207

CAPÍTULO 5

FORMAS DE LOS MODELOS

5.1 INTRODUCCIÓN.

Un modelo econométrico especifica una determinada estructura estocástica para un conjunto dado de variables; esta estructura se concreta en una serie de relaciones entre variables y parámetros.

Los modelos se diferencian entre sí atendiendo a diversos aspectos: número de relaciones, número y tipo de variables, etc,.

Pero, entre estos aspectos, hay dos que tienen una mayor relevancia: la forma funcional y la estructura dinámica que incorporan. Respecto al primero, se habla de modelos lineales y no lineales y, entre los segundos, los modelos que son linealizables y aquellos que no lo son y requieren algoritmos especiales para poder estimar sus parámetros.

Respecto al tema de la estructura dinámica incorporada en el modelo, una primera distinción que se contempla es entre modelos estáticos y dinámicos según que no tengan o sí tengan variables con retardos incorporados. Suele ser relevante el que entre las variables retardadas se incluyan o no las variables endógenas. También es relevante el tipo de variables que se incluyan, si son o no estacionarias, etc,. La consideración de todos estos aspectos lleva a una amplia gama de modelos de los que en este capítulo sólo van a estudiarse un reducido grupo de los mismos. Una panorámica más amplia puede verse en el Capítulo 7 de Aznar (1989).

En la sección siguiente prestaremos atención a modelos uniecuacionales en los que sólo se asigna una estructura estocástica a la variable dependiente y a sus posibles retardos. En la Sección 3 nos ocuparemos de modelos con información completa en los que se especifica explícitamente una estructura estocástica para todas las variables incluidas en el modelo. En la Sección 4 se seguirá un enfoque de información limitada ya que sólo se prestará atención a una de las relaciones del modelo pero sin perder de vista la especificación global del mismo. Podíamos decir que se trata de una mezcla de información limitada e información completa.

208

5.2 MODELOS UNIECUACIONALES Y MULTIECUACIONALES.

La forma general del modelo uniecuacional del que vamos a partir es la siguiente:

∑∑∑===ββφ

km

0iti-ktki

1m

0ii-1t 1i

p

1ii-tit u + x + ... + x + y = y (5.1)

Se trata de un modelo lineal, dinámico con k+1 variables; suponemos que la variable y es la variable endógena y que las k variables x son las variables explicativas. También suponemos que ut es un ruido blanco. Se dispone de T observaciones para

todas las variables. En la literatura, este modelo recibe el nombre de modelo autorregresivo con retardos distribuidos.

En lo que sigue, limitaremos nuestra atención a un modelo más simple que el escrito en (5.1) en el que sólo haya una variable explicativa. Esto no limita la generalidad del planteamiento porque los resultados se pueden generalizar de forma inmediata.

El modelo simple es:

u + x + y = y t

m

0ii-t i

p

1ii-tit ∑∑

==βφ (5.2)

En lo que respecta al análisis, es interesante distinguir entre los multiplicadores a corto o impacto, los multiplicadores retardados y los multiplicadores totales o a largo plazo. Por el momento, supondremos que la variable x es independiente de la perturbación del modelo.

Veamos estos efectos para un caso simple en que p = 1 m = 0.

El modelo es:

tt1tt uxyy +β+φ= −

en donde suponemos que φ < 1.

Vamos a distinguir dos escenarios. En el primero, la variable tx toma el

mismo valor cualquiera que sea el periodo:

..........xxx 2t1tt === ++

209

En el segundo, en el periodo t la variable experimenta un incremento de 1 unidad que se mantiene en periodos sucesivos.

..........xx1xx *2t

*1tt

*t ===+= ++

El efecto que esta variación mantenida de xt tiene sobre yt se mide comparando, en cada periodo que sigue al periodo en que se produce el cambio, el valor que toma yt en el primer escenario con el valor que toma en el segundo escenario.

El resultado de esta comparación puede verse en el cuadro de la página siguiente.

A la vista del contenido de este cuadro podemos distinguir diferentes conceptos relativos a la periodificación del efecto que tiene el cambio en x sobre la y.

Limitando la atención al periodo que se produce el cambio, hablaremos del Multiplicador Impacto definido como:

β=∂∂

t

txy (5.3)

Pasados L periodos desde que se produce el cambio, podemos hablar del Multiplicador Acumulado que viene dado por:

( )φ−φ−β=φ+−+φ+β=

∂∂ +

111

xy L

L

t

Lt (5.4)

Por último, podemos hablar de Efecto Total o Multiplicador a Largo Plazo que es aquel que da cuenta de todo el efecto que se produce y que definimos como:

φ−

β=

∂∂ ∞+

1xy

t

t (5.5)

210

PERIODO ESCENARIO 1 ESCENARIO 2 EFECTO ( )lt*

lt yy ++ −

0 t1tt xyy β+φ= −

β+=β+β+φ=β+φ=

−

−

tt1t

*t1t

*t

yxy xyy

β

1

tt

1tt1txy

xyyβ+φ=

=β+φ= ++

( )1y xy

xyy

1t

tt

*1t

*t

*1t

+φβ+=β+β+φβ+φ=

=β+φ=

+

++

( )β φ +1

2

xyy 2t1t2t +++ β+φ=

( )( )2

2t1t

2t1t

*2t

*1t

*2t

1xy

x1y xyy

φ+φ+β+β+φ=

β+β+φ+φβ+φ==β+φ=

++

++

+++

( )21 φ+φ+β

------ ----------- --------- ---------

L

xyy Lt1LtLt +−++ β+φ=

xyy *

Lt*

1Lt*

Lt +−++ β+φ= ( )L1 φ++φ+β K

------ ------------ ---------- ---------

∞ ∞+−∞+∞+ β+φ= t1tt xyy *t

*1t

*t xyy ∞+−∞+∞+ β+φ= ( )∞φ++φ+β K1

207

Generalizando para el modelo (5.2), si llamamos θ al multiplicador a largo plazo, podemos escribirlo como:

∑=βλ=θ

m

0ii (5.6)

en donde:

∑=φ−

=λ p

1ii1

1 (5.7)

Por lo tanto, se puede estimar y contrastar información sobre los tres tipos de multiplicadores, a partir de la estimación del modelo (5.2).

Pero vamos a ver que hay otras formas alternativas de escribir este modelo que facilitan la aproximación a los tres multiplicadores comentados. Ver Wickens y Breusch (1988).

Resultado 5.1: El modelo (5.2) puede escribirse equivalentemente como

( ) ( ) tittm

1iit

m

0ii

p

1iittit uxxxyyy λ+−βλ−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βλ+−φλ−= −

===− ∑∑∑ (5.8)

Prueba: Basta con restar a cada lado de la igualdad (5.2) y t

p

1=ii ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ∑ y luego sumar y

restar en el lado derecho x t

m

0=ii ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ β∑ , pudiéndose escribir:

yt - p

1=ii ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ∑ yt = -

p

1=ii ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ∑ yt + y i-t

p

1=ii∑φ -

m

0=ii ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β∑ xt + x i-t

m

0=ii∑β +

m

0=ii ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β∑ xt + ut

Sacando factor común y reagrupando términos se tiene que:

yt -1 p

1=ii ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ∑ = - )y-(y i-tt

p

1=ii∑φ +

m

0=ii ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β∑ xt - u + )x-(x ti-tt

m

1=ii∑β (5.9)

208

y dividiendo ambos lados de (5.9) por 1= -1 p

1=ii λ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ∑ se llega al resultado buscado.

Hay que destacar que el coeficiente de xt en (5.8) no es otra cosa que el

multiplicador a largo plazo. Por lo tanto, si se esta interesado en el largo plazo, sólo hay que estimar esta regresión y tomar ese coeficiente.

Resultado 5.2: El modelo (5.2) puede escribirse equivalentemente como:

ti-t1m

0i

m

1ijjt

m

0iiit

1p

0i

p

1ijjt ux xy y λ+Δ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛βλ−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βλ+Δ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φλ−= ∑ ∑∑∑ ∑

−

= +==−

−

= += (5.10)

en donde:

1ititit yyy −−−− −=Δ 1ititit xxx −−−− −=Δ

Prueba: Primero, vamos a demostrar que:

y = )y - (y i-t

p

1ijj

1p

0ii-tt

p

1=ii Δ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φφ ∑∑∑+=

−

= (5.11)

Para ello, basta escribir:

= )y-(y +... +)y-(y+)y-(y = )y-(y p-ttp2-tt21-tt1i-tt

p

1=ii φφφφ∑

2t

p

2ii1t

p

2ii1t

p

1iit

p

1ii yyyy −

=−

=−

==⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ= ∑∑∑∑ +

+ ptp1ptp2t

p

3ii yy...y −+−−

=φ−φ++

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ∑ =

= ( ) ( ) ( )pt1ptp2t1t

p

2ii1tt

p

1ii yy...yyyy −+−−−

=−

=−φ++−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ+−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ ∑∑

llegándose a (5.11).

