n° 8.- ecuaciones - 2
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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOPresentan la forma general:
Esta ecuacin es: Compatible indeterminado si:
Incompatible si:
Compatible determinado si:
Solucin de una ecuacin de Segundo grado:La ecuacin: ax2 + bx + c = 0, se puede resolver por:Factorizacin:Resolver:
Nottita
Al resolver expresiones de la forma:
3 es una raz de multiplicidad 2 pues se reitera dos veces, entonces:
Por Formula (Baskara)La ecuacin: ax2+bx+c=0, se puede resolver por la formula de Baskara donde:
Resolver:Solucin:
Discriminante ()Se llama as a la cantidad sub radical expresada por.
En la ecuacin:
ax2 +bx + c = 0Se cumple:
Posee races reales y diferentes
Posee races reales e iguales
Posee races complejas conjugadas
Suma de races:
Producto de races:
Diferencia races:
relacin de legendre:
Nottita
Si las races y son simtricas:
Si las races y son reciprocas:
Formacin de una ecuacin cuadrtica
Dada una ecuacin de races y la ecuacin a formarse ser:
Dos ecuaciones cuadrticas: Ax2 + Bx + C = 0Mx2 + Nx + P = 0Son EQUIVALENTES si estas presentan las mismas soluciones o el mismo conjunto solucin entonces se cumple:
ECUACIONES BICUADRADASLas ecuaciones bicuadraticas son de la siguiente forma:
Donde las races son:
1 NIVEL01. Hallar cuantas de las siguientes expresiones son verdaderas, respecto de la ecuacin:
I. Si entonces la ecuacin presenta 2 races reales e igualesII. La ecuacin, es indeterminada si: III. Tiene races simtricas si se cumple la relacin: IV.
Si: , entonces se verificara que:
a) 2b) 3 c) 1d) 4e) 0
02. Un valor de x que satisface a la ecuacin:
, es:
a) b) c)
d) e)
03. Calcular n si la suma de races es 8.
a) 2b) 6c) 4d) 10e) 14
04. Hallar m si el producto de races es 6 en la ecuacin:
a) 10b) 12c) 13d) 11e) 16
05. Hallar m si una raz de la ecuacin es 2.
a) 10b) 12c) 14d) 16e) 18
06.
Calcular a y b si estas son races de: , indicar el valor de:
a) 9b) c)
d) 0e) 07. Determinar la menor raz de la siguiente ecuacin mnica de segundo grado:
a) 5b) c) 4
d) e)
08. calcule el valor de si se sabe que -6 es una raz de la ecuacin .a) 2b) 5c) 1d) 4e) 0
09. las races de la ecuacin de segundo grado son: ; dicha ecuacin es:a) b) c) d) e)
010.
La ecuacin: , tiene por races a , calcular:
a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6
2 NIVEL011. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I.-Si y son races de la ecuacin , entonces:
II.-Si y son races de la ecuacin , entonces las races son complejas.
III.-Si y son races de la ecuacin , entonces el valor de es 2.a) VVFb) VFVc) VVVd) FVVe) FVF
012.
Sean y races de: , hallar k si:
a) 6b) 8c)
d) e) 4
013. Hallar el producto de las races de la dcima ecuacin: ; ; ,a) 729b) 1000c) -1000d) -729e) 812014.
Si y son las races de: , calcular:
a) 0,25b) 0,5c)
d) 2e)
015. si es el conjunto solucin de la ecuacin , calcule el valor de: .a) 85b) 96c) 110d) 100e) 136
Si: son races de la ecuacin:
, el valor de:
; es:
a) b) c)
d) e)
016. Siendo: , siendo m y n races, reduzca:
a) 7b) 9c) 12d) 11e) 5
017.
Si las races de la ecuacin: ; admiten como races a tal que: , encontrar el valor de n:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
018. En la ecuacin: . Hallar el valor positivo de n para que las races difieran en 1.a) 10b) 11c) 1d) 8e) 12
019. Dadas las ecuaciones:
de races y
de races m y n
Calcular: a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4
020.
