Mehani ki talasi

Sadraj Talasno kretanje - Karakteristike .................................................................................................................. 2

Talasna funkcija ............................................................................................................................................. 5

Brzina prostiranja talasa ........................................................................................................................... 6

Brzina i ubrzanje estica talasa ................................................................................................................ 7

Energija i intenzitet mehanikog talasa .................................................................................................... 8

Intenzitet talasa ......................................................................................... Error! Bookmark not defined.

Doplerov efekat ........................................................................................................................................ 9

Interferencija talasa .................................................................................................................................... 10

Konstruktivna interferencija ............................................................................................................... 11

Destruktivna interferencija ................................................................................................................. 12

Veza izmeu fazne i putne razlike....................................................................................................... 13

Stojei talasi ............................................................................................................................................ 13

Literatura ................................................................................................................................................ 16

Sa razliitim primjerima talasnog kretanja susreemo se u svakodnevnom ivotu: govor, muzika, radio i TV talasi, svjetlost itd. Bez obzira na vrstu talasa opte zakonitosti koje se odnose na njihovo prostiranje vae za sve talase i mogu se prouavati na primjeru mehanikih talasa (govor, muzika).

Talasno kretanje - Karakteristike Pretpostavimo da se u nekoj materijalnoj sredini sistem (estica) izvede iz svog ravnotenog stanja nakon ega zapoinje oscilatorno kretanje. Oscilovanje estica pod dejstvom elastine sile e se prenositi sa jedne na drugu esticu (elastina deformacija) u vidu talasa. Brzina kojom se oscilacije prenose kroz prostor v zavisi od svojstava sredine kroz koju se talas prostire. Vano je imati na umu da se sredina ne kree zajedno sa talasnim kretanjem ve se materijalne take sredine kreu oko svojih ravnotenih poloaja. Taka iz koje je zapoelo talasno kretanje naziva se izvor talasa, a povrina do koje je u jednom trenutku stigao talas je talasni front. Mehaniki talas nastaje tako to se djeli elastine sredine pomjeri se iz ravnotenog poloaja i pone oscilovati oko njega, prenosei poremeaj sa jedne na drugu esticu elastine sredine. Mehaniki talasi mogu nastati pri irenju oscilacija kroz neku sredinu i to su elastini talasi ili na povrini tenosti kada se oscilovanje sa jedne na drugu esticu prenosi putem sile povrinskog napona i gravitacione sile tzv. povrinski talasi. Dakle, da bi nastao mehaniki talas potreban je izvor talasa i sredina kroz koju se prenosi, odnosno medijum. Medijum moe biti u bilo kom agregatnom stanju: vrstom, tenom ili gasovitom. Pri prostiranju talasa u prostoru estice materijalne sredine meusobno djeluju periodinom prinudnom silom s frekvencijom koja odgovara frekvenciji talasa. Dakle, kod elastinih mehanikih talasa sve estice sredine osciluju oko svojih ravnotenih poloaja istom frekvencijom koja je jednaka frekvenciji izvora talasa. Prema kretanju estica materije u odnosu na pravac prostiranja talasa talasi mogu biti:

- Longitudinalnielastini talasi (kretanje estica materije naprijed - nazad u pravcu

prostiranja talasa) (Slika 1). Longitudinalni talasi se javljaju u tenostima , gasovima i

vrstim sredinama.

- Transverzalni elastini talasi(kretanje estica materije je normalno na pravac

prostiranja talasa) (Slika 2 ).Transverzalni talasi su karakteristini za vrste

materijalne sredine.

Slika 1: Longitudinalni talas. estice talasa osciluju u pravcu kretanja talasa.

Slika 2: Transverzalni talas. estice talasa osciluju normalno na pravac prostiranja talasa.

U prirodi se esto susreu talasi koji nisu ni potpuno transverzalni niti potpuno longitudinalni ve predstavljaju kombinaciju ove dvije vrste (Slika 3). Primjer takvog talasa su talasi koji nastaju na povrini vode.

Slika 3: Talasi koji nastaju pomjeranjem posude sa vodom lijevo i desno imaju i transverzalnu i longitudinalnu komponentu.

Prema sloenosti talasi se mogu podijeliti na: - proste talase (sinusni ili kosinusni) - kada se kao talas prostire jedna prosta harmonijska

oscilacija,

- sloene talase - kada estice materijalne sredine vre sloeno kretanje.

