nagyné csóti beáta matematika példatár

MODERN ÜZLETI TUDOMÁNYOK FŐISKOLÁJA

Nagyné Csóti Beáta

MATEMATIKAI PÉLDATÁR

3

ELİSZÓ Ez a példatár elsısorban azzal a céllal készült, hogy a Modern Üzleti Tu-dományok Fıiskolája matematika oktatásához az elsı év elsı félévében váloga-tott és kidolgozott példákkal segítséget adjon. A példatár Dr. Csernyák László: Analízis c. tankönyv elméleti anyagára alapozva készült. Célja az, hogy a tárgyalt feladatokon és megoldásaikon keresztül a hallgatók matematikai ismeretei egy olyan alap eszközbázishoz csatlakozzanak, amelynek segítségével a gazdasági élet különbözı területein adódó problémákat matematikai formában meg tudják fogalmazni és meg is tudják oldani. Minden fejezet elején megtalálhatók azok a legfontosabb definíciók és tételek, amelyeknek ismerete szükséges a fejezetben szereplı feladatok megoldá-sához. A tételek bizonyítására nem tértem ki, mivel azok megtalálhatók a fıisko-lán használt, fent említett tankönyvben. Az egyes feladatcsoportokba kerülı feladatok általában azonos típusúak, amelyeknek a megoldása is azonos gondolatmenetet igényel, de a bevezetı fel-adatok után a többiek már valami új részlépést is tartalmaznak. Igyekeztem szem elıtt tartani azt is, hogy eredményesen tudják használni a könyvet a különbözı matematikai tudásszinttel a fıiskolánkra kerülı nappali és levelezı tagozatos hallgatók. A matematikában járatos olvasó hiányolhat belıle bizonyos részeket: trigonomet-rikus függvények és az ezekre épülı feladatok, racionális törtfüggvények integrá-lása, helyettesítéses integrálás, pénzügyi számítások, stb... Mivel a szaktárgyak nem igénylik például a trigonometrikus függvények tárgyalását, mert az adott szinten oktatott gazdasági folyamatokat nem kell velük jellemezni, ez kimaradt a törzsanyagból. Természetesen amint szükségét látják össz fıiskolai szinten az alaposabb tárgyalásnak, a példatár a most kimaradt részekkel bıvíthetı. Hálás köszönetemet fejezem ki ezúton is Dr. Bonifert Domonkosnak, a szegedi Juhász Gyula Tanárképzı Fıiskola docensének lektori munkája során adott értékes megjegyzéseiért, Kovács Ferenc kollégámnak a grafikonok összeál-lításáért és Gálfi Attila kollégámnak a számítógépes szerkesztésben adott segít-ségéért. Tatabánya, 1995. Nagyné Csóti Beáta

4 Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

5

I. VALÓS SZÁMSOROZATOK

D.1.1. Függvényen olyan hozzárendelést értünk, amely egy H halmaz minden eleméhez egy K halmaz pontosan egy elemét rendeli ( H K≠ ∅ ≠ ∅ é s ). A H halmazt a függvény értelmezési tartományának, a képelemek halmazát a függvény értékkészletének nevezzük. Az f függvény értelmezési tartományát általában D f -fel, értékkészletét R f -fel

jelöljük. D.1.2. Valós számsorozatnak olyan speciális függvényt nevezünk, amelynek értelme-zési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete pedig a valós számok halmazának egy részhalmaza.

Jelölése: a: na a(n); { }an n=

∞

1; { }an ; ( )a a1 2, ,...

Az an -et a sorozat általános tagjának nevezzük. A sorozatot leggyakrabban általános tagjának megadásával adjuk meg, de meg-adhatjuk utasítással vagy rekurzív definícióval is. D.1.3. Az { }an valós számsorozatot felülrıl korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K

valós szám, amelynél a sorozat minden tagja kisebb vagy vele egyenlı. Az { }an felülrıl korlátos: ( )⇔ ∃ ∀ ≤K n a Kn .

Az { }an valós számsorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan k

valós szám, aminél a sorozat minden tagja nagyobb vagy vele egyenlı. Az { }an alulról korlátos: ( )⇔ ∃ ∀ ≥k n a kn .

A definícióban szereplı K-t a sorozat felsı korlátjának, k-t a sorozat alsó kor-látjának nevezzük. Az { }an sorozatot korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülrıl is korlátos,

azaz létezik olyan k és K, hogy minden n-re k a Kn≤ ≤ teljesül.

Az { }an számsorozat korlátos, ha létezik olyan M valós szám, hogy minden n-

re a Mn ≤ .


Az { }an korlátos: ( )⇔ ∃ ∀ ≤M n a Mn.

Megjegyzés: 1. A korlátosságra adott két definíció ekvivalens egymással.

2. Alulról (felülrıl) korlátos sorozatnak végtelen sok alsó (felsı) korlátja van.

D.1.4. Alulról (felülrıl) korlátos { }an sorozat legnagyobb alsó (legkisebb felsı) korlát-

ját a sorozat alsó határának (felsı határának) vagy infimumának (szuprémumának) nevezzük, és inf(an )-nel (sup(an )-nel) jelöljük. Megjegyzés: Bizonyítható, hogy alulról korlátos sorozatnak van infimuma és felülrıl korlátos sorozatnak van szuprémuma. D.1.5. Az { }an sorozatot növekvınek (csökkenınek) nevezzük, ha minden n-re

( )a a a an n n n≤ ≥+ +1 1 teljesül.

Megjegyzés: A növekvı vagy csökkenı sorozatokat monoton sorozatoknak ne-vezzük. D.1.6. Az { }an sorozatot konvergensnek nevezzük, ha létezik olyan A valós szám, ami-

re teljesül, hogy bármely környezetébıl a sorozatnak legfeljebb véges sok tagja marad ki. (Ez a definíció szemléletes, de konkrét sorozat konvergenciájának vizsgálatánál matematikailag nehezen kezelhetı, ezért ekvivalens átfogalmazásra is szükség van.) Az { }an sorozat konvergens, ha létezik olyan ( )A ∈R , hogy bármely pozitív εεεε -

hoz megadható olyan (esetleg εεεε -tól függı) N küszöbszám, hogy minden ennél nagyobb n-re an -nek A-tól való eltérése kisebb, mint εεεε .

Az { }an konvergens: ( ) ( ) ( )⇔ ∃ ∀ > ∃ ∀ > ⇒ − <A N n n N a Anε ε ε0 .

Az A számot a sorozat határértékének nevezzük.

I. Valós számsorozatok 7

Jelölése: a A a Ann

n→ =→∞

; lim .

A nem konvergens sorozatokat divergens sorozatoknak nevezzük. D.1.7. Ha az { }an sorozat olyan tulajdonságú, hogy

- bármely K valós számhoz megadható olyan (K-tól függı) N valós szám, hogy valahányszor n>N, mindannyiszor an >K teljesül, akkor azt mondjuk, hogy

az { }an a plusz végtelenbe divergál (határértéke plusz végtelen).

Jelölése: a ann

n→ ∞ = ∞→∞

; lim

- bármely k valós számhoz megadható olyan (k-tól függı) N valós szám, hogy valahányszor n>N, mindannyiszor an <k teljesül, akkor azt mondjuk, hogy

az { }an a mínusz végtelenbe divergál (határértéke mínusz végtelen).

Jelölése: a ann

n→ −∞ = −∞→∞

; lim

Megjegyzés: A plusz végtelenbe vagy a mínusz végtelenbe divergáló sorozatokat valódi divergens sorozatoknak nevezzük. D.1.8.

Legyen { }nk k=

∞

1 pozitív egészekbıl álló szigorúan monoton növekvı sorozat. Az

{ }ankk =

∞

1 sorozatot az { }an n=

∞

1 sorozat részsorozatának nevezzük.

Szemléletesen: Ha egy sorozatból végtelen sok tagot kiválasztunk abban a sor-rendben, amelyben ezek a tagok az eredeti sorozatban szerepeltek, a sorozatnak egy részsorozatát kapjuk. D.1.9.

Az { }ak k=

∞

1 és { }bl l=

∞

1 sorozatok fésős egyesítésén egy olyan { }cn n=

∞

1 sorozatot

értünk, amely felbontható két részsorozatra úgy, hogy az egyik részsorozat min-

den tagja az { }ak k=

∞

1, a másik sorozat minden tagja a { }bl l=

∞

1 sorozathoz tartozik

az eredeti sorozatok sorrendjében.


D.1.10. Az αααα számot az { }an torlódási pontjának nevezzük, ha { }an -nek létezik olyan

részsorozata, ami αααα -hoz konvergál. D.1.11. Az ( ) ( )a a n d a dn = + − ∈1 11 , R általános tagú sorozatot számtani sorozatnak

nevezzük. (Megjegyzés: Bizonyítható, hogy bármely tagja, az elsıt kivéve, a tıle szimmet-rikusan elhelyezkedı tagok számtani közepe:

( )∀ ≥ ∀ < ⇒ =+

− +n k k n a

a an

n k n k22

.)

D.1.12. Az ( )a a q a qn

n= ∈−

11

1, R általános tagú sorozatot mértani sorozatnak nevez-

zük. (Megjegyzés: Bizonyítható, hogy bármely tagjának abszolútértéke, az elsıt kivé-ve, a tıle szimmetrikusan elhelyezkedı tagok mértani közepe:

( ) ( )∀ ≥ ∀ < ⇒ = − +n k k n a a an n k n k2 .)

D.1.13.

Az an

n =1

általános tagú sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük.

(Megjegyzés: Bizonyítható, hogy bármely tagja, az elsıt kivéve, a tıle szimmet-rikusan elhelyezkedı tagok harmonikus közepe:

( )∀ ≥ ∀ < ⇒ =

+

− +

n k k n a

a a

n

n k n k

22

1 1.)

TÉTELEK: T.1.1. Bármely növekvı (csökkenı) { }an sorozat alulról (felülrıl) korlátos és

inf(an )=min(an )=a1, (sup(an )=max(an )=a1).


T.1.2. Bármely sorozatnak legfeljebb egy határértéke van. T.1.3. Minden konvergens sorozat korlátos. T.1.4. Ha { }an sorozat konvergens, akkor minden részsorozata is konvergens, és a

részsorozatok határértéke az eredeti sorozat határértékével egyenlı. Ha an → ∞ , akkor minden részsorozata is a végtelenbe divergál. Ha an → −∞ , akkor minden részsorozata is a mínusz végtelenbe divergál. T.1.5. Ha a An → és b An → , akkor minden fésős egyesítésük is A-hoz konvergál. T.1.6. Ha egy sorozat felbontható két konvergens, közös határértékkel rendelkezı rész-sorozatra, akkor az eredeti sorozat is konvergens, és határértéke a részsorozatok közös határértéke. T.1.7. Konvergens sorozatnak pontosan egy torlódási pontja van, ami egyben a sorozat határértéke. T.1.8. Ha egy sorozat korlátos és egyetlen torlódási pontja van, akkor konvergens. T.1.9. (Rendırelv vagy közrefogási szabály) Ha valahonnan kezdve minden n-re a b cn n n≤ ≤ teljesül és lim lim

nn

nna c

→∞ →∞= =A,

akkor lim bn

n→∞

= A is teljesül.

T.1.10. Ha valahonnan kezdve minden n-re a bn n≤ , és a két sorozat konvergens, akkor lim an

n→∞

≤ lim bn

n→∞

.


T.1.11. Ha egy sorozat növekvı (csökkenı) és korlátos, akkor konvergens is és határér-téke a sorozat felsı (alsó) határával egyenlı. T.1.12.

a) Ha an → 0 és an > 0 ( ∀ −n re ), akkor 1

an

→ ∞ .

b) Ha an → 0 és an < 0 ( ∀ −n re ), akkor 1

an

→ −∞ .

c) Ha an → ∞ , akkor 1

0an

→+ (pozitív értékeken keresztül).

d) Ha an → −∞ , akkor 1

0an

→− (negatív értékeken keresztül).

T.1.13. A következı táblázatból az { }an és { }bn sorozatok összegére és szorzatára meg-

fogalmazható határértéktételek olvashatók ki. Például, az "összeadás táblázat" második sorának második oszlopában levı kife-jezés a következı tételt jelenti: Ha a An → és b Bn → , akkor a b A Bn n+ → + . A 3.sor 1. oszlopának jelentése: Ha an → ∞ és bn → −∞ , akkor az összegsorozat határértékérıl nem tu-dunk mit mondani, további vizsgálatok (átalakítások) szükségesek a konvergen-cia vagy divergencia eldöntésére. Az összeadás táblázata: (A, B valós szám) - ∞ B ∞

- ∞ - ∞ - ∞ ? A - ∞ A+B ∞ ∞ ? ∞ ∞

A szorzás táblázata: (A, B pozitív valós szám) - ∞ -B 0− 0+ B ∞

- ∞ ∞ ∞ ? ? - ∞ - ∞ -A ∞ AB 0+ 0− -AB - ∞ 0− ? 0+ 0+ 0− 0− ? 0+ ? 0

−

0−

0+ 0+ ? A - ∞ -AB 0− 0+ AB ∞ ∞ - ∞ - ∞ ? ? ∞ ∞


Megjegyzések: 1. Az összeadási táblázatból két sorozat különbségének határértékére vonat-kozó állítások is leolvashatók, tekintve, hogy ( )a b a bn n n n− = + − . Fel kell még

használni , hogy ha b Bn → , akkor − → −b Bn , ill. ha bn → ∞ , akkor − → −∞bn . 2. A szorzási táblázatból két sorozat hányadosának határértékére vonatkozó

állítások is leolvashatók, mivel a

ba

b

n

n

n

n

= ⋅1

. Annak a tételnek az ismerete kell

még, hogy ha ( )b Bn → ≠ 0 , akkor 1 1

b Bn

→ , a többi eset a T.1.12. tételben szere-

pel. T.1.13. Néhány nevezetes sorozat határértéke:

limn

nq

q

q

q

q

→∞=

∞ >

=

<

≤ −

ha

ha

ha

nem lé tezik ha

1

1 1

0 1

1

limn

n a a→∞

= >1 0ha

limn

n n→∞

= 1

lim!n

na

n→∞= 0 , ahol a tetszıleges valós szám.

limn

n

ne

→∞+

=1

1 lim

n

n

ne

→∞+

=1

α α , ahol α tetszıleges valós szám.

FELADATOK Írjuk fel a következı sorozatok elsı 5 tagját, majd a 10. tagot!

1. an

nn =

−1 2. a nn = − +3 7

3. ( )

an

n

n

=−

+1

1

4. an

n =1

!

5. ( )a nn

n= − ⋅1 6. an

n= ⋅3 2


7. an

n= +8 2 8. a

n

nn =

+ + + +1 2 3 ...

9. ( ) ( )a n n n nn = + + + + + +1 2 2... 10. a kn

k

i

i

n

===

∑∑11

11. a

ha n p ratlan

nha n p ros

n =

1

1

,

,

á

á 12. a

ha

ha

n

n

p ratlan

p rosn

n

n=

−2

2

,

,

á

á

Írjuk fel az alábbi, rekurzív módon definiált sorozatok elsı néhány tagját!

13. aa

an an

n

n

=+

+≥ =−

−

1

11

1

22 0ha és

14. aa

n ann= ≥ = −−1

142 5ha és

15. aa

n an

n

=+

≥ =−

6

12 0

11ha és

16. a a a n a an n n= + ≥ =− −2 1 1 23 1ha = 0,, Határozzuk meg a következı sorozatok általános tagját!

17. 01

4

2

9

3

16

4

25, , , , ,...

18. 1

2

3

4

9

8

27

16

81, , , , ,...

19. ( )3, 7, 11, 15, 19,... 20. ( )1 1 1 1 1 1; ; ; ; ; ;...− − −

21. 11

2

1

4

1

8

1

16, , , , ,...− −

22. ( )0,2; 0,22; 0,222;...

23. 03

2

2

3

5

4

4

5, , , , ,...

24. ( )1 0 1 0 01 0 001; , ; , ; , ;...− −

25. 1

2

2

3

3

4

4

5, , , ,...

26. ( )1 5 1 25 1125 1 0625, ; , ; , ; , ;...

27. a) Adjunk meg egy növekvı számtani sorozatot! Vizsgáljuk korlátosság

szempontjából! b) Adjunk meg egy csökkenı számtani sorozatot! Vizsgáljuk korlátosság

szempontjából! c) Adjunk meg egy olyan növekvı számtani sorozatot, amelynek elsı tagja

nem egyenlı a sorozat differenciájával!


d) Adjunk meg egy olyan számtani sorozatot, amely egyben mértani sorozat is!

e) Adjunk meg egy olyan mértani sorozatot, amely csökkenı és kvóciense nagyobb egynél!

f) Adjunk meg egy olyan mértani sorozatot, amely növekvı és kvóciense ki-sebb egynél!

g) Adjunk meg egy olyan mértani sorozatot, amely nem monoton! h) Adjunk meg egy olyan mértani sorozatot, amely nem monoton és nem is

konvergens! i) Adjunk meg egy olyan mértani sorozatot, amely nem konvergens, de mo-

noton! j) Adjunk meg egy olyan mértani sorozatot, amely konvergens, de nem mo-

noton! 28. Adjunk meg olyan mértani, majd mértanitól különbözı sorozatokat, ame-

lyek kielégítik a következı feltételeket! a) növekvı és felülrıl korlátos. b) növekvı és felülrıl nem korlátos. c) csökkenı és alulról korlátos. d) csökkenı és alulról nem korlátos. e) nem monoton, de korlátos. f) nem monoton és alulról se, felülrıl se korlátos.

29. Adjunk meg olyan sorozatot, amely nem monoton, felülrıl korlátos, de alulról nem!

30. Adjunk meg olyan sorozatot, amely korlátos és teljesül rá a következı: a) inf(an )=min(an ), és sup(an )=max(an ). b) inf(an )=min(an ), és sup(an )≠max(an ) c) inf(an )≠min(an ), és sup(an )=max(an ). d) inf(an )≠min(an ), és sup(an )≠ max(an ).

31. Fogalmazzuk meg szavakkal, majd írjuk le matematikai jelekkel, mit je-lent az, hogy az { }an sorozat nem konvergens!

32. A definíció alapján bizonyítsuk be, hogy a ( ){ }−1n

sorozat nem konver-

gens! 33. Fogalmazzuk meg szavakkal, majd írjuk le jelekkel, mit jelent az, hogy

a) az { }an sorozat felülrıl nem korlátos.

b) az { }an sorozat alulról nem korlátos.

c) az { }an sorozat nem korlátos.


34. Az { }an sorozat felülrıl nem korlátos, de alulról korlátos. Következik-e

ebbıl, hogy { }an a végtelenbe divergál?

35. Szemléltessük egy példán keresztül, hogy a korlátosság a konvergenciá-nak nem elegendı feltétele!

36. Igaz-e a következı állítás: az { }an sorozat pontosan akkor konvergens,

ha egy torlódási pontja van?

37. Adjunk meg az 1

n

sorozatnak olyan részsorozatát általános tagjával,

amit úgy kapunk az 1

n

sorozatból, hogy

a) véges sok tagját elhagyjuk. b) végtelen sok tagját elhagyjuk.

38. Adjunk meg az 1

n

sorozat következı feltételeket kielégítı részsoroza-

tait: a) a sorozat elsı 5 tagját hagyjuk el. b) a sorozat elsı 14 tagját hagyjuk el. c) a sorozat minden páros indexő tagját elhagyjuk. d) a sorozat minden páratlan indexő tagját elhagyjuk. e) a sorozat elsı négy tagját elhagyjuk, majd az 5. tagtól kezdve csak min-

den harmadikat tartjuk meg. 39. Van-e a harmonikus sorozatnak olyan részsorozata, ami mértani sorozat? 40. Mit állíthatunk a 37-38. feladatokban megadott sorozatok határértékérıl? 41. Tekintsünk egy olyan mértani sorozatot, amely se alulról, se felülrıl nem

korlátos! Adjunk meg olyan részsorozatát, amely a) felülrıl korlátos. b) alulról korlátos. c) valódi divergens és növekvı. d) valódi divergens és csökkenı.

Vizsgáljuk a következı sorozatokat monotonitás, korlátosság és konvergencia szempontjából!

42. an

nn =

+1 43. a

n

nn =

+

−

4 6

4 1 44. a

n

nn =

+

−

2 4

3 3

45. an

nn =

−

+

1

5 1 46. a

n

nn =

−

−

6 7

3 2 47. a

n

nn =

+

+

10 1

12 6


48. an

nn =

−

−

5 2

5 10 49. a

n

nn =

+

−

2

3 11 50. a

n

nn =

+

−

5 3

9 2

(Vegyük észre, hogy abból, hogy a számláló nagyobb a nevezınél, nem következik, hogy a sorozat növekvı!)

Vizsgáljuk a következı sorozatokat monotonitás, korlátosság és konvergencia szempontjából!

51. ( )an

n

n= −1

1

2 2 52. an

n= +

−2 3

53. an

n

n=

−3 1

3

2

54. an

n

n=

⋅ −2 2 5

2

55. an

n

n=

−

−

+

+

2 8

1 2

2

2 3 56. a

n

nn =

2

!

57. an

nn =

+2 2 58. a

nn

n

=+32 2

!

59. an

n

nn =

+ + + +

+−

+1 2 3

2

1

4

... 60.

( )a

n

n

nn =

+ + + +

+−

−1 2 3

1

1

5

2 2 2 2 2...

61. ( )

an

n

n

=−

+

2 1

3 13 62. a

n

nn =

− + − −

+ + + +

1 2 3 2

1 2 3 2

...

...

Bizonyítsuk be, a konvergencia definíciója alapján, hogy az alábbi sorozatok konvergensek, majd adjunk meg az εεεε εεεε εεεε1

22

53

610 10 10= = =− − −, , -hoz a kü-

szöbszámot! (A bizonyítás csak akkor kezdhetı el, ha elıször megsejtjük a soro-zat határértékét!)

63. an

nn =

+

−

5 7

8 5 64. a

n

nn =

+

+

2 1

4 3 65. a

n

nn =

+

−

4 1

7 5

66. an

nn =

−

−

2 5

8 3 67. a

n

nn =

−

+

2

2

1

1 68. a

n

nn =

+

−

2

3 51

69. ( )

an

n

n

= −−

11

70. an

nn =

+2 1 71. a

n

nn =

−2 12

72. ( )( )

an

n nn =

+

+ −

2 2

1 2 73. an n

=−

8

5 7 74. an

n

n=

+

5

5 102


Számítsuk ki a következı sorozatok határértékét!

75. an

nn =

+

+

4 3

5 4 76. a

n

n nn =

+ −

10000

6 5

2

3

77. ( )

an n

nn =

+

+

1

2 52 78. ( )

an

nn =

+1

3

5

5

79. an

n

n

nn =

+

+−

+

2 21

2 1

3

6 1 80.

( )( ) ( )

( )( )a

n n n

n n n nn =

+ + − +

− + −

2 3

3

1 3 4

2 1 6 2

81. an n

n nn =

− +

+ −

3 2

2

20 3

100 8 5 82. an

n n

n

n

=−

+

−

+

2 5

12

5 1

83. an

n

n n=

+

+

−

3

4 5

1

1 84. an

n

n

n

n

=

−

+

−

− +

−

712

17

31

85. ac c

c cc cn

n n

n n=

+

−≠ ± ≠

−

−, ,1 0 86. a

n

nn =

+

−

2 5

2

87. an n

nn =

+

−

34 2

3 5 88. a

n n

nn =

+ +

+

2 1

2

89. an n

nn =

+ +

+

2

63

1

1 90. a

n n

n nn =

−

+ +

23

2 1

91. an n n

n n n nn =

− + + +

+ + − + +

3 2 43

6 54 7 35

2 1 1

6 2 3 1 92.

( )a

n n

nn =

⋅ + ⋅ + + +1 2 2 3 13

...

93. ( )

an n

n =⋅

+⋅

+⋅

+ ++

1

1 2

1

2 3

1

3 4

1

1... 94. a n nn = + − −1 1

95. ( )a n n nn = + −1

96. ( )( ) ( )( )a n n n nn = + + − − −1 2 1 2

97. a n n n nn = + + − + +2 26 1 5 3

98. a n nn = + −13 3

99. an

n

n=

−

−

1 8

1 2


100. aa a a

b b b

a

bn

n

n=

+ + + +

+ + + +

<

<

1

1

1

1

2

2

...

...,

A monoton, korlátos sorozatokra vonatkozó tétel alapján lássuk be, hogy a kö-vetkezı sorozatok konvergensek, majd egy alkalmas részsorozat választásával a határértékét is adjuk meg!

101. an

n n=

2 102. a

nn n

=2

3 103. a

nn

n

=2

!

Felhasználva, hogy limn

n

ne

→∞+

=1

α α , adjuk meg a következı sorozatok határ-

értékét!

104. an

n

n

= +

+

11

1

105. an

n

n

= −+

1

1

1

106. an

n

n

= +

1

1

3 107. a

nn

n

= −

1

22

108. an

nn

n

=+

−

+3

1

2 1

109. an

nn

n

=−

+

+

2

3

2

3

110. an

nn

n

=−

+

3 1

3 2

2

111. an

nn

n

=+

−

2 1

2 5

2

112. an

nn

n

=−

+

+4 2

4 5

3 2

113. an

n

n

= +

2

1

114. an

n

n

= +

1

2

1 115. a

n

nn

n

=+

−

2 1

3 1

116. an

nn

n

=+

−

3 2

2 7 117. a

n

nn

n

=+

12

118. an

nn

n

=+

2

2

1 119. a

n

nn

n

=−

2

2

5

2

120. an

nn

n

=+ + + +

1 2 32

...


Mutassuk meg, hogy a következı, rekurzív definícióval adott sorozatok monoto-nak és korlátosak, majd számoljuk ki a határértéküket is!

121. a aa

ann

n

n

11

1

3

4 1 22= =

+≥−

−

, esetén.

122. a a a nn n1 12 2 2= = + ≥−,

123. a a a nn n1 17 2 2= = + ≥−,

124. a a a nn n1 10 6 2= = + ≥−,

125. a a a nn n1 110 6 2= = + ≥−,

126. a aa

ann

n

n

11

1

01

22= =

+

+≥−

−

,

127. a aa

ann

n

n

11

1

12 3

32= =

+

+≥−

−

,

128. a aa

nn

n

11

06

12= =

+≥

−

,

129. Valamely pénzintézetnél kamatos kamatra elhelyezünk t0 Ft-ot. A kamat-láb p %-os. A felnövekedett értékek az évek számától függı sorozatot al-kotnak.

a) Írjuk fel a sorozat elsı három tagját; b) Írjunk fel rekurzív összefüggést a sorozat elemeire; c) Fejezzük ki a sorozat n-edik elemét rekurziómentesen!

130. Felvettünk t0 Ft kölcsönt, amit évi egyenlı részletekben kell majd törlesz-tenünk. Elıször a kölcsön felvétele után 1 évvel törlesztünk. Az n = 1, 2, 3, ... évek eltelte után a még fenálló tartozások sorozatot alkotnak.

a) Írjuk fel a sorozat elsı 4 elemét; b) Milyen feltételek mellett lesz a sorozat monoton csökkenı; c) Határozzuk meg, hogy mekkora lesz az évi törlesztés (annuitás), és hány

év alatt egyenlítjük ki a teljes tartozásunkat?

19

I. VALÓS SZÁMSOROZATOK - MEGOLDÁSOK

1. 01

2

2

3

3

4

4

5

9

1010, , , , , ... a =

2. 4 1 2 5 8 2310, , , , , ...− − − = −a

3. 11

2

1

3

1

4

1

5

1

1010, , , , , ...− −

=−

a

4. 11

2

1

6

1

24

1

120

1

10!10, , , , , ... a =

5. − − − =1 2 3 4 5 1010, , , , , ... a

6. 6 12 24 48 96 307210, , , , , ... a =

7. 10 12 16 24 40 103210, , , , , ... a =

8. ( )

13

22

5

23

11

2

1

2

1

210, , , , , ... a an n

n

nn= =

+=

+

9. 3 9 18 30 45 16510, , , , , ... a =

( )( )

( )a n nn n

nn

n = + ++

= +11

21

3

2

10. 1 4 10 20 35 22010, , , , , ... a =

( ) ( )( )

ai i n n n

n

i

n

=+

=+ +

=

∑1

2

1 2

61

11. 11

21

1

241

1

10!10, , , , , ... a =

12. 1

24

1

816

1

32102410, , , , , ... a =

13. 01

2

3

5

8

13

21

34

55

89, , , , , , ...

14. −− − − −

55

4

5

16

5

64

5

256, , , , , ...

15. 0 66

7

42

13

78

55, , , , , ...

16. 0 1 1 2 3 5 8, , , , , , , ...

17. an

nn =

− 12

18. an

n

=

−2

3

1


19. ( )a n nn = + − = −3 4 1 4 1 20. ( ) ( )a an

n

n

n= − = −

+ −1 1

1 1 vagy stb.

21. an

n

=−

−1

2

1

22. an n= + + +

2

1

10

1

100

1

10...

23. ( )an

n

n= + −1 1

1 24. an

n

=−

−1

10

1

25. an

nn =

+1 26. an

n= +1 0 5,

27. Az ( )a a n dn = + −1 1 számtani és a a qn

n=

−

11 mértani sorozatoknál az a1, d

ill. q értékeket kell az alábbi feltételeknek megfelelıen megválasztani: a) d≥ 0 , a1 tetszıleges valós szám. Ha d=0, akkor a sorozat konstanssorozat,

így korlátos is, ha d>0, akkor a sorozat csak alulról korlátos, felülrıl nem. Alsó határa a sorozat elsı tagja.

pl.: ( )a n nn = − + − = −3 1 8 8 11, -3≤ an

b nn = , 1≤ bn b) d ≤ 0, a1 tetszıleges valós szám. Ha d =0, akkor a sorozat konstanssoro-

zat, így korlátos is, ha d<0, akkor a sorozat csak felülrıl korlátos, alulról nem. Felsı határa a sorozat elsı tagja.

pl.: ( )a n nn = − − = − +7 1 5 5 12 , an ≤ 7

b nn = − , bn ≤ −1 c) pl.: a nn = +3 2 , (d>0) d) pl.: an = 4, (kvóciense 1, differenciája 0.) e) pl.: an

n= −2 , (a1<0)

f) pl.: an

n

= −

1

2, (a1<0 és ( )q ∈ 0 1, )

g) pl.: an

n

= −

1

2, ( q<0 és a1 0≠ )

h) pl.: ( )an

n= −2 , (q < -1 és a1 0≠ )

i) pl.: an

n= ⋅3 2 növekvı

bn

n= − ⋅3 2 csökkenı

Ha q>1 és a1>0, akkor a sorozat növı, ha q>1 és a1<0, akkor a sorozat csökkenı.

