mục lục - z3.ifrm.comz3.ifrm.com/28022/192/0/p354051/hamsuyrong1.pdf · của toán tử vi...

Mục lục

1 Một số kiến thức mở đầu 21.1 Các ký hiệu và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Đạo hàm suy rộng (Đạo hàm yếu, đạo hàm theo nghĩa Sôbôlep) 31.3 Phân hoạch đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Các không gian hàm cơ bản và hàm suy rộng 82.1 Không gian D(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Không gian ℑ(Rn) hay ℑ (không gian Schwarz) . . . . . . . . 92.3 Hàm suy rộng trên các không gian cơ bản D(Ω) và ℑ . . . . 102.4 Chuyển qua giới hạn trong không gian hàm suy rộng . . . . . 12

3 Đạo hàm của hàm suy rộng 143.1 Đạo hàm của hàm suy rộng trong R . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Đạo hàm của hàm suy rộng nhiều biến . . . . . . . . . . . . . 16

4 Vấn đề tồn tại nguyên hàm của hàm suy rộng 21

5 Tích chập của các hàm suy rộng 24

6 Phép biến đổi Fourier 286.1 Biến đổi Fourier trong ℑ(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.2 Biến đổi Fourier trong không gian ℑ′(Rn) . . . . . . . . . . . 34

7 Không gian Sobolev 367.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.2 Không gian Hs(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.3 Không gian Hs(Rn

+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.4 Không gian Sobolev trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.4.1 Đa tạp khả vi không biên . . . . . . . . . . . . . . . . 457.4.2 Đa tạp có biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.4.3 Hàm số trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.4.4 Dãy Sobolev trên đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . 47

1

Chương 1

Một số kiến thức mở đầu

1.1 Các ký hiệu và định nghĩa

• Rn := x = (x1, x2, . . . , xn) : xk ∈ R.

• Rn+ := x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ R

n : xn > 0.

• Rn+ := x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ R

n : xn ≥ 0.

Tập mở U ∈ Rn, U : tập đóng nhỏ nhất chứa U. f : U → R. Nếu f(x) có

tất cả các đạo hàm riêng liên tục trong U thì ta nói f(x) là hàm trơn trongU thì ta nói f(x) là hàm trơn trong U và viết f ∈ C∞(U).Cho một véc tơ α = (α1, α2, . . . , αn), trong đó α1, α2, . . . , αn là các sốnguyên không âm và ký hiệu |α| = α1 + α2 + · · · + αn,khi đó véc tơ α đượcgọi là một đa chỉ số cấp |α|.

Nếu f(x) ∈ C∞(U) thì ta ký hiệu Dαf = D|α|f

∂xα1

1∂x

α2

2···∂xαn

n. Nếu k ∈ N thì ta

ký hiệu Dkf = Dαf : |α| = k.Nếu f(x) là hàm liên tục trong R

n, f ∈ C(Rn), thì ta ký hiệuA = x ∈ R

n : f(x) 6= 0. Khi đó bao đóng của A được gọi là giácủa hàm f và ký hiệu suppf. Nếu suppf compact thì hàm f(x) được gọi làcó giá compact.

• C(U) : tập các hàm liên tục trong U.

• Ck(U) : tập các hàm liên tục có các đạo hàm riêng liên tục cho đến cấpk trong U.

• C∞(U) : tập các hàm khả vi vô hạn trong U.

• Ck0 (U) : tập các hàm khả vi liên tục đến cấp k và có giá nằm trong U.

• C∞0 (U) : tập các hàm khả vi vô hạn và có giá nằm trong U.

2

Chương 1. Một số kiến thức mở đầu 3

• Lp(U) : là tập hợp các hàm f đo được theo nghĩa Lơbe trong U sao cho:

‖f‖p = (

∫

U

|f(x)|pdx)1

p < ∞.

• Lloc(U) là tập hợp các hàm trong U sao cho với mọi tập V compacttrong U thì f khả tích trong V.

1.2 Đạo hàm suy rộng (Đạo hàm yếu, đạo hàm theonghĩa Sôbôlep)

a) Khái niệm về đạo hàm theo nghĩa cổ điển chưa đủ để xây dựng lý thuyếtchung về phương trình vi phân đạo hàm riêng:

Ví dụ 1. Xét hai phương trình trong Rn :

∂2f∂x∂y

= 0,∂2f∂y∂x

= 0.

Về mặt phương trình đạo hàm riêng đòi hỏi hai phương trình này làtương đương nhưng trên thực tế có nhiều hàm số là nghiệm của phươngtrình này nhưng không phải là nghiệm của phương trình kia. Vấn đèđặt ra: mở rộng vấn đề về đạo hàm để sao cho ít nhất hai phương trìnhđã cho là tương đương. Nói cách khác là phải mở rộng miền xác địnhcủa toán tử vi phân sao cho đạo hàm theo nghĩa cổ điển là trường hợpriêng của đạo hàm theo nghĩa suy rộng.

b) Nhận xét: nếu f khả tích địa phương trên R, f, f ′ ∈ LR

loc, ϕ ∈

C∞0 (R), suppϕ ∈ [a, b] khi đó áp dụng công thức tích phân từng phần

ta có+∞∫

−∞

f(x)ϕ′(x)dx = −

+∞∫

−∞

f(x)′ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C∞0 (R).