Dalje e biti razmatrani samo prosti harmonijski talasi. Kao najjednostavniji oblik talasnog kretanja posmatrajmo transverzalni talas koji nastaje povlaenjem jednog kraja kanapa iji je drugi kraj uvren za zid. Pod dejstvom transverzalne sile kanap e nastaviti da se kree u pravcu gore-dolje kao to je prikazano na Slici 4. Pretpostavimo sada da je sila periodina i da e kretanje koje se odvija pod njenim dejstvom biti prosto harmonijsko oscilovanje koje karakteriu kruna frekvencija w=2/T i period oscilovanja T. Tada je frekvencija koja odgovara ovom oscilovanju n=1/T. Uoimo tri estice sredine koje vre oscilatorno kretanje predstavljene takama oznaenim crvenom bojom. Izmeu ovih estica djeluju elastine sile. Neka u trenutku t=0 zapoinje talasno kretanje odnosno estice poinju oscilovati iz ravnotenog poloaja u pravcu normalnom na x-osu sa smjerom nagore. Posmatraemo kretanje tri uoene estice u vremenskim intervalima od t=T/8 u toku ukupnog vremena t=T koje odgovara jednom periodu, odnosno, jednoj punoj oscilaciji. Napredovanje talasa u prostoru u odnosu na tri posmatrane take je naglaeno plavom bojom. Sa kretanjem talasa, svaka taka na uetu osciluje oko svog ravnotenog poloaja jednostavnim harmonijskim kretanjem. Kada sinusoidni talas proe kroz medijum svaka estica sredine osciluje sa istom frekvencijom oscilovanja (kao to je to ve ranije reeno). Za vrijeme od jednog perioda svaka uoena estica je prela rastojanje koje odgovara jednoj talasnoj duini. Dakle, talasna duina je najkrae rastojanje izmeu dva susjedna maksimuma ili minimumam talasa, odnosno dvije estice koje osciluju u istoj fazi. Talasna

duina se moe izraziti kao proizvod brzine talasa i vremena koje odgovara jednoj punoj oscilaciji.Ima dimenziju duine, odnosno izraava se u metrima:

TccT

,

Napomena: Vano je razlikovati brzinu transverzalnih talasa od brzine estica koje osciluju inei transverzalni talas. Npr.transverzalni talas se kree konstantnom brzinom v odnosno vx du pravca x ose, dok estice osciluju u transverzalnom pravcu y ose (normalno na pravac kretanja talasa) brzinom oscilovanja vy.

Slika 4: Transverzalni talas koji putuje sa lijeva na desno. Oznaene su tri take na talasu i njihovo pomjeranje posmatrano au vremenskim razmacima od T/8. Plavom bojom je naglaeno kretanje talasa koje odgovara jednoj talasnoj duini.

Za razliku od navedenog primjera u kojem su se estice kretale samo du x ose u veini sluajeva u praksi talasno kretanje se prostire zahvatajui vei dio zapremine materijalne sredine. Dakle, prema nainu prostiranja (pravca prenosa energije) talasi mogu biti:

- jednodimenzionalni (linijski) - talasi du ice ili opruge,

- dvodimenzionalni (povrinski) - talasi na povrini vode,

- trodimenzionalni (prostorni) - zvuni ili svjetlosni talasi iz takastog izvora.

Geometrijsko mjesto taaka do kojih je u jednom trenutku t stigao talas naziva se talasni front. Naime, talasni front dijeli prostor u kojem estice elastine sredine osciluju od dijela prostora u kojem oscilovanja jo nema. Talasni front je povrina koje se kree. estice elastine sredine koje osciluju u fazi ine jednu talasnu povrinu. U odreenom trenutku moe da postoji beskonano mnogo talasnih povrina, ali samo jedan talasni front. Za razliku od talasnog fronta talasne povrine se ne kreu i one

prolaze kroz ravnotene poloaje estica koje osciluju u fazi. Talasne povrine mogu biti proizvoljnog oblika, ali najee se susreu ravan i sfera odnosno njima odgovarajui ravni i sferni talasi, respektivno. Dakle i prema obliku talasnog fronta talasi se dijele na:

- sferne talase (kod kojih je talasni front sfera sainjena od koncentrinih sfernih povri),

- ravanske talase (kod kojih je talasni front ravan).

