Nasjonal prøve i regning

Veiledning til lærere Oppfølging og videre arbeid med prøven på 8. og 9. trinn

Bokmål

2015

+

–

=

2

InnholdOppfølging og videre arbeid med prøven ........................................................................................4

Hva måler den nasjonale prøven i regning? ..................................................................................4

Helhetlig problemløsningsprosess ..............................................................................................5

Hvordan følge opp resultatene? ...................................................................................................7

Mestringsnivå ............................................................................................................................7

Hvordan bruke mestringsbeskrivelsene? ......................................................................................9

Oppfølging og videre arbeid med prøvene og resultatene ................................................................9

Hvordan følge opp resultatene i lærerkollegiet? ............................................................................9

Samarbeid om resultatene for temaet måling .......................................................................... 10

Oppgave 17 ........................................................................................................................ 10

Hvordan følge opp resultatene til elevgruppen? ......................................................................... 12

Hvordan følge opp resultatene til den enkelte elev? ................................................................... 13

Mer informasjon om årets prøver ................................................................................................ 14

Et dypdykk i årets oppgaver ...................................................................................................... 17

Hvordan kan elevene utvikle sine regnestrategier? .................................................................... 17

Tall og algebra ........................................................................................................................... 18

Mestringsnivå 1 ..................................................................................................................... 18

Oppgave 1 .......................................................................................................................... 18

Mestringsnivå 2 ..................................................................................................................... 20

Oppgave 4 .......................................................................................................................... 20

Oppgave 25 ........................................................................................................................ 22

Mestringsnivå 3 ..................................................................................................................... 24

Oppgave 26 ........................................................................................................................ 24

Mestringsnivå 4 ..................................................................................................................... 26

Oppgave 48 ........................................................................................................................ 26

Mestringsnivå 5 ..................................................................................................................... 28

Oppgave 49 ........................................................................................................................ 28

Måling og geometri .................................................................................................................... 30

Mestringsnivå 1 ..................................................................................................................... 30

Oppgave 17 ........................................................................................................................ 30

Mestringsnivå 2 ..................................................................................................................... 33

Oppgave 7 .......................................................................................................................... 33

Mestringsnivå 3 ..................................................................................................................... 34

Oppgave 14 ........................................................................................................................ 34

3

Mestringsnivå 4 ..................................................................................................................... 36

Oppgave 42 ........................................................................................................................ 36

Mestringsnivå 5 ..................................................................................................................... 38

Oppgave 47 ........................................................................................................................ 38

Statistikk og sannsynlighet ........................................................................................................ 40

Mestringsnivå 1 ..................................................................................................................... 40

Oppgave 41 ........................................................................................................................ 40

Mestringsnivå 2 ..................................................................................................................... 42

Oppgave 33 ........................................................................................................................ 42

Mestringsnivå 3 ..................................................................................................................... 44

Oppgave 38 ........................................................................................................................ 44

Mestringsnivå 4 ..................................................................................................................... 46

Oppgave 36 ........................................................................................................................ 46

4

Oppfølging og videre arbeid med prøven Formålet med nasjonale prøver er å vurdere og utvikle elevenes ferdigheter i lesing, regning og deler av faget engelsk. Med utgangspunkt i dette kan du planlegge og følge opp arbeidet med prøvene. Det er viktig at du bruker både prøvene og analyserapporten med prøveresultatene aktivt når du gir elevene tilbakemelding og råd for videre oppfølging av prøveresultatet. Måten du veileder elevene på, har stor betydning for elevenes læring.

Analyserapporten finner du i PAS. Der finner du også en veiledningsvideo som viser hvordan rapporten kan brukes.

Hva måler den nasjonale prøven i regning?Den nasjonale prøven i regning skal kartlegge i hvilken grad elevenes ferdigheter er i samsvar med kompetansemål i Kunnskapsløftet (LK06), der regneferdigheter er integrert. Det innebærer at prøven er en prøve i regning som grunnleggende ferdighet i alle fag. Rammeverk for grunnleggende ferdigheter, som du finner på Utdanningsdirektoratets nettsider, beskriver hva regning er, og hvordan ferdigheten utvikles. Grunnleggende ferdigheter i regning innebærer tallforståelse, måleferdighet og tallbehandling knyttet til et bredt spekter av oppgaver og utfordringer i faglige og dagligdagse sammenhenger. Regneferdigheter handler også om å kunne tolke og lage grafiske og kvantitative framstillinger.

Prøven for 8. og 9. trinn tar utgangspunkt i kompetansemål etter 7. trinn. Prøven for 9. trinn er den samme som for 8. trinn. Problembehandling, logisk resonnement, tolking og analysering av diagram og tabeller, er eksempler på sentrale områder i læreplanene for flere fag, der det å kunne regne inngår som en grunnleggende ferdighet. Elevene må forstå oppgaven, beskrive hvordan de best kan løse den, gjennomføre regneoperasjonene og vurdere om resultatet er rimelig. Innholdet er knyttet til områdene tall og algebra, måling og geometri og statistikk og sannsynlighet. Regnesymboler og regneoperasjoner inngår som en del av grunnleggende ferdighet i å kunne regne. Problemstillingene i oppgavene er situasjoner som elevene kan kjenne seg igjen i.

Tall og algebraOmrådet tall og algebra handler om tallforståelse og generalisering av tallregning ved at bokstaver eller andre symboler erstatter tall. Det innebærer å kvantifisere mengder og størrelser, utforske og beskrive geometriske mønster og tallmønster, kjenne igjen situasjoner som krever regning og utføre beregninger.

Måling og geometri Området måling og geometri handler om å kunne gjøre sammenligninger og utføre beregninger i emnene lengde, areal, volum, vinkel, masse, tid, målestokk, pris og valuta. Det innebærer bruk og omgjøring av måleenheter, og det å kunne tegne, beskrive og bruke geometriske begreper og figurer i ulike sammenhenger.

Statistikk og sannsynlighetOmrådet statistikk og sannsynlighet handler om å organisere, analysere, presentere og vurdere data og grafiske framstillinger og å forutse hendelser. Å forutse hendelser handler om å vurdere sjanser i dagligdagse sammenhenger og i ulike spill, beregne sannsynlighet i enkle situasjoner og kunne bruke ulike representasjoner for å uttrykke sannsynlighet.

5

SENTRALT INNHOLD I PRØVEN FOR 8. OG 9. TRINN

• Gjenkjenne og beskrive konkrete situasjoner fra virkeligheten der matematikk er involvert, både i kontekster som elevene har god erfaring med, og i mer ukjente, sammensatte og kognitivt krevende kontekster.

Eksempler på kontekster i årets prøve: – kjøp og salg – matlaging – målinger – reise – idrett og andre fritidsaktiviteter – kart – foreta og tolke undersøkelser (statistikk) – ulike kontekster knyttet til fag

• Bruke og bearbeide matematiske begreper, prosedyrer, fakta og verktøy for å finne løsninger på problemer, både der det kan benyttes enkle strategier og der det kreves mer effektive strategier. Problemene kan knyttes til ulike matematiske temaer.

Eksempel på matematiske temaer i årets prøve: – plassverdisystemet for hele tall og desimaltall – de fire regneartene (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon) – begrepene brøk, desimaltall og prosent og sammenhengen mellom dem – tolke og bruke algebraiske formler – temperatur, tid, masse, vinkler, lengde, areal og volum – forhold (blandingsforhold, valuta og målestokk) – omgjøring mellom prefikser (for eksempel fra g til kg) – lese, tolke og framstille ulike typer tabeller og diagrammer – sentralmål (gjennomsnitt, median og typetall) og representasjoner av data

• Reflektere over rimeligheten av egne svar og svaralternativer i flervalgsoppgaver, og vurdere om dette er gode svar på de problemene elevene skal løse.

Helhetlig problemløsningsprosess Å kunne regne består av fire ferdighetsområder1. De tre ferdighetsområdene, gjenkjenne og beskrive, bruke og bearbeide, og reflektere og vurdere, er prosesser elevene må arbeide seg gjennom når de regner i fagene. Disse ferdighetsområdene utgjør til sammen en helhetlig problemløsningsprosess som vi kaller matematisk modellering. Kommunisere, det fjerde ferdighetsområdet, er et sentralt element i hvert av de andre områdene.

Under en nasjonal prøve i regning skal elevene i de fleste tilfellene skrive inn et endelig svar eller velge korrekt svaralternativ. De har derfor svært begrensede muligheter til å kommunisere. Dette ferdighetsområdet vil vi av denne grunn ikke gå nærmere inn på i denne veiledningen.

1 Rammeverk for grunnleggende ferdigheter, Utdanningsdirektoratet 2012, http://www.udir.no/Upload/larerplaner/lareplangrupper/RAMMEVERK_grf_2012.pdf?epslanguage=no

6

Gjenkjenne og beskrive (GB)Elevene skal kunne gjenkjenne situasjoner fra ulike fag der det er hensiktsmessig å bruke regning. Det kan være situasjoner som involverer for eksempel tallstørrelser, diagrammer, tabeller, geometriske former og måleenheter. Elevene skal også kunne formulere problemstillinger på en hensiktsmessig måte slik at de kan løses ved hjelp av regning.

I den nasjonale prøven vil denne prosessen være avgjørende for om elevene klarer å formulere det riktige matematiske problemet ut fra de gitte kontekstene.

Bruke og bearbeide (BB)Elevene skal kunne anvende matematisk kompetanse for å løse problemstillinger i ulike faglige kontekster. For å løse problemene må elevene bruke matematiske begreper, fakta og verktøy. Underveis må de resonnere, velge gode strategier og bruke hensiktsmessige verktøy.

I den nasjonale prøven vil denne prosessen være avgjørende for de elevene som ut fra de gitte kontekstene har klart å formulere de riktige matematiske problemene. Disse elevene har da kommet fram til de riktige regneoperasjonene, og utfordringen blir dermed å løse regneoperasjonene korrekt. Enkelte oppgaver inneholder sammensatte problemer der en må resonnere underveis i løsningsprosessen.

Reflektere og vurdere (RV)Elevene skal kunne reflektere over, tolke og vurdere løsninger. Både løsningen og resonnementet må vurderes. Elevene må kunne avgjøre om resultatene som de har funnet, er fornuftige og logiske ut fra den opprinnelige situasjonen. Vurderingen blir gjort på bakgrunn av den opprinnelige problemstillingen, den faglige konteksten og kunnskapen de har i faget.

I de nasjonale prøvene vil denne prosessen i tillegg få en annen dimensjon. Det skyldes at veldig mange av oppgavene er flervalgsoppgaver. Da kan elevene noen ganger finne korrekt svaralternativ, bare ved å reflektere over hva som kan være mulig svar på det gitte problemet.

7

Når elevene anvender den grunnleggende ferdigheten å kunne regne, arbeider de seg gjennom ett eller flere i trinn i modelleringsprosessen, slik den er fremstilt i figuren. I enkelte tilfeller kan en av prosessene være mer krevende enn de andre. Det kan også være at elevene ikke er innom alle prosessene. Hvis de får presentert en ferdig modell, for eksempel en grafisk framstilling av valgresultater, vil det være naturlig at de går direkte til prosessen bruke og bearbeide.

Hvordan følge opp resultatene?For at du skal kunne følge opp elevene dine kort tid etter gjennomføringen, kan du hente ut resultater fra Prøveadministrasjonssystemet (PAS). Resultatene ligger i analyserapporten i venstremenyen i PAS. Der finner du også en kort veiledningsvideo som beskriver hvordan analyserapporten skal brukes.

MestringsnivåElevene blir plassert på mestringsnivå ut fra hvilke oppgaver de har besvart riktig og skalapoengene de har fått på prøven. På 8. og 9. trinn er det fem mestringsnivå, der nivå 1 er det laveste og nivå 5 det høyeste nivået. Til hvert nivå følger en kort tekst som beskriver ferdighetene til den typiske eleven på dette nivået.

I beskrivelsen av et nivå gjentas ikke ferdigheter som allerede er beskrevet på et lavere nivå. Progresjonen i nivåene er slik at en antar at elever som skårer til nivå 4, har de ferdighetene som er beskrevet på nivå 1 til og med nivå 4. Kravene til ferdigheter, som evne til refleksjon, analyse og vurdering av egne svar, øker med stigende mestringsnivå.

