multimedia para el aprendizaje de aplicaciones de la derivada en...
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Editorial
Multimedia para el Aprendizaje de Aplicaciones de la Derivada en Problemas de Optimización Autores:
Miguel Ángel López SantanaAna Luisa Estrada Esquivel
Marcial Heriberto Arroyo AvenaOscar Ariel Parra Ortiz
Cesar Humberto Arroyo Villa
Multimedia para el Aprendizaje de Aplicaciones de la Derivada en Problemas de
Optimización
Autores:Miguel Angel López Santana; [email protected] Luisa Estrada Esquivel; [email protected] Heriberto Arroyo Avena; [email protected] Ariel Parra Ortiz; [email protected] Humberto Arroyo Villa; [email protected]
Fuente: https://www.google.com.mx/search?q=aplicaciones+de+la+derivada+gif&espv=2&biw=931&bih=585&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwi7xeXag5HMAhWluIMKHdOWCFUQ_AUIBigB#imgrc=_2j4qR89p-q-FM%3A
Fuente: https://www.google.com.mx/search?q=aplicaciones+de+la+derivada+gif&espv=2&biw=931&bih=585&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwi7xeXag5HMAhWluIMKHdOWCFUQ_AUIBigB#imgrc=or-ixIBe0A9RKM%3A
Edición y Diseño: LeyssiYarelhi González Reyes
La Universidad y sus Estrategias de Vinculación es una publicación editada por la Universidad Tecnocientífica del Pacifico S.C., calle 20 de Noviembre, 75, Col. Mololoa, C.P. 63050. Tel. (31)1212-5253, www.tecnocientífica.com. Mayo
2016. Primera Edición digital. Tiraje: 50 ejemplares.
ISBN: 978-607-9488-05-5
Queda prohibida la reproducción total o parcial de los contenidos e imágenes de la publicación sin previa
autorización de La Universidad Tecnocientífica del Pacifico S.C.
Editorial
Multimedia para el Aprendizaje de Aplicaciones de la Derivada en Problemas
de Optimización
Presentación
En este material se presentan unarecopilación de actividades sobre aplicaciones de laderivada a máximos y mínimos de una función enforma analítica, a máximos y mínimos con razones decambio, a problemas de optimización deminimización y maximización.
Los autores
Índice
Aplicaciones de la derivada a máximos y mínimos de una función en forma analítica ……………………….
Aplicaciones de la derivada a máximos y mínimos con razones de cambio……………………………………..
Aplicaciones de la derivada para problemas de optimización de tipo minimización……………………..
Aplicaciones de la derivada para problemas de optimización de tipo maximización……………………..
Bibliografía……………………………………………………..
4
15
35
43
49
Cálculo Diferencial
Aplicaciones de la derivada a máximos y mínimos de una función
en forma analítica
Fuente: https://www.google.com.mx/search?q=maximos+y+minimos+gif&espv=2&biw=931&bih=585&tbm=isch&imgil=sSSnVMqmB_HaJM%253A%253B_Hz_mkSZOEN-PM%253Bhttp%25253A%25252F%25252Fcentros5.pntic.mec.es%25252Fies.de.melilla%25252FTrazado_Criterio_1deriv.htm&source=iu&pf=m&fir=sSSnVMqmB_HaJM%253A%252C_Hz_mkSZOEN-PM%252C_&usg=__sn--88eTG2RNVrS0pbLEk8P2DCU%3D&ved=0ahUKEwiH34yPgJHMAhWmvIMKHcyQCz0QyjcIIw&ei=ZA4RV4edN6b5jgTMoa7oAw#imgrc=WHM_tcKK_eRZqM%3A
4
Cálculo de Máximos y Mínimos (Criterio de la primera derivada)
Unas de las aplicaciones del cálculo diferencial se presenta
en los máximos y mínimos de una función, a continuación se
describe el criterio de la primera derivada:
1) Se deriva la función original.
2) Se iguala la derivada obtenida a cero y se procede a
obtener los valores críticos (se factoriza).
3) Se sustituye un valor próximo anterior y otro posterior al
valor crítico en la derivada:
Si en la sustitución nos dan signos de positivo a
negativo se trata de un máximo.