I. Valós számsorozatok - Megoldások 21

j) pl.: an

n

= −−

5

2

7, ( a1 0≠ , ( )q ∈ −1 0, )

28.

a) an n= −

1

2 b

nn = −

+5

3

4 b) an

n= 25 b nn = !

c) an

n

=

3

5

11 b

nn =

1 d) ( )an

n= −3 2 b nn = −3 2

e) an

n

=−

1

5 ( )b

nn

n= −1

1 f) ( )an

n= −5 ( )b nn

n= −1

29.

aha n k

n ha n kn =

=

− = −

0 2

2 1

30.

a) ( )an

n= −1

b) an

n = −+

24

7

c) an

n = +58

d) a nha n k

nha n k

n =− = −

− =

11 2 1

11

2 rövidebben: ( )a

n

nn

n= −

−−1

11

31.

Az { }an nem konvergens: ( ) ( )∀ ∃ > ∀ ∃ > − ≥A N n n N de a Anε ε0 azaz,

ha bármely valós számnak van olyan környezete, amin kívül a sorozatnak végtelen sok tagja van.

32. Megmutatjuk, hogy egyetlen valós szám se lehet a sorozatnak határértéke.

I. A:=1, megmutatjuk, hogy a sorozat nem konvergál 1-hez. ε:= 1. Az 1-nek 1 sugarú környezetén kívül a sorozatnak végtelen sok tagja

van. II. A:= −1, ε:= 1. A -1-nek 1 sugarú környezetén kívül a sorozatnak végte-

len sok tagja van.


III. "A" legyen ±1-tıl különbözı és ( ) ( )( )

ε:min , , ,

=−d A d A1 1

2

"A" ezen környezetében a sorozatnak egyetlen tagja sincs, így nem lehet határértéke sem.

33. a) { }an felülrıl nem korlátos: ( )∀ ∃ >K n a Kn , azaz ha bármely valós szám-

nál létezik a sorozatnak nagyobb tagja. b) { }an alulról nem korlátos: ( )∀ ∃ <k n a kn , azaz ha bármely valós számnál

létezik a sorozatnak kisebb tagja. c) { }an nem korlátos, ha alulról vagy felülrıl nem korlátos.

34.

Nem. Pl.: aha n k

n ha n kn =

=

= −

0 2

2 1

,

,

35.

Pl.: ( ){ }−1n korlátos, de nem konvergens.

36. Nem. Például a 11. feladatban szereplı sorozatnak egy torlódási pontja van, a

0, mégsem konvergens. 37.

a) 1

10n +

b) 1

n!

38.

a) 1

5n +

b) 1

14n +

c) 1

2 1n −

d) 1

2n

e) 1

3 2n +

39.

Van. Pl.: 1

2

1

2n

n

=

40.

T.1.4.-re hivatkozva a részsorozatok az 1

n

sorozat határértékéhez konver-

gálnak, azaz 0-hoz.


41.

A sorozat pl.: ( ){ }−2n

. A feltételnek megfelelı részsorozatok:

a) ( ){ }−+

22 1n

b) ( ){ }−22n

c) lásd b) rész d) lásd a) rész 42.

an

n = +11

alakból látható, hogy csökkenı; 1 2< ≤an ; valamint 11

1+ →n

43. 1. megoldás

( )( ) ( )( )

a an

n

n

n n nn n+ − =

+ +

+ −−

+

−=

−

+ −<1

4 1 6

4 1 1

4 6

4 1

28

4 3 4 10 ,

mivel a nevezı minden pozitív egész számra pozitív. A fenti egyenlıtlenség pedig azt jelenti, hogy a sorozat csökkenı. 2. megoldás

an

n nn =

+

−= +

−

4 6

4 11

7

4 1 alakból látható, hogy { }an csökkenı.

110

3< ≤an , valamint

4 6

4 11

n

n

+

−→

44. 1. megoldás

( )

a an n

n n+ − =−

−<1

2

10 a csökkenést jelenti

2. megoldás

an

n = +−

2

31

3

1 alakból is a csökkenés olvasható le.

2

3

8

3< ≤an , valamint

2 4

3 3

2

3

n

n

+

−→

45. 1. megoldás

( )( )

a an n

n n+ − =+ +

>1

6

5 6 5 10 , a sorozat növekvı.


2. megoldás

( )

( )a

n

n nn =

+ −

+= −

+

15

5 165

5 1

1

5

6

5 5 1 alakból látható a növekedés.

01

5≤ <an , valamint

n

n

−

+→

1

5 1

1

5

46.

an

n = −−

23

3 2 növekedı

− ≤ <1 2an , valamint a sorozat határértéke: 2. 47.

an

n = −+

5

6

2

6 3 növekvı

11

18

5

6≤ <an , valamint a sorozat határértéke:

5

6

48.

A sorozat növekvı; − ≤ < −3

5

1

2an , határértéke :−

1

2.

49. A sorozat a 4. tagtól kezdve csökkenı

a a a a a a an1 2 3 4 5 6

3

8

4

5

5

26

1

3=

−=

−=

−= > > > > > >, , , ... ...

−

≤ ≤5

26an , a sorozat határértéke:

1

3

50. A sorozat növı az 5. tagtól kezdve.

a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7

8

7

13

5

18

323 28

5

2= = = = = − < < < <

−, , , , ...

− ≤ ≤28 23an , határértéke: −5

2

51.

Váltakozó elıjelő sorozat, tehát nem monoton; korlátos: −

≤ ≤1

2

1

8an , a ha-

tárértéke: 0. 52. a an n> +1

1

2

1

2

1

2

1

21n n n> =

+ , csökkenı a sorozat; 3

7

2< ≤an , a határértéke: 3.


53.

3 1

3

3 1

3

2 2 2

1

n

n

n

n

−<

−+

+ egyenlıtlenség teljesülése minden n-re azt jelenti, hogy a

sorozat növekvı.

8

33

1

3≤ = −a an n

n

n, alakból látszik, hogy a sorozat felülrıl nem korlátos és

a végtelenbe divergál. 54.

an n= −2

5

2 alakból látszik, hogy növı a sorozat,

−≤ <

1

22an és határértéke a

2. 55. Megmutatjuk, hogy ha n ≥ 2, akkor

( )

( )( )a an n

n

n

n

n

n n n

n n+

+

+

+

+

+

+ +− =

−

−−

−

−=

⋅ − ⋅ +

− −≥1

3

2 5

2

2 3

2 2

2 5 2 3

2 8

1 2

2 8

1 2

2 16 2 48 2 1

1 2 1 20 teljesül.

A 16 48 1 02x x− + ≥ egyenlıtlenség megoldásából csak az x ≥+6 35

4

jöhet számításba.

A 26 35

4n ≥

+ egyenlıtlenség megoldásából pedig adódik, hogy a 2. tagtól

kezdve növekvı a sorozat.

−

≤ ≤8

1270an

2 8

1 2

4

2

8

21

28

0 0

0 80

2

2 3

2

2

n

n

n n

n

+

+

−

−=

−

−

→−

−=

56. Megmutatjuk, hogy n ≥ 2-re a sorozat csökkenı.

( )( )n

n

n

n nn

+

+≤ +

≤ +

1

11

11

2 22

! !,

11

12

+

< ≤ +

ne n teljesül n=2-tıl, tehát a sorozat innen csökkenı.

0 2< ≤an A konvergenciát a közrefogási szabály (T.1.9.) alapján vizsgáljuk.


( )( )

01 2

2 2

< <− −

n

n

n

n n n! majdnem minden n-re teljesül. A két szélsı sorozat

0-hoz tart, így a közrefogott sorozat is 0-hoz tart. 57.

( )

a an

n

n

n

n n n n n n n

n n n

n n+ − =+

+ +

−+

=

=+ + + + − + +

+ + +>

12 2

4 3 2 4 3 2

2 2

1

2 1 2

2 3 4 2 2 3

2 3 20,

tehát növekvı a sorozat.

3

31≤ <an ,

n

n

n

2

22

1

12

1+

=

+

→

58.

( )

( )( )

a an n

n

nn n

n n n

+

+ + +

− =+

− =−

+≤1

2 4 2 2 2 23

1

3 3 8

10

! ! ! teljesül n=8-tól kezdve. Innen

csökkenı a sorozat. 0 9609< <an Mivel a sorozat monoton és korlátos, ezért konvergens is. Határértékét jelöl-

jük A-val. T.1.4. alapján { }an+1 is konvergens és harárértéke szintén A-val

egyenlı, másrészt

( )

an n n

An

n n

+

+ +

=+

=+

→ ⋅ =1

2 4 2 23

1

3 9

10 0

! ! T.1.2.-re hivatkozva A=0,

ami a sorozat határértéke. 59.

( )( )

( )a

n

n

n n n

nn =

+ + +

+−

+=

+ −

+

1 2

2

1

4

1 2

4 2

...

( )( )

a an n

n nn n+ − =

+ +

+ +>1

2 8 2

4 2 30 , növekvı a sorozat.

n n

n

nn

n

2 2

4 8

12

48

− −

+=

− −

+

→ ∞ , −

≤1

6an és felülrıl nem korlátos.


60.

( )( )

( )( )

an n n

n

n n nn =

+ +

+−

−=

+ −>

1 2 1

6 1

1

5

4 17 6

300

2 2

növekvı, végtelenbe di-

vergál, csak alulról korlátos. 61.

Nem monoton a sorozat. ( )

( )2 1

3 1

21

31

0

30

3

3

3

−

+=

−

+

→ =

n

n

n

n

n

Az a n2 =2

3 2 13 n + >0 csökkenı; az a

nn2 1 3

2

3 2 1 1− =

−

− +<0 növekvı rész-

sorozata az eredeti sorozatnak. E kettı megállapításból felírható:

− ≤ ≤+

1

2

2

3 2 13an .

62. Adjuk meg egyszerőbben az általános tagot!

( ) ( ) ( )( )

( )a

n n

n n nn =

− + − + + − −

+=

−

+

1 2 3 4 2 1 2

2 1

1

2 1

.... Ez a sorozat növekvı, ha-

tárértéke a 0, és −

≤ <1

30an .

63.

Sejtés: A = 5

8

5 7

8 5

5

8

n

n

+

−− < ε egyenlıtlenséget kell megoldani n-re vonatkozóan.

n >

+81

85

8ε , tehát a következı kifejezés adhatja az ε -hoz tartozó kü-

szöbszámot: ( )N ε ε=

+818

5

8

( )N ε1 = 127, ( )N ε 2 = 126563, ( )N ε 3 = 1265625

64.

Sejtés: A = 1

2


2 1

4 3

1

2

n

n

+

+− < ε egyenlıtlenséget kell megoldani.

n >

−1

23

4ε , tehát a következı kifejezés adhatja az ε -hoz tartozó küszöb-

számot: ( )N ε ε=

−12

3

4

( )N ε1 = 11 ( )N ε 2 = 12499 ( )N ε 3 = 124999

65.

Sejtés: A=−4

5. Oldjuk meg a következı egyenlıtlenséget:

4 1

7 5

4

5

n

n

+

−+ < ε

n >

+33

57

5ε , amibıl összefüggést nyerhetünk az ε -hoz tartozó küszöbszámra:

( )N ε ε=

+335

7

5

( )N ε1 = 133 ( )N ε 2 = 132001 ( )N ε 3 = 1320001

66.

( )N ε ε=

+13

8

3

( )N ε1 = 13 ( )N ε 2 = 11113 ( )N ε 3 = 111113

67.

n

n

2

2

1

11

−

+− < ε

2

12n +

< ε

n >−2 ε

ε


( )N εε

ε=

−2 ha ε <2, ha ε >2, akkor minden sorozattag 1-nek ε sugarú

környezetében van. ( )N ε1 = 14 ( )N ε 2 = 447 ( )N ε 3 = 1414

68.

Sejtés: A=1

3

n

n

+

−− <

2

3 51

1

3ε

( )

57

3 3 51n −< ε ha n>17

57

351

3ε

+

< n ( )N ε ε=

+573

51

3

( )N ε1 = 650 ( )N ε 2 = 633350 ( )N ε 3 = 6333350

69. Sejtés: A = 1

( )N εε

=1

( )N ε1 = 100 ( )N ε 2 = 100000 ( )N ε 3 = 1000000

70.

Sejtés: A = 1

2

( )N ε ε=

−12

1

2 ( )N ε1 =

49

2 ( )N ε 2 =

49999

2 ( )N ε 3 =

499999

2

71. I. megoldás A szokásos eljárást követve kapjuk, hogy

( )N εε

ε=

+ +1 1 8

4

2

.

II. megoldás Sejtés: A = 0

an

nn − =

−0

2 12


Azt mutatjuk meg, hogy majdnem minden n-re teljesül az n

n2 12−

< ε egyen-

lıtlenség. Elıször felsı becslést adunk az n

n2 12−

-re:

n

n

n

n n n2 1 2

1

2 12 2−

≤−

=−

.

Viszont 1

2 1n −< ε teljesül, ha

11

2ε

+

< n. Tehát ( )N ε ε=

+1

1

2.

Így ( )N ε1 =101

2 ( )N ε 2 =

10

2

5

( )N ε 3 =10

2

6


( )( )

N εε ε ε

ε=

+ + + +1 9 18 1

2

2

.

II. megoldás Sejtés: A = -1

( )

an

n n

n

n n

n

n n nn

n

+ =+

− + +

+

− −<

−=

−>=1

4

2

4

2

2

2

2

222

2 2

2

2n −< ε , ha

22

ε+ < n , tehát ( )N ε

ε= +

22 .

( )N ε1 = 202 ( )N ε 2 = 200002 ( )N ε 3 = 2000002

73. Sejtés: A = 0

an n n− =

−=

−0

8

5 7

8

7 5,

8

7 5n−

< ε , ha 8

5 7ε

+ <n , azaz log7

85

ε+

< n .

Tehát ( )N εε

ε= +

=

+

loglg

lg7

85

85

7.

( )N ε1 = log 7 805 ≈ 3,43 ( )N ε 2 = log7 800005 ≈ 6,98

( )N ε 3 = log7 8000005 ≈ 8,17



( )N εε

ε=

+ −log5

21 1 40

2.

II. megoldás Sejtés : A=0

an

n

n− =

+0

5

5 102, viszont

5

5 10

5

5

1

52 2

n

n

n

n n+

< = , ugyanakkor 1

5n< ε , ha

log51

ε

< n .

( )N ε 1 = loglg

,5 1002

52 86= ≈ ( )N ε 2 = log

lg,5

5105

57 15= ≈

( )N ε 3 = loglg

,5610

6

58 58= ≈

75.

4 3

5 4

43

54

4

5

n

n

n

n

+

+=

+

+

→

76.

10

6 5

10

16 5

04 2

3

4

2 3

n

n n

n

n n

+ −=

+ −

→

77.

( )n n

n

n

n

+

+=

+

+

→1

2 5

11

25

1

22

2

78.

( )n

n

+→

1

3

5

5

1

3


79.

− + +

+ +→

−2 6 1

12 8 1

1

6

2

2

n n

n n

80.

− − −

−→

−9 47 61

11 6

9

11

2

2

n n

n n

81.

n

n

n n

− +

+ −

→ ∞

203

1008 5

2

2

82.

2 5

12

5

25

15

110

5

01

2

n n

n

n

n n

n

−

+

=

−

+

→−

+

83.

3

4 5

335

14

45

1

01

1

n

n n

n

n

+

−+

=

+

→

84.

7 213

7

127

121

17

71

n n

n

n

n

n

−

+

=

−

+

→−

85.

c c

c c

c

c

n n

n n

n

n

+

−=

+

−

−

−

2

2

1

1 c c≠ ± ≠1 0,

a) ha c < 1, akkor cn→ 0,

ezért c

c

n

n

2

2

1

1

+

−→ -1


b) ha c > 1 , akkor 1

1c

< , és1

0c

n

→ ,

ezért c

c

c

c

n

n

n

n

2

2

2

2

1

1

11

11

1+

−=

+

−

→

86.

2 5

2

25

12

5+

−=

+

−

→n

n

n

n

87.

n n

n

n n

n

34 34

2

3 5

1 2

35

+

−=

+

−

→ 0

88.

n n

n

n n

n

2 21

2

11 1

12

1+ +

+=

+ +

+

→

89.

n n

n

n n n

n

2

63

2 4

63

1

1

1 1 1

11

+ +

+=

+ +

+

→ 0

90.

n n

n n

−

+ +

23

2 1 =

11

11

1

1

2

3

2

−

+ +

→n

n


91.

( )

( )

n n n

n n n n

n n

n

n

n n

n n

n

3 2 43

6 54 7 35

3

4 2

96

64

7 3 2

1510

2 1 1

6 2 3 1

12 1 1

16 2 3 1

1− + − +

+ + − + +=

− + −+

+ + −+ +

→

(n

3

2 -nel osszuk végig a számlálót is, nevezıt is! Alkalmazzuk a következı átalakításokat:

n n n n3 96 64 1510= = = .)

92.

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 3 3

3

2 2 2 2

3

+ + + + + +=

+ + + + + + + +=

... ...n n

n

n n

n

( )( ) ( ) ( )( )

=+ +

++

=+ +

→n n n

n

n n

n

n n

n

1 2 1

6

1

2

1 2

3

1

33 3 2

93.

( )

1

1 2

1

2 3

1

1

11

2

1

2

1

3

1

3

1

4

1 1

11

1

11

⋅+

⋅+ +

+=

= −

+ −

+ −

+ + −

+

= −

+→

...

...

n n

n n n

94.

( )( )n n

n n n n

n n

n n

+ − − =+ − − + + −

+ + −=

=+ + −

→

1 11 1 1 1

1 12

1 10

95.

( )n n nn

n n+ − =

+ +→1

1

1

2

96.

( )( ) ( )( )n n n n+ + − − − →1 2 1 2 3

97.

n n n n2 26 1 5 3+ + − + + →1

2


98.

( ) ( )

n nn n n n

+ − =+ + + +

→11

1 103 3

23 3 23

(Az ( )( )a b a b a ab b3 3 2 2

− = − + + azonosság alapján.)

99.

1 2

1 21 2 4 3

3−

−= + + →

n

n

n n

100.

a

a

b

b

b

a

n

n

+

+

−

−

−

−→

−

−

1

1

1

1

1

1

1

1

101.

n n nn n n2

1

2

1

20

1 1−

+=

−≥

+ +, csökkenı a sorozat

02

1

2< ≤

nn

Mivel monoton és korlátos a sorozat, ezért konvergens is. Határértéke le-gyen A. A sorozat minden részsorozata is A-hoz konvergál, így egyrészt

{ }an konvergál A-hoz, másrészt

an n

An n n n+ + +=

+=

⋅+ → +1 1 1

1

2 2 2

1

2

1

20

T.1.2. alapján A A=1

2, ami csak akkor teljesül, ha A=0. Tehát a sorozat

0-hoz konvergál. 102.

A sorozat a 2. tagjától kezdve monoton csökkenı, korlátos, így konver-gens is. Az elızı feladathoz hasonlóan legyen a sorozat határértéke A. Ekkor

a A an

n n n n2 2

24

3 3→ =, de , ezért A = A . 0, azaz A = 0.

103. Csökkenı és korlátos a sorozat, határértéke pedig a 0. 104.

11

11

1+

+

→ ⋅ =

n ne e

n


105.

11

11

1

11

1 11 1

−+

−

+

→ ⋅ =

+ −

− −

n ne e

n

106.

11

3

3

3 3+

→

ne

n

107.

( )12

2

2 2 4−

→ =− −

ne e

n

108. 1. megoldás

( )14

11

4

11

1 2 34 2 8

+−

+−

→ ⋅ =

−

n ne e

n

2. megoldás

( )( )

n

nn

n

n n

n n

e

ee

nn

n

+

−

=

+

+

−

−

→ =

+

−

3

1

13

13

11

11

2 12

2

3 2

1 28

109. 1. megoldás

n

n n ne

nn

−

+

= −

+

−

+

→

++ −

−2

31

5

31

5

3

2

33 1

3 53

2. megoldás

12

12

13

13

2

3

2

3

23

33

53

−

−

+

+

→ =−

−n n

n n

e

ee

n

n


110. 1. megoldás

11

3

12

3

2

2

1

3

2

2

3

22

−

+

→

=

−

−n

n

e

e

e

n

n

2. megoldás

( )13

3 21

3

3 2

3 2 22

33

2

3 2−

+

−

+

→ =

+ −

− −

n ne e

n

111.

2 1

2 5

2n

n

n+

−

→ e6

112.

4 2

4 5

3 2n

n

n−

+

→

+

e

−21

4

113. 1. megoldás

21

2 11

2

2

+

= ⋅ +

→ ∞

n n

n

n

n

2 11

2

2n

n

ne→ ∞ +

→

é s

2. megoldás

2 21

2 21

< +

⇒ < +

n n

n

n

, a { }2n sorozat végtelenbe divergál,

szükségképpen a 21

+

n

n

sorozat is.

114. 1. megoldás

1

2

1 1

21

20 02

+

=

+

→ ⋅ =

n ne

n n n

2. megoldás

1

2

1

2

1 5

6< + ≤

n a 3. tagtól kezdve teljesül, ekkor


1

2

1

2

1 5

6 < +

≤

n n n

n

Mivel a két szélsı sorozat 0-hoz tart, a közrefogási szabály alapján a vizsgált sorozat is 0-hoz tart. 115. 1. megoldás

2

3

11

2

11

3

0 05

6

+

−

→ ⋅ =

n

n

n

n

n

e

2. megoldás

2

3

2 1

3 1

7

8<

+

−≤

n

n

2

3

2 1

3 1

7

8 <

+

−

≤

n n nn

n

A két közrefogó sorozat 0-hoz tart, ezért a vizsgált sorozat is 0-hoz tart. 116.

3

2

3 2

2 7 <

+

−

n nn

n és mivel

3

2 → ∞

n

, ezért a vizsgált sorozat is vég-

telenbe divergál. 117.

n

n

n

n

n nn

+

=

+

1 12

21

≤+

n

n

n

, ezért 21

2

n

nn

n≤

+

is teljesül, így a sorozat a végtelenbe

divergál. 118.

21

32

2

2

n

n

n nn

n≤

+

< , a két szélsı sorozat 1-hez tart, így a közrefogott

sorozat is 1-hez tart.


119. I. megoldás

n

n n

n n n

n

2

2 2

5

2

1

21

50 1 0

2

−

=

−

→ ⋅ = , mivel

1

20

→

n

és

15

25

2

−

→

−

ne

n

. Ezért majdnem minden n-re:

1

15 1

6 2 4

2

e n e

n

< −

< , amibıl

11

5 16 2 4

2

e n en

n

n n< −

< adódik.

A közrefogási szabály alapján a vizsgált sorozat 1-hez tart, tehát az erede-ti sorozat 0-hoz konvergál.

II. megoldás

Mivel n

n

2

2

5

2

1

2

−→ , ezért majdnem minden n-re teljesül a következı:

1

4

5

2

3

4

2

2<

−<

n

n, amibıl következik, hogy

1

4

5

2

3

4

2

2

<

−

<

n n nn

n.

A közrefogási szabály alapján mivel a két szélsı sorozat 0-hoz tart, így a közrefogott sorozat is 0-hoz tart.

120.

1

2

1

2

1 1

20 0+

=

+

⋅

→ ⋅ =

n

n

ne

n n n

121.

a a a a1 2 3 4

3

4

3

10

3

16

3

22= = = =, , , ,...

Sejtésünk, hogy a sorozat általános tagja rekurziómentesen:

an

n =−

3

6 2

Teljes indukcióval bizonyítható állításunk. I. n=1-re teljesül az állítás.

II. Tegyük fel, hogy n=k-ra teljesül az állítás, és ezt felhasználva lássuk be n = k+1-re is az állítást!

( )

aa

a

k

k

kk

k

k

+ =+

= −

+−

=+ −

1 1 2

36 2

16

6 2

3

6 1 2, amit be akartunk látni.


A sorozat rekurziómentes alakjából látható, hogy monoton csökkenı, kor-

látos 03

4< ≤

an , és konvergens, határértéke a 0.

122. a a a a1 2 3 42 1 85 1 96 1 99= ≈ ≈ ≈, , , , , , ,... A képzési szabálynak van értelme, hiszen könnyen bizonyítható, hogy minden n-re an > 0. Sejtésünk, hogy a sorozat növı és felsı határa a 2. a) an < 2 bizonyítása teljes indukvióval: I. n=1-re teljesül az állítás II. Tegyük fel, hogy n=k-ra teljesül az állítás! III. Ezt felhasználva lássuk be, hogy n=k+1-re is teljesül az állítás! a ak k+ = + < + =1 2 2 2 2 Ezzel beláttuk, hogy minden pozitív egészre teljesül az állítás. b) a növekedés bizonyítása

I. n=1-re teljesül az állítás, hiszen a a1 2 2 2 2< < +

II. Tegyük fel, hogy n=k-ra teljesül az állítás, azaz a ak k≤ +2 ! III. Ezt felhasználva lássuk be, hogy n=k+1-re is teljesül az állítás, azaz

a ak k+ +≤ +1 12 . De a ak k+ = +1 2 , és 2 2 21+ = + ++a ak k .

A 2 2 2+ ≤ + +a ak k az indukciós feltevés alapján teljesül , azaz az

állítás minden n-re igaz. Mivel a sorozat monoton és korlátos, ebbıl következik, hogy konvergens is. Jelöljük a sorozat határértékét A-val. Mivel a an n= + −2 1 és a An− →1 is teljesül, így a sorozat határértékére teljesül, hogy

A A= +2 , amibıl A1= 2, A2= -1. Mivel a sorozat minden tagja pozitív, ezért A = 2.

123. A 122. feladat mintájára lássuk be, hogy 2 < an minden n-re, majd azt,

hogy csökkenı a sorozat és limn

na→∞

= 2

124. A 122. feladat mintájára lássuk be, hogy an < 3 minden n-re, majd azt,

hogy növekvı a sorozat és limn

na→∞

= 3!


125. A 122. feladat mintájára lássuk be, hogy an > 3 minden n-re, majd azt, hogy csökkenı a sorozat és lim

nan

→ ∞

= 3!

126. Egyszerően belátható, hogy minden n ≥ 2 esetén an > 0 (ezért a képzési szabálynak minden n-re van értelme, másrészt minden n-re an < 1:

aa

a an

n

n n

=+

+= −

+<

−

− −

1

1 1

1

21

1

21 . Tehát a sorozat korlátos.

A növekedés bizonyítása teljes indukcióval: I. n=1 re az állítás igaz. II. Tegyük fel, hogy n=k-ra igaz az állítás, azaz a ak k≤ +1! III. Ennek felhasználásával igazoljuk, hogy az állítás n=k+1-re is igaz, azaz igaz a következı reláció:a ak k+ +≤1 2 .

aa

a ak

k

k k

+ =+

+= −

+1

1

21

1

2, valamint

aa

a ak

k

k k

+

+

+ +

=+

+= −

+2

1

1 1

1

21

1

2

Felhasználva az indukciós feltevést, azt kapjuk, hogy a ak k+ +≤1 2 . Tehát az állítás minden n-re igaz. A sorozat monoton és korlátos, ezért konvergens. Jelöljük határértékét A-val! A-ra teljesülnie kell az alábbinak:

AA

A=

+

+

1

2. Az egyenlet két megoldásából A =

− +1 5

2 értéket kapjuk a

sorozat határértékére, mivel a sorozat minden tagja pozitív, ugyanakkor az egyenlet másik megoldása negatív.

127. Mutassuk meg, hogy minden n-re 0 2< <an , majd azt, hogy a sorozat növekvı. A határérték meghatározása a 122. feladat mintájára történhet.

limn

na→∞

=− +1 13

2.

128.

a a a a a a a1 2 3 4 5 6 70 66

7

42

13

78

552

64

1331 723= = = = = = =, , ,...

Sejtésünk: { }a n2 csökkenı, és a n2 2>


{ }a n2 1− növekvı, és a n2 1 2− <

a) a n2 2> bizonyítása teljes indukcióval I. n=1-re teljesül II. Tegyük fel, hogy n=k-ra teljesül, és ezt felhasználva lássuk be n=k+1- re.

aa

a

ak

k

k

k

2 22 1

2

2

6

1

6

16

1

636

76

36

2 72+

+

=+

=

++

= −+

> −+

=

Ez azt jelenti, hogy a sorozat összes páros indexő tagja 2-nél nagyobb. b)Annak bizonyítása, hogy a páros indexő tagokból álló részsorozat csök-

kenı I. n=1-re teljesül

II. Tegyük fel, hogy n=k-ra teljesül, és ezt felhasználva lássuk be n=k+1-re is az állítást!

636

722−

+≤

aa

k

k

( )( )0 2 32 2≤ − +a ak k

Az elızı részben kapott eredmény alapján ez a reláció minden k-ra telje-sül, így a sorozat monoton csökkenı. A páratlan indexő tagokra vonatko-zó állítások teljesen hasonlóan bizonyíthatók. a a an1 2≤ ≤ , tehát a sorozat korlátos is. Mivel a sorozat monoton és korlátos, ezért konvergens is, ha-tárértékét jelöljük A-val. A részsorozatok konvergenciájára vonatkozó té-

tel alapján teljesülnie kell, hogy AA

=+

6

1. Az egyenlet két megoldásából

csak az A=2 jöhet számításba.Tehát a sorozat 2-höz konvergál. 129.

a) t t tp

t tp

0 1 0 2 0

2

1100

1100

, ,= +

= +

b) t t t tp

nn n0 0 1 1100

0= = +

>−,

c) t tp

n

n

= +

0 1

100


130.

Egyszerőség kedvéért 1100

+

p-at jelöljük r-rel, az

1

r-et v-vel, az éves

törlesztést, -annuitást- a-val! a) ( )t t t t r a t t r a r0 0 1 0 2 0

2 1= = − = − +

( )t t r a r r t r ar

r3 0

3 20

33

11

1= − + + = −

−

−

t t r ar

rn

nn

= −−

−0

1

1

b) t tn n≤ −1 ( )t r a0 1− ≤ szavakkal, az annuitásnak nagyobbnak kell

lenni, mint a kölcsön évi kamata.

c) a t rr

r

t

v

v

v

n

n n=

−

−=

−

−0

01

1

1

1

( )( )n

a a t r

r=

− − −lg lg

lg0 1

45

II. EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK D.2.1. Ha az f függvény értelmezési tartományának minden egyes x értékére teljesül,

hogy -x is eleme az értelmezési tartománynak és ( ) ( )f x f x= − − , akkor a függ-

vényt páratlannak nevezzük; ha ( ) ( )f x f x= − teljesül, akkor párosnak.

Megjegyzés: Páros függvény grafikonja az y tengelyre, páratlan függvény grafi-konja az origóra szimmetrikus. D.2.2. Az f belsı és g külsı függvénybıl összetett függvénynek nevezzük azt a

( )F g f= függvényt, aminek értelmezési tartománya f értelmezési tartományá-

nak azon x pontjaiból áll, amelyekre ( )f x eleme a g függvény értelmezési tar-

tományának, és minden ilyen x pontban ( ) ( )( )F x g f x= .

