mrm rezistenta mat

Gheorghe FRUNZ

REZISTENA MATERIALELOR

cu aplicaii n

INGINERIA FORESTIER

2005

Capitolul 1

INTRODUCERE N MECANIC

1.1 OBIECTUL DE STUDIU

Termenul de mecanic provine de la cuvntul grecesc Mechanike i a fost introdus de

Aristotel, n secolul al IVlea .Hr.

Mecanica este una dintre tiinele naturii care studiaz legile obiective ale micrii

mecanice a corpurilor materiale i interaciunea dintre acestea.

Prin micare mecanic se nelege schimbarea n timp a poziiei corpului sau a unei pri

a acestuia n raport cu un alt corp, ales ca sistem de referin.

n accepiunea actual, prin micare, n general se nelege orice schimbare a strii

corpurilor materiale, a organismelor vii, a societii etc., micare care este universal i

constituie obiectul de studiu al diferitelor tiine precum chimia, biologia, tiine sociale etc.

Cercetrile experimentale i teoretice privind micarea particulelor din interiorul

moleculelor i atomilor au condus la o nou orientare a mecanicii spre studiul micrii

microparticulelor. Astfel, mecanica a devenit o tiin cu un spectru larg de cercetare care are

ca obiect de studiu micarea mecanic a sistemelor materiale.

In fapt, mecanica este una din tiinele fundamentale ale matematicii alturi de fizic,

chimie i biologie - tiine ce studiaz forme de micare ale materiei, respectiv micarea

fizic, chimic, biologic i social.

n mecanic nu se ia n considerare structura corpurilor, ele considerndu-se ca medii

continue, adic, ntr-un element orict de mic al corpului continu s se mai gseasc

substan.

n decursul timpului mecanica s-a difereniat n mai multe ramuri, Figura 1.

Introducere n mecanic

9

Figura 1. Ramificaiile mecanicii

Mecanica solidului, cunoscut sub denumirea de mecanica clasic, a fost fondat de

Galileo Galilei (1564-1642) i de fizicianul, matematicianul i astronomul Isac Newton

(1642-1727). Aceast disciplina include legile corpurilor a cror vitez este mult mai mic

dect viteza undelor electromagnetice n vid, c = =1 2997930 0 m/s. Este considerat prima tiin fundamental a naturii.

Mecanica solidului rigid se ocup de sistemele materiale formate din corpuri a cror

deformaii sunt neglijabile, corpul fiind considerat rigid. Bazele ei au fost puse n secolul al

XVIII-lea, de L. Euler i J. Lagrange.

Mecanica corpului deformabil cunoscut sub denumirea de mecanic aplicat,

utilizeaz legile mecanicii teoretice, studiaz micarea sistemelor materiale avnd n vedere

deformaiile mici i mari ale corpurilor i include mai multe direcii funcie de domeniul de

aprofundare, Figura 1.

Un mod special de abordare a mecanicii clasice este realizat de mecanica analitic.

Aceasta se bazeaz pe principiile mecanicii newtoniene, dar, cu ajutorul unor principii proprii.

Include metode de mare generalitate n studiul oricror categorii de modele ale corpurilor

materiale nedeformabile, utiliznd pentru toate aceleai ecuaii generale. Trebuie precizat c

Mecanica

Mecanica solidului

Mecanica relativist

Mecanica cuantic

Biomecanica

Mecanica social

nedeformabil (rigid)

deformabilmecanica mediilor continue;mecanica fluidelor;mecanica ruperii;mecanica contactului;

biocibernetica;bioingineria;biomatematica;bionica;biometeorologia;biotehnologia;


10

mecanica analitic nu ine seama de frecrile care intervin la interfaa corpurilor aflate n

contact.

Mecanica relativist a fost creat de Albert Einstein (1879-1955) i cuprinde legile

micrii sistemelor materiale care posed viteze comparabile cu viteza undelor

electromagnetice n vid. Teoria relativitii generalizate descrie gravitaia ca fiind efectul

interaciunii materiei asupra proprietilor spaiu-timp. La baza acestei teorii st principiul de

echivalen potrivit cruia un cmp gravitaional local este echivalent cu cmpul unei fore de

inerie.

Mecanica cuantic rezultat din mbinarea mecanicii cuantice matriciale conceput de

fizicianul german Werner Karl Heissnberg (1840-1905) cu mecanica ondulatorie a

fizicianului austriac Erwin Schrdinger (1887-1961) i a fizicianului francez Louis Victor de

Broglie (1892-1987). Cuprinde legile micrii microparticulelor (molecule, atomi, particule

elementare) i sistemele cuantice formate de acestea.

Legile mecanicii cuantice au permis explicarea structurii atomilor, naturii legturilor

chimice, sistemului periodic al elementelor, proprietilor particulelor elementare. Actualele

tehnologii se bazeaz pe mecanica cuantic; se menioneaz laserul, reactorul nuclear .a.

Un loc aparte l ocupa Mecanica molecular care se ocup cu studiul fenomenelor i

proprietilor corpurilor determinate de caracteristicile moleculelor existente precum i de

interaciunile lor. Sunt studiate fenomenele capilare i de transport precum difuzia, frecarea,

tranziiile de faz, termodifuzia.

Existena moleculelor a fost pus n eviden indirect, prin studierea micrii browniene,

a crei dinamic a fost studiat de ctre A. Enstein n perioada 1904-1906.

In final, se pot stabili relaii corecte ntre lumea microscopic i cea macroscopic.

n abordarea unor fenomene i procese ntlnite n biologie, medicin i biotehnologie

cunotinele de mecanic molecular sunt indispensabile.

Biomecanica este tiina care aplic legile i modurile de raionament ale mecanicii la

studiul organismelor vii i n particular, la om. Biomecanica este mecanica aplicat n

biologie. Primele lucrri de biomecanic au fost ale lui Galilei; Fundamentarea

experimental i teoretic a analizei micrii. Borelli (1608-1679), elevul lui Galilei, public primul tratat de biomecanic modern ntitulat De Motu Animale - Analiza locomoiei animale. Aceast lucrare cuprins n dou volume include o analiz a micrilor musculare i

a dinamicii corpurilor la om i animal, fondat pe principii mecanice. Se gsesc prezentate

zborul psrilor, notul petilor, poziia centrului de greutate al elementelor corpului,

probleme de echilibru, relaii ale diverselor brae de prghii, de momente ale articulaiilor etc.


11

Combinnd matematica, fizica i anatomia, autorul se plaseaz la originea unei pri

importante a biomecanicii actuale.

Muli dintre cercettorii care au dat primele lucrri de biomecanic i-au lsat numele

legat de marile etape ale istoriei tiinelor exacte precum Galilei, Decartes, Hooke, Bernoulli,

Euler, Coulomb, Young, Poiseuille.

n fapt, biomecanica se ocup de esuturile vii, iar acestea au o proprietate major, care

le lipsete tuturor materialelor folosite n diverse ramuri ale inginerie i anume capacitatea de

a crete sau de a se resorbi. esutul viu poate s-i schimbe dimensiunea i, uneori

proprietile mecanice. Aceste modificri sunt legate de solicitrile exterioare, ca i de

anumite procese biochimice, biofizice i metabolice care pot schimba, cu timpul, n esutul

viu, cmpurile de tensiuni - proprietate esenial a vieii.

Din cauza acestui efect, nu putem fi siguri nici de absena solicitrilor reziduale din

organism - solicitri care rmn dup nlturarea forelor exterioare aplicate. Trebuie gsit o

metod care s ne ajute la determinarea acestor solicitri, pentru a fi capabili s determinm

distribuia tensiunilor n organism. Cercetrile n aceast direcie sunt de mare interes i

continu la ora actuala n marile laboratoare din lume.

Specificul sistemelor biologice const n faptul c la baza organizrii i funcionrii lor

st informaia genetic coninut n genom, aprut ca rezultat al evoluiei. Aceast

informaie se manifest n funcionarea specific a sistemelor biologice i n structura lor

ordonat, aperiodic i de neechilibru din punct de vedere termodinamic. Aceste proprieti

se manifest la toate nivelele, precum macromolecular, celular, al esuturilor, organelor i

ntregului organism. Sistemele biologice pot fi studiate din punct de vedere genetic i

structural. Ca urmare, se poate ntlni biomecanica molecular, biomecanica celulei i

biomecanica sistemelor complexe.

n general biomecanica este un domeniu care se dezvolt rapid i are un cmp vast

ncepnd cu medicina, agricultura, silvicultura etc.

Mecanica social este o ncercare de aplicare a metodelor tiinifice din mecanica

general la cercetarea problemelor sociale. Prima lucrarea de mecanic social apare n anul

1906 n limba francez scris de Spiru Haret i n limba romn n 1910. Cunoscutul sociolog

francez Gaston Richard afirma n 1936 c aceast lucrare este una din cele mai viguroase

opere ale sociologiei europene. Autorul introduce n sociologie conceptele generale ale

mecanicii precum statica i dinamica social, echilibrul i micarea, stabilitatea, forele i

fenomenele sociale.


12

Fenomenele sociale au fost, n toate timpurile, subiecte de studii profunde i variate,

ceea ce explic interesul cu privire la problemele legate de evoluia sistemelor sociale i

politice ale societilor umane.

n fapt, scopul mecanicii este de a determina legile obiective ale diverselor tipuri de

micri mecanice a corpurilor materiale i sistemelor n vederea folosirii lor n scopuri

practice, n interesul omului.

Se pot ntlnii urmtoarele forme de micare, Figura 2.

Moduri de micare

Fizic

Megafizic

Biologic

Social

- macroscopic;- molecular;- atomic;- cuantic;- subcuantic.

- geologic;- stelar;- galactic;- metagalatic.

la nivel elementar

la nivel ecologic

- molecul;- celul; - esut;- organ.

- populaie;- specie;- biocenoz;- ecosistem;- biosfer;- biocosmos.

la nivelul structurilor iproceselor

- ideale;- reale.

Figura 2. Tipuri de micare

Pentru studiul micrii mecanice a corpurilor materiale este necesar s se cunoasc

condiiile iniiale ale micrii precum poziia i vitezele tuturor punctelor sale n raport cu un

sistem de referin presupus fix n anumite situaii.


13

1.2 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE MECANICII

Ca i alte tiine fundamentale, mecanica i bazeaz teoria pe cteva noiuni i principii

fundamentale, stabilite pe baza unei ndelungate experiene, verificate de practic, dar pe care

nu le mai putem readuce. Aceste noiuni fundamentale sunt: spaiul, timpul i masa.

Spaiul n mecanica clasic este considerat ca fiind infinit, tridimensional, continuu,

omogen i izotrop permind aplicarea legilor similitudinii. El este privit ca un spaiu absolut.

