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JAERI-Research

95-050

JAERI-Research—95-050

JP9509140

Multi-Grid Method£&&mWMt

1995^7^

#i^?r- mmnr. • ^m&^

VOL 2 7 Ms 0 f B^M^^JSf^Sf l / f Japan Atomic Energy Research Institute

、

JAERI-Research 95・050

JAERI-Research--9S-0S0

Multi-Grid Methodによる固有値問題と特異方程式の数値解法

一常微分方程式への適用一

争l'吉隆司九徳回世11二・宇山忠男骨

VOL 27融o1 日本原子力研究所Japan Atomic Energy Research Institute

* v # - M i , uA-w-\--m\YmKiM^\m-&PJ L -t aAT U S K ^ K I - .

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This report is issued irregularly.

Inquiries about availability of the reports should be addressed to Information Division,

Department of Technical Information, Japan Atomic Energy Research Institute, Tokai-

mura, Naka-gun, Ibaraki-ken 319-H, Japan.

©Japan Atomic Energy Research Institute, 1995

en m ^ a' h & en so ($

-1，:レポートは‘I::l-1':IJ;t子1;研究所が不定JUIに公fIJしている研究報告書てす。

入手の間合わせは，日本原子力研究所技術情報部情報資料課(千319-11茨城県邪河郡東

海付)あて，お申し越しください。なお，このほかに財団法人原子力弘前会資料センター

(〒319-11 茨城県郎珂都東海村日本原子力研究所内)で被写による ~'lun布をおこなって

おります。

This report is issued irregularly.

Inquiries about availability of the reports should be addressed to Information Division，

Department of Technical Information， Japan Atomic Energy Research Institute， Tokai・

mura， Naka-gun， Ibaraki-ken 319・11，Japan.

。JapanAtomic Energy Research Institute， 1995 編集兼発行日本原子力研究所

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JAERI-Research 95-050

Multi-Grid Method\z


Numerical Method for the Eigenvalue Problem and the Singular Equation

by Using the Multi-Grid Method

and Application to Ordinary Differential Equation

Takashi KANKI*. Shinji TOKUDA and Tadao UYAMA*

Department of Fusion Plasma Research

Naka Fusion Research Establishment

Japan Atomic Energy Research Institute

Naka-machi, Naka-gun, Ibaraki-ken

(Received June 12, 1995)

In the numerical method to compute the matching data which are necessary for resistive

MHD stability analyses, it is required to solve the eigenvalue problem and the

associated singular equation. An iterative method is developed to solve the eigenvalue

problem and the singular equation. In this method, the eigenvalue problem'is replaced

with an equivalent nonlinear equation and a singular equation is derived from Newton's

method for the nonlinear equation. The multi-grid method (MGM), a high speed iterative

method, can be applied to this method. The convergence of the eigenvalue and the

eigenvector, and the CPU time in this method are investigated for a model equation. It

is confirmed from the numerical results that this method is effective for solving the

eigenvalue problem and the singular equation with numerical stability and high

accuracy. It is shown by improving the MGM that the CPU time for this method is 50 times

shorter than that of the direct method.

Keywords: Eigenvalue Problem, Singular Equation, Matching Data, Resistive MHD Stability

Analyses, Nonlinear Equation, Newton' s Method, Multi-Grid Method

* Himeji Institute of Technology

JAERI-Research 95‘050

Numerical Method for the Eigenvalue Problem and the Singular Bquation

by Using the Multi-Grid Metbod

and Application to Ordinary Differential Equation

Takashi KANKI*， Shinji TOKUDA and Tadao町刷r

Department of Fusion Plasma Research

Naka Fusion Research Establishment

Japan Atomic Energy Research lnstitute

Naka-machi， Naka-gun， lbaraki-ken

(Received June 12， 1995)

In the numerical method to compute the matching data which are necessary for resistive

MHD stability analyses， it is requircd to solve the eigenvalue problem and the

associated singular equation. An iterative method is developed to solve the eigenvalue

problem and the singular equation. 1n this method， the eigenvalue problem' is replaced

with an equivalent nonlinear equation and a singular equation is derived from Newton' s

method for the nonlinear equation. The multi-grid method (MGM) ， a high speed iterative

method， can be applied to this method. The convergence of the eigenvalue and the

eigenvector， and the CPU time in this method are investigated for a model equation. 1t

is confirmed from the numerical results that this method is effective for solving the

eigenvalue problem and the singular equation with numerical stability and high

accuracy. 1t is shown by improving the MGM that the CPU time for this method is 50 times

shorter than that of the direct method.

Keywords: Eigenvalue Proble~ Singular Equation， Matching Data， Resistive附IDStability