D.2.3. Ha az f függvényhez létezik olyan f -sal jelölt függvény, amire teljesül, hogy

minden f értelmezési tartományához tartozó x -re ( )( )f f x x= , és minden f

értékkészletébe tartozó x -re ( )( )f f x x= , akkor azt mondjuk, hogy f és f

egymás inverz függvényei. Az inverz függvény grafikonja az eredeti függvény grafikonjának az y=x egyen-lető egyenesre vonatkozó tükörképe. D.2.4. (A folytonosság két, egymással ekvivalens definíciója) Cauchy-féle értelmezés: Legyen f az x0 egy környezetében értelmezett! Akkor mondjuk, hogy az f

függvény folytonos x0 pontban, ha ( )f x0 -nak bármely ε sugarú környezetéhez

megadható az x0-nak olyan δ sugarú környezete, hogy valahányszor x benne

van x0-nak δ sugarú környezetében, mindannyiszor ( )f x benne van ( )f x0 -nak

ε sugarú környezetében. Jelekkel:

f x0 -ban folytonos ( ) ( ) ( ) ( )( ):⇔ ∀ > ∃ > ∀ − < ⇒ − <ε δ δ ε0 0 0 0x x x f x f x


Heine-féle értelmezés: Legyen f az x0 egy környezetében értelmezett! Akkor mondjuk, hogy f folyto-

nos x0-ban, ha minden x0 -hoz konvergáló { }xn sorozatra teljesül, hogy az

( ){ }f xn függvényérték-sorozat ( )f x0 -hoz konvergál.

Jelekkel: f x0 -ban folytonos { } ( ) ( )( ):⇔ ∀ → ⇒ →x x x f x f xn n n0 0

D.2.5. Függvény határértékét az alábbi esetekben kell definiálni: a) véges helyen vett véges határérték; b) véges helyen vett végtelen határérték; c) végtelenben vett véges határérték; d) végtelenben vett végtelen határérték. Ezen definíciók csak jelekkel kerülnek ismertetésre. Az olvasóra bízzuk, hogy a fenti definíciók alapján szöveggel is megfogalmazza ıket. a) Legyen f az x0 egy környezetében (esetleg x0 kivételével) értelmezve!

C: ( ) ( ) ( ) ( )( )x x

f x A x x x f x A→

= ⇔ ∀ > ∃ > ∀ < − < ⇒ − <0

0 0 0 0lim : ε δ δ ε

H: ( ) { } ( )( )x x

n n n nf x A x n x x x x f x A→

= ⇔ ∀ ∀ → ≠ ⇒ →0

0 0lim : ,

b) Legyen f az x0 egy környezetében (esetleg x0 kivételével) értelmezve!

C: ( ) ( ) ( )( )x x

f x K x x x f x K→

= ∞ ⇔ ∀ ∃ > ∀ < − < ⇒ >0

0 0 0lim : δ δ

H: ( ) { } ( )( )x x

n n n nf x x n x x x x f x→

= ∞ ⇔ ∀ ∀ → ≠ ⇒ → ∞0

0 0lim : ,

C: ( ) ( ) ( )( )x x

f x k x x x f x k→

= −∞ ⇔ ∀ ∃ > ∀ < − < ⇒ <0

0 0 0lim : δ δ

H: ( ) { } ( )( )x x

n n n nf x x n x x x x f x→

= −∞ ⇔ ∀ ∀ → ≠ ⇒ → −∞0

0 0lim : ,

c) C: ( ) ( ) ( )( )x

f x A K x x K f x A→∞

= ⇔ ∀ > ∃ ∀ > ⇒ − <lim : ε ε0

H: ( ) { } ( )( )x

n n nf x A x x f x A→∞

= ⇔ ∀ → ∞ ⇒ →lim :

C: ( ) ( ) ( )( )x

f x A k x x k f x A→−∞

= ⇔ ∀ > ∃ ∀ < ⇒ − <lim : ε ε0

H: ( ) { } ( )( )x

n n nf x A x x f x A→−∞

= ⇔ ∀ → −∞ ⇒ →lim :

II. Egyváltozós függvények 47

d) C: ( ) ( )( )x

f x K N x x N f x K→∞

= ∞ ⇔ ∀ ∃ ∀ > ⇒ >lim :

H: ( ) { } ( )( )x

n n nf x x x f x→∞

= ∞ ⇔ ∀ → ∞ ⇒ → ∞lim :

C: ( ) ( )( )x

f x k N x x N f x k→∞

= −∞ ⇔ ∀ ∃ ∀ > ⇒ <lim :

H: ( ) { } ( )( )x

n n nf x x x f x→∞

= −∞ ⇔ ∀ → ∞ ⇒ → −∞lim :

C: ( ) ( )( )x

f x K N x x N f x K→−∞

= ∞ ⇔ ∀ ∃ ∀ < ⇒ >lim :

H: ( ) { } ( )( )x

n n nf x x x f x→−∞

= ∞ ⇔ ∀ → −∞ ⇒ → ∞lim :

C: ( ) ( )( )x

f x k N x x N f x k→−∞

= −∞ ⇔ ∀ ∃ ∀ < ⇒ <lim :

H: ( ) { } ( )( )x

n n nf x x x f x→−∞

= −∞ ⇔ ∀ → −∞ ⇒ → −∞lim :

A határértékek Heine-féle definíciója alapján a sorozatoknál ismertetett határér-téktételek (T.1.13. táblázatai) analóg módon átfogalmazhatók függvények össze-gének, szorzatának, különbségének, hányadosának adott pontban (végtelenben) vett határértékérıl szóló tételekké. TÉTEL: Legyen f az x0 egy környezetében értelmezett! Az f függvény az x0 pontban akkor és csak akkor folytonos, ha ott létezik határértéke, és az egyenlı a x0 -beli

függvényértékkel, azaz ( ) ( )x x

f x f x→

=0

0lim

A függvénytranszformációkról: 1. Az ( )f x− függvény grafikonja az ( )f x grafikonjának y tengelyre vonatkozó

tükörképe. 2. A - ( )f x függvény grafikonja az ( )f x grafikonjának x tengelyre vonatkozó

tükörképe. 3. Az ( )f x +a függvény grafikonja az ( )f x grafikonjának y tengely mentén

való eltolásával kapható, mégpedig pozitív irányúval, ha a pozitív, és negatív irányúval, ha a negatív. 4. Az ( )f x a+ függvény grafikonja az ( )f x függvény grafikonjának x tengely

mentén történı eltolással kapható, mégpedig negatív irányúval, ha a pozitív, és pozitív irányúval, ha a negatív.


5. Az a . ( )f x függvény grafikonja az ( )f x grafikonjának y tengely menti nyúj-

tásával áll elı, ha a>1, ill. zsugorításával. ha 0<a<1. ( A 2.pont miatt elegendı csak pozitív a eseteket vizsgálni.) 6. Az ( )f ax függvény grafikonja az ( )f x grafikonjának x tengely menti nyújtá-

sával áll elı, ha 0<a<1, ill. zsugorításával, ha a>1. ( Az 1.pont miatt elegendı csak pozitív a eseteket vizsgálni.) FELADATOK Megállapodás: Ha nem írjuk ki a függvény értelmezési tartományát, akkor az a valós számok halmazának az a legbıvebb részhalmaza, ahol a függvény értelmezhetı. Minden egyéb esetben feltüntetjük a függvény értelmezési tartományát a függvény meg-adásakor. Elemi alapfüggvények és grafikonjai: Hatványfüggvények: Ábrázoljuk közös koordinátarendszerben az alábbi pozitív egész kitevıjő hat-ványfüggvényeket! 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x f x x f x x f x x f x x1 2

23

34

45

5= = = = =

Ábrázoljuk közös koordinátarendszerben az alábbi negatív egész kitevıjő hat-ványfüggvényeket! 2. ( ) ( ) ( ) ( )g x x g x x g x x g x x1

12

23

34

4= = = =− − − −

Ábrázoljuk közös koordinátarendszerben az alábbi törtkitevıjő hatványfüggvé-nyeket!

3. ( ) ( ) ( )f x x f x x f x x1 23

34= = =

4. ( ) ( ) ( )g x x g x x g x x13

223

355= = =

5. ( ) ( ) ( )h x x h x x h x x1

2

32

1

23

1

3= = =− − −

Exponenciális és logaritmus függvények Ábrázoljuk közös koordinátarendszerben az alábbi függvénypárokat! 6. ( )f x x

1 2= ( )f x x

2 3=


7. ( )f x x1 2= log ( )f x x

1 2=

8. ( )f x x2 3= log ( )f x x

2 3=

9. ( )f x x1 2= log ( )f x x2 3= log

10. ( )g xx

x

1 21

2= =

− ( )g xx

x

2 31

3= =

−

11. ( )g x x1 1

2

= log ( )g xx

1 2= −

12. ( )g x x2 13

= log ( )g xx

2 3= −

13. ( )g x x1 1

2

= log ( )g x x2 1

3

= log

Írjuk fel a g(f(x)) összetett függvényt és értelmezési tartományát, ha 14. ( )f x x= +1 2 ( )g x x= ln

15. ( )f x x= ln ( )g xx

=1

2

16. ( )f x ex= +1 ( )g x x= 3

17. ( )f x ex= ( )g x

x

x=

+

−

1

1

2

2

18. ( )f x x= ( )g x x= ln

19. ( )f x x= ln ( )g x x= ln

Határozzuk meg a következı ( )[ ]{ }y f g h x= alakú függvények összetevıit,

szétbontva az y =f (v); v = g(w); w = h(x) szimbólumoknak megfelelıen!

20. y = log 221− x 21. y = 2

2 1x −

22. y = ( )lg2 2 1x +

Határozzuk meg az alábbi függvények értelmezési tartományát!

23. ( ) ( )f x x= +lg 3 24. ( )f xx

=−

1

1 2

25. ( )f xx

=+

1

1 2 26. ( )f x x= − −1 1 2


27. ( )f xx

x x=

−2 3 28. ( )f x

x x=

−lg

5

4

2

29. ( )f x x x= + − −6 1 2 30. ( )f xx

=

−

1

1 21

Alkalmazzuk a függvénytranszformálás módszerét a következı függvények fel-vázolására!

31. ( ) ( )f x x= − + +2 32

32. ( ) ( )f x x= −lg 3

33. ( )f xx= − −2 1 34. ( )f x

x= − +2 1

35. ( )f xx

x=

+ 2 36. ( )f x

x

x=

+ 2

37. ( )f xx

x=

−

+

2 1

4 38. ( )f x

x

x=

+

− +

4 3

2 5

39. ( )f x x= +1 40. ( )f x x= lg

41. ( )f x x= lg 42. ( )f x x= 2

43. ( ) ( )( )f x x x= − +2 3 44. ( )f x x x= − −2 2

Vizsgáljuk a következı függvényeket paritás szempontjából!

45. ( )f x = 22x 46. ( )f x =

x

x2 1−

47. ( )f x =x

x2

1+ 48. ( )f x = x

23 1+

49. ( )f x = x x3 3 7− + 50. ( )f x = − + +x x4 22 5

51. ( )f x = x x2 6+ −

52. Vázoljuk az ( )f xx x

x=

− −

−

2 5 12

4

2

függvény grafikonját és igazoljuk a definí-

ció alapján, hogy a) ( )

x

f x→

=4

11lim

b) az x0 1= pontban folytonos a függvény!

53. Vázoljuk az ( )f xx x

x x=

+ −

− +

2

2

2

4 3 függvény grafikonját és igazoljuk, hogy


a) ( )x

f x→

=−

1

3

2lim

b) az x0 5= pontban folytonos a függvény! 54. Igazoljuk definíció alapján, hogy a Dirichlet-féle függvény sehol nem folyto-nos és értelmezési tartományának egyetlen pontjában sincsen határértéke! A Dirichlet-féle függvény:

( )f x1, ha x racioná lis

0, ha x irracioná lis =

Adjuk meg a következı határértékeket!

55. ( )x

x x→

+ +8

2 3 12lim lg 56. ( )x

xx

→

−1

2

4 3 7lim

57. x

x

x x→

−

− −0

2

2

1

2 1lim 58. ( )( )( )

x

x x x

x→

+ + + −

0

1 1 2 1 3 1lim

59. ( ) ( )

x

x x

x x→

+ − +

+0

5

2 5

1 1 5lim 60.

x

x x

x x→

− +

− +3

2

2

5 6

8 15lim

61. x

x x

x→−

− −

+2

2 3 10

2lim 62. x

x x

x x x→

−

+ +0

2

4 3

3

2lim

63. x

x x

x→

− +

−3

2

2

6 9

9lim 64. x

x x

x→

− +

−1

2

2

4 3

1lim

65. x

x x

x x→

− +

+ −2

2

2

7 10

9 22lim 66. x

x x x

x x→−

+ +

− −2

3 2

2

3 2

6lim

67. x

x x

x x→

+ −

− +1

4 2

2

2 3

3 2lim 68. x

x x

x x→

− +

− −3

4 2

4 2

8 15

6lim

69. ( )

( )x

x x

x x→

− −

− +2

2 20

3 10

2

12 16lim 70.

x

x

x x→

−

− +1

3

3

1

2 1lim

71. x

x x

x x x→

− +

− − +2

2

3 2

5 6

2 2lim 72. x

x

x→−

+

+2

3 8

2lim

73. x

x

x→

−

−2

4 16

2lim 74. x

nx

x→

−

−1

1

1lim (n pozitív egész)


75. ( )x

m

n

x

xm n

→

−

−∈

1

1

1lim , Z+ 76. x

x

x x→

−

− +1

2

3

2

8 1

6 5 1lim

77. x

x x x

x x→

− − +

− −2

3 2

3

2 2

3 2lim 78. x x x→ −

−−

12 3

2

1

3

1lim

79. x x x→ −

−−

13 5

3

1

5

1lim 80. x x x→ −

−−

23

1

2

12

8lim

Határozzuk meg a következı függvények adott pontbeli határértékét!

81. x

x

x→

−

−1

1

1lim 82. x

x

x→

+ −

0

21 1

2lim

83. x

x x

x→

−

−1

2

1lim 84. x

x

x→

− −

−5

1 2

5lim

85. x

x

x→

+ −

0

9 3lim 86.

x

x

x→

− + +

−12

2 3

1lim

87. x

x

x→

− +

−62

3 3

36lim 88. x a

ax x

x a→

−

−lim

89. x

x x x x

x x→

+ − − − +

− +2

2 2

2

2 4 2

3 2lim 90. x

x x

x→

+ − +

0

1 5 1 2lim

91. x

x x

x x→

+ − +

+ − −3

7 3 1

4 8 7 1lim 92. x

x x

x x→

+ − −

+0

23

2

8 3 2lim

93. x

x

x→

−

−1

4

3

1

1lim

Adjuk meg a következı végtelenben vett határértékeket!

94. ( )( )( )( )( )

( )x

x x x x x

x→∞

− − − − −

−lim

1 2 3 4 5

5 15

95. ( ) ( )

( )x

x x

x→∞

− +

−lim

2 3 3 2

2 1

20 30

50 96. x

x x

x→∞

+ −

+lim33 2 1

3 2

97. x

x

x→∞ +lim 2 1

98. x

x

x→∞

+

−lim1 4

1

2


99. x

x

x→∞

+

+lim

1 2

1 100.

x

x

x x→∞ + +lim 33 1

101. x

x x x

x→∞

+ +

+lim

3 4

2 1 102.

x

x x x

x→∞

+ +

+lim 1

103. x

x x x

x x→∞

+ −

+ −lim

34

2 1 104.

x

x

x x x→∞

− +

+ +lim

1 1

2

23

23 24

105. x

x x x

x x x→∞

+ + −

+ − +lim

5 24 2

53 2

6 3

4 7 2 106.

x

x x x x→∞

+ − −

lim

107. ( )( )( )x

x x a x b x→∞

+ + −lim 108. ( )x

x

ax

aa

→∞ +

−

≠lim1

11

0

109. x

x

x→∞

−

−lim

3 4

8 110.

x

x

x

x

x→∞ −−

+

lim

3

2

2

2 4 3 2

Határozzuk meg az alábbi racionális törtfüggvények határértékét ±∞-ben!

111. ( )f xx x x x

x x x x=

− + − − +

+ − + −

5 3 2

5 4 2

4 2 3 5

3 4 3 2

112. ( )f xx x

x x=

+ −

− +

1 3 7

1 4 6

2

2

113. ( )( )( )

f xx x

x=

− +

−

1 3

5 2

2

3

114. ( )f xx x

x=

+ −

− +

3 2

5

4 3

4

115. ( )f xx x x

x x x x=

+ − +

− + − + −

8 15 2 1

2 1

7 5 2

8 7 6

116. ( )( )( )( )

f xx x x

x x=

− + +

− +

1 10 12

3 164

117. ( )f xx

x=

−12

118. ( )f xax bx c

dx ex fx gd=

+ +

+ + +≠

2

3 20


119. ( )f xx x x

x x=

− + −

− + −

4 3

3 2

2 5 1

7 12

120. ( )f xx x x

x x=

+ − +

− +

7 5 4 2

2 6 5

4 3

3 2

121. ( )f xx x x

x x=

+ − +

+ +

3 7 6 11

2 7 1

11 9 5

6 4

122. ( )f xx x x

x x=

+ − +

− −

2 4 3 8

4 7

5 4 3

3 2

123. ( )f xx x x

x x x=

+ − +

− + −

5 3 20 4

3 4 1

13 5

7 4 2

124. ( )f xx x x

x x x=

− + − −

− − −

2 8 6 1

3 9 1

9 7 2

5 3

125. ( )f xx x x

x x x=

− + +

− + − +

8 12 3 4

5 2

8 3

6 4 2

Vizsgáljuk a következı függvények határértékét azokban a pontokban, ahol nin-csenek értelmezve!

126. ( )( )

f xx

x=

−

3

21

127. ( )f xx

x=

+

−

2

12

128. ( )f xx

x=

−

+

8 2

4 129. ( )f x x= +2

1

1

130. ( )f xx x x

x x=

− + −

−

3 2

3

1

Vizsgáljuk a következı függvények határértékét a szakadási helyeken és ±∞ -ben!

131. ( )f xx x x

x x=

+ −

− +

3 2

2

2 3

4 3 132. ( )f x

x

x x=

−

− +

2

4 2

1

2 1

133. ( )f xx x

x x=

− +

− −

2

4 2

5 6

3 4 134. ( )f x

x x

x x=

+ −

+ +

3 6 45

2 12 10

2

2

135. ( )f x x= +31

1 136. ( )f xx

=

+

1

1 21

137. ( )( )

f xx

x x=

−

−

2

2 3

9

3 138. ( )f x

x

=

− −

1

2 21

1

55

II. EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK - MEGOLDÁSOK Az 1.-13. feladatokhoz tartozó függvénygrafikonok:

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

y

x

f1

f2

f3

f4f5

f5

f4

f3

f2

f1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

y

x

g1

g2g3

g4

g1

g2

g3

g4

1.

( ) ( )

( ) ( )

( )

f x x f x x

f x x f x x

f x x

1 22

33

44

55

= =

= =

=

2. ( ) ( )

( ) ( )

g xx

g xx

g xx

g xx

1 2 2

3 3 4 4

1 1

1 1

= =

= =

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2 3 4

y

x

f1

f3

f2

f2

3. ( ) ( ) ( )f x x f x x f x x1 2 3

4= = = 3


-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4

y

x

g1 g3

g2

g2

g3

4. ( ) ( ) ( )g x x x x x x13

22

355

= = = g g 3

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

h1

h3

h2h1

h3

5. ( ) ( ) ( )h x x h x x h x x1

2

32

1

23

1

3= = =

− − −

II. Egyváltozós függvények - Megoldások 57

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2 -1 0 1 2

y

x

h1

h2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2 -1 0 1 2

y

x

g1

g2

6. ( ) ( )h x xx x

1 22 3= = h 10. ( ) ( )g x x

x x

1 21

2

1

3=

=

g


-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y

x

f1

f1

7. ( ) ( )f x x f xx

1 2 1 2= =log

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y

x

f2

f2

8. ( ) ( )f x x f xx

2 3 2 3= =log


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y

xf2

f1

9. ( ) ( )f x x f x x1 2 2 3= =log log

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

x

g1

g1

11. ( ) ( )g x x g x1 1 2 1= log / = 2 -x


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

x

g1

g1

12. ( ) ( )g x x g x2 1 3 2= log / = 3 -x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y

x

g2

g1

13. ( ) ( )g x x g x x1 1 2 2 1 3= =log log/ /


14.

( )( )g f x = ( )ln 1 2+ x x ∈R

15.

( )( )g f x =12ln x

{ }x ∈ +R \ 1

16.

( )( )g f x = ( )13

+ ex x ∈R

17.

( )( )g f x =1

1

2

2

+

−

e

e

x

x { }x ∈R \ 0

18.

( )( )g f x = ln x { }x ∈R \ 0

19.

( )( )g f x = ( )ln ln x ( )x ∈ ∞1,

20.

( )w h x x= = −1 2

( )v g w w= =

( )y f v v= = log2

21.

( )w h x x= = −2 1

( )v g w w= =

( )y f vv= = 2

22.

( )w h x x= = +2 1

( )v g w w= = lg

( )y f v v= = 2

23.

( )− ∞3,

24.

{ }R \ ±1

25. R


26. −1 1,

27.

( ) ( )−∞ ∪ ∞, ,0 3

28.

( )0 5,

29. −

1

62,

30. R

31. Az f(x) grafikonját az x

2 függvény grafikonjából a következı transzfor-mációs lépéseken keresztül kapjuk: x 2 grafikonját x tengely mentén negatív irányba 2 egységgel eltoljuk:

( )x + 22; ezt az x tengelyre tükrözzük: ( )− +x 2

2; a kapott grafikont az y

tengely mentén pozitív irányba 3 egységgel eltoljuk: ( )− + +x 2 32

.

32. A lgx függvény grafikonját az x tengely mentén pozitív irányba 3 egység-gel eltoljuk.

33. A 2x függvény grafikonját az x tengely mentén pozitív irányba egy egy-séggel eltoljuk: 2 1x − , majd ezt tükrözzük az x tengelyre.

34. A 2x grafikonját az y tengelyre tükrözzük: 2−x , majd ezt az x tengely mentén negatív irányba 1 egységgel eltoljuk.

35.

Mivel x

x x

+= +

21

2, az

1

x függvény grafikonját az y tengely irányában

kétszeresére nyújtjuk: 2

x, majd ezt y tengely pozitív irányában 1 egység-

gel eltoljuk.


36.

Mivel x

x x+= −

+21

2

2 az

1

x függvény grafikonját az x tengely mentén

negatív irányba 2 egységgel eltoljuk:1

2x +; ezt az y tengely irányában

kétszeresére nyújtjuk: 2

2x +; majd tükrözzük az x tengelyre:

−

+

2

2x; végül

a kapott görbét az y tengely mentén pozitív irányba 1 egységgel eltoljuk. 37.

Mivel ( )2 1

4

2 4 9

42

9

4

x

x

x

x x

−

+=

+ −

+= −

+, a transzformációs lépések

ebbıl az alakból már láthatók. 38.

Mivel 4 3

2 52

13

2

152

x

xx

+

− += − − ⋅

−

, a transzformációs lépések ebbıl az

alakból már láthatók. 39.

Az x +1 függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy az x függvény grafi-

konját az x tengely mentén negatív irányba 1 egységgel eltoljuk. 40.

A lgx függvény grafikonjának az x tengely alatti részét az x tengelyre tük-rözzük, az x tengely feletti részét és az (0,1) pontot helyben hagyjuk.

41. A lgx függvény grafikonja és az y tengelyre vonatkozó tükörképe együtt adja a lg x függvény grafikonját.

42. Az x grafikonját az y tengely irányában kétszeresére nyújtjuk.

43. Az ( )( )x x− +2 3 függvény képe egyenesállású parabola, ami az x ten-

gelyt a (2,0) és a (-3,0) pontokban metszi. A grafikon −3 2, intervallum-

hoz tartozó ívét az x tengelyre tükrözzük, a többi részt változatlanul hagy-juk.

44.

Mivel ( )( )x x x x2 2 1 2− − = + − , tovább lásd a 43. feladat megoldását!


45.

( ) ( )f x f x= − , a függvény páros

46. A függvény páratlan

47. A függvény páratlan

48. A függvény páros

49. A függvény se nem páros, se nem páratlan, mert nem teljesül például:

( ) ( )f f1 1= − , sem pedig ( ) ( )f f1 1= − − .

50. A függvény páros

51. A függvény se nem páros, se nem páratlan, mivel a függvény két zérushelyére nem teljesül, hogy egymás ellentettjei.

52.

( )( )

f x

x x

xx=

− +

−= +

2 432

42

3

2 { }D f = R \ 4

a) A Heine-féle definíció alapján Legyen{ }xn tetszıleges 4-hez tartó sorozat, de a sorozattagok között ne

szerepeljen a 4! Pl.: 41

−

n

, 41

+

n

, { }4 11 nn ++ . Tekintsük az { }xn -

hez tartozó függvényérték-sorozatot:

( )f x xn n= +

2

3

2.

A határértéktételek alapján a függvényértéksorozat 2 43

211+

= -hez

tart. A Cauchy-féle definíció alapján Rögzítsük ε -t tetszılegesen: ( )ε 0 0> , keressük meg a hozzá tartozó δ -t!

0 23

211 0< +

− <x ε

0 2 8 0< − <x ε


0 42

0< − <xε

, ez azt jelenti, hogy ( )δ εε

00

2= lehet. Mivel ε -t tetszıle-

gesen rögzítettük, ezért bármely pozitív valós számhoz megadható a defi-nícióban szereplı megfelelı δ . b) A Heine-féle definíció alapján Legyen { }xn tetszıleges 1-hez konvergáló sorozat!

( ) ( )n

n

n

nf x x f→∞ →∞

= +

= +

= =lim lim 2

3

22 1

3

25 1

Tehát a függvény az x0 =1 pontban folytonos. A Cauchy-féle definíció alapján

( )ε 0 0> tetszıleges rögzített valós számhoz keressünk δ -t!

( ) ( )f x f x x x x− = +

− = − = −0 2

3

25 2 2 2 1 .

De ( )2 1 0x − < ε , ha x − <12

0εεεε.

Tehát tetszıleges ( )ε > 0 -hoz a ( )δ εε

=2

megfelel.

53.

( )( )( )( )( )

f xx x

x x x=

− +

− −= +

−

1 2

1 31

5

3 { }D f = R \ ,1 3

a) Heine-féle definíció alapján Legyen { }xn tetszıleges 1-hez konvergáló sorozat, de a sorozattagok kö-

zött az 1és a 3 ne szerepeljen! Tekintsük az { }xn -hez tartozó függvényér-

ték-sorozatot:

( )f xx

n

n

= +−

15

3. A sorozatoknál megismert határértéktételek alapján a

sorozat határértéke: −3

2.

Cauchy-féle definíció alapján


Elegendı az x0 =1-nek az 1 sugarú környezetében okoskodni, azaz legyen 0 1 1< − <x . Ekkor 1 3 3< − <x .


( )f xx

x

xx+ = +

−+ =

−

−< −

3

21

5

3

3

2

5 1

2 3

5

21 ,

de 5

21 0x − < εεεε , ha 0 1

2

50< − <x

εεεε.

Tehát tetszıleges ( )ε > 0 -hoz a ( )δ εε

=

min ,1

2

5 megfelel.

b) A Heine-féle definíció alapján Legyen { }xn tetszıleges 5-höz konvergáló sorozat ( )xn ≠ 1 !

( ) ( )f xx

fn

n

= +−

→ =15

3

7

25 .

A Cauchy-féle definíció alapján


Elegendı az x0 5= pontnak az 1 sugarú környezetében okoskodni. Ekkor

1 3 2< − <x . ( )f xx

x

xx− = +

−− =

−

−< −

7

21

5

3

7

2

5 5

2 3

5

25 .

De 5

25 0x − < εεεε , ha x − <5

2

50ε

.

Tetszıleges ( )ε > 0 -hoz a ( )δ εε

=

min ,1

2

5 megfelel.

54. Legyen x0 ∈Q . Megmutatjuk, hogy x0-ban nem folytonos a függvény, sıt határértéke sincs ebben a pontban.

Legyen ( )x x x x xn n n

, , ,,→ ≠ ∈0 0 Q tetszıleges. Ekkor ( )f xn

, = 1 kons-

tanssorozat, aminek határértéke 1.

Legyen ( )x x xn n

,, ,, \→ ∈0 R Q . Ekkor ( )f xn

,, = 0 konstanssorozat, aminek

határértéke 0.

Tekintsük az { }xn

, és { }xn

,, sorozatok fésős egyesítését! Ez a sorozat is

x0-hoz konvergál. Jelöljük a két sorozat fésős egyesítését { }xn -nel!

( )f xn függvényértéksorozatnak két torlódási pontja van, tehát nem kon-

vergens. Létezik tehát olyan { }xn sorozat, amely x0 -hoz konvergál, de

( ){ }f xn divergens. Ez azt jelenti, hogy racionális helyen nincs határérté-

ke a függvénynek, akkor viszont folytonos se lehet itt. Irracionális helyeken a vizsgálat analóg a fent leírtakkal.


55.

( )x

x x→

+ + = =8

2 3 12 100 2lim lg lg

56.

( )x

xx

→

− = −

= −

1

2

4 3 7 23

27 11lim

57.

x

x

x x→

−

− −=

−

− −=

0

2

2

1

2 1

0 1

0 0 11lim

58.

( )x

x x→

+ + =0

26 12 6 6lim

59.

( ) ( )x x

x x

x x

x x x

x→ →

+ − +

+=

+ + +

+=

0

5

2 50

3 2

3

1 1 5 5 10 10

110lim lim

60. ( )( )( )( )x

x x

x x→

− −

− −=

−

3

3 2

3 5

1

2lim

61. ( )( )

( )x x

x x

xx

→− →−

+ −

+= − = −

2 2

2 5

25 7lim lim

62. ( )

( )x

x x

x x x→

−

+ += −

03 2

3

2 13lim

63.

( )( )( )x

x

x x→

−

− +=

3

23

3 30lim

64. ( )( )( )( )x

x x

x x→

− −

− += −

1

1 3

1 11lim

65. ( )( )( )( )x

x x

x x→

− −

− +=

−

2

2 5

2 11

3

13lim


66. ( )( )

( )( )x

x x x

x x→−

+ +

+ −=

−

2

2 1

2 3

2

5lim

67.

( )( )( )( )

( )( )x x

x x

x x

x x

x→ →

− +

− −=

+ +

−= −

1

2 2

1

21 3

1 2

1 3

28lim lim

68.

( )( )( )( )x

x x

x x→

− −

− +=

−

3

2 2

2 2

3 5

3 2

2

5lim

69.

( ) ( )

( ) ( )x

x x

x x→

− +

− += =

2

20 20

20 10

20

10

102 1

2 4

3

6

3

2lim

70.

( )( )( )( )x

x x x

x x x→

− + +

− + −=

1

2

2

1 1

1 13lim

71. ( )( )( ) ( )x x

x x

x x x

x

x→ →

− −

− − −=

−

−=

−

22

22

2 3

2 2

3

1

1

3lim lim

72.

( )( )

( )( )x x

x

x

x x x

x→− →−

+

+=

+ − +

+=

2

3

2

28

2

2 2 4

212lim lim

73.

( )( )

( )( )( )x x

x

x

x x x

x→ →

−

−=

− + +

−=

2

4

2

216

2

2 2 4

232lim lim

74.

