neapibreŽtinis integralas˙ su maple -...

257
NEAPIBR ˙ EŽTINIS INTEGRALAS su MAPLE Aleksandras KRYLOVAS 1

Upload: others

Post on 24-Jan-2021

2 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALASsu MAPLE

    Aleksandras KRYLOVAS

    1

  • TURINYS

    1. PIRMYKŠT Ė FUNKCIJA IRNEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS 61.1. PIRMYKŠTĖS FUNKCIJOS APIBṘEŽIMAS 61.2. NEAPIBṘEŽTINIO INTEGRALO S ˛AVOKA 71.3. NEAPIBṘEŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS 81.4. NEAPIBṘEŽTINIŲ INTEGRALŲ LENTELĖ 101.5. PRATIMAI 12

    2. PAGRINDINIAI INTEGRAVIMOMETODAI 142.1. TIESIOGINIS INTEGRAVIMAS 142.2. INTEGRAVIMAS, KEIČIANT KINTAM ĄJĮ 152.3. INTEGRAVIMAS DALIMIS 172.4. PRATIMAI 20

    3. RACIONALI ŲJŲ FUNKCIJ ŲINTEGRAVIMAS 213.1. RACIONALIOSIOS TRUPMENOS 213.2. PAPRAŠCIAUSIŲJŲ RACIONALIŲJŲTRUPMENŲ INTEGRAVIMAS 233.3. KOMPLEKSINIO SKAIČIAUS S ˛AVOKA 263.4. RACIONALIŲJŲ FUNKCIJŲ REIŠKIMASPAPRAŠCIAUSIŲJŲ TRUPMENŲ SUMA 283.5. NEAPIBṘEŽTŲJŲ KOEFICIENTŲ METODAS 303.6 RACIONALIŲJŲ FUNKCIJŲ INTEGRAVIMOPAVYZDŽIAI 323.7. PRATIMAI 33

    3

  • 4. IRACIONALI ŲJŲ BEITRIGONOMETRINI ˛UFUNKCIJ Ų INTEGRAVIMAS 344.1. INTEGRALAI��

    ��� ��

    ����������

    ���� � � � � ��

    ����������

    ������ 34

    4.2. INTEGRALAI�������� ��� ���� 36

    4.3. INTEGRALAI�����

    ���� � ��� ���� 38

    4.4. INTEGRALAI������ ������� 40

    4.5. NEIŠREIŠKIAMI ELEMENTARIOSIOMISFUNKCIJOMIS INTEGRALAI 424.6. PRATIMAI 44

    5. MAPLE IR NEAPIBR ĖŽTINISINTEGRALAS 465.1. KOMANDOS 465.2. PATIKRINIMAS 485.3. GRAFIKAS 485.4. INTEGRAVIMO METODAI 495.5. REKUREŇCIOSIOS FORMUL̇ES 515.6. RACIONALIOSIOS FUNKCIJOS 525.7. IRACIONALIOSIOS FUNKCIJOS 525.8. SPECIALIOSIOS FUNKCIJOS 545.9. APYTIKSLĖS FORMULĖS 555.10. PRATIMAI 57

    6. KLAUSIMAI ŽINIOMS PASITIKRINTI 58ATSAKYMAI 69Literatūra 70

    4

  • PRATARM Ė

    Tradicinis aukštosios matematikos dėstymas visai nenaudoja šiuo-laikinių informacini ˛u technologij ˛u ir nepateisinamai daug laiko skiriauždavini ˛u sprendimo technikai ˛isigyti. Tǎciau sukurtos per pastar ˛ajįdešimtmet˛i kompiuteriṅes programos sekmingai sprendžia klasikiniusmatematinius uždavinius ir rankinio sprendimo ˛igūdžių verṫe gerokaisumenk̇ejo. Šioje integralinio skaičiavimo mokomojoje knygoje ak-tyviai naudojama kompiuterinė programa Maple. Kiekviename kny-gos skyriuje pateikiami uždavini ˛u sprendimo pavyzdžiai bei pratimaisavarankiškam darbui. Test ˛u klausimai skirti teoriṅems žinioms ir vidu-tinio sunkumo integral ˛u skaǐciavimo įgūdžiams pasitikrinti.

    Visi knygos skyriai numeruojami vienu arabišku skaitmeniu (1. . . 6);poskyriai numeruojami dviem skaitmenimis, pirmas skaitmuo yra skyr-iaus numeris (1.3, 4.2); pavyzdžiai, pastabos ir paveikslai numeruojamitrimis skaitmenimis (3.1.2), pirmieji du skaitmenys rodo poskyr˛i (3.1),o paskutinis skaitmuo (2) yra pavyzdžio, pastabos ar paveikslo numerisšiame poskyryje.

    5

  • 1. PIRMYKŠT Ė FUNKCIJA IRNEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS

    1.1. PIRMYKŠTĖS FUNKCIJOS APIBRĖŽIMAS

    1.1.1 APIBRĖŽIMAS. Funkcija� ��� vadinama funkcijos���, � � ��� �� pirmykšte, jeigu (�� � ��� ��) ji yradiferencijuojama1 ir jos išvestiṅe tenkina lygyb˛e

    � ���� ���

    PAVYZDŽIAI1.1.1. ��� � ��� ��� �� � � ��� ��� ��� ��

    1.1.2. ���

    �� � �

    Įrodykime, kad� ��� �� ��� �

    ���� kai � � �

    �� ����� kai � �

    Turime: ������

    �� ��� ������ ����

    1.1.3.��� ���� � � ��� ��

    1.1.1 PASTABA.Kadangi�� ��� � ��� � ���� � � � ��� � ���, (� � � �����), tai pridedami prie pirmykštės funkcijos� ��� betkurią konstant ˛a, gauname kit ˛a pirmykštę funkciją, t. y. pirmykščiųfunkcij ų yra be galo daug.

