SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

ANAMARIJA GAJSKI

NE-SFERNA ZRCALA

Završni rad

Osijek, 2015.

2

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

ANAMARIJA GAJSKI

NE-SFERNA ZRCALA

Završni rad

Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

radi stjecanja zvanja prvostupnice fizike

Osijek, 2015.

3

"Ovaj završni rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom doc.dr.sc. Denisa

Stanića u sklopu Sveučilišnog preddiplomskog studija Fizike na Odjelu

za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku".

4

SADRŽAJ

1. UVOD ..............................................................................................................................7

2. NE-SFERNA ZRCALA ...................................................................................................8

3. ELIPSOIDNO ZRCALO .................................................................................................9

2. PARABOLIČNO ZRCALO .......................................................................................... 11

3. HIPERBOLIČNO ZRCALO .........................................................................................14

4. STOŽASTO ZRCALO ..................................................................................................16

5. CILINDRIČNO ZRCALO.............................................................................................18

6. PRAKTIČNI DIO ..........................................................................................................20

Pokus 1. Cilindrično zrcalo ............................................................................................20

a)Zrna papra ...............................................................................................................20

b)Nacrtna mreža .........................................................................................................21

Pokus 2. Stožasto zrcalo ................................................................................................23

7. ZAKLJUČAK ................................................................................................................25

8. LITERATURA ...............................................................................................................26

ŽIVOTOPIS .......................................................................................................................27

POPIS SLIKA ....................................................................................................................28

5

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

NE-SFERNA ZRCALA

ANAMARIJA GAJSKI

Sažetak

Tema ovog završnog rada je refleksija svjetlosti na ne-sfernim zrcalima. Ne-sferna zrcala

imaju površinu sfernog oblika. Zbog svoje veoma kompleksne površine, reflektirane slike

mogu okolinu prikazati na veoma zanimljiv i pomalo neobičan način.

Na kraju ovog završnog rada, pomoću pokusa sam predočila to „specifično“ deformiranje

okoline.

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi: ne-sferna zrcala, elipsoidno, parabolično, hiperbolično, cilindrično,

stožasto

Mentor: Denis Stanić, doc.dr.sc.

Ocjenjivači:

Rad prihvaćen:

6

University Josip Jurj Strossmayer Osijek Bachelor of Physics Thesis

Department of Physics

NON-SPHERICAL MIRRORS

ANAMARIJA GAJSKI

Abstract

The theme of this work is a reflection of light on non-spherical mirrors. Non-spherical

mirrors have surface of spherical shape. Due to its very complex surfaces, reflected

images of the environment can be shown in a very interesting and unusaul way.

At the end of this work, using experiments I proved to specific deformation environment.

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords:

Supervisor: Denis Stanić, PhD

Reviewers:

Thesis accepted:

7

1. UVOD

Optika je grana fizike koja se bavi proučavanjem svjetlosti. Optika se dijeli na valnu i

geometrijsku. Valna optika opisuje pojave vezane uz svojstvene svjetlosti kao val, a

geometrijska opisuje širenje, odbijanje i lom svjetlosti.

U ovom radu bavit ću se geometrijskom optikom, odnosno pobliže ću opisati ne – sferna

zrcala i njihovu primjenu.

8

2. NE-SFERNA ZRCALA

Sferna zrcala su zrcala čija površina ima oblik sfere. Ovisno o predznaku zakrivljenosti,

zrcala mogu biti konkavna (izdubljena) i konveksna (ispupčena). Konkavna zrcala

reflektiraju svjetlost s unutarnje strane, a konveksna s vanjske strane.

Ne – sferna zrcala imaju površinu simetričnog ili asimetričnog oblika.

Podjela:

Simetrična - elipsoidno, parabolično, hiperbolično, stožasto, cilindrično

Asimetrična - valovito

Također svaka navedena zrcala mogu se podijeliti na konkavna i konveksna.

9

3. ELIPSOIDNO ZRCALO

Elipsoidno zrcalo je dio površine elipsoida koji nastaje zakretanjem elipse oko njene duže

osi. Zrcalo može biti udubljeno (konkavno) ili ispupčeno (konveksno), ovisno o tome da

li udubljena ili ispupčena strana odbija svjetlost.