De la misma forma, se puede demostrar:

209

)x-(x m

1=ii-tti∑β = x i-t

1-m

0=i

m

1+i=jj Δ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛β∑ ∑ (5.12)

Sustituyendo (5.11) y (5.12) en (5.8), se llega a (5.10).

Ejemplo 5.1.

Moazzami (1990) plantea un modelo como el (5.2) con 1p = y 2m = para

analizar la relación entre el tipo de interés nominal a corto plazo y la tasa de inflación. El

tipo de interés (Rt) es el tipo de la deuda pública a tres meses. La tasa de inflación, tπ se

calcula como:

P

P-P

1-t

1-ttt =π

en donde tP es el índice de precios.

Los datos son anuales y corresponden al período 1953-1985 para Estados Unidos.

El modelo puede escribirse como:

t2t21t1t01tt uRR +πβ+πβ+πβ+φ+α= −−− (5.13)

El efecto a largo plazo de este modelo viene dado por:

φ−β+β+β=θ

1210

con:

φ−

=λ1

1

La alternativa escrita en (5.8) puede escribirse como:

( ) ( ) ( )( ) t2tt2

1tt1t2101tt*

t

u - RRR

λ+π−πλβ−π−πλβ−πβ+β+βλ+−λφ−α=

−

−− (5.14)

en donde λα=α* .

La alternativa escrita en (5.10) es ahora la siguiente:

210

( ) ( ) ( ) ( )( ) t2t1t2

1tt21t2101tt*

t

u - RRR

λ+π−πλβ−π−πβ+βλ−πβ+β+βλ+−λφ−α=

−−

−− (5.15)

Moazzami estima el modelo (5.15) y obtiene los siguientes resultados:

(3.17) (2.22) (4.15) (9.10) (3.30) 18.038.0R51.004.170.1R 1ttttt −πΔ−πΔ−Δ−π+=

R2 = 0.82 DW = 2.05

La conclusión de Moazzami es que la hipótesis del Efecto Fisher como una

proposición de ajuste a largo plazo está fuertemente sostenida por los datos, ya que el

coeficiente de tπ está en torno a 1.

Resultado 5.3: Modelo Con Mecanismo De Corrección De Error (MCE)

El modelo (5.2) puede escribirse equivalentemente como:

( ) tit1m

1i

m

1ijj1tt0

1t1ti-tj

p

1ij

1p

1it

uxxx +

+)xy(1 - y - = y

+Δ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛β−−β

θ−λ

Δ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φΔ

−−

= +=−

−−+=

−

=

∑ ∑

∑∑ (5.16)

Prueba

Primero, vamos a demostrar que:

i-tj

p

1ij

1p

1i1-tj

p

1jtj

p

1ji-tj

p

1ij

1p

0iy + y - y = y Δ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φΔ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ ∑∑∑∑∑∑

+=

−

===+=

−

=

Para ello, basta separar el primer término del sumatorio, de la izquierda.

Por otra parte, se tiene que:

- x + x - x = x - x 1-tjm

1jtj

m

1jti

m

0ii-tj

m

1ij

1m

0iti

m

0i⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛β⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛β⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βΔ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛β⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β ∑∑∑∑∑∑

===+=

−

==

( ) i-tj

m

1ij

1m

1i1-tt01-tj

m

0ji-tj

m

1ij

1m

1ix x-x + x = x - Δ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ββ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛βΔ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛β ∑∑∑∑∑

+=

−

=−

=+=

−

=

211

Sustituyendo estas expresiones en (5.10) se obtiene:

+ x + y - y = y + y 1-tj

m

0ji-tj

p

1ij

1p

1i1-tj

p

1jtj

p

1jt ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛βλΔ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φλ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φλ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φλ ∑∑∑∑∑

=+=

−

===

( ) tit

1m

1i

m

1ijj1-tt0 ux x-x + λ+Δ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛βλλβ −

−

= +=− ∑ ∑ (5.17)

y como la expresión de la izquierda puede escribirse como:

t

j

p

1j

t

j

p

1j

j

p

1jttj

p

1jt y =

1

1 y =

1

1 y = y + y λ

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

φ−⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

φ−

φ

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φλ

∑∑

∑∑

==

=

=

Por lo tanto, dividimos (5.17) por λ , restamos a ambos lados 1ty − y resulta:

( ) tit1m

1i

m

1ijj1tt0

1-tjm

0ji-tj

p

1ij

1p

1i1-tj

p

1jt

uxxx +

+ x + y - y1 = y

+Δ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛β−−β

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛βΔ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−φΔ

−−

= +=−

=+=

−

==

∑ ∑

∑∑∑∑

Basta ahora reagrupar términos para llegar a (5.16)

Ejemplo 5.1 (Continuación). El modelo escrito en (5.13) puede escribirse como:

t1-t2101-t2

t01-tt2-t21-t21-t2

1-t11-t01-t0t01-t1-tt

u + )++( + - - + 1)R-( + = u + + - +

+ + + - + 1)R-( + = R - R

πβββπΔβπΔβφαπβπβπβ

πβπβπβπβφα

De donde se obtiene:

t1-t1-t1-t2t0t u + )-1)(R-( + - + = R θπφπΔβπΔβαΔ (5.18)

que es la expresión equivalente a (5.16).

Hay que destacar que ahora, el coeficiente a largo plazo viene dado por el coeficiente de 1tx − en (5.16) o el coeficiente de 1t−π en (5.18).

212

Las formas comentadas son las más relevantes en el trabajo aplicado pero no agotan toda la gama desarrollada en la literatura. En la sección 7.1.2 de Aznar (1989) puede encontrarse una referencia a modelos como el de la Función de Transferencia, Retardos Distribuidos Racionales y el Modelo ARMA. Pero es importante destacar que estos modelos ya no son una forma alternativa de escribir el modelo (5.2) sino que son modelos uniecuacionales diferentes porque son consecuencia de introducir restricciones a partir de un marco general que en el texto citado se menciona.

Hay que destacar que todos los desarrollos se han hecho considerando que la variable x es determinista o, si se le supone una estructura estocástica, que es independiente de la perturbación del modelo. Esto, en principio, parece muy restrictivo y es una cuestión sobre la que volveremos en las secciones que siguen.

Una primera generalización del modelo escrito en (5.1) puede escribirse como:

A(L)yt + B(L)xt = ut (5.19)

en donde A(L) es una matriz de orden g g× , cuyos elementos son polinomios de retardos

de orden p.

A(L) = A0 - A1L - A2L2 - ... - ApLp (5.20)

B(L) es una matriz de orden g k× con elementos que son polinomios de retardos de orden p; yt es un vector de g variables; xt es un vector de k variables y ut es un vector

de perturbaciones aleatorias con Eut = 0 y ∑δ= 'ii

'ttuEu en donde '

iiδ es la delta de

Kronecker y ∑ es una matriz de constantes.

Si A0 no es singular, la forma reducida puede escribirse como

( )[ ] ( ) t1

0t1

0t01

0t uAxLBAyALAAy −−− +−−−= (5.21)

Cada variable endógena queda en función de los valores pasados de las variables endógenas y de los valores presentes y pasados de las variables exógenas.

Si todas las variables son I(0) y el proceso multivariante es estacionario, entonces podemos escribir:

( ) ( ) t1

t1

t uAxLBLAy −− +−= (5.22)

Este es el modelo llamado Forma Final-Función De Transferencia.

213

A partir de estas formas equivalentes del modelo estructural, también pueden derivarse los multiplicadores impacto, acumulados y totales.

Para facilitar la derivación, hay que tener en cuenta que el modelo uniecuacional (5.2) puede escribirse como

( ) ( ) ttt uxLyL +β=φ

en donde

pp1 L - ... - L - 1 = (L) φφφ

pp1 L - ... - L - 1 = (L) βββ

Hemos comentado que el efecto impacto venía dado por β0 , y el efecto total por:

( )( )11

φβ=θ (5.23)

Este efecto total sólo es finito cuando φ(1) es diferente de cero, para lo cual es necesario que el proceso yt sea estacionario.

Del mismo modo, para el modelo multiecuacional podemos decir que los multiplicadores impacto vienen dados por los elementos de la matriz B0. Los multiplicadores totales o a largo plazo vienen dados por:

( ) ( )1B1A 1− (5.24)

Hay que tener en cuenta que para poder definir (5.24) es preciso que A(1) sea no singular, siendo

( ) p210 A...AAA1A −−−−=

Esta matriz es de orden g g× . Si el proceso multivariante es estacionario,

entonces su rango será g por lo que no será singular. Si el proceso multivariante no es estacionario, entonces la matriz A(1) es singular y no puede hablarse de los efectos a largo plazo.

