mt1452 wva - dictaat weerstand en voortstuwing(1)

MT1452 Weerstand, Voortstuwing en Aandrijving 1 Dictaat Weerstand en Voortstuwing 2013-2014

dr.ir. P. de Jong Gebaseerd op:

Dictaat Hydromechanica 1 door dr.ir. J.A. Keuning

v1.2 Februari 2014

MT1452 Weerstand, Voortstuwing en Aandrijving 2013-2014


i

Inhoud

1 Weerstand ..................................................................................................................................... 1

1.1 Begripsbepaling ............................................................................................................................ 1

1.2 Stroomlijnen en stroombanen ........................................................................................................ 1

1.3 De continuïteitsvergelijking ............................................................................................................ 3

1.4 Wet van Bernouilli ........................................................................................................................ 3

1.5 Lichaam in stationaire ideale en reële stroming ............................................................................... 5

1.6 De grootte van de weerstandskracht .............................................................................................. 8

1.7 Verminderen en verhogen van de weerstand ................................................................................. 10

1.8 Weerstand van oppervlakte schepen ............................................................................................ 13

1.9 Drukkingspunt en kromme van spantoppervlakken ........................................................................ 20

1.10 Verminderen van de weerstand van een schip............................................................................ 25

2 Comparologie in de maritieme techniek .....................................................................................27

2.1 Gelijkvormigheid ......................................................................................................................... 27

2.2 De vergelijkingswet van Newton .................................................................................................. 27

2.3 Modelregel van Reynolds ............................................................................................................. 29

2.4 Modelregel van Froude ................................................................................................................ 30

2.5 Voorbeeld .................................................................................................................................. 31

2.6 Extrapolatiemethode volgens Froude ............................................................................................ 33

2.7 Extrapolatiemethode volgens ITTC-78 .......................................................................................... 35 2.7.1 Empirische formule ............................................................................................................... 36 2.7.2 Prohaska methode ............................................................................................................... 36

2.8 Overige hydromechanische modelproeven .................................................................................... 38

3 Voortstuwing ...............................................................................................................................39

3.1 Lift ............................................................................................................................................ 39

3.2 Het ontstaan van lift ................................................................................................................... 40

3.3 Drie dimensionale vleugels en geïnduceerde weerstand ................................................................. 43

3.4 Lift- en weerstandscoëfficiënten ................................................................................................... 45

3.5 Praktische toepassingen van lift ................................................................................................... 48 3.5.1 Vliegtuigen .......................................................................................................................... 48 3.5.2 Sturen van schepen .............................................................................................................. 49

3.6 Scheepsvoortstuwing .................................................................................................................. 50 3.6.1 Voortstuwing door middel van weerstand ............................................................................... 50 3.6.2 Voortstuwing door middel van lift .......................................................................................... 51 3.6.3 Open water schroefdiagram .................................................................................................. 54 3.6.4 Interacties tussen schroef en schip ........................................................................................ 57 3.6.5 Voorstuwingsrendement ....................................................................................................... 58 3.6.6 Schroefontwerp ................................................................................................................... 58 3.6.7 Cavitatie .............................................................................................................................. 59

Bijlage Methode van Lap en Auf’m Keller ..........................................................................................61


ii


1

1 Weerstand

1.1 Begripsbepaling In dit hoofdstuk zullen we de weerstand behandelen die een lichaam ondervindt als het zich met een relatieve snelheid verplaatst ten opzichte van een zich omringend medium, zoals een gas of een vloeistof. We zullen toepassingen hiervan bezien en nagaan in hoeverre de weerstand gezien in het licht van de toepassing is te optimaliseren. We zullen de weerstand beschouwen in zowel ideale als reële vloeistoffen en zowel geheel omstroomde lichamen als wel lichamen welke zich voortbewegen op het scheidingsvlak van twee verschillende media. Eerst zullen nu enkele van belang zijnde begrippen uit de stromingsleer in vogelvlucht behandeld worden. Over het algemeen zullen we hier kortheidshalve over vloeistoffen spreken, hoewel vloeistoffen en gassen bedoeld worden. De beweging van vloeistoffen kan in twee gedeelten gesplitst worden, te weten: de beweging van ideale vloeistoffen en die van reële of viskeuze vloeistoffen. Bij de eerste groep wordt verondersteld dat de vloeistof onsamendrukbaar en wrijvingsloos is, bij de tweede groep veronderstelt men uitsluitend dat de vloeistof onsamendrukbaar is. In de natuur komen geen ideale vloeistoffen voor, maar de bestudering van de eigenschappen van deze vloeistoffen is uiterst zinvol aangezien de hierop gebaseerde berekeningen in de aero- en hydromechanica het maken van gevolgtrekkingen toelaten, die betrekking hebben op verschijnselen in natuurlijke vloeistoffen voor zover die relatief weinig wrijving vertonen. Bij water en lucht is dat bijvoorbeeld het geval in een groot aantal situaties.

1.2 Stroomlijnen en stroombanen Teneinde iets te kunnen zeggen over de krachten die een stromende vloeistof op een lichaam uitoefent is het noodzakelijk de beweging van de vloeistofdeeltjes vast te leggen. Om de toestand van de stroming te kunnen beschrijven maken we gebruik van een aantal hulpmiddelen.

De toestand van een stromingsveld op een bepaald ogenblik kunnen we beschrijven met behulp van stroomlijnen (Figuur 1). Dit zijn lijnen getrokken in het ruimtelijke stromingsveld waarvan de raaklijnen aan de kromme in een willekeurig punt de richting van de stroomvector daar ter plaatse geeft. Dit beeld kan op elk tijdstip verschillend zijn. Alleen de richting van de snelheidsvector van een stroomdeeltje wordt vastgelegd door de stroomlijn en niet de grootte. Stroombanen (Figuur 1) zijn de banen, die de vloeistofdeeltjes in de ruimtelijke stroming volgen.

Figuur 1 Stroomlijnen en stroombanen


2

Bij een stromingsbeeld dat voortdurend in de tijd verandert wordt de stroombaan gevonden uit de in de tijd opeenvolgende beelden vastgelegd door de stroomlijnen. Bij een stromingsbeeld dat in de tijd niet meer verandert, dat wil zeggen dat in een bepaald punt van de ruimte de snelheid niet meer met de tijd verandert en dus constant is, spreekt men van een stationaire stroming.

In dat zeer specifieke geval veranderen de stroomlijnen dus niet met de tijd en zijn derhalve de stroomlijnen en de stroombanen aan elkaar gelijk: een deeltje verwijdert zich nooit van de stroomlijn waarop het zich eenmaal bevindt (dit is namelijk de definitie van een stroomlijn). In vele beschouwingen over de gevolgen van een stromende vloeistof rond een lichaam wordt uit gegaan van dit laatste type stroming, omdat het ons in staat stelt op relatief eenvoudige wijze een verband te leggen tussen het stromingsbeeld, de stroomsnelheid, de druk en dus de kracht op een omstroomd lichaam. Het onderscheid tussen een stroomlijn en een stroombaan, alsmede hoe in vele gevallen tot een stationair beeld kan worden gekomen, kan aanschouwelijk gemaakt worden met het volgende voorbeeld in Figuur 2. Een plaat wordt haaks op zijn vlak voortbewogen door de vloeistof, welke op grote afstand van de plaat in rust is. In de figuur wordt een vloeistofdeeltje beschouwd, dat zich op het moment van beschouwing precies in het punt P bevindt. De kwalitatieve vorm van zijn stroombaan, dat is dus de baan die het deeltje doorloopt, volgt uit de constatering dat het deeltje bij de nadering van de plaat eerst vanuit P1 naar rechts in beweging wordt gezet en terzelfder

tijd omhoog om de plaat te ontwijken. Is de plaat het deeltje voorbij dan beweegt deze zich weer naar beneden en gelijktijdig achter de plaat weer naar voren naar zijn eindtoestand in P2. De in de figuur geschetste globale

stroombaan volgt uit het beschreven stromingsbeeld. De stroming wordt stationair voor een waarnemer die zich met de plaat mee beweegt, immers dit beeld verandert dan schijnbaar voor hem niet meer met de tijd. De plaat staat nu ten opzichte van de waarnemer stil en de vloeistof stroomt van rechts naar links. Stroomlijnen en stroombanen vallen dus nu voor hem samen. Dit is een veel gebruikte methode om stromingstoestanden te visualiseren en te analyseren. Stroombuizen worden gevormd door de omhulling met stroomlijnen van een willekeurig gesloten kromme in het stromingsveld. De vloeibare inhoud van een stroombuis noemt men een stroomdraad. Bij stationaire stromingen hebben de stroombuizen een onveranderlijke gestalte. In het platte vlak wordt een "stroombuis" gevormd door de ruimte tussen twee opeenvolgende stroomlijnen. Met behulp van deze stroombuizen in een stationaire stroming kunnen we nu onze beschouwing uitbreiden waardoor er ook iets gezegd kan worden over de grootte van de snelheidsvector van de stroomsnelheid. Hulpmiddel hierbij is de continuïteitsvergelijking die in de volgende sectie wordt toegelicht.

Figuur 2 Stroming loodrecht op een plaat


3

1.3 De continuïteitsvergelijking Veronderstellen we nu dat het oppervlak van een normale doorsnede van een stroomdraad in een willekeurig punt A gelijk is aan A1 en de gemiddelde snelheid daar ter plaatse V1 en dat voor diezelfde grootheden in het punt B de waarden gelden van A2 en V2 (Figuur 3).

Als de beweging van de vloeistof stationair is en de vloeistof bovendien onsamendrukbaar dan geldt dat de hoeveelheid vloeistof in een stroombuis constant blijft of wel dat: de massa die binnen komt is gelijk aan de massa die uitstroomt:

1 1 2 2AV A V

Immers via de randen van de stroombuis kan geen vloeistof ontwijken aangezien deze is samengesteld uit stroomlijnen. Deze formulering staat bekend als de continuïteitsvergelijking en is een belangrijk gereedschap bij het analyseren van stationaire stromingsproblemen. Immers als het stromingsbeeld en de snelheid in een punt A1 bekend zijn, dan kan hiermee de snelheid in een punt A2 berekend worden.

Een andere belangrijke wet van de Hydrodynamica, welke met behulp van de continuïteitsvergelijking afgeleid kan worden, is de zogenaamde:

1.4 Wet van Bernouilli Deze wet geeft het verband tussen de snelheid V van de vloeistof de druk p en de hoogte h boven een gekozen

horizontaal vlak voor een bepaald punt van een stroomdraad bij een stationaire stroming In haar algemene gedaante luidt de wet:

212

constantV p gh

In de meeste gevallen wordt een vlakke horizontale stroming verondersteld waardoor de term gh kan vervallen,

er geldt dan:

212

constantV p

Hieruit blijkt dat de som van de stuwdruk (½ρV2) en de statische druk (p) constant is voor elk punt van de

stroomdraad bij een vlakke stationaire stroming. Een toepassing van de wet van Bernouilli vinden we bijvoorbeeld in de buis van Venturi (Figuur 4). In principe bestaat een buis van Venturi uit een vernauwing van een stromingskanaal. Volgens de continuïteitsvergelijking is:

0 0 1 1V A V A

Figuur 3 Continuïteitsvergelijking


4

Uit de Wet van Bernouilli volgt voor de doorsneden A0 en A1 het verband:

2 21 1

0 0 1 12 2V p V p

Uit de combinatie van vergelijkingen volgt:

2 21 10 1 1 02 2

p p V V

zodat:

)AA(

)pp( 2AV

2

1

2

0

1010

Hieruit is Vo te bepalen bij overigens bekende grootheden,

bijvoorbeeld uit meting. Een andere toepassing vinden we bij de Stuwbuis van Prandtl of de Pitot buis. We plaatsen een "lichaam" of "hindernis" in een stationaire vloeistof stroming en we nemen aan dat ver voor de hindernis de snelheid van de vloeistof gelijk is aan Vo en de druk

aan po (Figuur 5).

Op het lichaam is een punt S waarvoor geldt dat de vloeistof tot

rust komt: de snelheid van de vloeistof daar ter plaatse is gelijk aan nul. Dit punt noemen we het stuwpunt en de stroomlijn die hierin uitkomt de stuwpuntsstroomlijn. Volgens de Wet van de Bernouilli is de druk in dit punt gelijk aan:

210 0 12

V p p

De druk p1 is gelijk aan de som van de statische druk die in de

oorspronkelijke vloeistof heerst en de druk die ontstaat door de stuwing (½Vo

2) en wordt genoemd de stuwdruk. Indien nu een

lichaam van de in de figuur aangegeven vorm welk in de

Figuur 5 Object in een uniforme stroming

Figuur 4 Buis van Venturi


5

stroming wordt geplaatst op het punt S wordt voorzien van een klein gaatje dat door een kanaaltje met een

manometer is verbonden, dan kan in deze stroming de totale druk worden gemeten. Het aldus uitgevoerde instrument noemt men een Pitot buis (Figuur 6 - boven). Is de ongestoorde druk po op een of andere

manier bekend dan is uit de stuwdruk de snelheid in dat punt van de vloeistof te bepalen. Een van de manieren om dit te meten is met een piëzometer, welke gebaseerd is op het feit dat de druk op de zijkant van het cilindervormige lichaam gelijk is aan de ongestoorde druk po.

Door combinatie van de piëzometer (Figuur 6 - onder) met de pitotbuis ontstaat de stuwbuis van Prandtl, waarmee in elk punt van de vloeistof de snelheid te bepalen is, door het meten van een drukverschil.

1.5 Lichaam in stationaire ideale en reële stroming We hebben gezien dat een lichaam geplaatst in een homogene stationaire stroming een verandering teweeg brengt in de banen van de vloeistof deeltjes: de stroomlijnen verleggen zich. Mede uit de beschouwingen gebaseerd op de continuïteitsvergelijking ontstaan hierdoor snelheidsveranderingen welke door middel van beschouwingen gebaseerd op de wet van Bernouilli vertaald kunnen worden in drukveranderingen. Zoals bekend levert de integratie van de druk over een bepaald oppervlak een kracht op. Lichamen geplaatst in ideale vloeistoffen ondervinden klaarblijkelijk krachten. De snelheidsveranderingen en de daaruit volgende drukveranderingen zijn te berekenen met behulp van wat in het algemeen genoemd wordt de potentiaaltheorie.

In ideale vloeistoffen leiden deze beschouwingen ertoe dat er geen resulterende kracht in de stromingsrichting op het lichaam wordt gevonden. Dit komt doordat door het ontbreken van wrijving de stroming symmetrisch is zoals in Figuur 7 en Figuur 8 waar het stromingsbeeld is gegeven voor stroming rond een cilinder. De traagheidskrachten die ontstaan ten gevolge van het in beweging zetten van de vloeistofdeeltjes maken evenwicht met de krachten welke "vrijkomen" bij het weer tot rust brengen van die deeltjes. Men noemt dit de hydrodynamische paradox. Met behulp van een bepaalde aanname kan er wel circulatie in de stroming gebracht worden waardoor er op het lichaam wel krachten loodrecht op de stromingsrichting ontstaan. Hierop komen we later terug in het hoofdstuk

Figuur 6 Pitotbuis (boven) en piëzometer (onder)

Figuur 7 Stroomlijnen wrijvingsloze vloeistof


6

over lift en voortstuwing. Dat er geen langskracht op een in een stroming geplaatst lichaam is klopt niet met onze experimentele waarnemingen. De in werkelijkheid altijd optredende weerstand kan men verklaren doordat de vloeistof altijd enige viscositeit bezit, in tegenstelling tot onze eerdere aanname. Hierdoor hebben de deeltjes die in de onmiddellijke omgeving van de huid van het lichaam zitten een snelheid welke gelijk is aan die van het lichaam terwijl op enige afstand van het lichaam de snelheid van de vloeistofdeeltjes gelijk is aan die welke berekend kan worden met de potentiaal theorie voor wrijvingsloze vloeistoffen. In een relatief dunne laag langs de huid van het lichaam vindt dus de overgang plaats van de snelheid van de vloeistofdeeltjes vlak tegen de huid (relatief gelijk aan nul) naar die van de vloeistofdeeltjes in de vrije stroming. Het is Prandtl geweest die voor het eerst inzicht heeft gegeven in de verschijnselen welke in deze zogenaamde grenslaag een rol spelen. De fundamentele betekenis van deze zogenaamde grenslaagtheorie van Prandtl is de daarin vervatte verklaring van het verschijnsel afscheiding of loslaten van de stroming van het lichaam en de daarbij optredende wervelafscheiding. Deze afscheiding treedt op in een zich langs de wand van het lichaam vertragende stroming, welke bijvoorbeeld kan worden veroorzaakt door het naderen van een zone met relatief hogere druk. We hebben gezien dat die zich veelal voordoet bij het naderen van de achterzijde (het achterste stuwpunt s2 in Figuur 7)

van het omstroomde lichaam: hier wordt de vloeistof vertraagd waardoor de druk stijgt. De vloeistofdeeltjes in dit naar achteren gelegen deel van de grenslaag hebben reeds een gedeelte van hun energie verloren ten gevolge van de optredende wrijving langs de huid van het voorste deel van de cilinder. De kinetische energie van de grenslaagdeeltjes is nu op een gegeven moment niet meer voldoende om ze door te laten dringen in de zone van hoge druk. Vergelijk hierbij de analogie van het kogeltje in Figuur 9.