( ) ( )( )x

n

x

nx

x

x x x x

xn

→ →

−−

−=

− + + + +

−=

1 1

2 11

1

1 1

1lim lim...

75.

( )( )( )( )x

m

nx

m

n

x

x

x x x x

x x x x

m

n→ →

−

−

−

−=

− + + + +

− + + + +=

1 1

2 1

2 1

1

1

1 1

1 1lim lim...

...


76.

( )( )( )( )

x x

x

x x

x x x

x x→ →

−

− +=

− + +

− −=

1

2

3

21

2

28 1

6 5 1

2 1 4 2 1

2 1 3 16lim lim

77.

( )( )( )( )x

x x

x x x→

− −

− + +=

2

2

2

2 1

2 2 1

1

3lim

78. ( )( )

( )( )( )x xx x

x x

x x x x→ →−−

−

=

− +

− + + +=

−

12 3

12

2

1

3

1

1 2 1

1 1 1

1

2lim lim

79.

( )( )( )( )( )x xx x

x x x x

x x x x x x x→ →−−

−

=

− + + +

− + + + + + += −

13 5

1

3 2

2 2 3 4

3

1

5

1

1 3 6 4 2

1 1 11lim lim

80.

( )( )( )( )

( )( )x xx x x x

x x

x x x→ →−−

− + +

=− +

− + +=

22

22

1

2

12

2 2 4

2 4

2 2 4

1

2lim lim

81.

( )( )x

x x

x→

− +

−= −

1

1 1

12lim

82.

( )x x

x

x

x

x x→ →

+ −=

+ +=

0

2

0

2

2

1 1

2 2 1 10lim lim

83.

( ) ( )( )x x

x x

x

x x x x

x→ →

−

−=

− + +

−=

1

3

1

1

1

1 1

13lim lim

84.

( )( )x x

x

x

x

x x→ →

− −

−=

−

− − +=

5 5

1 2

5

5

5 1 2

1

4lim lim


85.

( )x x

x

x

x

x x→ →

+ −=

+ +=

0 0

9 3

9 3

1

6lim lim

86.

( )( )( )x x

x

x

x

x x x→ →

− + +

−=

−

− + + +=

12

1

2 3

1

1

1 1 2 3

1

8lim lim

87.

( )( )( )x x

x

x

x

x x x→ →

− +

−=

−

− + + +=

−

62

6

3 3

36

6

6 6 3 3

1

72lim lim

88.

( )( )x a x a x a

ax x

x a

ax x

x a ax x

x

x ax→ → →

−

−=

−

− +=

−

+=

−lim lim lim

2 1

2

89.

( )

( )( )( )

x

x

x x x x

x x

x

x x x x x x

→

→

+ − − − +

− +=

−

− − + − + − +=

2

2 2

2

2 2 2

2 4 2

3 2

3 2

2 1 2 4 2

3

4

lim

lim

90.

( )x x

x x

x

x

x x x→ →

+ − +=

+ + +=

0 0

1 5 1 2 3

1 5 1 2

3

2lim lim

91. ( )( )( )( )x x

x x

x x

x x x

x x x→ →

+ − +

+ − −=

− + + + −

− + + + +=

3 3

7 3 1

4 8 7 1

2 6 4 8 7 1

3 9 7 3 1

2 2

3lim lim


92.

( )

( )

( )

x

x

x

x x

x x

x x

x x x x x x

x x

x x x x x x

→

→

→

+ − −

+=

=−

+ + −

+ + − +

=

=−

+ + −

+ + − +

= =

0

23

2

0

2

2 232

23

0 232

23

8 3 2

3

8 3 2 8 3 4

3

1 8 3 2 8 3 4

3

12

1

4

lim

lim

lim

93.

( )( )( )( )x x

x

x

x x x

x x x x→ →

−

−=

− + +

− + + +=

1

4

31

3 23

4 34

1

1

1 1

1 1

3

4lim lim

94. ( )( )( )( )( )

( )x

x x x x x

x→∞

− − − − −

−=lim

1 2 3 4 5

5 15

1

55

95.

( ) ( )

( )x x

x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

→∞ →∞

→∞

− +

+=

−

+

+

=

−

+

+

=

lim lim

lim

2 3 3 2

2 1

2 3

2

3 2

2

2 1

2

13

2

3

2

1

11

2

3

2

20 30

50

20 30

50

20 30

50

30

96.

x x

x x

x

x x

x

→∞ →∞

+ −

+=

+ −

+

=lim lim33 2 3

32 1

3 2

12 1

32

1

3


97.

x

x

x→∞ +=lim 2 1

1

98.

x

x

x→∞

+

−=lim

1 4

1

2

2

99.

x

x

x→∞

+

+=lim

1 2

12

100.

x

x

x x→∞ + +=lim 33 1

1

2

101.

x

x

x

x

x

x

→∞

+ +

+

=lim1

21

2

2

2

36

24

x x x= =24 36 ( )x > 0

102.

x x

x x x

x

x x

x

→∞ →∞

+ +

+=

+ +

+

=lim lim1

11 1

11

13

103.

x x

x x x

x x

x x

x x

→∞ →∞

+ −

+ −=

+ −

+ −

= −lim lim34

2

34

21

1 11

11 1

1

104.

( )x x

x

x x x

x x

x x

x

→∞ →∞

− +

+ +=

− +

++

=−

=−

lim lim1 1

2

11

1

2

1

2

4

2

23

23 24

23 23

3

2 3

812

3

3


105.

x

x x x

x x x→∞

+ + −

+ − +=lim

5 24 2

53 2

6 3

4 7 2

−1

2

106.

x x

x

x x x xx

x x x x

x x

→∞ →∞

→∞

+ − −

=

+ + −=

+ + −

=

lim lim

lim

2

2

11

11

1

107.

( )( )( )( )( )( )

( )

x x

x

x x a x b xx a b x ab

x a b x ab x

a b x ab

a b

x

ab

x

a b a b

a b

a b

→∞ →∞

→∞

+ + − =+ +

+ + + +=

+ +

++

+ +

=

⋅ + =

∞ + >

−∞ + <

∞

lim lim

lim

2

21 1

0

0

0

ha

ha

ha

108.

x x x

x

ax

ax

x

ax a

x

a x a a→∞ →∞ →∞+

−

=+

−

=

−

+=

−lim lim lim

11

1

1

1 12 2

( )a ≠ 0

109.

x x

x

x

x

x x

x

→∞ →∞

−

−=

−

−

=lim lim3

2

36

4

8

4

18

0

110.

x x

x

x

x

x

x x x

x x x→∞ →∞−−

+

=

+ +

+ − −= ∞lim lim

3

2

2 4 3 2

3 22 4 3 2

2 4

6 2 12 8

111.

( )x

f x→∞

=lim ( )−

=−

→−∞

1

3

1

3x

f xlim


112.

( )x

f x→∞

=lim ( )−

=−

→−∞

7

6

7

6x

f xlim

113.

( )x

f x→∞

=lim ( )−

=−

→−∞

1

5

1

5x

f xlim

114.

( )x

f x→∞

=lim ( )− = −→−∞

3 3x

f xlim

115.

( )x

f x→∞

=lim ( )0 0x

f x→−∞

=lim

116.

( )x

f x→∞

=lim ( )0 0x

f x→−∞

=lim

117.

( )x

f x→∞

=lim ( )0 0x

f x→−∞

=lim

118.

( )x

f x→∞

=lim ( )0 0x

f x→−∞

=lim

119.

( )x

f x→∞

=lim ( )−∞ = ∞→−∞x

f xlim

120.

( )x

f x→∞

=lim ( )∞ = −∞→−∞x

f xlim

121.

( )x

f x→∞

=lim ( )∞ = −∞→−∞x

f xlim

122.

( )x

f x→∞

=lim ( )∞ = ∞→−∞x

f xlim

123. ( )x

f x→∞

=lim ( )∞ = ∞→−∞x

f xlim

124. ( )x

f x→∞

=lim ( )− ∞ = −∞→−∞x

f xlim

125. ( )x

f x→∞

=lim ( )− ∞ = −∞→−∞x

f xlim


126. ( )x

x

x→ −= ∞

1

3

21

lim

127. ( )( )x

x

x x→ +

+

− += ∞

1

2

1 1lim ( )( )x

x

x x→ −

+

− += −∞

1

2

1 1lim ,

határérték nem létezik.

( )( )x

x

x x→− +

+

− += −∞

1

2

1 1lim ( )( )x

x

x x→− −

+

− += ∞

1

2

1 1lim ,


128. x

x

x→− +

−

+= −∞

4

8 2

4lim x

x

x→− −

−

+= ∞

4

8 2

4lim ,

határérték nem létezik. 129. ( )

x

f x→−

+

= ∞1

lim ( )x

f x→−

−

=1

0lim ,


130. ( )( )( )

( )( )x x

f xx x

x x x→ →+ +

=+ −

− += ∞

0 0

2 1 1

1 1lim lim , ( )x

f x→

−

= −∞0

lim ,

( )x

f x→

=1

1lim . ( )x

f x→−

+

= −∞1

lim , ( )x

f x→−

−

= ∞1

lim .

Tehát a 0 és a -1 pontban nem létezik határértéke a függvénynek, az 1 pontban létezik és az 1.

131. ( )( )( )

( )( )x x

f xx x x

x x→∞ →∞

=− +

− −= ∞lim lim

1 3

1 3, ( )

x

f x→−∞

= −∞lim ,

( )x

f x→

= −1

2lim . ( )x

f x→

+

= ∞3

lim , ( )x

f x→

−

= −∞3

lim .

Tehát az 1 pontban létezik határértéke a függvénynek, a 3 pontban pedig nem létezik.

132. ( )( )( )

f xx x

=− +

1

1 1 ( )

x

f x→∞

=lim 0 ( )x

f x→−∞

=lim 0

( )x

f x→

+

= ∞1

lim , ( )x

f x→

−

= −∞1

lim , határérték nem létezik.

( )x

f x→−

+

= −∞1

lim ( )x

f x→−

−

= ∞1

lim , hatáérérték nem létezik.

133. ( )( )( )

( )( )( )f x

x x

x x x=

− −

− + +

2 3

2 2 12 ( )

x

f x→∞

=lim 0 ( )x

f x→−∞

=lim 0


( )x

f x→

=−

2

1

20lim , ( )x

f x→−

+

= −∞2

lim , ( )x

f x→−

−

= ∞2

lim .

Tehát a 2 helyen létezik határértéke a függvénynek, a -2 helyen pedig nem létezik.

134. ( )( )( )( )( )

f xx x

x x=

− +

+ +

3 3 5

2 1 5, ( )

x

f x→∞

=lim3

2, ( )

x

f x→−∞

=lim3

2,

( )x

f x→−

=5

3lim . ( )x

f x→−

+

= −∞1

lim , ( )x

f x→−

−

= ∞1

lim .

Tehát -5 pontban létezik, -1 pontban nem létezik határértéke a függvény-nek.

135. ( )x

f x→−

+

= ∞1

lim , ( )x

f x→−

−

=1

0lim , határérték nem létezik.

( )x

f x→∞

=lim 1 ( )x

f x→−∞

=lim 1

136. ( )x

f x→∞

=lim1

2 ( )

x

f x→−∞

=lim1

2

( )x

f x→

+

=0

0lim , ( )x

f x→

−

=0


137. ( )( )( )

( )f x

x x

x x=

− +

−

3 3

32 3 ( )x

f x→∞

=lim 0 , ( )x

f x→−∞

=lim 0 ,

( )x

f x→

= ∞0

lim ( )x

f x→

= ∞3

lim

138. ( )x

f x→∞

=lim 1, ( )x

f x→−∞

=lim 1,

( )x

f x→

+

=1

1

2lim , ( )x

f x→

−

=1


( )x

f x→

+

= −∞0

lim , ( )x

f x→

−

= ∞0

lim , határérték nem létezik.

77

III. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS D.3.1. Legyen f függvény az x0 pont egy környezetében értelmezve! A

( )( ) ( )

{ }( )d xf x f x

x xD D xx d fx0 0

0

00=

−

−= \

függvényt az f függvény x0 pontjához tartozó különbségihányados vagy diffe-renciahányados függvényének nevezzük. D.3.2. Az f függvényt x0 pontban differenciálhatónak nevezzük, ha az f függvény x0 -hoz tartozó differenciahányados függvényének létezik x0 -ban véges határér-téke, azaz létezik a következı véges határérték:

( ) ( )x x

f x f x

x x→

−

−0

0

0lim

Ezt a véges határértéket ( )′f x0 -lal jelöljük és a függvény x0 pontbeli differen-

ciálhányadosának nevezzük. D.3.3

Ha az f függvény x0 -ban differenciálható, akkor az ( )( )x f x0 0, ponton átmenı,

( )′f x0 iránytangenső egyenest az f függvény grafikonja x0 pontbeli érintıjé-

nek nevezzük. D.3.4. Azt a függvényt, aminek értelmezési tartománya az f értelmezési tartományának azon x0 pontjaiból áll, ahol f differenciálható és minden ilyen x0 helyen az

( )′f x0 értéket veszi fel, az f differenciálhányados függvényének nevezzük.

Jelölése: ′f , ( )′f x .

D.3.5. Az f függvényt korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete korlátos. Az értékkész-let legnagyobb alsó korlátja a függvény alsó határa - infimuma, legkisebb felsı korlátja a függvény felsı határa - szuprémuma. Amennyiben az alsó. ill. felsı határok maguk is függvényértékek, rendre az abszolút minimum, ill. abszulút


maximum elnevezést használjuk. Közös elnevezésük: az f függvény totális (abszolút) szélsıértékei. D.3.6. Az f függvénynek x0-ban helyi minimuma (maximuma) van, ha van az x0 -nak

olyan környezete, amelyben ( )f x0 a legkisebb (legnagyobb) függvényérték.

Közös elnevezésként a helyi szélsıérték kifejezést használjuk. D.3.7. Az f függvényt ( )a b, intevallumon növekvınek (csökkenınek) nevezzük, ha

minden ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )x x a b x x f x f x f x f x1 2 1 2 1 2 1 2, , ,∈ < ≤ ≥é s eseté n

teljesül. D.3.8. Az f függvényt az ( )a b, intevallumon konvexnek (konkávnak) nevezzük, ha

ehhez az intervallumhoz tartozó grafikon bármely két pontját összekötö szakasz a grafikon felett (alatt) halad. Konvex és konkáv ívek találkozási pontját inflexiós pontnak nevezzük. D.3.9. Legyen az f függvény az x0 0≠ pont egy környezetében értelmezve és

( )f x0 0≠ . Ha az f függvény differenciálható az x0 pontban, akkor az f -nek

x0 -hoz tartozó relatív differenciahányadosának x0 -ban vett határértékét az f függvény x0 helyen vett elaszticitásának (rugalmasságának) nevezzük, aminek értéke:

( )( )

( ) ( )( )

( )( )E f x

f x f x

f x

x x

x

x

f xf x

x x

0

0

0

0

0

0

00

0

: lim=

−

−= ′

→

Megadja, hogy az x -nek x0-ról történı 1%-os növekedéséhez az ( )f x0 hány %-

os változása tartozik. Ha az elaszticitás értéke negatív, akkor csökkenésrıl, ha pozitív, akkor növekedésrıl van szó.

III. Differenciálszámítás 79

TÉTELEK: T.3.1. Ha f és g differenciálható x0-ban, akkor f g f g± ⋅, függvények is differenci-

álhatók x0 -ban és f

g függvény is differenciálható x0 -ban, feltéve, hogy

( )g x0 0≠ , és differenciálhányadosukra teljesül:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

f g x f x g x

f g x f x g x f x g x

f

gx

f x g x f x g x

g x

±′

= ′ ± ′

⋅′

= ′ ⋅ + ′

′

=′ ⋅ − ′

0 0 0

0 0 0 0 0

00 0 0 0

20

T.3.2. Ha az f belsı függvény differenciálható x0 -ban és a g külsı függvény differen-

ciálható ( )f x0 -ban, akkor a ( )g f összetett függvény is differenciálható x0 -ban

és teljesül:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )g f x g f x f x′

= ′ ′0 0 0

T.3.3. Néhány elemi alapfüggvény differenciálhányadosa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x cx e e a a a xx

xx a

c c x x x x

a

′=

′=

′=

′=

′=−1 1 1

; ; ln ; ln ; logln

;

T.3.4. (L`Hospital-szabályok) Ha az f és g differenciálható x0 pont valamely környezetében, továbbá

( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g xx x x x

0 0 00 0

= = = = ∞→ →

vagy lim lim és létezik a ( )( )x x

f x

g x→

′

′0

lim

határérték, akkor ( )( )

( )( )x x x x

f x

g x

f x

g x→ →=

′

′0 0

lim lim .


T.3.5. Ha f és g differenciálható valamely ( )a,∞ intervallumon és

( ) ( ) ( ) ( )x x x x

f x g x f x g x→∞ →∞ →∞ →∞

= = ∞ = =lim lim lim limvagy 0 és létezik a

( )( )x

f x

g x→∞

′

′lim határérték, akkor ( )( )

( )( )x x

f x

g x

f x

g x→∞ →∞=

′

′lim lim .

T.3.6. Az ( )a b, -on differenciálható f függvény akkor és csak akkor növekvı (csökke-

nı) az ( )a b, -on, ha minden ( )x a b∈ , esetén ( )′ ≥f x 0 , ( ( )′ ≥f x 0 ).

T.3.7. Ha az f függvény x0-ban differenciálható és x0-ban helyi szélsıértéke van, ak-

kor ( )′ =f x0 0 .

T.3.8. Ha f függvény x0 valamely környezetében differenciálható és ( )′ =f x0 0 és x0 -

ban létezik ( )′′f x0 is, akkor ( )′′ >f x0 0 esetén f -nek x0 -ban helyi minimuma,

( )′′ <f x0 0 esetén f -nek x0-ban helyi maximuma van.

T.3.9. Az ( )a b, -on kétszer differenciálható f függvény az ( )a b, -on akkor és csak ak-

kor konvex (konkáv), ha minden ( ) ( ) ( )( )x a b f x f x∈ ′′ ≥ ′′ ≤, ,eseté n 0 0 .

T.3.10. Ha az f függvény x0 pont valamely környezetében kétszer differenciálható és

x0 -ban inflexiós pont van, akkor ( )′′ =f x0 0 .


FELADATOK 1. Határozzuk meg az alábbi függvények grafikonjai azon szelıinek irány-tangenseit, amelyek az x1 1= és x2 9= abszcisszájú pontokhoz tartoznak!

a) ( )f x x= log3 b) ( )f x x= c) ( )f xx

=1

d) ( )f x ex= −

2. Mutassuk meg, hogy az ( )f x x= 2 függvény differenciálható a 3, 5, 7

pontokban és a ∈R (tetszılegesen rögzített) helyen! 3. Az értelmezési tartományuk mely pontjaiban differenciálhatók az alábbi függvények? Határozzuk meg a differenciálhányados függvényeket is!

a) ( )f x x= 2 b) ( )f x x= 3 c) ( )f xx

=1

d) ( )f x x=

e) ( )f x x= 3

4. Adjuk meg az ( )f x x= függvény differenciálhányados függvényét!

5. f legyen a valós számok halmazán kétszer differenciálható páros függ-vény. Mit állíthatunk ′f és ′′f függvényekrıl paritás szempontjából? 6. Határozzuk meg a következı függvények grafikonjai x0 5= abszcisszájú

pontjaihoz tartozó érintık iránytangenseit, majd az ( )( )x f x0 0, ponthoz tartozó

érintık egyenletét!

a) ( )f x x x= − +2 8 16 b) ( )f x x= −2 1 c) ( )f xx

=−

1

6

Deriváljuk a következı függvényeket: I. Hatványfüggvények

7. ( )f x = x x x+ + 3 8. ( )f x =1 1 1

3x x x+ +

9. ( )f x = xx

23 2− 10. ( )f x =

520 100 4 310

x+ − ⋅lg


11. ( )f x =x

x

7

57

1

5− 12. ( )f x =

1 3

xx

13. ( )f x = x 14. ( )f x = x 23

15. ( )f x = xx

x1

16. ( )f x =5

4

x x

x

17. ( )f x =3 13

65

x x

x

−

18. ( )f x = 53 28

2xx x x

− +

19. ( )f x =3 4 2

2

3 2

2

x x x x

x

− − 20. ( )f x = x x

x

3 1− +

21. ( )f x = ( )x x x2 33−

II. Szorzat- és hányadosfüggvények

22. ( )f x =6 3

4 3

x

x

+

− 23. ( )f x =

1

2 5x +

24. ( )f x =x x

x x

2

2

3 5

2 7 2

+ −

+ − 25. ( )f x = ( )e x x

x 2 2 2− +

26. ( )f x = xe x 27. ( )f x = ( )( )5 3 4 2− +x x

28. ( )f x =x

x2

2

1

2ln −

29. ( )f x = ( )( )( )1 1 12 3− − −x x x

30. ( )f x = ( )( )( )a x b x c x+ + +3 2 31. ( )f x =1

23

+

+

e

x

x

x

32. ( )f x =( )

( )( )x x

x x x

+

− + +

1

1 12 33. ( )f x = x x55

34. ( )f x = ln1

x 35. ( )f x = x xln

36. ( )f x =ln x

x

III. Összetett függvények

37. ( )f x = x x+ 38. ( )f x = 1 235 + x


39. ( )f x = ( )x + 24

40. ( )f x = ( )x x3 3

23 +

41. ( )f x = ( )3 5 5 12 24x x+ + 42. ( )f x = e x2 3+

43. ( )f x = 32 6 4

ex x− + − 44. ( )f x = e

x 2

45. ( )f x = ( )ee

x

46. ( )f x = eex

47. ( )f x = e

x

x

+

−

1

1 48. ( )f x = 23 3x x+

49. ( )f x = e ex x− + 50. ( )f x = ( )ln 1 2− x

51. ( )f x = ( )ln ln x 52. ( )f x = ln 3 12x +

53. ( )f x = ( )ln x x2 2

1+ + 54. ( )f x = ( )2 13 4x +

55. ( )f x =1

1

2

2

− +

+ +

x x

x x 56. ( )f x = ln

1

1− x

57. ( )f x = ln1

1

+

−

e

e

x

x 58. ( )f x = 1 13+ + x

59. ( )f x =1

2 6

3 2

3 2ln

x

x

−

+

IV. Vegyes feladatok

60. ( )f x = x x x+ + 61. ( )f x = 1 1 333 + + x

62. ( )f x = ( ) ( )1 5 2 2 13 3+ − + +x x x x 63. ( )f x =

( )x

x

2

2

1

1

+

−

64. ( )f x =x e

ex

2 23 12

ln + +−

65. ( )f x = ln1

1

+

−

x

x

66. ( )f x = ( )ln x x+ +2 4 67. ( )f x = lnx

x2 1+

68. ( )f x = 51

4

2

2ln

−

+

x

x 69. ( )f x =

( )ln e

e

x

x

2

1

12

+

+


70. ( )f x =ln

1

12

x

x + 71. ( )f x = ln

e

e

x

x

2

21+

72. ( )f x =1

2

2

2πe

x 73. ( )f x =

( )2

5

3

2 4

x

x+

74. ( )f x =

( )1

1 12 2+ + +x x x 75. ( )f x = ( )x x xln2 21+ +

76. ( )f x =1

21

1− −e x

77. ( )f x =e e

e e

x x

x x

2 2

2 2

+

−

−

−

78. ( )f x = 1 42+ ⋅ ⋅e ex

x

xlog 79. ( )f x = x

xx

−

−

11

Az alábbi függvények deriválásakor -amennyiben szükséges- használjuk az

( ) ( )f x

g x= ( ) ( )

eg x f xln ( )( )f x > 0 átalakítást!

80. ( )h x = x x 81. ( )h x = e e xx e ee x e

+ +

82. ( )h x = e x xx e xx x e

+ + 83. ( )h x = xx

A következı határértékek kiszámításához használjuk a L`Hospital-szabályt! (Elıször vizsgáljuk meg, teljesülnek-e a L`Hospital-szabály feltételei, ha szorzat-függvény határértékét kell megadni, írjuk át a függvényt két olyan függvény há-nyadosának alakjára, amelyekre teljesülnek a szabály feltételei!)

84. x

x x

x x x→

− +

− − +2

2

3 2

5 6

2 2lim 85. x

m

n

x

x→

−

−1

1

1lim

86. x

x xe e

x→

−−

0lim 87.

x

x

x→∞lim

ln

88. x

x x→ +0

lim ln 89. x

xxe

→∞

−lim

90. x

xx e→0

21

2

lim 91. x x x→

−−

1

1 1

1lim ln

92. ( )x x x→ + −

−−

2

1

2

1

1lim ln 93.

x

xx

→ +0lim


94. ( ) ( )

x

x xx e e

x→

+ − −

03

1 2 1lim 95.

xx

x x

e e→

− +

−1

2 1lim

ln

96. x

x

x

xe

x e→∞ +lim2

97. ( )x

x xe e

x→

−−

+0 1lim ln

Függvénydiszkusszió A függvénydiszkusszió alapsémája I. a) Értelmezési tartomány meghatározása (ha nem jelzik) b) Tengelymetszetek, jeltartás vizsgálata c) Paritás, periodicitás vizsgálata d) Határértékek megadása ±∞ -ben, vagy az értelmezési tartomány végpontjaiban, valamint a szakadási helyeken. II. e) Differenciálhatósági halmaz megadása f) Monotonitás, helyi szélsıérték vizsgálata III. g) Konvexitás, inflexiós pont vizsgálata IV. h) A függvény grafikonjának felvázolása V. i) A függvény abszolút szélsıértékeinek megadása, értékkészletének megadása. Végezzük el a következı függvények vizsgálatát a fenti séma alapján!

98. ( )f x = 3 3x x− 99. ( )f x = ( )( )x x+ −1 2

2

100. ( )f x = 2 2 4x x− 101. ( )f x = 2 3 13 2

x x− +

102. ( )f x = x x x3 24 4− + 103. ( )f x = x x

4 25 4− +

104. ( )f x = x x x3 26 9 1− + − 105. ( )f x =

( )x

x

4

31+

106. ( )f x =( )

( )

x x

x

2

2

1

1

−

+ 107. ( )f x =

2

1 2

x

x+

108. ( )f x = 3 5 45 4x x− + 109. ( )f x = x

x+

1

110. ( )f x =1

2

− x

x 111. ( )f x =

x

x

2

1−


112. ( )f x =1

1 2− x 113. ( )f x =

x

x2 1−

114. ( )f x =6

13

x

x + 115. ( )f x = ex

1

116. ( )f x =x

x x

2

2 2 1− + 117. ( )f x =

( )x

x

−

+

1

1

2

2

118. ( )f x = xe x 119. ( )f x = xe x−

120. ( )f x =ln x

x 121. ( )f x = x xln

122. ( )f x = x x2 ln 123. ( )f x =

( )x

e xx −1

124. ( )f x =( )

x

x

3

22 1+

Görbe érintıjére vonatkozó feladatok Határozzuk meg a következı függvények grafikonjainak a) az y = 0 ordinátájú pontjához (pontjaihoz) tartozó érintı (érintık) egyen-letét (egyenleteit)! b) Hány fokos szögek alatt metszi az x tengelyt a függvény görbéje?

125. ( )f x = ( )( )x x x− − −1 2 32 126. ( )f x =x

x

−

+

1

12

127. ( )f x = ( )ln 3 − x 128. ( )f x = e x2 1−

129. Határozzuk meg az ( )f x x x= − +2 3 1 függvény grafikonjának x = 2

abszcisszájú pontjához húzott érintı egyenletét! Mekkora területő háromszöget alkot ez az egyenes a tengelyekkel?

130. Mutassuk meg, hogy az ( )f xx

x=

−

−

4

2 függvény grafikonjának a koordi-

nátatengelyekkel alkotott metszéspontjaiba húzott érintıi párhuzamosak egymás-sal!


131. Legyen ( )f x x x= − +3 1 . Határozzuk meg a függvénygrafikon azon

pontjainak koordinátáit, ahová húzott érintık párhuzamosak az y x= −2 1 egyen-lető egyenessel! 132. Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely az y x x= − +2 5 2 egyenlető parabolát érinti és átmegy a ( )0 2,− koordinátájú pon-

ton!

133. Milyen szög alatt metszi egymást az y x= −41

22 egyenlető parabola és az

y x= − + 4 egyenlető egyenes? 134. Az ( )f x x x x= − − +2 9 23 1123 2 függvény grafikonjának mely pontjaihoz

húzott érintık zárnak be 45o-os szöget az x tengellyel?

135. Milyen szög alatt metszi az yx

=1

egyenlető hiperbola az y x= 2 egyenle-

tő parabolát? Szöveges szélsıértékfeladatok 136. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, ami átmegy a ( )P 2 4, ponton

és a koordináta-tengelyek pozitív oldalaival a legkisebb területő háromszöget zárja közre! 137. Egy adott termék termelési költsége a termelt mennyiség függvényében:

( )K x x x x= − + +0 1 50 1003 2, .

Állapítsuk meg, hogy mekkora termelés esetén lenne az egységre esı átlagkölt-ség minimális! 138. Fejezze ki a ( )p x x= −60 0 015, valamely árucikk egységárának alakulá-

sát a kínált mennyiség függvényében! Mennyit kell az árucikkbıl eladni, hogy maximális árbevételhez jussunk? 139. Valamely termék kg-ban kifejezett kereslete és annak p Ft-os egységára között az ( )f p p= − +2 180 összefüggés áll fenn.


a) Hány Ft-os egységár mellett lenne az árbevétel maximális, és hány Ft ez a maximum? b) Mekkora kereslet tartozik ehhez az egységárhoz?

140. Valamely termék nyereségfüggvénye: ( )N x x x= − + −4 250 2702 , költ-

ségfüggvénye: ( )K x x= +70 2 . Határozzuk meg, milyen x mellett vesz fel ma-

ximális értéket az árbevétel függvénye!

141. Valamely árucikk iránti keresletet az ( )f x e

x

=− +

1008 keresleti függvény

fejezi ki, ahol x az egységárat, ( )f x pedig a hozzá tartozó keresletet jelenti.

a) Milyen egységár mellett maximális az árbevétel? b) Mekkora az ehhez tartozó kereslet?

Elaszticitás 142. Valamely árucikk iránti keresletet az x egységártól függıen az

( )f xx

x=+

>250

180 függvény írja le. Állapítsuk meg, hogy hány %-kal csök-

ken a kereslet, ha a cikk árát p = 7-rıl 1%-kal megnöveljük!

143. Tekintsük az ( )f xx

=+

1

1 keresleti függvényt az 1 6, -ban. Határozzuk

meg a hozzá tartozó elaszticitásfüggvényt, és annak értékkészletét!

89

III. DIFFERENCIÁLSZÁMITÁS - MEGOLDÁSOK 1.

a) tgα =−

−=

log log3 39 1

9 1

1

4

b) tgα =−

−=

9 1

9 1

1

4

c) tgα =−

−= −

19

1

9 1

1

9

d) tge e

α =−

−

− −9 1

9 1

2.