Unitatea de msur este metrul. Aceste proprieti nu sunt valabile cnd micarea se produce

cu viteza luminii, 300.000 m/s i cnd intervin legile mecanicii relativiste. Din punct de

vedere matematic spaiul se poate modela ca un sistem euclidian, adic este guvernat de

axioma lui Euclid potrivit creia dintr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singur

paralel la acesta.

n fapt, existena micrii n afara timpului este o absurditate tot att de mare ca i cea n

afara spaiului.

Timpul este forma obiectiv de existen a materiei, ce caracterizeaz istoria corpurilor

i poziia lor relativ. n mecanica clasic este considerat universal, infinit, continuu,

omogen, inreversibil, independent de natura evenimentelor i de localizarea lor n spaiu,

durata fenomenelor msurndu-se de la o origine aleas arbitrar. Timpul absolut se poate

reprezenta ca un spaiu euclidian unidimensional. Unitatea de msur este secunda.

Masa corpurilor msoar ineria lor. Ca noiune fundamental, masa este ireductibil i

se msoar prin raportul dintre mrimea forei care pune n micare corpul i variaia de vitez

pe care o imprim acestuia. n mecanica relativist, se demonstreaz c masa corpurilor este

variabil, ea depinde de viteza cu care se mic acestea. Aceast variaie devine sensibil

numai atunci cnd viteza corpurilor se apropie de viteza luminii. Din aceast cauz, la viteze

mult inferioare vitezei luminii se poate accepta ipoteza constanei masei. Este o mrime fizic

scalar strict pozitiv i prezint proprietatea de aditivitate. Unitatea de msur pentru mas

este kilogramul.

n legtur cu noiunea de mas este cea de fora. Fora msoar transmiterea micrii

unui corp asupra altui corp; ea caracterizeaz direcia i intensitatea aciunii unui corp

material asupra altuia i reprezint cauza modificrii unei anumite stri a corpului material.

Trebuie precizat c n studiul micrii mecanice se ia n considerare masa corpului,

spaiul i timpul.


14

1.3 PRINCIPIILE FUNDAMENTALE ALE MECANICII CLASICE-

NEWTONIENE

Sunt cunoscute n literatura de specialitate sub numele de postulate sau axiome. Sunt

legi ce nu pot fi complet dovedite teoretic i nu pot fi reduse la altele mai simple. Sunt

adevruri nedemonstrabile matematic. Prezentate sub form simpl sunt urmtoarele:

Principiul ineriei descoperit de G. Galileo i formulat corect de I. Newton Un corp

material i pstreaz starea de repaus sau de micare rectilinie i uniform atta timp

ct nu intervin aciuni exterioare care s-i modifice aceast stare. Se bazeaz pe

constatarea experimental c att timp ct asupra unui corp nu intervine o cauz exterioar,

corpul i pstreaz o micare rectilinie i uniform sau starea de repaus i c fora este cauza

modificatoare a micrii mecanice.

Principiul independenei aciunii forelor potrivit cruia Efectul unei fore asupra

unui corp este independent de viteza lui, precum i de aciunea altor fore.

Pe lng aceste principii Newton a formulat o serie de corolare, unele avnd valoare de

principiu precum regula paralelogramului forelor, potrivit cruia cnd asupra unui punct

material acioneaz simultan dou sau mai multe fore avnd suporturile concurente i direcii

diferite, efectul lor este acelai ca i cnd asupra punctului ar aciona o for unic, numit

rezultant i care are ca mrime, direcie i sens diagonala paralelogramului construit pe cele

dou fore ca laturi, Figura 3.

Figura 3. Paralelogramul forelor

Formularea matematic a acestui principiu este:

F ma=r r , (1)

care constituie ecuaia fundamental a dinamicii.

1Fr

Rr

2Fr


15

Este evident c exprimarea dat principiului nu reprezint o definiie a regulii de

nsumare a doi vectori, aa cum se cunoate din algebra vectorial. Este un principiu care

include corolarul independenei aciunii forelor. n Figura 3 este reprezentat imaginea

grafic a principiului paralelogramului forelor, pentru care ecuaia dat de algebra vectorial

este:

1 2R F F= +r r r

. (2)

Prin extinderea principiului la un numr n finit de fore care acioneaz asupra unui corp

material, se poate nlocui efectul ntregului sistem, cu efectul rezultantei tuturor forelor.

Dac asupra punctului material acioneaz dou fore egale i direct opuse, efectul lor

mecanic este nul.

Efectul mecanic implic existena acceleraiei care conduce la modificarea strii de

micare a corpului material.

n cazul n care forele sunt aplicate unui corp deformabil, chiar dac ele sunt n

echilibru, pot produce corpului deformaii, acestea reprezentnd efecte nemecanice ale

aciunii forei.

Principiul aciunii i reaciunii, formulat de Newton conform cruia La orice

aciune corespunde totdeauna o reaciune egal i contrar sau aciunile reciproce a dou puncte materiale sunt totdeauna egale i ndreptate n sens contrar. Principiul aciunii i reaciunii mai este cunoscut n literatura de specialitate sub denumirea de principiul

egalitii aciunilor reciproce.

1.4 CONINUTUL GENERAL AL MECANICII

Un fenomen mecanic poate fi studiat n condiii statice i dinamice. Aceasta din urm

implic cunoaterea parametrilor geometrici ai micrii funcie de timp. Astfel, mecanica n

general include trei componente: statica, cinematica i dinamica.

Statica studiaz transformarea sistemelor de fore n sisteme ct mai simple, dar cu

acelai efect mecanic, precum i condiiile de echilibru ale acestora, lund n considerare

interaciunea cu mediul nconjurtor, prin legturile geometrice realizate cu elementele care se

gsesc n afara zonei interesate.


16

Cinematic studiaz micarea corpurilor din punct de vedere geometric, fr a lua n

considerare forele care acioneaz. Din aceast cauz se numete i geometria mecanicii.

Aici se studiaz o serie de mrimi fizice, care pot furniza informaii complete asupra micrii

unui corp material, denumite caracteristici cinematice.

Dinamica cunoscut i sub denumirea de cinetic, studiaz micarea corpurilor

materiale considerate ca solide rigide sau deformabile sub aciunea forelor care acioneaz.

Cu ajutorul datelor oferite de cinematic, se poate efectua un studiu complex privind micarea

mecanic, inclusiv sub aspectul cauzal. Statica este un caz particular al dinamicii, respectiv al

micrii mecanice.

Ca urmare, dinamica este partea cea mai general a mecanicii.

n general, n mecanic se lucreaz cu simboluri i modele, iar n aplicaiile practice se

efectueaz calcule numerice. n acest scop este utilizat sistemul internaional SI de uniti de

msur care are ca mrimi fizice de referin lungimea l , masa m i timpul t, adic:

[ ] [ ] [ ]SI SI SI1m, m 1kg, t 1s= = =l . Toate celelalte uniti de msur din mecanic sunt derivate, obinndu-se pe baza unor relaii de definiie.

Studiul mecanicii este necesar pentru nelegerea interaciunilor din lumea material,

reprezint punctul de plecare n abordarea tuturor problemelor de inginerie i d posibilitatea

nelegerii cursurilor care intervin n pregtirea unui inginer silvic precum rezistena

materialelor, corectarea torenilor, construciile, transporturile, mecanizarea lucrrilor silvice,

studiul lemnului .a

Capitolul 2

MODELE MECANICE, OMOGENITATE I SIMILITUDINE

2.1 GENERALITI

Orice problem de mecanic ncepe cu observarea aprofundat a fenomenului, stabilirea

ct mai exact a proprietilor fizice ale corpului sau sistemului studiat i construirea, pe

aceast baz a unui model fizico-matematic. Realizarea corect a modelului conduce la

elaborarea unei teorii ale crei concluzii vor fi n strict conformitate cu ipotezele admise.

Valabilitatea teoriei nu poate avea ns un caracter definitiv dect dac rezultatele obinute se

verific experimental n limitele acceptabile. Dificultatea cea mai mare const n elaborarea

unei teorii proprii, verificat de practic. Ca tiin logic, deductiv, Mecanica i-a conturat

coninutul i teoria sa pe o durat foarte ndelungat n timp, ncepnd cu Aristotel (384 .Hr.-

322 .Hr.) i pn la I. Newton (1643-1727).

Mecanica nu poate lua n atenie ntregul Univers i, pe de alt parte, nu poate reine

toate proprietile i particularitile corpurilor materiale implicate n procesul de micare.

Fizic se recurge la o partiie a universului, rezultnd mai multe subsisteme. Fiecare

susbsistem poate fi tratat ca un sistem care are legaturi cu mediul exterior, adic, cu celelalte

subsisteme din univers prin schimb de energie i substan. Final, pentru sistemul analizat se

rein numai acele elemente ale cror proprieti sunt relevante. O astfel de procedur se

numete modelare i se ajunge astfel la un model fizic care urmeaz s fie studiat.

Conceptul de sistem a aprut ntr-o form embrionar n filozofia antic Greac.

Aristotel (384-322 .Hr.) a dat o prim definiie ntregul este mai mult dect suma prilor

componente. n 1942, Ludwig von Berthalanffy, definete sistemul ca o reuniune de

elemente sau fenomene ntre care exist anumite relaii de interaciune sau de

interdependen.

Modele mecanice, omogenitate i similitudine

18

Un studiu calitativ asupra evoluiei sistemului fizic trebuie s apeleze la anumite

mijloace matematice, adic la utilizarea unui model matematic. Acesta reprezint un

ansamblu de noiuni i axiome din care rezult o serie de ecuaii i funcii matematice

capabile s descrie ntr-un mod adecvat comportarea sistemului n condiii ct mai reale.

Sistemul care are legturi cu exteriorul este un sistem deschis i relaiile se numesc

extrinseci; n caz contrar sistemul este nchis iar relaiile ntre diferite prii se numesc

intrinseci, Figura 1.

Figura 1. Sistemul general

Un sistem S poate fi descris de relaia:

S F x y s at= ( , , , ) , (1)

unde: x - mulimea intrrilor (cauze); y - mulimea ieirilor (efecte); st - mulimea strilor la

momentul t; a - mulimea operaiilor sau transformrilor care se efectueaz asupra mulimii x

pentru a le transforma n mulimea y.

2.2 MODELE MECANICE

Corpurile reale prezint configuraii i nsuiri dintre cele mai diverse. Mecanica n

general nu opereaz cu corpuri reale, fcnd abstracie de nsuirile care nu intereseaz,

rezultnd astfel un corp schematizat denumit modelul mecanic.

