สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

หวขอโครงงาน ความสมพนธของสมประสทธการกระจายอเนกนามในร ป แ บ บ ซ ม เ พ ล ก ห ล า ย ม ต (The Relation of Multinomial Coefficients in the Forming of the Multidimensional Simplex)

ผทำาโครงงาน นางสาวนฏฐภรณ วงศสวาง นางสาววลยพร สรอยอาภรณ และนายธนวา ธระกาญจน

อาจารยทปรกษาอาจารยจำาเรญ เจยวหวาน อาจารยธรรมนญ ผยรอด และ อาจารยจรวรรณ อปมาณสาขาวชา คณตศาสตร โรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการศกษา 2549

บทคดยอ

สมประสทธการกระจายทวนามแตละดกรนนสามารถนำาจดเรยงใหเปนรปสามเหลยมดานเทาได โดยทจำานวนทตดกน 2 จำานวนในแถวแถวหนงจะรวมกนไดจำานวนทอยตรงลงมาในแถวถดไป หรอทเรยกกนวา สามเหลยมปาสคาล “ ” ซงถกคนพบมาตงแต 450 ปกอนครสตกาล ตอมามการคนพบวาสามารถขยายรปแบบนไปสรปแบบใน 3 มตได โดยสมประสทธการกระจายอเนกนาม 3 ตวแปรสามารถนำามาจดเรยงเปนรปทรงสหนาได โดยทจำานวน 3 จำานวนทตดกนจะรวมกนไดจำานวนในชนถดไป เรยกวา ทรงสหนาของปาสคาล โครงงานนเปนการศกษา“ ”สามเหลยมปาสคาล และทรงสหนาของปาสคาล เพอขยายรปแบบความสมพนธนเปนรปแบบทวไป นนคอความสมพนธของสมประสทธการกระจายอเนกนามหลายตวแปรกบรปเรขาคณตหลายมต ซงรปแบบทวไปในหลายมตของสามเหลยมและทรงสหนา ทเรยกวาซมเพลก (Simplex) และสรางนยามรปแบบทวไปทางเรขาคณต d มตกบสมประสทธ

2

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

การกระจายอเนกนาม d ตวแปร โดยใหชอวา Pascal’s d-simplex ใหครอบคลมคณสมบตและเอกลกษณพนฐานของสามเหลยมปาสคาล ทรงสหนาของปาสคาล ตลอดจนรปแบบนในมตใดๆไดทงหมด รวมถงคณสมบตเพมเตมตางๆ ไดแก จำานวนทตดกนในระดบเดยวกนจะรวมกนไดเทากบจำานวนทอยตรงกนในระดบถดไป, จำานวนใน Pascal’s d-simplex จะเปนสมประสทธการกระจายอเนกนาม d ตวแปร ทำาใหไดเอกลกษณของปาสคาลในรปทวไปเมอ คอ

, k-face ของ Pascal’s d-simplex จะเปน Pascal’s k-simplex ดวย เปนตน ทงนผจดทำาโครงงานจะทำาการศกษาตอไปวาเอกลกษณสวนใหญในจำานวนหลายรอยเอกลกษณทพบในสามเหลยมปาสคาล จะสามารถขยายสรปแบบทวไปในหลายมตไดเชนกนหวขอโครงงาน การหาจำานวน Endomorphism ของกราฟ

(The Number of Endomorphism of Graphs)ผทำาโครงงาน นายกลวจน วศาลสวสด อาจารยทปรกษา นางสาวจำาเรญ เจยวหวาน นางสาวจรวรรณ อ

ปมาณ นายธรรมนญ ผยรอด และ รศ.ดร.ณรงค ปนนม

สาขาวชา คณตศาสตรโรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการศกษา

2549

บทคดยอ

จำานวน endomorphisms กบจำานวนทางเดน(walk) ในกราฟนนมความสมพนธกน ดงนนเราสามารถนบ จำานวน

3

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

endomorphisms ในกราฟตางๆ ไดจาก walk ทมเงอนไขบางอยาง ซงจำานวน walk ดงกลาวจะเทากบ จำานวน endomorphisms ในกราฟเหลานน โดยจำานวน walk สามารถหาไดดวยวธตางๆมากมาย แตมวธหนงทนาสนใจคอการแปลงกราฟใหอยในรปของ เมทรกซประชด (adjacency matrix) และใชวธการ ยกกำาลง k เมทรกซ เพอหาจำานวน walk ความยาว k ในการเดนจากจดหนงไปยงอกจดหนง

