nct _ phuong phap tinh va toi uu _version1

NGUYỄN CHÍ TRUNG NGUYỄN TÂN ÂN

NGUYỄN THỊ THU THỦY

PHƯƠNG PHÁP TÍNH VÀ BÀI TOÁN TỐI ƯU

HÀ NỘI - 2010

NCT-FIT-HNUE Computional methods and Optimization Problems

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU.........................................................................................................................................5

Chương 1 TÍNH GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ...................................................................................8

1. Số gần đúng và sai số của nó ..................................................................................................8 1.1. Số gần đúng và sai số .......................................................................................................8 1.2. Chữ số có nghĩa và chữ số đáng tin..................................................................................9 1.3. Cách viết số gần đúng ....................................................................................................10 1.4. Sai số làm tròn................................................................................................................10

2. Sự lan truyền sai số ...............................................................................................................11 2.1. Mở đầu ...........................................................................................................................11 2.2. Sai số của tổng................................................................................................................11 2.3. Sai số của tích.................................................................................................................12 2.4. Sai số của thương ...........................................................................................................13 2.5. Sai số của hàm bất kỳ .....................................................................................................14

3. Các loại sai số .......................................................................................................................14 3.1. Các loại sai số mắc phải khi giải một bài toán thực tế ...................................................14 3.2. Các loại đánh giá sai số phương pháp...........................................................................15

BÀI TẬP ...................................................................................................................................15

Chương 2. TÍNH GIÁ TRỊ VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ ......................................................................16

1. Tính giá trị hàm số ................................................................................................................16 1.1. Thuật toán Hoocner tính giá trị đa thức .........................................................................16 1.2. Tính hàm nhờ chuỗi lũy thừa .........................................................................................17

2. Bài toán nội suy hàm số ........................................................................................................18 2.1. Đa thức nội suy Lagrange trên mốc không đều .............................................................18 2.2. Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều .................................................................22 2.3. Đa thức nội suy Newton trên mốc không cách đều........................................................23 2.4. Đa thức nội suy Newton trên mốc cách đều...................................................................27 2.5. Nội suy tổng quát (nội suy Hermit)................................................................................29

3. Xấp xỉ bình phương cực tiểu.................................................................................................30 3.1. Phương pháp chung........................................................................................................30 3.2. Một số dạng hàm cụ thể. ................................................................................................30

BÀI TẬP ...................................................................................................................................33

CHƯƠNG 3 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN............................................34

1. Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm ......................................................................................34

2. Phương pháp chia đôi ...........................................................................................................35 2.1. Mô tả phương pháp ........................................................................................................35 2.2. Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp chia đôi............................................36

3. Phương pháp lặp đơn ............................................................................................................37 3.1. Mô tả phương pháp ........................................................................................................37 3.2. Cách chọn ϕ(x) thỏa điều kiện hội tụ của phương pháp lặp đơn ...................................39

2


3.3. Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp lặp đơn.............................................40

4. Phương pháp tiếp tuyến (Newton) ........................................................................................40 4.1. Mô tả phương pháp ........................................................................................................40 4.2. Sự hội tụ của phương pháp.............................................................................................41 4.3. Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp Newton............................................42

5. Phương pháp cát tuyến..........................................................................................................43 5.1. Mô tả phương pháp ........................................................................................................43 5.2. Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp Cát tuyến .........................................43

6. Phương pháp dây cung..........................................................................................................44 6.1. Mô tả phương pháp ........................................................................................................44 6.2. Sự hội tụ của phương pháp.............................................................................................44

BÀI TẬP ...................................................................................................................................44

Chương 4 PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH.............................................46

1. Đại số ma trận .......................................................................................................................46 1.1. Vectơ cột và vectơ hàng .................................................................................................46 1.2. Ma trận ...........................................................................................................................47

2. Hệ phương trình đại số tuyến tính ........................................................................................50 2.1. Giới thiệu........................................................................................................................50 2.2. Giới thiệu phương pháp Cramer.....................................................................................51 2.3. Phương pháp khử Gauss.................................................................................................52 2.4. Phương pháp Gauss-Seidel ............................................................................................55 2.5. Phương pháp giảm dư ....................................................................................................59 2.6. Vấn đề ổn định của nghiệm của hệ phương trình...........................................................62

3. Tính gần đúng giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận .......................................................63 3.1. Giới thiệu........................................................................................................................63 3.2. Ma trận đồng dạng..........................................................................................................64 3.3. Tìm giá trị riêng bằng phương pháp Đa-nhi-lép-ski ......................................................64 3.4. Tìm vectơ riêng bằng phương pháp Đan-nhi-lep-ski .....................................................67

BÀI TẬP ...................................................................................................................................69

Chương 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ....................................................71

1. Tính gần đúng đạo hàm.........................................................................................................71 1.1. Đạo hàm cấp 1................................................................................................................71 1.2. Đạo hàm cấp hai .............................................................................................................71

2. Tính gần đúng tích phân .......................................................................................................72 2.1. Giới thiệu bài toán..........................................................................................................72 2.2. Công thức hình chữ nhật trung tâm................................................................................72 2.3. Công thức hình thang .....................................................................................................74 2.4. Công thức Simpson (hay công thức Parabol).................................................................76 2.5. Các thuật toán “hcn, ht, sim” tính gần đúng tích phân xác định ....................................78

Chương 6 BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH .................................................................79

1. Giới thiệu bài toán tối ưu tổng quát ......................................................................................79 1.1. Ví dụ mở đầu..................................................................................................................79 1.2. Mô hình bài toán tối ưu tổng quát ..................................................................................79

3


1.3. Dạng chuẩn tắc và dạng chính tắc..................................................................................80

2. Đặc điểm của tập các phương án của bài toán QHTT ..........................................................81 2.1. Tập lồi và đa diện lồi......................................................................................................81 2.2. Đặc điểm của tập các phương án của bài toán QHTT....................................................83

3. Thuật toán đơn hình giải bài toán QHTT..............................................................................84 3.1. Đường lối chung của thuật toán .....................................................................................84 3.2. Các định lý cơ bản của thuật toán đơn hình ...................................................................85 3.4. Thuật toán đơn hình .......................................................................................................89

4. Tìm phương án cực biên ban đầu..........................................................................................94 4.1. Nhận xét .........................................................................................................................94 4.2. Định nghĩa ràng buộc chuẩn...........................................................................................95 4.3. Phương pháp phạt hay phương pháp bài toán M............................................................96

BÀI TẬP .................................................................................................................................100

4


MỞ ĐẦU

1. Giới thiệu môn học Phương pháp tính

Có các tên gọi sau: Phương pháp tính (Computional methods), phương pháp số (Numerical methods), Giải tích số (Numerical analysis), rộng hơn nữa là Toán học tính toán (Computional mathematics, Numerical mathematics) (theo Bách khoa toàn thư về khoa học và kỹ thuật, NXB Mc. Graw Hill 1992).

Là một khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, mà chủ yếu giải bằng số (gọi là giải số) các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu hóa. Một cách ngắn gọn là giải các bài toán bằng số trên máy tính.

2. Phân biệt toán tính và toán lí thuyết

Toán lí thuyết quan tâm đến các vấn đề định tính của bài toán: tồn tại, duy nhất, tính chất nghiệm của các bài toán.

Toán tính quan tâm đến xây dựng phương pháp, thuật toán để để tìm nghiệm bài toán trên máy tính.

Thuật toán được xây dựng phải thỏa mãn yêu cầu về tính khả thi và tính ổn định.

Một thuật toán là khả thi nếu nó thực hiện được trên máy tính. Một thuật toán gọi là ổn định nếu sai số tính toán (do máy tính làm tròn số) không bị khuếch đại trong quá trình tính.

Ví dụ 1 (tính ổn định). Giả sử cần tính tích phân

)1(11

0

≥= −∫ ndxexI xnn .

Tích phân từng phần: đặt u=xn thì du = nxn-1dx; đặt dv=ex-1dx thì v = ex-1 ta được

.1 11

1

0

110

1−

−−− −=−= ∫ nxnxn

n nIdxexnexI

Ngoài ra ta có

.3679.01)1( 1

011

1

01 ≈=−== −−∫ e

xedxexI xx

Như vậy, để tính ta thu được công thức truy hồi tính được In về mặt lý thuyết: nI

.3679.0,2,1

1

1

=≥−= −

InnII nn

Về mặt thực tế tính trên máy tính không cho kết quả mong muốn khi n lớn. Cụ thể là tính trên máy tính với n=25 ta được bảng kết quả sau (liệt kê theo từng hàng)

0.3679 0.2642 0.2073 0.1709 0.1455

0.1268 0.1124 0.1009 0.0916 0.0839

5


0.0774 0.0718 0.0669 0.0627 0.0590

0.0555 0.0572 -0.0295 1.5596 -30.1924

635.0403 -13969.8864 321308.3881 -7711400.3133 192785008.8325

Kết quả giảm dần từ 0.3679 (khi n=1) đến 0.0555 (khi n=16)

Kết quả sau đó kết quả thay đổi thất thường và giá trị tuyệt đối tăng rất nhanh.

Điều này hoàn toàn không phù hợp với lý thuyết vì theo lý thuyết thì khi 0→nI ∞→n do đó

.1

101

0 +=≤≤ ∫ n

dxxI nn

Hiện tượng kết quả tính toán nêu trên là sự không ổn định của thuật toán: sai số ban đầu khi

tính

nI

3679.011 ≈=

eI đã bị khuyếch đại trong quá trình tính.

Nguyên nhân: thay vì e

I 11 = ta thu được , trong đó δ+= 11

~ II δ là sai số. Giả sử các tính toán

tiếp theo không mắc phải sai số. Với n = 2 ta được

.22)21()(21~21~21112 δδδ −=−−=+−=−= IIIII

Thu được 2~I với sai số δ2|~| 22 =− II . Tương tự, ở bước thứ n thay cho giá trị đúng ta thu

được giá trị gần đúng

nI

nI~ với sai số δ!|~| nII nn =− . Do đó, dù δ có bé thì khi n đủ lớn, sai số vẫn

đủ lớn và ta không thể nhận được giá trị chấp nhận được là gần đúng cho . nI

Ví dụ 2 (tính khả thi). Cho hệ phương trình đại số tuyến tính

bAx = , (1)

trong đó A là ma trận vuông cấp n với định thức khác 0.

Về lý thuyết có thể giải hệ trên bằng công thức Cramer

∆∆

= iix , (i =1,..., n), (2)

trong đó , còn nhận được từ Adet=∆ i∆ ∆ do việc thay cột thứ i bởi cột tự do b. Nhưng việc

tính toán ra nghiệm bằng số cụ thể lại là một việc không đơn giản. Theo công thức (2) cần phải tính n +1 định thức cấp n. Mỗi định thức là tổng của n! số hạng, mỗi số hạng là tích của n thừa số. Do vậy, để tính mỗi số hạng cần thực hiện n – 1 phép nhân. Như vậy, tất cả số phép tính nhân cần thực hiện trong (2) là Q = n!(n+1)(n-1).

Giả sử n = 20. Khi đó . Nếu tốc độ của máy tính là 100 triệu phép tính/giây thì

thời gian để thực hiện khối lượng tính toán trên là giờ = năm. Một thời gian lớn vô cùng! Và như vậy, thuật toán nêu trên là hoàn toàn không khả thi dù máy tính có tăng tốc độ lên gấp hàng nghìn, hàng vạn lần.

2010*7073.9≈Q910*2.6965 510*0782.3

6


Ở trên ta mới chỉ xét việc giải một hệ cỡ 20, mà thực tế khoa học và công nghệ đòi hỏi phải giải các hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ hàng vạn, hàng triệu hoặc hơn thế nữa. Vì thế, cần phải nghiên cứu đề xuất các phương pháp hiệu quả để có thể giải được các hệ thống phương trình cỡ lớn. Đó là một trong các nhiệm vụ của ngành Phương pháp tính.

Chương 1 gồm các nội dung sau:

Các khái niệm cơ bản: số xấp xỉ (hay số gần đúng), sai số tuyệt đối và sai số tương đối, chữ số có nghĩa và chữ số đáng tin, cách viết số gần đúng, sai số quy tròn và quy tắc làm tròn để số còn lại gồm các số đáng tin;

Sự lan truyền sai số đầu vào dẫn đến sai số đầu ra x f(x), từ đó tính được sai số của tổng, hiệu, tích, thương.

Các loại sai số: giới thiệu các nguyên nhân dẫn đến sai số: sai số khi xây dựng mô hình hóa các đối tượng, sai số về phương pháp thực hiện, sai số do tính toán. Và, cách đánh giá tiên nghiệm, hậu nghiệm đối với sai số.

7


Chương 1 TÍNH GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

1. Số gần đúng và sai số của nó

1.1. Số gần đúng và sai số Định nghĩa 1.1 Số a được gọi là số gần đúng hay số xấp xỉ của số đúng A (tức giá trị đúng của đại lượng cần quan tâm) và ký hiệu là Aa ≈ , nếu sai khác không đáng kể. Nếu a A Aa < thì

được gọi là xấp xỉ thiếu, còn nếu thì được gọi là xấp xỉ thừa của a Aa > a A .

Thí dụ: Đối với số 2A = thì 1 1, 41a = là xấp xỉ thiếu, còn 2 1, 42a = là xấp xỉ thừa vì

2 1,4142135623...= ; đối với số 3,1415926535...π = thì 3,14 là xấp xỉ thiếu, còn 3,15 là xấp xỉ thừa.

Định nghĩa 1-1.1 Số | |A a∆ = − được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a .

Thông thường số đúng không biết nên ta cũng không biết chính xác sai số tuyệt đối của số gần đúng , mà chỉ có thể đánh giá nó. Vì thế ta có thể xem đánh giá tốt nhất của ∆ là sai số tuyệt đối giới hạn của , đó là số bé nhất có thể biết được, thỏa mãn điều kiện

Aa

a a∆

aA ∆≤−α (1-1.1)

Từ bất đẳng thức trên suy ra

aa aAa ∆+≤≤∆− . (2-1.1)

Để đơn giản người ta thường viết a A a= ± ∆ để ám chỉ rằng a ∆ là sai số tuyệt đối giới hạn c a ủ

a .

Ví dụ 1-1.1. Nếu coi 14,3=a là xấp xỉ của π thì sai số tuyệt đối là 0,002a∆ ≤ .

Sai số tuyệt đối không phản ánh đầy đủ mức độ chính xác của phép đo hoặc tính toán. Chẳng hạn, đo chiều dài của hai thanh sắt bằng cùng một thước đo ta nhận được các kết quả sau:

1 ±=

nhưng rõ ràng là phép đo thứ

Định nghĩa 2-1.1. Sai số tương đối của số gần đúng , ký hiệu bở

cmcml2 ±=

Tuy sai số tuyệt đối của hai phép đo trên là như nhau (= 0,1 cm)

cmcml1,05,7

1,06,115

nhất chính xác hơn. Để thể hiện điều đó ta đưa vào khái niệm sau.

a i δ , là

AaA

A−

=∆

=δ (3-1.1)

ết

nhận sai số tương đối của số gần đúng là số

với giả thi là 0A ≠ .

Tuy nhiên, do số A và ∆ không biết nên trong thực hành ta sẽ chấp a aδ d đây, gọi là sai số tương đối giới hạn của a ưới

8


aa

a∆

=δ (4-1.1)

Người ta thường tính sai số tương đối bằng phần trăm. Vì thế

%100||×

∆=

aa

aδ .

Trở lại phép đo chiều dài của các thanh sắt ta thấy rằng sai số tương đối của là 1l

10,1 100% 0,09%

115,6δ = × = , của là 2l 2

0,1 100% 1,33%7,5

δ = × = . Rõ ràng là 1δ nhỏ hơn rất nhiều

so với 2δ và phép đo thứ nhất chính xác hơn nhiều so với phép đo thứ hai.

1.2. Chữ số có nghĩa và chữ số đáng tin Một số viết ở dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số. Chẳng hạn số 20,15 có 4 chữ số; số 3,1412 có 5 chữ số.

Định nghĩa 1-1.2. Những chữ số có nghĩa của một số là những chữ số của số đó kể từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải.

Ví dụ 1-1.2. Trong các số sau, những chữ số được gạch dưới là những chữ số có nghĩa: 12,57; 20,15 ; 0,03047 ; 0,304500 .

Giả sử là số gần đúng của và có biểu diễn a A a

nmm −−−−± ααααααα ...,... 2101`

tức là

∑±=++++++++±= −

−−

−−

−

s

ss

nn

mm

mma

10.

...)10....10.10.10....10.10.( 11

001

11

α

αααααα(1-1.2)

trong đó sα là những số nguyên từ 0 đến 9, gọi là chữ số hàng thứ s của số a.

Định nghĩa 2-1.2. Gọi là sai số tuyệt đối của số , chữ số hàng thứ s của số a được gọi là

chữ số đáng tin (hay chữ số đúng) nếu sai số tuyệt đối của số a không vượt quá một nửa đơn vị

của hàng thứ s (tức là

a∆ a

sa 10.

21

≤∆ ), và gọi là chữ số nghi ngờ nếu sai số tuyệt đối của số a

không vượt quá một nửa đơn của hàng thứ s (tức là sa 10.

21

>∆ ), trong đó là sai số tuyệt đối

của số a.

a∆

Từ định nghĩa trên suy ra rằng nếu αs là chữ số đáng tin thì mọi chữ số có nghĩa bên trái nó đều là đáng tin, và nếu αs là đáng ngờ thì mọi chữ số bên phải nó đều là đáng ngờ. Việc đánh giá các chữ số đáng tin và đáng ngờ của một số gấn đúng a không phụ thuộc vào bản thân các chữ số đó mà phụ thuộc vào sai số tuyệt đối của a và vị trí của chúng.

9


Ví dụ 2-1.2. Số gần đúng a = 3.7284 với a∆ = 0.0047 có 3 chữ số đáng tin là 3, 7 và 2, còn các

chữ số 8 và 4 là đáng ngờ.

1.3. Cách viết số gần đúng Có hai cách viết số gần đúng.

Cách 1: Viết kèm theo sai số aa ∆±

Cách này thường dùng để viết các kết quả đo đạc, thực nghiệm, trong đó là sai số của thiết

bị đo. a∆

Ví dụ 1-1.3. 150 cm ± 0.1 cm; 65 kg ± 0.1 kg

Cách 2: Viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin, có nghĩa là sai số tuyệt đối a∆

không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng cuối cùng.

Ví dụ 2-1.3. Theo cách này ta viết a = 23.54 nếu 21 10 0.0052a

−∆ ≤ × = .

1.4. Sai số làm tròn Khi thực hiện các tính toán nếu số có quá nhiều chữ số trong biểu diễn thập phân, chẳng hạn

=3.14151926535, thì để cho thuận tiện người ta thu gọn số này bằng cách bỏ bớt một số chữ số cuối để được một số

aa

'a ngắn gọn hơn và gần đúng nhất với . Việc làm này được gọi là quy tròn hoặc làm tròn số. Số

a

' |a a a ' |θ = − được gọi là sai số làm tròn.

Dưới đây là quy tắc làm tròn số nhằm bảo đảm cho sai số làm tròn không vượt quá nửa đơn vị của chữ số cuối cùng được giữ lại:

• Nếu bỏ đi nhiều chữ số khác 0 và chữ số bỏ đi đầu tiên ≥ 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số bỏ đi đầu tiên < 5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng.

• Nếu chỉ bỏ đi một chữ số 5 thì chữ số được giữ lại cuối cùng nếu là chữ số lẻ thì tăng thêm 1, còn nếu là chẵn thì giữ nguyên.

Ví dụ 1-1.4. Đối với số =3.14151926535 ta làm tròn thành 3.141519, 3.14152, 3.1415, 3.142, 3.14 nếu cần giữ lại 6, 5, 4, 3 hoặc 2 chữ số sau dấu chấm thập phân. Sai số làm tròn tương ứng

không vượt quá

a

12×10-6, 1

2×10-5, 1

2×10-4, 1

2×10-3 và 1

2×10-2.

Ví dụ 2-1.4. Số 12.25 ta làm tròn thành 12.2 với sai số là 0.05 = 12×10-1.

Bây giờ giả sử a là xấp xỉ của A với sai số tuyệt đối là a∆ . Giả sử ta làm tròn a thành a' với

sai số làm tròn là 'aθ , tức là | a' - a| ≤ 'aθ . Kho đó sai số tuyệt đối của số a’ là

=| A-a’| = | A-a +a-a’| ≤ | A -a| + | a - a’| ≤ 'a∆ a∆ + 'aθ

Như vậy việc quy tròn thường làm tăng sai số tuyệt đối. Điều này dẫn đến kết cục là sau khi làm tròn một số chữ số đáng tin trở nên đáng ngờ.

10


Ví dụ 3-1.4. Cho a = 0.35 với =0.003. Do đó các chữ số 3 và 5 là đáng tin. Sau khi làm tròn

thành a’ = 0.4 ta có = a

a∆

'a∆ ∆ + 'aθ = 0.003 + 0.05 = 0.053 > 12×10 . Vì thế chữ số 4 trong a’ là

đáng ngờ. Trong trường hợp này không nên quy tròn số a .

-1

2. Sự lan truyền sai số

2.1. Mở đầu Trên đây ta đã định nghĩa các loại sai số của một số gần đúng. Trong thực tế tính toán các đại lượng gần đúng thường xuất hiện trong một biểu thức phức tạp. Thí dụ thể tích của hình cầu được tính bằng V = (1/6)πd3, trong đó ta chỉ biết xấp xỉ của số π và đường kính d. Vấn đề đặt ra là biết sai số của π và d, liệu ta có thể tính được sai số của V không. Một cách tổng quát, vấn đề đặt ra là sai số của các dữ liệu đầu vào lan truyền và dẫn đến sai số của kết quả tính toán như thế nào?

Để giải quyết vấn đề này xét hàm số u của 2 biến số x và y:

u = f(x,y)

Giả sử x là xấp xỉ của giá trị đúng X, y là xấp xỉ của giá trị đúng Y và ta coi u là xấp xỉ của giá trị đúng u = f(X,Y). Biết sai số về x và y, hãy tính sai số của u.

Ký hiệu ∆x = x - X là số gia của x, còn dx là vi phân của biến x.

Theo định nghĩa về sai số tuyệt đối, ta có | ∆x | ≤ ∆ x .

Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có:

du = xu∂∂ dx +

yu∂∂ dy

Từ đây ta có

∆u ≈ xu∂∂

∆x + yu∂∂

∆y

Suy ra

yxu yu

xu

∆∂∂

+∆∂∂

=∆ |||| (1-2.1)

Chú ý: Công thức (1-2.1) là công thức quan trọng để tính sai số của hàm hai biến u = f(x,y) bất kỳ dựa vào đạo hàm riêng của từng biến. Công thức (1-2.1) được sử dụng trong việc chứng minh các công thức tính sai số của tổng, hiệu, tích thương biểu diễn hàm hai biến.

2.2. Sai số của tổng Cho u = x y.±

Ta có

11


xu∂∂ = 1, 1u

y∂

= ±∂

.

Do đó, từ (1.6) suy ra

(1-2.2) yxu ∆+∆=∆

Như vậy, sai số tuyệt đối của một tổng đại số bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng.

Ví dụ 1-2.2. Giả sử x = 3.6 và y = 6.4 là hai số đã được làm tròn. Tính tổng của chúng và xác định sai số của tổng thu được.

Giải. Vì x và y đã được làm tròn đến một chữ số sau dấu chấm thập phân nên sai số tuyệt đối của chúng là x∆ = y∆ = 0.05. Do đó u = x + y =3.6 + 6.4 =10.0 với sai số tuyệt đối là ∆ u = ∆ x +

y∆ = 0.05 + 0.05 = 0.1, tức là u = 10 ± 0.1.

Chú ý: Xét trường hợp u = x - y và x, y cùng dấu. Lúc đó ta có

yxyx

uu

u −∆+∆

=∆

=)(δ

Ta thấy rằng nếu | x -y | rất bé thì sai số tương đối rất lớn.

Ví dụ 2-2.2. Giả sử x = 15.29 và y = 15.14 là hai số đã được làm tròn. Xác định sai số tương đối của x, y và của hiệu hai số trên.

Giải. Ta có hiệu u = x - y = 15.29 -15.14 = 0.15. Do x và y đã được làm tròn đến 2 chữ số sau dấu chấm thập phân nên sai số tuyệt đối của chúng là ∆ x = ∆ y = 0.005. Vì thế sai số tuyệt đối của hiệu là ∆ u = x∆ + ∆ y = 0.01. Do đó sai số tương đối của hiệu là δu =∆ u/ |u| = 0.01/ 0.15 =

0.066 trong khi sai số tương đối của x và y tương ứng là 000327.029.15

005.0==

∆=

xx

xδ ,

000330.014.15

005.0==

∆=

yy

yδ . Rõ ràng là sai số tương đối của hiệu lớn gấp 200 lần sai số tương

đối của từng số x và y.

Trong tính toán người ta cố gắng tránh việc trừ hai số gần nhau bằng cách biến đổi biểu thức của hiệu (trong những trường hợp có thể được).

Thí dụ: Để tính hiệu u = 200210 − ta có thể biến đổi

)200201(1

)200201()200201)(200201(

+=

+

+−=u

2.3. Sai số của tích Giả sử u = xy. Ta có

xyu=

∂∂ .

Từ (1-1.2) suy ra

12


yxu xy ∆+∆=∆

Do đó

yxu

u yy

xx

uδδδ +=

∆+

∆=

∆=

Vậy

yxu δδδ += (1-2.3)

Ta có quy tắc sau:

Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của các thừa số của tích.

Ví dụ 1-2.3. Giả sử X và Y là hai cạnh của một hình chữ nhật mà độ dài của chúng (tính bằng cm) được làm tròn đến một chữ số sau dấu chấm thập phân là 15.6 và 8.2. Hỏi giá trị thực sự của diện tích của hình chữ nhật nằm trong khoảng nào?

Giải: Ký hiệu x = 15.6, y = 8.2. Như vậy x là giá trị gần đúng của X và y là giá trị gần đúng của Y với sai số tuyệt đối là 0.05. Do đó sai số tương đối của chúng là

0061.02.805.0,0032.0

6.1505.0

==== yx δδ . Theo (3-1.2) sai số tương đối của tích là

0093.00061.00032.0 =+=uδ . Vì u = x * y =15.6 * 8.2 =127.92 nên sai số tuyệt đối của u là

19.10093.0*92.127|| ===∆ uu u δ . Do đó, 19.192.127* ±=YX , tức là giá trị thực sự của

diện tích của hình chữ nhật nằm trong khoảng từ 126.73 đến 129.11.

