najteži problem na svetu ii - riemannova hipoteza

7/25/2019 Najtei Problem Na Svetu II - Riemannova Hipoteza

1/10

Najtei problem na svetu II: Riemannova hipotezansarski / 14.08.2008. u 21:49

KOMENTARI: 152

ITANOST: 43266 /

PREPORUKE: 952

/

Ako bi sproveli anketu medju matematiarima i pitali ih koji je, po njihovom miljenju, danas

najte!i nereen "undamentalni matematiki problem, verujem da bi njih 9 od 10 od#ovorili

$%iemannova hipote&a$. 'vaj problem je svrstan medju milenijumske probleme (la)

matematiko# institutai &a nje#ovo reenje je ponudjena na#rada od milion dolara. *roblem

je postavio +. %iemann u jednom radu pre oko 10 #odina i #enera-ije najboljih

matematiara su u&aludno pokuavale da #a ree. avid ilbert je jednom rekao: $ako me

&a 1000 #odina neko probudi i& mrtvih, moje prvo pitanje e biti da li je doka&ana

%iemannova hipote&a$

3ta je sadr!aj %iemannove hipote&e, i &ato je taj problem toliko va!an a bi mo#li na ovo

da od#ovorimo, potrebno je prvo napraviti nekoliko uvodnih napomena.

a ra&liku od *oin-areove pretpostavke, o kojoj je bilo rei u ranijem blo#u, i koja se odnosi

na topoloke osobine 2. 5 i viedimen&ionih povri 6dakle, apstraktnih matematikih

objekata7, %iemannova hipote&a #ovori o nekim "undamentalnim osobinama prirodnih
http://blog.b92.net/blog/2769/nsarski/http://blog.b92.net/blog/2769/nsarski/http://blog.b92.net/text/3779/Najtezi-problem-na-svetu-II%3A-Riemannova-hipoteza/#komentarihttp://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/http://blog.b92.net/text/3779/Najtezi-problem-na-svetu-II%3A-Riemannova-hipoteza/#komentarihttp://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/http://blog.b92.net/blog/2769/nsarski/


2/10

brojeva. 6edjutim, takodje &a ra&liku od *oin-areove pretpostavke, %iemannova hipote&a

se ne mo!e i&ra&iti jednom prostom reeni-om i &ato je ovaj tekst malo du!i 7. *rirodni

brojevi su oni brojevi koji se dobiju obinim brojanjem predmeta. 1, 2, 5, 4,...1,...20,...1000,

itd. su prirodni brojevi.

+rojanje je, setimo se, prva i najelementarnija matematika opera-ija ono je pro-edura koju

koristimo da imenujemo koliine, tj. da koliinama pridru!imo numeriku vrednost.. i de-u

uimo da broje otprilike u isto vreme kad ponemo da ih uimo rei, tj. da imenuju objekte,

pojmove, i radnje. +rojanje je ba&ino &nanje koje je de-i neophodno da bi ra&umela svet

oko sebe.

*rirodnih brojeva, ra&ume se, ima beskonano mno#o, a medju njima poseban &naaj i

ulo#u imajuprosti brojevi. o su brojevi koji su deljivi 6be& ostatka7 samo sa sobom i

jedini-om. ;a primer, brojevi 2, 5, , rka pa do danas, napisano na

hiljade strani-a popularno# teksta, matematikih anali&a, kurio&iteta, numeri-ke mitolo#ije i

slino, ali ovde nemamo dovoljno prostora da se toj temi detaljnije posvetimo.+rojevi koji nisu prosti &ovu se sloenibrojevi. ;a primer, svi parni brojevi, sem broja 2, su

slo!eni brojevi jer su deljivi sa brojem 2 6broj 2 je, oevidno, jedini paran prost broj7. akodje,

svi prirodni brojevi koji se &avravaju -i"rom 0 ili , osim samo# broja , su slo!eni jer su

deljivi prostim brojem , itd.

?a!nost prostih brojeva proistie i& sledee "undamentalne teoreme o ra&la#anju

6"aktori&a-iji7:

svaki prirodan broj se moe, na jedinstven nain, napisati kao proizvod prostih brojeva.