8

Mes

trin

gsbe

skri

vels

er -

Nas

jona

l prø

ve i

regn

ing

- 8. og

9. tr

inn

2015

Mes

trin

gsni

vå 1

Mes

trin

gsni

vå 2

Mes

trin

gsni

vå 3

Mes

trin

gsni

vå 4

Mes

trin

gsni

vå 5

Den

typ

iske

ele

v på

det

te

nivå

et g

jenk

jenn

er k

onkr

ete

situ

asjo

ner so

m k

an lø

ses

ved

å br

uke

enkl

e st

rate

gier

Den

typ

iske

ele

v på

det

te

nivå

et v

elge

r hen

sikt

smes

sige

re

gnea

rter

og

bruk

er u

like

met

oder

for å

finne

sva

ret i

oppg

aver

som

kre

ver et

t tr

inn.

Den

typ

iske

ele

v på

de

tte

nivå

et lø

ser en

kle

sam

men

satt

e pr

oble

mer

der

ta

llene

er en

kle

å re

gne

med

Den

typ

iske

ele

v på

det

te

nivå

et s

er s

amm

enhe

nger

m

ello

m s

amm

ensa

tte

prob

lem

still

inge

r og

kje

nte

løsn

ings

met

oder

. Ele

ven

fore

tar i t

illeg

g om

gjør

inge

r

Den

typ

iske

ele

v på

det

te

nivå

et b

ruke

r et

var

iert

utv

alg

prob

lem

løsn

ings

-str

ateg

ier.

Elev

en k

an b

egru

nne

met

odev

alg

og fi

nne

løsn

inge

r, bå

de n

år d

et g

jeld

er

kogn

itivt

kre

vend

e op

pgav

er

og o

ppga

ver m

ed tal

l som

er

utfo

rdre

nde

å re

gne

med

Den

typ

iske

ele

v ka

n

• u

tfør

e ad

disj

on o

g do

blin

g/ha

lver

ing

med

enk

le tal

l• v

elge

pas

send

e pr

efiks

i kj

ente

kon

teks

ter

• le

se a

v og

lage

enk

le

tabe

ller og

dia

gram

mer

• v

urde

re rim

elig

hete

n av

sva

r i k

jent

e ko

ntek

ster

med

en

kle

tall

Den

typ

iske

ele

v ka

n

• a

nven

de a

ddis

jon,

su

btra

ksjo

n el

ler

mul

tiplik

asjo

n fo

r å

løse

en

kle

prob

lem

er• b

ruke

kje

nte

brøk

er

(eks

: 1 2,

1 3,

1 4) o

g pr

osen

t til

å

gjør

e en

k le

ber

egni

nger

• b

ereg

ne e

nkle

tid

sint

erva

ller

• a

nalo

g og

dig

ital t

id• le

se a

v sa

mm

ensa

tte

tabe

ller og

dia

gram

mer

Den

typ

iske

ele

v ka

n

• lø

se o

ppga

ver so

m

krev

er g

od k

unns

kap

i pl

assv

erdi

syst

emet

• lø

se o

ppga

ver so

m

krev

er d

ivis

jon

og/e

ller

mul

tiplik

asjo

n • re

gne

med

pro

sent

og

brøk

• fi

nne

pros

entt

alle

t i

oppg

aver

der

tal

lene

lett

ka

n gj

øres

om

til

kjen

te

brøk

er• lø

se o

ppga

ver so

m k

reve

r en

kel a

lgeb

rais

k te

nkin

g• re

late

re n

egat

ive

tall

til

talli

nja

• lø

se o

ppga

ver so

m k

reve

r om

gjør

ing

mel

lom

de

mes

t kj

ente

pre

fikse

r• lø

se o

ppga

ver so

m k

reve

r kj

enns

kap

til g

eom

etris

ke

egen

skap

er til

trek

ante

r, fir

kant

er o

g si

rkel

• 6

0-ta

llssy

stem

et i

min

og

s• lø

se o

ppga

ver so

m k

reve

r fo

rstå

else

av

gjen

nom

snitt

• re

flekt

ere

over

og

vurd

ere

rimel

ighe

ten

av e

gne

svar

Den

typ

iske

ele

v ka

n

• lø

se o

ppga

ver so

m k

reve

r al

gebr

aisk

ten

king

• lø

se o

ppga

ver so

m k

reve

r om

gjør

ing

mel

lom

alle

pr

efiks

er• lø

se o

ppga

ver so

m

krev

er o

mgj

ørin

g m

ello

m

mål

eenh

eter

• re

gne

med

are

al o

g vo

lum

• to

lke,

bea

rbei

de o

g an

alys

ere

diag

ram

mer

og

tabe

ller

• g

jøre

ove

rsla

g

Den

typ

iske

ele

v ka

n

• lø

se o

ppga

ver so

m k

reve

r re

gnin

g m

ed fo

rhol

d• v

urde

re, a

naly

sere

og

sam

men

ligne

dat

amat

eria

le• a

naly

sere

og

refle

kter

e ov

er

svar

alte

rnat

iver

og

egne

sv

ar

9

Hvordan bruke mestringsbeskrivelsene?Det er viktig å være klar over at elevene innenfor hvert nivå har fått ulike skalapoeng på prøven, og at enkelte kan ha fått skalapoeng som ligger nær en grenseverdi mellom to nivåer. Mestringsbeskrivelsene må derfor tolkes som generelle beskrivelser av ferdigheter som er nødvendige for å kunne løse oppgaver på et bestemt mestringsnivå.

Mestringsnivå 1 omfatter også elever som har fått ingen riktige svar på prøven (ca. 20 skalapoeng). Det betyr at noen elever får en beskrivelse som er mer positiv enn det prøveresultatet til eleven viser. Beskrivelsen av mestringsnivå 1 kan likevel være til hjelp for hvordan eleven kan utvikle ferdighetene sine. Når resultatene skal brukes til å følge opp elevene, er det naturlig å se resultatene på den nasjonale prøven i sammenheng med annen informasjon du har om eleven.

Etter gjennomføringen er det viktig at resultatene og råd om veien videre kommuniseres med foreldrene, slik at de kan følge med på og støtte opp om barnets utvikling.

Oppfølging og videre arbeid med prøvene og resultateneHer får du noen forslag til hvordan resultatene kan følges opp. Det er naturlig at dette arbeidet starter i lærerkollegiet, før resultatene presenteres i klassen og brukes til å følge opp enkeltelever.

Hvordan følge opp resultatene i lærerkollegiet?Når skolen analyserer prøveresultatene, er det viktig å ta hensyn til lokale forhold, blant annet lokalt læreplanarbeid, satsingsområder eller kjennetegn ved årskullet eller elevgruppen. Spesielt i små skoler og kommuner kan noen få elever som presterer veldig svakt eller veldig sterkt, gi store utslag på resultatene. Resultatene må også vurderes ut fra det generelle inntrykket av elevenes ferdigheter, motivasjon og arbeidsinnsats.

Spørsmål til refleksjon og diskusjon• Ser vi mønstre eller tendenser i resultatene for vår skole eller i våre klasser?• Har vi annen informasjon som bekrefter eller avkrefter resultatene fra nasjonale prøver?• Indikerer resultatene fra nasjonale prøver at det er behov for ytterligere kartlegging?• Hvilke konsekvenser får resultatene for skolens videre praksis?• Hva kan vi gjøre for å forbedre de resultatene vi ikke er fornøyd med?

Denne delen av veiledningen inneholder konkrete tips til hvordan lærerkollegiet kan samarbeide om oppfølging av resultatene. Vi har valgt å bruke temaet måling som eksempel.

10

Samarbeid om resultatene for temaet målingElevene ved «Bymyra skole» har gjennomført den nasjonale prøven i regning. Lærerne har studert analyserapporten og sett at elevene har skåret lavt innenfor området måling. I stor grad gjelder det oppgaver der omgjøring mellom prefikser er hovedfokuset. Spesielt legger lærerne merke til resultatet for oppgave 17. Analyserapporten viser at på landsbasis har omtrent 80 % av elevene løst oppgaven riktig, men ved «Bymyra skole» er løsningsprosenten bare 48.

Ved oppfølging av resultater er det hensiktsmessig å ta utgangspunkt i oppgaver med lav løsningsprosent i elevgruppen. I årets prøve er det generelt omgjøring mellom prefikser som har gitt elevene store utfordringer.

Nedenfor skisserer vi en modell som kan brukes i lærerkollegiet til å følge opp elevenes resultater. Den er generell og kan benyttes uavhengig av resultatet på ens egen skole. Eksemplet som følger tar utgangspunkt i oppgave 17, som også omtales senere i veiledningen.

Oppgave 17

IGP kan være en modell å arbeide etter i lærerkollegiet. Da arbeider en først individuelt (I), deretter i gruppe (G), før gruppene til slutt oppsummerer i plenum (P).

• Individuelt Alle i kollegiet arbeider med oppgaven hver for seg. Nøkkelspørsmål til arbeid på individuelt nivå kan være: – Hvordan tenker du når du løser denne oppgaven? – På hvilken måte er oppgaven relevant for faget du underviser i? – I hvilke emner i ditt eget fag har det betydning om eleven behersker prefikser? – Hva kan årsaken være til at elever presterer lavt på denne typen oppgaver? – Hvordan arbeider du med omgjøring mellom prefikser i ditt eget fag?

11

• Gruppe Kollegiet sitter sammen i mindre grupper og ser på utfordringene med og i selve oppgaven. En samtaler om løsningsstrategier og løsningsmetoder og diskuterer problemstillinger knyttet til oppgaven og utregningen. Nøkkelspørsmål til arbeid i grupper kan være: – Tenker læreren i samfunnsfag annerledes enn læreren i for eksempel mat og helse?

Hvor relevante er oppgavene for de ulike fagene? – Hvordan kan du arbeide med omgjøring mellom prefikser i ditt eget fag for å øke elevenes

kompetanse og regneferdighet i faget? – Hva er de beste og mest effektive løsningsstrategiene? – Kan kollegiet finne en felles strategi for hvordan vi kan tilnærme oss utfordringer av denne

typen? – Hva kan elevene gjøre i de ulike fagene for å ha fokus på omgjøring mellom prefikser? Sett

i gang idémyldring om hvordan en kan arbeide videre med slike utfordringer i de ulike fagene.

• Plenum Hver gruppe presenterer en løsningsstrategi. Deretter kan en i plenum diskutere ulike problemstillinger: – Hva er utfordrende med oppgaven? Er det begreper som kan være vanskelige? – Er det lik forståelse av begrepene i lærerkollegiet? – Hva slags kunnskaper og ferdigheter må en elev ha for å kunne løse oppgaven? – Kan vi komme fram til en felles forståelse uansett fag, for hvordan det er ønskelig å arbeide

med denne typen oppgaver?

Hvordan gruppene settes sammen, avhenger av hva en ønsker å oppnå med et gruppearbeid. Nedenfor er det skissert noen alternativer.

• Ved å blande kollegiet fra 1. til 10. trinn tilfeldig kan en oppnå bevissthet rundt læreplankunnskap, horisontkunnskap der progresjon i fag og regneferdigheter kommer tydelig fram. Ulikheten i utfordringer på barnetrinnet sammenlignet med ungdomstrinnet kan bli synliggjort med en gruppesammensetning på tvers av trinn. Det vil også kunne være lettere å sammenligne resultater. Hva er vi dyktige eller mindre dyktig til når det gjelder undervisning i ulike fag på ulike trinn?

• Hvis en satser på rene faggrupper, kan en oppnå mer konsentrert horisontkunnskap, evne til å se dybden i sitt eget fag, og dessuten felles forståelse av hva som er regning i faget.

• Ved å sette sammen grupper etter trinnteam vil en få mulighet til å identifisere knutepunkter mellom fagene. På trinnteam kan en samkjøre innholdet, se mulighetene og åpne opp for samarbeid mellom de ulike fagene i forhold til innholdet.

