nacrtna geometrija

MF Banja Luka30.9.2008 Dr Živko Babić, NG-2008/09

Naziv predmeta:

NACRTNA GEOMETRIJAI semestar

Dr Živko Babić

predavanja / vježbe

2 + 2

(5 ECTS)

I DIO

MAŠINSKI FAKULTET

BANJA LUKA


Literatura iz Nacrtne geometrije:

Ž. Babić: Nacrtna geometrija, predavanja, Mašinski fakultetBanja Luka

[1] V. Đurović: Nacrtna geometrija, Naučna knjiga, Beograd[2] J. Justinijanović: Nacrtna geometrija I i II, Školska knjiga, Zagreb[3] P. Anagnosti: Nacrtna geometrija, Naučna knjiga, Beograd[4] K. Horvatić - Baldasar, I. Babić: Nacrtna geometrija, Zagreb[5] V. Niče: Deskriptivna geometrija I, II, Školska knjiga, Zagreb[6] Z. Kurnik, D. Palman, B. Pavković: Zadaci iz nacrtne geometrije, Tehnička knjiga, Zagreb

Za predavanja:

-sveska A4 bez linija

-2 trougla (300 i 450), šestar, olovke (meka i tvrda), gumica, olovke u boji

Za vježbe:-listovi A3 (dvolisnice) bez linija


Inženjer = stručnjak tehničkih ili tehnoloških nauka.

UVOD

Tehnička zanimanja:mašinstvo, građevinarstvo, geodezija, elektrotehnika, rudarstvo, metalurgija, tehnologija (hemijska, tekstilna, prehrambena, grafička, drvna ...), saobraćaj, zaštita na radu, agronomija, šumarstvoGrafika je vizuelno prikazivanje nečega na nekoj površini kao što je papir, monitor, zid, platno u cilju informisanja ili zabave. Primjeri su: inženjerski crteži, skice, grafovi, dijagrami, simboli, fotografije, crteži, geometrijski oblici, karte i ostale vrste slika koje nisu tekst.Grafika može biti funkcionalna i umjetnička. Grafika može biti nepostojeća ili može predstavljati nešto iz stvarnog svijeta.Danas se značajno koristi računar koji mnogo ubrzava izračunavanja i izbjegava dosadna ponavljanja crtanja. Ali treba poznavati osnove nacrtne geometrije da bi se mogle pročitati projekcije.Računarska grafika (en. Computer graphics, CG) - pomoću računara se stvara slika.Dva pristupa u 2D grafici: vektorska i rasterska grafika.


Rasterska grafika je stalna dvo dimenzionalna mreža piksela. Svaki piksel ima svoju vrijednost, kao što je osvijetljenost, boja, providnost. Rasterska grafika ima konačnu rezoluciju i ako se ona poveća najčešće se gubi kvalitet.

Vektorska grafika sadrži tačne geometrijske podatke, topologiju, koordinatne pozicije tačaka, veze između tačaka (za formiranje linija i putanja), boju i tako dalje. Vektorska grafika koristi jednostavne geometrijske oblike kao što su tačke, linije, krive i poligoni, a koji su opisani matematičkim jednačinama. Vektorska grafika se ne može pregledati pomoću nekog vanjskog programa (kao što je web browser naprimjer), vektorsku grafiku prepoznaje program pomoću kojeg je ta grafika nastala iako je čest slučaj da različiti programi za vektorsku grafiku bez poteškoća mogu čitati druge formate. Zato se vektorska grafika pretvara u rastersku (.jpg, .bmp itd.).

Prvi monitori su mogli prikazati oko 72 do 130 piksela po inču (PPI), dok današnji printerimogu štampati 2400 tačaka po jednom inču (DPI).Računarom podržano modeliranje - razlikujemo računarom podržano crtanje (Computer Aided Drafting-CAD) i računarom podržano modeliranje (Computer Aided Design-CAD) i računarom podržana proizvodnja (Computer Aided Manufacturing-CAM). CAD alati su komercijalni računarski programi, koji omogoćavaju učinkovitu upotrebu metoda i postupaka geometrijskog oblikovanja-modeliranja.

Programski paketi: AutoCAD, ArchiCAD

CATIA

Pro Ingineer


Rasterska grafika(Slike zahtjevaju mnogo memorije)

Bitmap (bmp) - nesažeta datoteka koja ne koristi nijednu vrstu sažimanjaFormat Jpeg (jpg) - sažima sliku a da se mnogo ne primjeti gubitak kvaliteta slike

Vektorska grafika je dobra za uklanjanje nepotrebnih detalja sa neke fotografije


Npr.: krug radiusa rGlavni podaci koje računarski program treba da zna kako bi iscrtao krug su:

1.radius r2.koordinate centra kruga 3.stil i boju linije (može biti i nevidljiva-providna) 4.stil i boju punjenja objekta (može biti i providno)

Prednosti ovakvog načina crtanja nad rasterskom grafikom:•Ovako mala količina informacija znači malu veličinu datoteke•Mogućnost uvećanja (zoom) bez gubitka kvaliteta

Sve ove informacije su zapamćene i mogu se kasnije mijenjati, to znači da pomjeranje, uvećanje, okretanje i bojenje itd. ne smanjuje kvalitet crteža kao kod rasterske slike.


TEHNIČKA DOKUMENTACIJA

DOKUMENT= informacijska cjelina koja sadrži međusobno logički povezan skup informacija o tehničkom uređaju ili sistemu

Dokument sadrži informacije predstavljene u obliku slike ili teksta.Skup svih relevantnih dokumenta o nekom objektu ili sistemu naziva se

tehnička dokumentacija.Pri stvaranju tehničke dokumentacije treba težiti optimalnoj minimizaciji

ljudskog rada i obima dokumentacije.

Prema namjeni razlikujemo sledeće oblike tehničke dokumentacije:· projektni zadatak - sadrži sve bitne zahtjeve projekta uključujući: tehničke, ekonomske, pravne i ostale, · idejno rješenje - sadrži osnovne informacije o predloženom rješenju, · idejni projekat - sadrži temeljnu razradu informacija o predloženom rješenju uključujući troškove, · investicioni eleborat - sadrži informacije iz idejnog projekta upotpunjene ekonomskom analizom,


glavni projekat - sadrži detaljnu razradu idejnog projekta sa svim podacima za izvođenje. Služi kao osnova za izradu izvedbene dokumentacije i prikupljanje ponuda,· glavni izvedbeni projekat - izrađuje se na temelju glavnog projekta nakon izbora proizvođača ili dobavljača, · dokumentacija za pogon i održavanje - sadrži detaljna uputstva za upotrebu i održavanje. Tekstovni dio tehničke dokumentacije predstavlja:· tehnički opis, · tehničko-ekonomska analiza,· obavezni proračuni,· uputstva za rukovanje,· uputstva za ispitivanje i održavanja,· popis opreme,· troškovnici.Slikovni dio tehničke dokumentacije predstavljaju tehnički crteži.