Modelul mecanic pstreaz configuraia i caracteristicile eseniale ale corpului real,

cruia i se poate aplica calculul matematic. Justeea unui model este probat de

corespondena ntre rezultatele calculului matematic i cele obinute experimental.

n mecanica se pot ntlni urmtoarele modele: particul material i mediu continuu.

x y

Sistem fizic

Frontiera sistemului Mediul exterior

e1

e2e3

e4e5

e6


19

Modelul de particul material conceput ca un punct geometric, cruia i se ataeaz

masa corpului respectiv. Poate fi ntlnit n literatura de specialitate i sub denumirea de

punct material. Este utilizat pentru modelarea corpurile macroscopice ale cror dimensiuni au

implicaii irelevante asupra micrii lor mecanice. Ca exemplu, Pmntul poate fi modelat

printr-o un punct material atunci cnd se studiaz micarea sa n cadrul sistemului solar ( raza

medie a Pmntului, 6104,6R m, iar distana medie Pmnt-Soare, 11d 1,5 10= m.). Modelul mediului continuu este bazat pe ipoteza simplificatoare c ntregul domeniu

ocupat de corp conine substan, dei este cunoscut structura atomic discontinu a

corpurilor. Funcie de anumite proprietii ale sale este ntlnit n unele aplicaii ca model de

corp material propriu-zis. Acest model este utilizat atunci cnd toate dimensiunile corpului

natural prezint importan fizic, sunt de acelai ordin de mrime. Are ca elemente corpul

geometric n configuraie natural sau redus la scar, cruia i se ataeaz o mas distribuit

n volum. Funcie de modul cum se comport la aciunea forelor exterioare acest model

poate fi considerat rigid sau deformabil.

Modelul lui Euclid cunoscut sub numele de solid nedeformabil sau rigid, se

caracterizeaz prin absena deformaiilor, 0 . Fizic, distana dintre dou puncte oarecare ale sale rmne invariabil la aciunile exterioare, adic, corpul i pstreaz configuraia

iniial.

Modelul lui Euclid este un model ideal valabil n anumite domenii i acceptat pentru a

da posibilitatea simplificrii relaiilor matematice. n fapt, toate corpurile se deformeaz sub

aciunea sarcinilor exterioare.

Modelul de corp deformabil este ntlnit n studiul micrilor mecanice atunci cnd se

ine seama de prezena unor interaciuni. Ca urmare, corpul sufer variaii fa de configuraia

de referin. Rspunsul corpului deformabil poate fi:

- elastic - dac dup nlturarea forelor exterioare corpul revine la configuraia iniial,

cunoscut n literatura tehnic de Modelul Hooke. Din punct de vedere fizic, modelul Hooke

se poate reprezenta printr-un arc de constant K, Figura 2. Acest model este complet lipsit de

memorie, adic n orice moment starea sa este complet independent de ceea ce s-a petrecut

anterior att la ncrcare, ct i la descrcare.

F FK

Figura 2. Modelul Hooke MH.


20

- plastic - dac dup nlturarea forelor exterioare corpul nu revine sau revine parial la

configuraia de referin, adic el rmne cu deformaii iniiale. Aceste corpuri prezint

deformaii importante peste o anumit valoare a solicitrilor numit prag al tensiunilor,

cunoscute n literatur sub diferite denumiri, funcie de natura materialului. Deformaiile

plastice se pot produce cu vitez constant n momentul depirii pragului tensiunilor.

-fluid dac, corpul ia forma recipientului n care este plasat. Acest model poate fi

ntlnit pentru lichide - atunci cnd i conserv volumul i gaze - atunci cnd ocup orice

domeniu al spaiului care le este accesibil.

Caracteristic pentru lichide este Modelul Pascal sau perfect incompresibil. Dac se

acioneaz asupra unui lichid cu o presiune hidrostatic i volumul nu se micoreaz, rezult

c lichidul este incompresibil.

n fapt, se pot ntlni cele dou stri limit: Modelul Euclid i Modelul Pascal.

Corpurile care se apropie de starea lichid prezint deformaii foarte mari. Dup modul de

comportare n timpul curgerii astfel de corpuri se pot asimila prin modelele newtoniene i nenewtoniene.

Modelul Newtonian sau liniar vscos se poate utiliza cnd vscozitatea unui corp este

constant n raport cu viteza sau tensiunea de forfecare. Corpurile perfect vscoase se

deformeaz continuu sub aciunea forelor, deformaia obinut pstrndu-se dup

ndeprtarea cauzei care a produs-o.

Modelul mecanic pentru un corp vscos, la care deformaiile sunt proporionale cu

solicitrile, este alctuit dintr-un cilindru, n interiorul cruia se afl un lichid vscos i un

piston, Figura 3. Deformaiile , cresc n timp, ele nu se produc instantaneu, sunt proporionale cu sarcina aplicat i se pstreaz integral la nlturarea ei. Energia crete

continuu cu sarcina i nu este restituit la descrcare.

n fapt, se poate afirma c modelul are memorie perfect, adic reine integral toate

evenimentele produse asupra lui.

Figura 3. Modelul Newton MN.

hF F


21

Modelul Nenewtonian sau neliniar vscos, se poate utiliza cnd vscozitatea unui corp

depinde de viteza sau de tensiunea de forfecare.

Vscozitatea unui fluid poate fi liniar sau neliniar i depinde de presiune i

temperatur. Ea scade puternic cu creterea temperaturii i crete mult cu presiunea, mai ales

n domeniul presiunilor mari.

Modelul perfect plastic. Cnd valoarea tensiunii aplicate este sub cea de prag, corpul

plastic nu se deformeaz, peste aceast valoare corpul se deformeaz cu vitez constant, fr

a fi nevoie s creasc tensiunea i fr variaie de volum. Dac se nltur brusc ncrcarea,

corpul pstreaz deformaia pe care a avut-o n acel moment, cnd s-a produs descrcarea.

Modelul fizic pentru corpuri cu o astfel de comportare a fost propus de Saint Venant,

reprezentat schematic n Figura 4, adic cu un corp care se afl plasat pe suprafaa altui corp,

fr s existe lubrifiant la interfa. Fenomenul mecanic este similar cu frecarea de alunecare,

adic micarea nu poate avea loc dect n momentul n care fora care acioneaz asupra

corpului depete o anumit valorare de prag F0 .

F FFo

Figura 4. Modelul Saint Venant MSV.

Cele trei modele simple sunt evideniate n Figura 5, obinndu-se prin combinarea lor

modelele: vscoelastic, elastoplastic, vscoplastic, .a.

Modelul Hooke MH

Modelul Newton MN

Modelul Saint- Venant MSV

Vscoelastic Elasto-plastic

Vscoplastic

Figura 5. Modele simple fundamentale.


22

Modele complexe

Pentru a studia comportarea unor materiale ct mai aproape de realitate se utilizeaz

modele generalizate, obinute prin legarea n serie, paralel sau mixt a modelelor simple

prezentate. Rezolvarea unor astfel de probleme implic utilizarea unor metode numerice de

calcul asistate.

2.3 OMOGENITATE I SIMILITUDINE

Pe baza legilor naturii se pot stabilii relaii ntre mrimile fizice, dar i ntre valorile

numerice ale acestor mrimi. Se consider c o astfel de relaie este de forma:

if (x ) 0, i 1,n= = , (2)

unde:

- f - este un operator;

- ix - reprezint valorile numerice ale mrimilor fizice iniiale care intervin n

enunarea legii respective.

Relaia 2 trebuie s fie independent de unitile de msur utilizate. Dac se schimb

unitile de msur pentru mrimile primitive, relaia 2 devine:

i i if (y ) f ( x ) 0, i 1, n= = = , (3)

unde i sunt coeficieni numerici. Pentru ca relaia 3 s fie echivalent cu relaia 2 este necesar i suficient ca:

i i if ( x ) C f (x ) 0, i 1, n = = = . (4)

Ca urmare, se poate spune c relaia 2 trebuie s fie omogen n ix .

Din punct de vedere fizic dac o relaie poate fi exprimat sub forma A B= , atunci n baza omogenitii rezult c A i B trebuie s aib aceeai ecuaie dimensional.

Pe baza proprietii de omogenitate putem obine:

- Verificarea corectitudinii unei relaii care pot exprima legi fizice;

- Determinarea naturii unei mrimi;

- Stabilirea unei formule.


23

n practic este necesar a se realiza studii experimentale la nivel de laborator, pentru a

confirma modul de comportare a unui corp real i al crui model teoretic este neclar. Acest

lucru se poate efectua prin utilizarea unui model obinut prin reproducerea la o scar redus a

obiectului real. n aceste condiii o anumit mrime fizic S, se consider important. Se

noteaz cu realS - valoarea mrimii pentru corpul real i cu modelS - valoarea aceleiai mrimi

pentru model. Aceste valori sunt proporionale, exprimate prin relaia:

reals

model

S kS

= , (5)

unde sk este un coeficient de similitudine corespunztor mrimii S.

Un model se consider ideal dac are acelai coeficient k pentru orice mrime fizic

monitorizat. Fizic, nu se poate realiza un model perfect; ca urmare, se caut a se realiza un

raport pentru mrimile care sunt importante n aplicaia respectiv.

Fie ik , i , m, t= l , coeficieni de similitudine pentru mrimile fundamentale: L-lungime, M-mas i T- timp, definite prin rapoartele:

real

model

L kL

= l , real mmodel

M kM

= , real tmodel

T kT

= . (6)

Dac se pune condiia ca o anumit mrime fizic, care prezint un interes s aib

aceiai valoare pentru corpul real i pentru model, se obine o relaie ntre coeficieni

ik , i , m, t= l . Dac modelul se realizeaz din acelai material ca i corpul real atunci se mai obine o

relaie. Cele dou relaii permit s se exprime doi coeficieni funcie de cellalt.

Principale modele de similitudine ntlnite n literatura de specialitate sunt evideniate n

Tabelul 1.

Gsirea coeficienilor adimensionali, conduc n general la probleme dificile i reclam

studiul amnunit al fenomenului mecanic, pe baza ecuaiilor generale de micare. Totui,

aceste simple consideraii de omogenitate arunc o privire general asupra fenomenului,

orienteaz cercetarea i permite verificarea din punct de vedere dimensional al rezultatului.

n final, se pot pune n eviden n mod direct unii parametrii adimensionali n funcie

de care se exprim fenomenul luat n studiu.


24

Tabelul 1. Modele de similitudine.

Denumirea modelului

Specificaii Relaii ntre coeficienii de similitudine

Modelul mecanic a lui Froude

Const n realizarea acelorai acceleraii a, att pentru corpul real ct i pentru model,

real

model

a 1a

= sau 2

real real2

model model

L T 1L T

= .

2t tk k 1 k k = =l l

Modelul elastic a lui Cauchy

Se impune condiia ca n model i corpul real s se realizeze aceleai tensiuni normale ,

real

model

1 = sau 1 2

real real real1 2

model model model

M L T 1M L T

= .

1 2m tk k k 1

=l

Modelul hidraulic a lui Reynolds

Se bazeaz pe obinerea aceluiai coeficient de vscozitate cinematic , pentru corpului real ct i pe model,

real

model

1 = sau 2 1real real

2 1model model

L T 1L T

= .

2 1 2t tk k 1 k k = =l l

Modelul lui Weber

Se bazeaz c tensiunea superficial a modelului s fie egal cu cea a lichidului real,

( )( )

s real

s model

1 = sau

2real real

2model model

M T 1M T

= .