De energie die het kogeltje heeft gewonnen bij de afdaling in de kuil is niet voldoende om de weg omhoog te volbrengen aangezien een gedeelte van de energie vernietigd is door de wrijving. Voor dat het kogeltje weer boven is keert de bewegingsrichting van het kogeltje zich om. Zo ontstaat er tussen de wand van het lichaam en de verder naar buiten gelegen stroming welke niet gehinderd wordt door de wrijving, een retourstroming, welke door het aanwezig zijn van wrijving een steeds toenemend aantal nog aankomende vloeistofdeeltjes hun kinetische energie ontneemt en ze zodoende dwingt tot omkering van de bewegingsrichting.

Figuur 8 Drukverdeling wrijvingsloze vloeistof: symmetrisch, derhalve geen resulterende kracht

Figuur 9 Kogel losgelaten in een kuil: indien er wrijving is haalt het kogeltje de volgende top niet


7

De snel in dikte toenemende terugstromende laag scheidt de ongestoorde stroming van de wand af. Achter het afscheidingspunt is de stroming door wervels geheel verstoord en krijgt het hele stromingsbeeld een ander aanzien. Het afscheidings- of loslaatpunt stelt zich zover naar voren in de stromingsrichting in dat van de oorspronkelijke zone van oplopende druk weinig meer overblijft. De oorspronkelijke symmetrische drukverdeling over het lichaam wordt asymmetrisch (Figuur 10). Er ontstaat dus een resulterende langskracht in de stromingsrichting: weerstand (Figuur 11). Op plaatsen waar grote versnellingen en vertragingen optreden, welke gepaard gaan met grote snelheidsveranderingen en dus met drukveranderingen, dat wil zeggen op plaatsen met grote vormveranderingen, stelt het loslaatpunt zich bij voorkeur in. Bij het vormgeven van lichamen uit het oogpunt van het optimaliseren van de stroming speelt dat aspect dan ook altijd een belangrijke rol. Opgemerkt zij dat de beschouwing volgens Prandtl wandwrijving en een zich vertragende stroming, dus een oplopende druk veronderstelt als voorwaarde voor loslating van de stroming. Het verschijnsel wordt inderdaad nimmer waargenomen in gebieden waar de druk in de stromingsrichting afneemt.Natuurlijke vloeistoffen met een (kleine) inwendige wrijving veroorzaken een snelheidsval tussen het buiten de grenslaag gelegen gebied met de potentiaalstroming en de deeltjes met relatieve snelheid nul vlak langs de wand. Dit snelheidsverval veroorzaakt op elk oppervlakte elementje een tangentieel werkende kracht: schuifkracht. De sommatie van al deze schuifkrachtjes over alle

oppervlakte elementjes van het lichaam, dus over het zogenaamde nat oppervlak van het lichaam, levert de wrijvingsweerstand. We zagen dat aan achterzijde van het lichaam ten gevolge van een zich afscheidende grenslaag een storing ontstaat in de potentiaal stroming waardoor de omzetting van snelheid in druk wordt tegengewerkt. De hieruit voortkomende langskracht noemt men de druk- of wervelweerstand. De invloed van de viscositeit van de vloeistof uit zich kennelijk in twee weerstands componenten: de wrijvingsweerstand ten gevolge van de schuifkrachtjes langs de huid van het lichaam en de drukweerstand ten gevolge van de loslating van de stroming.

Figuur 10 Stromingsbeeld rond een cilinder

Figuur 11 Drukverdeling op een omstroomde cylinder: wrijvingsloos en met wrijving


8

1.6 De grootte van de weerstandskracht We zagen dat alle lichamen, die zich met een relatieve snelheid bewegen t.o.v. een omringend medium hetzij lucht, water, olie of zoiets, een weerstandskracht ondervinden. Uit experimenten ondersteund door de theorie zoals we hiervoor gezien hebben, blijkt deze weerstandskracht evenredig te zijn met de soortelijke massa van het medium en de gekwadrateerde relatieve snelheid V2 en het doorsnede oppervlak van het lichaam loodrecht op de stroming A.

In het algemeen:

212wW C V A

waarin de stuwdruk ½V2 herkend kan worden.

De evenredigheidsconstante CW (of CD) is afhankelijk van de vorm van het lichaam. In Figuur 12 is de waarde

van deze constante voor een aantal veel voorkomende lichamen gegeven voor het geval van een drie dimensionale stroming welke het lichaam geheel omgeeft. De waarden zijn ontleend aan modelproeven in windtunnels. Uit de figuur blijkt duidelijk dat met een aangepaste vormgeving van het lichaam een aanzienlijke reductie van de weerstandskracht te realiseren valt. Het optimaliseren van de vormgeving heeft veelal te doen met het vertragen van de loslating over de lengte van het lichaam. Bij het vergelijken van de verschillende waarden van de coëfficiënt valt op dat deze voor alle vormen tamelijk hoog is. Alleen de geprofileerde doorsneden hebben een aanzienlijk lagere weerstand, welke afneemt naarmate de lengte - dikte verhouding toeneemt. Hiermee wordt de zone van oplopende druk verlengd en daarmee de loslating vertraagd.

Figuur 12 Weerstandscoëfficiënten 3D lichamen


9

Vergelijken we de waarden van de geprofileerde druppelvorm met die van een kogel dan blijkt, bij een gelijk doorsnede oppervlak, hoezeer dit vertragen van de loslating een positief effect heeft op de weerstand. In vele technische systemen is een vorm van weerstand aanwezig. Bij de ontleding van het systeem is het dus belangrijk de verschillende componenten te kunnen onderscheiden. Weerstandscoëfficiënten van allerlei verschillende lichamen onder velerlei verschillende condities zijn in de literatuur te vinden. De meeste zijn ontleend aan modelproeven. Voor gelijke lichamen zijn deze te gebruiken als hiervan de weerstand bepaald moet worden. Soms is het ook mogelijk de weerstand te benaderen door het lichaam opgebouwd te denken uit een aantal componenten, waarvan van elk de Cw waarde bekend is. Figuur 13 geeft een overzicht van Cw (of in

het Engels CD)-waarden voor eenvoudige twee- en driedimensionale figuren.

Voor lange slanke lichamen wordt de weerstand ook veelal benaderd door de twee dimensionale weerstandscoëfficiënt behorende bij de doorsnede van het lichaam te gebruiken en deze te vermenigvuldigen met de lengte van het lichaam. Te denken valt hierbij bijvoorbeeld aan vakwerken, masten etc. Hiervan staan er in de volgende tabel een aantal gegeven.

Figuur 13 Weerstandscoëfficiënten 3D en 2D lichamen


10

1.7 Verminderen en verhogen van de weerstand In vele praktische engineering situaties is het van belang de weerstand van een lichaam te verkleinen omdat in de meeste gevallen één of andere gewenste beweging hierdoor tegengegaan wordt. In een enkel geval is echter het vergroten van de weerstand gewenst. Van beide type weerstandsoptimalisaties zullen hierna enkele voorbeelden gegeven worden. Zoals uit de formulering van de weerstandskracht reeds blijkt is het verminderen van de weerstand in de praktijk slechts mogelijk door het product CwA te verlagen. Bij bijvoorbeeld auto's is het verminderen van het oppervlak

van de dwarsdoorsnede slechts in beperkte mate mogelijk in verband met de eisen die er gesteld worden aan de binnenruimte van de auto. Bij het streven naar een zo laag mogelijke weerstand voor auto's is dit echter een aspect dat beslist niet uit het oog verloren mag worden! Het zoeken naar een vorm voor auto's welke weerstandsverlagend werkt is zeker niet iets van de laatste jaren, ofschoon het de laatste decennia door de oliecrises wel bijzonder in de belangstelling is komen te staan. In Figuur 14 staan de resultaten gegeven van experimenten met autovormgeving zoals uitgevoerd sinds de jaren vijftig. Uit de waarden gegeven in de figuur blijkt dat een reductie van ruimte CD = 0.95 tot CD = 0.45 al in de jaren

vijftig bereikt was door het doen van onderzoek. Dit werd vooral bereikt door het loslaten van de stroming tegen te gaan, aangezien dit zoals we gezien hebben met grote verliezen gepaard gaat. Echter ook het afronden van de voorkant en het vermijden van scherpe hoeken leidt tot een wezenlijke weerstandsvermindering. In recente jaren is een nog veel verder gaande reductie van de weerstand bereikt door een zeer stromingsbewuste vormgeving. Ook het vermijden of stroomlijnen van allerlei (uitstekende) details zoals deurknoppen, antennes, spiegels, strippen, bumpers, etc. leidt tot een aanzienlijke besparing van de overall weerstand. Ook de vormgeving van de onderkant blijkt belangrijk te zijn zoals moge blijken uit de volgende figuur waarin een ruwe en een door een plaat glad afgewerkte onderkant van een auto met elkaar worden vergeleken.

Figuur 14 Ontwikkeling van weerstandscoëfficiëntenvan personenauto’s over 50 jaar


11

Figuur 15 Invloed vormgeving onderkant personenauto op de weerstand

In het geval van een motorrijder wordt veelal het product Cw · A als maat genomen voor de

weerstandsverbetering, aangezien het aangestroomde oppervlak A hier een wezenlijk onderdeel uitmaakt van de veranderingen in de vormgeving welke gebruikt worden om de weerstand te verminderen. In de onderstaande figuur met tabel blijkt hoezeer de weerstand verlaagd kan worden door het bukken van de motorrijder. Daarnaast blijkt hoeveel de weerstand vervolgens verlaagd kan worden door een eventuele stroomlijning van de combinatie motor + berijder door middel van een of andere fairing. Ook zij in dit verband nog genoemd de invloed van spoilers zoals die tegenwoordig veel op vrachtwagens worden aangetroffen. Dit luchtgeleidende profiel zorgt voor een aanzienlijk schonere omstroming van de vrachtwagen combinatie met minder loslating en wer-velvorming en dus tot een lagere luchtweerstand.

Offshore platforms van niet onaanzienlijke afmetingen worden tegenwoordig geplaatst op de zeebodem. Daarbij worden deze blootgesteld aan de invloed van stroom en golven. Beide verschijnselen gaan gepaard met stroomsnelheden, waardoor grote krachten op het platform kunnen ontstaan. Teneinde deze zo klein mogelijk te houden wordt de onderwater constructie gemaakt van ronde pijpen. Gestroomlijnde doorsneden komen hier niet in aanmerking omdat de richting van de stroming niet altijd dezelfde is. Ook het aantal pijpen en de diameter ervan wordt zo klein als mogelijk gehouden.

Figuur 16 Weerstand van een motorfiets

Figuur 17 Invloed spoiler op de weerstand van een vrachtwagen


12

In een aantal gevallen is het uit gebruiksoogpunt gewenst de weerstand van iets te maximaliseren. Dit is bijvoorbeeld het geval bij het ontwerpen van een parachute. Bij een maximale weerstand is de uiteindelijke snelheid waarmee het aan de parachute hangende voorwerp de grond raakt zo laag mogelijk. Uit de figuur blijkt dat de grootste weerstandscoëfficiënt bij parachutes met gelijke doorsnede oppervlakte gevonden wordt bij een breedte - diepte verhouding van 2, dat wil zeggen bij een halve bol.

Het feit dat onder de parachute een last gehangen wordt van enige omvang heeft zijn invloed op de weerstand van de parachute zoals uit de onderstaande figuur blijkt. Bij de weerstand van de parachute moet nu echter de weerstand van het lichaam opgeteld worden. De weerstand van de combinatielast plus parachute is echter geringer dan de som van de weerstanden van de last en de parachute afzonderlijk (Figuur 19). Een ander voorbeeld waarbij het zo groot mogelijk maken van de weerstand of eigenlijk het maximaal verstoren van de stroming door het creëren van grote hoeveelheid loslating het oogmerk van het ontwerp is, vinden we bijvoorbeeld bij windschermen (Figuur 20). Zoals bekend, worden deze veel toegepast op het strand, maar ook langs autosnelwegen, waterbouwkundige kunstwerken, etc. Door een platte plaat met, zoals uit de tabel bekend, een maximale weerstandscoëfficiënt met een zo groot mogelijk oppervlakte haaks op de stroming te zetten, creëert men een zone van betrekkelijke rust direct achter het scherm. Bij de uiteindelijke uitvoering van het scherm is het essentieel zich te realiseren dat de op het scherm werkende krachten gemaximaliseerd zijn en dat dit eisen stelt aan de constructie.

Figuur 18 Weerstandscoëfficiënt parachute als functie van de vorm

Figuur 19 Parachute met last


13

Een andere praktische toepassing vinden we bijvoorbeeld bij het ontwerp van een demper zoals die in veel werktuigbouwkundige constructies worden toegepast. Een van de mogelijke uitvoeringen hiervan kan men zich denken opgebouwd te zijn uit een plunjer welke door een of ander medium geperst wordt en daarbij de nodige energie discipeert (Figuur 21). De specifieke toepassing vereist een bepaalde hoeveelheid energie welke onder die omstandigheden vernietigd moet worden en dus hoe groot de weerstandskracht in die omstandigheden moet zijn. Door de vormgeving van de plunjer moet die weerstand gerealiseerd worden.

1.8 Weerstand van oppervlakte schepen Tot nu toe is alleen de weerstand behandeld van geheel door vloeistof omgeven lichamen. Een speciaal geval doet zich echter voor bij lichamen die zich bevinden in of nabij het scheidingsvlak van twee media van sterk verschillende soortelijke massa. Dit is bijvoorbeeld het geval bij schepen die zich voortbewegen in het scheidingsvlak van lucht en water. Nadert een diep ondergedompeld lichaam met een voorwaartse snelheid het vloeistof oppervlak dan ontstaan er aan dit oppervlak golven. Met deze golven wordt energie afgevoerd welke er door het voortbewegend lichaam in wordt gebracht: voor het lichaam is dat een weerstand. De golfmakende weerstand. Deze weerstandscomponent komt ook in ideale vloeistoffen voor. Bij schepen is het gebruikelijk de totale weerstand te splitsen in twee gedeelten te weten: de wrijvingsweerstand en de restweerstand. Onder wrijvingsweerstand wordt verstaan die weerstandscomponent die zijn oorzaak vindt in de door de viscositeit opgewekte tangentieel werkende schuifkracht langs het ondergedompelde oppervlak van de scheepshuid: het nat oppervlak. Onder de restweerstand verstaat men dat gedeelte van de totale weerstand dat overblijft na aftrek van de wrijvingsweerstand en dit bevat dus onder meer de golfweerstand en de drukweerstand. Als laatste component van de totale scheepsweerstand noemen wij hier nog de luchtweerstand op het bovenwaterschip. In schema:

wrijvingsweerstand onderwater

druk- of vormweerstand restweerstand

golfweerstand

luchtweerstand bovenwater

Figuur 21 Vloeistofdemper


14

Principieel gezien is deze onderverdeling niet geheel gelukkig aangezien ook de drukweerstand zijn oorsprong vindt in de viscositeit van de reële vloeistof zoals wij eerder hebben gezien. De wrijvingsweerstand wordt bepaald door de wrijvingscoëfficiënten te gebruiken zoals die experimenteel zijn bepaald met behulp van vlakke platen welke in lengterichting door water zijn gesleept. Deze wrijvingscoëfficiënten blijken in sterke mate afhankelijk te zijn van de snelheid en de lengte van het schip, de ruwheid en de grootte van het nat oppervlak en de kinematische viscositeit van water, welke laatste ondermeer een functie is van de temperatuur. Dat de wrijvingsweerstand bepaald mag worden door gebruik te maken van coëfficiënten ontleend aan de weerstand van vlakke platen, waarbij zodoende de invloed van de driedimensionale vorm van het stromingsbeeld wordt verwaarloosd, is een veronderstelling die vandaag nog de basis vormt voor het voorspellen van de weerstand van schepen met behulp van modelproeven. Hierop zullen we later nog terug komen. De drukverdeling, welke over het lichaam ontstaat doordat deze met een bepaalde snelheid door het water wordt voortbewogen zou men in een zeer elementaire presentatie kunnen weergeven zoals in Figuur 22. De veranderende druk rond het lichaam is er oorzaak van dat het vrije vloeistof oppervlak waarop de constante atmosferische druk heerst een niveau verandering ondergaat: er ontstaan golven. Dit is in het bijzonder zo als het lichaam het wateroppervlak doorsnijdt. De drukveranderingen zijn afhankelijk van de voorwaartse snelheid en nemen sterk toe met het toenemen van de snelheid. Bij lage voorwaartse snelheid is er van enige golfvorming nauwelijks sprake en bestaat de weerstand van het schip hoofdzakelijk uit wrijvingsweerstand, bij hoge snelheid wordt de golfvorming steeds groter. In deze situatie kan de golfweerstand van het schip oplopen tot circa 50 procent van de totale weerstand van het schip en in uitzonderlijke situaties zelfs nog hoger. Voor normale oppervlakte schepen loopt de golfweerstand bij toenemende snelheid op een gegeven moment zo hoog op dat een soort van barrière bereikt wordt welke slechts ten koste van oneconomische hoeveelheden te installeren vermogen te overschrijden is. Dit, uit het geschetste drukverloop volgens de potentiaalstroming langs de romp resulterende golfsysteem, noemt men het primaire golfsysteem. Daarnaast is er ook een secundair golfsysteem. Dit manifesteert zich als een drukpunt zich verplaatst in een vrij vloeistof oppervlak. Er ontwikkelt zich dan een systeem van divergerende zwaartekrachtsgolven binnen een sector met een halve hoek van 19.5 graden, zie Figuur 23.