( )x x

x

xx

→ →

−

−= + =

3

2

3

9

33 6lim lim

( )x x

x

xx

→ →

−

−= + =

5

2

5

25

55 10lim lim

( )x a x a

x a

x ax a a

→ →

−

−= + =lim lim

2 2

2

3. a) ( )′ =f x x2 , lásd 2. feladat.

b) Legyen x0 ∈R tetszılegesen rögzített. Megmutatjuk, hogy x0 -ban dif-ferenciálható a függvény.

( )x x x x

x x

x xx xx x x

→ →

−

−= + + =

0 0

30

3

0

20 0

20

23lim lim , tehát ( )′ =f x x3 2

c)( )x x x x

x x

x x

x x

xx x x x→ →

−

−=

−

−=

−

0 0

1 110

0

0

0 0 02lim lim , ha x0 0≠ . Tehát

( )′ =−

≠f xx

x1

02

d) Legyen x 0 tetszıleges pozitív valós szám!


( )( )

( )

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x x

→ →

→

−

−=

−

− +=

=+

=

0 0

0

0

0

0

0 0

0 0

1 1

2

lim lim

lim (ha x0 0≠ ).

A függvény a 0 pontot kivéve, az értelmezési tartományának minden pontjában differenciálható.

A fentiekbıl következıen ( )′ = ≠f xx

x1

20

e) ( )x x x x

x x

x x

x x

x x x xx x x→ →

−

−=

−

− + −

=0 0

30

3

0

30

3

30

3 230

30

230

23

1

3lim lim , ha

x0 0≠ . Tehát ( )′ = ≠f xx

x1

30

23

4.

f'(x)=1 0

1 0

ha x

ha x

>

− <

Az f függvény x0 0= -ban nem differenciálható, mivel a két féloldali dif-ferenciálhányados nem egyenlı.

x x

x

x

x

x→ →+ −

−

−=

−

−= −

0 0

0

01

0

01lim lim

5. Ha ( ) ( )f x f x= − minden x-re, akkor ( ) ( )′ = − ′ −f x f x az összetett

függvény differenciálási szabálya alapján. Ez pedig éppen azt jelenti, hogy ′f függvény páratlan . Hasonlóan látható be, hogy páratlan függvény deriváltja páros.

6. a) ( ) ( ) ( )P f x x f y x5 1 2 8 5 2 2 9; ′ = − ′ = = −

b) ( ) ( ) ( )P f xx

f y x5 31

2 15

1

3

1

3

4

3; ′ =

−′ = = +

c) ( ) ( )( )

( )P f xx

f y x5 11

65 1 4

2; ,− ′ =

−

−= − = − +

III. Differenciálszámítás - Megoldások 91

7.

( )′ =f x 11

2

1

3 23+ +

x x

8.

( )′ =f x−

− −1 1

2

1

32 3 43x x x

9.

( )′ =f x2

3

13 3x x

+

10.

( )′ =f x−5

2x

11.

( )′ =f x xx

66

1+

12.

( )′ =f x xx

−

′

=−

1

3

43

1

3

13.

( )′ =f x1

8 78x

14.

( )′ =f x1

3 23x

15.

( )′ =f x3

8 58x

16.

( )′ =f x25

44 x

17.

( )′ =f x−8

5 2315x


18.

( )′ =f x 406 37

3 5x

x x+ −

19.

( )′ =f x3

22

9

4

10

3

1

2

3

2

5

3

5 83x x x

x x x

− −

− −

′

=−

+ −

20.

( )′ =f x − +

′

=−

−−

x xx x

5

6

1

66 76

5

6

1

6

21.

( )′ =f x x x x x

52 5 3 43

5

215−

′

= −

22.

( )′ =f x( ) ( )

( ) ( )

6 4 3 6 3 4

4 3

30

4 32 2

x x

x x

− − +

−=

−

−

23.

( )′ =f x( )

−

+

2

2 52

x

24.

( )′ =f x( )( ) ( )( )

( ) ( )2 3 2 7 2 3 5 4 7

2 7 2

16 29

2 7 2

2 2

2 2

2

2 2

x x x x x x

x x

x x

x x

+ + − − + − +

+ −=

+ +

+ −

25.

( )′ =f x ( ) ( )e x x e x e xx x x2 22 2 2 2− + + − =

26.

( )′ =f x ( )1+ x ex

27.

( )′ =f x − + −9 10 122x x

28.

( )′ =f x x xx

xx xln ln−

+ ⋅ =

1

2 2

12


29.

( )′ =f x ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )1 1 1 1 1 12 3 2 3− −′⋅ − + − − ⋅ −

′=x x x x x x

( )( ) ( )( ) ( )( )= − − − + − − + − − =

= − + + − −

1 1 2 1 1 3 1 1

6 5 4 2 1

2 3 3 2 2

5 4 3

x x x x x x x x

x x x x

30.

( )′ =f x ( )( ) ( )( ) ( )( )3 22 2 3 3 2x b x c x x a x c x a x b x+ + + + + + + +

31.

( )′ =f x

( ) ( )

( )

e x ex

x

x x x x

x

3

23

32

2 11

32 2

2

+ − + +

+

ln

32.

( )′ =f x( )( ) ( )

( )2 1 1 3

1

3 2 2

3 2

x x x x x

x

+ − − +

−

33.

( )′ =f x 5 5 5 54 5x x

x x+ ln

34.

( )′ =f x−1

2x

35.

( )′ =f x ln x +1

36.

( )′ =f x1

2

− ln x

x

37.

( )′ =f x ( )1

21

1

2

11

2

2

1

2x xx

x

x x+ +

=

+

+

−

38.

( )′ =f x ( )1

51

2

323

45

3+ ⋅

−

xx


39.

( )′ =f x ( )( )

4 21

2

2 23

3

xx

x

x+ ⋅ =

+

40.

( )′ =f x ( )2

33

3

2

22

3 3

1

3 212

2

3 33x x x x

xx

x x

+ ⋅ +

=

+

+

−

41.

( )′ =f x ( ) ( )( )

6 3 5 5 1 3 510

4 5 1

24 2

2 34

x x xx

x

+ + + +

+

42.

( )′ =f x 2 2 3e x +

43.

( )′ =f x ( )3 2 62 6 4

e xx x− + − − +

44.

( )′ =f x 22

xe x

45.

( )′ =f x ( )e e e eex ex ex

′= ⋅ = +1 vagy ( ) ( )e e e e e e

ex

ex

e ex ex

′

= = ⋅ = +ln 1

46.

( )′ =f x e ee xx

⋅

47.

( )′ =f x( )

e ex

x x1

2

11

2

12

2

1

+−

+−

′

= ⋅−

−

48.

( )′ =f x 2 2 31

3

3

23

3x x

x

+ ⋅ +

ln

49.

( )′ =f x − +−e

xe

x x1

2


50.

( )′ =f x−

−

2

1 2

x

x

51.

( )′ =f x1

x xln

52.

( )′ =f x ( )1

23 1

3

3 12

2ln x

x

x+

′

=+

53.

( )′ =f x ( )( )2 14 2

12

2ln x xx

x x+ +

′=

+

+ +

54.

( )′ =f x ( ) ( )4 2 1 2 3 2 12 2 2 2 13 3 3 3 3 3x x x x+ = ⋅ +ln ln

55.

( )′ =f x( )( ) ( )( )

( )1

2

1

1

2 1 1 1 2 1

1

2

2

2 2

2 2

+ +

− +⋅

− + + − − + +

+ +

x x

x x

x x x x x x

x x

56.

( )′ =f x1

1− +x

57.

I. megoldás ( )′ =f x( ) ( )

( )ln

1

1

1

1

1 1

1

2

12 2

+

−

′

=−

+⋅

− + +

−=

−

e

e

e

e

e e e e

e

e

e

x

x

x

x

x x x x

x

x

x

II. megoldás ( )′ =f x ( ) ( )( )ln ln1 11 1

2

1 2+ − −′

=+

+−

=−

e ee

e

e

e

e

e

x xx

x

x

x

x

x

58.

( )′ =f x

( )

1

2 1 1

1

3 13 23+ +⋅

+x x

59.

( )′ =f x

( )( ) ( )

( )3 2

2 6 3 2

3 3 2 3 2 3

3 2

1

3 22 2

x

x

x x

x x

+

−⋅

+ − −

+=

−


60.

( )′ =f x1

21

1

21

1

2x x x x x x+ +

++

+

61.

( )′ =f x

( )1

3 1 1

1

3 1

1

3332

33

23

23

+ +

⋅

+

⋅

x x x

62.

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

′ = − + + +−

+ + + +

+ + + + + −

f x x x xx

x x x

x x x x x

5 2 2 15

2 5 21 2 1

3 2 1 3 2 1 5 2

3 3 3 3

3 2 2

63.

( )′ =f x

( ) ( )

( ) ( )

2 1 12

2 11

2 1

1

3

1

2 2

2

2

2 3

2 3

3

2 3

x x xx

x

x

x x x x

x

x x

x

− − +−

−

−=

− + +

−

=− +

−

64.

( )( )( )

( )( )( )

′ =+ + +

=

=+ + +

− −

−

−

f xe x e x x e

e

x x e

e

x

x x

x

x

2 2

2

2

2 3 2 3 1

2 1 3 1

2 2

2

2 2

ln ln

ln

65.

( )′ =f x ( ) ( )( )1

21 1

1

2

1

1

1

1

1

1 2ln ln+ − −

′

=+

+−

=

−x x

x x x

66.

( )′ =f x1

41

2

2 4

1

42 2 2x x

x

x x+ ++

+

=

+

67.

( )′ =f x ( )ln lnx xx

x

x x x− +

′

= −+

=+

1

21

1

1

122 3


68.

( )′ =f x ( ) ( )( )( )5 1 4 52

1

2

4

50

3 42 2

2 2 4 2ln ln− − +′

=−

−−

+

=

−

− − +x x

x

x

x

x

x

x x

69.

( )′ =f x( )

( )( )2

11 2

21

2 12

21 2 1

12

2

22

1

2 2

22

e

ee e e x

e

e

ex e

e

x

x

x x x

x

x

x

x

x

+− +

= +− ++ +

+ +

ln ln

70.

( )′ =f x

x

xx

x

x

x

2

2

2

1 2

2 11

+

−+ ⋅

+

+

ln

71.

( )′ =f x ( )( )1

21

1

22

2

1

1

12 2

2

2 2ln lne ee

e e

x xx

x x− +

′

= −+

=

+

72.

( )′ =f x−

−x

e

x

2

2

2

π

73.

( )′ =f x( ) ( )

( )( )

( )6 5 2 4 5 2

5

10 3

5

2 2 4 3 2 3

2 8

2 2

2 5

x x x x x

x

x x

x

+ − +

+=

−

+

74.

( )′ =f x

( )( )( )

−+

+ + + + ++

+ + +

2

2 11 1 1

1

1 1

2

2 2

2

2 22

x

xx x x

x

x

x x x

=

( )−

+

1

1 23

2x

75.

( )′ =f x ( ) ( )ln ln2 2 22

21 2 1

11

1x x x x x

x

x

x x+ + + + + ⋅

++

+ +=

= ( )( )

lnln

2 2

2

21

2 1

1x x

x x x

x

+ + ++ +

+


76.

( )′ =f x

( )

e

x e

x

x

1

1

21

1

2

1 2

−

−− −

77.

( )′ =f x

( )1

2 82

2 2 2 2 2+−

′

=−

−

−

− −

e

e e e e

x

x xx x

78.

( )′ =f xe

e x

e

x xe

x

x

x

x x xx x

2

2

2

22

1

4 4 11 4

4

+⋅ −

++ +

ln ln

ln

ln

logln

ln lnx ee

x x= =

1

79.

( )′ =f x

( )1

11

1

2

1

2

2

4 2

2 2++

−

=− +

−

x

xx

x x

x

80.

( )′ =f x ( ) ( ) ( )x e x xx x x x

′=

′= +ln ln 1

81.

( )′ =f x e ex e e e xx e e x e ee x e− −+ +1 1

82.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )′ =′

+′

+′

= + +

+ +

+ +

−

f x e x e e e x x

x e xx

x ex xx

x

x x e x x x x x

e x x ee

x x e x

x e

ln ln ln

ln ln

1

1 1

83.

( )′ =f x e xx

xx

xx

1

2

1ln ln

′

=−


84.

x x

x x

x x x

x

x x→ →

− +

− − +=

−

− −=

−

2

2

3 22

2

5 6

2 2

2 5

3 4 1

1

3lim lim

85.

x

m

nx

m

n

x

x

mx

nx

m

n→ →

−

−

−

−= =

1 1

1

1

1

1lim lim

86.

( )x

x x

x

x xe e

xe e

→

−

→

−−= + =

0 0

2lim lim

87.

x x

x

x x→∞ →∞

= =lim limln 1

0

88.

( )x x x x

x xx

x

x

x

x→ → → →

−

+ + + +

= =−

= − =0 0 0

20

1

1

10lim lim lim limln

ln

89.

x

x

xx

xx

xex

e e→∞

−

→∞ →∞

= = =lim lim lim1

0

90.

x

x

x

x

x

x

x

xx ee

x

xe

x

e→ → → →

= =

′

′= = ∞

0

21

0

1

20

2

1

2

0

12

2

2

2

1

1

1lim lim lim lim

91.

( )x x x

x x

x x

x x

x x

x

xx

x

x

x x x x

→ → →

→ →

−−

=

− −

−=

−

+−

=

=−

+ −=

+=

1 1 1

1 1

1 1

1

1

1

11

1

1

1

1

2

1

2

lim lim lim

lim lim

ln

ln

ln ln

ln ln


92.

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x x x

x x

x x

x x

x x

x

xx

x

x

x x x x

→ → →

→ →

+ + +

+ +

−−

−

=

− − +

− −= −

−

− +−

−

=

=−

− − + −=

−

− +=

−

2 2 2

2 2

1

2

1

1

1 2

2 1

11

1

121

2

1 1 2

1

1 2

1

2

lim lim lim

lim lim

ln

ln

ln ln

ln ln

93.

x

x

x

x xx e→ →+ +

−

= =0 0

1lim lim ln (lsd. 88. feladat)

94.

( ) ( ) ( )x

x x

x

x

x

xx e e

x

e x

x

xe

x→ → →

+ − −=

− += =

03

02

0

1 2 1 1 1

3 6

1

6lim lim lim

95.

xx

xx

x x

e e

xx

e e→ →

− +

−=

+=

1

2

1

1 21

3lim lim

ln

96.

x

x

xx

x

xx

xx

x

xe

x e

xe

e

x

e e→∞ →∞ →∞ →∞

+

+=

+

+=

+

= =lim lim lim lim2

2

2 2

22

1

44 1

2

0

97.

( )x

x x

x

x xe e

x

e e

x→

−

→

−−

+=

+

+

=0 01 1

1

2lim limln

Megjegyzés:

A 105.-124. feladatok táblázataiban szerepelnek a függvények szakadási helyei, mégpedig úgy, hogy a szakadási hely oszlopa üresen marad.


98.

( )f x x x= −3 3 , D f = R , ( ) ( )( )′ = − +f x x x3 1 1 , ( )′′ = −f x x6

x<-1 x=-1 -1<x<0 x=0 0<x<1 x=1 1<x ′f - 0 + + + 0 - ′′f + + + 0 - - -

f konvex csökkenı

helyi min. f(-1) = -2

konvex növekvı

infl. pont

f(0) = 0

konkáv növekvı

helyi max.

f(1) =2

konkáv csökkenı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= −∞ = ∞lim lim , R f = R A függvény páratlan.

Megjegyzés: ha a függvény páros vagy páratlan, vizsgálatát elegendı vagy csak a nemnegatív, vagy csak a nempozitív valós számok halmazán elvégezni. A többi feladatnál, ha a függvény páros, vagy páratlan, a táblázatba csak a leszőkített halmazon történı vizsgálat kerül.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

98. feladat ábrája 99. feladat ábrája


99.

( ) ( )( )f x x x= + −1 22, D f = R , ( ) ( )′ = −f x x x3 2 , ( ) ( )′′ = −f x x6 1

x<0 x=0 0<x<1 x=1 1<x<2 x=2 2<x ′f + 0 - - - 0 + ′′f - - - 0 + + +

f konkáv növekvı

h. max. f(0) = 4

konkáv csökkenı

infl. pont f(1) = 2

konvex csökkenı

h.min. f(2) = 0

konvex növekvı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= ∞ = −∞lim lim , R f = R

100.

( ) ( )( ) ( ) ( )( )f x x x x D f x x x xf= − + = ′ = − +2 2 2 4 1 1, ,R,

( ) ( )( )′′ = − +f x 4 1 3 1 3

A függvény páros.

0 (0,

3

3)

3

3 (

3

3,1)

1 (1,∞)

′f 0 + + + 0 - ′′f + + 0 - - -

f h. min.: 0 konvex növekvı

inflexiós

pont: 5

9

konkáv növekvı

helyi és egy-ben abszolút maximum: 1

konkáv csökkenı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= −∞ = −∞lim lim , ( ]R f = −∞,1

101.

D f = R , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x x f x x x f x x= − +

′ = − ′′ = −2 1

1

26 1 6 2 1

2

(-∞,0) 0 (0;0,5) 0,5 (0,5;1) 1 (1,∞) ′f + 0 - - - 0 + ′′f - - - 0 + + +

f konkáv növekvı

h. max.: 1

konkáv csökkenı

infl. pont: 0,5

konvex csökkenı

h. min.: 0

konvex növekvı


( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= ∞ = −∞lim lim , R f = R

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

100. feladat ábrája 101. feladat ábrája 102.

D f = R ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x x f x x x f x x= − ′ = − −

′′ = −2 3 2

2

36 8

2, ,

(-∞,

2

3)

2

3 (

2

3,4

3)

4

3 (

4

3,2)

2 (2,∞)

′f + 0 - - - 0 + ′′f - - - 0 + + +

f konkáv növekvı

helyi max. konkáv csökkenı

infl. pont konvex csökkenı

helyi min.

konvex növekvı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= ∞ = −∞lim lim , R f = R


-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-1 0 1 2 3 4 5

y

x

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x


D f = R ( ) ( )( )( )( ) ( )f x x x x x f x x x x= − + − + ′ = −

+

1 1 2 2 4

10

2

10

2

( )′′ = −

⋅ +

f x x x12

30

6

30

6

A függvény páros. 0

(0,30

6)

30

6 (

30

6,

10

2)

10

2 (

10

2,∞)

′f 0 - - - 0 + ′′f - - 0 + + +

f helyi max. 0

konkáv csökkenı

inflexiós pont

konvex csök-kenı

helyi és absz. mim.

konvex növekvı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= ∞ = ∞lim lim , R f = − ∞

9

4,


104. D f = R ,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x x x x f x x x f x x= − + − ′ = − − ′′ = −3 26 9 1 3 1 3 6 2

(-∞,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3 (3,∞) ′f + 0 - - - 0 + ′′f - - - 0 + + +

f konkáv növekvı

helyi max.

konkáv csökkenı

infl. pont konvex csökkenı

helyi min.

konvex növekvı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= ∞ = −∞lim lim , R f = R

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-1 0 1 2 3 4 5

y

x

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4

y

x



105.

{ }D f = R \ -1 , ( )( )

f xx

x=

+

4

31

( )( )

( )′ =

+

+f x

x x

x

3

4

4

1

( )( )

′′ =+

f xx

x

12

1

2

5

x < -4 x = -4 -4 <x < -1 x = -1 -1<x<0 x = 0 0 < x ′f + 0 - - 0 + ′′f - - - + 0 +

f konkáv növekvı

helyi max.

( )f − =−

4256

27

konkáv csökkenı

konvex csökkenı

helyi min. f(0)=0

konvex növekvı

( ) ( ) ( ) ( )x x x x

ff x f x f x f x R→∞ →−∞ →− →−

= ∞ = −∞ = ∞ = −∞ =−

+ −lim lim lim lim \ ,

1 1

256

270R

106.

{ }D f = R \ -1 ,

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

f xx x

xf x

x x x

xf x

x

x=

−

+′ =

+ −

+′′ =

−

+

2

2

2

3 4

1

1

3 2

1

2 5 1

1

(- ∞ ;17 3

2

+

−)

17 3

2

+

− (

17 3

2

+

−,-1)

-1 (-1,0) 0

′f + 0 - + 0 ′′f - - - - -

f konkáv növekvı

helyi max. konkáv csökkenı

konkáv növekvı

max.

(0;1

5)

1

5 (

1

5,

4

17 3+)

0,56 x>0,56

′f - - - 0 +

′′f - 0 + + +

f konkáv csökkenı

inflexiós pont

konvex csökkenı

helyi min.

konvex növı


( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= ∞ = −∞lim lim , ( )x

f x→−

= −∞1

lim , R f = R

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4

y

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -2,5 0 2,5 5

y

x

106. feladat ábrája 107. feladat ábrája 107. D f = R ,

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )( )

f xx

xf x

x x

xf x

x x x

x=

+′ =

− − +

+′′ =

− +

+

2

1

2 1 1

1

4 3 3

12 2 2 3

A függvény páratlan.

0 (0,1) 1 (1, 3 ) 3 ( 3 , ∞) ′f + + 0 - - - ′′f 0 - - - 0 +

f inflexiós pont

konkáv növı

helyi és absz. max.

konkáv csökkenı

inflexiós pont

konvex csök-kenı


( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= =lim lim0 0 R f = −1 1,

108. D f = R , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x x f x x x f x x x= − + ′ = − ′′ = −4 3 23 5 4 5 3 4 60 1

(-∞,0) 0 (0,1) 1

(1,4

3)

4

3 (

4

3,∞)

′f + 0 - - - 0 + ′′f - 0 - 0 + + +

f konkáv növekvı

helyi max.

konkáv csökkenı

infl. pont

konvex csökkenı

helyi min. konvex növekvı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= ∞ = −∞lim lim , R f = R

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-3 -1 1 3

y

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -2,5 0 2,5 5

y

x



109.

{ }D f = R \ 0 , ( ) ( )( )( )

( )f x xx

f xx x

xf x

x= + ′ =

− +′′ =

1 1 1 22 3

A függvény páratlan.

(0,1) 1 (1, ∞) ′f - 0 + ′′f + + +

f konvex csökkenı helyi minimum konvex növekvı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= ∞ = −∞lim lim , ( ) ( )x x

f x f x→ →+ −

= ∞ = −∞0 0

lim lim ,

( )R f = −R \ 2 2,

110.

{ }D f = R \ 0 , ( ) ( ) ( )( )

f xx

xf x

x

xf x

x

x=

−′ =

−′′ =

− −1 2 2 32 3 4

(- ∞ ,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3, ∞) ′f + - 0 + + + ′′f + + + + 0 -

f konvex növekvı

konvex csökkenı

helyi és absz. min.

konvex növekvı

inflexiós pont

konkáv növekvı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= =lim lim0 0 , ( )x

f x→

= ∞0

lim , R f = − ∞

1

4,


-1

1

3

5

7

9

-5 -3 -1 1 3 5

y

x

-10

-6

-2

2

6

10

-5 -3 -1 1 3 5

y

x


{ }D f = R \ 1 ( ) ( )( )

( )( )

( )f x

x

xf x

x x

xf x

x=

−′ =

−

−′′ =

−

2

2 31

2

1

2

1

(-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,∞) ′f + 0 - - 0 + ′′f - - - + + +

f konkáv növekvı

helyi max.

konkáv csökkenı

konvex csökkenı

helyi min.

konvex növekvı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= ∞ = −∞lim lim , ( ) ( )x x

f x f x→ →+ −

= ∞ = −∞1 1

lim lim ,

( )R f = R \ 0 4,


112.

{ }D f = ±R \ 1 , ( ) ( )( )

( )( )

( )f x

xf x

x

xf x

x

x=

−′ =

−′′ =

− +

−

1

1

2

1

2 3 1

12 2 2

2

2 3

A függvény páros.

0 (0,1) 1 (1, ∞) ′f 0 + + ′′f + + -

f helyi minimum

konvex növekvı

konkáv növekvı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= =lim lim0 0 , ( ) ( )x x

f x f x→ →+ −

= −∞ = ∞1 1

lim lim ,

( ) ( )x x

f x f x→− →−+ −

= ∞ = −∞1 1

lim lim , [ )R f = R \ 0 1,

-5

-3

-1

1

3

5

-5 -3 -1 1 3 5

y

x

-5

-3

-1

1

3

5

-3 -1 1 3

y

x



113.

{ }D f = ±R \ 1 ,

( )f xx

x=

−2 1 ( )

( )( )

′ =− +

−f x

x

x

2

2 2

1

1 ( )

( )( )

′′ =+

−f x

x x

x

2 3

1

2

2 3

A függvény páratlan. 0 (0,1) 1 (1, ∞)

′f - - - ′′f 0 - +

f inflexiós pont

konkáv csökkenı

konvex csökkenı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= =lim lim0 0 , ( ) ( )x x

f x f x→ →+ −

= ∞ = −∞1 1

lim lim ,

( ) ( )x x

f x f x→− →−+ −

= ∞ = −∞1 1

lim lim , R f = R

114.

{ }D f = −R \ 1 ,

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

f xx

xf x

x

xf x

x x

x=

+′ =

− −

+′′ =

−

+

6

1

6 2 1

1

36 2

13

3

3 2

2 3

3 3

(- ∞ ,-1) -1 (-1,0) 0

(0,1

23)

1

23 (

1

23, 23 ) 23 ( 23 , ∞ )

′f + + + + 0 - - - ′′f + - 0 - - - 0 +

f konvex növekvı

konkáv növekvı

konkáv növekvı

helyi max.

konkáv csökkenı

infl. pont

konvex csökke-

nı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= =lim lim0 0 ( ) ( )x x

f x f x→− →−+ −

= −∞ = ∞1 1

lim lim

R f = R


-10

-6

-2

2

6

10

-5 -3 -1 1 3 5

y

x

-1

1

3

5

7

9

-5 -3 -1 1 3 5

y

x


{ }D f = R \ 0 , ( ) ( ) ( )f x e f xx

e f xx

xex x x= ′ =

−′′ =

+1

2

1

4

11 2 1

(- ∞ ;0,5) -0,5 (-0,5;0) 0 (0, ∞) ′f - - - - ′′f - 0 + +


inflexiós pont

konvex csök-kenı

konvex csökkenı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= =lim lim1 1, ( ) ( )x x

f x f x→ →+ −

= ∞ =0 0

0lim lim ,

{ }R f = R+ \ 1


116.

{ }D f = R \ 1 , f(x)= ( )( )

( )( )

( )

x

x xf x

x

xf x

x

x

2

2 3 42 1

2

1

2 2 1

1− +′ =

−

−′′ =

+

−

(- ∞ ,−1

2)

−1

2 (

−1

2,0)

0 (0,1) 1 (1, ∞)

′f - - - 0 + - ′′f - 0 + + + +


inflexiós pont

konvex csökkenı

helyi és abszolút

minimum

konvex növekvı

konvex csökkenı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= =lim lim1 1, ( )x

f x→

= ∞1

lim , { }R f = ∪R+ 0

-1

1

3

5

7

9

-5 -3 -1 1 3 5

y

x

-1

1

3

5

-5 -3 -1 1 3 5

y

x



117.

D f = R ( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

f xx

xf x

x x

xf x

x x

x=

−

+′ =

− +

+′′ =

− −

+

1

1

2 1 1

1

4 3

1

2

2 2 2

2

2 3

(- ∞ ;- 3 ) - 3 (- 3 ,-1) -1 (-1,0) 0

′f + + + 0 - - ′′f + 0 - - - 0

f konvex nö-vekvı

infl. pont

konkáv növekvı

helyi és absz.max.

konkáv csökkenı

infl. pont

(0;1) 1 (1, 3 ) 3 ( 3 , ∞ ) ′f - 0 + + +

′′f + + + 0 -

f konvex csökkenı


konvex növekvı

infl. pont

konkáv növekvı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= =lim lim1 1, R f = 0 2,

118. D f = R ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x xe f x x e f x x e

x x x= ′ = + ′′ = +1 2

(- ∞ ;-2) -2 (-2,-1) -1 (-1, ∞) ′f - - - 0 + ′′f - 0 + + +

f konkáv csök-kenı

inflexiós pont

konvex csökkenı


konvex növek-vı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= ∞ =lim lim 0 , [ )R ef = − ∞−1,


-2

2

6

10

-5 -3 -1 1 3

y

x

118. feladat ábrája

119. D f = R ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x xe f x x e f x x e

x x x= ′ = − ′′ = −− − −1 2

(- ∞ ;-2) -2 (-2,-1) -1 (-1, ∞ ) ′f + 0 - - - ′′f - - - 0 +

f konkáv nö-vekvı


konkáv csökkenı

infl. pont

konvex csökkenı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= = −∞lim lim0 , ( ]R ef = −∞ −, 1

-10

-6

-2

2

-3 -1 1 3 5

y

x



120.

D f = R +, ( ) ( ) ( )f xx

xf x

x

xf x

x

x= ′ =

−′′ =

−ln ln ln1 2 32 3

(0,e) e

(e,e32) e

32 (e

32 , ∞ )

′f + 0 - - - ′′f - - - 0 +

f konkáv növekvı


konkáv csökkenı

infl. pont

konvex csökkenı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →

= = −∞+

lim lim00

, ( ]R ef = −∞ −, 1

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-1 1 3 5 7 9

y

x


121.

D f = R +, ( ) ( ) ( )f x x x f x x f xx

= ′ = + ′′ =ln ln 11

(0,e−1) e−1 (e−1, ∞)

′f - 0 + ′′f + + +

f konvex csökkenı

helyi és abszolút minimum

konvex növekvı


( ) ( )x x

f x f x→∞ →

= ∞ =+

lim lim0

0 , [ )R ef = − ∞−1,

122. D f = R +, ( ) ( ) ( ) ( )f x x x f x x x f x x= ′ = + ′′ = +2 2 1 2 3ln ln ln

(0,e−32 ) e

−32 (e

−32 ,e

−12 ) e

−12 (e

−12 , ∞)

′f - - - 0 + ′′f - 0 + + +


inflexiós pont

konvex csökkenı

helyi. és absz. min.

konvex növekvı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →

= ∞ =+

lim lim0

0 , R ef = − ∞

−1

21,

123.

{ }D f = R \ 1 ,

( )( )

( )( )( )

( )( )

f xx

x ef x

x x

x ef x

x x x

x ex x x

=−

′ =− − +

−′′ =

− +

−1

1

1

2 3

1

2

2

2

3

( )

(- ∞ ,0) 0 (0,1) 1 (1, ∞) ′f - - - - ′′f + 0 - +

f konvex csökkenı

inflexiós pont

konkáv csök-kenı

konvex csökkenı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= = ∞lim lim0 , ( ) ( )x x

f x f x→ →+ −

= ∞ = −∞1 1

lim lim ,

R f = R

124.