SLIKA vrijedi 1000 riječi.(ne u muzici)


Tehnički crtež treba biti:jednostavan, precizan i jasan.

Nacrtna geometrijaje naučna osnova tehničkog crteža.

Nacrtna geometrija je nauka o metodama koje omogućuju prikazivanje trodimenzionalnog oblika i rješavanje prostornih problema crtežom na dvodimenzionalnoj ravni konstruktivno geometrijskim postupkom.

Svaki problem treba najprije dobro prostorno shvatiti i misaono riješiti u prostoru pa tek onda metodama nacrtne geometrije riješiti crtanjem.


Životni ciklus građevine:- - Idejna osnova- - Idejni crtež:- - pravni- - ekonomski- - tehnički dio:- - arhitekturni crtež- - situacija- - tehničko uputstvo- - projekti instalacija (elektro, cijevi)- - zaštitni i odbrambeni crteži- - Detaljni crtež- - Projekat za dobijanje građevinske dozvole- - Projekat za konkurs (tenderska dokumentacija)- - Izvedbeni projekat- - Pripreme na gradnju- - Gradnja- - Upotreba i održavanje- - Rušenje


NACRTNA GEOMETRIJAUVOD

Osnovni pojmovi:

Geometrija- dio matematike, koja pomaže opisati prostor oko nas pomoću apstraktnih pojmova: tačka, prava i ravan (osnovni elementi od kojih se izvode svi oblici u geometriji).(grčki: ge=zemlja, metron=mjera)

OZNAKETačke: A, B, C,...,T,... ili 1, 2, 3, ...Prave: a, b, c,...,t,..., xRavni: α, β, ... ili Γ (gama), Δ (delta), Ε (epsilon), Π (pi), Ρ(ro), T(tau)

Neki aksiomi:- sa dvije tačke određena je jedna i samo jedna prava,- sa tri tačke, koje nisu na jednoj pravoj, određena je jedna i samo jedna ravan, itd.Geometrija se dijeli na :- analitička (koristi algebru i koordinatni sistem)- diferencijalna (koristi diferencijalni račun)- nacrtna ili deskriptivna (koristi konstruktivne metode projiciranja-crtanje) (lat: describere=opisivati)


- u školi za vojne inženjere riješio probleme utvrđenja bez dugotrajnih proračuna- primijenio geometrijske metode - njegovu metodu projiciranja na dvije okomite ravni zovemo Mongeovo projiciranje

Gaspard Monge (Monž) (1746-1818)je osnivač nacrtne geometrije.


CENTRALNA PROJEKCIJA

Objekat

POSMATRA NA KONA NOM RASTOJANJU OD OBJEKTA

ČČ

S

Projekcijski zrak(usmjeren prema okuposmatra a-centar S)č

RAVAN SLIKE

horizont

A

A'

B

Projekcijski zraci

Centar projiciranja

Projekcija (crtež)Proj

ekcij

ska

rava

n

Predmet

S

Π

B'

C

C'

Crtež ili slika objekta u nacrtnoj geometriji se dobija projiciranjem i naziva se projekcija.

VRSTE PROJEKCIJA


A

A'

B

Π

B'

C

C'

A

A'

B'

B

Π

C

C'

PARALELNAPROJEKCIJA

projekcijski zraci su paralelni

Paralelna projekcija može biti: - ortogonalna ili normalna - projekcijski zraci su okomiti na projekcijsku ravan- kosa - projekcijski zraci su kosi prema projekcijskoj ravni

ortogonalna kosa

Ortogonalne projekcije su osnovni način crtanja u tehnici.


KOTIRANAPROJEKCIJA

Kotirana projekcija se koristi kod prikazivanja terena, te projektovanja puteva, pruga, nasipa, kanala, rovova, rudnika.Projiciranje se vrši na horizontalnu ravan i upisuje udaljenost tačke od horizontalne ravni- kota.

A

D

E

BB'(0)

A' A'(2)

E' E'(2)D'

D'(3)

B'

C'

C'

C'

C'(-2)

C

Π Π

Projekcija tijela na jednu ravan

H

W

H

W

DD

B

PROJEKCIJSKARAVAN

Pomoću jedne projekcije ne može se opisati 3-D tijelo


π2

π1

horizontalnica

vertikalnica (frontalnica)


PROJEKCIJA TAČKE

Položaj tačke u prostoru potpuno je određen sa dvije projekcije:- tlocrt A' (projekcija na horizontalnu ravan) i - nacrt A'' (projekcija na vertikalnu ravan)

A’A’’-ordinala

A"

A

xAx

Π2

A,

Π1

A"

xAx

A,

Tački A prostora odgovarauređeni par projekcija (A’, A’’)


KVADRANTI I KOORDINATE TAČKE VERTIKALNICA

(druga projekcijska ravan)

HORIZONTALNICAprva projekcijska ravan)

A

A"

A,

z

xy

Π2

Π1

I

II

III

IV

)(x

1 2xAx

y

z

H

V

-Duž A'Ax se naziva prva ordinata i označava sa y-Duž A''Ax se naziva druga ordinata (ili aplikata) i označava sa z

-Tačka u prostoru je određena sa tri koordinate A(x, y, z)

(F)

(FRONTALNICA)


A

D

C

B

A"

D" C"

B"A"

B"

C" D"

A,D,

C,B,

A,

B,

C ,

D,

+z

-z-z

+z

+y+y

-y-y

π1

π2

I II III IV

X

y

y>0

y<0 y<0

z<0z<0

z>0

z>0

y>0

z

H

V

B’

Bπ2

π1

x

B’B’’

II.

x

B’’B’

Tačka B u drugom kvadrantu


T

A

B

S

TAČKA U SPECIJALNOM POLOŽAJU

A"

A,

B,,

B,

C,=C ,,x

Ako tačka leži u jednoj od projekcijskih ravni kažemo da je u specijalnom položaju.

Ako tačka A leži u horizontalnici, njena druga projekcija A'' ležaće na x-osi.Ako tačka B leži u vertikalnici, njena prva projekcija B' ležaće na x-osi.Ako tačka C leži istovremeno i u horizontalnici i u vertikalnici (znači na njihovom

presjeku), njena prva i druga projekcija leži na x-osi.