Figuur 22 Druk- en snelheidsverloop langs een lichaam in uniforme stroming


15

We hebben gezien dat als een schip vaart, met andere woorden als er en relatief snelheidsverschil is tussen het object (schip) en het omringende water, er een snelheidsfluctuatie rond het schip optreedt door de aanwezigheid van het schip. Deze snelheidsverschillen uitten zich in drukverschillen op en rond de romp. Op het vrije vloeistof oppervlak geeft dit aanleiding tot golven. De energie welke in deze golven wordt afgevoerd komt tot uiting in de golfmakende weerstand. Kelvin was een van de eersten die zich rekenschap gaf van de wijze waarop deze golven gevormd worden. Door zich het schip voor te stellen als een geïsoleerd druk punt dat over het wateroppervlak gaat kwam hij tot het beeld van de golven, zoals dat eerder geschetst is in bovenstaande figuur, namelijk van een divergerend golfsysteem, dat wijder wordt aan beide zijden van het schip en het transversale golfsysteem, welke dwars achter het schip aanloopt. We zagen echter dat als een schip door het water gaat de druk over de hele lengte van het schip zal variëren en het golfbeeld van een echt schip is dan ook gecompliceerder dan dat van een enkel drukpunt zoals bij Kelvin. De druk zal over het algemeen hoger zijn bij de boeg en de achter steven en lager in het midden van het schip. Zo ontstaan er separate golfsystemen welke hun eerste golftop of eerste golfdal vormen op enige afstand achter het punt van maximale (top) of minimale (dal) druk.

Figuur 24 Drukverdeling over de romp van een schip gemeten door Eggert

Figuur 23 Primair en secundair golfsysteem rondom een schip


16

Dit werd onder meer duidelijk geïllustreerd door de proeven welke Eggert uitvoerde in de sleeptank van Washington waarbij hij de drukverdeling over de einden van een scheepsmodel mat en deze vergeleek met het gemeten golfprofiel langs de romp (Figuur 24). Door van de gemeten drukken de componenten in de langs richting van het schip te nemen en deze over de lengte van het schip te integreren was hij in staat om aan te tonen dat de resulterende weerstand heel aardig overeen kwam met die gemeten aan het model als daar de wrijvingsweerstand vanaf getrokken was. De golfweerstand welk een schip ondervindt kan dus ook beschouwd worden als de netto langsscheepse kracht welke het schip ondervindt ten gevolge van de door de snelheid opgewekte drukverschillen over de lengte van de scheepshuid. De golfmakende weerstand van een varend schip kan ook anders beschouwd worden namelijk dat zij gelijk is aan de energie in de door het schip gemaakte golven. Deze wordt van het schip afgevoerd en zij is door het schip geleverd. De golfmakende weerstand moet dan berekend kunnen worden door de totale energie uit te rekenen welke in het door het schip opgewekte golfveld achter het schip aanwezig is. Dit is voor het eerst aangetoond door Havelock. Hij bepaalde hiertoe de golven op enige afstand van het schip en met de inmiddels bekende fysica van de golf kon hij de energie in die golven uitrekenen en laten zien dat goed overeenkomt met de golfmakende weerstand zoals gemeten. Tegenwoordig zijn er ook allerlei mathematische methoden beschikbaar om de golfmakende weerstand van een schip te voorspellen. Hierbij wordt de vloeistof geïdealiseerd, d.w.z. geen wrijving etc., en wordt vervolgens het stromingsbeeld rond het schip opgelost door een set algemene vergelijkingen op te lossen met gebruikmaking van een stel randvoorwaarden op de scheepshuid (alleen stroming langs de huid en niet loodrecht erop) en op het vrij vloeistof oppervlak (atmosferische druk en waterdeeltjes blijven in het oppervlak). Zo kan op de huid welke onderverdeeld is in een groot aantal vlakjes, de stromingsvector bepaald. Middels de inmiddels bekende weg van snelheid naar druk naar kracht kan dan de weerstand berekend worden. Deze methode kent ook zijn beperkingen in allerlei vereenvoudigingen welke opgelegd moeten worden om het probleem oplosbaar en hanteerbaar te houden. Daarnaast zijn deze methoden vaak relatief bewerkelijk (en dus kostbaar). Ofschoon we nog steeds niet in staat zijn om de totale weerstand of alleen de golfmakende weerstand van een schip in zijn geheel te berekenen, is de kwalitatieve overeenkomst tussen deze berekeningen en de metingen wel zo goed dat zij gebruikt kan worden om een weerstandsschatting van het schip te maken. Afhankelijk van de behoefte (bijvoorbeeld concept ontwerp, voorontwerp, definitief ontwerp of romp optimalisatie) kan een van de methoden gebruikt worden. Om een idee te krijgen wat er bij een schip allemaal een rol speelt kan het volgende gesimplificeerde voorbeeld gebuikt worden. Beschouw een eenvoudige scheepsvorm (Wigley 1931) welke is opgebouwd uit een evenwijdig middengedeelte en twee wigvormige einden (voor- en achterschip) Wigley liet zien hoe de uitdrukking voor het golfprofiel langs het schip uiteindelijk uit 5 termen bestaat.

1. Een symmetrische verstoring van het oppervlak welke naar voren en naar achteren snel verdwijnt en geen energie afvoert.

2. Een golfsysteem bij de boeg, beginnend met een golftop. 3. Een golfsysteem bij de voorschouder, beginnend met een golfdal. 4. Een golfsysteem bij de achter schouder, beginnend met een golfdal. 5. Een golfsysteem bij de achtersteven, beginnend met een golftop.

Deze vijf systemen zijn getekend in Figuur 25. Op enige afstand achter het schip worden de laatste vier golfsystemen elk een soort sinuskromme met afnemende amplitude en met een golflengte welke overeenkomt met die van een “vrije” oppervlakte golf voortbewegend met de snelheid van het schip. Deze golflengte wordt bereikt na ongeveer twee golven. Het totale (resulterende) golfprofiel, zoals we dat zien langs de romp, zal opgebouwd zijn uit deze vier afzonderlijke componenten. Door superpositie van deze afzonderlijke golfcomponenten ontstaat dan het uiteindelijke totale golfprofiel. Dit betekent dat het totale golfprofiel dus afhankelijk is van de vorm (hoogte en


17

lente) van de afzonderlijke componenten. En van hun onderlinge posities. Zo kunnen zij elkaar versterken of verzwakken en kan de resulterende golfhoogte dus groter of kleiner zijn dan de som der afzonderlijke golfhoogtes van elk van de componenten. Aangezien de in de golven afgevoerde energie en dus de weerstand die het schip voelt ongeveer evenredig is met de golfhoogte in het kwadraat, is dit een belangrijke maat voor de golfmakende weerstand. Het door Wigley gemeten en aldus berekende golfprofiel kwamen in belangrijke mate met elkaar overeen, alhoewel er wel enige significante verschillen gevonden werden bij het achterschip. Hier was de gemeten golfhoogte (in de sleeptank) kleiner dan de berekende. Dit werd verklaard door de invloed van de in werkelijkheid (bij het sleeptankmodel dus) altijd aanwezige viscositeit van het water, waardoor de snelheid van de waterdeeltjes langs het achterschip lager is dan in de wrijvingsloze berekening werd aangenomen.

Figuur 25 Golfsystemen van een gesimplificeerde scheepsvorm

Bij veranderende snelheid verandert de golflengte van de afzonderlijke golfsystemen. Bij hogere snelheid worden de golven langer en omgekeerd. De onderlinge positie van de golftoppen en dalen zal daardoor veranderen. Dus zal ook het totale golfprofiel langs en achter het schip veranderen bij veranderende snelheid, immers dit wordt verkregen door superpositie van de afzonderlijke systemen. Zo zal de onderlinge beïnvloeding aanleiding geven tot verschillen in weerstand. Dit geeft bij veranderende snelheid aanleiding tot “schommelingen” in de kromme van de golfmakende weerstand. Deze vertoont dan zoiets als bulten en deuken (humps and hollows). Een treffend voorbeeld hiervan is gegeven in Figuur 26 voor de Wigley vorm, waarin de weerstandscoëfficiënt als functie van de snelheid (Fn) is gegeven.


18

De humps en hollows zijn duidelijk waarneembaar als functie van de voorwaartse snelheid. Voor echte scheepsvormen zijn deze in de weerstandskromme ook altijd waarneembaar al zijn ze vaak minder uitgesproken dan bij deze gesimplificeerde scheepsvorm van Wigley. Hierdoor is de “ontstaanspositie” van de verschillende golfsystemen niet zo duidelijk vastgelegd en bestaat bovendien nog de kans op nog meer (maar dan ook minder uitgesproken) golfsystemen welke ontstaan langs de lengte van de scheepsromp. Bij de eenvoudige scheepsvorm zoals wij die nu beschouwen kunnen twee belangrijke vormen van interferentie tussen de golfsystemen optreden:

1. interferentie tussen twee systemen met eenzelfde teken, dat wil zeggen tussen de boeggolf en de hekgolf;

2. interferentie tussen twee systemen met een verschillend teken, dat wil zeggen tussen bijvoorbeeld de

boeggolf en de voorschoudergolven.

Figuur 26 Humps en hollows voor een gesimplificieerde scheepsvorm

Uit de praktijk blijkt dat deze tweede vorm van interferentie het belangrijkst is omdat deze twee systemen elkaar kunnen beïnvloeden zonder dat de viscositeit de kans heeft gekregen om de golfhoogte van het afzonderlijke golfsysteem te beïnvloeden. Zo zal de boeggolf pas kunnen interfereren met de hekgolf als de eerste reeds veel van zijn hoogte verloren heeft door de dempende werking van de viscositeit. Bij onze eenvoudige scheepsvorm treedt deze tweede vorm van interferentie tegelijkertijd op tussen de golven van de boeg en de achterste schouder en tussen die van het hek en de voorste schouder, dit ten gevolge van de symmetrie. De afstanden tussen deze golfsystemen is (l + 2a) of laten we zeggen : x · L; zie figuur blz 6.18.

De maxima in de weerstand treden nu op als de golfbergen van beide systemen samen vallen, dus als :

1 3 5

2 22

, ofx L

Op overeenkomstige wijze treden de golfminima op als de golfbergen van het ene systeem samenvallen met de golfdalen van het andere. Dit gebeurt als:

, 2 of 3x L


19

Uit de golftheorie is bekend dat de snelheid van een vrijoppervlakte golf gelijk is aan:

1.25

2

gC

Hiermee zijn de golfsnelheid en zijn bijbehorende golflengte eenduidig aan elkaar gekoppeld. En aangezien de snelheid van een oppervlakte golf gelijk is aan de snelheid van het schip welke deze opwekt, volgt hieruit dat er voor specifieke waarden van het Froude getal sprake zal zijn van een hump of een hollow in de weerstandskromme van een schip. Een andere heel belangrijke interferentie is tussen de boeg en de voorschoudergolf. Hier bedraagt de afstand tussen de twee golfsystemen Le = lengte van de “entrance”. De interferentie welke leidt tot een maximale (hump) golfweerstand vindt plaats bij:

2

5

2

3

2

1of, Le

ofwel:

LeofLe,Le 2 5

2

3

2

Het bestaan van interferentie verschijnselen in de golfmakende weerstand van schepen was al lang bekend. Ook voor dat Wigley e.a. het door middel van mathematische beschrijvingen aannemelijk konden maken. Zo demonstreerde Froude dit al eerder op een andere manier, namelijk door een boegvorm en een achterschip vorm te slepen met een steeds in lengte variërend evenwijdig middenschip er tussen in. Zo varieerde hij bij een gelijkblijvende voorwaartse snelheid van zijn “model” de fase van de voor- en achterschipgolf ten opzichte van elkaar. Zodoende vond hij ook de schommelingen in de golfmakende weerstand, zie onderstaande figuur.

Figuur 27 Weerstand bij 4 snelheden volgens experiment van Froude met verschillende lengten van het evenwijdig middenschip

Het is van belang om te realiseren dat dit slechts een eenvoudige voorstelling van zaken is om de fenomenen welke bij de golfweerstand van een schip een rol spelen te demonstreren. De werkelijkheid is vaak zeer veel


20

gecompliceerder en een opsplitsing in zulke eenduidige goed gelokaliseerde golfsystemen zoals bij deze Wigley vorm is dan ook vaak niet mogelijk. De essentie van het systeem blijft echter bestaan. Het is dan ook vaak van belang om reeds in een vroeg stadium van het ontwerp iets te kunnen zeggen over de weerstand van het schip en hoe deze beïnvloed wordt door de keuze welke de ontwerper maakt aangaande de hoofdafmetingen van zijn schip. Zeker ook gezien in het licht van de ontwerp snelheid welke gehaald moet gaan worden. Indien mogelijk verdient het de voorkeur om deze snelheid te kiezen in een “hollow” gebied en zeker niet in een “hump”.

1.9 Drukkingspunt en kromme van spantoppervlakken Het onderwaterzwaartepunt van het schip komt overeen met het zwaartepunt in lengte van de KVS en wordt drukkingspunt genoemd (B = centre of buoyancy). Vanwege hydrodynamische overwegingen heeft een

oppervlaktevaartuig het minimum in de weerstand als vóór- en achterschip symmetrisch zijn en het golfsysteem van beide einden uit fase is. Ten gevolge van de viscositeit is het golfsysteem van het achterschip kleiner dan van het voorschip. Dus de golfweerstand kan verminderd worden door het drukkingspunt naar achteren te verplaatsen. Als echter het achterschip te vol wordt treedt loslating op waardoor de vormweerstand groter wordt. Van slanke schepen ligt daarom het drukkingspunt tot enkele procenten achter L/2; voor volle schepen is dit niet

mogelijk. Voor zeer volle schepen, die bij kleine Froudegetallen varen, is de golfweerstand van minder belang en het drukkingspunt ligt voorlijk om het achterschip zo slank mogelijk te houden, zoveel mogelijk loslating te vermijden en een goede aanstroming naar de schroef te verkrijgen.

Figuur 28 Optimale ligging van het drukkingspunt in lengte als functie van blokcoëfficiënt en snelheid


21

We weten inmiddels dat een aantal zaken de golfweerstand van een varend schip beïnvloeden. Dit zijn zoal: 1. de waterverplaatsing;

hoe zwaarder het schip hoe groter de waterverplaatsing hoe groter de golfmakende weerstand. 2. de lengte van het schip;

de relatie tussen de snelheid van het schip en de lengte van het schip is vastgelegd in het Froude getal. Hoe hoger het Froude getal hoe hoger de golfmakende weerstand.

3. de vorm van het onderwaterschip; deze bepaalt in belangrijke mate hoe de snelheidsverdeling over de huid bij een snelheid zal worden en dus hoe de druk verloopt (en de golven). Een aantal middelen om de verdeling van het volume over de lengte onder water te kunnen schetsen wordt gevonden in een paar coëfficiënten zoals die reeds de revue zijn gepasseerd: denk hierbij aan: de ligging van het drukkingspunt LCB

de prismatische coëfficiënt Cp

de blok coëfficiënt Cb

de Lengte / Breedte verhouding L/B

de Breedte / Diepgang verhouding B/T

Maar de vraag is nu: hoe beïnvloeden deze parameters de golfweerstand. Als dat bekend is kan vervolgens ook getracht worden deze weerstandscomponent uit te rekenen. Een methode is zoals reeds genoemd om te trachten deze weerstand uit te rekenen met behulp van gecompliceerde rekenprogramma’s. Deze zijn de laatste decennia steeds meer ontwikkeld en geperfectioneerd. De meeste programma’s gaan uit van ideale vloeistoffen en berekenen de drukken langs de romp op een of andere manier met behulp van de “potentiaal theorie”. Hierop wordt in latere colleges nog uitgebreid terug gekomen. Nadeel van deze methoden zijn de gecompliceerdheid en de mate van detail waarin de scheepsvorm (al) bekend moet zijn. Een andere methode wordt gevonden door gebruik te maken van ervaringen opgedaan met andere schepen (scheepsvormen), welke reeds eerder getest zijn. En dan zijn er weer twee mogelijkheden: 1. Gebruik maken van een speciaal opgezette serie modelproeven met systematisch gevarieerde

scheepsvormen om het effect van een parameter “zichtbaar” te maken 2. Gebruik maken van de resultaten van sleepproeven met allerlei verschillende echt gebouwde schepen. In het eerste geval wordt gebruik gemaakt van een serie modelproeven met een speciaal voor dit doel ontworpen en geteste serie modellen. Uitgangspunt is een zogenaamd “moeder model” (parent model). Veelal is dit een bestaand en goed “voldoend” schip. Uitgaande van deze moeder worden nieuwe modellen getekend, waarbij telkens een van de parameters welke van belang geacht worden wordt gevarieerd. De belangrijkste vorm kenmerken van het moeder model blijven zoveel als mogelijk gehandhaafd. Stel de moeder heeft een prismatische coëfficiënt van 0.56 en de invloed van deze prismatische coëfficiënt op de golfmakende weerstand moet onderzocht. Dit gebeurt dan door een model met een Cp van bijvoorbeeld 0.50

en een met een Cp van 0.60 te testen. Door het verschil in gemeten restweerstand van deze modellen te

vergelijken is de invloed van Cp op de restweerstand bekend. Zo doet men dat dan vervolgens voor alle van

belang zijnde parameters. Het aantal modellen dat getest moet worden wordt dan ook al snel erg groot. Met het aantal geteste modellen groeit echter de nauwkeurigheid van de voorspellingsmethode welke wordt gebaseerd op deze bepaalde “afhankelijkheden”. Nu is het in de praktijk echter (vrijwel) onmogelijk om slechts een parameter van de eerder genoemde serie parameters, welke van belang geacht worden voor de weerstand, aan een scheepsromp te veranderen. Een aantal anderen gaan onwillekeurig een beetje mee. Dit betekent dat voor de uiteindelijke “afhankelijkheids” bepaling gebruik gemaakt moet worden van een wiskundige techniek, de zogenaamde regressie analyse, om de invloed van elke parameter en zijn “afhankelijkheid” te bepalen. Zo ontstaat meestal