D f =−

R \1

2, ( )

( )( )

( )

( )( )

( )f x

x

xf x

x x

xf x

x

x=

+′ =

+

+′′ =

+

3

2

2

3 42 1

2 3

2 1

6

2 1


(- ∞ ,

−3

2)

−3

2 (

−3

2,−1

2)

−1

2 (

−1

2,0)

0 (0, ∞)

′f + 0 - + 0 + ′′f - - - - 0 +

f konkáv növekvı

helyi ma-ximum

konkáv csökkenı

konkáv növekvı

inflexiós pont

konvex növekvı

( ) ( )x x

f x f x→∞ →−∞

= ∞ = −∞lim lim , ( )x

f x

→−

= −∞12

lim R f = R

125.

( )′ = − −f x x x3 6 12

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

P f y x

P f y x

P f y x

1

2

3

1 0 1 4 4 1

1 0 1 8 8 1

3 0 3 8 8 3

, , ,

, , ,

, , ,

′ = − = − −

− ′ − = = +

′ = = −

α

α

α α

1

2

3 2

104 036

82 875

≈

≈

=

,

,

o

o

126.

a) ( ) ( )( )

( ) ( )P f xx x

xf y x1 0

2 1

11

1

8

1

81

2

2 2, , , ,′ =− + +

+′ = = −

b) α ≈ 7 125, o

127.

a) ( ) ( ) ( )P f xx

f y x2 01

32 1 2, , , ,′ =

−′ = − = − +

b) αααα =135o 128.

a) ( ) ( ) ( )P f x e f y xx0 0 2 0 2 22, , , ,′ = ′ = =

b) α ≈ 63 435, o 129.

( ) ( ) ( )′ = ′ = = − = −f x x f f y x2 2 1 2 1 3, , ,

Az érintı és a koordináta-tengelyek metszéspontjai: A(0,-3), B(3,0). A keletkezett derékszögő háromszög területe: 4,5 területegység.


130.

( )

( )( )x

x

f x

f x

M

M

=

=

=

=

0

4

2

0

0 2

4 01

2

,

,

,

,

,

( , )

( )( )

′ =−

f xx

2

22 ( ) ( )′ = = ′f f0

1

24 ,

ami éppen a két egyenes párhuzamosságát jelenti. 131.

( )′ = − =f x x3 1 22 kell, hogy telejsüljön. Ez pontosan akkor áll, ha x = 1

vagy x = -1. A keresett pontok: ( ) ( )P P1 211 11, ,− .

132.

( )m f x x= ′ = −0 02 5 , ami a parabola ( )x x x0 02

05 2, − + pontjához húzott

érintı meredeksége. Az érintı egyenlete: ( )y y m x x− = −0 0 .

Ezt kielégíti: ( )

( )( )

y x x

y x x x x x

+ = −

− + − = − −

2 2 5

5 2 2 5

0

02

0 0 0

Ennek megoldása:

x0 2= ± e

e

y x

y x

1

2

2

9 2

:

:

= − −

= − − egyenlető, a parabolát érintı egyenesek illeszkednek az

adott pontra. 133.

42

4 0 22

1 2− = − + = =x

x x x,

( )

( )

( )

( )

( )

( )

′ = −

′ = −

′ =

′ = −

′ = −

′ = −

f x x

g x

f

g

f

g1

0 0

0 1

2 2

2 1

αααα αααα ββββ ββββ1 2 1 20 135 116 56 135= = = =o o o o,

A két görbe ( )P1 0 4, pontban 45o-os szögben metszi egymást, ( )P2 2 2,

pontban pedig 18 435, o-os szögben. 134.

Az ( )′ = − − =f x x x6 18 23 12 egyenletet kielégítı értékek a grafikon kér-

déses pontjainak abszcisszáját adják meg. ( ) ( )P P1 21124 4 4− , , , .


135.

112

xx x= = ( ) ( )

( ) ( )

′ =−

′ = − =

′ = ′ = =

f xx

f

g x x g

11 1 135

2 1 2 63 435

2 α

β

o

o,

A két görbe 71 565, o-ban metszi egymást. 136.

( ) ( )y m x P m Pm

− = − − + −

4 2 0 2 4 2

401 2, ,

( )T m mm

= − −8 28

függvény abszolút szélsıértékének helyét keressük.

Ennek szükséges feltétele: ( )′ =T m 0 . ( )′ = − +T mm

28

2 . m = ±2

megoldások közül m = −2 helyen van a függvénynek abszolút minimuma. A keresett egyenes egyenlete: y x= − +2 8.

137. Az egységre esı átlagköltséget kifejezı függvény:

( )( )

k xK x

xx x

x= = − + +0 1 50

1002, .

( )′k x -nek x = 10-nél van zérushelye. Itt valóban van szélsıérték.

138. Az ( )f x x x= −60 0 015 2, függvénynek x = 2000-nél van abszolút szélsı-

értéke, mégpedig maximuma. 139.

a) Az ( )f p p p= − +2 1802 másodfokú függvénynek 45-nél van ab-

szolút maximuma, a maximum értéke: 4050. b) ( )− ⋅ + =2 45 180 90 .

140.

( ) ( )N x K x+ másodfokú függvénynek abszolút maximuma van, mégpe-

dig x=40 értéknél. 141.

a) Az ( )f x xe

x

=−

+100

8 függvény szélsıértéke x = 100-nál van, mégpedig

abszolút maximum. b) ( )f 100 59874≈ .


142.

( )( )

′ =−

+f x

x

250

182 ( )

7

100 4 0 28⋅ − = −, , . Tehát 0,28%-kal csökken a ke-

reslet. 143.

( )( )E f xx

x=

−

+1. A

− −

6

7

1

2, intervallum az elaszticitás függvény

értékkészlete.

123

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS

D.4.1.

Egy F függvényt a f függvény primitív függvényének nevezünk valamely (vé-

ges vagy végtelen) intervallumon, ha ennek az intervallumnak minden x0 pontjá-

ban ( ) ( )′ =F x f x0 0 teljesül.

A primitív függvény jelölése: ( )f x dx∫ .

D.4.2.

Az [a,b] intervallum egy Bn beosztásán egy olyan (n+1) elemő { }x x xn0 1, ,...,

pontrendszert értünk, amelyre ( )x a x b x x i nn i i0 1 1 2= = < =−, , , ,..., teljesül.

Az x xi i−1, -t az i-edik részintervallumnak nevezzük.

D.4.3.

Az [a,b]-on korlátos f függvénynek [a,b] egy Bn beosztásához tartozó alsó köze-lítı összegén (felsı közelítı összegén) a következıt értjük:

( ) ( )s f B m x xn n i

i

n

i i, := −=

−∑1

1 , ahol [ ]

( )m f xi

x x xi i

=∈ −1 ,inf ;

( ) ( )[ ]

( )S f B M x x M f xn n i

i

n

i i i

x x xi i

, : ,,

sup= − =

=

−

∈

∑−

1

1

1

ahol

D.4.4.

Az [a,b] egy Bn beosztásának finomságán ( )δ n a beosztás leghosszabb részin-

tervallumának hosszát értjük:

( )δ n

i n

i ix x= −≤ ≤

−1

1max

D.4.5.

Az [a,b] egy { }Bn n=

∞

1 beosztássorozatát minden határon túl finomodónak ne-

vezzük, ha δ n → 0.

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár 124

D.4.6.

Az [a,b] intervallumon korlátos f függvényt [a,b]-on Riemann-integrálhatónak

nevezzük, ha f -nek az [a,b] bármely minden határon túl finomodó { }Bn n=

∞

1 be-

osztássorozatára teljesül, hogy

( ) ( )n

n n

n

n ns f B S f B→∞ →∞

=lim lim, ,

Ezt a közös határértéket nevezzük az f függvény [a,b] intervallumon vett hatá-rozott integráljának.

Jelölés: ( )I f x dxa

b

= ∫

D.4.7.

( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dxa

a

a

b

b

a

: := = −∫ ∫∫0

Improprius integrálok

D.4.8. (véges sok pontban nem értelmezett függvény improprius integrálja)

Tegyük fel, hogy f függvény [a,b]-ban az x x x n1 2< < <... pontok kivételével

mindenütt értelmezett korlátos függvény. Legyen ϕ egy olyan korlátos függvény,

ami [a,b] minden pontjában értelmezett és a fenti ( )x i ni = 1 2, ,..., pontok kivé-

telével ( ) ( )ϕ x f x= .

Ha ϕ integrálható [a,b]-on, akkor f függvényt az [a,b]-on improprius értelem-

ben integrálhatónak nevezzük, és a következıképpen definiáljuk:

( ) ( )f x dx x dxa

b

a

b

:=∫ ∫ϕ

Megjegyzés: Bizonyítható, hogy az improprius integrál független attól, hogy az

f értelemzését hogyan bıvítjük ki azokra a pontokra, ahol eredetileg nem volt

értelmezve.

D.4.9. (Nem korlátos függvény improprius integrálja)

Tegyük fel, hogy az f függvény értelmezett az (a,b) intervallum minden pontjá-

ban, de az a pont környezetében nem korlátos. Ha az f függvény bármely

[ ] ( )a b b a+ < < −ε ε, 0 intervallumon integrálható és a ( )ε ε→ +

∫0

lim f x dxa

b

határ-

IV. Integrálszámítás 125

érték létezik, akkor az f függvényt az [a,b]-on improprius értelmemben integ-

rálhatónak nevezzük és integrálját a következıképpen definiáljuk:

( ) ( )f x dx f x dxa

b

a

b

: lim=∫ ∫→ +ε ε0

D.4.10. (Végtelen intervallumon vett improprius integrálok)

Legyen az f függvény bármely x a≥ helyen értelmezve és tegyük fel, hogy

bármely véges [a,b]-on integrálható! Ha a ( )b a

b

f x dx→∞∫lim határérték létezik, ak-

kor ezt a határértéket az f függvénynek az [ )a,∞ intervallumon vett improprius

integráljának nevezzük, azaz

( ) ( )f x dx f x dxa b a

b∞

→∞∫ ∫=: lim

Hasonlóan definiálhatók a következı integrálok is:

( ) ( )f x dx f x dx

b

a a

b

−∞ →−∞∫ ∫=: lim

( ) ( )f x dx f x dxab

a

b

−∞

∞

→−∞→∞

∫ ∫=:,

lim

TÉTELEK

T.4.1.

Ha F a f függvénynek primitív függvénye, akkor bármely C valós szám esetén

F+C is primív függvénye f -nek.

T.4.2.

Egy függvény primitív függvényei csak konstansban különbözhetnek egymástól.

T.4.3.

Néhány alapintegrál:

1dx x C= +∫ x dxx

cC c

cc

∫ =+

+ ≠ −+1

11

1

xdx x C= +∫ ln


e dx e Cx x= +∫ a dx

a

aC

xx

= +∫ ln

T.4.4.

Ha az f és g függvénynek létezik primitív függvénye, akkor összegüknek is

létezik , és

( ) ( )( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = + ∫∫∫ .

T.4.5.

Ha f -nek létezik primitív függvénye, akkor bármely ( )c ∈R -re cf -nek is léte-

zik, és

( ) ( )cf x dx c f x dx= ∫∫

T.4.6.

a) Ha f differenciálható függvény és nem 0, akkor

( )( )

( )′

= +∫f x

f xdx f x Cln

b) Ha f differenciálható függvény, akkor

( ) ( )( )

{ } ( )( )′ =+

+ ∈ − >+

∫ f x f x dxf x

cC c f x

c

c 1

11 0R \ esetleg .

T.4.7. (Parciális integrálás módszere)

Ha f és g valamely intervallumon differenciálhatók és ′f g -nek létezik primitív

függvénye, akkor fg′ -nek is létezik, és

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx∫ ∫′ = − ′

T.4.8.

Ha f függvény integrálható egy intervallumon, akkor ezen intervallum bármely

részintervallumán is integrálható.

T.4.9.

Ha f integrálható az [a,b]-on és a<c<b, akkor ( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dxa

b

a

c

c

b

= +∫ ∫ ∫ .


T.4.10.

Ha f integrálható az [a,c] és a [c,b] intervallumokon, akkor integrálható az [a,b]-

on is, és

( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dxa

b

a

c

c

b

= +∫ ∫ ∫

T.4.11.

Az [a,b]-on integrálható f függvény c konstansszorosa is integrálható ezen az

intervallumon, és

( ) ( )cf x dx c f x dxa

b

a

b

=∫ ∫

T.4.12.

Az [a,b]-on integrálható f és g függvények összege is integrálható ezen az in-

tervallumon, és

( ) ( )( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dxa

b

a

b

a

b

+ = +∫ ∫ ∫

T.4.13. (Newton-Leibniz formula)

Ha f folytonos az [a,b] intervallumon és F a f függvény egy primitív függvé-

nye ezen az intervallumon, akkor

( ) ( ) ( ) ( )[ ]f x dx F b F a F xa

b

a

b

= − =∫

Geometriai jelentése:

Ha ( )f x ≥ 0 , akkor ( )f x dxa

b

∫ értéke annak a tartománynak a területe, amelyet az

( )y f x= egyenlető görbe, az x tengely, az x = a és x = b egyenlető egyenes ha-

tárol.


FELADATOK

Vezessük vissza alapintegrálokra a következı integrálok meghatározását!

1. ( )3 23

−∫ x dx 2. ( )x x dx2 4

5 −∫

3. ( )( )( )1 3 1 2 1− − +∫ x x x dx 4. 1

2−

∫

x

xdx

5. x

xdx

+∫

1 6. x

xdx

13∫

7. x x

xdx

⋅∫

54

6 8. ( )2 4

5 7x x dx+ −

∫

9. x x

xdx

+ −∫

2 123

4 10.

( )12

3

−∫

x

x xdx

11. ( )2 32

x xdx+∫ 12.

2 5

10

1 1x x

xdx

+ −−∫

13. e

edx

x

x

3 1

1

+

+∫ 14. e e

edx

x x

x

− −

∫

15. ( )( )

x

x xdx

4

2

16

4 2

−

+ −∫ 16. e x

xedx

x

x

−

−

−∫

17. Határozzuk meg az ( )f xx

=5

primitív függvényei közül azt, amelyiknek

a grafikonja áthalad a

a) ( )P0 113, ponton b) ( )P e0 8− −, ponton!

18. Van-e az ( )f xx

=1

függvénynek olyan primitív függvénye, amelyik

grafikonja áthalad a ( )P0 3 7− , ponton?

Az integrálandó függvényeket alakítsuk át úgy, hogy az ( )( )

( )′

= +∫f x

f xdx f x Cln

szabály alkalmazható legyen!

19. x

x xdx

+

− −∫3

2 152 20.

( )x

x xdx

+

+∫4

8


21. ( )( )

6 15

2 7

x

x xdx

+

− +∫ 22. 5

1xdx

−∫

23. 2

1πxdx

+∫ 24. 18 27

3 9 112

x

x xdx

−

− −∫

25. e

edx

x

x

3

3 3+∫ 26. e

x edx

x

x

2

2

26

52

−

−∫

27. x

xdx

+∫ 1 28.

3 1

7

x

xdx

−

+∫

29. x

xdx

+

−∫2

2 1 30.

x

xdx

+

−∫4

4

31. 1

x xdx

ln∫ 32. ( )( )

1

x x xdx

ln ln ln∫

33. 4

32x x

dxxln log⋅∫ 34.

e e

e edx

x x

x x

−

+

−

−∫

Az integrálandó függvényeket alakítsuk át úgy, hogy az

( ) ( )( )

{ }( )′ =+

+ ∈ −+

∫ f x f x dxf x

cC c

c

c 1

11R \ szabály alkalmazható legyen!

35. ( )x dx−∫ 24

36. ( )2 4 33

x dx+∫

37. ( )3 52

x dx+∫ 38. ( )x x dx2 3

2 5−∫

39. ( )2 3 72 36

x x dx+∫ 40. 2 5x dx+∫

41. x dx+∫ 13 42. 3 7 12x x dx−∫

43. ( )− ⋅ +∫ x x dx3 524

3 44. ( )3 43

x dx+∫

45. ( )e e dxx x2

2

−∫ 46. ln x

xdx∫

47. ln lnx x

xdx∫ 48.

ln5x

xdx∫

49. ( )ln x

xdx

+

+∫5

5 50.

( )2 1

1

2

2

x x

xdx

ln −

−∫


51. 1

1xdx

+∫ 52. ( )

2

34

xdx

+∫

53.

( )

3

25

4 xdx

−∫ 54.

x

xdx

2 6+∫

55.

( )2

5 324

x

xdx

− +∫ 56.

e

edx

x

x

2

24 1+∫

57. e

edx

x

x1−∫ 58.

( )6 22

33

4

x

x x

dx−

−∫

59.

( )x

x

dx2

32

3 1 2−∫ 60.

15x x

dx⋅∫

ln

61. ( )( )x x x dx1 12 2− −∫ 62.

( )3

4 6

4

54

5

x

x

dx

+∫

A következı integrálok meghatározásánál alkalmazzuk a parciális integrálás

módszerét!

63. xe dxx

∫ 64. xe dxx−

∫

65. xe dxx2

∫ 66. ( )2 32

x e dxx+ +

∫

67. ln xdx∫ 68. ( )x x xdx2

5 3− +∫ ln

69. x e dxx2

∫ 70. ln2

xdx∫

71. x xdxln2

∫ 72. ln x

xdx

2∫

73. x

xdx

3

21+∫

74. Határozzuk meg az ( )f x x x= − +2 4 3 függvény grafikonja és a tengelyek

által körülzárt síkrész területét!


Számítsuk ki a következı egyenlető görbékkel határolt síkidomok területét!

75. ( )y x x x y= − = = =1 2 0 03, , , ,

76. y x x y= − = =1 2 02, , ,

77. yx

y x= = −4

3

13

3,

78. y e x x yx= = = =, , , ,0 1 0

79. y x y x= = −2,

80. y x x y x= − = −2 2,

81. y x y x= = +2 2,

82. ( )y x y x= = +2 21

97 18,

83. y x y x= =3 3,

84. y x y x= + = − +1 32,

85. y x x y x x= − + − = − +2 16 24 8 122 2,

86. ( )y x y x= + = − +3 92 2

,

87. ( )y x y x x= − + = − + −4 1 14 392 2

,

A Newton-Leibniz formula alkalmazásával számítsuk ki a következı határozott

integrálokat, majd döntsük el, hogy a kiszámolt érték egyenlı-e a függvény gra-

fikonja és az x tengely által közrezárt síkidom területével a megadott intervallu-

mon! Vázoljuk a kérdéses tartományokat koordináta-rendszerben!

88. xdx3

1

8

−

∫ 89. 10

2

−∫ x dx 90. 1

3

10

xdx∫ 91.

1

2

1

xdx

−

−

∫

92. Mekkora területet zár be az y x= − +4 4 egyenlető görbe, az (1,3) pontjá-

hoz húzott érintı és az x tengely?

Improprius integrálok

93. 1

2

1x

dx

∞

∫ 94. 1

2

0

1

xdx∫ 95.

13

1x

dx

∞

∫


96. 1

3

0

1

xdx∫ 97.

( )1

1 34

1 +

∞

∫x

dx 98. ( )

1

3 22

0

xdx

−−∞

∫

99. 1

431 x

dx

∞

∫ 100. 1

1x

dx

∞

∫ 101. 1

0

1

xdx∫

102. e dxx−

∞

∫1

103. 1

1 xdx

∞

∫ 104. 1

0

1

xdx∫

105. 1

32

3

xdx

−

∫ 106. 1

33 x

dx

∞

∫ 107. 1

12

1

−−

∫x

dx

108. 1

3 44

3

5

xdx

−∫ 109. ln xdx0

1

∫ 110. 1

2

0

1

x xdx

e

ln∫

111. Egy föld alatti létesítmény számára 800 m hosszú vágatot készítenek. A

vágat készítésének költségei a kezdıponttól távolodva egyre nınek (ezt

elsısorban a szállítási költségek növekedése indokolja). A költségszint

alakulását a kezdıponttól méterben mért x távolság függvényében

( )f x x= +4000 2 fejezi ki. A vágat hosszának alakulását a t idı (nap)

függvényében a ( )g t t t= −5 0 005 2, egyenlıség adja meg. Számítsuk ki,

hogy mekkora a 6. és 7. hónapban végzett munka költsége, ha egy hónap-

ra 25 munkanapot számítunk!

133

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS - MEGOLDÁSOK

1.

( )27 27 9 27 9 95 7

2 4 6 35 7

− + − = − + − +∫ x x x dx x xx x

C

2.

( ) ( )x x dx x x x x x dx2 4 2 3 4 5 6

5 625 500 150 20− = − + − + =∫∫

=6253

125 3010

3 7

34 5 6

7x

x x xx

C− + − + +

3.

( )( )( ) ( )1 3 1 2 1 6 5 2 13 2− − + = − + + − =∫∫ x x x dx x x x dx

=−

+ + − +3

2

5

3

4 3 2x x x x C

4.

1 21

12

2x x

dxx

x x C− +

=

−− + +∫ ln

5.

xx

dxx

x C+

= + +∫

1 2

32

3

6.

x dxx

C

−

∫ = +1

4

344

3

7.

x dxx

C

2

15

171515

17∫ = +

8.

( )2 45 7

x x dx+ =−

∫1

3

2

3

6 6x x C− +−

9.

x x x dxx x x

C

1

4

5

12

1

4

54 1712 34

24

5

24

17

4

3+ −

= + − +

−

∫

Nagyné Csóti Beáta: Matematikai példatár

134

10.

x x x dxx

x x C− −

− +

= − − + +∫

4

3

1

3

2

3

3

23 532 31

33

5

11.

( )4 2 6 94

42

6

6

9

9

x x xx x x

dx C+ ⋅ + = + + +∫ ln ln ln

12.

21

5

1

5

1

22

5

5

2

5 2

−

=

−+ +∫

− −x x x x

dx Cln ln

13.

( )e e dxe

e x Cx x

xx2

2

12

− + = − + +∫

14.

( )12

22

− = + +−−

∫ e dx xe

Cx

x

15.

( )x dxx

x C+ = + +∫ 22

22

16.

1

xe dx x e C

x x−

= − +∫ ln

17.

55

xdx x C∫ = +ln

( ) ( )a x f x C C F x x, ln ln0 01 5 1 13 13 5 13= = + = = ⇒ = +

( ) ( ) ( )b x e f x e C C F x x, ln ln0 0 5 8 13 5 13= − = − + = − = − ⇒ = −

18.

Nincs. 1

2x

x C= +∫ , a függvény értelmezési tartománya nem tartal-

mazza a -3 értéket.

19.

( )( )x

x xdx x C

+

+ −= − +∫

3

3 55ln

IV. Integrálszámítás - Megoldások

135

20.

( )1

2

2 4

8

1

28

2

2x

x xdx x x C

+

+= + +∫ ln

21.

32 5

5 143 5 14

2

2x

x xdx x x C

+

+ −= + − +∫ ln

22.

51

15 1

xdx x C

−= − +∫ ln

23.

2

1

21

π

π

π ππ

xdx x C

+= + +∫ ln

24.

36 9

3 9 113 3 9 11

2

2x

x xdx x x C

−

− −= − − +∫ ln

25.

( )1

3

3

3

1

33

3

3

3e

edx e C

x

x

x

+= + +∫ ln

26.

− − +

−=

−− +∫

1

2

2 52

52

1

252

2

2

2e

x edx x e C

x

x

xln

27.

x

x xdx x x C

+ −

+= −

+

= − + +∫∫

1 1

11

1

11ln

28.

( )3 7 22

73 22 7

x

xdx x x C

+ −

+= − + +∫ ln

29.

( )1

22 1

5

22 1 2

5

42 1

x

xdx

xx C

− +

−= + − +∫ ln

30.

x

xdx x x C

− +

−= + − +∫

4 8

48 4ln


136

31.

1

x xdx

ln=∫ ln ln x C+

32.

( )( )1

x x xdx

ln ln ln=∫ ( )ln ln ln x C+

33.

4

3

4

32x x

x

dx x C

lnln

ln

lnln ln∫ = +

34.

e e

e edx

x x

x x

−

+=

−

−∫ ( )ln e e Cx x+ +−

35.

( )x dx− =∫ 24 ( )x

C−

+2

5

5

36.

( )( )2

44 4 3

2 4 3

16

3

4

x dxx

C+ =+

+∫

37.

( )( )1

33 3 5

3 5

9

2

3

x dxx

C+ =+

+∫

38.

( )( )1

66 2 5

2 5

12

2 3

32

x x dxx

C∫ − =−

+

39.

( )( )2

99 3 7

2 3 7

63

2 36

37

x x dxx

C+ =+

+∫

40.

( )( )1

22 2 5

2 5

3

1

2

3

2

x dxx

C+ =+

+∫


137

41.

( )x dx

xC+ =

++∫ 1

3 1

4

3

43

42.

( )( )3

1414 7 1

7 1

7

21

2

23

2

x x dxx

C− =−

+∫

43.

( )( )−

+ =− +

+∫1

66 3 5

3 5

14

24

3

27

3

x x dxx

C

44.

( )( )1

33 3 4

2 3 4

15

3

2

5

2

x dxx

C+ =+

+∫

45.

( )( )

− − − =− −

+∫ e e dxe

Cx x

x

22

3

2

3

46.

ln x

xdx =∫

ln 2

2

xC+

47.

( )ln lnx

xdx

xC

3

2 52

5∫ = +

48.

ln5x

xdx =∫

ln 6

6

xC+

49.

( )ln x

xdx

+

+=∫

5

5

( )ln2 5

2

xC

++

50.

( )2 1

1

2

2

x x

xdx

ln −

−=∫

( )ln2 2 1

2

xC

−+


138

51.

( )x dx x C+ = + +−

∫ 1 2 11

2

52.

( )( )

2 32

3 3

4

3x dx

xC+ =

−

++

−

∫

53.

( )3 212

2

5

44

x dxx

C− =−

−+

−

∫

54.

( )1

22 6 62

1

2 2x x dx x C+ = + +

−

∫

55.

( )( )

−− − + =

− ++

−

∫1

510 5 3

1

15 5 3

24

23

x x dxx

C

56.

( )( )1

22 1

2 1

3

2 2

1

4

23

4

e e dxe

Cx x

x

∫ + =+

+−

57.

( )− − − = − − +∫−

e e dx e Cx x x1 2 1

1

2

58.

( )( )− − + − = − − +∫−

2 3 1 82 3

3

4 34x x x dx x x C

59.

( )−− − =

− −+∫

−1

66 1 2

1 2

2

2 32

3

33

x x dxx

C

60.

( )1 5

4

1

5

45

xx dx

xCln

ln−

= +∫

61.

( )( )−

− − =− −

+∫1

22 1

1

5

23

2

25

x x dxx

C


139

62.

( )3

2020 4 6

3 4 6

4

4 54

5

55

x x dxx

C+ =+

+−

∫

63.

( )xe dx xe e dx e x Cx x x x

∫ ∫= − = − +1

64.

( )xe dx xe e dx e x Cx x x x− − − −

∫ ∫= − + = − − +1

65.

xe dx xe

e dx ex

Cx

xx x2

22 2

2

1

2 2

1

4∫ ∫= − = −

+

66.

( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 2 12 2 2 2

x e dx x e e dx x e Cx x x x+ = + − = + ++ + + +

∫ ∫

67.

( )1 1 1⋅ = − = − +∫∫ ln ln lnxdx x x dx x x C

68.

( )x x xdxx x

x xx x

dx2

3 2 2

5 33

5

23

3

5

23− + = − +

− − +

=∫∫ ln ln

=x x

x xx x

x C3 2 3 2

3

5

23

9

5

43− +

− + − +ln

69.

( )x e dx x e xe dx e x x Cx x x x2 2 2

2 2 2∫ ∫= − = − + +

(Lásd a 63. feladat eredményét!)

70.

( )1 2 2 22 2 2⋅ = − = − + +∫∫ ln ln ln ln lnxdx x x xdx x x x C

(Lásd a 67. feladat eredményét!)

71.

x xdxx

x x xdxx

xx

xx

dxln ln ln ln ln22

22

22

2 2 2 2= − = − + =∫∫∫

= − +

+

xx x C

22

2

1

2ln ln


140

72.

lnln

ln lnx

xdx x xdx

x

x xdx

x

x xC

2

2

2

1 1∫ ∫∫= =

−−

−=

−− +−

73.

( )

( )

1

2

2

1

1

22 1 4 1

12

31

2

2

2 2 2

2 2 23

xx

xdx x x x x dx

x x x C

+= + − + =

= + − + +

∫ ∫

74.

( )( )x x x x2 4 3 1 3− + = − −

( )T x x dxx

x x1

2

0

1 32

0

1

4 33

2 31

32 3

4

3= − + = − +

= − + =∫

( )T x x dxx

x x2

2

1

2 32

1

2

2 4 3 23

2 3

28

38 6

1

32 3

4

3

= − − + = − − +

=

= − − + − + −

=

∫

T T T= + =1 2

8

3

75.

( )( )

T xx

= − − = −−

=∫2 1 21

4

1

2

3

0

1 4

0

1

76.

T=8

3

77.

Elıször meghatározzuk a metszéspontok abszcisszáit, így megkapjuk az

integrációs intervallumot.

( )

4

3

13

3

4 13 3

0 31

34

2

xx

x x

x x

= −

= −

= −

−


141

x1 =1

3, x 2 =4

A kérdéses síkidom területe:

T=13

3

4

3

13

3 2

4

3

143

18

4

3

1

124 63

1

3

4 2

1

3

4

− −

= − −

= + ≈∫ x

xdx

x xxln ln ,

78.

T= e ex

0

1

1∫ = −

79.

Elıször meghatározzuk a metszéspontok abszcisszáit:

( )x x

x x

2

1 0

= −

+ =

x1 = 0, x 2 = -1

A kérdéses síkidom területe: T= ( )− − =−

∫ x x dx2

1

01

6

80.

( )2 3 02x x x x x− = − − =

A metszéspontok abszcisszái: x1 = 0, x 2 = 3

A kérdéses terület: T= ( )227

64 5

2

0

3

x x x dx− + = =∫ ,

81.

( )( )x x

x x

2 2

1 2 0

= +

+ − =

A metszéspontok abszcisszái: x1 = -1, x 2 = 2

A terület: T= ( )x x dx+ − =−

∫ 29

2

2

1

2

82.

A metszéspontok abszcisszáinak meghatározása:

( )x x

x

2 21

97 18

1

= +

= ±


142

A kérdéses terület: T= ( )1

97 18

104

27

2 2

1

1

x x dx+ −

=

−

∫

83.

A metszéspontok abszcisszái:

x x

x

x

3 3

1

0

=

= ±

=

,

A terület: T= ( )2 21

213 3

0

1

x x dx− = ⋅ =∫

84.

A metszéspontok abszcisszái:

( )( )x x

x x

+ = − +

− + =

1 3

1 2 0

2

x1 = 1, x 2 = -2

A kérdéses terület: T= ( )− + − − =−

∫ x x dx2

2

1

3 19

2

85.

A metszéspontok abszcisszáinak meghatározása:

( )( )− + − = − +

− − =

2 16 24 8 12

3 2 6 0

2 2x x x x

x x

x1 = 2, x 2 = 6

A terület: T= ( )− + − =∫ 3 24 36 322

2

6

x x dx

86.