Las races de la ecuacin de segundo grado son: ; , encontrar la ecuacin de segundo grado:
a)
b)
c)
d)
e)
3 NIVEL021. La ecuacin:
Indicar el valor de verdad de:
I.-Si: , entonces existe una nica solucin.
II.-Si: , tiene races no reales.
III.-Si: , tiene dos races distintas y reales.a) VVFb) VFVc) VVVd) FVFe) FFV
022.
Si y son races de: , calcular:
a) 12b) 18c) 20d) 21e) 17023.
La ecuacin: tiene dos races y , calcular:
a) b) c) 8d) 3e) 2
024. Si las siguientes ecuaciones:
Son equivalentes, entonces la ecuacin de segundo grado que tiene como races a m y n es:
a)
b)
c)
d)
e)
025.
Dada la ecuacin: cuyas races son y , calcular el valor de n tal que se cumpla:
a) 13b) 14c) 15d) 16e) 17026. Dada la ecuacin. ; si la suma de los cuadrados de sus races es 40. Hallar m
a) 100b) c)
d) e)
027. Halle para que la ecuacin:
; tenga 2 races iguales:
a) 1b) c)
d) e) 028. Si las races de la ecuacin:
Son iguales, calcular m.
a) 12 y 9b) 12 y c) 16 y d) 16 y 9 e) 24 y
029.
Si y son las races de la ecuacin: , calcular el valor numrico de:
a) 29b) 61c) 69d) 51e) 44
030.
Si es una raz de la ecuacin: , calcular:
a) 5b) c) 3
d) e) 1
4 NIVEL031. siendo: las races de la ecuacin .Hallar: a) b) c) d)e) 032. Hallar el valor si las ecuaciones:
Son equivalentesa) 11b) 12c) 13d) 14e) 15
033.
Si: es el conjunto solucin de la ecuacin: de modo que: , Cul es el valor de n?a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
034.
Si es una raz de la ecuacin: , calcule usted el valor de: a) 1,5b) 2c) 1
d) 0,5e)
035. Determine el mayor valor que asume m para que una de las races de la ecuacin:
Sea tambin raz de la ecuacin:
a) 17b) 51c)
d) 2e) 036.
La ecuacin: , tiene por races a , calcular:
a) 102b) 103c) 104d) 105e) 108
037.
Si: m y n, son las races de la ecuacin: , el valor de: , es:
a) b) c)
d) e)
038. Sea la ecuacin:
De races y , determinar el valor de:
a) b) c)
d) e)
039.
Las races de: son nmeros positivos y diferentes en 3 unidades, calcular el valor de: , siendo las races.
a) b) 20c)
d) e) 30
040. En la ecuacin:
Determinar el valor de n de manera que x posee infinitas soluciones.
a) 3b) c)
d) 2e)
5 NIVEL041. Resolver:
Siendo y sus soluciones.
Indique ( es menor que )
a) b) c)
d) e) 4042.
Si: es el conjunto solucin de la ecuacin: , determine m para que se verifique:
a) 5b) 7c) 11d) 3e) 1043.
Siendo y son races de la ecuacin:
Calcular:
a) b) c) 4
d) e) 1
044. La ecuacin:
Tiene como conjunto solucin , calcule
a) b) 16c)
d) e)
045. Halle el valor de m sabiendo que una raz excede a la otra en 4 unidades.
a) b) c)
d) e)
046. Hallar la ecuacin de segundo grado cuyas races sean:
;
Donde: son races de la ecuacin: . Dar como respuesta el coeficiente entero del trmino lineal:
a) b) c)
d) e)
047.
Hallar , si la ecuacin cuadrtica ; tiene races simtricas y recprocas.
a) b)
c) d)
e)
048. Hallar el valor de m+n si las ecuaciones son equivalentes:
a) 7b) 2 c) 8d) 4e) 6
049. Si: son races de la ecuacin:
; calcular: .
a) b) c)
d) e)
050.
En la ecuacin cuadrtica de races se cumple que:
Indique la relacin que existe entre a; b; c para que se cumpla esta condicin.
a) b)
c) d)
e) 051. Determinar m y n tales que las ecuaciones:
Tengan el mismo conjunto solucin:a) 9 y 7b) 11 y 7c) 7 y 8d) 10 y 9e) 12 y 8