navody pap 2007

SLOVENSKÁ POĽNOHOSPODÁRSKA UNIVERZITA V NITRE, TECHNICKÁ FAKULTA KATEDRA KONŠTRUOVANIA STROJOV

c.2009 Ing. Jozef Rédl,PhD. 1

NÁVODY NA RIEŠENIE ÚLOH PRUŽNOSTI A PEVNOSTI (Pomocný učebný text pre študentov denného a externého štúdia na technickej fakulte SPU v Nitre)

Nitra 2009 Ing. Jozef Rédl, PhD.



1. Úlohy riešené v pružnosti a pevnosti

Medzi hlavné úlohy pružnosti a pevnosti patria :

a) Odvodiť matematický aparát aby bolo možné dimenzovať rozmery konštrukčného prvku tak,

aby rozmery konštrukčného prvku boli minimalizované a zároveň aby konštrukčný prvok pri

nadimenzovaných rozmeroch mohol byť namáhaný maximálnym prevádzkovým zaťažením,

tak aby počas predpísanej doby životnosti mohol konštrukčný prvok vykonávať svoju funkciu

v konštrukčnom celku spoľahlivo a bez porúch.

b) Zisťovať deformácie konštrukčných prvkov, ktoré sú namáhané základnými druhmi namáhania

alebo kombinovanými druhmi namáhania. Podľa predpísaného rozsahu učebných osnov pre

bakalársky stupeň štúdia sa budeme v tomto dokumente zaoberať deformáciami (priehybmi)

nosníkov, ktoré sú zaťažené ohybom.

c) Zisťovanie osových síl a reakčných síl a momentov pri staticky neurčitých úlohách.

2. Dimenzovanie rozmerov konštrukčných prvkov Pre každý základný typ namáhania boli na prednáškach odvodené podmienky pevnosti a podmienky

tuhosti. Dimenzovanie je založené na použití podmienok pevnosti. Pre základné druhy namáhania sú

podmienky pevnosti nasledovné.

Namáhanie Podmienka pevnosti Jednotky

Ťah-Tlak min

max

S

Fdov

2;m

NPa

Šmyk-Strih min

max

S

Tdov

2;m

NPa

Krut min

max

k

Kdov W

M

3

.;

m

mNPa

Ohyb min

max

O

Odov W

M

3

.;

m

mNPa

Kde význam jednotlivých premenných je nasledovný :

dov dovolené normálové napätie

dov dovolené šmykové napätie Fmax maximálna sila Tmax maximálna strižná sila Smin minimálna plocha prierezu Mkmax maximálny krútiaci moment ( s indexom o je pre ohyb) Wkmin minimálny prierezový modul ( s indexom o je pre ohyb)



2.1 Dimenzovanie na prostý ťah-tlak

Úlohou je určiť minimálny prierez tyče , ktorá je namáhaná osovou silou F (viď. Obr.1). Pre tyč

uvažujeme kruhový prierez. Podmienka pevnosti pre ťah-tlak je min

max

S

Fdov [1]

Plocha kruhu je 4

. 2dS

[2]. Pokiaľ chceme nájsť najmenší možný prierez

(najmenší možný priemer tyče), zmení sa rovnica [2] na tvar : 4

. 2min

min

dS

[3].

Ak dosadíme rovnicu [3] do rovnice [1], upravíme a vyjadríme minimálny

priemer tyče dostaneme podmienku v tvare : dov

Fd

.

.4 maxmin [4]. dov určíme zo

strojníckych tabuliek podľa platnej normy STN, pre zvolený typ materiálu. Reálne

potom volíme priemer tyče, ktorý je najbližší väčší údaj v norme STN voči

vypočítanému priemeru. Je nutné výpočet doplniť o informáciu, že podľa STN XXX.XXX volím

priemer tyče d= hodnota [jednotka].

