n a u t i k a - modulkreatif.files.wordpress.com · begitu besar sehingga penulis dapat...
TRANSCRIPT
N A U T I K A
M O D U L P E M B E L A J A R A N D I G I T A L
POLITEKNIK PELAYARAN SURABAYA
A R I E P U J I A S T U T I 1600 200 74
Program Teknologi Pendidikan Pascasarjana
UNIVERSITAS PGRI adi buana
2018
i
Kata Pengantar
Segala puji bagi Allah Tuhan semesta alam yang telah memberikan nikmat yang
begitu besar sehingga penulis dapat menyelesaikan modul digital Matematika Terapan
bagi taruna Politeknik Pelayaran Surabaya. Modul ini sebagai panduan untuk Mata
Kuliah Matematika Terapan yang kurikulumnya telah menyesuaikan International
Maritime Organization (IMO) model course sebagaimana amandemen Manila 2010.
Setiap materi telah disesuaikan dengan kebutuhan taruna di atas kapal sehingga istilah
yang digunakan menggunakan istilah sebagaimana standar IMO. Modul ini juga
menggunakan tautan (link) yang bisa dibuka berupa animasi sehingga mempermudah
pemahaman taruna dalam memperlajari materi yang diberikan setiap bab.
Kami ucapkan terima kasih sebesar-besarnya pada semua pihak yang telah
membantu kami dalam menyelesaikan modul digital ini. Demikian pengantar dari kami
semoga bermanfaat.
Surabaya, Oktober 2018
Penyusun
Arie Puji Astuti
ii
DAFTAR TABEL
Tabel 1.1 Notasi Vektor ..................................................................................................... 2
Tabel 1.2 Komponen Vektor ............................................................................................. 10
Tabel 2.1 Notasi yang digunakan di ellips ...................................................................... 25
iii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Lintasan rute kapal ....................................................................................... 1
Gambar 1.2 Vektor ............................................................................................................. 2
Gambar 1.3 Faktor yang berpengaruh pada kecepatan dan arah kapal ...................... 3
Gambar 1.4 Vektor kapal dan vektor arus ...................................................................... 4
Gambar 1.5 Penjumlahan vektor ...................................................................................... 4
Gambar 1.6 Vektor negatif ................................................................................................ 5
Gambar 1.7 Resultan akhir pengurangan ........................................................................ 5
Gambar 1.8 Vektor poligon: lebih dari 2 vektor ............................................................ 5
Gambar 1.9 Resultan hasil penjumlahan ......................................................................... 6
Gambar 1.10 Vektor poligon arah kebalikan .................................................................. 6
Gambar 1.11 Resultan vektor poligon ............................................................................. 7
Gambar 1.12 Arah resultan dari arus dan kapal ........................................................... 8
Gambar 1.13 Penetapan komponen vektor ..................................................................... 9
Gambar 1.14 Komponen Vektor ...................................................................................... 10
Gambar 2.1 Lingkaran pada pusat koordinat ................................................................. 14
Gambar 2.2 Titik A pada setiap kuadran ........................................................................ 15
Gambar 2.3 Posisi lingkaran pada sembarang titik ........................................................ 16
Gambar 2.4 Garis singgung lingkaran ............................................................................. 18
Gambar 2.5 Tampilan RADAR ........................................................................................ 20
iv
Gambar 2.6 Tampilan posisi pada RADAR .................................................................... 20
Gambar 2.7 Posisi kapal asing dalam bentuk proyeksi sumbu X dan Y ..................... 21
Gambar 2.8 Grafik Parabolik ............................................................................................ 23
Gambar 2.9 Proses pembuatan ellips ............................................................................... 24
Gambar 2.10 Bagian ellips ................................................................................................. 25
Gambar 2.11 Ellips berpusat di (4, -2) ............................................................................. 27
Gambar 2.12 Hiperbola berpusat di (0,0) ...................................................................... 28
Gambar 2.13 Kurva hiperbolik ......................................................................................... 30
Gambar 2.14 Kurva hiperbolik berpusat di (h, k) .......................................................... 30
Gambar 2.15 Kurva hiperbolik berpusat di (8, -4) ......................................................... 25
Gambar 2.16 Time Different (TD) atau coding delay pada stasiun master dan
sekunder ......................................................................................................... 33
Gambar 2.17 Waktu yang dibutuhkan antara stasiun master dan sekunder .............. 33
Gambar 2.18 Posisi pemancar M dan X serta sebuah kapal ......................................... 34
v
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ............................................................................................................ i
KATA PENGANTAR ........................................................................................................ ii
DAFTAR TABEL ................................................................................................................. iii
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................................ iv
DAFTAR ISI ........................................................................................................................ vii
BAB I VEKTOR
A. Definisi Vektor............................................................................................. 1
B. Besaran vektor dan besaran skalar ............................................................ 2
C. Notasi vektor ................................................................................................ 2
D. Penjumlahan dan pengurangan vektor ..................................................... 3
E. Metode segitiga ............................................................................................ 4
F. Metode Poligon ............................................................................................ 5
G. Metode Jajaran genjang ............................................................................. 8
H. Metode komponen vektor .......................................................................... 9
I. Vektor kecepatan dan percepatan ............................................................. 11
J. Rangkuman .................................................................................................. 13
BAB II LINGKARAN, PARABOLA, ELLIPS DAN HIPERBOLA
A. Definisi lingkaran ........................................................................................ 14
B. Persamaan lingkaran pada pusat koordinat ............................................. 14
C. Persamaan umum lingkaran pada koordinat kartesius .......................... 16
D. Persamaan garis singgung lingkaran ....................................................... 18
E. Aplikasi lingkaran pada pelayaran ........................................................... 20
F. Parabola ...................................................................................................... 22
vi
G. Ellips ........................................................................................................... 24
H. Hiperbola .................................................................................................... 28
I. Hiperbola berpusat di (h,k) ..................................................................... 30
J. Aplikasi hiperbolik pada pelayaran ........................................................ 32
K. Rangkuman ................................................................................................. 37
Daftar Pustaka
Glosarium
Index
1
VEKTOR
Definisi Vektor Sebuah kapal menempuh jarak dari Pelabuhan A menuju Pelabuhan B dapat
menggunakan 3 jalan, sebagaimana gambar di bawah. Rute 1 memiliki jarak tempuh 80
mil, rute 2 memiliki jarak tempuh 75 mil, rute 3 memiliki jarak tempuh 55 mil.
Gambar 1.1 Lintasan rute kapal
Jarak tempuh terdekat dan terpendek adalah jarak rute 3, dan perpindahan dari
Pelabuhan A ke Pelabuhan B menggunakan rute 3 adalah sebuah vektor. Sehingga dari
ilustrasi di atas, dapat dijabarkan bahwa vektor adalah besaran yang memiliki arah dan
nilai dengan lintasan garis lurus. Arah ditunjukkan dengan tanda panah dan nilai
ditunjukkan dengan besarnya jarak yaitu 55 km.
