Prof. Dr.-Ing. Stefan Hartmann Clausthal-Zellerfeld, 30. Juli 2010Institut fur Technische MechanikFachgebiet FestkorpermechanikTU Clausthal

Punkte

Nachname, Vorname (Druckbuchstaben) Matrikelnr.

Klausur Technische Mechanik II (Teil 2)(Sommersemester 2010)

Das Aufgabenblatt darf bis auf den Namen sowie der Matrikelnummer nicht beschrieben werden!

Aufgabe 2 (19 Punkte)Gegeben sei eine Stutze mit Rechteckquerschnitt, welche durch eine horizontale Streckenlastbelastet wird. Die Axialkraft F greift exzentrisch mit der Exzentrizitat e an.

by

eF

F

L

q0

yh

q0

Wirkungslinie von F

x x

zA A

z

e

Gegeben: F , q0, L, e, b, h

(a) Berechnen Sie die Lagerreaktionen sowie die Schnittgroenverlaufe.(b) Berechnen Sie die Normalspannungen xx(x, y, z). Geben Sie hierbei die Flachentragheits-

momente Iyy und Izz sowie die Querschnittsflache A an.(c) Berechnen Sie die Normalspannung xx(0, y, z) und stellen Sie diese quantitativ grafisch

dar. Nehmen Sie hierbei h = 2b, L = 50b, F = 2q0L und e = b/2 an.

1

(d) Wie gro ist die Schubspannung xy und xz an der Einspannstelle x = 0? Nehmen Siehierbei die Werte von Fragenteil (c) an. Geben Sie dort auch die maximalen Schubspan-nungen an.

2

Losung zu Aufgabe 2

(a)z

q0

x

L

FAx

Az

MAy

Ax = F

MAy =q0L

2

2Az = q0L

x

L

F

Ay

MAzy

FeAx

MAz = Fe

Ay = 0

q0

Ax

Azx

Qz(x)

N(x)

My(x)MAy

N(x) = Ax = F

Qz(x) = Az q0x = q0L(1x

L)

My(x) = MAy Azxq0x

2

2

=q0L

2

2+ q0Lx

q0x2

2

My(x) = q0L

2

2

(1 2

x

L+

(xL

)2)

3

Ax

x

N(x)

Mz(x)

Qy(x)

MAz

Ay

Qy(x) = Ay = 0

Mz(x) = MAz = Fe

(b)

Iyy =bh3

12, Izz =

hb3

12, A = bh

xx(x, y, z) =N(x)

A+

My(x)

Iyyz

Mz(x)

Izzy

= F

bh

12

bh3q0L

2

2

(1 2

x

L+

(xL

)2)z

12

hb3Fey

(c)

h = 2b, L = 50b, F = 2q0L, e =b

2

xx(0, y, z) = F

bh

6q0L2

bh3z

12

hb3Fey

= 100q0b

2b2

6 2500q0b2

8b4z

1200q0b2

4b4y

= q0b

(50 + 3 625

z

b+ 300

y

b

)=

q0b

(50 + 1875

z

b+ 300

y

b

)

4

xx(0,b

2,h

2) = xx(0,

b

2, b)

= q0b

(50 + 1875 + 150)

= 2075q0b

xx(0,b

2,

h

2) = xx(0,

b

2,b)

= q0b

(50 1875 + 150)

= 1675q0b

xx(0,b

2,h

2) = xx(0,

b

2, b)

= q0b

(50 + 1875 150)

= 1775q0b

xx(0,b

2,

h

2) = xx(0,

b

2,b)

= q0b

(50 1875 150)

= 1975q0b

y

z

1675 q0b

1975 q0b

1775 q0b

2075 q0b

(d)

xz(x, z) =Qz(x)Sy(z)

Iyyb=

6Qz(x)

bh3

((h

2

)2 z2

)

xz(0, z) =6q0L

bh3

((h

2

)2 z2

)

max xz(0, 0) =3

2

q0L

bh3h2 =

3

2

q0L

bh

=3

2

q050b

2b2=

75

2

q0b

max xy = 0, da Qy(x) = 0

5

Aufgabe 3 (18 Punkte)Ein auf Torsion belasteter Balken mit rechteckigem geschlossenen Hohlkastenquerschnitt wirdauf Torsion und Biegung beansprucht.