2.2 Dimenzovanie na prostý krut

Podmienka pevnosti pre krut je min

max

k

Kdov W

M [5]. minkW je minimálny prierezový modul. Pre jednotlivé

profily materiálov sú vzťahy pre prierezové moduly uvedené v strojníckych tabuľkách. Tu uvediem len

niektoré (viď. Tab.1). Majme hriadeľ zaťažený podľa

obr. 2. Máme určiť priemer hriadeľa d .

Použijeme podmienku pevnosti min

max

k

Kdov W

M .

Prierezový modul minkW pre kruhový prierez zistíme

z tabuliek a symboliku označenia upravíme do tvaru :

16

. 3min

min

dWk

[6]. Vzťah [6] dosadíme do vzťahu [5]

upravíme a vyjadríme priemer dmin. Výsledný

podmienka bude mať tvar : 3max

min .

.16

dov

KMd

. Ak za Mkmax dosadíme MkB podmienka prejde do tvaru

: 3min .

.16

dov

kBMd

[m]. dov určíme zo strojníckych tabuliek pre zvolený druh materiálu. Reálne potom

volíme priemer hriadeľa, ktorý je najbližší väčší údaj v norme STN voči vypočítanému priemeru. Je nutné výpočet doplniť o informáciu, že podľa STN XXX.XXX volím priemer hriadeľa d= hodnota [jednotka].

obr.1



Tab.1.

2.3 Dimenzovanie nitových spojov

Vzťahy pre dimenzovanie nitových spojov sú uvedené v každých strojnícky tabuľkách. Výpočet je

možné realizovať z týchto hľadísk :

a) z hľadiska šmykovej pevnosti spojovacích častí (nitov),

b) z hľadiska merného tlaku medzi spojovacou časťou (driek nitu) a spojovaným materiálom – tu

sa jedná o pevnosť v otlačení.



2.3.1 Výpočet z hľadiska šmykového namáhania

Predpokladáme, že rozloženie napätí je rovnomerné.

Majme nitový spoj namáhaný podľa obr.3.

Použijeme podmienku pevnosti v tvare min

max

S

Tdov [7].

Plocha prierezu nitu je 4

. 2dS

. Tento tvar upravíme na tvar

4

. 2min

min

dS

[8]. Vzťah [8] dosadíme

do vzťahu [7] upravíme a vyjadríme minimálny priemer nitu pre nitový spoj. Potom podmienka prejde

do tvaru :

dov

Td

.

.4 maxmin . Pokiaľ je nitový spoj viacstrižný a spoj dimenzujeme pre viac nitov potom podmienka

bude : dovni

Td

...

.4 maxmin [9], kde i je počet nitov a n je počet strižných rovín. Strižnou rovinou sa

myslí rovina medzi dvomi spojovanými materiálmi. Vyjadrením i z rovnice [9] môžeme vypočítať

potrebný počet nitov ak už máme zvolený priemer nitu. Za Tmax dosadíme F.

2.3.2 Výpočet z hľadiska na otlačenia

Pre jednostrižný nitový spoj (obr.3) bude podmienka pre hrúbku plechu v tvare : diP

Tt

otdov .,

maxmin , kde

tmin je minimálna hrúbka spojovaného plechu. Hodnota Pdov,ot sa volí 2-2,5 násobok príslušného

namáhania spojovaného materiálu v tlaku podľa STN . Ak je pevnosť v tlaku spojovaného materiálu

a nitov rôzna , do úvahy sa berie pevnosť slabšieho materiálu.

3. Zisťovanie deformácie konštrukčných prvkov

3.1 Zisťovanie priehybu nosníkov zaťažených na ohyb

Priehyb nosníkov určuje podľa týchto základných metód:

a) Približná diferenciálna rovnica priehybovej čiary,

b) Mohrova metóda,

c) Catiglianove vety.

Predtým ako začneme s výkladom použitia jednotlivých metód, musíme si objasniť určovanie

priebehov ohybových momentov a priečnych síl zaťažených staticky určitých nosníkov. Tu je



potrebné zdôrazniť, že je nutné si zopakovať základné poznatky zo statiky. Názorne uvedieme

príklad. Majme jednoduchý staticky určitý nosník zaťažený podľa obr.4.