Deskripsi Mata Kuliah : (alokasi waktu : 3 x 2 JP)
1. Pembahasan vektor terkait dengan penentuan jarak dan arah haluan kapal.
Diharapkan setelah pembelajaran ini taruna dapat menjelaskan dan mendapatan
nilai kecepatan kapal yang dipengaruhi oleh kecepatan arus arah angin, serta
arah haluan kapal.
2. Pembahasan vektor juga memuat perhitungan resultan dengan beberapa
metode, baik metode poligon, jajaran genjang dan komponen vektor.
2
Besaran Vektor dan Besaran Skalar Selain besaran vektor, kita juga mengenal besaran skalar yang hanya memiliki nilai saja
dan ia tidak memiliki arah, sebagai contoh massa, volume, suhu, massa jenis, luas,dan
sebagainya. Berbeda dengan vektor yang memiliki arah dan nilai semisal kecepatan, gaya,
percepatan, perpindahan, dan sebagainya
Notasi Vektor Untuk menuliskan sebuah vektor ada beberapa notasi yang dapat digunakan, sehingga
jika kita membaca buku yang membahas tentang vektor ada beberapa notasi yang
kemungkinan digunakan oleh penulis. Misalkan kita ingin menggambar vektor a
sebagaimana gambar berikut.
Gambar 1.2 Vektor
Dalam menggambarkan vektor, dimulai dari titik pangkal A menuju titik ujung B dan
diberikan ujung tanda panah. Untuk menuliskan (notasi) sebuah vektor pada gambar
di atas dapat ditulis:
Tabel 1.1 Notasi Vektor
• Vektor a → huruf tebal • Vektor AB → huruf tebal
• Vektor a → huruf miring • Vektor AB → huruf miring • Vektor �̅� → tanda 𝒃𝒂𝒓̅̅ ̅̅ ̅̅ (garis atas) • Vektor 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ → tanda 𝑏𝑎𝑟̅̅ ̅̅ ̅̅ (garis atas) • Vektor �⃗⃗� → tanda panah • Vektor 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ → tanda panah
Di buku ini vektor dinotasikan dengan huruf tebal, misal vektor a , vektor b, dst.
3
Penjumlahan dan pengurangan Vektor Kecepatan kapal terkadang dipengaruhi angin dan arus laut, sehingga kecepatan kapal
akan berubah dan arah juga akan berubah. Besar kecepatan kapal setelah dipengaruhi
oleh angin dan arus dinamakan resultan vektor kapal, sehingga resultan vektor adalah
penjumlahan dari vektor kapal, vektor arus, dan vektor angin. Untuk menjumlahkan
vektor dapat menggunakan beberapa metode, yaitu :
❖ Metode segitiga ❖ Metode jajaran genjang
❖ Metode poligon ❖ Metode diagram (grafik)
Dalam pelayaran yang sering digunakan adalah metode diagram, karena kapal yang
berlayar dipengaruhi oleh arah arus dan kecepatan arus, arah kapal dan kecepatan kapal,
kecepatan angin dan arah angin. Sebagai dasar, maka akan dikupas mulai metode segitiga
terlebih dahulu.
Gambar 1.3 Faktor yang berpengaruh pada kecepatan kapal dan arah kapal
arah kapal
Faktor kapalkecepatan
kapal
arah angin
Faktor anginkecepatan
angin
kecepatan arus
Faktor arusarah arus
4
Metode segitiga Dalam metode ini, vektor yang dijumlahkan menggunakan dua garis vektor dan 1 garis
resultan. Misalkan vektor kecepatan kapal adalah a dan vektor kecepatan arus adalah b,
maka dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 1.4 Vektor kapal dan vektor arus
Vektor a digambar lebih panjang karena kecepatan kapal lebih cepat daripada kecepatan
arus laut, misalkan kecepatan kapal 8 knot dan kecepatan arus 2 knot, sehingga dengan
metode segitiga dapat digambarkan resultan vektor kapal sebagai berikut.
R = a + b
Gambar 1.5 Penjumlahan Vektor
5
Untuk vektor yang memiliki arah kebalikan bertanda negatif, sehingga operasi yang
terjadi adalah pengurangan.
Gambar 1.6 Vektor negatif
Sehingga untuk resultannya
R = a – b
Gambar 1.7 Resultan akhir pengurangan
Metode Poligon Pada metode poligon hampir sama dengan metode segitiga, tetapi jumlah vektornya lebih
dari 2. Misalkan untuk angin dengan vektor a, arus laut dengan vektor b, kapal dengan
vektor c, maka hasil penggambaran sebagai berikut.
Gambar 1.8 Vektor poligon : lebih dari 2 vektor
Hasil penjumlahan dengan metode poligon untuk kapal, angin dan arus laut didapatkan
resultan kapal.
R = a + b + c
6
Gambar 1.9 Resultan hasil penjumlahan
Apabila arah vektor berkebalikan maka vektor bernilai negatif, sehingga gambar menjadi
berikut.
Gambar 1.10 Vektor poligon arah kebalikan
Contoh 1.1
Tentukan gambar resultan untuk arah kebalikan pada arus dan angin sedangkan arah
kapal tetap!
Penyelesaian:
R = -a + (-b) + c = -a –b +c
Gambar 1.11Resultan Vektor Poligon
7
Tugas 1 1. Tentukan resultan dari gambar berikut, jika d = a + b - c !
2. Sebagaimana soal nomor 1, tentukan hasil gambar jika e = - a + b - c
3. Sebuah kapal berangkat dari posisi 6o 23’12’’ N / 108o 32’48’’ E menuju
38o 32’19’’ N / 162o 02’14’’ E, tentukan gambar vektor kapal !
4. Sebuah kapal berada 58o dengan jarak 20 mil dari dermaga , tentukan
posisi dermaga dari kapal !
Metode jajaran genjang Metode Jajaran genjang sebagai salah satu penyelesaian 2 vektor yang bermula dari titik
pangkal yang sama. Penyelesaian vektor ini dapat menggunakan rumus:
R = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝟐.𝒂. 𝒃. 𝑪𝒐𝒔𝜽
Contoh 1.2.
Sebuah kapal bergerak 12 knot menuju arah utara dan arus laut bergerak 3 knot ke arah
barat laut. Tentukan resultan kecepatan kapal !
Penyelesaian :
Gambar 1.12 arah Resultan dari arus dan kapal
8
R = √𝑣𝑎𝑟𝑢𝑠2 + 𝑣𝑘𝑎𝑝𝑎𝑙
2 + 2. 𝑣𝑎𝑟𝑢𝑠. 𝑣𝑘𝑎𝑝𝑎𝑙. 𝐶𝑜𝑠𝜃
R = √32 + 122 + 2.3.12. 𝐶𝑜𝑠 45
R = √9 + 144 + 50,91
R = √203,91
R = 14,3 knot
Tugas 2
1. Buktikan bahwa rumus resultan 2 vektor tidak bertentangan dengan
dalil phytagoras !
2. Kapal bergerak dengan kecepatan 9 knot dengan arah 150o, apabila
terkena arus dengan arah 270o dengan kecepatan 2 knot, tentukan
kecepatan kapal!