Talasna funkcija Posmatrajmo najoptiji sluaj talasnog kretanja. Neka je u trenutku t pomjeranje estice koja osciluje pri emu su koordinate njenog ravnotenog poloaja x, y, z. Tada se funkcija kojom se opisuje zavisnost udaljenosti estice od koordinata njenog ravnotenog poloaja (x,y,z) i vremena t u svakom trenutku moe opisati funkcijom oblika:

),,,( tzyx

koja se naziva talasna funkcija.Ova funkcija je periodina u odnosu na koordinate i vrijeme jer estice

koje se nalaze na meusobnom rastojanju osciluju na isti nain.

Sada pretpostavimo da se talas kree samo du x-ose na primjeru transverzalnog poremeaja na ici kao to je prikazano na Slici 6. Dakle, sada talasna jednaina ne zavisi od tri (x,y,z) ve samo od jedne prostorne koordinate (x) i vremena t. Tako da emo nadalje umjesto promjenljive koristiti y, a pa se prethodna jednaina svodi na oblik:

),( txyy

U trenutku t=0, talas je predstavljen funkcijom:

Slika 6: Transverzalni talas na ici prikazan u trenutku t=0 (slika lijevo) i u trenutku t, nakon preenog puta x=vt (slika desno).

Nakon vremena t, impuls je preao put x=vt, gdje je v=const. i predstavlja brzinu posmatranog talasa. Sada je dato kretanje opisano funkcijom: Za talas koji putuje u negativnom smjeru x ose jednaina bi bila:

0),(),( txftxy

ttxvtftxy ),(),(

ttxvtftxy ),(),(

Za svaki odreen trenutak vremena t talasna funkcija koja opisuje ovo kretanje je data izrazom y=f(x), a za posmatranu taku x koja osciluje u trenutku t moe se napisati funkcija u obliku y=f(t). Najvaniji i najjednostavniji oblik talasa je jednostavan harmonijski talas iji je oblik opisan prostom sinusnom ili kosinusnom funkcijom: gdje je: y [m] elongacija, rastojanje estice od ravnotenog polaaja, y0[m] amplituda, maksimalno rastojanje estice od ravnotenog poloaja, T [s] - period, vrijeme jedne pune oscilacije1,

[1/s = Hz] frekvencija, broj oscilacija u jedinici vremena, =1/T, w[rad/s] kruna frekvencija, w=2/T,

[m] - talasna duina, minimalno rastojanje izmeu dvije identine take talasa (npr. 2 maksimuma),

k[1/m] talasni broj, k= 2/, Talasna funkcija ima periodini oblik to znai da u datom vremenskom trenutku y ima istu vrijednost u

poloajima x, x+, x+2 . Kao to se vidi iz talasne funkcije, pretpostavljeno je da sve estice, nezavisno od koordinate x, osciluju istom amplitudom y0 koja predstavlja amplitudu talasa. Navedena funkcija predstavlja i longitudinalne i transverzalne talase.

Slika 7. Sinusoidni talas.

Brzina prostiranja talasa Brzina prostiranja talasa zavisi od vrste talasa i karakteristika sredine kroz koju se prostire talas. Brzina prostiranja transverzalnih talasa moe se izvesti na primjeru prostiranja transverzalnog talasa du zategnute ice koja je uvrena na oba kraja i na koju djeluje sila zatezanja F. Tada je brzina prostiranja transverzalnog talasa u vrstoj elastinoj sredini data relacijom:

gdje je: F[N] sila zatezanja ice (niti),

1Period je vrijeme potrebno da talas pree put koji odgovara jednoj talasnoj duini =cT.

kxwtytxy sin),( 0

y yo

[kg/m] - poduna masa (masa po jedinici duine tj. m/l.). Kako je ve ranije reeno longitudinalni talasi se javljaju u svim agregatnim stanjima supstance. Kada su u pitanju vrsta tijela primjer ovakvog talasa je talas koji se prostire kroz metalnu ipku, a njegova brzina se moe izvesti posmatrajui element ipke na koji djeluje elastina sila u skladu sa Hukovim zakonom. Dobija se da je brzina longitudinalnog talasa u vrstoj sredini:

gdje je: Ey [N/m] - Jungov moduo elastinosti materijala od kojeg je nainjena ipka,

[kg/m3] - gustina elastine sredine kroz koju se prostire talas. Brzina longitudinalnih talasa u fluidnoj (tenoj ili gasovitoj sredini) data je izrazom:

gdje je: Ev[N/m] - moduo elastinosti sredine,

[kg/m3] - gustina elastine sredine kroz koju se prostire talas. Kod gasova moduo elastinosti ima dvije razliite vrijednosti u zavisnosti od toga da li se zgunjavanje ili razrjeivanje vazduha pri prolasku zvunog talasa odvija izotermski ili adijabatski o emu e biti vie rijei u poglavlju o zvuku.