• Ved å velge en miks av faglærere på tvers av fag kan en oppnå bevisstgjøring blant lærere som ikke ser regning i faget sitt. Det kan kanskje også virke betryggende for gruppen at det er en matematikklærer der, en som kan regning. I tillegg kan det være enklere å se sammenhenger mellom fagene når en bevisst setter sammen grupper på tvers av fag.

I etterkant bør en sette av tid til videre oppfølging av arbeidet. Da kan kollegiet gjøre evalueringer ved hjelp av IGP-modellen, med den samme gruppesammensetningen som ved første gjennomgang. En bør vurdere om måten en har arbeidet på har hatt effekt. Ved for eksempel å teste elevene i et utvalg av oppgaver fra den nasjonale prøven i regning, kan en se om det har skjedd endring og utvikling. Å ta seg tid til å sitte sammen med elevene en og en og se på prøven eller oppgavene, er også verdifullt for læringseffekten av etterarbeidet.

12

I lenkene under er det flere tips til hvordan en kan arbeide i ettertid med oppgaver fra nasjonale prøver i regning.

http://www.udir.no/Utvikling/Ungdomstrinnet/Regning/Oppfolging-av-Nasjonale-prover/Rangering-av-oppgaver/

http://www.udir.no/Utvikling/Ungdomstrinnet/Regning/Oppfolging-av-Nasjonale-prover/Forklare-losningsstrategier/

http://www.udir.no/Utvikling/Ungdomstrinnet/Regning/Oppfolging-av-Nasjonale-prover/Regning-i-Nasjonale-prover/

Hvordan følge opp resultatene til elevgruppen?For å forstå hva som skjuler seg bak elevenes resultater, kan det være hensiktsmessig å bruke informasjonen du får fra analyserapporten og fanen om hver enkelt oppgave i prøven. Oppgavefanen i analyserapporten kan være til hjelp for å se hvilke områder, emner og oppgaveformater din elevgruppe mestrer godt eller trenger å arbeide mer med (for eksempel omgjøring av enheter i måling). Samlet kan denne informasjonen bidra til å forstå elevenes resultater mer inngående enn mestringsbeskrivelsene.

Område Prøven består av oppgaver innenfor områdene tall og algebra, måling og geometri og statistikk og sannsynlighet. Elevene utfordres til å modellere regneuttrykk (gjenkjenne og beskrive), gjennomføre regneoperasjoner (bruke og bearbeide) og reflektere og vurdere over svaralternativer, kontekster og egne svar.

Oppgaveformat Arbeid med flervalgsoppgaver er nyttig i flere sammenhenger. Ved å relatere svaralternativene til problemstillingen i oppgaven får elevene øvelse i å vurdere om svarene er rimelige. Svaralternativene kan også være grunnlag for diskusjon om ulike løsningsstrategier. En del typiske feilsvar går ofte igjen i svarene på flervalgsoppgavene. Disse feilsvarene kan tyde på faglige misoppfatninger. Læreren kan bruke oppgavene i siste del av denne veiledningen og diskutere svaralternativene muntlig med elevene. Hvis en elev har tydelige misoppfatninger, må læreren ta tak i de aktuelle fagområdene.

FagtilknytningPrøven har oppgaver som er relevante for de fleste fag i LK06. Hver oppgave er ofte aktuell for mer enn ett fag.

13

Spørsmål til elevgruppen• Hva prøver oppgaven å finne ut om dere kan?• Er det vanskelige ord og uttrykk dere ikke forstår?• Hva får dere vite i oppgaven, og hva må dere finne ut selv for å løse den?• Hvilke løsningsstrategier kan dere bruke?• Er det forskjell på hvordan dere tenker når dere skriver svaret selv (åpen oppgave),

og når dere velger svar (flervalgsoppgave)?• Hva slags emner, områder, oppgaver og oppgavetyper mestrer klassen?• Hva slags emner, områder, oppgaver og oppgavetyper bør klassen arbeide mer med?

Hvordan følge opp resultatene til den enkelte elev?Beskrivelsen av mestringsnivået kan brukes som utgangspunkt for samtale med eleven og i planleggingen av det videre arbeidet. Du kan sette opp læringsmål for elevens videre arbeid med regning i dine fag, og snakke med eleven om hvordan hun eller han kan nå målene. Det er viktig å fokusere på noen få, realistiske mål om gangen. Fokuser på det som er neste steg i elevens utvikling.

Alle faglærere har ansvar for at elevene arbeider med grunnleggende ferdigheter i regning. I alle fag, uansett hvilket tema som behandles, har elevene nytte av å arbeide med logiske resonnement og problemløsning. Det innebærer å kunne oppfatte innholdet i en oppgave, å arbeide med å forstå begrepene som brukes, og å få mulighet til å resonnere, forklare og argumentere for egne løsninger. I tillegg er det viktig at elevene øver seg i å vurdere om svarene er rimelige. For å kunne utvikle seg må elevene bli fortrolige med ulike representasjoner av tall og størrelser og venne seg til å velge de mest hensiktsmessige løsningsstrategiene.

Spørsmål til refleksjon og diskusjon• Hvordan skal jeg informere elevene om hensikten med prøven?• Hvordan skal jeg bruke resultatene for å kunne gi faglig relevante tilbakemeldinger som

fremmer videre læring?• Hvordan skal jeg involvere elevene i det videre arbeidet med resultatene?• Hvordan kan elevene være med og vurdere sitt eget arbeid?

14

Mer informasjon om årets prøverTabell 1 viser en oversikt over oppgavene og innholdet i årets prøve. Oppgavene er sortert etter de tre områdene i regning som prøven handler om: tall og algebra, måling og geometri, og statistikk og sannsynlighet. Kolonnen Innhold beskriver hva hver enkelt oppgave handler om. I tillegg er oppgavene innenfor hvert område sortert etter vanskelighetsgrad. Sorteringen er basert på resultater fra den siste utprøvingen, og oppgaven med lavest vanskelighetsgrad står først i hvert område.

Oversikten viser også hvilke fag hver oppgave kan knyttes til. Det betyr at oppgaven kan relateres til et kompetansemål i dette faget etter 7. trinn, hvor den grunnleggende ferdigheten å kunne regne er integrert. En lignende oversikt over oppgavene ligger i analyserapporten i PAS.

Den nasjonale prøven i regning er i tre versjoner (V1, V2 og V4). Alle versjonene inneholder de samme oppgavene, men noen av oppgavene kommer i ulik rekkefølge. I tabell 1 ser du hvilke oppgaver det gjelder. En pdf av V1 er publisert i PAS.

For å måle utviklingen over tid har 6 % av elevene på landsbasis gjennomført en annen prøve enn den ordinære prøven, men med oppgaver av tilsvarende vanskelighetsgrad. Disse elevbesvarelsene er ikke tilgjengelige i elevmonitoren. Du finner resultatene i grupperapporten i PAS ved å velge Oppgavesett 3.

Grupperapporten i PAS sorterer resultatene etter V1. I elevmonitoren i PGS har du tilgang til hele besvarelsen til hver elev. Hvis du bruker elevmonitoren til å gjennomgå prøven, ser du oppgavene i den rekkefølgen eleven har fått dem, alt etter om eleven har gjennomført V1, V2 eller V4.

15

Tabell 1 Oversikt over oppgavene i den nasjonale prøven i regning 2015 for 8. og 9. trinn

Oppgave NP8 Innhold Område Format Fagtilknytning* Fasit

V1 V2 V4

1 5 2 Dobling-/gjentatt addisjon desimaltall Tall og algebra Åpen ma 62

27 27 27 Tolke og bearbeide informasjon (addisjon desimaltall) i tabell

Tall og algebra Flervalg nat, sf, no 25,8

4 4 4 Brøk som del av en hel Tall og algebra Åpen m&h, ma, mu 0,25

25 25 25 Subtraksjon desimaltall Tall og algebra Åpen ma, nat 3,9

9 9 9 Dobling/gjentatt addisjon/multiplikasjon og halvering/gjentatt subtraksjon/divisjon desimaltall

Tall og algebra Flervalg m&h, ma 6

18 18 18 Regne med prosent Tall og algebra Flervalg sf, eng 550

50 50 50 Brøk som del av en mengde Tall og algebra Flervalg m&h, ma, mu 2,5

22 22 22 Uekte brøk til blandet tall Tall og algebra Flervalg mu, ma 1,75

19 19 19 Addisjon, subtraksjon hele tall i sammensatt kontekst

Tall og algebra Flervalg eng, ma 2– 1–1

28 28 28 Finne prosenttall Tall og algebra Flervalg m&h, mu, ma 60

26 26 26 Forståelse av likhetstegn Tall og algebra Flervalg ma 8

34 34 34 Forståelse av posisjonssystemet, divisjon hele tall

Tall og algebra Flervalg eng, nat 3200

37 37 37 Dobling/gjentatt addisjon/multiplikasjon og halvering/gjentatt subtraksjon/divisjon hele tall

Tall og algebra Flervalg ma, eng 200

5 3 1 Brøk som del av en mengde Tall og algebra Åpen m&h, ma 12

23 23 23 Mønster (algebraisk tenking) Tall og algebra Flervalg mu, ma, krle 55

44 44 44 Finne prosenttall Tall og algebra Flervalg ma, nat, eng, m&h

45

45 45 45 Subtraksjon, divisjon hele tall Tall og algebra Flervalg ma, k&h 375

30 30 30 Forståelse av posisjonssystemet, multiplikasjon desimaltall

Tall og algebra Åpen eng, ma 91,44

48 48 48 Tolke og anvende formel, multiplikasjon desimaltall

Tall og algebra Flervalg ma, nat, no 206

49 49 49 Tolke og anvende formel, multiplikasjon brøk

Tall og algebra Åpen ma, eng, nat, sf 15

3 2 6 Relatere negative tall til tallinja (temperatur), addisjon

Måling og geometri

Åpen ma, krle, sf 39,7

6 1 3 Multiplikasjon av hele tall, sammenhengen måned og år

Måling og geometri

Åpen Sf, ma 7200

7 7 7 Beregne tidsintervall, analog og digital tid

Måling og geometri

Åpen ma, krø, m&h 17.30

8 8 8 Geometriske egenskaper til kvadrat Måling og geometri

Åpen ma, k&h 75

10 10 10 Sammenligne størrelser Måling og geometri

Flervalg k&h, ma 1,6

12 12 12 Forhold (målestokk) Måling og geometri

Åpen ma, k&h 5,84

14 14 14 Beregne tidsintervall, 60-tallssystemet i min og s

Måling og geometri

Åpen ma, krø, nat 10 min og 13 s

16

Oppgave NP8 Innhold Område Format Fagtilknytning* Fasit

V1 V2 V4

16 16 16 Vei, fart, tid Måling og geometri

Åpen eng, ma, nat 60

17 17 17 Velge egnet prefiks til lengder Måling og geometri

Flervalg k&h, ma, nat, sf, krø

km–mm– m–cm

21 21 21 Omgjøring mellom prefikser (cL til mL)

Måling og geometri

Flervalg eng, m&h 5

24 24 24 Rotasjon, geometriske egenskaper til sirkel

Måling og geometri

Flervalg ma, k&h, krø 540

31 31 31 Omgjøring mellom enheter (tommer til cm)