OKTANTI

AA"

z

x

Π2

Π1

II

VI

III

VIII

IV

y

z

0

A,

A,,,

Π1

Π3

IV

Oktanti I-IV su desno od profilnice, a V-VIII lijevo od profilnice.Da bi se prostor sveo na ravan crtanja, tj. ravan papira, sve projekcijske ravni se rotiranjem

dovedu u jednu ravanTačka u prostoru je udaljena od π1 za toliko koliko je druga projekcija udaljena od x-ose

(ordinata z).Tačka u prostoru je udaljena od π2 za toliko koliko je prva projekcija udaljena od x-ose

(ordinata y). Tačka u prostoru je udaljena od π3 za vrijednost x (apscisa).

xx-xy y

y

z

zz

-zy

A"A"’

Ax

A,

A'(x,y) x- apscisa

A''(x,z) y-prva ordinata

A'''(y,z) z-druga ordinataπ3 -PROFILNICA P


PROJEKCIJE DUŽI

B

A

B"B"

A" A"

B,B,

A,

A,π1

π2

x

y

z

H

V

Prava veličina dužiKada je duž nagnuta projekcije su kraće od njene prave veličinePrava veličina duži AB može se dobiti obaranjem (preklapanjem) trapeza ili obaranjem trougla

B"B"

A" A"

Trougao pravih veli inač

zA

zA B-Z

zA B-ZzA

zB

zBX X

// X

B, B,

d', d',

d' d'

d0 d0

B0

B0

B0

d0

A, A,

A0

A0A0

Zadatak: Odrediti sve tri projekcije i pravu veličinu duži: a) A(10,30,10), B(50,20,40); b) C(10,-20,10), D(50,30,50),


PROJEKCIJE PRAVE

Π1

Π2

1

2

1''a

a'

a''

2'


Projekcije na dvije ravni

-Prava probija ravan H (horizontalnica) u tački 1, a ravan V (vertikalnica) u tački 2.-Projekcija prave je ponovo prava-Prva projekcija a' je presjek ravni Π1 i ravni kroz pravu koja je okomita na Π1-Druga projekcija a" je presjek ravni Π2 i ravni kroz pravu koja je okomita na Π2-Ako neka tačka C leži na pravoj a, tada i C' leži na a', C" leži na a"

Tačka prvog prodora 1 se poklapa sa svojom prvom projekcijom 1', a njena druga projekcija 1'' leži na x-osi.Tačka drugog prodora 2 se poklapa sa svojom drugom projekcijom 2'', a njena prva projekcija 2' leži na x-osi.

2=2"

2=2"

1" 1"

C" C"a"

a"

1=1,

1=1,

a

2, 2

,

C,

C,

C

a,

a,

π1

π2

H

V


Projekcije prave na tri ravni 1(45;15;0)2(20;0;20)

Vidljivost prave - posmatrač u I oktantu. Vidljiv je dio prave iznad horizontalnice (H), ispred vertikalnice (V) i desno od profilnice (P). Vidljivost se određuje posebno za svaku projekciju. Granične tačke vidljivosti su prodori kroz H, V i P ravni (tačke 1, 2, 3). Prava se u prvoj projekciji vidi kada prolazi kroz gornje oktante (iznad H): I, II, V i VI. Prava se u

drugoj projekciji vidi kada prolazi kroz prednje oktante: I, IV, V i VIII. Prava se u trećoj projekciji vidi kada prolazi kroz desne oktante: I, II, III i IV.

Za određivanje oktanata kroz koje prolazi prava treba analizirati položaj projekcija prave u odnosu na oktante i redosljed prodora kroz H, V i P ravni. Ovi parametri (a', a'', a''', 1', 2'' i 3''') se posmatraju s desna na lijevo ili obratno.


PRAVA (DUŽ) U SPECIJALNOM POLOŽAJUPrava je u specijalnom položaju ako je paralelna ili okomita na jednu od projekcijskih ravni

B"B''' A"

B,

A,

h,

x

z

y

h,,A"' h,,, B"B'''

A"A"'

B,A, f ,

x

z

y

f ,,f ,,,

10 h//Π1⇒h''//x20 f//Π2⇒f'//x

B"B'''

A"

B,

A,p,

x

z

y

p,,

A"'p,,,

30 p//Π3⇒p'⊥x i p''⊥x

l,

m, n,

x

l,, m,,n,,

40 l ⊥Π1⇒l''⊥x 50 m⊥Π2⇒m'⊥x 60 ⊥Π3⇒n'//x//n''


Dvije prave

Međusobni položaj dvije prave u prostoru može biti:

a, a,b,

b,

x x

a,’ a,’b,’ b,’prave su paralelne a//b⇒a'//b' i a''//b''Projekcije dvije paralelne prave na jednu ravan može biti: dvije paralelne prave, jedna prava ili dvije tačke

prave se sijekuS" S"

S, S,a, a,

b, b,

x x

a,’

a,’b,’ b,’Presječna tačka S mora biti na oba pravca i njene projekcije S' i S'' se nalaze na istoj ordinali

prave se mimoilaze

a, a,

b,b,

x x

a,’a,’

b,’ b,’

Kod mimoilaznih pravih presjek prvih i drugih projekcija nije na istoj ordinali


Zadatak 1: Kroz tačku A(30, 20, 10) povući pravu tako da bude paralelna sa horizontalnicom H, a sa vertikalnicom zaklapa ugao od 300.

Zadatak 2: Kroz tačke A(20, 30, 50) i B(60, 10, 20) povući pravu a, a kroz tačku C(20, 40, 10) pravu b paralelnu pravoj a.

Zadatak 3: Zadana je druga projekcija trougla ABC A(20, ?, -10), B(50, ?, 30), C(80, ?, 10). Odrediti prvu projekciju trougla pod uslovom da je okomit na profilnicu i pod uglom 450 prema vertikalnici.Rj.: Ako je okomit na profilnicu njegova treća projekcija će biti duž.


Uglovi nagiba praveUgao α između prave i njene prve projekcije se zove nagibni ugao α=<(a,a')Ugao β između prave i njene druge projekcije se zove prikloni ugao β=<(a,a'').Ovi uglovi se dobiju obaranjem prave u prvu ili drugu projekcijsku ravan.

Zadatak: Prava prolazi kroz tačke A(30,5,30) i B(70,30,10). Odrediti prodore kroz projekcijske ravni i uglove α i β. [0(20,60)]


Vidljivost mimoilaznih pravih: Vidljivost u prvoj projekciji se dobija posmatranjem druge projekcije i obrnuto.Posmatranjem odozgo dobijamo prvu projekcijui pošto je D'' bliža posmatraču biće zaklonjena B'' i pošto je D na pravoj b biće vidlljiva b'.Vidljivost u drugoj projekciji odredimo analizom tačaka A i C.Druga projekcija se dobije kao pogled sprijeda (u pravcu strelice II). Tačka A' je bliža posmatraču (dalje je od x ose) i pošto leži na pravoj a, znači da je vidlljivo a'' i A''.