Analyses， Nonlinear Equation， Newton' s Method， Multi-'Grid Method

本lIimeji Institute of Technology

11

JAERl-Research 95-050

@ &

i. ft m i 2. m&i&ffl&o&m&im&fc&z'i&Mb 1 3. Multi-Grid Method 4

3. 1 ®ffl®fe 5

3. 2 ¥-M


Contents

1. Introduction 1

2. Formulation of the Eigenvalue Problem as a Nonlinear Equation 1

3. Multi-Grid Method 4

3. 1 Formulation of the Problem 5

3. 2 Smoothing Step 6

3. 3 Coarse-grid Correction 6

3. 4 MGM 7

3. 5 Simple Example of the MGM 8

4. Application of the MGM to the Singular Equation 9

5. Model Equation and Numerical Method 11

6. Numerical Results 14

7. Conclusions 15

Acknowledgements 15

References 16

Appendix Solution Method of the Singular Equation Associated with

the Eigenvalue Problem 29

IV

JAERI-Research 95-


1 J*Bfi

%V bftao WS®&-0H> 7 ' 7 X 7 ( D W m V U x 2f ©#Sf f i M H D S k ^ M f

4 -O Newcomb 3#g5fc"CiSj2£S ^ 5 o C ©;#g5$;©fi¥ (M-SMS) tt'h£ V»fi? i ;fc£ V> figoSflNg^-C^fU ZvmS&tt&ffiT-fi bvftttixv** [l]0 fiftft MHD ^g& *#?#?-?-a _h-t\ c ommr-? *mmj%x-j£#>ztt&&mx'$,z0

3%* n Newcomb^ga:K*r-r 5 H^fiiPSJS i * f t K : # 5 # H 3 ^ S 5 £ £ 8 ? < 21 £

Kx^x&mr-f*mmra&mnt&mvmm^tz. [2]0 c © ̂ src*±> ^ n

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n&\x-&smmmr>tt

Xl>* * *l KW 5 # H ^ ^ S : :

{

Ax = Ax (1)

( A - A / ) x = 6, (x, x0) = 0

-t S nlM&ftti: (£,x0) = 0 ~C'& So

(A- /z / )x ( n + 1 ) = £ln), (3) ^(n+1)

(x("+1),x("+1))' l '

A (n ) _ l * »A X I /5\

ixin+»Kov>xM\r>xm&:RiMi&ibig'ro ccx\ fi^fr^iAcomiMmo^nm X&Zo t o ^ f f i - C t t , AW*S/£»c®


i * < o S (7)-(8) *&fflfc&m& (6) KftALT> 3c£gg[x


Ax - AW sx = -rnr-&i Aj - AV ;

•03fca&S„ C O t t S (18) i D to -» Aa - A(")-C*^5^f?A<

n+1) = A*>> AWt t@3r fBA^

X - A W / - f W 0 u;'

(21)

5 EegfilSj-C 1 VajWiH (9) * £ £ f c P < C t XX' t Z>o 4 fc,


£ o - C 5 n © r y y K±-CO3fiie0B«:^So MGM fi t o 2 o o x r y 7'*-$XKM D a g - T t i l c i o - c , 3i«T6DR««¥fe(«flIiLtf^ S 0 R & ) £ & %EBJ&&KJgv»JR3|£

3.1 F^iUlx^

MGM (ommt L-ĉ ^ C D ^ ^ ^ ^ S S :

£ U ( I ) = - ^ - ~ / ( x ) ' x € [ 0 ' 1 ] ( 2 2 )

y>»©4®fc ttfc = l/(iV+l)"C'$)50 u ^ a / i v » 5 t 4 ^ A l •C^y y KSfct: JV/ = 2

1 + ' - l - eg- f t$*5o ^ i 5 I C U H 4 O / ^ $ ^ ^ y «>»o4B«rft»5Ci:dS-CtSo #JiLfi\ V h2 > ••• >ht> •••,hl = 2- 1 - ' (24)

a:,,,- = {ih, : i = 1,2,- • • ,Nt = 21 + ' - 1} (25)

gSC (22) £ v - ^ u l-CMfriti-l i

uf,,--i — 2m,,- + u/,,-+i . ,ORx j5 = / ' , ' (26)

£ # 5 o i£ (26) f± JV,xJV;0 3 l ^ W r ^ U ; . JV,©^£fl©-


3.2 ^-:Mit^^^Zf MGM (oM'mo^y- v 7'ft, &M sc (26) * w J.„(")

u («+») - „ W -L , , f < i - l + U U l + f e l / M „(n) ' ,« ' u)/+u> —•• u , / (28)

To t O S i l i S f i damped Jacobi&fcPfWl/trv* 5 . ^ (28) ^ f f l ^ " C ^ ^ O ^ J ^ Bfc&JSS-tt^ &Bfe;ft»*l [4K a ^ s f f l b T S C i i S - C t So damped Jacobi j£ * (3D

Il4n ) l l -C'-^*.ib*LSo c u t s K f i 0 < K < l © M t ^ £ S - C ' ^ 5 o

3 .3 C o a r s e - g r i d c o r r e c t i o n

R C ^ T ' ; 7 ' ( i , Bl^O'lSil&ifclfiS-^flX !3 K< < coarse-grid correction

JAGRI-Rcxearch 95-050

ZftZCk &, mmm v^ti&m t•&•?* -nm& (34) (D&nmvîm-tsetx^^x-h So ^SS:(34)tt̂ @5*:(33)©/*/-l-eSt!ftiLS :̂W-t?,> l§I WstO^gS: * 4 5 o L f c # o ^ u - ^ f - l , / - 2 < 7 ) ^ t ' T G M t t > #g5£(34) *#P< ©fcfiES C i i)-X t 5o * © J g ^ , # g 5 C (33) ft ^ " < ^ f, / - 1, I - 2 0 Three-Grid Method £ J3 ££ t f C i o t K C t K & S o S f e f C U - c ^ Z - l , / -2©rBl t?TGM ft> L/_2u/_2 = rf/_2*iK^K)lS¥< C ij&S&H-C&So

c c " ^ ^(-2f/-2 = dt_2(Dffttt, f? tf wîW-2,/-3^'©TGM£ffl^Se£K:.J:^-rjfiiW£ftSo co®g4*6D

loô = d0 (40)

