muhamed pehlivanović matematika
DESCRIPTION
MathExerciseTRANSCRIPT
MATEMATIKA
1
1. Algebarski identiteti
1. KVADRAT ZBIRA
( )
2. KVADRAT RAZLIKE
( )
3. KUB ZBIRA
( )
4. KUB RAZLIKE
( )
5. RAZLIKA KVADRATA
( )( )
6. ZBIR KUBOVA
( )( )
7. RAZLIKA KUBOVA
( )( )
MATEMATIKA
2
2. Stepeni (potencije) i korijeni
Broj a stepena n je: ⏟
( ) , ( )
Stepeni istih baza množe se tako da se eksponenti saberu, a baza ostaje ista.
Stepeni istih baza dijele se tako da se eksponenti oduzmu, a baza ostaje ista.
Stepeni istih ekponenata množe se tako da se baze pomnože, a eksponent ostaje isti.
( )
Stepeni istih eksponenata dijele se tako da se baze podijele, a eksponent ostaje isti.
.
/
( )
Stepeni se stepenuju tako da se eksponenti pomnože.
( ) ( )
Stepeni suprotnih eksponenata su recipročni.
( )
Nazivnik u razlomljenom (racionalnom) eksponentu odgovara korijenu istog stepena.
√
( )
Korijeni istog stepena množe se tako da se izrazi pod korjenom (potkorjene veličine)
pomnože, a stepen korijena ostaje isti.
√
√
√
Korijeni se korjenuju tako da se stepeni korijena pomnože.
√√
√
Korjeni istih stepena dijele se tako da se baze podijele, a stepen korjena ostaje isti.
√
√ √
( )
MATEMATIKA
3
3. Polinomi Izraz oblika se naziva monom stepena k.
Sabiranjem monoma za različite vrijednosti k dobija se polinom ili višestruki monom.
Polinom n-tog stepena je funkcija definisana sa:
( )
(1)
( ) ∑
Zapis (1) se naziva kanonski oblik polinoma.
Brojevi su realni brojevi gdje je (jer ne bi bio polinom n-tog
stepena).
Brojevi se nazivaju koeficijenti polinoma.
Broj nazivamo vodeći koeficijent, a broj nazivamo slobodni koeficijent.
Za polinom (1) kažemo da je polinom sa realnim koeficijentima.
Stepen polinoma je najveća potencija nepoznate x u kanonskom obliku.
Teorem3.1
Za polinom (1) vrijedi P (identički jednak nuli) tj. ( ) ako i samo ako je:
3.1 Jednakost polinoma
Za dva polinoma P i Q kažemo da su jednaki i pišemo ako vrijedi:
( ) ( )
Teorem3.2
Dva polinoma P i Q su jednaki ako i samo ako su istog stepena i odgovarajući koeficijenti
u kanonskom obliku su im jednaki.
MATEMATIKA
4
3.2 Djeljenje polinoma
Teorem3.3
Neka je ( )
( ) polinom n-tog
stepena. Za svaki polinom P stepena n postoji jedinstven ureĎen par polinoma (Q,r) takav
da je:
3.3 Najveći zajednički djelitelj polinoma
Normirani polinom (polinom čiji je vodeći koeficijent jednak 1) u oznaci (f,g) se naziva najveći
zajednički djelilac (najveća zajednička mjera) nenultih polinoma f i g ako on ima sljedeća
svojstva:
NZD(f,g) je djelitelj polinoma f i g,
Ako je P djelitelj od f i g, onda je P djelitelj i od NZD(f,g).
Postupak za nalaženje NZD(f,g) se dobija iz euklidovog algoritma za polinome:
-oznaka deg znači stepen.
( )
gdje je a vodeći koeficijent u .
Kažemo da su nenulti polinomi f i g relativno prosti ako je NZD(f,g)=1.
Polinom je ireducibilan (nerastavljiv) nad poljem ako iz f=g slijedi da je deg g=0 ili
deg h=0.
MATEMATIKA
5
3.4 Racionalna funkcija
Funkcija oblika: ( )
( ) se označava s
se naziva razlomak (količnik)
polinoma odnosno racionalna funkcija.
Racionalna funkcija
je u kanonskom obliku ili skraćenom obliku ako je NZD(f,g)=1.
Racionalna funkcija je prava racionalna funkcija ako je deg f < deg g.
Podjelimo li f s g dobijamo .
Vidimo da se svaki razlomak
može napisati u obliku:
3.5 Parcijalni razlomak
Pravi razlomak
je prost (parcijalni razlomak) ako je g=P
k ( ) pri čemu je P
ireducibilan polinom nad poljem gdje je deg f < deg P.
Svaki pravi razlomak
( ) je moguće na jedinstven način prikazati kao zbir
parcijalnih razlomaka.
3.6 Nultačke polinoma
Broj je nultačka polinoma ( ) , ako je ( ) .
Općenito, polinom n-tog stepena ima n nultačaka koje mogu biti realne ili kompleksne.
Ako je ( )
( ) ,onda se
jednačina
naziva algebarska jednačina
n-tog stepena.
Rješenja algebarske jednačine su nultačke pripadnog polinoma.
Djeljenje polinoma P stepena većeg ili jednakog 1 polinomom ( ) možemo
zapisati na slijedeći način:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Kako je stepen od jednak 1, slijedi da je stepen od ( ) jednak 0, tj. konstanta.
Imamo da vrijedi:
( ) ( ) ( )
MATEMATIKA
6
3.7 Bezuov teorem
Ako u polinomu ( ) ( ) ( ) uvrstimo dobijamo da je ( ) ,
što tvrdi sljedeća teorema.
Teorem3.4 (Bezuova teorema)
Ostatak pri djeljenju polinoma ( ) binomom jednak je vrijednosti ( )
DOKAZ:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Slijedi da je r konstanta pa je: ( ) ( ) ( )
Imamo da je: ( ) ( ) ( ) ( )
Prema bezuovom teoremu je ( ) .
Iz ovog zaključujemo da je tada , pa je ( )
( ) ( ) ( )
Zaključujemo da ako je nultačka polinoma ( ) , onda je taj polinom ( ) djeljiv s
binomom .
3.8 Osnovni teorem algebre
Teorem3.5 (Osnovni teorem algebre)
Svaki polinom stepena većeg ili jednakog 1 ima bar jednu nultačku u skupu kompleksnih
brojeva.
Faktorizacija polinoma
Neka je po volji odabran polinom stepena n.
On ima bar jednu nultačku pa možemo pisati:
( ) ( ) ( )
gdje je ( ) polinom stepena n-1.
Neka je nultačka polinoma ( ).
Tada je:
( ) ( )( ) ( )
gdje je ( ) polinom stepena n-2.
MATEMATIKA
7
Nastavljajući dalje dobijamo:
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
gdje je ( ) polinom stepena 0 tj. polinom je konstanta pa imamo:
( ) ( )( ) ( )
gdje je a vodeći koeficijent polinoma P.
DOKAZ:
( )
( )( ) ( )
Iz jednakosti dva polinoma slijedi da je
Svaki polinom stepena možemo faktorizovati na sljedeći način:
( ) ( )( ) ( )
Kod polinoma parnog stepena nultačke mogu biti realne i kompleksne (paran broj
kompleksnih i realnih nultačaka).
Kod polinoma neparnog stepena bar jedna nultačka mora biti realna.
3.9 Jednake nultačke
Neka je nultačka polinoma P stepena n.
Onda vrijedi:
( ) ( ) ( )
gdje je polinom ( ) stepena n-1.
Polinom ( ) takoĎer može imati istu nultačku pa vrijedi:
( ) ( ) ( )
Postupak možemo nastaviti dalje sve dok je nultačka polinoma ( ) i vrijedi:
( ) ( ) ( )
gdje nije nultačka polinoma ( ).
MATEMATIKA
8
Definicija3.1
Kažemo da je broj nultačka kratnosti k polinoma P ako se on može napisati u obliku:
( ) ( ) ( )
pri čemu je ( ) polinom sa svojstvom da je ( )
3.10 Hornerov algoritam
Podjelimo li polinom ( )
polinomom
imamo:
( ) ( ) ( )
gdje je ( )
Za ostatak vrijedi (konstanta).
Izmnožimo li polinome na desnoj strani i izjednačimo li dobijamo:
( )
(2)
( ) ( )(
)
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Iz jednakosti polinoma (2) i (3) slijedi:
Na taj način dobijamo formule za računanje količnika i ostatka pri djeljenju polinoma P
stepena polinomom
Taj algoritam se naziva hornerov algoritam.
MATEMATIKA
9
Hornerov algoritam možemo predstaviti tabelarno na sljedeći način:
...
...
gdje je i (npr. ).
Hornerov algoritam nam daje odgovore na sljedeća pitanja i to:
Koliki je ostatak pri djeljenju polinoma P polinomom ? ( )
Da li je polinom P djeljiv polinomom ? ( )
Da li je nultačka polinoma P? ( )
Koliko je ( )? ( ( ) )
3.11 Rastav polinoma po potencijama Podjelimo li polinom P sa imamo:
( ) ( ) ( )
Podjelimo li polinom ( ) sa imamo:
( ) ( ) ( )
Podjelimo li polinom ( ) sa imamo:
( ) ( ) ( )
Sada imamo da je:
( ) ( )( ) ( ) ( )
Nastavimo li dalje dobijamo:
( ) ( )( ) ( ) ( )
U ovom slučaju kažemo da smo polinom P rastavili po potencijama od .
MATEMATIKA
10
3.12 Svojstva nultačaka polinoma
Teorem3.6
Ako je P polinom s realnim koeficijentima i njegova nultačka, tada je i
nultačka polinoma.
DOKAZ:
Treba dokazati: ( ) ( ) .
( )
Iskoristimo osobine kompleksnih brojeva:
;
( )
Sada imamo:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
Teorem3.7
Polinom sa realnim koeficijentima ili nema kompleksnih nultačaka ili ih ima paran broj.
Teorem3.8
Svaki polinom s realnim koeficijentima se može rastaviti na faktore sa realnim
koeficijentima stepena najviše 2.
3.13 Vietove formule za polinom drugog stepena
Polinom drugog stepena je oblika .
Faktoriziramo li taj polinom imamo:
( )( )
gdje su nultačke polinoma.
( )( ) ( )
( )
MATEMATIKA
11
Iz jednakosti dva polinoma imamo da vrijedi:
3.14 Vietove formule za polinom trećeg stepena
Polinom trećeg stepena je oblika .
Faktoriziramo li taj polinom imamo:
( )( )( )
gdje su nultačke polinoma.
( )( )( ) , ( ) ( ) -
( ) ( )
Iz jednakosti dva polinoma imamo da vrijedi:
MATEMATIKA
12
4. Nizovi
Niz je preslikavanje sa skupa u skup X. Skup X može biti
Funkciju * + nazivamo konačnim nizom realnih brojeva i pišemo:
gdje je ( ) opći član niza.
Funkciju , kojoj je domena čitav skup , a kodomena skup nazivamo
beskonačni niz realnih brojeva (niz realnih brojeva) i označavamo sa:
Monotonost realnog niza:
niz je rastući ako vrijedi: .
niz je opadajući ako vrijedi:
Ograničenost realnog niza:
niz je ograničen sa donje strane ili odozdo ako vrijedi:
niz je ograničen sa gornje strane ili odozgo ako vrijedi:
4.1 Aritmetički niz
Aritmetički niz je niz kod kojeg je razlika izmeĎu člana i člana ispred njega konstantan broj.
Aritmetički niz je niz oblika:
gdje je je diferencija (razlika) aritmetičkog niza.
Opći član aritmetičkog niza je dat sa:
( )
gdje je prirodan broj.
MATEMATIKA
13
Zbir (suma) prvih n članova aritmetičkog niza je data formulama:
( )
, ( ) -
DOKAZ:
Neka je dat niz tj.
( )
( )
⏟
( )
, ( )-
( )
, ( ) -
, ( ) -
, -
Uslov da tri broja budu članovi aritmetičkog niza:
Interpolacija r članova izmeĎu brojeva a i b.
Interpolirati izmeĎu dva zadana broja a i b aritmetički niz od r članova znači odrediti r
brojeva, koji zajedno s a i b čine konačan aritmetički niz od r + 2 člana, kome je a prvi i b
posljednji član.
Za r članova slijedi r+1 diferencija.
Stoga je:
( )
MATEMATIKA
14
4.2 Geometrijski niz
Geometrijski niz je niz kod kojeg je količnik izmeĎu člana i člana ispred njega konstantan
broj. Geometrijski niz je niz oblika:
gdje je je količnik geometrijskog niza.
Opći član geometrijskog niza je dat sa:
gdje je prirodan broj.
Zbir (suma) prvih n članova geometrijskog niza je data formulama:
| |
| |
Za beskonačni geometrijski niz vrijedi suma:
| |
DOKAZ:
Neka je dat niz tj.
( )
Pomnožimo li gornju jednačinu sa imamo:
( ) Ukoliko oduzmemo (1) i (2) imamo:
( ) ( )
Beskonačni geometrijski red je oblika:
Suma beskonačnog geometrijskog reda je konačna za | | i vrijedi:
MATEMATIKA
15
Tada je:
Kako je | | to je:
( )
( )
( )⏞
| |
Uslov da tri broja budu članovi geometrijskog niza:
√
Interpolacija r članova izmeĎu brojeva a i b.
Interpolirati izmeĎu dva zadana broja a i b geometrijski niz od r članova znači odrediti r
brojeva, koji zajedno s a i b čine konačan geometrijski niz od r + 2 člana, kome je a prvi i
b posljednji član.
Za r članova slijedi r+1 količnika.
Stoga je:
Odnos izmeĎu harmonijske, geometrijske, aritmetičke i kvadratne sredine je:
√
√
DOKAZ:
Dokažimo prvo nejednakost:
√
MATEMATIKA
16
(√ √ )
√
√
√
( )
√
( )
√
√ ( )
√ ( )
Ukoliko nejednakosti (1) i (2) oduzmemo dobijamo:
√
√
( )
√
(√
√
)
√
√ √
√ (
*
MATEMATIKA
18
5. Kompleksni brojevi Skup kompleksnih brojeva je definisan na sljedeći način:
{ √ }
Broj se naziva imaginarna jedinica kompleksnog broja.
Za broj vrijedi:
Slijedi da je:
Kompleksni broj se može napisati u tri oblika i to:
Algebarski oblik kompleksnog broja,
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja,
Eksponencijalni oblik kompleksnog broja.
5.1 Algebarski (standardni) oblik kompleksnog broja
Kompleksni broj u algebarskom obliku definiran je:
.
Realni i imaginarni dio kompleksnog broja u algebarskom obliku su:
MATEMATIKA
19
Prikaz kompleksnog broja u kompleksnoj ravni (gausovoj ravni):
Modul kompleksnog broja je udaljenost kompleksnog broja od ishodišta (kompleksnog
broja ) u kompleksnoj ravni i vrijedi:
| | √
Kompleksni brojevi su meĎusobno konjugirani ili konjugovano kompleksni brojevi ako
vrijedi:
Svojstva konjugirano kompleksnih brojeva:
| |
| |
DOKAZ:
( )( ) | |
( )( )
MATEMATIKA
20
Teorem5.1
U skupu kompleksnih brojeva vrijedi:
( )
.
/
DOKAZ:
Neka je:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
MATEMATIKA
21
( )
( ) ( ) .
(
*
(
*
(
*
(
*
(
)
(kako je , , ( ) imamo )
(
*
Teorem5.2
U skupu kompleksnih brojeva vrijedi:
| | | |
| | | | | |
|
|
| |
| |
|
|
| |
| | | |
DOKAZ:
Neka je:
| | √
| | √
| | √
| | | |
| | √ ( ) √ | |
MATEMATIKA
22
| | | | | |
( )
| | √( ) ( )
| | √
| | √
| | √ (
)
(
)
| | √(
)(
) √
√
| | | |
|
|
| |
| |
|
| |
| |
|
| |
| | | | | |
| | | | | |
| |
| |
|
|
| |
(slijedi direktno slijedi iz prethodnog)
| | | |
| | | | | | | | | |
MATEMATIKA
23
5.2 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Neka je ugao koji poluprava zatvara sa realnom osom kao na slici:
| | √ - modul kompleksnog broja
- argument kompleksnog broja
Imamo sljedeće:
Uvrštavanje u algebarski oblik kompleksnog broja
daje sljedeće:
odnosno
( )
Tako smo dobili kompleksan broj zapisan u trigonometrijskom obliku.
Kraći zapis kompleksnog broja zapisanog u trigonometrijskom obliku je:
.
Kompleksni brojevi su meĎusobno konjugirani ili konjugovano kompleksni brojevi ako
vrijedi:
( )
( )
Računske operacije sa kompleksnim brojevima
Za kompleksne brojeve ( ) ( ) vrijedi:
, ( ) ( )-
, ( ) ( )-
DOKAZ:
( ) ( )
MATEMATIKA
24
( ) ( )
, -
, ( )-
(koristeći adicione formule za ( ) ( ) imamo )
, ( ) ( )-
, ( ) ( )-
( )
( )
( ) ( )
⏟
, -
, ( )-
(koristeći adicione formule za ( ) ( ) imamo: )
, ( ) ( )-
, ( ) ( )-
Općenito za proizvod i količnik n kompleksnih brojeva vrijedi:
, ( ) ( )-
, ( ) ( )-
Za kompleksan broj ( ) vrijedi:
( )
DOKAZ:
( )
⏟
( )
MATEMATIKA
25
Stepenovanje kompleksnog broja (MOAVROVA FORMULA)
Stepenovanje i korjenovanje kompleksnog broja se često radi u trigonometrijskom obliku.
( )
DOKAZ:
⏟
, ( )- ( )
( ) ( ) ( )⏟
[ ( ⏟
) ( ⏟
)]
( )
Za kompleksan broj ( ) vrijedi:
( )
DOKAZ:
( )
⏟
( )
Korjenovanje kompleksnog broja:
√
√
(
*
√ √
(
*
DOKAZ:
( )
√
gdje je rješenje.
( )
MATEMATIKA
26
( ) ( )
Iz jednakosti dva kompleksna broja slijedi:
√
Uvrštavanje
u ( ) daje sljedeća rješenja za različite
vrijednosti k tj. n rješenja i vrijedi:
√
(
*
Sva rješenja se nalaze na pravilnom n-touglu.
Dokaz formule √ √
.
/ se izvodi na analogan način:
( )
√ , ( )
Ostaje samo uvrstiti.
5.3 Eksponencijalni (Eulerov) oblik kompleksnog broja
Ukoliko iskoristimo Eulerovu formulu; u trigonometrijskom obliku
kompleksnog broja imamo:
Tako smo dobili eksponencijalni oblik kompleksnog broja.
Kompleksni brojevi su meĎusobno konjugirani ili konjugovano kompleksni brojevi ako
vrijedi:
MATEMATIKA
27
Računske operacije sa kompleksnim brojevima
Neka je
.
Tada vrijedi:
( )
( )
Stepenovanje kompleksnog broja:
MATEMATIKA
28
6. Geometrija
Dio elementarne geometrije u kojem se proučavaju osobine geometrijskih figura jedne ravni
naziva se planimetrija, dok oblast geometrije u kojoj se proučavaju osobine geometrijskih
figura koje nisu u istoj ravni se naziva stereometrija.
Osnovni pojmovi u geometriji su tačka, prava i ravan. Pored njih koriste se i pojmovi skup,
element skupa, element pripada skupu. Svi ostali pojmovi se moraju definisati.
MeĎusobni odnos tačke, prave i ravni
Definicija6.1
Neprazan skup tačaka nazivamo figura.
Definicija6.2
Iskaz koji smatramo istinitim bez dokaza naziva se aksiom, (postulati-aksiome u
geometriji).
Definicija6.3
Iskaz čiju istinitost dokazujemo na osnovu aksioma, naziva se teorem.
Definicija6.4
Postupak obrazlaganja istinitosti teoreme, naziva se dokaz.
Aksiom6.1 (aksiom odreĎenosti prave)
Dvije različite tačke pripadaju jednoj i samo jednoj istoj pravoj ili; prava je odreĎena sa
dvije različite tačke.
Aksiom6.2
Svaka prava sadrži bar dvije tačke.
Definicija6.5
Tačke koje pripadaju jednoj istoj pravoj nazivaju se kolinearne tačke.
Aksiom6.3
Postoje najmanje tri tačke koje nisu kolinearne tačke.
Definicija6.6
Tačke koje ne pripadaju jednoj istoj pravoj nazivaju se nekolinearne tačke.
MATEMATIKA
29
Aksiom6.4 (aksiom odreĎenosti ravni)
Svake tri nekolinearne tačke pripadaju jednoj i samo jednoj ravni.
Aksiom6.5
Svaka ravan sadrži bar tri nekolinearne tačke.
Definicija6.7
Tačke koje pripadaju jednoj istoj ravni nazivaju se koplanarne tačke.
Aksiom6.6
Postoje najmanje četiri tačke koje nisu koplanarne.
Definicija6.8
Tačke koje ne pripadaju jednoj istoj ravni nazivaju se nekoplanarne tačke.
Aksiom6.7(odnos prave i ravni)
Ako dvije tačke prave pripadaju ravni, onda sve tačke te prave pripadaju toj ravni.
Posljedica aksioma: Ravan i prava koja ne leži u toj ravni mogu imati najviše jednu
zajedničku tačku.