En este caso, las g variables en yt serán I(1) y habrá que analizar las relaciones de

cointegración existentes entre ellas y seguir el tratamiento que se comentará para modelos VAR con variables no estacionarias.

214

Pero este modelo sigue teniendo el carácter restringido ya comentado en la sección anterior porque no se da entrada a la estructura estocástica de las variables en xt.

Una primera salida a este marco restrictivo consistiría en incorporar la estructura estocástica de las variables incluidas en xt. Suponiendo que el modelo que incorpora esta

estructura no da entrada a nuevas variables es fácil demostrar que tras simples transformaciones el resultado al que se llega es el llamado modelo VAR que puede escribirse como:

tptp1t1t uy...yy +Φ++Φ= −− (5.25)

en donde yt es un vector de g variables y p1....ΦΦ son matrices de orden g g× de coeficientes, ut es un vector de g perturbaciones correlacionadas contemporáneas pero sin

verse afectadas por la autocorrelación.

También escribiremos (5.25) como

tt u = (L)yΦ (5.26)

en donde:

pp1g L - ... - L - I = (L) ΦΦΦ (5.27)

Llegados a este punto, para determinar cómo estimar el modelo y cómo utilizarlo para derivar los diferentes efectos de unas variables sobre otras, es necesario prestar atención al tipo de variables individualmente consideradas y a la forma que adopta el espacio de cointegración.

Para aclarar todas estas cuestiones vamos a considerar un marco muy simple con dos variables, aunque los resultados se generalizan de forma inmediata a situaciones más complejas con mayor número de variables y de retardos.

5.3. MODELO VAR Y MODELO CON MECANISMO DE CORRECCION DE ERROR (MCE)

Supongamos dos variables, y1t

e y2t

que son integradas de orden 1, lo que

denotamos con, I(1). (La definición del concepto del orden de integración puede verse en el Capítulo 4).

Consideremos la siguiente estructura:

1t2t1t u + y = y β (5.28)

215

2t2t u = yΔ (5.29)

1t1-2t1212-1t1121-1t1111t + u + u + u = u ερρρ (5.30)

2t1-2t2212-1t2121-1t2112t + u + u + u = u ερρρ (5.31)

Siendo 1tε y 2tε dos variables estacionarias idénticamente e independientemente

distribuidas con:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

t2

t1 ~ N⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σσσσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2212

1221,

00

(5.32)

La primera relación escrita en (5.28) corresponde a la relación de cointegración entre las dos variables, siendo β el efecto a largo plazo de y

2t sobre y

1t.

Utilizando (5.28), (5.29) y (5.30) se obtiene:

( ) ( )2-2t2-1t1121-2t1-1t1112t1t y-yy-y = )y-(y βρ+βρβ

( ) t12-2t1-2t121 y-y + ε+ρ

de donde resulta:

1t2-2t112121

1-2t1111212t2-1t1121-1t1111t + )y+( -

- )y-( + y + y + y = yεβρρ

βρρβρρ (5.33)

Esta es una relación en la que el valor de la variable y1t

se explica en función del valor contemporáneo de la variable y

2t y de los valores pasados de ambas variables.

A partir de (5.28), (5.29) y (5.31) se obtiene:

2t2-2t212221

1-2t2212112-1t2121-1t2112t + )y + ( -

- )y+-(1 + y + y = yεβρρ

ρβρρρ (5.34)

Sustituyendo en (5.33) a y2t

por la expresión escrita en (5.34) se obtiene:

2t1t2-2t112121212221

1-2t111121221211

2-1t2121121-1t2111111t

+ + )]y+( + )+([ - - )]y-( + )+-(1[ + + )y+( + )y+( = y

βεεβρρβρρββρρρβρββρρβρρ

(5.35)

En forma más compacta las expresiones (5.35) y (5.34) pueden escribirse como:

1t2-2t1221-2t1212-1t1121-1t1111t v+ y + y + y + y = y φφφφ (5.36)

216

2t2-2t2221-2t2212-1t2121-1t2112t v+ y+ y+ y + y = y φφφφ (5.37)

Estas son las relaciones de un modelo VAR bivariante con 2 retardos. En general, puede hablarse de un modelo VAR n-variante con p retardos.

Es importante destacar que:

βφ−φ−

φ+φ =1 112111

122121 (5.38)

y también:

βφ+φφ−φ− =1

212211

222221 (5.39)

Una forma alternativa de escribir (5.36) es la siguiente:

1t1t2112111

1221211t11121111-2t1221-1t112

1t1-2t1221-2t1221211-1t1121-1t112111

1t2-2t1221-2t1212-1t1121-1t1111t

v+y1

y1)-+(+ y - y- =

= v+ y - )y+( + y - 1)y-+( = = v+ y + y + y + 1)y-( = y

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ−φ−

φ+−φφΔφΔφ

ΔφφφΔφφφφφφφΔ

−φ

−

(5.40)

De la misma forma, (5.37) puede escribirse como:

2t1t2212211

2222211t1212211

1-2t2221-1t2122t1-2t222

1-2t2222211-1t2121-1t2122112t

v+y1y )+( +

+ y - y- = v+ y - - 1)y-+( + y - )y+( = y

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ+φφ−φ−−φφ

ΔφΔφΔφφφΔφφφΔ

−−

(5.41)

Teniendo en cuenta (5.38) y (5.39), las relaciones (5.40) y (5.41) pueden escribirse como:

( ) t11-2t1-1t11-2t*1211-1t

*1111t vy-y + y + y = y +βαΔφΔφΔ (5.42)

( ) t21-2t1-1t21-2t*2211-1t

*2112t vy-y + y +y = y +βαΔφΔφΔ (5.43)

Estas son las dos relaciones del modelo con mecanismo de corrección de error (MCE). Destacar que, en este modelo, todas las variables son estacionarias. Destacar también, y sobre este punto volveremos después, que el modelo escrito en (5.42) y (5.43) es una versión restringida del modelo VAR escrito en (5.36) y (5.37) incorporando las restricciones escritas en (5.38) y (5.39).

El modelo VAR sin restricciones puede escribirse como:

217

1t 1-2t**

1211-1t**

1111-2t*1211-1t

*1111t u +y + y + y + y = y φφΔφΔφΔ (5.44)

2t 1-2t**

2211-1t**

2111-2t*2211-1t

*2112t u +y + y + y + y = y φφΔφΔφΔ (5.45)

Teniendo en cuenta (5.38) y (5.39) se ve que el Modelo MCE es una versión restringida del modelo amplio escrito en (5.44) - (5.45). En concreto, la restricción toma la forma:

**211

**221

**111

**121

φφ=

φφ

Pero no es la única restricción en la que uno puede estar interesado. Podemos, por ejemplo, considerar el caso en que la relación a largo plazo entre las dos variables sea cero, manteniéndose un efecto a corto plazo -esporádico- diferente de cero.

En este caso las restricciones serían:

0**221

**211

**121

**111 =φ=φ=φ=φ

y el modelo resultante adoptaría la forma siguiente:

1t1-2t1211-1t1111t u + y * + y * = y ΔφΔφΔ (5.46)

2t1-2t2211-1t2112t u + y * + y * = y ΔφΔφΔ (5.47)

Cabría pensar, por último, en que la variable y2t no tiene ningún efecto ni a corto ni a largo plazo sobre la variable y1t de forma que el modelo puede escribirse:

1t1-1t1111t u + y * = y ΔφΔ (5.48)

Hemos comentado que existen varias opciones entre las que se puede optar a la hora de dar cuenta del comportamiento seguido por la variable y1t y que todas ellas son

versiones restringidas del modelo VAR escrito en (5.36) - (5.37). En concreto podría pensarse en:

(i) Utilizar (5.33)

(ii) Utilizar (5.36)

(iii) Utilizar (5.42)

(iv) Utilizar (5.46)

218

(v) Utilizar (5.48)

La utilización de (5.33) plantea un problema específico y es el de la dependencia de la variable explicativa contemporánea, y2t, respecto la perturbación aleatoria. Sobre este punto nos extenderemos más en la sección siguiente.