22

een soort “veelterm” (“polynoom”) waarmee vervolgens voor een willekeurig ander schip de weerstand berekend kan worden. Zeer bekende voorbeelden van berekeningsmethoden voor de weerstand welke zijn gebaseerd op zo’n systematisch onderzoek zijn : David Taylor Serie Series 60 Delft Systematic Yacht Hull Series (Figuur 29) Delft Systematic Deadrise Series (Figuur 30) Als voorbeeld van een systematische serie modellen worden hier een aantal modellen van de Delft Systematic Yacht Hull Series en de Delft Systematic Deadrise Series afgebeeld in Figuur 29 en Figuur 30. In het tweede geval wordt voor het formuleren van zo’n polynoom gebruik gemaakt van een zeer uitgebreide bibliotheek (database) aan gesleepte schepen op een onderzoeksinstituut. Van al deze modellen wordt berekend hoe de van belang zijnde romp parameters er uit zien. Dit is zeker geen eenvoudige zaak en de keuze hiervan bepaalt al vaak de nauwkeurigheid van het uiteindelijke resultaat. Verder is heel vaak de range (de variatie) van deze parameters binnen de database van de serie van de geteste schepen beperkt, omdat extreme variaties in echt gebouwde schepen veelal niet voorkomen. Ook is het niet zo dat er twee verschillende schepen in de database zitten welke volstrekt gelijk zijn op een parameter na. In dit opzicht is zo’n database dan ook veel minder systematisch dan die welke in de eerste methode gebruikt wordt. Dat is een ernstig nadeel. Het voordeel is echter dat alle in de database opgenomen schepen “echte” schepen zijn terwijl de modellen in een systematische serie er nog wel eens “onrealistisch” uit kunnen zien. Een ander belangrijke reden voor de tweede methode is dat het onderzoeksinstituut voor het formuleren van het weerstandspolynoom geen nieuwe modellen behoeft te testen maar gebruik kan maken van dat gene wat ze in het verleden allemaal al gesleept hebben. Als nu alle gegevens van de gesleepte schepen gecombineerd met hun weerstandsgegevens in die ene grote database zijn opgenomen, kunnen vervolgens met de eerder genoemde wiskundige techniek van de “veelvoudige regressie” de coëfficiënten van het vastgelegde “weerstandspolynoom” bepaald worden

Een bekende berekeningsmethode voor de golfmakende gebaseerd op deze tweede aanpak is die van Lap. Deze is later nog verfijnd door Auf’m Keller. Beide heren waren indertijd (tot 1960) verbonden aan het Nederlands Scheepsbouwkundig Proefstation tegenwoordig het MARIN in Wageningen. Zie voor rekenvoorbeeld en publicatie de Bijlage, resp. deel 1 en 2. Zij gebruikten voor de bepaling van de coëfficiënten van het polynoom in hun methode de resultaten van circa 110 model proeven uitgevoerd op het MARIN. Enkele van de parameters welke zij van belang achtte voor de bepaling van de golfmakende weerstand (en die dus de basis vormen van de regressie en het polynoom) zijn: 1. de hoofdafmetingen Lengte, Breedte en Diepgang 2. de coëfficiënten LCB lengte ligging drukkingspunt

Cp prismatische coëfficiënt,

Am en grootspant coëfficiënt,

B/T breedte diepgang verhouding L/B lengte breedte verhouding

Een rekenvoorbeeld is bijgevoegd om te laten zien hoe relatief eenvoudig een en ander uitgerekend kan worden. Mits toegepast op de schepen en scheepstypen waarvoor zij bedoeld (en afgeleid) is deze weerstandsbepaling redelijk nauwkeurig, zie rekenvoorbeeld bijlage.


23

Figuur 29 Delft Systematic Yacht Hull Series (model 1 -9)


24

Figuur 30 Delft Systematic Deadrise Series (model 186-190)


25

1.10 Verminderen van de weerstand van een schip Methoden om de weerstand van schepen te verminderen concentreren zich in hoofdzaak op: het verminderen van de wrijvingsweerstand door het minimaliseren van het nat oppervlak, het vergroten

van de gladheid van het nat oppervlak onder andere door het beperken van de aangroei. het verminderen van de druk- of vormweerstand door het vertragen van de loslating van de stroming in het

achterschip. Scherpe overgangen in de vorm moeten zoveel als mogelijk vermeden worden. het verminderen van de golfweerstand. Een aantal

voorbeelden hiervan zijn te geven. Een mogelijkheid is het verkleinen van het gewicht van het schip. Dit heeft ogenblikkelijk effect op het verlagen van de golfmakende weerstand. Daar een vrachtschip over het algemeen ontworpen wordt om een bepaald gewicht aan lading mee te nemen moet de gewichtsbesparing vooral gezocht worden in het casco-, inrichtings- en uitrustingsgewicht van het schip.

Een andere veel gebruikte methode wordt gevonden in de toepassing van een "bulb". We hebben gezien dat verschillende golfsystemen langs de lengte van het schip elkaar kunnen versterken of verzwakken, waarbij dit laatste in een relatief lagere weerstand resulteert. Hiervan wordt nu doelbewust gebruik gemaakt bij de toepassing van een bulb. Een bulb is een bolvormig aanhangsel voor de boeg van het schip waarmee een golfsysteem opgewekt wordt. Door middel van een juist ontwerp van plaats en afmeting van de bulb wordt ervoor gezorgd dat dit golfsysteem zodanig met het boeggolfsysteem van het schip interfereert, dat het resulterende golfsysteem lager is dan het oorspronkelijke. Aangezien de afgevoerde energie in een golf kwadratisch afhangt van de golfhoogte wordt de golfweerstand zodoende verkleind. Zie Figuur 31. Als laatste mogelijkheid valt te noemen het geheel of gedeeltelijk uit het water "tillen" van de romp om zo de golfmakende weerstand te verkleinen. Voorbeelden hiervan zijn planerende schepen en

Rompparameters van de eerste 9 modellen van de Delft Systematic Yacht Hull Series

model nr. LWL/BWL BWL/TC Cp LWL/∇C1/3

LCBC (%)

1 3.17 3.99 0.568 4.78 -2.29

2 3.64 3.04 0.569 4.78 -2.29

3 2.76 5.35 0.565 4.78 -2.31

4 3.53 3.95 0.564 5.10 -2.32

5 2.76 3.96 0.574 4.36 -2.44

6 3.15 2.98 0.568 4.34 -2.38

7 3.17 4.95 0.562 5.14 -2.31

8 3.32 3.84 0.585 4.78 -2.37

9 3.07 4.13 0.546 4.78 -2.19

Figuur 31 Werking van een bulbsteven


26

draagvleugelboten, zie Figuur 32. Bij een draagvleugelboot wordt boven een bepaalde snelheid het volledige gewicht van het schip gedragen door een tweetal vleugels onder de romp. De romp wordt in zijn geheel boven water getild en de golfmakende weerstand verdwijnt in zijn geheel. Daarvoor in de plaats komen echter wel weer een aantal andere weerstandscomponenten, maar de overall winst is niet onaanzienlijk, zodat met dit type schip hoge snelheden bereikt kunnen worden.

het verminderen van de luchtweerstand. Bij de toenemende snelheid van de huidige generatie schepen is

de luchtweerstand van de bovenwater scheepsvorm niet onaanzienlijk. Door een goede stroomlijning van deze opbouw is een wezenlijke reductie van de weerstand te realiseren.

De vermindering van de golfsweerstandscomponent van de romp is in vele gevallen verreweg de belangrijkste. Om deze te verwezenlijken, zonder de toevlucht te nemen tot de bovenstaande oplossingen, worden over het algemeen twee methoden gevolgd: een theoretische door middel van berekeningen met mathematische modellen en één door middel van experimenten in sleeptanks met fysische modellen. Door de grote complexiteit van het probleem geven theoretische modellen tot op heden nog te weinig betrouwbare resultaten om tot een verantwoorde optimalisatie te komen. Experimenten in sleeptanks blijven daarom nog het belangrijkste hulpmiddel maar de theoretische modellen verlenen hierbij onschatbare assistentie bij het beter doorgronden van het verschijnsel en het interpreteren van de resultaten.

Figuur 32 Draagvleugelboot


27

2 Comparologie in de maritieme techniek 2.1 Gelijkvormigheid Experimenteel onderzoek kan worden gescheiden in twee typen onderzoek. Het eerste is het zogenaamde directe onderzoek. Hierbij wordt het te onderzoeken probleem op het voorwerp zelf onderzocht. Te denken valt hierbij bijvoorbeeld aan een trekproef om de treksterkte van staal te bepalen of een meting aan de uitgaande as van een motor om de koppel-toeren karakteristiek vast te stellen. Nadeel is dat het te onderzoeken voorwerp of systeem in zijn uiteindelijke gedaante beschikbaar moet zijn voor de proef. In het ontwerpstadium van grote en of gecompliceerde systemen, waarbij optimalisaties vaak een belangrijke rol spelen, is dit een weinig gangbare methode. Het tweede type onderzoek is het modelonderzoek. Hierbij wordt de werkelijke situatie door een model nagebootst. Door proefnemingen aan het model (op schaal) tracht men de eigenschappen van het prototype (ware grootte) te bepalen. Ook modelonderzoek is weer onder te verdelen in een aantal typen, waarvan nu slechts genoemd worden modelonderzoek met behulp van mathematische rekenmodellen of modelonderzoek met fysische modellen. In het geval van experimentele schaalproeven wordt gelijkvormigheid van model en het prototype nagestreefd. Dit is noodzakelijk om de extrapolatie van de model gegevens naar prototype mogelijk te maken. In de praktijk betekent dit dat aan een aantal modelwetten moet worden voldaan. Bij een proef met een scheepsmodel bestaat het fysische model uit een combinatie van een geschaald scheepsmodel en water, welke laatste ten opzichte van het prototype niet geschaald is. Dit geeft de nodige complicaties, waarop later teruggekomen wordt. De gelijkvormigheid van model en prototype heeft betrekking op: de geometrische gelijkvormigheid de kinematische gelijkvormigheid de dynamische gelijkvormigheid De geometrische gelijkvormigheid betekent dat er een evenredigheid bestaat tussen de afmetingen van model en prototype. Er is een vaste verhouding tussen alle overeenkomstige maten van het model en het prototype. Dit noemt men de lineaire schaal. Deze schaal wordt gebruikt voor alle lengte maten, inclusief waterdiepte, kanaalbreedte, golflengte etc. etc. voor zover van belang voor het te onderzoeken probleem. De kinematische gelijkvormigheid betekent evenredigheid van de snelheidsvectoren en hun verschillende componenten in de overeenkomende punten van de stromingsvelden rond model en prototype. De dynamische gelijkvormigheid betekent evenredigheid van de overeenkomende krachten en hun verschillende componenten. De drukkrachten, de traagheidskrachten, de wrijvingskrachten en de krachten ten gevolge van oppervlakte spanningen moeten bij model en prototype in dezelfde verhouding optreden om de gelijkvormigheid te waarborgen. Samengevat: alle plaats-, snelheid- en krachtvectoren moeten in overeenkomende punten van model en prototype dezelfde richting hebben (argument), terwijl de grootte (modulus) van de verschillende vectoren in een constante verhouding ten opzichte van elkaar moeten staan.

2.2 De vergelijkingswet van Newton In deze beschouwing beperken we ons eerst tot een homogene, onsamendrukbare en wrijvingsloze vloeistof. Er is geen vrij vloeistof oppervlak en er vindt geen afgifte plaats van damp of opgesloten gassen uit de vloeistof. In dat specifieke geval heeft de absolute druk geen invloed op de vloeistofstroming: de stroming wordt slechts


28

bepaald door het evenwicht tussen traagheidskrachten en drukkrachten. Traagheidskrachten en drukkrachten hebben beide dezelfde schaalfactoren. Stel nu dat de volgende schaalfactoren gelden van prototype naar model:

lengte afmeting: L p L mL L

snelheid: V p V mV V

dichtheid: p m

De tijd in prototype moet dan vermenigvuldigd worden met:

L

V

m( s)m/s

t

om de tijd in het model te vinden. Versnellingen in het prototype moeten vermenigvuldigd worden met:

2 2 22/

( / )Va

L

m sm s

m

om de versnellingen in het model te vinden. De traagheidskrachten en de resulterende drukkrachten hebben beide als schaalfactor:

22 2 3 VV L L

L

( )F

Bedenk hierbij dat een traagheidskracht een massa maal een versnelling is. Ofwel een soortelijke massa maal een volume maal een versnelling. De dimensie van een drukkracht wordt gevonden uit de vergelijking van Bernouilli en blijkt daaraan uiteindelijk gelijk te zijn. Derhalve is:

m

2

L

2

Vp FF

of:

2

L

2

V2

m

2

mm

2

p

2

pp

m

p

L V

LV

F

F

en:

2

p

2

pp2

m

2

mm

mp LV*

L V

FF

Blijkbaar kan men hiervoor schrijven:


29

2 2

2 2

1

2

1

2

p p p p

m m m m

F C V L

F C V L

waarin C een constante is die voor het beschouwde geval (gelet op de eerder gedane aannamen betreffende de

ideale vloeistof) niet van de schaal afhankelijk is. Deze formules geven de algemene vergelijkingswet van Newton weer. We herkennen hierin de weerstandscoëfficiënt van de onderzochte lichaamsvormen in het hoofdstuk over de weerstand. Deze zijn, mits aan de schaalfactoren wordt voldaan, voor model en prototype gelijk zodat de modelcoëfficiënten gebruikt mogen worden om prototype krachten te berekenen. Het betreft hier uitsluitend geheel omstroomde lichamen, zonder de aanwezigheid van het vrije vloeistofoppervlak. Modelproeven om de weerstand van een schip te bepalen komen dadelijk aan de orde.

2.3 Modelregel van Reynolds In het geval dat in het model de viskeuze krachten niet verwaarloosd mogen worden blijkt de modelregel van Reynolds van belang. Stel dat de schaalfactor geldt voor de viscositeitscoëfficiënt. Dan is de schaalfactor voor de schuifkrachten

welke het resultaat zijn van de viscositeit van de vloeistof:

LV

L

2

LV

Viskeuze krachten ontstaan door de schuifspanningen (symbool ) tussen vloeistofdeeltjes die zich bewegen met verschillende snelheden. De schuifkracht over een klein oppervlak dA wordt dan schuifspanning maal oppervlak

dA (vergelijk met de kracht door een druk: druk maal oppervlak). De schuifspanning volgens Newton bepaald worden door de snelheidsgradiënt du/dz (de verandering van snelheid u over een afstand z) te vermenigvuldigen

met de dynamische viscositeitscoëfficiënt (een constante afhankelijk van de vloeistof en de temperatuur).

Dit geeft de volgende vergelijking voor de schuifkracht:

du

F dA dAdz

De dynamische gelijkvormigheid vereist in dat geval dat:

schaal schuifkracht = schaal traagheidskracht

2

L

2

VLV

ofwel:

1LV

Dit is de modelregel van Reynolds. Blijkbaar geldt voor het model en het prototype het kengetal Re, bekend als

het Reynoldsgetal waarbij:

V LRe

waarin L de lengte van het omstroomde lichaam in stromingsrichting is.


30

Ook schrijft men:

waarin: ν de kinematische viscositeitscoëfficiënt voorstelt.

Derhalve valt voor Re te schrijven:

V LRe

met: V in m/s

L in m

ν in m²/s

Als indicatie gelden de volgende waarden voor ν bij 20 graden Celsius:

zoetwater : 6 210 m s

zoutwater : 6 21.05 10 m s

droge lucht: 5 21.50 10 m s

Voor model en prototype dient het getal van Reynolds gelijk te zijn om tot een verantwoorde extrapolatie te komen. Dat wil zeggen dat als de lengte met een factor 10 verkleind wordt om aan een model te komen, de snelheid van het langs stromende water met een factor 10 verhoogd zou moeten worden om hetzelfde Reynolds-getal te behouden. Voorbeeld: Een schip met een waterlijnlengte van 100 meter heeft een snelheid van 20 knopen. Het Reynolds getal voor de stroming:

9

-6

100 20 0.51440.98 10

1.05 10Re

2.4 Modelregel van Froude Als de vloeistof in het te beschouwen probleem ook een vrij vloeistof oppervlak heeft, dan gaat ook de zwaartekracht een rol spelen, zoals gebleken is bij de beschouwing over de hydrostatische druk en de golven rond een varend schip. De zwaartekracht op een vloeistofdeeltje ten gevolge van de zwaartekrachtsversnelling is:

F ma

F d g

zodat met een schaalfactor g voor de versnelling van de zwaartekracht de schaalfactor voor de

zwaartekrachten gelijk is aan:

)( 3

Lvolume

3

Lg


31

De eerder geformuleerde eis ten aanzien van de dynamische gelijkvormigheid eist nu dat de schaalfactor voor de traagheidskrachten gelijk moet zijn aan de schaalfactor voor de zwaartekrachten. Voor de traagheidskrachten hadden we reeds eerder afgeleid dat de schaalfactor is:

2

L

2

V

zodat:

2

L

2

V

3

Lg

of:

1Lg

2

V

Hieruit volgt dan de uitdrukking:

22

VFr

g L

voor model en prototype gelijk moet zijn om een dynamische gelijkvormigheid te waarborgen. In algemene vorm:

p m

p m

V VFr

g L g L

Dit is de modelregel van Froude.