3. Kapal ke arah selatan dengan kecepatan 14 knot terkena arus 3 knot ke
arah barat, tentukan kecepatan kapal
4. Sebuah kapal dengan kecepatan 10 knot ke arah timur terkena
gelombang laut dengan arah timur laut berkecepatan 3 knot,tentukan
nilai kecepatan akhir kapal !
Metode komponen vektor Yang menjadi kelemahan dalam metode jajaran genjang adalah tidak mampu
menghitung apabila vektor lebih dari 2, sehingga untuk 3, 4, 5 vektor dan seterusnya
tidak dapat diselesaikan dengan metode tersebut. Adapun untuk menyelesaikan
permasalahan tersebut adalah dengan metode komponen vektor.
Dasar penetapan komponen vektor berdasarkan sifat proyeksi vektor terhadap sumbu X
dan sumbu Y pada diagram kartesius, sehingga untuk penetapan komponen vektor
berdasarkan gambar berikut.
9
Gambar 1.13 Penetapan komponen vektor
Vektor V diproyeksikan pada sumbu x dan sumbu y, sehingga dapat ditentukan nilai
komponen vektor Vx dan komponen vektor Vy.
Vx = V.cos Ɵ
Vy = V.sin Ɵ
Contoh 1.3
Sebuah kapal bergerak menuju arah utara dengan kecepatan 10 knot, kemudian terkena
arus sebesar 2 knot dengan arah 70o serta arah angin sebesar 4 knot dengan arah 60o.
Tentukan kecepatan akhir kapal !
Penyelesaian :
Gambar 1.14 Komponen Vektor
10
Adapun tabel perhitungan sebagai berikut.
Tabel 1.2 Komponen Vektor
Kecepatan Sumbu X Sumbu Y
V1 = 10 knot
Ɵ = 90o
10 cos 90
= 0 Knot
10 sin 90
= 10 knot V2 = 4 knot
Ɵ = 60o
4 cos 60
= 2 knot
4 sin 60
= 3,46 knot V3 = 2 knot
Ɵ = 70o
2 cos 70
= 0,68 knot
2 sin 70
= 1,87 knot Total ∑𝑉𝑥 = 2,68knot ∑𝑉𝑦 = 15,55 knot
Menghitung nilai resultan
R = √𝑉𝑥2 + 𝑉𝑦
2
R = √2,682 + 15,552
R = √7,18 + 241,8
R = √248,9
R = 15,8 knot
Vektor Kecepatan dan Percepatan
Kecepatan dan percepatan adalah sebuah besaran vektor yang memiliki arah dan
nilai. Pada pelayaran vektor kecepatan dapat diamati pada kecepatan kapal, kecepatan
arus dan kecepatan angin, sehingga ketiga vektor ini harus diperhatikan. Kecepatan kapal
dalam knot atau millaut/jam. Vektor kecepatan digambarkan dengan sebuah garis vektor
yang arahnya tergantung pada setiap arah arus, kapal dan angin. Sehingga ketiga vektor
kecepatan tersebut dapat diselesaikan dengan metode komponen vektor. Adapun
kecepatan dirumuskan sebagai berikut.
𝒗 =∆𝒔
∆𝒕
Keterangan : v = kecepatan (knot)
11
S = jarak tempuh (millaut)
T = waktu tempuh (jam)
Vektor percepatan hanya berkaitan dengan kecepatan kapal yang berubah setiap
satuan waktu, sehingga dapat dirumuskan.
a = ∆𝒗
∆𝒕
dengan : a = percepatan kapal (knot/jam)
v = kecepatan kapal (knot)
t = waktu tempuh (jam)
Contoh 1.4
1. Sebuah kapal bergerak dengan kecepatan 8 knot, 5 menit kemudian
kecepatannya menjadi 10 knot, tentukan percepatan yang diberikan pada kapal!
Penyelesaian:
V1 = 8 knot
V2 = 10 knot
T = 5 menit = 0,083 jam
a = ∆𝒗
∆𝒕=
𝟏𝟎−𝟖
𝟎,𝟎𝟖𝟑=
𝟐
𝟎,𝟎𝟖𝟑= 𝟐𝟒
𝒌𝒏𝒐𝒕
𝒋𝒂𝒎𝟐
Tugas 3
1. Dua buah kapal bergerak saling mendekati, jika kapal A kecepatannya 8 knot
dan kapal B kecepatannya 6 knot, sedangkan jarak kedua kapal 10 mil, tentukan
lama waktu yang dibutuhkan agar kedua kapal bertemu!
2. Dua buah kapal bergerak searah, jika kapal A kecepatannya 8 knot dan kapal B
mengejarnya kecepatannya 12 knot, sedangkan jarak kedua kapal 20 mil,
tentukan lama waktu yang dibutuhkan agar kedua kapal bertemu!
12
3. Sebuah kapal bergerak dari pelabuhan A dengan posisi 6o 23’12’’ N / 108o 32’48’’
E menuju pelabuhan B dengan posisi 38o 32’19’’ N / 162o 02’14’’ E, , jika
kecepatan rata-rata kapal 10 knot dan kapal berangkat pada tanggal 2 Agustus 2018
pada pukul 18.00, tentukan waktu tiba kapal !
4 knot, tentukan kecepatan kapal akhir!
4. Sebuah kapal menyeberang sungai dengan jarak 200 m bergerak dari dermaga A
menuju dermaga B. jika kecepatan kapal 8 knot dan air sungai 2 knot, tentukan
kecepatan akhir dan arah haluan kapal sehingga kapal tepat sampai di dermaga B!
5. Sebuah kapal bergerak ke arah utara dengan
kecepatan 12 knot, terkena angin dengan
kecepatan 2 knot ke arah timur laut dan
arah arus laut ke arah 30o dengan kecepatan
13
Rangkuman 1. Penyelesaian 2 vektor untuk mendapatkan resultan dapat menggunakan rumus
resultan.
R = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝟐.𝒂. 𝒃. 𝑪𝒐𝒔𝜽
2. Penyelesaian 2 vektor atau lebih dapat menggunakan metode komponen vektor
Vx = V.cos Ɵ
Vy = V.sin Ɵ
Menghitung nilai resultan
R= √𝑽𝒙𝟐 + 𝑽𝒚
𝟐
3. Menentukan kecepatan kapal dengan persamaan
𝑣 =∆𝑠
∆𝑡
Keterangan : v = kecepatan (knot) S = jarak tempuh (millaut)
T = waktu tempuh (jam)
4. Menentukan percepatan kapal dengan persamaan
a = ∆𝒗
∆𝒕
dengan : a = percepatan kapal (knot/jam)
v = kecepatan kapal (knot)
t = waktu tempuh (jam)
Simulasi Link simulasi 1
Link simulasi 2
14
LINGKARAN, PARABOLA, ELLIPS
DAN HIPERBOLA
Definisi Lingkaran Lingkaran merupakan kumpulan titik dengan radius (jarak) yang sama. Lingkaran
merupakan bentuk geometri yang dapat digambarkan dalam koordinat kartesius
sehingga didapatkan persamaan lingkaran yang menggunakan aturan tangensial.