2 2m t m 2k k 1 k k

= =

Condiie valabil pentru toate modele

Corpul real i modelul sunt realizate din acelai material sau fluid, cu densitatea , adic

real

model

1 = sau 3

real real3

model model

M L 1M L

= .

3 3m mk k 1 k k

= =l l

Capitolul 3

SISTEME DE FORE

3.1 CONCEPTUL DE FOR

nc de la apariia mecanicii ca tiin s-a impus necesitatea introducerii unor mrimi

cantitative care s msoare micarea mecanic. Una dintre aceste mrimi este i fora.

Cuvntul for i are originea n limba greac, unde denumirea de dyna nseamn for.

Iniial fora, s-a definit n sens calitativ ca fiind cauza care intervine la schimbarea strii

de micare a unui corp, apoi Newton, a introdus aceast noiune. El a artat c fiecare corp

are un element caracteristic intrinsec, denumit mas, iar fora este funcie de acest element i

de acceleraia care i se imprim corpului.

n mecanica newtonian fora poate fi scris funcie de masa m, vectorul de poziie rG , de viteza vG sau acceleraia aG i explicit de timpul t, adic:

F F(m, r,a, t)=G G G G . (1)

Fora definit de relaia 1 este cunoscut sub denumirea de for newtonian. Un caz

particular este acela n care fora depinde exclusiv de mas i vectorul de poziie, cunoscut

sub denumirea de for poziional,

F F(m, r)=G G G . (2)

Din aceast categorie se pot meniona forele conservative precum greutatea proprie,

fora elastic, fora de atracie universal .a.

Sisteme de fore

26

Fora apare sub o form abstract, prin care se exercit interaciunea dintre corpuri. n

acest fel expresia principiului fundamental, pe lng caracterul de lege a naturii, l are i pe

acela de definiie dinamic pentru orice tip de for. Ca urmare, principiul fundamental

trebuie completat cu legi experimentale ale forelor, legi care sunt independente fa de acest

principiu. Astfel, legea lui Hooke pentru fore elastice, legea atraciei universale, legile

forelor de frecare i ale forelor de rezisten din fluide, mpreun cu principiul fundamental

constituie un sistem teoretic care este studiat n dinamic.

Noiunea de for d senzaia de efort care apare atunci cnd ridicm sau inem greuti,

cnd tragem sau mpingem un corp. O dat cu aceast senzaie de efort apare i ideea

orientrii n spaiu a forei. Astfel, aceast mrime caracterizeaz direcia i intensitatea

aciunii unui corp material asupra altui corp, iar din punct de vedere fizic prin abstractizare se

formeaz caracterul vectorial al forei.

Prin intermediul forelor corpurile acioneaz unele asupra altora transmind micarea

mecanic. Forele pot fi msurate cu dinamometrul. Acesta include elemente elastice, ale

cror deformaii sunt proporionale cu forele exterioare care acioneaz asupra lui.

Forele produc efecte statice de deformare i efecte dinamice de accelerare; ca urmare,

fora este cauza acceleraiei i deformaiei. Ca exemple se pot aminti: greutatea, fora de

presiune dintr-un fluid, fora elastic, fora de frecare, fora de rezisten .a.

Principiul doi, denumit i principiul fundamental, descoperit de Newton, stabilete

legtura mecanic dintre for i efectul su dinamic - acceleraia.

G GF ma= . (3)

Aceast relaie nu spune nimic despre natura forei care, poate fi de orice fel:

gravitaional, elastic, de frecare, electric, magnetic, nuclear, biologic etc.

Definiia forei poart caracterul unei interaciuni, n sensul c ntotdeauna apar dou

fore egale i de sens contrar, fiecare acionnd asupra unui corp, conform principiului trei,

21 FFGG = . (4)

Avnd n vedere c forele se pot reprezenta printr-un vector, operaiile ntlnite n

algebra vectorial cu exprimare liniar, matricial sau tensorial se consider valabile i n

cazul acesta.

Sisteme de fore

27

n concluzie, fora este cauza care modific starea mecanic a corpurilor sau a unui

sistem mecanic, adic micarea sau repausul. Este o mrime care caracterizeaz transmiterea

micrii de la un corp material la altul; astfel, se poate spune c fora este msura interaciunii

dintre corpuri. Fora poate fi caracterizat printr-un vector, ca urmare este o mrime

vectorial, reprezentat printr-un segment de dreapt orientat i caracterizat prin modul sau

intensitate, direcie i sens.

3.2 CLASIFICAREA FORELOR

Totalitate forelor care acioneaz asupra unui corp sau sistem mecanic poart

denumirea de sistem de fore. Exist mai multe criterii de clasificare a forelor; n schema

din Figura 1 sunt cuprinse tipurile de fore ntlnite n mecanic.

3.2.1 Fore fundamentale

Dup ndelungate cercetri s-a ajuns la concluzia c toate fenomenele naturii pot fi

explicate cu ajutorul a patru fore cunoscute sub denumirea de fore fundamentale.

Fora gravitaional a fost prima for explicat tiinific de ctre Newton prin teoria

atraciei universale.

Legea lui Newton arat c, dei intensitatea forei gravitaionale scade cu ptratul

distanei, efectele sale se resimt la orice distan n univers. Gravitaia ine universul n forma

n care exist, astfel nct la scar astronomic fora gravitaional este dominant n natur.

Fora gravitaional este universal astfel nct ntregul cosmos nu scap aciunii sale.

Fora gravitaional este individualizat i prin proprietatea ei unic de atracie. Nu a fost

observat n universul accesibil o aciune de respingere gravitaional.

Intensitatea acestei fore la nivel micro este extrem de mic. La nivel cosmic fora

gravitaional este dominant datorit maselor cosmice mari.

Teoria newtonian a gravitaiei nu mai este valabil n cazul unor cmpuri

gravitaionale intense create n jurul stelelor neutronice i a gurilor negre cnd curbura

spaiu-timp crete nelimitat.

Atracia gravitaional este mai uor de neles dac se ataeaz noiunea de cmp

gravitaional. Cmpul gravitaional este asociat cu existena undelor gravitaionale.

Undele gravitaionale au fost prevzute de teoria relativitii generalizate a lui Einstein.

Dup cum undele electromagnetice sunt produse prin variaia sarcinilor electrice, tot astfel

Sisteme de fore

28

undele gravitaionale trebuie s apar ca urmare a variaiei masei unor sisteme gravitaionale

astronomice.

Clasificareaforelor

funcie denatura lor

fore interioare (eforturi secionale)

funcie de modulde aplicare fore distribuite

uniformeliniareparabolicesinusoidalecurbiliniioarecare etc.

funcie de modul de generare

fore realefore fictive

funcie de lucrul mecanic pe care-l pot efectua

fore conservative

fore neconservative

fore gravitaionalefore elasticefore electrice

fore de frecare

fora coriolisfora axipet

fore exterioarefore activefore pasive (legtur)

fore concentrate

fore volumice

Fore speciale

fore impulsivefore reactivefore magnusfore n mecanica relativist

Fore fundamentale

fora gravitaionalfora electromagneticfor slabfor tare

dup modul cumacioneaz n timp

statice dinamice variabile

dup poziia sarcinifixemobile

Figura 1. Clasificarea forelor.

Sisteme de fore

29

Modificarea masei gravitaionale a unui sistem astronomic implic modificarea

cmpului gravitaional creat, iar dac fenomenul este periodic apar unde gravitaionale care se

propag n spaiu cu o vitez egal cu viteza luminii.

Undele gravitaionale sunt unde energetice, adic unde care transport energie. Prin

analogie cu radiaia electromagnetic, undele gravitaionale ar trebui s fie formate din

particule - cuante gravitaionale numite gravitoni. Cunoaterea caracteristicilor specifice, a

energiei i vitezei de propagare a gravitonilor, ar ajuta nelegerea existenei curburii spaiu-

timp. Undele gravitaionale rezult i din modelul de univers, bazat pe o structur avnd ca

element principal stringul cosmic.

Stringul cosmic, introdus de fizicianul A. Vilenkin este definit prin teoria spaiilor

fibrate ca o entitate exotic, sub forma de fire sau suprafee rmase din estura universului

aprut n urma big-bang-ului. Stringurile sunt presupuse foarte dense cu energii mari, se

deplaseaz cu viteza lumini i produc o curbur a spaiului din jurul lor.

Cercetrile efectuate de M. Nieto, n anul 1987, a pus n eviden trei tipuri de fore

gravitaionale:

fora gravitaional newtonian cu raz de aciune nelimitat i cuantificat de particula numit graviton;

fora gravitaional de respingere cu o raz de aciune foarte mic fa de scara macroscopic, cuantificat de particula numit gravifoton;

for gravitaional atractiv suplimentar cu o raz mic de aciune, cuantificat de particula numit graviscalar.

Fora electromagnetic a fost sesizat nc de Thales din Milet. Sunt cunoscute forele

electrice de atracie sau de respingere.

Legtura dintre fenomenele electrice i cele magnetice a fost fcut de Faraday care

demonstreaz c un flux magnetic variabil produce o tensiune electromotoare i un curent

electric. Maxwell, n 1865, unific cele dou tipuri de fenomene n cadrul teoriei

electromagnetismului. Aceasta reprezint prima teorie de unificare a forelor naturii, iar n

1967 a avut loc un nou proces de unificare a forelor.

Fora gravitaional are ca zon de aciune spaiul infinit; fora electromagnetic se

refer la fenomene pn la nivelul atomului. n cadrul nucleului atomic se manifest alte

tipuri de fore.

Fora slab are o raz foarte mic de aciune, aproape punctiform, 10 18 m, deci

cuprinde zone i particule nucleare. Dup mrime, fora slab se plaseaz ntre fora

gravitaional i fora electromagnetic.

Sisteme de fore

30

Fora tare acioneaz doar ntre nucleoni precum protoni i neutroni, nefiind sesizat de

ctre electroni, neutrini i fotoni, adic de particule foarte uoare. Este o for atractiv dar

care permite dezintegrarea unor nuclee instabile; este responsabil de eliberarea unei cantiti

mari de energie n urma dezintegrrii nucleului.

3.2.2 Fore speciale

Forele impulsive apar n procesul de ciocnire dintre dou corpuri macroscopice ntr-un

timp relativ mic de10 104 18 s i sunt mult mai mari dect forele exterioare. Se ntlnesc dou tipuri de fore impulsive: de comprimare i destindere. Aceste fore nu modific

impulsul total al sistemului, care se conserv.

Forele reactive apar ntr-un sistem fizic cu mas variabil prin creterea sau scderea

masei corpului.

Fora magnus apare atunci cnd un corp de revoluie se deplaseaz i se rotete printr-

un fluid, producerea acestei fore este justificat de legea lui Bernoulli.

Forele relativiste apar n micarea relativist la viteze comparabile cu viteza luminii.