A'

B'

C'

D'

a'

a''

b''

b'

II

I

A'' B''

C''D''

Za vježbu: Odrediti prodore, vidljivost i oktante kroz koje prolazi prava p određena tačkama:a) A(10,20,10) i B(30,5,20)b) A(10,15,10) i B(25,5,10)c) A(-10,35,40) i B(20,15,10)


Ravan je neograničena površina. Ako prava ima dvije tačke zajedničke sa ravni, onda ona sva leži u ravni.

Određenost ravniRavan je određena sa:a) dvije prave koje se sijekub) dvije paralelne pravec) tri tačked) jedna prava i tačka

a) b) c) d)

PROJEKCIJE RAVNI


Tragovi ravniRavan siječe projekcijske ravni Π1, Π2, Π3 po linijama koje se nazivaju tragovi ili trase t1, t2 i t3. t1 - prvi trag (presjek ravni Τ sa Π1)t2 - drugi trag (presjek ravni Τ sa Π2)t3 - treći trag (presjek ravni Τ sa Π3)

t1

t2t3

Tz

Tx

Ty

Ty 0x

z

y

Tačke Tx, Ty i Tz su osni tragovi ili osni prodori.

Koordinate ravniKoordinate ravni su odsječci na koordinatnim osama.Označavamo Τ(Tx, Ty, Tz), npr. ravan Σ(30,15,25)Kao što je tačka potpuno određena sa dvije projekcije, tako je i ravan određena sa dva traga (jer sadrže sva tri osna prodora).


Vrste ravniZavisno od položaja ravni u prostoru, tragovi mogu biti vrlo različito postavljeni.Razlikujemo konvergentne i divergentne tragove ravni.

a) b)a) konvergentni tragovi (tragovi su sa iste strane vertikale u tački Tx)b) divergentni tragovi (tragovi su sa različitih strana vertikale u tački Gx)Kao što je tačka potpuno određena sa dvije projekcije, tako je i ravan određena sa dva traga (jer sadrže sva tri osna prodora).

g1

g2g3

Tz

Gx

Gy

Gy 0 x

z

y

t1

t2

Tx0x

z

y

Zadaci: Nacrtati tragove ravni i odrediti tip ravni: a) ρ(3,2,4) b) ε(3,2,-3.5) c) γ(3,-2,-3) d) δ(-3,3,2)


RAVAN U SPECIJALNOM POLOŽAJU

Ravan je u specijalnom položaju ako je okomita ili paralelna sa projekcijskim ravnima.Projektna ravan je ravan koja je okomita na projekcijsku ravan.Prva projektna ravan je okomita na Π1.

x

Π2

y

z

t1 t1

t2 t2t2

t3t3

t3Tx

Ty

Ty

Π1

Π3

0x

z

y

Vrijedi pravilo:Sve što leži u prvoj projektnoj ravni ima tlocrt (1. projekciju) na prvom tragu t1.


x

Π2

y

z

t1t1

t2t2

t3

t3

Π1

Π3

0x

z

y

Druga projektna ravan je okomita na Π2.

Vrijedi pravilo:Sve što leži u drugoj projektnoj ravni ima nacrt (2. projekciju) na drugom tragu t2.

Treća projektna ravan je okomita na Π3.

x

Π2

y

z

t1 t1

t2

t2t2

t3

t3

Π1

Π3

0x

z

y

Vrijedi pravilo:Sve što leži u trećoj projektnoj ravni ima bokocrt (3. projekciju) na trećem tragu t3.


Ravan paralelna sa projekcijskim ravnima:

T//Π2 T//Π1 T//Π3

t1Ty

Tz

Tx

t1

t2

t2t3

t3

0 0 0x x x

z z z

y y y


MEĐUSOBNI POLOŽAJ TAČKE, PRAVE I RAVNIPrava i tačka na ravniPrava na ravni može biti u proizvoljnom i specijalnom položaju. Specijalni položaj je kada je prava paralelna sa tragom ili kada je okomita na trag.Prava na ravni :

Ako prava leži na ravni ona onda siječe prvi trag ravni u tački 1, a drugi trag ravni u tački 2, a te tačke su ujedno prodori prave kroz projekcijske ravni (p∈Τ⇒1∈t1 i 2∈t2)

Znači vrijedi pravilo: Prava p je na ravni Τ ako su njeni prodori kroz projekcijske ravni na tragovima te ravni.Zato se može samo jedna projekcija prave zadati proizvoljno, dok druga slijedi iz navedenog uslova.Ako je tačka u ravni ona je i na jednoj od pravih koja je u ravni.Ako je zadana jedna projekcija tačke koja je na ravni, onda drugu projekciju možemo odrediti tako što kroz tačku postavimo neku pravu. Projekcije tačke će biti na istoj ordinali i na projekcijama prave.


Sutražnice :

Prava koja je u ravni i paralelna je sa jednim tragom zove se sutražnica.Prva sutražnica (horizontala -h) je paralelna sa prvim tragom t1, a to znači paralelna je i sa ravni Π1, što znači da joj je druga projekcija h'' paralelna sa x-osom.Druga sutražnica (frontala-f) je paralelna sa drugim tragom t2, a to znači paralelna je i sa ravni Π2, što znači da joj je prva projekcija f' paralelna sa x-osom.

Upotreba sutražniceKada treba odrediti projekciju tačke koja leži na ravni, mnogo je jednostavnije koristiti sutražnicu nego neku proizvoljnu pravu.

Π2

t1t1 t1

t2t2 t2

Tx Tx

Π1

x xh

h’

h’ f’

h’’h’’ f’’

2’ 2’ 1’’

2=2’’2=2’’

1 1= ’

Horizontala h i frontala f

Zadatak:1. Data je ravan Τ(30,20,-30). Kroz tačku A(25,10,?) povući: a) horizontalu i b) frontalu.


Nagibnica i priklonica :Nagibnica n je prava koja leži u ravni i okomita je na prvi trag t1. U tom slučaju je i njena prva projekcija n' okomita na prvi trag, a druga projekcija se odredi iz projekcijatačaka prodora.Kako je prva projekcija nagibnice n' okomita na prvi trag t1, ona je okomita i na prvu projekciju bilo koje prve sutražnice (horizontale) h'. Priklonica p je prava koja leži u ravni i okomita je na drugi trag t2. Njena druga projekcija p'' okomita je na drugi trag ravni i na drugu projekciju frontale.

Nagibnica n i priklonica p


ODREĐIVANJE TRAGOVA RAVNI

Tragovi ravni koja je određena sa dvije prave koje se sijekuNeka je ravan određena sa dvije prave a i b koje se sijeku u tački S. Nacrtati tragove te ravni.

Tragovi tražene ravni moraju prolaziti kroz prodore zadanih pravih kroz projekcijske ravni. Tragovi ravni takođe prolaze kroz zajedničku tačku Tx na x-osi.

