mÉtodos numÉricos para equaÇÕes diferenciais …
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1- Resolução de Sistemas Lineares.
1.1- Matrizes e Vetores.1.2- Resolução de Sistemas Lineares de Equações Algébricas por Métodos Exatos (Diretos).1.3- Resolução de Sistemas Lineares de Equações Algébricas por Métodos Iterativos.1.4- Convergência dos Métodos Iterativos.1.5- Método do Gradiente Conjugado e Método do Gradiente Conjugado Quadrado.
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIA IS
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1.4.1- Convergência do M étodo da Iteração ( Jacobi )
Método da Iteração:
, , , ,
, ( , , )
, ( )
i i
nk ki i ij j
j
ii
ijii ij
ii ii
x
x x k
i n
ab
a a
β
β α
α
β α
+
=
= = + = = = = = −
∑
0
1
1
0 1 2
0 1
3
L
L
Muitas vezes ao reduzir (1) para (2) é conveniente que . Isto pode ser feito Logo as formulas do método serão:
iiα ≠ 0ii ii iiα α α= = +1 20
, , , , ( )́
, , ( , , )iji iii ii ij
i
i i
nk ki i ij j
ii ii
j
i
ab a
x
x x k
ai n
a a
β
β α
β α α
+
=
= = + = = = − = − =
∑2
1 1
1
1
1
0
0 1 2 3
1
L
LMétodo da Iteração
)1(
1
2
1
1
2
1
121
1111211
2122221
1111211
=
−−
−
−−−−−
−
−
n
n
n
n
nnnnnn
nnnnnn
nn
nn
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
MM
L
L
LLLLL
L
L
( )
, ,
n n
n
i i ij jj
x x
i n
β α
×
=
= +
= +
=
∑
x β α x
1
2
1L
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Condição suficiente para a convergência do processo iterativo.
Teorema: Para o sistema reduzido (2) o processo iterativo (3) converge para sua única solução se alguma norma canônica da matriz é menor que a unidade. Isto é, a condição suficiente para a convergência do método da iteração
com arbitrário é .
Prova: Escolha e construa as seguintes aproximações
n n×α
, ,k kn n k−
×= + =x β α x 1 1 2 L
x0 <α 1
1 0
2 1 0 2 0
1 2 1 0
( ) ( )
( ) (*)
n n
n n n n n n n n n n
k k k kn n n n n n n n n n
×
× × × × ×
− −× × × × ×
= +
= + = + + = + + = + = + + + + +
x β α x
x β α x β α β α x E α β α x
x β α x E α α α β α x
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
L
x0
,
m a x ( m - n o r m a )
m a x ( l - n o r m a )
( k - n o r m a )
n n i jm ij
n n i jl ji
n n i jki j
a
a
a
×
×
×
= =
=
∑
∑
∑
A
A
A2
1.4.1- Convergência do M étodo da Iteração ( Jacobi )
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Nas duas telas a seguir mostraremos um resultado intermediário importante na prova do teorema .
Considere a convergência do seguinte processo iterativo:
1 1 1 1 1 0
1 1 0 0
2 2 1 1 0 0 1
0 0 0 0
2 30 0 0 0 0 0 0 0
, ( ) 1
( ),
( ) ( )[ ]
( )[ ( )( )]
( )[ )] ( )
Seja e
logo
,
k k k k k k k k− − − − −= − = + = + <= − = − +
= − = − + = − + + =− + + − − + =
− + + = − + + +
F E AD D D D F D E F F
F E AD E AD E F
F E AD E AD E F E AD E F E F
E AD E F E E E F E F
E AD E F E F F E AD E F F F
LLLLLLLLLLLLL2 1
0 0 0 0
1 1
0 0 0 00 0
00 0 0
( )
( ) ,
ja que onde .
kk k
k kl l
l l
+
+ +
= =
= − = − + + + + =
− = − −
= − =
∑ ∑
F E AD E AD E F F F
E AD F E E F F
AD E F F E
LLLLLLLLL
L
1
0
( )ln n n n
l
∞−
× ×=
= −∑ α E α
1.4.1- Convergência do M étodo da Iteração ( Jacobi )
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0
11 1
0 00
1
0 00
Se o processo iterativo anterior converge e
. Já que
e do resultado anterior segue
1
lim lim ( ) lim
lim ( )
lim ( )
k k kk k k
kl
k kkl
lk
kl
→ ∞ → ∞ → ∞
+− −
→ ∞ =
−
∞
→ ∞ =
<
= − = − =
= = = − −
= −
= = − − =
⇒ ∑
∑
F
F E A D E A D 0
D A E A F E E F F
0 E A A
0 F E E F F 1
1 10 0 0 0
0 0
10
0
ou .