Måling og geometri

Flervalg eng, ma 10

35 35 35 Volum (desimaltall) Måling og geometri

Åpen ma 38,4

40 40 40 Forhold (valuta) Måling og geometri

Åpen ma, eng 8,20

42 42 42 Forståelse av areal Måling og geometri

Flervalg ma, sf, k&h 2520

43 43 43 Forhold (valuta) Måling og geometri

Åpen ma, eng 203

46 46 46 Omgjøring mellom prefikser (lengde) Måling og geometri

Flervalg eng, ma 750– 90–1–23

47 47 47 Forhold (blandingsforhold) Måling og geometri

Åpen ma, eng, m&h, nat, k&h

2,8

29 29 29 Lage diagram ut fra tabell Statistikk og sannsynlighet

Åpen nat, sf, no, ma 9 og 2

39 39 39 Tolke og bearbeide informasjon (addisjon hele tall) fra diagram

Statistikk og sannsynlighet

Åpen no, eng, ma, sf 8

13 13 13 Tolke informasjon i tabell Statistikk og sannsynlighet

Flervalg no, eng Middels

41 41 41 Tolke tabell, sammenligne desimaltall Statistikk og sannsynlighet

Flervalg ma, no, sf, nat, eng

Basketball

33 33 33 Tolke diagram Statistikk og sannsynlighet

Flervalg nat, sf, no, ma, eng, krle, m&h

1–2–4

2 6 5 Tolke informasjon i tabell Statistikk og sannsynlighet

Flervalg no, ma 31–32

20 20 20 Prosent som del av en hel Statistikk og sannsynlighet

Flervalg sf, no, nat, eng 30

38 38 38 Forståelse av gjennomsnitt Statistikk og sannsynlighet

Flervalg ma, sf, nat, krle B

11 11 11 Lage diagram Statistikk og sannsynlighet

Åpen sf, nat 7–5 –3–2 –0–1

15 15 15 Tolke og bearbeide informasjon (subtraksjon, multiplikasjon) i tabell

Statistikk og sannsynlighet

Flervalg sf, no 50

36 36 36 Gjennomsnitt ut fra frekvenstabell Statistikk og sannsynlighet

Flervalg nat, sf, no, ma, eng, krle, m&h

2

32 32 32 Tolke sammensatt tabell Statistikk og sannsynlighet

Flervalg ma,k rle, sf –18

* Matematikk (ma), norsk (no), engelsk (eng), naturfag (na), samfunnsfag (sf), kristendom, religion, livssyn og etikk (krle), mat og helse (m&h), kunst og håndverk (k&h), kroppsøving (krø), musikk (mu)

17

Et dypdykk i årets oppgaver

Hvordan kan elevene utvikle sine regnestrategier?Denne delen inneholder eksempler på oppgaver fra områdene tall og algebra, måling og geometri og statistikk og sannsynlighet i årets prøve. Eksemplene viser riktige svar, typiske feilsvar som kom fram under utprøvingen av oppgaver, og tips til hvordan elever som svarer feil på slike oppgaver, kan tenke for å utvikle og forbedre sine egne regnestrategier. Tallene er hentet fra resultatene fra utprøvingen av oppgavene. Det var ca. 1500 elever som deltok, og hver oppgave ble prøvd ut på ca. 500 elever. Oppgavenumrene er fra versjon 1 (V1) av prøven.

I eksemplene er det påpekt noen mulige årsaker til feilsvarene. Det er viktig å finne ut hva som er årsaken til at elevene svarer feil. Det kan gjøres ved å undersøke svarene deres på lignende oppgaver, eller ved å diskutere oppgaver muntlig med elevene.

Til oppgavene har vi foreslått strategier som elevene kan bruke for å komme fram til riktig løsning. I oppgaver hvor elevene ikke har eller kan ta i bruk noen standardisert regnemåte for å finne svaret, kan de prøve å finne løsninger ved å gjenkjenne problemet og anvende ferdigheter som de har fra andre områder i regning. Til alle oppgaveeksemplene har vi tatt med både undervisningstips og kompetansemål som vi mener er relevante for oppgaven.

Hvis en elev har tydelige misoppfatninger, må læreren ta tak i de aktuelle emnene. I så fall er det lurt at de andre faglærerne samarbeider med matematikklæreren om det.

Oppgaver fra den nasjonale prøven kan være et godt utgangspunkt for diskusjoner om videre arbeid med regning som grunnleggende ferdighet i alle fag. Årets oppgavesett (V1) legges ut på www.udir.no etter gjennomføringsperioden.

Spørsmål til diskusjon med elevgruppen• På hvilken måte er regning relevant i dette faget? • Hvilke emner og områder bør vi fokusere på for å utvikle gode regneferdigheter i dette faget? • Er det forskjell på strategiene elevene bruker når de

– fyller inn svaret selv (åpen oppgave) eller – får oppgitt alternativene (flervalgsoppgave) og velger riktig svar?

• Har elevene gode løsningsstrategier?

18

Tall og algebraI prøven for 2015 er 20 av oppgavene fra området tall og algebra. Regneferdigheten til elevene blir prøvd i de matematiske emnene brøk, prosent og desimaltall, de fire regneartene (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon) og regning med parenteser.

Vanskeligheten på oppgavene varierer, både ut i fra hvor vanskelig det er å gjenkjenne og beskrive det matematiske problemet, og hvilke regneoperasjoner og tall elevene skal bruke og bearbeide.

I de enkleste oppgavene kan elevene bruke enkle strategier, som addisjon eller dobling i kjente kontekster. I de mer krevende oppgavene må elevene ha større forståelse og dypere innsikt for å kunne gjenkjenne og beskrive det matematiske problemet. I tillegg må de blant annet utføre divisjon eller multiplikasjon med mer krevende tall (f.eks. desimaltall og brøk) når de skal bruke og bearbeide.

Oppgavene om tall i årets prøve, er basert på kompetansemål i læreplanen for fagene engelsk, kunst og håndverk, naturfag, norsk, mat og helse, matematikk, musikk, samfunnsfag, og kristendom, religion, livssyn og etikk.

I denne veiledningen har vi analysert fem oppgaver fra området tall og algebra, én fra hvert mestringsnivå.

Mestringsnivå 1

Oppgave 1

Oppgaven er åpen og fra mestringsnivå 1. Elevene skal utføre beregninger med desimaltall. Imidlertid er det viktig å se på hvilke desimaltall elevene møter i oppgaven, nemlig kroner og øre. Det er trolig de desimaltallene elevene kjenner best, og oppgaven kan løses uten at de har forstått posisjonssystemet for desimaltall. Selve beregningen går ut på å finne ut hvor mye fire sjokolader koster. Det vil si at gjentatt addisjon eller dobling er effektive strategier i denne oppgaven. En velkjent kontekst kan også hjelpe elevene til å gjenkjenne det matematiske problemet i oppgaven og reflektere og vurdere over svaret sitt.

19

Elevsvar Prosentandel Kommentar Prosess*

62,00 78 Riktig svar. Gjentatt addisjon, dobling og multiplikasjon eller andre gode strategier til å løse oppgaven.

64,00 6 Betaler i praksis for fire enkeltsjokolader. Kan være i en misoppfatning om at «øre finnes ikke lenger».

RV

46,50 1 Betaler for tre sjokolader. GB

60,00 1 15 ∙ 4. Har trolig problemer med å multiplisere desimaldelen og velger å overse den.

BB

60,20 1 Ser på desimaltallet 15,50 som to separate tall (15 og 50). Disse elevene får da 15 ∙ 4 = 60 og 50 ∙ 4 = 20(0). Svaret blir dermed 60,20 kr.

BB

Ubesvart 0

* Helhetlig problemløsningsprosess: GB betyr gjenkjenne og beskrive, BB betyr bruke og bearbeide og RV betyr reflektere og vurdere.

Etterarbeid Til læreren: Det er viktig at læreren legger til rette for at elevene møter desimaltall både med og uten benevning. Når vi arbeider med måling, omtaler vi desimaltall (15,5 m) ofte som for eksempel 15 m og 5 dm eller som 15 m og 50 cm. Da opererer vi med to hele tall, meter og desimeter. For at elevene skal forstå posisjonssystemet er det lurt at vi også her snakker om 15 m og 5 tidels meter. Da gir prefiksene vi bruker i måling (desi, centi, milli), en dypere mening, og det blir lettere å se sammenhengen mellom desimaltall med og uten benevning.

Elevaktivitet: Oppgaven kan brukes til å diskutere ulike løsningsstrategier. Siden den har høy løsningsprosent, har mange elever en strategi som har gitt riktig svar. Trolig vil noen oppdage at andre har en mer effektiv strategi enn den de selv har brukt. I denne oppgaven vil kanskje både de som har valgt gjentatt addisjon, og de som har valgt oppstilt multiplikasjon, se at dobling er en mer effektiv strategi.

Neste steg er å undersøke hvordan løsningsstrategiene virker dersom tallene i oppgaven hadde vært annerledes. Hvordan virker de forskjellige strategiene dersom Samuel hadde kjøpt tre sjokolader? Hva med ti sjokolader? Hva om prisen hadde vært 15,99 kr? Hvordan ville strategiene virket dersom det hadde vært snakk om 3,5 ∙ 15,50 i en annen sammenheng? Elevene kan løse eksemplene med alle strategiene som er blitt presentert i klassen. På slutten av økta er det viktig at de får tid til å reflektere over hvilken strategi de opplever som mest effektiv. Var det samme strategi som fungerte best i alle eksemplene, eller var strategien avhengig av tallene? Ville noen elever ha valgt en annen strategi nå, enn de gjorde på prøven?

Kompetansemål Matematikk, LK06, 7. trinn:• beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal,

desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallina

20

Mestringsnivå 2

Oppgave 4

Denne oppgaven er med i prøven for 5. og 8.trinn, og er i tillegg prøvd ut på elever fra Vg1. Oppgaven er på mestringsnivå 2 (av 3) på 5. trinn, 2 (av 5) på 8. trinn og 1 (av 5) på Vg1. Hensikten med oppgaven er å teste brøkforståelsen til elevene når det gjelder brøk som del av en hel.

Elevsvar

Prosentandel

Kommentar Prosess5. trinn 8. trinn Vg114

39 71 87 Riktig svar. Alle likeverdige brøker til 14 er godkjent.

13

24 16 6 Flagget består av tre farger. Én av dem er blå. Elever som gir dette svaret, har trolig en sterk følelse av at de har svart riktig på oppgaven.

BB

12

5 1 ? Flagget består av tre farger. Én farge er blå, og to er ikke blå. BB

24

1 3 ? Svarer andelen som er gul. GB

Ubesvart 5 2 1

EtterarbeidTil læreren: Det er viktig at elevene møter brøk på varierte måter, for å få utviklet god forståelse av brøk som begrep. Det gjelder både brøk som del av en hel og brøk som del av en mengde. I tillegg må elevene møte konkretiseringsmateriell som bygger opp den delen av brøkforståelsen som læreren ønsker å arbeide med. Elever som ikke løser denne oppgaven riktig, har små forutsetninger for å forstå regning med brøk på dette stadiet.

Elevaktivitet: Å visualisere fargefordelingen i flagget med brøksirkler kan for eksempel være en nyttig aktivitet etter at elevene har gjennomført prøven. Formen blir da ikke rektangulær, men brøksirklene egner seg godt til å visualisere brøk som del av en hel. Elever som har gitt feil svar, vil trolig komme i en kognitiv konflikt når de oppdager at svaret deres ikke stemmer likevel.

21

Å tegne flagget på et linjert ark kan også være en egnet aktivitet. Læreren kan bestemme lengden til flagget, mens linjene på arket kan skille de ulike delene av flagget. Trolig vil de to flaggene som er tegnet nedenfor, være godt representert i klasserommet.

Etter at flagget er fargelagt, kan elevene klippe ut «radene» og sammenligne resultatene sine. Er alle flaggene like? Hvor mange deler har hver elev? Hvor stor brøkdel er gul? Hvor stor brøkdel er blå?

KompetansemålMat og helse, LK06, 4.trinn:• bruke mål og vekt i samband med oppskrifter og matlaging

Mat og helse, LK06, 7. trinn: • bruke rekning for å auke eller redusere mengda i oppskrifter • følgje oppskrifter

Matematikk, LK06, 4.trinn:• beskrive og bruke plassverdisystemet for dei heile tala, bruke positive og negative heile tal, enkle

brøkar og desimaltal i praktiske samanhengar og uttrykkje talstorleikar på varierte måtar

Matematikk, LK06, 7. trinn: • beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal,

desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallina

Musikk, LK06, 7. trinn:• oppfatte og anvende puls, rytme, form, melodi, klang, dynamikk, tempo og enkel harmonikk i lytting og

musisering.