Men noemt

VFr

g L het Froudegetal.

Als aan deze modelregel ten aanzien van het gelijk zijn van het getal van Froude voor model en prototype is voldaan dan is het golfbeeld op modelschaal gelijk aan het golfbeeld in prototype. Derhalve mag verwacht worden dat ook de golfweerstand op modelschaal gelijk is. Voor het geval van een schaalmodel van een schip dat 10 keer kleiner is dan het prototype en met behulp waarvan de weerstand van het schip bepaald moet worden, geldt dus dat de modelsnelheid de vierkantswortel uit 10 kleiner zal moeten zijn om hieraan te voldoen.

2.5 Voorbeeld Voor een schip met een waterlijnlengte van 100 m en snelheid van 20 knopen is:

10.30.33

9.8 100Fr

Bij het bepalen van de weerstand van een schip met behulp van modelproeven doet zich nu een probleem voor, dat hieronder zal worden toegelicht. Zoals inmiddels bekend speelt bij de weerstand van een schip zowel de vorm-, druk- en golfweerstand als ook de wrijvingsweerstand een belangrijke rol. Om een modelproef naar behoren te kunnen uitvoeren zou dan zowel aan de modelregel van Reynolds als ook aan die van Froude moeten worden voldaan, om zowel de zwaartekracht als de wrijvingskracht op de juiste schaal te brengen. Neem als voorbeeld weer het schip met een waterlijnlengte van 100 meter en een snelheid van 20 knopen. Hiervan wenst men de weerstand door middel van een modelproef te bepalen.


32

Stel nu dat de lineaire modelschaal L gelijk is aan 40, dus

40L

Dan volgt voor de modelsnelheid bij een gelijke versnelling van de zwaartekracht in model en prototype, dwz : g = 1

0.51420 1.627 /

40s m s

waarmee voldaan wordt aan de modelregel van Froude. Het kengetal van Reynolds is in dit geval voor zoetwater van 20 graden Celsius:

6

-6

1001.627

40 4.07 1010

mRe

Vergelijk dit met het eerder gevonden kengetal van Reynolds voor het schip op ware grootte, dan blijkt die te zijn:

90.98 10pRe

Om aan de modelregel van Reynolds te kunnen voldoen zijn er nu twee mogelijkheden: de viscositeit van de vloeistof waarin de modelproef wordt uitgevoerd moet circa 240 maal zo groot zijn als die van water. Zo een vloeistof is praktisch gesproken niet voor handen. Ten tweede zou de snelheid circa 240 keer groter moeten zijn dan in prototype. Dit is strijdig met de snelheid gevonden door de modelwet van Froude. Voor een van de twee modelwetten zal nu gekozen moeten worden. De golfvorming aan het oppervlak en daarmee de golfweerstand is van doorslaggevend belang bij de bepaling van de weerstand van oppervlakte schepen en is veel moeilijker te benaderen dan de wrijvingsweerstand. Bij schaalproeven met oppervlakte schepen wordt derhalve in het algemeen wel voldaan aan de modelregel van Froude maar niet aan de modelregel van Reynolds. Dat het onmogelijk is aan beide wetten te voldoen is ook in te zien door de schaalfactoren voor de viscositeit, voor de zwaartekrachten en de traagheidskrachten aan elkaar gelijk te stellen:

2

L

2

V

3

LgLV

Hieruit is af te leiden dat bij g = 1

6

V

3

L

2

De viscositeit bepaalt zowel de lineaire schaal als de snelheidsschaal. Bij ongeveer gelijke kinematische viscositeit bij prototype en model (/) = 1

moet dan gelden ν = g = 1, dus geen modelproef mogelijk.

Het niet voldoen aan de modelregel van Reynolds veroorzaakt het zo genaamde schaaleffect, waardoor de constante C in de algemene vergelijking van Newton voor model en prototype niet gelijk is. Dit betekent dat de


33

extrapolatie van de modelresultaten naar het prototype niet zonder meer kan geschieden. De extrapolatie van modelproef resultaten naar het prototype moet daarom voor oppervlakte schepen op een speciale manier uitgevoerd worden. Dit zullen we hierna bespreken.

2.6 Extrapolatiemethode volgens Froude Voor het bepalen van de weerstand van een schip wordt een modelproef gedaan met een schaalmodel van het schip. Het schaalmodel voldoet aan de eisen ten aanzien van geometrische, kinematische en dynamische gelijkvormigheid met dien verstande dat bij de uitvoering van de proef wel voldaan wordt aan de modelwet van Froude maar niet aan de modelwet van Reynolds. De snelheid in prototype en in model verhouden zich dus met de wortel uit de schaal. De weerstand die nu voor het model gevonden wordt uit de modelproef als functie van de snelheid moet worden omgeschaald. Zoals gedemonstreerd voldoet door het niet aanhouden van de modelwet van Reynolds de wrijvingsweerstand niet aan de algemene modelwet van Newton. Deze kan dus niet zonder meer omgeschaald worden. De golfmakende weerstand kan wel omgeschaald worden omdat wel aan de modelwet van Froude voldaan wordt. Het is dus noodzakelijk beide weerstandscomponenten van elkaar te scheiden zodat zij afzonderlijk omgeschaald kunnen worden. Daartoe wordt de wrijvingsweerstand van het model uitgerekend. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de weerstandscoëfficiënt zoals die gevonden is voor vlakke platen, waarvan de golf- en drukweerstand gelijk aan nul verondersteld worden. De totale weerstand van deze platen wordt derhalve verondersteld wrijvingsweerstand te zijn. De resulterende wrijvingsweerstandscoëfficiënt is dan uitsluitend nog een functie van het Reynolds getal van de stroming langs de plaat. Hierin zit de invloed van het laminaire of turbulente karakter van de stroming vervat. Alle sleeptanks van de wereld hebben indertijd afgesproken, tijdens de ITTC-57 (de International Towing Tank Conference van 1957) om van alle beschikbare relaties tussen de wrijvingsweerstandscoëfficiënt en het getal van Reynolds er één te kiezen, welke in formulevorm gegeven wordt door (genaamd de ITTC-57 wrijvingslijn):

10 2

0.075

( log - 2)FC

Re

Voor het specifieke Reynoldsgetal geldend voor de stroming rond het model wordt de wrijvingsweerstand voor het model bepaald met behulp van:

21

2Fm m m FmR V A C

Waarin: Vm modelsnelheid (m/s)

Am nat oppervlak romp (m2)

CFm wrijvingscoëfficiënt model

De restweerstand van het model wordt gevonden door deze wrijvingsweerstand van de totale weerstand af te trekken, volgens:

Rm Tm FmR R R

De restweerstand bevat nu twee componenten:

1. Golfmakende weerstand (golfweerstand); 2. Vormweerstand.

De prototype (ware grootte schip, vanaf nu aangegeven met het symbool ‘s’) restweerstand wordt nu gevonden door de restweerstand om te schalen volgens (waarbij aangenomen wordt dat zowel de golfmakende weerstand als de vormweerstand correct schalen volgens de modelwet van Froude):


34

3

Rs Rm LR R

De wrijvingsweerstand voor het prototype wordt gevonden door met het daar geldende Reynolds getal de wrijvingscoëfficiënt in prototype omstandigheden uit te rekenen en met behulp daarvan de wrijvingsweerstand met de prototype snelheid en nat oppervlak.

21

2Fs s s FsR V A C

De totale weerstand van het schip op ware grootte is dan:

Ts Rs FsR R R

Hetzelfde resultaat wordt bereikt door te werken met weerstandscoëfficiënten. Het volgende stappenplan kan dan gevolgd worden:

1. Bepaal de totale weerstandscoëfficiënt uit de gemeten scheepsweerstand:

21

2

TmTm

m m m

RC

V S

2. Bepaal de wrijvingscoëfficiënt van het model door middel van de ITTC-57 wrijvingslijn:

2

10

0.075

log 2

m mm

m

Fm

m

V LRe

CRe

3. Bepaal de restweerstandscoëfficiënt van het model:

Rm Tm FmC C C

4. Bepaal de restweerstandscoëfficiënt van het ware grootte schip:

Rs RmC C

5. Bepaal de wrijvingscoëfficiënt van het ware grootte schip door middel van de ITTC-57 wrijvingslijn:

2

10

0.075

log 2

s ss

s

Fs

s

V LRe

CRe

6. Bepaal de totale weerstandscoëfficiënt uit de gemeten scheepsweerstand:

Ts Fs RsC C C

7. Bepaal de totale weerstand van het echte schip:

21

2Ts Ts s s sR C V S

Beide methode geven hetzelfde resultaat, de methode via de coëfficiënten vergt i.h.a. iets minder rekenwerk.


35

Vaak wordt er nog rekening gehouden met een extra weerstand ten gevolge van de huidruwheid voor echte schip in vergelijking met scheepsmodellen in de sleeptank. Deze ‘roughness allowance coefficient’ wordt meestal als volgt gedefinieerd:

0.0004FC

Ts Fs Rs FC C C C

Behalve de weerstand van schepen worden ook vele andere eigenschappen van het uiteindelijk te bouwen schip bepaald met modelproeven. Te denken valt hierbij bijvoorbeeld aan het gedrag van het schip in zeegang. Zoals bekend verondersteld mag worden is het wateroppervlak op zee slechts zelden rustig. In de meeste gevallen doet zich er in meer of mindere mate golfvorming voor: door de wind wordt het wateroppervlak verstoord en er ontstaan golven. Het is tegenwoordig in vele gevallen belangrijk te weten hoe het schip zich in deze golven zal gedragen. Het schip gaat onder invloed van de golven bewegen en hierdoor kan de veiligheid van schip, bemanning en lading in het geding komen. Om het gedrag van schepen in golven te bepalen wordt naast de beschikbare rekenmodellen, nog steeds veel gebruik gemaakt van modelproeven. Deze worden uitgevoerd in een sleeptank, net als de weerstandsproeven. Hierbij wordt het model van het schip in modelgolven gelegd en voortgesleept en de resulterende bewegingen bepaald. Hiertoe wordt de modelwet van Froude gebruikt omdat de oorzaak van de bewegingen gelegen is in de druk-, traagheids- en zwaartekracht. Viskeuze problemen spelen meestal geen rol.

2.7 Extrapolatiemethode volgens ITTC-78 Deze method is zeer vergelijkbaar met de method van Froude hierboven beschreven. Het enige verschil is dat in plaats van de vormweerstand onder te brengen bij de golfweerstand in de zogenaamde restweerstand RR, wordt nu vormweerstand opgeteld bij de wrijvingsweerstand om zo de viskeuze weerstand RV te vormen. Dan blijft de

golfmakende weerstand RW (wave making resistance) over als losse component. Nu geldt voor de totale

weerstand:

1T W V W FR R R R k R

Waarin: RT totale weerstand (N)

RW golf(makende) weerstand (N)

RV viskeuze weerstand (N) RF wrijvingsweerstand (N)

kRF vormweerstand (N)

k vormfactor

Deze methode geeft een betere onderverdeling van de weerstandscomponenten, daar nu de vormfactor ingedeeld is bij de wrijvingsweerstand. Beide componenten zijn immers afhankelijk van de viscositeit van het water. Dit verbetert dan ook de resultaten van de weerstandsextrapolatie. Echter wel dient de vormfactor extra bepaald te worden, deze wordt aangenomen constant te zijn voor model en ware grootte schip en onafhankelijk van de scheepssnelheid. De weerstandsmetingen en –extrapolatie worden nu als volgt uitgevoerd.

1. Wederom worden de weerstandsmetingen uitgevoerd bij hetzelfde Froude getal als het schip.

2. Bepaal de wrijvingscoëfficiënt van het model door middel van de ITTC-57 wrijvingslijn:

2

10

0.075

log 2

m mm

m

Fm

m

V LRe

CRe


36

3. Bepaal de vormfactor k (meestal met de Prohaska methode, zie hieronder);

4. Bepaal de totale weerstandscoëfficiënt van het model uit de gemeten weerstand:

21

2

TmTm

m m m

RC

V S

5. Bepaal de golfmakende weerstandscoëfficiënt:

1Wm Tm FmC C k C

6. Bepaal de golfmakende weerstandscoëfficiënt van het ware grootte schip:

Ws WmC C

7. Bepaal de wrijvingscoëfficiënt van het ware grootte schip door middel van de ITTC-57 wrijvingslijn:

2

10

0.075

log 2

s ss

s

Fs

s

V LRe

CRe

8. Bepaal de totale weerstandscoëfficiënt uit de gemeten scheepsweerstand, gebruik hiervoor dezelfde

vormfactor k:

1Ts Fs WsC k C C

9. Bepaal de totale weerstand van het echte schip:

21

2Ts Ts s s sR C V S

Ook wordt bij deze methode rekening gehouden met een ‘surface roughness allowance’ en tevens wordt er een luchtweerstandscoëfficiënt voorgeschreven. Voor meer details wordt verwezen naar ‘Principles of Naval Architecture – Ship Resistance and Flow’ door Larsson en Raven (2010) en naar de ITTC Recommended Procedures en Guidelines (ittc.sname.org). De vormfactor k kan op verschillende manieren bepaald worden. Hier worden twee mogelijkheden besproken.

2.7.1 Empirische formule

De meest populaire empirische formule wordt toegeschreven aan Watanabe:

20.095 25.6 BC

kL B

B T

Deze formule kan alleen gebruikt worden als bij de extrapolatie van de ITTC-57 wrijvingslijn gebruik gemaakt wordt (zoals hierboven). CB is de blokcoëfficient, L de loodlijnlengte, B de breedte op de waterlijn, T de

diepgang.

2.7.2 Prohaska methode

Deze methode wordt het meest toegepast en wordt toegeschreven aan Prohaska. De methode is gebaseerd op de aanname dat de golfmakende weerstandscoëfficiënt in het lage snelheidsgebied proportioneel is met het Froude getal tot de vierde macht. Dat zou typisch voor Froude getallen tussen 0.1 en 0.2 gelden. Deze aanname wordt ondersteund door het werk van Wigley met gesimplificeerde scheepsmodellen dat in het hoofdstuk


37

hiervoor genoemd is bij de beschrijving van de golfmakende weerstand. Nu kan de totale weerstand geschreven worden als:

4

11T FC k C k Fr

Delen door CF geeft:

4

11T

F F

C Frk k

C C

Dit geeft een rechte lijn in de Prohaska plot in Figuur 33 (let op de assen, Fn is hier het Froude getal). De

punten in de garfiek geven individuele meetpunten aan. De zwarte lijn is een gefitte lineaire lijn op deze meetpunten. De verticale locatie van het snijpunt van deze lijn met de verticale as (Fr4/CF = 0) geeft de factor 1

+ k. De helling van de lijn komt overeen met k1, echter deze waarde heeft geen verder praktisch belang. Bij hoge

snelheden blijkt het verband niet meer volgens de vierde-macht van het Froude getal te lopen. Deze data dient dan ook niet meegenomen te worden in de lineaire fit. Ook bij de hele lage snelheden klopt het verband niet. Dit heeft te maken met het feit dat bij hele lage snelheden de stroming rond het model nog niet volledig turbulent ontwikkeld is, maar nog gedeeltelijk laminair. Dit geeft afwijkingen in de gemeten weerstand. Ook deze punten dienen niet meegenomen te worden in de lineaire fit.

Figuur 33 Voorbeeld van een Prohaska plot


38

2.8 Overige hydromechanische modelproeven Ook heel andere modelproeven met schepen zijn denkbaar. Veelal is het tegenwoordig van belang te weten hoe een bepaald schip zich gedraagt in de haven of in de aanloop naar een haven uit het oogpunt van navigatorische situaties die zich voor kunnen doen. Ook hiertoe worden modelproeven gebruikt waarbij aan schaalmodellen gemeten wordt om het stuurgedrag van het schip te voorspellen. Ook bij deze proeven wordt de modelwet van Froude gevolgd, ook al kunnen viskeuze invloeden hier een grotere rol spelen. De extrapolatie van al deze proefresultaten levert geen problemen op omdat door de modelwet van Froude aan de dynamische gelijkvormigheid is voldaan. Voor deze proeven gelden de volgende schaalfactoren, uitgaande van een gekozen lineaire schaal voor het model. model prototype

schaal lengte Lm (gekozen)

schaal oppervlakte 2 2

L L Lm

schaal inhoud 3 3

L L L Lm

schaal snelheid L

m

s (modelwet van Froude)

schaal tijd 1

L L

L

ss m

m

schaal versnelling L

2 2

L

m1

s ( )

schaal kracht 3 3

2

m1

sL Lkg


39

3 Voortstuwing 3.1 Lift In een eerder hoofdstuk is de weerstand van lichamen in een uniforme stroming behandeld. Het is echter niet zo dat voorwerpen die zich ten opzichte van een omringend medium verplaatsen alleen maar een weerstand ondervinden. Zoals aangetoond werken op een lichaam geplaatst in een uniforme stroming van een ideale vloeistof geen resulterende krachten in de richting van de stroming: er is geen weerstand. Dit geldt zolang het lichaam zich niet bevindt in de onmiddellijke nabijheid van een vrij vloeistof oppervlak. Het is echter mogelijk om in een ideale stroming krachten te vinden welke loodrecht op de stromingsrichting staan. Zo een kracht noemen we: liftkracht. De eigenschap van speciaal gevormde lichamen om onder specifieke omstandigheden een liftkracht op te wekken is in de techniek van groot belang. Dit zal in het hierna staande worden toegelicht. Beschouw Figuur 34 waarin de stroming wordt weergegeven rond een in een ideale vloeistof geplaatste vleugel. Het stromingsbeeld is tweedimensionaal. De vergelijking van Bernouilli kan worden gebruikt om het ontstaan van de lift te verklaren. De stroming wordt verondersteld stationair te zijn zodat de stroomlijnen zoals geschetst in de figuur de banen van de vloeistofdeeltjes weergeven. De vloeistofstroom wordt door de aanwezigheid van het vleugelprofiel in twee gedeelten gesplitst: het ene gedeelte passeert de vleugel aan de bovenzijde het andere gedeelte aan de onderzijde. De getoonde stroomlijnen zijn gevonden door experimentele bepaling maar zijn overigens ook te berekenen uit potentiaal theoretische beschouwingen. Uit de tekening kunnen we aflezen dat de stroming aan de bovenkant in doorsnede beperkt wordt van S naar SL. Aangezien de vloeistof onsamendrukbaar wordt verondersteld geldt de

continuïteitsbetrekking en dit impliceert dat de snelheid aan de bovenkant van de vleugel toeneemt en wel het meest daar waar de stroomlijnen het sterkst convergeren. De snelheid daar ter plaatse is dus groter dan in de vrije vloeistofstroming. Volgens de Wet van Bernouilli moet dit betekenen dat de druk daar ter plaatse afneemt. De grootste onderdruk treedt op aan de voorkant van de vleugel. Naar achteren toe bouwt de druk zich langzaam weer op. Beschouwen we het gedeelte aan de onderzijde van de vleugel dan vinden we dat het doorstromingsoppervlak hier groter wordt, de snelheid neemt derhalve af en de druk toe ten opzichte van de statische druk in de vrije stroming.