Tương tự, ∀f ∈ Ck(R) ta có

+∞∫

−∞

f(x)ϕk(x)dx = (−1)k

+∞∫

−∞

f(x)kϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C∞0 (R).

Tổng quát hơn, nếu f ∈ Ck(R), U ∈ Rn mở, ϕ ∈ Ck

0 (R), suppϕ ∈ U.

Chọn V ⊂ V ⊂ U, sao cho biên ∂V đủ trơn sao cho suppϕ ⊂ V ⊂ V .


Ta thấy∫

U

f(x)∂ϕ

∂x1dx =

∫

V

[∂

∂x1(fϕ) − ϕ

∂f

∂x1]dx

=

∫

V

∂

∂x1(fϕ)dx −

∫

V

ϕ∂f

∂x1dx

=

∫

∂V

fϕ cos(x, x1)ds −

∫

V

ϕ∂f

∂x1dx

= −

∫

U

∂f

∂x1ϕ(x)dx.

Tương tự với mọi đa chỉ số α : |α| = k ta có:∫

U

f(x)D|α|ϕ(x)dx = (−1)|α|

∫

U

Dkf(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C∞0 (U).

Từ đây ta đưa ra định nghĩa hàm suy rộng như sau

Định nghĩa 1.2.1. Cho tập mở U ⊂ Rn, f ∈ Lloc(R

n), nếu tồn tại hàmg(x) trong U và một đa chỉ số α sao cho

∫

U

f(x)Dαϕ(x)dx = (−1)|α|∫

U

g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C∞0 (U),

thì ta ký hiệug(x) = Dαf(x),

và hàm g(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm f(x) trongU.

Nhận xét:

1. Nếu hàm f(x) ∈ C |α|(U) thì đạo hàm suy rộng cấp α cũng chínhlà đạo hàm theo nghĩa cổ điẻn, nhưng nguợc lại không đúng.

2. Nếu hàm f(x) có đạo hàm suy rộng cấp α thì chưa chắc đã có đạohàm cấp bé hơn hoặc bằng.

Ví dụ 2. Xét tập mở U ⊂ R2, f(x) = f1(x)+f2(x), trong đó f1, f2

là các hàm khả tích địa phương nhưng không khả vi.


Lấy ϕ ∈ C∞0 (U). Ta thấy

∫

U

f1(x)∂2ϕ

∂x∂ydxdy =

b∫

a

f1(x)[∂ϕ

∂x]y=β(x)y=α(x)dx = 0,

do suppϕ ⊂ U. Tương tự

∫

U

f2(x)∂2ϕ

∂x∂ydxdy =

b∫

a

f2(x)[∂ϕ

∂x]y=β(x)y=α(x)dx = 0.

Hơn thế∫

U

f(x)∂2ϕ

∂x∂ydxdy =

∫

U

f1(x)∂2ϕ

∂x∂ydxdy +

∫

U

f(x)∂2ϕ

∂x∂ydxdy = 0.

Theo định nghĩa, tồn tại đạo hàm suy rộng ∂2f∂x∂y

≡ 0 trong U. Tương

tự ∂2f∂y∂x

≡ 0

1.3 Phân hoạch đơn vị

Định lí 1.3.1. Cho tập mở Ω ⊂ Rn, tập compact K ⊂ Ω, khi đó tồn tại hàm

h(x) ∈ C∞0 (Ω) sao cho:

1. 0 ≤ h(x) ≤ 1,∀x ∈ Ω.

2. h(x) = 1,∀x ∈ K.

3. h(x) = 0,∀x /∈ Ω.

Chứng minh. Đặt f(t) =

e1

t t < 0,0 t ≥ 0,

khi đó f(t) ∈ C∞(R). Ta xây dựng

một hàm ϕ ∈ C∞0 (Rn), suppϕ ⊂ B(0, 1) như sau : ϕ(x) = f(|x|2 − 1).

Với ε > 0 bất kì, đặt ϕε(x) = cεf(|xε|2 − 1), trong đó c−1

ε =∫

Rn

f(|xε|2 − 1)dx.

Rõ ràng,

ϕε(x) ∈ C∞0 (Rn), suppϕε = B(0, ε), và

∫

Rn

ϕε(x)dx = 1.

Chọn ε > 0 đủ bé sao cho Kε =⋃

x∈K

B(x, ε) ⊂ K2ε ⊂ Ω. Đặt

h(x) =

∫

Kε

ϕε(x − y)dy.


• Nếu x ∈ K, thì h(x) =∫

B(x,ε)

ϕε(x − y)dy = 1.

• Nế|u x /∈ Ω thì h(x) = 0 (do |x − y| > ε).

• Nếu y ∈ Kε, x ∈ Ω thì 0 ≤ h(x) ≤∫

B(x,ε)

ϕε(x − y)dy = 1.

Tương tự trên ta thấy h(x) = 0 nếu x /∈ K2ε. Từ chỗ K2ε là compact, dẫntới h(x) ∈ C∞

0 (Rn)

Hệ quả 1.3.2. Cho tập mở Ω ∈ Rn, tập compact K ⊂ Ω, hàm f : Ω −→

mathbbR. Khi đó tồn tại hàm h(x) sao cho ϕ(x) ∈ C∞0 (Rn) và

ϕ(x) =

f(x) x ∈ K,0 x /∈ Ω,

ϕ(x) = h(x)f(x).