2.4. Sai số của thương Cho . Ta có: yxu /=

xu∂∂ =

y1 ,

yu∂∂ = 2y

x−

Từ (1.6) suy ra

yxu yx

y∆+∆=∆ 2

1

Do đó yxyxuu

yxxy

yx

yxy

u∆+∆=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆+∆=∆=

∆ 111|| 2 .

Suy ra:

yxyx δδδ +=/ (1-2.4)

Ta có quy tắc sau:

Sai số tương đối của một thương bằng tổng các sai số tương đối của số chia và số bị chia.

13


2.5. Sai số của hàm bất kỳ Cho hàm . Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có: ),...,,( 21 nxxxfu =

du = 1x

u∂∂ dx1 +

2xu

∂∂ dx2 + ... +

nxu

∂∂ dxn

Từ đây ta có

∆u ≈ 1x

u∂∂

∆x1 + 2x

u∂∂

∆x2 + ... + nx

u∂∂

∆xn

Suy ra

nxn

xxu xu

xu

xu

∆∂∂

++∆∂∂

+∆∂∂

=∆ ...21

21

(1-2.5)

Ví dụ 1-2.5. Tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối của thể tích hình cầu:

V = (1/6)πd3

nếu cho đường kính d = 3.7 ± 0.05 cm và π = 3.14 ± 0.0016.

Giải. Xem π và d là đối số của hàm V, áp dụng (1-2.4) và (1-2.5) ta có

δV = δπ + 3δd (Hệ số 1/6 không ảnh hương đến sai số tương đối)

δπ = 0.0016/3.14 = 0.0005

δd = 0.05/3.7 = 0.0135

Suy ra δV = 0.0005 + 3 * 0.0135 = 0.04

Giá trị gần đúng của thể tích là V = (1/6)πd3 = 26.5 cm3 . Do đó, ta tính được sai số tương đối của nó là ∆ V = |V|*δV = 26.5*0.04 = 1.06 ≈ 1.1 cm3. Vì thế

V = 26.5 ± 1.1 cm3.

3. Các loại sai số

3.1. Các loại sai số mắc phải khi giải một bài toán thực tế Như đã biết, để nghiên cứu một đối tượng thực tế, chẳng hạn một đối tượng vật lý như dòng chảy trong sông, hiện tượng dẫn nhiệt trong một thanh vật chất, hay một đối tượng kinh tế-xã hội,... người ta thường xây dựng mô hình toán học của đối tượng và nghiên cứu đối tượng thông qua mô hình. Do tính chất phức tạp của đối tượng nên người ta không thể đưa hết tất cả các yếu tố liên quan vào mô hình, mà buộc phải loại bỏ những yếu tố không quan trọng và ảnh hưởng ít đến đối tượng. Kết quả là người ta chỉ nhận được mô hình toán học phản ánh gần đúng đối tượng cần nghiên cứu. Sai số mắc phải trong quá trình này gọi là sai số mô hình.

Khi đã có mô hình toán học, thường là các phương trình vi phân, tích phân hoặc phương trình đại số,... người ta phải giải nó. Nói chung người ta không nhận được lời giải đúng của một bài toán mà chỉ có thể nhận được lời giải gần đúng bằng một phương pháp nào đấy, thí dụ phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến, phương pháp hình thang tính tích phân,... . Sai số mắc phải khi

14


phải giải một bài toán bằng phương pháp gần đúng được gọi là sai số phương pháp. Đây là loại sai số mà chúng ta cần quan tâm khi nghiên cứu các phương pháp gần đúng (giải tích hoặc số trị) vì sai số này phản ánh chất lượng của phương pháp và thông qua nó có thể đánh giá được khối lượng tính toán cần thiết để có được lời giải với một độ chính xác cho trước.

Sau khi đã có phương pháp hoặc thuật toán giải một bài toán cần phải thực hiện nó trên máy tính để có được lời giải số. Trong quá trình tính toán bằng số này không thể tránh khỏi việc làm tròn số. Sai số xảy ra trong công đoạn này được gọi là sai số tính toán.

Một loại sai số nữa có thể mắc phải khi giải một bài toán thực tế là sai số dữ liệu khi các dữ liệu đầu vào của bài toán nhận được bằng các phép đo đạc hoặc quan sát thực nghiệm hoặc là lời giải gần đúng của một bài toán khác.

3.2. Các loại đánh giá sai số phương pháp Sai số của một phương pháp số có thể được đánh giá tiên nghiệm hoặc hậu nghiệm.

Đánh giá sai số tiên nghiệm là đánh giá sai số nhận được trước khi thực hiện tính toán. Thí dụ, để giải một phương trình phi tuyến bằng một phương pháp lặp đơn (xem Chương 3) ta có thể đánh giá được sai số của nghiệm gần đúng nhận được sau n lần lặp theo công thức

01*

1xx

qqxx

n

n −−

≤− ,

trong đó 0< q< 1, x* là nghiệm đúng, x0 là xấp xỉ ban đầu.

Đánh giá sai số hậu nghiệm là đánh giá sai số nhận được sau khi tính toán được nghiệm. Thí dụ, sau khi tính được xn theo phương pháp lặp đơn (xem Chương 3) ta có đánh giá hậu nghiệm

1*

1 −−−

≤− nnn xxq

qxx

BÀI TẬP 1. Khi xác định hằng số khí của không khí, nhận được R =29.25. Hãy xác định các giới hạn của R biết sai số tương đối giới hạn của R là 1%.

2. Đo trọng lượng của 1 dm3 nước ở 00 C nhận được: p = 999.847g ± 0.001g

Hãy xác định sai số tương đối của phép đo trên.

3. Cho số e = 2.718281828459045... Hãy quy tròn số e đến chữ số có nghĩa thứ 13, 12 và 11 và xác định sai số quy tròn tuyệt đối.

4. Lấy a=2.718 thay cho số e. Hãy xác định sai số tương đối.

5. Hãy quy tròn các số dưới đây (xem là đúng) với ba chữ số có nghĩa đáng tin và xác định sai số tuyệt đối ∆ và sai số tương đối δ của chúng:

a) 2.1514 b) 0.16152

c) 0.01204 d) - 0.00152281

15


Chương 2. TÍNH GIÁ TRỊ VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ

1. Tính giá trị hàm số

1.1. Thuật toán Hoocner tính giá trị đa thức a) Giới thiệu thuật toán

Cho đa thức p(x) bậc n có dạng tổng quát:

p(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an (a0 ≠ 0)

Để tính giá trị p(x0) cần 2n-1 phép nhân và n phép cộng. Hơn nữa các số hạng của đa thức thường lớn nên bất lợi trong tính toán.

Nếu ta phân tích đa thức thành

p(x) = (b0xn-1 + b1xn-2 + … + bn-2x + bn-1) ( x - x0) + bn (1-1.1)

Ta có ngay p(x0) = bn.

Khai triển (1-1.1) ta được:

p(x) = b0xn – b0xn-1x0 + b1xn-1 – b1xn-1x0 + b2xn-1 - … - bn-1xn-1x0 + bn-2x2 – bn-2 xx0 + bn-1x – bn-1

x0x0 + bn

= b0xn + (b1xn-1 – b0xn-1x0) + (b2xn-1 – b1xn-1x0) + … + (bn-2x2 – bn-1xn-1x0) + (bn-1x - bn-2 xx0 ) + (bn – bn-1x0)

= knkk

n

k

n xxbbxb −−

=

−+∑ )( 011

0

Vậy ta có đồng nhất thức :

∑=

−−− −+=+++

n

k

knkk

nnn

n xxbbxbaxaxa1

01010 )(...

Đồng nhất hai vế ta có

b0 = a0, bk - bk-1x0 = ak, ∀ k = n,1 hay

bk = ak + bk-1x0, hay bk = ak + ck với ck = bk-1x0

Thuật toán Hoocner tính giá trị các hệ số của đa thức trong (1-2.1) như sau :

⎪⎩

⎪⎨

⎧=∀

+===

− nkcab

xbcab

kkk

kk ,101

00

(2-1.1)

Hệ (2-1.1) cho thấy chỉ cần tính n phép nhân và n phép cộng và các số hạng tham gia tính toán bé hơn phương pháp tính trực tiếp.

b) Sơ đồ tính bằng tay

Để tính bằng tay, ta biểu diễn (2-1.1) dưới bảng sau

16


a0 a1 … an x0

c1 … cn

b0 b1 … bn p(x0)=bn

Ví dụ 1-1.1

Tính f(x) = 2x5 - 3x4 + x3 - 4x2 + 7x + 8 tại x = 2 như sau

2 -3 1 -4 7 8 2

4 2 6 4 22

2 1 3 2 11 30 p(2)=30

Chú ý: Khi phương trình p(x) = 0 có nghiệm x = x0 thì lược đồ Hoocner cho phép tìm ước của p(x) dưới dạng q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 + … + bn-2x + bn-1

1.2. Tính hàm nhờ chuỗi lũy thừa Nếu hàm số y = f(x) dễ tính đạo hàm mọi cấp tại x = x0 và biểu diễn hàm dưới dạng chuỗi Taylor dưới đây hội tụ :

∑∞

=

−=0

00

)(

)(!

)()(k

kk

xxk

xfxf (1-1.2)

thì ta có thể tính gấn đúng

∑=

−≈n

k

kk

xxk

xfxf0

00

)(

)(!

)()( (2-1.2)

và ước lượng sai số là :

10

)1(

)!1()()( +

+

−+

= nn

n xxn

cfxR hoặc trực tiếp ước lượng từ phần dư của chuỗi.

trong đó c là điểm nào đó giữa x và x0

Ví dụ 1-1.2. Tính sin 360

Đặt x = 360 = π/ 6 + π/30. Đặt x0 = π/6, suy ra x – x0 = π/30

Áp dụng công thức 2-1.2 với n = 1 và x0 = π/6 ta có:

và )()()()(!1

)()(!0

)()( 0'

001

00

)1(0

00

)0(

xfxxxfxxxfxxxfxf −+=−+−=

Thay vào ta có sin 360 = sin (π/ 6 + π/30) = sin (π/6) + (π/30) cos (π/6) + R1

17


= 123.

3021 R++

π trong đó 22

1 10302

sin −≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=πcR

2. Bài toán nội suy hàm số Một trong các bài toán cơ bản của giải tích số là nội suy hàm số. Bài toán này thường gặp trong các trường hợp sau :

i) Cần phục hồi hàm số ) đối với mọi điểm x thuộc khoảng [a, b] nếu chỉ biết giá trị của nó tại một số điểm . Những giá trị này thường là các giá trị quan sát, hoặc đo đạc

được.

(xf],[,...,, 10 baxxx n ∈

ii) Khi hàm cho bởi công thức quá phức tạp chẳng hạn )(xf

∫ ++

=2

)cos(

23

)sin()()(

x

xt dt

xtetxxf

và cần tính ])(xf ,[ bax∈∀ . Khi đó người ta tính gần đúng tại một số điểm rồi xây dựng một hàm gần đúng với f(x) để tính các giá trị khác.

)(xf

iii) Ngoài ra, nội suy hàm số còn được sử dụng để xây dựng các công thức tính đạo hàm, tính tích phân số hoặc tìm gần đúng nghiệm của phương trình.

Bài toán nội suy hàm một biến số được phát biểu như sau: Trên đoạn [a, b] cho tập các điểm nút a < x1 <...<x nox≤ ≤ b và tại các điểm này cho các giá trị ),0(),( nixfyi = àm )(xf .

xây dựng hàm )(xg d ính toán và trùng với hàm f ại các điểm nút trên tức là i = của h

Cần ễ t t)(x

),0(,)( ni =yxg ii = . Hàm g(x) được gọi là hàm nội suy. Các điểm nút xi ( ni ,0= ) gọi là các

mốc nội suy.

Một số dạng hàm thường được dùng để nội suy hàm số là: )(xg

- Đa thức đại số

- Hàm hữu tỉ, tức là phân thức đại số

- Đa thức lượng giác

- Hàm ghép trơn (spline), tức là hàm đa thức từng mẩu.

Trong chương này chúng ta chỉ tập trung vào nội suy bởi đa thức đại số - một công cụ nội suy kinh điển và một phần về nội suy bởi hàm ghép trơn - công cụ nội suy hiện đại. Các dạng nội suy khác sẽ chỉ được giới thiệu qua. Nếu không nói rõ hơn ta sẽ ngầm định hiểu đa thức là đa thức đại số.

2.1. Đa thức nội suy Lagrange trên mốc không đều 2.1.1. Thiết lập đa thức nội suy Lagrange

Đa thức nội suy Lagrange của hàm y = f(x) tại các điểm mốc xi ∈ [a, b] ( ),0 ni = cho bởi công thức sau:

18


∑=

=n

iiin xlxfxL

1)()()(

(1-2.1)

Trong đó đa thức li(x) cho bởi công thức

∏=≠+−

+−

−

−=

−−−−−−−−

=n

jij ji

j

niiiiii

niii xx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxl

0110

110

))...()()...(())...()()...((

)( (2-2.1)

(Tử số khuyết nhân tử (x - xi), mẫu số khuyết nhân tử (xi - xi))

Ta thấy Ln(x) thỏa mãn điều kiện nội suy

),0(),()( nixfxL iin == (3-2.1)

Thật vậy, dễ thấy rằng

⎩⎨⎧

≠=

==jiji

xl ijji ,0,1

)( δ (4-2.1)

Vì khi i = j, thay x ở tử số bởi xi thì tử số giống mẫu số. Khi i ≠ j thì trên tử số có số hạng dạng (xj - xj) = 0 (lưu ý rằng tử số chỉ khuyết số hạng xj-xi). Thay (4-2.1) vào (1-2.1) ta thu được (4-2.1)

Xét hai trường hợp đơn giản của đa thức nội suy Lagrange.

a) Nội suy Lagrange bậc nhất Nội suy bậc nhất còn gọi là nội suy tuyến tính.

Khi n = 1, ta có hai mút nội suy x 0 và x1 , và

01

01

10

101 )()()(

xxxxxf

xxxxxfxL

−−

+−−

= (5-2.1)

b) Nội suy Lagrange bậc hai Khi n = 2 ta có ba nút nội suy và 2x vµ 10 , xx

))(())(()(

))(())(()(

))(())(()()(

1202

102

2101

201

2010

2102 xxxx

xxxxxfxxxx

xxxxxfxxxx

xxxxxfxL−−−−

+−−−−

+−−−−

= (6-2.1)

trong đó i =0, 1, 2. ),( ii xfy =

Ví dụ 1-2.1. Xây dựng đa thức nội suy cho hàm xy πsin= tại các nút

61,0 10 == xx và .

21x 2 =

Giải. Ta có bảng giá trị của hàm

x 0 1/6 1/2

y 0 1/2 1

Áp dụng công thức (6-2.1) ta được

19


.327

)61

21)(0

21(

)61)(0(

.1)

21

61)(0

61(

)21)(0(

.21

)210)(

610(

)21)(

61(

.0)( 22 xx

xxxxxxxL −=

−−

−−+

−−

−−+

−−

−−=

Ví dụ 2-2.1. Tìm đa thức nội suy hàm trên đoạn [-1, 1] dựa vào giá trị của hàm tại các

điểm Sử dụng đa thức này tính gần đúng

xy 3=

.1,1 10 ==−= 2x 0,xx 3 .

Giải. Ta có bảng các giá trị của hàm tại các điểm đã cho: xy 3=

x -1 0 1

y 1/3 1 3

Theo công thức (6-2.1) ta có đa thức nội suy

)342(31

2)1(3)1)(1(

6)1(

)01)(11()0)(1(.3

)1.(1)1)(1(.1

)11.(1)1(.

31)(

2

2

++=+

+−+−−

=

−+−+

+−

−++

−−−−

=

xxxxxxxx

xxxxxxxL

Để tính 2/133 = ta xấp xỉ 21

36

11)21(2 =≈ L .

c) Đánh giá sai số Vấn đề quan trọng đặt ra khi xấp xỉ hàm tại điểm x bất kì bởi đa thức nội suy là phải đánh giá được sai số, tức độ lệch - ) . Định lí sau đây cho ta đánh giá đó.

)(xf

)(xf (xLn

Định lý 4.2.1 Giả sử hàm số , tức là có đạo hàm liên tục đến cấp n+1 trên [a,

b] chứa tất cả các nút nội suy

)(xf ],[)1( baC n+∈

ix ),0( ni = . Khi đó sai số nội suy )()()( xLxfxR nn −= có dạng

),()!1(

)()( 1

)1(

xn

fxR n

n

n +

+

+= ωξ (7-2.1)

trong đó ξ là một diểm phụ thuộc x và thuộc [a , b] và ∏=

+ −=n

iin xxx

01 )()(ω

Hệ quả. Đối với sai số của đa thức nội suy Lagrange cho hàm f(x) tại các mút

có đánh giá nxxx ,,, 0 K

],[ ba∈

,)()!1(

)()( 11 x

nM

xLxf nn

n ++

+≤− ω (8-2.1)

trong đó bxa

nn xfM

≤≤

++ = ).(max )1(

1 và ∏=

+ −=n

iin xxx

01 )()(ω

Ví dụ 3-2.1. Cho giá trị của hàm y=sin x tại 3 điểm bởi bảng sau:

20


x 0 4

π 2π

y 0 0,707 1

Tính gần đúng sin 3π nhờ đa thức nội suy và đánh giá sai số.

Giải. Đa thức nội suy hàm y=sin x xây dựng theo các điểm đã cho là

.)

42(

2

)4

(.1

)24

(4

)2

(.707,0)(2 πππ

π

πππ

π

−

−+

−

−=

xxxxxL

Ta có .851,0)3

(3

sin 2 ≈≈ππ L

Theo công thức (8-2.1)

.)3

(!3

)3

(3

sin 33

2πωππ M

L ≤−

Dễ tính được

,1cosmax)('''max2

02

03 ===

≤≤≤≤

xxyMxx ππ

.21623

.433

)3

(3

3πππππππω =−−=

Do đó 024,02166

1)3

(3

sin3

2 =×≤−πππ L

Như vậy, sin 3π =0,851 0,024 ±

Chú ý. Công thức đánh giá sai số (4.8) được thiết lập với giả thiết Nếu điều kiện trên không thoả mãn, tức là khi hàm không có đủ độ trơn cần thiết thì ta không thể nói gì về sai số nội suy cả. Trong trường hợp này cần phải xem xét bài toán cụ thể.

].,[)( )1( baCxf n+∈

)(xf

Ví dụ 4-2.1. Cho hàm bởi công thức =)(xf )(xf x .

Khi đó đa thức nội suy hàm tại các điểm )(xf 1,1 10 ==−= 2x 0,xx là đa thức

22 )( xxL = .

Để đánh giá sai số )()( 2 xLxf − ta không thể áp dụng công thức (8-2.1) vì hàm không có

đạo hàm tại x = 0. Nhưng ta có thể đánh giá được sai số nội suy trên đoạn [-1, 1] như sau

)(xf

41maxmax)()(max 2

1

2

121=−=−=−

≤≤≤xxxxxLxf

xxx

21


2.1.2. Thuật toán nội suy Lagrange

Bài toán: Cho bảng các giá trị ( , ), ii yx ),0( ni = . Tính giá trị của đa thức nội suy

Lagrange tại điểm x cho trước theo công thức )(xLn

∑ ∏=

=≠ −

−==

n

i

n

jij ji

jin xx

xxyxLy

00

)(

input: x, xi, yi ),0( ni =

output: y là giá trị của hàm tại x

Algorithm:

1. Khởi tạo y = 0

2. for i = 0 n

2.1. P = 1; /* P chính là đa thức li */

2.2. for j = 0 n

if (j ≠ i)

P = P * (x - xj) / (xi - xj)

2.3. y = y + yi*P

3. return y

2.2. Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều

Giả sử hàm f(x) nhận các giá trị yi tại các điểm tương ứng xi ( noi ,= ) cách đều một khoảng h.

Đặt h

xxt 0−= , khi đó :

)(...

))1(())1((

...)1(

.

1

1

1

0

nthxx

ithxxithxx

thxxthxx

n

i

i

−=−

+−=−−−=−

−=−=−

+

−

)(...

...)1(

.

1

1

1

0

inhxx

hxxhxx

ihxxihxx

ni

ii

ii

i

i

−−=−

−=−=−

−=−=−

+

−

Do đó đa thức trong công thức (2-2.1) có dạng )(xli

).(....2.1.)1.(1)...1()))...(1())(1()...(1()( 0 inii

ntitittthtxl ini −−−−+−−−−

=+ − (1-2.2)

hay

10 )1()!(!)())...(1()( −−−−

−−=+ ni iniit

nttthtxl (2-2.2)

22


Vậy công thức nội suy Lagrange (1-2.1) trong trường hợp mốc cách đều một khoảng h có dạng :

∑=

−

−−−

−−=+n

i

in

n iniitxfnttthtxL

0

1

0 )!(!)()()1())...(1()( (3-2.2)

hay

∑=

−

−−−−

=+n

i

ini

n

n itCxf

nnttthtxL

0

1

0 )()()1(

!))...(1()( (4-2.2)

Ví dụ 1-2.2. Tìm hàm nội suy cho hàm f(x) thỏa mãn :

xi 0 2 4

f(xi) 5 -2 1

Giải: Áp dụng công thức (4-2.2.2) ta có

5125)102410(21

21

145

2)2)(1(

2.1

12

05

!2)2)(1()2(

22

22

12

02

2

+−=+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

−+

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−

−−

−−−

=

tttt

tttttt

tC

tC

tCttttL

2.3. Đa thức nội suy Newton trên mốc không cách đều Đa thức nội suy Lagrange (1-2.1), như ta đã thấy rất đơn giản và dễ tính nếu các nút nội suy đã được cố định. Nhưng nếu như ta bổ sung thêm nút nội suy thì quá trình tính lại phải thực hiện lại từ đầu. Đây là nhược điểm rất lớn của đa thức nội suy Lagrange. Để khắc phục nhược điểm này người ta tính đa thức nội suy theo một cách khác hiệu quả hơn. Đó là công thức nội suy Newton. Để xây dựng công thức này, ta cần đến khái niệm tỷ sai phân đối với các mốc không đều và khái niệm sai phân đối với mốc cách đều.

2.3.1. Khái niệm tỷ sai phân

Giả sử ) là một hàm số xác định và liên tục trong đoạn (xf [ ]ba, . Tiếp theo giả sử

a= =b là tập các điểm nút, tại đó cho trước giá trị của hàm. nxxx <<< ...10

Ta định nghĩa:

- Tỷ sai phân bậc 0 của hàm tại là . )(xf ix )( ixf

- Tỷ sai phân bậc 1 của hàm tại và là )(xf ix jxji

jiji xx

xfxfxxf

−

−=

)()(),(

- Tỷ sai phân bậc 2 của hàm tại , , là )(xf ix jx kx

ki

kjjikji xx

xxfxxfxxxf

−

−=

),(),(),,(

- Một cách tổng quát, tỷ sai phân bậc k của f tại là 110 ,...,, +kxxx

23


k

kkk xx

xxxfxxxfxxxf−−

= −

0

2111010

),...,,(),...,,(),...,,(

Dễ thấy rằng tỷ sai phân có các tính chất sau:

i) Thứ tự các nút trong tỷ sai phân có thể đảo ngược, chẳng hạn

),( ji xxf = ),( ij xxf ,

),,( kji xxxf = ),,( ijk xxxf , ...,

).,...,,(),...,,( 0110 xxxfxxxf kkk −=

ii) Nếu là đa thức bậc n thì tỷ sai phân bậc nhất là một đa thức bậc n-1, tỷ sai

phân bậc hai là một đa thức bậc n-2, ..., tỷ sai phân bậc n của P

)(xPn ),( 0xxPn

),,( 10 xxxPn n(x) là đa thức bậc 0,

và tỷ sai phân bậc n + 1 của Pn(x) là đa thức = 0. Kết luận này dễ chứng minh

dựa vào định lý Bezout.

),...,,,( 10 nn xxxxP

2.3.2. Đa thức nội suy Newton trên mốc không cách đều Từ định nghĩa các tỷ sai phân suy ra

),,().()()( 000 xxPxxxPxP nnn −+= vì 0

00

)()(),(xx

xpxpxxPx −−

=

),,().(),(),( 101100 xxxPxxxxPxxP nnn −+= vì 1

10010

),(),(),,(xx

xxPxxPxxxP−−

=

),,,().(),,(),,( 210221010 xxxxPxxxxxPxxxP nnn −−=

. . . . . . . . . .

),...,,().(),...,(),...,,( 10111,010 −−−− −−= nnnnnn xxxPxxxxxPxxxP

),...,,().(),...,,(),...,,( 01010 nnnnnnn xxxPxxxxxPxxxP −+=−

),...,(0).(),...,( 1,011,0 nnnnn xxxPxxxxxP =−−= −

Từ các hệ thức trên và để ý rằng = 0 ta được ),...,,( 0 nn xxxP

),...,,())...()(()...,,())((),()()()(

10110

210101000

nnn

nnnn

xxxPxxxxxxxxxPxxxxxxPxxxPxP

−−−−+−−+−+=

(1-2.3)

Bây giờ, nếu là đa thức nội suy của hàm tại các nút tức là

)(xPn )(xf nxxx ,...,, 10

),()( iin xfxP = ),0( ni = thì công thức (4.3.1) có thể viết thành

),...,,())...()(()...,,())((),()()()(

10110

210101000

nn

n

xxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxP

−−−−+−−+−+=

(2-2.3)

hay

24


∑=

−−−−+=n

iiin xxxfxxxxxxxfxP

1101100 ),...,,())...()(()()(

(3-2.3)

Đa thức dạng (2-2.3) hay (3-2.3) được gọi là đa thức nội suy Newton (tiến) xuất phát từ

nút . Nó trùng với đa thức nội suy Lagrange (vì đa thức nội suy là duy nhất) nhưng được viết

trong dạng khác.

)(xPn

0x

Nhận xét 1. Việc tính toán đa thức nội suy theo các công thức trên khắc phục được nhược điểm của cách tính theo công thức Lagrange (1-2.1) vì khi bổ sung các nút nội suy mới chỉ cần tính thêm một số số hạng mới cộng vào tổng cũ.

Nhận xét 2. Sau khi đã tính được các tỷ sai phân, để tính đa thức nội suy Newton một cách hữu hiệu người ta thường dùng lược đồ Horner.