Se segue . N ote que
é a h ipótese do teorem a que querem os provar. Logo, o
resultado acim a pode ser ap l
( ) ( )
( )
icado à m at
1
r
l l
l l
ln n n n n n n n
l
−
∞ ∞− −
= =
∞−
× × × ×=
−
− = = = −
= = − <
⇒
∑ ∑
∑
E A A
E F F A A E F E F
F α α E α α
iz .n n×α
1.4.1- Convergência do M étodo da Iteração ( Jacobi )
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Se segue quando , consequentemente
e
Se passamos ao limite em (*) quando obtemos
Isto prova a convergência do processo iterativo, ou seja, que existe o limite. Da equação (**) segue que
que significa que é solução do sistema (2). Como a matriz é não singular o sistema (2) tem uma única solução � .
( ) ou ( ) ( )( ) ou ( )n n n n n n n n n n− −
× × × × ×= − − = − − − =x E α β E α x E α E α β E α x β1 1
<α 1
zero( )
lim lim[( ) ]
lim( ) lim ( ) (**)
n n
k k kn n n n n n n n
k k
k kn n n n n n n n n n
k k
−×
−× × × ×→∞ →∞
− −× × × × ×→∞ →∞
+
= = + + + + +
= + + + + + = −
E α
x x E α α α β α x
E α α α β α x E α β
1
2 1 0
2 1 0 1
L
L1444442444443 14243
k →α 0 k → ∞
lim k
k→∞=α 0 lim( ) ( )k k
n n n n n n n n n nk
k
∞− −
× × × × ×→∞ =
+ + + + = = −∑E α α α α E α2 1 1
0
L
k → ∞
ou n n×= +x β α x lim (**)k
k→∞x
( )n n×−E α
1.4.1- Convergência do M étodo da Iteração ( Jacobi )
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Como conseqüência do teorema anterior segue.
Corolário 1: O método da iteração para o sistema (2) converge se for verificada uma das desigualdades:
Em particular se os elementos da matriz satisfazem então o método da iteração converge (n é o número de incógnitas).
1
1
2
1 1
1) m a x < 1 (m -n o rm a ) o u
2 ) m a x < 1 ( l-n o rm a ) o u
3 ) < 1 (k -n o rm a )
n
n n i jm ij
n
n n ijl ji
n n
n n ijki j
α
α
α
×=
×=
×= =
=
=
=
∑
∑
∑ ∑
α
α
α
α i j nα < 1
1.4.1- Convergência do M étodo da Iteração ( Jacobi )
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Corolário 2: Para o sistema
o método da iteração converge se for verificada uma das desigualdade abaixo:
) ( , , )
) (j , , )
n
ii ijj i
n
jj iji j
a a i n
a a n
≠
≠
> =
> =
∑
∑
1 1
2 1
L
L
=b ( , , )n
ij j ij
a x i n=
=∑1
1L
0 , =−= iiii
ijij a
aαα
) ( , , )
) (j , , )
n
ijj
n
iji
i n
n
α
α
< =
< =
∑
∑
1 1 1
2 1 1
L
L
∑≠=
>
<+++
<−++=++−+−
<++=+++
n
ijj
ijii
iiinii
ii
inii
ii
i
ii
i
iniiii
aa
aaaa
aa
aa
aa
1
21
21
21
10
10
L
LL
LL
α
αααα
Explicado na aula anterior.
1.4.1- Convergência do M étodo da Iteração ( Jacobi )
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Sejam e duas aproximações sucessivas da solução do sistema linear . Para segue
Na tela a seguir mostramos este resultado em detalhes!
1.4.2- Estimativa do Erro do M étodo da Iteração ( Jacobi )
n n×= +x α x β
kxk −x 1
p ≥1
é zero, mas esta manipulação permite usar a desigualdade triangular
( ) ( ) ( )
( )
k k
k k
k p k pk k
k k k p k p
k p k k k p+ + −+ + + −+ +
+ ++ +
+
+ −
− = + + − + +
≤
−
−
−
−+ +
−
+−
x x xx x
x
x xx x
x x x x
x
x
1 2
2 1
21 1
1
1
1 4
L144444444424444444443
L
como e segue ( )m m m m m m m mn n n n n n
+ − + −× × ×= + = + − = −x α x β x α x β x x α x x1 1 1 1
m km m m m k k
n n n n m k−+ − +
× ×− ≤ − ≤ − ∀ > >x x α x x α x x1 1 1 1
logo de (4) segue
pk k k kn n n n
k p k k k k k k p k p
k k
n n
−+ +× ×
+ + + + + + −
− −
+
×
− ≤ − + − + + −
≤ −−
α x x α x x
x x x x x x x x
x xα
11 1
1 2 1 1
111
L14243 1442443
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passando ao limite quando nesta desigualdade obtemosp → ∞
Progressão Geométrica
[ ]
(razão)Progressão ( ), com
Geométrica (termo inicial)
lim , se q
pk p k k kn n n n
nni i
n ii
in i
ni i
a qaa qS a
aq
aS S a a q
q
−+ +× ×
−
=
∞ ∞−
∞ →∞ = =
− ≤ + + + −
= −= = −
= = = =−
∑
∑ ∑
x x α α x x1 1
11
1 1
1 11
1 1
1
11
1
L14444244443
Progressão Geométrica
Pro
1. Logo,
1 (razão)[ ] , com .
