multiplicación de números fraccionarios prof. josé mardones c. e-mail: [email protected]
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Observación:
Por la dificultad que se presenta en escribir los números fraccionarios, en algunas ocasiones se usa la siguiente notación:
Ejemplo
5
95 9
Multiplicación de un número fraccionario por un número natural
Lee cuidadosamente los siguientes problemas:
a) La señora Flavia compra 5 grandes frascos de mermelada, cada uno de los cuales pesa 2 kg. ¿Cuánto pesa la compra?, ¿qué operación efectúas para calcularlo?
b) Don Leonardo compró 5 paquetes de té; cada paquete pesa 3/16 kg. ¿Cuánto pesa la compra?, ¿cómo lo calculaste?
La situación planteada en ambos problemas es muy similar y se resuelven del mismo modo.
En el primero de ellos, se efectúa una multiplicación:
5 2 10 ( )kg kg
2 2 2 2 2 10 kg kg kg kg kg kg o bien, sumando repetidamente:
El segundo problema se resuelve de la misma manera; es decir, multiplicando:
53
16
kg ?
Si no sabes efectuar esta operación, puedes recurrir a sumar 5 sumandos iguales a tres dieciséis avos.
3
16
3
16
3
16
3
16
3
16
15
16
3
16
3
16
3
16
3
16
3
16
15
16
53
16
Entonces
Es equivalente a
53
16
15
16
Es decir:
Lo anterior sugiere una forma de enfrentar de manera general el problema de multiplicar un número natural por un número fraccionario.
Si n representa un número natural cualquiera y a/b , cualquier número fraccionario, entonces:
na
b
a
b
a
b
a
b ...
a a a
b
...
n ab
, n sumandos
Como esto es cierto para cualquier número natural se obtiene la siguiente regla:
, n sumandos
na
b
n ab
Regla
Para multiplicar un número natural n por un número fraccionario a/b, se multiplica el número natural por el numerador y se conserva el denominador:
Regla 1
Ejemplo:
Don Leonardo compró 5 paquetes de té; cada paquete pesa 3/16 kg. ¿Cuánto pesa la compra?
Solución:
53
16
5 3
16
15
16
Respuesta: La compra pesa quince dieciséis avos de un kg.
Neutro multiplicativo
1 a
b
Si a/b es un número fraccionario cualquiera, se tiene:
1
a
ba
b1 es el neutro multiplicativo en las fracciones
1 es neutromultiplicativo en los naturalesRegla 1
A partir de estos resultados, y aplicando algunas propiedades de la multiplicación de naturales y de la igualdad, se puede obtener otra importante conclusión.
53
16
5 3
16
Propiedad conmutativaRegla 1
Regla 1
3 5
16
3
5
16
Propiedad transitivade la igualdad
Estas expresiones representan lo mismo
53
16 3
5
16
Se concluye que:
Observa cómo esta conclusión puede comprobarse gráficamente:
53
16
3
16
3
16
3
16
3
16
3
16
5 3
16
15
16
35
16
5
16
5
16
5
16
3 5
16
15
16
na
b a
n
b
En general, si a/b es un número fraccionario cualquiera y n un número natural, entonces
Describe con tus palabras esta regla.
Regla 2
Ejemplo:
Calcula el valor de la siguiente expresión:
1805
6
1805
6
Solución:
Respuesta: El valor de la expresión es 150.
5180
6 5 30 150
Fracción de una cantidad
Lee cuidadosamente cada una de las siguientes situaciones:
1) “De una caja de galletas, Juanito repartió dos tercios de las galletas entre sus amigos”.
2) “Las tres cuartas partes de la superficie terrestre están cubiertas por los mares”.
3) “Ese día faltó la tercera parte de los alumnos del curso”
El cálculo correspondiente a situaciones de este tipo, puede hacerse a partir de la definición de fracción.
En el primer caso el total de galletas se divide en tres partes iguales y luego se eligen dos de ellas.
En el segundo caso la medida de la superficie terrestre se divide en cuatro partes iguales y luego se eligen tres de ellas.
En el tercer caso basta dividir el número de alumnos en tres partes iguales.
En general, la fracción a/b de la cantidad n se obtiene con:
a
bn n b a ( )
n
ba
Describe con tus palabras esta definición.
Regla 3
3
82
3
8
3
8
2
83
23
8
Definición defracción
Fracción de unacantidad
6
8
JUSTIFICACIÓN GRÁFICA
Dos enteros
Ejemplo
El número de alumnos de un curso es 45; si falta dos noveno del alumnado del curso, ¿cuál es el número de alumnos ausentes?
Solución:El problema se reduce a calcular
2
945
45
92 5 2 10
Respuesta: Hay diez alumnos ausentes.
1
21
1
2
1
22
1
21
22
1
21
1
2
1
23
1
2
1
2
1
23
1
2
¿Qué propiedad deduces de estos ejercicios?
La propiedad conmutativa
n a
b
a n
b
na
b a
bn
n
ba a
n
b
Definición de fra
cción
Conmutatividad
Conmutatividad CUADRO RESUMEN
Propiedad conmutativa
Transitividad
Transitividad