[ ][ ][ ]...),...,()(),,()(),()()()( 30221011000 +−+−+−+= xxfxxxxxfxxxxfxxxfxP

2.3.3. Đánh giá sai số của nội suy Newton mốc không đều

Từ định nghĩa của các tỷ sai phân viết cho hàm , tương tự như trong tiểu mục trước, có thể thu được

)(xf

),...,,,())...((),...,,())...(()...,,())((),()()()(

1001010

210101000

nnnn xxxxfxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf

−−+−−+−−+−+=

−

Để ý đến (2-2.3) ta viết được

),...,,,()()()( 101 nnn xxxxfxxPxf ++= ω .

Từ đây suy ra biểu diễn sai số của đa thức nội suy Newton

),...,,,()()()( 101 nnn xxxxfxxPxf +=− ω , (4-2.3)

trong đó

∏=

+ −=n

iin xxx

01 )()(ω (5-2.3)

2.3.4. Sơ đồ tính tỷ sai phân và đa thức newton mốc không đều

Để tính các tỷ sai phân (t.s.p) trong công thức của đa thức nội suy Newton (4.3.2) người ta lập bảng sau (thí dụ cho n=4)

x f(x) T.s.pbậc 1 T.s.p bậc 2 T.s.p bậc 3 T.s.p bậc 4

x0 f(x0) f(xo,x1) f(x0,x1,x2) f(x0,x1,x2,x3) f(x0,x1,x2,x3,x4)

x1 f(x1) f(x1,x2) f(x1,x2,x3) f(x1,x2,x3,x4)

x2 f(x2) f(x2,x3) f(x2,x3,x4)

x3 f x3) f(x3,x4)

x4 f(x4)

25


Ví dụ 1-2.3. Cho bảng giá tr a hàm số )ị củ y (xf=

x 0 2 3 5 6

f(x) 1 3 2 5 6

1) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 = 0 của hàm số .

ận được tính gần đúng

Giải. 1) p tỷ

f T.s.p c 1 T.s T.s T

)(xfy =

)25.1(f 2) Sử dụng đa thức nội suy nh

Lậ bảng sai phân

x (x) bậ .p bậc 2 .p bậc 3 .s.p bậc 4

0 1 1 -2/3 3/10 -11/120

2 3 -1 5/6 -1/4

3 2 3/2 -1/6

5 5 1

6 6

Theo công thức (3-2.3) ta có

),,,,())()()((),,,())()((

),,())((),()()()(

432103210

3210210

21010

10004

xxxxxfxxxxxxxxxxxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxP

−−−−+−−−

+−−+−+=

.160413

120601

6073

12011

)12011()5)(3)(2(

103)3)(2()

32()2(11)(

234

4

++−+−=

−⋅−−−+⋅−−+−⋅−+⋅+=

xxxx

xxxxxxxxxxxP

2) Khi đó .9312.3)25.1()25.1( 4 =≈ Pf

2.3.5. Thuật toán nội suy newton trên mốc không đều

Nhìn vào bảng tỷ sai phân và công thức nội suy Newton (3-2.3) dễ thấy rằng việc tính giá trị của n tại điể x có thể mô tả bởi đoạn mã sau: đa thức Newto m

),0( ni = input: x, xi, fi

output: y là giá trị của hàm f(x) tại một điểm trong khoảng chứa các mốc nội suy

Algorit

0; tich = 1;

.1. r j = 0

j+i - xj)

i-1);

hm

1. Khởi tạo y = f

2. for i = 1 n

2 fo n - i

fj = (fj+1 - fj) / (x

2.2. tich = tich * (x - x

26


2.3. y = y + tich * f0;

2. return y;

2.4. Đa thức nội suy Newton trên mốc cách đều

Giả sử các nút nội suy ix cách đều nhau một khoảng là h, tức là ihxxi += 0 , ),1( ni = . Trong

thức nội suy trở nên dễ dàng hơn nhờ các sai phân.

â

ho các giá trị của hàm .Ta định nghĩa sai phân cấp một của hàm

nh :

à

trường hợp này việc tính đa

2.4.1. Khái niệm sai ph n

Giả sử c if = )( ixf )(xf )(xf

sau

• Sai phân cấp một tại nút ix l iii fff −=∆ +1 .

• Sai phân trung tâm cấp một 12/112/1 +++ =−= iiii ffffδ .

Sai phân cấp cao hơn đư nh nghĩa qua sai phân cấp thấp hơn như sau

f−∆∆ ,

Ví dụ 1-2.4.

ffff −−=− ++ 12 2) .

Từ các định nghĩa sai phân và tỷ sai phân ta có

ợc đị

• ik f =∆ )( 1

ik

iiiiiiiiiii fffffff −−=∆−∆=∆∆=∆ ++++ 11212 ()()(

hxxxx 011010

fffffxxf 00110),(

∆=

−=

−−−

= .

Một cách tổng quát, dễ chứng minh được

ii hixxxf

!),...,,( 10 =

i f0∆),1( ni = . (1-2.4)

2.4.2. Đa thức nội suy Newton trên mốc cách đều

Trong công thức của đa thức nội suy Newton (2-2.3) hoặc (3-2.3) ở mục trước biểu diễn tỷ sai phân qua sai phân theo công thức (1-2.4) và đặt x = x0 + t.h ta thu được

∑ ∆+−−

+=

∆

=

+−−++∆

−+∆+=+

n

i i100 !

Đây chính là công thức của đa thức nội suy Newton trên mốc cách đều (th

i

nn

fitttf

fn

ntttfttftfthxP 002

000

)1)...(1(!

)1)...(1(...!2

)1()(

(2-2.4)

ường được dùng để tức là gần x0.)

Sai số (hay phần dư) của đa thức nội suy này đã chứng minh được có dạng

nội suy hàm số đối với những giá trị của x ở vùng đầu bảng

2.4.3. Đánh giá sai số của nội suy Newton mốc cách đều

1)1(

00 ))...(1()!1(

)()()( ++

−−+

=+−+ nn

n hntttn

fthxPthxf ξ (3-2.4)

27


2.4.4. Sơ đồ tính sai phân với mốc cách đều

Để tính các sai phân tiến làm hệ số trong đa thức Newton ta lập bảng các sai phân (thí dụ cho n = 4)

x f ∆f ∆2f ∆3f ∆4f

x0 f0 ∆f0 ∆2f0 ∆3f0 ∆4f0

x1 f1 ∆f1 ∆2f1 ∆3f1

x2 f2 ∆f2 ∆2f2

x3 f3 ∆f3

x4 f4

Ví dụ 2-2.4.

Cho bảng các giá trị của hàm y=f(x):

x 0 1 2 3

y 1 0 1 10

Xây dựng đa thức nội suy Newton xuất phát từ x0 = 0, rồi dùng đa thức này tính gần đúng f(0,5).

Giải. Lập bảng các sai phân

x f ∆f ∆2f ∆3f

0 1 -1 2 6

1 0 1 8

2 1 9

3 10

Do x0 = 0 và h = 1 nên x = t. Theo công thức (2-2.4) ta có

).2)(1()1(

66

)2)(1(22

)1()1(1)(3

−−+−+−=

⋅−−

+⋅−

+−⋅+=

tttttt

tttttttP

1

Vì thế . 625,0)2/1()2/1( 3 =≈ Pf

2.4.5. Thuật toán nội suy newton trên mốc cách đều

Dưới đây là tính giá trị của hàm cần nội suy tại điểm x thuộc các mốc nội suy. Khác với tính đa thức Newton trên lưới không đều, ở đây ta chỉ cần một mảng fi ),0( ni = . Từ bảng sai phân và công thức nội suy Newton (2-2.4) ta đi đến đoạn mã giả sau

input: x0, x, h, fi ),0( ni =

output: y là giá trị của hàm tại điểm x

Algorithm:

28


1. Khởi tạo : t = (x - x0)/h;

y = f0; tich = 1;

2. for i =1 n

2.1. for j = 1 n - i

fj = fj+1 - fj

2.2. tich = tich * (t - i + 1)/i;

2.3. y = y + tich * f0;

3. return y;

2.5. Nội suy tổng quát (nội suy Hermit) Mục này giới thiệu sơ lược bài toán nội suy đa thức cho hàm số một cách tổng quát.

Giả sử trên đoạn [a, b] thuộc miền xác định của hàm số ( )f x cho nút phân biệt 1m +

0 1, ,..., mx x x và giả sử tại các nút đó ta biết các giá trị của hàm số và giá trị của đạo hàm của nó

đến một cấp nào đó (cấp cao nhất của đạo hàm tại mỗi nút có thể khác nhau). Chẳng hạn,

• tại 0x biết 0( )0 0( ), '( ),..., ( ),k

0f x f x f x

• tại 1x biết 1( )1 1( ), '( ),..., ( ),k

1f x f x f x

• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• tại mx biết ( )( ), '( ),..., ( )mkm m mf x f x f x .

Số được gọi là bội của nút ik ( 0,1,..., ).ix i m=

Giả sử rằng tổng bội của tất cả các nút là 0 1 ... 1.mk k k n+ + + = + Cần xây dựng đa thức

bậc sao cho

( )nH x

n

),0,,0()()( )()(ii

jni

jn kjmixfxH === (1-2.5)

Ta sẽ gọi đa thức là đa thức nội suy trên nút bội (hay đa thức Hermit) của hàm ( )nH x ( )f x .

Một cách hình thức, việc tìm đa thức này chính là xác định 1n + hệ số của biểu diễn

(2-2.5)

0 1, ,..., na a a

nn

n

k

kkn xaxaaxaxH +++== ∑

=

...)(0

10

từ hệ phương trình ẩn số: 1n + 1n +

0 0

1 1

( ) ( )0 0 0 0 0 0

( ) ( )1 1 1 1 1 1

( ) ( ), '( ) '( ), ..., ( ) ( ),

( ) ( ), '( ) '( ), ..., ( ) ( ),. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( ) ( ),

k kn n n

k kn n n

n m m n

H x f x H x f x H x f x

H x f x H x f x H x f x

H x f x H

= = =

= = =

= ( ) ( )'( ) '( ), ..., ( ) ( )m mk km m n m mx f x H x f x= =

(3-2.5)

Người ta đã chứng minh được rằng hệ phương trình trên có duy nhất một nghiệm tức là đa thức nội suy Hermit tồn tại và duy nhất. Ngoài ra, sai số của đa thức này cho bởi công thức sau

29


]),[()...()()()!1(

)()()( 1010

)1(

baxxxxxxn

fxHxf mkm

kkn

n ∈−−−+

=−+

ξξ (6-2.5)

3. Xấp xỉ bình phương cực tiểu

3.1. Phương pháp chung Giả sử người ta thu thập được số liệu thực nghiệm về sự phụ thuộc của hai đại lượng (vật lý, hoá học, kinh tế,...) x và y trong bảng sau

x x1 x2 ... xn

y y1 y2 ... yn

Bài toán đặt ra là xác định sự phụ thuộc hàm số giữa x và y, tức là tìm hàm y = f(x). Nói chung, người ta không thể tìm được hàm đúng với tất cả các điểm (xi, yi), mà chỉ mong muốn tìm một hàm trơn tru và lệch ít nhất so với số liệu thực nghiệm. Thông thường người ta có thể dự đoán dạng của hàm f(x), chẳng hạn

y = a + bx,

y = a + bx + cx2

y = a + b cos (x) + c sin (x)

y = aebx

y = axb

nhưng chưa biết giá trị cụ thể của các tham số. Để tìm các tham số người ta sử dụng phương pháp dưới đây có tên gọi là phương pháp bình phương cực tiểu.

Giả sử dạng phụ thuộc hàm số giữa x và y là

y = Q(x, a0, a1,..., am), (1-3.1)

trong đó a0, a1,..., am là các tham số cần tìm. Các tham số này được chọn sao cho tổng bình phương các độ lệch của hàm Q tại các điểm xi so với các giá trị thực nghiệm yi là bé nhất. Nói cách các tham số cần được chọn sao cho tổng bình phương các sai số bé nhất, tức là hàm

[2

11010 ),...,,,(),...,,( ∑

=

−=n

iimm yaaaxQaaaS ] (2-3.1)

đạt min. Điều kiện cực trị của hàm S là

miaS

i

,...,0,0 ==∂∂

. (3-3.1)

Các điều kiện trên lập thành hệ phương trình để tìm các tham số a0, a1,..., am.

3.2. Một số dạng hàm cụ thể.

i) Dạng hàm tuyến tính y = a + bx.

Khi đó (2-3.1) có dạng

30


(1-3.2) (2

1

),( ∑=

−−=n

iii bxaybaS )

Các hệ số a và b tìm từ điều kiện

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

0

0

bSaS

(2-3.2)

hay từ hệ phương trình

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−−

=−−−

∑

∑

=

=

0)(2

0)1(2

1

1

i

n

iii

n

iii

xbxay

bxay

Rút gọn ta được

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

∑∑∑

∑∑

===

==

i

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yxbxax

ybxna

11

2

1

11

)()(

)( (3-3.2)

Đây là một hệ hai phương trình với hai ẩn số a và b. Giải hệ này ta nhận được a và b phải tìm.

ii) Dạng hàm bậc hai y = a + bx + cx2. Trong trường hợp này để

(2

1

2),,( ∑=

−−−=n

iiii cxbxaycbaS ) (4-3.2)

bé nhất a, b và c phải thoả mãn hệ phương trình

( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−−−−=∂∂

=−−−−=∂∂

=−−−−=∂∂

∑

∑

∑

=

=

=

0)(2

0)(2

0)1(2

1

22

1

2

1

2

n

iiiii

i

n

iiii

n

iiii

xcxbxaycS

xcxbxaybS

cxbxayaS

Rút gọn ta được

31


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++

=++

=++

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

====

====

===

i

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

i

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yxcxbxax

yxcxbxax

ycxbxna

1

2

1

4

1

3

1

2

11

3

1

2

1

11

2

1

)()()(

)()()(

)()(

(5-3.2)

Đây là một hệ ba phương trình với ba ẩn số a, b và c. Giải hệ này ta nhận được a, b và c phải tìm.

iii) Dạng hàm mũ y = aebx, a>0. Lấy logarit hai vế ta được lny = lna + bx. Đặt Y = lny, A = lna. Khi đó ta có

Y=A+bx.

Như vậy bằng cách lấy logarit hai vế ta đã đưa quan hệ phi tuyến đối với a và b về dạng tuyến tính đối với A và b. Tìm A và b như trong trường hợp hàm tuyến tính ta sẽ tìm được a=eA.

iv) Dạng hàm y = axb. Lấy logarit hai vế ta được lny = lna + blnx. Đặt Y = lny, A = lna, X = lnx. Khi đó ta có

Y=A+bX.

Như vậy bằng cách lấy logarit hai vế ta đã đưa quan hệ phi tuyến đối với a và b về dạng tuyến tính đối với A và b. Tìm A và b như trong trường hợp hàm tuyến tính ta sẽ tìm được a = eA.

Ví dụ 1-3.2. Cho biết các cặp giá trị của x và y theo bảng sau

x 0.65 0.75 0.85 0.95 1.15

y 0.96 1.06 1.17 1.29 1.58

Tìm hàm nội suy hàm ẩn trên. Lấy hàm nội suy có dạng y = aebx

Giải. Ta có y = aebx

Lấy logarit cơ số e hai vế : ln y = ln a + bx

Đặt Y = Ln y ; A = ln a ; X = X

Ta đưa về dạng Y = A + BX

Xi = xi 0.65 0.75 0.85 0.95 1.15

Yi =ln yi -0.04 0.06 0.18 0.25 0.46

và n = 5

∑=

5

1iiX ∑

=

5

1

2

iiX ∑

=

5

1iiiYX ∑

=

5

1iiY

4.35 3.93 0.92 0.89

Áp dụng công thức (6-4.6) ta có hệ

32


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

∑∑∑

∑∑

===

==5

1

5

1

25

1

5

1

5

1

)()(

)(

iii

ii

ii

ii

ii

YXBXAX

YBXnA

⎩⎨⎧

=+=+

92.093.335.489.035.45

BABA

Giải hệ trên ta được A = -0.69, B= 1. Do đó a = eA = 1/2, b = B = 1

Vậy đa thức nội suy là g(x) = xe21

BÀI TẬP

1. Dùng các giá trị dưới đây của x

x 1 2 4

x 1 1.414 2

tính gần đúng 3 và đánh giá sai số.

2. Hàm f(x) được xấp xỉ bởi đa thức nội suy Lagrange tại ba điểm cách đều nhau trên đoạn cho trước. Hãy tính gần đúng giá trị của hàm tại điểm ξ và đánh giá sai số

a) f(x)= cos(x) trên đoạn [0, π/2], 12/πξ =

b) f(x)=xcos(x) trên đoạn [0, π/2], 6/πξ =

c) f(x)=2x trên đoạn [-1, 1], ξ = 0.5

d) f(x)=ex trên đoạn [-1, 1], ξ = 0.5 (cho e≈2.7183)

3. Cho 3 x bởi bảng sau

x 8 9 10 11 12

3 x 2 2.0800 2.1544 2.2240 2.2894

Dùng đa thức nội suy Newton trên lưới đều tính 3 5.8 và đánh giá sai số.

4. Dân số của một quốc gia qua điều tra được cho trong bảng sau

Năm 1960 1970 1980 1990 2000

Dân số (triệu người)

45 50.5 54 60.5 64

Hãy ước lượng dân số của quốc gia này năm 1975.

5. Tìm đa thức bậc ba nội suy tốt nhất cho hàm :

(i) trên đoạn [-1, 1]. (ii) xxf 2)( = )sin()( xxf = trên đoạn [0, π /2].

33


CHƯƠNG 3 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

1. Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm Cho f(x) là một hàm số xác định và liên tục trong miền D của trục số thực. Xét phương trình:

f(x) = 0 (1-1)

Ta gọi x* ∈ D là nghiệm của phương trình (1-1) nếu f(x*) = 0.

Định nghĩa 1-1 Nếu khoảng (a, b) chỉ chứa một nghiệm x* của phương trình (1-1) thì ta gọi khoảng (a, b) là khoảng phân ly của nghiệm x*.

Định lý 1-1 Về sự tồn tại nghiệm

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn kín [a, b] và nhận giá trị trái dấu tại các điểm mút a và b, tức là f(a)f(b) < 0 . Khi đó trong khoảng (a, b) tồn tại ít nhất một điểm x* sao cho f(x*)=0.

Định lý 2-1. Về sự tồn tại duy nhất nghiệm

Nếu hàm f(x) liên tục và đơn điệu (tăng/giảm) trong khoảng [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì (a, b) là khoảng phân ly của một nghiệm của phương trình f(x) = 0.

Một phương trình có thể có nhiều nghiệm số (thực). Trước khi đi tìm xấp xỉ các nghiệm này ta cần phải phân ly chúng, nghĩa là tìm các khoảng sao cho mỗi khoảng chỉ chứa một nghiệm. Phân ly nghiệm của phương trình có thể thực hiện bằng hai phương pháp: phương pháp giải tích và phương pháp đồ thị.

Phương pháp giải tích dựa trên việc khảo sát sự biến thiên của hàm số và định lý 2-1.

Ví dụ 1-1. Xét phương trình

026)( 3 =+−= xxxf (1)

Ta có f'(x) = 3x2 - 6, f'(x) = 0 x = 2± . Lập bảng biến thiên của hàm f(x)

x -∞ 2− 2 +∞

f'(x) + 0 - 0 +

f(x)

-∞

M > 0

m < 0

+∞

Ta thấy f(-∞) < 0, 0)2(,0)2( <=>−= fmfM , f(∞) > 0 và f(x) tăng trong các khoảng (-∞,

2− ), ( 2 , +∞) và giảm trong khoảng ( 2− , 2 ), do đó các khoảng trên là khoảng phân ly của 3 nghiệm của phương trình (1). Tiếp theo, ta có thể thu hẹp khoảng phân ly của các nghiệm thành (-3, -2), (0, 1) và (2, 3).

Ví dụ 2-2.1. Xét phương trình

f(x) = 2x - cos x = 0 (2)

34


Ta có f’(x) = 2 + sin x > 0 và f(0) = - 1, f(1) = 2 - cos 1 > 0. Do đó (0, 1) là khoảng phân ly của nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Phương pháp đồ thị tìm khoảng phân ly của các nghiệm của phương trình f(x) = 0 dựa trên việc xác định các khoảng chứa các điểm cắt của đồ thị của hàm số y = f(x) với trục hoành hoặc hoành độ của các điểm cắt nhau của hai đồ thị g(x), h(x) nếu phương trình g(x) = h(x) tương đương với phương trình đã cho.

Ví dụ 3-1. Lại xét phương trình (2). Đặt g(x) = x và h(x) = (1/2)cos x. Nhìn vào hình vẽ ta thấy khoảng phân ly của nghiệm duy nhất của phương trình (2) là (0, π/2).

Nếu khoảng phân ly (a, b) của một nghiệm x* của phuơng trình là khá nhỏ thì ta có thể coi điểm bất kỳ trong khoảng này là xấp xỉ của x*.

Một cách thông dụng để thu hẹp khoảng phân ly của nghiệm là phương pháp chia đôi được trình

2. Phương pháp chia đôi

2.1. Mô tả phương pháp Giả sử (a, b) là khoảng phân ly của nghiệm x* củly của x* bằng cách liên tiếp chia đôi khoảng pkhoảng phân ly nhỏ hơn sai số ε cho trước.

Bước 1. Đặt a0 = a, b0 = b;

Bước 2. Lặp các công việc sau đây:

2.1. Chia đôi khoảng [a0, b0] bởi điểm gi

200

0ba

x+

=

2.2. Xử lí một trong 3 khả năng sau sẽ xảy

(i) Nếu f(x0) = 0 thì x0 là nghiệm x

(ii) Nếu f(x0).f(a0) < 0 thì nghiệmb1 = x0.

(iii) Nếu f(x0).f(b0) < 0 thì nghiệmb1 = b0.

Như vậy sau lần chia đôi thứ nhất hoặc ta

khoảng phân ly thành [a1, b1] với độ rộng

2.3. Quay trở lại bước 2.1. để tiếp tục quđược xn-1 là nghiệm đúng hoặc ta thu

35

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

y=x

y=1/2*cos(x)

pi/2

Hình 1-2.1

bầy dưới đây.

a phương trình f(x). Ta sẽ thu hẹp khoảng phân hân ly mới tìm được cho đến khi độ rộng của

ữa

ra

* cần tìm.

nằm trong khoảng (a0, x0), do đó ta đặt a1 = a0,

nằm trong khoảng (x0, b0), do đó ta đặt a1 = x0,

thu được nghiệm đúng x0 hoặc ta thu hẹp được

2111

ababd −=−= .

á trình chia đôi, sau n lần chia đôi hoặc ta thu được khoảng phân ly (an, bn) với độ rộng


nnnnababd

2−

=−= . Nếu ε22

<−

nab là sai số cho trước ta dừng quá trình chia đôi và

lấy 2

na là nghiệm gần đúng. Khi nn

bx −= đó ε<

−≤− nn

abxx

2* .

Rõ ràng là dãy số xn tiến dần đến x* khi n ∞ tức là phương pháp chia đôi hội tụ.

Nhận xét. Phương pháp chia đôi sử dụng rất ít thông tin về hàm f(x) (chỉ cần dấu của hàm) nên dễ lập trình nhưng hội tụ rất chậm.

Ví dụ 1-2.1. Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm dương của phương trình 4 - ex - 2x2 = 0 với độ chính xác ε = 10-2.

Giải. Dễ thấy rằng (0, 1) là khoảng phân ly của nghiệm dương x*.

Ta có [a0, b0] = [0, 1], x0 = (a0 + b0)/2 = 0,5.

Vì f(a0) = 3, f(x0) = 1,8513 nên ta đặt

.5,0;1,8513,1 1110101 =−===== abdbbxa

Ta có [a1, b1] = [0,5; 1] là khoảng phân ly.

Đặt x1 = (a1 + b1)/2 = 0,75. Khi đó

.25,0,1,75,0758,0)(,8513,1)( 2121211 =====⇒== dbbxaxfaf

Tiếp tục quá trình chia đôi. Sau 8 bước ta đạt được x6 = 0,8828 với sai số d6 = 0,0078 < .01.0=ε Quá trình lặp được thể hiện qua bảng sau đây:

a b x0 f(a) f(b) f(x0) b-a b-a<eps 1 0 1 0.5 3 -0.718 1.8513 1 FALSE 2 0.5 1 0.75 1.8513 -0.718 0.758 0.5 FALSE 3 0.75 1 0.875 0.758 -0.718 0.0699 0.25 FALSE 4 0.875 1 0.9375 0.0699 -0.718 -0.311 0.125 FALSE 5 0.875 0.9375 0.9063 0.0699 -0.311 -0.118 0.0625 FALSE 6 0.875 0.9063 0.8906 0.0699 -0.118 -0.023 0.0313 FALSE 7 0.875 0.8906 0.8828 0.0699 -0.023 0.0236 0.0156 FALSE 8 0.8828 0.8906 0.8867 0.0236 -0.023 0.0003 0.0078 TRUE 9 0.8867 0.8906 0.8887 0.0003 -0.023 -0.011 0.0039 TRUE

2.2. Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp chia đôi Input: hàm phi tuyến f(x), khoảng phân ly nghiệm [a, b], sai số được phép ε

Ouput: nghiệm gần đúng x0 của phương trình f(x) = 0

Algorithm:

Bước 1: Gán c = (a + b)/2;

Bước 2: Lặp quá trình sau đây khi (b-a) > ε

2.1. Nếu f(c) = 0 thì gán x0 := c và kết thúc lặp, ngược lại làm bước 2.2

2.2. Nếu f(a)f(c) < 0 thì gán b := c

36


Nếu không thì gán a := c

Bước 3: In ra nghiệm x0 = c;

3. Phương pháp lặp đơn

3.1. Mô tả phương pháp Giả sử phương trình f(x) = 0 có thể viết dưới dạng:

x = ϕ(x) (1-3.1)

và (a, b) là khoảng phân ly của nghiệm x*. Lấy một điểm x0 ∈ (a, b) và tính các xấp xỉ x1, x2, …, theo công thức

xn = ϕ(xn-1), n = 1, 2, …. (2-3.1)

Định lý 1-3.1. Về sự hội tụ của phương pháp lặp

Giả sử ϕ(x) là hàm khả vi trên đoạn [a.b] và thoả mãn các điều kiện sau:

i) ],[1)('max],[

baxqxbax

∈∀<≤∈

ϕ (3-3.1)

ii) ],[],[)( baxbax ∈∀∈ϕ (4-3.1)

Khi đó

i) Phương trình (1-3.1) có nghiệm duy nhất x* ∈ (a, b)

ii) Quá trình lặp (2-3.1) hội tụ và có ước lượng

111* −−

−≤− nnn xxqxx (5-3.1)

0111* xxqxx

n

n −−

≤− (6-3.1)

Trong quá trình chứng minh định lý, ta còn rút ra được:

** xxqxx nn −≤− (7-3.1)

Để đặc trưng cho tốc độ hội tụ của các phương pháp lặp dưới đây chúng ta đưa ra khái niệm về cấp hội tụ của phương pháp.