Định nghĩa 1.3.3. Cho tập mở Ω ⊂ Rn, họ các tập mở Ωi

∞i=1 được gọi là

một phủ mở của Ω nếu Ω ⊂∞⋃

i=1

Ωi.

• Nếu họ Ωi là hữu hạn thì phủ Ωi gọi là phủ hữu hạn.

• Nếu Ωi là các tập compact thì phủ Ωi gọi là phủ compact.

• Đặc biệt, nếu Ω là tập compact trong Rn thì luôn tồn tại một phủ hữu

hạn của Ω.

Định nghĩa 1.3.4. Cho Ω ⊂ Rn và Ωi là phủ mở hũư hạn của Ω. Khi đó

họ các hàm ei(x) được gọi là một phân hoạch đơn vị của Ω ứng với phủmở Ωi nếu thỏa mãn các điều kiện sau :

1. ei(x) ∈ C∞0 (Ωi), suppei ⊂ Ωi.

2. 0 ≤ ei(x) ≤ 1,∀x ∈ Ωi.

3.∑

ei(x) = 1,∀x ∈ Ω.

Định lí 1.3.5. Cho tập compact K ∈ Rn, Ωi là một phủ mở của K, khi

đó tồn tại phân hoạch đơn vị ei(x) của K.

Bổ đề 1.3.6. Cho tập compact K ∈ Rn, Ωi

mi=1 là một phủ mở của K. Khi

đó với mỗi i, tồn tại tập compact Ki ⊂ Ωi sao cho K ⊂m⋃

i=1

Ki.


Chứng minh. (Bổ đề) Đặt F1 = K\⋃

k 6=i

Ωk. Do F1 ⊂ Ωi là tập compact, tồn

tại tập mở bị chặn V1 sao cho F1 ⊂ V1 ⊂ V1 ⊂ Ω1. Chọn K1 = V1. Rõ ràngK1 là compact, hơn thế V1, Ω2, . . . , Ωm là phủ mở của K.

Tương tự với các phủ mới ta chọn các tập mở V2, . . . , Vm và các tập compactK2 . . . , Km sao cho

K ⊂⋃

Vi ⊂⋃

Vi =⋃

Ki.

Chứng minh. (Chứng minh định lí) Theo bổ đề, mỗi i = 1, 2, . . . ,m, tồntại tập compact Ki ⊂ Ωi : K ⊂

⋃

Ki. Khi đó, ứng với mỗi i, tồn tại hàmhi(x) ∈ C∞

0 (Ωi) thỏa mãn điều kiện

0 ≤ hi(x) ≤ 1 ∀x ∈ Ωi,hi(x) = 1 ∀x ∈ Ki.

Họ ei(x) = hi(x)∑

hi(x) ,∀x ∈ K thỏa mãn định lí.

Chương 2

Các không gian hàm cơ bản và hàmsuy rộng

2.1 Không gian D(Ω)

Cho tập mở Ω ⊂ Rn. Với phép cộng hàm số và phép nhân hàm số với một

hằng số thì Ck0 (Ω) là một không gian tuyến tính, ký hiệu D

k(Ω).

D(Ω) =∞⋂

k=1

Dk(Ω).

Dk(Ω) là không gian tuyến tính các hàm khả vi vô hạn, có giá compact trong

Ω. Mọi hàm ϕ ∈ Dk(Ω) được gọi là hàm thử. Đặc biệt, D

k(Rn) := D.Trong D ta có thể đưa ra khái niệm tôpô như sau:

Định nghĩa 2.1.1. Ta nói dãy hàm ϕm∞m=1 ⊂ D(Ω) hội tụ đến hàm ϕ(x)

khi m → +∞ nếu

1. Tồn tại tập compact K ⊂ Ω sao cho suppϕm ⊂ K, ∀k và suppϕ ⊂ K.

2. Với mọi α, dãy Dαϕm hội tụ đều trên tập K.

Ví dụ 3. (???????????)

ϕ(x) =

exp( 1|x|2−1) |x| < 1,

0 |x| ≥ 1.

Hàm ϕ(x) ∈ C∞0 (Rn), suppϕ ⊂ B(0, 1).

Lập dãy ϕm(x) = 1m

ϕ(x) ⊂ D, suppϕm ⊂ B(0, 1) = K.

Định lí 2.1.2. D(Ω) là không gian đủ.

8

Chương 2. Các không gian hàm cơ bản và hàm suy rộng 9

2.2 Không gian ℑ(Rn) hay ℑ (không gian Schwarz)

Ta gọi ℑ(Rn) là tập hợp các hàm f(x) ∈ C∞(Rn) sao cho với mọi đa chỉ sốα và β :

supx

|xαDβf(x)| < +∞.

Ví dụ 4. (Các hàm trong không gian ℑ(Rn))

a) f(x) ∈ C∞0 (Rn).

b) f(x) = exp(−a|x|2), a > 0.

c) f(x) = exp(−|x|2)∑

|α|≤k

aαxα.

Định nghĩa 2.2.1. Ta nói dãy hàm ϕm ⊂ ℑ(Rn) hội tụ về 0 nếu

limm→∞

supx

|xαDβϕm(x)| = 0,∀αβ.