Samfunnsfag, LK06, 4. trinn (Utforskeren):• bruke metodar for oppteljing og klassifisering i enkle samfunnsfaglege undersøkingar og presentere

enkle uttrykk for mengd og storleik i diagram og tabellar

22

Oppgave 25

Denne oppgaven er også med i prøven for både 5.og 8. trinn, og er i tillegg prøvd ut på elever i Vg1. Oppgaven er på mestringsnivå 3 (av 3) på 5. trinn, 2 (av 5) på 8. trinn og 1 (av 5) på Vg1. For å løse oppgaven må elevene orientere seg i en sammensatt tekst og deretter utføre beregninger med desimaltall. Hovedutfordringen viser seg imidlertid å være innen bruke og bearbeide, det vil si å regne ut 6,8 km – 2,9 km.

Elevsvar

Prosentandel

Kommentar Prosess5. trinn 8. trinn Vg1

3,9 27 64 76 Riktig svar. Telling eller subtraksjon med veksling er effektive strategier.

4,1 12 8 3 Største siffer – minste siffer (6 – 2 og 9 – 8). Disse elevene vil trolig velge samme framgangsmåte i andre oppgaver, og det er derfor viktig at de blir identifisert og får hjelp til å komme seg videre.

BB

3,1 3 1 1 Største siffer – minste siffer, men roter i tillegg med minnetall.

BB

4,9 2 2 1 Feil i veksling, veksler én ener til ti tideler, men glemmer så dette i neste steg.

BB

39 eller

390

1 2 0 Overser komma. Reflekterer i svært liten grad. BB

2,6 6 5 5 Lengste løype (6,8 km) – øverste løype (4,2 km). GB

1,3 1 1 1 Øverste løype (4,2 km) – korteste løype (2,9 km). GB

4,0 4 1 0 Kommer av avrunding, enten av tallene som elevene regner med (6,8 ≈ 7 og 2,9 ≈ 3), eller i svaret (3,9 ≈ 4). Feilen er synlig nesten bare på 5. trinn, der desimaltall er relativt nytt for elevene.

GB

Ubesvart 5 1 2

23

EtterarbeidTil læreren: Det er viktig at elevene møter subtraksjon på en variert og gjennomtenkt måte. Dette gjelder både gjennom ulike kontekster og hvilke tall elevene møter i problemene. Dersom elevene møter mange oppgaver der største minus minste siffer gir riktig svar (f.eks. 596 – 382), kan det føre til en misoppfatning i subtraksjon der, 6,8 – 2,9 vil gi svaret 4,1. Ved å bruke tallinja og se på subtraksjon som forskjellen mellom tall, kan elevene oppdage at subtraksjon kan løses på flere måter og med ulike strategier. Når det gjelder 21 – 19, vil det være mer hensiktsmessig å finne svaret som en forskjell mellom tallene på tallinja enn å stille opp en utregning med tallene under hverandre med veksling eller med en misoppfatning som gir svaret 18.

Elevaktivitet: Oppgaven egner seg godt til å diskutere i klasserommet. Elevene kan presentere strategien sin i elevgruppen, på samme måte som i oppgave 1 som er beskrevet tidligere i veiledningen. Finnes det bedre løsningsstrategier blant andre elever i klassen enn den de selv har valgt? De gode regnerne er ikke låst til én strategi for hver regneart, men vil velge egnet strategi ut fra hvilke tall de møter i oppgaven. Det er derfor viktig at ulike løsningsstrategier blir løftet fram i klasserommet, og at det blir satt av tid til å diskutere og vurdere hvilke tall de ulike strategiene egner seg for.

KompetansemålMatematikk, LK06, 4. trinn:• beskrive og bruke plassverdisystemet for dei heile tala, bruke positive og negative heile tal, enkle

brøkar og desimaltal i praktiske samanhengar og uttrykkje talstorleikar på varierte måtar

Matematikk, LK06, 7. trinn:• beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal,

desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallina

Naturfag, LK06, 4.trinn:• bruke måleinstrumenter, systematisere data, vurdere om resultatene er rimelige, og presentere dem

med eller uten digitale hjelpemidler

Naturfag, LK06, 7. trinn:• trekke ut og bearbeide naturfaglig informasjon fra tekster i ulike medier og lage en presentasjon

24

Mestringsnivå 3

Oppgave 26

Også i år har vi med en oppgave som tester om elevene forstår hva likhetstegnet betyr. Dette er grunnleggende for å beherske regneartene og se sammenhengen mellom dem.

Tallene i oppgaven er valgt med tanke på at det ikke er de som skal være utfordringen. Oppgaven skal teste om elevene forstår at likhetstegnet betyr at verdien på venstre side er lik verdien på høyre side.

Elevsvar Prosentandel Kommentar Prosess

6 4 Usikker på multiplikasjonstabellen? Kan også være det som ligner mest på 63 for elever som prøver å skape symmetri.

GB/BB

7 17 7 ∙ 9 = 63. GB

8 48 Riktig svar.

72 24 Er vant med å skrive svar på oppgaver etter likhetstegnet (63 + 9).

GB

Ubesvart 7

25

EtterarbeidTil læreren: Det er viktig at elevene fra starten av møter likhetstegnet med ulike plasseringer i oppgavene. Hvis de bare møter oppgaver der de kan lese fra venstre mot høyre, og der svaret skal stå etter likhetstegnet, blir likhetstegnet fort et symbol som assosieres med «her kommer svaret» eller «en prosess som går fra venstre mot høyre». Det er viktig å være klar over at lommeregneren faktisk støtter opp under denne misoppfatningen.

Oppgaver av samme slag som på bildene er aktuelle fra 1. trinn og oppover. Spesielt de to siste oppgavene avdekker om elevene forstår hva likhetstegnet betyr. Det er viktig å identifisere de som ikke løser denne typen oppgaver riktig, og arbeide med å utvikle forståelsen deres. Disse elevene vil ha små forutsetninger for å kunne forstå sammenhengen mellom regnearter. Det blir veldig synlig når de skal lære algebra. Hvordan skal de forstå hvorfor de må gjøre det samme på begge sider av likhetstegnet i en ligning, hvis de ikke forstår hva likhetstegnet betyr?

Elevaktivitet: Ei skålvekt egner seg godt til å illustrere hva likhetstegnet betyr, og lodd med påskrevet masse fra naturfagavdelingen egner seg godt som konkreter. Elevene ser at de får svaret når vekta er i likevekt, ved at massen på høyre side er lik massen på venstre side. Læreren kan begynne med å legge på lodd på begge sider når vekta ikke er i likevekt.

Elevene kan formulere regnestykket som skålvekta illustrerer og prøve å løse det. Svaret kan kontrolleres ved at en av dem tester svaret sitt med skålvekta. Denne aktiviteten er også aktuell når elevene skal arbeide videre med algebra og løse ligninger. Det er imidlertid viktig at læreren er bevisst på at skålvekta egner seg som konkretiseringsmateriell bare når vi snakker om masse. Er eksemplet at tre epler koster 15 kr blir det misvisende for elevene å bruke denne typen konkretisering. Dersom tre epler og 15 kr er i likevekt, betyr det at tre epler har samme masse som for eksempel femten kronestykker.

KompetansemålMatematikk, LK06, 7. trinn:• beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal,

desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallina• stille opp og løyse enkle likngar, løyse opp og rekne med parentesar i addisjon, subtraksjon og

multiplikasjon av tal

26

Mestringsnivå 4

Oppgave 48

I denne oppgaven må elevene lese en sammensatt tekst og utføre beregninger med hele tall og desimaltall. De må kunne forstå og kunne bruke en enkel formel. Formelen står forklart med ord i oppgaven, så det stilles ikke krav til at elevene må kunne prioritere regnearter. Elever som har denne kunnskapen, har en fordel.

Elevsvar Prosentandel Kommentar Prosess

14 9 Riktig mellomsvar: 20 ∙ 0,7. GB

80 23 Elevene har matematisert oppgaven riktig, men bommer på utregningen av 20 ∙ 7. De finner riktig svar på 220 – 20 ∙ 7.

BB

140 23 Elevene gjør feil i matematiseringen, og regner ut (220 – 20) ∙ 0,7.

GB

206 24 Riktig svar. Overslag er en effektiv metode.

Ubesvart 20

EtterarbeidTil læreren: Ut fra resultatene på oppgaven over ser vi at mange elever omdefinerer oppgaven og regner ut (220 – 20) ∙ 0,7 i stedet for 220 – (20 ∙ 0,7). Det er derfor viktig at før elevene arbeider videre med oppgaven, eller med andre formler, må de forstå forskjellen mellom disse to regnestykkene. Nedenfor er det beskrevet et undervisningsopplegg som er ment å belyse behovet for å kunne prioritere regnearter. Opplegget virker spesielt godt dersom temaet er forholdsvis nytt for elevene.

27

Økta begynner med tre regneuttrykk der elevene i par eller grupper skal diskutere «Hvem skal ut?», det vil si hvilket av disse tre uttrykkene som ikke passer sammen med de to andre. Her er det viktig at elevene får forklare valget sitt, uten at noen kommenterer om måten de har tenkt på er riktig eller gal.

Bildene nedenfor visualiserer de tre uttrykkene med brusflasker. Dette kan også godt visualiseres med helkonkreter i klasserommet.

Etter at uttrykkene er blitt visualisert, kan læreren gå tilbake til starten og spørre om det er noen elever som har ombestemt seg. Hvem skal ut? I det videre arbeidet må elevene få mulighet til å automatisere temaet. Ta for eksempel utgangspunkt i et bilde av ulike prismerkede varer. La elevene bruke det til å lage regneuttrykk. Eksempel: «Jonas kjøper tre sjokolader og ei flaske brus. Skriv et regneuttrykk som viser hvor mye Jonas må betale.» Her kan elevene arbeide i par og lage lignende oppgaver til hverandre.

Elevaktivitet: Oppgaven om makspuls kan brukes på mange måter i klasserommet. Elevene kan regne ut Malins makspuls, eller sin egen makspuls, eller kanskje lage en graf som viser hvilken makspuls en person har ut fra alderen.

I tillegg er oppgaven velegnet til å diskutere rimeligheten av egne svar. Resultatene viser at over 30 % av elevene mener makspulsen til Malin er 14 eller 80. Elever som svarer det regner trolig uten først å tenke igjennom hva som kan være fornuftig svar på oppgaven. Oppgaven er en flervalgsoppgave og kan enkelt løses ved hjelp av overslag. Elever som regner med 0,5 og/eller 1,0 i stedet for 0,7 vil se at 206 er det eneste mulige svaret. Det er viktig at elevene blir bevisst muligheten og får øvelse i overslagsregning som strategi.

KompetansemålMatematikk, LK06, 7. trinn:• stille opp og løyse enkle likningar, løyse opp og rekne med parentesar i addisjon, subtraksjon og

multiplikasjon av tal

Naturfag, LK06, 7. trinn:• beskrive i hovedtrekk hjerte- og lungesystemet og hvilken funksjon det har i kroppen• samtale om hvorfor det i naturvitenskapen er viktig å lage og teste hypoteser ved systematiske

observasjoner og forsøk, og hvorfor det er viktig å sammenligne resultater

Norsk, LK06, 7. trinn• forstå og tolke opplysninger fra flere uttrykksformer i en sammensatt tekst

28

Mestringsnivå 5

Oppgave 49

I likhet med talloppgaven på mestringsnivå 4 inneholder oppgave 49 en formel som elevene skal anvende. I oppgave 49 er formelen kortere beskrevet enn i oppgaven på mestringsnivå 4. Dette setter større krav til at elevene klarer å tolke formelen, og det er å tolke og anvende formelen som er utfordringen i oppgaven. Tallene er valgt slik at de er enkle å regne med.

At oppgave 49 inneholder multiplikasjon med brøk, skiller den også fra oppgaven på nivå 4.

Elevsvar Prosentandel Kommentar Prosess

15,0 °C 4 Riktig svar.

27,0 °C 9 Regner ut første del riktig (59 – 32) og gir det som svar. Om utfordringen består i å forstå hele formelen (GB) eller å multiplisere med brøk (BB), er vanskelig å avgjøre.