Si en la sustitución nos dan signos de negativo a
positivo se trata de un mínimo.
4) Se sustituye los valores críticos en la función original y se
procede a calcular las coordenadas finales.
5) Se bosqueja la función como forma de comprobación.
Cálculo Diferencial
5
Ejercicio: Mediante el criterio de la primera derivada resolver.
393)( 23 xxxxf
963)(' 2 xxxf)1
0963 2 xx)2
Se puede utilizar cualquier
método para factorizar. Como
es una función cuadrática se
puede usar la formula general.
02 cbxax
a
acbbx
2
42
Los valores son:
3a 6b 9c
)3(2
)9)(3(466 2
1
x
Calculando los valores críticos:
)3(2
)9)(3(466 2
2
x
1
3
)3 Para x = +1 en la derivada:
x 963)(' 2 xxxf
0
2
9)0(6)0(3 2
9)2(6)2(3 2
Es un
Mínimo
Cálculo de Máximos y Mínimos (Criterio de la primera derivada)
Cálculo Diferencial
6
Sustituyendo los valores críticos en la
función original y calculando los
valores finales.
2,1
)3 Para x = -3 en la derivada:
x 963)(' 2 xxxf
4
2
9)4(6)4(3 2
9)2(6)2(3 2
Es un Máximo
)4
3)1(9)1(3)1()( 23 xfPara x = +1
2)( xfCoordenada:
30,3
3)3(9)3(3)3()( 23 xf
Para x = -3
30)( xfCoordenada:
MáximoMínimo
3931)( xf 3272727)( xf
Cálculo de Máximos y Mínimos (Criterio de la primera derivada)
Cálculo Diferencial
7
)5 Bosquejo de la grafica: 393)( 23 xxxxf
2,1 Mínimo
30,3 Máximo
Cálculo de Máximos y Mínimos (Criterio de la primera derivada)
Cálculo Diferencial
8
12073
2)( 23 xxxxf
5362
3)( 23 xxxxf
10702
25
3
5)( 23 xxxxf
15003
5)( 3 xxxf
10152
17
3
4)( 23 xxxxf
38219)( 23 xxxxf
41232)( 23 xxxxf
20152)( 23 xxxxf
322)( xxxf
23 4)( xxxf
1602
135
2)(
23
4
xx
xx
xf
51402
57
3
32
4
3)(
234
xxxx
xf
Cálculo de Máximos y Mínimos (Criterio de la primera derivada)
Ejercicios Propuestos.
Cálculo Diferencial
9
Máximos y mínimos de una función, a continuación se describe el criterio de
la segunda derivada:
1) Se deriva la función original.
2) Se iguala la derivada obtenida a cero y se procede a
obtener los valores críticos (se factoriza).
3) Se deriva por segunda vez la función. Sustituir los valores
críticos en la segunda derivada.
• Si f’’(x)<0 se tiene un máximo.
• Si f’’(x)>0 se tiene un mínimo.
4) Se sustituye los valores críticos en la función original y se
procede a calcular las coordenadas finales.
5) Se bosqueja la función como forma de comprobación.
Cálculo de Máximos y Mínimos (Criterio de la segunda derivada)
Cálculo Diferencial
10
Ejercicio: Mediante el criterio de la segunda derivada resolver.
393)( 23 xxxxf
963)(' 2 xxxf)1
0963 2 xx)2
Se puede utilizar cualquier
método para factorizar. Como
es una función cuadrática se
puede usar la formula general.
02 cbxax
a
acbbx
2
42
Los valores son:
3a 6b 9c
)3(2
)9)(3(466 2
1
x
Calculando los valores críticos:
)3(2
)9)(3(466 2
2
x
1
3
)3 Segunda derivada:
963)(' 2 xxxf
66)('' xxf
Cálculo de Máximos y Mínimos (Criterio de la segunda derivada)
Cálculo Diferencial
11
Sustituyendo los valores críticos en la
función original y calculando los
valores finales.