MeĎusobni položaj prave i ravni
Prava leži u ravni, (Slika6.1)
Ako prava i ravan imaju jednu zajedničku tačku, tada kažemo da prava prodire
ravan u toj tački ili prava i ravan se sijeku, (Slika6.2)
Ako prava i ravan nemaju zajedničkih tačaka, tada kažemo da je prava paralelna
ravni. (Slika6.3)
Slika6.1 Slika6.2 Slika6.3
MATEMATIKA
30
MeĎusobni položaj dvije prave
Ako prave a i b imaju jednu zajedničku tačku, tada kažemo da se prave a i b sijeku i
pišemo ,
Ako prave a i b imaju bar dvije zajedničke tačke, tada kažemo da se prave poklapaju
i pišemo ili ,
Ako prave a i b leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka, tada kažemo da su
prave a i b paralelne i pišemo ,
Ako prave a i b ne leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka, tada kažemo da su
prave a i b mimoilazne.
Aksiom6.8(aksiom dvije ravni)
Ako dvije ravni imaju jednu zajedničku tačku, tada imaju jednu zajedničku pravu tj. njihov
presjek je prava.
MeĎusobni položaj dvije ravni
Ako dvije ravni i imaju zajedničke tri nekolinearne tačk, tada kažemo da se
ravni poklapaju i pišemo ili ,
Ako dvije ravni i imaju zajedničku pravu p, tada kažemo da se ravni sijeku po
pravoj i pišemo ,
Ako se ravni nalaze u takvom položaju da nemaju zajedničkih tačaka, onda za takve
ravni kažemo da su paralelne i pišemo .
Aksiom6.9(aksiom paralelnosti u ravni)
Ako je u bilo kojoj ravni data prava p i tačka , onda u tački A u ravni postoji
tačno jedna prava q koja je paralelna sa pravom p.
Teorem6.1
Ravan može biti odreĎena:
sa tri nekolinearne tačke,
sa dvije prave koje se sijeku,
sa dvije različite paralelne prave,
sa jednom pravom i tačkom koja ne pripada toj pravoj.
MATEMATIKA
31
Poluprava, duž, poluravan i poluprostor
Aksiom6.10
Svaka tačka O na pravoj p dijeli skup tačaka prave na dva jednaka dijela tako da:
a) ako tačke A i B pripadaju raznim stranama, tada tačka O leži izmeĎu tačaka A i B i
pišemo ( ) (čitamo bitvin- biti između).
b) ako tačke A i B pripadaju istom dijelu prave, tada se jedna od tačaka A i B nalazi
izmeĎu druge tačke i tačke O i pišemo ( ) ili ( ).
Definicija6.9
Svaki od dijelova prave koja je podijeljena nekom svojom tačkom O, zajedno sa tom tačkom
naziva se poluprava, gdje se tačka O naziva početak poluprave.
Definicija6.10
Skup od dvije tačke A i B prave p i svih tačaka koje se nalaze izmeĎu njih na toj pravoj,
naziva se zatvorena duž ili duž i pišemo ,
* ( )+
Aksiom6.11
Svaka prava ravni dijeli tu ravan na dvije oblasti za koje vrijedi:
a) ako tačke A i B te ravni koje nisu na pravoj pripadaju istoj oblasti tada prava ne
siječe duž . (Slika6.4)
b) ako tačke A i B te ravni koje nisu na pravoj pripadaju raznim stranama (raznim
oblastima) tada prava siječe duž . (Slika6.5)
Slika6.4 Slika6.5
Definicija6.11
Svaka od oblasti koju prava p dijeli ravan naziva se poluravan, gdje se prava p naziva ivica
poluravni. Ako pravu p priključimo poluravni onda za poluravan kažemo da je zatvorena,
inače je otvorena.
Definicija6.12
Svaka od oblasti koju ravan dijeli prostor naziva se poluprostor.
MATEMATIKA
32
Mjerenje duži, ugao, mjerenje uglova i radijan
Odaberimo jednu duž i njoj pridružimo broj 1, tako da sve ostale duži uporeĎujemo sa
njom. Tada svakoj duži možemo pridružiti pozitivan realan broj koji se naziva dužina duži.
U tom slučaju, duž kojoj je pridružen broj 1 nazivamo jedinična duž.
Dužinu duži nazivamo rastojanje tačaka X i Y.
Tačka na duži koja ima jednaka rastojanja od X i Y nazivamo središte duži .
Neka dvije poluprave p i q imaju zajednički početak O. Unija polupravih Op i Oq naziva se
ugaona linija. Ugaona linija dijeli ravan na dva dijela (oblasti). (Slika6.6)
Definicija6.13
Unija ugaone linije i jedne od njenih oblasti naziva se ugao.
Slika6.6 Ugaona linija i ugao Slika6.7 Ugao
Poluprave Op i Oq se nazivaju kraci ugla, a tačka O se naziva vrh ugla. Ako na pravoj p
uzmemo bilo koju tačku O, tada ona odreĎuje dvije suprotne poluprave. Ugaona linija tih
polupravih je prava p. Dobijene oblasti su dvije poluravni sa ivicom p, pa zato poluravan sa
odabranom tačkom na njenoj ivici možemo shvatiti kao jedan specijalan ugao, i taj ugao
nazivamo ravni ili ispruženi ugao.
Ispruženi ugao je ugao čiji je jedan krak produžetak drugog kraka. (Slika6.8)
Slika6.8 Ispruženi ugao
Ako se dvije poluprave poklapaju tada one ne dijele ravan na dva dijela, pa je ugaona linija
upravo samo jedna poluprava.
MATEMATIKA
33
Tu polupravu možemo shvatiti kao nulti ugao ili nulaugao. (Slika6.9)
Slika6.9 Nula ugao
Unutrašnjost nultog ugla je prazan skup, jer su oba kraka ista poluprava. U slučaju da se dvije
poluprave poklapaju, a unutrašnjost ugla je cijela ravan u kojoj se nalaze te poluprave osim
tačaka polupravih, onda takav ugao nazivamo puni ugao.
Drugim riječima puni ugao je ravan u kojoj je data poluprava. (Slika6.10)
Slika6.10 Puni ugao
Definicija6.14
Susjedni uglovi su dva ugla iste ravni koji imaju isto tjeme (vrh) i jedan zajednički krak.
Slika6.11 Susjedni uglovi
Definicija6.15
Naporedni uglovi su susjedni uglovi čija je unija ispruženi ugao.
Slika6.12 Naporedni uglovi
Definicija6.16
Ugao koji je jednak svom naporednom uglu, se naziva pravi ugao.
Slika6.13 Pravi ugao
MATEMATIKA
34
Definicija6.17
Ako se dvije prave p i q sijeku i obrazuju pravi ugao, onda kažemo da su prave p i q
normalne (okomite) i pišemo .
Definicija6.18
Prava koja sadrži središte duži i koja je normalna na pravu koja sadrži tu duž, naziva se
simetrala duži.
Da bi se moglo vršiti mjerenje uglova, potrebno je da jedan ugao uzmemo kao jedinični
ugao, a ostale uglove da uporeĎujemo s njim. Na taj način svakom uglu pridružujemo jedan
pozitivan realan broj koji pokazuje koliko se jediničnih uglova nalazi u zadanom uglu. Za
jedinični ugao se uzimaju stepen, radijan i grad.
Stepen je devedeseti dio pravog ugla. Oznaka za stepen je o. Manja jedinica od stepena je
minuta u oznaci '. Minuta je šezdeseti dio stepena tj. 60'=1o.
Manja jedinica od minute je sekunda u oznaci ''. Sekunda je šezdeseti dio minute tj. 60''=1' ili
3600''=60'=1o.
Ako grafički predstavimo ugao pAq, onda njegovu oblast označimo jednim kružnim lukom
čiji je centar tačka A, gdje je A vrh ugla. Ako za jediničnu duž odaberemo radijus tog luka,
onda će veličina ugla zavisiti od dužine pripadnog luka.
Ugao za koji je pripadni luk jednak jedinici (radijusu), uzimamo kao jedinični ugao, i taj ugao
nazivamo radijan.
Centralni ugao neke kružnice koji na toj kružnici isijeca luk čija je dužina jednaka njenom
poluprečniku, naziva se radijan. (Slika6.14)
Slika6.14 Radijan
Punom uglu odgovara 360o, tj. onoliko radijana kolika je dužina jedinične kružnice, pa imamo
da punom uglu odgovara radijana. Ispruženi ugao ima 180o ili radijana.
MATEMATIKA
35
Pravi ugao ima 90o ili
radijana.
Za pretvaranje stepena u radijane i obratno, koristi se osnovna veza:
radijana=180o.
Za radijan se ne upotrebljava nikakva oznaka.
Spominje se još jedna jedinica za mjerenje uglova i to je grad.
Grad je stoti dio pravog ugla. Manja jedinica od grada je metrička minuta i metrička
sekunda, gdje jedan grad ima 100 metričkih minuta, a jedna metrička minuta ima 100
metričkih sekundi pa je: 1 grad=100'=10000''.
Tada vrijede formule za smjenu:
Vrijednost nekih uglova izraženi u stepenima, radijanima i gradima su prikazani u Tabela6.1.
Ugao
stepeni radijani gradi
30
45
50
60
90
100
180 200
360 400
Tabela6.1
Definicija6.19
Ako je mjera ugla manja od 90o, za takav ugao kažemo da je oštar, a ako je mjera ugla
izmeĎu 90o i 180
o, tada za takav ugao kažemo da je tup.
Definicija6.20
Komplementni uglovi su uglovi čija je unija pravi ugao.
Definicija6.21
Suplementni uglovi su uglovi čija je unija ispruženi ugao.
MATEMATIKA
36
Definicija6.22
Poluprava koja polazi iz tjemena ugla i koja dijeli ugao na dva jednaka dijela, naziva se
simetrala ugla.
Definicija6.23
Ako je tačka O presjek pravih a i b, tada par nesusjednih uglova koji odreĎuju prave i čiji je
presjek tačka O nazivamo unakrsnim uglovima, ili dva ugla kod kojih su kraci jednog
dopune krakova drugog ugla do pravih nazivaju se unakrsni uglovi.
Slika6.15 Unakrsni uglovi
Teorem6.2
Unakrsni uglovi su jednaki.
Definicija6.24
Ako su kraci jednog ugla paralelni sa odgovarajućim kracima drugog ugla, onda takve
uglove nazivamo uglovi sa paralelnim kracima.
Slika6.16 Uglovi sa paralelnim kracima
Teorem6.3
Dva ugla sa paralelnim kracima su jednaka ako su im kraci jednako ili suprotno usmjereni,
a suplementni ako je jedan par krakova istog, a drugi suprotnog smjera.
MATEMATIKA
37
Definicija6.5
Ako su kraci jednog ugla normalni na krakove drugog ugla, takve uglove nazivamo uglovi
sa normalnim kracima.
Slika6.17 Uglovi sa normalnim kracima
Teorem6.4
Dva ugla sa normalnim kracima su jednaka ako su oba oštri ili oba tupi, a suplementni
ako je jedan oštar, a drugi tup.
Uglovi na transverzali dvije prave, poligon (mnogougao) i kružnica
Definicija6.26
Transverzala je linija (prava) koja siječe dvije proizvoljne prave. Sa tim dvjema pravama
obrazuje dva skupa uglova: vanjski i unutrašnji uglovi.
Slika6.18 Uglovi na transverzali
Vanjski uglovi:
Unutrašnji uglovi:
MATEMATIKA
38
Definicija6.27
Parovi nesusjednih uglova koji leže sa iste strane transverzale pri čemu je jedan vanjski, a
drugi unutrašnji, nazivaju se saglasni uglovi.
Slika6.19 Saglasni uglovi
Definicija6.28
Parovi nesusjednih uglova koji leže sa iste strane transverzale, a oba su vanjska ili oba
unutrašnja, nazivaju se suprotni uglovi.
Slika6.20 Suprotni uglovi
Definicija6.29
Parovi nesusjednih uglova koji leže sa različitih strana transverzale, a oba su vanjska ili
oba unutrašnja, nazivaju se naizmjenični uglovi.
Slika6.21 Naizmjenični uglovi
Ako su prave p i q presječene transverzalom t tada su:
saglasni uglovi jednaki,
suprotni uglovi jednaki,
naizmjenični uglovi jednaki.
Ako su p i q dvije prave presječene transverzalom t i ako su saglasni uglovi jednaki ili
naizmjenični uglovi jednaki ili suprotni uglovi suplementni, tada su prave p i q paralelne.
MATEMATIKA
39
Teorem6.5
Ako su prave a i b paralelne, tada su naizmjenični uglovi na njihovoj transverzali jednaki i
obratno.
Teorem6.6
Ako su prave a i b paralelne, tada su suprotni uglovi na njihovoj transverzali suplementni i
obratno.
Definicija6.30
Izlomljena linija ili poligonalna linija je unija konačno mnogo duži koje se nadovezuju
jedna na drugu (kraj jedne duži nadovezuje se na početak druge).
Izlomljena linija može biti otvorena ili zatvorena. Dio ravni koji je omeĎen izlomljenom
(mnogougaonom) linijom naziva se unutrašnja oblast te linije. Druga oblast se naziva
vanjska oblast. Duži koje sačinjavaju mnogougaonu liniju nazivaju se stranice mnogougla, a
krajnje tačke se nazivaju vrhovi (tjemena) mnogougla. Duži čiji su krajevi dva nesusjedna
vrha mnogougla, nazivaju se dijagonale mnogougla.
Definicija6.31
Unija zatvorene izlomljene linije i njene unutrašnje oblasti naziva se mnogougao ili
poligon.
Za mnogougao kažemo da je konveksan ako sadrži svaku duž čiji krajevi pripadaju
mnogouglu. Svakom uglu mnogougla odgovaraju dva ugla: vanjski i unutrašnji ugao.
Unutrašnji ugao ima vrh u vrhu mnogougla, a kraci mu sadrže susjedne stranice mnogougla.
Ugao naporedan unutrašnjem uglu mnogougla se naziva vanjski ugao mnogougla.
Mnogougao koji ima sve stranice jednake i sve unutrašnje uglove jednake, naziva se pravilni
mnogougao. (Slika6.22)
Slika6.22 Pravilni mnogougao
MATEMATIKA
40
Definicija6.32
Kružnica je skup svih tačaka u ravni jednako udaljenih od jedne stalne tačke u toj ravni.
* ( ) +
Slika6.22 Kružnica
Definicija6.33
Krug je dio ravni (unutrašnja oblast) ograničena kružnicom.
* ( ) +
Slika6.23 Krug
Prava može da ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom, može da nema zajedničkih tačaka
sa kružnicom i može da ima dvije zajedničke tačke sa kružnicom.
Slika6.24 Tetiva, tangenta i sječica
MATEMATIKA
41
Definicija6.34
Sekanta ili sječica je prava koja siječe kružnicu.
Definicija6.35
Tetiva je duž koja spaja bilo koje dvije tačke na kružnici.
Definicija6.36
Tangenta je prava koja dodiruje kružnicu u jednoj tački.
Definicija6.37
Centralni ugao nad lukom je ugao čiji je vrh centar kružnice i kraci poluprečnici, a
periferijski ugao kružnice je ugao čiji je vrh na kružnici koji ne pripada luku, a kraci su
mu tetive kružnice.
Luk je dio kružnice koji pripada centralnom uglu.
Teorem6.7 (Talesova teorema)
Centralni ugao kružnice nad nekim lukom jednak je dvostrukom periferijskom uglu nad
istim lukom.
Slika6.25 Talesova teorema
DOKAZ
a) Neka tačka T pripada kružnici ali ne luku , i neka je duž prečnik kružnice.
Slika6.26
.
MATEMATIKA
42
.
.
Trougao je jednakokraki pa vrijedi: .
Sada imamo: odnosno,
,
,
,
b) Neka tačka T pripada bilo gdje na kružnici, ali ne na luku , i neka je duž prečnik
kružnice gdje tačka C pripada luku.
Slika6.27
Tada vrijedi:
(1)
(2)
Saberemo li jednakosti (1) i (2) imamo:
( )
Posljedica6.7.1
Svi periferijski uglovi nad istim lukom su meĎusobno podudarni.
Posljedica6.7.2
Svi periferijski uglovi nad prečnikom su pravi uglovi.
Posljedica6.7.3
Ugao izmeĎu tangente i tetive je podudaran periferijskom uglu nad tom tetivom.
MATEMATIKA
43
Slika6.28 Slika6.29
6.1 Trougao
Definicija6.1.1
Trougao je mnogougao koji ima tri stranice.
Uočimo da je trougao ABC najmanji konveksan skup koji sadrži tačke A, B i C. Duži , i
nazivamo stranice trougla (označavamo ih redom a, b, c), a unutrašnje uglove
(označavamo ih redom ). Stranice i uglovi su osnovni elementi trougla.
Kažemo da svaki ugao leži nasuprot jednoj stranici, i da po dva ugla leže uz jednu stranicu.
npr. leži nasuprot stranici a; a uglovi leže uz stranicu a.
Prema uglovima trouglovi se dijele na: oštrougle, tupougle i pravougle.
Prema stranicama trouglove dijelimo na: jednakokrake, jednakostranične i raznostranične.
Slika6.1.1 Trougao
Obim trougla jednak je zbiru svih stranica trougla.
Poluobim trougla je:
Naporedni ugao unutrašnjeg ugla trougla naziva se vanjski ugao trougla.
MATEMATIKA
44
Teorem6.1.1
Zbir unutrašnjih uglova u trouglu je 180o, a zbir vanjskih uglova u trouglu je 360
o.
DOKAZ:
Vrhom C trougla konstruišimo pravu p koja je paralelna sa pravom AB kao na slici.
Slika6.1.2 Zbir uglova u trouglu
Prave AC i BC su transverzale paralelnih pravih p i AB. Tada su uglovi i naizmjenični
uglovi pa vrijedi . Uglovi i su naizmjenični uglovi pa vrijedi . Uglovi i
su unakrsni uglovi pa vrijedi .
Iz tog slijedi da je:
Neka su vanjski uglovi trougla. Prema definiciji vanjskog ugla trougla je:
Slika6.1.3 Vanjski i unutrašnji ugao trougla
MATEMATIKA
45
Posljedica6.1.1.1
Svaki vanjski ugao trougla jednak je zbiru dva unutrašnja njemu nesusjedna ugla tog
trougla.
DOKAZ:
,
,
Definicija6.1.2
Duž čiji je jedan kraj vrh trougla, a drugi središte suprotne stranice naziva se težišnica.
Definicija6.1.3
Visina trougla spuštena iz datog vrha je dio normale povučene iz tog vrha na pravu koja
sadrži suprotnu stranicu trougla.
Slika6.1.4Težišnice trougla Slika6.1.5Visine trougla
MATEMATIKA
46
Stavovi o podudarnosti trougla:
Dva trougla su podudarna ukoliko su im jednake sve tri stranice. (SSS)
Slika6.1.6Stav SSS
Dva trougla su podudarna ako imaju jednake dvije stranice i ugao koji leži izmeĎu
te dvije stranice. (SUS)
Slika6.1.7Stav SUS
Dva trougla su podudarna ako su im jednake dvije stranice i ugao nasuprot veće.
(SSU)
Slika6.1.8Stav SSU
Dva trougla su podudarna ukoliko su im jednaka dva ugla i stranica na kojoj leže ti
uglovi. (USU)
Slika6.1.9Stav USU
MATEMATIKA
47
Teorem6.1.2
Tačka M pripada simetrali duži ako i samo ako je jednako udaljena od njenih krajeva.
( ) ( )
DOKAZ:
( ) Pretpostavimo da tačka M pripada simetrali duži .
Slika6.1.10Tačka M pripada simetrali duži
Trouglovi ACM i BCM su podudarni na osnovu stava SUS, pa su odgovarajuće stranice
podudarne, iz čega slijedi da je .
( ) Neka je tačka M jednako udaljena od krajeva duži tj. neka vrijedi . Neka
je tačka C središte duži . Tada su trouglovi ACM i BCM podudarni na osnovu stava SSS.
Kako su uglovi naporedni uglovi slijedi da je .
Teorem6.1.3
Tačka X pripada simetrali ugla ako i samo ako je jednako udaljena od krakova ugla.
( ) ( )
DOKAZ:
( ) Pretpostavimo da tačka X pripada simetrali ugla .
Slika6.1.11Tačka X pripada simetrali ugla
MATEMATIKA
48
Trouglovi OPX i OQX su podudarni na osnovu stava USU, pa su odgovarajuće stranice
podudarne, iz čega slijedi da je ( ) ( ).
( ) Neka je tačka X jednako udaljena od krakova ugla , tj. neka je jednako udaljena
od tačaka P i Q, ( ) ( ). Tada su trouglovi OPX i OQX podudarni na osnovu
stava SSU, pa su odgovarajuće stranice podudarne, odnosno odgovarajući uglovi podudarni, a
kako je unija uglova ugao to znači da tačka X pripada simetrali ugla.
Značajne tačke trougla:
Centar opisane kružnice (simetrale stranica trougla)
Centar upisane kružnice (simetrale unutrašnjih uglova u trouglu)
Težište trougla (sjecište težišnica trougla)
Ortocentar (sjecište visina trougla)
Teorem6.1.4
Simetrale stranica trougla se sijeku u jednoj tački.
DOKAZ:
Neka su prave s1, s2 i s3 simetrale stranica a, b i c trougla ABC.
Slika6.1.12Simetrale stranica trougla
Neka se prave s1 i s2 sijeku u tački O. Prema Teorem6.1.2 tačka O koja pripada simetrali duži
jednako je udaljena od tačaka B i C. Istovremeno tačka O pripada simetrali duži , pa je
tačka O jednako udaljena od tačaka A i B.
MATEMATIKA
49
Iz tog zaključujemo da je tačka O jednako udaljena od tačaka A i C, pa prema Teorem6.1.2
tačka O pripada simetrali duži . Znači tačkom O prolaze sve simetrale stranica trougla
ABC.
Tačka O je jednako udaljena od tjemena trougla, pa se oko trougla može opisati kružnica čiji
je centar u tački O i koja prolazi kroz tjemena trougla.
Definicija6.1.4
Tačka u kojoj se sijeku simetrale stranica trougla, naziva se centar opisane kružnice.