Slika 1. Konveksno elipsoidno zrcalo [1]

Ako točkasti predmet postavimo u jedno od žarišta elipse, odbijene zrake proći će kroz

drugo žarište. Dio elipsoidnog zrcala možemo smatrati malim ravnim zrcalom. Taj mali

dio mora reflektirati zrake iz jedno u drugo žarište. Zbog zakona refleksije, zrcalo mora

biti orijentirano tako da normala na zrcalo raspolavlja kut između radij vektora koji

spajaju točku na zrcalu sa žarištima elipse. Elipsa je krivulja koja zadovoljava ovom

uvjetu. Odnosno, zrcalo i točku na zrcalu možemo postaviti bilo gdje u prostoru s istim

žarištima i dati će iste zaključke. Ovo opisano vrijedi za konkavno elipsoidno zrcalo.

Slika 2. Konkavno elipsoidno zrcalo [1]

Za konveksno elipsoidno zrcalo vrijedi da upadna zraka na plohu zrcala prolazi virtualno

kroz točkastu sliku. Konveksno zrcalo se od konkavnog razlikuje jedino u tome što su

radij vektori točke na zrcalu virtualne zrake, a to je s geometrijskog stajališta zanemarivo

10

jer se radi o elipsi. Ploha refleksije je rotacioni elipsoid, a refleksija se vrši na vanjskoj

strani plohe elipsoida.

Slika 3. Konveksno elipsoidno zrcalo [1]

11

2. PARABOLIČNO ZRCALO

Parabolično zrcalo dio je površine paraboloida čija jedna strana odbija svjetlost. Parabola

je poseban slučaj elipse. Jedno žarište nalazi se u beskonačnosti, a drugo na odabranoj

osi. Normala u bilo kojoj točki parabole raspolavlja kut između radij vektora ove točke i

točke paralelne s osi parabole. Prema tome, sve zrake koje su paralelne s osi parabole

sijeku se u njezinom žarištu. Ako se izvor svjetlosti nalazi u žarištu, odbijene zrake stvorit

će snop svjetlosti zraka paralelnih s osi paraboličnog zrcala.

Slika 4. Prikaz površine paraboloida [1]

Konkavno parabolično zrcalo ima realno žarište, a konveksno parabolično zrcalo ima

virtualno žarište.

Slika 5. Konkavno parabolično zrcalo [1]

12

Slika 6. Konveksno parabolično zrcalo [1]

Parabolično zrcalo počelo se još primjenjivati u staroj Grčkoj. Starogrčki matematičar

Diokl je opisao i dokazao da se paralelne zrake svjetlosti koje upadaju u parabolično

zrcalo, skupljaju u jednu točku ili žarište. Arhimed je upotrijebio parabolično zrcalo za

vrijeme opsade Sirakuze i pomoću Sunčeve svjetlosti potopio protivničke brodove, a

James Gregory i Isaac Newton iskoristili su parabolično zrcalo i konstruirali Gregorian

teleskop, odnosno Newtonov teleskop. Hrvatski matematičar i fizičar Marin Getaldić,

najistaknutiji hrvatski znanstvenik 17. stoljeća, konstruirao je parabolično zrcalo

promjera 2/3 metra. Danas se to zrcalo čuva u Pomorskom muzeju u Londonu.

Parabolično zrcalo i danas ima veoma raznoliku primjenu. Iz dobra stare Grčke zrcalo se

koristi kao olimpijski plamen tijekom Olimpijskih igara. Na stadionu Olimp plamen

nastaje refleksijom Sunčeve svjetlosti u parabolično zrcalo i onda se bakljom prenosi u

grad u kojem se igre održavaju.

Slika 7. Zimske olimpijske igre u Sarajevu 1984. Godine [7]

Danas se najčešće parabolično zrcalo koristi u konstrukciji reflektorskog teleskopa. Kod

ovakvog teleskopa svjetlost pada na dno teleskopa na kojem se nalazi primarno, odnosno

13

parabolično zrcalo. Zatim se svjetlost odbija prema gore na ravno (sekundarno) zrcalo

koji se nalazi po kutem od 45°, te se svjetlost odbija bočno na okular.

Slika 8. Svemirski teleskop Hubble slikan iz raketoplana Discovery tijekom njegove druge misije [9]

Također, parabolična zrcala koriste se i pri konstrukciji PAR reflektora, paraboličnih

kolektora i paraboličnih antena.

Slika 9. Parabolična antena Erdfunstelle Raisting – najveća antena za satelitske komunikacije u

svijetu (Raisting, Njemačka) [8]

Razlika između sfernog i paraboličnog zrcala je jako mala, ali je velika razlika u kvaliteti

slike koje daju.

14

3. HIPERBOLIČNO ZRCALO

Kod hiperboličnog zrcala, točkasti predmet je realan, a njegova slika je virtualna.