2,1
)3 Para x = 1 y x = -3 en la segunda derivada:
x 66)('' xxf
1
3
6)1(6
6)3(6 12
12
f’’(x)<0 Es un Máximo
)4
3)1(9)1(3)1()( 23 xfPara x = +1
2)( xfCoordenada:
30,3
3)3(9)3(3)3()( 23 xf
Para x = -3
30)( xfCoordenada:
MáximoMínimo
3931)( xf 3272727)( xf
f’’(x)>0 Es un Mínimo
Cálculo de Máximos y Mínimos (Criterio de la segunda derivada)
Cálculo Diferencial
12
)5 Bosquejo de la grafica: 393)( 23 xxxxf
2,1 Mínimo
30,3 Máximo
Cálculo de Máximos y Mínimos (Criterio de la segunda derivada)
Cálculo Diferencial
13
12073
2)( 23 xxxxf
5362
3)( 23 xxxxf
10702
25
3
5)( 23 xxxxf
15003
5)( 3 xxxf
10152
17
3
4)( 23 xxxxf
38219)( 23 xxxxf
41232)( 23 xxxxf
20152)( 23 xxxxf
322)( xxxf
23 4)( xxxf
1602
135
2)(
23
4
xx
xx
xf
51402
57
3
32
4
3)(
234
xxxx
xf
Cálculo de Máximos y Mínimos (Criterio de la segunda derivada)
Ejercicios Propuestos.
Cálculo Diferencial
14
Cálculo Diferencial
Aplicaciones de la derivada a máximos
y mínimos con razones de cambio
15
La base del estudio de los límites y en consecuencia de la derivada, sedebe ver por medio del análisis de las razones de cambio o de losincrementos como por ejemplo: En longitud, área, volumen,temperatura, masa, tiempo, precios, etc.
Razón de cambio
Cálculo Diferencial
16
Analizando las razones en el llenado de recipientesrespecto al volumen y altura.
En el caso de un cilindro si se tiene un gasto constante, se puede observarla relación volumen de líquido y altura del recipiente.
Gasto
Constante
h
Volumen
Altura
Recta
Razón de cambio
Cálculo Diferencial
17
Analizando las razones en el llenado de recipientesrespecto al volumen y altura.
En el caso de un cono cilíndrico si se tiene un gasto constante, se puedeobservar la relación volumen de líquido y altura delrecipiente.(Pirámide).
Gasto
Constante
h
Volumen
Altura
Exponencial
Razón de cambio
Cálculo Diferencial
18
Analizando las razones en el llenado de recipientesrespecto al volumen y altura.
En el caso de un cono cilíndrico si se tiene un gasto constante, se puedeobservar la relación volumen de líquido y altura del recipiente (Pirámideinvertida).
Gasto
Constante
h
Volumen
Altura
Logarítmica
Razón de cambio
Cálculo Diferencial
19
Analizando las razones en el llenado de recipientesrespecto al volumen y altura.
En el caso de una esfera si se tiene un gasto constante, se puedeobservar la relación volumen de líquido y altura del recipiente.
Gasto
Constante
h
Volumen
Altura
Cúbica
Razón de cambio
Cálculo Diferencial
20
En la vida diaria se determinan razones decambio de diversas situaciones de tiponatural, Económico, Social. Situaciones enlas que nos interesa conocer cuál es el máspequeño (mínimo) o más grande (máximo)valor, como aumenta (crece) o disminuye(decrece) ese valor, en un intervalo detiempo específico, en general problemasdonde se estudian fenómenos relativos a lavariación de una cantidad que depende deotra, por lo que se hace necesario describir ycuantificar estos cambios a través demodelos matemáticos, gráficas y tablas.
Razón de cambio
Cálculo Diferencial
21
Veamos el ejemplo de la producción de acero en Monterrey N.L.(México) en millones de toneladas, durante el año de 1992 apartir del mes de enero se muestra en la tabla.
Meses ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC
Producción en millones
de toneladas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6.7 8.5 8.9 7.8 9.7 10.5 9.3 11.2 8.8 11.7 11.5 11.9
1) Tomando valores consecutivos, ¿Para qué intervalo demeses la producción de acero fue mayor y de cuánto fue?
2) ¿Podrías calcular con una muy buena aproximación, quéproducción hubo el 15 de junio?