Teorem6.1.5
Simetrale unutrašnjih uglova u trouglu se sijeku u jednoj tački.
DOKAZ:
Neka su poluprave simetrale unutrašnjih uglova trougla ABC.
Slika6.1.13Simetrale unutrašnjih uglova u trouglu
Neka se poluprave sijeku u tački S. Prema Teorem6.1.3 tačka S koja pripada simetrali
ugla jednako je udaljena od krakova ugla, odnosno duži . Istovremeno tačka S
pripada simetrali ugla , pa je tačka S jednako udaljena od duži .
Iz tog zaključujemo da je tačka S jednako udaljena od duži , pa prema Teorem6.1.3
tačka S pripada simetrali ugla , tj. pripada polupravoj . Znači tačkom S prolaze sve
simetrale uglova trougla ABC.
Tačka S je jednako udaljena od stranica trougla, pa se u trougao može upisati kružnica čiji je
centar u tački S.
MATEMATIKA
50
Definicija6.1.5
Tačka u kojoj se sijeku simetrale unutrašnjih uglova trougla, naziva se centar upisane
kružnice.
Definicija6.1.6
Srednja linija ili srednja duž trougla je duž koja spaja središte dviju stranica.
Teorem6.1.6
Srednja linija trougla paralelna je odgovarajućoj stranici i jednaka je njenoj polovini.
DOKAZ:
Neka je . (konstrukcija)
Slika6.1.14Srednja linija trougla
Tada su četverouglovi BFCD i ABFD paralelogrami (dijagonale se polove). Tačka E je
polovište duži , pa je polovište duži .
Kako je , slijedi da je .
Kako se dijagonale paralelograma polove vrijedi da je .
Teorem6.1.7
Težišnice trougla se sijeku u jednoj tački, koja svaku težišnicu dijeli u odnosu 2:1
računajući od tjemena trougla..
DOKAZ:
Slika6.1.15Težišnice trougla se sijeku u jednoj tački
MATEMATIKA
51
Neka su duži i težišnice trougla ABC i neka se sijeku u tački T. Odaberimo tačke F i
G na težišnicama tako da je i
Duž je srednja linija trougla ABC, a duž je srednja linija trougla ABT.
Prema Teorem6.1.6 slijedi da je i pa imamo da je , odnosno
.
(parovi naizmjeničnih uglova na transverzali).
Prema stavu USU trouglovi FGT i TDE su podudarni, pa su im odgovarajući elementi
podudarni, iz čega slijedi da je i .
Kako je i vrijedi da je i odnosno:
Dakle, dvije težišnice trougla se sijeku u jednoj tački koja svaku od njih dijeli u odnosu 2:1
računajući od tjemena trougla. Tada težišnica iz vrha C siječe težišnicu iz vrha A (ili B) u
tački koja dijeli težišnicu u omjeru 2:1 računajući od tjemena trougla, a kako na duži postoji
samo jedna tačka koja dijeli duž u zadanom omjeru, onda težišnica iz vrha C mora sijeći
težišnicu iz vrha A (ili B) u tački T, tj. u tački gdje se sijeku težišnice iz vrhova A i B.
Znači, sve težišnice trougla se sijeku u jednoj tački.
Definicija6.1.7
Težište trougla je tačka u trouglu u kojoj se sijeku sve težišnice trougla.
Teorem6.1.8
Prave koje sadrže visine trougla se sijeku u jednoj tački.
DOKAZ:
Posmatrajmo trougao ABC. Kroz tjemena trougla ABC konstruišimo pravce p, q i r koji
redom prolaze kroz tačke C, B i A, i koji su paralelni odgovarajućim stranicama.
Slika6.1.16Prave koje sadrže visine trougla se sijeku u jednoj tački
MATEMATIKA
52
Tako smo dobili novi trougao PQR čija su središta stranica tjemena trougla ABC.
Prema Teorem6.1.4 simetrale stranica kroz tačke A, B i C trougla PQR se sijeku u jednoj
tački, pa pravci koji sadrže visine trougla se sijeku u jednoj tački.
Definicija6.1.7
Ortocentar trougla je tačka u kojoj se sijeku sve normale trougla.
Teorem6.1.9
Nasuprot veće stranice se nalazi veći ugao i obratno, nasuprot većeg ugla se nalazi veća
stranica.
DOKAZ:
( ) Neka je dat trougao ABC u kome je Dokažimo da je .
Na stranici odredimo tačku D tako da je
Slika6.1.17Naspram veće stranice se nalazi veći ugao
Tada je trougao ACD jednakokraki pa je .
Kako je ugao dio ugla , to je tj. (*)
Ugao je vanjski ugao trougla ABD, pa je . (**)
Na osnovu (*) i (**) vrijedi da je .
( ) Neka je u trouglu ABC , . Dokažimo da je
Pretpostavimo da je . Tada su uglovi jednaki što nije tačno.
U slučaju da je , tada bi na osnovu prvog dokazanog dijela ove teoreme vrijedilo da
je , što nije tačno. Ostaje samo jedna mogućnost i to kada je što je
trebalo dokazati.
MATEMATIKA
53
Teorem6.1.10
Bilo koja stranica trougla veća je od razlike, a manja od zbira druge dvije stranice.
DOKAZ:
Neka je dat trougao ABC sa stranicama a, b i c. Na polupravoj BC odredimo tačku D tako da
je
Slika6.1.18Jedna stranica trougla je manja od zbira druge dvije
Trougao ACD je jednakokraki sa osnovicom , pa je . Kako je ugao
najveći ugao, na osnovu Teorem6.1.9 zaključujemo da je stranica veća od
stranice c, odnosno Analogno se dolazi da je i
Dokažimo da je bilo koja stranica trougla veća od razlike druge dvije stranice.
Na sljedećoj slici predstavimo trougao gdje je .
Slika6.1.19Jedna stranica trougla je veća od razlike druge dvije
Neka je tačka D na stranici tako da je Tada je trougao ACD jednakokraki sa
osnovicom , pa je oštar ugao, što znači da je pa je tup ugao.
S obzirom na činjenicu da su u svakom trouglu koji ima jedan tupi ugao, ostali uglovi oštri
slijedi da je ugao oštar ugao. Koristeći Teorem6.1.9 zaključujemo da je .
Kako je i , to je , gdje je
Analogno se dolazi da je | | i | |
MATEMATIKA
54
Definicija6.1.8
Slični trouglovi imaju jednake uglove i proporcionalne stranice.
Trouglovi su slični ako je ispunjen neki od sljedeća tri uvjeta:
trouglovi imaju sve tri stranice proporcionalne,
trouglovi imaju dvije stranice proporcionalne i uglove meĎu njima jednake,
trouglovi imaju dva ugla jednaka.
Slika6.1.20Sličnost trouglova
Teorem6.1.11
Zbir unutrašnjih uglova u konveksnom n-touglu je ( )
DOKAZ:
Slika6.1.21Zbir uglova u mnogouglu
Iz tjemena možemo konstruisati dijagonale, te smo tako dobili trougla gdje
je zbir uglova u svakom trouglu pa imamo:
( )
MATEMATIKA
55
Teorem6.1.12
Zbir vanjskih uglova u konveksnom n-touglu je
DOKAZ:
Neka je
zbir vanjskih uglova u konveksnom n-touglu,i neka je
unutrašnji ugao u konveksnom n-touglu, a vanjski ugao u konveksnom n-touglu.
Tada je:
U našem slučaju imamo sljedeće:
( )
( )
(
) ( )
Središnji ugao , unutrašnji ugao , i vanjski ugao pravilnog mnogougla su dati sljedećim
formulama:
6.1.1 Pravougli trougao
Uglovi u pravouglom trouglu:
Najduža stranica pravouglog trougla naziva se hipotenuza, a kraće stranice katete.
Slika6.1.1.1Pravougli trougao
MATEMATIKA
56
Odnosi kateta i hipotenuze:
Odnosi meĎu katetama:
Površina pravouglog trougla se računa preko formule:
gdje su a i b katete.
Teorem6.1.1.1(Pitagorina teorema)
Kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbiru kvadrata nad katetama.
DOKAZ:
Posmatrajmo kvadrat ABCD čija je stranica a+b, i u njemu upisan kvadrat EFGH čija je
stranica c.
Slika6.1.1.2Pitagorina teorema
Pravougli trouglovi EAF, FBG, GCH i HDE su podudarni na osnovu stava SUS.
Površina kvadrata ABCD stranice a+b je ( ) .
Površina upisanog kvadrata EFGH stranice c je
Površina jednog pravouglog trougla čije su katete a i b je
.
Kako je , to je:
MATEMATIKA
57
( )
Za pravougli trougao vrijede identiteti:
√ √ √
gdje su p i q odsječci što ih visina gradi na hipotenuzi c.
DOKAZ:
Slika6.1.1.3Odsječci na hipotenuzi
komplementni uglovi.
( )
( )
Pomnožimo li jednačine (1) i (2) imamo:
( )
√
Primjenom pitagorine teoreme Teorem6.1.1.1 na trougao imamo:
( )
√ .
MATEMATIKA
58
( )
√
Poluprečnik upisane kružnice pravouglog trougla je:
DOKAZ:
Slika6.1.1.4Poluprečnik upisane kružnice
Površina trougla se računa preko formula:
Ako izjednačimo ove dvije formule imamo:
( )
6.1.2 Jednakostranični trougao
Jednakostranični trougao ima tri jednaka ugla i tri jednake stranice.
Slika6.1.1.5Jednakostranični trougao
MATEMATIKA
59
Obim jednakostraničnog trougla je:
.
Poluobim jednakostraničnog trougla je:
Površina jednakostraničnog trougla je:
√
DOKAZ:
Koristimo formulu za računanje površine trougla
.
Primjenom Teorem6.1.1.1 na jednakokraki trougao imamo:
.
/
√
Uvrštavanje u
daje:
√
√
Poluprečnik upisane kružnice jednakostraničnog trougla je:
√
DOKAZ:
Slika6.1.1.6Poluprečnik upisane kružnice
MATEMATIKA
60
Površina jednakostraničnog trougla se računa preko formula:
√
Ako izjednačimo ove dvije formule imamo:
√
√
√
√
Poluprečnik opisane kružnice jednakostraničnog trougla je:
√
DOKAZ:
Slika6.1.1.7Poluprečnik opisane kružnice
Površina trougla se računa preko formula:
(
)
√
Ako izjednačimo ove dvije formule imamo:
√
√
√ √
√
√
MATEMATIKA
61
NaĎimo vezu izmeĎu poluprečnika upisane i opisane kružnice u jednakostraničnom trouglu:
Slika6.1.1.8Veza izmeĎu poluprečnika upisane i opisane kružnice
√
√
√
6.1.3 Jednakokraki trougao
Jednakokraki trougao ima dva jednaka ugla i dvije jednake stranice.
Slika6.1.1.9Jednakokraki trougao
Obim jednakokrakog trougla je:
.
Poluobim jednakokrakog trougla je:
MATEMATIKA
62
Teorem6.1.13 (Sinusna teorema)
Odnos stranice trougla i sinusa nasuprotnog ugla jednak je za sve stranice trougla i jednak
je prečniku opisane kružnice na trouglu i vrijedi:
DOKAZ:
Slika6.1.22Sinusna teorema
Slika6.1.23Sinusna teorema
MATEMATIKA
63
Teorem6.1.14 (Kosinusna teorema)
Kosinusna teorema glasi:
DOKAZ:
Slika6.1.24Kosinusna teorema
| | (1)
| | (2)
| |
| |
| | | |
Uvrštavanje u jednačine (1) i (2) daje sljedeće:
( )
( )
Iz prethodne dvije jednakosti slijedi:
( ) ( )
MATEMATIKA
64
Slika6.1.25Kosinusna teorema
| | (3)
| | (4)
| |
| |
| | | |
Uvrštavanje u jednačine (3) i (4) daje sljedeće:
( )
( )
Iz prethodne dvije jednakosti slijedi:
( ) ( )
Slika6.1.26Kosinusna teorema
| | (5)
| | (6)
| |
| |
| | | |
MATEMATIKA
65
Uvrštavanje u jednačine (5) i (6) daje sljedeće:
( )
( )
Iz prethodne dvije jednakosti slijedi:
( ) ( )
Time je dokaz završen.
6.1.4 Površina trougla
Površina trougla se računa preko formula:
√ ( )( )( )
DOKAZ:
Iskoristit ćemo formulu za računanje površine pravouglog trougla koja se lako dobije iz
formule za računanje površine pravougaonika:
Slika6.1.4.1Površina pravouglog trougla
MATEMATIKA
66
Posmatrajmo sljedeću sliku:
Slika6.1.4.2Površina trougla
( )
( )
( )
Time smo dokazali da za površinu trougla vrijedi formula:
Slika6.1.4.3Površina trougla
MATEMATIKA
67
Dokažimo √ ( )( )( )
Slika6.1.4.4Površina trougla
( )
( ) ( )
( )
Iz jednakosti (2) i (3) imamo:
( )
Vrijednost x uvrstimo u jednačinu (3).
(
)
(
)(
)
(
)(
)
MATEMATIKA
68
( )( )
, ( )-, -
, ( ) -,( ) -
( )⏞
( )⏞
( )⏞
( )⏞
Kako je poluobim trougla, to je:
( )
( )
( )
Sada imamo:
( ) ( ) ( )
( )( )( )
√ ( )( )( )
Uvrštavanjem
√ ( )( )( ) u formulu (1) imamo:
√ ( )( )( )
√ ( )( )( )
Iskoristimo sinusnu teoremu i formulu za računanje površine trougla, tj. formule:
MATEMATIKA
69
Dokažimo da je
Slika6.1.4.5Površina trougla
( )
Ostalo je dokazati da vrijedi
Iskoristimo sinusnu teoremu i formulu za računanje površine trougla:
( )
Ako uvrstimo u formulu (1) imamo:
MATEMATIKA
70
6.1.5 Dužine težišnica u trouglu
Dužine težišnica trougla se računaju preko formula:
√
√
√
DOKAZ:
Slika6.1.5.1Dužine težišnica trougla
Težišnicu smo produžili za istu dužinu do tačke D , a vrhove C i B smo spojili sa D tako da
smo dobili paralelogram.
Koristimo teoremu koja će se kasnije dokazati: zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak
je zbiru kvadrata njegovih stranica, pa imamo:
( )
√
Analogno se dokazuju ostale dvije formule.
√
√
MATEMATIKA
71
6.1.6 Heronovske formule
Heronovske formule su:
√
( )( )
( )
√
( )( )
( )
√
( )( )
( )
DOKAZ:
Iz formula
i kosinusne teoreme
imamo slijedeće:
( )
( )
( )
( )
( )
( )⏞
( )⏞
( )⏞
( )⏞
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
MATEMATIKA
72
√
( )( )
√
( )
√( )( )
√ ( )
√
( )( )
( )
Iz formula
i kosinusne teoreme
imamo slijedeće:
( )
( )
( )
( )
( )
( )⏞
( )⏞
( )⏞
( )⏞
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
MATEMATIKA
73
√
( )( )
√
( )
√( )( )
√ ( )
√
( )( )
( )
Iz formula
i kosinusne teoreme
imamo slijedeće:
( )
( )
( )
( )
( )
( )⏞
( )⏞
( )⏞
( )⏞
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
MATEMATIKA
74
( )( )
( )
√
( )( )
√
( )
√( )( )
√ ( )
√
( )( )
( )
Ovim je dokaz gotov.
Ove formule se nazivaju Heronovske formule zbog sličnosti sa Heronovom formulom za
računanje površine trougla.
6.1.7 Dužine simetrali uglova u trouglu (bisektrise)
Bisektrise trougla se računaju preko formula:
√
√ ( )
√
√ ( )
√
√ ( )
DOKAZ:
Slika6.1.7.1Bisektrise trougla
MATEMATIKA
75
Sada imamo:
( )
Ostao je problem izraziti
preko stranica trougla. To je uraĎeno u prethodnom dokazu
kod Heronovskih formula i vrijedi
√
( )
Uvrštavanjem imamo:
√ ( )
Analogno se dokazuju ostale dvije formule.
6.1.8 Tangensna teorema
DOKAZ:
Iz sinusne teoreme imamo:
.
Napravimo odnos:
MATEMATIKA
76
Primjenimo li formule zbira i razlike za i imamo:
Analogno se dokazuju ostale dvije formule.
6.1.9 Karnovi obrasci
( )
gdje je x odsječak što ga pravi visina trougla iz tačke A.
DOKAZ:
Prvo dokažimo kad je kod vrha C ugao oštar:
Slika6.1.9.1Karnovi obrasci
Kružnica k(A,b) siječe stranicu a u tačkama C i D, a stranicu c u tački E. Na osnovu teoreme
za kružnicu vrijedi:
( ) ( ) ( )
MATEMATIKA
77
Dokažimo kad je kod vrha C ugao tup:
Slika6.1.9.2Karnovi obrasci
Na osnovu teoreme za kružnicu vrijedi:
( ) ( ) ( )
Ostalo je dokazati kad je kod vrha C pravi ugao:
Slika6.1.9.3Karnovi obrasci
( ) ( )
PITAGORINA TEOREMA
MATEMATIKA
78
6.1.10 Mollweidove formule
DOKAZ:
Zbir uglova u trouglu je
Za ovaj dokaz nam je potrebna sinusna teorema:
( )
( )
Saberimo jednakosti (1) i (2).
.
/
Sada oduzmimo jednakosti (1) i (2).
MATEMATIKA
79
.
/
Time je dokaz gotov.
6.2 Četverouglovi
Četverougao je mnogougao koji ima četiri stranice. Četverouglove dijelimo na: paralelogram,
pravougaonik, romb, kvadrat, romboid, trapez i deltoid.
6.2.1 Kvadrat
Kvadrat je četverougao koji ima jednake stranice izmeĎu kojih je pravi ugao.
Slika6.2.1.1Kvadrat
Površina kvadrata se računa preko formula:
Obim kvadrata je:
Dijagonala kvadrata je:
√
MATEMATIKA
80
6.2.2 Pravougaonik
Pravougaonik je četverougao koji ima dva para jednakih stranica izmeĎu kojih je pravi ugao.
Slika6.2.2.1Pravougaonik
Površina pravougaonika je:
Obim pravougaonika je:
( )
Dijagonala pravougaonika:
√
Površina pravougaonika gdje je d dijagonala, a ugao izmeĎu dijagonali, može se
izračunati preko formule:
DOKAZ:
Slika6.2.2.2Površina pravougaonika
( )
(
*
.
/
(
*
MATEMATIKA
81
(
)
( )
Jednakosti (1) i (2) uvrstimo u formulu za računanje površine pravougaonika.
6.2.3 Romb
Romb je četverougao koji ima jednake stranice koje su u parovima paralelne.
Slika6.2.3.1Romb
Obim romba je:
Površina romba gdje su dijagonale, a stranica romba, se računa preko formula:
DOKAZ:
Slika6.2.3.2Površina romba
MATEMATIKA
82
___________________________________________________________________________
6.2.4 Paralelogram
Paralelogram je četverougao koji ima dva para paralelnih stranica.
Slika6.2.4.1Paralelogram
Obim paralelograma je:
( )
Površina paralelograma se računa preko formula:
DOKAZ:
Slika6.2.4.2Površina paralelograma
MATEMATIKA
83
Uvrstimo li u imamo:
Teorem6.2.4.1
Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbiru kvadrata stranica paralelograma.
( )
DOKAZ:
Slika6.2.4.3Paralelogram
( ) ( )
( ) ( )
Saberemo li formule (1) i (2) imamo:
( ) ( )
MATEMATIKA
84
( )
Na početku dokaza imamo jednakost pa vrijedi:
( )
6.2.5 Trapez
Trapez je četverougao koji ima dvije stranice paralelne.
Slika6.2.5.1Trapez
a,c -osnove trapeza.
b,d – kraci trapeza.
s – srednja linija trapeza.
Obim trapeza je:
Površina trapeza se računa preko formula:
DOKAZ:
Slika6.2.5.2Površina trapeza
MATEMATIKA
85
Dokažimo da je .
Uočimo trapeze ABFE i EFCD, i izrazimo njihove površine:
(
*
( )
Iz formula za računanje površine trapeza slijedi da je:
MATEMATIKA
86
6.3 Pravilni mnogougao
Pravilni n-tougao ima sve stranice i sve uglove jednake.
Slika6.3.1Pravilni mnogougao
Obim pravilnog n-tougla:
Broj dijagonala n-tougla:
( )
DOKAZ:
Iz svakog tjemena n-tougla možemo po povući n-3 dijagonale. Kako n-tougao ima n tjemena,
a svaku dijagonalu smo računali 2 puta to je:
( )
Površina pravilnog n-tougla se računa preko formule:
DOKAZ:
Slika6.3.2Površina mnogougla
MATEMATIKA
87
Poluprečnik opisane kružnice oko mnogougla je:
DOKAZ:
Slika6.3.3Poluprečnik opisane kružnice
Poluprečnik upisane kružnice u mnogouglu je:
DOKAZ:
Slika6.3.4Poluprečnik upisane kružnice
MATEMATIKA
88
6.4 Krug
Krug je dio ravni (unutrašnja oblast) ograničena kružnicom. Definicija6.33
Slika6.4.1Kružnica
Površina kruga je:
Obim kruga je:
Dužina kružnog luka odreĎenog uglom :
Ako ugao izražavamo u radijanima, onda je:
DOKAZ:
Slika6.4.2Dužina kružnog luka
Ako je ugao izražen u radijanima, tada iskoristimo formule za smjenu:
.
MATEMATIKA
89
Površina kružnog isječka:
DOKAZ:
Slika6.4.3Površina kružnog isječka
Površina kružnog odsječka:
.
/
DOKAZ:
Slika6.4.4Površina kružnog odsječka
.
