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Multivariate Polynome

Ein Polynom p in n Variablen x1, . . . , xn ist eine Linearkombination vonMonomen:

p(x) =∑α

aαxα, xα = xα1

1 · · · xαnn ,

mit αi ∈ N0.

Je nach Summationsbereich unterscheidet man zwischen

totalem Grad ≤ m:∑α = α1 + · · ·+ αn ≤ m;

maximalem Grad ≤ m: maxα = maxi αi ≤ m.

Multivariate Polynome 1-1

Multivariate Polynome

Ein Polynom p in n Variablen x1, . . . , xn ist eine Linearkombination vonMonomen:

p(x) =∑α

aαxα, xα = xα1

1 · · · xαnn ,

mit αi ∈ N0.Je nach Summationsbereich unterscheidet man zwischen

totalem Grad ≤ m:∑α = α1 + · · ·+ αn ≤ m;

maximalem Grad ≤ m: maxα = maxi αi ≤ m.


Man bezeichnet ein n-variates Polynom als homogen vom Grad k , wenndie Linearkombination nur Monome mit

∑α = k enthalt. Die Anzahl

solcher homogenen Monome ist(k+n−1

n−1

). Folglich ist die Dimension der

Polynome vom totalen Grad ≤ m gleich(m + n

n

)=

m∑k=0

(k + n − 1

n − 1

).

Die Dimension der n-variaten Polynome vom maximalen Grad ≤ m ist

(m + 1)n .


Beweis:

(i) bivariate Polynome (n = 2):

Auflistung der homogenen Monome

k = 0 : 1k = 1 : x , yk = 2 : x2, xy , y2

k = 3 : x3, x2y , y2x , y3

. . . ,

Anzahl k + 1 =(k+2−1

2−1

)fur Grad k

Dimension der bivariaten Polynome vom totalen Grad ≤ m:

1 + 2 + · · ·+ (m + 1) =(m + 2)(m + 1)

2=

(m + 2

2

)(m + 1)2 Monome vom maximalen Grad ≤ m

x iy j , i , j ≤ m


Beweis:

(i) bivariate Polynome (n = 2):Auflistung der homogenen Monome

k = 0 : 1k = 1 : x , yk = 2 : x2, xy , y2

k = 3 : x3, x2y , y2x , y3

. . . ,


2−1

)fur Grad k


1 + 2 + · · ·+ (m + 1) =(m + 2)(m + 1)

2=

(m + 2

2


x iy j , i , j ≤ m


Beweis:


k = 0 : 1k = 1 : x , yk = 2 : x2, xy , y2

k = 3 : x3, x2y , y2x , y3

. . . ,


2−1

)fur Grad k


1 + 2 + · · ·+ (m + 1) =(m + 2)(m + 1)

2=

(m + 2

2


x iy j , i , j ≤ m


Beweis:


k = 0 : 1k = 1 : x , yk = 2 : x2, xy , y2

k = 3 : x3, x2y , y2x , y3

. . . ,


2−1

)fur Grad k


1 + 2 + · · ·+ (m + 1) =(m + 2)(m + 1)

2=

(m + 2

2

)

(m + 1)2 Monome vom maximalen Grad ≤ m

x iy j , i , j ≤ m


Beweis:


k = 0 : 1k = 1 : x , yk = 2 : x2, xy , y2

k = 3 : x3, x2y , y2x , y3

. . . ,


2−1

)fur Grad k


1 + 2 + · · ·+ (m + 1) =(m + 2)(m + 1)

2=

(m + 2

2


x iy j , i , j ≤ m


(ii) n-variate Polynome:

identifiziere den Exponent

(α1, . . . , αn),∑

α = m

mit einer strikt monotonen Folge

β1 = α1 + 1β2 = α1 + α2 + 2. . .

βn−1 = α1 + · · ·+ αn−1 + (n − 1)

aus {1, . . . ,m + n − 1}

αi = βi − βi−1 − 1

mit β0 = 0, βn = m + n

(m+n−1n−1

)Moglichkeiten


(ii) n-variate Polynome:identifiziere den Exponent

(α1, . . . , αn),∑

α = m


β1 = α1 + 1β2 = α1 + α2 + 2. . .

βn−1 = α1 + · · ·+ αn−1 + (n − 1)

aus {1, . . . ,m + n − 1}

αi = βi − βi−1 − 1

mit β0 = 0, βn = m + n

(m+n−1

n−1

)Moglichkeiten


(ii) n-variate Polynome:identifiziere den Exponent

(α1, . . . , αn),∑

α = m


β1 = α1 + 1β2 = α1 + α2 + 2. . .

βn−1 = α1 + · · ·+ αn−1 + (n − 1)

aus {1, . . . ,m + n − 1}

αi = βi − βi−1 − 1

mit β0 = 0, βn = m + n

(m+n−1n−1

)Moglichkeiten


(iii) n-variate Monome vom totalen Grad ≤ m:

←→ (n + 1)-variate homogene Monome vom Grad m:

xα11 · · · x

αnn ⇐⇒ xα1

1 · · · xαnn x

m−∑αi

n+1

(Letzter Exponent liegt fest.) Dimension (

m + (n + 1)− 1

(n + 1)− 1

)Dimension der n-variaten Polynome vom maximalen Grad ≤ m:Analog zum bivariaten Fall existieren (m + 1)n Monome.


(iii) n-variate Monome vom totalen Grad ≤ m:←→ (n + 1)-variate homogene Monome vom Grad m:

xα11 · · · x

αnn ⇐⇒ xα1

1 · · · xαnn x

m−∑αi

n+1

(Letzter Exponent liegt fest.)

Dimension (m + (n + 1)− 1

(n + 1)− 1




xα11 · · · x

αnn ⇐⇒ xα1

1 · · · xαnn x

m−∑αi

n+1


m + (n + 1)− 1

(n + 1)− 1

)

Dimension der n-variaten Polynome vom maximalen Grad ≤ m:Analog zum bivariaten Fall existieren (m + 1)n Monome.



xα11 · · · x

αnn ⇐⇒ xα1

1 · · · xαnn x

m−∑αi

n+1


m + (n + 1)− 1

(n + 1)− 1

)Dimension der n-variaten Polynome vom maximalen Grad ≤ m:

Analog zum bivariaten Fall existieren (m + 1)n Monome.



xα11 · · · x

αnn ⇐⇒ xα1

1 · · · xαnn x

m−∑αi

n+1


m + (n + 1)− 1

(n + 1)− 1



Beispiel:

(i) Polynom mit totalen Grad ≤ 3 in 2 Variablen:

p(x , y) = a0,0 + (a1,0x + a0,1y) + (a2,0x2 + a1,1xy + a0,2y

2)

+(a3,0x3 + a2,1x

2y + a1,2xy2 + a0,3y

3)

spezielles homogenes bivariates Polynom vom Grad 5:

7x5 − 9x3y2 + 8xy4

(ii) Polynom mit maximalem Grad ≤ 1 in drei Variablen:

p(x , y , z) = (a0,0,0 + a1,0,0x) + (a0,1,0y + a1,1,0xy)

+(a0,0,1z + a1,0,1xz) + (a0,1,1yz + a1,1,1xyz)


Beispiel:



2)

+(a3,0x3 + a2,1x

2y + a1,2xy2 + a0,3y

3)


7x5 − 9x3y2 + 8xy4


p(x , y , z) = (a0,0,0 + a1,0,0x) + (a0,1,0y + a1,1,0xy)

+(a0,0,1z + a1,0,1xz) + (a0,1,1yz + a1,1,1xyz)


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