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Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
Les ouvrages partiellement enterrés subissent la poussée des terres. Ce cours présente les différentes façon d ’évaluer cette poussée.Voici des exemples d ’ouvrages soumis à la poussée des terres
MUR DE SOUTENEMENT RIDEAU DE PALPLANCHES
Diapo n° 1 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
BATIMENT ENTERRE EXCAVATION AVEC BLINDAGE
Diapo n° 2 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
LES CALCULS DE POUSSÉE DES TERRES HYPOTHÈSES :
-Un écran rigide-Un milieu homogène isotrope-Un massif entièrement en rupture (les lignes de rupture sont entièrement développées) ce qui signifie que le critère de coulomb est vérifié :
τ = σ tg ϕ + C
Diapo n° 3 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
Qo
élastique
déformationdéformation déformationplastique plastique
0,1% 3%
expansioncompression
Qplimite
Qalimite
Effort Q
Qo : Effort exercé par les terres sur un écran à l'état de repos, (calculé avec Ko et σ'v)Qa : Effort exercé par les terres sur un écran à l'équilibre actif, de poussée ( avec Ka et σ'v)Qp : Effort exercé par les terres sur un écran à l'équilibre passif, de butée (avec Kp et σ'v)
Diapo n° 4 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
butée passive
poussée active
repos
σ'
τ
Kp Coefficient de butée des terres, état passifKa Coefficient de poussée des terres, état actif
Diapo n° 5 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
poussée
butée
Diapo n° 6 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
poussée
pousséebutée
Diapo n° 7 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
SELON LE MODE DE CONSTRUCTION ADOPTE REPOS OU POUSSEE
Diapo n° 8 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
La théorie de Charles Augustin COULOMB (1773)
Soit un écran rigide qui soutient une hauteur de terre. Considérons le bloc ABC de poids P qui glisse sur la surface AC La résistance au frottement de ce bloc de terre est calculée par la relation
Pour que ce bloc soit en équilibre l ’écran oppose une force Q
τ = σ tg ϕ + C
A
CB
θ
H
Q
P
R ϕδ
β>0
i>0
A
CB
θ
H
Q
P
R ϕδ
β>0
i>0
Diapo n° 9 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
Cette force Q nécessaire à retenir les terres servira de base au dimensionnement du mur.
L ’angle θ de la surface de glissement AC parrapport à l ’horizontale est inconnu à priori.
C.A. COULOMB propose de retenir l ’angle θ qui correspond à la force Q la plus importante , c ’est l ’angle critique de glissement
A
CB
θ
H
Q
P
R ϕ
δ
β>0
i>0
Diapo n° 10 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
DIAGRAMME TRIANGULAIRE ÉCRAN VERTICALCoefficient Ka
La répartition des contraintes de contact le long de l ’écran est triangulaire :
v
haK
σσ
= z
Hzv ×γ=σ Qa
ah Kz)z( ××γ=σ
ah KH)H( ××γ=σ
a
2
a K2H
Q ××γ
=
Diapo n° 11 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
COEFFICIENT DE POUSSÉE DE COULOMB Ka
?