/
MATEMATIKA
90
6.5 Analitička geometrija u ravni
6.5.1 Tačka, jednačina pravca i duž
Slika6.5.1.1Udaljenost izmeĎu dvije tačke
Udaljenost izmeĎu tačaka ( ) ( ) se računa po formuli:
( ) √( ) ( )
DOKAZ:
Slika6.5.1.2Udaljenost izmeĎu dvije tačke
Primjenom pitagorine teoreme na pravougli trougao imamo:
( ) ( )
( ) , ( )-
( ) ( )
( ) √( ) ( )
Tačka S je djelište duži u omjeru ako je
.
Slika6.5.1.3Djelište duži
MATEMATIKA
91
Tačka S ima koordinate:
Polovište P duži dobiva se za :
Jednačina pravca se može predstaviti u četiri oblika:
Eksplicitni (direktni) oblik:
Implicitni (opći) oblik:
Segmentni oblik:
Normalni (Hesseov) oblik:
( )√
6.5.1.1 Eksplicitni (direktni) oblik pravca
Slika6.5.1.1.1Eksplicitni oblik pravca
MATEMATIKA
92
6.5.1.2 Implicitni (opći) oblik pravca
Iz direktnog oblika pravca imamo:
Tada postoje realni brojevi A,B i C za koje vrijedi jednakost:
6.5.1.3 Segmentni oblik pravca
Slika6.5.1.3.1Implicitni oblik pravca
MATEMATIKA
93
6.5.1.4 Normalni (Hesseov) oblik pravca
Slika6.5.1.4.1Normalni oblik pravca
( )
( )
Saberemo li jednakosti (1) i (2) imamo:
Pogledajmo jednačine i .
Tada vrijedi: .
( )
( )
Saberimo jednakosti (3) i (4):
( )
√
√
√
MATEMATIKA
94
Tada je:
√
√
Uvrštavanjem u jednačinu imamo:
√
√
√
( )√
Jednačina pravca kroz tačku ( ) je:
( )
DOKAZ:
Slika6.5.1.2Jednačina pravca kroz jednu tačku
M(x,y)- proizvoljna tačka na pravcu,a (x,y) su tekuće koordinate.
( )
Jednačina pravca kroz tačke ( ) ( ) je:
( )
DOKAZ:
Slika6.5.1.3Jednačina pravca kroz dvije tačku
MATEMATIKA
95
Ako vrijednost k uvrstimo u formulu za jednačinu prave koja prolazi kroz jednu tačku imamo:
( )
Površina trougla čije su koordinate tačke ( ) ( ) ( ) je:
, ( ) ( ) ( )-
DOKAZ:
Slika6.5.1.4Površina trougla
( )
( )
( )
,( )( ) ( )( ) ( )( )-
, -
, -
, -
, ( ) ( ) ( )-
MATEMATIKA
96
Uslov da tačke ( ) ( ) ( ) leže na istom pravcu (uslov kolinearnosti):
DOKAZ:
Ako su tačke kolinearne tj. leže na istom pravcu onda je „površina trougla“ jednaka nuli.
Tada iz formule za računanje površine trougla zaključujemo:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
Udaljenost tačke ( ) i pravca je:
| |
√
DOKAZ:
Slika6.5.1.5Udaljenost tačke od pravca
Neka su pravci l1 i l2 paralelni. Primjenimo normalni (Hesseov) oblik pravca l2:
l2: ( )
( )√
| |
√
MATEMATIKA
97
Ugao izmeĎu pravaca zadanih jednačinama je :
DOKAZ:
Slika6.5.1.6Ugao izmeĎu pravaca
Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dva unutrašnja njemu nesusjedna ugla.
( )
Teorem6.5.1.1
Neka su zadana dva pravca:
(uslov paralelnosti)
Pravci su paralelni kad imaju jednake koeficijente smjera, tj. vrijedi :
(uslov okomitosti)
Pravci su okomiti kada su im koeficijenti smjera recipročni i suprotnog predznaka, tj.
DOKAZ:
Pravci su paralelni ako je ugao izmeĎu njih 0o ili 180
o:
MATEMATIKA
98
Iz tog zaključujemo da je odnosno:
Pravci su okomiti ako je:
Slijedi da nazivnik mora biti jednak nuli pa vrijedi:
odnosno:
Simetrala duži koja spaja dvije tačke ( ) ( ) je pravac oblika:
(
*
( )
ako je , odnosno
DOKAZ:
Slika6.5.1.7Simetrala duži
MATEMATIKA
99
Pravac (simetrala duži) y=kx+n je okomit na pravac kroz tačke ( ) ( ) pa iz
uslova okomitosti imamo da vrijedi:
Ostalo je odrediti n. Posmatrajmo jednakokraki trougao .
Vrijedi:
√ ( )
√
( )
( ) ( )
( ) ( )
Oduzmimo jednakosti (1) i (2):
( )
( )
( )
( )
Konačno uvrštavanjem dobijenih vrijednosti za k i n u y=kx+n imamo :
(
*
( )
Težište trougla je tačka T koja ima koordinate:
(
*
DOKAZ:
Slika6.5.1.8Težište trougla
MATEMATIKA
100
(
)
(
*
Težište trougla dijeli težišnicu u odnosu 2:1, pa imamo:
Iskoristimo formule za djelište duži u odnosu :
U našem slučaju je .
Znači, težište trougla ima koordinate:
(
*
6.5.2 Kružnica
Definicija6.5.2.1
Kružnica je geometrijsko mjesto tačaka koje su jednako udaljene od jedne stalne tačke tj.
centra kružnice, ili kružnica je skup tačaka jednako udaljenih od tačke središta.
Kružnica s centrom u tački ( ) poluprečnika r je data na sljedećoj slici:
Slika6.5.2.1Kružnica
Kraći zapis kružnice sa centrom u tački ( ) poluprečnika r je ( )
Kružnica poluprečnika r sa centrom u ishodištu koordinatnog sistema (centralna kružnica) je
u oznaci ( )
MATEMATIKA
101
6.5.2.1 Jednačina kružnice
Jednačina kružnice poluprečnika r sa središtem u ishodištu koordinatnog sistema je:
Slika6.5.2.1.1Jednačina kružnice
Primjenom pitagorine teoreme na trougao imamo:
,
Jednačina kružnice poluprečnika r sa središtem u tački ( ) je:
( ) ( )
Slika6.5.2.1.2Jednačina kružnice
Primjenom pitagorine teoreme imamo:
( ) ( )
MATEMATIKA
102
6.5.2.2 Jednačina tangente u tački kružnice
Jednačina tangente u tački ( ) kružnice ( ) je:
( )( ) ( )( )
dok je jednačina tangente u tački ( ) kružnice ( ) :
DOKAZ:
Slika6.5.2.2.1Jednačina tangente
Tangenta kružnice koja ima središte u tački S(p, q) i koja prolazi tačkom ( ) na kružnici
odreĎena je koordinatama tačke T i koeficijentom smjera tangente.
Diferenciranjem jednačine kružnice imamo da je:
( ) ( )
Odatle slijedi da je:
Uvrštavanjem u jednačinu pravca kroz tačku ( ) dobijamo jednačinu tangente:
( )
Odatle se nalazi i drugi oblik jednačine tangente:
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
Uvrštavanjem p=q=0 dobijamo:
MATEMATIKA
103
6.5.2.3 Uslov da pravac bude tangenta kružnice
Uslov da pravac bude tangenta kružnice je:
( )
( ) ( )
DOKAZ:
Slika6.5.2.3.1Tangenta kružnice
NaĎimo taj uslov za kružnicu ( ), a za centralnu kružnicu ćemo dobiti uvrštavanjem
( )
( ) ( ) ( )
Uvrstimo y iz jednačine (1) u jednačinu (2):
( ) ( )
( )
( ) ( )
Dobili smo kvadratnu jednačinu čija diskriminanta mora biti jednaka nuli (jer ne mogu biti
dva pravca) pa imamo:
, ( )- ( )( )
⏟
( ) ⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
( )
( ) ( )
MATEMATIKA
104
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Za imamo centralnu kružnicu, pa uvrštavanjem u dokazani uslov imamo da
vrijedi:
( ) ( )
( )
6.5.2.4 Površina kruga
Površina kruga poluprečnika r je:
DOKAZ:
Slika6.5.2.4.1Površina kruga
Izračunajmo sivu površinu koja je jednaka četvrtini površine kruga, tj. neka vrijedi:
∫
Jednačina kružnice je:
√
Površina je pozitivan broj.
∫√
MATEMATIKA
105
∫√ (
)
|
| ∫ √
∫√
|
| ∫√
∫
∫
∫( )
[
∫
∫
]
[ |
|
]
(
⏞
,
6.5.2.5 Obim kruga (dužina luka kružnice)
Obim kruga (dužina luka kružnice) je:
DOKAZ:
Iskoristimo formulu za računanje dužine luka krive y:
∫√ ( )
MATEMATIKA
106
Slika6.5.2.5.1Obim kruga
√
√
∫√
∫
√
∫
√ ∫
√ [ . /
]
∫
√ . /
|
|
∫
√
|
( )
6.5.3 Elipsa
Definicija6.5.3.1
Elipsa je geometrijsko mjesto tačaka za koje je zbir udaljenosti od dviju fiksnih tačaka
(fokusa) konstanta i iznosi 2a.
Vrste elipse:
Translatirana elipsa
Elipsa sa tjemenima na osi ordinata
Jednakostranična elipsa (KRUŽNICA)
MATEMATIKA
107
Elipsa sa središtem u ishodištu koordinatnog sistema je data na sljedećoj slici:
Slika6.5.3.1Elipsa sa središtem u ishodištu
Elipsa sa središtem u tački ( ) (translatirana elipsa) je data na sljedećoj slici:
Slika6.5.3.2Translatirana elipsa
a je velika poluosa, b mala poluosa.
( ) ( ) su fokusi elipse gdje je e linearni ekscentricitet elipse.
Tjemena elipse su u tačkama ( ) ( ).
Vrijedi da je , gdje su udaljenosti tačaka elipse od fokusa.
Elipsa sa tjemenima na osi ordinata je prikazana na slici:
Slika6.5.3.3Elipsa sa tjemenima na osi ordinata
MATEMATIKA
108
Za linearni ekscentricitet elipse vrijedi:
DOKAZ:
Sa prve slike (isto i za drugu) imamo da vrijedi:
Dobili smo jednakokraki trougao pa vrijedi:
( )
( )
Ako saberemo jednačine (1) i (2) imamo:
( )
Ako pomnožimo jednačine (1) i (2) imamo:
( )
Kako je imamo:
( )
( ) ( )
6.5.3.1 Jednačina elipse
Jednačina elipse sa centrom u ishodištu koordinatnog sistema (centralna elipsa) je:
dok je jednačina elipse sa središtem u tački ( ) (translatirana elipsa) data sa:
( )
( )
DOKAZ:
NaĎimo jednačinu elipse sa središtem u tački ( ), a jednačinu elipse sa središtem u
ishodištu koordinatnog sistema dobijamo uvrštavanjem
MATEMATIKA
109
Posmatrajmo sljedeću sliku:
Slika6.5.3.1.1Jednačina elipse
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Oduzmimo jednačine (1) i (2):
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
Saberimo jednačine (3) i (4):
( )
( ) ( )
Jednakost (5) uvrstimo u jednačinu (1):
0
( )1
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
MATEMATIKA
110
( ) (
) ( )
( ) (
) ( ) ( )
Iskoristimo da je odnosno
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
Uvrštavanjem imamo:
Jednačina elipse sa tjemenima na osi ordinata je:
( )
( )
6.5.3.2 Jednačina tangente u tački elipse
Jednačina tangente u tački ( ) elipse je:
( )( )
( )( )
dok je jednačina tangente u tački ( ) centralne elipse:
DOKAZ:
Tangenta elipse koja ima središte u tački S(p, q), koja prolazi tačkom ( ) na elipsi
odreĎena je koordinatama tačke T i koeficijentom smjera tangente.
Diferenciranjem jednačine elipse imamo da je:
( ) ( ) , odakle slijedi da je:
MATEMATIKA
111
Uvrštavanjem u jednačinu pravca kroz tačku ( ), dobijamo jednačinu tangente:
( )
Odatle se dobija drugi oblik jednačine tangente elipse:
( )( ) ( )( )
( ) (
)
( )
( )
( )( )
( )( )
Uvrštavanjem p=q=0 dobijamo:
6.5.3.3 Uslov da pravac bude tangenta elipse
Uslov da pravac bude tangenta elipse je:
( )
DOKAZ:
Odredimo uslov za elipsu sa središtem u tački ( ) ,a iz toga uslov za centralnu elipsu
ćemo dobiti uvrštavanjem
( )
( )
( )
( )
Uvrstimo jednakost (1) u jednakost (2):
( )
( )
( )
( ) , ( ) -
( ) ( )
MATEMATIKA
112
Dobili smo kvadratnu jednačinu čija diskriminanta mora biti jednaka nuli (jer ne mogu biti
dva pravca) pa imamo:
, ( )- ( )( )
⏟
( ) ⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
Uvrštavanjem imamo:
6.5.3.4 Površina elipse
Površina elipse je:
DOKAZ:
Slika6.5.3.4.1Površina elipse
MATEMATIKA
113
Izračunajmo sivu površinu koja je jednaka četvrtini površine elipse, tj. neka vrijedi:
∫
Jednačina elipse je:
√
∫√
∫√ (
)
|
| ∫√
∫√
|
| ∫√
∫
∫
∫( )
[
∫
∫
]
[ |
|
]
(
⏞
,
MATEMATIKA
114
6.5.4 Hiperbola
Definicija6.5.4.1
Hiperbola je geometrijsko mjesto tačaka čija je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od
dviju fiksnih točaka (žarišta) konstanta i iznosi 2a.
Vrste hiperbole:
Translatirana hiperbola
Hiperbola sa tjemenima na osi ordinata
Jednakostranična hiperbola
Hiperbola sa središtem u ishodištu koordinatnog sistema je data na sljedećoj slici:
Slika6.5.4.1 Hiperbola
Hiperbola sa središtem u tački ( ) (translatirana hiperbola) je data na sljedećoj slici:
Slika6.5.4.2Translatirana hiperbola
MATEMATIKA
115
a je velika poluosa, b imaginarna poluosa.
( ) ( ) su fokusi hiperbole gdje je e linearni ekscentricitet hiperbole.
Tjemena hiperbole su u tačkama ( ).
gdje su udaljenosti tačaka hiperbole od fokusa.
Hiperbola sa tjemenima na osi ordinata je prikazana na slici:
Slika6.5.4.3Hiperbola sa tjemenima na osi ordinata
Za linearni ekscentricitet hiperbole vrijedi:
6.5.4.1 Jednačina hiperbole
Jednačina hiperbole sa centrom u ishodištu koordinatnog sistema (centralna hiperbola) je:
dok je jednačina hiperbole sa središtem u tački ( ) (translatirana hiperbola) data sa:
( )
( )
DOKAZ:
NaĎimo jednačinu hiperbole sa središtem u tački ( ), a jednačinu hiperbole sa središtem u
ishodištu koordinatnog sistema dobijamo uvrštavanjem
MATEMATIKA
116
Slika6.5.4.1.1Jednačina hiperbole
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Oduzmimo jednačine (1) i (2):
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
Saberimo jednačine (3) i (4):
( )
( ) ( )
Jednakost (5) uvrstimo u jednačinu (1):
0
( )1
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
MATEMATIKA
117
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) (
) ( )
( ) (
) ( ) ( )
Iskoristimo da je odnosno
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
Uvrštavanjem imamo:
Jednačina hiperbole sa tjemenima na osi ordinata je:
( )
( )
6.5.4.2 Jednačina tangente u tački hiperbole
Jednačina tangente u tački ( ) hiperbole je:
( )( )
( )( )
dok je jednačina tangente u tački ( ) centralne hiperbole:
DOKAZ:
Tangenta hiperbole koja ima središte u tački S(p, q), koja prolazi tačkom ( ) na
hiperboli odreĎena je koordinatama tačke T i koeficijentom smjera tangente.
MATEMATIKA
118
Diferenciranjem jednačine hiperbole imamo da je:
( ) ( )
Odatle slijedi da je:
Uvrštavanjem u jednačinu pravca kroz tačku ( ) dobijamo jednačinu tangente:
( )
Odatle se dobija drugi oblik jednačine tangente hiperbole:
( )( ) ( )( )
( ) (
)
( )
( )
( )( )
( )( )
Uvrštavanjem p=q=0 dobijamo:
6.5.4.3 Uslov da pravac bude tangenta hiperbole
Uslov da pravac bude tangenta hiperbole je:
( )
DOKAZ:
NaĎimo uslov za hiperbolu sa središtem u tački ( ) , a iz tog uslov za centralnu hiperbolu
ćemo dobiti uvrštavanjem
( )
( )
( )
( )
Uvrstimo jednakost (1) u jednačinu (2):
( )
( )
MATEMATIKA
119
( )
( ) , ( ) -
( ) ( )
Dobili smo kvadratnu jednačinu čija diskriminanta mora biti jednaka nuli (jer ne mogu biti
dva pravca) pa imamo:
, ( )- ( )( )
⏟
( ) ⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
Uvrštavanjem imamo:
Asimptote hiperbole su pravci:
Slika6.5.4.3.1Asimptote hiperbole
MATEMATIKA
120
6.5.4.4 Konstrukcija hiperbole
Slika6.5.4.4.1Konstrukcija hiperbole
Slika6.5.4.4.2Konstrukcija hiperbole
Slika6.5.4.4.3Konstrukcija hiperbole
MATEMATIKA
121
6.5.5 Parabola
Definicija6.5.5.1
Parabola je skup tačaka u ravni jednako udaljenih od zadane tačke (žarišta) i od zadanog
pravca (ravnalice).
Slika6.5.5.1Parabola
Fokus parabole je tačka .
/.
p-parametar parabole.
Ravnalica d (direktrisa) ima jednačinu:
6.5.5.1 Jednačina parabole
Jednačina parabole s tjemenom u ishodištu je:
Ako zamijenimo x i y imamo uspravnu parabolu:
Jednačina parabole s tjemenom u tački ( ) je:
( ) ( )
DOKAZ:
NaĎimo jednačinu parabole s tjemenom u tački ( ).
Posmatrajmo sljedeću sliku, i iskoristimo definiciju parabole.
MATEMATIKA
122
Slika6.5.5.1.1Jednačina parabole
Iz definicije parabole imamo:
√( ) (
)
Imamo:
√( ) .
/
( )
Kvadrirajmo jednakost (1):
(
) ( ) .
/
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Uvrštavanjem u dokazanu formulu dobijamo parabolu s tjemenom u ishodištu i
vrijedi:
MATEMATIKA
123
6.5.5.2 Jednačina tangente u tački parabole
Jednačina tangente u tački ( ) parabole je:
( )
DOKAZ:
Tangenta parabole koja prolazi tačkom ( ) na paraboli odreĎena je koordinatama
tačke T i koeficijentom smjera tangente.
Diferenciranjem jednačine parabole imamo da je:
Odatle slijedi da je:
Uvrštavanjem u jednačinu pravca kroz tačku ( ) dobijamo jednačinu tangente:
( )
Odatle dobijamo drugi oblik jednačine tangente parabole:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
6.5.5.3 Uslov da pravac bude tangenta parabole
Uslov da pravac bude tangenta parabole je:
DOKAZ:
( )
( )
Jednakost (1) uvrstimo u jednačinu (2):
( )
( )
MATEMATIKA
124
Dobili smo kvadratnu jednačinu čija diskriminanta mora biti jednaka nuli.
, ( )-
6.6 Površine i zapremine geometrijskih figura (stereometrija)
Dio geometrije koja proučava svojstva prostornih figura naziva se stereometrija (riječ stereometrija
dolazi od grčkih riječi stereos- prostor i metreo- mjeriti).
Presjekom ravnine i kupe (zavisno pod kojim uglom) ćemo dobiti kružnicu,elipsu,
hiperbolu ili parabolu:
Slika6.6.1Presjek ravni i kupe
6.6.1 Prizma
Prizma je prostorna figura sastavljena od ravni, od kojih su dvije naspramne jednake, slične i paralelne, a
ostale su paralelogrami. Kub je prostorna figura obuhvaćena sa šest jednakih kvadrata.
Slika6.6.1.1Prizma
MATEMATIKA
125
Površina i zapremina prizme je:
B je površina baze, H je visina prizme, a M površina omotača prizme.
6.6.2 Kocka
Kocka je jedno od Platonovih tijela. Pripada paralelepipedima, i to je pravilna
četverostrana prizma. Sastoji se od šest jednakih kvadrata.
Slika6.6.2.1Kocka
Veća dijagonala kocke je:
√
Slika6.6.2.2Dijagonala kocke
, manja dijagonala kocke
√
MATEMATIKA
126
Površina kocke stranice a je:
DOKAZ:
Slika6.6.2.3Površina kocke
Zapremina kocke stranice a je:
DOKAZ:
Slika6.6.2.4Zapremina kocke
Zapremina prizme je .
U ovom slučaju je pa imamo:
MATEMATIKA
127
6.6.3 Kvadar
Kvadar je paralelepiped kojem je osnova (baza) pravougaonik. Dakle, kvadar nema nužno
sve ivice meĎusobno okomite. Ako su bočne ivice kvadra okomite na osnovicu, onda je taj
kvadar uspravni kvadar.
Slika6.6.3.1Kvadar
Dijagonala kvadra je:
√
Slika6.6.3.2Dijagonala kvadra
√
Površina kvadra je:
( )
DOKAZ:
Slika6.6.3.3Površina kvadra
MATEMATIKA
128
( )
Zapremina kvadra je:
DOKAZ:
Slika6.6.3.4Zapremina kvadra
Zapremina prizme je .