Brzina i ubrzanje estica talasa Iz talasne funkcije: Moe se odrediti brzina i ubrzanje estica koje osciluju. Kako bi se razlikovala od brzine talasa koji se prostire du x ose, brzinu i ubrzanje estica emo oznaiti sa vx i ax, respektivno. Kako talasna funkcija zavisi od dvije promjenljive x i t, da bismo pronali brzinu estica u datoj taki, pretpostavljamo da je x=const i funkciju y(x,t) diferenciramo po vremenu:

Dakle, dobili smo izraze za brzinu i ubrzanje estica koje osciluju. Po analogiji sa talasnom funkcijom vidimo da su amplitdne vrijednosti brzine i ubrzanje:

Dakle, brzina i ubrzanje ne dostiu maksimalne vrijednosti istovremeno pa je brzina maksimalna u

ravnotenom poloaju (za y=0), dok je ubrzanje maksimalno u amplitudnom poloaju tj.za y=y0 (Slika 8). Matematiki posmatrano izrazi za maksimalnu brzinu i ubrzanje estica su iste kao kod jednostavnog harmonijskog oscilovanja.

kxwtytxy sin),( 0

),(sin),(

),(

),(cos),(

),(

22

0

0

txywkxwtwydt

txy

dt

dvtxa

txwykxwtwydt

txy

dt

dytxv

constx

y

y

constx

y

Kao to smo pronali drugi parcijalni izvod talasne funkcije po t, kada je x=const (izraz za ubrzanje), tako moemo izraunati i parcijalni izvod talasne funkcije po x, ako pretpostavimo da je t=const pri emu se dobija: Dijeljenjem poslednje dvije jednaine (izraza za ubrzanje i poslednje jednaine) dobija se izraz: Ovaj izraz predstavlja talasnu jednaina oblika: Talasna jednaina se moe primjeniti na razliite vrste talasnog kretanja. Za talase na ici, y predstavlja vertikalni pomjeraj ice. Za zvune talase, y odgovata pomjeraju molekula vazduha iz ekvilibrijumskog poloaja bilo pritiska ili gustine gasa kroz koji se talas prostire. U sluaju elektromagnetnih talasa, y odgovara komponentama elektrinog i magnetnog polja. Rjeenje talasne jednaine je periodina talasna funkcija oblika:

Slika 8. Vektori brzine i ubrzanja estica u razliitim poloajima estice.

Energija i intenzitet mehanikog talasa Elastina sredina kroz koju se prostire mehaniki talas posjeduje vie energije nego u sluaju kada talasa nema. Tu energiju emituje izvor talasa i prenosi je sam talas. Zato se esto mehaniki talas definie kao proces prenoenja energije oscilovanjem estica elastine sredine. Koliina energije koja proe u jedinici vremena kroz neku povrinu materijalne sredine predstavlja snagu (fluks) talasnog kretanja i izraava se u vatima:

),(sin)cos( 22002

2

txykkxwtkykxwtkyxx

y

xdx

yd

constt

2

2

2

22

22

/),(

/),(v

k

w

xtxy

ttxy

2

2

22

2 ),(1),(

t

txy

vx

txy

kxwtytxy sin),( 0

Fluks energije nije isti u svim takama sredine i zavisi od koordinate take. Intenzitet (jaina) zvunog talasa predstavlja srednju vrijednost energije koju talas prenese po jedinici povrine normalne na pravac prostiranja talasa u jedinci vremena (srednja snaga): gdje je: I[W/m2]intenzitet zvuka, S [m2]povrina kroz koju se prostire zvuk, P [W]srednja snaga zvunog izvora. Jedinica za intenzitet talasa je 1W/1m2 i predstavlja energiju talasa koja se u 1 sekundi prenosi normalno kroz povrinu od 1 m2.Koristei izraz za srednju snagu izvora (u toku jednog perioda) intenzitet talasa se moe zapisati kao srednja vremenska vrijednost gustine fluksa energije: Jedinica za intenzitet talasa je W/m2. Na primjer na gornju povrinu atmosfere Zemlje infracrvena i vidljiva svjetlost nailaze sa intenzitetom od 1300 W/m2. Za sferni talas u homogenoj i izotropnoj elastinoj sredini na udaljenosti r od izvora dat je izrazom:

Dakle, intenzitet sfernog talasa opada sa kvadratom rastojanja od izvora.