ในโครงงานน ไดใชความร เรอง Adjacency matrix และ combinatorics เพอสรางสตรคำานวณหาจำานวน walk และจำานวน endomorphisms ในกราฟอยางงาย 3 ชนดดงน

1. complete graph 2. path graph 3. cycle graph

หวขอโครงงาน การศกษาอตราสวนของลกรกบและการประยกต(The Study of Rugby football shape figures)

ผทำาโครงงาน นางสาวสกนยา โกยทรพยสน นายพศวต วฒไกรวทย และนายวรากร ญาณวชรากล

4

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

อาจารยทปรกษา อาจารย สมย เหลาวานชย อาจารย รงฟา จนทจารภรณ และอาจารย จำาเรญ เจยวหวานสาขาวชา คณตศาสตรโรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการศกษา 2549

บทคดยอ

โครงงานนไดศกษาเกยวกบการหาฟงกชนเสนโคงของลกรกบใหไดในรปทวไปจากการศกษา เราใชความรทางดานโปรแกรมคอมพวเตอร และ ความรทางดานคณตศาสตร โดยการศกษา ไดใชโปรแกรม Advance Grapher, Geometer’s sketchpad และ Microsoft Office Excel 2003 เพอทจะนำามาชวยในการหา Best fit curve แทนการคดคำานวณดวยมอโดยใช Least Square Method ในการคด และใชโปรแกรมคอมพวเตอรเขามาชวยในการคำานวณและสรางรปแบบฟงกชนเพอความถกตองแมนยำาใหไดมากทสดและเรายงใชความรทางคณตศาสตรมาเพอประกอบการหาฟงกชนเสนโคงของลกรกบ ทำาใหไดฟงกชนดงน

นอกจากไดฟงกชนเสนโคงของลกรกบมาแลวเราสามารถทจะนำาฟงกชนดงกลาวมาประยกตใชรวมกบแคลคลส พชคณต เปนตน เพอเปนประโยชนตางๆ มากมาย สำาหรบโครงงานนไดทำาการศกษาหาฟงกชนซงใชไดในชวงทกำาหนดเทานน ยงไมสามารถใชไดกบกรณทวไป

5

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

หวขอโครงงาน รปหลายเหลยมทมวงกลมลอมรอบและวงกลมแนบใน (Bicentric Polygon)

ผทำาโครงงาน นาย เพมทรพย มยงอาจารยทปรกษานาย ธรรมนญ ผยรอด นางสาวนงลกษณ อาภา

สตยและนายสญญา พมกมาร สาขาวชา คณตศาสตรโรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการ

ศกษา 2549

บทคดยอ

ในการหาคณสมบตของ Bicentric Polygon สงเกตวา ในรปสามเหลยม (ซงเปน Bicentric อยแลว) พบวามความสมพนธระหวางรศมวงกลมลอมรอบ (Circumradius R), รศมวงกลมแนบใน (Inradius r) และ ระยะหางระหวางจดศนยกลางทงสอง (separation d) เชน R2-d2=2Rr อกทงยงพบอกวาถาสรางวงกลมสองวงทมความสมพนธดงกลาว จะไดวา ไมวาจะสรางรปทจดเรมตนใดบนวงกลมลอมรอบกตาม กใหรปสามเหลยมทตองการไดเสมอ นอกจากนจะไดวาจด centroid ของจดสมผสวงกลมแนบใน เปนจดคงทดวย แตในกรณรปหลายเหลยม พบวามความสมพนธระหวาง R, r และ d เชนกน แตไมมรปแบบแนนอน และมขนาดใหญ จงไมสามารถหาออกมาไดทกรป polygon

6

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

หวขอโครงงาน ปรมาตรรปทรงจากการหมนรอบแกนของรป n เหลยมดานเทามมเทา(Volume of Figure from Revolving of Symmetric Shapes)

ผทำาโครงงาน นายกตคณ เฮยงราช นายปต สรเนาวรตน และนายสรภส ไหลเวชพทยา

อาจารยทปรกษานายธรรมนญ ผยรอด นายเดยว ใจบญ และนางสาวรงสมา สายรตนทองคำา

สาขาวชา คณตศาสตรโรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการ

ศกษา 2549

บทคดยอ

เนองดวยปจจบนสตรการหาปรมาตรของรปทรง 3 มตสวนใหญนน จำาเปนตองรพนทฐานและความสงของรปทรงทตองการเสยกอน