Slika 10. Konkavno hiperbolično zrcalo [1]

Prema slici, u ravninu postavimo točkasti izvor I i točkastu sliku I’. Dio plohe dS1 treba

biti orijentiran tako da virtualni dio reflektirane zrake prolazi kroz točkastu sliku da bi od

realnog predmeta dobili virtualnu sliku. Tada točka U1 leži na pravcu koji ima svojstvo

krivulje gdje normala raspolavlja vanjski kut radij vektora iz dvije stalne točke. Ovo

svojstvo ima hiperbola kojoj je žarište u točki I. Ako točku U1 postavimo bilo gdje u

prostoru na konačnoj daljini, rezultati će biti isti. Ovo vrijedi za konkavno hiperbolično

zrcalo.

Slika 11. Konkveksno hiperbolično zrcalo [1]

No, isti rezultat će dati element plohe U2 ako ga orijentiramo tako da odgovara

konveksnom hiperboličnom zrcalu s obzirom na realni izvor. Tada se dobiva hiperbola

kroz točku U2 kojoj je žarište I’.

15

Slika 12. Iste plohe (i konkavna i konveksna) od virtualnog predmeta dati će realnu sliku [1]

16

4. STOŽASTO ZRCALO

Refleksiju stožastog zrcala najjednostavnije je objasniti ako sliku promatramo iznad vrha

stošca. Svjetlost iz okoline reflektira se od stožasto zrcalo u promatračevo oko pod kutom

koji je jednak upadnom kutu. To zapravo predstavlja beskonačan skup infinitezimalno

malih zrcala koji reflektiraju slike u promatračevo oko putem malih linija.

Slika 13. Geometrija stožastog zrcala promatranog iz točke V [5]

Slika se promatra iz točke V na visini d iznad vrha stošca. Slijedi :

1

)1(2'

2

2

h

rhrr

)tan()(2

1tan)('

ah

h

aahARr

ad

ha

hd

r

/tan

Konačni rezultat:

rhhhd

hrhdh

rhd

hrhd

rhd

drr

2)1)((

)1()(2

)1(

)1)((

)1('

2

2

17

Reflektivni plašt stošca koristi se u tehnologiji za potpuno kružno reflektiranje snopa

svjetlosti koji je emitiran iznad vrha stošca. Takvim se uređajima koriste građevinski

radnici za pomoć pri niveliranju terena gradilišta.

Slika 14. Kružno reflektiranje svjetlosti pomoću stožastog zrcala [5]

Slika 15. Građevinski alat za određivanje jednakog nivoa [5]

Također, reflektivni plašt koristi se za promatranje okoline koja je reflektirana od plašta

stošca. Tehnološku upotrebu pronašao je u uređajima za promatranje kakvoće navoja

unutar nedostupnih mjesta, a umjetničku za promatranje i izradu anamorfnih slika1.

1 Anamorfna slika ili drugom riječju anamorfoza definirana je u Websterovm rječniku kao distorzirana ili

monstruozna projekcija ili reprezentacija slike na ravnoj ili zakrivljenoj površini, koju kada promatramo iz

određene točke promatranja ili pomoću refleksije sa zakrivljenog zrcala, djeluje skladno i u proporciji.

18

5. CILINDRIČNO ZRCALO

Cilindrično zrcalo dio je cilindrične površine kod kojeg unutrašnja površina odbija

svjetlost. Osni presjek cilindrične površine ne daje isti rezultat kao i poprečni presjek.

Slika 16. Konkavno cilindrično zrcalo [1]

Na slici koje predstavlja konkavno cilindrično zrcalo, lik strelice AB koji se nalazi u

ravnini S1 i paralelan je s osi cilindrične površine ogledala dati će sliku kao kod ravnog

zrcala, odnosno slika će biti iste veličine, uspravna i nalaziti će se u virtualnoj točki iza

zrcala. Dok lik strelice CD koji se nalazi u ravnini S2 i okomit je na os cilindrične

površine ogledala dati će kao kod sfernog ili paraboličnog zrcala.

Slika 17. refleksija sa ravnog i kružnog dijela konkavnog cilindričnog zrcala [5]

19

Slika 17 prikazuje kako reflektirane zrake konvergiraju u točke duž linije ispred zrcala i

ujedno se projiciraju duž krivulje u virtualnom prostoru iza zrcala. Umjesto uobičajenih

točkastih slika, refleksije svih upadnih zraka na našem zrcalu tvore dvije linijske slike.

Takve linijske slike slične su onima što ih proizvodi astigmatična leća, a tvori se

uzastopnim projiciranjem iste slike na veoma bliske točke.

Realna linijska slika je vertikalna i ravna, i nalazi se ispred zrcala, dok je virtualna

smještena iza zrcala na krivulji naziva limaçon2 te je orijentirana horizontalno [5]. Ova

slika nam je važna zbog eksperimentalnog dijela.