( )

( )

x x

x x

+ = − +

+ =

3 9

2 3 0

2 2

x1 = 0, x 2 = -3

A terület: T= ( )− − =−

∫ 2 6 92

3

0

x x dx


143

87.

( )

( )( )

x x x

x x

− + = − + −

− − =

4 1 14 39

2 4 7 0

2 2

x 2 = 4, x 2 = 7

A terület. T= ( )− + − =∫ 2 22 56 92

4

7

x x dx

88.

xdx3

1

8

11 25−

∫ = , Nem a kérdéses területet kaptuk.

89.

( )1 2 1 10

2

1

2

− = − =∫ ∫x dx x dx A kérdéses területet kaptuk.

90.

1 10

33

10

xdx∫ = ln A kérdéses területet kaptuk.

91.

12

2

1

xdx

−

∫ = − ln Nem a kérdéses területet kaptuk.

92.

A függvény zérushelyei:

− + =

= ±

x

x

4 4 0

2

A meredekség meghatározása:

( )

( )

′ = −

′ = − =

f x x

f m

4

1 4

3

Az érintı egyenletének meghatározása:

Adott az egyenes egy pontja P(1,3) és a meredeksége: m = 4.

Az érintı egyenlete: y x= − +4 7.

Az érintı a 7

40,

pontban metszi az x tengelyt.


144

( )T x dx= −

− − + ≈∫3

7

41

1

24 0 39954

1

2

,

93.

1 1 1 11 1

2

1

2

1 1xdx

xdx

x

∞

→∞ →∞ →∞∫ ∫= =

−

=

−+

=

β

β

β

β

β βlim lim lim

94.

1 1 11

12

0

1

02

1

0

1

0xdx

xdx

x∫ ∫= =−

= − +

= ∞

→ → →α α α α α αlim lim lim

95.

1 1 1

2

1

2

1

2

1

23

1

3

1

2

1

2x

dxx

dxx

∞

→∞ →∞ →∞∫ ∫= =

−

=

−+

=

β

β

β

β

β βlim lim lim

96.

1 1 1

2

1

2

1

23

0

1

03

1

02

1

02

xdx

xdx

x∫ ∫= =−

=

−+

= ∞

→ → →+ + +α α α α α αlim lim lim

97.

( )( )

( )1

1 3

1

33 1 3

1

9 1 34

1

4

1

3

1+

= + =− +

=∞

→∞

−

→∞∫ ∫

xdx x dx

xβ

β

β

β

lim lim

=( )β β→∞ − +

+⋅

=lim

1

9 1 3

1

9 4

1

5763 3

98.

( )( )

( )1

3 2

1

33 3 2

1

3 3 2

1

62

02

00

xdx x dx

x−= − =

− −

=

−∞ →−∞

−

→−∞∫ ∫

α α αα

lim lim

99.

1 33

431

31x

dxx

=−

=

→∞

∞ ∞

∫βlim

100.

[ ] ( )1 1

1 1

1xdx

xdx x

∞

→∞ →∞ →∞∫ ∫= = = = ∞

β

β

β

β

β

βlim lim limln ln


145

101.

[ ] ( )1 1

0

1

0

1

0

1

0xdx

xdx x∫ ∫= = = − = ∞

→ → →+ + +α α αα

α

αlim lim limln ln

102.

[ ] ( )e dx e dx e e e ex x x−

→∞

−

∞

→∞

−

→∞

− − −= = − = − + =∫∫β

β

β

β

β

β

lim lim lim11

1

1 1

103.

[ ]12

11 x

dx x= = ∞→∞

∞

∫β

β

lim

104.

[ ]1 12 2

0

1

0

1

0

1

xdx

xdx x= = =

→ →+ +∫∫

α α ααlim lim

105.

1 1 1 1 13 3 3

0

3

03

03

3

22

0

2

3

xdx

xdx

xdx

xdx

xdx= + = + =∫ ∫∫∫∫

→ →−−−− +α β β

α

lim lim

=

+

=−

+→

−→− +α

α

ββ

0

23

20

233

3 33

2

3

2

3 4

2

3 9

2lim limx x

106.

13

3 xdx = ∞

∞

∫

107.

1

1

1

12

1

1 2−=

−=

− → −

∫ ∫−x

dxx

dxα

α

lim 2 3

108.

1

3 4

1

3 44

3

3

4

3

3

xdx

xdx

−=

−=∫ ∫

→+

α α

lim2 11

3

109.

[ ] ( )ln ln ln lnlim lim limxdx xdx x x x0

1

0

1

0

1

0

1∫ ∫= = − = − − + =→ → →+ + +α α α

αα

α α α -1


146

Megjegyzés: A L`Hospital szabály alapján: α

α α→ +

=0

0lim ln

110.

1 1 12

02

1

0

1

0

1

x xdx

x xdx

x

ee

e

ln ln lnlim lim= =−

=

→ →+ +∫∫

α α α α

1

111.

A ( )g t = 800 m egyenlet megoldásából t=200 nap adódik a teljes vágat

elkészítéséhez szükséges idıtartamnak. Ez 200:25=8 hónap, tehát a 6. és

7. hónapban végig folyik még a munka. Meg kell adni, ezen két hónapban

hányadik métertıl hányadik méterig haladtak a vágatban ahhoz, hogy a

költséget ki tudjuk számolni.

Ez a [126,175] idıintervallumot jelenti, ami a vágat hosszára vonatkozó-

an [546,875;721,875].

( )4000 2 922 030 25546 875

721 875

+ =∫ x dx Ft,

,

. ,

147

V. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK D.5.1. Legyen ( )H H

n⊆ ≠ ∅R ! Az n-változós valós értékő f függvényen egy

olyan hozzárendelést értünk, amely a H halmaznak minden pontjához egy valós számot rendel. Jelölése:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f X f x x x f H X f X X H z f Xn, , ,..., , : ,1 2 → ∈ =R, a

E jelöléseknél X-et változónak, ill. x i -t i-edik változónak nevezzük. ( )f X egy-

idejőleg jelöli a függvény értékét, valamint a hozzárendelési módot is. A H halmazt az f függvény értelmezési tartományának, az értelmezési tarto-mány pontjaihoz rendelt valós számoknak a halmazát a függvény értékkészleté-nek nevezzük. Ábrázolni legfeljebb kétváltozós függvényeket tudunk. Ha a függvény "elég jó tulajdonságú", akkor a függvény grafikonja egy felületet. Szokásos ábrázolás még az ú.n. szintvonalas ábrázolás (térképek). Szintvona-laknak az (x,y) sík azon görbéit nevezzük, ahol ( )f x y c, = (állandó).

Ez a módszer alkalmazható még háromváltozós esetben is, ekkor szintfelületet kapunk. D.5.2. I. Legyen ( )f x y, kétváltozós függvény értelmezve ( )P x y0 0 0, pont egy

környezetében! Tekintsük az ( )f x y, 0 függvényt! Ez egy egyváltozós függvény.

Ha az ( )f x y, 0 függvény differenciálható az x0 helyen, azaz létezik a

( ) ( )x x

f x y f x y

x x→

−

−0

0 0 0

0lim

, , véges határérték, akkor azt mondjuk, hogy az f függ-

vény x változója szerint parciálisan differenciálható ( )P x y0 0 0, pontban.

A fenti határértéket az f függvény ( )P x y0 0 0, pontbeli x szerinti parciális diffe-

renciálhányadosának nevezzük, és ( )′f x yx 0 0, -lal jelöljük.


A differenciálhányados-függvényre a következı jelölések használatosak még: ( )∂

∂

∂

∂

∂

∂

z

x

f x y

x

f

xfx,

,, , ′

Hasonlóan az ( )f x y, kétváltozós függvényt y szerint parciálisan differenciál-

hatónak nevezzük a ( )P x y0 0 0, pontban, ha létezik a következı véges határérték:

( ) ( )y y

f x y f x y

y y→

−

−0

0 0 0

0lim

, ,.

Ezt a határértéket az ( )f x y, függvény ( )P x y0 0 0, pontban vett, y szerinti parciá-

lis differenciálhányadosának nevezzük, és ( )′f x yy 0 0, -lal jelöljük.

A differenciálhányados-függvényre a következı jelölések használatosak még: ( )∂

∂

∂

∂

∂

∂

z

y

f x y

y

f

yf y,

,, , ′

II. Ha az ( ) ( )f X f x x xn= 1 2, ,..., n-változós függvény az ( )A a a an= 1 2, ,...,

pont valamely környezetében értelmezve van és létezik a következı véges határ-érték:

( ) ( )x a

i i i n i i i n

i ii i

f a a a x a a f a a a a a a

x a→

− + − +−

−lim, ,..., , , ,..., , ,..., , , ,...,1 2 1 1 1 2 1 1 ,

( )i n= 1 2, ,...,

akkor azt mondjuk, hogy az ( )f X függvény x i szerint parciálisan differenciálha-

tó az A pontban. A fenti határérték az ( )f X függvény A pontbeli, x i szerinti parciális differenci-

álhányadosa. Egy n-változós függvény minden változója szerinti parciális differenciálhányado-sa egyváltozós függvények differenciálhányadosa, amely egyváltozós függvénye-ket úgy kapjuk, hogy csak azt a független változót tekintjük változónak, ami sze-rint differenciálni akarunk, a többi konstansnak tekintendı a differenciálás során.

V. Többváltozós függvények 149

Ebbıl következik, hogy a parciális differenciálhányadosok kiszámítására mind-azon differenciálási szabályok alkalmazhatók, amelyeket az egyváltozós függvé-nyek differenciálásával kapcsolatban megismertünk. TÉTELEK T.5.1. Ha az ( )f x y, függvény vegyes másodrendő parciális differenciálhányadosai,

vagyis az ( )′′f x yxy , és ( )′′f x yyx , függvények egy ( )P x y0 0 0, pontban folytonosak,

akkor e pontban egyenlıek is egymással. T.5.2. Ha a ( )P x y0 0 0, pontban az ( )f x y, függvény elsırendő parciális differenciálhá-

nyadosai nullával egyenlık, és a másodrendő parciális differenciálhányadosai folytonosak, akkor

(1) ( ) ( ) ( )′′ ′′ − ′′ >f x y f x y f x yxx yy xy0 0 0 02

0 0 0, , ,

esetén ( )f x y, -nak a ( )P x y0 0 0, pontban helyi szélsıértéke van, - mégpedig

( )′′ <f x yxx 0 0 0, esetén helyi maximuma, ( )′′ >f x yxx 0 0 0, esetén helyi minimuma-,

míg ha (1) negatív, akkor ( )f x y, -nak ( )P x y0 0 0, -ban nincs helyi szélsıértéke.

Megjegyzés: Ha ( ) ( ) ( )′′ ′′ − ′′ =f x y f x y f x yxx yy xy0 0 0 02

0 0 0, , , , akkor a helyi szélsıérték

létezésérıl semmi biztosat nem tudunk mondani. Ilyen esetben más eljárással dönthetı el a kérdés. FELADATOK Határozzuk meg és rajzoljuk fel az R2-nek azt a legbıvebb részhalmazát, ahol a következı függvények értelmezhetık!

1. ( )f x yy

x, = 2. ( ) ( )

f x y ex y

, =− +2 2

3. ( )f x y x y, = + 4. ( )f x y x y, = − −1 2 2


5. ( ) ( )f x y x y, ln= + 6. ( )f x yx y

, =+ −

1

12 2

7. ( )f x y x y, = −2 8. ( )f x y x y, = − + −1 12 2

Határozzuk meg a következı függvények szintvonalait, szemléltessük metszetei vizsgálatával az alábbi egyenletekkel jellemzett felületeket!

9. z x y= + 10. z x y= − −1 2 2

11. z x y= +2 2 12. zx y

=+ −

1

12 2

13. z x y2 2 2= + 14. z x y

2 2 2 1= + − 15. z x y= −2 2 16. z x y= +2 Számítsuk ki az alábbi függvények elsırendő parciális differenciálhányadosait! 17. ( )f x y x y xy, = + −3 3 3 18. ( )f x y x y x y, = + −4 4 2 24

19. ( )f x y x xy y x, = − + − +2 35 6 20. ( )f x y x y, =

21. ( )f x yxy

x y, =

+2 2 22. ( )f x y x y, = − + −1 12 2

23. ( )f x y y x y, = ⋅ 24. ( )f x y ex y, = + +2 2 1

25. ( )f x y x ey x, = ⋅ − 26. ( )f x yx

x y, =

+2 2

27. ( ) ( )f x y x y, ln= − − 28. ( )f x y xyx

y, = +

29. ( )f x yx

y, = 2 30. ( )f x y x e

xy, = ⋅

31. ( ) ( )f x y x ey, ln= + 32. ( )f x y

x

ye

y

x, =

33. ( )f x y x xy

y, log= 34. ( )f x y x y, ln= +2 2

35. ( ) ( )f x y xy x y, ln= + 36. ( )f x yx

y

y

xe

x, = +

− 2

V. Többváltozós függvények 151

Keressük meg a következı függvények helyi szélsıértékeit! 37. ( )f x y x y x y, = + + − −2 2 4 3 3

38. ( )f x y x xy y x y, = − + + − +2 28 18 6 28 1

39. ( )f x y x y xy, = + − +4 4 4 8

40. ( )f x y x y x y, = + − − −2 22 2 1

41. ( ) ( ) ( )f x y x y, = − + + −1 2 42 2

42. ( )f x y x y xy x y, = + − + − +2 2 4 2 52 2

43. ( ) ( )( )f x y x x y y, = − −2 26 4

44. ( )f x y x y xy y, = − +2 43 2

45. ( )f x yx y

xy, = + +20 50

46. ( )f x yx y

xy

xy, =

++

27

47. ( ) ( )f x y x y ey, = − + −3 2

2

48. ( ) ( )f x y e

x xy y, =

− − +2 22 2

49. Egy üzem két új terméket hoz forgalomba, jelöljük A-val az egyiket és B-

vel a másikat! Az A önköltsége 25 Ft darabonként, a B-é pedig 30 Ft. A kereslet meghatározásának céljából piackutatást is végeztek. Azt találták, hogy ha x ill. y az A ill. B eladási ára, akkor az A és B termék iránti 1000 darabonkénti heti keresletet a ( )k y xA = −5 ill. k x yB = + −30 5 5 75,

függvények írják le. Milyen eladási árak mellett érné el az üzem a maxi-mális tiszta összbevételt?

153

V. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK - MEGOLDÁSOK

1.

{ }( )D f = ×R R\ 0

2. D f = × =R R R2

3.

{ }( )D f = × ∪R R+ 0

4.

( ) ( ){ }D x y x y x yf = ∈ + ≤, , ,R2 2 2 1 , azaz az x y2 2 1+ = egyenlető kör-

vonalon és a körlap belsı pontjaiban értelmezett a függvény. 5.

( ) ( ){ }D x y x y x yf = ∈ + >, , ,R2 0 , azaz az y x= − egyenlető egyenes fö-

lötti pontok halmaza a függvény értelmezési tartománya. 6.

( ) ( ){ }D x y x y x yf = ∈ + ≠, , ,R2 2 2 1 azaz az (x,y) sík pontjai, kivéve az

origó körüli egységsugarú körvonal pontjai alkotják a függvény értelemzési tartományát.

7.

( ) ( ){ }D x y x y x yf = ∈ ≥, , ,R2 2 , azaz az (x,y) sík y x= 2 egyenlető para-

bolájának pontjai és a görbe alatti pontok alkotják a függvény értelmezési tartományát.

8.

( ) ( ) ( ){ }D x y x y x es y vagy yf = ∈ − ≤ ≤ ≥ ≤ −, , ,R2 1 1 1 1

9. Vegyük észre, hogy az egyenlet egy sík egyenlete! A szintvonalak: c x y= + egyenlető egyenesek; az (y,z) síkkal párhuza-mos metszetek: z c y= + egyenlető egyenesek; az (x,z) síkkal párhuza-mos metszetek: z x c= + egyenlető egyenesek.


-5 -3 -1 1 3 5-5

-12

-5 -3 -1 1 3 5-5

-12

xy sík

z

10.

A szintvonalak: ( )c x y c c x y= − − ≤ ≤ − = +1 0 1 12 2 2 2 2; egyenlető

körök. (Minél nagyobb c , annál kisebb a kör sugara, valamint minden c -re origó középpontú kört kapunk. Az (y,z) síkkal párhuzamos metszetek:

( )z c y c c z y= − − − ≤ ≤ − = +1 1 1 12 2 2 2 2; egyenlető körök,valamint

az (x,z) síkkal párhuzamos metszetek:

( )z x c c c z x= − − − ≤ ≤ − = +1 1 1 12 2 2 2 2; egyenlető körök.

A felület: félgömb.

-10

1-1

0

1

z

z=0,2

z=0,4z=0,6

z=0,8

z=1

z=0

V. Többváltozós függvények - Megoldások 155

11. A szintvonalak: c x y= +2 2 egyenlető körök; az (y,z) síkkal párhuzamos metszetek: z c y= +2 2 egyenlető egyenes állású parabolák.valamint az (x,z) síkkal párhuzamos metszetek: z x c= +2 2 egyenlető egyenes állású parabolák. A felület egy egyenes állású forgási paraboloid, aminek csúcsa az origó-ban van, szimmetriatengelye pedig a z tengely. Az z x= 2 egyenlető para-bolát kell a z tengely körül megforgatni, hogy az ( )f x y, függvény grafi-

konját megkapjuk.

-5-3

-11

35

-5 -3 -1 1 3 50

10

20

30

40

50

-5-3

-11

35

-5 -3 -1 1 3 5

z

z=0

z=20

z=5+y2

12.

A szintvonalak: cx y

x yc

=+ −

+ = +1

1

11

2 2

2 2; egyenlető körök. Ez

azt jelenti, hogy a felület z tengelyő forgásfelület. Tekintsük a felületnek az (x,z) síkkal való metszetét! Ekkor

( )y f xx

= =−

0 01

12, , . Ennek a függvénynek a grafikonját kell a z ten-

gely körül megforgatni, hogy az ( )f x y, függvény grafikonját megkap-

juk. 13.

A szintvonalak c x y2 2 2= + egyenlető körök. Az (y,z) síkkal párhuzamos

metszetei: z c y2 2 2= + egyenlető hiperbolák, ha c ≠ 0; ha c = 0, akkor

z y= és z y= − egyenlető egyenesek. Hasonlóan adódnak az (x,z) síkkal párhuzamos metszetek, mivel a felület z tengelyő forgásfelület. Elegendı az z y= és z y= − egyenlető egyeneseket a z tengely körül megforgatni,


hogy megkapjuk a felületet, ami egy kettıs körkúpfelület. (Az ábrán a fe-le látszik.)

-5 -3 -1 1 3 5-5 -3 -1 1 3 50

2

4

6

8

-5 -3 -1 1 3 5-5 -3 -1 1 3 5

z

14.

( )( ){ }D x y x y x yf = ∈ + ≥, , ,R2 2 2 1 A szintvonalak c x y2 2 21+ = +

egyenlető körök. Az (y,z) síkkal párhuzamos metszetei : z y c2 2 2 1− = −

egyenlető hiperbolák. Hasonlóan adódnak az (x,z) síkkal párhuzamos metszetek, mivel a felület z tengelyő forgásfelület. Az x z2 2 1− = egyen-lető hiperbola z tengely körüli megforgatásával kapjuk, tehát forgási hiperboloid a felület. (Az ábrán a felsı fele látszik.)

-3 -1,5 -0 1,5 3-3 -1,5 0 1,5 30

1

2

3

4

5

-3 -1,5 -0 1,5 3-3 -1,5 0 1,5 3

z


15. A szintvonalak c x y= −2 2 egyenlető hiperbolák. Az (y,z) síkkal párhu-zamos metszetek: z c y= −2 2 egyenlető fordított állású parabolák, az (x,z) síkkal párhuzamos metszetek: z x c= −2 2 egyenlető egyenes állású para-bolák. A felületet nyeregfelületnek, hiperbolikus paraboloidnak nevezzük.

-5

-2,5 0

2,5 5

-5

-2,5

0

2,5

5

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-5

-2,5 0

2,5 5

-5

-2,5

0

2,5

5

z

16.

A szintvonalak: c x y= +2 egyenlető parabolák. Az (y,z) síkkal párhu-zamos metszetek: z c y= +2 egyenlető egyenesek, az (x,z) síkkal párhu-zamos metszetek: z x c= +2 egyenlető parabolák.

17.

( )′ = −f x y x yx , 3 32 ( )′ = −f x y y xy , 3 32

18.

( )′ = −f x y x xyx , 4 83 2 ( )′ = −f x y y x yy , 4 83 2

19.

( )′ = − −f x y x yx , 2 5 1 ( )′ = − +f x y x yy , 5 3 2


20.

( )′ = −f x y yxx

y, 1 ( )′ =f x y x xy

y, ln

21.

( )( )

( )( )

( )′ =

+ −

+=

−

+f x y

y x y x y

x y

y y x

x yx ,

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 ( )

( )( )

′ =−

+f x y

x x y

x yy ,

2 2

2 2 2

22.

( )′ =−

−f x y

x

xx ,

1 2 ( )′ =

−f x y

y

yy ,

2 1

23.

( )′ = −f x y y xx

y, 2 1 ( )′ = +f x y x yx xy

y y, ln

24.

( )′ = ⋅ + +f x y x ex

x y, 22 2 1 ( )′ = + +

f x y ey

x y, 22 2 1

25.

( )′ = −− − −f x y yx e x ex

y x y x, 1 ( )′ = ⋅−f x y e x xy

x y, ln

26.

( )′ =

+ −+

+f x y

x y xx

x y

x yx ,

2 2

2 2

2 2

2

2 ( )

( )′ =

−

+

f x yxy

x yy ,

2 2 3

27.

( )′ =+

f x yx y

x ,1

( )′ =+

f x yx y

y ,1

28.

( )′ = +f x y yy

x ,1

( )′ = −

f x y x

yy , 1

12

29.

( )′ =f x yy

x ,1

2 ( )′ =

−f x y

x

yy ,

23

30.

( ) ( )′ = +f x y e xyx

xy, 1 ( )′ =f x y x ey

xy, 2

31.

( )′ =+

f x yx e

x y,

1 ( )′ =

+f x y

e

x ey

y

y,


32.

( )′ = + ⋅−

f x yy

ex

ye

y

xx

y

x

y

x,1

2 ( )′ = −

f x y e

y

x

yy

y

x,1

2

33.

( ) ( )′ = +−

f x yx

yy xx

y

,ln

ln1

1 ( )′ = −

f x y x

x

yx

y yy

y,ln

lnln

ln

1

34.

( )′ =+

f x yx

x yx , 2 2

( )′ =+

f x yy

x yy , 2 2

35.

( ) ( )′ = + ++

f x y y x yxy

x yx , ln ( ) ( )′ = + +

+f x y x x y

xy

x yy , ln

36.

( ) ( )′ = −

+ +

−− −

f x yy

y

xe

x

y

y

xe xx

x x,1

22

2 2

( )′ =−

+

−f x y e

x

y xy

x,2

2

1

37. Képezzük a függvény elsı és másodrendő parciális differenciálhányado-sait!

( )′ = −f x y xx , 2 3 2 ( )′′ = −f x y xxx , 6

( )′ = −f x y yy , 4 3 2 ( )′′ = −f x y yyy , 6 ( ) ( )′′ = ′′ =f x y f x yxy yx, , 0

( )′ = ⇔ = ±

−

f x y x P Px , , ,0

6

3

6

3

2 3

3

6

3

2 3

31 2

( )′ = ⇔ = ±−

− −

f x y y P Py , , ,0

2 3

3

6

3

2 3

3

6

3

2 3

33 4

( ) ( ) ( )′′ ′′ − ′′ >f P f P f Pxx i yy i xy i

2 0 reláció P1 és P4 pontokra teljesül. Tehát eze-

ken a helyeken van a függvénynek helyi szélsıértéke, mégpedig mivel

( )′′ <f Pxx 1 0 , ezért P1-ben helyi maximum van, és mivel ( )′′ >f Pxx 4 0 , ezért

P4-ben helyi minimum. P P2 3, pontokban nincs helyi szélsıértéke a függ-

vénynek., mert ( ) ( ) ( )′′ ′′ − ′′ <f P f P f Pxx yy xy2 22

2 0 teljesül, P3-ra hasonlóan.



( )′ = − +f x y x yx , 2 8 6 ( )′′ =f x yxx , 2

( )′ = − + −f x y x yy , 8 36 28 ( )′′ =f x yyy , 36 ( )′′ = −f x yxy , 8

A 2 8 6 0

8 36 28 0

x y

x y

− + =

− + − =

egyenletrendszer megoldása: x y= =1 1, . A

( )P 1 1, pontban lehet csak helyi szélsıértéke a függvénynek. Itt van is,

mivel ( ) ( ) ( )′′ ′′ − ′′ = >f P f P f Pxx yy xy

2 8 0 , mégpedig helyi minimum, mivel

( )′′ >f Pxx 0 .


( )′ = −f x y x yx , 4 43 ( )′′ =f x y xxx , 12 2

( )′ = −f x y y xy , 4 43 ( )′′ =f x y yyy , 12 2 ( )′′ = −f x yxy , 4

4 4 0

4 4 0

3

3

x y

y x

− =

− =

( )( )( )( )x x

x x x x x

9

2 4

0

1 1 1 1 0

− =

− + + + =

A ( ) ( ) ( )P P P1 2 30 0 11 1 1, , , , ,− − pontokban lehet a függvénynek helyi szél-

sıértéke. ( ) ( ) ( )′′ ′′ − ′′f P f P f Pxx yy xy

2 kifejezés a P P2 3, -ban pozitív, ezért itt

vannak helyi szélsıértékek, mégpedig mindkét pontban helyi minimum, mivel ( )′′ >f Pxx 0 mindkét pontra. A P1 pontban nincs helyi szélsıérték.


( ) ( )( ) ( ) ( )′ = − ′′ =

′ = − ′′ = ′′ =

f x y x f x y

f x y y f x y f x y

x xx

y yy xy

, ,

, , ,

2 1 2

4 2 4 0

P1

2

1

2,

pontban a függvénynek helyi minimuma van, mivel

( ) ( ) ( )′′ ′′ − ′′f P f P f Pxx yy xy

2 pozitív itt, és ( )′′ >f Pxx 0 .



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

′ = − − ′′ =

′ = + ′′ = ′′ =

f x y x f x y

f x y y f x y f x y

x xx

y yy xy

, ,

, , ,

2 1 2

2 2 2 0

A ( )P 1 2,− pontban a függvénynek helyi minimuma van, mivel

( ) ( ) ( )′′ ′′ − ′′f P f P f Pxx yy xy

2 pozitív, és ( )′′ >f Pxx 0 .

42. A ( )P −1 0, pontban helyi minimuma van a függvénynek.


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )′ = − − ′′ = −

′ = − − ′′ = −

f x y x y y f x y y y

f x y y x x f x y x x

x xx

y yy

, ,

, ,

2 6 4 2 4

2 4 6 2 6

2 2

2 2

( ) ( )( )′′ = − −f x y x yxy , 2 6 2 4

( )( )( )( )2 6 4 0

2 4 6 0

2

2

x y y

y x x

− − =

− − =

egyenletrendszer megoldása után a szélsıérték le-

hetséges helyei:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P P P P P1 2 3 4 53 2 0 0 6 0 0 4 6 4, , , , , . Az ( ) ( ) ( )′′ ′′ − ′′f P f P f Pxx yy xy

2

kifejezés csak ( )P1 3 2, -re pozitív, csak itt van helyi szélsıérték, mégpedig

maximum, mivel ( )′′ <f Pxx 1 0 .


( ) ( )( ) ( ) ( )

′ = − ′′ =

′ = − + ′′ = ′′ = −

f x y xy y f x y y

f x y x x y f x y y f x y x

x xx

y yy xy

, ,

, , ,

2 3 2

3 8 24 2 32 3 2


( )2 3 0

3 8 02 3

x y

x x y

− =

− + =

egyenletrendszer megoldása után a szélsıérték lehet-

séges helyei: ( ) ( )P P P1 2 330 0 3 0

3

2

9

32, , ,

. A P3-ban helyi szélsıérték

van, mivel csak erre teljesül az ( ) ( ) ( )′′ ′′ − ′′ >f P f P f Pxx yy xy

2 0 egyenlıtlen-

ség. E pontban helyi minimuma van a függvénynek. 45.

Képezzük a függvény elsı és másodrendő parciális differenciálhányado-sait!

( ) ( )

( ) ( ) ( )

′ =−

+ ′′ =

′ =−

+ ′′ = ′′ =

f x yx

y f x yx

f x yy

x f x yy

f x y

x xx

y yy xy

, ,

, , ,

20 40

50 1001

2 3

2 3

A ( )P 2 5, pontban helyi minimuma van a függvénynek.

46. A ( )P 3 3, pontban helyi minimuma van a függvénynek.

47.

Mivel ( )′ = − −f x y ex

y, 22

sehol nem 0, ezért a függvénynek nincsen helyi

szélsıértéke. 48.

Képezzük a függvény elsı és másodrendő parciális differenciálhányado-sait!

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )[ ] ( )

′ = − −

′ = − − +

′′ = + − −

′′ = + − −

′′ = − + − +

− − +

− − +

− − +

− − +

− − +

f x y x y e

f x y x y e

f x y x y xy e

f x y x y xy e

f x y x y x y e

x

x xy y

y

x xy y

xx

x xy y

yy

x xy y

xy

x xy y

,

,

,

,

,

2 2

2 4

4 4 8 2

4 16 16 4

2 4 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

A − + =

− + =

2 2 0

4 2 0

x y

y x egyenletrendszer megoldásából adódik, hogy a ( )P 0 0,

pontban lehet helyi szélsıérték. Itt van is, mégpedig helyi maximum.


49. Az A jelő termékbıl a tiszta bevétel: ( )( )5000 25y x x− − , a B jelő ter-

mékbıl: ( )( )1000 30 5 5 75 30+ − −x y y, . A két termék eladásából szárma-

zó tiszta bevétel összesen:

( ) ( )( ) ( )( )[ ]f x y y x x x y y, ,= − − + + − −1000 5 25 30 5 5 75 30 . Ennek a

függvénynek az abszolút szélsıértékeit keressük.

( ) ( )( )′ = − −f x y y xx , 1000 10 25 ( ) ( )′ = − +f x y x yy , , ,1000 10 11 5 77 5

− + − =

− + =

10 10 25 0

10 11 5 77 5 0

x y

x y, , egyenletrendszer megoldásából a lehetséges szél-

sıértékhely: ( )P 32 5 35, ; . Itt valóban van szélsıérték, mégpedig maxi-

mum.

165

VI. MÁTRIXOK D.6.1. Bármilyen n m⋅ számú ( )a i n j mij = =1 2 1 2, ,..., ; , ,..., elem alábbi téglalap alakú

elrendezését n m⋅ típusú mátrixnak nevezzük:

=⋅

nmnn

m

m

mn

aaa

aaa

aaa

AM

L

MM

L

L

21

22221

11211

:

Az n m⋅ típusú mátrixnak n sora és m oszlopa van. Az aij-k a mátrix elemei, az

indexelés az elem helyét jelöli a mátrixban: aij az i-edik sor j-edik oszlopában áll.