?)isin()sin()isin()sin(
1)sin(sin
)(sin2H
Q2
22
22
a
β+⋅δ−β−ϕ⋅δ+ϕ+×δ−β×β
β+ϕ⋅γ=
Dans le cas général on calcule Qa avec la relation suivante :
A
CB
θ
H
Q
P
R ϕδ
β>0
i>0
A
CB
θ
H
Q
P
R ϕδ
β>0
i>0
=
avec δ compris entre 0 et ϕ
Diapo n° 12 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
CAS PARTICULIER D ’UN ÉCRAN VERTICAL NON FROTTANT δ = 0 , β = π/2 et i = 0
Qa
( )22
22
asin1
)(sin
2H
Qϕ+
+ϕ×γ=
π
H( )222
asin1
cos2H
Qϕ+
ϕ×γ=
ϕ−
π×γ=
24tg
2H
Q 22
a
a
2
a K2H
Q ××γ
=
Diapo n° 13 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
DÉMONSTRATION POUR LE CAS PARTICULIERÉCRAN VERTICAL FROTTANT β = π/2 et i = 0
R
P
R ϕ
Q
δ
H
P L = H/tgθ
Q
θ
Diapo n° 14 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
Q
θ×γ
=tg2H
P2
δ
π/2 - δ
R
Q
ϕθ - ϕ
P R P
θ θ
∑ = 0forcesdesehorizontalprojection
∑ = 0forcesdesverticaleprojection
Diapo n° 15 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
(1) 0)cos(RsinQP =ϕ−θ−δ−
0)sin(RcosQ =ϕ−θ−δ(2)
)sin(cosQ
Rϕ−θδ
=D ’où :
θtg2
2×γ=
HPEn réinjectant dans (1) avec on a :
0)(tg
cossinQ
tg2H2
=
ϕ−θδ
+δ×−θ
×γ
Diapo n° 16 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
On retient l ’angle θ qui donne la valeur la plus grande pour Q×cosδ
)(tgcos
sin
tg2H
coscosQ
2
ϕ−θδ+δ
θ×γ×δ
=δ×
)(tgcos
sin
tgcos
A
ϕ−θδ+δ
θδ
=H et γ étant des constantes,On pose :
Diapo n° 17 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
Valeurs de A en fonction de θ
pour ϕ égal à 10°, 20°, 30°, 40° et 50°
Avec δ = ϕ
0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,70
25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
ϕ = 10°
ϕ = 20°
ϕ = 40°ϕ = 30°
ϕ = 50°
Diapo n° 18 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
On constate que si ϕ augmente, l ’angle critique de glissement θ augmente aussi :
θ = 48° θ = 60°
ϕ = 20° ϕ = 40°
Diapo n° 19 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
On constate que si ϕ augmente, le coefficient A maximum, directement proportionnel à la poussée des terres, diminue :
ϕ = 20° ϕ = 40°
Diapo n° 20 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
Valeurs de A en fonction de θ
pour ϕ égal à 10°, 20°, 30°, 40° et 50°
Avec δ = 0
0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,75
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
ϕ = 50°
ϕ = 40°ϕ = 30°
ϕ = 20°
ϕ = 10°
Diapo n° 21 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
On constate également que si ϕ augmente, l ’angle critique de glissement θ augmente :
θ = 55° θ = 65°
ϕ = 20° ϕ = 40°
θcritique = π⁄ 4 + ϕ/2
Diapo n° 22 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
θcritique = π⁄ 4 + ϕ/2
σ1
θ
σ3 σ
τ
2θϕ
σ1
σ3
Plan de glissement
Diapo n° 23 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
COEFFICIENT DE BUTÉE DE COULOMB Kp
?
?)isin()sin()isin()sin(
1)sin(sin
)(sin2H
Qp2
22
22
β+⋅δ−β+ϕ⋅δ−ϕ−×δ−β×β
ϕ−β⋅γ=
avec δ compris entre -ϕ et 0
Lorsque les terres retiennent le mouvement du mur on dit que l ’on est à l ’état d ’équilibre limite passif de butée. Cette situation est rencontrée dans les parties avals des murs enterrés :le diagramme de butée des terres n ’est pas uniforme, il est triangulaire tel que sarésultante soit égale à Qp
Cette résultant s ’applique au tiers inférieur.
Qp
=
Diapo n° 24 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
FAIBLESSE DE LA THÉORIE DE COULOMB
La théorie de COULOMB sur la poussée des terres ne tient pas compte de la courbure de la surface de glissement.
Les résultats expérimentaux de poussée concordent toutefois approximativement avec les formules de COULOMB pour les cas de mur poids dans le sable (C=0). L'utilisation de la théorie de COULOMB est donc tout à fait valable pour calculer la poussée des terres dans ces cas.
Diapo n° 25 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
THÉORIE DE RANKINE (1856)
L'hypothèse de COULOMB (surface de rupture plane) est un moyen de simplifier les problèmes, mais elle est inexacte dans un grand nombre de cas.
Dès le milieu du XIXème Siècle plusieurs auteurs se sont efforcé d'établir une théorie plus rigoureuse, qui corresponde mieux au comportement réel d'un massif de sol derrière un mur de soutènement.