Razón de cambio
Cálculo Diferencial
22
Observando la Gráfica:
ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Producción en millones
de toneladas
Razón de cambio
Cálculo Diferencial
23
El tiempo total necesario para detener un automóvil después depercibir un peligro, se compone del tiempo de reacción (tiempoentre el reconocimiento del peligro y la aplicación del freno). Lagráfica muestra las distancias de parada en metros (distancianecesita para detenerse totalmente) de un automóvil que viaja alas velocidades V(m/seg) desde el instante que se observa elpeligro. Una compañía que fabrica autos realiza pruebas concoches manejados a control remoto y para garantizar que estostienen distancia promedio de parada aceptables se plantean lassiguientes cuestiones:
Si un automóvil viaja a una velocidad de 40 m /seg y en esosmomentos esta colocada una barda a 14.0 mts. frente a él, alaplicar el freno ¿choca el auto contra la barda? ¿Por qué?
Razón de cambio
Cálculo Diferencial
24
Observando la Gráfica:
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Velocidad en m/seg
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Distancia
Velocidad 0 m/s 5 m/s 10 m/s 15 m/s 20 m/s 25 m/s 30 m/s 35 m/s
Distancia (m) 0 0.9 1.6 2.7 4.1 6.2 8.8 11.9
Razón de cambio
Cálculo Diferencial
25
Para determinar el tiempo promedio defrenado para puntos consecutivos se utiliza:
Velocidad = Cambio en la distancia
Cambio en la velocidad______________________
Esta relación entre el cambio en la distanciay el cambio en la velocidad es una razón decambio o de incrementos. Esto también sele conoce como un limite o derivada de unafunción.
Razón de cambio
Cálculo Diferencial
26
Ejercicio: Un jugador de football soccer, patea un balón en un tiro libre directo hacia la
portería contraria; si el balón sigue una trayectoria dada por la función 𝑓 𝑥 = −𝑥2
12+
2𝑥; dada en metros. Si se sabe que la velocidad del pie del jugador es de 50 𝑚 𝑠𝑒𝑔,(𝑓′ 0 = 50), calcular:
a) La altura máxima que alcanza el balón.b) El alcance máximo horizontal del balón.c) La velocidad del balón en el aire.
Razón de cambio
El esquema es:
Calculando la derivada de la función, en este casotomando como variable independiente a “x”:
212
2'
xxf
026
x
26
' x
xf
Igualando la derivada acero y despejando a “x”:
62
x
x62
mx 12
Calculando la altura máxima “y", sustituyendo “x”:
12212
1212
2
f
2412
14412 f
mf 1212
El alcance es de 24 metros
Cálculo Diferencial
27
Ejercicio: Un jugador de football soccer, patea un balón en un tiro libre directo hacia la
portería contraria; si el balón sigue una trayectoria dada por la función 𝑓 𝑥 = −𝑥2
12+ 2𝑥;
dada en metros. Si se sabe que la velocidad del pie del jugador es de 50 𝑚 𝑠𝑒𝑔, (𝑓′ 0 =50), calcular:a) La altura máxima que alcanza el balón.b) El alcance máximo horizontal del balón.c) La velocidad del balón en el aire.
Calculando la velocidad del balón mediante la derivadade la función, en este caso tomando como variableindependiente a “t”:
dt
dx
dt
dxxxf 2
12
2'
Despejando el dx/dt y sustituyendo x=0, f’(0)=50:
12,12Coordenada
Alcance 24 metros
El esquema es:
2
6'
x
dt
dxxf
dt
dx
dt
dxxxf 2
6'
26
'
x
xf
dt
dx
26
0
50
2
50
seg
m
dt
dx25
hr
km
dt
dx90
Cálculo DiferencialRazón de cambio
28
Ejercicio: Un jugador de basketball, lanza un balón en un tiro de tres puntos hacia lacanasta contraria; si el balón sigue una trayectoria dada por la función 𝑓 𝑥 =
−3𝑥2
20+
4𝑥
3; dada en metros. Si se sabe que la velocidad de las manos del jugador es de
10 𝑚 𝑠𝑒𝑔, (𝑓′ 0 = 10), calcular:a) La altura máxima que alcanza el balón.b) El alcance máximo horizontal del balón.c) La velocidad del balón en el aire.