Định nghĩa 1-3.1. Ta nói một phương pháp lặp giải phương trình có cấp hội tụ α nếu

- sai số tiên nghiệm của xấp xỉ thứ n là đại lượng cấp α của sai số xấp xỉ thứ n - 1, nghĩa là, α

** 1 xxCxx nn −≤− − , trong đó x* là nghiệm đúng, C>0 là hằng số,

- hoặc sai số hậu nghiệm của xn là đại lượng cấp α của độ lệch giữa hai xấp xỉ liên tiếp xn và x n-

1, nghĩa là α1* −−≤− nnn xxCxx .

Như vậy từ các đánh giá (5-3.1), (7-3.1) ta thấy rằng phương pháp lặp đơn có tốc độ hội tụ cấp 1 hay tốc độ hội tụ tuyến tính.

37


Ví dụ 1-3.1. Tìm gần đúng nghiệm của phương trình 2x - cos x = 0 với độ chính xác 10-3.

Giải. Trong Ví dụ (2-2.1) ta đã xác định được khoảng phân ly nghiệm của phương trình trên là (0, π/2), và phương trình trên đưa được về dạng

x = ϕ(x) với ϕ(x) = (1/2)cos x

Lấy một điểm x0 bất kỳ trong khoảng (0, π/2), chẳng hạn, x0 = 0,5 và xây dựng dãy lặp xn = ϕ(xn-1), n = 1, 2, ...

Ta sẽ kiểm tra các điều kiện của Định lý 1-3.1.

21sin

21)(' =≤−= qxxϕ

,

221)(0 πϕ <≤≤ x

do đó

].2

,0[]2

,0[)( ππϕ ∈∀∈ xx

Rõ ràng là các điều kiện (3-3.1), (4-3.1) được thoả mãn, do đó phương pháp lặp hội tụ ∀x ∈ (0, π/2) và ta có đánh giá:

112/11

2/1* −− −=−−

≤− nnnnn xxxxxx.

Với x0 = 0,5 ta có

4307,0cos21

01 == xx

4426,0cos21

12 == xx

4496,0cos21

23 == xx.

4502,0cos

21

34 == xx.

Vì |x4 -x3| = |0,4502 - 0,4496| = 0,0006 < 10-3, nên nếu lấy x4 xấp xỉ x* ta sẽ có |x4 - x*| < 10-3. Như vậy, x4 = 0,4502 là nghiệm gần đúng của phương trình đã cho với độ chính xác 10-3.

Ví dụ 2-3.1. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 5x3 - 10x + 3 = 0 bằng phương pháp lặp đơn với độ chính xác 10-4 biết khoảng phân ly nghiệm là (0, 1).

Giải. Trước hết, ta đưa phương trình đã cho về dạng tương đương x = ϕ(x). Trong số các cách đưa về dạng này, ta phải chọn cách sao cho thỏa mãn các điều kiện của định lý 1-3.1. Ta sẽ chọn x = ϕ(x) với ϕ(x) = (5x3 + 3)/20. Khi đó ϕ(x) thỏa mãn điều kiện (3-3.1) vì

38


143

43max)('max

2

1010<==

≤≤≤≤

xxxx

ϕ

và cũng thỏa mãn điều kiện (4-3.1) vì 3/20 < ϕ(x) ≤ 2/5, do đó ϕ(x) ∈ [0, 1], ∀x ∈ [0, 1]. Do đó, phương pháp lặp đơn cho dãy nghiệm:

]1,0[,20

35 31 ∈∀+

= − xxx nn

hội tụ và có đánh giá

*xxn − 13 −−≤ nn xx .

Chọn x0 = 0,5 ta tính được các xấp xỉ xn như sau

n xn xn - xn-1 3(xn - xn-1)

1 0.1812 0.3187 0.9562

2 0.1515 0.0298 0.0893

3 0.1509 0.0006 0.0019

4 0.1509 0.0000 0.0000

Cách chọn hàm ϕ(x) thỏa mãn các điều kiện của định lý 1-3.1, hơn nữa làm cho phương pháp lặp hội tụ nhanh nhất

3.2. Cách chọn ϕ(x) thỏa điều kiện hội tụ của phương pháp lặp đơn ],[1)('max

],[baxqx

bax∈∀<≤

∈ϕ Là điều kiện (3-3.1)

Trước hết nhận xét rằng λ ≠ 0 thì phương trình f(x) = 0 tương đương với phương trình x = ϕ(x) với

ϕ(x) = x + λf(x) (1-3.2)

Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm và f’(x) > 0 trên [a, b]. Ký hiệu

)('min),('max xfmxfMbxabxa ≤≤≤≤

==

Đặt

Mmq

M−=−= 1,1λ

.

Xét hàm ϕ(x) dạng (1-3.2). Ta có M

xfx )('1)(' −=ϕ .

Vì 0 < m ≤ f’(x) ≤ M nên 11)('1)(' <=−≤−= qMm

Mxfxϕ trên toàn đoạn [a, b]. Như vậy, hàm

ϕ(x) được xây dựng như trên thoả mãn điều kiện thứ nhất của Định lý 1-3.1.

Có thể chứng minh được rằng với cách chọn

39


2M m

λ = −+

thì hàm xác định bởi (1-3.2) sinh ra phương pháp lặp hội tụ nhanh nhất với số

M mqM m

−=

+ ,

trong đó

| '( ) |, min | '( ) |a x ba x b

.M max f x m f x≤ ≤≤ ≤

= =

3.3. Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp lặp đơn Input: phương trình f(x) = 0 đã được chuyển về dạng x = g(x) biểu thị xn = ϕ(xn-1);

khoảng phân ly [a, b], sai số được phép ε, điểm ban đầu x0 ∈ [a, b]

Ouput: nghiệm gần đúng x của phương trình f(x) = 0

Algorithm:

Bước 1: Khởi gán sai số e := 1;

Bước 2: Lặp quá trình sau đây khi e > ε

2.1. Tính x := g(x0);

2.2. Tính e := abs(x-x0);

2.3. Gán x0 := x;

Bước 3: In ra nghiệm x;

4. Phương pháp tiếp tuyến (Newton)

4.1. Mô tả phương pháp Ý tưởng của phương pháp Newton giải phương trình f(x) = 0 là thay phương trình này bởi một phương trình tuyến tính gần đúng trong lân cận của nghiệm. Vì thế phương pháp này còn có tên gọi là phương pháp tuyến tính hoá.

Mô tả phương pháp: Giả sử xn-1 là một xấp xỉ đã tính được của nghiệm đúng x*. Trong lân cận của x*, thay đường cong y = f(x) bởi tiếp tuyến với nó tại điểm A(xn-1, f(xn-1)). Tiếp tuyến này có phương trình là

f(xn)

f(xn-1)

x* xn-1xnxn+1

y = f’(xn-1)(x - xn-1) + f(xn-1) (1-4.1)

Giả sử f’(xn-1) ≠ 0. Ký hiệu hoành độ của điểm cắt của tiếp tuyến với trục hoành là xn. Thế thì

)(')(

1

11

−

−− −=

n

nnn xf

xfxx (2-4.1)

40


Ta coi xn là xấp xỉ tiếp theo của x*. Vì thế phương pháp tìm nghiệm gần đúng theo công thức

Nhận xét.

1) Công thức lặp (2-4.1) có thể vi n n-1

(2-4.1) còn có tên gọi là phương pháp tiếp tuyến .

ết trong dạng x = ϕ(x ) với

)(')()(

xfxfxx −=ϕ (3-4.1)

Điều đó có nghĩa phương pháp Newton là một trường hợp đặc biệt của phương pháp lặp đơn. Do đó có thể khảo sát sự hội tụ của phương pháp nhờ vào Định lý 1-3.1

2) Nếu xấp xỉ ban đầu x0 chọn không thích hợp thì phương pháp Newton có thể không sử dụng được, vì xấp xỉ tiếp theo x1 có thể vuợt ra khỏi khoảng phân ly, thậm chí vượt ra khỏi khoảng xác

c khoảng phân li nghiệm của phương trình f(x)=0. Nếu giá trị của f(x) và đạo hàm bậc haicách khác, x0 là điểm Fourier nếu thỏa mãn:

(4-4.1)

hội tụ của phương pháp Địn lý

Giả sử

n [a, b] và [a, b] là khoảng phân ly nghiệm x*

• x0 ∈ [a, b] là điểm Fourier.

Khi đó phương pháp New -4.1) ần đ các đánh giá sau

định của hàm số. Để tránh được điều này, cần chọn xấp xỉ ban đầu là một điểm Fourier được định nghĩa dưới đây:

Định nghĩa 1-4.1. Giả sử x0 là một điểm thuộ f”(x) cùng dấu tại x0 thì x0 được gọi là điểm Fourier. Nói

0)('')( 00 >xfxf

4.2. Sựh 1-4.2 Về sự hội tụ của phương pháp lặp Newton

• f là hàm khả vi liên tục hai lần trên đoạcủa phương trình f(x) = 0.

• f’(x) và f”(x) không đổi dấu trên [a, b].

ton (2 hội tụ và đối với nghiệm g úng xn có

1

)(*

mxf

xx nn ≤− , (1-4.2)

21

2* −−≤− nnn xxMxx , 12m

(2- 4.2)

Bỏ qua phần chứng minh. Khi áp d (x)}

Định lý 2-4.2 Đối với phương pháp Newton ta có đánh giá tiên nghiệm sau

trong đó m1 và M2 là các hằng số thoả mãn

0 < m1 ≤ |f’(x)|, |f ”(x)| ≤ M2, ∀x ∈ [a, b]

ụng, thường chọn m1 = min{f'(x)}; M2 = max{f'

21 nn zqz ≤+ (3-4.2)

41


*,,2 xzMq ==trong đó 2 1m nn

Bỏ qua phần chứng minh.

x− M2 và m1 được xác định như trong Định lý 1-4.2.

ệm dương của phương trình đã cho. Ngoài ra, ta có f’’(x) = 2 > 0. Do đó chọn m1 =1, M2 =2. Với tư cách xấp xỉ ban đầu ta chọn điểm Fourier x0 = 2. Phương pháp lặp Newton có dạng

Ví dụ 1-4.2. Áp dụng phương pháp Newton tìm nghiệm dương của phương trình x2 - x -1 = 0 với độ chính xác 0.001.

Giải. Đặt f(x) = x2 - x -1. Ta có f(1) = -1 < 0, f(2) = 1 > 0 và f’(x) = 2x-1 > 0. Do đó [1, 2] là khoảng phân ly nghi

.12

1)(')( 1−= −nxfxx

11 nn

c

12

111 −

−−−=

−

−−−

−−

nnnnn x

xxxxf

Rút gọn vế phải ta đượ

1212

1 += −nxx (1) 1 −−n

n x

Áp ư lặ :

dụng ph ơng pháp p Newton ta có bảng sau epsilon = 0.001

n x(n-1) f[x(n-1)] f"[x(n-1)] x(n) |x(n)-x(n-1)| <epsilon 0 2 1 3 1 1.666667 0.111111111 2.3333333 1.666667 0.333333333 FALSE 2 1.619048 0.002267574 2.2380952 1.619048 0.047619048 FALSE 3 1.618034 0.0000010 2.2360689 1.618034 0.001013171 FALSE 4 1.618034 0.0000000 2.236068 1.618034 0.00000046 TRUE

Vậy x4 = 1.618 là nghiệm gần đúng với sai số nhỏ hơn 0.001 .

ton thị xn = xn-1 + f(xn-1)/f'(xn-1);

fourier x0 ∈ [a, b]

M/2*m, mới 0<m<|f'(x)| và |f"(x)| <M1

Ouput: trình f(x) = 0

Algorit

Bước 1 1;

Bước 2

);

bs(x-x0)^2; Nếu không xác định q thì e = abs(x-x0)

2.3. Gán x0 := x;


4.3. Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp NewInput: f(x) = 0 được chuyển về dạng x = g(x) biểu

khoảng phân ly [a, b], sai số được phép ε, điểm

số q=

nghiệm gần đúng x của phương

hm:

: Khởi gán sai số e :=

: Lặp quá trình sau đây khi e > ε

2.1. Tính x := g(x0

2.2. Tính e := q*a

42


5. Phương pháp cát tuyến

5.1. Mô tả phương pháp Việc tính đạo hàm trong công thức Newton (2-4.1) có thể tốn thêm nhiều thời gian nếu f’(x) là hàm phức tạp. Vì thế, người ta thay f’(xn-1) bởi tỷ sai phân

21

21 )()(

−−

−−

−−

nn

nn

xxxfxf

.

Khi đó, phương pháp lặp có dạng

,...3,2),()()( 1

11

211 =

−−

−= −−−

−−− nxf

xfxfxxxx n

nn

nnnn (1-5.1)

x0, x1 là các xấp xỉ cho trước.

Thông thường, người ta đặt x0 = a, x1 = b, (a, b) là khoảng phân ly của nghiệm.

Phương pháp lặp trên có tên là phương pháp cát tuyến (phương pháp vị trí ảo) vì ý nghĩa hình học của nó cụ thể như sau:

Phương trình của cát tuyến qua hai điểm là ))(,()),(,( 1122 −−−− nnnn xfxxfx

12

1

12

1

)()()(

−−

−

−−

−

−−

=−

−

nn

n

nn

n

xxxx

xfxfxfy

.

Phương pháp cát tuyến (1-2.5) hội tụ chậm hơn phương pháp Newton nhưng hội tụ nhanh hơn phương pháp lặp đơn.

Ví dụ 1-5.1. Cho phương trình f(x) = x3 -3x + 2 = 0 có một nghiệm là x* = 2. Sử dụng phương pháp cát tuyến với sai số 10-3, x0 = -2,6, x1 = -2,4 ta được

n x(n)

2 -2.1066

3 -2.0226

4 -2.0015

5 -2.0000

6 -2.0000

5.2. Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp Cát tuyến Input: Hàm số f(x) = 0, 2 nghiệm xấp xỉ ban đầu x0 và x1, sai số được phép ε,

Ouput: nghiệm gần đúng x của phương trình f(x) = 0

Algorithm:

Bước 1: Khởi gán sai số e := 1; Nghiệm tìm xấp xỉ cần tìm là x = x1

x* x2

x3

x0 x1

43


Bước 2: Lặp quá trình sau đây khi e > ε

2.1. Tính x := x1-f(x1)-((x1-x0)/(f(x1)-f(x0)));

2.2. e := abs(x-x0);

2.3. Gán x0 := x1; x1 :=x;


6. Phương pháp dây cung

6.1. Mô tả phương pháp Giả sử (a, b) là khoảng phân ly của phương trình f(x) = 0. Ý tưởng của phương pháp dây cung là thay dây cung cong của đường cong y = f(x) bằng dây cung trương cung cong ấy và xem hoành độ xn của giao điểm của dây cung với trục hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm đúng x*.

Giả thiết đạo hàm cấp hai f’’(x) không đổi dấu trên đoạn [a, b]. Khi đó trong hai đầu mút a và b, ta cố định một đầu, mà tại đó giá trị của hàm cùng dấu với dấu của f”(x) (tức là điểm Fourier), và lấy đầu mút còn lại làm xấp xỉ ban đầu x0. Công thức lặp của phương pháp dây cung sẽ như sau:

,...2,1,)()())((

1

111 =

−−

−=−

−−− n

dfxfdxxfxx

n

nnnn (1-6.1)

trong đó d = b, x0 = a nếu f(b).f”(x) > 0; và d = a, x0

= b nếu f(a).f”(x) > 0.

Hình bên minh họa một số xấp xỉ liên tiếp theo phương pháp dây cung giải phương trình 2x2 - x - 0,1 = 0.

6.2. Sự hội tụ của phương pháp Người ta đã chứng minh được rằng phương pháp dây cung hội tụ và thu được các đánh giá dưới đây về sai số của phương pháp:

1

| ( ) || * | nn

f xx xm

− ≤ ,

1 11

1

| * | |n nM mx x x x

m − |,n−

− ≤ −

Ở đây, như thường lệ, ta ký hiệu

1 1max | '( ) |, min | '( ) |a x ba x b

M f x m f x≤ ≤≤ ≤

= =.

BÀI TẬP 1. Tìm khoảng phân ly với độ rộng bằng 1 cho các nghiệm của các phương trình sau:

)0(02034 >=−− xxx 2 ln( ) 0x x− − =

44


)0(0523 >=−− xxx

0533 =++ xx

0=+ xex

)0(024 2 >=−− xxex

51sin =− xx

.0sin2 =− xx π

2. Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm của các phương trình cho trong bài 1 với độ chính xác ε = 10-2.

3. Tìm nghiệm của các phương trình cho trong bài 1 với độ chính xác ε = 10-2 bằng phương

pháp lặp đơn. So sánh số lần lặp thực sự với số lần lặp ước lượng trước khi tính ,..., 32 xx

4. Sử dụng phương pháp lặp đơn dạng xn+1 = xn + λf(xn) giải phương trình f(x) = 0 tìm 7 .

5. Tìm nghiệm của các phương trình cho trong bài 1 với độ chính xác ε = 10-3 bằng phương pháp Newton.

6. Tính 13 bằng phương pháp Newton, phương pháp lặp đơn và phương pháp cát tuyến với độ chính xác 10-3.

7. Phương pháp Newton hội tụ tới nghiệm nào trong ba nghiệm 0; 1 và -1 của phương trình x3 - x = 0 nếu xuất phát từ điểm x0 bất kỳ?

8. Tính cos 200 với độ chính xác 10-3.

Gợi ý: Sử dụng cos 3 × 200 = 1/2.

9. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 2x2 - x - 0,1=0 bằng các phương pháp cát tuyến và phương pháp dây cung với độ chính xác 0.001 và so sánh tốc độ hội tụ.

10. Lập chương trình giải phương trình phi tuyến bằng các phương pháp cát tuyến và dây cung. Sử dụng chương trình này giải phương trình trong bài tập 7.

45


Chương 4 PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

1. Đại số ma trận

1.1. Vectơ cột và vectơ hàng a) Định nghĩa

Ta gọi vectơ cột là một dạy hữu hạn có thứ tự các số sắp xếp từ trên xuống dưới.

Ví dụ 1-1.1.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

213

u là một vectơ cột ba thành phần.

Ta gọi vectơ hàng là một dạy hữu hạn có thứ tự các số được sắp xếp nối tiếp nhau theo hàng ngang.

Ví dụ 2-1.1. là một vectơ hàng có 4 thành phần. ( 924=v )

b) Các phép toán trên vectơ

Cộng hai vectơ

Cho và , thì ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

uuu

u⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

vvv

v⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

=+

33

22

11

vuvuvu

vu

Tương tự,

Cho và , thì ( )321 ,, uuuu = ( )321 ,, vvvv = ( )332211 ,, vuvuvuvu +++=+

Nhân một số với một vectơ

Nếu u = (u1, u2, u3) và a là một số thì au = (au1, au2, au3).

Vectơ không, kí hiệu là 0, là vectơ mà các thành phần của nó đều bằng 0.

Tích vô hướng (khi nhân vectơ hàng với vectơ cột)

Cho và ( )321 ,, uuuu =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

vvv

v

Khi đó tích vô hướng của vectơ hàng u với vectơ cột v là số 332211 vuvuvuuv ++=

Ví dụ 3-1.1.

46


Một sản phẩm được tạo ra bởi ba công đoạn, mỗi công đoạn cần một công nhân làm. Công nhân thứ nhất làm mất 3 giờ, công nhân thứ hai làm mất 4 giờ và công nhân thứ ba làm mất 2 giờ. Tiền trả mỗi giờ cho các công nhân tương ứng là 50000đ, 80000đ và 60000đ.

Số tiền phải trả để hoàn thành sản phẩm là tích vô hướng của hai vectơ

( )243=u và ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

600008000050000

v

tức là số uv = 3*50.000 + 4*80.000 + 2*60.000 = 590.000đ

1.2. Ma trận 1.2.1. Định nghĩa

Một ma trận A cấp m × n là một bảng gồm m × n phần tử xếp theo m hàng và n cột.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...

...

21

22221

11211

,

trong đó aij là phần tử ở hàng i, cột j, i ∈ [1,…,m], j ∈[1,…, n].

1.2.2. Các loại ma trận

• Ma trận vuông: Khi m = n thì ma trận A = (aij) gọi là ma trận vuông cấp n. • Ma trận đơn vị, thường ký hiệu là E hoặc I, là ma trận vuông cấp n có các phần tử nằm

trên đường chéo bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0, tức là aii = 1 và aij = 0, ∀ i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ n.

E =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1...00....0...100...01

• Ma trận chuyển vị: Ma trận chuyển vị của một ma trận A, kí hiệu là At, là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách đổi hàng thành cột và đổi cột thành hàng.

• Ma trận nghịch đảo: Cho ma trân vuông A, ma trận nghịch đảo của ma trận A (nếu có), kí hiệu là A-1, là một ma trận vuông cấp n thỏa mãn điều kiện sau:

A.A-1 = A-1.A = E

1.2.3. Một số dạng đặc biệt của ma trận

• Ma trận chéo: Ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0, tức là aij = aji = 0 với i ≠ j, được gọi là ma trận đường chéo .

• Ma trận tam giác trên: Ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác trên, nếu aij = 0 nếu với ∀ i > j, tức là A có dạng:

47


A = .

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn

n

n

a

aaaaa

...00......

...0

...

222

11211

• Ma trận tam giác dưới: Tương tự, ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác dưới, nếu aij = 0 với ∀ i < j, tức là A có dạng:

A =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnnn aaa

aaa

.........0...0...0

21

2221

11

• Ma trận thưa: Ma trận thưa là ma trận có rất nhiều phần tử bằng 0. Trong trường hợp, nếu aij= 0 khi |i-j| > m và m<<n thì ma trận có tên gọi là ma trận băng. Nếu m = 1 thì ma trận băng có dạng ba đường chéo

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−

nnnn

nn

aaa

aaaaa

A

.. ...... 0 0 0

... .......... 0 0 0

..................................

0 .0 ..........

0 ..0.......... 0

1,

,1

232221

1211

.

• Ma trận đối xứng: Ma trận A được gọi là đối xứng nếu A=At, tức là aịj=aji (i,j=1,...,n).

• Ma trận xác định dương: Ma trận A được gọi là xác định dương nếu tích vô hướng (Ax, x) > 0 với mọi x ≠ 0.

1.2.4. Các phép toán trên ma trận

• Cộng 2 ma trận Phép cộng hai ma trận chỉ có nghĩa khi hai ma trận có cùng cấp. Cho hai ma trận A = {aij}i = 1, .., m; j = 1, ..., n, B = {bij}i = 1, .., m; j = 1, ..., n, Khi đó tổng của hai ma trận A và B là ma trận C = {cij}i = 1, .., m; j = 1, ..., n, kí hiệu là C = A + B, với cij = aij + bij , (i,j=1,...,n).

• Nhân một hằng số k khác 0 với một ma trận: Nếu A = (aij) thì kA = (kaij)

• Nhân hai ma trận: Điều kiện để thực hiện được phép nhân: Số cột của ma trận trước phải bằng số hàng của ma trận sau. Tích của hai ma trận A = (aij) kích thước m × p với ma trận B = (bij) kích thước p × n là ma trận C = (cij) có kích thước m × n, trong đó:

.,...,2,1;,...,2,1,1

njmibac kj

p

kikij ===∑

=

Ví dụ 1-1.2.

A[3 × 2] . B[2 × 4 ] = C[3 × 5]

48


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

35211131695321

14065321

.2123

01

• Nhân một véc tơ (hàng) với một ma trận: Là trường hợp đặc biệt của phép nhân hai ma trận A[1 × n] * B[n × p] = C[1 × p]. Nói cách khác, điều kiện để thực hiện được phép nhân là: số phần tử của véc tơ hàng phải bằng số hàng của ma trận.

Ví dụ 2-1.2.

[ ] [ ] [ 3131.12.20.33.1)1.(24.3132104

123 =+++−+=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡− ]

• Nhân một ma trận với một véc tơ (cột): Là trường hợp đặc biệt của phép nhân hai ma trận A[m × n] * B[n × 1] = C[m × 1]. Nói cách khác, điều kiện để thực hiện được phép nhân là: Số cột của ma trận trước phải bằng số thành phần của véc tơ cột.

Ví dụ 3-1.2.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

176

16

5.14.35.24).1(

5.04.4

54

.132104

Chú ý:

• AB ≠ BA (phép nhân 2 ma trận không có tính giao hoán)

• (AB)C = A(BC)

• Nếu A là ma trận vuông cấp n và E là ma trận đơn vị thì AE = EA = A

1.2.5. Định thức của ma trận Với mỗi ma trận vuông A cấp n, ta tính được một số thực theo qui tắc dưới đây, gọi là định thức của ma trận A, kí hiệu là det A hoặc |A|.

a) Định thức của ma trận cấp hai

Cho thì det(A) = a⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

aaaa

A 11a22 - a12a21

b) Định thức của ma trận cấp ba

Cho thì ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3231

222113

3331

232112

3332

232211 detdetdetdet

aaaa

aaaaa

aaaaa

aA

49


det A = a11a22a33 - a11a23a32 + a12a21a33 - a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31

c) Định thức của ma trận vuông cấp n tổng quát

Có thể tính theo cột hoặc hàng bất kỳ. Ví dụ nếu chọn một hàng i nào đó, ta có:

det A = (-1)i+1 ai,1 det Mi,1 + (-1)i+2 ai,2 det Mi,2 + ... + (-1)i+n ai,n det Mi,n

Trong đó Mi,j là ma trận thu được từ ma trận A sau khi bỏ đi hàng i và cột j.

Ví dụ 4-1.2.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

987654321

A , , , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=9865

1,1M ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

9764

2,1M ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

8754

3,1M

det A = (-1)1+1a1,1 det M1,1 + (-1)1+2 a1,2 det M1,2 + (-1)1+3 a1,3 det M1,3

= a1,1 det M1,1 - a1,2 det M1,2 + a1,3 det M1,3

=1.93 -2.(-78)+3.(-3) = 240.

Để ý thấy, nếu chọn hàng 1 thì dấu cộng trừ đan xen nhau, bắt đầu là dấu dương.

2. Hệ phương trình đại số tuyến tính

2.1. Giới thiệu Cho hệ phương trình gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số x1, x2,...,xn

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

..............