Základný postup si zhrnieme do týchto bodov :

1) Analýza úlohy : je nosník staticky určitý alebo nie ? V bode A je krivková väzba, ktorá odoberá

dva stupne voľnosti (to znamená, že pri uvoľňovaní nosníka v bode A budú dve neznáme

reakcie, v bode B je plošná väzba, ktorá odoberá jeden stupeň voľnosti. Spolu sú to tri stupne

voľnosti. Na výpočet reakcií v bodoch A, B potrebujem statické podmienky rovnováhy

: 0,0,0 MFF yx . Sumu momentov môžeme určiť k bodu A, B. Vidíme, že

počet neznámych reakcií je totožný s počtom statických podmienok rovnováhy, to znamená že

úloha je staticky určitá.

2) Uvoľnenie nosníka a výpočet reakcií : uvoľnenie znamená nahradiť väzby príslušnými

reakciami. Počet reakcií pre jednotlivé väzby sme popísali už v bode 1. Smery reakcií si vždy

volíme kladne. Vo výpočte potom

výsledok určí či sme zvolili správne.

Pokiaľ sme si zvolili reakcie kladne

a vo výpočte nám vyšli záporne,

znamená to že reálny smer reakcií je

opačný ako sme si zvolili. Pokiaľ vo výpočte vyšli reakcie kladne znamená to že smery reakcií

zostávajú tak ako sme si ich zvolili. Uvoľnený nosník je na obr.5. Podmienky rovnováhy

môžeme písať v tvare: 0:0 Axx RF , 0:0 BAyy RFRF ,

0.2

.:0 lRl

FM BA , 02

..:0 lFlRM AyB . Z rovnice AM vyjadríme

2

FRB

a z rovnice BM vyjadríme 2

FRAy . Keďže 0AxR výsledná reakcia v bode A bude

22AyAxA RRR a teda AyA RR .

3) Stanovenie priebehu ohybových momentov a priečnych síl: postup je založený na aplikácií

myslených rezov vykonaných na nosníku a to tak, že myslený rez je vždy medzi dvoma

pôsobiskami síl(reakcií, momentov). Potom vždy voči bodu rezu stanovíme moment v súlade

s princípmi statiky , orientácie súradnicovej sústavy a v súlade s dohodnutým kladným

zmyslom otáčavého účinku síl (obr.6 ľavý horný roh). V našom prípade budeme mať dva

myslené rezy a to x1 ľubovoľne medzi bodom A (RA) a pôsobiskom sily F, a x2 medzi



pôsobiskom sily F a bodom B (RB).

Myslené rezy sú na obr.6. Jednotlivé

úseky nosníka sú označené I, II.

Urobíme myslený rez vo vzdialenosti

x1 .Od bodu rezu smerom doprava celý

úsek nosníka neberiem do úvahy

a v bode rezu si predstavíme že je

voľne otočný kĺb tak ako to je na obr.7. Potom voči bodu rezu určíme moment. Úsek

mysleného rezu môže nadobúdať hodnoty v

rozmedzí 2

0 1

lx , a moment voči bodu rezu

bude mať tvar : 11 .2

..1

xF

xRMI Ax . Vidíme, že

rovnica je rovnicou priamky a aby sme určili

priebeh priamky stačia nám dva body priamky. Použijeme na to hraničné body 2

0 1

lx . Po

dosadení do momentovej rovnice dostávame : ak 0:011 xMx , ak

4

.:

2 11

lFM

lx x .