Postupak je isti ako je ravan data sa dvije paralelne prave.Ako je ravan određena sa 3 tačke možemo kroz te tri tačke povući dvije

prave koje se sijeku ili dvije paralelne prave, pa ponovo primijeniti gornji postupak.

Ako je ravan određena sa pravom i tačkom izvan prave, povlačenjem prave kroz zadanu tačku, svodimo problem ponovo na prethodni slučaj.


DVIJE RAVNI

Dvije ravni mogu biti međusobno paralelne ili se sijeku po pravoj.Paralelne ravni imaju sva tri traga međusobno paralelna.Dvije proizvoljne ravni se sijeku po pravoj koja pripada i jednoj i drugoj ravni. Ako su poznati tragovi presječnih ravni, za određivanje presječnice najpovoljnije je uzeti tačku u kojoj se sijeku prvi tragovi i tačku u kojoj se sijeku drugi tragovi.

Presječna prava p dvije ravni


Ako je prava a(a',a'') u proizvoljnom položaju (pod uglom ϕ) u odnosu na zadanu ravan Τ(Tx,Ty,Tz) ona će prodirati kroz ravan u tački S. Za određivanje tačke prodora postavimo kroz pravu a pomoćnu ravan Γ. U presjeku presječnice p ravni Τ i Γ sa zadanom pravom dobija se prodor S.

Umjesto proizvoljne ravni, kroz pravu a postavimo specijalnu ravan Γ koja je okomita na ravan Π1 (prva projektna ravan). Drugi trag g2 te ravni je paralelan sa z-osom. Pošto je ravan Γ postavljena kroz pravu a(prava a leži u ravni) prva projekcija a', prvi trag g1 i prva projekcija presječnice p' se poklapaju (a'=g1=p'). U presjeku a'' i p'' dobija se druga projekcija prodora S''. Prva projekcija prodora S' je na ordinali kroz tačku S''

Prodor prave a kroz ravan Τ (prostorni prikaz)

PRODOR PRAVE KROZ RAVAN


Prodor prave a kroz ravan Τ (u projekcijama )

Druga mogućnost je da kroz pravu a postavimo pomoćnu ravan okomitu na projekcijsku ravan Π2. Tada bi prvo odredili projekciju S', a iz nje projekciju S''.

Zadaci:1. Odrediti presječnu liniju ravni Τ(10,∞,-10) i Ρ(55,40,50).2. Odrediti presječnu liniju ravni Τ(20,-10, ∞) i Ρ(60,50, ∞).


PRODOR PRAVE KROZ LIK

Ako treba odrediti prodor prave a kroz neki lik (trougao, četvorougao,...) postavimo kroz pravu jednu od projektnih ravni (ravan okomita na projekcijsku ravan) i odredimo presječnicu p lika i te ravni. U presjeku presječnice p i zadane prave a je prodor S prave kroz lik .

Zadatak:

Odrediti prodor prave a=[E(20,10,10); F(70,20,50)] kroz trougao ABC[A(10,20,35); B(50,0,10); C(70,30,30)]

Prodor prave kroz trougao


Zadatak možemo riješiti bez određivanja tragova ravni trougla ABC. Kroz pravu asmo postavili prvu projektnu ravan čiji se trag poklapa sa prvom projekcijom prave a' (drugi trag je okomit na x-osu, a nije ni prikazan jer nam nije potreban). Da bi našli presječnicu p treba odrediti probodišta 1 i 2 stranica trougla i projekcijske ravni jer je presječnica određena sa te dvije tačke. Druga projekcija presječnice p'' siječe drugu projekciju zadane prave a'' u tački S'', a prva projekcija prodora S' je na presjeku prave a' i ordinale iz tačke S''.Zadatak se takođe može riješiti postavljanjem druge projektne ravni kroz pravu a.


Presječnica dva lika (ravni zadane tačkama)

Zadatak: Odrediti presjek dvije ravni zadane trouglovima ABC i DEF, kao i vidljivost.ABC [A(15,10,30); B(40,60,55); C(90,30,5)]DEF [D(0,40,10); E(60,15,50); F(80,50,20)]

Presjek ova dva trougla odredimo tako da odaberemo dvije stranice jednog trougla i odredimo njihov prodor kroz drugi trougao.Ovdje je određen prodor duži DE i duži DFkroz ravan trougla ABC postavljajući pomoćne ravni okomite na vertikalnicu kroz druge projekcije duži. Pomoću tačaka 1'',2'' i 3'',4'' odredimo prodore P1 i P2 kroz ravan koja je određena trouglom ABC. Spajanjem projekcija tačaka P1 i P2 dobijamo liniju na kojoj se nalazi presječna duž koja pripada i jednom i drugom trouglu.


PRAVA OKOMITA NA RAVAN

Prava je okomita na ravan (normala) ako je okomita bar na dvije prave koje su na toj ravni.Prava a koja je okomita na ravan Τ ima svoju prvu projekciju okomitu na prvi trag n'⊥t1 (na prvu projekciju horizontale n'⊥h') i svoju drugu projekciju okomitu na drugi trag n''⊥t2 (time i na drugu projekciju frontale n''⊥f''). Važi i obrnuto.

t1

t2

x

z

y

n’

n’’

n

A’’A

A’

T


Zadatak: Odrediti simetralnu ravan duži AB (polovi duž i okomita je na nju), ako jeA(5,5,5); B(40,30,30).

Rješenje: Tragovi ravni moraju biti okomiti na pravu određenu sa duži AB. Kroz tačku S' koja polovi prvu projekciju duži A'B' povučemo horizontalu h tako da bude okomita na tu duž (h'⊥A'B'). Kroz prodor horizontale sa ravni Π2 (tačka 1'') povučemo trag t2 okomit na duž A''B'', a iz tačke Tx povučemo prvi trag t1 okomit na A'B' .

T

t

t

T


n

d

S

A

T

Zadatak: Naći udaljenost tačke A(40,35,35) od ravni Τ(60,35,40). O(30,50)

UDALJENOST TAČKE OD RAVNI

Rješenje: Da bi se odredila udaljenost tačke A od ravni Τ treba:- iz tačke spustiti normalu na ravan Τ- odrediti prodor prave (normale) kroz ravan (tačka S)- odrediti pravu veličinu duži AS (rastojanje d0)


OBARANJE RAVNIDa bi dobili pravu veličinu nekog lika u proizvoljnoj ravni Τ, potrebno je ravan Τ oko njenog traga, zajedno sa likom oboriti u projekcijsku ravan (npr. oboriti ravan Τ oko traga t1 u ravan Π1). Pošto je ravan određena pravom i tačkom, dovoljno je zarotirati jednu tačku ravni oko traga t1.Svaka tačka na ravni vršiće rotiranje po kružnici koja je okomita na trag koji predstavlja osu rotacije. Kružnica leži u projektnoj ravni koja je okomita na trag i prolazi kroz tačku koju obaramo.Proizvoljnu tačku A koja leži na ravni možemo oboriti pomoću sutražnice h obaranjem njenog prodora 2.