La théorie de RANKINE s'appuie sur une analyse du champs de contrainte pour définir les lignes de glissement (plans de rupture), il s'agit de la théorie des états limites (ou équilibres limites).
Diapo n° 26 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
EQUILIBRES LIMITES DE RANKINE (1856)
RANKINE cherche à représenter les contraintes qui règnent dans le massif pulvérulent au moment de l ’équilibre limite :
β
A B
σv
β
z
ds
β××γ=β×××γ
=σ coszds
cosdszV
Diapo n° 27 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
Il existe deux états d ’équilibre limite possibles sur la facette AB :L ’équilibre limite de poussée activeL ’équilibre limite de butée passive
B
A β σ
τ
E
A partir de cette contrainte σv représentée par le point E, il ne passe que deux cercles tangents aux droites de COULOMB. Ce sont les cercles C1 et C2
Diapo n° 28 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
Le plus petit cercle correspond à l ’équilibre limite de poussée
Le plus grand correspond à l ’équilibre limite de butée.
B
A β
τ
E
ϕ
σ
Diapo n° 29 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
On va déterminer la contrainte σ ’ qui agit sur les facettes verticales.
Dans le plan physique, pour passer de l ’orientation de la facette AB à une facette verticale CD on doit tourner d ’un angle égal à 270° + β (pour la poussée) ou 270° - β (pour la butée)
σvz
Diapo n° 30 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
Poussée : rotation de ¾ π + β
Butée : rotation de ¾ π - β
Dans le plan de Mohr on devra donc tourner le long des cercles d ’un angle égal au double et dans le sens inverse (avec la convention de signe du poly):
Diapo n° 31 Eric Gervreau 2005
τ
E
3π - 2β
F ’
3π + 2β
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
F
β
O
σ
Les contraintes qui s ’appliquent sur une facette verticale ont pour intensité OF (pour la poussée) et OF ’ (pour la butée)
Autrement dit :OEKOF a ×=
OEKFO p ×=′
Diapo n° 32 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
Remarque : Ces contraintes OF et OF’ ne sont pas normales aux écrans verticaux. Il y a donc une composante de cisaillement et l’inclinaison de la résultante est égale à la pente du terrain.
Sur l’écran vertical en poussée : σn = σv Ka cos βτ = σv Ka sin β
Diapo n° 33 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
Nous pouvons déterminer l ’expression des coefficients Ka et Kp
par des calculs trigonométriques assez simples mais fastidieux.Je vous laisse le soin de la trouver.
L ’expression qui en résulte est assez longue, elle est peu utilisée.
On lui préfère des tableaux de valeurs numériques de ces coefficients (qui dépendent de ϕ).
N.B. On peut compléter le sujet en envisageant une facette non verticale inclinée d ’un angle λ .
Diapo n° 34 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
CAS SIMPLE D ’ÉCRAN VERTICAL AVEC SURFACE LIBRE HORIZONTALE (β=0)
Ka = tg2(π/4 - ϕ/2)
Kp = tg2(π/4 + ϕ/2)
τ
EO
F ’F σ
Diapo n° 35 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
Dans le cas général d ’une surface libre inclinée et d ’un écran non vertical avec un frottement du sol sur l ’écran de δon a pour expression de la poussée élémentaire : σ
δ+
+
+
θ
λ
h
sinsin
sinArcϕθ
=ω
pa = h × γ ×Ka
[ ]))2cos((sin1)sin(cos
sincosKa λ+θ−ωϕ−×
θ+ω×δω×θ
=
Diapo n° 36 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
FAIBLESSES DE LA THÉORIE DE RANKINE
La théorie de RANKINE sur la poussée des terres ne tient pas compte de la cohésion du sol (C = 0).
De plus la théorie de RANKINE impose, à priori l ’orientation de la contrainte qui s ’applique sur les écrans : parallèle à la pente.Or il est bien connu que c ’est le déplacement relatif du mur avec le sol qui impose l ’obliquité δ de cette contrainte.