Persamaan lingkaran pada pusat koordinat Lingkaran yang digambarkan pada koordinat kartesius dapat diletakkan pusatnya pada
pusat koordinat sebagai berikut.
Gambar 2.1 Lingkaran Pada Pusat Koordinat
Deskripsi Mata Kuliah : (alokasi waktu : 3 x 2 JP)
1. Pembahasan lingkaran, parabola, ellips dan hiperbola berkaitan dengan
penentuan titik fokus (lokus), titik puncak, sumbu simetri, garis asimtot, dan
penentuan persamaan serta ekstraksi persamaan hingga didapatkan
informasi yang tepat dan akurat dari persamaan lingkaran, parabola, ellips
dan hiperbola
2. Pembahasan vektor juga memuat aplikasi perhitungan posisi pada radar
15
Dari gambar di atas jarak setiap titik pada keliling lingkaran adalah sama, yaitu 5 satuan.
Artinya pada setiap titik apabila kita mengambil jarak dari pusat koordinat dan ditarik
pada sisi keliling akan didapatkan jarak OP = 5. Jika dilihat dari sudut pandang segitiga,
dimanapun garis OP selalu dapat disebut sisi miring dari segitiga (hypotenuse). Sehingga
persamaan phytagoras berlaku pada persamaan lingkaran, yaitu:
𝑶𝑷𝟐 = 𝑶𝑵𝟐 + 𝑷𝑵𝟐
Dengan persamaan tersebut didapatkan nilai ON = x dan PN = y. Dengan mengadopsi
persamaan diatas didapatkan nilai
𝟓𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 atau
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓
Persamaan diatas dapat berlaku untuk segala titik yang disekitar keliling lingkaran,
misalkan kita mengambil sebuah titik Q (x1 , y1), maka dengan kuadran yang berbeda
dapat ditentukan persamaan lingkaran sebagai berikut.
Gambar 2.2 Titik A pada setiap kuadran
Titik Q pada kuadran II dapat kita proyeksikan pada sumbu x, sehingga didapatkan
segitiga QNO berlaku persamaan phytagoras.
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓
Sehingga persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pusat koordinat kartesius adalah:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐
16
Persamaan umum lingkaran pada koordinat kartesius Lingkaran yang digambarkan pada koordinat kartesius dapat diletakkan pusatnya pada
setiap titik di koordinat tersebut, sehingga pusat lingkaran dapat juga berubah-ubah.
Gambar 2.3 Posisi lingkaran pada sembarang titik
Untuk persamaan lingkaran pada sembarang titik seperti gambar di atas, bahwa titik
C(a,b) dengan jari-jari r. Jika P diproyeksikan pada sumbu X maka panjang titik N
dimulai dari pusat koordinat adalah x, sedangkan P diproyeksikan pada sumbu Y maka
didapatkan panjangnya adalah y. Sehingga panjang CN = x-a sedangkan panjang PN=y-
b dan CP = r atau jari-jari. Apabila dimasukkan dalam rumus phytagoras didapatkan.
𝑪𝑷𝟐 = 𝑪𝑵𝟐 + 𝑷𝑵𝟐
𝒓𝟐 = (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐
Dapat dijabarkan sebagai berikut.
𝒓𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒃𝒚 + 𝒃𝟐
Atau
𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒃𝒚 + 𝒃𝟐 − 𝒓𝟐 = 𝟎
Jika –a = m dan –b = n, maka
𝒙𝟐 + 𝟐𝒎𝒙 + 𝒎𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒏𝒚 + 𝒏𝟐 − 𝒓𝟐 = 𝟎
Jika 𝐦𝟐 + 𝐧𝟐 − 𝐫𝟐 kita sebut sebagai c, atau 𝐜 = 𝐦𝟐 + 𝐧𝟐 − 𝐫𝟐 maka
𝒙𝟐 + 𝟐𝒎𝒙 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒏𝒚 + 𝒄 = 𝟎
17
Persamaan di atas adalah persamaan umum lingkaran di sembarang titik yang berpusat
di (a,b) atau (-m, -n). Dengan 𝑐 = 𝑚2 + 𝑛2 − 𝑟2 atau
𝒓𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝒏𝟐 − 𝒄
𝒓 = √𝒎𝟐 + 𝒏𝟐 − 𝒄
Contoh 2.1.
Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran pada persamaan berikut.
x2 – 6x + y2 – 10y + 18 = 0
Penyelesaian
Pada persamaan di atas kita bandingkan dengan persamaan umum lingkaran yang
berpusat di (a,b) Dengan –a = m dan –b = n
𝒙𝟐 + 𝟐𝒎𝒙 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒏𝒚 + 𝒄 = 𝟎 Didapatkan
2mx = -6x → m = -3 → a = 3
2ny = -10y → n = -5 → b = 5
Jari – jari lingkaran
𝑟 = √𝑚2 + 𝑛2 − 𝑐
𝑟 = √(−3)2 + (5)2 − 18
𝑟 = √9 + 25 − 18
𝑟 = √16
𝑟 = 4
Tugas 1
1. Tentukan pusat lingkaran dan diameter untuk persamaan x2+ y2 = 64
2. Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat di (-2, 4) dan diameter
6 cm
3. Tentukan jari-jari dan titik pusat lingakaran yang memiliki persamaan
x2+ 6x +9 + y2+1-2y-36 = 0
4. Tentukan persamaan lingkaran, jari-jari dan titik pusat pada persamaan
45 - (x -5)2 - y2 + 4y = 0
Pusat lingkaran = (3,5)
18
Persamaan garis singgung lingkaran Sebuah garis lurus menyinggung keliling lingkaran sehingga dinamakan garis singgung.
Sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + 4x + y2 + 6y – 87 = 0 disinggung dengan sebuah
garis pada titik (4, -11). Untuk membuktikan apakah memang ada garis yang
menyinggun pada titik tersebut, maka harus disubtitusikan titik (4, -11) pada persamaan
x2 + 4x + y2 + 6y – 87 = 0, apabila memang hasilnya 0, maka benar ada garis yang
menyinggung pada lingkaran.
Subtitusi (4, -11) pada → x2 + 4x + y2 + 6y – 87 = 0
(4)2 + 4(4) + (-11)2 + 6(-11) – 87 = 0
16 + 16 + 121 – 66 – 87 = 0
0 = 0
Sehingga dapat digambarkan
Gambar 2.4 Garis singgung lingkaran
Adapun untuk mengetahui garis tersebut memotong pada sumbu kartesius pada titik
tertentu harus diketahui dengan menghitung kemiringan garis jari-jari lingkaran pada
titik (4, -11) dengan menggunakan gradien, dimana
𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
Dari gambar diketahui 2 titik, yaitu (-2, -3) sebagai (x1; y1) dan (4, -11) sebagai (x2; y2)
dengan demikian gradien jari-jari lingkaran didapatkan
𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏=
−𝟏𝟏 − (−𝟑)
𝟒 − (−𝟐)=
−𝟖
𝟔
19
Untuk kemiringan garis singgung karena tegak lurus dengan jari-jari lingkaran, maka
didapatkan
𝒎𝟏 × 𝒎𝟐 = −𝟏 −𝟖
𝟔 × 𝒎𝟐 = −𝟏
𝒎𝟐 = 𝟔
𝟖
Adapun titik singgung pada (4, -11) dengan gradien 𝑚2 =6
8 dapat ditentukan
persamaan garis singgungnya dengan persamaan berikut
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)
didapatkan
y-(-11) = 6
8 (x – 4)
y + 11 = 6
8 (x – 4)
y = 6
8 (x – 4) – 11
y = 6
8 x - 3 – 11
y = 6
8 x – 14
Tugas 2
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada pusat sumbu kartesius yang
bersinggungan dengan garis lurus pada titk (3, 4), serta tentukan persamaan
garis singgungnya !