;a primer, broj 1 mo!e da se &apise kao 1@5, broj 12 kao 12@225, broj 15 kao 15@15,tj ovaj broj se ne mo&e ra&lo!iti na prostije delove jer je i sam prost. *rosti brojevi imaju

BBatomsku$ prirodu neraslanjivosti, da tako ka!em. C tom smislu se ka!e da su prosti brojevi

u matemati-i slini osnovnim harmoni-ima u mu&i-i. Dao to se svaki ton u mu&i-i mo!e

predstaviti kao odredjeni jedinstven &bir osnovnih &vunih harmonika, tako se i svaki prirodan

broj mo!e predstaviti kao odredjeni jedinstven proi&vod prostih "aktora. bo# to#a se

ponekad #ovori o muzici prostih brojeva. *rosti brojevi su osnovni numeriki BBdeloviBB od kojih

su svi prirodni brojevi BBiradjeniBB mno!enjem.

;a ovom mestu je korisno pomenuti i >oldba-hovu pretpostavku 61


3/10

kao 18@


4/10

ponovimo beskonano mno#o puta. =kup svih prostih brojeva, dakle, ne mo!e da bude

konaan, tj. prostih brojeva ima beskonano mno#o. oka& &avren.

Dljuno je i& sve#a do sada reeno# &apamtiti da se svaki prirodan broj mo!e "aktori&ovati, ili

rastaviti, kao proi&vod prostih brojeva na jedinstven nain, i da prostih brojeva ima

beskonano mno#o.

'D, ima ih beskonano mno#o, ali postoji li neki nain da utvrdimo kako su prosti

brojevi rasporedjenidu! brojne ose ;a primer, da li ima vie prostih brojeva i&medju 1 i

1000, ili i&medju 10000 i 11000, ili na nekom dru#om se#mentu du!ine 1000 na brojnoj osi

'vo pitanje mo!e da se postavi i na dru#i nain: koliko ima prostih brojeva manjih od neko#

&adato# broja I ;a primer, koliko ima prostih brojeva manjih od 00

Cpravo ovo je bio naslov %iemannovo# ori#inalno# rada i& 189. #odine Ueber die Anzahl

der Primzahlen unter einer gegebenen r!sse6 " broju prostih brojeva manjih od nekog

zadatog broja7 u kome je postavio svoju hipote&u.

elimian od#ovor na ovo pitanje mo!emo da potra!imo $peakim$ putem. amislimo da

podjemo du! brojne ose, pola&ei od broja 1, kora-ima jedinine du!ine, i da brojimo proste

brojeve koje na tom putu $sretnemo$. ok sti#nemo do broja 10, na primer, prebrojaemo 4

prosta broja 62,5,,


5/10

menja se i vrednost joj je stalno 4, pa kod prosto# broja 11 poraste &a jedan BBstepenikBB i

vrednost joj je , pa kod broja 12 se ne menja jer 12 je slo!en broj, pa kod prosto# broja 15

opet poraste &a jedan BBstepenikBB, pa se kod brojeva 14, 1 i 1J ne menja jer su ovo slo!eni

brojevi, pa kod prosto# broja 1< poraste &a jedan BBstepenikBB, itd.

Dad po#ledamo u #onju sliiku, broj taki-a u hori&ontalnom ni&u nam ka!e kolika je du!ina

to# intervala na kome nema prostih brojeva. ;e#de je ta du!ina 2 tamo #de su prosti

brojevi susedni neparni brojevi 65 i 7 re-imo, ili 611 i 157, ili 61< i 197 i ovakvi parovi prostih

brojeva se &ovu BBbli&an-iBB 6tMin pairs7. ;e#de je taj interval na brojnoj osi #de nema prostih

brojeva du!ine 4 6i&medju < i 11, na primer7, ili du&ine J 6i&medju 25 i 29, na primer7. C

svakom sluaju, prosti brojevi nisuravnomernorasporedjeni du! brojne ose. o se vidi i po

tome to "unk-ija K6#7, predstavljena #ore, ne raste ravnomerno, ve je &akrivljena, ili,

tehniki reeno, nelinearna.

obro, nisu ravnomerno rasporedjeni, a da li su po nekompravilu rasporedjeni, ili sepojavljuju na brojnoj osi potpuno sluajno, na nepredvidljiv nain 'vo pitanje je, &apravo,

pitanje o globalnomponaanju "unk-ije K6#7 #ore je na-rtano samo njeno ponaanje na

intervalu od 1 do J0 mi hoemo da &namo neto o svimprostim brojevima, tj. o njihovom

rasporedu na celojbrojnoj osi. 'd#ovor na nje#a je sutina %iemannove hipote&e.

a bi stekli malo bolji uvid, korisno je po#ledati kako ileda "unk-ija K6#7 prika&ana na

veem intervalu. Donkretno, na intervalu od 1 do 1000 ona ileda ovako

;a intervalu od 1 do 0 000 ovako


6/10

;a ovako velikim skalama se $stepeni-i$ na naoj "unk-iji uopte ne vide to, naravno, ne

&nai da ih nema, samo da su mali. *osebno pada u oi da bi naa "unk-ija, dobijena

najobinijim brojanjem, mo!da mo#la da se aproksimativno napie u nekom &atvorenom

obliku.