S

S

SW

SL


40

De drukverdeling over de vleugel ziet er ongeveer uit zoals in Figuur 35. De resulterende druk aan de bovenzijde is lager dan de statische druk en aan de onderzijde hoger. De integratie van de resulterende druk over het oppervlak van de vleugel levert een netto kracht omhoog: de lift.

3.2 Het ontstaan van lift In het geval van een oneindig lange vleugel in een ideale (dus wrijvingsloze) vloeistof staat deze resulterende kracht loodrecht op de aanstromende vloeistof richting. In werkelijkheid hebben we evenwel met ideale vloeistoffen nooit te maken en is er altijd een invloed van de viscositeit, hoewel soms gering. De aanwezigheid van enige vorm van viscositeit is zelfs voorwaarde om tot lift op een lichaam te komen. Hierop zal later iets verder worden ingegaan. Een andere beschouwingswijze om tot de lift op een vleugel te komen wordt in de theoretische beschouwingen over vleugels veelvuldig gebruikt. Hierbij wordt de resulterende stroming rond een vleugel beschouwd te zijn opgebouwd uit twee type stromingen: een homogeen aanstromende vloeistofstroom met uniforme constante snelheid, en een circulerende stroming rond de vleugel. Deze circulerende stroming kan men zich voorstellen als een roterende stroming rond een denkbeeldig middelpunt waarvan de snelheid afneemt met de reciproque waarde van de afstand tot het middelpunt. De stroming voldoet aan (waarin r de afstand tot het middelpunt

voorstelt):

constante CV

r

Een circulerende stroming ziet er uit zoals geschetst in Figuur 36. Naar de kern toe wordt de snelheid steeds hoger en in de kern theoretisch zelfs oneindig hoog. Volgens de wet van Bernouilli moet dit tevens gepaard gaan met een verlaging van de druk. Dit beeld vertoont veel gelijkenis met dat van een windhoos: de zeer hoge windsnelheid en de zeer lage druk worden ook in de kern van zo'n windhoos waargenomen. Ook depressies zijn in principe wervelsystemen en vertonen een vergelijkbaar karakter zoals uit de vele satellietfoto's inmiddels genoegzaam bekend is. Wervels in een of andere gedaante komen in de natuur zeer vaak voor. De combinatie van deze beide geschetste stromingsbeelden, de uniforme stroming en de circulatie stroming, leidt tot hetzelfde stromingsbeeld zoals gegeven in de eerdere figuur. De stroomsnelheden en richtingen van beide stromingen worden in elk punt van de stroming bij elkaar opgeteld. Door de circulatie wordt de resulterende stroming boven de vleugel versneld en onder de vleugel vertraagd. Deze beschrijving van het stromingsbeeld wordt in de theoretische beschouwingen veel gehanteerd, daar beide stromingen wiskundig goed te manipuleren zijn.


41

Dat deze beschouwingswijze voor de stroming rond een vleugel niet uitsluitend een mathematische beschrijving van de werkelijkheid is, maar wel degelijk ook een fysische betekenis heeft, moge blijken uit de experimenten van Magnus. Deze toonde aan dat men zich een circulerende stroming kan denken te ontstaan rond een in een vloeistof roterende cilinder (Figuur 37).

Wordt deze cilinder nu blootgesteld aan een uniforme stroming dan ontstaat er een liftkracht loodrecht op het vlak door de as van de cilinder en de richting van de aankomende stroming. Dit verschijnsel wordt in de literatuur algemeen aangeduid met het Magnus effect. Flettner construeerde indertijd een voortstuwings-installatie op een schip gebaseerd op dit Magnuseffect, waarbij een tweetal rotors gebruikt werden als voortstuwende elementen. Met de wind van opzij was de liftkracht op de rotors recht naar voren gericht en kon het schip hiermee voortgestuwd worden. Het schip vertoonde op deze manier gelijkenis met een zeilschip, met dien verstande dat de rotors effectiever waren dan de zeilen. Het idee bewees in de praktijk te werken maar was commercieel geen succes. Een schets van een dergelijk schip is gegeven in Figuur 38. De grootte van de liftkracht wordt bepaald door de snelheid van de aankomende stroming en de snelheid van de circulerende stroming, kortweg aangeduid als de circulatie sterkte.

Figuur 38 Magnusrotor als scheepsvoortstuwing


42

De sterkte van de circulatie blijkt afhankelijk te zijn van de precieze vormgeving van de vleugel, waaronder begrepen de eventuele asymmetrie van de doorsnede, het plan-vorm van de vleugel en de effectieve invalshoek van de stroming op de vleugel. De circulatie kan geschreven worden als:

02CV r

Combinatie van deze en de eerdere vergelijking levert:

2 constante

dat wil zeggen dat de circulatie een constante waarde heeft voor elk gesloten pad rond de kern van de wervel. Voor de lift per eenheid van spanlengte (b) van de vleugel valt nu te schrijven:

0

LV

b

ofwel:

0 0( 2 )C

LV V r

b

De resulterende lift is inderdaad afhankelijk van de snelheid van de aanstromende vloeistof en de circulatie rond de vleugel. Hieruit valt eenvoudig te destilleren wat een goede manier is om vleugel eigenschappen met elkaar te vergelijken, immers de lift blijkt afhankelijk te zijn van een product van twee snelheden. Een dimensieloze presentatie van de liftkracht wordt derhalve gevonden door deze te delen door de stuwdruk en het oppervlak van de vleugel volgens:

21

2

=L

LC

V A

In het hoofdstuk over modelwetten hebben we gezien dat hier sprake is van Newton’s modelwet voor lichamen in een uniforme stroming. De coëfficiënt CL bevat nu de specifieke lift-producerende eigenschappen van de vleugel afhankelijk van

vormgeving en invalshoek en andere van belang zijnde parameters. Door deze coëfficiënt bijvoorbeeld op modelschaal te meten kan voor elke andere vleugel met afwijkende afmetingen de lift bepaald worden. De beschouwingen gelden in principe voor ideale vloeistoffen, dus zonder de invloed van de viscositeit. Echter om het ontstaan van circulatie te verklaren is het in de beschouwing betrekken van deze viscositeit onontbeerlijk gebleken. Volgens een hier niet te bewijzen theorema van Kelvin voor ideale vloeistoffen is de hoeveelheid circulatie in een vloeistof constant. Dat betekent dat in een vloeistof waar geen circulatie is ook geen circulatie kan ontstaan of deze moet gecompenseerd worden door een even grote circulatie met tegengesteld teken. Circulatie moet dus door een of ander mechanisme in de vloeistof gebracht worden. Bij de Magnus rotor geschiedt dit door het roteren van de cilinder en de viscositeit van de omringende vloeistof waardoor deze uiteindelijk een circulerend stromingsbeeld te zien geeft. Bij een vleugel geschiedt dit op een andere manier. Beschouw daartoe een vleugel in rust in een stilstaande vloeistof. In deze situatie is er geen circulatie. Plotseling zet de vleugel zich in beweging. Het stromingsbeeld rond de vleugel ziet er dan in eerste instantie uit zoals bovenaan in Figuur 39. Het stuwpunt aan de voorzijde ligt iets aan de onderkant het stuwpunt aan de achterzijde ligt iets aan de bovenzijde op de "rug" van de vleugel. Dit impliceert dat de vloeistofdeeltjes rond de scherpe achterrand van de vleugel moeten stromen en dat kan alleen met een relatief hoge snelheid (en versnelling).


43

Dit is het beeld dat zou ontstaan als we te maken hebben met een ideale wrijvingsloze vloeistof. In een viskeuze vloeistof echter is het onmogelijk om deze scherpe achterrand zo te omstromen, ten gevolge van de optredende schuifspanningen. De stroming breekt af bij de achterrand van de vleugel en daar ter plaatse ontstaat een wervel welke de circulatie in de stroming brengt. Deze wervel wordt in de literatuur de startwervel genoemd, omdat zij gelet op het theorema van Kelvin het ontstaan van de circulatie rond de vleugel inluidt. De circulatie rond de vleugel ontstaat nu in tegengestelde richting t.o.v. de startwervel. Het principe lijkt veel op de analogie in de mechanica waar een momentum in rotatie niet kan ontstaan zonder dat een tegengesteld momentum wordt opgewekt volgens het principe actie = reactie.

Bij elke verandering van de lift van een vleugel en dus van de circulatie ontstaat er opnieuw een startwervel. Het bestaan van de startwervel is door vele experimenten aangetoond en is dus niet slechts een theoretisch bedenksel om het ontstaan van de circulatie te verklaren. De viscositeit van de reële vloeistoffen veroorzaakt tevens een kleine weerstandskracht, zodat een oneindig lange vleugel in een twee dimensionale stroming toch een kleine weerstand ondervindt, deze is vele malen kleiner dan de liftkracht.

3.3 Drie dimensionale vleugels en geïnduceerde weerstand Tot hiertoe is gesproken over twee dimensionale stromingen zoals we die uitsluitend aantreffen bij oneindig lange vleugels. In de praktijk is hiervan uiteraard nooit sprake, hoewel de zeer lange en slanke vleugels van bijvoorbeeld een zweefvliegtuig wel als zodanig beschouwd mogen worden. Voor vleugels met een eindige spanlengte geldt dat de stroming niet meer gelijkvormig is voor elk vlak in de aanstromingsrichting en loodrecht op de span van de vleugel, maar dat deze over de lengte van de span van de vleugel varieert: er ontstaan ook snelheidscomponenten langs de span van de vleugel. In dergelijke gevallen spreekt men van een drie dimensionale stroming. Voor het beschrijven van de geometrie van een vleugel wordt gebruik gemaakt van een standaard terminologie. De verhouding tussen de koorde van de vleugel en de span van de vleugel noemen we de aspectverhouding (AR) van de vleugel. Dit is een belangrijke parameter voor de bepaling van de vleugelkarakteristieken. Ter illustratie wordt verwezen naar Figuur 40.


44

Een belangrijk gevolg van de eindigheid van de span van de vleugel is het ontstaan van een extra weerstandscomponent en het verkleinen van de optredende circulatie bij een gegeven invalshoek. Deze vindt zijn oorzaak in het stromingspatroon in het gebied rond de vleugeltip. De hoge druk aan de onderzijde van de vleugel komt daarbij in contact met de lage druk zone aan de bovenzijde van de vleugel. Doordat aan het einde van de vleugel er geen barrière meer is tussen beide drukgebieden staan deze als het ware in een open verbinding met elkaar. Het gevolg hiervan is een druk uitwisseling en een resulterende stroming van de hoge drukzijde naar de lage drukzijde. Gesuperponeerd over de uniform aanstromende vrije vloeistofstroming ontstaat hier een wervel welke tipwervel wordt genoemd (Figuur 41). In de mathematische beschrijving van de stroming rond de vleugel zijn deze tipwervels ook een essentieel onderdeel aangezien de circulatie rond de vleugel beschouwd als wervel niet zomaar in de vloeistof kan eindigen, zoals is aangetoond met het Theorema van Helmholz. De tipwervels nu voeren de circulatie van de vleugel af naar oneindig achter de vleugel zodat aan dit theorema wordt voldaan. Ook hier weer blijkt de wervelbeschouwing van de vleugel geheel aan te sluiten bij het fysische beeld. Deze tipwervels kunnen in de praktijk worden waargenomen bij vliegtuigvleugels en ook bij schroefbladen. Deze afgaande tipwervels nu induceren als vrije wervels snelheden in de vloeistof. Door hun oriëntatie als aflopende wervel induceren zij een verticaal naar beneden gerichte snelheidscomponent over het profiel, waardoor de effectieve invalshoek van de aankomende stroming wordt verkleind, zoals in Figuur 42 en Figuur 43 staat weergegeven. Hierdoor neemt de lift af en draait de liftkracht ten opzichte van de ongestoorde stromingsrichting van de vloeistof over een kleine hoek, waardoor een component van de lift in deze stromingsrichting ontstaat: de geïnduceerde weerstand. Deze weerstandscomponent is dus ook aanwezig in een ideale vloeistof. De mate waarin de tipwervels de stroming beïnvloeden is afhankelijk van de sterkte van de circulatie rond de vleugel, want zij hebben de zelfde sterkte als de circulatie rond de vleugel en zijn dus afhankelijk van de grootte van de opgewekte lift en van de oppervlakte-span verhouding van de vleugel.

Figuur 40 Benamingen vleugel


45

3.4 Lift- en weerstandscoëfficiënten Samengevat blijkt een vleugel in een vloeistof zowel een liftkracht als ook een weerstandskracht te ontwikkelen. Deze laatste is opgebouwd uit een vormweerstandscomponent en een wrijvings-weerstandscomponent maar daarnaast in hoofdzaak uit een geïnduceerde weerstandscomponent, welke onlosmakelijk verbonden is met het genereren van de lift zelf, door vleugels met een eindige span. De afmetingen van de vleugel en de profieldoorsnede bepalen in hoge mate de lift- en weerstands-karakteristieken. Om vleugel- en profieldoorsneden onderling te kunnen vergelijken worden deze karakteristieken meestal gegeven in de volgende gedaante:

21

2

L

LC

V A

21

2

D

DC

V A

waarin: A het vleugel oppervlak = span x koorde

V de aanstroomsnelheid

de soortelijke massa van het medium

CL en CD zijn dan de lift- en weerstandscoëfficiënten van de onderzochte vleugel en zijn afhankelijk van de

profiel doorsnede, de aspectverhouding en de invalshoek. De karakteristieken van een vleugel worden veelal gegeven in de vorm van een aantal grafieken. De linker grafiek in Figuur 44 geeft het verloop van de liftcoëfficiënt als functie van de invalshoek over de vleugel. Het valt op dat de lift in eerste instantie lineair toeneemt met de invalshoek, totdat een maximum bereikt wordt, voor normale vleugels meestal gelegen tussen de 20 en de 30 graden. Daarna neemt de lift met het toenemen van de invalshoek snel af. Dit komt doordat de stroming het profiel niet meer kan volgen en er loslatingsverschijnselen ontstaan aan de lage drukzijde van de vleugel: de vleugel overtrekt.

Figuur 42 Wervelsysteem rond een vleugel en verticale geïnduceerde snelheid (w)

Figuur 43 Geïnduceerde weerstand


46

Terzelfder tijd neemt de weerstand van de vleugel echter sterk toe. Dit valt duidelijk waar de nemen uit de tweede figuur, waarin het verloop van de weerstandscoëfficiënt gegeven staat als functie van dezelfde invalshoek van de stroming. Tot aan de hoek waarbij de stroming loslaat neemt de weerstand ruwweg toe met het kwadraat van de invalshoek (en dus met de lift welke lineair met de invalshoek toeneemt) volgens:

0 0

2

i

LD D D D

CC C C C

AR

daarna neemt de weerstand aanzienlijk sterker toe. De weerstand die de vleugel ook bij die invalshoek waarbij geen lift geproduceerd wordt, ondervindt is de vormen wrijvingsweerstand van de vleugel. De invloed van de eerder genoemde aspectverhouding op zowel de lift als de weerstand valt af te lezen uit Figuur 45. De toename van de lift en de afname van de geïnduceerde weerstand bij toenemend aspectverhouding zijn evident. Opvallend is echter dat de vleugel met hoge aspectverhouding bij veel kleinere invalshoek reeds overtrekt, een in vele technische toepassingen nadelige eigenschap. In vele technische toepassingen speelt de lift-weerstand verhouding van een vleugel een belangrijke rol: veelal wordt de lift gewenst om een of ander doel te bereiken en moet de weerstand daarbij overwonnen worden; er moet een zo groot mogelijke lift geproduceerd worden ten koste van zo weinig mogelijk weerstand. De verhouding CL/CD is dan belangrijk en deze kan gepresenteerd worden als functie van de invalshoek zoals in

Figuur 46.