El esquema es:
Calculando la derivada de la función, en este casotomando como variable independiente a “x”:
3
4
20
6'
xxf
03
4
10
3
x
3
4
10
3'
xxf
Igualando la derivada acero y despejando a“x”:
10
3
3
4 x
x33
104
mmx 44.49
40
Calculando la altura máxima “y", sustituyendo “x”:
9
40
3
4
20
9
403
9
40
2
f
27
160
27
80
9
40
f
mmf 96.227
80
9
40
El alcance es de 8.88 metros
Cálculo DiferencialRazón de cambio
29
Ejercicio: Un jugador de basketball, lanza un balón en un tiro de tres puntos hacia lacanasta contraria; si el balón sigue una trayectoria dada por la función 𝑓 𝑥 =
−3𝑥2
20+
4𝑥
3; dada en metros. Si se sabe que la velocidad de las manos del jugador es
de 10 𝑚 𝑠𝑒𝑔, (𝑓′ 0 = 10), calcular:a) La altura máxima que alcanza el balón.b) El alcance máximo horizontal del balón.c) La velocidad del balón en el aire.
Calculando la velocidad del balón mediante la derivadade la función, en este caso tomando como variableindependiente a “t”:
dt
dx
dt
dxxxf
3
4
10
3'
Despejando el dx/dt y sustituyendo x=0, f’(0)=10:
3
4
10
03
10
seg
m
seg
m
dt
dx5.7
2
15
hr
km
dt
dx27
dt
dx
dt
dxxxf
3
4
20
6'
3
4
10
3'
x
dt
dxxf
3
4
10
3
'
x
xf
dt
dx
3
41
10
4
30
Cálculo DiferencialRazón de cambio
30
Ejercicio: Un coreback de football Americano, lanza el balón hacia el receptor; si el
balón sigue una trayectoria dada por la función 𝑓 𝑥 = −𝑥2
98+
2𝑥
7; dada en metros. Si se
sabe que la velocidad de las manos del jugador es de 7 𝑚 𝑠𝑒𝑔, (𝑓′ 0 = 7), calcular:a) La altura máxima que alcanza el balón.b) El alcance máximo horizontal del balón.c) La velocidad del balón en el aire.
El esquema es:
Calculando la derivada de la función, en estecaso tomando como variable independiente a“x”:
7
2
98
2'
xxf
07
2
49
x
7
2
49'
xxf
Igualando la derivada acero y despejando a “x”:
497
2 x
x
7
249
mx 14
Calculando la alturamáxima “y", sustituyendo“x”:
7
142
98
1414
2
f
7
28
98
19614 f
mf 214
El alcance es de 28 metros
Cálculo DiferencialRazón de cambio
31
Ejercicio: Un coreback de football Americano, lanza el balón hacia el receptor; si el
balón sigue una trayectoria dada por la función 𝑓 𝑥 = −𝑥2
98+
2𝑥
7; dada en metros.
Si se sabe que la velocidad de las manos del jugador es de 7 𝑚 𝑠𝑒𝑔, (𝑓′ 0 = 7),calcular:a) La altura máxima que alcanza el balón.b) El alcance máximo horizontal del balón.c) La velocidad del balón en el aire.
Calculando la velocidad del balón mediante la derivadade la función, en este caso tomando como variableindependiente a “t”:
dt
dx
dt
dxxxf
7
2
49'
Despejando el dx/dt y sustituyendo x=0, f’(0)=10:
dt
dx
dt
dxxxf
7
2
98
2'
7
2
49'
x
dt
dxxf
7
2
49
0
7
seg
m
seg
m
dt
dx5.24
2
49
hr
km
dt
dx2.88
7
2
49
'
x
xf
dt
dx
7
21
7
2
49
Cálculo DiferencialRazón de cambio
32
Ejercicio: Un Pitcher, lanza la bola hacia el bateador; si la bola sigue una trayectoria
dada por la función 𝑓 𝑥 = −8𝑥2
4225+
16𝑥
65; dada en metros. Si se sabe que la velocidad
del bate y de la bola combinados generan un impulso de 10 𝑚 𝑠𝑒𝑔 (𝑓′ 0 = 10), yla valla fina está a 121.92 metros del bateador, calcular:a) La altura máxima que alcanza la bola.b) El alcance máximo horizontal de la bola.c) La velocidad del balón en el aire.