- 7 -

JAERI-Rc5Cllrch 95-050

で表される。とのとき、方程式(34)で Vl_lがVlの近似解を与えるように、めから d1-1を作るととが必要であるo そとで、 resirictionと呼ばれる線形写像 Tによって d1_1

を

d1_1 == rd1 (35)

で作る。次に、方程式 (34)の厳密解 Vl-l= Lごldl-lからレベノレ lにおける Vlの近似解を作るため、 Vl-lに線形補間 pを操作するo すなわち

Vl == PVl-l・ (36)

との補間を prolongationと呼ぶ。平滑化された反復解官l及びVl= PVl-lを用いて方程式 (27)の近似解は

new _."..，. ."':: Ui--= ul - 'Vl (37)

によって更新される。官}→ uiewのステッァ・を coarse-grid correctionと呼ぶ。上で

述べた方法は、 2つのレベル lと1-1の間で計算が行をわれているため、 TGM(Two-

Grid Method)と呼ばれている。

第 4節で用h るLl_lとL/の関係、を導出しておく o 方程式 (33)の両辺の左からrestriction rを作用させて 1'1= pVI_lを用いると、方程式 (33)は

rLIPVI_l = d1-1 (38)

となる。 ζζで、組いグリッドにおける方程式は式 (34)で表せるので

Ll_l = 7・LIP (39)

という関係が成り立つ。

3.4 恥1Gl¥在

次に TGMから MGMに拡強するととを考える。 TGMは方程式 (34)の厳密解を必要とするため、実用的主反復解法でない。 V/は VI= Li1dlの近似でしかないた

め、厳密解υ1-1を必要とせず、方程式(34)の近似解VI_1を計算するととで十分であるロ方程式 (34)は方程式 (33)のlを1-1で置き換えるだけで、同じ形式の方程式と

なる。したがって、レベル 1-1，1-2の問でTGMは、方程式(34)を解くのに使うととができる。その結果、方程式(33)はレベノレ 1，1ーし 1-2のThree-GridMethod を用いるととによって解くととになる。さらにレベノレ 1-1，1-2の問で TGMは、

LI-2'V1-2 = dl-2を厳密に解くととが必要であるロととで、 LI-2VI-2= dl-2の解は、再

びレベル 1-2， 1-3での TGMを用いるととによって近似される。との過程を繰り返してレベルが Oになったとき、すなわち、最も粗いグリッドにおける方程式:

Lovo = do ( 40)

一7-

http://Li.it

JAERI-Rcsearch 95-050

So Jl&fc MGM

3 .5 M G M fgifi##J

±-ej2E^fe TGM &tf MGM © 7" P -fe x £ ' M # : £ ? I 3 : (22) ©ig^f iSIM&W KL-CfflfctS^So S fe . MGM O J R ^ O t e f f i ^ P ^ 3ffi'£©SMift££ L T S 0 R & * 3 t t> W "C MGM t © CPU P#P3fc**i- 5 J t & f c f r * 5 o

5fc-i\ TGM KJ:5®ô^t*0 3 K -̂fo &T©Sfitff#Êeg$fl©#P© fcJWHfitt-^-COfc-^So tTcs ' < ? > * - f ± / / , = = 7 , £ * i ^ ' H R Z m M = 2,w = 0.5, K = 0.9 fcffl^ pre - smoothing® frffk 5o nl = l , 2 t t l | l i © TGM X' > n = 1 ttÔ damped Jacobi S © t ; - C O coarse-grid correction *7FLX^Z0 ITO K n2 = l , 2 t t 2 P @ © TGM t'CQE ^ C D ^ g ^ r ^ ^ L - r ^ S o damped Jacobi & £ 1 @;$> 2 @ff & 5 ftVrX'B^cDMm®. $LlSL9t1&BL D Bfea»*u S 2 S * s i « t A / ^ ^ t U 4 < * : - 3 - C ^ 5 o ^ o M f c ^ f " ^ ©&> coarse-grid correction £ 1 Hfrfc 5 C t fC £ oTTgSI£#;MsiK:i&4>U f e ^ » 5 J : 5 l c , ^mit^-r-y 7"C&M® 1%J%&LWLtiL&&TiL U l&^*U coarse - $rid correction - C l £ H M j £ £ - ^ I & 0 fife^ft -C. Effi»?ttSK^fi?K:JR^-j-5o

#CK1̂ MGM © K ^ l e l t l C ^ t S V-cycle fc W-cycle j£

JAERl-Rcsearch 95-050

t post-smoothing ^ - i L T , MGM(V-cycle)t*tt iV, = 511, /m0I = 8,w = 0.5,« = 0.5 £ffl X/2/; = /̂fC>[>J"-f 2> restriction t prolongation ^^tlZftlr, ptiT^CtKii-oX

' r 0 "

. 0 1 . , P = ' P 0 " .0 1 .