Enfin la théorie de RANKINE, comme celle de COULOMB du reste , présuppose des glissements rectilignes.
Diapo n° 37 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
TRAVAUX DE RESAL
En 1910, Jean RESAL admet comme RANKINE que les argiles peuvent perdre leur cohésion, mais il doit y avoir beaucoup de cas où la cohésion peut être considérée comme un élément permanent de la résistance.Il est donc revenu au critère de rupture énoncé par COULOMB et a repris les calculs de RANKINE en considérant que la résistance de rupture par glissement est exprimée par la somme de deux termes.L'un est proportionnel à l'étendue de la surface de rupture qui représente la force de cohésion, et l'autre, proportionnel à la pression normale mutuelle des deux parties disjointes, qui représente la force de frottement.
Diapo n° 38 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
THÉORIE DE BOUSSINESQ (1882) MÉTHODE DES ÉQUILIBRES LIMITES
FORMULES DE CAQUOT (1934)Des expériences ont été faites vers 1870 en Angleterre par M. DARWIN et en France par M. GOBIN, elles ont montré que les valeurs expérimentales trouvées étaient notablement inférieures à celles que donnaient la théorie de RANKINE , avec des écarts allant jusqu'à 50%, en particulier pour les solscohérents.Plusieurs auteurs se sont attachés à lever cette approximation, comme Résal en France.C'est en fait BOUSSINESQ, en 1882, qui propose une théorie de poussée des terres plus juste. Il pose les équations différentielles de tous les équilibres de poussée sur un parement quelconque avec une obliquité quelconque entre +ϕ et -ϕ donnant ainsi la solution du problème dans tous les cas de déplacement relatif du mur par rapport au massif et de rugosité du mur sur le sol
Diapo n° 39 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
Boussinesq détermine l'équation de ces courbes, mais ses calculs l'ont conduit à des équations différentielles non intégrables.
Jean Resal(1910), mathématicien également donna quelques valeurs numériques de coefficient à partir des équations de Boussinesq, mais ce fut Albert Caquot en 1934, après avoir réécrit les équations de Boussinesq en coordonnées polaires, qui donna la méthode d’intégration complète.
En 1948, Caquot et Kerisel rassemblent des tables de coefficients de poussée et de butée des terres qui sont encore utilisée aujourd ’hui.
Diapo n° 40 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
D’une façon pratique, on déterminera l’action des terre derrière un écran en distinguant trois actions :
ACTION DU POIDS PROPRE
zb
za
σ 'h (za) = σ 'v (za ) . K pγ σ 'h (zb) = σ 'v (zb ) . K aγ
exp a ns io n
com p re ss io n
Diapo n° 41 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
ACTION DE LA SURCHARGE
σ'h = pa . Kpq σ'h = pb . Ka q
e xpa ns ion
compre ss ion
charge uniformé ment répa rtie pb
charge uniformé ment répa rtie pa
Diapo n° 42 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
C/tgϕ
. Kpq
C/tgϕ
. Kaq
e xpa ns ion
compre ss ion
C/tgϕ
c/tgϕ
c/tgϕ
C/tgϕ
En butée σ'h = C/tgϕ (Kpq - 1) = C/tgϕ . Kpc, qui est supérieure à zéro c'est à dire que la cohésion pousse l'écran vers l'amontEn poussée σ'h = C/tgϕ (Kaq - 1) = C/tgϕ . Kac, qui est inférieure à zéro c'est à dire que la cohésion tire l'écran vers l'amont
ACTION DE LA COHESION
Diapo n° 43 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
tables de Poussée-butée
tables de COULOMB
Lσ(L)
δ+
+
+
i
λ
λ=90°-βσ (L) = K × L × γ
Diapo n° 44 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
tables de RANKINE
σ
δ+
+
+
θ
λ
hσ (h) = K × h × γ
Diapo n° 45 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
tables de CAQUOT-KERISEL (EQUILIBRES LIMITES)
L
σ(L)
δ+
+
+
β
λσ (L) = K × L × γ
Diapo n° 46 Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2 Cisaillement, poussée - butée
Diapo n° 47 Eric Gervreau 2005