7

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

หากเราสามารถคำานวณหาปรมาตรของรปทรงทตองการโดยรเพยงความยาวเสนรอบรปของหนาตดของรปทรงนน จะเปนอกทางหนงในการคำานวณหาปรมาตรไดอยางรวดเรว ถกตองและแมนยำา ดงนนกลมของขาพเจาจงไดจดทำาโครงงานการหาปรมาตรของรปทรงจากการหมนรอบแกนของรป n เหลยมดานเทามมเทาขน ซงในการศกษานนไดทำาการศกษารปหลายเหลยมดานเทามมเทาทไมเกนหาเหลยม โดยนำารปเหลยมเหลานนไปวาดลงบนระนาบ XY จากนน หาสมการเสนตรงทเกดขนและนำาไปหาปรมาตรทเกนจากการหมนรอบแกนโดยใชวธหาปรมาตรของทรงสามมตของการหมนรอบแบบจาน (Disk Integration) แลวสรปออกมาเปนสตรคำานวณอยางงาย สำาหรบประโยชนทไดรบเพมเตมจากการศกษากลมของขาพเจา คอ การหาสตรคำานวณหาพนทของรปปด n เหลยมดานเทามมเทาโดยใชเพยงความยาวรอบรปของรปปดหลายเหลยมดานเทามมเทานนๆ

หวขอโครงงาน การศกษาประวต เอกลกษณการจดและการประยกตใช สามเหลยมปาสคาล

(The Study of History, Identities and Application of Pascal’s Triangle)

8

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

ผทำาโครงงาน นายวส ทรพยสพรรณ นายศรต ประวตรกลวฒน และนายอภณฐ เพงเรองโรจนชย

อาจารยทปรกษา นางสาว รงสมา สายรตนทองค ำา นางสาว นงลกษณ อาภาสตย และ

นาย ธรรมนญ ผยรอดสาขาวชา คณตศาสตรโรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการ

ศกษา 2549

บทคดยอ

สามเหลยมปาสคาลมตนกำาเนดครงแรกใน ค.ศ.1000 โดยชาวอาหรบชอ อลการาจ ไดใหนยามของสมประสทธทวนามและเขยนสามเหลยมไว แตไมเปนทรจก ตอมา ค.ศ. 1303 ชาวจนชอ ช ซน ช ไดเขยนตารางตวเลขขนมา และในป ค.ศ. 1654 ปาสคาล เสนอการเขยนสมประสทธทวนามในรปแบบตาราง ซงเปนครงแรกทมคนยอมรบวาตารางนมประโยชนจรง เพอเปนเกยรตแกปาสคาล จงตงชอวา สามเหลยมปาสคาล เมอศกษาสามเหลยมปาสคาลแลว พบวามเอกลกษณและลำาดบทนาสนใจอยภายในสามเหลยมปาสคาล เชน ลำาดบเลขคาตาแลน ลำาดบเลขฟโบนคซ เปนตน นอกจากนเรายงสามารถนำาสามเหลยมปาสคาลมาประยกตใชในเรองตาง ๆ ดงน

1. การนำาสามเหลยมปาสคาลมาหาคาของ 11n และ 9n โดยท n เปนจำานวนเตมบวก

2. การหาจำานวนวธและความนาจะเปนทงหมดของการไดคะแนนในการเลนโปกเกอร

9

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

3. การคดคนลายผาจากการระบายสตวเลขภายในสามเหลยมปาสคาล

หวขอโครงงาน การพสจนอสมการของอนกรมจำากดดวยความเปนอนนตและพชคณต (Prove Inequality of Finite Series by Infinity and Aalgebra)

ผทำาโครงงาน นางสาวศรประภา เรวกอาจารยทปรกษานายธรรมนญ ผยรอด นางสาวจรวรรณ อปมาณ

และ นางสาวนงลกษณ อาภาสตยสาขาวชา คณตศาสตรโรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการศกษา

2549

บทคดยอ

โครงงานนเปนการศกษาและพสจนอสมการของอนกรมจำากด โดยจะศกษารปแบบอสมการของอนกรมจำากดในรป เมอ เปนอนกรมจำากด และ เปนคาคงท ทงหมด 6 รปแบบ โดยใชโปรแกรม Maple ชวยในการวาดกราฟของอนกรมอนนตทขยายจากอนกรมจำากด เพอกำาหนดคาคงท จากนน พสจนอสมการของอนกรมอนนต

