PERT metode

Primjer 2.: Da bismo realizovali jedan projekat potrebno je obaviti 9 aktivnosti. Međusobne zavisnosti između aktivnosti kao i procijenjena vremena trajanja prikazani su u tabeli.


Potrebno je izvršiti analizu strukture i analizu vremena. Prilikom analize vremena treba utvrditi:

- vjerovatnoću sa kojom će se projekat realizovati za 45 dana i- u kom roku će se projekat realizovati sa vjerovatnoćom od 75%.

Rješenje:

Analiza strukture podrazumijeva konstruisanje mrežnog dijagrama prema istim pravilima kao i kod CPM.

Analiza vremena se razlikuje po metodi PERT u odnosu na CPM, gdje su data normirana vremena trajanja aktivnosti. Ovdje na osnovu procijenjenih vremena trajanja izračunavamo očekivano vrijeme trajanja za svaku aktivnost (i-j) na osnovu izraza 7.9, odnosno

,

a na osnovu izraza 7.10 izračunava se varijansa očekivanog vremena trajanja aktivnosti, tj.


,

gdje je:aij - optimističko vrijeme trajanja aktivnosti (i-j),mij - najvjerovatnije vrijeme trajanja aktivnosti (i-j),bij - pesimističko vrijeme trajanja aktivnosti (i-j),(te)ij - očekivano vrijeme trajanja aktivnosti (i-j) i

- varijansa očekivanog vremena trajanja aktivnosti (i-j).

Koristeći se prethodnim izrazima dobili smo rezultate koji su prikazani u tabeli.

Na osnovu izračunatih očekivanih vremena trajanja vršimo progresivni i retrogradni proračun vremena i određujemo kritični put. Događaji u mrežnom dijagramu u ovom slučaju podijeljeni su na četiri sektora, a u četvrti donji sektor upisuje se broj početnog događaja aktivnosti na osnovu koje je određeno najranije nastupanje događaja.


Kako se radi o stohastičkom vremenu trajanja aktivnosti kod PERT metode izračunavamo samo uslovnu vremensku rezervu za događaje.

Kritični put određuju one aktivnosti gdje je isti najraniji i najkasniji očekivani početak događaja, odnosno gdje su uslovne vremenske rezerve jednake nuli i za njih su kapaciteti u potpunosti adekvatni. Aktivnosti kod kojih je >0 mogu se

završiti prije planiranog roka.

Na osnovu izvršenog proračuna vidimo da je očekivani rok realizacije projekta =44 i projekat će se u ovom roku realizovati uz 50% vjerovatnoće.

Vjerovatnoću realizacije projekta u planiranom roku određujemo na osnovu faktora vjerovatnoće z iz tablica normalnog rasporeda koji određujemo pomoću izraza 7.12 i 7.13, odnosno

gdje je:Tp8 planirani rok nastupanja završnog događaja projekta i

- standardna devijacija distribucije koja se dobija kao kvadratni korijen iz

sume varijansi na kritičnom putu

Tako je za =45

P(z=0,45) ≈ 0,6

pa je vjerovatnoća da će se projekat realizovati za 45 dana jednaka 67%.

Pošto je


P(z=0,7) = 0,75

slijedi da je

,

odnosno

To znači da će se sa vjerovatnoćom od 75% projekat realizovati za 45,54 dana.

VII-3. Primjena analize troškova

Primjer 3.: Za realizaciju jednog projekta identifikovano 7 aktivnosti koje treba obaviti. Slijedeća tabela pokazuje međusobne zavisnosti između aktivnosti, normalno trajanje aktivnosti (tn)ij, usiljeno trajanje aktivnosti (tu)ij kao i direktne troškove povezane s njihovim izvršenjem (Cn)ij i (Cu)ij.

Potrebno je izvršiti analizu strukture projekta i utvrditi nabrži način njegove realizacije uz minimalne troškove.

Rješenje:

Prosječni priraštaj troškova po jedinici skraćivanja aktivnosti izračunavamo pomoću izraza 7.14, tj.

što je prikazano u slijedećoj tabeli.


Izvršena analiza strukture sa progresivnim i retrogradnim proračunom vremena i kritičnim putem prikazana je na mrežnom dijagramu na kojem je iznad strelica koje pokazuju aktivnosti prikazano normalno i usiljeno vrijeme njihovog trajanja, a ispod strelica prosječan priraštaj troškova.

Kao što na grafiku vidimo, ukupno normalno trajanje projekta je tn=34 dana.

Troškove koji su povezani sa normalnim trajanjem projekta izračunavamo jednostavnim sabiranjem direktnih troškova povezanih s normalnim trajanjem za sve aktivnosti, tj. Cn = 25+20+30+25+20+35+22 = 177 NJ.

Projekat ima tri moguća puta realizacije. Korištenjem heurističkih principa za skraćivanje projekta dobivamo rezultate prikazane u slijedećoj tabeli.


Prvo skraćenje izvršeno je na prvobitnom kritičnom putu gdje je skraćeno trajanje aktivnosti B, odnosno (1-4), čiji je prosječni priraštaj troškova 2,5 NJ. Vrijeme trajanja ove aktivnosti smanjeno je sa 16 na 14 dana. Time se i vrijeme trajanja cijelog projekta skraćuje na 32 dana pa se javlja novi kritični put (I put = 33 dana). Skraćenjem trajanja projekta povećani su troškovi za 2×2,5 = 5 NJ i sada iznose Cu = 177+5 = 182 NJ.

Slijedeća tabela pokazuje rezultate za sva skraćenja.

Grafički se to može predstaviti na slijedeći način.


Prema tome, usiljeno vrijeme trajanja projekta je tu = 26 dana, a usiljeni troškovi iznose Cu = 232 NJ.

VII-4. Zadaci sa ispitnih rokova

1. Slijedeće tabele pokazuju aktivnosti koje je neophodno obaviti za realizaciju tri projekta. U tabelama su date međusobne zavisnosti između aktivnosti kao i njihova vremena trajanja (u danima).

a)

b)


c)

Na osnovu datih listi aktivnosti izvršiti analizu strukture i analizu vremena za ove projekte.

2. Liste aktivnosti za dva projekta, kao i međusobne zavisnosti između aktivnosti i njihova procijenjena vremena trajanja prikazane su u slijedećim tabelama.

a)


b)

Izvršiti analizu strukture i analizu vremena projekta i utvrditi vrijeme za koje će se projekat realizovati uz vjerovatnoću 75% i 99,87%. Za prvi projekat utvrditi vjerovatnoću realizacije za 57 i 63 dana, a za drugi projekat vjerovatnoću realizacije za 43 i 49 dana.

3. Za dva projekta slijedeća tabela pokazuje međusobne zavisnosti između aktivnosti, normalno trajanje aktivnosti (tn)ij, usiljeno trajanje aktivnosti (tu)ij kao i direktne troškove povezane s njihovim izvršenjem (Cn)ij i (Cu)ij.

a)


b)

Za oba projekta potrebno je izvršiti analizu strukture i utvrditi nabrže načine njihove realizacije uz minimalne troškove.

mrezno programiranje

Documents

lijeva na

direktne trokove

procijenjena

retrogradni

usiljeno trajanje

normalno trajanje

izraunavanje

najraniji