Định lí 2.2.2. Không gian ℑ(Rn) là không gian đủ.

Chứng minh. Cho ϕm là dãy cơ bản trong ℑ.

• α = β = 0 : limm,p→∞

supx

|ϕm+p − ϕm| = 0. Từ đây tồn tại

ϕ(x) = limm→∞

ϕm(x),∀x ∈ Rn.

• α = 0 : limm,p→∞

supx

|Dβϕm+p −Dβϕm| = 0. Dãy Dβϕm hội tụ đều dẫn

tớilim Dβϕm = Dβϕ.

Nói cách khác ϕ(x) ∈ C∞(Rn).

• Do supx

|xαDβϕm(x)| < ∞ và limm→∞

supx

|xαDβ(ϕm(x) − ϕ(x))| = 0, ta

cóϕ ∈ ℑ(Rn).


2.3 Hàm suy rộng trên các không gian cơ bản D(Ω)

và ℑ

Định nghĩa 2.3.1. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên một không giancơ bản được gọi là một hàm suy rộng trên không gian đó.

Như vậy: nếu f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω) (hoặc ℑ ) thì∀ϕ ∈ D(Ω), ϕ 7−→ (f, ϕ) ∈ R.

Tập các hàm suy rộng trên D(Ω) và ℑ được ký hiệu lần lượt là D′(Ω),ℑ′

Ta có ℑ′ ⊂ D′, ( hàm suy rộng f hiểu theo nghĩa giới hạn trên không gian).

Ví dụ 5. (Các ví dụ)

1. Cho f là hàm khả tích địa phương trong Ω, với mọi ϕ ∈ D(Ω) ta xácđịnh phiếm hàm (f, ϕ) =

∫

Ω

f(x)ϕ(x)dx.

(f bị chặn trong mọi tập compact K ∈ Ω. ??????)Không có gì nhầm lẫn ta ký hiệu f là hàm suy rộng trên hay f ∈ D

′(Ω).(Hàm suy rộng đều).

2. Hàm δ− Dirac: (δ, ϕ) = ϕ(0).Hàm δ− dịch chuyển (δ, ϕ(x − a)) = ϕ(a).Nhận xét: Hàm δ không phải là một phiếm hàm suy rộng đều.

Chứng minh. Giả sử ngược lại

∀ϕ ∈ D(R) : (δ, ϕ) =

+∞∫

−∞

δ(x)ϕ(x)dx = ϕ(0).

Chọn

ϕε(x) =

exp( ε2

|x|2−ε2 ) |x| < ε,

0 |x| ≥ ε.

Khi đó

(δ, ϕε) =

+∞∫

−∞

δ(x)ϕε(x)dx = ϕε(0) =1

e.

Cho ε → 0 ta có+∞∫

−∞

δ(x)ϕε(x)dx → 0 6= 1e

mâu thuẫn.

Từ tính chất trên, hàm δ được gọi là hàm suy rộng kì dị.


3. Xét f(x) là một đa thức trong R.

f(x) = a0 + a1x + · · · + akxk, ai ∈ R.

Xác định một phiếm hàm

f :ℑ(R) −→ R

ϕ 7−→ (f, ϕ) =

∫

R

f(x)ϕ(x)dx =k

∑

i=1

ai

∫

R

xiϕ(x)dx.

Tương tự với trường hợp tổng quát, (f, ϕ) =∑

|α|≤k

ak

∫

Rn

xαϕ(x)dx.

4. Hàm suy rộng đơn vị và hàm suy rộng không được ký hiệu lần lượt là1 và 0.

(1, ϕ) =

∫

Ω

ϕdx.

Định nghĩa 2.3.2. (Các phép toán về hàm suy rộng)

(a) Phép cộng hàm suy rộng: Cho f, g là hai hàm suy rộng. Ta gọi tổngcủa hai hàm suy rộng f, g là một hàm suy rộng được ký hiệu là f + gđược xác định theo qiu tắc

(f + g, ϕ) = (f, ϕ) + (g, ϕ).

(b)Phép nhân hàm suy rộng với hằng số:

(kf, ϕ) = k(f, ϕ).

(c) Cho f ∈ D′(Ω), α(x) ∈ C∞(Ω). Khi đó αf là hàm suy rộng của D

′(Ω)xác định như sau:

(αf, ϕ) = (f, αϕ).

Định nghĩa 2.3.3. Cho hai hàm suy rộng f, g ∈ D′(Ω) ta nói f ≡ g nếu

(f, ϕ) = (g, ϕ),∀ϕ ∈ D(Ω).

Định lí 2.3.4. Cho f và g là hai hàm suy rộng trong không gian D′(Ω) và

với mỗi x ∈ Ω tồn tại một lân cận Ωx ⊂ Ω sao cho f = g trong Ωx. Khi đó,f = g trong Ω.


Chứng minh. Lấy ϕ là hàm tùy ý trong D(Ω), và tập compact K = suppϕ ⊂Ω. Tồn tại một phủ mở hữu hạn Ωx : x ∈ K của K. Gọi ei(x) là phânhoạch đơn vị của tập K ứng với phủ mở Ωx. Ta víêt hàm

ϕ(x) =m

∑

i=1

ei(x)ϕ(x).