1 (termo inicial)
Como , logo
[ ]
pp i n n
n n n n n ni
pi i
n n n ni i n n
pk p kn n n n
q
a
− − ×× × ×
=
∞− −
× ×= = ×
−+× ×
<
= <+ + + = =
≤ =−
− ≤ + + +
∑
∑ ∑
αα α α
α αα
x x α α
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
11
1
L14444244443
L
gressão Geométrica
k k k k
n n
+ +
×
− ≤ −−
x x x xα
1 11114444244443
1.4.2- Estimativa do Erro do M étodo da Iteração ( Jacobi )
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Note que nestes cálculos não foram considerados erros devidos à Aritmética de Precisão Finita (round-off errors). Ou seja, é assumido que os cálculos são exatos.
lim (5) ou
(6) se então segue que
logo se consequentemente
. No caso mais geral, se e
k p k k k
pn n
n nk k kn n
n n
k k k k k
k k kn nq
k
ε
ε
+ +
→∞×
× −×
×
×
− −
= ⇒ − ≤ − ∀ ≥−
− ≤ − ≤−
− ≤ − − <
− < −= <
x x x x x xα
αx x
α
x x αα
x x x x x x
x x x x
1
1
1 1
11
1
11 2
1 ,
então e para cada componente (i=1, ,n)k ki i
q
q
x x
ε
ε ε
− −<
− ≤ − <x x
1 1
L
1.4.2- Estimativa do Erro do M étodo da Iteração ( Jacobi )
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Se usamos (6) para estimar a norma da diferença entre duas aproximações sucessivas segue
(6)n nk k k
n n
× −
×
− ≤ −−α
x x x xα
1
1
como substituindo em (6)kk k k k
n n n n+ −
× ×− ≤ − ≤ −x x α x x α x x1 1 1 0
. Como caso particular, se escolhemos
, então e .
Portanto, (6 )́
k
n nk
n n
k
n n
n n n n n n n
k
n
n
n
×
×
×
×
×
+
×
×
×
− ≤
− ≤ −−
= = +
−
= + − = ≤
αx x x x
α
x β x β α x β α β x x α β
αx x β
α
α β
1 0
0 1 0 1 0
1
1
1
Esta desigualdade permite estimar o erro que estamos cometendo na iteração k. Note que este erro depende apenas dos dados do problema (a matriz e o vetor ).βn n×α
1.4.2- Estimativa do Erro do M étodo da Iteração ( Jacobi )
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1.4.3- Convergência do Método de Seidel ( Gauss-Seidel )
Primeira condição suficiente para a convergência do método de Seidel (Norma m).
Teorema: Se para o sistema (7) se verifica a condição . com
, então o método de Seidel converge para sua única solução
independentemente da escolha da aproximação inicial .
Note que a prova deste teorema prova como caso particular oCorolário 1 sobre a convergência do método da iteração.