...

...

2211

22222121

11212111

(1-2.1)

Hệ phương trình này có thể viết dưới dạng ma trận

Ax = b (2-2.1)

trong đó

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

.........

...

...

21

22221

11211

, ,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nx

xx

x...

2

1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nb

bb

b...

2

1

Bài toán đặt ra là tìm nghiệm x = (x1, x2, …, xn)t của hệ (2-2.1)

Các phương pháp giải: Người ta chia các phương pháp giải hệ PTĐSTT thành 2 loại: các phương pháp đúng và các phương pháp gần đúng:

Phương pháp đúng hay còn gọi là phương pháp trực tiếp, ví dụ như các phương pháp Cramer, khử Gauss, Choleski, là phương pháp cho ta nghiệm đúng của hệ phương trình (1-2.1) sau một số hữu hạn các phép tính với giả thiết không có sai số làm tròn.

50


Phương pháp gần đúng hay còn gọi là phương pháp lặp, ví dụ như các phương pháp Jacobi, Gauss-Seidel, giảm dư, là phương pháp giải hệ bằng cách cho nghiệm một giá trị ban đầu, từ giá trị này tính các giá trị nghiệm gần đúng tốt hơn theo một qui tắc nào đó. Quá trình này được lặp nhiều lần và với một số điều kiện nhất định, ta nhận được nghiệm gần đúng của hệ với một sai số có thể ước lượng được.

Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu các phương pháp: Cramer, Khử Gausse, Gauss-Seidel và giảm dư..

2.2. Giới thiệu phương pháp Cramer Nếu det A ≠ 0 thì hệ (2-2.1) có nghiệm duy nhất và nghiệm của nó có thể tính theo phương pháp Cramer với công thức:

bAx 1−=

tức là

AA

x jj det

det= (1-2.2)

trong đó Aj là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bởi cột b.

Ví dụ 1-2.2.

Hãy giải hệ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=++−=+

8323064362

321

321

31

xxxxxxxx

Giải: Ta có

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

321643201

A , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

8306

b

Vậy

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

3286430206

1A , , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

3816303261

2A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

8213043601

3A

Ta tính được

det A = 44 ≠ 0

det A1 = -40, det A2 = 72, det A3 = 152

Ta suy ra các thành phần nghiệm của hệ đã cho:

x1 = -40/44 = -10/11; x2 = 72/44 = 18/11; x3 = 152/44 = 38/11

Vậy x = (-10/11, 18/11, 38/11)t là nghiệm của hệ đã cho.

51


Nhận xét : Công thức (1-2.2) rất đẹp về mặt lý thuyết nhưng rất đắt về về mặt tính toán, nghĩa là cần rất nhiều các phép tính số học. Cụ thể là, để tính các xj theo công thức trên cần tính n+1 định thức cấp n, mà mỗi định thức chứa n! số hạng, mỗi số hạng là tích của n thừa số, do vậy để tính mỗi số hạng cần thực hiện n-1 phép nhân. Như vậy, riêng số phép nhân phải thực hiện trong (1-2.2) đã là n!(n+1)(n-1). Giả sử n=20. Khi đó n!=20! ≈ 2,4329 . 1018 và n!(n+1)(n-1) ≈ 9,7073 .1023. Nếu máy tính thực hiện được 100 triệu phép tính trong một giây thì để để thực hiện được khối lượng tính toán trên cần 3,0782 . 105 năm!

Trong khoa học và công nghệ người ta thường phải giải các hệ phương trình cỡ lớn hơn 20 rất nhiều, chẳng hạn cỡ nghìn, chục nghìn, thậm chí cỡ hàng triệu. Vì thế cần phải có các phương pháp giải hệ phương trình tốt hơn để có thể cho lời giải trong một thời gian chấp nhận được. Một đặc điểm của các phương pháp đó là khước từ việc nghịch đảo ma trận. Và kim chỉ nam cho việc xây dựng các phương pháp nhanh để giải hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ lớn là khai thác triệt để các thông tin về ma trận của hệ.

2.3. Phương pháp khử Gauss a) Mô tả phương pháp

• Cần biến đổi ma trận vuông A cấp n về dạng ma trận tam giác trên:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

+

+

+

1,21

1,222221

1,111211

..........

...

...

nnnnnn

nn

nn

aaaa

aaaaaaaa

A ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

+

+

+

1,

1,2222

1,111211

''...00.......''...'0''...''

'

nnnn

nn

nn

aa

aaaaaaa

A

Để tiện cho quá trình biến đổi tương đương, ta coi cột b là cột thứ n + 1 của ma trận A.

• Cơ sở của việc biến đổi: Sử dụng các phép biến đổi tương đương như:

- Đổi chỗ 2 phương trình bất kỳ.

- Nhân một phương trình bất kỳ với một số khác không.

- Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính của một số phương trình khác

• Từ đó, phương pháp khử Gauss gồm 2 quá trình:

- Quá trình thuận: đưa ma trận A về dạng tam giác trên,

Cách biến đổi A A’: Thực hiện n - 1 lần biến đổi :

Lần biến đổi thứ i (làm cho aji = 0 ; j = i + 1, …, n) bằng cách công thức:

ii

ji

aa

mnijmiDòngjDòngjDòng −=+=×+= ;,...,1, (1-2.3)

- Quá trình ngược: giải hệ tam giác trên từ dưới lên trên, tức là tính các nghiệm xn, xn-1, …, x1 bằng phương pháp “thế ngược”.

nnn

n ba

x 1=

52


)(1,11

1,11 nnnn

nnn xab

ax −−

−−− −= (2-2.3)

…

)(11

jij

n

iji

iii xab

ax ∑

+=

−=

Ví dụ 1-2.3. Giải hệ phương trình

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

623632632

321

321

321

xxxxxxxxx

Ta có

[ ]⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==

666

213132321

,' bAA

Quá trình thuận

• i = 1

Dòng 2 = Dòng 2 - 2 * Dòng 1


[ ]⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

666

213132321

,bA [ ]⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−−=→

126

6

750510

321,bA

• i = 2


[ ]⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−−=

126

6

750510

321,bA [ ]

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−=→18

66

1800510

321,bA

Như vậy kết thúc quá trình trên ta sẽ thu được hệ có dạng tam giác trên

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=−−

=++

181865

632

3

32

321

xxxxxx

Quá trình ngược

Giải ngược: Tính các nghiệm xn, xn-1, …, x1 bằng phương pháp “thế ngược”: Ta tính được x3 = 1; x2 = 6 - 5.1 = 1; x1 = 6 - 2 - 3 = 1.

53


Khối lượng tính toán: Ta có thể đánh giá được tổng số phép toán của phương pháp khử Gauss là O(n3) khi n đủ lớn.

Ví dụ 2-2.3. Giải hệ PTĐSTT sau bằng phương pháp khử Gauss:

2x1 + 4x2+ 3x3 = 4

3x1+ x2- 2x3 = -2

4x1+ 11x2+ 7x3 = 7

Các hệ số và vế phải của các hệ trung gian thu được sau từng bước khử được viết trong dạng ma trận mở rộng như sau

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

7 7 11 4

2- 2- 1 3

4 3 4 2

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1- 1 3 0

8- 6,5- 5- 0

2 1,5 2 1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

5,8- 2,9- 0 0

1,6 1,3 1 0

2 1,5 2 1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

2 1 0 0

1,6 1,3 1 0

2 1,5 2 1

Quá trình tính ngược cho ta x1 = 1, x2 = -1, x3 = -2.

Nhận xét 1: Trong quá trình thuận ta phải thực hiện phép chia cho phần tử trụ aii. Nếu nó bằng 0 thì quá trình không thực hiện được. Ngoài ra nếu nó có trị tuyệt đối nhỏ thì khi chia cho nó sai số làm tròn sẽ lớn, do đó có thể làm giảm độ chính xác của nghiệm tìm được. Để khắc phục khó khăn trên người ta thường dùng phương pháp Gauss với phần tử trụ có trị tuyệt đối lớn nhất trong cột.

Nhận xét 2: Trong phương pháp khử Gauss ta sử dụng các phép biến đổi lên ma trận như chia một hàng cho một số, trừ đi từ hàng một hàng khác nhân với một số và đổi chỗ hai hàng. Do đó, định thức của ma trận A có thể tính theo công thức

)1()1(22

)0(11 ...)1(det −−= n

nnk aaaA ,

trong đó k là số lần đổi chỗ các hàng và là phần tử trụ lần lặp thứ i.jiia

Ví dụ 3-2.3.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

7 11 4

2- 1 3

3 4 2

det = 2 = 2 = 2.(-5) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

7 11 4

2- 1 3

1,5 2 1

det⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1 3 0

6,5- 5- 0

1,5 2 1

det⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

2,9- 0 0

1,3 1 0

1,5 2 1

det

= 2.(-5).(-2,9) = 2.(-5).(-2,9) = 29. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1 0 0

1,3 1 0

1,5 2 1

det

b) Thuật toán Khử Gauss

Input: n, ma trận a(n,n+1) là ma trận các hệ số, cột n+1 là vế phải của phương trình.

54


Output: véct tơ nghiệm x.

Algorithm:

1. Nhập n, ai (i=1, .., n; j = 1, ..., n+1)

2. Quá trình thuận: Biến đổi A A’

Lặp quá trình sau với i = 1 n - 1

2.1. Xét a[i,i], nếu a[i,i] = 0 thì tìm phương trình j sao cho a[j,i] ≠ 0. Nếu tồn tại phương trình j thì hoán đổi hai phương trình cho nhau, nếu không thì kết luận hệ suy biến và dừng thuật toán.

2.2. Chia 2 vế của phương trình i cho a[i,i] để chuẩn bị cho việc khử x[i] trong các phương trình còn lại ; gán kết quả cho phương trình trung gian c

a[i,,j]=a[i,,j]/a[i,i]; c[j]=a[i,,j]; với j = 1, 2, .., n.

2.3. Với mỗi phương trình j = i +1 n

Cộng phương trình j với phương trình c sau khi phương trình c (tức là phương trình i ở trên) đã nhân với -a[j,i]

a[j,k] = a[j,k] + c[k] * (-a[j,k]) ; với k = 1,2, ..., n

3. Quá trình ngược

3.1. Tính x[n]=a[n,n+1];

3.2. Tính thành phần nghiệm x[k] với k = n-1, ..., 1

(i) Tính tổng s = s + a[k, j] với j = k+1, ..., n

(ii) Tính x[k] = a[k, n + 1] - s

4. Xuất x1, x2, ..., xn

2.4. Phương pháp Gauss-Seidel a) Mô tả phương pháp

Ý tưởng chung của phương pháp Gauss-Deidel là đưa hệ Ax = b về dạng x = Bx + g. Trước hết, biến đổi hệ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

+

+

+

1,2211

1,22222121

1,11212111

..............

...

...

nnnnnnn

nnn

nnn

axaxaxa

axaxaxaaxaxaxa

(1-2.4)

Về dạng

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−−−=

−−−−=

−−−−=

−−+

+

+

)...(1............

)...(1

)...(1

11,3322111,

23231211,222

2

13132121,111

1

nnnnnnnnnn

n

nnn

nnn

xaxaxaxaaa

x

xaxaxaaa

x

xaxaxaaa

x

55


Hay

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≠−=

≠−=

≠−=

∑

∑

∑

=+

=+

=+

)(/)(.........

)2(/)(

)1(/)(

11,

12221,22

11111,11

njaxaax

jaxaax

jaxaax

n

jnnjnjnnn

n

jjjn

n

jjjn

Tổng quát ta có với i = 1, 2, …, n thì

∑=

+ ≠−=n

jiijijnii ijaxaax

11, ,/)( (2-2.4)

Viết gọn hơn thì hệ (1-2.4) có dạng

x = Bx + g (3-2.4)

trong đó B gọi là ma trận lặp và

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

0.........

...0

...0

21

22

2

22

21

11

1

11

12

nn

n

nn

n

n

n

aa

aa

aa

aa

aa

aa

B , ,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nx

xx

x...

2

1

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

+

+

+

nn

nn

n

n

aa

aaa

a

g

1,

22

1,2

11

1,1

...

Tiếp theo, cho hệ nghiệm ban đầu . Thay xtnxxxx ),...,,( 00

2010 = 0 vào phương trình (2-2.4) để tính

với tnxxxx ),...,,( 11

2111 =

∑=

+ ≠−=n

jiijijnii ijaxaax

1

01,

1 ,/)(

Tiếp tục quá trình đó ta tính x2, x3, …, xk

Tổng quát:

∑=

++ ≠−=

n

j

kjijni

ii

ki ijxaa

ax

11,

1 ,)(1 (4-2.4)

Quá trình lặp nói trên sẽ dừng tại xk nếu thỏa mãn tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối:

),...,1( nixx ki

iki =∀<−+ ε

b) Điều kiện hội tụ của phương pháp Gauss-Seidel

Hệ phương trình có ma trận lặp B thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây thì quá trình lặp sẽ hội tụ:

56


(i) 1max1

1 <= ∑=

n

jiji

br (5-2.4)

(ii) 1max1

2 <= ∑=

n

iijj

br (6-2.4)

(iii) (7-2.4) 11

2

13 <= ∑∑

==

n

jij

n

ibr

Ví dụ 1-2.4.

Bảng kết quả tính toán dưới đây giải hệ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=−+=+−

4444

825

321

321

321

xxxxxxxxx

theo công thức (4-2.4) thì

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−−=

−+−=

+−=

+++

++

+

125,025,0

125,025,0

6,14,02,0

)1(2

)1(1

)1(3

)(3

)1(1

)1(2

)(3

)(2

)1(1

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

cho thấy phương pháp Gauss-Seidel thực sự hội tụ nhanh.

k )(1

kx )(2kx )(

3kx ∞− |||| )( xx k

1 1.6000 -1.4000 0.9500 0.6000

2 0.9400 -0.9975 1.0144 0.0600

3 0.9948 -0.9951 1.0001 0.0052

4 1.0009 -1.0002 0.9998 0.0009

5 1.0000 -1.0001 1.0000 0.0001

6 1.0000 -1.0000 1.0000 0.0000

Ví dụ 2-2.4.

Giải hệ cho dưới dạng ma trận [A, b] với sai số không vượt quá 10-3.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

81011102101101210

Áp dụng công thức (4-2.4) ta có

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−−=+−−=+−−=

8.01.01.02.12.01.0

11.02.0

213

312

321

xxxxxxxxx

57


Ta có

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=01.01.0

2.001.01.02.00

B⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

8.02.1

1g

Do 13,0max1

1 <== ∑=

n

jiji

br thỏa mãn điều kiện hội tụ nên ta có thể áp dụng phương pháp Gauss-

Seidel. Chọn x0 = (0, 0, 0)t thay vào ta được x1 = (1, 1.2, 0.8)t, tương tự tính x2, x3, .. và bảng kết quả là

k x1(k) x2

(k) x3(k)

1 1.2 0.8

2 0.68 0.94 0.58

3 0.754 1.016 0.638

4 0.733 0.997 0.623

5 0.738 1.002 0.627

6 0.737 1.001 0.626

7 0.737 1.001 0.626

Nghiệm của hệ là x = (0.737, 1.001, 0.626) vì |xi7 - xi

6| < 10-3 ∀ i = 1,2,3.

c) Thuật toán Gauss-Seidel



Algorithm:

1. Nhập n, ai (i=1 n; j = 1 n+1)

2. Nhập sai số ε

3. Nhập nghiệm xuất phát x = (x1, x2, ...xn)

/* Ta gọi nghiệm thứ k là x, nghiệm thứ k+1 là y = (y1, y2, ...yn) */

4. Lặp quá trình sau đây

4.1. Khởi tạo stop = true

4.2. Tính các thành phần yi cho nghiệm tiếp theo, với i = 1 n

a) Khởi tạo tổng S = 0

b) Với j = 1 n

Nếu (j ≠ i) thì gán S = S + aij * xj

c) yi = (ai,n+1 - S)/aii

d) Nếu |yi - xi| ≥ ε thì gán stop = false;

e) Thay xi = yi

58


Lặp quá trình trên đến khi stop = true

5. Xuất xi (i = 1 n)

2.5. Phương pháp giảm dư a) Mô tả phương pháp

Biến đổi hệ phương trình

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

+

+

+

1,2211

1,22222121

1,11212111

..............

...

...

nnnnnnn

nnn

nnn

axaxaxa

axaxaxaaxaxaxa

(1-2.5)

về dạng

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−−−

=−−−−=−−−−

+

+

+

0..............0...0...

22111,

22221211,2

12121111,1

nnnnnnn

nnn

nnn

xaxaxaa

xaxaxaaxaxaxaa

(2-2.5)

Chia hàng i cho aii ≠ 0, thu được hệ có dạng

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−−−

=−−−−=−−−−

+

+

+

0..............0...0...

22111,

23231211,2

13132121,1

nnnnn

n

n

xxbxbb

xxbxbbxxbxbb

(3-2.5)

Cho vectơ (cột) nghiệm ban đầu là tnxxxx ),...,,( 00

2010 =

Vì x0 chưa phải là nghiệm, nên

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−−−

=−−−−=−−−−

+

+

+

00022

0111,

02

02

0323

01211,2

01

01

0313

02121,1

..............

...

...

nnnnnn

n

n

Rxxbxbb

RxxbxbbRxxbxbb

(4-2.5)

R10, R2

0, ..., Rn0 là các số dư sai khác giữa nghiệm x0 và nghiệm đúng của hệ.

Tìm Rs0 = max {|R1

0|, |R20|, ..., |Rn

0|} và làm triệt tiêu phần tử đó bằng cách cho xs một số gia δxs = Rs

0, nghĩa là xs1 = xs

0 - Rs0.

Tính lại các số dư:

Rs1 = 0 (5-2.5)

Ri1 = Ri

0 - bi,s * δxs

= Ri0 - bi,s

* Rs0 (i = 1, 2, ..., n) (6-2.5)

59


Cứ tiếp tục quá trình lặp trên cho đến khi |Rik| < ε (∀i=1, ..., n) thì xk = (x1

k, x2k, ..., xn

k) là nghiệm của hệ.

Ví dụ 1-2.5. Giải hệ cho bởi ma trận [A,b] sau

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

810117110262210

Giải: Biến đổi hệ về dạng

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−++=−++=−++

01.01.08.002.02.07.002.02.06.0

321

231

132

xxxxxxxxx

Cho x0 = (0, 0, 0) R0 = (R10, R2

0, R30) = (0.6, 0.7, 0.8)

R30 = max{|Ri

0|} = 0.8, ∀i =1, 2, 3.

x31 = x3

0 + R30 = 0.8

Tính lại các số dư: R31 = 0

R11 = R1

0 + b13.R30 = 0.6 + 0.2 × 0.8 = 0.76

R21 = R2

0 + b23.R30 = 0.7 + 0.1 × 0.8 = 0.78

R1 = (R11, R2

1, R31) = (0.76, 0.78, 0)

Tương tự, ta có bảng kết quả

x1 x2 x3 R1 R2 R3

0 0 0 0.6 0.7 0.8

0.8 0.76 0.78 0

0.78 0.92 0 0.08

0.92 0 0.18 0.17

0.96 0.04 0 0.19

0.99 0.07 0.02 0

0.99 0 0.03 0.01

0.99 0.01 0 0.01

1 0.01 0 0

1 0 0.01 0

1 0 0 0

Vậy nghiệm của hệ là x = (1, 1, 1).

60


b) Thuật toán Giảm dư



Algorithm:

1. Nhập n, aij, xi

2. Biến đổi hệ từ dạng (3.13) về dạng (3.14)

3. for i = 1 n

{ for j = 1 n+1

if (i!=j) a[i,j] / a[i,i];

a[i,i] = 1;

}

4. Tính r[i] ban đầu (i = 1, 2, …, n)

for i = 1 n

{ r[i] = a[i, n+1];

for j=1 n

r[i] = r[i] - a[i,j] * x[j];

}

5. Khởi tạo đầu lặp continue = true

6. Lặp khi continue = true

continue = false;

/* Tìm rs = max{|r[i]|, i = 1, 2, ..., n} và tính lại xs */

max = |r[1]|; k = 1;

for i = 1 n

if (max < |r[i]|) {max = r[i]; k = i;}

x[k] = x[k] + r[k];

/* Tính lại r[i] và kiểm tra khả năng lặp tiếp theo */

d = r[k];

for i = 1 n

{ r[i] = r[i] - a[i, k] * d;

if (|r[i]| ≥ ε) continue = true;}

7. Xuất nghiệm x[i], (i= 1, 2, …, n)

Lưu ý:

- Phương pháp chỉ thực hiện được khi aii ≠ 0, nếu không phải đổi hàng.

- Quá trình hội tụ không phụ thuộc vào x0 mà chỉ phụ thuộc vào bản chất của hệ phương trình.

61


- Mọi hệ phương trình có giá trị riêng λ ≥ 1 đều hội tụ đến nghiệm một cách nhanh chóng.

- Nếu các phần tử aii càng lớn hơn các phần tử trên dòng bao nhiêu thì quá trình hội tụ càng nhanh.

2.6. Vấn đề ổn định của nghiệm của hệ phương trình Trong nhiều trường hợp người ta thu được hệ phương trình đại số tuyến tính

Ax = b (1-2.6)

trong đó các hệ số aij và bi được tính theo một công thức nào đó, có thể là khá phức tạp cho nên không tránh khỏi sai số. Khi đó người ta thu được không phải là hệ (1-2.6), mà là hệ phương trình với ma trận nhiễu A+δA và vế phải nhiễu b+δb. Và tất nhiên nghiệm của hệ nhiễu này bây giờ không phải là x mà là x+δx. Như vậy, ta có

(A + δA)( x+δx) = b+δb (2-2.6)

Vấn đề đặt ra là liệu sự thay đổi δx của nghiệm có phụ thuộc liên tục vào sự thay đổi của dữ kiện đầu vào là δA và δb hay không, tức là khi dữ kiện đầu vào thay đổi ít thì liệu nghiệm có thay đổi ít không? Dưới đây ta chỉ ra một vài thí dụ, trong đó xảy ra hiện tượng “sai một ly đi một dặm”, cụ thể là sai số nhỏ của dữ kiện dẫn đến sai số lớn của nghiệm.

Ví dụ 1-2.6. Hệ phương trình

⎩⎨⎧

=+=+

1 2.01x x

1 2x x

21

21

có nghiệm là x1= 1, x2 = 0. Hệ với nhiễu nhỏ của vế phải

⎩⎨⎧

=+=+

1.01 2.01x x

1 2x x

21

21

lại có nghiệm là x1= -19, x2 = 10, rất khác so với nghiệm của hệ đã cho.


⎩⎨⎧

=+=+

3 x x

3 x 1.0001x

21

21

có nghiệm là x1= 0, x2 = 3. Trong khi đó hệ với nhiễu nhỏ của ma trận A

⎩⎨⎧

=+=+

3 1.0001x x

3 x x

21

21

có nghiệm là x1= 3, x2 = 0, rất khác so với nghiệm của hệ đã cho.


⎩⎨⎧

=+=+

2.01 1.01x 2x

2 x 2x

21

21

62


có nghiệm là x1= 0.5, x2 = 1. Nhưng hệ phương trình trên với sự thay đổi ít của ma trận A và vế phải

⎩⎨⎧

=+=+

2.05 x 2.01x

2 x 2x

21

21

lại có nghiệm là x1= 5, x2 = -8, khác xa so với nghiệm của hệ gốc đã cho.

Trong những thí dụ trên ta nói rằng hệ phương trình có nghiệm không ổn định.

3. Tính gần đúng giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận

3.1. Giới thiệu Định nghĩa 1-3.1: Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Số λ gọi là giá trị riêng của A nếu phương trình

Ax = λx, x ∈ Rn (1-3.1)

có nghiệm x = (x1, x2, …, xn) khác (0, 0, …., 0). Vectơ x ≠ 0 này được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ.

Chú ý trong cách viết Ax, x luôn hiểu là vecto cột.

Ví dụ 1-3.1.

Cho . Ta thấy ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=18

03A ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡21

363

21

1803

21

A

Vậy với x = (1, 2) thì Ax = 3x

Do đó giá trị riêng của A là 3 ứng với vectơ riêng là (1, 2) ∈ R2.

Để tìm giá trị riêng của ma trận vuông A cấp n, ta viết Ax = λx thành Ax = λEx, x ∈ Rn, trong đó E là ma trận đơn vị cấp n. Do đó ta có

(A - λE)x = 0 (2-3.1)

Đây là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Muốn cho λ là giá trị riêng của A và hệ trên có nghĩa x ≠ 0 thì điều kiện cần và đủ là

det (A-λE) = 0 (3-3.1)

Đó là phương trình để xác định giá trị riêng của A.

Định nghĩa 2-3.1. Phương trình (3-3.1) được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận vuông A.

Ví dụ 2-3.1. Hãy tìm các giá trị riêng của ma trận

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=0123

A

Giải: Ta có

63


A- λI = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− λ

λλ

123

1001

0123

Vậy phương trình đặc trưng của A là

det (A - λI) = λ

λ−−

−1

23= λ2 - 3λ + 2 = 0

Suy ra λ = 1 và λ = 2 là các giá trị riêng của A.

Để tránh việc khai triển định thức đòi hỏi số phép tính lớn, khi tìm giá trị riêng λ ta có thể áp dụng phương pháp Đa-nhi-lep-ski. Trong phương pháp này, ta chỉ cần tìm ma trận B sao cho B đồng dạng với ma trận A và B có dạng là ma trận Phơ-rê-be-mit.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

01...00.......00...1000...01

... 121 nn pppp

P (4-3.1)

Khi đó giá trị riêng của A cũng là giá trị riêng của B.

3.2. Ma trận đồng dạng Định nghĩa 1-3.2. Ma trận B gọi là ma trận đồng dạng với ma trận A, kí hiệu là B ~ A, nếu tồn tại ma trận không suy biến M (tức det M ≠ 0) sao cho B = M-1AM.

Tính chất:

A ~ B B ~ A

A ~ B, B ~ C A ~ C

A ~ B Giá trị riêng λ của A và B trùng nhau.

3.3. Tìm giá trị riêng bằng phương pháp Đa-nhi-lép-ski a) Mô tả phương pháp tìm giá trị riêng

Mục tiêu cần đạt được là đưa ma trận A về dạng ma trận Phơ-rê-be-mit.

Thực hiện n - 1 lần biến đổi:

• Lần biến đổi 1: Tìm M-1, M sao cho A1 = M1 A M ~ A và dòng thứ n của A1 có dạng là 0 0 0 ... 1 0. Tính M-1 và M có dạng như sau:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

1000...