Figuur 44 Lift- en weerstandskarakteristieken


47

Figuur 45 Invloed aspectverhouding op CL en CD


48

3.5 Praktische toepassingen van lift In de meeste praktische toepassingen is rond het werkpunt van het systeem de lift vele malen groter dan de weerstand. Er zijn vele technische toepassingen waarbij gebruik gemaakt wordt van het vermogen van een vleugel om een kracht loodrecht op de stromingsrichting op te wekken. Te denken valt hierbij aan:

vliegtuigen sturen van schepen: het roer scheepsvoortstuwing: scheepsschroeven turbines windmolens draagvleugelboten zeilen op schepen etc. etc.

De eerste twee toepassingen zullen hieronder kort belicht worden. Daarna komt de toepassing van lift voor scheepsvoortstuwing aan bod.

3.5.1 Vliegtuigen

Het meest sprekende voorbeeld van een technische toepassing van een vleugel is bij een vliegtuig. Een principe schets van een doorsnee vliegtuig is gegeven in Figuur 47. Normaliter bestaat een vliegtuig uit een romp met een stel grote horizontale vleugels voor en een stel kleinere horizontale vleugels achter plus een verticaal staartvlak. Doordat de vleugels onder een hoek worden aangestroomd en bovendien meestal asymmetrisch van vorm zijn, ontwikkelen zij een grote liftkracht omhoog waarmee het gewicht van het toestel gedragen kan worden. In het algemene geval dienen de vleugels vóór om het gewicht van het toestel te dragen en achter om de stabiliteit van het vliegtuig bij plotselinge veranderingen van de evenwichtssituatie ten gevolge van bijvoorbeeld windsnelheids- en richtingsveranderingen te garanderen. Om een zo efficiënt mogelijk gebruik van het toestel te maken is het wenselijk dat een zo groot mogelijke last bij een zo klein mogelijke weerstand wordt gedragen. Dit impliceert dat in de ontwerpconditie meestal wordt gestreefd naar een zo gunstig mogelijke lift weerstand verhouding. De hoge aspectverhouding van de vleugels welke het zwaarst belast worden is daaruit te verklaren, dit garandeert een hoge lift ten koste van geringe geïnduceerde weerstand.


49

Dat de vleugels niet oneindig lang worden vindt zijn oorzaak in ondermeer de constructieve beperkingen: een lange vleugel wordt zwaarder om het torsie en buigend moment op te vangen en in het feit dat geïnduceerde weerstand niet de enige weerstands component is. Tijdens het opstijgen als het gewicht van het toestel, ten gevolge van de volle tanks, het grootst is, moet, om het toestel van de grond omhoog te tillen, een lift ontwikkeld worden welke groter is dan het gewicht van het toestel. Bij de relatief lage snelheid waarmee dit gebeurt betekent dit dat de CL waarde van de vleugels hoog moet zijn. Immers:

21

2

LL V A C

Om een zo groot mogelijke circulatie te verkrijgen wordt behalve een aanzienlijke invalshoek van de vleugels ook de profiel doorsnede hiervan verder geoptimaliseerd door het gebruik van flappen. De invalshoek, benodigd voor het opstijgen, wordt verkregen door de staart van het vliegtuig met het staartvlak naar beneden te drukken. Het staartvlak levert dus negatieve lift welke het gewicht van het toestel schijnbaar vergroot. Het zal duidelijk zijn dat de stand die het toestel aanneemt ten opzichte van het horizontale vlak groter is dan de hoek die de uiteindelijke baan die het toestel aflegt daarmee maakt. Tijdens het dalen moet de snelheid zodanig gereduceerd worden dat het toestel binnen de baanlengte tot stilstand kan worden gebracht. Het totaal gewicht van het toestel is over het algemeen lager en bovendien is de totale lift lager dan het gewicht zodat relatief minder hoge liftcoëfficiënten benodigd zijn dan bij het stijgen. Het streven is echter om met een zo laag mogelijke snelheid aan de grond te komen. De combinatie van de relatief lage voorwaartse snelheid met de daalsnelheid maakt echter dat de invalshoeken over de vleugel hoge waarden kunnen bereiken. De weerstand speelt in deze situatie een meer ondergeschikte rol dan bij het opstijgen, aangezien het toestel toch vertraagd moet worden. Bij het stijgen wordt het profiel van de vleugel dus zo aangepast met behulp van flappen dat een hoge lift bij geringe weerstand kan worden bereikt. Bij het dalen wordt de geometrie door flappen zo aangepast dat naast een hoge liftcoëfficiënt ook een hoge overtrekhoek wordt gerealiseerd. Bij het toenemen van de hoogte verandert ook , de soortelijke massa van de lucht. Daar deze een wezenlijke

bijdrage levert aan de weerstand is het mogelijk op grotere hoogte hogere snelheden te behalen. Om dezelfde liftkracht te genereren is dat dan ook nodig.

3.5.2 Sturen van schepen

Om bijvoorbeeld schepen (maar ook vliegtuigen) van koers te doen veranderen is het noodzakelijk een moment in de gewenste richting op te wekken. Beperken we ons tot schepen. Om dit moment op te wekken wordt gebruik gemaakt van een verticaal geplaatste vleugel op zo groot mogelijke afstand van het zwaartepunt van het schip, meestal aan de achterzijde (Figuur 48, Figuur 49). Door de voorwaartse snelheid van het schip en de oriëntatie van de vleugel wordt bij het geven van een kleine roerhoek een grote dwarskracht en dus een moment ten opzichte van het zwaartepunt opgewekt, welke het schip van koers doet veranderen. De extra weerstand die door het roergeven wordt veroorzaakt moet zo klein mogelijk zijn, vandaar dat indien mogelijk voor zo efficiënt mogelijke vormgeving van het roer wordt zorggedragen (grote aspectverhouding). Hieraan is echter een praktische grens aangezien ook met grote roerhoeken gewerkt moet kunnen worden om een gewenst moment op te wekken vooral als de voorwaartse snelheid van het schip gering is. Derhalve mag het roer niet te snel overtrekken. Immers:

21

2LL V A C


50

Een lage voorwaartse snelheid impliceert een hoge invalshoek om een bepaalde dwarskracht te kunnen opwekken. Uit een eerdere figuur ten aanzien van de invloed van het aspect getal op de liftkarakteristiek bleek echter al dat een hoog aspect getal het risico van overtrekken vergroot. Het haalbare moment bij lage snelheden blijft echter kleiner dan bij hoge snelheid en de manoeuvreerbaarheid van schepen is bij lage snelheden dan ook beduidend minder. Voor het manoeuvreren in havens waarbij over het algemeen met lage snelheden gevaren wordt is dit een ernstige handicap. Veelal zal men trachten een minimale snelheid ook in die omstandigheden vol te houden i.v.m. de manoeuvreereigenschappen. Het minimale roeroppervlak wordt dan ook onder andere bepaald uit deze overwegingen. Bij hoge snelheden kan dan volstaan worden met relatief kleine roeruitslagen. Zeer snel varende schepen kunnen volstaan met relatief kleine roeren.

3.6 Scheepsvoortstuwing Een andere toepassing van vleugels vinden we bij het voortstuwen van schepen. Om het schip een snelheid te geven ten opzichte van het omringende water is het noodzakelijk dat op het schip een kracht in die richting wordt uitgeoefend: de stuwkracht. Deze stuwkracht kan in principe worden opgewekt door gebruik te maken van een op verschillende wijze opgewekte reactiekracht van het water op een bewegend (aangedreven) lichaam. We onderscheiden voortstuwing door middel van weerstand en voorstuwing door middel van lift.

3.6.1 Voortstuwing door middel van weerstand

Bij deze manier van voortstuwen kunnen we onder meer denken aan de weerstand die roeiriemen of paddle's (Figuur 50) ondervinden bij een geforceerde beweging door het water tegen de gewenste bewegingsrichting van het schip in. Door de reactiekracht kan het schip aldus worden voortgestuwd.

Figuur 48 Plaatsing van het roer


51

De snelheid waarmee het blad door het water gehaald wordt is in hoge mate bepalend voor de opgewekte weerstandskracht, aangezien de weerstand evenredig is met de het kwadraat van de relatieve snelheid tussen blad en water. Vandaar dat lange horizontaal bewogen roeiriemen meer stuwkracht kunnen leveren dan een korte verticale paddle. Naarmate het schip sneller vaart is een grotere snelheid van het blad nodig om dezelfde relatieve snelheid tussen blad en omringende water te handhaven. Aangezien de slag van de roeier beperkt is moet het tempo worden opgevoerd. Het scheprad (Figuur 51) is in principe een ring van paddle's welke met een niet geringe hoeksnelheid om een dwarsscheeps geplaatste horizontale as draait. In zijn eenvoudigste uitvoering zijn de paddle's gefixeerd aan de ring wat stand betreft.Voor een groter rendement werden zij ook wel tijdens het draaien van de ring zodanig verdraaid dat zij "stootloos" het water in- en uittreden waarbij een zo groot mogelijk geprojecteerd oppervlak gerealiseerd wordt. Door de bladen tijdens het omwentelen van het gehele rad van stand te doen veranderen is het mogelijk om een optimale stand van het blad ten opzichte van de relatieve snelheidsvector te realiseren. Zo kan onder meer ook tijdens een gedeelte van het ondergedompelde traject lift geproduceerd worden. Dit blijkt ondermeer uit de beschouwing van de figuur, waarin in een drietal situaties de relatieve snelheid tussen water en blad geschetst staan. Dit leidt langzaam tot het concept van een normale schroef zoals hierna te bespreken. Beperkingen aan de breedte van het vaartuig leidden er toe dat het "paddle-wheel" later aan de achtersteven van het schip bevestigd werd, zoals dat bekend is van de stoomboten op de Amerikaanse rivieren. Het overall rendement van dit soort voortstuwing, dat is de verhouding tussen het

effectief geleverde voortstuwingsvermogen en het toegeleverde vermogen, is over het algemeen niet erg hoog.

3.6.2 Voortstuwing door middel van lift

Dit principe wordt toegepast bij de bekende scheepsschroef. De karakteristieken van een scheepsschroef kunnen goed begrepen worden door deze te beschouwen als een serie vleugels (bladen) geplaatst op een as. Beschouwen we daartoe de geometrie van een schroef zoals weergegeven in Figuur 52. De schroef is opgebouwd uit een naaf met daarop onder een hoek geplaatst een aantal bladen. De hoek die de bladen met de langsas door de naaf maken is belangrijk. Deze wordt de spoedhoek van het blad genoemd en staat gedefinieerd in de figuur. De spoed van de schroef wordt gedefinieerd door de voorwaartse beweging van een blad tijdens een gehele omwenteling van de schroef. De dimensieloze weergave hiervan, die normaal gebruikt wordt, is de spoedverhouding. Dit is de spoed P gedeeld door de diameter van de schroef: P/D.


52

Door de rotatie van de as, daartoe aangedreven door de hoofdmotor van het schip, transleren de bladen door het water. Elk radiaal stripje van het blad doet dat met een andere snelheid afhankelijk van zijn afstand tot het hart van de as en het toerental van de as.

Lichten we nu een stripje eruit op een kenmerkende afstand van de as en beschouwen we die als representatief voor het blad. De afstand van dit blad-elementje tot het hart van de as nemen we op 70 % van de straal. Dit

elementje staat weergegeven in de onderstaande figuur.

Figuur 53 Afgelegde weg van bladelementje en spoed


53

Figuur 54 Snelheden en lift en weerstand op een bladelement

Figuur 55 Snelheden en stuwkracht en askoppel op een bladelement

De bladdoorsnede is een vleugelprofiel. De snelheid en de aanstroomrichting van het water worden nu bepaald door verschillende snelheidsvectoren welke gesuperponeerd moeten worden. Dit zijn:

De translatiesnelheid van de schroef in de lengterichting van het schip ten gevolge van de voorwaartse snelheid van het schip, V0;


54

de translatiesnelheid van het bladelement ten gevolge van de rotatie van de schroef rond de as, 2πnr, waarin n het toerental in omwentelingen per seconde en r de afstand van het bladelement tot de naaf;

de door de krachten op de bladen geïnduceerde snelheden.

Uit Figuur 54 en Figuur 55 blijkt dat beide eerste snelheidscomponenten, waartoe we ons nu zullen beperken, in principe loodrecht op elkaar staan. De relatieve grootte van beide componenten bepaalt nu de invalshoek en de aanstroomsnelheid van het water op het bladelementje (velocity of water relative to blade). Net als een vleugel ontwikkelt het element van het schroefblad zo een liftkracht loodrecht op de inkomende stroming en een weerstandskracht parallel aan de inkomende stroming (Figuur 54). Zoals inmiddels bekend worden deze in hoge mate bepaald door de invalshoek en de snelheid van de stroming alsmede door de bladgeometrie en profiel. De resulterende kracht (Fblade) kan ontbonden worden in een component in de lengterichting van het schip,

welke door de daadwerkelijke voortstuwing zorg draagt en een component loodrecht op de as, welke een aandeel levert in een askoppel nodig om de schroef rond te draaien (Figuur 55). Datzelfde geldt uiteraard voor de weerstand, met dien verstande dat de bijdrage aan de stuwkracht negatief is en er een ‘positieve’ bijdrage aan het benodigde askoppel is. De effectieve invalshoek, aangegeven met het symbool in Figuur 54 en Figuur 55 , van de stroming moet in

principe beneden de overtrekhoek van het profiel blijven maar kan ook niet te klein zijn daar anders niet voldoende lift wordt geleverd. Dit impliceert dat voor een optimale invalshoek de spoedhoek van het blad-elementje over de span van het blad moet variëren, aangezien de afstand tot het hart van de as toeneemt en daarmee de snelheidscomponent ten gevolge van de rotatie immers:

Translatie snelheid 2 nr

Bij normale schroeven is dus altijd sprake van een spoedverloop over het blad, de elementjes van het blad verder gelegen van het hart van de as krijgen een kleinere spoedhoek omdat de aanstroomsnelheid steeds meer radiaal inkomt.

3.6.3 Open water schroefdiagram

De onderlinge verhouding tussen de voorwaartse snelheid van het schip, het toerental van de schroef en de spoed van de schroef zijn bepalend voor de grootte van de stuwkracht en het benodigde askoppel van de schroef. Daar de geleverde stuwkracht op zijn beurt weer de resulterende voorwaartse snelheid van het schip bepaalt en het benodigde vermogen van de motor weer afhangt van het koppel en toerental, zal het duidelijk zijn dat het ontwerpen van een goede schroef voor elk schip opnieuw moet geschieden. Een hulpmiddel daarbij zijn de ‘open water’ schroefdiagrammen ontleend aan modelproeven met een groot aantal systematisch gevarieerde schroeven. De aanduiding ‘open water’ slaat op het feit dat deze gegevens zijn gemeten op een schroef in afwezigheid van het schip. Typisch wordt hierbij de schroef op een as geplaatst die aangedreven wordt vanuit een gestroomlijnde gondel en dit geheel wordt gesleept in de sleeptank. In de meeste gevallen bevindt de gondel zich achter de schroef, zodat de omstroming van de schroef zo weinig mogelijk gehinderd wordt. In open water schroefdiagrammen wordt gewerkt op basis van de snelheidsgraad:

0

VJ

n D

waarin: V0 voorwaartse snelheid schip (m/sec)

n omwentelingen/tijdseenheid (1/s) D schroefdiameter (m)

In de snelheidsgraad wordt de verhouding tussen voorwaartse snelheid en toerental vastgelegd. In het open water schroefdiagram wordt voor een bepaalde schroef met gegeven spoed, aantal bladen en bladoppervlakte, de stuwkracht, het benodigde askoppel en het rendement uitgezet op basis van de snelheidsgraad. Deze worden


55

gegeven in de vorm van dimensieloze coëfficiënten zodat ze voor schroeven van verschillende afmetingen te gebruiken zijn. Deze zijn:

De stuwkracht coëfficiënt: 2 4T

TK

n D

De askoppel coëfficiënt: 2 5

=Q

QK

n D

Het open water rendement geeft de verhouding tussen het stuwvermogen en het opgenomen vermogen van de schroef. Dit rendement kan bepaald worden door het vermogen dat geleverd wordt door de schroef te delen door het vermogen wat de schroef vraagt (van de schroef as). Vermogen is gedefinieerd als kracht maal snelheid voor translatiebewegingen en als rotatiesnelheid maal moment voor draaibewegingen. Dit geeft het volgende ‘open water rendement’:

Het open water rendement: 00

02 2

T

Q

TV K J

Q n K

Hierin is: T stuwkracht (N)

Q0 koppel (in open water) (Nm) n toerental (omw/s)

D diameter schroef (m)

V0 voorwaartse snelheid schip (m/s)

Een voorbeeld van zo'n schroefdiagram wordt gegeven in de volgende figuur:

Zo valt te zien dat bij een lage snelheid en een relatief hoog toerental (J is klein) zoals dat voorkomt bij het

accelereren van het schip de schroef een hoge stuwkracht levert ten koste van een hoog askoppel. De invalshoek op de bladen is groot, dat wil zeggen grote lift en dus ook weerstand. Het rendement is laag doordat


56

het product van stuwkracht en voorwaartse snelheid laag is. Bij toenemende snelheid en gelijkblijvend toerental neemt J toe en de invalshoek op de bladen af totdat een snelheid wordt bereikt waarbij de effectieve invalshoek

op de bladen nul wordt en er derhalve geen stuwkracht geleverd wordt. Het askoppel wordt echter niet gelijk aan nul door de vormen wrijvingsweerstand van de bladen. Het rendement is dus nul. Voor de beschouwde schroef wordt het optimale rendement bereikt bij J = 0.55 en bedraagt circa 40%.

