multifractais josé garcia vivas miranda. que são multifractais; métodos de caracterização;...
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Multifractais
José Garcia Vivas Miranda
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Que são multifractais;
Métodos de caracterização;
autosimilaridade;
autoafinidade.
Transformada Wavelets
Aplicações;
Porosimetria;
Catalizadores;
T. Wavelets generalizada
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Multifractais
Se pensava que os fractais dariam conta da heterogeneidade na natureza.
Conceitos
0 200 400 600 800 1000
30
60
90
120
150
180
Substrato Partículas depositadas
Altu
ra
Largura
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Multifractais
Conceitos
Os multifractais são fractais cujas partes são outros fractais.
Os multifractais são fractais que exibem diferentes dimensões a diferentes escalas.
OU
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Multifractais
Como caracterizá-lo (Autosimilaridares)Consideremos um conjunto de dados cuja a medida sobre eles englobe o intervalo de
escalas J=[a,a+L].
1) Se divide o intervalo em sucessivos subintervalos de tamanho definido por:=1/2k, onde k=1,2,3,... (ex. =1/2,1/4,1/8...)
2) Para cada escala teremos um conjunto de medidas i(), onde o índice i representa a i-ésima partição de tamnaho .
3) O número de partições de tamanho será N()= 2k = -1. Ou seja, para uma escala =1/2 teremos 2 partições, para =1/4 teremos 4 e assim sucessivamente.
4) Se define o expoente de singularidade ou de Hölder para cada partição i como:
i()= i
i = log[i()]/ log()
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Multifractais
Como caracterizá-lo (Autosimilaridares)
5) O expoente representa a concentração da medida . Quanto maior menor a concentração da medida.
6) No caso da medida sobre o sistema apresentar heterogenidade, para cada partição i teremos um i diferente.
7) Se define o número de partições, para uma ecala , cujos respectivos i entejam em um intervalo entre e +d como N().
8) A medida terá um comportamento multifractal se no limite de 0 o scaling seja do tipo:
N() -f().onde f() representa a abumdância de partições com expoentes . Para um sistema
monofractal teremos sempre o mesmo para todas as partições, ou seja, N()= N()= -1, e assim f()=1.
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Multifractais
Exemplos de espectros f()
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
f()
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Multifractais
O método de Chhabra e Jensen (1989) 9) Os valores de f() e podem ser computados parametricamente atravéz do
parâmetro q:
(q) [i=1N() i(q,) log(i())]/log() (1)
f((q)) [i=1N() i(q,) log(i(q,))]/log() (2)
onde i(q,) = i()q/i=1N i()q, representando a probabilidade de que determinada
medida , em uma escala e para um determinado q, ocorra no conjunto de N partições.
O parâmetro q funciona como um filtro que selecionas regiões mais o menos "densas" de medida. Para valores de q >> 1 as medidas com maior magnitude serão ampliadas, e para q<<-1 serão ampliadas as grandezas menores.
O algoritmo consiste em, para cada valor de q, ajustar gráficos (1) e (2) ondeAssim temos para cada valor de q um e um f().
Relacionando o f() e o para um mesmo q, PARABIN PARABUM !!! temos o espectro de singularidade.
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Multifractais
Dimensões generalizadas.
ln
lnlim
1
10
iqi
q
p
qD
pi é a probabilidade de encontrar um ponto na i-ésima caixa.
q=0 Dimensão de contagem de caixasq=1 Dimensão de informação
q=2 Dimensão de correlaçãoq pode variar entre + e – infinito, continuamente.
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Multifractais
Como caracterizá-lo
quando q +infinito, apenas o subconjunto de maior probabilidade é levado em contaquando q -infinito, o subconjunto de menor probabilidade.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 70000,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Y
X
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 70000,0
0,2
0,4
0,6
Y
X
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Multifractais
Como caracterizá-lo (Multiafinidade)
.)(),( qqM
A soma dos momentos M
.~),( )(qqM
Sendo o sistema multifractal
ln
ln)(
i
qi
q
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Multifractais
Como caracterizá-lo (Multiafinidade)
Comparando com o obtido anteriormente.
ln
ln)(
i
qi
q
ln
lnlim
1
10
iqi
q
p
qD
qDqq )1()( Nos leva a:
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Multifractais
Transformada ondaletas (TO)
Primeira referência no apêndice da tese de A.Haar (1909) .
Primeira aplicação a processamento de sinais Stephane Mallat (1985).
Primeira aplicação a fractais A. Arneodo (1995).
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Multifractais
Transformada ondaletas
O que é a TO?
,)()(1
),( dxxfa
bxg
afbaTg
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Multifractais
Transformada ondaletas
...sim mais... o que é a TO?
Transformada ondaleta.
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Multifractais
Transformada ondaletas
TO e Fractais o MMTO
ln (T) x ln(a) local
Módulo Máximo da Transformada de Ondaletas (MMTO)
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Multifractais
Transformada ondaletas
Relação entre a TO e as dimensões generalizadas.
)( )',(|)]()[),((|sup),(
aLl
qlg
laxxfaabTaqM
.)(),( qqM
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Transformada ondaleta.
200 220 240 260 280 300 3200.0
0.5
1.0
1.5
2.0
b
log 1
0a
WTMM
600 800
0.0
0.6
1.2
q=0.6
z ´=log(abs(Wt)+1)
Location b
Sc
ale
a
Multifractais
Transformada ondaletas
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2 d=1/3
f()
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Multifractais
TO Generalizadas
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t
ii P
)(P)(p
t
ii R
)(R)(r
p)(pi
r)(ri
rp),(f
rprp ddL/~dd),(N rp
0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.200.80
0.85
0.90
0.95
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
P
H Arcilla
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.0
Multifractal conjunto (Joint Multifractal) (Charles et al, 1990, PRA)