El esquema es:
Calculando la derivada de la función, en este casotomando como variable independiente a “x”:
65
16
4225
16'
xxf
065
16
4225
16
x
Igualando la derivada acero y despejando a “x”:
4225
16
65
16 x
x1665
422516
mx 65
Calculando la alturamáxima “y", sustituyendo“x”:
65
6516
4225
65865
2
f
65
1040
4225
3380065 f
mf 865
El alcance es de 130 metros
Cálculo DiferencialRazón de cambio
33
Ejercicio: Un Pitcher, lanza la bola hacia el bateador; si la bola sigue una trayectoria dada
por la función 𝑓 𝑥 = −8𝑥2
4225+
16𝑥
65; dada en metros. Si se sabe que la velocidad del bate y
de la bola combinados generan un impulso de 10 𝑚 𝑠𝑒𝑔 (𝑓′ 0 = 10), y la valla fina está a121.92 metros del bateador, calcular:a) La altura máxima que alcanza la bola.b) El alcance máximo horizontal de la bola.c) La velocidad del balón en el aire.
Calculando la velocidad del balón mediante la derivadade la función, en este caso tomando como variableindependiente a “t”:
Despejando el dx/dt y sustituyendo x=0, f’(0)=10:
dt
dx
dt
dxxxf
65
16
4225
16'
65
16
4225
16'
x
dt
dxxf
65
16
4225
016
10
seg
m
seg
m
dt
dx625.40
8
325
hr
km
dt
dx25.146
65
16
4225
16
'
x
xf
dt
dx
65
161
10
dt
dx
16
650
8
325
Razón de cambio
Cálculo Diferencial
34
Cálculo Diferencial
Aplicaciones de la derivada para problemas de optimización de tipo
minimización
35
Ejercicio: Una empresa desea fabricar una caja de cartulina con capacidad de 108 cm³, cuya formadebe ser la de un prisma cuadrangular, ¿Qué medidas debe tener la caja para ocupar la mínimacantidad de material de fabricación?, y así reducir los costos.
Optimización.
Formula del volumen:El esquema es:
x
La expresión es implícita paraconvertirla en explicita, se despejala variable “y”:
yxxv
yx
2
108
24 xxya
2432x
xa
x
y
y
y
y
x
xy
3108cmv
yx2108
Ahora se necesita conocer el áreadel prisma (superficie de lacartulina):
24 xxya
Sustituir “y” en el área:
2
2
1084 x
xxa
Se deriva la expresión en amboslados de la igualdad:
21432 xxa
1211 24321' xxa
xxa 2432' 2
Se iguala a cero la derivada y sedespeja la variable “x”:
xx 24320 2
xx
2432
2
32432 x
3
2
432x
3216 x
x6
3 33 216 x
Cálculo Diferencial
36
Ejercicio: Una empresa desea fabricar una caja de cartulina con capacidad de 108 cm³,cuya forma debe ser la de un prisma cuadrangular, ¿Qué medidas debe tener la cajapara ocupar la mínima cantidad de material de fabricación?, y así reducir los costos.
Optimización.
El esquema es:
x x
y
y
y
y
x
xy
3108cmv
Comprobando si es el mínimo dematerial (Segunda derivada, x=6):
xxa 2432' 2
1112 24322" xxa
2864" 3 xa
2864
"3
xa
26
8646"
3a
2216
8646" a
246" a
66" a
Como el resultado espositivo es unmínimo, si resultanegativo es unmáximo.
Calculando la altura de la caja “y”:
yx2108
y2
6108
y36108
y36
108
y3
cm6 cm6
cm3
Entonces las medidas optimas paraminimizar la cantidad de cartulina enla fabricación de la caja es:
3108cmv
Máximoxf
Mínimoxf
0"
0"
Cálculo Diferencial
37
Se quiere construir un envase cilíndrico, hecho de lamina. El volumen del cilindrodeberá ser de 64cm³; Encontrar las dimensiones que debe tener para que la cantidad delámina empleada sea la mínima.