10

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

ดงกลาว โดยใชความรทางพชคณต จากการศกษา ทำาใหทราบคาคงท ของอสมการททำาการศกษาและวธการพสจนอสมการโดยไมใชวธการอปนยเชงคณตศาสตร

หวขอโครงงาน จำานวนตนไมแผทวของกราฟ (The Number of Spanning Trees of Graph

)ผทำาโครงงาน นายณฐพล ศรนรเศรษฐ นายพศน รตนเลศ และ นายวรศ เจรญวราวฒอาจารยทปรกษา นายธรรมนญ ผยรอด นางสาวจรวรรณ อ

ปมาณ และ นายสวฒน ศรโยธ

สาขาวชา คณตศาสตรโรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการศกษา

2549

11

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

บทคดยอ

ทฤษฏกราฟ ( Graph Theory ) เปนวชาแขนงหนงของคณตศาสตรทศกษาเกยวกบเซตของจด (vertex) และเซตของเสนเชอมระหวางจด (edge) ซงในปจจบนมผใหความสนใจเปนอยางมาก เพราะการศกษาทฤษฏกราฟสามารถนำาไปประยกตใชกบสาขาวชาอน ๆ ไดมากมาย อกทงยงสามารถนำามาแกปญหาตาง ๆ ทเกดขนในชวตประจำาวนได เชน การหาจำานวนวธวางระบบเครอขายคอมพวเตอร, วธการจดวางตำาแหนงงานในองคกร ซงปญหาเหลานสามารถใชวธการหาจำานวนตนไมแผทวของกราฟในการหาคำาตอบได โดยไดมนกคณตศาสตรคดคนสตรการหาจำานวนตนไมแผทวของกราฟรปแบบตาง ๆ ขนมามากมาย เรมตงแต Arthur Cayley ไดคดคนสตรการหาจำานวนตนไมแผทวของกราฟสมบรณ ( Complete graph ) ซงเทากบ ตอมาไดมผขยายทฤษฏกราฟเพมเตมอก คอ กสตาฟ เคอชอฟ ( Kirchhoff ) ซงไดคดคน Matrix Tree Theorem ทงนกลมของขาพเจามความสนใจทจะศกษาการหาจำานวนตนไมแผทวของกราฟ ซงเปนรปแบบหนงของ Complete m – partite graph ( ) ทนาสนใจ เพราะสามารถพบเหนไดบอยในสถานการณตาง ๆ จงไดใชทฤษฏดงกลาว และความรเรองเมตรกซมาใชในการพสจน จากผลการศกษาพบวา สตรจำานวนตนไมแผทวของกราฟ คอ เมอ แทนจำานวนจดของ partition หนงในกราฟ นอกจากน กลมของขาพเจายงสนใจทจะศกษาจำานวนตนไมแผทวของ Complete bipartite graph ซงไดมผคดคนสตรไวกอนหนานแลว คอ เมอ เปนจำานวนจดของแตละ partition ในกราฟแตเนองจากการพสจนทฤษฏนยงไมเปนทแพรหลาย กลมของขาพเจาจงไดทำาการพสจนสตรน โดยใช Matrix Tree Theorem

12

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

เชนกน เพอแสดงใหเหนการพสจน และสามารถเขาใจทมาของสตรไดดยงขน

หวขอโครงงาน การศกษาการแผกระจายของสายนำาเมอตกกระทบบนพนผวเรยบในลกษณะการ

ตกกระทบทตางกน

(Factors Affecting Distribution of Water Falling onto Smooth ground)ผทำาโครงงาน นายนนท เชดสงวน นายมารวย เพลนใจ และ

นายโอภาส อศวโรจนพงษ อาจารยทปรกษา นาย ชดเฉลม คงประดษฐ และนายสวฒน ศรโยธสาขาวชา คณตศาสตรโรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการ

ศกษา 2549

บทคดยอ

ในการศกษาความสมพนธระหวางการแผกระจายของสายนำา (ความยาวของเสนนนท) ทตกกระทบบนพนผวเรยบกบความสงของระดบนำาและมมของพนผวททำากบแนวระดบ โดยการศกษานนแบงเปน 2 ขนตอนคอ ขนทดลองเพอเกบรวบรวมขอมล โดยทำาการทดลองทหอพกนกเรยนชายเปนเวลา 4 เดอน รวมตวอยางททดลองทงสน 360 ตวอยาง และขนวเคราะหขอมลเพอประมวลผลหาความสมพนธจากขอมลทหาไดจากขนท 1 โดยใชหลกการทางสถตขนสง ไดแก การวเคราะหความถดถอยเชงพห (Multiple Regression Analysis)และสมประสทธการตดสนใจเชงพห (Multiple Coefficient of Determination : R2) พบวาตวแปรทงสาม (ความ