U ovom slučaju je pa imamo:
6.6.4 Piramida
Piramida je geometrijsko tijelo sastavljeno od baze i stranica. S obzirom na bazu, piramide se
dijele na trostrane (baza trougao), četverostrane (baza četverougao) itd. Ako je baza pravilni
poligon (sve stranice jednake), tu piramidu nazivamo pravilna piramida.
S obzirom na bočne ivice, piramida se dijeli na uspravnu (ako su ivice jednake) i kosu (ako su
ivice različite dužine).
Tako se na primjer, piramida kojoj je baza kvadrat i kojoj su bočne ivice jednake dužine,
naziva pravilna uspravna četverostrana piramida.
MATEMATIKA
129
Slika6.6.4.1Piramida
Površina piramide je:
Zapremina piramide je:
DOKAZ:
Slika6.6.4.2Površina i zapremina piramide
Dokažimo na dva načina.
(I)
Teorema: Dvije piramide istih površina baza i istih visina imaju jednake zapremine.
Slika6.6.4.3Zapremina piramide
MATEMATIKA
130
Neka su trouglovi ABC i DEF podudarni. Zapremina prizme ABCDEF je
Prizma ABCDEF je sačinjena od tri piramide i to: ABCD, BCDF i DECF. Te tri piramide su
jednakih zapremina na osnovu gore navedene teoreme, jer je:
, C je vrh pa je ABCD=BCDF.
, D je vrh pa je BCDF=DECF.
Na osnovu toga je:
(II)
Uzmimo slučaj kada je piramida trostrana i obilježimo je sa ABCD. Podelimo jednu bočnu
ivicu, npr. AD, na n jednakih djelova i kroz diobne tačke konstruišimo ravni paralelne sa
ravni baze ABC kao na slici.
Slika6.6.4.4Zapremina piramide
Tim ravninama razložena je piramida Φ na n poliedara. Za svaki taj poliedar konstrušimo
dvije prizme od kojih jedna pripada tom poliedru, a druga sadrži taj poliedar.
Obilježimo sa poliedar sastavljen od svih tih prizama koje se nalaze u piramidi Φ, a sa
poliedar sastavljen iz svih ostalih prizama.
Pri tome je ,a prema tome je:
V( ) < V( Φ ) < V( )
Da bismo odredili zapremine poliedara potrebno je odrediti zapremine pojedinih
prizama iz kojih se sastoje poliedri .
S obzirom da su konstruisane ravni paralelne sa ravni ABC i da sijeku piramidu Φ po
trougaonim površinama koje su slične sa bazom ω = ABC, to prema teoremi, površina
presjeka m-te ravni sa piramidom Φ jednaka je .
/
, gde je
koeficijent sličnosti.
MATEMATIKA
131
Stoga je zapremina odgovarajuće prizme jednaka
.
/
, i prema tome:
( )
,.
/
.
/
.
/
-
( )
, ( ) -
( )
0
1
( )
,.
/
.
/
.
/
-
( )
, -
( )
*
+
Na taj način, imamo da je:
*
+ ( )
*
+
( )
Kada , tada je :
( )
( )
Ako je piramida Φ n-tostrana (n > 3), ona se dijagonalnim presjecima može razložiti na n-2
trostranih piramida . Ako površine baza tih piramida obilježimo sa
, onda je :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
MATEMATIKA
132
6.6.5 Valjak
Valjak je oblo geometrijsko tijelo, omeĎeno sa dva podudarna kruga koji leže u
paralelnim ravninama i dijelom zakrivljene plohe. Krugove nazivamo baze valjka, a
zakrivljenu plohu nazivamo omotač valjka.
Visina valjka je meĎusobna udaljenost baza. Kod uspravnog valjka visina je spojnica središta
baza. Valjak je rotaciono tijelo što znači da nastaje rotacijom pravougaonika oko jedne svoje
stranice.
Slika6.6.5.1Valjak
Površina valjka je:
( )
DOKAZ:
Slika6.6.5.2Površina valjka
M-je pravougaonik sa stranicama H i
( )
MATEMATIKA
133
Zapremina valjka je:
DOKAZ:
Slika6.6.5.3Zapremina valjka
Iskoristimo formule za zapreminu rotacionog tijela oko y ose.
∫
U ovom slučaju je rotacija pravca x=r oko y ose na intervalu (0,H).
Sada imamo:
∫
∫
|
6.6.6 Kugla
Kugla je skup svih tačaka prostora čija je udaljenost od središta manja ili
jednaka poluprečniku r. OmeĎena je sferom poluprečnika r, tj. skupom tačaka prostora čija je
udaljenost od središta jednaka r.
MeĎu svim tijelima datog obima, kugla ima najmanje oplošje (omotač).
MATEMATIKA
134
Slika6.6.6.1Kugla
Površina kugle je:
DOKAZ:
Slika6.6.6.2Površina kugle
Iskoristimo formule za površinu omotača rotacionog tijela oko x ose.
∫ √
U ovom slučaju je rotacija kružnice oko x ose na intervalu (-r,r).
√
√
∫√ √ (
√ *
∫√
√
|
( )
MATEMATIKA
135
Zapremina kugle je:
DOKAZ:
Dokažimo na dva načina:
(I)
Kavalijerov princip: Ako svaka ravan siječe likove jednakih površina, onda je:
( ) ( )
Posmatrajmo valjak,kupu i poluloptu.
Slika6.6.6.3Zapremina kugle
Presjekom ravni koja je paralelna sa bazama dobijamo kružni prsten i krug.
Slika6.6.6.4Kružni prsten i krug
Zapremina lopte je:
MATEMATIKA
136
(II)
Slika6.6.6.5Zapremina kugle
∫
U ovom slučaju je rotacija kružnice oko x ose na intervalu (-r,r).
√
Sada imamo:
∫( )
[ ∫
∫
]
|
|
( ) (
)
MATEMATIKA
137
6.6.7 Kupa
Kupa je geometrijsko tijelo ograničeno jednim djelom obrtne konusne površi i krugom.
Krug je osnova kupe.
Omotač kupe je dio konusne površi, a vrh konusne površi je ujedno i vrh kupe.
Normalna duž na osnovu, čije su krajnje tačke vrh kupe i centar osnove, naziva se visina H.
Slika6.6.7.1Kupa
s-izvodnica kupe.
H-visina kupe.
Površina kupe je:
( )
DOKAZ:
Slika6.6.7.2Površina kupe
M je površina kružnog isječka.
MATEMATIKA
138
Slika6.6.7.3Kružni isječak
( )
Zapremina kupe je:
DOKAZ:
Slika6.6.7.4Zapremina kupe
Iskoristimo formule za zapreminu rotacionog tijela oko y ose.
∫
U ovom slučaju je rotacija pravca
oko y ose na intervalu (0,H).
Sada imamo:
MATEMATIKA
139
∫
∫
|
6.6.8 Zarubljena kupa
Zarubljena kupa nastaje rotacijom pravouglog trapeza oko kraka koji predstavlja visinu
trapeza.
Slika6.6.8.1Zarubljena kupa
Površina zarubljene kupe je:
, ( ) -
DOKAZ:
Slika6.6.8.2Površina zarubljene kupe
MATEMATIKA
140
Slika6.6.8.3Površina kružnog prstena
Sada imamo da vrijedi:
( )
( )
Konačno imamo:
( )
, ( ) -
Zapremina zarubljene kupe je:
( )
DOKAZ:
Slika6.6.8.4Zapremina zarubljene kupe
( )
MATEMATIKA
141
Iz sličnosti kupa imamo:
Sada imamo:
(
*
(
)
Iz algebarskih identiteta imamo da vrijedi:
( )( )
Uvrštavanjem u formulu imamo:
( )
6.6.9 Kuglina kapa
Slika6.6.9.1Kuglina kapa
Površina kugline kape je:
( )
DOKAZ:
Slika6.6.9.2Površina kugline kape
Posmatrajmo rotaciju kružnice , ( )- oko y ose.
MATEMATIKA
142
Slika6.6.9.3Površina kugline kape
∫ √ , ( )-
√ * ( )
√ , ( )- +
∫
|
( )
Površina odsječka (kalote ili kapice) je:
DOKAZ:
∫ √ , ( )-
√ * ( )
√ , ( )- +
∫
|
MATEMATIKA
143
Zapremina kugline kape je:
( )
DOKAZ:
Slika6.6.9.4Zapremina kugline kape
Posmatrajmo rotaciju kružnice , ( )- oko y ose.
∫,
, ( )- -
*∫
∫, ( )-
+
|
, ( )-
|
,, ( )- ( ) -
, ( ) -
( )
( )
MATEMATIKA
144
6.6.10 Kuglin isječak
Slika6.6.10.1Kuglin isječak
Površina kuglinog isječka je:
( )
DOKAZ:
Slika6.6.10.2Površina kuglinog isječka
Površina kuglinog isječka je jednaka zbiru površine kalote i površini omotača kupe.
Slika6.6.10.3Omotač kupe
( )
MATEMATIKA
145
Zapremina kuglinog isječka je:
DOKAZ:
Slika6.6.10.4Zapremina kuglinog isječka
( )
( )
( )
Imamo da vrijedi:
( )
(
)
(
)
( )
( )
MATEMATIKA
146
7. Realne funkcije
Neka je dat skup D ⊆ R. Ako je svakom x D po nekom zakonu (pravilu) pridružen jedan i
samo jedan y R, tada kažemo da je na skupu D definirana realna funkcija f realne
promjenljive x .
Pravilo po kojem se vrši pridruživanje označavamo sa f, odnosno y = f(x), x D.
Ovdje je x argument ili nezavisno promjenljiva, a skup D (često se obilježava i sa ) je
definiciono područje ili domena funkcije f.
Broj , pridružen vrijednosti argumenta x, zove se vrijednost funkcije u tački x = i
označava se f( ). Skup svih vrijednosti funkcije f oznacava se i zove se kodomena
funkcije f.
Primjeri realnih funkcija su: linearna funkcija, kvadratna funkcija, eksponencijalna i
logaritamska funkcija i trigonometrijske funkcije.
Definicija7.1
Elementarnim funkcijama nazivamo one funkcije koje se dobivaju iz osnovnih
elementarnih funkcija pomoću konačnog broja aritmetičkih operacija i konačnog broja
komponiranja osnovnih elementarnih funkcija.
Algebarske funkcije su one elementarne funkcije koje su dane pomoću kompozicije
racionalnih funkcija, potenciranja s racionalnim eksponentom i sa četri osnovne računske
operacije.
Transcedentne funkcije su one elementarne funkcije koje nisu algebarske.
Tu spadaju eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske, ciklometrijske, hiperbolne i area
funkcije.
MATEMATIKA
147
7.1 Linearna funkcija
Grafik linearne funkcije je pravac koji se često zadaje u eksplicitnom obliku
gdje je sve objašnjeno u jednačini pravca iz analitičke geometrije u ravnini.
Slika7.1.1Grafik linearne funkcije
7.2 Kvadratna funkcija
Kvadratna funkcija ili polinom drugog stepena je funkcija oblika
( ) gdje su realni brojevi.
Broj a se naziva vodeći koeficijent polinoma, broj b se naziva linearni koeficijent, a broj c se
naziva slobodni član.
7.2.1 Grafik,tjeme i nultačke kvadratne funkcije
Grafik kvadratne funkcije se naziva parabola; ako je a<0 parabola ima otvor prema dolje, a
ako je a>0 parabola ima otvor prema gore.
Slika7.2.1.1Parabola
Nultačke kvadratne funkcije su brojevi koji mogu biti kompleksni za koje je
vrijednost funkcije 0.
MATEMATIKA
148
Nultačke kvadratne funkcije se lako mogu naći pomoću formule:
√
DOKAZ:
Dokaz se provodi svoĎenjem na potpuni kvadrat.
( )
Dodamo li lijevoj i desnoj strani jednakosti broj
imamo:
(
*
(
*
Iz ovog slijedi:
√
Kako su dva rješenja imamo:
√
√
√
√
√
Kraći zapis je:
√
Broj D gdje je se naziva diskriminanta kvadratne funkcije.
Broj nultačaka kvadratne funkcije ovisi o vrsti rješenja kvadratne funkcije, tj. ovisi o
vrijednosti potkorjene veličine (diskriminante).
MATEMATIKA
149
- Ako je D<0 funkcija nema realnih nultačaka, i parabola siječe y osu u tački (0,c).
- Ako je D>0 funkcija ima dvije različite nultačke u kojima graf siječe x osu.
- Ako je D=0 funkcija ima jednu nultačku u kojoj graf dira x osu.
Slika7.2.1.2Nultačke parabole
Tjeme kvadratne funkcije je tačka ( ) koja ima koordinate:
(
*
DOKAZ:
Posmatrajmo funkciju ( )
(I) (diferenciranjem):
Tada je tjeme funkcije tačka ekstrema (minimum ili maksimum), a izvod funkcije u tački
mora bit jednak nuli pa vrijedi:
( )
Uvrštavanjem vrijednosti
u polaznu jednačinu imamo:
(
*
(
*
(
*
MATEMATIKA
150
(II) (geometrijski):
Posmatrajmo sljedeću sliku:
Slika7.2.1.3Tjeme parabole
Primjenimo formulu za koordinate središta duži AB.
( ) ( ) ( )
Tada vrijedi:
Iz vietovih formula za polinom drugog stepena imamo da je
pa vrijedi:
Uvrštavanjem vrijednosti
u polaznu jednačinu imamo:
(
*
(
*
(
*
Iz ovog zaključujemo da je osa simetrije parabole pravac:
MATEMATIKA
151
- Ako je a<0 kvadratna funkcija ima svoju najveću vrijednost ili maksimum.
- Ako je a>0 kvadratna funkcija ima svoju najmanju vrijednost ili minimum.
7.2.2 Tok kvadratne funkcije
Ako je a<0 onda za:
( )
( )
Ako je a>0 onda za:
( )
( )
7.2.3 Znak kvadratne funkcije
Ako je a<0 onda za vrijedi:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Ako je a>0 onda za vrijedi:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
7.2.4 Konveksnost i konkavnost kvadratne funkcije
Za realnu funkciju kažemo da je konveksna (udubljena) na intervalu ⊆ ako je:
(
*
( ) ( )
Za realnu funkciju kažemo da je konkavna (ispupčena) na intervalu ⊆ ako je:
(
*
( ) ( )
Teorema7.2.4.1
Kvadratna funkcija ( ) je za sve vrijednosti argumenta x konveksna
ako je a>0, a konkavna za a<0.
DOKAZ:
(*) konveksna a>0
( )
MATEMATIKA
152
Iskoristimo formulu za konveksnost:
(
*
( ) ( )
(
*
( ) ( ) , (
) ( ) -
⏟
⏟
⏟
⏟
(
)
( )
(**) konkavna a<0
( )
Iskoristimo formulu za konkavnost:
(
*
( ) ( )
(
*
( ) ( ) , (
) ( ) -
⏟
⏟
⏟
⏟
(
)
( )
7.2.5 Pripadnost nultačaka datom intervalu
Za kvadratnu funkciju se može postaviti zadatak da se odrede koeficijenti a,b i c tako da
njene realne nultačke (jedna ili obe) budu u intervalu ( )
Posmatrajmo tri slučaja:
1. kada leži samo jedna nultačka,
2. leže obe nultačke,
3. ne leže nultačke.
MATEMATIKA
153
1. Neka kvadratna funkcija ima dvije realne nultačke od kojih leži samo jedna, (D>0):
Slika7.2.5.1Jedna nultačka pripada datom intervalu
Tada vrijedi: ( ) ( )
2. Posmatrajmo kada leže obe nultačke:
Slika7.2.5.2Obe nultačke pripadaju datom intervalu
Tada vrijedi: ( ) ( )
3. Posmatrajmo kada ne leže obe nultačke:
Slika7.2.5.3Nultačke ne pripadaju datom intervalu
Tada vrijedi: ( ) ( )
MATEMATIKA
154
7.3 Eksponencijalna funkcija
Definicija7.3.1
Neka je a>0 i a realan broj. Funkcija ( ) definirana za svaki realan broj x se
naziva eksponencijalna funkcija, gdje se broj a naziva baza, a broj x se naziva eksponent.
Svi grafovi eksponencijalnih funkcija prolaze kroz tačku (0,1).
Za a>1 funkcija je strogo rastuća, a za 0<a<1 funkcija je strogo opadajuća.
Grafovi eksponencijalnih funkcija s bazama koji su recipročni brojevi su simetrični u odnosu
na y osu.
Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je logaritamska funkcija.
Grafik eksponencijalne funkcije je dat na sljedećoj slici:
Slika7.3.1Eksponencijalna funkcija
Zbog injektivnosti eksponencijalne funkcije vrijedi:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
MATEMATIKA
155
7.4 Logaritamska funkcija
Definicija7.4.1
Neka je a>0 i a realan broj. Funkcija ( ) koja svakom pozitivnom broju x
pridružuje realan broj za koji vrijedi se naziva logaritamska funkcija ili
logaritam po bazi a.
Svi grafovi logaritamskih funkcija prolaze kroz tačku (1,0).
Za a>1 funkcija je strogo rastuća, a za 0<a<1 funkcija je strogo opadajuća.
Grafovi logaritamskih funkcija s bazama koji su recipročni brojevi su simetrični u odnosu na
x osu.
Grafik logaritamske funkcije je dat na sljedećoj slici:
Slika7.4.1Logaritamska funkcija
Logaritmiranje i antilogaritmiranje (veza eksponencijalne i logaritamske funkcije):
Vrijedi:
Zbog injektivnosti logaritamske funkcije vrijedi:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
MATEMATIKA
156
LOGARITAMSKA PRAVILA
Logaritam proizvoda:
( )
DOKAZ:
Iskoristimo osobinu stepena:
Sabiranjem logaritama imamo:
( )
Množenjem stepena imamo:
( )
Konačno uvrštavanjem u (1) imamo:
( )
Logaritam količnika:
DOKAZ:
Iskoristimo osobinu stepena:
Oduzimanjem logaritama imamo:
( )
Djeljenjem stepena imamo:
Konačno uvrštavanjem u (2) imamo:
MATEMATIKA
157
Logaritam stepena:
DOKAZ:
Svodi se na pravilo logaritam proizvoda.
( ⏟
| |
+ ⏟ | |
Logaritam korjena:
√
DOKAZ: (slijedi iz prethodnog jer vrijedi
√
)
Promjena baze logaritma:
DOKAZ:
Neka je , √
Posljedica tog je sljedeća jednakost:
Prirodni logaritam (baza je broj e) je u oznaci lnx.
MATEMATIKA
158
7.5 Trigonometrijske funkcije
Trigonometrijske funkcije su: sinus, kosinus, tanges i kotanges.
Trigonometrijska kružnica ima poluprečnik 1. Posmatrajmo rotaciju proizvoljne tačke na
trigonometrijskoj kružnici u nekom vremenskom intervalu. Tada dobijamo dva grafika
sinusoida i kosinusoida prikazani na slici:
Slika7.5.1Funkcije sinus i kosinus
Pozitivno orijentirani ugao: Neka su a i b dva polupravca sa zajedničkom početnom tačkom
O. Pretpostavimo da se pravac a vrti oko tačke O u smislu suprotnom kretanju kazaljke sata
sve dok se ne poklopi s polupravcem b. Ugao što ga je na taj način prošao polupravac a
nazivamo pozitivno orijentiranim uglom.
Negativno orijentirani ugao: Ukoliko dolazimo do drugog kraka ugla rotacijom prvog kraka
oko vrha ugla u smislu kretanja kazaljki sata, onda govorimo o negativno orijentiranom uglu.
Amplituda: Najveću ordinatu tačke grafa sinusoide ili kosinusoide nazivamo amplituda.
7.5.1 Definicija trigonometrijskih funkcija na trigonometrijskoj kružnici
Definicija7.5.1.1
Sinus ugla na trigonometrijskoj kružnici jednak je ordinati tačke koja se dobije presjekom
prave koja sadrži drugi krak ugla i trigonometrijske kružnice.
Definicija7.5.1.2
Kosinus ugla na trigonometrijskoj kružnici jednak je apscisi tačke koja se dobije presjekom
prave koja sadrži drugi krak ugla i trigonometrijske kružnice.
Definicija7.5.1.3
Tanges ugla na trigonometrijskoj kružnici jednak je ordinati tačke koja se dobije presjekom
prave koja sadrži drugi krak ugla i tangentne ose.
MATEMATIKA
159
Definicija7.5.1.4
Kotanges ugla na trigonometrijskoj kružnici jednak je apscisi tačke koja se dobije
presjekom prave koja sadrži drugi krak ugla i kotangentne ose.
7.5.2 Definicija trigonometrijskih funkcija na pravouglom trouglu
Definicija7.5.2.1
Sinus ugla u pravouglom trouglu jednak je odnosu naspramne katete i hipotenuze.
Definicija7.5.2.2
Kosinus ugla u pravouglom trouglu jednak je odnosu nalegle katete i hipotenuze.
Definicija7.5.2.3
Tanges ugla u pravouglom trouglu jednak je odnosu naspramne katete i nalegle katete.
Definicija7.5.2.4
Kotanges ugla u pravouglom trouglu jednak je odnosu nalegle katete i naspramne katete.
7.5.3 Grafički prikaz trigonometrijskih funkcija:
Graf funkcije sinus naziva se sinusoida.
Slika7.5.3.1Sinusoida
Graf funkcije kosinus naziva se kosinusoida.
Slika7.5.3.2Kosinusoida
MATEMATIKA
160
Graf funkcije tangens naziva se tangensoida.
Slika7.5.3.3Tangensoida
Graf funkcije kotangens naziva se kotangensoida.