Funcie de natura lor, ntlnim:

- Fore active - reprezint aciunea mediului exterior exercitat asupra unui corp sau

sistem mecanic;

- Fore pasive - apar n legturile dintre corpuri care interacioneaz ntre ele, adic la

interfaa dintre contactul a dou corpuri, sunt cunoscute i sub denumirea de fore de

legtur.

- Fore interioare - apar ca urmare a aciunii forelor exterioare n urma deformrii

corpului; sunt fore de interacie, specifice mecanicii corpului deformabil (rezistena

materialelor) i sunt menionate n literatura de specialitate sub denumirea de eforturi

secionale.

Dup modul de aplicare, ntlnim:

Fore concentrate care se consider c acioneaz i se aplic ntr-un singur punct al

unui solid, Figura 2. Ele pot fi fixe sau mobile.

F

Figura 2. For concentrat

Sisteme de fore

31

Fore distribuite sau repartizate, care se consider c se aplic i acioneaz pe o

anumit lungime, suprafa, funcie de modelul mecanic utilizat. Repartizarea poate fi

uniform, liniar, curbilinie, parabolic, sinusoidal, oarecare etc., Figura 3.

q 2q

a - sarcini uniforme b sarcini cu variaie liniar

q=q(x)

x

c sarcini distribuite dup o lege oarecare

Figura 3. Tipuri de fore distribuite

Foarte frecvent n mecanic forele distribuite sunt denumite sarcini. Dup caracterul

lor, sarcinile care acioneaz asupra unui sistem mecanic se pot clasifica astfel:

permanente;propriu zise utile;

accesorii.Dup caracterul sarcinilor accidentale

seismice;extraordinare

inundaii.

Sarcini propriu-zise sunt acele sarcini care trebuie luate n considerare n calculele de

rezisten, deoarece ele nu pot lipsi niciodat.

Sarcini permanente sunt acele sarcini care acioneaz asupra oricrui sistem mecanic,

att timp ct acesta funcioneaz. Din aceast categorie se poate meniona greutatea proprie a

sistemului mecanic.

Sarcini utile sunt acelea pentru care este destinat sistemul mecanic.

Sisteme de fore

32

Sarcini accesorii sunt acele sarcini care apar n condiii speciale de exploatare a

sistemului mecanic. Din aceast categorie fac parte forele ineriale i forele care provin din

frnarea brusc .a.

Sarcini accidentale sunt acele sarcini care nu sunt utile pentru un sistem mecanic, dar

ele acioneaz i au un caracter intermitent. Din aceast categorie fac parte sarcinile datorate

micrilor seismice, cele provenite din inundaii, incendii .a.

Fore volumice sunt repartizate n tot volumul corpului, precum greutatea acestora.

Aceste fore pot fi ntlnite n aplicaii precum calculul barajelor i construciilor hidrotehnice.

Dup modul de producere, deosebim:

Fore reale, sunt acele fore care apar prin interacie conform principiului 3 al

dinamicii, n sensul c apar perechi acionnd fiecare asupra altui corp.

Fore fictive aparente sau pseudofore, sunt fore introduse de sistemul de referin

neinerial (accelerat) pentru a asigura valabilitatea principiului fundamental n aceste sisteme.

Aceste fore nu sunt produse prin interacie i acioneaz asupra corpului considerat tot ca o

for real. Ele se mai numesc i fore complementare, putnd fi complementare de translaie

sau complementare de rotaie (fora complementar axipet, fora complementar Coriolis,

fora complementar relativ).

Funcie de lucrul mecanic pe care-l pot efectua, ntlnim:

- Fore conservative al cror lucru mecanic nu depinde de drum (traiectorie) i deriv

dint-o funcie de for, (energie potenial), precum forele gravitaionale, elastice, electrice.

Forele conservative conserv energia mecanic (cinetic + potenial), deoarece lucrul

mecanic se transform reversibil n energie,

dW dUcons = dar =dU dE c sau d U E c( )+ = 0 sau cU E cons tan t+ = . (5)

n acest caz fora poate fi definit prin relaia:

U U UF gradU i j kx y z

= = + + G G GG

.

(6)

n Tabelul 1 sunt prezentate cteva exemple de astfel de fore:

Sisteme de fore

33

Tabelul 1. Exemple de fore conservative

Denumirea forei conservative Funcia de for din care deriv Greutatea proprie U mgz= Fora elastic 2 2 2 21 1U kr k(x y z )

2 2= = + + ,

k - constant elastic Fora atraciei universale

2 2 2

mM mMU f fr x y z

= = + + f - constanta atraciei universale

- Fore neconservative al cror lucru mecanic depinde de traiectorie, iar pe un drum

nchis nu este zero. Aceste fore nu conserv energia mecanic iar dac un corp se afl

simultan sub aciunea unei fore conservative i a unei fore neconservative, atunci energia sa

mecanic scade.

dW dW dEcons nec+ = , + =dU dW dEnec , dW d E U dEnec c= + =( ) . (7)

Dar dWnec < 0 , deoarece GFnec acioneaz n sens contrar deplasrii, deci energia total

mecanic scade. Un exemplu de fore neconservative este cel al forelor de frecare ntre

corpuri solide sau ntre solide i fluide.

Dup variaia n timp deosebim:

- Fore constante n timp, sunt cunoscute i sub denumirea de fore statice, Figura 4a.

Ele devin constante dup stabilizarea ncrcrii;

- Fore oscilante cu variaie periodic a intensitii ntre dou valori pozitive, una

maxim i una minim, Figura 4b;

- Fore pulsante care au variaie periodic ntre o valoare maxim i zero, Figura 4c;

- Fore alternante cu variaie periodic ntre o valoare negativ i una pozitiv,

[ ]F F, F , Figura 4d.

Funcie de viteza de aplicare, se ntlnesc:

- Fore statice, se aplic n mod lent i i pstreaz intensitatea constant n timp sau au

o variaie lent de la zero la o valoare final. Din punct de vedere fizic fora de inerie este

neglijabil.

- Fore dinamice, sunt caracterizate de variaia brusc a intensitii. Astfel de fore sunt

frecvent ntlnite la ciocnirea dintre dou corpuri.

Sisteme de fore

34

Figura 4. Evidenierea forelor funcie de variaia n timp a intensitii

3.3 CARACTERUL DE VECTOR ALUNECTOR AL FOREI

Dac n punctele A i B care aparin unui corp rigid se aplic dou fore FG

i respectiv

FG , egale n modul, F F F= =G G i de sens contrar, avnd ca suport dreapta AB, Figura 5, atunci sistemul de fore aplicat nu va avea nici un efect asupra solidului. Fizic, dac corpul se

afl n repaus el va continua s rmn n repaus, iar dac era n micare va continua s se

mite ca i cnd nu ar fi intervenit nici o aciune asupra sa.

Se consider c asupra unui solid rigid acioneaz numai fora FG

, aplicat n punctul A,

Figura 6a. Fie un punct oarecare B, plasat pe suportul acestei fore n care aplicam dou fore

egale n modul, cu cea din punctul A i opuse ca sens, F F F= =G G , avnd ca suport dreapta AB, Figura 6b. Evident fora F

G din A i fora FG din B pot fi suprimate, conform

observaiilor anterioare, ele neavnd nici un efect asupra corpului. n final, rmne o singur

for aplicat n punctul B, Figura 6c. Situaia din Figura 6c este echivalent cu situaia din

Figura 6a.

F

F

t

F

t

F

t

F

t

a - for constant b - for cu variaie periodic

d-for cu variaie alternant simetric

-F

+F

minF

maxF

maxF

c-for pulsant

Sisteme de fore

35

B

AA

BFG

FG

FG

Figura 5. Sistem de fore egale n modul, care acioneaz asupra unui solid

A A

BB

A

a b c

Figura 6. Evidenierea forei ca vector alunector

Ca urmare, se poate afirma c efectul unei fore aplicate unui solid considerat rigid nu

se schimb dac punctul ei de aplicaie se deplaseaz pe suportul forei.

Concluzie: Forele care acioneaz asupra unui corp rigid pot fi considerate vectori

alunectori.

3.3.1 Caracterizarea forei

Se cunoate c un vector liber poate fi caracterizat cu ajutorul a trei mrimi scalare

precum proieciile pe axele unui sistem cartezian, iar un vector aplicat este caracterizat prin

ase mrimi scalare - proieciile pe axele sistemului cartezian i coordonatele punctului su de

aplicaie, Anexa 1.

Sisteme de fore

36

For poate fi caracterizat dac se cunosc proieciile pe axe ale vectorului

x y zF F i F j F k= + +G G GG

i dreapta suport, pe care alunec acesta, Figura 7. Aceast dreapt poate fi definit fa de un sistem de referin normat prin parametrii directori:

yx zFF Fcos , cos , cos

F F F = = =G G G .

(8)

O

z

x

y

1y

FG

2y

1x

2z

1z

2x

Figura 7. Caracterizarea forei

3.4 MOMENTUL UNEI FORE N RAPORT CU UN PUNCT

Se consider o for GF , de modul i direcie cunoscute, caracterizat prin vectorul de

poziie Gr , fa de un sistem de referin Oxyz, Figura 8. Momentul forei

GF, n raport cu punctul (polul) O este prin definiie egal cu produsul

vectorial dintre vectorul de poziie i for.

Matematic se poate scrie urmtoarea relaie vectorial:

( ) ( ) ( )0 z y x z y xx y z

i j kM r F x y z yF zF i zF xF j xF yF k

F F F

= = = + +

G G GG G GG GG .

(9)

Sisteme de fore

37

FG

A(x,y,z)

y

x B

O d

MG

rG

z

Figura 8. Momentul unei fore fa de un punct, O.

Evident momentul forei este un vector, avnd direcia perpendicular pe planul

determinat de suportul forei i vectorul de poziie, Figura 7.

Modulul acestui vector, rezult prin aplicarea normei ecuaiei 9,

0M r F sin= G GG , (10)

sau

0M Fd= , (11)

unde segmentul OB b= , reprezint perpendiculara dus din punctul O pe suportul forei i se numete braul forei.

Momentul unei fore poate fi egal cu zero cnd:

F 0=G , cazul banal al neexistenei forei; r 0=G , cazul n care punctul 0 coincide cu A; r || F

GG , cnd punctul O se gsete pe suportul lui F. Momentul unei fore nu se schimb cnd punctul de aplicaie al forei alunec pe

suportul su din punctul A n punctul B, Figura 9. Afirmaia poate fi demonstrat scriind

expresia analitic a momentului unei fore FG

fa de punctul B:

( )1 0M r F r AB F r F AB F M= = + = + =JJJG JJJGG G G G G GG G G . (12)

Sisteme de fore

38

A

B

FG1rG

FG

rG

MG

Figura 9. Momentul unei fore cnd fora FG

alunec pe suportul su.

Momentul oMG

este un vector alunector caracterizat prin 5 mrimi scalare independente.