*rvi pokuaj u ovom prav-u je napravio >auss, %iemannov pro"esor. 'n je naao da bi

najbli!a aproksima-ija &a nau "unk-iju bila

m, da proverimo. namo na primer da je K61007@2, tj. da od 1 do 100 ima 2 prostih

brojeva. *rema #ornjoj "ormuli se dobije 100/lo#[email protected] je predlo!io "unk-iju Oi67, po&natu kao lo#aritamski inte#ral ona je

prosto inte#ral "unk-ije 1/lo#6u7, na intervalu 2 do , tj.

Ako bi &ajedno na-rtali tok "unk-ija K6#7 i Oi67 od 1 do 0000 dobili bi ovakvu sliku


7/10

ru#im reima, na ovoj skali, ra&lika se uopte ne vidi. ;e &aboravimo, ipak, da je naa

"unk-ija K6#7 stepenasta, dok je Oi67 neprekidna, #latka "unk-ija, i da je u pitanju samoaproksima-ija. C redu, koliko se to ra&likuju naa stepenasta "unk-ija K6#7 koja ka!e koliko

ima prostih brojeva na intervalu od 1 do , i #latka "unk-ija Oi67 %iemann je ponudio

pre-i&an od#ovor na ovo pitanje.

;je#ov od#ovor se ba&ira na osobinama jedne dru#e "unk-ije, t&v. %iemannove &eta "unk-ije

koja je de"inisana kao

'vo ileda malo &astraujue nematematiarima, ali i&ra& je samo skraeni &apis &a

beskonani ni&. ru#im reima, &617@1/1E1/2E1/5E1/4E1/....itd., ili

&627@1/1P2E1/2P2E1/5P2E1/4P2E...itd., C opstem slu-aju, u&memo broj 1 pa #a stepenujemo

brojem s i dobijemo 1Ps, pa broj 2 stepenujemo sa s i dobijemo 2Ps, pa broj 5 stepenujemo

sa s i dobijemo 5Ps, itd. *otom "ormiramo ra&lomke 1/1Ps, 1/ 2Ps, 1/5Ps, ... itd., i sve te

ra&lomke &ajedno saberemo. o je "unk-ija &6s7. Dako se sada odjednom pojavila ova

"unk-ija, i kakve ve&e ona ima sa naom priom o prostim brojevima 'd#ovor na ovo je du#

i &animljiv 6i sadr!i oko 200 #odina matematike istorije7, ali ja se neu uputati u detalje.

ovoljno je samo da ka!em da je Fuler prvi poka&ao da se "unk-ija &6s7, de"inisana #ore kao

beskonaan ni&, mo!e ekvivalentno &apisati i kao beskonaan proi&vod

po svim prostim brojevima. G tu se nala&i ve&a sa naom priom.


8/10

C svojoj studiji prostih brojeva i njihovih osobina, %iemann je prvi prouavao osobine &eta

"unk-ije, &6s7, kada je s kompleksan broj. akle, eksponent snije vise samo realan stepen

kao na primer s@1, ili s@4, ili [email protected] Cnitar) Fnsembles


9/10

>CF, kvantni bilijar, itd7. akodje, ustanovljena je ve&a i&medju nekih statistikih osobina

nula &eta"unk-ije i ener#ijskih nivoa u teskim nuklearnim jerima. 'zmi(ljenisu "i&iki

sistemi, #asovi Fulerium i %iemannium na primer, ije se termodinamiko ponaanje i&vodi i&

osobina &eta"unk-ije, Ckratko, kao da su u osobinama nula ove "unk-ije enkodirani neki

"undamentalni "i&iki &akoni, na nain koji jo ne ra&umemo. ?e&a i&medju teorije brojeva i

teorijske "i&ike poinje da se o&biljnije na&ire.

Dakve ovo ima posledi-e po nau prvobitnu priu o prostim brojevima i njihovom rasporedu

=etimo se, doli smo do to#a da je "unk-ija Oi67 dobra aproksima-ija nae "unk-ije, K6#7,

koja broji koliko ima prostih brojeva na intervalu od 1 do , ali da se od nje ipak ra&likuje.