Priebeh momentu na úseku nosníka I je určený bodmi v súradnicovej sústave a to [0,0] a

[2l

,4.lF

]. Súradnice vypočítame podľa zadaných hodnôt. Moment pre úsek II určíme

analogicky. Úsek mysleného rezu môže nadobúdať hodnoty v rozmedzí lxl

22. Podľa

obr. 8. potom môžeme písať moment voči

bodu rezu v tvare :

2... 222

lxFxRMII Ax . Po

dosadení hraničných bodov dostávame :

ak 4

.:

2 22

lFM

lx x a pre

0:22 xMlx . Priebeh momentu na úseku II je potom definovaný spojnicou bodov [

2l

,4.lF

]

a [0,0]. Na určenie priebehu priečnych síl použijeme Žuravského vetu v tvare dx

dMT x

x . Pri

derivovaní si treba uvedomiť, že v momentových rovniciach je konštanta RA a F. Derivujeme

vždy tie momentové rovnice v ktorých je premenná x.

AA

x Rdx

xRdT

1

1.1

,



2

22 2..

2 dx

lxFxRd

TA

x

, potom dostaneme22F

FF

FRA . Priebehy ohybových

momentov a priečnych síl nosníka sú na obr.9. Vidíme, že funkcie Tx1 a Tx2 sú funkcie priamky

danej číslom, v našom prípade veľkosťou reakcií RA a RB. Priebeh Tx1 je len v úseku 2

0 1

lx

a priebeh Tx2 je len v úseku lxl

22.

3.1.1 Približná diferenciálna rovnica priehybovej čiary

Zisťovanie priehybu a uhla sklonu dotyčnice k priehybovej čiare výpočtom približnej dif. rovnice

priehybovej čiary je založený na rovnici

z

x

JE

My

. [10] a

.x

z

Ty

E J . Venujme sa teraz len

určeniu priehybu z rovnice [10]. Rovnicu [10] upravme na tvar. xz

MJE

y.

1 [11]. Ak rovnicu [11]

integrujeme dostávame dxMJE

y xz

.

1. Na ľavej strane rovnice sa vplyvom integrácie zníži

stupeň derivácie a na pravej strane pribudne integračná konštanta C1. Potom dostávame

1.

1CdxM

JEy x

z

. Ďalšou integráciou dostávame 21.

1CdxCdxdxM

JEy x

z

.

Majme votknutý nosník zaťažený podľa obr.10.



obr.10.

Vzhľadom k tomu že počiatok súradnicovej sústavy je v bode B a my určujeme ohybový moment

v zápornej časti, bude rovnica pre ohybový moment voči bodu C na nosníku mať tvar xFM x . .

Dosadíme do rovnice [11] a dostávame : xFJE

yz

..

1 [12]. Rovnicu [12] integrujme dvakrát po

sebe a dostávame :

1

2

2.

.

1C

xF

JEy

z

[13],

21

3

.6

..

1CxC

xF

JEy

z

[14]. Aby sme mohli pokračovať ďalej musíme stanoviť integračné

konštanty z okrajových podmienok. Okrajové podmienky stanovíme nasledovne :

1) Ak x=L (bod C splynie s bodom A čiže sa presunie priamo do votknutia, kde je nulový

priehyb) potom y=0,

2) Ak x=L ,y=0 potom aj 0y , čiže 0 .

Dosadíme okrajové podmienky z bodu 1. do rovnice [13] a rovnicu [13] upravíme :

1

2

2... Cx

FyJE z , keďže 0y dostávame : 1

2

2.0 Cx

F z čoho 2

.2

1

lFC .

Dosadíme okrajové podmienky z bodu 2. do rovnice [14] a rovnicu [14] upravíme :

2

23

.2

.6

... Cll

Fl

FyJE z , keďže y=0 po úprave a vyjadrení budeme mať :

3.

3

2

lFC . Po dosadení integračných konštánt do rovnice[14] dostávame :

3.

26.

.

1 323 lFx

lF

xF

JEy

z

ak za x dosadíme l, čo je vlastne bod A (votknutie) dostávame priehyb

y=0. Ak chceme vypočítať priehyb v bode B (pôsobisko sily F) dosadíme x=0 a dostaneme zJE

lFy

..3

. 3

.