2. Tentukan persamaan garis lurus yang menyinggung lingkaran dengan
persamaan 2x2 + 16x + 2y2 – 20 y – 108 = 0 pada titik (2, 13) !
20
Aplikasi lingkaran pada pelayaran dapat dilihat
dari penggunaan radar sebagai berikut.
Gambar 2.5 Tampilan Radar dapat dibaca sebagai
kumpulan lingkaran dengan jari-jari (radius) kelipatan
1 mil. Gambar tersebut memuat lingkaran dengan radius
capaian deteksi 1 mil, 2 mil, 3 mil, 4 mil. Posisi kapal pada
35o 34’.1 N / 135o19’.6 E. Apabila ia mendeteksi kapal
pada jarak 2 mil dan pada arah 50o dapat digambarkan
sebagai berikut.
Gambar 2.5 Tampilan RADAR
Fungsi RADAR antara lain:
1. Penentuan posisi kapal (fix position)
2. Menentukan ada/tidaknya tubrukan kapal
3. Memandu keluar-masuk pelabuhan atau
perairan sempit
4. Memprediksi adanya hujan (awan rendah)
dengan teknik plotting
Aplikasi Lingkaran pada Pelayaran
Gambar 2.6 Tampilan Posisi pada RADAR
21
Simulasi Link penggunaan RADAR
Contoh 2.2
Jika sebuah kapal pada posisi 35o 34’.1 N / 135o19’.6 E mendeteksi kapal asing dengan
radar pada jarak 2 mil dan posisi 50o, tentukan posisi kapal asing tersebut !
Penyelesaian
Untuk mendapatkan posisi kapal asing tersebut dapat menggunakan perbandingan sisi
segitiga sebagai berikut !
Gambar 2.7 Posisi kapal asing dalam bentuk proyeksi sumbu x dan y
x = radius x cos 40o = 2mil x 0,766 = 1, 532 mil
y = radius x sin 40o = 2mil x 0,64 = 1, 285 mil
Posisi kapal asing tersebut adalah
35o 34’.1 + 1’.3N / 135o19’.6 + 1’.5 E = 35o 35’.4 N / 135o21’.1 E
Tugas 3
1. Sebuah kapal asing terdeteksi pada posisi 74o dan jarak 3 mil. Jika posisi kapal
pendeteksi 13o42’.4 N / 112o 34’.3 E , tentukan posisi kapal asing tersebut !
2. Sebuah kapal pada posisi 17o12’.2 N / 97o 24’.1 E mendeteksi kapal asing pada
posisi 17o13’.6 N / 97o 25’.5 E, tentukan jarak dan posisi kapal pada radar !
22
PARABOLA Parabola dalam perhitungan matematika masuk dalam pembahasan persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat memiliki persamaan umum
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Dengan a dan b sebagai koefisien serta c sebagai konstanta. Adapun penyelesaian
persamaan kuadrat dalam bab ini hanya menggunakan 2 metode, yaitu pemfaktoran dan
rumus abc sebagai solusi praktis pada penyelesaian persamaan kuadrat.
Pemfaktoran 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 dapat difaktorkan menjadi
(x + m) (x + n) dengan m x n = c dan m + n = b
Rumus abc untuk mendapatkan akar-akar persamaan sebagai berikut.
𝒙𝟏𝟐 =−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Titik tengah atau sumbu simetri parabola menggunakan rumus
𝒙 =−𝒃
𝟐𝒂
Titik Puncak dengan memasukkan nilai sumbu simetri pada persamaan kuadrat
Contoh 2.3
Tentukan solusi persamaan kuadrat f(x) = x2 – x – 6 serta gambar paraboliknya !
Penyelesaian
Akar persamaan kuadrat hanya bisa didapatkan dengan syarat f(x) = 0, sehingga
x2 – x – 6 = 0
(x – 3) (x + 2) = 0
x – 3 = 0 atau x + 2 = 0
x = 3 x = -2
sehingga solusi akar persamaan kuadratnya adalah (3, -2)
23
adapun sumbu simetrinya 𝑥 =−𝑏
2𝑎=
−(−1)
2(1)=
1
2
titik puncak parabola didapatkan dengan mensubtitusikan sumbu simetri = ½ kedalam
persamaan f(x) = x2 – x – 6 , didapatkan
f(1/2) = ( ½ )2 – ½ - 6 = – 6,25
adapun gambar grafik parabolik sebagai berikut
Gambar 2.8 Grafik parabolik
Tugas 4
1. Buatlah grafik parabola dari persamaan f(x) = x2 – 7x – 10 !
2. Tentukan sumbu simetri dan titik puncak kurva f(x) = x2 – 3x – 10
24
ELLIPS Ellips merupakan kurva tertutup sebagaimana lingkaran. Adapun proses pembentukan
persamaan ellips dapat menggunakan bantuan persamaan lingkaran yang berpusat pada
pusat koordinat kartesius.
Gambar 2.9 Proses Pembuatan ellips
Pada gambar di atas adalah lingkaran dengan jari-jari =1 dan berpusat pada (0,0).
Sedangkan ellips memiliki sumbu mayor (-a, a) dan sumbu minor (-b,b). Pada persamaan
lingkaran yang berpusat pada (0,0) dengan jari-jari = 1 didapatkan
𝑥2 + 𝑦2 = 1
Sedangkan untuk sebuah ellips memiliki persamaan
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1
Sebagai pembuktian, jika panjang a = 1 dan b = 1, maka jika disubtitusikan dalam
persamaan ellips, akan didapatkan kembali persamaan lingkaran
𝑥2
12 +𝑦2
12 = 1 atau 𝑥2 + 𝑦2 = 1
Koordinat titik fokus dapat menggunakan rumus c2 = a2 – b2
25
Untuk membuat sebuah ellips dapat dilihat dengan animasi berikut. Dengan
menggunakan dengan dua bua paku berwarna hijau dan sebuah tali yang diikatkan pada
kedua paku tersebut, maka dapat dibentuk sebuah ellips.