Doplerov efekat Neka se izvor talasa i prijemnik kreu pri emu prijemnik koji je na nekom rastojanju od izvora registruje talase na primjer automobil prolazi pored pjeaka.Ukoliko se izvor i prijemnik ne kreu relativno jedan u odnosu na drugi prijemnik registruje frekvenciju talasa koju je emitovao izvor. Meutim, ikoliko se prijemnik i izvor kreu razliitim brzinama u odnosu na sredinu kroz koju se prostire talas prijemnik e registrovati frekvenciju koja je razliita (vea ili manja) od one koju emituje izvor. Pojava da prijemnik usljed relativnog kretanja registruje frekvenciju razliitu od one koju emituje izvor naziva se Doplerov efekat. Pri relativnom kretanju prijemnika i izvora mogu se posmatrati razliiti sluajevi: I sluaj: Izvor miruje, a prijemnik se pribliava: Neka se prijemik kree brzinom vp ka izvoru talasa, a c je brzina prostiranja zvunog talasa u sredini u kojoj se nalaze prijemnik i izvor (Slika 8). Tada e relativna brzina zvunog talasa u odnosu na prijemnik biti:

cvv p

Pa e frekvencija np koju registruje prijemnik biti data izrazom:

gdje je italasna duina zvunog talasa.

c

cv

c

cvv pi

i

p

i

p

S

PI

22

02

1wcyI

Dakle, frekvencija talasa koju registruje prijemnik je veca od frekvencije talasa emituje izvor. koju

Slika 8. Izvor miruje, a prijemnik se pribliava izvoru.

Ukoliko se prijemnik udaljava od izvora, relativna brzina talasa u odnosu na prijemnik je data izrazom

pvcv

odnosno manja za vrijednost brzine prijemnika nego u sluaju kada prijmenik miruje.

Pa e frekvencija np koju registruje prijemnik biti data izrazom:

Kada prijemnik miruje, a izvor mu se pribliava , pod pretpostavkom da je brzina izvora manja od brzine prostiranja talasa u toj sredini Frekvencija koju prima prijemik kada mu se izvor priblizava (udaljava) : Pri priblizavanju (udaljavanju) izvora frekvencija koju prijemnik registruje veca (manja) je od one koju izvor emituje

Kada se izvor i prijemnik kreu du istog pravca brzinama vp i vi, respektivno frekvencija koju registruje prijemnik jednaka je:

Pri emu gornji znak u brojiocu i imeniocu (+vp,-vi)odgovara pribliavanju prijemnika i izvora, a donji znak odgovara udaljavanju prijemnika i izvora.

Interferencija talasa Interferencija talasa predstavlja slaganje dva ili vie talasa u istom dijelu prostora.

c

vc

c

vcv pi

i

p

i

p

i

i

i

ip

vc

c

vc

cc

i

p

ipvc

vc

Neka se dva talasa kreu iz razliitih izvora ka nekoj taki u istom smjeru, pri emu su im jednake amplitude, krune uestanosti, talasne duine i poetne faze (=0). Poto e do krajnje take prei razliite puteve x jednaine talasa su, redom:

Rezultujui talas dobija se sabiranjem ovih talasa:

Odakle je jednacina rezultujueg talasa2:

Dakle, rezultujuci talas je progresivan kao i talasi od kojih je nastao gdje su amplituda i faza talasa, redom:

Kao to se vidi iz izraza, amplituda rezulutujueg talasa zavisi od razlike preenih puteva talasa do trenutka sabiranja i moe imati vrijednosti u intervalu (-2y0,+2y0) u zavisnosti od vrijednosti kosinusa. Razlikujemo dva sluaja: konstruktivnu i destruktivnu interferenciju.