Rezult c ntre cele 6 mrimi scalare existente, T x y z[F] F , F , F = i TT

x y z[M] M , M , M = , exist o relaie scalar identic satisfcut. Ea exprim perpendicularitatea celor doi vectori F

G

i MG

, care se poate scrie:

x x y y z zF M F M F M F M 0 = + + =G G

. (13)

Aceast relaie se poate verifica uor dac se ine seama de componentele scalare ale

momentului, date de ecuaiile:

[ ]z yx

y x z

y xz

yF zFMM M zF xF

xF yFM

= = ,

(14)

care introduse n relaia 9, exprimat sub form matricial, rezult:

( ) ( ) ( )z yx z x y z x z y y x z z y xy x

yF zF

zF xF F F F F yF zF F zF xF F xF yF 0xF zF

= + + = .

(15)

Sisteme de fore

39

3.5 MOMENTUL UNEI FORE N RAPORT CU O AX

Momentul unei fore FG

, n raport cu o ax , este o mrime scalar definit ca fiind proiecia pe aceast ax a momentului forei calculat fa de un punct oarecare O al axei.

Se consider fora FG

i o ax de versor uG , Figura 10. Exprimarea analitic a proieciei momentului pe axa , poate fi scris astfel:

( ) ( ) ( )0 0M M F cos M F u r F u r,F,u = = = = G G GG GG G G . (16)

0MG

0MG

M

uG

M

FG

rG

1rG

1O

O

Figura 10. Momentul unei fore n raport cu o ax,

Momentul unei fore n raport cu o ax este produsul mixt dintre vectorii rG , FG i versorul uG al axei ,

Momentul unei fore fa de o ax are urmtoarele proprietii:

- Este nul dac fora i axa sunt coplanare, adic atunci cnd suportul forei este

paralel cu axa, ntlnete axa sau coincide cu axa;

- Nu depinde de punctul O ales pe ax;

- Este egal cu scalarul momentului proieciei forei FG

pe un plan normal pe ax, n

raport cu punctul n care axa intersecteaz planul, Figura 11.

Sisteme de fore

40

A

P

0

MG

rG1rG

1FG

2FG

1FG

FGuG

B

Figura 11. Momentul unei fore FG

n raport cu axa

3.6 OPERAII ELEMENTARE DE ECHIVALEN

ntr-un sistem de fore se pot face unele operaii simple astfel nct sistemul rezultat, s

fie echivalent cu sistemul iniial.

Din punct de vedere matematic, un sistem de fore poate fi transformat n altul

echivalent prin utilizarea operaiilor de echivalen.

Dou sisteme de fore i iF , PG G

, i n= 1, sunt echivalente, dac aplicate pe rnd asupra aceluiai corp, ele se pot transforma din unul n cellalt prin aplicarea urmtoarelor operaii de

echivalen:

- alunecarea unor fore pe suporturile lor;

- nlocuirea unor fore concurente aparinnd sistemului dat cu alte fore concurente

aplicate n acelai punct i avnd aceeai rezultant;

- adugarea sau suprimarea unui sistem echilibrat de fore.

Prin sistem echilibrat de fore se nelege un sistem echivalent cu zero. Dac un sistem

de fore este echivalent cu o singur for atunci aceast for se numete rezultanta

sistemului.

Sisteme de fore

41

3.7 FORA REZULTANT I MOMENTUL REZULTANT AL UNUI

SISTEM DE FORE

Prin sisteme de fore se nelege un ansamblu de fore, iF , i 1,n=G

, care acioneaz

asupra unui corp sau sistem de corpuri.

Mrimile denumite for rezultant i moment rezultant caracterizeaz orice sistem

de fore i poart numele de torsorul forelor. Ele se pot obine prin generalizarea

rezultatelor obinute n cazul unei singure fore prin urmtoarele expresii matematice:

1 2 n iR F F ... F F= + + + = G G G G G ,

0 1 1 2 2 n n i iM r F r F ... r F r F= + + + = G G G G GG G G G .

(17)

Torsorul unui sistem de fore se poate scrie astfel:

x y zF

0 0x 0y 0z

R R i R j R kT

M M i M j M k

= + + = = + +

G G GGG G GG .

(18)

Evident fora rezultant RG

a sistemului de fore iFG

este un invariant n raport cu

operaiile elementare de echivalen. Dac o for oarecare iFG

, alunec pe suportul su,

poligonul forelor rmne, evident neschimbat.

Vectorul moment rezultant al sistemului 0MG

este de asemenea un invariant n raport cu

operaiile elementare de echivalen. Operaia de echivalen, alunecarea unui vector oarecare

iFG

pe suportul su nu schimb vectorul moment rezultant.

Ca urmare, vectorii 0R, MG G

sunt invariani n raport cu operaiile elementare de

echivalen.

Prin operaiile propuse se poate reduce sistemul de fore, n punctul O, la o for

rezultant i la un moment rezultant. Aceast metod este cunoscut n literatura de

specialitate ca metoda lui Poinsot.

Sisteme de fore

42

3.8 VARIAIA MOMENTULUI REZULTANT CND SE SCHIMB POLUL

Fie o for oarecare iFG

, care aparine sistemului de fore, caracterizat fa de un sistem

de referin Oxyz prin vectorul de poziie irG . Se consider un punct P ca un al doilea pol,

Figura 12.

O

z

x

y

P

*irG

1FG

2FG

nFG

iFG

irG

Figura 12. Variaia momentului rezultant la schimbarea polului

Momentul rezultant al sistemului de fore, va avea fa de cei doi poli expresiile:

O i iM r F= G GG , (19) i

P i iM r F= G GG . (20)

Evident se poate scrie expresia vectorial:

*

i ir r OP= JJJGG G . (21)

Prin nlocuirea relaiei 21 n relaia 20, rezult:

Sisteme de fore

43

( )P i i i i i iM r F r OP F r F OP F= = = JJJG JJJGG G G G GG G G . (22)

innd seama de relaia 19 i relaiile 17, expresia 22 devine:

p oM M OP R= JJJGG G G

. (23)

Analiznd relaia 23, rezult o serie de proprieti:

1. Dac oM 0=G

i R 0=G , atunci pM 0=G

oricare ar fi polul P; altfel spus, dac ntr-

un punct O cei doi invariani RGi oMG

sunt nuli, ei sunt nuli n orice punct P;

2. Dac R 0=G , rezult p oM M=G G

. Dac un sistem de fore are rezultanta nul, atunci

momentul rezultant al sistemului este acelai n orice punct din spaiu. Momentul

rezultant este n acest caz un vector liber;

3. Dac OP||RGG

, rezult p oM M=G G

. Pe drepte paralele cu vectorul RG

, momentul

rezultant al sistemului este acelai;

4. Produsul scalar p 0R M R M acelai = =G G G G

, oricare ar fi polul P. Demonstraia

matematic este evident dac se ine seama de relaia 23, adic

o 0 x ox y oy z ozR (M OP R) R M R M R M R M = = + +JJJGG G G G G

. Aceast expresie este

denumit i trinom invariant;

5. Proiecia momentului rezultant pe direcia rezultantei este aceiai n orice punct din spaiu, Figura 13,

0 0R M R M cos = G G G G

; p pR M R M cos = G G G G

.

(24)

Figura 13. Proiecia momentului rezultant pe direcia rezultantei RG

.

pM cosG

0MG

RGRG

pMG

Sisteme de fore

44

n baza proprietii 4, rezult: 0 pR M cos R M cos = G G G G

. Dac R 0G atunci

0 pM cos M cos = G G

, ceea ce confirm teorema enunat mai sus. Dac se noteaz cu RM

valoarea comun a celor dou proiecii, atunci se poate scrie:

0 x ox y oy z oz0R 0 2 2 2

x y z

R M cos R M R M R MR MM M cosR R R R R

+ += = = = + +

G G G GG G G .

(25)

3.9 AXA CENTRAL A UNUI SISTEM DE FORE

Momentul rezultant variaz la schimbarea polului; se pune problema, de a determina

valoarea minim a modulului acestui vector. n acest scop, se consider cunoscute proieciile

forei rezultante i ale momentului rezultant definite de relaiile 26 i coordonatele (x,y,z) ale

punctului P, n care modulul momentului rezultant este nul.

ox

0 oy

0z

MM M

M

=

G,

x

y

z

RR R

R

=

G.

(26)

Expresia momentului pMG

este dat de relaia:

p o 0x 0y 0z

x y z

i j kM M OP R M i M j M k x y z

R R R

= = + +

G G GJJJG G G GG G G

.

(27)

Dup dezvoltarea determinantului se poate calcula modulul vectorului pMG

, care este

funcie de variabilele x,y,z.

( ) ( ) ( )2 2 22p 0x z y 0y x z 0z y zM M yR zR M zR xR M xR yR f (x, y,z)= + + + + + = . (28)

Pentru a calcula minimul funcie f(x,y,z) se impun condiiile:

f f f0, 0, 0x y z

= = = .

(29)

Sisteme de fore

45

Dup efectuarea derivatelor pariale rezult:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

0y x z z 0z y z y

0z y x x 0x z x z

0x x y x 0y x z x

2 M zR xR R 2 M xR yR R 0

2 M xR yR R 2 M yR zR R 0

2 M yR zR R 2 M zR xR R 0

+ + = + + = + + =.

(30)

Ecuaiile 30 nu sunt independente, lucru uor de verificat. Dac se multiplic prima cu

xR , a doua cu yR , a treia cu zR i se adun, se obine 0 0 . Ca urmare, numai dou dintre aceste ecuaii sunt independente. Prin mprirea cu y zR R a primei ecuaiei, cu z xR R a celei

de-a doua ecuaie i cu x yR R a celei de-a treia ecuaie, sistemul poate fi pus sub forma a trei

rapoarte egale:

0x z y 0y x z 0z y x

x y z

M yR zR M zR xR M xR yRR R R

+ + += = .

(31)

Aceste ecuaii reprezint o dreapt plasat n spaiu, denumit axa central a unui

sistem de fore. Aceast ax este paralel cu suportul forei rezultante. Pe aceast ax fora

rezultant RG

i momentul rezultant pMG

au aceeai direcie, direcia axei centrale.

Deducerea acestei ecuaii se poate face i pe alt cale innd seama c vectorul

momentul rezultant este coliniar cu fora rezultant. Ca urmare proieciile vectorilor 0R, MG G

,

n sistemul de referin ales sunt proporionale.

3.10 ECHIVALENA A DOUA SISTEME DE FORE. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE

Dou sisteme de fore sunt echivalente dac au acelai torsor fa de un punct, fie acesta

O, ales convenabil. n baza teoremei de echivalen, reducerea unui sistem de fore reprezint

nlocuirea acelui sistem cu cel mai simplu sistem care are acelai torsor. Ca urmare, studiul

sistemelor de fore poate fi redus la studiul elementelor torsorului:

F0

RT

M

=

GG .

(32)

Sisteme de fore

46

n aplicaii practice se pot ntlni patru cazuri, prezentate n Tabelul 2.