13

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

สงของระดบนำา มมระหวางพนผวกบแนวระดบและความยาวของเสนนนท) มความสมพนธกน และกลมของขาพเจาไดศกษา คนหา และเรยบเรยงขอมลทไดมาสรางสมการเชงระนาบ เพอพยากรณความยาวของเสนนนทจากความสงและมม ดงกลาว ในขอบเขตทกำาหนดได

หวขอโครงงาน การแกปญหาเกมซโดกโดยใช โปรแกรมภาษาซ ใหเขากบหลกความคดของคน

(Sudoku problem solving Program)ชอผทำาโครงงาน นางสาวพรรชดา กลราช และ นางสาวพนธนวธ วทยพนธอาจารยทปรกษา นายชดเฉลม คงประดษฐ นายสวฒน ศรโยธ และนายเดยว ใจบญ สาขาวชา คณตศาสตรโรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการศกษา 2549

บทคดยอ

ในปจจบนมโปรแกรมหาผลเฉลยของเกมซโดกอยมากมาย ทงแบบสมตวเลข และใช Algorithm ในการหาผลเฉลย แต Algorithm ทมอยทวไปนนยงไมเปนโปรแกรมทมประสทธภาพสงสด คณะผจดทำาจงจดทำาโครงงานนขน เพอพฒนาความสามารถในการประมวลผลของโปรแกรม โดยการลองเลนเกมซโดก แลววเคราะหนำา

14

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

เทคนคตางๆของการเลนซโดก มาเขยนเปน Algorithm โดยใช โปรแกรมภาษาซในการประมวลผล ซงโปรแกรมทคณะผจดทำา สรางขนสามารถ หาผลเฉลยของตารางซโดกไดจรง สามารถหาผลเฉลยของตารางซโดกทมผลเฉลยมากกวาหนงผลเฉลย สามารถตรวจสอบไดวาตวเลขในตารางซโดกแตละแถว คอลมน และตารางยอย 3x3 ซำากนหรอไม ลดการสมเดาตวเลขในการประมวลผล พรอมทงยงมประสทธภาพกวาโปรแกรมอนๆทวไป

หวขอโครงงาน การวเคราะหสมบตตางๆ ของธาตในตารางธาตโดยใชสมการถดถอย

(The Regression Analysis of Properties of Elements in Periodic Table)

ผทำาโครงงาน นายธนภทร ธนานนท นายธรช ศกดเดชยนต และนายพทวส นวมงคลวฒนาอาจารยทปรกษานางสาวนงลกษณ อาภาสตย นางสาวรงสมา สาย

รตนทองคำา และนางสาวสภาวด ศรทาหาญ

สาขาวชา คณตศาสตร

15

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

โรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการศกษา 2549

บทคดยอ

จากความรในเรองตารางธาต พบวาคาตาง ๆ ของธาตในตารางธาตจะมความสมพนธกนในลกษณะทเปนหมหรอเปนคาบ ซงโครงงานนศกษาเกยวกบรปแบบความสมพนธของคา Atomic mass, First ionization energy, Electronegativity, Specific heat, Enthalpy of vaporization โดยใชความรในเรองสถตและเรองการวเคราะหความถดถอย มาประยกตใชเพอหาความสมพนธของคาแตละคาตามหมหรอคาบ โดยในการศกษาจะใชโปรแกรม SPSS เขาชวยในการคำานวณ จากการวเคราะหรปแบบความสมพนธในลกษณะตาง ๆ กน โดยพจารณาจากคาสมประสทธการตดสนใจ คา Sig. ของสถต F ทระดบนยสำาคญ α = 0.05 และเงอนไขของการวเคราะหความถดถอย ซงประกอบดวย 4 หวขอ คอ คาคลาดเคลอนตองมการแจกแจงแบบปกต คาเฉลยของคาคลาดเคลอนเปนศนย ความแปรปรวนของคาคลาดเคลอนคงท และคาคลาดเคลอนเปนอสระตอกน คณะผจดทำาโครงงานสามารถจดรปแบบกราฟตามความสมพนธของคาตาง ๆ ขางตนได เชน ความสมพนธระหวางเลขอะตอมกบคา First ionization energy ในหม IA จะไดรปแบบความสมพนธ Logarithmic เปนตน