......0...100...01

,2,1,

1

nnnn aaaM (1-3.3)

Hàng thứ n-1 của M-1 bằng hàng thứ n của A, nói cách khác ta có: jnjn AM ,1

,1 =−−

64


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

−−−−

10...00

1...

.......00...1000...01

1,

,

1,1,

2,

1,

1,

nn

nn

nnnn

n

nn

n

aa

aaa

aaM (2-3.3)

Gọi phần tử biến đổi của ma trận A ứng với lần thứ nhất là phần tử ở hàng n và cột n - 1. Hàng thứ n-1 của M bằng hàng thứ n của A chia cho phần tử biến đổi và thương mang dấu âm. Riêng phần tử trong M ở vị trí tương ứng với phần tử biến đổi của A thì mang dấu dương và bằng 1 chia cho phần tử biến đổi. Nói cách khác ta có:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−≠−

−=

=

−

−−

1

11

1,

,

1,,1

njifaa

njifa

M

nn

jn

nnjn (3-3.3)

A1 = M-1 A M ~ A (4-3.3)

• Lần biến đổi 2 tương tự: Chọn M-1, M sao cho A2 = M-1 A1 M ~ A1 và dòng thứ

n -1 của A2 có dạng 0 0 0 ... 1 0 0. Phần tử biến đổi của A ứng với lần thứ hai ở trên hàng n - 1và cột n - 2.

Tại lần này:

- Hàng thứ n - 2 của M-1 sẽ bằng hàng thứ n - 1 của ma trận A.

- Hàng thứ n - 2 của M bằng hàng thứ n -1 của A chia cho phần tử biến đổi và thương mang dấu âm. Riêng phần tử trong M ở vị trí tương ứng với phần tử biến đổi của A thì mang dấu dương và bằng 1 chia cho phần tử biến đổi.

Ta thu được A2 ~ A1, A1 ~ A A2 ~ A.

• ...

• Lần biến đổi thứ n - 1 ta nhận được ma trận An-1 ~ A và có dạng ma trận Phơ-rê-be-mit P.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

01...00.......00...1000...01

... 121 nn pppp

P

Khi đó giá trị định thức của P - λE là

det (P - λE) = (-1)n (λn - p1λn-1 - … - pn-1λ - pn)

det (P - λE) = 0 ⇔ λn - p1λn-1 - … - pn-1λ - pn = 0.

Giải phương trình trên ta suy ra được các giá trị riêng λ. Chú ý rằng P = M-1AM.

Ví dụ 1-3.3. Tìm giá trị riêng của ma trận

65


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

20131012

1A , n = 3

Ta tìm ma trận Phơ-rê-be-mit:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

010001

321 pppP

Lần 1, chọn

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

010210001

1M , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=100210

001

10012

11

10

001M

Trong đó : dòng 2 của M-1 là dòng 3 của A. Dòng 2 của M bằng dòng 3 của A chia cho phần tử cột 2 lấy dấu âm, trừ vị trí ở chính cột 2 thì bằng 1 chia cho nó.

A1 = M-1 A M = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

01055212

1

Lần 2, chọn

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=−

100010551

1M , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

=100010551

10001015

15

11

M

Trong đó : dòng 1 của M-1 là dòng 2 của A. Dòng 2 của M bằng dòng 2 của A chia cho phần tử cột 1 lấy dấu âm, trừ vị trí ở chính cột 1 thì bằng 1 chia cho nó.

A2 = M-1 A M = P=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

0100018147

Vậy giá trị riêng là nghiệm của phương trình λ3 - 7λ2 + 14λ - 8 = 0

⇔ (λ - 2)(λ - 1)(λ - 4) = 0 ⇔ λ = 2; λ = 1; λ = 4.

b) Thuật toán Đan-nhi-lep-ski tìm giá trị riêng

Input: n, ma trận A= (ai,j) (i,j = 1, 2, ..., n)

Output: Các giá trị riêng của ma trận A = (ai,j)

Algorithm:

1. Nhập a, ai,j (i,j = 1, 2, ..., n)

66


2. Định nghĩa hàm nhân 2 ma trận vuông cấp n: Nhân(input: X, Y, output: Z)

3. Lặp k = n - 1 1 (phần tử biến đổi là ak+1,k)

/* Tính hai ma trận M và M1 (M1 là nghịch đảo của ma trận M*/

for i = 1 n

for j = 1 n

if i ≠ k

if (i = j) {M[i, j] = 1; M1[i, j] = 1}

else {M[i,j] = 0; M1[i,j] = 0}

else {M1[i,j] = a[k+1, j];

if (j = k) M[i,j] = 1/a[k+1, k];

else M[i,j] = - a[k+1, j]/a[k+1, k]}

/* Gọi hàm nhân 2 lần */

Lần 1: Nhân(input A, M, output: B)

Lần 2: Nhân(input: M1, B; output: A)

4. Xuất ai,j (i,j = 1 n)

3.4. Tìm vectơ riêng bằng phương pháp Đan-nhi-lep-ski a) Mô tả phương pháp

Gọi y là vectơ riêng của ma trận P ~ A

Ta có (P - λE)y = 0

Py = λEy

M-1.A.M.y = λ.E.y

Nhân hai vế với M:

M.M-1.A.M.y = M..λ.E.y

A.M.y = λ.E.M.y

Đặt vectơ x = My: (1-3.4)

Ax = λEx

Vậy x là vectơ riêng của A Tính x theo công thức (9-3.3) trong đó M và Y xác định bởi các công thức sau:

, 1211

112

11 ...... −

−−−

−−= nnn MMAMMMMP

Mi và Mi-1 là ma trận M và M-1 xác định ở lần biến đổi thứ i

và M = M1M2…Mn-1 (2-3.4)

Xác định vectơ y nhờ phương trình

(P - λE)y = 0

67


hay

0...

1...00.......00...1

...

2

1121

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

−

n

nn

y

yypppp

P

λ

λλ

hay

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=−=++++−

−

−−

0...

00...)(

1

21

112211

nn

nnnn

yy

yyypypypyp

λ

λλ

cho yn =1 yn-1 = λ.

yn-2 = λyn-1= λ2, ..., y1 = λn-1

Vậy

y = (λn-1, λn-1, ..., λ, 1) (3.3.4)

Ví dụ 1-3.4. Tìm vectơ riêng của A

A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

210131012

Gọi y là vectơ riêng của ma trận Phơ-rê-be-mit P ~ A. Ở ví dụ 3.18 ta đã tìm được 3 giá trị riêng, nên ta có

λ1 = 2 y1 = (4, 2, 1)

λ2 = 1 y2 = (1, 1, 1)

λ3 = 3 y3 = (16, 4, 1)

Tìm M :

M = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

100210

551

100010551

010210

001

21 MM

x = M y. Ứng với 3 giá trị riêng, ta có 3 vectơ riêng

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

101

124

100210

5511x

68


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

11

1

111

100210

5512x

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

121

14

16

100210

5513x

Vậy các vectơ riêng của A là x1 = (-1, 0, 1) ; x2 = (1, -1 , 1) và x3 = (1, 2, 1)

b) Thuật toán tìm vectơ riêng

Ta bổ sung vào thuật toán tìm giá trị riêng ở hai chỗ : phần khởi tạo và trong vòng lặp k

1. Khởi tạo B1 = E

2. Lặp k = n - 1 1

/* Tính 2 ma trận M, M1 như thuật toán tìm giá trị riêng*/

/* Gọi hàm nhân 3 lần */

Lần 1: Nhân(input: A, M; output B)

Lần 2: Nhân(input: B1, M; output: A)

Lần 3: Nhân(input: B1, M; output: B)

/* Gán lại ma trận B1 = B */

3. Xuất ai,j và bi,j

BÀI TẬP 1. Giải các hệ phương trình Ax = b sau đây bằng phương pháp khử Gauss. So sánh với nghiệm đúng x*

a) , . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

6411

'10 2 3-1- 3 1 1 0 5

bA⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

112

*x

b) , . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

32

3'

4 1- 1 1 3 1- 1- 0 2

bA⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

101

*x

c) , *⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

421

'3 1 1 1 3- 1 1- 0 2

bA⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

101

x .

69


d) . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

101

*,242

'3 1- 1 2- 5 2 0 1- 2

xbA

e) .

f) ⎜⎜

⎝

⎛

=

0111

*,

161

4

'

1 1- 1 1 1

1- 1 2 2 1 1- 0 3

xbA .

3. Cho hệ phương trình ới

⎡ 0 1- 2 ⎞⎜⎛−1

ng pháp lặp giải hệ trên và biện luận sự hội tụ của nó.

6. Sau các phép biến đổi thích hợp hãy sử dụng phương pháp lặp Gauss-Seidel giải hệ phương ố 10-3

1 2 3 4

3 9 10

5 6

2 9.

x x x x

x x x x

x x x x

+ + + =

+ + + =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

202

*,444

'3 1- 1

1 3 1-1 1- 3

xbA

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜ 0 5- 2

bAx = v

⎥⎦⎢⎣ 2 1- 0 ⎟⎠

⎜⎝−3

⎥⎥

⎢⎢= 1- 2 1-A , ⎟⎜= 5 b .

⎤⎟

Tìm nghiệm của hệ bằng phương pháp khử Gauss.

Hãy đề xuất một phươ

trình sau với sai s

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 42 7 3 2 15x x x x+ + + =

4 + + + =

y và lý giải vì sao

3 4

10

2 6

2 9.

x x

x x x

x x

− =

− + − =

− + =

10. Dùng phương pháp đồ thị giải hệ phương trình sau

1

7. Có thể áp dụng phương pháp lặp gì để giải hệ sau đâ

2 3 42 10x x x− + − =

1 2

1 2 3

2 22 1.01 2.0

x yx y+ =+ =

1 20.5, 1.x x= = Giải thích vì sao nghiệm thu được có thể sai khác rất lớn so với nghiệm đúng là

70


Chương 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

1. Tính gần đúng đạo hàm

Giả sử là hàm trơn trên đoạn ],b và )(xf [a ,, n trong ó ,/)( nabh −= là các

điểm mốc cách đều nhau. Cho gía trị của hàm tại cá

0, iihaxi =+= đ

c điểm lưới trên: ),0()( nixf ii == . Khi

đó có thể tính gần đúng đạo hàm cấp một của hàm tại các điểm lưới nhờ các công thức đạo hà

y

m sai phân sau.

tại điểm biên y’(x0) 1.1. Đạo hàm cấp 1

- Đạo hàm sai phân tiến: thường để tính gần đúng đạo hàm

)1,0(1, −=

∆=

−= + ni

yyyy iii

ix (1-1.1) hh

- Đạo hàm sai phân lùi: thường để tính gần đúng đạo hàm tại điểm biên y’(xn)

),1(1,

niyyy

y iiiix

=∇

=−

= − (2-1.1) hh

tại các điểm trong - Đạo hàm sai phân trung tâm: thường để tính gần đúng đạo hàm

21

211

,=

−= −+

hyyy ii

ixο

Sai số củ

)1,1()( ,, −=+ niyy ixix (3-1.1.)

a các đạo hàm sai phân trên được đánh giá như sau:

)()(', hOxfy iix =− , (4-1.1)

)()(', iix

hOxfy =− , (5-1.1)

)()(' 20 hOxfy i =− . (6-1.1)

,ix

1.2. Đạo hàm cấp hai

có thể dùng công thức đạo hàm sai phân

sau

xĐể tính đạo hàm cấp hai của hàm )(xf tại các nút i

211

,

2 yyy +− )1,1( −= nih

y iiiixx

−+= (7-1.2)

Sai số của công thức trên được ước lượng như sau

)()('' 2,

hOxfy iixx=− (8-1.2)

Ước lượng trên được chứng minh nhờ khai triển Taylor đến thành phần chứa đạo hàm cấp 4 với giả thiết ].,[)( )4( baCxf ∈

71


Để xây dựng các công thức tính đạo hàm với sai số cấp 2 tức là có ước lượ tại các

tính đạo hàm cấp cao hơn ta sẽ sử dụng công cụ nội suy hàm số.

2.1. Giới thiệu bài toán Cho là hàm số liên tục trên đoạn . Cần tính

(1-2.1)

ằng n công

oặc ta không tìm được nguyên hàm của chúng. Trong những trường hợp ấy

ản của các phương pháp tính gần đúng tích phân là chia nhỏ khoảng tích phân àm số bởi một đa thức. Với các đa thức ta có

hàm của chúng, do đó có thể áp dụng công thức Newton- Leibnitz tính tích phân trên mỗi đoạn con. Tích phân trên toàn đoạn sẽ là tổng các tích phân trên từng

2.2. Công thức lập công thức

Chia đoạ

ng )( 2hO

điểm mút 0x và n , cũng nhưx

2. Tính gần đúng tích phân

)(xf ],[ ba

dxxfIb

)(∫= a

Trong giáo trình giải tích toán học ta biết r ếu )(xf có nguyên hàm là hàm )(xF thì có thể tính tích phân trên một cách đơn giản nhờ thức Newton- Leibnitz

).()()( aFbFdxxfb

−=∫ (2-2.1) a

Tuy nhiên trong thực tế ta gặp các hàm )(xf mà nguyên hàm của nó không thể biểu diễn bằng các hàm số sơ cấp hcông thức (2-2.1) không có tác dụng. Vì thế người ta phải tìm cách tính gần đúng tích phân xác định.

Tính gần đúng tích phân còn có ý nghĩa khi hàm )(xf không cho ở dạng biểu thức toán học mà cho dưới dạng bảng số.

Ý tưởng cơ b ],[ ba thành các đoạn con và trên mỗi khoảng con xấp xỉ hthể tìm được các nguyên

],[ bakhoảng con.

hình chữ nhật trung tâm a) Thiết

n ],[ ba thành n đoạn con )1,0(],[ 1 −=+ nixx ii bởi các điểm ),0(, niihaxi =+= với

Ký hiệu .n )(21

12/1 ++ += iii xxx/)( abh −= là điểm giữa của mỗi đoạn con.

Ta có

∑−

=

+

∫

ấp xỉ

=∫1

0)()(

1n

i

x

x

b

adxxfdxxf

i

i

(1-2.2.)

Ta x

hxfdxxf i

x

x

i

i

)()( 1

1

+≈∫+

(2-2.2) 2/

72


Về mặt hình h c, điề đó có hình ang c ng giớ i đường cong trên ấp xỉ bởi hình chữ nhật trung tâm với đường cao bằng giá trị của hàm

Từ (1-2.2) và (2-2.2) suy ra công th định trên đoạn [a = x0, xn

)(xfy =ọ u nghĩa là th o i hạn bở)(xf đoạn ],[ 1+ii xx được x

tại điểm giữa 2/1+ix .

ức hình chữ nhật trung tâm tính gần đúng tích phân xác = b]:

∑−

+≈1

=

)(n

CN hxf (3-2.2)

Người ta đã chứng minh được ước lượng sai số địa phương là:

I0

2/1i

i

b) Đánh giá sai số:

.24

32 hMe ≤ (4-2.2) i

trong đó:

ma2M = .)(''x xf (5-2.2)

Từ đó suy ra ước lượng của sai số toàn phần của công thức hình chữ nhật trung tâm là

bxa ≤≤

22 )h(24

abM

E −≤ (6-2.2)

c) Thí dụ

Tính gần đúng tích phân ∫ +=

1

0 1 xdxI bằng công thức h nhật trung tâm với số đoạn chia n

=5 và đánh giá sai số.

Giải. Với h = 0.2 ta lập bảng giá trị

i+1/2 yi+1/2

ình chữ

i+1/2 x

0 0.1000 0.9091

1 0.3000 0.7692

2 0.5000 0.6667

3 0.7000 0.5882

4 0.9000 0.5263

Σ=3.4595

Theo công thức (3-2.2)

∑ +=4

2/1ihcn yhI =0.2* 3.459=

5 = 0.6919. 0i

Bây giờ ta ước lượng sai số của giá trị tính được. Ta có

73


32 )1(2)('',

)1(1)('

xxf

xxf

+=

+−= .

Do đó )(''max102 2==≤≤

xfMx

. Theo công thức (6-2.2) ta có ước lượng sai số

.0033.0)2.0(242|| 2 =≤E Vậy I = 0.6919 ± 0.0033 = (0.6886, 0.6952) trong khi giá trị đúng của

tích phân là I = ln 2 = 0.6931.

2.3. Công t c h h ngập công thức

Ta thay h h sau đây:

hứ ìn tha a) Thiết l

ình thang cong bởi hình thang thẳng như trong hìn

Khi đó

( ) ,21)( 1

1

hyydxxf ii

x

x

i

i++≈∫

+

gọn ta đã ký hiệu

(1-2.3)

trong đó để viết cho )( ii xfy = . Do đó

( )∑−

=

∫= (a

xfI

xác định là

++≈0

1 .2

)i

ii yydx 1nb h

Vậy ta có công thức hình thang tính gần đúng tích phân

⎟⎞

⎜⎛≈ yhI (2-2.3)

⎠⎝+++

+−11

0 ...2 n

nht yyy

ạng Có thể viết (2-2.3) trong d

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−≈= ∑

= 20 n

n

ihtyyyhI (2’-2.3)

0i

hoặc

( )nht yyyn

I ++++≈ −110 2...22

nyab − (3-2.3)

x0 x1 xi xi+1 xn

yi yi+1

74


b) Đánh giá sai số

Người ta đã chứng min c ước l a sai số địa là h đượ ượng củ phương

.12

32 hM

ei ≤ (4-2.3)

Do đó sai số toàn phần của công thức hình thang sẽ là

.)(2

122hab

ME −≤ (5-2.3)

Trong đó

)("max0

2 xfMnxxx ≤≤

=

c) Ví dụ


1

0 1 xdxI bằng công thức hình thang với số đoạn chia n =10 và đánh

giá sai số.

ị

yi

Giải. Ta có h = 0.1 và bảng giá tr

i xi

0 0.0000 1.0000

1 0.1000 0.9091

2 0.2000 0.8333

3 0.3000 0.7692

4 0.4000 0.7143

5 0.5000 0.6667

6 0.6000 0.6250

7 0.7000 0.5882

8 0.8000 0.5556

9 0.9000 0.5263

10 1.0000 0.5000

Σ=7.6877

Theo công thức (2’-2.3)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−≈ ∑

= 2100

10

0

yyyhIi

iht = 0.1 * (7.6877 – 1.5000/2 ) = 0.6938.

Bây giờ ta ước lượng sai số của giá trị tính được. Ta có

32 )1(2)('',

)1(1)('

xxf

xxf

+=

+−= .

75


2 mM =0 1

ax ''( ) 2.x

f x≤ ≤

= . Theo công thức (5-2.3) ta có ước lượng sai số Do đó

.0017.0)1.0(12

|| 2 =≤E 2

± 0.0017 trong khi giá tr 6931.

a) Thiết l

Vậy I = 0.6938 ị đúng của tích phân là I = ln 2 = 0.

2.4. Công thức Simpson (hay công thức Parabol) ập công thức

Cũng như ở trên ta chia ],[ ba thành n đoạn con bằng nhau bởi các điểm ihaxi += với

nabh /)( −= và ký hiệu 2/1+ix là điểm giữa của đoạn con . Trên m ẽ

],[ 1+ii xx ỗi đoạn con ta s

xấp xỉ hàm )(xfy = bởi đa thức nội suy bậc hai tại các điểm ix , 2/1+ix , +ix 1

).)((2−+

))((4))((2))((

))((

12/1212/12

2/111

2/11

++++

+++

++

−−−−−=

−−−−

+

))())((

))(())(()()(

12/12/1

12/1

12/1

12/12

+++

++

++

++

−

−−(

2/112 ++

−−+

−−−−

=≈iiii

iii

iiii

iiii

xy

xxxy

xxxxxxxxyxLxf

Đặt

2

1

dxxLdx i

x

x

x

x

i+

∫≈

Kết quả tính tích phân ở vế phải cho ta

xxxxx

iiiiii

iiii

iii

xxxxyh

xxxxyh

xxxxxxxxy

iiihxxx

)(1

xfI i

i+

∫= .)(ii

( )12/146 ++ ++≈ iiii yyyhI

Khi đó ta có công thức Simson tính gần đúng tích phân xác định:

( )12/1

1

4 ++

−

++≈∑ iii

n

sim yyyhI (1-2.4) 0 6=i

Công thức (1-2.4) còn gọi là công thức parabol vì nó nhận được nhbởi parabol qua 3 điểm (x , y ), (x , y ), (x , y ).

ờ thay đường cong y = f(x) i i i+1/2 i+1/2 i+1 i+1

ết lại công thức (1-2.3) trong dạng thuận tiện cho tính toán như sau Có thể vi

∑∑⎜⎛ −≈nn

yhyyhI (2-2.4) =

+=

+⎟⎠

⎞

⎝

+

ii

i

nisim

y0

2/10

0

32

23

ần 2i 2i+2 ỉ hàm f(x) bởi bởi

parabol qua 3 điểm i, yi), (xi+1 ), (xi+2, yi+ Khi đó công t pson có dạng:

Nhận xét 1. Để tránh dùng chỉ số không nguyên người ta thường chia đoạn [a, b] thành 2n phbằng nhau với độ rộng h = (b - a)/(2n) và trên mỗi đoạn kép [x , x ] xấp x

(x , yi+1 2). hức Sim

76


nnn y22 4+−sim yyynabI 2121 2...4

6+++

−= − (3-2.4)

Nhận xét 2.Từ các công thứ ), (3-2.3 ra được:

. 4-2.4)

b) Đánh giá sai s

Người ta đã chứng t c rằ sách Bak alov [5] tra .

y22 ++y0(

c (3-2.2 ) và (2-2.4) suy

3/)2( cnhtsim III += (

ố

ỏ đượ ng (xem hv ng 101)

( )2880

4yii + +6

5

2/1

1 hyyhfe i

x

xi

i

i

+∫= +

+

(5-2.4)

trong đó

)( dxx − 41

M≤

.)(max )4(4 xfM

bxa ≤≤= (6-2.4)

Từ công thức trên ta nhận được nh giá s hần c c Simpson

đá ai số toàn p ủa công thứ

.2880

)(4 bM − 4haIIE sim ≤−= (7-2.4)

Từ đây ta thấy rằng công thức Simpson đúng cho mọi đa thức bậc 3.

c) Ví dụ


0 1 xI bằng công thức Simp

1 dx son với số đoạn chia n =5 và đánh giá

sai số.

Giải. Ta có h = 0.2. Lập bảng giá trị của hàm tại các điểm nút và điểm giữa

xi yi yii

0 0.0000 1.0000

1/2 0.1000 0.9091

1 0.2000 0.8333

1+1/2 0.3000 0.7692

2 0.4000 0.7143

2+1/2 0.5000 0.6667

3 0.6000 0.6250

3+1/2 0.7000 0.5882

4 0.8000 0.5556

4+1/2 0.9000 0.5263

5 1.0000 0.5000

S1=3.4595 S2=4.2282

77


Theo c ông thức (2-2.4) ta có

∑∑=

+=⎝ 0 23 i

i +⎟⎠

⎞⎜ −=

4

02/1

5

32

iisim yhy

yI

= 0.2 * (4.2282 – 0.75) / 3 + 2 * 0.2 * 3.4595 / 3 = 0.69314667

trong khi giá t n là I = ln 2 =0.69314718. Như vậy, sai số thực sự của Isim là 0.0000

Bây giờ ta ược theo công thức (7-2.4). Ta có

⎛ +50yh

rị đúng của tích phâ0051.

lượng sai số

5)4(

)1(24)(,1

)1( x+)(

xxfxf

+== .

Do đó 24.)(max )4( == xfM104 ≤≤x

và ta có đánh giá

42.02880

)01(24×

−×≤−= simIIE = 0.00001333.

Kết quả tính toán và ước lượng trên cho thấy công thức Simpson có độ chính xác rất cao (so sánh với kết quả tính bằng công thức hình thang ở tiểu mục trước!).

2.5. Các thuật toán “hcn, ht, sim” tính gần đúng tích phân xác định Input: a, b, n, hàm trên đoạn

Output: Ihcn, Iht, Isim là các giá trị gần đúng của tích phân tương ứng bởi các

công thức hình chữ nhật trung tâm, hình thang, và Simpson.

Algorithm:

1. Khởi tạo

h=(b-a)/n;

x1=a+h/2; x2=a;

Icn=f(x1); Iht=f(x2);

2. Lặp for i=1 n-1

2.1. x1=x1+h;

2.2. x2=x2=h;

2.3. Icn=Icn+f(x1);

2.4. Iht=Iht+f(x2);

3. Gán

Icn=h*Icn;

Iht=h*Iht;

Isim=(Iht+2*Icn)/3;

4. return Icn, Iht, Isim

)(xf ],[ ba

dxxfIb

a)(∫=

78


Chương 6 BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

1. Giới thiệu bài toán tối ưu tổng quát

1.1. Ví dụ mở đầu a) Phát biểu bài toán

. Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm A và B

. Sử dụng ba loại nguyên liệu I, II, và II.

. Chi phí nguyên liệu (số lượng nguyên liệu) để sản xuất ra hai sản phẩm A và B cho trong bảng sau:

Sản phẩm

Nguyên liệu

A B

I 2 1

II 1 2

III 0 1

. Công ty dự trữ ba loại nguyên liệu I, II, III với số lượng tương ứng là 8, 7, 3.

. Tiền lãi của một đơn vị sản phẩm A là 4 triệu đồng; của một đơn vị sản phầm B là 5 triệu đồng

Yêu cầu: Lập kế hoạch sản xuất (sản xuất bào nhiêu mỗi loại sản phẩm) để tiền lãi thu về nhiều nhất với hạn chế về nguyên liệu đã cho.

b) Mô hình toán học của bài toán

Xét vectơ cột x = (x1, x2)t, trong đó x1 và x2 lần lượt là số lượng sản phẩm A và B tương ứng cần sản xuất. Theo bài toán ta có mô hình:

f(x) = 4x1 + 5x2 max

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=≥≤≤+≤+

21037282

2

21

21

,j,xx

xxxx

j

Bài toán trên được xem là thuộc dạng bài toán qui hoạch tuyến tính vì các hàm g1(x) = 2x1 + x2, g2(x) = x1 + 2x2, g3(x) = x2 là các hàm tuyến tính.