Optimización (Ejercicios de minimizar).
h
r
364cmv
hrv 2
364cmv
Formula del volumen:
hr 264 La expresión es implícitapara convertirla enexplicita, se despeja lavariable “h”:
2
64
rh
Ahora se necesita conocer el áreadel prisma (superficie de la lámina):
hrrA 22 2
h
r
rd 2
rhrA 22 2 dP Sustituir “h” en el área:
2
2 6422
rrrA
rrA
1282 2
Se deriva la expresión en ambos ladosde la igualdad:
1112 128122' rrA
12 1282 rrA
21284' rrA
Se iguala a cero la derivada y sedespeja la variable “r”:
2
12840
rr
rr
4128
2
34128 r
3
4
128r
r3
4
128
cmr 16.2
Comprobando si es el mínimo dematerial (Segunda derivada, r=2.16):
1212824" rA 32564" rA
3
2564"
rA
316.2
2564" A
Cálculo Diferencial
38
Se quiere construir un envase cilíndrico, hecho de lamina. El volumen del cilindrodeberá ser de 64cm³; Encontrar las dimensiones que debe tener para que la cantidadde lámina empleada sea la mínima.
Optimización (Ejercicios de minimizar).
cm36.4
cm16.2
364cmv
97.37"A
Como el resultado es positivo es unmínimo, si resulta negativo es unmáximo.
Máximoxf
Mínimoxf
0"
0"
2
64
rh
Calculando la altura del cilindro “h”:
216.2
64
h
cmh 36.4
Entonces las medidas optimas para minimizarla cantidad de cartulina en la fabricación de lacaja es:
Cálculo Diferencial
39
Encuentre las dimensiones de un cono circular recto de volumen mínimo que se puedacircunscribir en una esfera de radio “r”.
Optimización (Ejercicios de minimizar).
r
3
2hrv
r
ry
x
ry22
Formula del volumen del conode radio “r=x” y “h=y+r”:
La expresión es implícitapara convertirla enexplicita, se despeja lavariable “x”:
Ahora se sustituye“x²” en el volumen:
Se deriva la expresión en amboslados de la igualdad (el radio es unaconstante, solo “v” y “y” sonvariables):
y
x
r
x
r
y
Teorema de Pitágoras:
222 COry 222 COry
COry 22
CO
Teorema de Tales:
3
2 ryxv
h
h
22 ryxryr
x
ry
ryr
22
2
22
22
xry
ryr
3
22
22
ryry
ryr
v
22
32
3 ry
ryrv
Cálculo Diferencial
40
Encuentre las dimensiones de un cono circular recto de volumen mínimo que sepueda circunscribir en una esfera de radio “r”.
Optimización (Ejercicios de minimizar).
Se iguala a cero la derivada y se despeja la variable “y”:
22
32
3 ry
ryrv
222
32222 23
3'
ry
yryryryrv
222
2222 23
3'
ry
ryyryryrv
222
22222 2233
3'
ry
ryyryryrv
222
2222 32
3'
ry
rryyryrv
222
2222 32
30
ry
rryyryr
2222 320 rryyryr
La condición es: у≠г; y≠-г; factorizando elpolinomio del lado derecho mediante la búsquedade dos números que multiplicados den el tercertermino y a l mismo tiempo sumados den elsegundo termino.
ryryry 302
ry
ry
3
03
Se puede deducir:
ry
ry
ry
0
02
ry
ry
0
Cálculo Diferencial
41
Encuentre las dimensiones de un cono circular recto de volumen mínimo que se puedacircunscribir en una esfera de radio “r”.
Optimización (Ejercicios de minimizar).
r
Ahora a comprobar en donde la derivada espositiva o negativa:
y
x
rh 4
222
22 3
3'
ry
ryryryrv
ryry 4;2
222
32 3
3'
ry
ryryrv
Se busca sustituir un valor menor y otromayor al valor critico:
222
32
2
32
3
2'
rr
rrrrrv
222
32
43
3'
rr
rrrv
22
5
33
27'
r
rrv
2' rv
222
32
4
34
3
4'
rr
rrrrrv
222
32
163
5'
rr
rrrv
4
6
27
5'
r
rv
768
125'
2rv
Como los signos muestran quela derivada tiende de menos amas, significa que es mínimo.