La elección entre (5.36) y (5.42) (5.46) ó (5.48) es un problema bien conocido en econometría. Se trata de decidir si un modelo se estima con unas u otras restricciones. La estimación restringida siempre es más eficiente pero si no se tiene seguridad sobre el cumplimiento de las restricciones se puede incurrir en sesgos importantes. El mensaje que se obtiene de toda la literatura sobre este tema es el de que las restricciones se deben de tener en cuenta cuando se tiene la certeza de que son verdad pero que no deben de introducirse cuando hay alguna incertidumbre sobre su cumplimiento y es necesario llevar a cabo contrastes empíricos para establecerlas. Si se utilizan estos contrastes se llega a los llamados "estimadores previo contraste" cuyas propiedades dependen de parámetros desconocidos que hacen difícil una evaluación comparada.

Adoptando un modelo VAR el enfoque correcto consiste en estimar todas las relaciones del modelo respetando las restricciones escritas en (5.38) y (5.39). En este ejemplo con dos variables y, como máximo, una relación de cointegración todavía parece posible encontrar una salida operativa. Pero cuando se tienen g variables y, hasta g-1 posibles relaciones de cointegración, la empresa de especificar, estimar y contrastar se nos antoja bastante complicada.

El modelo VAR general para g variables con p retardos es el escrito en (5.25). Si suponemos que este modelo tiene r relaciones de cointegración entonces la forma del modelo con mecanismo de corrección de error puede escribirse como:

( ) t1t*

1t*

t uyyLy +Φ+ΔΦ=Δ −−

en donde:

( ) 1i1p

1i

*i

* LL −−

=∑Φ=Φ con ∑

+=

Φ=Φp

1ill

*i -

y ( ) g* I1 −Φ=Φ

Suponemos además que:

'* αβ=Φ

219

en donde βα y son matrices de orden gxr y rango r. Las columnas de β son los vectores

de las relaciones de cointegración.

El tratamiento de modelos de este tipo, dentro de un enfoque de máxima-verosimilitud con información completa ha sido abordado en trabajos como el de Phillips (1991) y Johansen (1995). Nosotros, en este trabajo, seguiremos un enfoque de máxima-verosimilitud con información limitada asumiendo un modelo VAR semirecursivo.

La idea está tomada de Phillips y Loretan (1991) a partir de una serie de modelos que llaman SEECM (Single Equation Error Correction Mechanism), introduciendo las condiciones que garantizan la recursividad.

5.4 ESTIMACION DE UN MODELO VAR SEMIRECURSIVO.

Comenzaremos con una ilustración simple basada en el modelo escrito en (5.28)-(5.31), para pasar, posteriormente, al caso más general de g variables y una relación de cointegración.

En (5.28) se sustituye u t1 por (5.30) de forma que se tiene:

t11t21212t11121t1111t2t1 uuuyy ε+ρ+ρ+ρ+β= −−− (5.49)

Si se alberga alguna duda respecto a sí hay o no cointegración podemos considerar un modelo alternativo a (5.49) considerando las siguientes restricciones:

0=β y 01 112111 =ρ−ρ−

Introduciendo estas restricciones en (5.28)-(5.31) se llega a:

t11t21211t1111t1 y *y *y ε+Δρ+Δρ=Δ −− (5.50)

Por último y tal como se ha indicado en la sección anterior podríamos dar un paso más y suponer que la variable y t2 no tiene ninguna influencia sobre y t1 y considerar el

modelo:

t11t1111t1 y *y ε+Δρ=Δ − (5.51)

Supongamos que disponemos de un procedimiento para comparar los tres modelos que se acaban de escribir. Entonces resulta claro que si el modelo elegido es (5.49) podemos decir que la variable y t2 influye sobre la variable y t1 y que cualquier cambio en la primera tiene un efecto permanente y a largo plazo sobre t1y .

220

Si el modelo elegido es (5.50), entonces la variable t2y influye sobre la variable y t1 también de forma permanente pero siguiendo una pauta diferente a la que ocurre

cuando hay cointegración..

Por último, si el modelo elegido es el escrito en (5.51) entonces la conclusión es que la variable t2y no tiene ningún tipo de relación con la variable t1y .

La cuestión es que el modelo escrito en (5.49) presenta dos serios problemas desde el punto de vista econométrico. Estos problemas son: primero, que t1u y t2u no son variables observadas y, segundo, que la variable t2y , en general, siempre está relacionada

con la perturbación del modelo.

A continuación, vamos a demostrar que los dos problemas tienen solución y, por lo tanto, que la estrategia basada en la comparación de (5.49), (5.50) y (5.51) es viable.

Respecto al primer problema, considerar los residuos de la regresión (5.28). El residuo t-ésimo puede escribirse como:

t2t1t1 yˆyu β−= (5.52)

en donde β es el estimador MCO de β .

Resultado 5.4 El vector de residuos MCO de la regresión escrita en (5.28) es asintóticamente equivalente al vector de perturbaciones:

1

as

1 uu ≈ (5.53)

Prueba: A partir de (5.52) se tiene que:

( )

uyˆ

yˆuyu

t1t2

t2t1t2t1

+β−β=

=β−+β=

y como β es superconsistente tal como se ha visto en (2.39). entonces (5.53) sigue

asintóticamente.

Lo que este resultado nos indica es que, para derivar las propiedades asintóticas

de los estimadores de los parámetros del modelo (5.49) da igual utilizar t1u que los

residuos de la regresión (5.28). Por lo tanto, el primer problema queda resuelto. Respecto

al segundo, vamos a presentar una serie de resultados que nos ayudarán a entender la

solución propuesta.

221

Consideraremos un modelo más general con k+1 variables y una relación de

cointegración que escribimos como:

tktkt11t uxxy +β++β= L (5.54)

jtjt ux =Δ k ... ,2,1j = (5.55)

Las hipótesis que suponemos para este modelo son las siguientes:

Sea v t un vector de k+1 elementos definido como:

( )''t2tt u,uv =

en donde, ahora, t2u es el vector de las k perturbaciones correspondientes a las x.

Para vt suponemos:

( ) ttvL ε=Φ (5.56)

en donde ( )Φ L es una matriz de orden (k+1).(k+1) con elementos igual a polinomios de retardos de orden p. ( )Φ L es tal que permite escribir:

( ) ( ) 1LL −Φ=Ψ

en donde ∞<Ψ∑∞

=0s

sijs para todo i, j.

Para tε suponemos que se trata de un vector de (k+1) variables i.i. distribuidas como ( )Ν 0,∑ .

La matriz de varianzas y covarianzas a largo plazo de vt, Ω , ya ha sido definida en el Capítulo 2 y la volvemos a escribir como:

'Λ+Λ+∑=Ω

Correspondiendo a estos vectores de perturbaciones podemos definir los siguientes vectores de procesos Brownianos.

( ) ( )∑→∑ =ε=

21dT

1ii rWrB

T1

en donde ( )W r es el vector de procesos Brownianos estándar ya introducido en la Definición 2.2. También se dice que ( )B r es un proceso Browniano con matriz de

222

varianzas y covarianzas igual a ∑ .

También podemos escribir:

( ) ( )rWrBvT1 2

1*

d

t Ω=⇒∑

En este caso decimos que ( )B r* es un proceso Browniano con matriz de

varianzas y covarianzas igual a Ω .

A partir de (5.56) se tiene:

tijt

k

1j

1p

1iji1it

p

1iit xuu ε+Δφ+φ= −

=

−

=−

=∑∑∑

Sustituyendo en (5.54) se tiene:

∑∑∑=

−

=−

=− ε+Δφ+φ+β++β=

k

1j

1p

1itijtji1

p

1iitiktkt11t xuxxy K

o, en forma matricial:

[ ] ε+φΔ+β= XUXy (5.57)

en donde:

y : vector de T observaciones de la variable y.

X: matriz kT × observaciones de los niveles de las k variables escritas en (5.55)

U: matriz pT × observaciones de p1 uu −− K . La columna i-ésima de esta matriz son las T

observaciones del vector de perturbaciones de (5.54) retardado i periodos.

XΔ : matriz ( )1pkT −× observaciones de los p retardos de los incrementos de las k

variables.

β : vector de k parámetros.

φ : vector de pkp + parámetros.

iε : iid ( )2,0 σΝ .

223

El vector de estimadores MCO de los parámetros del modelo (5.57) puede escribirse como:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔΔ

Δ

Δ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

φ

β

−

y'Xy'U

y'X

X'XU'XX'X

X'UU'UX'U

X'XU'XX'X

ˆ

ˆ1

(5.58)

Antes de presentar las propiedades de estos estimadores veamos algunos resultados que nos serán útiles en desarrollos posteriores.