Slični rezultati dobiju se ako točkasti predmet postavimo ispred konveksnog zrcala čija je

os orijentirana vertikalno. Upadne zrake iz smjera paralelne x-y plohe projicirati će se u

točka a, ali u virtualnom dijelu. Dok zrake koje dolaze iz smjera okomite x-z plohe,

projicirati će se u točku b u virtualnom dijelu.

Slika 18. Zrake reflektirane od horizontalnog kružnog dijela projiciraju se u točku a [5]

Slika 19. Zrake reflektirane od vertikalnog ravnog dijela projiciraju se u točku b [5]

2 Krivulja Limaçon, poznata kao i Pascalov Limaçon, definirana je kao krivulja koja nastaje istovremenom

translacijom i rotacijom kruga po vanjskom obodu drugog kruga istog radijusa.

20

6. PRAKTIČNI DIO

Pokus 1. Cilindrično zrcalo

a) Zrna papra

ZADATAK: Pomoću cilindra, zrnaca papra i papira na kojem su nacrtani linija i krug

potrebno je odrediti kakav oblik linije tvore zrnca na stolu, a kakvu liniju vidimo na

zrcalu.

PRIBOR: zrcalo (cilindar), zrna para i papir na kojem su nacrtani linija i krug

Slika 20. Potreban pribor za izvođenje pokusa

OPIS: Zrcalo treba postaviti na predviđeno mjesto, a zrnca papra ispred zrcala

tako da reflektirana slika zrnaca bude smještena točno na zamišljenoj isprekidanoj liniji

koja se nalazi ispod zrcala. Potrebno je odrediti fiksan položaj promatranja postava te

gledajući sliku u zrcalu pomicati zrna dok se ne poravnaju sa zamišljenom linijom.

REZULTAT: Zrnca na stolu dala su oblik parabole, a na zrcalu smo zrnca vidjeli u ravnoj

liniji.

21

Slika 21. Na slici vidimo da su zrnca papra oblikovali parabolu dok na zrcalu vidimo da su zrnca

poredana u ravnu liniju

b) Nacrtna mreža

ZADATAK: Potrebno je odrediti u koji oblik su se transformirale sve zakrivljene linije

kada ih gledamo u zrcalu i prokomentirati što vidimo.

PRIBOR: zrcalo (cilindar), nacrtna mreža

OPIS: Potrebno je postavite zrcalo na predviđeno mjesto, te iz određenog fiksnog kuta

uočiti što je s papira reflektirano na zrcalu, te uočiti oblik linija.

Slika 22. Nacrtna mreža

22

Slika 23. i slika 24. Nacrtna mreža i zrcalo smješteno na predviđeno mjesto

REZULTAT: Refleksija iskrivljene mreže kada se cilindrično zrcalo postavi na

predviđeno mjesto dati će oblik pravokutne mreže, odnosno iskrivljene linije izgledaju

kao ravne linije. Ovo također vrijedi i za slova na papiru i na zrcalu.

ZAKLJUČAK: U oba slučaja vidljivo je da se dijelovi mreže koji se nalaze dalje od

zrcala reflektiraju na većoj visini zrcala od dijelova bližih zrcalu. Uzrok tome je ovisnost

okomite komponente reflektiranog kuta zrake o udaljenosti neke točke na podlozi.

Kao i kod refleksije na ravnom zrcalu, što je točka na podlozi udaljenija, manja je

okomita (vertikalna) komponenta upadnog kuta zrake na zrcalo, što rezultira višim

položajem točke refleksije.

Zbog zajedničkog svojstva konkavnog sfernog i cilindričnog zrcala da umanjuju

23

reflektiranu sliku, a time i povećavaju kut vidnog polja, najudaljeniji dijelovi podloge

vidljivi su na određenoj visini cilindra. Pomicanjem točke promatranja na veću visinu

povećavaju se vertikalne komponente upadnih kutova zraka i proporcionalno se povećava

visina reflektirane slike.

Pokus 2. Stožasto zrcalo

ZADATAK: Na predviđeno mjesto staviti stožasto zrcalo i prokomentirati što vidimo na

zrcalo.

PRIBOR: zrcalo, papir s odgovarajućoj anamorfnom slikom za stožasto zrcalo

OPIS: Potrebno je postaviti stožasto zrcalo na predviđeno mjesto na crtežu, odnosno na

sredinu papiru gdje je nacrtana točkica. Nakon što fiksiramo kut promatranja, potrebno je

uočiti reflektiranu sliku s papira.