GB/BB

32,0 °C 5 Bruker et tall fra oppgaven. GB

45,0 °C 2 Tolker brøken 59 som 5 ∙ 9. GB

Ubesvart 43

Etterarbeid Til læreren: Vi så i oppgave 4 (mestringsnivå 2) at mange elever ikke forstår begrepet brøk. Det må være på plass før de begynner å regne med brøk. Da vil de lettere kunne forstå hva det betyr for eksempel å multiplisere med brøk. Det er ikke å jakte på en bestemt metode eller å være låst til én bestemt strategi. Elevene må bli i stand til å se på hvilke tall de møter i oppgaven, og så velge egnet strategi ut fra dem.

Elevsvarene viser at en del dyktige elever ikke har en effektiv strategi for å multiplisere heltall med

brøk. De velger å gjøre om brøken til desimaltall. Svar som 13,5 °C eller 14,85 °C tyder på det

(59 ≈ 0,5 eller 59 ≈ 0,55).

29

Elevaktivitet: Selv om oppgaven er den vanskeligste i årets prøve, og det er bare er 4 % av elevene som løser den riktig, kan den ha stor pedagogisk verdi. Det å tolke formelen i par eller grupper og prøve å forklare den på en egen måte, kan være en nyttig innfallsvinkel.

Oppgaven vil kanskje falle lettere dersom opplegget om prioriterte regnearter som er beskrevet tidligere, er blitt gjennomført.

I tillegg er oppgaven god når det gjelder å konkretisere multiplikasjon med brøk. Det kan gjøres ved hjelp av brøksirkler, tellebrikker eller med en enkel illustrasjon som vist under.

Rutenettet er delt opp i tre rader og ni kolonner. Da er det enkelt å dele det inn i nideler, for så å telle

opp hvor mange ruter 59 representerer.

KompetansemålMatematikk, LK06, 7.trinn:• stille opp og løyse enkle likningar, løyse opp og rekne med parentesar i addisjon, subtraksjon og

multiplikasjon av tal

Engelsk, LK06, 7. trinn:• uttrykke seg om enkle beregninger, valuta og måleenheter i kommunikasjon om dagligdagse

situasjoner

Naturfag, LK06, 7.trinn:• forklare begrepet klima, kjenne til noen årsaker til klimaendringer og undersøke og registrere

konsekvenser av ekstremvær

Samfunnsfag, LK06, 7.trinn:• samanlikne likskapar og skilnader mellom land i Europa og land i andre verdsdelar

30

Måling og geometriI den nasjonale prøven i regning for 2015 er 18 av oppgavene innen området måling og geometri. Oppgavene som har lavest løsningsprosent, har vanligvis vært knyttet til området måling. Spesielt gjelder det oppgaver som handler om måleenheter. Hvis elevene ikke er trygge på sammenhengen mellom de ulike måleenhetene, kan det få konsekvenser for læring i mange fag. Analysene av resultatene på nasjonale prøver i regning, har i flere år vist at det er flere gutter enn jenter som løser oppgaver med omgjøring av enheter riktig.

Oppgavene i området måling og geometri i prøven for 2015 er basert på kompetansemål i læreplanen for fagene engelsk, kroppsøving, kunst og håndverk, matematikk, mat og helse, naturfag, samfunnsfag og kristendom, religion, livssyn og etikk.

I denne veiledningen har vi analysert fem oppgaver fra området måling, én fra hvert mestringsnivå.

Mestringsnivå 1

Oppgave 17

Dette er en flervalgsoppgave fra mestringsnivå 1. Oppgaven tester om elevene kan velge hensiktsmessige måleenheter når de skal utføre ulike målinger. Elevene må vite forskjellen på prefiksene milli, centi og kilo, samt kunne reflektere over svaret sitt.

Elevsvar Prosentandel Kommentar Prosess

Riktig svar 80,1

CD i centimeter og blyant

i millimeter

4,5 Er nok ikke fortrolige med måleenhetene. BB

Bruker centimeter to ganger.

Riktig på tre av fire.

8,9 Tenker at det er hensiktsmessig å måle lengden til blyanten og CD-plata i centimeter.

BB

Ubesvart 0,8

31

EtterarbeidTil læreren: Elevene trenger praktiske måleerfaringer for å kunne løse denne type oppgaver. De må få erfaring både med å måle og med å anslå lengder. Å måle handler om å knytte en tallstørrelse til et målbart objekt. Disse erfaringene må elevene få fra fagenes egenart der slike målinger naturlig inngår, men også fra hjemmet og nærmiljøet. Erfaringer vil gi elevene det grunnlaget de trenger for å vurdere svarene sine på dette området. Det er nødvendig med mange og gode referanser for de ulike måleenhetene. Det gjelder å bygge opp et godt referanseregister. Å vite at det er 300 m til butikken, og at mobiltelefonen er 7 mm tykk, er eksempler på slike referanser.

Det er viktig å ha fokus på prefiksene i måleenhetene (milli, centi, desi, kilo, osv). Prefiksene blir ikke alltid oppfattet som begreper med eget og konsistent meningsinnhold. Når en vet at prefikset og begrepet kilo betyr «tusen», vil en kunne vite at én kilometer nettopp er tusen meter. Meningsinnholdet i prefiksene endrer seg ikke fra én måleenhet til en annen. Centi betyr «hundredel» enten det står sammen med meter eller liter. Upresis bruk av begreper i hverdagsspråket i skolen kan føre til misoppfatninger. Å si at en person veier 50 kilo, er like lite korrekt som å si at det er 500 kilo fra Trondheim til Oslo.

Å samtale om en tabell med dekadiske måleenheter kan være hensiktsmessig.

Tusen Hundre Ti En Tidel Hundredel Tusendel

kilo hekto deka desi centi milli

kg hg g mg

km m dm cm mm

hL L dL cL mL

Tabellen kan være til hjelp når vi skal gjøre om mellom måleenheter, men den må ikke brukes som et redskap, en teknikk eller en prosedyre for å telle antall ruter i horisontal retning.

Elevaktivitet: Oppgaven kan brukes til å diskutere ulike måleenheter og hvilke måleenheter som er hensiktsmessige å benytte til ulike målinger. Hvilken måleenhet kan vi benytte for å måle lengden av et klasserom? Bredden av ei bok? Erfaringer med ulike måleredskaper er også viktig. Hvilket måleredskap egner seg til å måle lengden av et klasserom? Bredden av ei bok? Vil det være hensiktsmessig å måle lengden av et rom med en linjal? Elevene bør gjennomføre målinger der ulike prefiks er egnet, for eksempel avstanden mellom hjemmet og skolen, lengden på en fotballbane, tykkelsen på et hårstrå, høyden på ei dør, eller bredden på et vindu. Først skal de anslå eller gjette en avstand eller lengde. Deretter skal de kontrollmåle for å se hvor presise de har vært i antakelsen sin. Samtalen i klasserommet vil være med på å bevisstgjøre elever som ikke ser sammenhengen mellom de ulike dekadiske enhetene. Når en har arbeidet med begrepene en periode, kan en gjennomføre en begrepsprøve eller gloseprøve.

32

Kompetansemål

Kunst og håndverk, LK06, 7. trinn: • lage enkle bruksformer i ulike materialer og kunne gjøre rede for sammenheng mellom idé, valg av

materialer, håndverksteknikker, form, farge og funksjon

Matematikk, LK06, 7. trinn: • velje høvelege målereiskapar og gjere praktiske målingar i samband med daglegliv og teknologi, og

vurdere resultata ut frå presisjon og måleusikkerheit

Naturfag, LK06, 7. trinn:• formulere naturfaglige spørsmål om noe eleven lurer på, foreslå mulige forklaringer, lage en plan og

gjennomføre undersøkelser

Samfunnsfag, LK06, 7.trinn:• bruke atlas, hente ut informasjon frå papirbaserte temakart og digitale karttenester og plassere

nabokommunane, fylka i Noreg, dei tradisjonelle samiske områda og dei største landa i verda på kart

Kroppsøving, LK06, 7.trinn:• orientere seg ved hjelp av kart i kjent terreng

33

Mestringsnivå 2

Oppgave 7

Dette er en interaktiv oppgave på mestringsnivå 2. Den tester om elevene kan beregne tidsintervall og bestemme klokkeslett. I tillegg måler oppgaven om de kan sammenhengen mellom digital og analog tid.

Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess

kl. 17.30 70,0 Riktig svar.

± 3 min 5,5 Unøyaktig plassering av minuttviseren. BB

kl. 16.30 4,4 Regner bare med 23 min, og overser 1 h. GB

kl. 17.23 1,9 Tar utgangspunkt i kl. 16.00 GB

Ubesvart 2,2

EtterarbeidTil læreren: Å regne med tid er utfordrende for elevene siden de får et mikset tallsystem med både timer, minutter og sekunder. Dette er vanskelig for elevene å forstå. Det er viktig å ha fokus på at 1 h utgjør 60 min. En runde rundt med langviseren utgjør 1 h, altså 60 min.

Klokka innbyr til enkel brøkinnlæring. Det er viktig at elevene får erfaringer med hva 12 h og 14 h egentlig betyr. En kan også snakke om 25 h eller 35 h. Vekslingen mellom å snakke om 12 h og

15 min er verdifull for forståelsen av klokka.

Elevaktivitet: For å få forståelse av klokke og tid, er det viktig at elevene får erfaringer med

tidsangivelser. Også i dette arbeidet er det viktig å kunne anslå størrelser. Hvor lenge varer egentlig

1 minutt? 1 12 minutt? Elevene bør få mulighet til å se i rutetabeller og planlegge en reise fra start til

slutt, og beregne hvor mye tid de må sette av for å rekke å gjennomføre selve reisen.

I hverdagen bør de få erfaringer med å planlegge for eksempel et måltid. Hvor lang tid må de beregne når de skal lage middag til familien sin? Hvor lang tid går det til forberedelser, hvor lang tid skal maten stå i stekeovnen? Hva rekker de å gjøre av opprydding og dekking av bord mens maten stekes? Et annet eksempel fra hverdagen er å male en vegg i klasserommet eller for eksempel på soverommet. Hvor mye tid må de beregne for å kunne male to strøk? Hvor lenge må malingen tørke før den er overmalbar?

34

KompetansemålMatematikk, LK06, 7. trinn:• velje høvelege målereiskapar og gjere praktiske målingar i samband med daglegliv

Kroppsøving, LK06, 7. trinn:• planleggje og gjennomføre overnattingstur

Mat og helse, LK06, 7. trinn:• følgje oppskrift

Mestringsnivå 3

Oppgave 14

Dette er en åpen oppgave fra mestringsnivå 3. Den tester om elevene kan beregne tidsintervall, om de kan regne med minutt og sekund, samt om de mestrer overgangen fra sekunder til hele minutter. Oppgaven tester om elevene vet at det er 60 s i ett minutt. Mange elever tror at det er 100 s i ett minutt.

Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess

10 min og

13 s

41,5 Riktig svar. Regner opp fra 47 s til 60 s (til et helt minutt) og legger til de resterende 13 s.

9 min og 73 s 5,9 Tar utgangspunkt i at ett minutt er 100 s. Legger sammen 47 s og 26 s.

BB

10 min og 3 s 2,2 Minnefeil når de skal legge sammen sekundene. BB

9 min og 21 s 20,1 Regner som om Silje kom 26 s foran Thea. GB

Ubesvart 6,8

EtterarbeidTil læreren: Som nevnt i oppgaven foran er det å regne med tid utfordrende for elevene. Ikke bare skal de forholde seg til timer, minutter og sekunder, men noen ganger skal de også forholde seg til tideler og hundredeler. Tallsystemet vårt er bygd opp av ti siffer, fra 0 til 9. Når tallene blir store, har sifrene ulik verdi, avhengig av hvilken plass de står på (ti tiere i en hundrer, ti hundrere i en tusener, osv.). Når vi regner med tid, blir det annerledes. Det er 24 t i ett døgn, 60 min i én time, 60 s i ett minutt, og i tillegg skal sekunder deles inn i tideler og hundredeler. Da får vi et mikset tallsystem. Elevene mangler både strategier og logiske resonnement for hvordan de skal regne med tid.

35

Elevaktivitet: Å bruke tallinja og legge til kan være en strategi når en arbeider med oppgaver som

handler om tid. Det kan hjelpe elevene til å tenke logisk. I eksemplet under skal de finne ut hvor

mange timer og minutter det er fra kl. 13.45 til kl. 17.30. Hvis de plasserer 13.45 på tallinja, legger

til 15 min (fordi 15 min er 14 h), legger deretter til en hel time om gangen, og til slutt 30 min (12 h), vil

de se at det er 3 h og 45 min fra kl. 13.45 til kl. 17.30.