TRANSFORMACIJA

Kod projiciranja duž se ne pokazuje u svojoj pravoj veličini (već skraćena), osim u slučaju kada je paralelna sa projekcijskom ravni. Kod projiciranja nekih mašinskih dijelova ne može se odabrati položaj da sve površine budu u pravoj veličini. Da bi se ovo riješilo pomjeramo treću projekcijsku ravan u neki proizvoljan položaj.

Kružni otvor u kosoj površini je u projekcijama elipsa.


Transformacija je uvođenje novih projekcijskih ravni i novih projekcija.Za određivanje položaja tačke dovoljne su dvije projekcije (prva i stara druga ili prva i nova treća projekcija.1x2 –stara osa1x3 –nova osaA''- stara projekcijaA'''- nova projekcija

1 2x 1 2x1 2x

1 3x

1 3x1 3x

Π2 Π2

Π1

Π1

Π3

Π3


Transformacija tačkeA’’

A’’’

A’

1 2x

1 3x

zA

zA

Važi pravilo:Udaljenost nove projekcije od nove ose jednaka je udaljenosti stare projekcije od stare ose.

Može se koristiti više transformacijskih ravni Π3, Π4, ... zavisno od predmeta i potrebe predmeta crtanja.

stara projekcija

nova projekcija

stara osa

nova osa


Transformacija duži (prave)

Pomoću transformacije možemo odrediti pravu veličinu duži (prave) tako što treću projekcijsku ravan Π3 postavimo na proizvoljnom rastojanju paralelno sa pravom a i okomito na Π1. Ravan Π3se može postaviti paralelno sa pravom a i okomito na ravan Π2. Projiciranjem prave a na paralelnu ravan dobiće se njena prava veličina.a0 -prava veličina duži aϕH -nagibni ugao prema horizontalnici

1x2

1x3

Π2

Π1

Π3 a

a'

1 2x 1 2x

1 3x

1 3x

Π2

Π1

Π3

a' a'

a''

III

B"

A"

B'

A'

A'''=A0 a'''=a0

B'''=B0

zA

zA

zB

zB

ϕH0

1 2x

1 3x

a'

a''

A'''=A0a'''=a0

B'''=B0

Δz

Δzϕ

H0

Ravan Π3 se može postaviti kroz pravu a, pa će se u tom slučaju osa 1x3 poklopiti sa a'.


Udaljenost tačke od prave pomoću transformacije

Udaljenost tačke od prave se može odrediti povlačenjem normale iz tačke na pravu. U projekcijama ta normala nije pod pravim uglom. Zato treba transformacijom dobiti projekciju prave u jednoj tački. Prvo postavimo ravan Π3 paralelnu sa pravom (osa 1x3 paralelna sa a') pa će a''' ujedno biti i prava veličina duži AB. Sljedeću projekcijsku ravan Π4 postavimo okomito na Π3 i treću projekciju prave a'''. Projekcija prave na tu ravan će biti tačka, pa u toj projekciji imamo rastojanje između dvije tačke

1 2x

1 3x

3 4x

a'

a''B"

C"A"

A"'

B'C'

C'''

CIV

B=A I VIV

A'

A'''

d0

a'''

B'''

zA

zA

xA

xA


Prodor prave kroz trougao pomoću transformacije

Ako treba odrediti prodor prave AB kroz trougao 123, zgodno je primjenom transformacije dobiti projekciju trougla u obliku duži, pa prodornu tačku S odrediti kao presjek dvije duži

Presjek dva lika pomoću transformacije

1 2x

2 3x

B"

B"’C”’

A"

A"’

B'

C'

C'’

A'1’

1’’

2’

2’’

2’’’=4’’’

1’’’=3’’’

4’

4’’

3’

3’’

Presjek dva lika možemo odrediti tako da se postupkom transforma-cije jedan od njih projicira u duž.

1 2x

2 3x

B"

B"’

S”’

S”

S’

A"

A"’

B'

A'1’

1’’

2’

2’’

1’’’=2’’’

3’’’

3’

3’’


ROTACIJA

Drugi način za postizanje jasnije projekcije predmeta, a da se ne mijenjaju projekcijske ravni je rotacija. Tačka, prava ili ravan se obrće oko određene prave (osa rotacije) dok se ne dovede u paralelan položaj sa projekcijskom ravni da bi se na njoj projicirali u pravoj veličini.Rotacija tačkeRadi jednostavnijeg rješavanja postavljamo osu rotacije o okomitu na H ili V ravan. Ako je osa rotacije okomita na Π1 (H ravan) njena prva projekcija o' je tačka, a druga projekcija o'' paralelna sa z-osom. Ako tačka A rotira oko ose rotacije o za ugao ϕ i zauzme položaj A1, krug rotacije je paralelan sa H ravni i u drugoj projekciji se projicira kao duž A''A1'' paralelna sa x-osom.

x

A’’

o’’

A’

o’

ϕA’1

A’’1


Rotacija duži (prave)Duž AB rotira oko ose koja prolazi kroz tačku A i okomita je na H ravan.

x

A’’

o’’a’’a0

a’

A’=o’

ϕ

ϕΗ0

B’’1

B’1

B’

B’’

Poluprečnik rotacije je A'B', a ugao rotacije ϕmože biti na jednu ili drugu stranu zavisno od preglednosti crteža. Tačka B je rotirana sve dok nije prva projekcija prave postala paralelna sa x-osom (što pokazuje da je duž AB postala paralelna sa V ravni). Pri tome se u drugoj projekciji pokazuje u pravoj veličini, a i ugao nagiba prema horizontalnici se takođe prikazuje u pravoj veličini ϕH0.


Zadaci: 1. Tačke A(10,15,15) i B(60,30,15) zarotirati u smjeru kazaljke na satu za ugao

ϕ=1200 oko prave p koja je okomita na Π2 ako je zadano p=CD[C(40,10,20),D(40,50,20)].

2. Trougao ABC zarotirati u smjeru kazaljke na satu za ugao ϕ=900 oko prave q ako je A(0,10,30), B(25,50,50), C(40,25,20), q:[Q(50,40,10), q⊥Π2].

3. Odrediti projekcije duži čija je prava veličina AB=40mm, ako je A(10,10,5),B(35,?,25).

4. Tačku P(30,40,10) zarotirati za ugao ϕ=1200 oko prave a=AB[A(0,70,10), B(30,40,10)]. Koristiti transformaciju, tako da se osa rotacije pokaže kao tačka.