Tabelul 2. Cazuri particulare de reducere

Cazul de reducere

Elementele torsorului

Specificaie Observaii

Cazul 1 F

0

R 0T 0

M 0

= = = =

GG

Sistem echilibrat de fore Acesta este un caz de mare importan, el exprim situaia cnd sistemul este egal cu zero, adic se afl n echilibru static.

Cazul 2 F

0

R 0T

M 0

= =

GG

Sistem echivalent cu un cuplu

Cazul 3 F

0

R 0T

M 0

= =

GG

Sistem echivalent cu o for care trece prin originea sistemului.

Cazul 4. a F

0

R 0T

M 0

=

GG

MR0MR =

Sistem echivalent cu o for ce nu trece prin originea sistemului.

Fora este situat pe axa

central.

Cazul 4. b F

0

R 0T

M 0

=

GG

R M 0 R M G G G G

Sistem echivalent cu o for plasat pe axa central i un cuplu situat ntr-un plan perpendicular pe aceast ax.

Aplicaie. Se consider sistemul de fore care acioneaz asupra modelului mecanic din

Figura 14. Se cere:

1. S se reduc sistemul n punctul O;

2. S se precizeze cazul de reducere;

3. Momentul minim;

4. Ecuaiile axei centrale.

Soluie

1. Evident asupra modelului acioneaz fore concentrate i distribuite, deci trebuie

fcut echivalena din punct de vedere static a forelor distribuite.

Sarcina distribuit uniform de intensitate q este echivalenta cu for concentrat 1F qa= , iar cea distribuit liniar pe lungimea ramurii 2a este echivalent cu for concentrat

2F 2qa 2 qa= = . Ca urmare, modelul din Figura 14a este echivalent cu cel reprezentat n Figura 14b.

Sisteme de fore

47

2a

a

a

1F 3qa=

a 2a

2F 2qa=

qq

2a

a

1F 3qa=

a

2F 2qa=

3F qa=

a 2

4a 3

4F qa=

O O

x

y

z

a b

Figura 13. Modelul simplu al unui arbore

Expresiile vectoriale ale forelor concentrate care acioneaz asupra modelului sunt:

1F 3qak= GG

, 2F 2qaj=G

, 3F qak= GG

; 4F qak= GG

.

Momentele acestor fore calculate fa de originea sistemului Oxyz sunt:

1 1 1M r F 0= =G GG , deoarece suportul forei 1F

G trece prin originea sistemului;

22 2 2

i j kM r F 0 0 4a 8qa i

0 2qa 0= = =

G GKGG GG ;

23 3 3

i j k1 1M r F 0 a 3a qa i2 2

0 0 qa

= = =

G GKGG GG ;

Sisteme de fore

48

24 4 4

i j k4 4M r F a 0 2a qa j3 30 0 qa

= = =

G GKGG GG .

Vectorii, fora rezultant i momentul rezultant se pot calcula cu relaiile:

1 2 3 4R F F F F 2qaj 5qak= + + + = G GG G G G G

;

2 20 1 2 3 4

15 4M M M M M qa i qa j2 3

= + + + = G GG G G G G .

2. Produsul scalar 0R MG G

considerat ca un invariant, are expresia:

2 2 2 30

15 4 8R M 0 ( qa ) (2qa) ( qa ) ( 5qa) 0 q a2 3 3

= + + = G G .

Evident sistemul de fore aplicat modelului din Figura 13 este de forma,

F0

R 0T

M 0

=

GG , adic este echivalent cu o for rezultant situat pe axa central i cu un

moment minim, situat ntr-un plan normal la axa central.

3. Momentul minim are expresia:

20min

M R 8M qa3 29R

= = G GG .

4. Ecuaiile axei centrale calculate cu relaia 31, devin:

22 415 qa 5qaxqa 5qay 2qaz 2qax320 2qa 5qa

+ + = = .

Capitolul 4

ECHILIBRUL SISTEMELOR MECANICE - STATIC

4.1 INTRODUCERE

n capitolul 3 s-a artat c atunci cnd forele care acioneaz asupra unui corp se reduc

la un torsor cu elemente nule, sistemul de fore aplicat este n echilibru iar corpul rmne n

repaus. Importana unui astfel de studiu este capital pentru ingineri, deoarece fr o

cunoatere temeinic a condiiilor de echilibru nu este posibil proiectarea nici unui element

mecanic sau de construcie.

Rezolvarea problemelor de mecanica solidului presupune cunoaterea condiiilor de

echilibru n regim static i/sau dinamic. n studiul echilibrului pot fi ntlnite dou situaii

posibile:

- Solid liber - atunci cnd poziia n spaiu a unui corp este determinat numai de

forele ce acioneaz asupra sa;

- Solid supus la legturi sau solid legat atunci cnd poziia sa este determinat att de forele ce i sunt aplicate, dar i de alte constrngeri de natur geometric sau

cinematic.

Majoritatea corpurilor ntlnite n aplicaii practice sunt solide legate care ndeplinesc

un anumit rol funcional.

4.2 SOLIDUL LIBER

Dac asupra unui corp liber, aflat n repaus, acioneaz un sistem de fore, condiia

necesar i suficient pentru ca solidul s continue s rmn n repaus este ca torsorul

forelor s fie nul,

Echilibrul sistemelor mecanice - static

50

F0

R 0T 0

M 0

= = = =

rr .

(1)

Dac se ine seama de expresiile componentelor torsorului,

i 0 i iR F , M r F= = r r r rr , (2) condiiile 1 se pot scrie analitic astfel:

x

y

z

R 0R 0 R 0

R 0

= = = =

r,

ox

0 oy

0z

M 0M 0 M 0

M 0

= = = =

r.

(3)

Pentru poziionarea unui corp n spaiu este necesar cunoaterea a ase parametri

scalari. Se spune c un solid liber are ase grade de libertate, trei de translaii dup axele Ox,

Oy, Oz i trei de rotaii dup aceleai axe. n aplicaii practice se pot ntlni urmtoarele

cazuri particulare:

1. Dac forele care acioneaz asupra solidului sunt coplanare, adic se gsesc n

acelai plan, fie acesta Oxy, relaiile 3 se reduc la forma,

x

y

R 0R 0

= = i 0zM 0= .

(4)

2. Dac forele care acioneaz asupra solidului sunt paralele; presupunem c

suporturile lor sunt paralele cu axa Oz, atunci condiiile de echilibru sunt:

zR 0= i xy

M 0M 0

= =.

(5)

3. Dac forele care acioneaz asupra solidului sunt concurente, i considerm

sistemul de referin plasat n punctul de concuren al suporturilor forelor,

rezult condiiile de echilibru:

x

y

z

R 0R 0R 0

= = =.

(6)


51

4. Dac asupra solidului acioneaz numai cupluri, ecuaiile de echilibru sunt de

forma:

ox

oy

0z

M 0M 0M 0

= = =.

(7)

4.3 LEGTURI MECANICE

In aplicaii practice corpurile nu sunt libere, ele se afl n contact cu alte corpuri prin

diferite legturi mecanice. Orice micare a unui corp poate fi considerat compus dintr-o

micare de translaie pe o direcie oarecare i o micare de rotaie n jurul unei axe oarecare.

Ca urmare, legtura mecanic mpiedic efectuarea unei micri.

Legtura mecanic este forma de interaciune care impune anumite restricii

parametrilor de poziie ai unui solid, uneori i derivatelor n raport cu timpul ale acestor

parametri. Restriciile introduse de legturile mecanice se numesc condiii de legtur.

Din punct de vedere al comportrii cinetice legturile mecanice se pot clasifica n:

- Legturi geometrice, care introduc restricii numai pentru parametrii de poziie,

ecuaiile de legtur avnd forma general:

j i if (x , , t) 0, i 1,3, j 1, n = = , (8)

unde i ix , reprezint translaii respectiv viteze de rotaii dup axele de coordonate ale unui sistem de referin Oxyz.

- Legturi cinematice, care introduc restricii att pentru parametrii de poziie ct i

pentru derivatelor lor n raport cu timpul, ecuaiile de legtur avnd forma general dat de

ecuaia:

j i i i if (x , , x , , t) 0, i 1,3, j 1, n = =&& , (9)

unde i ix , && reprezint derivatele n raport cu timpul t. Dac ecuaiile de legtur sunt integrabile, legturile corespunztoare se numesc

olonome, iar dac ecuaiile sunt neintegrabile legturile se numesc neolonome.


52

Dac ecuaiile de legtur nu conin n mode explicit, timpul t, legturile se numesc

staionare sau scleronome, iar dac conin n mod explicit timpul t, se numesc nestaionare

sau reonome.

Absena timpului din ecuaiile de legtur indic meninerea fr modificri n timp a

legturii mecanice. Prezena timpului indic o modificare, determinat n timp, a legturii

mecanice respective.

Din punct de vedere al modului de realizare, n practica inginereasc legturile

mecanice se grupeaz n dou categorii:

- legturi pasive, realizate cu elemente rigide precum reazemul simplu, articulaia, legtura prin fir sau bar rigid, ncastrarea;

- legturi active, realizate cu elemente elastice. Din punct de vedre al forelor de frecare de la interfa, legturile mecanice se clasific

n:

- legturi ideae, n care nu apar fore de frecare la interefa, la deplasare sau la tendina de deplasare a corpurilor componente;

- legturi reale, n care apar fore de frecare la interfa, la deplasarea sau la tendina de deplasare a unui corp n raport cu altul din componena legturii.

Fora sau sistemul de fore cu care legtura acioneaz asupra corpului material,

mpiedicnd anumite micri ale acestuia se numete for de legtur sau reaciune. Dac legtura la care este supus corpul mpiedic micarea unuia din punctele corpului

ntr-o anumit direcie, atunci reaciunea legturii va fi o for aplicat n acest punct, pe

direcia micrii mpiedicate a se efectua i n sens opus. Ca efect, translaia corpului n

direcia respectiv este imposibil.

Dac legtura la care este supus corpul mpiedic rotaia lui n jurul unei axe, atunci

reaciunea legturii va fi un moment situat ntr-un plan perpendicular pe axa respectiv, n

sens contrar cu sensul micrii de rotaie mpiedicate a se efectua. Momentul este un vector

situat pe direcia axei de rotaie.

Ca urmare, reaciunea unei legturi la care este supus un solid poate fi o for, un

moment sau un torsor compus dintr-o for i un moment.

Conform principiului aciunii i reaciunii, forele de legtur sunt de sens contrar fa

de elementele torsorului forelor active calculate n acelai punct. Reaciunea depinde de felul

legturii mecanice i de sistemul de fore care acioneaz asupra solidului considerat rigid.

Cele mai uzuale legturi mecanice fr frecare sunt: reazemul simplu, articulaia i

ncastrarea.


53

Reazemul simplu este legtura ce oblig solidul s rmn cu un punct al su pe

suprafaa altui corp, Figura 1. Acest tip de legtur mpiedic bilateral deplasarea dup

normala nr la suprafaa de rezemare, introduce o singur for de legtur denumit reaciune, dirijat dup aceast normal, cu punctul de aplicaie n punctul de contact dintre cele dou

corpuri i de mrime necunoscut. Simbolic, acest reazem se reprezint prin modul indicat n

Figura 2c.