Slika7.5.3.4Kotangensoida
MATEMATIKA
161
U sljedećoj tablici su date vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke uglove:
x
stepeni 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º
radijani 0
sin(x) 0
1
0
cos(x) 1
0
tg(x) 0
1
0
ctg(x)
1
0
Tabela7.5.3.1
7.5.4 Parnost-neparnost i periodičnost trigonometrijskih funkcija:
Funkcija cosx je parna funkcija: cos(−x)=cosx
Funkcija sinx je neparna funkcija: sin(−x)=−sinx
Funkcija tgx je neparna funkcija: tg(-x)=-tgx
Funkcija kotangens je neparna funkcija: ctg(-x)=-ctgx
Funkcije sinus i kosinus su periodične funkcije sa osnovnim ili temeljnim periodom 2 :
sinx=sin(x+2k )
cosx=cos(x+2k )
Tangens i kotangens su periodične funkcije s osnovnim ili temeljnim periodom :
tgx=tg(x+ )
ctgx=ctg(x+ )
MATEMATIKA
162
7.5.5 Svođenje na prvi kvadrant
Neka je x oštar ugao tj. ugao iz prvog kvadranta.
Tada vrijedi:
.
/ .
/
( ) ( )
(
* (
*
( ) ( )
.
/ .
/
( ) ( )
(
* (
*
( ) ( )
.
/ .
/
( ) ( )
(
* (
*
( ) ( )
.
/ .
/
( ) ( )
(
* (
*
( ) ( )
MATEMATIKA
163
7.5.6 Znak trigonometrijskih funkcija
⁄ I II III IV
sin + + - -
cos + - - +
tg + - + -
ctg + - + -
Tabela7.5.6.1
7.5.7 Trigonometrijski identiteti
Osnovni trigonometrijski identitet je:
DOKAZ
Posmatrajmo sliku:
Slika7.5.7.1osnovni trigonometrijski identitet
Primjenom pitagorine teoreme na trougao ONM imamo da vrijedi:
Iz definicije trigonometrijskih funkcija na pravouglom trouglu imamo:
( )
( )
Kvadrirajmo i saberimo jednakosti (1) i (2):
MATEMATIKA
164
√
Znak + se uzima ako je ugao iz prvog i drugog kvadranta, a znak – ako je iz trećeg i četvrtog.
√
Znak + se uzima ako je ugao iz prvog i četvrtog kvadranta, a znak – ako je iz drugog i trećeg.
Neka je
Zaključujemo da vrijedi:
Postoje funkcije za koje vrijedi:
Za trigonometrijske funkcije vrijede sljedeće formule:
√
√
√
√
√
√
√
√
√
MATEMATIKA
166
√
√
7.5.8 Adicione formule
Formule koje iskazuju vezu izmeĎu trigonometrijskih funkcija zbira i razlike uglova,
nazivaju se adicione formule, i to:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
DOKAZ:
Posmatrajmo sljedeću sliku: Slika7.5.8.1Adicione formule.
(*) Uočimo jednakosti:
sin(x+y)=CD=OF=OG+GF (1), OA=OB=OC=1, GF=HE, HF=GE.
MATEMATIKA
167
Slika7.5.8.1Adicione formule
( )
OG=OE
Sada je:
(2)
Sada je:
(3)
Ukoliko jednakosti (2) i (3) uvrstimo u (1) dobijamo sljedeće:
( )
(**) Uočimo jednakost
-cos(x+y)=OD=CF=CH-HF (4)
Kako su duži CH i HF pozitivne, a u našem slučaju je vrijednost kosinusa ugla x+y
negativna, otuda dolazi minus ispred.
MATEMATIKA
168
Sada je:
(5)
HF=GE
Sada je:
(6)
Jednakosti (5) i (6) uvrstimo u jednakost (4):
( ) ( )
( )
Ako u dokazanim formulama izvršimo smjenu dobijamo:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Iskoristimo li osobinu parnosti i neparnosti trigonometrijskih funkcija imamo:
( )
( )
Formulu za ( ) ćemo dobiti na osnovu formule
.
( ) ( )
( )
( )
( )
MATEMATIKA
169
Analogno prethodnom vrijedi:
( ) ( )
( )
( )
( )
Formulu za ( ) ćemo dobiti na osnovu formule
.
( ) ( )
( )
( )
( )
Analogno se dobije ( ) i to:
( ) ( )
( )
( )
( )
Napomena: Formule ( ) ( ) se mogu dobiti smjenom iz formula
za ( ) ( )
MATEMATIKA
170
7.5.9 Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla:
Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla računamo prema formulama:
DOKAZ:
Primjenimo adicione formule:
( )
( )
( )
( )
Ukoliko stavimo da je x=y onda imamo:
( )
( )
( )
( )
Sada dobijamo tražene formule:
MATEMATIKA
171
7.5.10 Trigonometrijske funkcije polovine ugla
Trigonometrijske funkcije polovine ugla računamo prema formulama:
√
√
√
√
DOKAZ:
Na osnovu osnovnog trigonometrijskog identiteta
i formule imamo da vrijede sljedeće formule:
( )
( )
(*) saberimo jednakosti (1) i (2):
√
(**) oduzmimo formule (1) i (2):
√
Iz ove dvije formule se mogu naći formule:
√
√
MATEMATIKA
172
Iz ovih formula se mogu izvesti formule poznate kao formule snižavanja stepena i to
smjenom x=2x:
7.5.11 Transformacije zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod
To su formule oblika:
DOKAZ:
(*) iskoristimo adicione formule za sinus:
( ) ( )
( ) ( )
Neka je
Izrazimo x i y preko i .
Saberimo formule (1) i (2):
MATEMATIKA
173
Oduzmimo formule (1) i (2):
(**) iskoristimo adicione formule za kosinus gdje je
:
( ) ( )
( ) ( )
Saberimo formule (3) i (4):
Oduzmimo formule (3) i (4):
7.5.12 Transformacije proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku
To su formule oblika:
, ( ) ( )-
, ( ) ( )-
, ( ) ( )-
DOKAZ:
Ponovo iskoristimo adicione formule:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Saberimo formule (1) i (2):
( ) ( )
, ( ) ( )-
MATEMATIKA
174
Saberimo formule (3) i (4):
( ) ( )
, ( ) ( )-
Oduzmimo formule (3) i (4):
( ) ( )
, ( ) ( )-
7.6 Ciklometrijske funkcije
Arkus funkcije ili ciklometrijske funkcije su inverzne funkcije odgovarajućih restrikcija
(ograničenja) trigonometrijskih funkcija.
Naime, ni jedna od trigonometrijskih funkcija nije bijekcija (funkcija ne može biti bijekcija
čim je periodična). MeĎutim, u primjenama se često javlja potreba za njihovim inverzima, pa
su inverzi definirani za pogodno odabrane restrikcije koje jesu bijekcije.
Pri tome se najčešće biraju restrikcije na odgovarajući interval koji je najbliži nuli.
Na sljedećoj slici vidimo da je restrikcija sinusa na intervalu 0
1 bijekcija.
Arkus sinus je inverzna funkcija te restrikcije pa vrijedi:
, - 0
1
Slika7.6.1Arcsinus i sinus funkcija
MATEMATIKA
175
Funkcija arkus kosinus je inverzna funkcija restrikcije funkcije na intervalu , - i
vrijedi:
, - , -
Slika7.6.2Arckosinus i cosinus funkcija
Funkcija arkustangens je inverzna funkcija restrikcije funkcije na intervalu 0
1 i
vrijedi:
.
/
Slično, funkcija arkus kotangens je inverzna funkcija restrikcije funkcije na
intervalu , - pa vrijedi:
( )
Slika7.6.3Arctangens i tangens funkcija
MATEMATIKA
176
Funkciju , možemo nacrtati koristeći vezu:
DOKAZ:
Uzmimo da je:
Tada je:
, -
7.7 Hiperbolne funkcije
Hiperbolne funkcije definiramo pomoću eksponencijalne funkcije . Veze izmeĎu
hiperbolnih funkcija slične su vezama izmeĎu trigonometrijskih funkcija.
Sinus hiperbolni je funkcija definisana na sljedeći način:
a kosinus hiperbolni je funkcija:
, -
MATEMATIKA
177
Funkcije prikazane su na sljedećoj slici:
Slika7.7.1Funkcije sinus hiperbolni i kosinus hiperbolni
Vidimo da je sinus hiperbolni neparna, a kosinus hiperbolni parna funkcija te da je sinus
hiperbolni strogo rastuća funkcija. Kosinus hiperbolni se još zove i lančanica, jer lanac
obješen o dvije tačke u gravitacijskom polju zauzme oblik dijela te krivulje.
Za funkcije vrijedi:
( )
( )
MATEMATIKA
178
( )
Slično kao kod trigonometrijskih funkcija, tangens hiperbolni definiramo kao odnos sinusa
hiperbolni i kosinusa hiperbolni, a kotangens hiperbolni kao odnos kosinusa hiperbolni i
sinusa hiperbolni, tj.
( )
* + ( ) ( )
Funkcije prikazane su na sljedećoj slici:
Slika7.7.2Funkcije tangens hiperbolni i kotangens hiperbolni
MATEMATIKA
179
7.8 Area funkcije
Area funkcije su inverzne funkcije hiperbolnih funkcija. Primijetimo da su sve hiperbolne
funkcije bijekcije, osim pa za kosinus hiperbolni inverznu funkciju definiramo
restrikciju ⌊ .
Area funkcije se ponekad označavaju i s velikim početnim slovom kao npr. .
Funkcije area sinus hiperbolni, area kosinus hiperbolni, area tangens hiperbolni i area
kotangens hiperbolni definirane su redom na sljedeći način:
. √ /
, - , -
. √ /
( )
( ) ( ) * +
Pokažimo da vrijede gornje jednakosti:
( )
NaĎimo inverznu funkciju gornje funkcije, tj. arsh x funkciju.
( )
( )
√ (uzimamo znak + zbog definitnosti)
MATEMATIKA
180
Sada je:
√
( √ )
( √ )
( ) ( √ )
. √ /
( )
NaĎimo inverznu funkciju gornje funkcije, tj. arch x funkciju.
( )
( )
√ (uzimamo znak + zbog definitnosti)
Sada je:
√
( √ )
( √ )
( ) ( √ )
. √ /
( )
NaĎimo inverznu funkciju gornje funkcije, tj. arth x funkciju.
( )
(
*
( ) ( )
MATEMATIKA
181
( )( )
( )( ) ( )
( )
Sada je:
( )
( )
NaĎimo inverznu funkciju gornje funkcije, tj. arcth x funkciju.
( )
(
*
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
Sada je:
( )
MATEMATIKA
182
Funkcije prikazane su na sljedećim slikama:
Slika7.8.1Funkcije areasinus i areakosinus
Slika7.8.2Funkcije areatangens i areakotangens
MATEMATIKA
183
8. Skupovi i operacije sa skupovima
8.1 Skupovi, podskupovi i prazan skup
Skup je kolekcija objekata. Objekte te kolekcije koji formiraju skup nazivamo elementima
toga skupa. Za element skupa ponekad kažemo da je član tog skupa.
Ako je X skup, da bi iskazali činjenicu da je x element skupa X, pišemo x X. Ako x nije
element skupa X, pišemo x X.
Kantor je prvi uveo važnu korespidenciju izmeĎu skupova, definisao beskonačne i dobro
ureĎene skupove. Definisao je, takoĎe, kardinalne i ordinalne brojeve i dao njihovu
elementarnu aritmetiku.
Skup koji ima konačno mnogo elemenata zapisujemo ovako:
* +.
Ako je x skup, možemo formirati skup {x} koji sadrži samo element x, pa imamo x {x}.
Skup koji ima samo jedan element nazivano singleton.
Za dva skupa kažemo da su jednaka ako sadrže iste elemente i isti broj elemenata.
Ako su skupovi X i Y jednaki pišemo X = Y, a ako nisu jednaki pišemo X Y.
Za skup kažemo da je konačan skup ako ima konačno mnogo elemenata.
Ako skup nije konačan, kažemo da je beskonačan i konačan skup ne može biti jednak
beskonačnom skupu.
Skup A je ekvipotentan skupu B ako imaju isti broj elemenata i pišemo A B , (jednakobrojni
skupovi).
Za skup X kažemo da je beskonačan ako i samo ako je ekvipotentan svom pravom podskupu.
Za skup X kažemo da je podskup skupa Y ako je svaki element skupa X takoĎer element
skupa Y, a tu činjenicu zapisujemo ovako X⊆Y.
Svaki skup je sam sebi podskup. Dakle, za svake skupove X imamo X⊆X.
Napomenimo sljedeću vrlo korisnu matematičku činjenicu:
Dva skupa X i Y su jednaka ako i samo ako je X⊆Y i Y⊆X.
Ovo znači da su dva skupa jednaka ako imaju iste elemente, tj. ako su elementi prvog skupa
elementi drugog skupa i obrnuto: elementi drugog skupa su elementi prvog skupa.
Ako je X⊆Y i X Y kažemo da je skup X pravi podskup skupa Y i pišemo X Y; npr.
{0,3} {0,2,3,4}.
MATEMATIKA
184
Ako skup X nije podskup skupa Y pisaćemo X Y.
Skup svih podskupova skupa X označavamo sa P(X), i nazivamo ga partitivni skup skupa X.
Npr. svi podskupovi skupa {0,1,2} su:
, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}.
Skup koji nema elemenata nazivamo prazan skup, i označavamo ga sa .
Teorem8.1.1
Skup bez elemenata je podskup svakog skupa.
DOKAZ:
Neka je X bilo koji skup. Pretpostavimo da nije podskup skupa X. Iz ove pretpostavke
moramo doći do kontradikcije. Pošto skup nije podskup skupa X, tada prema definiciji
koncepta “podskup”, postoji element skupa koji nije član skupa X. Ali, ovo je nemoguće,
jer skup nema elemenata. Prema tome, skup ne može imati elemenata koji nisu u X pa
mora biti ⊆ .
Korolar8.1.1
Postoji najviše jedan skup bez elemenata.
DOKAZ:
Neka su i skupovi bez elemenata. Prema gornjem teoremu, mora biti ⊆ i
⊆ , pa prema tome, mora biti .
Teorem8.1.2
Ako je | | , tada je | ( )| .
DOKAZ:
Da bi formirali jedan podskup skupa X treba da za svaki element skupa X odlučimo da li je
član tog podskupa ili nije. Budući da skup X ima n elemenata, i budući da za svaki element
imamo dvije mogućnosti “da” ili “ne”, postoji mogućih podskupova skupa X.
MATEMATIKA
185
Teorem8.1.3
Skup cijelih brojeva je prebrojivo beskonačan.
DOKAZ:
Predstavimo skup Z cijelih brojeva u obliku Z = Z+ Z− {0}, gde Z+ označava skup svih
pozitivnih ,a Z− skup svih negativnih celih brojeva. Jasno, Z+ i Z− su prebrojivo beskonačni
skupovi, a {0} je konačan skup, pa prema teoremu * (Unija prebrojivo beskonačnog skupa i
konačnog skupa je prebrojivo beskonačan skup) dobijamo da je i Z prebrojivo beskonačan
skup.
Teorem8.1.4
Skup racionalnih brojeva je prebrojivo beskonačan.
DOKAZ:
Skup Q racionalnih brojeva možemo predstaviti u obliku Q = Q+ Q− {0}, gde su Q+ i
Q− redom skupovi pozitivnih i negativnih cijelih brojeva. Svaki racionalan broj aQ može se
na jedinstven način predstaviti u obliku razlomka a = p/q, gde je p Z, q N i p i q su
uzajamno prosti brojevi. Prema tome, Q+ N×N i Q− N×N, dok imamo da je N×N N.
Dakle, Q+ i Q− su prebrojivo beskonačni, pa prema teoremi * (Unija prebrojivo
beskonačnog skupa i konačnog skupa je prebrojivo beskonačan skup) imamo da je i Q
prebrojivo beskonačan skup.
Teorem8.1.5(Kantor)
Otvoreni interval (0,1) realnih brojeva je neprebrojivo beskonačan.
DOKAZ:
Primjetimo prvo da proizvoljan realni broj iz otvorenog intervala (0,1) ima decimalni zapis
oblika 0.x1x2x3 . . ., gde je xk {0, 1, 2, . . . , 9} za svako k N. MeĎutim, takav zapis ne
mora biti jedinstven jer se, na primer, broj 1/4 može zapisati u obliku 0.2500000 . . ., ali
takoĎe i u obliku 0.249999 . . ..
Da bi se dobio jedinstven zapis, dogovorićemo se da se svaki broj koji ima konačan broj
nenula decimala (racionalan broj), recimo k nenula decimala, umesto u obliku 0.x1x2 . . .
xk0000 . . . predstavi u obliku 0.x1x2 . . . x0k999 . . ., gde je x0k = xk −1.
MATEMATIKA
186
Drugim riječima, zadnja nenula decimala se smanjuje za 1 a umesto nula koje idu za njom se
ubacuju devetke. Brojevi zapisani na taj način imaju jedinstven zapis, što znači da ako je x =
0.x1x2x3 ... i
y = 0.y1y2y3 ..., pri čemu je xk ≠ yk, bar za jedno kN, tada je x ≠ y. Ovo je ključna činjenica u
ostatku dokaza na koji sada prelazimo. Pretpostavimo sada da je skup (0,1) prebrojivo
beskonačan, tj. da se može predstaviti u obliku niza (0,1) = {a1, a2, a3, ... , ak, ...}.
Svaki element iz ove liste ima decimalni zapis napravljen u skladu sa prethodno donjetim
dogovorom, pa imamo sljedeću šemu:
a1 = 0. a11 a12 a13 . . . a1k . . .
a2 = 0. a21 a22 a23 . . . a2k . . .
a3 = 0. a31 a32 a33 . . . a3k . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ak = 0. ak1 ak2 ak3 . . . akk . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gdje je svako aij {0, 1, 2, . . . , 9}.
Uočimo sada b koji ima decimalni zapis oblika b = 0.b1b2b3 ... bk ..., pri za svako k N važi sljedeće:
bk = 5 ako je akk ≠ 5 , bk = 1 ako je akk = 5 .
Tada je b(0,1), dok sa druge strane imamo da za svako kN je b ≠ ak, jer je bk ≠ akk, što znači da be
ne može biti u intervalu (0,1). Kako smo kontradikciju dobili pod pretpostavke da je interval (0,1)
prebrojivo beskonačan, to zaključujemo da je taj interval ipak neprebrojivo beskonačan, što je i trebalo
dokazati.
Teorem8.1.6
Skup svih realnih brojeva je neprebrojivo beskonačan.
DOKAZ:
Kao što smo ranije dokazali, skup R je ekvipotentan sa intervalom <0,1>, pa ukoliko bi R bio
prebrojivo beskonačan, tj. ekvipotentan sa N, tada bi takav morao biti i interval <0,1>, što
smo u prethodnom teoremom dokazali da nije slučaj.
MATEMATIKA
187
Teorem8.1.7
Skup I svih iracionalnih brojeva je neprebrojivo beskonačan.
DOKAZ:
Skup R realnih brojeva se može napisati u obliku R = QI. Kako je Q prebrojivo
beskonačan, to bi u skladu sa teoremom * prebrojiva beskonačnost skupa I povukla za sobom
i prebrojivu beskonačnost skupa R, što, kao što smo dokazali, nije slučaj. Prema tome, I ne
može biti prebrojivo beskonačan.
8.2 Razlika skupova
Neka su X i Y skupovi. Skup elemenata skupa X koji nisu u skupu Y, tj. skup {xX: xY}
nazivamo razlika skupa X i skupa Y i pišemo X \ Y.
Npr. {1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}, a skup N \ 2N je skup neparnih prirodnih brojeva.
Za skupove X i Y vrijedi:
(1) X \ X = ,
(2) X \Y X,
(3) X \ = X,
(4) X \ Y = X Y.
Ako je skup X fiksiran (superskup), za podskup X \ Y skupa X koristimo oznaku Yc.
Skup Yc nazivamo komplement skupa Y u X.
Za dati supeskup X, vrijedi:
(1) (Yc)c = Y,
(2) Xc = ,
(3) c = X.
MATEMATIKA
188
8.3 Presjek skupova
Neka su data dva skupa X i Y. Možemo da posmatramo skup elemenata koji su zajednički za
ova dva skupa. Taj skup nazivamo presjek skupa X i skupa Y, i, označavamo ga sa XY. npr.
X = {0,1,2,3,4} i Y = {1,3,4,6} : XY = {1,3,4}.
Za dva skupa, čiji je presjek prazan skup, kažemo da su disjunktna ili razdvojena .
Vrijede slijedeće osobine:
(1) XX = X,
(2) XY X,
(3) XY = YX,
(4) XY = X X Y,
(5) (XY)Z = X(YZ),
(6) X = ,
(7) (X \ Y)(Y \X) = ,
U općem slučaju, ako je X = {Ai : iI} skup skupova indeksiran skupom indeksa I, tada
presjek svih ovih skupova iz X označavamo sa .
Dakle, (iI)(xAi).
Ako je skup X dat bez indeksnog skupa, tada presjek svih elemenata skupa X označavamo sa
X. Dakle, imamo yX ako i samo ako ako je yX za svako xX.
8.4 Unija skupova
Neka su data dva skupa X i Y. Možemo posmatrati skup elemenata koji su u skupu X ili u
skupu Y. Taj skup zovemo unija skupa X i skupa Y,i označavamo ga ovako XY.
Npr. X = {0,1,3,5,7}, a Y = {1,2,5,6}, tada je XY = {0,1,2,3,5,6,7}.
Vrijede slijedeće osobine
(1) XX = X,
(2) X XY,
(3) XY = YX,
(4) XY = X Y X,
(5) (XY)Z = X(YZ),
(6) X = X.
MATEMATIKA
189
Veze izmeĎu i (presjeka i unije) nazivamo De Morganovi stavovi:
X(YZ) = (XY)(XZ),
X(YZ) = (XY)(XZ),
( )
( )
U općem slučaju, ako je X = {Ai : iI} skup skupova indeksiran skupom indeksa I, tada uniju
svih skupova skupa X označavamo sa .