สำาหรบโครงงานนเปนเพยงการศกษาสมบตบางประการของธาตในตารางธาตเทานน หากมผใดจะนำาไปประยกตหรอศกษาตอเพอเปนประโยชนจะเปนการดยง

16

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

หวขอโครงงาน 3 มตใน 2 มต (3D in 2D)

ผทำาโครงงาน นายณฐ ศรวภาสถตย นายภทระ ศภโชตชย และ นายวรวทย วรพพฒนอาจารยทปรกษา อาจารยธรรมนญ ผยรอด อาจารยจรวรรณ อปมาณ และ

อาจารยชดเฉลม คงประดษฐ สาขาวชา คณตศาสตรโรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการ

ศกษา 2549

บทคดยอ

วตถตางๆทเรามองเหน ลวนแตเปน 3 มต ในการทเราจะวาดภาพเหมอนดงเชนทเหนนนเราไมสามารถวาดเปน 3 มตไดโดยตรง เพราะกระดาษทเราใชวาดนนมเพยง 2 มต นนคอเราสามารถวาดลงไปไดเพยงดานกวางและดานยาวของกระดาษ แตเราไมสามารถวาดไปตามดานลกของกระดาษได กลมของขาพเจาจงศกษาเกยวกบความสมพนธของจดตางๆบนรปภาพทเราเหน 3 มต กบภาพบนระนาบ 2 มต เชน ภาพวาดหรอภาพถายนนเอง โดยโครงงานนยงรวมถงการเปลยนตำาแหนงของจด เมอมมมองเปลยนไปอกดวย โดยจากการศกษาคนควา ทำาใหกลมของขาพเจาสามารถสรปไดวา

ถาเรามพกดของวตถในแกนอางอง 3 มต และเรามองวตถชนนจากจด โดยเราหนหนาไปทางขวาเปนมม เทยบกบระนาบ YZ และเงยหนาเปนมม เทยบกบระนาบ XZ โดยภาพทเรา

17

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

เหนสามารถแทนดวยจดบนฉากทมระยะหางจากตาเปนระยะ 1 หนวย สามารถเขยนแทนดวย โดยท

เมอ

และ

หวขอโครงงาน วธการหาการจบคทมนำาหนกมากทสดในกราฟไบพารไทบรบรณ

(Finding the Maximum Weight in Matching of Complete Bipartite Graph)

ผทำาโครงงาน นายจรโชค จโรจนวณชชากร นายณฐวทย พานชชอบ และ นายอภนทธ พรยะกลวงศอาจารยทปรกษา นายธรรมนญ ผยรอด นายเดยว ใจบญ และ นางสาวนงลกษณ อาภาสตยสาขาวชา คณตศาสตรโรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการ

ศกษา 2549

บทคดยอ

เนองจากปจจบนปญหาตางๆ ทเกดขนนนสามารถนำาแบบจำาลองทางคณตศาสตรมาชวยแกปญหาได โดยเฉพาะเรองของ ทฤษฎกราฟ

18

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

ซงเปนเรองทสามารถประยกตใชไดในหลากหลายรปแบบและหลากหลายสถานการณ ซง ณ ทนคณะผทำาโครงงานเกดความคดทวา ถามเรออยลำาหนงซงไดผกเชอกยดตดไวกบทาเรอในรปแบบใดๆกตามอาจจะแนวขนาน แนวตงฉาก หรออนๆโดยใชเชอกยดตด แลวจะทำาอยางไร จงใชเชอกใหนอยทสด และผกเชอกใหเกดแรงตงเชอกมากทสดโดยการผกแตละจดนนยอมเกดแรงตงเชอกทไมเทากน

ปญหานสามารถนำามาสรางแบบจำาลองโดยใชกราฟเขามาชวย เมอเราไดสรางแบบจำาลอง ปรากฏวากราฟทออกมานน ตรงกบรปแบบกราฟชนดหนงซงเรยกวา กราฟไบพารไท (กราฟทสามารถแบงเซตของจดออกไดเปน 2 เซต โดยท 2 จดใดๆในเซตนนๆ ไมเปนจดประชดกน)