Figura 1. Model de reazem simplu.

a b c

Figura 2. Reprezentarea simbolic a reazemului simplu

Un corp care se sprijin pe un reazem simplu are cinci grade de libertate. Din punct de

vedere fizic un reazem simplu poate fi nlocuit cu o for normal N, la suprafaa de sprijin S,

neglijnd efectul frecrii la interfa. Sunt cazuri n care suprafaa are n A un punct singular,

N

R

1Fr

2Fr

3Fr

nFr

n 1F r

nr

S A

punct teoretic de contact


54

adic un punct n care normala la suprafa nu este definit; atunci suportul reaciunii este

determinat de normala la suprafaa corpului pe care se sprijin, Figura 3. Tot n categoria

reazemului simplu intr legturile cu fire sau bare rigide.

bRr

aRr

A

B

aNr

aNr

Gr

A

B

Figura 3. Exemple de reazeme simple

Articulaia mpiedic deplasarea relativ a celor dou corpuri dup orice direcie,

permind numai rotirea n jurul punctului de reazem, Figura 4a. O astfel de legtur

introduce o singur reaciune aplicat n punctul de reazem, de direcie i mrime

necunoscut.

a b

z

x

y

2Fr1F

r

3Fr

Rr

Mr

Fr

zR

xRyR

Figura 4. Articulaie

n aplicaii practice se ntlnesc dou tipuri de articulaii: sferice i cilindrice.


55

Legtura care constrnge ca un solid s rmn n contact permanent cu un punct fix din

spaiu se numete articulaie sferic, iar legtura care restricioneaz ca un solid s rmn contact permanent cu o ax fix din spaiu se numete articulaie cilindric.

Cnd se aplic sisteme spaiale de fore, unde intervine articulaia sferic, reaciunea Rr

,

se poate nlocui prin trei componente de mrimi necunoscute, dirijate dup direcii

convenabile alese, Figura 4b. Din punct de vedere geometric articulaia sferic priveaz

solidul de trei grade de libertate, iar din punct de vedere mecanic este echivalent cu trei

reazeme simple.

Exemple de articulaii sferice: suportul pentru stilou, articulaia de la schimbtorul de

viteze de la un autovehicul, articulaia de la antena de radio .a.

Cnd forele exterioare se gsesc n acelai plan, se utilizeaz articulaii cilindrice a

cror reaciune necunoscut se poate descompune dup dou direcii oarecare, alese uzual ca

n Figura 5. Din punct de vedere geometric articulaia cilindric priveaz solidul de cinci

grade de libertate. Solidul are n acest caz o ax fix care trece prin articulaie. Simbolizarea

articulaiei cilindrice se face prin modelul indicat n Figura 5b.

Exemple de articulaii cilindrice: Balamalele de la u, balamalele de la capot i

portbagajul unui automobil.

x

y

z

yR

xR

a b

Figura 5. Articulaie cilindric

ncastrarea este legtura care constrnge solidul s rmn cu o extremitate a sa fixat

ntr-un alt corp rigid, Figura 6. Din punct de vedere geometric, ncastrarea mpiedic att

deplasrile ct i rotirile relative ntre cele dou corpuri aflate n contact i ca urmare

introduce ase necunoscute scalare: trei fore R R Rx y z, , i trei momente M M Mx y z, , ,

dirijate dup axele unu sistem de referin ortogonal, Figura 6.


56

Figura 6. ncastrare solicitat spaial

Dac forele exterioare se gsesc n acelai plan, ncastrarea conine numai trei

necunoscute scalare dou fore i un moment dirijate dup axele unui sistem de referin, fie

aceste fore R Rx y, i momentul M, perpendicular pe planul forelor, Figura 7.

Din punct de vedere geometric, ncastrarea priveaz solidul de toate gradele sale de

libertate.

Figura 7. ncastrare solicitat cu fore plasate n acelai plan

4.4 AXIOMELE STATICII

A1. Pentru ca un corp s se afle n echilibru static sub aciunea a dou fore este necesar i

suficient ca aceste fore s fie egale n modul, s aib aceeai direcie i sensuri contrare.

q

F

q

F

Rx

Ry

M

z

y

x

Rr

Mr

1Fr

2Fr

4Fr

1Fr

2Fr

4Fr

3Fr

yR

zR

xR

yM

zMxM


57

A2. Fiind dat un sistem de fore care acioneaz asupra unui solid rigid, adugarea sau

suprimarea unui sistem echilibrat de fore la sistemul iniial nu modific starea mecanic a

corpului. Prin stare mecanic se nelege starea de echilibru sau de micare n care se afl un

corp sub aciunea unui sistem de fore.

A3. Forele care apar ca urmare a aciuni unui corp asupra altui corp sunt ntotdeauna egale

n modul i de sensuri contrare. Aceast axiom reprezint principiul al treilea al mecanicii

formulat de Newton i este cunoscut de principiul aciuni i reaciunii.

A4 Dac un sistem dat de fore este n echilibru atunci cnd acioneaz asupra unui corp, el

este echilibru i atunci cnd acioneaz asupra oricrui corp.

A5. Dac un corp deformabil sau un sistem mecanic este n echilibru sub aciunea unui

sistem de fore, el rmne n echilibru i cnd se solidific.

A6. Legtura este aadar restricia geometric ce se opune poziiei corpului la un moment

dat, cunoscut i sub denumirea de axioma legturilor. Orice legtur a unui corp poarte fi

nlocuit printr-o for de legtur numit reaciune.

4.5 TORSORUL SARCINILOR DISTRIBUITE

Torsorul forelor distribuite se poate calcula numai dac sarcinile sunt echivalate din

punct de vedere static cu fore concentrate, aplicate virtual n centrul de greutate al

configuraiei geometrice pe care acestea se distribuie.

n Tabelul 1 sunt prezentate relaiile de calcul pentru fore distribuite frecvent ntlnite

n unele aplicaii inginereti.

n aplicaii tehnice ntlnite la baraje sau construcii hidrotehnice se pune problema s se

determine fora de presiune care acioneaz asupra unei fee laterale i punctul de localizare a

acesteia.

Ca aplicaie se consider un element de volum cubic, de latura l , n care se afl un lichid de densitate , Figura 8. Se pune problema s se determine fora de presiune care acioneaz asupra unei fee laterale i punctul ei de localizare.

Pentru un element de suprafa dS dh= l , situat la adncimea h, fora elementar dF i momentul elementar dM, se pot calcula cu relaiile:

dF p(h)dS gh dh= = l ;

( ) ( )dM h dF h gh dh= = l l l ,

(10)


58

unde p(h) h gh= = , reprezint presiunea coloanei de lichid asupra suprafeei dS. Prin integrare relaiilor 10, se obine:

3

0

1 GF g hdh g2 2

= = =l

l l ;

2 2 4

0 0

1M g hdh g h dh g6

= = l l

l l l .

(11)

Figura 8. Modelul de calcul

Momentul forei F poate fi calculat cu relaia:

03

0 hg21FhM l== , unde

3h 0

l= . (12)

n cazul cnd sarcinile distribuite acioneaz pe o anumit lungime i n acelai plan,

precum cele evideniate n modelele din Tabelul 1, rezultanta F a sarcinilor elementare q,

poate fi caracterizat prin:

- sens care este dat de sensul sarcinilor elementare q;

- modul - calculat ca fiind aria suprafeei pe care se distribuie sarcina elementar q;

- punct de aplicaie - se consider plasat n centrul de greutate al suprafeei pe care se

distribuie sarcina elementar q.


59

Tabelul 1. Echivalena sarcinilor distribuite cu fore concentrate

Denumirea Modelul real Modelul echivalent Relaii de calcul 0 1 2 3

Sarcin distribuit dup o lege oarecare

0

F q(x)dx= l

0g

0

xq(x)dxx

q(x)dx=

l

l

Sarcin distribuit uniform, de intensitate q

q(x) q=

F q= l gx 2= l

Sarcin distribuit liniar, q(x) ax b= + , a, b sunt constante

qq(x) x= l

qF2

= l , g 2x 3= l

Sarcin distribuit parabolic,

2q(x) ax bx c= + + , a ,b, c - constante

22

q qq(x) x 2 x= +l l

2F q3

= l , g 5x 8= l

Sarcin distribuit parabolic,

2q(x) ax bx c= + + , a ,b, c - constante

22

qq(x) x= l 1F q3

= l , g 3x 4= l

Sarcina distribuit sinusoidal, q(x) A sin(Bx )= +

q(x) qsin x2 = l

F q2= l , g 2x = l

Sarcina distribuit cosinusoidal, q(x) A cos(Bx )= +

q(x) q cos x2 = l

F q2= l

g2x (1 )= l

Capitolul 5

ELEMENTE DE GEOMETRIA MASELOR

5.1 MOMENTE STATICE. CENTRE DE GREUTATE

Momentele statice sunt mrimi care definesc modul de distribuie a masei unui corp sau

sisteme de corpuri materiale i sunt calculate fa de un reper de referin dat.

Fie un corp de mas m, modelat printr-un punct material, caracterizat prin vectorul de

poziie, rr r r

r x i zj zk= + + , fa de un sistem de referin ortogonal cartezian Oxyz, Figura 1. Fa de acest sistem de referin momentul static

rSo reprezint mrimea vectorial egal cu

produsul dintre masa corpului i vectorul de poziie rr :

r rS mro = . (1)

Figura 1. Punct material caracterizat prin vectorul de poziie, rr .

m

x

y

z

O

(x,y,z)

rr

Elemente de geometria maselor

61

Dac se proiecteaz relaia vectorial 1 pe axele sistemului de coordonate Oxzy, se

obin momentele statice fa de planele de coordonate:

SSS

mxmymz

y z

z x

x y

0

0

0

=

.

(2)

Momentul static al unui sistem de particule materiale de mase m i ni , ,= 1 , plasate discret i caracterizate fa de sistemul de referin Oxzy prin vectori de poziie rr i ni , ,= 1 , reprezint suma algebric a momentelor statice pariale,

r rS m ro i ii

n

==

1.

(3)

Fa de planele de coordonate momentele statice se obin prin proiectarea relaiei 3 pe

axele sistemului de referin Oxyz,

SSS

m xm ym z

y z

z x

x y

i i

i i

i ii

n0

0

01

=

=

.

(4)

Momentul static al unui corp solid omogen de mas M, raportat la sistemul de referin

Oxyz, Figura 2, se definete matematic prin relaia vectorial,

r rS rdmoM

= . (5)

x

y

z

O

dm

M

(x,y,z)

rr

Figura 2. Model de corp solid - pentru definirea momentului static.

Elemente de geometria maselor

62

Dac se proiecteaz relaia 5 pe axele sistemului de referin se obin momentele

mrm rezistenta mat

Documents