KRIVE

Kriva može biti ravanska (sve tačke krive leže u jednoj ravni, npr. kružnica) i prostorna (sve tačke ne leže u jednoj ravni, npr. zavojnica). Ako je zadana matematičkim izrazom naziva se analitička (može biti algebarska ili transcedentna). Međutim,kriva može biti zadana samo crtežom i tada je definisan samo njen nacrtani dio.Kriva prvog reda je prava.Krive drugog reda su: kružnica, elipsa, parabola i hiperbola. One se nazivaju konusnipresjeci.Krive višeg reda se mogu raspasti u krive nižeg reda. Kriva drugog reda se može raspasti u dvije krive prvog reda, a kriva četvrtog reda se može raspasti u dvije krive drugog reda.Ako dvije algebarske krive koje leže u istoj ravni imaju jednu zajedničku tačku mogu u toj tački imati ili jednu zajedničku tangentu ili dvije tangente. U prvom slučaju se krive dodiruju, a u drugom slučaju se sijeku. Ugao između krivih koje se sijeku je ugao između njihovih tangenti u presječnoj tački. Ako prava siječe krivu pod pravim uglom kažemo da je to normala na krivu.Projekcije kriveAlgebarska kriva n-tog reda ostaje i u projekciji kriva istog reda. Tangenta t krive K u projekciji će takođe biti tangenta t' na krivu K'. Isto vrijedi i za asimptote.Prostorna kriva imaće projekciju na neku ravan istog reda kao i sama kriva.


OBLE POVRŠINE

Kada se prava ili kriva linija kreće po nekom pravilu sve njene tačke opisuju oblu površinu. Tu liniju koja u toku svog kretanja zauzima neki položaj nazivamo izvodnica. Ove površine se nazivaju analitičke površine. U tehnici se koriste i površine zadane samo grafički (npr. korito broda, karoserija automobila).Svaki presjek oble površine n-tog sa nekom ravni je kriva n-tog reda. Površina m-tog reda siječe se sa nekom drugom površinom n-tog reda po prostornoj krivoj mxn-tog reda.Konus (stožac, kupa), Cilindar (valjak), Kugla (lopta, sfera), TorusKonus opisuje prava koja prolazi kroz neku stalnu tačku V i klizi po nekoj krivoj.Valjak opisuje prava koja klizi po nekoj krivoj i pri tom ostaje paralelna svom prvom položaju.Prava koja klizi zaustavljena u bilo kojoj tački krive zove se izvodnica konusa ili valjka.Rotacijom polukružnice oko prečnika nastaje lopta.Rotacijom kružnice oko prave nastaje torus.


KONSTRUKCIJA ELIPSE

Metoda dodirnih krugova

Elipsa može biti zadana:- velika i mala osa- spregnuti prečnici

-zadane ose AB i CD-spojimo A i C-povučemo okomicu na AC iz vrha-tačke OA i OC su centri radijusa u tački A i C


Metoda parčeta papira-zadane ose

B

P

P

M

M

R

R

Aa

a

b

b

-zadane poluose a i b-nanesemo na ivici papira PM=a i MR=b-tačka P klizi po maloj osi, tačka R po velikoj osi, a M opisuje elipsu


Metoda parčeta papira-zadani spregnuti prečnici

-zadani sprednuti prečnici AB i CD-u tački C normala na veći prečnik-na normali se nanese CP=PM=AS i povuče prava PS-P klizi po pravoj PS a R po prečniku AB-M opisuje elipsu

B

D

C

P

P

MM

RRA

S


Ricova (Ritz) metoda za određivanje osa elipse

B

D

C

PA0

R

O

AS

a

b

-zadani spregnuti prečnici AB i CD-u tački S normala na veći prečnik AB i na nju nanese veći poluprečnik SAi dobije A0, te prepolovi A0C (dobije se tačka O)-iz O se opiše krug i dobiju tačke P i R kroz koje prolazi velika i mala osa a=PC i b=RC


KRUŽNICA U PROJEKTNOJ RAVNI

S’’=C’’=D’’A

A’’

D

S

B

B’’

Τ

C

Zadana je ravan T okomita na Π2 sa svojim tragovima t1 i t2. Neka kružnica leži u ravni T i neka je zadana prva projekcija centra kružnice S' i poluprečnik r. Druga projekcija centra i svih tačaka kružnice nalaziće se na dugom tragu t2.

Ortogonalna projekcija kružnice nagnute prema projekcijskoj ravni je elipsa. ''Spljoštenost'' elipse zavisi od ugla nagiba. Ako je kružnica okomita na projekcijsku ravan projicira se kao duž, a ako je paralelna sa projekcijskom ravni projicira se kao kružnica u pravoj veličini.

t1

t2

Tx x

S’

C’

S0B0

D0

C0

A0

S’’C’’=D''

B’

B'’

A’

A’'

D’


KRUŽNICA U PROIZVOLJNOJ RAVNI

Zadatak: Na ravni Τ(70,60,45) leži kružnica poluprečnika r=20 mm sa centrom S(20,20,?). Nacrtati prvu i drugu projekciju. 0(30,60)


Rješenje: Oborimo ravan Τ u π1 i nacrtamo kružnicu u pravoj veličini. Spregnuti prečnici AB i CD u prvoj projekciji predstavljaju veliku i malu osu elipse (na horizontali h' je velika osa elipse jednaka prečniku). U drugoj projekciji na frontali EF je osa elipse jednaka prečniku kruga.


KOLINEACIJA I AFINITET

PERSPEKTIVNI AFINITET

Za dvije ravni kažemo da su afine ako svakoj tački jedne ravni odgovara samo jedna tačka druge ravni, a da paralelne prave ostaju paralelne i u drugoj ravni.

Perspektivni afinitet-sve prave jednog lika se sijeku sa odgovarajućim pravama drugog lika na jednoj pravoj-osa afiniteta(prava koincidencije). Stalni pravac na kojem jedna tačka odgovara drugoj naziva se zrak afiniteta.

osa afiniteta

zraci afiniteta

3 2 1

A

C

B

A’

C’

B’


Preslikavanje koje svim tačkama ravni α1 pridružuje tačke ravni α2 tako da su spojnice parova pridruženih tačaka paralelne nazivamo prostornim afinitetom. Točka V∝ je centar, a pravac o (presječnica ravni α1 i α2

) je osa tog afiniteta.


Zadatak: Trougao ABC[A(10,10,15); B(40,?,20); C(20,?,35)] leži u prvoj projektnoj ravni koja sa vertikalnicom gradi ugao 300. Naći pravu veličinu trougla.

Kroz A' postavimo prvi trag t1pod uglom od 300, a drugi trag je okomit na x-osu. Oborimo ravan Τ u Π2 oko traga t2.

Nacrt A''B''C'' i oboreni položaj A0B0C0 su perspektivno afini likovi.