Simulasi Link pembuatan ellips
Istilah yang digunakan dalam ellips
Gambar 2.10 Bagian ellips
Dari gambar di atas didapatkan:
1. Pusat di (h,k)
2. Puncak di (h+a, k) dan (h-a, k)
3. Fokus di (h+c, k) dan (h-c, k)
Tabel 2.1 Notasi yang digunakan di ellips
Simbol/notasi Keterangan
Af1 + Af2 = k Total 2 garis antara fokus dengan salah satu titik keliling
sebesar bilangan konstan
f1 dan f2 Fokus ellips
2m Jarak antar fokus
ab Sumbu mayor
cd Sumbu minor
LL Latus rektum = 𝟐𝒄𝒌𝟐
𝒂𝒉
26
Persamaan ellips pada sembarang titik
(𝒙 − 𝒉)𝟐
𝒂𝒉𝟐+
(𝒚 − 𝒌)𝟐
𝒄𝒌𝟐= 𝟏 𝒂𝒕𝒂𝒖
(𝒙 − 𝒉)𝟐
𝒂𝟐+
(𝒚 − 𝒌)𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
Contoh 2.4
Tentukan titik pusat, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor dan
fokus dari dari persamaan ellips berikut!
𝑥2
16+
𝑦2
4= 1
Penyelesaian
Berdasarkan persamaan tersebut dapat diuraikan:
a. Titik pusat = (0,0)
b. Titik fokus = c2 = a2 – b2 = 16 – 4 = 12 ➔ c = ±√12
→ (√12, 0)𝑑𝑎𝑛 (−√12, 0)
c. Titik Puncak = (4,0) , (-4,0) , (0,2) , (0, -2)
d. Panjang sumbu mayor = 8
e. Panjang sumbu minor = 4
Contoh 2.5
Tentukan persamaan ellips yang puncaknya (0,9) dan (0,-9) serta fokusnya (0,7) dan
(0,-7) !
Penyelesaian
Diketahui a = 9, c = 7
c2 = a2 – b2 → b2 = a2 – c2 = 81 – 49 = 32
Persamaan ellips 𝑥2
𝑏2 +𝑦2
𝑎2 = 1 menjadi 𝑥2
32+
𝑦2
81= 1
27
Contoh 2.6
Tentukan koordinat titik pusat, puncak, fokus, panjang sumbu mayor dan minor serta
gambarkan bentuk ellipsnya pada persamaan berikut !
4x2 – 32x + 9y2 + 36y + 64 = 0
Penyelesaian
Persamaan 4x2 – 32x + 9y2 + 36y + 64 = 0
Kita ubah dalam bentuk baku
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2 +(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2 = 1
Sehingga
4x2 – 32x + 9y2 + 36y + 64 = 0
4x2 – 32x + 9y2 + 36y = -64
4 (x2 – 8x) + 9 (y2 + 4y) = -64
4 (x2 – 8x + 16) + 9 (y2 + 4y + 4) = -64 + 64 + 36
4 (x – 4)2 + 9 (y + 2)2 = 36
(𝑥−4)2
9+
(𝑦+2)2
4= 1
Berdasarkan persamaan tersebut, maka didapatkan
• a = 3 , b = 2 dan c = ±√5
• Pusat di (4 , - 2)
• Titik puncak : (7, -2) dan (1, -2)
• Fokus di (4+√5 , - 2) dan (4-√5 , - 2)
• Panjang sumbu mayor = 6 dan panjang sumbu minor = 4
• Gambar ellips :
Gambar 2.11 Ellips berpusat di (4, -2)
28
Tugas 5
1. Tentukan titik puncak, titik fokus, sumbu minor dan mayor pada persamaan
berikut !
a. 𝑥2
64+
𝑦2
16= 1
b. 𝑥2
9+
𝑦2
81= 1
c. (𝑥−2)2
36+
(𝑦−5)2
25= 1
2. Tentukan persamaan ellips dari Titik fokus di (9, 0) dan (-9, 0), serta panjang
sumbu mayor = 24
HIPERBOLA Hiperbola merupakan kumpulan titik-titik yang selisih jarak terhadap 2 titik selalu sama.
Untuk membuat hiperbola mirip dengan membuat ellips dengan bantuan benang,
adapun teknik menggambar hiperbola sebagai berikut.
Simulasi Link menggambar hiperbola
Gambar 2.12 Hiperbola berpusat di (0,0)
Keterangan :
• Persamaan hiperbola berpusat di (0,0) dinyatakan sebagai
𝒙𝟐
𝒂𝟐−
𝒚𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
29
• Latus Rektum atau tali busur yang melewati titik fokus dan tegak lurus dengan
sumbu x dinyatakan dengan rumus
𝑳 = 𝟐𝒃𝟐
𝒂
• Asimtot atau garis pemisah yang membatasi kurva hiperbola sehingga tidak
memotong garis tersebut dinyatakan dengan rumus
𝒚 = ±𝒃
𝒂𝒙
• Untuk persamaan fokus dinyatakan dengan c2 = a2 + b2
Contoh 2.7
Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, panjang sumbu mayor, panjang sumbu
minor, panjang latus rektum, dan buatlah grafik hiperboliknya dari persamaan
berikut !
𝒙𝟐
𝟐𝟓−
𝒚𝟐
𝟏𝟔= 𝟏
Penyelesaian
Berdasarkan persamaan di atas didapatkan :
• a = 5 dan b = 4, sehingga c2 = 25 + 16 = 41 → c = ±√41 = ±6,4
• Koordinat titik puncak = (5, 0) dan (-5, 0)
• Koordinat titik fokus = (√41, 0) dan = (−√41, 0)
• Panjang sumbu mayor = 10
• Panjang sumbu minor = 8
• Persamaan asimtot = y = ±4
5𝑥
• Panjang latus rektum = L = 2.42
5=
32
5= 6,4
30
Gambar 2. 13 Kurva Hiperbolik
Hiperbola berpusat di (h,k) Hiperbola yang berpusat disembarang titik atau di (h,k) memiliki kesamaan dengan
penentuan persamaan di ellips. Adapun persamaan hiperbola yang berpusat di (h,k)
adalah sebagai berikut.
(𝒙 − 𝒉)𝟐
𝒂𝟐−
(𝒚 − 𝒌)𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
Untuk posisi hiperbola seperti gambar berikut.
Gambar 2.14 Kurva Hiperbolik berpusat di (h,k)
31
Keterangan :
• Pusat hiperbolik pada (h,k)
• Puncak hiperbolik pada (h + a, k) dan (h-a, k)
• Fokus hiperbolik pada (h+c, k) dan (h-c, k)
Contoh 2.8
Tentukan koordinat titik pusat, puncak, fokus, panjang sumbu mayor dan minor ,
persamaan asimtot, serta gambarkan bentuk kurva hiperbolik pada persamaan
berikut !
(𝑥 − 8)2
16−
(𝑦 + 4)2
9= 1
Penyelesaian
Berdasarkan persamaan tersebut, maka didapatkan :
• a = 4, b = 3 dan c = 5
• Pusat di (8 , - 4)
• Titik puncak : (12, -4) dan (4, -4)
• Fokus di (13 , - 4) dan (3 , - 4)
• Panjang sumbu mayor = 8 dan panjang sumbu minor = 6
• Persamaan asimtot → 𝑦 + 4 =3
4(𝑥 − 8) dan 𝑦 + 4 = −
3
4(𝑥 − 8)
Gambar 15. Kurva Hiperbolik berpusat di (8, -4)
32
Aplikasi Hiperbolik di Pelayaran Pengoperasian LORAN C
Semua stasiun LORAN mengirimkan sinyal dengan frekuensi 100kHz.