Elevene kan benytte samme strategi når de skal løse oppgave 14. Silje kommer 26 s etter Thea i mål. Thea brukte 9 min og 47 s på løpet. Hvis elevene lærer seg at de kan legge til 13 s for å få et helt minutt, og deretter ser hvor mange sekund som gjenstår, vil oppgaven være enkel å løse.

Kompetansemål

Matematikk, LK06, 7.trinn:• bruke tidspunkt og tidsintervall i enkle berekningar

Kroppsøving, LK06, 7. trinn: • planleggje og gjennomføre overnattingstur

Naturfag, LK06, 7. trinn:• planlegge og gjennomføre undersøkelser i minst ett naturområde, registrere observasjoner og

systematisere resultatene

36

Mestringsnivå 4

Oppgave 42

Dette er en flervalgsoppgave fra mestringsnivå 4. Oppgaven tester om elevene kan løse enkle sammensatte problemer. For å kunne løse oppgaven må elevene først regne ut arealet av rommet, og deretter multiplisere det med kostnaden for parkett per m2.

Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess

630 kr 6,5 3 m ∙ 210 kr = 630 kr GB

840 kr 21,3 4 m ∙ 210 kr = 840 kr GB

1470 kr 24,9 3 m + 4 m = 7 m. 7 m ∙ 210 kr = 1470 kr

GB

2520 kr 25,0 Riktig svar. Eneste alternativ for elever som klarer å matematisere problemet, og forstår at her må de regne ut et areal

Ubesvart 22,3

EtterarbeidTil læreren: Hvis begrepet areal hadde vært nevnt i oppgaven, tror vi at flere elever hadde funnet løsningen. Det kan være at de som ikke mestrer oppgaven, ikke har forstått at arealet kan beregnes ut fra oppgitt lengde og bredde. De må derfor få innsikt i hva et areal er, hva en flate er. Omkrets og areal kan forveksles i utregningene. Det vil være til hjelp å få etablert et klart bilde hos elevene av disse begrepene. Et enkelt bilde der omkrets forbindes med for eksempel et gjerde, kan være tilstrekkelig. Det å skifte parametere som skal sammenlignes, er krevende, og det kan derfor være lurt å bygge opp noen lette arealer ved hjelp av for eksempel tellebrikker. Det er også nyttig å betone de enhetene som brukes, for å skape et visuelt bilde av en kvadratcentimeter og en kvadratmeter. Elevene må forstå hvorfor vi bruker m for omkrets, m2 for areal og m3 for volum.

37

Elevaktivitet: Begrepet areal kan en arbeide praktisk med i klasserommet. Elevene kan tegne ulike geometriske figurer eller lage figurer ved hjelp av geobrett. Hvis figurene ikke har rette linjer, eller ikke kan deles opp i kjente geometriske figurer, kan en legge over et rutenett (for eksempel en transparent med rutenett) for å telle antall ruter. Da får elevene et tilnærmet mål på figurene. Jo mindre rutene er, desto mer nøyaktig vil flatemålet bli. Dette kan være en god måte å arbeide på for at de skal forstå begrepet areal bedre. Elevene kan sammenligne og samtale om figurene sine. Kan to figurer med ulik form ha samme areal?

Det kan være lurt å sammenligne ulike størrelser, for eksempel 7 x 7 og 10 x 10. Hvor store er de to flatene i forhold til hverandre? Å anslå størrelsen på areal eller flater krever nye ferdigheter. I tillegg er det viktig at elevene møter oppgaver som krever at de har forstått begrepet areal for å kunne løse oppgavene, for eksempel hvor mange liter maling en må regne med å bruke. Det skal legges nytt dekke på kunstgressbanen, – hvor stort areal vil dekket ha? Bassenget skal flislegges, – hvor store flater skal flisene dekke?

KompetansemålMatematikk, LK06, 7.trinn:• forklare oppbygginga av mål for lengd, areal og volum og berekne omkrins, areal, overflate og volum

av to- og tredimensjonale figurar. Finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga

Samfunnsfag; LK06, 7.trinn:• gje døme på og diskutere korleis kommersiell påverknad frå ulike medium kan verke inn på

forbruksvanar og personleg økonomi

Kunst og håndverk, LK06, 7.trinn:• benytte ulike teknikker til overflatebehandling av egne arbeider. Bygge modeller av hus i målestokk

med utgangspunkt i egne arbeidstegninger

Naturfag, LK06, 7.trinn:• planlegge og gjennomføre undersøkelser i minst ett naturområde, registrere observasjoner og

systematisere resultatene

38

Mestringsnivå 5

Oppgave 47

Oppgaven er åpen og fra mestringsnivå 5. Den tester om elevene kan løse ulike sammensatte problemer som krever effektive metoder og valg. Oppgaven måler om elevene kan regne med forhold, samt bruke forholdstall i en praktisk sammenheng.

Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess

2,8 L 6,5 Riktig svar.

2,1 L 2,9 (3 L· 0,7 L) Har ikke forstått forholdet, men kommer fram til riktig mengde olje.

GB

3,7 L 13,2 Legger sammen (3 L + 0,7 L). Leser ikke teksten og forstår ikke oppgaven.

GB

3,0 L 9,2 Tenker på maksimalt som det Gunnar har mest av (2,1 L + 0,7 L= 3,0 L) Evt. plukker «number grabbing» - tar et tall fra oppgaven.

GB

2,0 L 7,1 Finner ut hvor mange hele liter Gunnar kan lage. GB

4,0 L 6,1 3 deler (olje) + 1 del (eddik) = 4 deler GB

7,0 L 3,2 «Number grabbing», legger sammen tallene de finner i teksten 3 + 1 + 3 GB

Ubesvart 29,1

EtterarbeidTil læreren: Å regne med forhold vil si å sammenligne to størrelser. Når vi for eksempel skal regne mellom to valutaer, bruker vi forhold. Når vi skal blande flere stoffer, for eksempel saft og vann, snakker vi om i hvilket forhold stoffene er blandet. De to størrelsene som sammenlignes har samme måleenhet, derfor bruker vi ikke benevning eller målenhet på forholdstall.

Det kan være gunstig å legge opp til aktiviteter som skaper et behov for å regne med forhold. Eksempel: £1 koster 10 kr. £2 koster 20 kr. Hva koster £3? Hva koster £5? Hva koster £12? La elevene argumentere for hvordan de kommer fram til svarene sine. En annen innfallsvinkel kan være at elevene skal beskrive et mønster (fem røde, tre gule). De skal bruke 26 brikker og legge et mønster der forholdet mellom fagene er det samme. Hvordan vil neste figur i rekka se ut?

39

Finner de et system? Tanken bak eksemplene er at elevene skal få erfaringer med hva som menes med forhold i matematikken, uten at de formelt møter det. Når de skal begynne å beskrive forholdet mellom to størrelse, er det viktig å presisere hva som er hva. Hva betyr 5 : 3 i eksemplet med brikkene over? Hva betyr 3 : 5?

Elevaktivitet: Oppgave 47 kan med fordel gjøres praktisk i klasserommet som en del av etterarbeidet med prøvene. Å tegne eller skissere opp problemet vil være en nyttig strategi.

En aktivitet for å øve på å regne med forhold kan være at elevene får i oppgave å blande velkomstdrikke til et arrangement på skolen. De skal komme fram til en superblanding som de skal lage oppskrift til. Her må elevene prøve seg fram og eksperimentere. De kan begynne med å bruke to ingredienser. Etter hvert kan oppgaven bygges på og utvides til tre ingredienser. Hva skjer med forholdet?

KompetansemålEngelsk, LK06, 7.trinn:• uttrykke seg om enkle beregninger, valuta og måleenheter i kommunikasjon om daglegdagse

situasjoner

Kunst og håndverk, LK06, 7.trinn:• skille mellom blanding av pigmentfarger og lysfarger

Matematikk, LK06, 7.trinn:• bruke forhold i praktiske samanhengar, rekne med fart og rekne om mellom valutaer.Finne

informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurder resultatet og presentere og diskutere løysinga

Mat og helse, LK06, 7.trinn:• bruke rekning for å auke eller redusere mengda i oppskrifter, prøve dei ut og vurdere resultatet

Naturfag, LK06, 7.trinn:• gjennomføre forsøk med ulike kjemiske reaksjoner og beskrive hva som kjennetegner dem

40

Statistikk og sannsynlighetI prøven for 2015 er 12 oppgaver definert inn under området statistikk. I disse oppgavene skal elevene lage diagram, tolke tabeller og diagrammer og lese av og bearbeide informasjon. Statistikk er et emneområde som får stadig større innflytelse i flere fag, mye på grunn av økende digitalisering av hverdagen. I dagliglivet bruker mediene mye tabeller og diagrammer. De blir ofte presentert på en måte som krever tolkning og bearbeiding for at en skal få tak i det virkelige innholdet.

Arbeid med å innhente informasjon, organisere, analysere, tolke, presentere og vurdere data og grafiske framstillinger er grunnleggende ferdigheter i regning i mange fag.

Innsamling av data til undersøkelser innenfor faglige tema bør gjennomføres i praksis, ikke bare teoretisk.

Oppgavene om statistikk i årets prøve, er basert på kompetansemål i læreplanene for engelsk, mat og helse, matematikk, naturfag, norsk, samfunnsfag og kristendom, religion, livssyn og etikk.

Nedenfor har vi analysert fire oppgaver fra området statistikk, fra mestringsnivå 1 til 4.

Mestringsnivå 1

Oppgave 41

Dette er en flervalgsoppgave i statistikk fra mestringsnivå 1. Denne oppgaven spør etter gjennomsnitt, men kan løses uten at elevene forstår begrepet gjennomsnitt. Utprøving i klasserommet viser at veldig mange elever summerer alle de tre forsøkene og ser hvilken ball som brukte kortest tid ned bakken.

41

Oppgaven måler om elevene kan sammenligne størrelser, ikke om de har forstått begrepet gjennomsnitt. Når elevene skal løse oppgaven, kan de sammenligne tidene som ballene bruker ned bakken. Elever på nivå 1 gjenkjenner konkrete situasjoner som de kan løse ved å bruke enkle strategier.

Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess

Basket 75 Riktig svar.

Fotball 5 Gir høyest gjennomsnitt. GB

Håndball 4 Summerer bare hele sekunder. BB

Tennisball 15 Kortest tid ned bakken 7,2 s. GB

EtterarbeidTil læreren: Det er viktig at læreren legger til rette for at elevene får diskutere løsningsstrategier, og siden oppgaven har høy løsningsprosent, har mange en strategi som gir riktig svar. I en diskusjon vil trolig mange elever oppdage at andre har en mer effektiv metode enn de selv har. De elevene som har summert forsøkene for hver ball, vil se hvilken ball som brukte kortest tid. Trenger vi å regne ut gjennomsnittet? Ballen med kortest sammenlagt tid må også ha den korteste gjennomsnittstiden. En annen løsningsstrategi er å se på hvert enkelt forsøk og eliminere de som har tatt lengst tid.

Elevaktivitet: Et tips til elevaktivitet er å stille noen konkrete spørsmål til tabellen. Hvilken ball brukte i gjennomsnitt nærmest 7,5 s ned bakken? Brukte noen av ballene over 8,0 s i gjennomsnitt? Hvilke baller var det i gjennomsnitt minst forskjell mellom?

Det er viktig at elevene ikke bruker standardalgoritmen for gjennomsnitt til å regne ut dette, men sammenligner størrelser. En liten repetisjon av hva gjennomsnitt betyr er kanskje nødvendig først, avhengig av hvor godt elevene forstår dette fra før. Kanskje bør denne aktiviteten gjennomføres etter at elevene har arbeidet med oppgave 38.