A mátrix elemei lehetnek valós számok, komplex számok, vektorok, mátrixok, függvények, stb. Egy n m⋅ típusú mátrix jelölése:

n m

ij n mA a

⋅

=,

, vagy ha a típus feltüntetésére nincs

szükségünk, lehet A ill. aij jelölést is használni.

D.6.2. Speciális mátrixok

-Az 1⋅ m típusú mátrixot sorvektornak nevezzük és jelölésére latin kisbe-tőt használunk. Az oszlopvektortól való megkülönböztetés céljából * jel-lel látjuk el.: a* . -Az n ⋅1 típusú mátrixot oszlopvektornak nevezzük és latin kisbetővel je-löljük. -Az olyan oszlop- vagy sorvektort, aminek egyetlen eleme egyes, az ösz-szes többi zérus, egységvektornak nevezzük.

Jele: e ei iilletve * , ahol i azt mutatja, hogy a vektor hányadik eleme az egyes. -Az olyan oszlop- vagy sorvektort, aminek minden eleme egyes,

összegzıvektornak nevezzük. Jelölése: 1 1illetve * . -Az n n⋅ típusú mátrixot n-edrendő kvadratikus vagy négyzetes mát-rixnak nevezzük.


-Az olyan kvadratikus mátrixot, amelynek a fıátlón kívüli minden eleme zérus, diagonális mátrixnak nevezzük. Rövidebb jelölésére az a a ann11 22, , ... , szimbólumot használjuk.

-Az olyan diagonális mátrixot, aminek fıátlójában csupa egyes áll, egy-ségmátrixnak nevezzük. Jele: E n . -Az olyan kvadratikus mátrixot, aminek minden sora és minden oszlopa egységvektor, permutáló mátrixnak nevezzük. -Az olyan kvadratikus mátrixot, amelynek a fıátlóra szimmetrikus elemei egyenlıek egymással, azaz ∀ − =i j re a aij ji, , szimmetrikus mátrix-

nak nevezzük. Mátrixok közötti relációk D.6.3.

[ ] [ ] ( )a b a b i n j mij n m ij n m ij ij, ,, , ... , ; , , ... ,= ⇔ = = =1 2 1 2

Két mátrix egyenlı, ha megfelelı helyein álló elemek rendre egyenlıek. D.6.4.

[ ] [ ] ( )a b a b i n j mij n m ij n m ij ij, ,, , ... , ; , , ... ,≤ ⇔ ≤ = =1 2 1 2

(Megjegyzés: Vannak olyan mátrixok, amelyek nem összehasonlíthatók a "≤" reláció szerint.) Mőveletek mátrixokkal D.6.5. Az A mátrix transzponáltján a következı mátrixot értjük:

[ ]A aij n m

*

,

*= := [ ]a ji m n,

D.6.6. Az A és B mátrixok összegét a következı módon definiáljuk:

[ ] [ ]a bij n m ij n m, ,+ := [ ]a bij ij n m

+,

VI. Mátrixok 167

Megjegyzés: Az értelmezésbıl látható, hogy csak olyan mátrixok esetén értel-mezzük az összeadást, amikor a két mátrixnak megegyezik a típusa. D.6.7. Az A mátrix λλλλ -szorosát a következı módon definiáljuk:

[ ]λ aij n m, :=[ ]λaij n m,

D.6.8. Két mátrix szorzatát a következıképpen értelmezzük:

[ ] [ ] [ ]a b cij n m ij m p ij n p, , ,:⋅ = , ahol ( )c a b i n j pij it tj

t

m

: , , ... , ; , , ... ,= ⋅ = ==

∑1

1 2 1 2

Azaz a szorzatmátrix i-edik sorának j-edik oszlopában az elsı tényezı i-edik sorvektorának és a második tényezı j-edik oszlopvektorának a skaláris szorzata áll. Megjegyzés: Az értelmezésbıl látható, hogy csak olyan mátrixok esetén értel-mezzük a szorzást, ahol az "elsı" mátrix oszlopindexe megegyezik a " második" mátrix sorindexével. D.6.9. Ha az A A A k1 2, ,..., azonos típusú mátrixokat rendre megszorozzuk a λλλλ λλλλ λλλλ1 2, ,..., k skalárokkal, és a kapott szorzatokat összeadjuk, akkor azt mondjuk, hogy az A A A k1 2, ,..., mátrixoknak egy lineáris kombinációját képeztük. B A A Ak k= + + +λλλλ λλλλ λλλλ1 1 2 2 ... . FELADATOK 1. Írjuk fel a következı lineáris kombinációk által meghatározott mátrixot!

a) A B C+ −2 , ahol

A B C=

−

−

−

=−

−

=

−

1 0 5

3 1 2

0 2 1

4 3 4

4 1 0

2 4 1

0 3 5

1 0 1

1 1 0

4 0 2

3 2 1

0 3 6


b) − + −2A B C , ahol

A B C=

− −

−

−

=

− −

−

− −

= − −

−

1 1 3 2

0 2 5 3

2 3 4 8

1 1 1 2

1 7 4 5

1 6 1 2

0 3 6 5

1 5 4 3

0 1 0 1

2. Határozzuk meg, hogy az a a a1 2 3, , vektoroknak melyik lineáris kombiná-ciója állítja elı a c vektor, ha

a a a1 2 3

1

0

1

2

1

1

1

1

1

=

−

= −

= −

és c =

−

0

3

5

3. Határozzuk meg, hogy az A A A A1 2 3 4, , , mátrixoknak melyik lineáris kombinációja állítja elı a C mátrixot, ha

A A A A C1 2 3 4

1 0

1 2

4 1

0 1

2 0

1 2

3 2

1 1

2 5

1 1=

−

=

−

−

=

−

−

=

−

=

−

−

Végezzük el a következı szorzásokat!

4.

1 2 1 1

3 0 1 5

1 2 1 2

1

1

2

1

−

−

⋅

−

5.

2 1 4

1 0 2

3 1 2

4 2 1

2

1

1

−

−

−

− −

⋅ −

−

6. [ ]2 3 1 1

0 1 1 2

2 1 0 1

1 1 1 0

0 2 0 1

− ⋅

−

−

−

VI. Mátrixok 169

7. [ ]1 2 1 1

2 0 3 1

1 1 1 4

1 1 2 2

0 4 1 3

− ⋅

−

−

−

− −

8. Bizonyítsuk be, hogy ha egy adott n m⋅ típusú A mátrixot jobbról szor-zunk egy m-edrendő egységvektorral, akkor eredményül A mátrix egy oszlop-vektorát kapjuk, mégpedig annyiadik oszlopot, ahányadik sorban az egyes van az egységvektorban, azaz

[ ]( )

a j

a

a

a

ij n m

m

j

j

nj

e,

,

⋅ =

1

1

2M

Ha pedig az adott A mátrixot balról megszorozzuk az n-edrendő i-edik egység-vektorral, akkor az A mátrix i-edik sorvektorát kapjuk.

9. Bizonyítsuk be, hogy ( ) ( ) ( )1 1, , ,

*

n n m m

ije A ei j a⋅ ⋅ = !

10. Bizonyítsuk be, hogy

( ) ( ) ( )1 11 21

, , ,

* ...n n m m

i i ime Ai

a a a⋅ ⋅ = + + + ,

azaz a szorzat az A mátrix i-edik sorában álló elemek összegét adja, valamint

( ) ( ) ( )1 1

1 21, , ,

* ...n n m m

j j njA e j a a a⋅ ⋅ = + + + ,

azaz a szorzat az A mátrix j-edik oszlopában álló elemek összegét adja.

11. Bizonyítsuk be, hogy ( ) ( ) ( )1 11 1

, , ,

*

n n m m

A⋅ ⋅ szorzat skalár és A mátrix elemei ösz-

szegével egyenlı. Határozzuk meg az A B⋅ és B A⋅ mátrixokat (ha léteznek)!


12. A B=

−

−

−

=

−

−

−

1 3 4

2 0 5

1 2 2

3 4 1

3 2 5 0

1 4 1 3

2 2 4 3

13. A B=

= −

−

1 2 1

2 4 2

3 1

1 1

5 1

14. A B=−

=−

−

1 3

2 0

1 1

0 2

4 0 1

0 1 0

15. A B=

−

−

−

=

3 5 2

1 2 3

2 1 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

16. A B= −

−

=

4 5 8

1 0 7

3 2 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

Milyen következtetést tudunk levonni a fenti példák alapján a mátrixok közti szorzás kommutativitására vonatkozóan? 17. Szorozzuk meg az A mátrixot mindkét oldalról a transzponáltjával:

A =

−

−

− −

1 3 2

5 1 0

3 2 2

18. Határozzuk meg a P P P

2= ⋅ szorzatot, ha

VI. Mátrixok 171

P =

− −

−

− −

2 2 4

1 3 4

1 2 3

(projektormátrix).

19. Határozzuk meg az N 3 mátrixot, ha

N =

− − −

1 1 3

5 2 6

2 1 3

20. Mutassuk meg, hogy A B B A⋅ = ⋅ , ha

A B=

− − −

=

− − −

− − −

1 2 3

3 2 0

1 1 1

2 1 6

3 2 9

1 1 4

21. Adjuk meg az A P⋅ és P A⋅ mátrixokat, ha

A P=

−

− −

=

4 1 0 5

3 7 1 4

8 5 3 0

2 1 0 3

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

0 0 0 1

Észrevételei alapján válaszoljon az alábbi kérdésekre! a) Milyen permutáló mátrixszal kell egy tetszıleges negyedrendő mátrixot megszorozni ahhoz, hogy az elsı sorából harmadik, a második sorból elsı, a harmadik sorból negyedik, és a negyedik sorból második legyen? b) Milyen permutáló mátrixszal kell egy tetszıleges negyedrendő mátriszot megszorozni ahhoz, hogy az elsı oszlopából negyedik, a második oszlopá-ból elsı, a negyedik oszlopából második legyen, a harmadik oszlop pedig a helyén maradjon? c) Indokoljuk meg az egységmátrix, mint speciális permutáló mátrix elneve-zésének jogosságát!

22. Szorozzuk meg az elızı feladatban szereplı A mátrixot a következı dia-gonális mátrixszal jobbról, majd balról, majd fogalmazzuk meg, mit tapasztal-tunk! D = −5 3 0 1, , ,


23. Egy üzem három erıforrás felhasználásával négyféle terméket állít elı. A termékegységekre vonatkozó ráfordításokat (technológiai együtthatókat), az erı-források egységárait, valamint az egyes termékekbıl gyártandó mennyiségeket (valamilyen egységben) az alábbi táblázat mutatja:

1. termék 2. termék 3. termék 4. termék Az erıforrás-ok egységárai

I. erıforrás 4 3 5 2 6 II. erıforrás 1 3 0 3 10 III. erıforrás 2 1 2 2 12 Gyártandó mennyiség

100 200 300 100

A termékek elıállításakor -a felsorolt erıforrásokon kívül- még egyéb költségek (szerelési, csomagolási költségek stb.) is felmerülnek. Ezek nagysága az egyes termékekre vonatkozóan rendre: 22, 10, 16, 34. A termékek eladási ára a sor-rendnek megfelelıen: 120, 140, 100, 110. Írjuk fel, majd számítsuk ki mátrixmőveletek segítségével, hogy mennyi

a) az adott termelési programnak az erıforrásszükséglete, b) az egyes termékek önköltsége (elıállítási+egyéb), c) az adott termelési program megvalósítása révén az üzem árbevétele, d) az üzem nyeresége!

24. Egy üzem három erıforrás ségítségével négyféle terméket készít, a terme-lés technológiai mátrixa a következı táblázatból kiolvasható:

T1 T2 T3 T4

E1 1 3 2 4 E2 0 2 3 3 E3 2 1 1 2

Határozzuk meg a termelés anyagköltségét, erıforrásszükségletét, az egyes ter-mékek egységre esı ú.n. fajlagos anyagköltségét, ha az üzemnek az egyes termé-kekbıl rendre 40, 25, 60, 50 db-ot kell elıállítania és az erıforrások egységárai rendre 10, 12, 8 egység! Végrehajtható-e a termelési program, ha az üzemnek az erıforrásokból rendre 450, 400, 300 egység áll rendelkezésre?

VI. Mátrixok 173

25. Egy élelmiszerüzletben egy eladó I., II., III., típusú ajándékcsomag össze-állítására vesz fel rendeléseket, mégpedig az elsıbıl 3 db-ot, a másodikból 5 db-ot, a harmadikból 4 db-ot. Az egyes csomagfajták összeállítását a következı táb-lázat mutatja (az egységeket megfelelıen választva tüntetjük fel):

csokoládé (dkg) ital (üveg) kávé (doboz) virág (szál)

I. csomag 25 1 3 2 II. csomag 20 1 5 3 III. csomag 0 2 4 2

a) Határozzuk meg az összes megrendelt csomag összeállításához szükséges árumennyiséget mátrixmőveletekkel, majd számoljuk is ki! b) Ha 10 dkg csokoládé 50 Ft, 1 üveg ital 200 Ft, 1 doboz kávé 350 Ft és 1 szál virág 60 Ft, akkor adjuk meg az egyes ajándékcsomag típusok értékét, majd az összes elkészített ajándékcsomag értékét!

26. Egy üzem N1, N2 nyersanyagokból az elsı munkafázisban F1, F2, F3, félkészterméket állít elı, majd ezekbıl a második munkafázisban V1 és V2 vég-terméket. Az egyes termékek egységenkénti anyag-, ill. félkésztermék-szükségletét az alábbi táblázat mutatja: F1 F2 F3 N1 5 3 2 N2 1 4 6 Melyik nyersanyagból mennyi szükséges az egyes végtermékekhez, és mekkora a nyersanyagszükséglet, ha V1-bıl 2000, V2-bıl 3000 egységet gyártanak? 27. Hat vállalat egymástól termékeket vásárol. A vállalatok jelei legyenek V1, V2,...,V6. Ezek a vállalatok egymástól a következı forintértékben vásárolnak:

Vásárló vállalat Vásárolt érték (1000 Ft) Eladó vállalat V1 10000 V2 V1 5000 V5 V2 9000 V3 V2 4000 V4 V2 7000 V5 V2 1000 V6 V3 5000 V1 V3 8000 V2

V1 V2 F1 1 3 F2 2 4 F3 5 2


V3 2000 V4 V4 4000 V1 V4 5000 V3 V4 12000 V6 V5 8000 V1 V5 3000 V4 V6 2000 V2 V6 3000 V4 V6 5000 V5

Határozzuk meg mátrixaritmetikai eszközökkel, hogy mennyit vásárolnak az egyes vállalatok a többi vállalattól, ill. az egyes vállalatoktól mennyit vásárol a többi vállalat! Mennyi lesz az összes kezelési költség, ha ez a vásárolt értékek 5%-át teszi ki? 28. A Tatabányai Szénbányák Vállalat egy adott évben több szénféleséget termelt. Az elıállított szénféleségeket nagy számú vállalat vette át, ill. exportálta. E szénfajták közül az alábbiakból volt a legjelentısebb a termelés: Tatabányai kocka: S1 Tatabányai dió: S2 Felsıgallai dió: S3 Tatabányai rostált dara: S4 Dorogi rostált dara: S5 Tatabányai por: S6 Az adott évben a vállalat által termelt szénféleségek legnagyobb vásárlói a kö-vetkezık: Tatabányai Cement és Mészmő V1 Tatabányai Hıerımő V2 Dorogi Brikettgyár V3 MÁV V4 TÜKER V5 LIGNIMPEX (exportra) V6 Az adott évben az egyes szénféleségekbıl a felsorolt vásárlók által vásárolt mennyiségek az alábbi táblázatból olvashatók le. A táblázatban levı számok 1000 tonnákat jelentenek.

V1 V2 V3 V4 V5 V6 A szénfajták egységárai Ft/tonna

S1 10 30 0 50 65 5 597 S2 25 0 0 75 85 45 559

VI. Mátrixok 175

S3 20 15 0 30 120 0 527 S4 0 0 0 25 35 150 135 S5 0 25 50 25 0 0 195 S6 0 130 35 0 0 0 140

A megvásárolt szénféleségek elszállítását (a vásárlókhoz) a Vállalat végzi 1 Ft-ért tonnakilóméterenként, melyet a vásárló fizet. A vásárlók átlagos távolsága a Vállalattól rendre 10, 15, 30, 70, 70, 180 km. Az exportra történı szállításnál az átlagtávolság a Vállalat és a határállomás közti távolságból adódik, mivel a hatá-ron túli szállítást a vásárló külföldi cég végzi. Feleljen mátrixmőveletekkel a következı kérdésekre:

a) Az adott évben mennyi volt a fenti szénféleségekbıl a Vállalat összfor-galma tonnában kifejezve? b) Az egyes vásárlók hány tonna szénféleséget vettek (külön-külön)? c) Az egyes vásárlók hány Ft-ért vásároltak szénféleségeket (külön-külön)? d) Mennyi volt a fuvarköltség vásárlónként? e) Mennyi volt a Vállalat bruttó bevétele (fuvarral együtt)?

29. Egy üzemben 1,2,...,j,...,m számú termékfajtát gyártanak 1,2,...,i,...,n szá-mú erıforrás felhasználásával. Jelentse:

[ ]a Aij = a fajlagos erıforrásigényt,

d dj =* a termékekbıl óránként gyártott mennyiséget,

t tj =* a termékek egységárát,

n ni =* az erıforrások egységárát,

k kj =* a termékeket terhelı egyéb költségeket,

h a napi munkaórák számát. Írjuk fel a következı kérdésekre a feleleteket mátrixaritmetikai jelölésekkel:

a) Mennyi a napi erıforrás-felhasználás erıforrásonként és összesen? b) Mennyi a napi nyereség a j-edik termékbıl, és mennyi az üzem összes nyeresége?


Feleljünk a fenti kérdésekre, ha

A d t n k h j=

=

=

=

=

= =

3 0 0 5 8

2 6 10 0 0

5 5 3 2 5

5

7

12

6

2

70

120

250

340

80

2

5

3

12

15

8

6

7

8 2

30. 3 utazási iroda 4 országba szervez utat. Az utak árait és az irodáknál je-lentkezık számát az alábbi táblázat mutatja:

Csehország Görögország Franciaország Szlovénia Cooptourist 15 40 23 21

Ibusz 23 37 18 25 Expressz 30 41 12 30

Az utak ára. 15000 35000 45000 20000 Adjuk meg mátrixmőveletekkel a következı kérdésekre a válaszokat:

a) Hányan jelentkeztek összesen a négy útra az Ibusznál? b) A négy útra mennyit fizettek be összesen az Expressznél? c) A három iroda szervezésében összesen hányan utaztak Franciaországba? d) A csehországi útra jelentkezık összesen mennyi pénzt fizettek be a három

irodánál? e) Hányan jelentkeztek a három irodánál összesen a négy külföldi útra?

31. Három üzletben háromfajta mosópor forgalmát vizsgálták egy adott na-pon. Az elsı táblázat a 2,4 kg-os mosóporok egységárát mutatja a három üzlet-ben, a második táblázat az eladott mennyiségeket.

Adjuk meg mátrixmőveletekkel a következı kérdésekre a válaszokat:

a) Mennyi volt a Spar adott napi összbevétele a három mosópor eladásából? b) Hányan vásároltak az adott napon a három üzletben összesen Biopont? c) Milyen értékben vásároltak Arielt a három üzletben összesen?

Tomi Biopon Ariel Spar 120 140 150 Profi 250 250 270 Plus 230 240 250

Tomi Biopon Ariel Spar 570 725 715 Profi 530 690 650 Plus 550 710 700

177

VI. MÁTRIXOK - MEGOLDÁSOK

1.

a) A B C+ − =2

10 1 5

3 7 2

3 2 10

6 6 4

−

−

−

− −

b) − + − =2A B C

− − − −

−

− − −

1 2 11 3

0 8 10 8

3 11 9 17

2. x a ya za c1 2 3+ + = , azaz a következı egyenletrenszert kell megoldani:

x y z

y z

x y z

x y z

y z

y z

x z

y z

z

x

y

z

+ + =

− − =

− + + = −

+ + =

+ = −

+ = −

− =

+ = −

− =

=

=

= −

2 0

3

5

2 0

3

3 2 5

0

3

4

2

1

4

Tehát a keresett lineáris kombináció: 2 41 2 3a a a c+ − =


3. x A y A z A t A C1 2 3 4+ + + =

Az

x y z t

y t

x z t

x y z t

+ − + = −

− + =

− + − = −

− − + =

4 2 3 2

2 5

1

2 2 1

egyenletrendszer megoldása:

x

y

z

t

=

= −

=

=

2

1

3

2

Tehát a keresett lineáris kombináció: 2 3 21 2 3 4A A A A C− + + =

4. [ ]0 0 1, ,*

5. [ ]1 4 7 9, , ,*

− −

6. [ ]− −5 6 1 2, , ,

7. [ ]− −1 7 4 4, , ,

8.

=

⋅++⋅++⋅+⋅

⋅++⋅++⋅+⋅

⋅++⋅++⋅+⋅

=

⋅

nj

j

j

nmnjnn

mj

mj

nmnjnn

mj

mj

a

a

a

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

MM

M

M

MMMM

2

1

21

222221

111211

21

222221

111211

0...1...00

0...1...00

0...1...00

0

0

1

0

0

......

......

......

A feladat másik részének bizonyítását a fent leírtak alapján az olvasóra bízzuk.

VI. Mátrixok - Megoldások 179

9.

( ) ( ) ( )

[ ]

[ ] ij

nj

ij

j

j

nmnjnn

mj

mj

mmnn

a

a

a

a

a

aaaa

aaaa

aaaa

jieAe

=

=

=

⋅

=

⋅⋅

M

M

M

M

MMMM

2

1

21

222221

111211

1,,,1

0...010...0

0

0

1

0

0

......

......

......

0...010...0*

10.

( ) ( ) ( )

[ ]

[ ] imiiimii

nmnn

imii

m

m

mmnn

aaaaaa

aaa

aaa

aaa

aaa

iAe

+++=

=

=

⋅

⋅=⋅

⋅

...

1

1

1

...

1

1

1

...

.

...

...

...

0...010...0*

2121

21

21

22221

11211

1,,,1

1

M

M

M

M

M

M

M

M

Hasonlóan látható be a feladat másik része is.


11.

( ) ( ) ( )

[ ]

∑∑∑∑∑= ====

=

=

=

⋅

⋅=⋅

⋅

m

j

n

i

ij

n

i

im

n

i

i

n

i

i

nmnn

imii

m

m

mmnn

aaaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

1 1112

11

21

21

22221

11211

1,,,1

1

1

1

...

1

1

1

...

.

...

...

...

1...11* 11

M

M

M

M

M

M

M

M

ami éppen a mátrixban szereplı összes elem összege. 12.

A B B A⋅ =

− −

−

− − −

⋅ =

− −

−

−

2 6 24 21

16 14 10 15

3 10 11 0

7 8 7 15

12 1 12

19 11 17

7 26 7

,

13.

A B B A⋅ =

⋅ = − − −

− − −

0 0

0 0

5 10 5

1 2 1

3 6 3

,

14.

A B⋅ =

− −

−

− −

−

4 3 1

8 0 2

4 1 1

0 2 0

, a B A⋅ szorzat nem létezik.

15.

A B B A⋅ =

⋅ =

6 6 6

2 2 2

1 1 1

6 2 1

6 2 1

6 2 1

,


16.

A B B A⋅ =

⋅ =

17 17 17

6 6 6

2 2 2

6 3 16

6 3 16

6 3 16

,

A mátrixok közti szorzás nem kommutatív. 17.

A A A A⋅ = −

−

⋅ =

−

− −

−

* *,

14 2 7

2 26 17

7 17 17

35 8 4

8 14 10

4 10 8

18.

P2

2 2 4

1 3 4

1 2 3

=

− −

−

− −

19.

N N2 3

0 0 0

3 3 9

1 1 3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

=

− − −

=

,

20.

A B B A⋅ = ⋅ =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

21.

A P P A⋅ =

−

− −

⋅ =− −

−

0 4 1 5

1 3 7 4

3 8 5 0

0 2 1 3

3 7 1 4

8 5 3 0

4 1 0 5

2 1 0 3

,

A P⋅ -vel oszlopcseréket, P A⋅ -val sorcseréket érhetünk el.


a)

0 1 0 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

⋅ A b) A ⋅

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

22.

A D D A⋅ =−

−

⋅ =

−

− − − −

20 3 0 5

15 21 0 4

40 15 0 0

10 3 0 3

20 5 0 25

9 21 3 12

0 0 0 0

2 1 0 3

Ha jobbról szorozzuk az A mátrixot a D mátrixxal, akkor az A mátrix oszlopait szorozza rendre a D megfelelı oszlopaiban álló konstansokkal. Ha balról, akkor az A sorait szorozza rendre a D megfelelı soraiban álló konstansokkal.

23.

T =

4 3 5 2

1 3 0 3

2 1 2 2

technológiai mátrix

[ ]a 6,10,12* = árvektor

[ ]p 100,200,300,100*

= programvektor

[ ]k 22,10,16,34*= egyéb költségek

[ ]f 120,140,100,110*

= fogyasztói ár

a) [ ]T p⋅ = 2700 1000 1200, ,* ennek ára: a T p

*⋅ ⋅ = 40600

b) a T k* * , , ,⋅ + = 80 70 70 100

c) f p*⋅ = 81000

d) ( )f p a T p k p* * *⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = 28000


24.

[ ] [ ]T a p c=

= =

=

1 3 2 4

0 2 3 3

2 1 1 2

10 12 8

40

25

60

50

450 400 300* , , , ,

anyagköltség a T p*⋅ ⋅ = 11030

erıforrásszükséglet: [ ]T p⋅ = 435 380 265, ,*

fajlagos anyagköltség: a T* , , ,⋅ = 26 62 64 92

Mivel T p c⋅ < , ezért a termelési program megvalósítható.

25.

[ ]A p a=

= =

25 1 3 2

20 1 5 3

0 2 4 2

3 5 4

50

200

350

60

* , ,

a) [ ]p A* , , ,⋅ = 17516 50 29

b) A a p A a⋅ =

⋅ ⋅ =

2620

3130

1920

31190*

26.

T

T

=

⋅

=

⋅

=

5 3 2

1 4 6

1 3

2 4

5 2

21 31

39 31

2000

3000

135000

171000


27.

F =

0 0 5 4 8 0

10 0 8 0 0 2

0 9 0 5 0 0

0 4 2 0 3 3

5 7 0 0 0 5

0 1 0 12 0 0

[ ]F ⋅ =1 17 20 14 12 17 13, , , , ,* megadja, hogy az egyes vállalatoktól mennyit

vásárol a többi.

[ ]1 15 2115 211110* , , , , ,F = megadja, hogy az egyes vállalatok mennyit vá-

sárolnak a többitıl.

1 1 93*⋅ ⋅ =F ekkora értékő 1000 Ft-ban az összvásárlás értéke. Ebbıl kö-

vetkezik, hogy 4650 Ft a kezelési költség. 28.

F =

10 30 0 50 65 5

25 0 0 75 85 45

20 15 0 30 120 0

0 0 0 25 35 150

0 25 50 25 0 0

0 130 35 0 0 0

[ ][ ]

a

s

*

*

, , , , ,

, , , , ,

=

=

597 559 527 135 195 140

10 15 30 70 70 180

a) 1 1 1050000*⋅ ⋅ =F tonna

b) [ ]1 55 200 85 205 305 200* , , , , ,⋅ =F

c) [ ]a F* , , , , ,⋅ = 30485 48890 14650 95835154285 48390 a komponensek

megadják, hogy az egyes vásárlók hány ezer forintért vásároltak szén-féleséget.


d) [ ]1 550 3000 2550 14350 21350 36000* , , , , ,⋅ ⋅ =F s , ahol

s =

10 0 0 0 0 0

0 15 0 0 0 0

0 0 30 0 0 0

0 0 0 70 0 0

0 0 0 0 70 0

0 0 0 0 0 180

e) p F F s* *⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =1 1 1 470335

29.

a) ( )h A d h A d⋅ ⋅ ⋅ ⋅;*1

b) ( )[ ]h e t n A e e k e dj j j j

* * * *⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ nyereség a j-edik termékbıl

( )[ ]h t n A k d* *

− ⋅ + ⋅ az összes nyereség.

488

1376

944

2800 3360 37944

30.

A:=

15 40 23 21

23 37 18 25

30 41 12 30

p:=

15

35

45

20

a) e A2 1 103*⋅ ⋅ =

b) e A p3 3025*⋅ ⋅ = ezer Ft-ot

c) 1 533*⋅ ⋅ =A e fı

d) p e A e* *⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =1 11 1020 ezer Ft-ot.

e) 1 1 315*⋅ ⋅ =A fı.


31.

A B: :=

=

570 725 715

530 690 650

550 710 700

120 140 150

250 250 270

230 240 250

a) e A B e1 1* *⋅ ⋅ ⋅

b) 1 2*⋅ ⋅B e

c) e A B e3 3* *⋅ ⋅ ⋅

187

IRODALOMJEGYZÉK

B.P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyőjtemény (Tankönyvkiadó, Bp. 1971.)

Denkinger Géza-Gyurkó Lajos: Analízis gyakorlatok (Tankönyvkiadó, Bp. 1992.)

Szalay István: Határérték, folytonosság, differenciálhatóság Példatár (JATEPress, Szeged, 1991.)

Leindler László: Analízis (Tankönyvkiadó, Bp. 1991.)

Szerényi Tibor: Analízis (Tankönyvkiadó, Bp. 1977.)

Fekete Zoltán-Zalay Miklós: Többváltozós függvények analízise Példatár (Mőszaki Kvk.,Bp. 1985.)

Csernyák László: Analízis (Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp.)

Szendrei János: Algebra és számelmélet (Tankönyvkiadó, Bp.)

Gáspár László: Mátrixaritmetikai gyakorlatok (Tankönyvkiadó, Bp. 1992.)

Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás (Mőszaki Kvk., Bp. 1970.)

Geylon, Paul: MEMO BAC Nouveaux programmes 83/84. Math. D (Bordas, Paris, 1983.)

Bognár Endre-Fejes Ferenc: Analízis feladatgyőjtemény jegyzet (Bp.1992.)

189

TARTALOMJEGYZÉK Elıszó .................................................................................................................... 3

I. Valós számsorozatok ......................................................................................... 5

I. Valós számsorozatok - Megoldások ................................................................ 19

II. Egyváltozós függvények ................................................................................. 45

II. Egyváltozós függvények - Megoldások .......................................................... 55

III. Differenciálszámítás ...................................................................................... 77

III. Differenciálszámítás - Megoldások ............................................................... 89

IV. Integrálszámítás .......................................................................................... 123

IV. Integrálszámítás - Megoldások ................................................................... 133

V. Többváltozós függvények ............................................................................ 147

V. Többváltozós függvények - Megoldások ..................................................... 153

VI. Mátrixok ...................................................................................................... 165

VI. Mátrixok - Megoldások............................................................................... 177

Irodalomjegyzék ................................................................................................ 187

nagyné csóti beáta matematika példatár

Documents