Pengiriman sinyal pertama dilakukan oleh master, berikutnya oleh stasiun sekunder
(stasiun sekunde bisa lebih dari 2) misal stasiun sekunder W, stasiun sekunder X, stasiun
sekunder Y, dan stasiun sekunder Z. Pada stasiun master akan mengirimkan 9 sinyal
sedangkan setiap stasiun sekunder mengirimkan 8 sinyal.
Stasiun master mengirimkan sinyal pertama kemudian ditahan selama 1000 μs
dan dilanjutkan pengiriman sinyal kedua, kemudian ditahan 1000 μs dan diulang hingga
pengiriman sinyal ke delapan. Antara sinyal ke delapan dan kesembilan ditahan selama
2000 μs. Setelah stasiun master selesai mengirimkan sinyal, berikutnya sinyal dikirim
melalui stasiun sekunder dengan menunda waktu pengiriman sinyal selama beberapa
detik, penundaan ini dinamakan secondary coding delay (SCD) atau coding delay atau
Beda waktu (Time Different – TD) Stasiun sekunder pertama atau dinamakan stasiun
sekunder W mengirimkan sinyal sebanyak delapan sinyal, kemudian ada coding delay
untuk dilanjutkan oleh stasun sekunder X, dan seterusnya hingga stasiun sekunder Z.
Proses pengiriman sinyal dari master hingga sekunder Z dapat digambarkan sebagai
berikut.
Gambar 2.16 Time Different (TD) atau coding delay
pada stasiun master dan sekunder
33
Total coding delay dari Master hingga sebelum master mengirimkan kembali
sinyal adalah Group Repetition interval (GRI) atau emission delay (ED). Total
waktu yang dibutuhkan dari master untuk mengirimkan sinyal sebelum stasiun
sekunder mengirimkan sinyal disebut baseline travel time (BTT) atau coding
delay pertama atau TDW.
Gambar 2.17 Waktu yang dibutuhkan antara stasiun master dan sekunder
34
Berikut ini adalah contoh bagaimana menentukan posisi sebuah kapal (A) dengan
melihat posisi pemancar master (M) dan pemancar sekunder (X).
Gambar 2.18. Posisi pemancar M dan X serta sebuah kapal
Pada gambar 16 di atas dapat dijelaskan bahwa sebuah pemancar Master (M) dengan
koordinat (x,y)=(-200,0) dan pemancar sekunder (X) dengan koordinat (x,y)=(200,0),
dan sebuah kapal (A) sebagai observer yang menerima pancaran sinyal dari kedua
stasiun, sehingga dapat dicari jarak antara kapal dengan pemancar master (dam) serta
jarak kapal dengan pemancar sekunder (das), sebagai berikut:
𝒅𝒂𝒎 = [(𝒙𝒂 + 𝟐𝟎𝟎)𝟐 + 𝒚𝒂𝟐]𝟎.𝟓
𝒅𝒂𝒔 = [(𝒙𝒂 − 𝟐𝟎𝟎)𝟐 + 𝒚𝒂𝟐]𝟎.𝟓
35
Jika jarak antara pemancar sekunder dengan kapal ingin dipastikan, maka kapal harus
memasukkan koordinatnya. Misalkan posisi kapal (271.9, 200), maka besar jarak antara
kapal dengan pemancar sekunder sebagai berikut:
𝑑𝑎𝑠 = [(𝑥𝑎 − 200)2 + 𝑦𝑎2]0.5
𝑑𝑎𝑠 = [271.9−200)2 + 2002]0.5
𝑑𝑎𝑠 = [(71.9)2 + 2002]0.5
𝑑𝑎𝑠 = [5,169.61 + 40,000]0.5
𝑑𝑎𝑠 = [45,169.1]0.5
𝑑𝑎𝑠 = 212.531 𝑁𝑀
Sedangkan jarak antara kapal (A) dengan pemancar master (M) sebagai berikut:
𝑑𝑎𝑚 = [(𝑥𝑎 + 200)2 + 𝑦𝑎2]0.5
𝑑𝑎𝑚 = [271.9+200)2 + 2002]0.5
𝑑𝑎𝑚 = [(471.9)2 + 2002]0.5
𝑑𝑎𝑚 = [222,689.61 + 40,000]0.5
𝑑𝑎𝑚 = [262,689.61]0.5
𝑑𝑎𝑚 = 512.531 𝑁𝑀
Sehingga dari perhitungan di atas, bisa dicari nilai Z yaitu perbedaan jarak antara dam
dengan das menggunakan rumus:
36
𝑍 = 𝑑𝑎𝑚 − 𝑑𝑎𝑠
𝑍 = [(𝑥𝑎 + 200)2 + 𝑦𝑎2]0.5 − [(𝑥𝑎 − 200)2 + 𝑦𝑎
2]0.5
𝑍 = 512.531 − 212.531
𝑍 = 300 𝑁𝑀
Nilai 300 NM menunjukkan kecnderungan kapal A lebih dekat dengan stasiun pemancar
sekunder (walaupun tanpa melihat gambar 2.3), karena posisi pemancar sekunder berada
di koordinat sumbu x sebesar 200 NM. Apabila kecepatan rambat gelombang
elektromagnetik sebesar 3 x 108 m/s, maka dalam 1 NM atau 1.852 km, waktu yang
dibutuhkan gelombang untuk menempuh jarak 1 NM sebesar:
𝑡 =𝑠
𝑣
𝑡 =1,852 𝑚
300,000,000 𝑚/𝑠= 6.18 × 10−6 𝑠𝑒𝑘𝑜𝑛 atau 6.180 μs
Jika jarak kapal A dengan pemancar Master 512.531 NM, maka waktu yang dibutuhkan
sinyal dari pemancar master untuk mencapai kapal A sebesar 512.531 x 6.180 μs =
3,167.44 μs.