- 9 -

JAERI-Rcsearch 95-050

とpost-smoothingのJレーチンを呼んでる回数がV-cycleよりも多いロとのため、 ¥v-cyc1eは平滑化ステップでの全反復回数がV-cyc1eよりも多くなり、必ずしも V-cyc1e

よりも計算時間が早いとは限らない。

MGMのCPU時聞に対する効率を見るため、古典的な反復解法である SOR法を取り挙げるロ MGM(V-cycle)とSOR法の CPU時間の比較を図5に示す白パラメターとして、 MGM(V・cyc1e)では N，= 511，lma:r: = 8，ω=0ムκ=0.5を用いる。SOR法では、との問題に対して最適に近い加速緩和係数ωs= 1.7を用いるロ但し、グリッド数は MGMと同じであるロ MGMもSOR法も精度を良くしていくと、 CPU時聞は一定の増加率で増大している。また、精度が 10-8では MGMはSOR法よりもCPU時間が約 100分の l短い。乙れから分かるように MGMは非常に収束が速い反復解法である。

4 特異方程式に対する h任GMの適用

第 2節で述べた方法で固有値問題を解くととは、 1次方程式UJ)を解くととにの着する。との方程式 (9)に対して MGMを適用する。前節で述べた方選弐 (27)の解

は、全てグPッドの関数である。しかし左がらラ方程式 (9)の解 (x(n+l)，d入)は、グ

リッドの関数でないスカラー6入を含んでいる。とのため、式 (21)における拡大行列

を方程式 (27)における LIと考えて、方程式 (9)に対して前節で述べた MG1¥1を直接

適用するととはできない。そとで、次の形式の 1次方程式:『

ESE-EEEBB-4・

司白山

η

r'''BEBEE--助一一

Fμ

『

BEBEE---EEEd

司山内

FaEEBEBEE--h

一一4

叫

『

Bail---J

品角

一ム何

rill--L

一一L 7h

一一司

UL

(41)

に対して MGMの考え方を適用するととを試みるo ととで、未知量はベクト Jレy，とスカラーPIである。また、 st， ηは既知のスカラーであり、グリッドのレベノレに対して不変であるとする白すなわち、

PI 一一 PI-1 一一一 Po， s， sI-l 一一 so， 71 一 71-1 一一一 70・

(42)

グ~:Jf'tt:関するレベ Jレが前もって存在するのはLIだけであり、 b/ ，併には任意性が

あるo 方程式 (41)における

手;め+s，Pl =η もレベノレに対して不変であるようにするため、 "YI-lに対する prolongαtionpを

手;-1=伊j戸 1 = 1，2，・・・ (44) と設定する。したがって、方程式 (41)に対する restriction7'とprolongαtionpは、

LI"YI = 91に対する restrictionとp1・olongationをそれぞれヂ，戸とするととによって

(43)

、，llE』

nHU

唱

i

pO

FEEE'aEeEE』一一

一pa

『

E'aBEBEE--d

nHM

噌EA

T

O

F'EEEEEEEEL

一一一T

(45)

- 9ー


Pl-l = , prolongation p Zfflv^XSyt = p~6yt_i, 6p, = fy>/_i X 5 Kj}r$li~Z>o M

^£|C coarse — grid correction:

vi = 3// - *y/7 Pi = Pi - opt (53)

- 1 0 -

JAERI-Rcscarch 95-050

で定義できるロまた、 Lz-1(l= 1，2，・・・)は式 (39)から

LZ_l = rLIP

= [司戸前l何p sz

とまる。式 (46)で L1-1が定義できるように

bl_1 = Fb1

(46)

(47)

とする。

先ず、 MGMの最初のステァプである平滑化ステップについて考える。スカラーPIはグリッドK依存し左い量であるため、全てのレベルに対して平滑化ステップの

過程がない。とのため、平滑化ステップで変化しないスカラーPlの初期推測値をPI

として、方程式 (41)におけるLI訴+bzPI=訴を

LI日=昂-LP: (48)

に変形する。方程式 (48)のあに対して平泊化を行とい、平滑化された反復解(釘，pi)

を~}る。次に coarse-grid correctiunについて考える。平滑化ステップで得られた反復

解 (yj，ρnを用いて方程式 (41)に対する defectι品は↓引

η一一

'

s

I

a向

ア

叫

L川町

βμ++

釘

好一Ldυ

一一一一

司

J

叫ぬ

(49a)

(49b)

で与えられる。また、レベル lでの厳密解(払PI)の補正を (15訴，opz)とすると、方程

式 (41)に対する補正された方程式は

Lzo品+bzopz = fIt，伊;6前十 sz8pz = 81

(50)

で表せる。式 (42)、式 (44)-(45)及び式 (47)を用いると、レベル l-lでの各量は

4-1=FC5， 6l-1=6l ， G-1=FEi ， d-1= 伊~p， sZ-l = sz (51)

で与えられるo したがって、粗いグリッドにおける方程式は

L1-1OYl-l + b1-1OPl-l = dl-ll ¢;-16日-1+ sZ-IOPl-l = Ol_l

(52a)

(52b)

とたる。と ζで、方程式 (52)の厳密解 (dYI-hdPI-l)からレベノレ lにおける近似解を

作るため、 prolongαtionpを用いてOYl=戸OYI_l，OPI = OPI_lのように近似する D 最後に coarse-grid correction:

i7iew = YI -o日， p?eu=pf-6pt (53)

-10 -

JAERl-Rcsearch 95-050

^-o 5£ (49b) J: D

^ 7 - ^ ) + AW-W = *>i + T{ - $6yi - faSpi

£*#5o CCtf, 3] (42). 5£(44)-(45)&tf:S;(52b)£fflv*3i

=


ifcaj-r sfistffw&ramttAj = 4/fc?[sin(jx/i,/2)]2.