Een aanzienlijk hoger rendement tot circa 65-70% is voor een schroef haalbaar.

Dit blijkt onder meer uit Figuur 57 waarin voor verschillende spoedverhoudingen van een schroef met gelijk aantal bladen en gelijk blijvend oppervlak van de bladen de waarden voor KT en KQ en o worden gegeven.

De optimale keuze van de schroef blijkt duidelijk afhankelijk te zijn van de omstandigheden waarin gevaren wordt, bijv. hoge of lage voorwaartse snelheid. Voor schepen die met sterk wisselende functies te maken hebben, zoals sleepboten en visserboten, kan het derhalve voordelig zijn om de spoed van de schroef te kunnen variëren. Dit heeft geleid tot de introductie van de schroeven met verstelbare bladen zodat de spoed aangepast kan worden aan de omstandigheden. Het open water schroef diagram zoals dat hier boven getoond is wordt veel gebruikt bij het bepalen van de juiste schroef voor een te bouwen schip. Het geeft de prestaties van een schroef zonder de aanwezigheid van het schip; vandaar de term “open water” . Er zijn een aantal zogenaamde “schroef series” bekend, waarbij deze schroefdiagrammen bepaald zijn van een familie van systematisch gevarieerde schroeven. Ook hier is het startpunt van de serie weer een “parent” schroef (moedermodel), waarvan vervolgens een aantal parameters, zoals aantal bladen, spoedverhouding, bladoppervlak etc. gevarieerd zijn . Van al die schroeven zijn dan vervolgens de openwater schroefdiagrammen bepaald.

Figuur 57 Schroefdiagram bij verschillende spoedverhoudingen

De meest bekende van al deze series is zonder meer de “Wageningen B Serie” zoals getest en ontwikkeld door het MARIN te Wageningen. De totale Wageningen B Serie bestaat inmiddels uit meer dan 210 verschillende schroeven, welke allemaal uitgebreid zijn getest en “doorgemeten”. En daarna gepubliceerd zodat iedereen deze schroefdiagrammen kan gebruiken voor zijn eigen schroefontwerp.


57

3.6.4 Interacties tussen schroef en schip

Het is echter een gegeven dat een schroef in werkelijkheid achter een schip werkt en dus niet in open water. Daarom zou de interactie tussen de schroef en de romp eigenlijk in de beschouwingen moeten worden betrokken. In het kader van dit college zal hier slechts summier op ingegaan kunnen worden omdat dit in de werkelijkheid een zeer complex probleem is met zeer veel van belang zijnde facetten. Hier zullen we ons beperken tot de invloed van schroef en romp op de snelheid en drukverdeling over het achterschip in de vorm van een “volgstroom getal” en een “zog getal”. De voorwaartse snelheid V0 zoals gebruikt in de open water schroef diagrammen is de snelheid ver voor de

schroef. Kijken we naar de snelheid van het water, zoals die achter het schip op de plek van de schroef echt aanwezig is (maar dan wel zonder dat de schroef er werkelijk is!) dan noemen we die snelheid de “nominale instroomsnelheid”. Dit is dan vervolgens de snelheid die we in het schroefdiagram gebruiken als de VA. Hierbij

veronderstellen we al dat deze “nominale instroomsnelheid” niet varieert over het dwarsscheepse vlak waarin de schroef werkt en welke de schroefbladen tijdens hun ronddraaien bestrijken. Bovendien geldt dan ook nog dat deze snelheid over een flink traject voor de schroef constant is. Dit alles om de situatie net zo te hebben als tijdens de open water schroef proeven waarop de schroefdiagrammen zijn gebaseerd. Om aan deze nominale instroom snelheid te komen moeten we dus schatten hoe zeer de watersnelheid verandert door de aanwezigheid van de romp en bovendien hoezeer hij in het achterschip vertraagd wordt door de invloed van de viscositeit van het water. De schroef werkt in feite in de grenslaag van de romp, zoals we die eerder gezien hebben bij het bespreken van de weerstand. De grootte (mate) van de snelheidsreductie wordt uitgedrukt in het “volgstroom getal” wN.

Op basis van vele metingen in de sleeptanks over de gehele wereld achter vele verschillende modellen (zie bijvoorbeeld Figuur 58) zijn er allerlei formuleringen gevonden voor deze snelheidsreductie wN achter het schip. Deze wordt

dan uitgedrukt als functie van verschillende “romp” grootheden zoals lengte van het schip, volheid van het onderwater schip etc De nominale snelheid wordt dan gegeven door:

0 1A S NV V V w

De schroef heeft echter ook een effect op de drukverdeling over de romp. Het blijkt dat de aanwezigheid van de schroef de weerstand van het schip verhoogt. Dit gebeurt zowel doordat de schroef omdat hij water “aanzuigt” de watersnelheid over de romp vergroot als wel doordat hij de druk opbouw over het achterschip verstoort en daardoor over het achterschip een lagere druk bewerkstelligt dan dat er zou zijn als er geen schroef zou werken. De voortstuwende kracht welke een schroef moet leveren moet dus groter zijn dan de weerstand die het schip ondervindt bij die specifieke snelheid als er geen schroef zou zijn. Dit laatste is veelal de weerstand zoals die in de sleeptank gemeten wordt of zoals die volgt uit een of andere berekenings- of benaderingsmethode. De toename van de weerstand ten gevolge van de schroefwerking wordt uitgerukt in het “zog getal”


58

of “trust deduction factor” t:

t T R T

Of:

1R t T

Waarin: T de stuwkracht welke voor een bepaalde snelheid geleverd moet worden

R de weerstand van het schip bij die snelheid zonder schroef

3.6.5 Voorstuwingsrendement

Wat uiteindelijk van belang is voor de voortstuwing van het hele schip is het zogenaamde effectieve vermogen (effective power). Dit de weerstand van het schip die overwonnen dient te worden maal de snelheid waarmee het schip vaart:

E SP RV

Het aan de schroef geleverde vermogen (door de schroefas) in ‘echte’ conditie (dus schip met schroef) PD

(delivered power) bedraagt:

2DP Q n

Om nu gehele rendement van de voorstuwing te bepalen dient het effectief vermogen (dat is wat effectief gebruikt wordt) gedeeld worden door het aan de schroef geleverde vermogen:

0

0 0 0 00

0 0 0

11 1

2 2 2 1

NSED R H

D N

Vt T

w tRV Q Q TV QP

P Q n Q Q n Q Q n Q w

Hieruit blijkt dat het voorstuwingsrendement bepaald wordt door de vermenigvuldiging van het open water rendement met twee andere rendementen: R, de ‘relative rotative effeciency’ en H, de ‘hull efficiency’. Deze

twee rendementen worden veroorzaakt door de interactie tussen de schroef en het schip. De ‘hull efficiency’ wordt veroorzaakt door de effecten beschreven door het zoggetal (verhoging van de weerstand door de schroef) en het volgstroomgetal (verlaging van de instroomsnelheid van de schroef). De hull efficiency is meestal iets groter zijn dan 1, doordat wN in het algemeen wat groter is dan t.

De ‘relative rotative effeciency’ wordt veroorzaakt door het feit dat de schroef achter het schip een iets anders koppel vraagt dan in open water. Dit verschil wordt veroorzaakt door de rotaties van de inkomende stroming van de schroef. Voor enkelschroefsschepen werkt dit veelal in het nadeel en is dit rendement iets kleiner dan 1 (0.98 tot 1). Voor dubbelsschroefsschepen kan dit voordelig werken en dit rendement iets groter dan 1 worden (tot zo’n 1.02). Dit wordt veroorzaakt door de schroeven gunstig (met een gunstige draairichting) te plaatsen in het roterende volgstroomveld van het schip. De energie die het schip verloren heeft door het volgstroomveld in rotatie te brengen kan zo gedeeltelijk teruggewonnen worden. Het totale voorstuwingsrendement zal altijd kleiner zijn dan 1.

3.6.6 Schroefontwerp

De ontwerp procedure voor een schroef in zijn meest algemene zin gaat als volgt: Het schip wordt ontworpen voor een bepaalde snelheid. Als het volgstroomgetal van de romp bij die snelheid bepaald is met behulp van een of andere formulering dan is de intrede snelheid van een schroef, nodig voor het


59

openwaterdiagram, bekend. Daarnaast zal de weerstand van het schip voor de ontwerpsnelheid ook bekend moeten zijn, hetzij uit een modelproef of uit een berekenings- of benaderingsmethode. Met gebruikmaking van een eveneens (empirisch) geschatte trust deduction factor kan nu de benodigde stuwkracht T bepaald worden.

De trust deduction factor kan ook in een sleeptank model gemeten worden door een schroef achter het model te hangen en die de benodigde stuwkracht (en dus drukveld ) te laten leveren. De extra weerstand kan zo bepaald worden. De schroef ontwerper is nu vrij om het aantal bladen voor zijn schroef te bepalen net als de oppervlak verhouding van de bladen, de diameter van de schroef en het toerental etc. Er gelden voor deze grootheden veel beperkingen of randvoorwaarden, bijvoorbeeld:

hij moet achter het schip passen (diameter); hij moet ruim onder water blijven (diameter); hij mag niet gaan caviteren (zie later –bladoppervlak!!); romptrillingen moeten voorkomen worden (aantal bladen en toerental); de schroef moet het vermogen kunnen opnemen van de motor, die dat moet kunnen leveren (koppel en

toerental). Met behulp van het juiste schroefdiagram kan een ontwerper vervolgens op zoek naar de schroef met het hoogste rendement.

3.6.7 Cavitatie

Een specifiek probleem bij scheepsschroeven wordt veroorzaakt door de omstandigheid dat zij opereren in water. Uit de beschouwingen over de werking van vleugels is gebleken dat zij een liftkracht opwekken door een drukverhoging en een drukverlaging aan het blad oppervlak. Door deze drukverlaging nu is het mogelijk dat op een bepaalde plaats op het blad de druk lager wordt dan de dampdruk van water, waardoor dampvorming in het water optreedt. Gelet op de drukverdeling aan de zuigzijde van het blad, zie Figuur 35, zullen deze meestal in het eerste gedeelte van het blad ontstaan. Hierdoor ontstaan “holten” in de vloeistof gevuld met waterdamp. Deze worden door de stroming langs het blad naar achteren gevoerd en door het daar weer toenemen van de druk “imploderen” deze dan weer. Dit gaat gepaard met grote krachten, die ernstige schade aan het blad kunnen veroorzaken. Ook de lift opwekking kan hierdoor ernstig verstoord raken. Dit fenomeen wordt met verwijzing naar de holten caviteren genoemd (caviteit = holte). Het kan alleen voorkomen worden door er voor te zorgen dat de onderdruk op het blad de dampspanning niet overschrijdt. Dit impliceert, aangezien kracht = druk maal oppervlak, dat het blad oppervlak niet te klein gekozen mag worden of de belasting van het blad te hoog. Ook het diep onderdompelen van de schroef onder water helpt hierbij aangezien de hydrostatische druk toeneemt met de diepte. In de meest voorkomende gevallen wordt de schroef dan ook zo diep als praktisch mogelijk is geplaatst.


60


61

Bijlage Methode van Lap en Auf’m Keller

deel 1 Berekenen van de weerstand van een schip volgens de methode van Lap-Auf’M Keller

deel 2 Extended Diagrams for Determing the Resistance and Required Power for Single-Screw Ships

by W. H. Auf’m Keller


62

BEREKENEN VAN DE WEERSTAND VAN EEN SCHIP VOLGENS DE METHODE VAN LAP-AUF’M KELLER De methode van Lap-Auf'm Keller gaat uit van de wrijvingsweerstand volgens de ITTC-lijn, de golfweerstand (af te lezen uit een grafiek en te corrigeren voor diverse grootheden als B/T e.d.) en enige toeslagen, zoals

huidruwheid e.d. Hieronder zal de methode Lap-Auf'm Keller worden beschreven en toegepast op een "voorbeeld" schip tot en met de weerstandsschatting. De methode is beschreven in I.S.P. vol. 20 uit 1973, zie bijlage, deel 2 LET OP: bij de berekening worden alle grootheden ingevoerd in het SI-eenhedenstelsel, dus m, N, s, enz.

(tenzij anders vermeld).

Voorbeeldschip "FANCY". LPP = 161.50 m CB = 0.685 DSchroef = 6.30 m

LWL = 166.00 m CM = 0.958 ∇ = 35188 m³

B = 28.40 m CP = 0.715 = 36200 ton

TMAX = 11.20 m LCB = + 0.33 % AM = 305 m²

VS = 17.2 kn = 8.85 m/s

S = 6370 m² = (3.4 ∇ 1/3 + 0.5LWL) · ∇ 1/3 (nat oppervlak volgens formule LAP)

Standaard wordt aangehouden dat vermogensbepalingen worden uitgevoerd voor een schip in zeewater van 15°C, dus:

= 1026 kg/m³ en ν = 1.1883 · 10-6 m²/s

De weerstandsbepaling. Bij deze methode wordt de weerstand verdeeld in een aantal componenten namelijk: de wrijvings- en restweerstand en een aantal toeslagen; iedere weerstandscomponent wordt uitgedrukt in een coëfficiënt:

Ci= Ri / ½ · · V² · S.

De wrijvingsweerstandscoëfficiënt kan worden bepaald met de I.T.T.C. formule:

CF = 0.075 / (log RN - 2)²

Waarin: RN = V · L / ν

LET OP: Auf'm Keller werkt met een afwijkende lengte namelijk: LD = 1.01 LPP of LWL (de kleinste van de twee); daarmee verandert ook de CP in CPD.

Voorbeeldschip"FANCY": LD = 1.01 · 161.5 = 163.1 m

RN = 163.1 · 8.85 / (1.1883 · 10-6) = 1.215 · 109

CF = 1.494 · 10-3

Lap geeft ook weerstandscoëfficiënten, namelijk volgens Schoenherr maar die wijken nauwelijks af van de I.T.T.C. formule. De restweerstandscoëfficiënt wordt nu bepaald volgens Auf'm Keller. Hij onderscheidt vijf groepen schepen op basis van LCB en CPD (zie grafiek op blz. 2).

Voorbeeldschip "FANCY": groep C

Voor iedere groep geeft Auf'm Keller een grafiek waarin de restweerstand r wordt gegeven op basis van CPD en Vs/ √(CPD·LD); (zie grafieken op blz. 3 e.v.). Indien nodig kan worden geïnterpoleerd tussen twee

grafieken.


63

Voorbeeldschip"FANCY": CPD= 0.708

Vs/ √(CPD·LD) = 8.85 / √ (0.708 · 163.1) = 0.82

"figure 4": r = 24 · 10-3 (soms moeilijk leesbaar)

De coëfficiënt r moet worden gecorrigeerd voor LD/B, maar alleen als CPD > 0.80. Vervolgens wordt r

omgerekend naar CR, omdat r als restweerstand dimensieloos gemaakt is met Am (het grootspantoppervlak) en CR dimensieloos gemaakt is met S (het natte huidoppervlak).

Voorbeeldschip "FANCY": CPD= 0.708 dus r blijft 24 · 10-3

CR = r · AM/S = 24 · 10-3 · 305/6370 = 1.149 · 10-3

Toeslagen. De aldus bepaalde wrijvingsweerstand en restweerstand gelden voor een ideaal gladde romp en vlak water (tanktoestand). Auf'm Keller geeft een ruwheidstoeslag CA afhankelijk van de lengte, die bij grote lengte

negatief kan worden, zie bijlage deel 2: tabel 1 blz. 5. Het totaal van CF, CR en CA geeft nu CT'.

Voorbeeldschip "FANCY": CA = 0.20 · 10-3

CT' = CF + CR +CA = (1.494 + 1.149 + 0.20) · 10-3 = 2.843 · 10-3

Auf'm Keller geeft nog een correctie voor B/T, waarbij de tekst in de publicatie is vertaald naar onderstaande

figuur.

Voorbeeldschip "FANCY": B/T = 28.4/11.2 = 2.53

correctie = + 0.7%,

dus CT = 1.007 · 2.843 · 10-3 = 2.863 · 10-3

Rest nu nog de gezochte weerstand te berekenen met: RT = CT · ½ · · VS² · S.

Voorbeeldschip "FANCY": RSchip = 2.863 · 10-3 · ½ · 1026 · 8.852 · 6370 /1000 = 733 kN

-3%

-2%

-1%

0%

1%

2%

3%

1.5 2.0 2.5 3.0

B/T

co

rrecti

e


64

Lap en ook Auf'm Keller schatten nu het voortstuwingsrendement en bepalen daarmee het benodigde vermogen. Die grafieken zijn inmiddels wat verouderd. Behalve bovengenoemde methode zijn er nog vele andere methoden. Al deze methoden wekken de indruk zeer nauwkeurig te zijn o.a. door de vele, soms kleine, correcties. Maar... al deze methoden geven slechts een schatting die geschikt is om voorlopig een machinevermogen op te baseren en daarmee de benodigde ruimte te bepalen voor machinekamer, brandstoftanks e.d. Een definitieve bepaling van het machinevermogen en keuze van de schroef volgt meestal pas na het uitvoeren van sleepproeven in een sleeptank.


65


66


67


68


69


70

mt1452 wva - dictaat weerstand en voortstuwing(1)

Documents