Resultado 5.5 : Suponer el modelo escrito en (5.54)-(5.56) con los supuestos comentados acerca de tε y ( )Φ L . Entonces se tiene que:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 21

21

'

22

1

0

'2222

*2

1

0

*2

d1

'1

2

drrWrW =

drrBrBXXT (a)

Ω⎥⎦⎤

⎢⎣⎡Ω

=⎯→⎯

∫

∫−−−

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 21

22

1

0

'22

21

22

*2

1

0

*2

d'2-

drrWrW =

drrBrBXXT )b('

Ω⎥⎦⎤

⎢⎣⎡Ω

=⎯→⎯

∫

∫

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2111

1

0 122

1

22

21*1

1

0

*2

d'1

1-

21

wrWd rW =

drrdB rBuXT )c(

Λ+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡Ω

=Λ+⎯→⎯

∫

∫−

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 212111

1

0 1222

2121*1

1

0

*2

d'1-

21

21

wrWd rW =

rdB rBuXT )d(

Λ+∑+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡Ω

=Λ+∑+⎯→⎯

∫

∫

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 21

11

1

0 1222

1

1

0

*2

d1

'1

1-

rWd rW =

rdB rBXT )e(

21

σ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡Ω

=⎯→⎯ε

∫

∫−

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) [ ]1rWd rW =

1rdB rBXT )f(

212

1

11

1

0 122

1

22

211

1

0

*2

d1

'1-

σ+σ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡Ω

σ+⎯→⎯ε

∫

∫

1X− contiene los valores de las variables en X retardados un periodo. [ ]1 denota

el vector columna con k unos.

Prueba:

224

a) Ver apartado (i) de la Proposición 18.1 de Hamilton (1994).

b) Basta tener en cuenta que:

( )( ) 2'21

'22

'11

'121

'2

'1

' uuXuuXXXuX uXXX +++=++= −−−−−−

Por ser los tres últimos términos O(T) resulta la equivalencia asintótica de X’X y

1'

1XX −− . Ver el apartado (c) del Lema 2.1 de Park y Phillips (1988).

c) Ver el apartado (e) de la Proposición 18.1 de Hamilton (1994).

d) ( ) uuTuXTuXT '2

1'1

1'1 −−

−− +=

y el resultado sigue teniendo en cuenta el Apartado (c) y que tanto u2 como u son estacionarias.

e) Ver apartado (f) de la Proposición 18.1 de Hamilton (1994).

f) ( ) ( )[ ] ( ) 1'2

11

'1

11

'2

'1

11

'1 uTXTuX TXT ε+ε=ε+=ε −−

−−

−−

Para llegar al resultado tener en cuenta el Apartado (e) y que u2 puede escribirse como:

( ) ( ) t222t1212 LLu εΨ+εΨ=

Para L=0 los elementos de la columna de 21Ψ es el vector de k unos y la primera matriz de 22Ψ (0) es la matriz unidad.

El modelo VAR semirecursivo al que hemos hecho referencia introduce dos supuestos:

(i) Independencia contemporánea entre t1ε y el resto de las ε correspondientes a t2u . Eso implica que 01221 =∑=∑ .

(ii) t2u no depende de los valores pasados de t1u . Eso implica que 0i21 =ψ para .p,...,2,1i =

Las consecuencias de estos dos supuestos es que el vector de variables Brownianas ( )rB*

2 es independiente de la variable Browniana ( )rB*1 .

Resultado 5.6 : El subvector de estimadores MCO $β definido en (5.58) es superconsistente mientras que el subvector $φ es consistente. Además se cumple que:

225

( ) ( )12

asinQ,0ˆT ~ −σΝφ−φ (5.59)

en donde Q es:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

Δ

=∞→

TX'X

TU'X

TX'U

TU'U

plimQT (5.60)

Prueba : A partir de (5.58) se tiene que:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εΔεε

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔΔ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

φ−φβ−β

−

1'

1'

1'1

'

'

'''

XUX

XXX'UUUXXUXXX

ˆˆ

(5.61)

En primer lugar, a partir del Resultado 5.4, asintóticamente, utilizar U es equivalente a utilizar U, por lo que en lo que resta de prueba utilizaremos la matriz U.

Utilizando el Resultado 2.3 se tiene que XXy X U,UU ''' ΔΔΔ son todos ellos

O(T). Utilizando el Resultado 2.4 se llega a:

( )Q,0N'X

'UT1 2d

1

1 σ⎯→⎯⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡εΔ

ε (5.62)

Utilizando el Resultado 5.5 se tiene que X'X es ( )O T2 y UX' y XX'Δ son

O(T), pudiéndose escribir:

( ) ( ) drrBrBT

XX '*2

*2

d2

'

∫⎯→⎯ (5.63)

en donde ( )B r* ya hemos dicho que es un vector Browniano con k elementos.

Por otra parte, teniendo en cuenta el apartado f) del Resultado 5.5 se tiene que:

( ) ( ) [ ]1rdB rB T

X 211

'1

1

0*2

d1'

σ+⎯→⎯ε∫ (5.64)

por lo que 1'X ε es O(T).

226

Utilizando todos estos resultados y considerando la siguiente matriz de normalización:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=γ

−1k2

1m

21

k

T

IT000IT000TI

podemos escribir (5.61) como:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

εΔ

ε

ε

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔ−−

Δ−

Δ

=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εΔε

ε

γγ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

Δ

γ=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

φ−φ

β−βγ

−

−

−

1

1

1

1

23

232

1

1

11

TT

1

TT

'XT1

'UT1

'XT1

TX'X

TX'U

TU'U

T

X'X

T

U'XT

X'X

'X'U

'X

X'XX'UU'U

X'XU'XX'X

ˆ

ˆ

Teniendo en cuenta los órdenes de probabilidad de XXy UX '' Δ se tiene que:

0 T

UX

T

UX p

23

'

23

'⎯→⎯≈

0 T

XX p

23

'⎯→⎯Δ

Por lo tanto, la distribución asintótica de ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

φ−φβ−βγ ˆ

ˆT es la misma que la de:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

εΔ

ε

ε

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫−

1

1

1

1*2

*2

10

'XT1

'UT1

'XT1

Q00dr)'r(B)r(B

Teniendo en cuenta (5.62) y (5.64) se llega al final de la prueba.

227

Hay que destacar el carácter superconsistente de $β , ya que dada la forma que la

matriz de normalización γ T adopta la convergencia se obtiene para ( )T $β β− y no para

( )T $β β− como es el caso para el vector $φ .

Por otra parte, hay que destacar también que la distribución asintótica de probabilidad de ( )T $β β− no es estándar y que como ya se ha visto en la mayoría de los

casos es asimétrica y depende del valor que toman ciertos parámetros desconocidos.

Como puede verse en Phillips y Loretan (1991), si el modelo VAR es semirecursivo tal como se ha definido anteriormente, entonces los estimadores definidos en esta sección tienen las mismas propiedades que los estimadores máximo-verosímiles con información completa. Pero no hay que olvidar que esta coincidencia de propiedades sólo se da si se cumplen los dos supuestos mencionados. El cumplimiento de los mismos habría de garantizarse mediante el uso de correlaciones cruzadas entre estimaciones de tu y estimaciones de t2u .

Un último resultado al que vamos a prestar atención es el siguiente. Suponer que W es un vector de pkp + constantes que particionamos como: ( )'

2'1

' W,WW = en donde W1 tiene k elementos y W2 tiene kpkp −+ elementos. El siguiente resultado nos da la

distribución asintótica de ( )δ−δW T ' en donde ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

φ−φβ−β=δ−δ ˆ

ˆˆ .

Resultado 5.6 : La distribución asintótica de ( )δ−δW T ' es igual a:

( ) ( )21'

22d' WQW,0 ˆW T −σΝ⎯→⎯δ−δ (5.65)

Prueba: Podemos escribir:

( ) ( ) ( )φ−φ+β−β=δ−δ ˆ WTˆ WTˆW T '2

'1

'

Teniendo en cuenta que, como se ha demostrado en el Resultado 5.5, $β es

superconsistente se tiene que:

( ) ( )φ−φ≈δ−δ ˆ WTˆ WT '2

'

y utilizando (5.59) el resultado queda probado.

228

5.5 ANÁLISIS IMPULSO-RESPUESTA.

En esta sección, se continúa con el análisis iniciado en la Sección 5.2 extendiéndolo a un marco más general en el que se consideran diferentes tipos de impulso y se tienen en cuenta tanto modelos estacionarios como no estacionarios.

Suponer un vector ).......( 1 nyyy = cuyo comportamiento en el tiempo viene

determinado por un determinado PGD. Suponer también que en el periodo T se produce un cambio no previsto por el normal funcionamiento del PGD en una de las variables del vector, digamos la ly . Este cambio no previsto en la variable ly se transmite a la misma

variable y al resto de las variables en el mismo periodo T y en periodos sucesivos. Al cambio no previsto lo llamaremos impulso y a los efectos que se derivan para todas las variables lo llamaremos respuesta.