e,- = y/2ht

sin(jirhi) s\n[2JTT hi)

(56)

sin(AT;jV/i/)

a?(°) =

£ =

£

vte&w' to

(57)

(58)

^ R C - * * h/u4(S5E^-So : £ l i 5 £ ( 6 ) o P A ^ M f I A ( 0 ) £ L T ; g ^ & f [ I £ ^ * _ S t . ^ d r c f i ^ i g ^ m f l A j f t J K ^ - r S o # 1 * - ^ ^JJWfiAW i L-C 8.0 fc-5*. 5 i , 8.0 l e g * j £ i ^ S / h o @ ^ l ® 9.869 KJK^^-So C «9 £ 5 K L t \ 'frMA^ -ft mm (6) ©fi¥©30HHfiI (f(0), A) SLtfgEfcl-**' h ^ u J i t g ^ - r 5 £ tKX^X^ JK

^cfT^*^ D ^ n s ; (9) * MGM -t-fi? < mm^-c 1 5 o

:£H5£(9) * MGM-eft?t'-^-ettH{llOoRtSIfiI^on tt@5££*L-cv»sfc ft. i ( " + » i n KlG$S?LfcVv£-OfEf&*.-C$?


*>*>

1 T=4

1 2 1 1 2 1

0

0 1 2 1

1 2 1

P=2

1 2 1 1

2

0

0

2 1 1

2

1

(60)

-0$> So £ C-ON r t t JVU x JV,©ff?!|-C£ &N ptt A7, x A ^ ^ f T ^ - C ^ So £ (60)

So / - 1 > 0-C^)tLd\ v ^ A W - l ^ © # g ^ * f i ¥ < f c » t c ? 5 t f MGMfclTOtB

MGM ic i s ^ s s : (9) o s t i (x(m», a) -owpmfett II V(m+1) _ V(m) | |

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| |X (m) | | = max |A'Jm,| i


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* - tt MGM(/ = S - t / = 0, V-cycle), %m^5o *fc> 10@© Newton S o S t g t c S J - r 5 MGM ©Kfgdlfctt 12 @> 2 HI @ tt 31 HI-e^fiPU 3 @ @ J ^ » > U ^ 5 o £ ^ t t a « M P J f i I £ i £ 5 £ £ * U i ^ > u 0 * ^ # l £ 3 ? r £ f t f c ^ ; f c f c ^ & 3 i # j t k * i 3 o

^ C t \ V- / = 5, V-cycle)

JAERl-Researeh 95-050

E ^ g * 1 H l f c t f f r & o / c ^ ^ { R l j O ^ - r r c A S ^ & U Iteration MGM) t 'E t t f i ?

(fw, AW) frWM-ttitt, si^r©MGMiH CPUmsam\{-n))£JKl£3-£-cv>5^ib-e&5o

1 Iteration MGM. 1 Iteration 5GM &1>* 5GM KBiL-CEfgfl? (x


[1] B. Coppi, J.M. Greene and J.L. Jhonson, "Resistive Instabilities in a Diffuse

Linear Pinch", Nuclear Fusion, 6 (1966), 101-117.

[2] &mw—> \mft&feK%:\r*®&


s \ R /p \s /

\ R / p \s /

V /p \s /

\ R / P

1.1 Y=1,|=4C^-r-5 1 ElOMGMCIcfcSJx^l

S : smoothing step, R : restriction of the defect E : exact solving at level 0, P : correction

1.2 7=2,1=4^^1"^ 1 UKAMGMCcfcSJ^

- 1 7 -


S

E

図 1.11=1，1=4に対する 1回のMGMによる反復

S : smoothing step， R : restriction of the defect E : exact solving at level 0， P : correction

図 1.2"1=2， 1=4に対する 1回のMGMによる反復

-17-

4

3

2

。

4

3

2

o

Start:

k


0.07

0.06

0.05

§ 0.04 "en

£ 0.03

0.02

0.01

0.00

- • — n1«1 (smoothing iteration]

-m— nl«2(smoothfng iteration]

- • — n«1 (coarse-grid correction)

O n2«1 (smoothing iteration)

- B — n2=2(smoothing iteration)

- e — n«2(coarse-grid correction)

3 4 5 Grid-Point N

8

TGMCC «fc %mn


Iteration Number

@4 MGMO)Eifc®&lZtt?& V-cycle£W-cycle

JAERl-Rcscarch 95-050

(Np511, lmax=8, (0=0.5, K = 0 . 5 , (os=1.7)

1.0 亙

50.8 2 ‘圃ε0.6 w E ←0.4 コ仏


- Solution vector ] j ^ s T ) ijjijjjjninjfijjjiiiitiiiijjinijiHliuijimigi!!!]

flilinlijîilîiiisliiiiiiiiiisHnliiiliHiispiisr !.!!i!|!!i!!j!!!!!)n!!!l^ (ijl||litjiili|i{ilij||iljl!i6j{ir

£ Iff3 o

i iff4

10 s

Iff6

.53

PJ!!i!!!!,!!!!!|!M"!!!P!!!!H' !"!!!,!!!'!'!!!r!!!!' ii!iiS!!i!!Ji!!Ii}l!|ll|!!i1|!iili!ll!!ii?|^!niMiâ3j§iiir

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10°

1 0 '

5 7 8 Iteration number

10 12 10"

) —«— Solution vector ] 1—G— s x l

1 0 ° !^nuitii!iii!tiimiti!ii|i;|||;|g;||||g|ps|;|i;r,j|!lifii:a

•Jx^

- Solution vector -SX.