10t

10t

z

q0

L

t

t

z

xA MT y

(a) Berechnen Sie die Biegelinie sowie die Schnittgroenverlaufe aus der Biegedifferential-gleichung.

(b) Bestimmen Sie die Flachentragheitsmomente Iyy und das Torsionstragheitsmoment IT .(c) Wie gro ist der Verdrehwinkel am rechten Balkenende, (L)?(d) Wie gro ist die Axialverschiebung u(L, 9

2t, 9

2t)?

Gegeben: q0, MT , L, t, E, G

6

Losung zu Aufgabe 3

(a)EIyw

(x) = q(x) = q0

Qz(x) = EIyw(x) = q0x + C1

My(x) = EIyw(x) =

q0x2

2+ C1x + C2

EIyw(x) =

q0x3

6+ C1

x2

2+ C2x + C3

EIyw(x) =q0x

4

24+ C1

x3

6+ C2

x2

2+ C3x + C4

RB:w(0) = 0 C4 = 0

w(0) = 0 C3 = 0

EIyw(L) = 0 =

q0L2

2+ C1L + C2 (1)

EIyw(L) = 0 =q0L

4

24+ C1

L3

6+ C2

L2

2(2)

Aus (1): C2 = q0L2

2 C1L (3)

Eingesetzt in (2):q0L

4

24+ C1

L3

6+

(

q0L2

2 C1L

)L2

2

=q0L

4

24

q0L4

4+ C1

(L3

6

L3

2

)

=5

24q0L

4 C1

L3

3

C1 =5

8q0L

Eingesetzt in (3):

C2 = q0L

2

2+

5

8q0L

2 =q0L

2

8

EIyw(x) =q0L

4

48

(2(x

L

)4 5

(xL

)3+ 3

(xL

)2)

My(x) = EIyw(x) =

q0L2

8

(4(x

L

)2 5

(xL

)+ 1

)

=q0L

2

8

(4

(xL

)2+ 5

(xL

) 1

)

Qz(x) = EIyw(x) =

q0L

8

(8(x

L

) 5

)

7

(b)

Iy = 2

[10t t3

12+

(4t +

t

2

)210t2

]+ 2

[(8t)3t

12

]

= 2

[5

6t4 +

810

4t4

]+

256

3t4

= 492t4

10t8t

10t

t

t

z

y

IT =(2Am)

2ds

h(s)

=(2Am)

2t

U

U = 4 9t = 36t Am = (9t)2 = 81t2

IT =4 6561t4t

36t=

6561

9t4 = 729t4

(c)GIT

(x) = 0

GIT (x) = C1

GIT (x) = C1x + C2

(0) = 0 C2 = 0

(x) =MT (x)

GIT=

MTGIT

GIT (L) = C1 = MT

GIT (x) = MT x

(L) =MTGIT

L

(d) Verdrehwinkel aus Biegung bei x = L

w(L) =1

EIy

(q0L

3

6

5q0L3

16+

q0L3

8

)

=q0L

3

48EIy(8 15 + 6)

= q0L

3

48EIy

8

Axialverschiebung aus Biegung

u(L, z) = w(x)z =q0L

3

48EIyz

Axialverschiebung aus Torsion

u(x, s) u(x, 0) =T

G

s0

ds

h(s) 2(x)am(s)

=MT (x)

2AmGt

s0

ds 2MT (x)

GITam(s)

zam(92t)

s

y

u(L, 0) = 0

u(L,9

2t) =

MT2 81t2Gt

9

2t 2

MTG729t4

(9

2t

)21

2

=MTGt2

(1

36

81

2916

)= 0

Axialverschiebung:

u(L, z) =q0L

3

48EIyz

u(L,9

2t) =

q0L3

48EIy

9

2t =

3

32

q0L3t

EIy

9