Konstruktivna interferencija U sluaju kada je amplituda rezultujueg talasa jednaka zbiru amplituda poetnih talasa nastupa konstruktivna interferencija. Ukoliko je pojaanje rezultujueg talasa maksimalno vai da je:

02yA

Da bi ovaj uslov bio ispunjen treba da vai da je cos =1, odnosno:

odakle se sreivanjem poslednjeg izraza i zamjenom talasnog broja k=2/ dobija:

Dakle, ako je razlika preenih puteva talasa koji interferiraju jednaka cijelom broju talasnih duina tada je amplituda rezultujueg talasa jednaka zbiru amplituda talasa koji interferiraju i nastupa konstruktivna interferencija tj. maksimalno pojaanje rezultujueg talasa (Slika 9).

2 Koristei pravilo zbira sinusa uglova.

)sin(),(1011

kxwtytxy )sin(),(2022

kxwtytxy

)sin()sin(),(),(20102211

kxwtykxwtytxytxyy

2

)(sin

2

)(cos2

)sin()sin(

2112

0

2010

xxkwt

xxkyy

kxwtykxwtyy

2

)(cos2 12

0

xxkyA

2

)(21xxk

wt

Slika 9. Konstruktivna intereferencija dva talasa ija je putna razlika jednaka cijelom broju talasnih duina x=z, odnosno u

ovom sluaju x=2.

Destruktivna interferencija

U sluaju kada je A=0 nastupa destruktivna intereferencija, a ovaj uslov e biti ispunjen kada je

a to vai samo pri uslovu:

odnosno:

Odakle se sreivanjem poslednjeg izraza i zamjenom talasnog broja k=2/ dobija:

Dakle, ako je razlika preenih puteva talasa koji interferiraju jednaka neparnom broju polovina talasnih duina tada je amplituda rezultujueg talsa jednaka nuli i nastupa destruktivna interferencija, odnosno ponitavanje talasa (Slika 10).

Slika 10. Destruktivna intereferencija dva talasa ija je putna razlika jednaka neparnom broju polovina talasnih duina

x=(2z+1)/2, odnosno u ovom sluaju x=3/2.

Kada je fazna razlika talasa koji interferiraju razliita od 0 odnosno , npr. /3 nastupa interferencija pri kojoj se rezultatni talas nalazi negdje izmeu dva granina sluaja (Slika 11)

Slika 11. Primjer interferencije kada je fazna razlika talasa koji interferiraju jednaka /3.

Veza izmeu fazne i putne razlike esto je korisno izraziti putnu razliku dva talasa preko njihove fazne razlike i obrnuto. Kako putnoj razlici od jedne talasne duine odgovara fazna razlika od 2 moe se zapisati:

x

2

odnosno

2x

Dakle, ako nastupi konstruktivna interferencija putna razlika izmeu dva talasa jednaka je parnom broju talasnih duina odnosno:

22

zzx

a fazna razlika je tada:

zx

22

.

Ukoliko nastupi destruktivna interferencija putna razlika je jednaka neparnom broju polovina talasnih duina odnosno:

2)12(

zx

a odgovarajua fazna razlika iznosi:

)12(2)12(

22

zz

x

Stojei talasi

Stojei talas nastaje slaganjem dva ravanska talasa koji imaju istu amplitudu, talasnu duinu i frekvenciju, prostiru se u istom pravcu, ali u suprotnim smjerovima (Slika 12). Neka su jednaine talasa koji interferiraju date izrazima: Talasna funkcija rezultujueg talasa imae oblik:

Slika 12. Primjer stojeeg talasa.

Koristei trignonometrijsko pravilo :

Talasna funkcija se moe zapisati u obliku: i predstavlja talasnu funkciju stojeeg talasa.

Kako ova funkcija ne sadri izraz wt kx talas nije progresivan ve stojei. Tako, ako posmatramo stojei talas nemamo osjeaj kretanja talasa u nekom od pravaca talasa koji interferiraju. Zapravo poslednja funkcija predstavlja specijalan oblik jednostavnog harmonijskog oscilovanja. Svaka estica sredine

osciluje jednostavnim harmonijskim kretanjem sa istom krunom frekvencijom , dok amplituda estice data sa 2y0cos(kx) zavisi od poloaja estice x u materijalnoj sredini. Kada je amplituda maksimalna po modulu ispunjen je uslov: to vai u sluaju da je:

Odnosno, amplituda je maksimalna na mjestima gdje je:

i ova mjesta se nazivaju trbusi stojeeg talasa. Rastojanje medju susjednim trbusima iznosi /2. Amplituda stojeeg talasa je jednaka nuli A=0 kada je ispunjen uslov:

tj.