Dakle, x (iI)(xAi).
Prema tome, imamo yX ako i samo ako ako postoji xX takvo da je yX.
Gornju rečenicu možemo da zapišemo i u formalnom obliku
yX (x)(xX yX).
8.5 Direktni proizvod dva skupa
Bilo koja tačka T ravni RR može se predstaviti sa dvije koordinate x i y što pišemo u obliku
T = (x,y). Jedino svojstvo para (x,y) koje treba da znamo je sljedeće:
(x,y) = (a,b) x = a i y = b.
Trebalo bi par (x,y) definisati tako da gornja osobina vrijedi.
Skup {{x},{x,y}} ima traženu osobinu, tj. vrijedi
{{x},{x,y}} = {{a},{a,b}} x = a i y = b.
Za dva skupa X i Y, definišemo XY kao skup svih ureĎenih parova (x,y) za xX i yY:
XY = {(x,y): xX yY}.
Taj skup nazivamo direktni proizvod skupa X i skupa Y.
Lema8.5.1
Za skupove X i Y vrijedi XY P(P(XY)).
DOKAZ:
Neka su xX i yY po volji uzeti elementi, a znamo da je x,yXY. Prema tome, {x} i
{x,y} su podskupovi skupa P(XY), pa {x},{x,y} su elementi od P(XY). Odavde sljedi da
je {{x},{x,y}} podskup skupa P(P(XY)).
Dakle, XY P(P(XY)).
MATEMATIKA
190
8.6 Formalizacija
Pogledajmo definiciju “podskupa” :
X Y ako i samo ako je svaki element skupa X element skupa Y.
Trebali bi tu definiciju napisati u kraćem zapisu.
Ovdje “ako i samo ako“ znači:
Ako je XY, tada je svaki element skupa X element skupa Y i ako je YX, tada je svaki
element skupa Y element skupa X.
Frazu “ako i samo ako” zapisujemo simbolom i definiciju podskupa zapisujemo ovako:
X Y svaki element skupa X je element skupa Y.
Analizirajmo frazu:
Svaki element skupa X je element skupa Y.
Možemo je reformulisati na sljedeći način:
Za svako t, ako je t element skupa X tada je t element skupa Y.
Za označavanje fraze forme “ako, onda” tj. “ako je p onda je q” koristi simbolični zapis
p q.
Ovako reformulisana naša fraza ima oblik:
za svako t, tX tY.
Formalizacija nije završena: frazu “za svako t” označavamo simbolom (t). Prema tome,
frazu svaki element skupa X je element skupa Y označavamo na slijedeći način:
(t)(tX tY).
Konačno, definiciju “podskupa” zapisujemo ovako:
XY (t)(tX tY).
Budući da ova definicija vrijedi za sve skupove X i Y, trebalo bi, u principu, pisati:
(X)(Y)(XY (t)(tX tY)).
Činjenicu da je svaki skup sam sebi podskup formalizuje se na slijedeći način:
(X)(XX).
Formalizujmo jednakost dva skupa. Kao što znamo, dva skupa X i Y su jednaka ako i samo
ako je XY i YX. Prema tome je:
X=Y (XY i YX).
Umjesto veznika “i” koristimo simbol , tako da gornju frazu zapisujemo u obliku:
X=Y (XY YX).
MATEMATIKA
191
Nastavimo sa formaliziranim zapisivanjem rečenica. Tako, forma XY, je u stvari, skraćenica
za formalizovanu rečenicu (t)(tX tY), a forma YX je skraćenica formalizovane
rečenice (t)(tY tX).
Dakle vrijedi:
X=Y ((t)(tX tY) (t)(tY tX)).
Vidimo da je (t)(tX tY) (t)(tY tX) ekvivalentno sa (t)((tX tY)
(tY tX)), a da je ovo ekvivalentno sa (t)(tX tY), pa je:
X=Y (t)(tX tY).
Budući da je ovo tačno za sve skupove X i Y, imamo:
(X)(Y)(X=Y (t)(tX tY)).
Pogledajmo sada značenje XY. Prema definiciji, za dva skupa X i Y kažemo: XY onda i
samo onda ako nije tačno X= Y, tj. ako postoji bar jedan element jednog skupa koji nije član
drugog skupa.
Dakle, XY onda i samo onda (ako i samo ako, akko) ako ili postiji bar jedan element skupa
X koji nije u Y, ili postoji bar jedan element skupa Y koji nije u X.
Prvu frazu “postoji bar jedan element skupa X koji nije u Y” zapisujemo ovako:
postoji bar jedan element tX takav da je tY, tj.
postoji bar jedno t takvo da je tX tY.
Frazu “postoji bar jedno t” zapisujemo ovako: (t).
Frazu “postoji bar jedan element skupa X koji nije u Y” formalizujemo sljedećim simbolima:
(t)(tX tY).
Analogno za frazu “postoji bar jedan element skupa Y koji nije u X“ vrijedi:
(t)(tY tX).
Prema tome, XY se (djelimično) formalizuje sa:
(t)(tX tY) ili (t)(tY tX).
Formu “ili…ili…” kraće zapisujemo simbolom , tako da nejednakost XY skupova X i Y
formalizujemo sljedećim nizom simbola:
(t)(tX tY) (t)(tY tX).
MATEMATIKA
192
Vidi se da je gornji niz simbola ekvivalentan sa:
(t)((tX tY) (tY tX)).
Formalizujmo izjavu XY. Prema definiciji, XY ako i samo ako je XY i XY. Upravo
je pokazano kako se formalizuju XY i XY, pa imamo:
XY (t)(tX tY) (t)(tX tY).
Istaknimo da tX je formalizacija izjave “t nije element od X”, pa možemo zapisati i u
obliku (tX).
8.7 Definisanje skupova (podskupova) svojstvima
Neka je dat skup X. Zanimaju nas elementi skupa X koji zadovoljavaju neku osobinu. Npr. za
skup X možemo uzeti skup N prirodnih brojeva i posmatrati svojstvo “biti paran broj”. Ova
nova kolekcija je podskup skupa N. To je skup svih parnih prirodnih brojeva.
Ako sa S označimo svojstvo o kojem je riječ, npr. “biti paran prirodan broj” tada rečenicu “x
je paran broj” bilježimo sa S(x). Dakle, traženi skup čiji elementi zadovoljavaju svojstvo S je:
{xX : S(x)}.
U gornjem primjeru gdje je S svojstvo “biti paran broj” možemo zapisati u obliku:
{xN : x je paran}.
Ovaj skup možemo zapisati i u obliku: {2x : xN}, odnosno u obliku 2N.
Slično 2Z označava skup svih parnih cijelih brojeva.
Za realan broj a razmotrimo skup {sQ: s a}.
Ovaj skup označavamo sa <a,+>.
Slično, za dva realna broja a i b definišemo sljedeće skupove:
<a,b> = {xR: a x b} (interval)
<a,b] = {xR: a x b}
[a,b> = {xR: a x b}
[a,b] = {xR: a x b} (segment)
<-,b> = {xR: x b}
<-,b] = {xR: x b}
[a,+> = {xR: a +}
<-,+> = R.
Ove skupove nazivamo razmacima u skupu R.
MATEMATIKA
193
8.8 Binarne relacije
Neka su X i Y (neprazni) skupovi. Podskup XY nazivamo relacija izmeĎu elemenata
skupa X i elemenata skupa Y.
Dakle, vrijedi P(XY).
Skup 1 = {xX :(yY)((x,y))} nazivamo prva projekcija (ili domen) relacije .
Očigledno je da vrijedi 1 X.
Ako vrijedi 1 = X, za relaciju kažemo da je totalna po prvim koordinatama, ili da je
klase T1,u upotrebi je i termin korespodencija.
Skup 2={yY:(xX)((x,y))} nazivamo druga projekcija relacije (anti-domen,
kodomen, rang).
Jasno je da vrijedi 2 Y. Ako je 2 = Y, tada za relaciju kažemo da je totalna po
drugim koordinatama, ili da je surjektivna relacija, ili da je klase T2.
Ako za relaciju XY vrijedi:
(F1)(x1,x2X)(y1,y2Y)((x1,y1) (x2,y2) x1 = x2 y1 = y2)
tada za tu relaciju kažemo da je funkcionalna po prvim koordinatama, ili da je klase F1.
U upotrebi je i termin parcijalna funkcija.
Ako je relacija XY korespondencija i parcijalna funkcija, tada za nju kažemo da je
funkcija.
Ako za relaciju XY vrijedi:
(F2)(x1,x2X)(y1,y2Y)((x1,y1) (x2,y2) y1 = y2 x1 = x2)
tada za tu relaciju kažemo da je funkcionalna po drugim koordinatama, ili da je klase F2. U
upotrebi je i termin injekcija.
Neka su XY i YZ relacije. Relaciju o = {(x,z)XZ : (yY)((x,y)
(y,z))} nazivamo proizvod relacija i .
Očigledno je da je o ako i samo ako je 2 1 .
Neka je XY.
Za relaciju -1
= {(y,x)YX : (x,y)} kažemo da je inverz relacije .
Relaciju IdX = {(x,x): xX} na skupu X nazivamo identitet na skupu X, ili dijagonala
skupa X.
MATEMATIKA
194
9. Granična vrijednost (limes) funkcije
9.1 Tačka nagomilavanja, unutrašnja tačka, granična tačka skupa i limes
funkcije
Neka je Za tačku a kažemo da je tačka nagomilavanja skupa S ako svaka
okolina tačke a ( ) sadrži bar jedan element skupa S različit od broja a.
Za tačku a kažemo da je unutrašnja tačka skupa S ako postoji okolina ( ) koja je
podskup skupa S.
Tačka a se naziva granična tačka skupa S ako svaka okolina ( ) sadrži tačku iz
skupa S različitu od tačke a.
Definicija9.1.1
.
( )
( )
Definicija9.1.2
( )
( )( )( | | | ( ) | )
9.2 Lijevi i desni limes
Limes postoji ukoliko su lijevi i desni limesi jednaki.
( ) ( )
( ) ( )
MATEMATIKA
195
9.3 Algebarska kombinacija limesa
Teorem9.3.1
Neka su zadane funkcije , i neka je a tačka nagomilavanja skupa A.
( )
( )
, ( ) ( )-
( )
( )
, ( ) ( )-
( )
( )
[ ( )
( )]
( )
( )
( )
( )
( )
1Neka su funkcionalne funkcije tako da je:
( ) ( ) ( )
( )
( )
Tada je:
( )
2
( )
( ) ( )
, ( )-
9.4 Broj e, određeni i neodređeni oblici limesa
DOKAZ:
Predstavimo to na trigonometrijskoj kružnici:
Slika9.4.1Trigonometrijska kružnica
1 Sendvić teorema
2 Teorema o smjeni
MATEMATIKA
196
Sa slike imamo:
Vrijedi nejednakost:
(
*
DOKAZ:
Da bi se tačno odredio ovaj limes potrebno je iskoristiti formulu za razvoj u red funkcije
(*) Ispitajmo monotonost niza .
/
(I način)
(
*
.
/
.
/
.
/
(
*
(
*
( )
( )
(
*
(
* (
*
(
* (
* (
*
(
*
(
* (
*
(
* (
* (
*
( )
MATEMATIKA
197
Primjenimo nejednakost:
Slijedi:
niz je strogo rastući.
(II način)
Prema bernulijevoj nejednakosti imamo da vrijedi:
(
*
(
*
(
*
(
*
. /
(
*
(
*
(
*
(
*
(
*
.
/
(
*
(
*
(
*
(
*
.
(**) Ispitajmo ograničenost niza .
/
Iz bernulijeve nejednakosti dobijamo da je ograničen sa donje strane:
(
*
Sada bi trebalo dokazati da je ograničen sa gornje strane.
(
*
.
/
.
/
.
/
(
*
( )( )
( )( )( )
MATEMATIKA
198
(
*
(
*
(
* (
*
(
* (
* (
*
(
*
⏟
(
*
. /
(
*
* (
*
+⏟
Tako smo dobili da je:
(
*
(***) Dokažimo da je jednak broju
(
*
(
*
(
* (
*
(
* (
* (
*
(
*
(
*
Iz redova funkcija imamo da je:
∑
∑
Konačno smo dobili da je:
(
*
MATEMATIKA
199
( )
Dokaz slijedi iz prethodnog i to smjenom
DOKAZ:
( )
( )
( )
Sada je:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
√
DOKAZ:
Neka je √
√
( )
Bernoulijeva nejednakost daje sljedeće:
(√
)
(√
)
√
MATEMATIKA
200
Iz sendvić teoreme imamo da vrijedi:
(√
)
Konačno imamo da je:
√
9.5 Neprekidnost funkcije
Definicija9.5.1
Neka je realna funkcija i .
Funkcija je neprekidna u tački ako vrijedi:
( ) ( )
( ) .
/
( )( )( ) (| | | ( ) ( )| )
( ) ( )
( ) ( )
Ako je funkcija neprekidna u svim tačkama skupa ⊆ tada kažemo da je funkcija
neprekidna na skupu A.
Definicija9.5.2
Funkcija je uniformno (ravnomjerno) neprekidna na skupu ako vrijedi:
( )( )( ) (| | | ( ) ( )| )
9.6 Asimptote funkcije (krivulje)
Asimptota krivulje je pravac, koji ima svojstvo da se približava krivulji u nekoj njenoj
beskonačno dalekoj točki, ali je u toj točki ne siječe niti dodiruje.
Razlikujemo tri vrste asimptota funkcije i to:
Vertikalna asimptota
Horizontalna asimptota
Kosa asimptota
MATEMATIKA
201
Dakle, asimptota može biti neki pravac koji nije paralelan ni s osi x niti s osi y (kosa
asimptota), ali isto tako neki pravac koji je paralelan s osi x (horizontalna asimptota) ili neki
pravac koji je paralelan s osi y (vertikalna asimptota).
Udaljenost krivulje od asimptote teži prema nuli kada tačka na krivulji teži prema
beskonačnosti.
Ako se tačka neprekidno pomjera po krivulji tako da barem jedna od koordinata x ili f(x) tačke
T teži ka beskonačnosti, pri čemu udaljenost od te tačke do nekog pravca teži prema nuli,
onda se taj pravac naziva asimptota.
Pod udaljenošću izmeĎu krivulje i nekog pravca p podrazumijeva se najmanja (tj. najkraća)
udaljenost izmeĎu neke tačke na krivulji neke tačke na pravcu.
Ako u tački T na krivulji postavimo pravac q okomit na pravac p i ako sa B označimo presjek
pravaca q i p, onda je d(T,B) (udaljenost od tačke T na krivulji do tačke B na pravcu p)
najmanja udaljenost izmeĎu krivulje i pravca p.
Ako je pravac p ujedno asimptota krivulje , onda je d(T,B) udaljenost krivulje od asimptote .
S obzirom na prethodno navedeno zaključujemo da je
( )
Slika9.6.1Udaljenost asimptote i funkcije
MATEMATIKA
202
9.6.1 Vertikalna asimptota
Kažemo da je pravac x=a vertikalna asimptota krivulje u desnoj strani ako vrijedi:
( )
Analogno kažemo da je pravac x=a vertikalna asimptota krivulje u lijevoj strani ako vrijedi:
( )
Pritom je broj a realan i različit od
Na sljedećim slikama su prikazane vertikalne asimptote.
Slika9.6.1.1Vertikalna asimptota funkcije u desnoj strani
Slika9.6.1.2Vertikalna asimptota funkcije u lijevoj strani
MATEMATIKA
203
9.6.2 Horizontalna asimptota
U ovom slučaju imamo da je ( ) | ( ) | pa na osnovu nužnog uslova za postojanje
asimptote vrijedi:
( ( ) )
( ( ) )
Kažemo da je pravac x=b horizontalna asimptota krivulje u desnoj strani ako vrijedi:
( )
Analogno kažemo da je pravac x=b horizontalna asimptota krivulje u lijevoj strani ako
vrijedi:
( )
Pritom je broj b realan i različit od
Ako iz prethodnih identiteta dobijemo da je onda zaključujemo da funkcija nema
horizontalnu asimptotu.
Slika9.6.2.1Horizotalna asimptota funkcije u desnoj strani
MATEMATIKA
204
Slika9.6.2.2Horizotalna asimptota funkcije u lijevoj strani
9.6.3 Kosa asimptota
Kažemo da je pravac kosa asimptota krivulje u desnoj strani ako je:
( )
, ( ) -
Analogno kažemo da je pravac kosa asimptota krivulje u lijevoj strani ako je:
( )
, ( ) -
Pritom je , a,b su realni brojevi različiti od .
Slika9.6.3.1Kosa asimptota funkcije u desnoj strani
MATEMATIKA
205
Slika9.6.3.2Kosa asimptota funkcije u lijevoj strani
Treba da vrijedi uslov za postojanje kose asimptote:
, ( ) ( )-
, ( ) ( )-
Ako jednu od ovih jednačina (isto tako vrijedi za drugu) podjelimo sa imamo:
* ( )
+
* ( )
+
Odavde je:
( )
Broj b se dobije iz polaznih formula i vrijedi:
, ( ) -
Krivulja presjeca asimptotu ako vrijedi:
( ) ( )
MATEMATIKA
206
10. Izvodi (derivacije) funkcije
Pretpostavimo da je funkcija f(x) definisana u nekom intervalu (a,b) i da je tačka iz
intervala (a,b) fiksirana. Uočimo neku proizvoljnu tačku iz tog intervala (a,b), koju
zovemo promjenjiva tačka intervala (a,b).
Razlika pokazuje promjenu ili priraštaj vrijednosti promenljive x i najčešće se
obilježava sa
Slika10.1Promjena promjenjive
Posmatrajmo sljedeću sliku:
Slika10.2Tangenta funkcije u tački A
( ) ( )
( ) ( )
Taj količnik se naziva se srednjom ili prosječnom brzinom promjene funkcije u intervalu
, -
MATEMATIKA
207
( ) ( )
Posmatrajmo šta će se dešavati kada se tačka približava tački , tо јеst kad .
Tada pa .
( ) ( )
Brzina promjene funkcije f(x) u tački se naziva izvod funkcije i obilježava sa ( )
ili . Obično se umjesto stavlja .
Definicija10.1
Izvod funkcije jednak je graničnoj vrijednosti količnika priraštaja funkcije i priraštaja
nezavisne promjenjive kad priraštaj nezavisne promjenjive teži nuli.
( )
( ) ( )
10.1 Algebarska kombinacija izvoda
Teorem10.1.1
Neka su ( ) ( ) diferencijabilne u tački x. Tada su diferencijabilne sljedeće
funkcije:
( )
( )
( )
.
/
( )
DOKAZ:
( )
Neka je ( ) ( ) ( ) odnosno
Tada je:
( )
MATEMATIKA
208
Iz definicije izvoda imamo:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) odnosno
( )
( )
Neka je ( ) ( ) ( ) odnosno
Tada je:
( )
Iz definicije izvoda imamo:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) odnosno
( )
( )
Neka je ( ) ( ) ( ) odnosno
Tada je:
( )
Iz definicije izvoda imamo:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
, ( ) ( )- ( ) , ( ) ( )- ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) odnosno
( )
MATEMATIKA
209
.
/
Neka je ( ) ( )
( ) odnosno
Tada je:
.
/
Iz definicije izvoda imamo:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
*
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+
( )
, ( )-
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, ( )-
.
/
( )
Neka je ( ) ( ) odnosno
Tada je:
( )
Iz definicije izvoda imamo:
( )
( ) ( )
( )
, ( ) ( )-
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
MATEMATIKA
210
10.2 Izvod složene funkcije
Teorem10.2.1(lančano pravilo)
Neka je ( )( ) , ( )- složena funkcija i neka f ima izvod u tački a , a funkcija g
ima izvod u tački b, gdje je ( ) Tada je:
( ) ( ) , ( )- ( )
DOKAZ:
Za ovaj dokaz koristimo formulu izvoda zapisanu u drugačijem obliku i to:
( ) ( )
( ) ( )
Neka je: ( ) ( )
Tada vrijedi:
, ( )- , ( )-
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
neprekidna ( ) diferencijabilna
, ( )- , ( )-
* ( )
( )
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )- ( )
To znači ukoliko je , ( )- , tada je izvod te funkcije jednak:
, ( )- ( )
Zbog jednostavnosti pisanja uzmimo da je , ( )-
( ) ( )
Tada je:
, ( )- ( )
Npr. neka je , ( ( ))-. Tada je:
, ( ( ))- ( ( )) ( )
MATEMATIKA
211
10.3 Izvod inverzne funkcije
Teorem10.3.1
Neka je inverzna funkcija funkcije .
Ako je f diferencijabilna funkcija u tački a i ( ) onda je diferencijabilna u
tački ( ) i vrijedi:
( ) ( )
( )
DOKAZ:
Tada je ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Sada je:
( ) ( )
( ) ( )
( )
10.4 Izvod implicitno zadane funkcije
Neka je funkcija ( ) zadana u implicitnom obliku ( )
Tada implicitno zadanu funkciju deriviramo po pravilima deriviranja član po član tako da je y
funkcija od x.
Npr.:
Sada je:
( )
( )
MATEMATIKA
212
10.5 Logaritamski izvod
Teorem10.5.1
Neka je ( ) diferencijabilna funkcija.
Tada je i funkcija ( ) je diferencijabilna pri čemu je:
, ( )- ( )
( )
DOKAZ:
(tablica izvoda) : ( )
odnosno ( ( ))
( )
Kako u našem slučaju f(x) može biti složena funkcija, tada je:
, ( )- ( )
( )
10.6 Lopitalovo pravilo
Teorem10.6.1
Neka funkcije zadovoljavaju pretpostavke košijevog teorema:
1. Funkcije su neprekidne na (a,b)
2. Diferencijabilne na (a,b)
3. ( ) ( )
4. ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Neka je c neka unutrašnja tačka intervala (a,b) za koje je:
( ) ( )
Ukoliko postoji tada je:
( )
( )
( )
( )
DOKAZ:
Neka je tačka unutar intervala (a,b).