El análisis impulso-respuesta persigue determinar los efectos que, sobre las variables del vector, tienen lugar como consecuencia de la introducción de un impulso en una de las variables. Estos efectos dependeran de dos factores:

(i). El tipo de impulso que estemos considerando.

(ii). La forma que adopte el PGD.

Para ilustrar lo que se pretende hacer con este tipo de análisis consideraremos, en primer lugar, un modelo univariante muy simple que escribiremos como:

t1tt uyy +φ+δ= − (5.66)

en donde φδ y son constantes y tu es un ruido blanco con varianza 2σ .

A partir de este modelo caben varias aproximaciones según que 1<φ -

estacionario- o que 1=φ -no estacionario-. Además cabe pensar en varias formas de

impulso según sea como se supone que se cambie el PGD.

Siempre vamos a suponer que el impulso se concreta en un cambio en la constante del modelo; es decir, el impulso se concreta en que la constante en uno o varios periodos a partir de uno considerado como periodo base, pasa de * a δδ ; en general, siempre supondremos que la diferencia entre las dos es una unidad. Los cambios que experimenta la variable - la respuesta – se obtienen comparando cuales habrían sido los valores que la variable toma en una serie de periodos si no se produce ningún cambio con los que toma después de producirse el cambio.

Distinguiremos tres tipos de impulsos.

229

Definición 5.1. (Impulso Uniperiodo). En el caso del Impulso Uniperiodo (IU), la constante varía en un periodo pero, en los siguientes, dicha constante vuelve a su valor original. Esta situación puede representarse de la siguiente manera:

1-T , ... 1,2, t uyy t1tt =+φ+δ= −

T t uyy t1t*

t =+φ+δ= −

..... 2,T 1,T t uyy t1tt ++=+φ+δ= −

Definición 5.2. (Impulso Transitorio). En el caso del Impulso Transitorio (IT) la constante cambia en un número finito de periodos sucesivos y, pasados estos periodos, la constante vuelve a tomar su valor original. El proceso sería el siguiente:

1-T , ... 1,2, t uyy t1tt =+φ+δ= −

1-mT , ... 1,T T,t uyy t1t*

t ++=+φ+δ= −

,...lmT,mT t uyy t1tt +++=+φ+δ= −

Definición 5.3. (Impulso Permanente). En el caso del Impulso Permanente (IP) la constante cambia en un periodo y el nuevo valor lo mantiene en todos los periodos que siguen. El proceso resultante es:

1-T , ... 1,2, t uyy t1tt =+φ+δ= −

... 1,T T,t uyy t1t*

t +=+φ+δ= −

Para determinar el efecto que, sobre el valor de la variable, se produce como consecuencia del cambio en la constante, hay que tener en cuenta que podemos escribir:

ihT

1h

0i

iT

h1h2

2hT2

1hThT3hT32

1hThT2hT2

hT1hThT

uy...

.......................................................................... uuuy

uuy

uyy

−+

−

=

−

−+−++−+

−++−+

+−++

∑φ+φ+δφ++δφ+φδ+δ=

=φ+φ++φ+δφ+φδ+δ=

=φ++φ+φδ+δ=

=+φ+δ=

A partir de esta expresión, podemos derivar el cambio que se produce en hTy +

como consecuencia del cambio introducido en la constante.

Si el periodo T se introduce un cambio tal que 1* =δ−δ y se mantiene, el efecto sobre hTy + vendrá dado por:

230

1h2 ....1 −φ++φ+φ+

Si, al periodo siguiente, la constante vuelve a su valor original, entonces se producirá una serie de efectos con signo contrario que podemos escribir:

( )2h2 ...1 −φ++φ+φ+−

Por lo tanto, el efecto de un impulso uniperiodo vendría dado por: 1h−φ .

La respuesta variará según sea el tipo de impulso, el horizonte temporal y según que el modelo sea o no estacionario. En los cuadros siguientes se resumen las diferentes respuestas según los diferentes supuestos sobre los aspectos comentados.

CUADRO 5.1. Respuesta Acumulada. Modelo Estacionario ( 1<φ )

Impulso Uniperiodo Impulso Transitorio Periodo

Impulso

Permanente Reacción Resultado Reacción Resultado

1 1

2 φ+1 1− φ

M M M M

m ... .... ... -1 1m... −φ++φ

M M M M

h 1h...1 −φ++φ+ ( )2h...1 −φ++φ+− 1h−φ ( )lh...1 −φ++φ+− 1h1lh ... −+− φ++φ

M M M M M M

∞

φ−=

=+φ++

11

......1 h

( )....1 +φ+− 0=φ∞ ( )∞φ++φ+− ...1 0≈

Se ve como el efecto de un impulso uniperiodo o de un impulso transitorio sólo se produce en los periodos siguientes a cuando se produce el cambio pero que conforme nos

231

vamos alejando de ese periodo el efecto se hace despreciable. Sólo el impulso permanente tiene un efecto a largo plazo significativo.

Las respuestas para un marco no estacionario pueden verse en el Cuadro 5.2.

CUADRO 5.2. Respuesta Acumulada. Modelo No Estacionario ( 1=φ )

Impulso Uniperiodo Impulso Transitorio Periodo

Impulso

Permanente Reacción Resultado Reacción Resultado

1 1

2 2 1− 1 ... 1

M M M M ... 2

m m ( )1m −− 1 -1 l

M M M M M M

h h ( )1h−− 1 ( )lh −− l

M M M M M M

∞ ∞ ... 1 ... l

En este marco no estacionario se ve que un impulso uniperiodo o transitorio tiene un efecto finito a largo plazo, mientras que el efecto a largo plazo de un impulso permanente es infinito.

En este marco cabría pensar en desarrollar el análisis tomando la primera diferencia. La respuesta a largo plazo de un impulso permanente sería finita y esto podría llevarnos a pensar que en el marco no estacionario el efecto a largo plazo de un impulso permanente es finito. Pero hay que recordar que un efecto finito sobre las primeras diferencias se traduce en un efecto infinito en los niveles de las variables por lo que se vuelve al resultado primero.

Consideraremos ahora un modelo bivariante del siguiente tipo:

232

t11tt uxx +φ+δ= −

t2tt uxy +β=

en donde ( )'uuu t2t1t = se distribuyen ( )22I0,N ii σ .

Ahora el análisis se plantea en términos de cual es el cambio que experimenta hTy + al variar la constante que genera x en T.

Como las variaciones que experimenta x ya han sido derivadas anteriormente, sólo queda traducirlas en variaciones de y.

CUADRO 5.3. Respuesta Acumulada. Modelo Bivariante Estacionario.

Periodo Permanente Uniperiodo Transitorio

1 β β β

2 ( )φ+β 1 βφ ( )φ+β 1

M M M M

m ... ... ( )1m... −φ++φβ

M M M M

h ( )1h...1 −φ++β 1h−βφ ( )1h1lh ... −+− φ++φβ

M M M M

∞ ( )φ−

β=+φ+β1

...1 0=βφ∞ 0≈

Se ve como sólo un impulso permanente en la estructura del proceso que genera x tiene un efecto a largo plazo significativo sobre y. Los otros dos impulsos sólo tienen efecto a corto plazo.

233

Si pasamos a considerar un marco no estacionario los resultados pueden verse en el Cuadro 5.4.

CUADRO 5.4. Respuesta Acumulada. Modelo Bivariante No Estacionario.

Periodo Permanente Uniperiodo Transitorio

1 β β β

2 β2 β β2

M M M M

m βm ... βm

M M M M

h βh β βl

M M M M

∞ ∞ β βl

Se ve como en este marco al impulso permanente le corresponde una respuesta no finita. Ahora la respuesta finita corresponde a impulsos Uniperiodo o Transitorio.

Hay que destacar que el modelo bivariante no estacionario incorpora cointegración. Si las variables no estuvieran cointegradas y las perturbaciones 2tt1 uy u ,

en lugar de ser ruidos blancos siguieran procesos autorregresivos podría pensarse en especificar un modelo en primeras diferencias que sería estacionario. Entonces, un impulso permanente introducido en la estructura generadora de las primeras diferencias de una de las variables tendría una respuesta finita a largo plazo en el incremento de la otra variable. Pero un efecto finito sobre el incremento de una variable se traduce en un efecto infinito en los niveles de esa variable.

234

A partir de aquí vamos a centrar el análisis en modelos con variables no estacionarias considerando solamente el llamado impulso permanente que volvemos a definir como sigue

Definición 5.4. El impulso permanente se refiere a aquella situación en la que la variable ly experimenta un cambio no previsto por el PGD en el periodo T y, en periodos

sucesivos, dicha variable no experimenta ningún otro cambio no previsto.