Entonces las medidasoptimas son:
r3
Cálculo Diferencial
42
Cálculo Diferencial
Aplicaciones de la derivada para problemas de optimización de tipo
maximización
43
Ejercicio: Una ventana tiene forma de medio punto (medio circulo). Encuentre lasdimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz, siel perímetro de la misma debe ser de 10 metros.
Optimización.
El esquema es:
Calculando el área de la ventana(Rectángulo + Medio circulo):
y
Calculando el perímetro:
mP 10
2
2
2
x
yxA
x
y
102
xyyx
1022
2
y
xx
8
2xxyA
De la ecuación del perímetro sedespeja la variable “y”, parasustituirla en el área.
2
2102
xy
2
2202
xy
22
220
x
y
4
220
xy
Sustituyendo “y”:
84
220 2xxxA
2x
102
2
2
y
x
84
220 22 xxxA
84
220 222 xxxxA
8
2202 222 xxxxA
Cálculo Diferencial
44
Ejercicio: Una ventana tiene forma de medio punto (medio circulo). Encuentre lasdimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz, si elperímetro de la misma debe ser de 10 metros.
Optimización.
El esquema es:
y
mP 10
x
y
Obteniendo la primera derivada, seiguala a cero y se calcula el valorcritico de “x”:
2x8
2440 222 xxxxA
8
440 22 xxxA
8
440 2
xxA
4408
1 2xxA
xA 42408
1'
x 42408
10
x 42400
4042 x
42
40x
mx 8.2
Calculando la segundaderivada:
428
1"A
Como el resultado es negativo es un máximo,si resulta positivo es un mínimo.
Máximoxf
Mínimoxf
0"
0"
78.1" A
Cálculo Diferencial
45
Ejercicio: Una ventana tiene forma de medio punto (medio circulo). Encuentre lasdimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz,si el perímetro de la misma debe ser de 10 metros.
Optimización.
mP 10
m8.2
m4.1
m4.1
Calculando la altura de laventana:
4
220
xy
4
28.220 y
my 4.1 m4.1
Las dimensiones quedan:
Cálculo Diferencial
46
Ejercicio: Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un triangulo equilátero.Encuentre las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entradade luz, si el perímetro de la misma debe ser de 12 metros.
Optimización.
El esquema es: Calculando el área de la ventana(Rectángulo + Triangulo):
y
Calculando el perímetro:
mP 12
4
32xyxA
x
xx
y
12 xxyyx
1223 yx
2
4
3xxyA
De la ecuación del perímetro sedespeja la variable “y”, parasustituirla en el área.
xy 3122
2
312 xy
2
3
2
12 xy
2
36
xy
Sustituyendo “y”:
2
4
3
2
36 x
xxA
22
4
3
2
36 xxxA
22 433.05.16 xxxA 2067.16 xxA
Obteniendo la primera derivada, se iguala acero y se calcula el valor critico de “x”:
xA 134.26'
x134.260
6134.2 x
134.2
6x
mx 81.2
Cálculo Diferencial
47
Ejercicio: Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un trianguloequilátero. Encuentre las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita lamáxima entrada de luz, si el perímetro de la misma debe ser de 12 metros.
Optimización.
m78.1
Calculando la segundaderivada:
mP 12
m81.2
Calculando el valor de “y”:
134.2" A
Como el resultado es negativo es un máximo,si resulta positivo es un mínimo.
Máximoxf
Mínimoxf
0"
0"
2
36
xy
2
81.236y
my 785.1
Las dimensiones quedan:
m78.1
m81.2m81.2
Cálculo Diferencial
48
Cálculo Diferencial
Bibliografía.
1. Larson, Ron. Matemáticas 1 (Cálculo Diferencial), McGraw-Hill, 2009.2. Purcell, Edwin J. Cálculo, Editorial Pearson, 2007.3. Ayres, Frank. Cálculo, McGraw-Hill, 2005.4. Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Oxford UniversityPress, 2009.5. Granville, William A. Cálculo Diferencial e Integral, Editorial Limusa, 2009.6. Hasser, Norman B. Análisis matemático Vol. 1, Editorial Trillas, 2009.7. Courant, Richard. Introducción al cálculo y análisis matemático Vol. I, EditorialLimusa, 2008.
49