10°

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10"

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10°

10*

10-

3 5 6 Iteration number

10 10-'

10"1

10-S

O

| 10"3

c o

1 0 -

10" !

10- '

8,

Solution vector | |—e— SK |

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fiîiiipififiiiiiiiiiiitLiiiiiiiiiliiinitiiniriiir •UHiHll̂ K^̂ î iniSIIEMUî MIUinilltl'lU t̂tiitHr

|i 11 ti i > if! i >• iif i i§§foi itisfisi4x!£$ iiii|!iisiiiiiiiiaiiiii||r H!!!!ll!J!!!m!!i!!l!w>6!«^^

M$n+»,SX)W%%: (Nr=511, X(0)=8.0, e=10-10, eMGM=10

5, K=0.5, (D=0.5)

£ m O 1 0 @ # 6 2 0 g $ ? 1 i l i L & 7 / e > a r > U 3 0 1 & ? £ 3 I I i & / h < * < & o T ^ 5 c .

- 2 2 -


10。郡明日明l!!!!!!!8!!!!2!!!lp'mpJ!IIーm~mー11ー0!11!捌100 1cP

10・2 1σ2 CFH ' ~

10・4 1(~'

106

(a) 1回目のNewton法の反復 (b) 2回目のNewton法の反復

|→-5..l 10・1

事iitijiEElmif似 i5552Zi:hstt::51mmi110・~~i・・・l・m・.-leh-1-1-1-t-1-1-1-1.h.t.1.1.1.1.m.-.a・t・t・H・・I ・iii~i;;;i;li~iiiiii;~ 100

255 103!!1jj!jjjfjjiijj!i!111iiiiiE21liiiliaiijjjjjjigsilii1102タ

a ち

co 104

~iiiiiiiiì，iiiiiiiiiiiiiiiiii五iiiiiijai-iiiiiK13首長~;iiiii~ 10.' 10・5

(c) 3回目のNewton法の反復 (d) 4回目のNewton法の反復

図6MGM (1=8→I=P， V-cycle)の反復回数に対する反復解(i(n+1) ， OA.)の残差

(NF511，入(0)=8.0，ε=10・10εMGM=10・5，lC=0.5， 00=0.5)

正(nは}の残差はほとんど一定の縮小率で減少している。一方、 δλの残差はNewton法の

反復の 1回目から 2固固まで振動しながら減少し、 3回目以後振動は小さくなっている。

-22ー


*— Solution vector

•*— Solution vector

Iteration number

®7 5GM (1=8-1=4, V-cycle)


a— Direct method I

CO

O in • a c

CO

O

CD

E

250

200

Grid number N,: 511 3000

5 100 -D. O

150 -

• ^ 1000 10"° 10_D 10"* 10"'

Accuracy

(N P 511, k(0,=8.0, eMGM=10* e5GM=10'

5, K = 0 . 5 , CO=0.5)

MGM&B&fe£ik'=0.5)

MGMは直接法と比べるとCPU時聞が約 10分の 1短く、 5GMは直接法と比べるとCPU時聞が約30分の 1短い。

-24-


•*— MGM

-•—4GM - B — Direct method j

-10

250 w

O "O c CO

O

CD

E

Q. O

TTTTTTT^ Accuracy : 10"

TTTTT"TTTTTTTTTTTTTTTT1 2500

2000

1500

1000

500

O "0 c: •—* 3 CD

cT Q . T CD r—1-

3 CD i—••

=r o Q. 77T

100 200 300 400 500 600 Grid number

MGM. 4GM (l=8-*I=5, V-cycle) S t f j t & i S t f ) ? x ) v Vmz&t3CPUf#f?fj=0.5)

So #(=Nf-511c7)fc*lCtiMGMti|S^JBfeJ:»;t)CPUB#^*^1 0 # t f > 1 & < s 4GM(i

- 2 5 -


|→ー Directmethod I |工yzi2500

(') 可

2000C

ヨ。1500 57

0. .， CD

1000 n ョ。::r O 0.

cn

500

250

200

150

50

100

す}20寸万戸』伺

202』O』

O

E一日コ仏

O

603 500 200 300 400 Grid number

100 O o

図9MGM、4GM(1=8→(=5， V-cyc[e)友ぴ直接法のグリッド数に対するCPU時間の依存性 (λ(0)=8.0，E=1 0・10εMGM=106，ε:4GM=10て1


Grid number N(: 511 S!U!i!U!!!!H!!!!!!!!l!!!!!UI!!!!!!:!l!!!!UU!

10°

io-2

-4 •a 1 0 CO

1 10" rr

10'8

1 0 - io

io-12

JJi I . . 1 I ittLJ

*—eigenvector of 11teration MGM •—eigenvalue of 11teration MGM

•eigenvector of 11teration 5GM •eigenvalue of 11teration 5GM

-s— eigenvector of 5GM -a— eigenvalue of 5GM

î»!S"!»*ii,'!!,l!'yM,!l!,,,!,Mr«!i,;llM'!!'"l!!l!l!i:,!,!i'!!'ii

liimiiwiiiiiiitiiwiiiiuiniiiiiiiijiiiiiiiiiniiiiiriiir]

jiiiiiiiiiimtmimmimnimimimiBmn tt:iiiiittii;itms:>iiitimuiiitiit;miisiiii!