Ta có

(f, ϕ) =m

∑

i=1

(f, ei(x)ϕ) =m

∑

i=1

(g, ei(x)ϕ)

= (g,m

∑

i=1

ei(x)ϕ) = (g, ϕ).

Định nghĩa 2.3.5. Cho hàm f ∈ D′(Ω), ký hiệu A là tập hợp các điểm

x ∈ Ω sao cho không tồn tại một lân cận Ωx nào mà trong đó f ≡ 0. Ta gọibao đóng của A là giá của hàm suy rộng f và ký hiệu suppf.

Chú ý: Nếu hàm f liên tục trong Ω, xác định một hâm suy rộng trongD

′(Ω), khi đó giá của f theo nghĩa thông thường và theo nghĩa suy rộng làtrùng nhau .Giả sử tập mở U ⊂ Ω, ta nói hàm suy rộng f thuộc lớp C∞(U) nếu tồn tạihàm g ∈ C∞(U) sao cho (f, ϕ) = (g, ϕ),∀ϕ ∈ C∞

0 (U).

Định nghĩa 2.3.6. Ta ký hiệu B là tập hơp các điểm x ∈ Ω sao cho khôngtồn tại một lân cận Ωx nào đó mà f ∈ C∞(Ωx). Bao đóng của B ký hiệu làsíngsuppf và gọi là giá kì dị của hàm suy rộng f.

2.4 Chuyển qua giới hạn trong không gian hàm suyrộng

Cho dãy các hàm suy rộng trong D′(Ω) (hay ℑ) f1, f2, · · · . Ta nói dãy hàm

suy rộng fm hội tụ đều tới hàm suy rộng f nếu

limm→∞

(fm, ϕ) = (f, ϕ),∀ϕ ∈ D(Ω)

Cho một dãy các hàm suy rộng u1, u2, · · · , ta lập các tổng fm =m∑

i=1

ui như

vậy ta có dãy hàm suy rộng fm và ký hiệu hình thức

limm→∞

fm =∞

∑

i=1

ui,


(gọi là chuỗi hàm suy rộng). Tương tự ta có khái niệm hội tụ và phân kì củachuỗi số.

1. Nếu dãy hàm suy rộng fm hội tụ thì có giới hạn là duy nhất .

2. Nếu dãy hàm số fm và gm hội tụ thì

limm→∞

(αfm + βgm) = α limm→∞

(fm) + β limm→∞

(gm),∀α, β ∈ R.

Ví dụ 6. Cho f(x) = 1x

là hàm khả tích địa phương nhưng không xácđịnh hàm suy rộng thuộc D

′. Vì vậy ta xây dựng một hàm kỳ dị nhưsau:Lấy ε > 0 nhỏ tuỳ ý, ϕ ∈ D(R)

(f, ϕ) =

∫

|x|≥ε

ϕ(x)

xdx +

ε∫

−ε

ϕ(x) − ϕ(0)

xdx.

Vậy f là hàm kì dị.Ứng với mỗi ε > 0, ta xác định hàm

fε(x) =

1x

|x| ≥ ε0 |x| < ε.

Hàm fε(x) khả tích địa phương và xác định một hàm suy rộng trongD

′. Khi ε → 0 ta có

limε→0

(fε, ϕ) = (fε, ϕ),∀ϕ ∈ D(Ω).

Chương 3

Đạo hàm của hàm suy rộng

Trước hết ta xét đạo hàm trong D′, sau đó xét đạo hàm trong ℑ.

3.1 Đạo hàm của hàm suy rộng trong R

Nhận xét:Nếu f(x) ∈ C∞(R) thì khi đó f xác định một hàm suy rộng f ∈ D

′(R) :

(f, ϕ) =

∞∫

−∞

f(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(R).

Hơn nữa, đạo hàm f ′(x) ∈ C∞(R) cũng là một hàm suy rộng và

(f ′, ϕ) = −(f, ϕ′),

(tích phân từng phần). Tương tự,

(f (k), ϕ) = (−1)k(f, ϕ(k)).

Định nghĩa 3.1.1. Cho f là một hàm suy rộng trong D′(R, ta gọi đạo hàm

của hàm suy rộng f là một phiếm hàm trong D(R), được kí hiệu là f ′ xácđịnh theo qiu tắc

(f ′, ϕ) = −(f, ϕ′).

Rõ ràng f ′ ∈ D′(R).

Tổng quát: đạo hàm cấp k của hàm suy rộng f ∈ D′(R) là một hàm suy

rộng được kí hiệu là f (k) xác định theo qiu tắc

(f (k), ϕ) = (−1)k(f, ϕ(k)).

Nhận xét:

14

Chương 3. Đạo hàm của hàm suy rộng 15

1. Nếu f(x) là hàm khả tích địa phương trong R và có đạo hàm sôbôlepcấp k thì đạo hàm suy rộng cấp k cũng trùng với đạo hàm sôbôlep cấpk của hàm f.

2. Nếu f ∈ D′(R), α(x) ∈ C∞(R) thì

((αf)′, ϕ) = (−αf, ϕ′)

= (f,−αϕ′) = (f,−(αϕ)′ + α′ϕ) = (f ′, αϕ) + (f, α′ϕ)

= (αf ′ + α′f, ϕ).