Slika 25. Papir s odgovarajućoj anamorfnom slikom za stožasto zrcalo

24

Slika 26. Zrcalo postavljeno na odgovarajuće mjesto na papiru

ZAKLJUČAK: Rezultat ćemo najlakše dobiti ako sliku promatramo s vrha stošca.

Postavljanjem stošca na odgovarajući dio, na plaštu stošca možemo uočiti kišobran. Kao i

kod ravnog zrcala, svjetlost iz okoline reflektira se od zrcalne površine u promatračevo

oko pod kutom koji je jednak upadnom.

25

7. ZAKLJUČAK

Ne – sferna zrcala nisu baš istraženo područje geometrijske optike. Iako se koriste još od

davnina, ne – sferna zrcala nisu toliko popularna tema u nekim znanstvenim

istraživanjima. No, u novije vrijeme postoji sve više simulacija i apleta vezano uz njih,

stoga smatram da bi se trebalo o njima spominjati učenicima u srednjim školama, te

studentima na određenim fakultetima. Osobno mi se ova tema jako svidjela zbog

anamorfnih slika koje su danas jako popularne i koje se prikazuju pomoću grafita na

ulicama .

26

8. LITERATURA

[1] Paić, M. (1991.) Osnove fizike IV dio. Zagreb: Sveučilišna naknada Liber, 24. - 28. str.

[2] Đurić, B., Ćulum, Ž. (1966.) Fizika/ Optika. Beograd: Naučna Knjiga, 79. - 81. str.

[3] Planinić, J. (2005.) Osnove fizike III.: valovi - akustika - optika - uvod u atomsku

fiziku. Osijek: Filozofski fakultet, 73. str.

[4] J. L. Hunt, B. G. Nickel, and Christian Gigault,(2000.) „Anamorphic images,“ Am. J.

232. – 237. str.

[5] Diplomski rad - Simulacija ne - sfernih zrcala i anamorfnih slika metodom praćenja

svjetlosnih zraka; Marko Marelja

[6] https://hr.m.wikipedia.org/wiki/Parabolično_zrcalo (26.7.2015.)

[7] www.skijanje.rs/istorija/istorija-zimskih-olimpijskih-igra/vratiti-olimpijski-duh/

(13.9.2015.)

[8] http://hr.m.wikipedia.org/wiki/Parabolična_antena (13.9.2015.)

[9] https://hr.m.wikipedia.org/wiki/HST (13.9.2015.)

27

ŽIVOTOPIS

Ja sam Anamarija Gajski. Završila sam prirodnoslovno – matematičku gimnaziju u

Našicama, a trenutno studiram fiziku na Odjelu za fiziku u Osijeku.

28

POPIS SLIKA

Slika 1. Konveksno elipsoidno zrcalo

Slika 2. Konkavno elipsoidno zrcalo

Slika 3. Konveksno elipsoidno zrcalo

Slika 4. Prikaz površine paraboloida

Slika 5. Konkavno parabolično zrcalo

Slika 6. Konveksno parabolično zrcalo

Slika 7. Zimske olimpijske igre u Sarajevu 1984. godine

Slika 8. Svemirski teleskop Hubble slikan iz raketoplana Discovery tijekom njegove druge

misije

Slika 9. Parabolična antena Erdfunstelle Raisting – najveća antena za satelitske

komunikacije u svijetu (Raisting, Njemačka)

Slika 10. Konkavno hiperbolično zrcalo

Slika 11. Konkveksno hiperbolično zrcalo

Slika 12. Iste plohe (i konkavna i konveksna) od virtualnog predmeta dati će realnu sliku

Slika 13. Geometrija stožastog zrcala promatranog iz točke V

Slika 14. Kružno reflektiranje svjetlosti pomoću stožastog zrcala

Slika 15. Građevinski alat za određivanje jednakog nivoa

Slika 16. Konkavno cilindrično zrcalo

Slika 17. refleksija sa ravnog i kružnog dijela konkavnog cilindričnog zrcala

Slika 18. Zrake reflektirane od horizontalnog kružnog dijela projiciraju se u točku a

Slika 19. Zrake reflektirane od vertikalnog ravnog dijela projiciraju se u točku b

Slika 20. Potreban pribor za izvođenje pokusa

Slika 21. Na slici vidimo da su zrnca papra oblikovali parabolu dok na zrcalu vidimo da

su zrnca poredana u ravnu liniju

Slika 22. Nacrtna mreža

Slika 23. i slika 24. Nacrtna mreža i zrcalo smješteno na predviđeno mjesto

Slika 25. Papir s odgovarajućoj anamorfnom slikom za stožasto zrcalo

Slika 26. Zrcalo postavljeno na odgovarajuće mjesto na papir

29