Ak chceme stanoviť uhol sklonu φ dotyčnice t voči priehybovej čiare, použijeme rovnicu [13] a okrajovú

podmienku z bodu 2. Potom dostávame : 1

2

2.0 Cl

F , z čoho integračná konštanta má tvar :

2.

2

1

lFC . Keďže y , dostávame

22

22 lF

xF . Ak za x dosadíme l, čo je vlastne bod A

(votknutie) dostávame 0 . Ak chceme vypočítať uhol sklonu v bode B (pôsobisko sily F) dosadíme

x=0 a dostaneme zJE

lF

..2

. 2

.

3.1.2 Mohrova metóda výpočtu priehybu

Základný postup je nasledovný :

1) zistíme funkcie priebehov ohybových momentov a priečnych síl reálneho nosníka,

2) vytvoríme fiktívny nosník, ktorý je z konštrukčného hľadiska identický voči reálnemu nosníku, ale

je zatiaľ bez zaťaženia,

3) fiktívny nosník zaťažíme spojitým bremenom, ktorého tvar je popísaný funkciou priebehu

ohybových momentov reálneho nosníka.

4) Ak chceme určiť priehyb v určitom bode reálneho nosníka, musíme určiť moment voči tomuto

bodu na fiktívnom nosníku.

5) Priehyb vypočítame podľa vzťahu : z

F

JE

My

. , kde FM je fiktívny moment,

6) Uhol sklonu dotyčnice vypočítame podľa vzťahu z

F

JE

T

. , kde FT je fiktívna priečna sila.

Aby sme metódu lepšie pochopili uvedieme si príklad nosníka z kapitoly 3.1 a obr.9, kde už máme

určené funkcie priebehov ohybových momentov a priečnych síl. Fiktívny nosník aj zo spojitým

zaťažením q je na obr.11. Aby sme mohli pokračovať ďalej najprv si určíme veľkosť fiktívnej sily QF.

2

.4

.l

lF

QF čo je vlastne obsah plochy trojuholníka, ktorý vytvára priebeh ohybového momentu.

8

2FlQF . Pôsobisko FQ je orientované do ťažiska T momentového trojuholníka. Najprv určíme

reakciu RAF a to zo statickej podmienky rovnováhy 0 FBM . Rovnica bude mať tvar :

02

.. l

QlR FAF, z čoho

16

. 2lFR

FA .



Pokiaľ chceme určiť priehyb v strede nosníka

(reálneho), musíme určiť moment voči bodu CF na

fiktívnom nosníku. Moment voči bodu CF bude mať

tvar 6

.2

.l

Ql

RMCFF FAC . Ešte určíme veľkosť sily

22

.4

. llF

QCF , čo je vlastne obsah trojuholníka

momentovej plochy. Po dosadení máme :

48

.

96

.

32

.

6.

16

.

2.

16

. 33322 lFlFlFllFllFM

FC .

Priehyb v strede reálneho nosníka bude ZJE

lFy

..48

. 3

.

Uhol sklonu dotyčnice bude ZJE

lF

..16

. 2

, lebo FAF RT .

3.1.3 Castiglianova metóda výpočtu priehybu

Z prednášky vieme, že práca, ktorá sa vykoná pri ohybe nosníka sa vypočíta zo vzťahu

L

xZ

dxMJE

A 2

..2

1 [15]. Výpočet priehybu nosníka sa vypočíta zo vzťahu

F

Ay

[16]a uhol

sklonu dotyčnice k priehybovej čiare sa vypočíta zo vzťahu M

A

[17]. Základný postup je

nasledovný :

1) Pokiaľ chceme určiť priehyb v konkrétnom bode nosníka, do tohto bodu musíme vložiť silu

00 F .

2) Pokiaľ chceme určiť uhol sklonu dotyčnice voči priehybovej čiare v konkrétnom bode ,

musíme do tohto bodu vložiť moment 00 M .