แตอยางไรกตามปญหานมความตงเชอกเขามาเกยวของดวย ฉะนนการจบคนจะเปนการจบคทมนำาหนกของกราฟซงหมายถงความตงเชอกนนเอง ดงนนจงเปนการประยกตเรองกราฟทสงขนอกขนหนง

หวขอโครงงาน อนพนธอนดบท 3 กบการวเคราะหลกษณะของจดเปลยนความเวา(Analyzing the Inflection Point of the Graph with the Third Derivative)

ผทำาโครงงาน นายครน วนธารกล นายชยณรงค อดมรตนะศลป และ

นายวรวทย วรพพฒน

19

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

อาจารยทปรกษา อาจารยชดเฉลม คงประดษฐ อาจารยจรวรรณ อปมาณ และ

อาจารยธรรมนญ ผยรอดสาขาวชา คณตศาสตรโรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการ

ศกษา 2549

บทคดยอ

เนองจากนยามของจดเปลยนความเวานนจะกลาวถงการเปลยนแปลงคาของอนพนธอนดบสองดงนนเมอหาคาอนพนธอนดบสามซงเปนอตราการเปลยนแปลงของอนพนธอนดบสองแลว คาอนพนธอนดบสามทหาไดนจงนาจะมความสมพนธกบลกษณะของจดเปลยนความเวาของกราฟ โครงงานนจงทำาการศกษาความสมพนธระหวางลกษณะของจดเปลยนความเวาของกราฟซงถกกำาหนดโดยฟงกชนทสามารถหาอนพนธอนดบสามได ณ จดเปลยนความเวากบคาของอนพนธอนดบสาม ณ จดนนวาเปนอยางไร ซงผลทไดคอ เมอ = 0

กรณท 1. < 0 จด เปนจดเปลยนความเวา โดยกราฟจะเปลยนความเวาจากเวาขนเปนเวาลง

กรณท 2. > 0 จด เปนจดเปลยนความเวา โดยกราฟจะเปลยนความเวาจากเวาลงเปนเวาขน

กรณท 3. = 0 จะไมสามารถระบไดแนชดวาเปนจดเปลยนความเวาหรอไม ตองยอนกลบไปใชการพจารณาดวยอนพนธอนดบสองอกครง ความสมพนธทไดนสามารถนำาไปประยกตใชในการหาจดเปลยนความเวาของกราฟซงถกกำาหนดโดยฟงกชนทสามารถหาอนพนธอนดบสาม

20

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

ได ณ จดเปลยนความเวา ไดสะดวกกวาวธวเคราะหดวยอนพนธอนดบสอง

หวขอโครงงาน สมการของรอยของจดบนเสนรอบวงของวงกลมวงนอกสดจากวงกลมท

เคลอนท n วงแบบ Epicycloid (Equation of Trace of a Dot on the Circumference of the Outermost Circle of a set of n Epicycloid-fashion Moving Circles)

ผทำาโครงงาน นางสาวเจนนสา อารยาภนนท นางสาวทรพยทว ศร เจรญ และนางสาวพมประไพ เลศอมรกตต

อาจารยทปรกษานายเดยว ใจบญ นายสญญา พมกมาร และนางสาวนงลกษณ อาภาสตยสาขาวชา คณตศาสตรโรงเรยน มหดลวทยานสรณ

ปการศกษา 2549

บทคดยอ

โครงงานนเปนโครงงานทไดแนวคดมาจาก Design Ruler แบบ Spirograph (ชดไมบรรทดออกแบบซงประกอบดวยเฟองและวงแหวนทเปนฟนปลาอยรอบวงดานใน โดยทเฟองจะพอดกบฟนปลาและสามารถหมนรอบดานในของวงแหวนได รปทวาดไดจากไมบรรทดนเปนกราฟแบบ Hypotrochoid)

โครงงานนตองการหาสมการของรอยของจดบนเสนรอบวงของวงกลมวงนอกสด จากวงกลมทเคลอนททงหมด n วง โดยทวงกลม

21

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

แตละวงเคลอนทพรอมกบหมนรอบนอกวงกลมวงทอยตดกนถดเขาไป และวงกลมวงในสดมจดศนยกลางหยดนง ซงวงกลมทเคลอนทจะเคลอนทไดระยะทางเทากนในเวลาเทากน และกราฟทไดจะตองเปนรปปด โดยศกษาสมการของ Hypotrochoid เพอนำามาใชเปนแนวทางในการหาสมการของ Epicycloid ทมวงกลมทเคลอนท 1 วง และหาสมการทมวงกลมเคลอนทจำานวนวงเพมขนทละ 1 วงจนกระทงสามารถหาสมการรปทวไปของกราฟทตองการศกษาทมวงกลมเคลอนท n วงได โดยใชความรในเรองตรโกณมตและสมการทไดอยในรปสมการองตวแปรเสรม (parametric equations)

ในการศกษามการใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ในการสรางกราฟจากรอยของจดทตองการศกษา และโปรแกรม Maple ในการสรางกราฟจากสมการทได แลวนำากราฟทไดจากทงสองโปรแกรมมาเปรยบเทยบกนเพอตรวจสอบความถกตองของสมการทหาได

หวขอโครงงาน การหาสมการทำานายจำานวนเซลลของยสตจากเวลา

(Equation Predicts the Number of Yeast’s Cells from Duration of the Culture)

ผทำาโครงงาน นายณฐ โชตจกรดกล นายเทอดพงษ โชตปญโญ และนายรณชย สทธสงข

อาจารยทปรกษา นายเดยว ใจบญ นายสญญา พมกมาร และนางสาวอารย สกยม

สาขาวชา คณตศาสตรโรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการ

ศกษา 2549

22

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

บทคดยอ

การหาสมการทำานายจำานวนเซลลของยสตจากเวลาเพอศกษาการเจรญเตบโตของยสตโดยทำาการหาสมการความสมพนธระหวางจำานวนเซลลยสตกบเวลาทใชในการเพาะเลยงทความเจอจางของเชอยสตเรมตนเทากบ 1:104 1:105 1:106 1:107 1:108 1:109 และ 1:1010 โดยเมอทำาการทดลองเลยงเชอยสตทระดบความเจอจางเรมตนตางๆ ในหลอด Appendrope แลวทำาการสมตวอยางเชอยสตในหลอด Appendrope มานบจำานวนเซลลของยสตทกๆ 1 ชวโมง จากนนนำาผลการทดลองทไดมาวเคราะหหาสมการความสมพนธระหวางจำานวนเซลลกบเวลาทใชในการเพาะเลยง โดยพจารณาจากคาสมประสทธพยากรณ (R2) ทคำานวณจากการนำาขอมลมาหาสมการรปแบบตางๆ ซงคาสมประสทธพยากรณ (R2) หาไดจาก R2 = SSR/SST หรอ R2 = 1 – (SSE/SST) พบวารปแบบของกราฟทมคาสมประสทธพยากรณ (R2) มากทสด คอ กราฟความสมพนธแบบ S-curve ซงมสมการ คอ

หวขอโครงงาน วธในการนำารปเรขาคณตดานเทามมเทามาเรยงเปนแผนอยางตอเนองในระนาบ

23

สาขาคณตศาสตร (Mwit’14)

เดยวกน (All Ways to Cover 2D-Floor by Regular

Polygon)ผทำาโครงงาน นายชยวฒน ศภศลป และนายปรชญา ปยะศรศลปอาจารยทปรกษา นายถนอมศกด เหลากล นายสญญา พมกมาร

และ นายธรรมนญ ผยรอด

สาขาวชา คณตศาสตรโรงเรยน มหดลวทยานสรณ ปการ

ศกษา 2549

บทคดยอ

ในการพสจนเพอหาจำานวนวธในการนำารปเรขาคณตดานเทามมเทามาเรยงเปนแผนอยางตอเนองในระนาบเดยวกน แลวนำาผลลพธทงหมดไปตรวจสอบดวยโปรแกรม Maple 6.2 พบวา จำานวนรปแบบในการเรยงรปเรขาคณตโดยการนำามมของทกรปมาชนกน มทงหมด 15 รปแบบ แบงเปนกรณทใชรปเหลยมดานเทามมเทาเพยงชนดเดยว 3 รปแบบ กรณทใชรปเหลยมดานเทามมเทาสองชนด 6 รปแบบ และกรณทใชรปเหลยมดานเทามมเทาสามชนด 6 รปแบบ โดยพบวา จะไมสามารถใชรปเหลยมดานเทามมเทาเกน 3 ชนดมาเรยงไดตามวตถประสงค นอกจากน เรายงสามารถนำารปเหลยมดานเทามมเทามาเรยงโดยการนำามมของบางรปมาชนกบดานของอกรป ซงสามารถเกดได 3 รปแบบ

24