Doliko se ra&likuje

Ako !e Riem"nnov" #i$o%e" %"&n", onda je

dru#im reima, ove dve "unk-ije se ra&likuju &a korek-ioni "a-tor reda veliine P1/2 lo#67,

kako pie u "ormuli. 'vaj stepen 1/2 upravo potie od polo!aja nula %iemannove &eta

"unk-ije i &ato nam je -ela pria o njoj trebala. 3ta ovo konkretno &nai, i &ato je to va!no

Fvo &ato je va!no. ;adam se da u na ovom mestu da nadjem ponovo sve one koje samusput iubio u matemati-i i "ormulama, jer dalje vie matematike nema i sve u ilustrovati

prostim primerom.

Dada ba-imo ispravan novi u vis, sa verovatnoom 1/2 6ili 0N7 oekujemo da e da

padne LB#lavaBB, i verovatnoom 1/2 6ili 0N7 da e biti LBpismoBB. 3ta ovo &nai *a, svakako

ne &nai da e, ako je u prvom ba-anju ispala #lava, re-imo, da e u sledeem obaveznobiti

pismo. ;e, mi se ne bi i&nenadili ako bi #lava i&ala nekoliko puta u&astopno to nije

nemo#ue, ali nije ni suvie neverovatno ako je broj ba-anja mali. C drami oma =toparda

LB%o&enkran- i >ilderstern su mrtviBB njih dvoji-a prekrauju vreme tako to ba-aju novi.Dad je ve sedamdeset i neki put u&astopno i&ala #lava, oni ve poinju da "ilo&o"iraju o

malo verovatnim do#adjajima onima koji se skoro nikada ne deavaju, ali nisu nemo#ui.

Ako 1000 puta ba-imo novi, mi oekujemo da e oko 00 puta ispasti #lava i oko 00 puta

pismo. ;aravno, kod konkretnih ba-anja, ovo ne mora tanoda se ostvari mo!emo da

dobijemo 49 puta #lavu i 0 puta pismo. G to je 'D. ?erovatnoa ka!e da e,proseno00

puta ispasti #lava, ali ne obavezno i tano tolikoputa kod 1000 ba-anja novia. edjutim,

ako bi dobili 500 puta #lavu i


10/10

sRrt610007/4@8 ili neto slino S&a ljubitelje statistike u pitanju je binomna raspodela #de je

srednja vrednost np, a kvadrat devija-ije np61p7, p@1/2T. apamtimo rei kvadratni korenu

prethodnoj reeni-i. akle, svi re&ultati #de smo u 1000 ba-anja dobili 00 puta #lavu, plus

minus 8 ili slino, su oekivani. Ako bi dobili #lavu samo 500 puta, to je ekstremno malo

verovatno pomislili bi da ili sa noviem neto nije u redu, ili sa svetom kakav po&najemo

neto nije u redu 6to je eksploatisano u =topardovoj drami7.

Ako je $imanova hipoteza tana onda je ona #ore "ormula o rasporedu prostih brojeva na

brojnoj osi tana. A to &na-i da mi mo!emo da predvidimo pojavu sledee# prosto# broja na

brojnoj osi sa pou&danosu koja je ista kao i kod ba-anje novia. Ako i&raunamo da je broj

prostih brojeva u intervalu od 1 do , dat prema "unk-iji Oi67, onda smo u tom od#ovoru

po#reili otprilike kao kod predvidjanja da e i& 1000 ba-anja novia 00 puta da se pojavi

#lava. G ovo se sve &asniva na hipote&i da se nule %iemannove "unk-ije nala&e na liniji U

kako je #ore objasnjeno. bo# te U imamo i kvadratni koren. oka& ove hipote&e bi nasuverio da su prosti brojevi, do nama ra&umne mere predvidljivi koliko i ba-anje novia. =vi

su iledi da je ovo sluaj, barem koliko mo!emo numeriki da proverimo.

Ako $iemannova hipoteza nije tanaonda ovo predvidjanje ne va!i, i prosti brojevi su

rasporedjeni na mno#o vie neuredjen nain. ru#im reima, ovo &nai da postoji ne#de

numeriki beskraj u svemiru brojeva #de su naa osnovna ra&umevanja o prostim brojevima

netana, i #de su ekstremno retki do#adjaji ee mo#ui.

a bi &nali u kojem od ovih svetova !ivimo potrebno je da reimo najte!i problem na svetu. C

tome se sadr&i -elokupna a#onija i eksta&a %iemannove hipote&e

najteži problem na svetu ii - riemannova hipoteza

Documents