Prema košijevoj teoremi je:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
MATEMATIKA
213
Tada je:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Napomena:
Lopitalovo pravilo koristimo u oblicima: 0
1 0
1.
10.7 Neodređeni oblici
( )
( )
Tada je:
( )
( )
, ( ) ( )- , -
U tom slučaju vrijede transformacije:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
Nakon transformacija slijedi lopitalovo pravilo.
TakoĎer imamo i sljedeće slučajeve:
, ( ) ( )- , -
Tada vrijede transformacije.
( ) ( ) ( ) [ ( )
( )]
MATEMATIKA
214
10.8 Tablica izvoda i dokazi
FUNKCIJA IZVOD FUNKCIJE
C (C-konstanta) 0
x 1
sin x cos x
cos x -sin x
tg x
ctg x
arcsin x
√
arccos x
√
arctg x
arcctg x
sh x ch x
ch x sh x
tgh x
ctgh x
arsh x
√
arch x
√
arth x
arcth x
Tabela10.8.1Tablica izvoda
MATEMATIKA
215
DOKAZ:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) (
) ( ) ( )
( )
( ) ( ) (
) ( ) ( )
( )
[ ( ) (
) ( ) ( ) ]
( )
( )
( )
( )
3
Posljedica toga je:
( ) ( )
( )
( )
( )
3
dokazano u broj e …
MATEMATIKA
216
(
*
(
*
(
*
(
)
|
| [
(
)
]
Posljedica toga je:
( ) ( )
( )
( )
( )
. /
(
*
( )
( )
( )
. /
(
*
MATEMATIKA
217
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
*
( ) ( ) ( )
+
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
*
( )
( ) ( )
+
( )
( )
( )
Iskoristimo izvod inverzne funkcije.
( ) ( )
( ) ( )
sada je
( )
√ ( )
√
sada je
( )
√ ( )
√
MATEMATIKA
218
sada je
( )
sada je
( )
(
*
(
*
(
*
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
.
/
(
*
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
.
/
MATEMATIKA
219
Koristimo izvod inverzne funkcije.
( ) ( )
( ) ( )
sada je
( )
√ ( )
√
sada je
( )
√( )
√
sada je
( )
sada je
( )
MATEMATIKA
220
11. Integrali
11.1 Neodređeni integral i računanje integrala
Definicija11.1.1
Funkcija F je primitivna funkcija funkcije f na intervalu I ako vrijedi:
( ) ( )
Ako je F primitivna funkcija funkcije f onda je i F+C primitivna funkcija funkcije f.
Teorem11.1.1
Ako su primitivne funkcije funkcije f na intervalu I onda se one razlikuju za
konstantu, tj.
DOKAZ
( ) ( )
( ) ( )
Oduzmemo li ove dvije formule imamo:
( )
( )
, ( ) ( )-
Slijedi da je:
( ) ( ) odnosno ( ) ( )
Definicija11.1.2
NeodreĎeni integral funkcije f na intervalu I je skup svih njenih primitivnih funkcija na
intervalu I i piše se:
∫ ( ) ( ) ( ) ( )
Izraz f(x) nazivamo podintegralna funkcija, a izraz f(x)dx nazivamo podintegralni izraz.
Teorem11.1.2
Neka su f i g integrabilne funkcije.
Tada je:
∫, ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( )
∫ ( ) ∫ ( )
MATEMATIKA
221
11.1.1 Metoda supstitucije
Teorem11.1.1.1
Neka je F(x) primitivna funkcija funkcije f. Neka je diferencijabilna funkcija. Tada
postoji ( ( )) ( ) tako da je:
∫ ( ( )) ( ) ( ( ))
DOKAZ
[ ( ( ))]
( ( ( ))) ( ( )) ( )
[ ( ( ))] ( ( )) ( )
Sada je:
∫ ( ( )) ( ) | ( )
( ) | ∫ ( ) ( )
Konačno je:
∫ ( ( )) ( ) ( ( ))
11.1.2 Metoda parcijalne integracije
Teorem11.1.2.1
Neka su integrabilne funkcije. Tada vrijedi:
∫ ∫
DOKAZ
Iskoristimo izvod proizvoda.
( )
( )
∫ ∫
Imamo da vrijedi:
∫ ( )
Tako treba da vrijedi za ostale funkcije koje su date u sljedećoj tablici.
Na osnovu gornje formule i formula za izvod nekih funkcija mogu se dokazati formule u
tablici.
MATEMATIKA
222
11.1.3 Tablica neodređenih integrala i dokazi
FUNKCIJA f(x) INTEGRAL FUNKCIJE PO x ∫ ( )
k (k-konstanta) kx+C
( )
| |
sin x -cos x+C
cos x sin x+C
tg x +C
ctg x +C
arcsin x √
arccos x √
arctg x
( )
arccctg x
( )
sh x ch x+C
ch x sh x+C
-ctg x+C
tg x+C
-cth x+C
th x+C
+C
.
/
| | | |
+C
|
|+C
√ . √ /+C
√
+C
Tablica11.1.3.1Tablica neodreĎenih integrala
MATEMATIKA
223
DOKAZ:
( )
∫ ( ) ∫ ∫
( )
∫ |
( )
| ∫
∫
( )
∫
|
| ∫
( )
∫ |
| ∫
( )
∫ |
| ∫
( )
∫ ∫
|
| ∫
( )
∫ ∫
|
| ∫
( )
∫ |
√
| ∫
√
MATEMATIKA
224
|
| ∫
√ √ √
( )
∫ |
√
| ∫
√
|
| ∫
√ √ √
( )
∫ |
| ∫
|
|
∫
( )
( )
∫ |
| ∫
|
|
∫
( )
( )
∫ ∫
∫( )
( )
( )
∫ ∫
∫( )
( )
( )
∫
|
| ∫
MATEMATIKA
225
( )
∫
|
| ∫
( )
∫
|
| ∫
( )
∫
|
| ∫
( )
∫ |
| ∫
∫
( )
∫ |
| ∫
∫
(
) ( ) .
/ .
/
( )
Na osnovu gornje formule imamo:
∫ .
/
.
/ ( )
( )
∫
∫
[ . /
]
∫
. /
|
|
MATEMATIKA
226
∫
∫
( )
∫
∫
( )( ) |
( )( )
|
∫(
*
[ ∫
∫
]
( | | | |)
|
|
( )
√
∫
√ |
√
( )
|
∫
∫
∫
( )
. √ /
( )
√
∫
√ ∫
√ (
*
∫
√ . /
|
|
∫
√
∫
√ |
√ | ∫
. √ /
MATEMATIKA
227
11.2 Određeni integral i računanje
Neka je ( ) neprekidna funkcija na intervalu [a,b] s grafičkim prikazom:
Slika11.2.1Neprekidna funkcija na intervalu [a,b]
Želimo izračunati površinu lika (pseudotrapeza) omeĎenog x osom, pravcima x=a i x=b i
lukom AB krive y.
Slika11.2.2Površina dobijenog lika
Podjelimo interval [a,b] tačkama gdje , - na n
podintervala dužine gdje je
Na tim podintervalima konstruišimo n pravougaonika gdje je visina svakog pravougaonika
jednaka najvećoj vrijednosti funkcije na tom podintervalu.
Neka su visine opisanih pravougaonika redom jednake , tj. vrijedi:
( ) ( ) ( ) ( ) , -
Prvi pravougaonik ima visinu i širinu pa je njegova površina jednaka .
Drugi pravougaonik ima visinu i širinu pa je njegova površina jednaka .
Općenito, površina i-tog pravougaonika jednaka je , pa je suma površina svih
opisanih pravougaonika jednaka:
∑
MATEMATIKA
228
Ova suma se naziva integralna suma funkcije f na intervalu [a,b]. Ukoliko interval [a,b]
podjelimo na što više podintervala dobijamo traženu površinu, pa vrijedi:
Ako postoji limes kada n teži beskonačnosti tj. kada dužine podintervala teže nuli, onda
granična vrijednost te sume jednaka je površini traženog lika pa je:
∑
∑ ( )
Ta granična vrijednost naziva se odreĎeni (rimanov) integral u granicama od a do b
i označava se sa:
∫ ( )
Dakle, odreĎeni integral funkcije f je granična vrijednost sume površina opisanih
pravougaonika tj. predstavlja površinu ispod krivulje f u granicama x=a i x=b.
Posmatrajmo sume:
∑
∑
gdje je minimum funkcije, a maksimum funkcije na intervalu , -
Ove sume se nazivaju DONJA i GORNJA DABUOVA SUMA funkcije f na intervalu
[a,b].
Funkcije će biti integrabilna ako donje i gornja Dabuova suma teži ka istom broju, a to će se
dogoditi ako je funkcija neprekidna.
To znači, ako je funkcija f neprekidna na intervalu [a,b], onda je ona i integrabilna na
tom intervalu.
MATEMATIKA
229
Osobine određenog integrala:
∫ ( )
∫ ( )
∫, ( ) ( )-
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
( ) ( ) , - ∫ ( )
∫ ( )
( ) ( ) , - ∫ ( )
( ) ( ) , - ∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
11.2.1 Teorem o srednjoj vrijednosti
Teorem11.2.1.1
Neka su neprekidne funkcije na intervalu , - i neka je ( ) stalnog znaka.
Tada postoji , - tako da je:
∫ ( ) ( )∫ ( )
DOKAZ
Neka je minimum funkcije, a maksimum funkcije na datom intervalu. Tada je:
( ) , -
Pretpostavimo da je ( )
Tada vrijedi:
( ) ( ) ( ) ( )
MATEMATIKA
230
∫ ( )
∫ ( ) ( )
∫ ( )
∫ ( ) ( )
∫ ( )
Kako je neograničena ona poprima sve vrijednosti izmeĎu brojeva pa postoji broj
, - takav da je:
∫ ( ) ( )
∫ ( )
( )
∫ ( ) ( )∫ ( )
Analogno se dokazuje kada je ( )
Teorem11.2.1.2
( ) ∫ ( )
( )
DOKAZ
( ) ( ) ( ) ∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
MATEMATIKA
231
11.2.2 Netwon-Lajbincova formula
Navedimo teoremu koja je osnovna (fundamentalna) za Netwon-Lajbincovu formulu, jer
preko nje se dokazuje ta formula.
Teorem11.2.2.1
Neka je , - neprekidna funkcija u tački t=x. Tada funkcija ( ) , -
ima izvod u tački x i vrijedi:
( ) ( )
DOKAZ
( )
( ) ( )
(
∫ ( )
)
( )
( ) ( )
Teorem11.2.2.2
Neka je , - neprekidna funkcija (integrabilna), i neka je F proizvoljna primitivna
funkcija funkcije . Tada vrijedi:
∫ ( )
( ) ( )
DOKAZ
( ) ∫ ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ∫ ( )
( ) ∫ ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Ukoliko formule (1) i (2) izjednačimo imamo:
∫ ( )
( ) ( ) ∫ ( )
( ) |
( ) ( )
MATEMATIKA
232
11.2.3 Smjena promjenjivih u određenom integralu
Teorem11.2.3.1
Neka je , - neprekidna funkcija, i neka je , - , - neprekidna.
Tada za ( ) ( ) vrijedi:
∫ ( )
∫ ( ( ))
( )
DOKAZ
∫ ( )
( ) ( ) ( ) ( )
, ( ( ))- ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
∫ ( ( ))
( ) ( ( )) |
( ( )) ( ( )) ∫ ( )
11.2.4 Parcijalna integracija u određenom integralu
Teorem11.2.4.1
Neka su integrabilne funkcije. Tada vrijedi:
∫
|
∫
DOKAZ
Iskoristimo izvod proizvoda.
( )
( )
∫
|
∫
MATEMATIKA
233
11.2.5 Primjena određenog integrala
Računanje površine:
∫| ( )|
Zapremina rotacionog tijela:
∫ ( )
Dužina luka krivulje:
∫√ , ( )-
Površina omotača rotacionog tijela:
∫ ( )√ , ( )-
MATEMATIKA
234
Sadržaj:
1. Algebarski identiteti ............................................................................................................ 1
2. Stepeni (potencije) i korijeni ............................................................................................... 2
3. Polinomi .............................................................................................................................. 3
3.1 Jednakost polinoma ........................................................................................................... 3
3.2 Djeljenje polinoma ............................................................................................................ 4
3.3 Najveći zajednički djelitelj polinoma ............................................................................... 4
3.4 Racionalna funkcija .......................................................................................................... 5
3.5 Parcijalni razlomak ........................................................................................................... 5
3.6 Nultačke polinoma ............................................................................................................ 5
3.7 Bezuov teorem .................................................................................................................. 6
3.8 Osnovni teorem algebre .................................................................................................... 6
3.9 Jednake nultačke ............................................................................................................... 7
3.10 Hornerov algoritam ......................................................................................................... 8
3.11 Rastav polinoma po potencijama .................................................................................... 9
3.12 Svojstva nultačaka polinoma ........................................................................................ 10
3.13 Vietove formule za polinom drugog stepena ............................................................... 10
3.14 Vietove formule za polinom trećeg stepena ................................................................. 11
4. Nizovi ................................................................................................................................ 12
4.1 Aritmetički niz ................................................................................................................ 12
4.2 Geometrijski niz .............................................................................................................. 14
5. Kompleksni brojevi ........................................................................................................... 18
5.1 Algebarski (standardni) oblik kompleksnog broja .......................................................... 18
5.2 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja .................................................................... 23
5.3 Eksponencijalni (Eulerov) oblik kompleksnog broja ..................................................... 26
6. Geometrija ......................................................................................................................... 28
6.1 Trougao ........................................................................................................................... 43
6.1.1 Pravougli trougao ..................................................................................................... 55
6.1.2 Jednakostranični trougao .......................................................................................... 58
6.1.3 Jednakokraki trougao ............................................................................................... 61
6.1.4 Površina trougla........................................................................................................ 65
6.1.5 Dužine težišnica u trouglu ........................................................................................ 70
6.1.6 Heronovske formule ................................................................................................. 71
6.1.7 Dužine simetrali uglova u trouglu (bisektrise) ......................................................... 74
MATEMATIKA
235
6.1.8 Tangensna teorema ................................................................................................... 75
6.1.9 Karnovi obrasci ........................................................................................................ 76
6.1.10 Mollweidove formule ............................................................................................. 78
6.2 Četverouglovi .................................................................................................................. 79
6.2.1 Kvadrat ..................................................................................................................... 79
6.2.2 Pravougaonik ............................................................................................................ 80
6.2.3 Romb ........................................................................................................................ 81
6.2.4 Paralelogram............................................................................................................. 82
6.2.5 Trapez ....................................................................................................................... 84
6.3 Pravilni mnogougao ........................................................................................................ 86
6.4 Krug ................................................................................................................................ 88
6.5 Analitička geometrija u ravni.......................................................................................... 90
6.5.1 Tačka, jednačina pravca i duž ................................................................................ 90
6.5.1.1 Eksplicitni (direktni) oblik pravca......................................................................... 91
6.5.1.2 Implicitni (opći) oblik pravca ................................................................................ 92
6.5.1.3 Segmentni oblik pravca ......................................................................................... 92
6.5.1.4 Normalni (Hesseov) oblik pravca ......................................................................... 93
6.5.2 Kružnica ................................................................................................................. 100
6.5.2.1 Jednačina kružnice .............................................................................................. 101
6.5.2.2 Jednačina tangente u tački kružnice .................................................................... 102
6.5.2.3 Uslov da pravac bude tangenta kružnice........................................ 103
6.5.2.4 Površina kruga .................................................................................................... 104
6.5.2.5 Obim kruga (dužina luka kružnice) ..................................................................... 105
6.5.3 Elipsa ...................................................................................................................... 106
6.5.3.1 Jednačina elipse ................................................................................................... 108
6.5.3.2 Jednačina tangente u tački elipse ........................................................................ 110
6.5.3.3 Uslov da pravac bude tangenta elipse ........................................... 111
6.5.3.4 Površina elipse..................................................................................................... 112
6.5.4 Hiperbola ................................................................................................................ 114
6.5.4.1 Jednačina hiperbole ............................................................................................. 115
6.5.4.3 Uslov da pravac bude tangenta hiperbole ..................................... 118
6.5.4.4 Konstrukcija hiperbole ........................................................................................ 120
6.5.5 Parabola .................................................................................................................. 121
MATEMATIKA
236
6.5.5.1 Jednačina parabole .............................................................................................. 121
6.5.5.2 Jednačina tangente u tački parabole .................................................................... 123
6.5.5.3 Uslov da pravac bude tangenta parabole .......................................................... 123
6.6 Površine i zapremine geometrijskih figura (stereometrija) ........................................... 124
6.6.1 Prizma..................................................................................................................... 124
6.6.2 Kocka ..................................................................................................................... 125
6.6.3 Kvadar .................................................................................................................... 127
6.6.4 Piramida ................................................................................................................. 128
6.6.5 Valjak ..................................................................................................................... 132
6.6.6 Kugla ...................................................................................................................... 133
6.6.7 Kupa ....................................................................................................................... 137
6.6.8 Zarubljena kupa ...................................................................................................... 139
6.6.9 Kuglina kapa .......................................................................................................... 141
6.6.10 Kuglin isječak ....................................................................................................... 144
7. Realne funkcije ................................................................................................................ 146
7.1 Linearna funkcija .......................................................................................................... 147
7.2 Kvadratna funkcija ........................................................................................................ 147
7.2.1 Grafik,tjeme i nultačke kvadratne funkcije ........................................................... 147
7.2.2 Tok kvadratne funkcije........................................................................................... 151
7.2.3 Znak kvadratne funkcije ......................................................................................... 151
7.2.4 Konveksnost i konkavnost kvadratne funkcije....................................................... 151
7.2.5 Pripadnost nultačaka datom intervalu .................................................................... 152
7.3 Eksponencijalna funkcija .............................................................................................. 154
7.4 Logaritamska funkcija .................................................................................................. 155
7.5 Trigonometrijske funkcije ............................................................................................. 158
7.5.1 Definicija trigonometrijskih funkcija na trigonometrijskoj kružnici ..................... 158
7.5.2 Definicija trigonometrijskih funkcija na pravouglom trouglu ............................... 159
7.5.3 Grafički prikaz trigonometrijskih funkcija:............................................................ 159
7.5.4 Parnost-neparnost i periodičnost trigonometrijskih funkcija: ............................... 161
7.5.6 Znak trigonometrijskih funkcija ............................................................................. 163
7.5.7 Trigonometrijski identiteti .................................................................................... 163
7.5.8 Adicione formule................................................................................................... 166
7.5.9 Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla: ......................................................... 170
MATEMATIKA
237
7.5.10 Trigonometrijske funkcije polovine ugla ............................................................. 171
7.5.11 Transformacije zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod .............. 172
7.5.12 Transformacije proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku ............... 173
7.6 Ciklometrijske funkcije ................................................................................................. 174
7.7 Hiperbolne funkcije ...................................................................................................... 176
7.8 Area funkcije ................................................................................................................. 179
8. Skupovi i operacije sa skupovima ................................................................................... 183
8.1 Skupovi, podskupovi i prazan skup .............................................................................. 183
8.2 Razlika skupova ............................................................................................................ 187
8.3 Presjek skupova ............................................................................................................ 188
8.4 Unija skupova ............................................................................................................... 188
8.5 Direktni proizvod dva skupa ......................................................................................... 189
8.6 Formalizacija ................................................................................................................ 190
8.7 Definisanje skupova (podskupova) svojstvima ............................................................ 192
8.8 Binarne relacije ............................................................................................................. 193
9. Granična vrijednost (limes) funkcije ............................................................................... 194
9.1 Tačka nagomilavanja, unutrašnja tačka, granična tačka skupa i limes funkcije ........... 194
9.2 Lijevi i desni limes ........................................................................................................ 194
9.3 Algebarska kombinacija limesa .................................................................................... 195
9.4 Broj e, odreĎeni i neodreĎeni oblici limesa .................................................................. 195
9.5 Neprekidnost funkcije ................................................................................................... 200
9.6 Asimptote funkcije (krivulje) ........................................................................................ 200
9.6.1 Vertikalna asimptota .............................................................................................. 202
9.6.2 Horizontalna asimptota .......................................................................................... 203
9.6.3 Kosa asimptota ....................................................................................................... 204
10. Izvodi (derivacije) funkcije ........................................................................................ 206
10.1 Algebarska kombinacija izvoda .................................................................................. 207
10.2 Izvod složene funkcije .......................................................................................... 210
10.3 Izvod inverzne funkcije............................................................................................... 211
10.4 Izvod implicitno zadane funkcije ................................................................................ 211
10.5 Logaritamski izvod ..................................................................................................... 212
10.6 Lopitalovo pravilo ....................................................................................................... 212
10.7 NeodreĎeni oblici ........................................................................................................ 213
MATEMATIKA
238
10.8 Tablica izvoda i dokazi ........................................................................................ 214
11. Integrali ........................................................................................................................ 220
11.1 NeodreĎeni integral i računanje integrala ................................................................... 220
11.1.1 Metoda supstitucije .............................................................................................. 221
11.1.2 Metoda parcijalne integracije ............................................................................... 221
11.1.3 Tablica neodreĎenih integrala i dokazi ................................................................ 222
11.2 OdreĎeni integral i računanje ...................................................................................... 227
11.2.1 Teorem o srednjoj vrijednosti .............................................................................. 229
11.2.2 Netwon-Lajbincova formula ................................................................................ 231
11.2.3 Smjena promjenjivih u odreĎenom integralu ....................................................... 232
11.2.4 Parcijalna integracija u odreĎenom integralu ....................................................... 232
11.2.5 Primjena odreĎenog integrala............................................................................... 233