KompetansemålEngelsk, LK06, 7. trinn:• lese og forstå ulike typer tekster av varierende omfang fra forskjellige kilder

Naturfag, LK06, 7. trinn:• samtale om hvorfor det i naturvitenskapen er viktig å lage og teste hypoteser ved systematiske

observasjoner og forsøk, og hvorfor det er viktig å sammenligne resultater

Norsk, LK06, 7. trinn:• forstå og tolke opplysninger fra flere uttrykksformer i en sammensatt tekst

Samfunnsfag, LK06, 7. trinn:• gjennomføre og presentere undersøkingar som krev teljing og rekning, ved å bruke informasjon frå

tabellar og diagram

42

Mestringsnivå 2

Oppgave 33

I denne oppgaven skal elevene tolke et søylediagram. De må først finne ut hvilken farge som tilhører kvinner, og deretter se på søylene og y-aksen for å vurdere hver enkelt vare.

Oppgavetypen der flere svaralternativer er riktige, er ny av året. Diagrammet inneholder flere varer der prosentandelen for kvinner er større enn for menn som handlet på Internett. Vanskegraden blir dermed større enn med et søylediagram som inneholder bare én riktig.

Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess

1, 2, 4 70,0 Riktig svar

1, 2 3,2 Billetter og reiser. BB

2, 4 2,3 Reiser og sportsartikler. BB

2 12,8 Reiser. Den som har størst prosentandel for begge kjønn. BB

4 6,3 Sportsartikler. Den som har størst differanse i prosentpoeng mellom kjønnene.

BB

3, 5 0,8 Svarer på varer med større prosentandel menn enn kvinner. GB

Ubesvart 0,8

43

EtterarbeidTil læreren: 95,1 % har én, to eller tre riktige (og ingen feil). De som svarer bare ett alternativ er kanskje ukjent med slike typer oppgaver der en skal krysse av for flere riktige alternativer. 75,7 % har to eller tre riktige (og ingen feil). Disse elevene unnlater eller overser ett av svarene. Oppnåelsen av kompetansemålet «forstå og tolke opplysninger fra flere uttrykksformer i en sammensatt tekst» er lav for de elevene som svarer bare ett alternativ. De som svarer alternativ 3 og 5, svarer på varer med større prosentandel menn enn kvinner. Det blir feil i den kognitive prosessen gjenkjenne og beskrive.

Som lærer bør du arbeide med å utvikle ferdighetene til elevene. Hvilke typer spørsmål kan du stille? Hvilke typer diagrammer blir elevene møtt med? Hvilken statistikk i samfunnsfag/engelsk/norsk kan ligne på denne typen, eller lignende typer diagrammer? Hvilke typer spørsmål stiller læreboka i slike tilfeller?

Elevaktivitet: Oppgaven kan brukes til å diskutere hvordan en kan tolke slike oppgaver. Siden oppgaven har høy løsningsprosent, har mange tolket den riktig. De elevene som tror at det er bare ett alternativ som er riktig, tolker kanskje riktig neste gang de møter en tilsvarende oppgave.

Elevene kan også få i oppgave å lete i aviser og andre medier etter lignende diagrammer, eller de kan gjennomføre en undersøkelse og presentere den for de andre i klassen eller i mindre grupper.

KompetansemålEngelsk, LK06, 7. trinn: • tolke og forstå ulike typer tekster av varierende omfang fra forskjellige kilder

Norsk, LK06, 7. trinn: • forstå og tolke opplysninger fra flere uttrykksformer i en sammensatt tekst

Matematikk, LOK06, 7.trinn:• planleggje og samle inn data i samband med observasjonar, spørjeundersøkingar og eksperiment.

Representere data i tabellar og diagram som er framstilte med og utan digitale verktøy, lese og tolke framstillingane og vurdere kor nyttige dei er

Samfunnsfag, LK06, 7. trinn: • gje døme på og diskutere korleis kommersiell påverknad frå ulike medium kan verke inn på

forbruksvanar og personleg økonomi• finne og trekkje ut samfunnsfagleg informasjon ved søk i digitale kjelder, vurdere funna og følgje

reglar for nettvett og nettetikk

44

Mestringsnivå 3

Oppgave 38

Denne oppgaven tester begrepet gjennomsnitt. Oppgave 41 på nivå 1 spør etter gjennomsnitt, men der kan en få riktig svar uten å vite hva gjennomsnitt betyr. I denne oppgaven må elevene ha utviklet betydningen og forståelsen av begrepet gjennomsnitt.

Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess

1 14,5 «Det betyr at flest elever får 125 kr hver i ukelønn.» GB

2 55,1 Riktig svar.

3 5,0 Gjennomsnitt og at «alle» skal få 125 kr hver, får samme betydning. GB

4 25,5 Adderer 100 kr og 250 kr, ufører deretter divisjonen 250 kr : 2, som er 125 kr.

GB

Ubesvart 0,0

Elever som svarer alternativ 1, har trolig ikke et godt utviklet begrep for gjennomsnitt og tror at det betyr «det som det er flest av». De som svarer alternativ 3, har heller ikke utviklet begrepet godt nok, og tror at alle får 125 kr, – «alle» og «gjennomsnitt» får samme betydning. Alternativ 4 er høyfrekvent, og en firedel av elevene svarer det. Det er to tall i alternativet som gir riktig gjennomsnitt. Elevene kan da regne ut gjennomsnittet uten å vite hva det betyr.

45

EtterarbeidTil læreren: Gjennom praktiske oppgaver bør en ha større fokus på å forstå begrepet gjennomsnitt, ikke bare å utføre undersøkelsen, for så å regne ut gjennomsnittet.

I tillegg er det viktig at elevene møter utfordringer der de må bruke forståelsen av gjennomsnitt for å komme seg videre. Her kan en ta for seg eksempler som «gjennomsnittsalderen til norske barn når de får sin første smarttelefon, er 11 år», eller «gjennomsnittslønna i Norge i 2014 er 363 800 kr», og diskutere hva det betyr.

La elevene lage tankekart av matematikkordene, for eksempel gjennomsnitt. Hvilke assosiasjoner har de til ordet? La elevene fortelle en medelev hva ordet gjennomsnitt betyr. La dem diskutere og se om de har ulike oppfatninger. Begrepskart og begreper er det uansett viktig å arbeide med. Gjennomsnittslønn: Har elevene en ekstrajobb? Har noen hatt sommerjobb? Hva tjente de i gjennomsnitt per time?

Elevaktivitet: Fem venner har i gjennomsnitt 50 kr. Hvor mange kroner har de til sammen? Lag et forslag til hvor mange kroner de har hver. Hvor mange forslag har klassen? Hva hvis variasjonsbredden er 20 kr? Hva hvis den er 100 kr? Hvilke andre typer for sentralmål har vi? Lag et forslag der både median, typetall og gjennomsnitt er 50 kr. Lag et forslag der median og typetall ikke er 50 kr, men gjennomsnittet er 50 kr.

KompetansemålEngelsk, LK06 7. trinn:• lese og forstå ulike typer tekster av varierende omfang fra forskjellige kilder

Naturfag, LK06, 7. trinn:• samtale om hvorfor det i naturvitenskapen er viktig å lage og teste hypoteser ved systematiske

observasjoner og forsøk, og hvorfor det er viktig å sammenligne resultater

Norsk, LK06, 7. trinn: • forstå og tolke opplysninger fra flere uttrykksformer i en sammensatt tekst

Matematikk, LK06, 7. trinn:• finne median, typetal og gjennomsnitt i enkle datasett og vurdere dei ulike sentralmåla i forhold til

kvarandre. Planleggje og samle inn data i samband med observasjonar, spørjeundersøkingar og eksperiment

Samfunnsfag, LK06, 7. trinn:• gjennomføre og presentere undersøkingar som krev teljing og rekning, ved å bruke informasjon frå

tabellar og diagram

46

Mestringsnivå 4

Oppgave 36

Denne oppgaven måler om elevene har forstått hva gjennomsnitt er og hvordan en regner ut gjennomsnitt. Oppgaven på nivå 3 målte begrepet gjennomsnitt, denne oppgaven måler i større grad om elevene er i stand til å reflektere og anvende begrepet gjennomsnitt enn bare å regne med gjennomsnitt. En løsning av oppgaven med prosessen reflektere og vurdere over tabellen er effektiv, men blir trolig lite brukt. Ingen valgte den strategien da oppgaven ble prøvd ut åpen på papir i klasserommet. De som svarer riktig, har stort sett anvendt prosessene gjenkjenne og beskrive og bruke og bearbeide.

Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess

1 16,5 14,5 % svarer i påstandsoppgaven at gjennomsnitt er det som det er flest av (typetall).

GB

2 31,9 Riktig

47

Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess

4 26,6 Antall kinobesøk (25) dividert med antall rader i tabellen (6). Da oppgaven var åpen, svarte flere elever 4,166.

GB, BB

5 19,8 Antall kinobesøk (25) dividert med antall rader i tabellen, minus 0 (5).

GB, BB

Ubesvart 5,3

48

EtterarbeidTil læreren: Grunnleggende ferdighet er å bearbeide et datamateriale slik at elevene kan se en trend for materialet, et sentralmål. De foretar beregninger for å finne det som er typisk for datamaterialet. Det er viktig med muntlige aktiviteter der elevene får anledning til å bruke de matematiske begrepene og danne seg et godt begrepsinnhold.

Denne oppgaven egner seg godt til å diskutere de ulike sentralmålene i klasserommet.

Hvilket sentralmål er det hensiktsmessig å bruke i en slik sammenheng?

Elevsvarene tilsier at elevene ikke forstår gjennomsnitt. De har stort sett en algoritme for å regne ut gjennomsnitt. Denne oppgaven kan løses uten bruk av standardalgoritmer.

Hvordan kan denne oppgaven løses med refleksjon og ikke typisk oppsatt gjennomsnitt?

0 * 3 = 0

1 * 9 = 9 9 besøk

2 * 5 = 10 10 besøk

3 * 3 = 9 9 besøk

4 * 3 = 12 12 besøk

5 * 2 =10 10 besøk

En løsningsstrategi er å sammenligne antall kinobesøk. To elever har vært på kino fem ganger. Det blir til sammen ti kinobesøk. Ni elever som har vært på kinobesøk én gang, blir til sammen ni kinobesøk. Videre kan en sammenligne fem elever med to kinobesøk (ti besøk), med tre elever som har fire kinobesøk (tolv besøk). Tre elever har tre kinobesøk som blir ni besøk. Etter å ha sammenlignet de elevene som hadde ett kinobesøk, med de som hadde fem, og de elevene som hadde to besøk, med de som hadde fire, står vi igjen med en «rest» på tre kinobesøk.

De tre kinobesøkene pluss de tre elevene med tre kinobesøk gir til sammen tolv besøk.

Kinobesøkene ble delt inn i seks kategorier med fra 0 til 5 besøk i hver kategori.

12 : 6 = 2, som gir gjennomsnitt 2.

Elevaktivitet: Ta utgangspunkt i oppgaven. Hvordan ville tabellen sett ut dersom gjennomsnittet hadde vært 5? Hva om gjennomsnittet hadde vært 1? Dette er ment som en visualisering eller konkretisering for elevene. Da er det ikke bare regningen som blir i fokus, men forståelsen av begrepet gjennomsnitt. Til slutt kan elevene ta stilling til om gjennomsnittet i oppgaven er 2 eller 4.

49

Kompetansemål Engelsk, LK06, 7. trinn: • tolke og forstå ulike typer tekster av varierende omfang fra forskjellige kilder

Norsk, LK06, 7. trinn: • forstå og tolke opplysninger fra flere uttrykksformer i en sammensatt tekst

Matematikk, LOK06, 7. trinn:• planlegje og samle inn data i samband med observasjonar, spørjeundersøkingar og eksperiment.

Representere data i tabellar og diagram som er framstilte med og utan digitale verktøy, lese og tolke framstillingane og vurder kor nyttige dei er

Samfunnsfag, LK06, 7. trinn: • gje døme på og diskutere korleis kommersiell påverknad frå ulike medium kan verke inn på

forbruksvanar og personleg økonomi• finne og trekkje ut samfunnsfagleg informasjon ved søk i digitale kjelder, vurdere funna og følgje

reglar for nettvett og nettetikk

07 M

edia

, Osl

o. 2

015