3) Zistiť funkciu priebehu ohybového momentu na nosníku, ktorý je zaťažený s vloženou nulovou

silou alebo nulovým momentom.

4) Vypočítať prácu podľa vzťahu [15].

5) Dosadiť a vypočítať rovnice [16] [17].

obr.11



Väčšinou sa priehyb počíta z rovnice, ktorá má tvar :

F

MJE

yL

xZ

2

..2

1

, rovnicu môžeme upraviť

na tvar

dx

F

MM

JEy

L

xx

Z

.

.

1 [18], a

dxM

MM

JE L

xx

Z

.

.

1 [19]. Pre lepšie pochopenie si

ukážeme príklad, ktorý sme riešili Mohrovou metódou. Vieme, že priebeh ohybového momentu

votknutého nosníka (obr.10) má tvar : xFM x . . Chceme určiť priehyb v koncovom bode nosníka

(pôsobisko sily F). Keďže v tomto bode už silu máme, nemusíme vkladať nulovú silu. Práca bude mať

tvar ZLZLZLZ JE

LFxF

JEdxxF

JEdxxF

JEA

..6

.

3..2

1.

..2

1.

..2

1 320322

02

02

. Hranice integrálu

sme stanovili v súlade so súradnicovou sústavou v rozmedzí <0,L> (viď. predchádzajúce riešenie tohto

príkladu). Dosadením do rovnice [15] dostávame :F

JE

LF

y Z

..6

. 32

. Musíme si uvedomiť, že pokiaľ

derivujeme podľa premennej F všetky ostatné premenné sú konštanty. Pre lepšie pochopenie to

upravíme na tento tvar : F

F

JE

Ly

Z

23

..6 (konštanty sme dali pred deriváciu). Po derivácii

dostávame : ZZ JE

LF

JE

LFy

..3

.

..6

..2 33

. (Vidíme, že výsledok je rovnaký s predchádzajúcim riešením).

Ešte si ukážeme výpočet uhla sklonu dotyčnice voči

priehybovej čiare v pôsobisku sily F. Do tohto bodu

musíme vložiť moment 0BM , tak ako to je na obr.

12. Vyjadríme ohybový moment voči myslenému

rezu vo vzdialenosti x. Rovnica bude mať tvar :

Bx MxFM . . Práca bude mať tvar :

dxMJE

AL

xZ0

2

.2

1, po dosadení za xM bude dxMxF

JEA

L

BZ 0

2..2

1. Výraz v hranatej

zátvorke upravíme a dostávame : dxMMxFxFJE

AL

BBZ 0

222 ...2..2

1, celú rovnicu integrujeme

a dostávame

02

02032 .

2..2

3.2

1LB

L

B

LZ

xMx

MFx

FJE

A . Po dosadení integračných hraníc

dostávame :

LMLMF

LF

JEA BB

Z

...3.2

1 223

2 . Takto upravený výraz môžeme dosadiť do

obr.12



rovnice [17] a dostávame : B

BBZ

M

LMLMFL

FJE

...

3.2

1 223

2

, ďalšou úpravou dostávame :

B

B

B

B

BZ M

LM

M

LMF

M

LF

JE

...3

.2

1 22

32

, jednotlivé parciálne derivácie budú :

03

32

BM

LF

,

1..... 22

2

LFM

MLF

M

LMF

B

B

B

B

,

0.2..

. 22

B

B

B

B

B MLM

ML

M

LM. Ak dosadíme do

hranatej zátvorky všetky parciálne derivácie dostávame : ZJE

LF

.2

. 2

, čo je samotný výsledok zhodný

s predchádzajúcim riešením.