Prova: Seja a aproximação k do método de Seidel. Ou seja,
Se o sistema (7) terá uma única solução que pode
n n×= +x α x β
n n m× <α 1 m ax < 1 (m -n o rm a)n
n n ijm ij
α×=
= ∑α1
n n×= +x α x β
x0
( , , , )k k k knx x x=x 1 2 L
( , , ) ( )i n
k k ki i ij j ij j
j j i
x x x i nβ α α−
−
= == + + =∑ ∑
11
1
1 8L
n n m× <α 1
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ser encontrada pelo método da iteração. Seja a solução exata de
Subtraindo (8) de (9) segue
Que substituindo na desigualdade anterior segue
Denotemos por s=s(k) o valor da componente que verifica
m-norma max segue que k k k ki i j jm mi
x x x x− = − − ≤ −x x x x
( , , , )nx x x=x 1 2 L
( )n
i i ij jj
x xβ α=
= +∑1
9
( ) ( ) logoi n
k k ki i ij j j ij j j
j j i
x x x x x xα α−
−
= =− = − + −∑ ∑
11
1
. Lembrando a definição dei n
k k ki i ij j j ij j j
j j i
x x x x x xα α−
−
= =− ≤ − + −∑ ∑
11
1
onde e ( )i n
k k ki i i i i ij i ijm m
j j i
x x p q p qα α−
−
= =− ≤ − + − = =∑ ∑x x x x
11
1
10
maxk k ks s i i mi
x x x x− = − = −x x
1.4.3- Convergência do Método de Seidel ( Gauss-Seidel )
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A desigualdade (10) é valida para todas as componentes i, logo é válida para a componente s e segue
Se definimos segue da desigualdade anterior
Agora devemos provar que . De fato
onde e
ou
( ) ou ( )
s nk k k
s s s s s sj s sjm mj j s
k k k ks s s sm m m
k k k kss sm m m m
s
x x p q p q
x x p q
qp q
p
α α−
−
= =
−
− −
− ≤ − + − = =
− = − ≤ − + −
− − ≤ − − ≤ −−
∑ ∑x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
11
1
1
1 111
max( )
i
ii
q
pµ
= − 1
( )k k
m mµ −− ≤ −x x x x 1 11
n n mµ ×≤ <α 1
+ por hipótese do Teoremai n n
i i ij ij ij n n mj j i j
p q α α α−
×= = =
+ = = ≤ <∑ ∑ ∑ α1
1 1
1
logo n n i n n i n ni m m mi n n i n nm m
i i i
p pqq p
p p p× × ×
× ×
− −≤ − ⇒ ≤ ≤ =
− − −α α α
α α1 1 1
1.4.3- Convergência do Método de Seidel ( Gauss-Seidel )
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Da desigualdade (11) segue
� .
Note que foi obtido:
Isto indica que sob certas condições o método
de Seidel converge melhor que o método da iteração. Neste caso é conveniente que a primeira equação do sistema tenha a menor soma dos módulos.
k k
m mµ −− ≤ −x x x x 1
logo ou n n i n n i n ni m m mn n m
i i i
p pq
p p pµ µ× × ×
×
− −= ≤ ≤ = < <
− − −α α α
α 1 11 1 1
e consequentemente limk k k
m m kµ
→∞− ≤ − =x x x x x x0
para o método da iteração
para o método de Seidel com
k kn n mm m
k kn n mm m
µ µ
−×
−×
− ≤ −
− ≤ − ≤
x x α x x
x x x x α
1
1
max( )
i
ii
q
pµ
= − 1
nninniinniinnii pppqpqp ×××× <<<<<≤+ αα e α logo 1 1, 1, α
0 , 11
11 ==∑=
pqn
ijα
1.4.3- Convergência do Método de Seidel ( Gauss-Seidel )
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Teoremas e provas semelhantes podem ser construídos se consideramos em lugar da m-norma (linha) a l-norma (coluna) e k-norma (Euclidiana).
Teorema: Se para o sistema (7) se verifica a condição com
, então o método de Seidel converge para sua única solução
independentemente da escolha da aproximação inicial .
Teorema: Se para o sistema (7) se verifica a condição com
, então o método de Seidel converge para sua única soluçãoindependentemente da escolha da aproximação
inicial .
n n×= +x α x β
n n l× <α 1 m ax < 1 ( l-n o rm a)n
n n ijl ji
α×=
= ∑α1
n n×= +x α x β
x0
< 1 ( k - n o r m a )n n
n n i jki j
α×= =
= ∑ ∑α2
1 1
n n×= +x α x β
n n k× <α 1
n n×= +x α x β
x0
1.4.3- Convergência do Método de Seidel ( Gauss-Seidel )
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Passando ao limite quando nesta desigualdade segue
1.4.4- Estimativa do Erro do M étodo de Seidel (Gauss-Seidel )
p → ∞
e k k k k k p k k kµµµ
+ − + −− ≤ − − ≤ −−
x x x x x x x x1 1 1
1
Procedendo semelhante ao descrito para o método da iteração obtemos
lim e consequentemente k p k k k
p
µµ
+ −
→∞= − ≤ −
−x x x x x x 1
1
max( )
i
ii
q
pµ
= − 1
ou por componente
max se max
então .
kk
kk
i i j j j j kj j
k
x x x x x x
µµ
µ µ εµ µ
ε
− ≤ −−
−− ≤ − − <−
− <
x x x x
x x
1 0
1 0 1 0
1
11
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Estimativa do erro na m-norma:
1.4.5- Resumo da Convergência e Estimativa do Erro para o M étodo da Iteração ( Jacobi )
Os métodos da Iteração e de Seidel convergem se alguma norma canônica da matriz é menor que a unidade:
1 0 Método da Iteração1
k
n nk
n n
×
×
− ≤ −−α
x x x xα
n n×α
n n m× <α 1
1
0
1 0 1 0
Como caso particular, se escolhemos , então
e .