)sin(),(

)sin(),(

0

0

kxwtytxy

kxwtytxy

)sin()sin(00

kxwtykxwtyy

wtkxyy sincos20

1cos kx02yA

Odakle se dobija:

Ova mjesta gdje je amplituda stojeeg talasa jednaka nuli nazivaju se vorovi stojeeg talasa. Kod stojeeg talasa sve se estice istovremeno nalaze u istoj fazi oscilovanja tj. ili su sve u ravnotenom poloaju ili su sve u amplitudnom poloaju (npr. Tas na oscilujuoj zategnutoj ici). Energija stojeeg talasa se prenosi sa vora na susjedni trbuh i obrnuto (dva puta se potpuno transformie i to jednom u potencijalnu i jednom u kinetiku energiju). Mogui modovi oscilovanja na ici su dati izrazom:

gdje broj n predstavlja broj harmonika. Prirodne frekvencije koje odgovaraju ovim modovima date su izrazom:

Slika 13. (a) ica privrena na dva kraja. Na slikama su prikazani modovi (b) osnovni harmonik, (c) drugi harmonik, (c) trei harmonik.

PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA. MEHANIKI TALASI.

1. Napisati funkciju mehanikog talasa, objasniti veliine koje ulaze u izraz i grafiki predstaviti talas.

2. Napisati izraze za brzinu transverzalnih i longitudinalnih talasa u vrstom tijelu, opisati veliine

koje ulaze u izraz i napisati njihove mjerne jedinice.

3. Brzina estice materijalne sredine kroz koju se prostire talas data je izrazom v=200sin(800t-8x),

gdje su sve veliine date u jedinicama SI sistema. Odrediti:

a) ubrzanje estice na mjestu x=1/8 m i u trenutku t=1/8 s,

b) amplitudu ,

c) talasnu duinu,

d) brzinu prostiranja talasa,

e) broj oscilacija koje sekundi pravi estica pogoena talasom?

4. Jednaina harmonijskog progresivnog talasa data je izrazom: y=0,25 sin(600t-4x) gdje je y

dato u mm, t u sekundama , a x u cm. Odrediti:

a) smjer prostiranja talasa,

b) brzinu prostiranja talasa,

c) talasnu duinu,

d) frekvenciju,

e) amplitudu.

5. a) Ako dva talasa istih amplituda, frekvencija i poetnih faza interferiraju i ako imaju talasnu

duinu , kolika mora biti razlika njihovih preenih puteva do take slaganja , x2-x

1, da bi

rezultujui talas bio maksimalne amplitude?

b) Kolika je fazna razlika u tom sluaju?

6. Napisati jednainu stojeeg talasa i obiljeiti koji dio jednaine predstavlja amplitudu stojeeg

talasa.

7. Kakva je razlika izmeu longitudinalnih i transverzalnih talasa?

8. Gdje i pod kojim uslovima nastaju mehaniki talasi?

9. Ako automobil emituje zvuni signal frekvencije fa pri emu se pribliava pjeaku koji stoji na

pjeakom prelazu brzinom va koliku e frekvenciju opaziti pjeak? Brzina zvuka u vazduhu je c.

10. a) Ako izraz 2

2

2

2

x

yb

t

y

predstavlja diferencijalnu jednainu nekog talasa kolika je njegova

brzina?

b) Koja je jedinica u kojom se izraava b?

c) Napisati rjeenje ove jednaine.

Literatura [1] David Halliday, Robert Resnik, Jearl Walker, Fundamentals of Physics [2] Slobodan Backovi, Fizika mehanika, Zavod za udbenike i nastavna sredstva, Podgorica, 1999 [3] Young and Freedman, University physics with modern physics [4] Richard Fitzpatrick, Classical Mechanics, An introductory course [5] M.Rekali, V. Georgijevi, Zbirka zadataka iz tehnike fizike, Nauna knjiga Beograd 1996 [6] Marko Mirkovi, Fizika, Visoka graevinsko-geodetska kola u Beogradu, Beograd, 2008