PlPPPP!!S!!l vp :̂.::-.::.:!::::::-::::::-:::::-::::̂ 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Iteration number

010 1 Iterarion MGM. 1 IterarionSGMS^a^OSGMONewtonawS^lslff iclC*!-1" 3Kffl&GcM,A)


- * -5GM -s— 1 Iteration MGM -»— 11teration 5GM Grid number N,: 511

ico,

E =5 Q. O

10 :T3r:.«TTjiTT7iirnHrrni^iiian ̂ Hl1l«r7Ta,

10 •11 10- 10"7 10'5

Accuracy 10 ,-3 10 -1

HI11 11teration MGM. 11teration 5GM&Xf&%


80

70

60

S 5 0 CD

•I 40 § 3 0

20

10

0

—^-4GM • 0 1 Iteration MGM —•— 1 Iteration 4GM

! i I ! I T

1

Accuracy :10"10

I ) ! j { I

. . . . . . 1 . ^ . . . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . j . . . . . . . . . . . ^ . . . . . . . . . W T « . . . . . .^.. . _ . „

i I i I i i 0 100 200 300 400

Grid number 500 600

H12 11teration MGM, 11teration 4 G M S t l r j i ^ 0 4 G M O ^ U -y Kgac f t - r 3CPUB#H (Dft#14 a(0)=8.0, E=1 0'10, e4GM=10-

5, x=0.5, co=0.5)

i|$lCNf=51ia)fc*lCl±1 Iteration 4GM14 x 11teration MGM «fc »J fcft 1 3 & \ 4GMlCj:b

- 2 8 -


nununu

au『

rau

-e-4GM ーモトー1Iteration MGM ー+ー1Iteration 4GM

~50 0

~ 40 コち30

20

10

o 0 !~OO 200 300 400 500 600 Grid number

図121lteration MGM， 11teration 4GM友び通常の4GMのグリッド数に対するCPU時間の依存性 (λ(0)=8.0，E=1 0刊，ε'4GM=10.5，1¥:=0.5， (炉0.5)

特にNF511のときには11teration4GMは、 11terationMGMよりも約， 3秒、 4GMに比

べて約 30秒CPU時聞が短く、最も収束が速い。

-28ー


AXQ = \$O (A-l)

Kwsmm-xmx:

\ (A-M)x =6,

(x, £0) = 0 (A-2)

?{x, v) = - [x, (A - XI)x) - (x, b) + i/(x, x0) (A-3)

t ? ^ * 5 B C C U , i/f± Lagrange ©?f5^^|5["C«> So 5£ (A - 3) O&frfabz, i/»C

fchf-sifl^fis;: J ( A - AJ)x + i/x0 = 6, I {x,x0) = 0

£ n s o ^gst (A - 4) * f?»a:-es tm-rt

(A-4)

A - A W / x, Xo 0

X

1/ (A-5)

-c. ^gs; (A - 4) o» 4^ga; (A - 2) ©fi¥tt-8tf- 5o #gs; (A - 5) ©&*ff ^Jtts -ftm^:(9) ojŝ ffyy11̂ 1 cms,*u-c^sfc«^ i£*ff?iJ«ft?yt t-c

- 2 9 -


付録固有値問題に伴う特異方程式の解法

拡大行列を疎行列として扱える反復解法のアルゴPズムは、固有値問題に伴う特異方程式を解くととに適用できるととを示す。第2節で述べた行列 Aがエルミート

行列である固有値問題

に伴う特異方程式:

Axo=λE。

(山I)i=正(X'，Xo) = 0

を導く変分問題を考える。方程式 (A-2)に対する汎関数 :F(X'，ν)は

F川=い(A一入I)X')一川)+ν同)

(A-l)

(A-2)

(A-3)

で表せる。ととで、 νはLagrangeの未定定数である。式 (A-3)の変分からX，1/に対する 1次方程式:

(山糾1/Xo = b， (x，xo) = 0

(A・4)

を得る。方程式 (A-4)を行列形式で書き直すと

[ A -~(n) 1 ~O] [ ~ 1 = [日 (A・5)と在る。 5は可解条件を満たすため、方程式 (A-4)はν=0を解にもつ。したがって、方程式 (A-4)の解と方程式 (A-2)の解は一致する。方程式 (A-5)の拡大行

列は、方程式 (9)の拡大行列と同じ形式をしているため、拡大行列を疎行列として

扱える反復解法のアルゴリズムは、方程式(A-2)に適用する ζ とができるo

-29-

§&¥&!& (si) tm

m\ s\!f,4*tpi;Lts±vbm) --b;u->9Xl!i : / I /

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W/A C/V

V/A A/V

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14. • » . ft 'J , h ;l<

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7

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V

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A b

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Gal Ci

R rad r em

1 A=0.1nm=10-'°m

1 b=100fm2=10-'"m!

lbar^0.1MPa=10 sPa

1 Gal=lcm/s ' = 10 " m / s !

lCi=3.7xlO'°Bq

1 R=2.58x10"C/kg

1 rad = lcGy=10 'Gy

1 rem=lcSv=10 2Sv

(iUt

1 0 " 10'" 10" 10"

10'

10' 10' 10'

1 0 -

lO"1

10-'

to *

10 ' 10-"

10-'* 10"'"

t*Bfl.ft

X

*<

7-

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1 •*

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s. A h

h

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E P T

0 M k h dn

d

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n

P f

a

CrL)

1. ii 1 - 5 ( i r i«R! ' t l t t# ;J 35b (H. MRS

(dlilSlW 1985«r-W?rlCj;S0 fcfc'L. 1 eV

W t f 1 u Otfil± CODATA ffl 1986J|-:«L1S

2. ii 4 ICIi/Sn'V. / v K T - / K - N ? ?