1.2. Mô hình bài toán tối ưu tổng quát Bài toán tối ưu tổng quát P có dạng: Tìm phương án x = (x1, x2, ..., xn)t ∈ X ⊂ Rn để cực đại hóa hàm f(x) sau đây:

∑n

xcx max)( (=

→=j

jjf1

1-1.2)

79


⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=≥

−==≥≤=∑=

)2.13(,1,0

)2.12(,1,),,()(1

,

njx

mibxaxgD

j

n

jijjii

Trong đó: D = {x = (x1,..., xn)t ∈ X ⊂ Rn : gi(x) (≤,≥,=) bi với m,1= ; xi ≥ 0; j n,1= } được gọi là tập các phương án chấp nhận được, chú ý rằng x là vectơ cột. Hàm f(x) được gọi là hàm mục tiêu. Vectơ dòng c = (c

j

∈ D.

1, c2, ..., cn) là các hệ số của hàm mục tiêu. Ma trận A = (ai,j)i=1,..,m; j=1, ..., n là ma trận gồm m ràng buộc đối với phương án x. Phương phán x* ∈ D được gọi là phương án tối ưu (tức là nghiệm của bài toán) nếu f(x*) ≥ f(x) với ∀ x

Chú ý: Bài toán tìm min của hàm mục tiêu có thể chuyển thành bài toán tìm max bằng cách thay các hệ số của hàm mục tiêu là -cj.

1.3. Dạng chuẩn tắc và dạng chính tắc Bài toán QHTT tổng quát có hai dạng chuẩn tắc và chính tắc được định nghĩa như sau:

Dạng chuẩn tắc Dạng chính tắc

∑=

→=n

jjj xcxf

1max)(

⎪

∑=

→=n

jjj xcxf

1max)(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≥

===∑=

njx

mibxaxgD

j

n

jijjii

,1,0

,1,)(1

,

⎩ =≥ njx j ,1,0

⎪⎨

⎧=≤= ∑

=

mibxaxgD

n

jijjii ,1,)(

1,

Hoặc v như sau

f(x) = <c, x> max

≤0bAx

f(x) = <c, x> max

= bAx

jjj

1

Các bà ép biến đổi sau đây :

(1) Một rạng buộc ≥ đưa đ\ực về ràng buộc ≤ nhờ việc nhân hai vế với -1

jiji

jiji

jiji

1,

1,,

n

jiji

n

jiji

iji

ba

baba

1,

1,

,

iết dưới dạng ma trận

⎩ ≥x ⎩ ≥ 0x⎨⎧

⎨⎧

trong đó A = (ai,j)m × n; <C, x> = ∑n

xc ; x = (x1, x2, ..., xn)t; b = (b1, b2, ..., bn)t. =

i toán QHTT có thể qui về dạng chuẩn tắc và dạng chính tắc nhờ các ph

∑∑∑ ≤⇔−≤−⇔≥nnn

bababa '' ===1

(2) Ràng buộc = tương đương với hai ràng buộc ≤ và ≥

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤

≥⇔=

∑

∑∑

=

=n

=j 1

80


(3) Đưa ràng buộc ≤ và ≥ về ràng buộc = nhờ việc thêm biến phụ

(i) j

iijii byaba1

,

jiiji

jiji bya

1,

1,

(4) Một biến xj không phụ thuộc dấu có thể thay bằng hai biến phụ thuộc dấu

xj = xj+ - xj

- với xj+ và xj

- > 0

Ví dụ 1-1.3 Xét bài toán

⎨

⎧

=−+ 22

732

32

321

xx

xxx

Thêm biến phụ x ≥ 0, x ≥ 0 và thay biến x3 không phụ thuộc dấu bởi hai biến phụ thuộc dấu: x3 bài toán mới tương đương là một bài toán dạng chính tắc:

3 4 5

⎪⎪⎨

⎧

=−−+=−−−−=+−++

−+

−+

−+

2)(9)(237)(32

321

5321

4321

3

3

3

xxxxxxxxxxxxx

Định nghĩa 1-2.1. Tổ hợp lồi : Cho m điểm x1, x2, …, xm trong không gian Rm. Điểm x gọi là tổ hợp lồi của các iểm x =

∑∑==j

ji1

, =−⇔≥nn

(ii) ∑∑ ⇔≤nn

ba==

=+

f(x) = x1 + 4x2 -3x3 max

≤++

⎪⎪ ≥−− 9234

321

xxx

1x⎪⎪⎩ =≥ 2,1,0 jx j

4 5

= x3+ - x3

- với x3+, x3

- > 0 ta được

f(x) = x1 + 4x2 -3(x3+ - x -) + 0.x + 0.x max

42x

⎪⎪⎩ =≥ 3,2,1,0 jx j

2. Đặc điểm của tập các phương án của bài toán QHTT

2.1. Tập lồi và đa diện lồi

i, i m,1 nđ ếu

∑m

=ii

mm xxxxx 2

11 ... αααα

với

=+++= 2 i 1

mi ,1,0 =≥ và 1=∑ iα iα

n

Ví dụ 1-2.1 Trong mặt phẳng R2:

1

Định nghĩa 2-2.1. Đoạn thẳng: Đoạn thẳng đi qua hai điểm A và B ∈ R

=

n

i

n, kí hiệu là dAB, được định nghĩa là một tổ hợp lồi của tập hai điểm A và B, tức là:

dAB = { M ∈ R | M = αA + (1-α)B, 0 ≤ α ≤ 1}

81


Đoạn thẳng dAB gồm các điểm M nằm giữa A và B, tức là:

dAB = { M ∈ R | M = αA + (1-α)B, 0 ≤ α ≤ 1}

Định nghĩa 3-2.1. Tập lồi: Cho S ⊂ Rn. Tập S được gọi là một tập lồi nếu với hai điểm A và B bất kì trong S thì đoạn thẳng d ằm trọn trong S. Nói cách khác, với 2 điểm bất kì x1, x2 ∈ S

các tập lồi.

Định n trong tập lồi S ⊂ Rn. Điểm x* ∈ S được gọi là điể c i dạng tổ hợp lồi thật sự của hai điểm phân

1, …, xm nào đó cho trước.

• Đa diện lồi là một tập lồi.

• Trong diện lồi, nếu ta loại bỏ những điể ể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp lồi của các điểm x1, …, xm còn lại, thì các điểm còn lại đó chính là các điểm cực biên của đa diện lồi. Chúng sinh ra đ iện lồi.

• Tập lồi đa diện là một tập lồi không giới nội

Ví dụ 3-2.1 Trong m 2, các đa giác lồi là các đa đó mọi điểm bên trong đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của các đỉnh đa giác - các điểm cực biên. Nếu một đa

ện.

AB nthì x = αx1 + (1-α)x2 ∈ S với ∀ α ∈ [0, 1].

Ví dụ 2-2.1 Trong mặt phẳng R2, các đa giác lồi là

ghĩa 4-2.1. Điểm cực biên: Xét các điểm xm ực biên nếu x* không thể biểu diễn được dướ

biệt trong S.

Ví dụ 3-2.1 Trong mặt phẳng R2, các đỉnh của các đa giác lồi là các điểm cực biên.

Định nghĩa 5-2.1. Đa diện lồi và tập lồi đa diện

• Đa diện lồi là tập S chứa các điểm là tổ hợp lồi của m điểm x

đa m mà nó có th

a d

ặt phẳng R diện lồi, trong

giác không có cạnh thì phần mặt phẳng tạo bởi đa giác là một tập lồi đa di

x1

x

x2

4

x

3

x

5

y1

y3

y4

y5

y2

Đa diện lồi Tập lồi đa diện

3 8

A BM-∞ +∞

A B

82


2.2. Đặc điểm của tập các phương án của bài toán QHTT Địn lí

Chứx1, x ∈ x = b và Ax = b. Xét mọi điểm x mà x = αx + (1-α)x với α ∈ [0, 1] ta có Ax 1 2 1 2 D. Vậy D là tập lồi.

Nhậ

•

•

Hệ quả 1-1.2:

• Nếu D là một đa diện lồi khác rỗng thì bài toán QHTT chắc chắn có phương án tối ưu.

• Nếu D không giới nội nán tối ưu.

• Nếu D có phương án tố

tối ưu tương đương với việc chọn các điểm cực biên của D (các hác, để tìm phương án tối ưu thì ta chỉ cần tìm trên các phương án ng án D.

a hình học của định lý 1-2.2 qua lời giải “bài toán mở đầu” bằng

≤+ 82 21 xx

Cho đường mức f(x) = 4x1 + 5x2 chuyển động trong miền đa giác (màu xám) là miền thỏa mãn các ràng buộc của bài toán, thì f(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 22 tại điểm

Aj là vectơ cột thứ j của ma trận A khi đó phương trình

h 1-2.2. Tập tất cả các phương án D của bài toán QHTT là một tập lồi.

ng minh. Xét bài toán QHTT chính tắc (chuẩn tắc chứng minh tương tự). Lấy 2 điểm bất kì 2 D. Ta có A 1 2 1 2

= A(αx + (1-α)x ) = αAx + (1-α)Ax = αb + (1-α)b = b, do đó x ∈

n xét: Tập phương án D là tập lồi, có ba khả năng

D = ∅

D là đa diện lồi (tập lồi bị chặn)

• D là tập lồi đa diện (tập lồi không bị chặn)

hưng hàm mục tiêu bị chặn trên D thì cũng chắc chắn có phương

i ưu thì có ít nhất một phương án tối ưu.

• Việc chọn phương án đỉnh của D). Nói cách kcực biên trong tập phươ

Ví dụ 1-2.2. Minh họa ý nghĩphương pháp hình học

f(x) = 4x1 + 5x2 max

⎧

⎪⎪⎩ =≥ 2,1,0

2

jx j

⎪⎨ ≤

≤+3

72 21

xxx

⎪

cực biên là đỉnh M(3, 2) của đa giác.

Bây giờ xét hệ ràng buộc Ax = b, với A = (ai,j)m × n.

Kí hiệu

83


( ) bxx

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

2

1

xn⎟⎠

⎜⎝

AAAbAx n =⎟⎟

⎜⎜⇔=

...,...,, 21

bxAxAxA nn =+++⇔ )...( 221

Ta có 3 tính chất quan trọng sau đây:

Tính chất 1 (Định lý 2-2.2) Nếu hệ {A1, A2, …, An} là độc lập tuyến tính và A1x1 + A2x2 + … + A x = b với x > 0 , ∀ j = k,1 (k k j k ≤ n) thì điểm x = (x , x , …, xk, 0, …., 0) là phương án cực biên

, xn) là phương án cực biên của D thì hệ vectơ

x = (x1, x2, …, xn) ∈ D là phương án cực biên của bài c khi và chỉ khi các vec tơ Aj ứng với các thành phần xj > 0 là một hệ độc lập

ực biên.

Từ các tính ch

3. Th hình giải bài toán QHTT

3.1. Đ thuật toán ủa

ật toán h của D.

Thuật

Bước 1

Bước 2 đã tìm được:

êu rồi quay về Bước 2.

ở bước 1 như th ứu trong mục 4.

(2) Điều kiệ tối ưu của một pacb là .2 ưới đây để kiểm tra một pacb có phải là patu hay không

1 2

của D.

Tính chất 2 (Định lý 3-2.2) Nếu x = (x1, x2, …tương ứng với các thành phần xj > 0 trong biểu diễn A1x1 + A2x2 + … + Anxn = b là độc lập tuyến tính.

Tính chất 3 (Định lý 4-2.2) Phương án toán QHTT chính tắtuyến tính.

Tính chất 3 là điều kiện cần và đủ để một phương án là phương án c

ất trên dẫn đến thuật toán đơn hình giải bài toán QHTT.

uật toán đơn

ường lối chung của Vì bài toán QHTT có phương án tối ưu (patu) thì có ít nhất một phương án cực biên (pacb) cD là patu. Mặt khác, nếu D là đa diện lồi thì phải có hữu hạn đỉnh, do đó tồn tại một thuđể tìm patu là một trong các đỉn

toán chung

: Tìm một pacb (một đỉnh thuộc D).

: Kiểm tra 2 điều kiện sau đây đối với pacb

2.1. Pacb thỏa mãn điều kiện tối ưu, khi đó nó là patu cần tìm (nghiệm của bài toán), kết thúc thuật toán.

2.2. Pacb đang xét đủ để kết luận bài toán không có patu (bài toán vô nghiệm), khi đó cũng kết thúc thuật toán.

Bước 3: Tìm một pacb mới sao cho cải thiện giá trị hàm mục ti

Như vậy có 4 vấn đề nảy sinh:

(1) Tìm pacb ban đầu ế nào? Điều này sẽ được nghiên c

n gì? Điều này dẫn đến Định 1-3 d.

84


(3) Dấu hiệu nào của pacb đang xét để chứng tỏ bài toán không có patu? Điều này dẫn g có lời giải.

o để tìm pacb mới tốt hơn pacb cũ? Điều này dẫn đến Định lí 3-3.2 dưới mục tiêu.

3.2. Các định lý cơ bản của thuật toán đơn hình

b A là các vectơ cột của A, j =

đến Định lí 2-3.2 dưới đây để kiểm tra dấu hiệu bài toán khôn

(4) Bằng cách nàđây để cải thiện hàm

Xét bài toán QHTT dạng chính tắc:

f(x) = <c, x> max

⎧Ax

Trong đó A = (ai,j) m × n

⎩⎨ ≥ 0x

= n,1 j

Giả thiết rank(A) = m

Giả sử x•

n xj0 > 0, tức là

j0 > 0}

hi j j ∈ J0 à độc lập tuyến tính (theo điều kiện cần và đủ để một phương án là pacb).

• ếu |J0| = m thì ta nói rằng pacb x0 là phương án không suy biến, ngược lại ta nói rằng nó là phương án suy biến. Bài toán QHTT mà mọi pacb đều không suy biến gọi là bài toán không

•

0 = (x10, x2

0, ..., xn0) là một pacb.

Kí hiệu J0 là tập các chỉ số ứng với các thành phầ

J0 = {j | x

K đó, hệ vectơ {A } l

N

suy biến.

Ta xét các vectơ cột trong A. Vì rank(A) = m nên nếu |J0| < m thì ta sẽ bổ sung để thu được tập J (chứa J0) sao cho |J| = m. Khi đó hệ vectơ {Aj}j ∈ J là độc lập tuyến tính và hệ này được gọi là (các vectơ) cơ sở của các phương án. Với pacb đang xét, ta gọi các biến xj với j ∈ J là các biến cơ sở, các biến còn lại gọi là các biến phi cơ sở.

Ví dụ 1-3.2.

3x1 - x2 - 2x3 max

⎪⎩ ≥ 4,1,0x j

Nhận xét : x

⎪⎨

⎧

==++=++2

2: 421

321

jxxx

xxxD

n x1 không ng với J = {3, 4 thể bổ sung vào J0 để

được tập J sao cho |J| = 2, ví dụ J = {1, 2}, hoặc J = {2, 3}, hoặc J = {2, 4}, cách nào cũng ử

c biến x3 và x4 là các biến phi cơ sở.

• y :

Vì x0 là pacb nên nó thỏa mãn ràng buộc của bài toán, hay

(1-3.2)

4

1 =(0, 0 , 4, 2) và x2 = (0, 2, 0 , 0)t là các phương án thuộc D. Phương ásuy biến ứ }. Phương án x2 suy biến và J0 = {2}. Ta có

được, nhưng khi đã chọn thì phải cố định. Giả s chọn J = {1, 2} thì các biến x12 và x2

2 là các biến cơ sở, còn cá 2 2

Từ các giả định trên ta có ngay kết quả sau đâ

∑∈

=Jj

jj bAx0

85


Vì hệ vectơ {Aj}j ∈ J là độc lập tuyến tính nên mọi vectơ cột Ak, k = 1,2,…, n đều có thể biểu diễn được thông qua hệ đó dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong hệ :

ràng trong công thức ì xk,k =1 và xj,k 0 vớ j ≠ k. Do đó ta chỉ cần xét Ak với ∀ k ∉ J.

ụ 2-3.2 Xét l trên

14131211 0121

AAAA

aaaaA

⎤⎡=

⎤⎡=

k = 1, A1 = x31A3 + x41A4 hay ⎣⎦⎣

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2441

2331

21

11

aaaa

⎣⎦⎣⎦⎣ 101 4131

42233121

41133111

axaxa

∑ (2-3.2) ∈

=Jj

jkjk AxA ,

Rõ (2-3.2) khi k ∈ J th i ∀

Ví d ại bài toán ở vị 1-3.2 ở

4321

24232221 1011aaaa ⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣ ,

J = {3, 4} và cơ sở {A3, A4} gồm các vectơ đơn vị

⎥⎤

⎢⎡

+⎥⎤

⎢⎡

= 1413 ax

ax ⎥

⎤⎢⎡

+⎥⎤

⎢⎡

=⎥⎤

⎢⎡

⇔011

xx ⎦ ⎦

⎩⎨⎧

+=+= . axaxa

24

14 tổng quát là ∑∈

==Jj

jikjki miaxa ,1,,,, (1)

⎩⎨ == 12141 ax

tổng quát là kikj ax ,,⎧ == 11431 ax

= (2)

Với k = 2 cũng tương tự như t a rút ra được kết luận tổng quát như sau:

hế ta rút được các công thức (1) và (2). Qua ví dụ trên t

Các hệ số xj,k trong (2-3.2) có thể tính được nhờ giải hệ sau :

∑ == jikjki miaxa ,1,,,, (3-3.2) ∈Jj

(4-3.2)

c thành phần tương ứng

ng ∆k quan trọng sau

(5-3.2)

trong đó các hệ số xj,k được xác định trong công thức (2-3.2). Trong công thức (5-3.2) ở trên, tổng Σ chính là giá trị của hàm mục tiêu tại các thành phần cơ sở biểu thị cho Ak. Vậy ∆k biểu thị độ lệch của hàm mục tiêu trong cơ sở m mục tiêu tại thành phần thứ k.

Bổ đề 1-3.2: Giả sử x = (x1, x2, …, xn)t i toán QHTT chính tắc đã cho. Khi đó ta có:

Nếu các vectơ cơ sở là các vectơ đơn vị thì ta có ngay :

kikj ax ,, =

tức là xj,k bằng chính cá của vectơ Ak cần tình.

• Ta cần lập một đại lượ đây :

∑∈

−=∆Jj

kjkjk ccx ,

biểu thị cho Ak với hệ số của hà

là một phương án bất kỳ, tức x ∈ D, của bà

86


(i) −= ∑∉

,,0 (6-3.2)

(ii)

JjxxxxJk

kjkjj ∈

∑∉

∆−=Jk

kkxxfxf )()( 0 (7-3.2)

Chứng minh: (i) x ∈ D ổng:

(b bằng tổng vế phải do 1-3.2)

, thay A được:

kjkjjJj

jj xxAxAx ,0

kjkjJj

jj xxxAx ( ,0

k x

⎠⎝ JkJkJjthay xj bởi vế phải trong (i)

∑=

==n

iii bAxx

1

, tách tổng này thành hai t

∑∑ ∑∈∈ ∉

==+⇔Jj

jjJj Jk

kkjj AxbAxAx 0

∑ ∑∑∈ ∉∈

−=⇔Jj Jk

kkjjJj

jj AxAxAx 0k bởi vế phải trong (2-3.2) ta

∑ ∑ ∑∑∈ ∉ ∈∈

−=⇔Jj Jk Jj

jA

∑ ∑∑∈ ∉∈

−=⇔Jj Jk

jA) , ước lược Aj và tổng theo j ở hai vế ta được:

jxxxxJk

kjkjj ∈−=⇔ ∑∉

,,0 J . Vậy (i) được chứng minh.

(ii) n

jjjj cxcxcxf ∑ ∑ ∑+==)( kj Jj Jk= ∈ ∉1

= ∑∑∑ +⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

− kkkjkjj xcxxxc ,0 , do

∉∉∈

∑∑ ∑∑∉ ∈ ∉∈

+−=Jk Jj Jk

kkkjkjJj

jj xcxxcxc ,0 , do khai triển và thay đổi thứ tự hai tổng

kjkj xccx∑ ∑ kJk Jj∉ ∈

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−, thay biểu thức trong ngoặc bởi ∆k trong (5-3.2) xf −= 0 )(⎠⎝

∑∉

Định lý

∆−=⇔ kk xxfxf )()( 0 . Vậy (ii) được chứng minh. Jk

1-3.2. Tiêu chuẩn tối ưu

Nếu ∆k ≥ 0, ∀k ≤ n thì pacb x0 là patu.

Chứng minh. Theo bổ đề (ii), ∀ x ∈ D ta có

∑∉

∆−= kkxxfxf )()( 0 Jk

trong đ ∈ D, do đó x

Định lý 2-3.2. Dấu hiệu vô nghiệm

Nếu tồn tại k sao cho ∆k < 0 và xj,k ≤ 0 ∀j ∈ J thì bài toán không có patu.

ó xk ≥ 0, ∆k ≥ 0 do đó tổng sau dấu trừ mang dấu dương, suy ra f(x) ≤ f(x0) với ∀ x0 là patu.

87


(xj,k là các hệ số trong biểu thức biểu thị Ak qua cơ sở {Aj}j ∈ J)

Chứng minh. Ta có thể chỉ ra một pacb x1 mà xj1= xj

0 - θxj,k với θ > 0. Vì xj,k ≤ 0 thì xj1 > 0 và

tiêu f(x1) = f(x0) - θ∆k > f(x0) (lớn hơn f(x0) vì θ > 0 và ∆k < 0). Ta thấy f(x1) ∞ khi , do đó bài toán vô nghiệm.

Định lý 3-3.2. Cải thiện hàm mục tiêu

a mãn thì khi đó với ∆s > 0 nào đó, ta tìm

1 0

hàm mụcθ ∞

Nếu định lý (1-3.2) và (2-3.2) không thỏđược một pacb x1 mới nhận xs

1 làm biến cơ sở (mới) và thỏa mãn f(x1) > f(x0), do đó x là pacb tốt hơn pacb x .

Chứng minh. Trong nội dung chứng minh định lý (3-3.2), ta chỉ cần quan tâm đến cách tìm ra pacb x1. Vì thế các nội dung sau đây là quan trọng vì nó được sử dụng lại trong thuật toán đơn

ng.

Ta chọn

oay.

.2) thì phải tồn tại các thành phần xj,s > 0, trong số đó, ta

họn d g j =

hình cần xây dự

}0|min{ <∆∆=∆ (8-3.2) kks

Ta gọi cột As hay (ngắn gọn cột s) là cột x

Khi đó, theo điều kiện của định lý (3-3

c òn r sao cho tỷ số sj

j

xx0

bé nhất, tức là : ,

⎪⎭⎪⎩

,,,

sjsjsr xx

⎪⎬⎫

> 0|0j x

x (9-3.2)

Lưu ý rằng các phần tử xjs là các phần tử ở cột xoay.

Dòng r thu được được gọi là dòng xoay. Phần t xoay s được gọi là phần tử trục (hoặc phần tử xoay).

cách thay cột Ar bằng cột As (Cột xoay s

hần của pacb x1 được xác định như sau:

⎪⎨⎧

= min0rx

tử xr,s là giao của dòng xoay r và cộ

Bây giờ ta chọn cơ sở mới J’ như sau :

J’ = J \ {r} ∪ {s}

Nói cách khác cơ sở mới nhận được từ cơ sở cũ bằng được đưa vào cơ sở mới).

Trong cơ sở J’ mới này, các thành p

⎪⎩

⎪⎨

∈−= )(',. ,

,

bJjxxxx

sjjj

srs

θ (10-3.2)

⎧ 01 xr == )(

01

ax θ

Về thao tác trong công thức (10-3.2) :

- Công thức (a): Lấy biến cơ sở cũ tại d c rồi đặt kết quả là θ vào dòng s mới. Dòng s mới được gọi là dòng chính.

òng xoay r cũ chia cho phần tử trụ

88


- Công thức (b): Lấy biến cơ sở cũ ở dòng j tương ứng trừ đi tích của số θ trên dòng chính nhân

inh được f(x1) > f(x0).

c các thành phần mới của các vectơ Ak biểu diễn qua cơ sở

với phần tử ở cột xoay tương ứng.

Khi đó, người ta chứng m',kjxTrong cơ sở mới này, ta tính đượ

mới {Aj}j ∈ J’ nhờ các biến đổi Gauss-Jordan như sau:

⎪⎨

='x⎩ − )(. ,,,

,,

bxxxx

sjkjk

sr

rks

δ (11-3.2)

Về thao tác trong công thức (11-3.2) :

- Công thức (a): Chia các ph ử ở dòng xoay cho phần tử trục r i đặt vào dòng chính.

- Công thức (b): y phần t cũ tươn ứng trừ đ tích của δ trên dòng chính nhân với phần tử tương g ở dòng xoay.

3.4. Thuật toán đơn hình Bước 1 Tìm pacb ban đầu i cơ s = {Aj1

, A …, Ajm} và bảng đơn hình phần 1.

A , j∈J án A1 A2 … An

⎪⎧

='x =,k δ )(a

j

ần t ồ

Lấ ử g i ứn

: x0 vớ ở J j2, lập

Hệ số

c

Cơ sở Phương c1 c2 … cn

j j

c A … j1,n0x x1j xj1,1 xj1,2j1 j1

0xcj2 Aj2 2j xj2,1 xj2,2 … xj2,n

.

. . .

.

. . . . . .

.

. . .

.

.

.

.

.

. 0

cjm Ajm jmx xjm,1 xjm,2 … xjm,n

f(x0) ∆1 ∆2 … ∆n

- Cột hệ số biểu diễn các hệ số của hàm mục tiêu tương ứng với các vectơ cơ sở (hoặc các biến cơ sở)

- Cột cơ sở ghi tên các vectơ cơ sở

- Cột phương án ghi giá trị tương ứng của các biến cơ 0 sở của phương án x

ưới là các hệ số khai triển xj,k của vectơ cột Ak trong cơ sở {A

- Hàng cuối cùng là giá trị của f(x ) và các giá trị ∆ .

Bước 2: Kiểm tra “Tiêu chuẩn tối ưu” theo định lý 1-3.2. Nếu mọi ∆k ≥ 0 thì x0 là patu, dừng uật toán.

Bước 3: Kiểm tra “Dấu hiệu vô nghiệm” theo định lý 2 0 và xj,k ≤ 0 với ọi j ∈ J thì bài toán không có patu, dừng thuật toán.

- Các cột Aj ghi hệ số của hàm mục tiêu ở hàng trên cùng và bên dj}j ∈ J.