3. Xác định hàm θ(x) như sau

θ(x) =

1 x > 0,0 x ≤ 0,

(Hàm Heauside).Hàm θ(x) khả tích địa phương do đó xác định một hàm suy rộng θ(x) ∈D

′. Ta thấy

(θ′, ϕ) = −

∞∫

−∞

θ(x)ϕ′(x)dx

= −

∞∫

0

ϕ′(x)dx = ϕ(0).

Do đó θ′ = δ. Tương tự, θ′(x − a) = δ(x − a).

4. Tính đạo hàm δ(x)?

(δ′, ϕ) = −(δ, ϕ′) = −ϕ′(0).

5. Hàm f(x), có đạo hàm f ′(x) với mọi x 6= x0, tại x0, hàm f(x)có bướcnhảy h = f(x0 + 0) − f(x0 − 0). Tìm đạo hàm suy rộng của f(x)?Ta thấy

(f ′, ϕ) = −(f, ϕ′) = −

x0∫

−∞

f(x)ϕ′dx −

−∞∫

x0

f(x)ϕ′dx

= [f(x0 + 0) − f(x0 − 0)]ϕ(x0) +

∞∫

−∞

f ′(x)ϕdx

= hϕ(x0) + (f ′, ϕ)

= h(δ(x − x0), ϕ) + (f ′, ϕ)

= (hδ(x − x0) + f ′, ϕ).


Tương tự, nếu f có các bước nhảy h1, h2, . . . , hm tại các điểmx1, x2, . . . , xm, tồn tại f ′ tại x 6= xi thì f xác định một hàm suy rộngvà có đạo hàm suy rộng

f ′sr = f ′ +

k∑

i=1

hiδ(x − xi).

3.2 Đạo hàm của hàm suy rộng nhiều biến

Định nghĩa 3.2.1. Cho tập mở Ω ⊂ Rn, f ∈ D

′(Ω). Khi đó đạo hàm cấp αcủa hàm suy rộng f trong miền Ω là một phiếm hàm g xác định theo qiu tắc

(f,∂αϕ

∂xα1

1 · · · ∂xαnn

) = (−1)|α|(g, ϕ).

Ký hiệu

g =∂αf

∂xα1

1 · · · ∂xαnn

.

Rõ ràng, g ∈ D′(Ω).

Nhận xét:

1. Hàm suy rộng f ∈ D′ có đạo hàm mọi cấp.

2. ∀f ∈ D′ ta có

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x.

3. Nếu f là hàm khả tích địa phương trongΩ, có đạo hàm Sobolev Dαf,

đạo hàm suy rộng trung vớí đạo hàm Sobolev.

Ví dụ 7. Hàm Heuaside

θ(x) =

1 x1 > 0, . . . , xn > 0,0 ∃xi ≤ 0.

Tính đạo hàm suy rộng∂nθ

∂x1 · · · ∂xn

.


(∂nθ

∂x1 · · · ∂xn

, ϕ) = (−1)n(θ,∂nϕ

∂x1 · · · ∂xn

)

= (−1)n

∫

Rn

θ(x)∂nϕ

∂x1 · · · ∂xn

dx

= (−1)n

∞∫

0

dx1

∞∫

0

dx2 · · ·

∞∫

0

∂nϕ

∂x1 · · · ∂xn

dxn

= ϕ(0) = (δ, ϕ).

Ví dụ 8. Nghiệm cơ bản của toán tử Laplace trong Rn : ∆ =

n∑

k=1

∂2

∂x2

k

.

Nếu hàm f ∈ C2(Rn) thì ∆f =n∑

k=1

∂2f∂x2

k

. Phương trình ∆f = 0 gọi là phương

trình Laplace.

Nếu hàm f ∈ C2(Rn) và ∆f = 0 thì f được gọi là hàm điều hòa.

Ký hiệu: r =√

x21 + x2

2 + · · · + x2n. Xét hàm f(x) = f(r). Ta thấy

∆f = f ′′(r) +n − 1

rf ′(r).

Hàm f(x) khả tích địa phương trong Ω được gọi là thỏa mãn phương trình

∆f = g ∈ D′(Ω)

nếu(∆, ϕ) = (g, ϕ),∀ϕ ∈ D(Ω).

Hàm f(x) = 1r

trên R3 trong miền Ω không chứa gốc toạ độ là một hàm điều

hoà. Với ε > 0, gọi Sε là mặt cầu tâm O bán kính ε. Chọn R > 0 đủ lớn saocho mặt cầu SR chứa suppϕ. Đặt S = Sε ∪ SR và G là miền giới hạn bởi S.

Áp dụng công thức Green với u, v ∈ C2(G) ta có∫∫∫

G

(u∆v − v∆u)dx =

∫∫

S

(u∂v

∂n− v

∂u

∂n)dS,

n là tiếp tuyến mặt ngoài của mặt S.

Áp dụng cho miền G đã chọn và u = 1r, v = ϕ ta có

∫∫∫

ε≤|x|≤R

1

r∆ϕdx =

∫∫∫

G

1

r∆ϕdx

=

∫∫∫

G

ϕ∆1

rdx +

∫∫

Sε∪SR

[1

r

∂ϕ

∂n− ϕ

∂

∂n(1

r)]dS.