4. Zisťovanie priebehu ohybových momentov a priečnych síl nosníkov s previsnutým koncom

Postup riešenia je identický s postupom uvedeným v kapitole 3.1 bod 3. Majme nosník zaťažený ako

to je na obr.13. V bode B rozdelíme nosník na dve časti. Jedna časť bude so spojitým bremenom

a bude končiť v bode B. Nakoľko sme odstránili prevísajúca časť so zaťažením toto je nutné

kompenzovať momentom MB , ktorý vložíme

do bodu B. Z odstráneného nosníka potom

vznikne votknutý nosník, tak ako to je na

obr.13. Priebehy ohybových momentov

a priečnych síl potom riešime pre každý

nosník samostatne a musí platiť, že MB= MBv.

obr.13



5. Zisťovanie priebehov ohybových momentov a priečných síl nosníkov zaťažených spojitým bremenom, ktoré je dané funkciou

Majme staticky určitý nosník (obr.14), ktorý zaťažený spojitým bremenom, ktoré je dané funkciou

0. .q q f a x , kde 0q je amplitúda funkcie, a je konštanta funkcie, x je argument funkcie. V takomto

prípade nie je možné stanoviť vektor tiaže spojitého bremena uvoľnením nosníka. V tomto prípade „

nosník neuvoľňujeme a nepočítame reakcie v bodoch A,B !!!!!!

Na stanovenie funkcie priebehu ohybového

momentu a priečnej sily použijeme výlučne

ŽURAVSKÉHO VETU v tvare

xdTq

dx [20] a x

x

dMT

dx [21] . Rovnicu [20]

upravíme na tvar xT qdx . Po dosadení

dostávame 0 .xT q f a x dx . Ak je v argumente funkcie ďalšia funkcia, alebo sa jedná o zloženú

funkciu je nutné riešiť integrál substitúciou v tvare .a x z , po derivovaní tejto rovnice a po vyjadrení

dostávame dz

dxa

. Po dosadením do integrálu dostávame 0x

dzT q f z

a . Výsledok dostávame

integráciou funkcie f z a spätnou substitúciou za z . Funkciu priebehu ohybového momentu

dostávame opätovným použitím Žuravského vety v tvare x xM T dx . Dosadením za xT

z predchádzajúceho vzťahu dostávame 0 .xM q f a x dx dx . Pokiaľ je aj funkcia xT zložená

funkcia, na výpočet použijeme substitúciu. Pre grafické znázornenie priebehov funkcií použijeme body

0, ,2

Lx x x L .

Obr.14



6. Zisťovanie reakcií v staticky neurčitých nosníkoch použitím deformačnej podmienky

Majme staticky neurčitý nosník ako to je na obr. 15.

Reakciu v bode B vypočítame tak, že najprv vypočítame priehyb nosníka zaťaženého len spojitým

bremenom q (výsledok je 4

8Bq

Z

qly

EJ ). Potom

vypočítame priehyb nosníka, ktorý je zaťažený len

reakciou BR v bode B(výsledok je 3

3B

B BR

Z

R ly

EJ ).

Deformačná podmienka je v tvare 0B

B Bq Ry y ,

B

B BR qy y . Dosadením za jednotlivé priehyby a vyjadrením reakcie BR dostávame veľkosť hľadanej

reakcie v tvare 3

.8

R q l .

7. Ťažiská niektorých útvarov

Odporúčaná literatúra :

Pružnosť a pevnosť / Jozef Rédl ,SPU Nitra 2009. cena 2.90 €

Pružnosť a pevnosť / Peter Sklenka - Bratislava : Príroda, 1981 - 190 s.

Pružnost a pevnost 1 / Emanuel Hájek, Pavel Reif, František Valenta - Praha : Stát. nakl. techn. lit.,

1988 - 429 s.

Pružnosť a pevnosť / Daniel Zvada. - 1. vyd. - Nitra : Vysoká škola poľnohospodárska, 1991 - 213 s.

ISBN 80-7137-007-X

Uvedené tituly sa nachádzajú v univerzitnej knižnici.

www.slpk.sk

Aktualizované 09. 07. 2009

Obr.15

T

1

3L

2

3L

T

3

8L

T

3

4L

navody pap 2007

Documents