Perspektivni afinitet potpuno je određen ako je zadana osa afiniteta i par pridruženih tačaka (npr. A'' i A0).U ovom slučaju osa afiniteta je trag t2.


PROJEKCIJE TIJELABAZA U Π1

Prizma (ograničen prizmatični prostor sa dvije paralelne ravni)Prizmatična površina nastaje kada prava kliže po poligonu.

kvadratna, krnja četverostrana, trostrana, šesterostrana kosa i krnja

xx

USPRAVNA KOSA


Piramida (ograničen piramidni prostor sa vrhom i jednom ravni)Piramidna površina nastaje kada prava kliže po poligonu i prolazi kroz jednu tačku V.

četverostrana pravilna, šesterostrana kosa i četverostrana krnja

xx

USPRAVNA KOSA


Kupa (konus) Valjak (cilindar)

uspravni, omotač, kosi, krnji

xx

Torus

x


PRESJECI TIJELA I RAVNI


PRESJEK KUPE (KONUSA) SA RAVNI

Presjek konusa i ravni može biti:- kružnica - elipsa- parabola- hiperbola

x

para

bola

kružnica

elipsa

hiperbolaPresjek konusa i ravni može se odrediti :- prodorom izvodnica kupe kroz ravan - transformacijom- kolineacijom- prodor neke od pravih na ravni kroz kupu


Zadatak: Naći projekcije kupe presječene po paraboli sa ravni Τ(55,∞,?).Centar baze S(40,40,?) leži u horizontalnici H (Π1), prečnik je 2r=60 mm i visina v=50mm. [O(30,80)]

Drugi trag ravni je paralelan sa konturnom izvodnicom B''V'' (da bi presjek bio parabola). Pošto je ravan T okomita na ravan V, presječna površina u drugoj projekciji se projicira na trag t2. Podijelimo na proizvoljan broj dijelova I'', II'', ..., IX''. Kroz ove tačke provučemo izvodnice iz vrha V'' i odredimo pridružene tačke na bazi 1'', 2'',..., 9''. Odredimo prve projekcije tih tačaka 1', 2',...,9' i povučemo prve projekcije izvodnica 1'V', 2'V',...,9'V'. Na presjeku ordinala iz I'', II'',... i izvodnica dobijamo parabolu I', II',...‚Pravu veličinu odredimo transformacijom.


Zadatak: Naći presjek konusa (kupe) sa ravni T(120,95,50) i nacrtati mrežu.Centar baze S(30,35,0) leži u horizontalnici H, prečnik je 2r=50 mm i visina v=45mm. [O(70,100)]

PRESJEK KONUSA SA RAVNI PO ELIPSI


Može se koristiti i transformacijska ravan Π3 čija je osa 1x3 okomita na t1. Na toj ravni presječna elipsa se projektuje u duž I’’’II’’’ čija sredina predstavlja centar elipse C’’’. Pomoću horizontale odredimo C’’.Horizontalna ravan kroz C" i h’’ siječe kupu po uporedniku u’’ (krug u’ daje tačke III’ i IV’). U prvoj projekciji imamo veliku osu I’II’ i malu osu III’IV’ pa se može konstruisati elipsa.

Ravan simetrije elipse je okomita na ravan T i njen prvi trag prolazi kroz V' okomito na t1. Presjek te ravni i ravni T je nagibnica. Povučemo nagibnicu n’ (okomica na t1) kroz S’ i nađemo prodor nagibnice kroz kupu. Presjek n’’ i izvodnica A’’V’’ i B’’V’’ određuje tačke I’’ i II’’.


Kružnicu baze možemo podijeliti na nekoliko podioka i u presjeku izvodnica dobiti još tačaka elipse u prvoj i drugoj projekciji.Obaranjem ravni Τ oko traga t2 u ravan V (trag t1 u t10) dobijamo pravu veličinu presječne elipse.Prava veličina izvodnica (za crtanje mreže) je u tećoj projekciji.Konturne tačke V i VI (gdje druga projekcija presjeka dodiruje konturu nacrta) mogu se odrediti postavljanjem frontalnice kroz vrh V’.


Mreža kupeObaranjem ravni se dobije prava veličina presječne površine, a iz transformacije prava veličina izvodnica (treća projekcija).Ugao omotača α=360xR/izvodnica=360x25/51,48=174,80.


PRESJEK VALJKA SA RAVNIZadatak: Naći presjek valjka i ravni Τ(100,80,55) i nacrtati mrežu od baze do presjeka.Centar baze S(30,25,?) leži u horizontalnici H (Π1), prečnik je 2r=40 mm i visina v=55mm. [O(80,70)]

Presjek valjka i ravni je elipsa koja leži u ravni Τ. Koristeći transformaciju (ravan Π3 okomita na Π1 i t1) presječna površina se projektuje u duž C'''D''' na tragu t3. AB i CD su par konjugiranih (spregnutih) prečnika presjeka (CD-velika osa, AB-mala osa elipse). Obaranjem ravni Τ u Π1oko prvog traga t1 dobijamo pravu veličinu presjeka.


Mreža valjka:

Rektifikacija kružnice:


LOPTA (KUGLA)

Lopta (kugla) nastaje rotacijom polukružnice oko prečnika.u-uporednik e-ekvator (najveći uporednik)m-meridijan (kružnica koja ide kroz polove-jednaki su)Tlocrt meridijana je prečnik.Tačke M1 i M2 se nalaze na površini kugle.Presjek kugle i ravni je kružnica.


PRESJEK KUGLE SA RAVNIZadatak: Naći presjek kugle sa centrom S(50,35,30) poluprečnika r=30mm sa ravni T(-25,20,15).[O(40,80)]


Centar presjeka je na sredini duži I'''II''' koja predstavlja prečnik presječne kružnice.Osa I'II' paralelna sa t1 ima dužinu jednaku prečniku 2r (III'IV'=I'''II'''=prava veličina prečnika presječne kružnice).Tačke I' i II' su na tlocrtu nagibnice n' koja ide centrom presjeka.Na presjeku e''' i t3 su konturne tačke K1''' i K2'''.Na presjeku f'' su konturne tačke K3'' i K4''.


TORUS (Prstenasta površina)

Torus nastaje rotacijom kružnice oko prave koja je izvan nje.o -osa torusas -središna kružnicag -grlena kružnicae -ekvator (najveći uporednik)i -kružnica izvodnicau -uporednikTorus je površina 4 reda (prava može imati 4 probodišta).


Zadatak: Naći presjek torusa sa ravni Τ(45, ∞, 45). Torus dodiruje H i V i P ravan i nastaje rotacijom kružnice poluprečnika r=17,5mm oko ose okomite na Π1. Centar kružnice S opisuje radijus R=32,5 mm.[O(40,80)]

nacrtna geometrija

Documents