Trên SR : n = ~r, Sε : n = −~r. Vì suppϕ ∈ G nên trên SR thì ϕ = 0 và∂ϕ∂n

= 0 do đó∫∫

SR

[1

r

∂ϕ

∂n− ϕ

∂

∂n(1

r)]dS = 0.

Miền G không chứa gốc toạ độ nên ∆1r

= 0 trong G do đó∫∫∫

G

ϕ∆(1

r)dx = 0.

Cuối cùng∫∫∫

ε≤|x|≤R

1

r∆ϕdx =

∫∫∫

G

1

r∆ϕdx =

∫∫

Sε

[1

r

∂ϕ

∂n− ϕ

∂

∂n(1

r)]dS,

trong đó, trên Sε

∫∫

Sε

1

r

∂ϕ

∂ndS =

1

ε

∫∫

Sε

−∂ϕ

∂rdS = −

∂ϕ(P1)

ε∂r4πε2, P1 ∈ Sε.

Hàm ∂ϕ∂r

bị chặn trên Sε. do đó

limε→0

∫∫

Sε

1

r

∂ϕ

∂ndS. = 0

Ngoài ra,

−

∫∫

Sε

ϕ∂

∂n(1

r)dS =

∫∫

Sε

ϕ∂

∂r(1

r)dS

= −

∫∫

Sε

ϕ1

r2dS

= −1

ε2

∫∫

Sε

ϕdS

= −1

ε2ϕ(P2)4πε2

= −4πϕ(P2); P2 ∈ Sε,

và

limε→0

−

∫∫

Sε

ϕ∂

∂n(1

r) = −4πϕ(0).


Như vậy, ∀ϕ ∈ D(R3),

(∆1

r, ϕ) = lim

ε→0

∫∫∫

Gε

1

r∆ϕdx = −4πϕ(0) = −4π(δ, ϕ).

Hay là, ∆1r

= −4πδ ⇔ −∆( 14πε

) = δ.

Hàm ω(x) = − 14πr

được gọi là nghiệm cơ bản của toán tử Laplace trong R3.

Tính toán tương tự,

n = 2 : ω(x) =1

2πln

1

r,

n ≥ 3 : ω(x) = −1

(n − 2)Ωn

1

rn−2,

trong đó Ωn là diện tích mặt cầu đơn vị trong Rn.

Tổng quát:Ký hiệu toán tử vi phân trong R

n là một biểu thức co dạng

P (D) =∑

|α|≤k

aα(x)Dα,

trong đó k là số nguyên dương, aα là các hàm thuộc lớp C∞.

Định nghĩa 3.2.2. Hàm ω(x) được gọi là nghiệm cơ bản của toán tử vi phânP (D) nếu nó là nghiệm của phương trình P (D)ω = δ.

Ví dụ 9. Trong R, θ(x) là nghiệm cơ bản của toan tử 1dx

.

Chú ý:

1. Đạo hàm trong không gian ℑ.′ Như ta biết ℑ′ ⊂ D′, đạo hàm của hàm

f ∈ ℑ′ được xác định theo qiu tắc thông thường

(Dαf, ϕ) = (−1)|α|(f, Dαϕ),

do đó, đạo hàm Dα là một hàm suy rộng trong ℑ′.

2. Nếu fm là dãy hàm suy rộng hội tụ đến hàm suy rộng f thì ta cũng cóf

(k)m hội tụ đến hàm f (k).

Ví dụ 10. Xét dãy hàm

fm(x) = 1m

sin(mx),fm 0,f ′

m(x) = cos(mx), không hội tụ theo nghĩa thông thường.


Vì hàm fm(x) là hàm khả tích địa phương nên tồn tại hàm suy rộngfm ∈ D

′.Ta thấy

(f ′m, ϕ) =

∞∫

−∞

cos(mx)ϕdx = −1

m

∞∫

−∞

ϕ′(x)sin(mx)dx → 0,∀ϕ.

Nói cách khác, limm→∞

f ′m = 0.

Chương 4

Vấn đề tồn tại nguyên hàm của hàmsuy rộng

Định lí 4.0.3. Với hàm suy rộng f ∈ D′(R) luôn tồn tại hàm suy rộng

g ∈ D′ sao cho (g′, ϕ) = (g, ϕ)∀ϕ. Hàm suy rộng g được xác định sai khác

một hằng số cộng.

Trước hết, ta chứng minh một vàì kết quả phụ sau. Ký hiệu

H = α ∈ D(R) :

∞∫

∞

α(x)dx = 0

Xét ϕ0 ∈ D′(R) là hàm cố định sao cho

∞∫

−∞

ϕ0(x)dx = 1.

Bổ đề 4.0.4. Mọi ϕ ∈ D′(R) luôn viết được dưới dạng

ϕ(x) = α(x) + λϕ0(x),

trong đó α ∈ H, λ =∞∫

−∞

ϕ(x)dx.

Bổ đề 4.0.5. Với mọi α ∈ H, tồn tại duy nhất ϕ1(x) ∈ D sao cho

ϕ′1(x) = α(x).

Chứng minh. Giả sử suppα ∈ [a, b]. Xét hàm ϕ1(x) =x∫

−∞

α(t)dt. Rõ ràng

ϕ1 ∈ D. Hơn thế, ϕ1 là duy nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại hai hàm ϕ1 và ϕ2

thỏa mãn, khi đóϕ1(x) − ϕ2(x) = const ∈ D.