Respecto a las repuestas vamos a introducir diferentes conceptos.

Definición 5.5. Efecto Retardado, Efecto Acumulado y Efecto Total. El Efecto Retardado h periodos de la variable ly sobre la variable jy mide los efectos que un impulso en el periodo T en la variable ly produce en el valor de la variable jy en el periodo T+h. Este

efecto lo denotaremos con )(hER jl y se evalúa como

)(hER jl =

lT

hjT

yy∂∂ + .

El Efecto Acumulado mide la suma de todos los efectos retardados que se han producido

hasta un determinado periodo. Lo denotaremos con ∑=

=m

h

jl

jl hERmEA

1)()( . Por último, el

Efecto Total es el Efecto Acumulado para m ∞→ . Lo que en la literatura se llama efecto contemporaneo es el efecto retardado para h=0.

Definición 5.6. Efecto Relativo Retardado, Efecto Relativo Acumulado y Efecto Relativo Total. Estos conceptos son los mismos que los introducidos en la Definición 5.2 pero poniendo en relación la variación de la variable jy con la experimentada por la propia

variable ly . Así, el Efecto Relativo Retardado ( )(hERR jl ) se define como

lThlT

lThjTjl yy

yyhERR

∂∂∂∂

=+

+

//

)(

De la misma forma se pueden definir el Efecto Relativo Acumulado y el Efecto Relativo Total que , respectivamente, denotaremos como )(mERA j

l y jlERT

A continuación, estudiaremos una serie de modelos para concretar y evaluar los conceptos introducidos en las definiciones anteriores.

Modelo 1. tltjt uyy += β , en donde se supone que lty no es estocástica y que la

perturbación cumple las hipótesis comentadas en el Capítulo 1.

235

Si se introduce un impulso en T en la variable lty y se mantiene en los periodos

siguientes, el valor de dicha variable en T+h experimentará el mismo cambio que en T. Por lo tanto, el efecto sobre jy en T+h puede escribirse como:

.)( β=hER jl

En lo que respecta a los efectos acumulados se tiene que:

.

.)(

∞=

=j

l

jl

ET

mmEA β

Para evaluar los efectos relativos, hay que tener en cuenta que, para todo h, lThlT yy ∂∂ + / =1. Por lo tanto, en este caso existe coincidencia entre los dos tipos de efectos.

Modelo 2. 1,1 <++= − φβφ tltjtjt uyyy .La perturbación sigue cumpliendo las hipótesis ya comentadas. Si sustituimos secuencialmente los valores retardados de jy se obtiene:

∑−

=−+−++−

++ +++++=

1

011

1 ........h

iihT

ilT

hhlThlTjT

hhjT uyyyyy φβφφββφ

A partir de esta expresión se tiene que:

...........)( βφφββ hjl hER +++=

.

)()(0

∞=

−=∑=

jl

m

h

hjl

ET

hmmEA βφ

En lo que respecta a los efectos relativos también en este caso coinciden con los efectos calculados anteriormente por la misma razón ya comentada.

Modelo 3. Modelo VAR estacionario .

ltltlljtljlt

jtltjljtjjjt

uyyy

uyyy

++=

++=

−−

−−

11

11

φφφφ

En forma matricial el modelo puede escribirse como:

ttt uyy +Φ= −1

y si sustituimos secuencialmente los retardos de y se llega a

11

1 ........ −+−

−+++ Φ++Φ++Φ= hTh

hThTTh

hT uuuyy

236

Por ser estacionario el modelo, las raices de Φ están fuera del circulo unitario por lo que se cumple que 0→Φ h conforme h .∞→ A partir de estos resultados se tiene que:

hjl

jl hER Φ=)( 0)( =∞l

jER

.

)(

1

1

∑

∑∞

=

=

Φ=

Φ=

h

hjl

jl

m

h

hjl

jl

ET

mEA

En lo que respecta a los efectos relativos podemos escribir

hll

hjl

ll

jlj

l hERhER

hERRΦΦ

==)()(

)(

Cabe destacar que este cociente no se puede definir cuando h tiende a infinito. Para obtener los efectos acumulados bastaría sumar los cocientes correspondientes.

La generalización al caso de n variables es inmediata. Basta con definir una matriz Φ de orden n×n y evaluar las sucesivas potencias de la misma.

Modelo 4. Modelo VAR con variables integradas de orden 1 y sin cointegración.

El modelo lo escribimos como

ltltlljtljlt

jtltjljtjjjt

uyyy

uyyy

+Δ+Δ=Δ

+Δ+Δ=Δ

−−

−−

11

11

φφφφ

A partir de esta expresión podemos escribir

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔ

−

−

−

−

lt

jt

lt

jt

lt

jt

lt

jt

lllj

jljj

lllj

ljjj

lt

jt

lt

jt

uuuu

yyyy

yyyy

1

1

1

1

00001001

φφφφφφφφ

o, en forma más compacta

**1

*ttt vDyy += −

La matriz D se puede particionar como

237

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

DDDD

D

en donde 11D es ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

y el resto de las matrices se ajustan a esta definición.

Las potencias sucesivas de D pueden escribirse como

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ += 2

22

2212122

0 DDDDI

D

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++= 3

22

222122212123

0 DDDDDDI

D

En general, podemos escribir

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++=

−

)(22

)(12

)(11

22

12212221212

00.........

h

hh

h

hh

DDD

DDDDDDI

D

y para h=∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

−∞

0000)( 1

2212 BADIDID

A partir de esta expresión obtenemos

jlhj

l DhER )()( )(12=

.

)()(1

)(12

jlj

l

m

hjl

hjl

bET

DmEA

=

=∑=

En lo que respecta a los efectos relativos se tiene que

)()(

)(hERhER

hERR ll

jlj

l =

Los efectos relativos, acumulado y total, se obtienen sumando esta expresión sobre h. En concreto, el Efecto Relativo Total viene dado por:

ll

jljl b

bERT

+=

1

238

Modelo 5. Modelo VAR con variables integradas de orden 1 con cointegración y causalidad unidireccional.

El modelo del que partimos es

ltlt

jlltjt

uy

uyy

=Δ

+= β

con ltltlt uu ερ += −1

El modelo en forma de mecanismo de corrección de error es

ltltlt

ltjtltltjtjt

yy

uyyyy

ερβεβρβ

+Δ=Δ

++Δ+−−=Δ

−

−−−

1

111 )(

Para este modelo la matriz D adopta la forma siguiente

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

ρβρβρβρβ

0000101000

D

Las submatrices superiores de las sucesivas potencias de D pueden escribirse como

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

100)2(

11

βD y ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

= 2

2)2(

12 00

ρρβρβρ

D

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

100)3(

11

βD y ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++++

= 32

32)3(

12 00

ρρρβρβρβρ

D

Repitiéndolo sucesivamente para h=∞ se tiene que

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==∞

100)(

11

βAD y

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−==∞

ρρρ

ρβ

10

10

)(12 BD

A partir de estos resultados obtenemos

)......1()( hjl hER ρρβ +++=

239

.

.......)1()1()( 2

∞=

++−++=j

l

mjl

ET

mmmEA βρβρρβ

Respecto a los efectos relativos se tiene que

ERR βρρρρβ =

++++++= h

hjl h

...1)...1()( ; ERR β=∞)(j

l

ERA mmjl β=)(

ERT ∞=jl

Un hecho importante a destacar es que,para este modelo, cualquiera que sea el horizonte temporal h el efecto unitario de un impulso en T es siempre el mismo y coincide con el coeficiente de la relación de cointegración.

Podríamos seguir con otros ejemplos pero parece más útil derivar una expresión general que nos permita conocer el efecto a largo plazo de una variable sobre otra, cualquiera que sea el modelo con cointegración que consideremos.

Suponer que ty es un vector de n variables aleatorias, todas ellas I (1).