0k

th

-3.2. Nếu tồn tại ∆k <m

89


Bước 4: Nếu hai định lý 1-3.2 và 2-3.2 không thỏa mãn thì xây dựng pacb mới x1 và lập bảng ơn hình phần thứ hai tiếp theo như nội dung chứng minh của định lý 3-3.2. Sau đó quay về

bước 2. Việc xây dựng x1 có thể tóm tắt lại như sau: đ

4.1. Chọn vectơ As để đưa nó vào cơ sở mới, tức là tìm s sao cho

m }0|in{ <∆∆ kk =∆ s (8-3.2)

4.2. Chọn vectơ Ar để đưa nó ra khỏi cơ sở mới, tức là tìm r sao cho

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

>= 0|min ,,

0

,

0

sjsj

j

sr

r xxx

xx (9-3.2) . Cột s: cột xoay

eo các biến đổi Gauss-Jordan sau đây

a) Chia ục), kết quả thu được đặt ở dòng As, gọi là dòng chính. Các thao ực hiệ ức:

(11a-3.2)

4.3. Trong cột hệ số Cj : thay Cr bởi Cs ; Trong cột cơ sở, thay Ar bởi As, như vậy dòng r bây giờ là dòng s, gọi là dòng chính. Và ta có cơ sở mới gồm các vectơ cột

{Aj }, j ∈ J’ = J \ {r} ∪ {s}

4.4. Tình bảng đơn hình phần tiếp theo cho cơ sở mới th

mỗi phần tử dòng xoay cho phần tử trục (được số 1 ở vị trí tr tác này chính là th n các công th

(10a-3.2)

θ== rs

xx0

1 sr ,x

δ==sr ,

krks x

xx ,'

,

b) Lấy mỗi dò g chính nhân với phần tử ở cột xoay tương ứng (được số 0 ở vị ả được đặt ở dòng mới tương ứng.

Dòng mới = Dòng cũ - Dòng chính * phần tử trên cột xoay

Thực chất các thao tác trên là thực hiện các công thức :

(10b-3.2) (11b-3.2) 1x sjjj = ,,,

4. cùng các ới

∆k (mớ ) - Dòng chính *

Ví d -3.4. Giải bài toán tối ư au bằng th t toán đơn hình:

f(x) = 21 - x2 + 4 m

⎧==+

4,3,2,1108

4

3xxx

: phần tử thuộc cột xoay.

. Dòng r: dòng xoay

. xr,s : phần tử trục

. xjr

ng khác (cũ) trừ đi tích của dòn trí còn lại trên cột xoay). Kết qu

',.0 Jjxx ∈−θ xxx ' .δ−= , sjkjkj

5. Cuối tính lại độ lệnh ∆k m

i) = ∆k (cũ ∆s

ụ 1 u s uậ

3x3 + x ax

⎪⎨

=≥++

,02: 21

jxxxD

+ 2 21 x⎪

⎩ j

90


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10120121

A , Hệ số cơ sở J = {3, 4}, pacb x0 = (0, 0, 8, 10)t.

Hệ số Cơ sở Phương án c

cj

2 A1

-1 A2

c3 3

A3

c41

A4

1 c2

Aj , j ∈ J

3 A3 8 1 2 1 0

1 A4 10 2 1 0 1

f(x) = 34 3 8 0 0

f(x) = 3.8 + 1.10 = 34;

∆1 = 3.1 + 1.2 - 2 = 3; ∆2 = 3.2 + 1.1 - (-1) = 8; ∆3 4 = 0.

Vì ∆ ≥ 0 với ∀ k = 1,2, 3, 4 nên theo định lý về “Dấu hiệu tối ưu” thì x = (0, 0, 8, 10) là patu với giá trị tối ư ủa hàm m tiêu là f(

Ví d G bài toán t u sau bằ thuật toá n hình

f(x) = x2 + 4 x4 ma

=∆

k0

u c ục x0) = 34.

ụ 2-3.4. iải ối ư ng n đơ :

-x1 + 3 x3 - x

⎪⎩ =≥ 5,1,0 jx j

Hệ số cơ sở J = {4, 5}, pacb x

⎪⎨:D⎧ =−−− 102 4321 xxxx

=+−+ 203 5321 xxxx

, 20)t.

ơ sở Phương c1 -1

c23

c3 4

c41

c50

0 = (0, 0, 0, 10

Hệ số C

cj Aj , j ∈ J án A1 A2 A3 A4 A5

1 A4 10 2 -1 -1 1 0

0 A5 - 1 20 3 1 1 0

f(x) = 3 -4 -4 0 0 10

∆1 = 1.2 + 0.3 - (-1) = 3; ∆ 1.(-1 ∆3 = 1(-1)+0.(-1) - 4 = -4,

∆4 =∆5

Tồn tại j xj,3 < 0 với j = 3, 4 ∈ J nê ịnh lý về “Dấu hiệu vô nghiệm n đã cho không có patu.

Giải bài toán L cho tiền lãi thu được lớn nhất

Thời gian làm các sản phẩm (giờ)

A B C D

Hạn định số giờ 1 máy/1 tháng

Máy I 1 2 4 8 24.000

2 = ) + 0.1 - 3 = -4;

= 0.

∆k = ∆3 < 0 (k=3 ∉J) và x ,k = n theo đ” thì bài toá

Ví dụ 3-3.4.

ập kế hoạch sản xuất cho một xí nghiệp sao

91


Máy II 3 5 1 0 12.000

Máy II

Lãi/1 đvsp 0,4 0,2 0,5 0,8

Mô hình toán học của bài toán là mô hình của bài toán QHTT dạng chuẩn tắc:

f(x) = 0.4x1 + 0.2x2 + 0.5x3 + 0.8x4 max

I 6 0 3 1 26.500

⎪⎩ =≥ 4,1,0 jx j

⎪

⎪

000

431

Ta chuyển về bài toán QHTT dạ

f(x) = 0.4x1 + 0.2x2 + 0.5x3 + 0.8x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 max

⎪⎧

≤++≤+++

120005324842 4321

xxxxxxx

⎨ ≤++ 2650036321

xxx

ng chính tắc:

⎪⎩ =≥ 7,1,0 jx j

⎪⎨ ++ 36 431 xxx⎪⎪⎧ =++++3

24000842 54321 xxxxx

=+=+++

26500120005

7

6321

xxxxx

0, 0, 0, 0, 24.000, 12.000, 26.500)

Tồn tại in {∆k | ∆k < 0} s = 4

Minh họa cách tính theo các công thức (8 11 - 3.2):

Ở lần lặp thứ nhất: J = {5, 6, 7}, x0 = (

∆k <0 do đó x0 chưa là patu. ∆s = ∆4 = m

⎪⎭

⎪⎫⎪⎧00

5 jxx⎬>== 0|min

0r xx r = 5; phần tử trục x5,4

= 8. Cơ sở mới J = {4, 6, 7}

Tính dòng chính: trục và đặt vào dòng chính As m i

Dòng 5 : 24 00/8 = ; 4/8 = 1/2; ..

Rồi đ A4

Tín các d g còn òng chính * phần tử cột xoay tương ứng)

Cột p ng á : tính

0 = 2 00

- Các c nh dụ:

. Dòng A6: 3 - (1/8)*0 = 3; phần tử ở cột xoay tương ứng là 0

5 - (1/4)*0 = 5

1 - (1/2)*0 = 1

. Dòng A7: 6 - (1/8)*1 = 47/8 ; phần ở cột xoay tươn ng là 1

⎪⎩⎨ 4,

4,4,5,j

jsr xxx

• Chia các phần tử ở dòng xoay Ar cũ cho phần tửớ

- A 0 3000; 2/8 = 1/4

- ặt vào dòng trong bảng đơn hình phần II, đó là dòng chính

• h òn lại: (dòng mới = d

- hươ n biến cơ sở xj1:

. Dòng A6: 12.000 - 3000*0 = 12.000

.Dòng A7

ột A

: 26.50 - 3000*1 3.5

j: tí xj,k, ví

tử g ứ

92


- (1/ 1 = -1

3 - ( =5/

- cả ∆ ới) c g tính ) - dòng chính * ∆s; V ụ ∆’1= ,4-(1 *(-0,8 -0,3.

Hệ ố

cj

C ở c0,8

c

0 4)* /4

1/2)*1 2, ...

Kể k (m ũn = ∆k (cũ í dc

-0c

/8)c

)=c

sơ s

Aj,j∈J

Phương án

c1 0,4 A1

20,2 A2

3 0,5 A3

4

A4

50

A5

60

A6

70

A7

0 A5 24.000 1 2 4 [8] 1 0 0

0 A6 12.000 3 5 1 0 0 1 0

0 A7 26.500 6 0 3 1 0 0 1

I

f(x) = 0 -0,4 -0,2 -0,5 (-0,8) 0 0 0

0,8 A4 3.000 1/8 1/4 1/2 1 1/8 0 0

0 A6 12.000 [3] 5 1 0 0 1 0

0 A7 23.500 47/8 -1/4 5/2 0 -1/8 0 0

II

,3) 0 -0,1 0 0,1 0 0 f(x) = 2400 (-0

0,8 A4 2.500 0 1/24 11/24 1 1/8 -1/24 0

0,4 A1 4.000 1 5/3 1/3 0 0 1/3 0

0 A7 0 0 -241/24 13/24 0 -1/8 -47/24 1

III

f(x) = 3.600 0 0,5 0 0 0 0,1 0,1

Tại bảng đơn hình lần lặp thứ 3, ta có ∆k ≥ 0 với ∀ k = 1,..,7 nên theo định lý về “Dấu hiệu tối ưu” thì x = (4.

Vậy giá trị tối ưu của hàm mục tiêu là f(x*) = 3.600, và patu là x* = (4.000, 0, 0, 2.500)

Ví dụ 4-3.4. Giải bài toán Lập kế hoạch sản xuất trong ví d mở đầu:

f(x) = 4x1 + 5x2 max

+≤+

23

282

2

21

j,xx

xx

j

Ta chuyển ài toán dạng chính tắc:

f(x) = 4x1 + 5 3 + 0x4 + 0x5 x

000, 0, 0, 2.500, 0, 0, 0) là patu.

ụ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=≥≤≤ 72x

1,0

1x

b về

x2 + 0x ma

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=≥ 0=+=+=++

,37282

3

41

31

jxxx

xxxx

j

+

5,15

2x2x

93


H ố C Ph

A

ệ s

cj

ơ sở

Aj,j∈J

ương án

c1 4

A1

c25

2

c3 0

A3

c40

A4

c50

A7

0 A3 8 2 1 1 0 0

0 A4 7 1 2 0 1 0

0 A5 3 0 [1] 0 0 1

I

f(x) = 0 -4 (-5) 0 0 0

0 A3 5 2 0 1 0 -1

0 A4 1 [1] 0 0 1 -2

5 A2 3 0 1 0 0 1

II

f(x)= 15 (-4) 0 0 0 1

0 A3 3 0 0 1 -2 [3]

4 A1 1 1 0 0 1 -2

III

5 A2 3 0 1 0 0 1

f(x) = 19 0 0 0 4 (-3)

0 A5 1 0 0 1/3 -2/3 1

4 A1 3 1 0 2/3 -1/3 0 IV

5 A2 2 0 1 -1/3 2 0

f(x) = 22 0 0 1 2 0

Tại bảngiá trị t 2).

4. Tìm

4.1. N ét Bài toá

dạng chính tắc bằng cách thêm biến phụ.

oán phải có ngay một pacb.

- pacb ban đầu tìm được ngay nếu cơ sở không suy biến, hơn nữa các vectơ cơ sở là các đơn vị. Khi đó pacb

ắc có thể không giải được ngay ngay cả khi cơ sở ectơ cơ sở không là các vectơ đơn vị. Khi đó ta có hai

b ban đầu. Có thể giải trực tiếp bằng phương pháp Crame.

g đơn hình lần lặp thứ 4, ta có ∆k ≥ 0 với ∀ k = 1,..,5 nên x = (3, 2, 0, 0, 1) là patu. Vậy ối ưu của hàm mục tiêu là f(x*) = 22, và patu là x* = (3,

phương án cực biên ban đầu

hận xn QHTT đã giới thiệu ở trên thực hiện thuật toán đơn hình với các điều kiện sau:

- Phải ở dạng chính tắc với b > 0.

- Nếu ở dạng chuẩn thì đưa được về

- Ở bước đầu tiên của thuật t

vectơ x0 tìm được ngay vì xj0 = bi.

Như vậy bài toán QHTT dạng chính tcủa nó không suy biến nhưng các vcách

- Giải hệ Ax0 = b để tìm pac

94


- Thêm biến giả để có một cơ sở gồm các vectơ đơn vị.

4.2. Định nghĩa ràng buộc chuẩn Xét bài toán QHTT dạng chính tắc

- Ràng buộc an

i ,∑ mibxj 1

ijj ,1, ===

được gọi là ràng buộc chuẩn (của điều kiện i) nếu:

c biến xk(i) (viết k(i) để nói rằng dòng k tìm phụ thuộc vào i) sao cho

j ≠ i.

ơ cơ sở thứ i của cơ sở.

Khi đó biến xk được gọi là biến chuẩn của điều kiện i.

Nói một cách đơn giản : ràng buộc chuẩn là ràng buộc tương ứng với một vectơ cột Ak là vectơ đơn vị để có thể đưa vào cơ sở, vectơ Ak này có thành phần thứ i bằng 1, các thành phần còn lại tất nhiên bằng 0.

an đầu x0 mà x0k(i)

= bi ∀i =

(i) bi ≥ 0 (nếu bi < 0 ta nhân hai vế với -1)

(ii) Tìm đượ

ai,k = 1, aj,k = 0 với ∀

Nói cách khác vectơ cột Ak của A là vect

- Bài toán QHTT dạng chính tắc mà mọi ràng buộc đều chuẩn thì gọi là bài toán QHTT (chính tắc) chuẩn. Đối với bài toán chuẩn, ta có ngay pacb b m,1 vaf x0

j =0

với ∀ j ≠ i.

Ví dụ 1-4.2. Xét Bài toán

f(x) = 0,2 x1 + x2 + 5x3 + x4 - x5 max

⎪⎩ =≥ 5,1,0 jx j

⎪

⎪⎪⎨ =++

=+203

)2(30:

421

43

542

xxxxx 0100A ⎥

⎥⎢⎢= 1

⎧ =++ 1(1523 xxx

)3(

)

D

2030

AAAAA

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

1

1

{A5, A3, A1} gồm các vectơ đơn vị, do đó các ràng buộc (1), (2), (3) đều là ràng buộc chuẩn, trong đó :

- Ràng buộc (1) có biến chuẩn là xk(i) = x5(1) của điều kiện i = 1, tức là Ak = A5 là vec t cơ sở thứ nhất có ai,k = a1,5 = 1, còn lại ai,j = 0 với ∀j = 2,3 (≠ i = 1 .

- Ràng buộc (2) có biến chuẩn là xk(i) = x3(2) của điều kiện i = 2, tức là Ak = A3 là vec tơ cơ sở thứ

ở thứ

2-4.2. Xét Bài toán P sau đây :

x1 + 6x2 + 3x4 - 15x5 max

54321

0301

Ta có J = {5, 3, 1}, nói cách khác cơ sở là

ơ)

hai có ai,k = a2,3 = 1, còn lại ai,j = 0 với ∀j = 1, 3 (≠ i = 2).

- Ràng buộc (3) có biến chuẩn là xk(i) = x1(3) của điều kiện i = 3, tức là Ak = A1 là vec tơ cơ sba có ai,k = a1,3 = 1, còn lại ai,j = 0 với ∀j = 1, 2 (≠ i = 3).

Ví dụ

f(x) =

95


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=≥=++++=+−−=−−

5,1,0)3(242)2(5257)1(03

:54321

5432

43

jxxxxxx

xxxxxx

D

j

54321

14212571003100

AAAAA

-A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=1

Ta thấy chỉ có ràng buộc (3) là ràng buộc chuẩn với biến chuẩn là xk(i) = x1(3) của điều kiện i = 3, tức là Ak = A1 là vec tơ cơ sở thứ ba có ai,k = a3,1 = 1, còn lại ai,j = 0 với ∀j = 1,2 (≠ i = 3).

Để tất cả các ràng buộc đều là chuẩn thì bài toán P cần thêm 2 biến giả nữa để có bài toán sau đây :

n bao nhiêu tùy ý)

Bài toán P2:

f(x) = x1 + 6x2 + 3x4 - 15x5 - Mx6 - Mx7 max (M lớ

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

=≥=++++=++−−=+−−

5,1,0)3(242)2(5257)1(03

:54321

75432

643

jxxxxxx

xxxxxxxx

D

⎩ j

AAAAAAA

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣1

Khi đó ta có J = {6, 7, 1} hay {A6, A7, A1} là c ác ràng buộc đều là chuẩn và có ngay pacb ban đầu là x0 = 2, 0, 0,

Bài toán P2 khi thêm biến giả không phải là để khử các dấu bất đẳng thức trong các ràng buộc mà là để sinh thêm các vectơ đơn vị, đủ để tạo thành một cơ sở có hạng bằng m. Bài toán P2 cùng với số M lớn bao nhiêu tùy ý này được gọi là “bài toán M”. Vấn đề đặt ra là bài toán P2 có

thế nào?

4.3. Phương pháp phạt hay phương pháp bài toán M Bài toá ể viết dưới dạng

f(x) = <c, x> max

025710 -A ⎥⎢ −= 1003100 ⎤⎡ −− 1

7654321

001421

ơ sở gồm các vectơ đơn vị với c ( 0, M, M).

tương đương với bài toán P không và giải bài toán P2 này như

n P : Một cách tổng quát, bài toán QHTT chính tắc P có th

⎪⎩

=≥ njx j ,1,0⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈=

∈=

∑

∑

=

=

Ikbxa

Iibxa

D k

n

jjjk

i

n

jjji

,

,

: 21

,

11

,

Ví dụ : Bài toán P trong Ví dụ 2-4.2 có I1 = {3}; I2 = {1, 2}.

Bài toán M: Bài toán sau đây được gọi là bài toán phạt (hay bài toán M) của bài toán P :

f(x) = <c, x> - <M, x> max (M là số dương lớn tùy ý)

I1 là tập các ràng buộc chuẩn

I2 là tập các ràng buộc không chuẩn

96


⎪⎪ ∈≥=≥ 2,0,,1,0 Ikxnjx kj

⎪

⎪⎨ ∈=+∑

=12, ,: IkbxxaD

jkkjjk

⎩

⎪∈=

=11, Iibxa

nj

jji

Chú ý rằng, nếu đây là bài toán tìm min thì hàm mục tiêu cộng thêm lượng <M, x> và

⎪⎧∑ ,

n

i

+≥+

(*)⎢⎣ >=

⇔⎡ > ca

dbandca

Ở đây ∑

dcMbaM

=

>=<n

jjj xcxc

1, , ∑

∈

án P cũng không có nghiệm.

ệm của bài toán P.

I thì bài toán P không có phương

án chấp nhận được.

Từ định lí trên suy ra : Để giải bài toán P ta tiến hành giải bài toán M. Nếu bài toán M vô nghiệm n

giả mà khác 0 thì bài toán P cũng vô nghiệm, ngược lại nếu tất cả các thành phần ứng với biến giả mà bằng 0 thì bài toán P có n là nghiệm của bài toán M nhưng bỏ đi các biến giả.

, dòng ∆k được tách thành 2 dòng :

- Dòng dưới ứng với các hệ số cj mà j ∈ I1 (ứng với biến thật)

Hoặc nếu không tách thành hai dòng thì ∆k viết dưới dạng ∆k = ak + b M.

Việc xét dấu ∆k và so sánh hai số ∆k = akM + bk và ∆’k = a’kM + b’k dựa vào (*). Tức là ta có:

∀< ,0 ba ∀< bbaa ',,'

k

tính giá trị f(x) khi trong cơ sở còn có các vectơ giả. Khi cơ sở không còn vectơ giả thì dòng ∆k

Ví dụ 1-4.3 Giải bài toán P sau đây : f(x) = <c, x> = -x1 + x2 + x3 -2x5 max

>=<2

,Ik

kMxxM

Định lý 1-4.3. Mối quan hệ về nghiệm của bài toán P và bài toán M được cho như sau

1) Nếu bài toán M không có nghiệm thì bài to

2) Nếu bài toán M có nghiệm ** xx và * ,0 Ijx ∈∀= thì *x là nghi),(2I j 2

3) Nếu bài toán M có nghiệm ),(2Ixx và ,0 jx j ∈>∃**

2*

thì P cũng vô nghiệm. Nếu bài toán M có nghiệm nhưng có ít nhất một thành phần ứng với biế

ghiệm

Nói cách khác, nếu bài toán M có nghiệm x = (x1, …, xn, 0, .., 0) với các thành phần 0 phía sau thuộc I2 thì bài toán P có nghiệm là x = (x1, …, xn).

Trong bảng đơn hình giải bài toán M

- Dòng trên ứng với các hệ số M của I2 (ứng với biến giả)

k

⎩⎨ <=

⇔<∆0,0

0kk

kkk ba

và ⎩⎨ =<

⇔∆<∆kkkk

kkkkkk aaifbb ',''

⎧ ⎧

Chú ý: Các cột ứng với biến giả (tức là c = -M) không cần phải tính. Tại dòng f(x): không cần

cũng không cần tách thành 2 dòng.

97


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=≥=+−=++−=−−

6,1,0)3(422)2(103)1(62

:543

6541

421

jxxxx

xxxxxxx

D

j

Ta có I1 ={2, 3}, tập các ràng buộc chuẩn tương ứng với các điều kiện i = 2 và i = 3.

Để có ràng buộc n v k ta thêm t biế iả x7 àng b . hi đó ta có bài toán phạt c ài toán P sau đ

Bài toán M: f(x) = <c, x> = -x1 + x2 + x3 -2x5 -Mx7 max (M lớn tùy ý)

chuẩủa b

ới điều iện i = 1,ây:

cần mộ n g ở r uộc (1) K

⎪⎪⎩

⎪⎨:⎪

=≥=+−=++−=−−

1042

(10362

43

651

721

jxxx

xxxxxx

D

j

Cơ sở ban đầu là J = {A7, A6, A3} với pacb ban u là x

H C ở

A J

Phương

A A A A A A

c-M A

⎧ +

7,,)3(2x)2

)1(

5

4x4x

đầc

0 = (0, 0, 4, 0, 10, 6) c ệ

số

cj

ơ s

j,j∈án

1 -1

1

21

2

c3 1

3

c40

4

c52

5

c50

6

5

7

- [2] M A7 6 -1 0 -1 0 0

0 A6 10 3 0 0 -1 1 1

1 A3 4 0 0 1 -2 2 0

(-2M) M 0 M 0 0

I

f (x) =

1 -1 0 -2 0 0

- 1 A1 3 1 -1/2 -1/2 0 0 0

0 A6 1 0 3/2 0 [1/2] 1 1

1 A3 4 0 0 1 -2 2 0

II

f(x)= 1 0 -1/2 0 (-3/2) 0 0

-1 A1 4 1 1 0 0 1 1

0 A4 2 0 3 0 1 2 2

III 1 A3 8 0 6 1 0 6 4

f(x) = 4 0 4 0 0 3 3

Bài toán M tại lần lặp thứ 3 có ∆k ≥ 0 với ∀ k = 1,…, 7 nên thu được patu là (4, 0, 8, 2, 0, 0 ,0). Biến gi trị tối ưu của hàm mục tiêu là f(x*) = 4.

Ví dụ 2-4.3 Giải bài toán P sau đây : f(x) = <c, x> = 2x1 + x2 - x3 -x4 max

ả x7 = 0, do đó bài toán P đã cho có patu là x* = (4, 0, 8, 2, 0, 0) với giá

98


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=≥=+++=+−+=−+−

4,1,0)3(7)2(632)1(22

:4321

4321

4321

jxxxxxxxxxxxxx

D

j

Bài toán P đã cho không có ràng buộc nào chuẩn. Ta chuyển về Bài toán M:

f( <c x 3 -x x5 -M -Mx7 x (M l ùy ýx) = , x> = 2 1 + x2 - x 4 -M x6 ma ơn t )

⎪⎪

x⎩

⎪

=≥=++++=++=+

4,10)3(7)2(63)1(22

4321

6321

4321

jxxxxx

xxxxx

D

j

Cơ sở ban đầu là {A A6, A7). Pacb ban đầu là (0, 0, 0, 0, 2, 6, 7)

Hệ số cj

Cơ sở

A ,j∈J

Phương án A A A

c-M A5

c-M A

c-M A

⎪⎨2

:

⎧x+ 4x−− x+− x

,7

5x

5,

j

c1 2

A1

c21

2

c3 -1

3

c4-1

4

5 5

6

5

7

-M A 2 5 [1] -1 2 -1 1 0 0

-M A 6 6 2 1 -3 1 0 1 0

-M A 7 7 1 1 1 1 0 0 1

(-4M) -M 0.M -M

I

f(x) =

-2 -1 1 1

2 A1 2 1 -1 -1 2

-M A6 2 0 [3] -7 3

-M A 5 0 7 2 -1 2

0.M (-5.M) 8.M -5.M

II

f(x)=

0 -3 +5 -1

2 A 8/3 1 0 1 -1/3 0

1 A 2/3 2 0 1 -7/3 1

III -M A 11/3 0 0 7 [11/3] 0

0.M 0.M (-11M/3) 0.M f(x) =

0 0 -2/3 2

2 A1 3 1 0 0 0

1 A2 3 0 1 0 1 IV

-1 A3 1 0 0 1 0

f(x) = 8 0 0 0 2

99


Bài toán M tại lần lặp thứ 4 có ∆k ≥ 0 với ∀ k = 1,…, 7 nên thu được patu là (3, 3, 1, 0, 0, 0 ,0). Các biến giả x5 = x6 = x7 = 0, do đó bài toán P đã cho có patu là x* = (3, 3, 1, 0, 0) với giá trị tối ưu của hàm mục tiêu là f(x*) = 8.

BÀI TẬP Giải các bài toán tối ưu sau đây:

1.

Minxxxxxx →−+−++ 654321 3432

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=≥=+−−

=+−−++−=−++−

6,...,2,102023

822245323

5431

654321

65431

jxxxxx

xxxxxxxxxxx

j

2.

Maxxxxxx →++−+ 54321 32

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=≥−=−−+−≤+−+−=++++−

.5,...,2,1,016221836214223

5321

5321

54321

jxxxxx

xxxxxxxxx

j

3.

4.

Minxxx →++ 321 3

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=≥≤++

−=−−≥++

.3,2,1,0102

825

321

32

321

jxxxxxx

xxx

j

Maxxxxx →+++ 4321 23

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=≥≥+++=+++≤+++

4,3,2,108229432

1022

4321

4321

4321

jxxxxxxxxx

xxxx

j

100

nct _ phuong phap tinh va toi uu _version1

Documents