Do đó, const ≡ 0 (Đpcm).

21

Chương 4. Vấn đề tồn tại nguyên hàm của hàm suy rộng 22

Chứng minh. (Chứng minh định lí) Ta xác định phiếm hàm g trong D(R)theo qiu tắc sau

(g, ϕ) = −(f, ϕ1) + λc0,

trong đó c0 là hằng số, ϕ = α + λϕ0, α ∈ H, λ =∞∫

−∞

ϕ(x)dx,∞∫

−∞

ϕ0dx = 1.

Rõ ràng, g là một phiếm hàm tuyến tính.

• Ta chứng minh g là phiếm hàm tuyến tính liên tục. Xét dãy ϕm hộitụ về ϕ. Vói mỗi m tồn tại αm ∈ H sao cho

ϕm = αm + λmϕ0.

Do ϕm ϕ trên K compact ta có

λm =

∞∫

−∞

ϕmdx →

∞∫

−∞

ϕdx = λ

Chọn tập compact K sao cho Suppϕ0 ⊂ K. Khi đó, hàm αm = ϕm −λmϕ0 có giá thuộc K, ∀m. Hơn thế, dãy hàm αm hội tụ trong D(R)và ta có

limm→∞

αm = ϕ − λϕ0 = α ∈ H.

Với mỗi m tồn tại duy nhất ϕ1m ∈ D : ϕ′1m = αm. Dãy ϕ1m hội tụ

trong D tới ϕ1 ∈ D và ϕ′1 = α. Như vậy ta có:

limm→∞

(g, ϕm) = limm→∞

(f, ϕ1m) + limm→∞

λmc0 = (g, ϕ).

Vậy g ∈ D′(R).

• Ta phải chứng minh (g′, ϕ) = (f, ϕ). Ta có

(g′, ϕ) = −(g, ϕ′) = (f, ϕ1) −

∞∫

−∞

ϕ′dxc0 = (f, ϕ1),

trong đó ϕ′ = α + λϕ0 = α, ϕ′1 = α. Do tính duy nhất của ϕ1 ta có

ϕ = ϕ1. (Đpcm)

• Ta chứng minh nếu g1, g2 ∈ D′ cùng là nguyên hàm của f thì

g1 − g2 = const.

Chương 4. Vấn đề tồn tại nguyên hàm của hàm suy rộng 23

Thật vậy, ∀ϕ : (g′1 − g′2, ϕ) = (f − f, ϕ) = 0 = (g1 − g2, ϕ′). Với α ∈ H

tồn tại duy nhất ϕ ∈ D : ϕ′ = α và ta có (g1−g2, α) = (g1−g2, ϕ′) = 0.

Lấy ϕ bất kì trong D : ϕ = α + λϕ0. Ta thấy

(g1 − g2, ϕ) = (g1 − g2, α) + λ(g1 − g2, ϕ0) = λ(g1 − g2, ϕ0) = λc.

Khi đó,(g1 − g2, ϕ) = cλ = (c, ϕ).

Nói cách khác, g1 − g2 = c.

Tổng quát: với hàm suy rộng f ∈ D′, k ∈ N sẽ tồn tại hàm suy rộng g sao

cho(g(k)) = f.

Định lí 4.0.6. Giả sử f là hàm suy rộng trong D′ sao cho (f ′, ϕ) = 0,∀ϕ

thì f = const.

Tổng quát hơn ta có thể chứng minh, nếu f ∈ D(Ω), tập Ω mở trong Rn

sao cho∂f

∂xi

= 0,∀i = 1, 2, . . . , n

thì f = const.

Chương 5

Tích chập của các hàm suy rộng

Định nghĩa 5.0.7. Cho f(x) và g(x) là các hàm số xác định trên Rn. Ký

hiệu

(f ∗ g)(x) =

∫

Rny

f(x − y)g(y)dy, x ∈ Rn.

Nếu tích phân vế phải tồn tại thì (f ∗ g)(x) là một hàm xác định tren Rn và

được gọi là tích chập của hai hàm f(x) và g(x).

Chú ý: (f ∗ g) = (g ∗ f) có tính giao hoán.

Định lí 5.0.8. Nếu f, g ∈ L1(Rn) thì f ∗ g tồn tại và f ∗ g ∈ L1(R

n), đồngthời ta có bất đẳng thức

‖f ∗ g‖1 ≤ ‖f‖1‖g‖1.

Dấu bằng xảy ra nếu f, g ≥ 0,∀x ∈ Rn.

Chứng minh. • Trước hết ta giả sử f, g ≥ 0. Đặt

h(x) = (f ∗ g)(x) =

∫

Rny

f(x − y)g(y)dy, x ∈ Rn.

Ta thấy:

‖h‖1 =

∫

Rn

|f ∗ g(x)|dx

=

∫

Rnx

(

∫

Rny

f(x − y)g(y)dy)dx

=

∫

Rny

(g(y)

∫

Rnx

f(x − y)dx)dy

= ‖f‖1.‖g‖1.

24

mục lục - z3.ifrm.comz3.ifrm.com/28022/192/0/p354051/hamsuyrong1.pdf · của toán tử vi...

Documents