Tugas 6
1. Tentukan titik puncak, titik fokus, sumbu mayor pada persamaan berikut !
a. 𝑥2
64−
𝑦2
25= 1
b. 𝑥2
25−
𝑦2
81= 1
c. (𝑥−5)2
36−
(𝑦−8)2
64= 1
2. Tentukan persamaan hiperbola jika Titik fokus di (10, 0) dan (-10, 0), serta
panjang sumbu mayor = 16
37
Rangkuman 1. Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pusat koordinat kartesius
adalah:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
2. Persamaan umum lingkaran yang berpusat di (a,b) dengan nilai –a = m
dan -b = n
𝑥2 + 2𝑚𝑥 + 𝑦2 + 2𝑛𝑦 + 𝑐 = 0
Dengan c = m2 + n2 − r2 atau 𝑟 = √𝑚2 + 𝑛2 − 𝑐
3. Persamaan garis singgung lingkaran
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Dengan Untuk kemiringan garis singgung karena tegak lurus dengan jari-
jari lingkaran, maka didapatkan
𝑚1 × 𝑚2 = −1
4. Persamaan kuadrat memiliki persamaan umum
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Untuk solusi persamaan dapat menggunakan rumus abc
𝑥12 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
5. Persamaan umum sebuah ellips yang berpusat pada (0,0)
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1
6. Persamaan ellips pada sembarang titik
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2= 1
7. Persamaan hiperbola berpusat di (0,0) dinyatakan sebagai
𝑥2
𝑎2−
𝑦2
𝑏2= 1
38
8. Latus Rektum atau tali busur yang melewati titik fokus dan tegak lurus
dengan sumbu x dinyatakan dengan rumus
𝐿 = 2𝑏2
𝑎
9. Asimtot atau garis pemisah yang membatasi kurva hiperbola sehingga tidak
memotong garis tersebut dinyatakan dengan rumus
𝑦 = ±𝑏
𝑎𝑥
10. persamaan hiperbola yang berpusat di (h,k) adalah sebagai berikut.
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2= 1
39
DAFTAR PUSTAKA
Bole, A. G, Dineley. W. O, Nicholls. C. E. 2000. The Navigational Control Manual.
Second Edition. Oxford: Butterworth Heinemann
Spiegel, murray. 1956. . Schaum outline series: Theory and Problems of colledge algebra.
New York: Mc Graw Hill
Banner, Andrian. 2007. The Calculus Livesaver. Oxford: Princenton Univercity Press
Spiegel,Murray. Wrede, Robert. 2010. Schaum Outlines: Advance Calculus. Third
Edition. New York: Mc Graw Hill
Lipschutz, Seymour. Lipson, Marc. 2009. Schaum Outlines: Linier Algebra. Fourth
Edition. New York: Mc Graw Hill
40
GLOSARIUM
Besaran skalar Besaran yang memiliki besar, tetapi tidak memiliki arah disebut
besaran skalar. Contohnya waktu, volume, massa jenis dan suhu.
Besaran vektor besaran yang memiliki nilai dan memiliki arah. Contohbesaran
vektor misalnya kecepatan, percepatan perpindahan,
Coding delay persyaratan logika dalam suatu bahasa pemrograman baik huruf,
angka, dan simbol yang membentuk program dengan mempertimbangkan
penundaan
Ellips irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam
satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah
ditentukan sebelumnya (disebut fokus).
Garis singgung lingkaran Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan diameter
lingkaran yang melalui titik singgungnya.
Grafik adalah gambaran pasang surutnya suatu keadaan atau data yang ada dengan
garis atau gambar.
Hiperbola tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang perbandingan jaraknya
terhadap suatu titik dan suatu garis selalu tetap.
Kecepatan besaran vektor yang menunjukkan seberapa cepat benda berpindah.
Besar dari vektor ini disebut dengan kelajuan dan dinyatakan dalam satuan meter
per sekon (m/s atau ms−1).
Komponen vektor hasil penguraian suatu vektor menjadi dua vektor yang saling
tegak lurus
Kuadran adalah 1/4 lingkaran. Jadi, dalam satu lingkaran, terdapat empat bagian
atau kuadranyang terbagi oleh 2 sumbu yang berpotongan tegak lurus. Dalam
koordinat cartesius, adalah kuadran I, II, III, dan IV.
41
Kurva suatu objek geometri yang merupakan satu-dimensi dan kontinyu
Lingkaran himpunan semua titik di bidang datar yang berjarak sama dari suatu
titik tetap di bidang tersebut.
Notasi vektor definisi atau penggambaran suatu vektor
Parabola bagian kerucut yang merupakan irisan antara permukaan suatu kerucut
melingkar dengan suatu bidang
Persamaan garis perbandingan antara selisih koordinat y dan koordinat x dari dua
titik yang terletak pada garis itu.
Proyeksi sumbu gambar bayangan suatu benda yang berasal dari benda atau
imajiner yang dituangkan dalam bidang gambar menurut cara-cara tertentu
Pusat koordinat bidang koordinat yang dibentuk oleh garis tegak Y (sumbu Y)
dan garis mendatar X (sumbu X). Titik perpotongan antara garis Y dan garis X
disebut pusat Koordinat (titik O).
RADAR atau Radio Detection and Ranging, yang berarti deteksi dan penjarakan
radio) adalah suatu sistem gelombang elektromagnetik yang berguna untuk
mendeteksi, mengukur jarak dan membuat map benda-benda seperti pesawat
terbang, kapal
Resultan suatu gaya yang berkerja pada suatu obyek, yang merupakan hasil
penjumlahan dari gaya-gaya yang bekerja pada benda tersebut
Stasiun master stasiun pemancar utama yang sebagai sumber sinyal
Stasiun sekunder stasiun relay atau penerus dari sinyal stasiun master
Time different (td) waktu beda pada sebuah pancaran sinyal setiap kali sinyal
ditembakkan
42
INDEX
A
Arah resultan 8
Aplikasi
hiperbolik pada pelayaran 32
lingkaran pada pelayaran 20
Arah kapal 3
B
Bagian ellips 25
Besaran
Besaran scalar 2
Besaran vektor 2, 11
C
Coding delay 33, 34
E
Ellips 24, 25
G
Garis singgung lingkaran 18, 19, 38
Grafik parabolik 23
H
Hiperbola 29, 30, 31
Hiperbola berpusat di (0,0) 29, 31, 38
Hiperbola berpusat di (h,k) 31, 39
K
43
Kecepatan 2, 3 ,4, 8, 11
Komponen vektor 9, 10, 11
Kuadran 15
Kurva
Kurva hiperbolik 30, 31, 32
Kurva hiperbolik berpusat di (h, k) 31
L
Link
Ellips 25
Hiperbola 29
RADAR 20
Vektor 13
Lingkaran 14, 15, 16
pada sembarang titik 17
M
Metode
jajaran genjang 3, 8, 9
komponen vektor 9, 11
polygon 3, 5, 6
segitiga 3, 4, 5
N
Notasi vektor 2
P
Parabola 22, 23
Perhitungan
Pengurangan vektor 3
Penjumlahan vektor 3
Persamaan
Persamaan garis singgung lingkaran 18, 19
44
Persamaan lingkaran pada pusat koordinat 14
Persamaan umum lingkaran pada koordinat
kartesius 14, 16
Proses pembuatan ellips 24
Proyeksi sumbu x dan y 9, 15, 16, 21
Pusat koordinat 14, 15,16, 24
R
RADAR 20, 21
Rangkuman 13, 38
Resultan 3, 4, 5
Resultan hasil penjumlahan 6
Resultan vektor poligon 7
Rute kapal 1
S
Stasiun
master 33, 34
sekunder 33, 34
T
Time different (td) 33, 34
V
Vektor
Vektor arus 3, 4
Vektor kapal 3, 4, 7
Vektor kecepatan dan percepatan 11
Vektor negatif 5
Vektor poligon 5, 6, 7
Vektor poligon arah kebalikan 5, 6
45