Portanto, 1
k
n nk
n n n n n n n n
n n
× ×
+×
× ×
×
=
= + = + − = ≤
− ≤−
x β
x β α x β α β x x α β
β
β
α
α
α
x x
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Estimativa do erro na m-norma:
1.4.5- Resumo da Convergência e Estimativa do Erro para o M étodo de Seidel ( Gauss-Seidel )
Os métodos da Iteração e de Seidel convergem se alguma norma canônica da matriz é menor que a unidade:
max( )
i
ii
q
pµ
= − 1
1 0 Método de Seidel1
kk µ
µ− ≤ −
−x x x x
n n×α
n n m× <α 1
1
1
onde e i n
i ij i ijj j i
p qα α−
= == =∑ ∑
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Método do Gradiente Conjugado (1952, CG) : pode ser utilizado para resolver o sistema linear sempre que a matriz A seja simétrica.
Método do Gradiente Conjugado Quadrado (1989, CGS) : pode ser utilizado para resolver o sistema linear quando a matriz A não é simétrica.
1.5- Método do Gradiente Conjugado e Método do Gradiente Conjugado Quadrado
Para resolver sistemas lineares de equações algébricas existem mais “métodos iterativos” que os estudados no tópico 1.3. Aqui apresentamos sinteticamente dois outros métodos.
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Método do Gradiente Conjugado (1952, CG) : Passos da iteração do método:
0- escolher e se calculam os vetores e
1- calcular , onde (r,p) é o produto interno dos vetores r e p.
2- calcular
3- calcular
4- calcular
5- calcular
6- Repetir os passos 1 ao 5 até satisfazer um critério de parada.
1.5- Método do Gradiente Conjugado e Método do Gradiente Conjugado Quadrado
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Algumas peculiaridades do método CG (Conjugate Gradient) :
1- A matriz A tem que ser simétrica.
2- A convergência do método não é monótona, diferente àconvergência dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel que são monótonas.
3- A convergência é lenta, mas a taxa de convergência tende a aumentar com o aumento das iterações, podendo chegar a ser convergência superlinear.
4- Em aritmética exata o método converge em até “n” iterações (método direto). Em aritmética de precisão finita existem erros de round-off e a convergência em até “n” iterações não égarantida.
1.5- Método do Gradiente Conjugado e Método do Gradiente Conjugado Quadrado
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Método do Gradiente Conjugado Quadrado (1989, CGS) : Passos da iteração do método:
0- escolher e calcular , e
1- calcular
2- calcular
3- calcular
4- calcular
5- calcular
6- calcular
7- calcular
Repetir os passos do 1 ao 7 até verificar um critério de parada.
1.5- Método do Gradiente Conjugado e Método do Gradiente Conjugado Quadrado
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Algumas peculiaridades do método CGS (Conjugate GradientSquared) :
1- Desenvolvido para matrizes A não simétricas.
2- A convergência não é monótona.
Referencias Bibliográficas:
Hestenes MR, Stiefel E (1952) Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems. Journal of Research of the National Bureau of Standards, Vol. 49, No. 6, 409–436.
Lanczos C (1952) Solution of systems of linear equations by minimized iteration. Journal ofResearch of the National Bureau of Standards, Vol. 49, 33–53.
Sonneveld P (1989) CGS: a fast Lanczos-type solver for nonsymmetric linear systems. SIAM J Sci Stat Comput, Vol. 10, No. 1, 36–52.
Sandip M (2016) Numerical Methods for Partial Differential Equations: Finite Difference andFinite Volume Methods. Academic Press. ISBN: 978-0-12-849894-1
1.5- Método do Gradiente Conjugado e Método do Gradiente Conjugado Quadrado
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Frase do Dia
“O objetivo de minha teoria é estabelecer de uma vez por todas a certeza dos métodos matemáticos... O estado atual das coisas, em que nos chocamos com os paradoxos, é intolerável. Imaginem as definições e os métodos dedutivos que todos apreendem, ensinam e usam em matemática, os paradigmas de verdade e de certeza, conduzindo a absurdos! Se o pensamento matemático édefeituoso, onde acharemos verdade e certeza?”
D. Hilbert, “On the Infinite”, em Philosophy of Mathematics, de Benacerraf e Putnam.