Particionamos este vector como: ( )''2

'1 , ttt yyy = en donde el primer subvector tiene r

elementos y el segundo n-r. El sistema lo escribimos como

ttt

ttt

uyyuyy

2122

12'21

+=+=

−

β

en donde '2β es una matriz de orden r.(n-r) de los coeficientes de las relaciones de

cointegración. Para ),( '2

'1 ttt uuu = asumimos que

A(L) ttu εδ +=

Con ),0( 2δδ = ; A(L) = ∑=

p

i

ii LA

1 con ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==

ii

iiin AA

AAAIA

2221

12110 , (n.n), i=1,2….p

con pp AA 2212 = =0, ajustandose la partición a la comentada anteriormente. Además,

suponemos que que las raices de 0)( =LA están fuera del círculo unitario. Finalmente, suponemos que tε es una secuencia de vectores de n elementos que se distribuyen identica

e independientemente con vector de medias cero y matriz de varianzas y covarianzas Σ >0. A partir de estas expresiones es facil derivar las formas VAR y de mecanismo de corrección de error del modelo. Sean ),( '

2'1 μμμ = las esperanzas de ty1Δ y ty2Δ

240

respectivamente y sean lj 21 ,μμ las esperanzas de ltjt yy ΔΔ , , respectivamente. En este

caso, el Efecto Relativo Total, jlERT viene dado por

jlERT =

j

j

2

1

μμ∂∂

Tomando esperanzas en ambos lados del modelo de las perturbaciones se tiene que

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ •

22

1 0)1(

δμμ

A

en donde •1μ es el vector de esperanzas de tu1 . Utilizando las s últimas filas de

este sistema se tiene

2222 δμ B=

en donde

A(1) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==−

2221

12111

BBBB

B

B 112

111212222 ))1()1()1()1(( −−−= AAAA

Por otra parte, utilizando las relaciones de cointegración, se tiene que

1112'21 −−+Δ=Δ tttt uuyy β

de donde obtenemos

2'21 μβμ =

Combinando todos estos resultados se llega a

222'21 δβμ B=

por lo que el efecto relativo total de la variable l-ésima sobre la variable j-ésima vendra dado por

jlERT =

ll

lj

BB

)()(

22

.22'

.2β

241

en donde '.2 jβ es la fila j-ésima de '

2β , (..) l. es la columna l-ésima de la matriz entre paréntesis y (..) ll es el ll-ésimo de la matriz entre paréntesis.

Utilizando esta última expresión podemos derivar condiciones suficientes para que el efecto a largo plazo de lty sobre jty coincida con el coeficiente de la primera

variable en la relación de cointegración correspondiente a la segunda. Las condiciones son:

- o bien todos los coeficientes de '.2 jβ ,excepto el correspondiente a lty ,son

cero o bien todos los elementos de lB .22 )( excepto el correspondiente a la variable lty son cero. ó ambas.

Se ve directamente que la segunda parte de la condición se satisface cuando 0)1(21 =A y, al mismo tiempo, cuando todos elementos de la columna de )1(22A

correspondiente a lty son cero excepto el correspondiente a esa misma variable.

EJERCICIOS

5.1). Considerar el siguiente modelo: y x ut t t= +−1 1 x x ut t t= +−1 2 en donde u1 y u2 son ruidos blancos. Se pide:

a). La esperanza y varianza no condicionada de y t .

b). La esperanza y varianza condicionada respecto al periodo anterior de y t .

c). Especificar el vector de cointegracion y las propiedades de la perturbación de

la relación de cointegración.

d). Obtener la forma con mecanismo de correccion de error.

e). ¿Como seran las propiedades del estimador MCO de y t sobre x t ?.

Justifique la respuesta.

5.2). Considerar el siguiente modelo:

242

x x ut t t= + +−μ 1 y x vt t t= +λ en donde u vt t, son ruidos blancos.Se pide:

1). Determinar el orden de integracion de las dos variables.

2). Determinar el tipo de tendencia que ambas variables tienen y derivar el orden de probabilidad de x yt t∑ .

3). Escribir el modelo en forma de Mecanismo de Correccion de Error.

4). Derivar las propiedades del estimador MCO de λ .

5.3). Para un sector se ha especificado el siguiente modelo: V V GP GP ut t t t t= + + +− −φ β β1 0 1 1 en donde tt GP y V son , respectivamente, las ventas y los gastos de promoción.

1). Determinar cuál sería el efecto acumulado en los dos primeros periodos y el efecto a largo plazo sobre Vt después de introducir un shock instantaneo en GPt sabiendo que

1<φ .

2). Repetir 1) suponiendo que el shock es permanente.

3). Repetir 1) y 2) suponiendo que φ = 1.

4). Escribir el modelo en forma de mecanismo de corrección de error especificando los parámetros que, en este modelo, reflejan los efectos a corto y largo plazo. 5.4). Suponer el siguiente modelo: tttt uyyy 131221 ++= ββ ttt uyy 2122 += − ttt uyy 3133 += − ),,( 321

'tttt uuuu = con

tttttt uuuuu 1131311212121112111111 ερρρρ ++++= −−−− tttt uuu 2132311222122 ερρδ +++= −−

• tttt uuu 3133311232133 ερρδ +++= −−

• ε t es i.i. N(0, Σ ). Se pide:

1). La forma de mecanismo de corrección de error del modelo.

2). Derivar el Efecto Relativo Total de 3y sobre 1y . ( )13ERT .

3). Derivar las condiciones que garantizan que el ERT13 coincide con el coeficiente de

3y en la relación de cointegración.

243

4). Suponer que 0112111 == ρρ y que 0321231 == ρρ . Derivar en este caso el Efecto Relativo Retardado de 3y sobre 1y . Indicar bajo qué condiciones coincidiría este efecto

con el efecto a largo plazo.

5.5). Rudebusch(1999), utilizando 62 datos anuales del Producto Nacional Bruto ( yt ) correspondientes a USA, estima dos modelos, uno del tipo estacionario en torno a una tendencia determinista (TS ) y el otro estacionario en primeras diferencias (DS ). Los resultados que obtiene son los siguientes : (Entre paréntesis aparecen las desviaciones típicas estimadas ) Modelo TS yt = .819+.0056 t +1.24 y t−1 -.419 yt−2 + $ut $ .σ u = 0583 (.27) (.0019) (.121) (.121) Modelo DS Δ Δy y vt t t= + +−. . $019 341 1 $ .σ v = 0618 (.009) (.124) Rudebusch argumenta que los dos modelos son aparentemente muy similares si atendemos a los estadísticos habituales pero que, pese a esa similitud, incorporan implicaciones muy diferentes en lo que respecta a las consecuencias que, sobre el valor de la serie, tiene la introducción de un shock en el periodo T. Se pide:

1).Estudiar y determinar en ambos modelos cuál es el efecto de un shock instantaneo en T sobre los periodos que le siguen prestando una atención especial para el caso en que el horizonte temporal es infinito.

2). Repetir 1) en el caso en que el shock es permanente.

5.6). Considerar el siguiente modelo: y y ut t t1 2 1= +β (1) Δy ut t2 2= (2) con:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσσσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2221

1211

t2

t1

00

N.d.i.i~uu

Se pide:

1). Estimar β utilizando el estimador máximo-verosimil con información completa. Derivar las propiedades de este estimador:

2). Estimar β utilizando el estimador MCO en la relación (1). Derivar las propiedades de este estimador.

3). Estimar β utilizando en (1)-(2) el estimador de los mínimos cuadrados en dos etapas. Derivar las propiedades de este estimador.

244

4). Comparar las propiedades de los estimadores definidos en los tres apartados anteriores. Indicar como sería el resultado de la comparación en el caso en que: σ12 0= .

5.7). Una compañía de seguros utiliza para la previsión de accidentes el siguiente modelo ARMA ( 1, 1) en donde yt es el número de siniestros: y y u ut t t t= + −− −. .3 71 1

1). ¿ Se pude afirmar que dicho modelo constituye un proceso lineal discreto? ¿ Es estacionario? ¿ Es invertible?.

2). Calcular E( yt ), los coeficientes de la función de autocovarianza

γ γ γ γ0 1 2 3, , ,

y los correspondientes de la función de autocorrelación,

ρ ρ ρ ρ0 1 2 3, , , .

Si ,5y71 −= 72¿y tendera a estar por encima o por debajo de cero?. Justifique la respuesta.

3). Reescribir el proceso en forma autorregresiva dando valores numéricos para π π π1 2 3, , ¿Cuál es el orden de la autorregresión?

4). Dibujar, aproximadamente, el gráfico de la serie y el correlograma.

5.8). Considerar los dos procesos siguientes:

x uy y u u

t t

t t t t

== + −− −φ θ1 1

1). Dibujar, aproximadamente, el gráfico de cada uno de los dos procesos y el de los correlogramas respectivos. 2). Calcular su función de autocovarianzas cruzadas.¿Se puede sacar alguna conclusión respecto a la dirección de la causalidad?. 3). Calcular la función de autocorrelación cruzada entre ambas series. 5.9) Considerar el siguiente modelo ttt uyy 122 += β tt uy 22 =Δ con tttt uuu 12121111 ερρ ++= −− y ttt uu 21222 ερδ ++= − en donde ),( 21 ttt εεε = es un vector de ruidos blancos. Se pide:

1) Las formas VAR y de mecanismo de corrección de error del modelo.

245

2) El Efecto Retardado para h=1,2. de un shock permanente en ty2 sobre ty1 .

3) El Efecto Relativo Total de un shock permanente en ty2 sobre ty1 .

246