CTIi'iflSLfco

3 b a r l i . J1STliififoOil'J]$:&t->i-i2>

ftlCffiO if< 2 (D A -r ^' U - ICi>ai5 l i t I >

• 5 .

4. ECfNIftfffi'lf^Kf-frTlibar. b a r n i - J ;

Ĉ rifnli:«'IM4j mm\\g%}J N(=10 s dyn)

1

9.80665

4 44822

kgr

0.101972

1

0 453592

Ibf

0.224809

2.20462

1

fA lft tPa-s (N. s /m ' )=10P(*TXKg/(cm.s) )

MfAffi I m !/s= 10'St( x I- - ? x ) (cmVs)

111

; j

MPa( = 10bnr)

1

0 0980665

0101325

1.33322 x 10-*

6 8 9 4 7 6 x 1 0 "

kgf/cm2

10.1972

1

1 03323

1.35951 x 1T 3

7.03070 x 10"!

a t m

9.86923

0.967841

1

1 31579 x 1 0 "

6 80460x10" '

mmHg(Tor r )

7.50062 x 10J

735.559

760

1

51.7149

lbf/in'Cpsi)

145 038

14 2233

14 6959

I 93368 x 10"

1

X

-K 1

IL •h

k III

J ( = 1 0 ' e r g )

1

9 80665

3.6 x 10"

418605

105506

1.35582

1 60218x10-"

kgf-m

0.101972

1

3.67098 x 1 0 s

0.426858

107.586

0.138255

1.63377 x 10-"

k \ V - h

277778x10- '

2.72407 x 10"6

1

1.16279X10"6

2.93072 x 10"'

3 76616x10" '

4.45050 x lO" ' 6

caiatia/j.) 0.238889

2.34270

8.59999 x 10s

1

252.042

0323890

3.827

Btu

9.47813x10"*

9.29487 x 10"'

3412.13

3 9 6 7 5 9 x 1 0 "

1

1 28506 x 1 0 "

M 8 5 7 x l 0 " !

ft • lbf

0 737562

7.23301

2.65522 x 10"

3 08747

778.172

1

1.18171 x l O " "

eV

6.24150 x 10'"

6.12082x10"

2 24694x10"

2.61272x 1(1"

6.58515 x 10"

8 46233 x 10"

1

leal = 4.18605 J (dUiM;)

= 4.184 J miff-')

= 4.1855 J (15 "C)

= 4.1868J(I1I»5U

1 A= 0.1 nm=IO-，om 1 b=100fm'=1O・28m2

1 bar"'O.1恥lPa=¥O'Pa

1 Ga¥=¥ cm/s'=IO-'m/s'

¥ Cl=3.7x¥0IOBq

1 R=2.58x ¥o"C/kg

1 rad ~ 1 cGy= 10 'Gy

1 rem= 1 cSv= 10 'Sv

f負 rI }<

エ J("，¥O' erg) kgfom kW・h ca¥(;l十rall‘) Btu Ct • ¥bf eV 平一一一Jt- 0.101972 277778 x 10-' 0.238889 9.47813 x 10-' 0737562 6.24150 x 10'" .1'

980665 l 2.72407 x ¥0-' 2.34270 9.29487x 10→ 7.23301 6.12082x 10" . fl 3.6 x 10' 3.67098 x 10' 8.59999 x tO' 3412.13 2.65522 x 10' 224694 x 10"

. 418605 0.426858 1.16279 X 10-6 396759 x 10-' 308747 2.61272x 1tI" 然'.¥ ¥05506 ¥07.586 2.93072 x ¥0-' 252.042 1 778.172 6.58515 x 11I"

1.35582 0.138255 376616 X ¥0-7 0323890 128506 x ¥0・3 846233x 10'・160218 x 10・H 1.63377)( 10・20 4.45050 X 10-26 3.82743 x 11' ミ1857X 10-22 1.18171 x 10-"

hえ

squu

KM白河

Ln"

Cl

2.70270 x ¥0-"

吸収納相川

¥00

1 cn¥ = 4.18日05J W r.hl，) = 4.184 J (?11ft'下)

= 4.1855 J (¥5・C)= 4.1868 J (国際!p.気炎)

11.・IH¥ 1 PS (仏.\'~}J)

= 75 kgf.m/s

= 735.499W

R

3876 ¥00

線tvIH川

rem

(86年 12j] 26日現在)

http://vA.fi

m

gc一伸一'Q「一旦

ZmgJoaによる固有値問題と特異方程式の数値解法

ー常微分方程式への適用!

multi-grid method multi-grid method£&&mwmt...3. 4 mgm 7 3. 5 simple example of the mgm 8 4....

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