    1Priminsime, kad funkcij ˛a ���� vadiname diferencijuojama, kai

    �������� ���� � ����� � ������

    ir ši sąlyga yra tenkinama, kai ji turi išvestin˛e� ����.

    6

  • 1.1.1 TEOREMA. Jei����� ir ����� yra dvi funkcijos���,� � ��� �� pirmykšṫes funkcijos, tai j ˛u skirtumas lygus konstantai:

    ������ ����� �

    I̧rodymas. Pažyṁekime���� ����� � �����. Funkcija���� yradiferencijuojama intervale��� �� ir jos išvestiṅe lygi nuliui:

    ����� � ������ � ����� ���� ��� � �� � ��� ��

    Paimkime bet kur˛i skaǐcių �� � ��� �� ir taikome Lagranžo2 formulę:�� � ��� ��� � ���� �� (arba� � ��� ���):����� ����� �������� ��� � ��� ��� .Taigi ���� ����� � � �����. Arba������ ����� �.

    1.2. NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO S ĄVOKA

    1.2.1 APIBRĖŽIMAS. Visų pirmykš̌cių funkcijų aiḃe� ������ vad-inama funkcijos��� neapibrėžtiniu integralu ir žymima

    ������ � ��� � �

    Funkcija��� vadinamapointegraline funkcija, reiškinys����� – po-integraliniu reiškiniu, kintamasis� – integravimo kintamuoju. Pirmyk-šṫes funkcijos radimo veiksmas vadinamasintegravimu.

    2Joseph Louis Lagrange (1736–1813) — pranc¯uzų matematikas ir mechanikas.

    7

  • PAVYZDŽIAI

    1.2.1.�

    ��� � � �

    1.2.2.�

    ��

    � � �� ������ �� �

    Visų pirmykš̌cių funkcijų grafikai gaunami vienos kreivės post¯umiuišilgai ordinǎcių (��) ašies (1.2.1 pav.).

    1.2.1. pav.Pirmykšṫes funkcijos

    Taigi per kiekvien ˛a plokštumos tašk ˛a ����� ���, kai �� � ��� ��3 ir��� � � eina lygiai viena kreiv̇e – pirmykšṫes funkcijos�����

    3Visos pirmykšṫes funkcijos apibṙežtos kai� � ��� ��.

    8

  • � ��� � �� grafikas. Ši ˛a pirmykštę funkciją galima gauti iš s ˛alygos������ ��, kuri visada yra tenkinama, jei�� yra lygties� ������ �� sprendinys.

    1.3. NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYB ĖS

    ���

    �����

    ��

    ���

    �Æ �

    �������

    � �����

    ���� ��� � ��� � �

    ��

    ����� � �������� �

    ������� �

    �������

    �Æ Jei� ��� yra funkcijos��� pirmykšṫe funkcija

    �� ���� ����� tai����� ����

    �� ���� �� � �

    I̧rodymas�Æ

    ������

    �� ��� � ��� � ���� � � � ��� � ����

    �Æ �������

    ������

    �� ������

    Æ

    ��� ���

    �� ������

    ������ � ��� � ��

    �Æ

    �������� �

    �������

    �������

    ���������

    �������

    � ��������

    ���� � ������

    9

  • �Æ

    ��

    �� ���� ��

    ��

    �� � � � ���������� ��� ���� ��.

    PASTABOS1.3.1. �Æ, �Æ ir Æ savyḃes rodo, kad integravimas ir diferencijavimasyra atvirkštiniai vienas kitam veiksmai.1.3.2.�Æ savyḃe yra vadinamatiesiškumu.1.3.3. Pavyzdžiai 1.3.6. ir 1.3.6. rodo kaip integruojant yra taikoma�Æ savyḃe.

    PAVYZDŽIAI

    1.3.1.�

    ��� ���� ���

    �� žr. �Æ savybę:� �� �

    ��� ��� �� � ��� � ��� �

    ��

    ��� ���� � � �

    1.3.2.�

    ���� ��� �� � �� � �

    ��� �� � ���

    ��

    ���� ��

    �� �

    1.3.4 PASTABA.Neapibṙežtinis integralas yra vis ˛u pirmykš̌cių funkcijųaibė. Toḋel, integruodami 1.3.2 integral ˛a kitaip:�

    ���� ��� �

    ������

    ��

    �� � �� � ��� ��� �� � �� ���gauname t ˛a pǎcią formulę, jei tik pažyṁesime

    �� � �� �� � � ��

    .

    10

  • 1.4. NEAPIBRĖŽTINI Ų INTEGRAL Ų LENTEL Ė

    Surašykime elementari ˛ujų funkcijų neapibṙežtinius integralus.

    � �� �

    �����

    ����

    �� �� �� � � ���

    � � �� ��� �� �

    ���

    � �� ���� �� � �

    �����

    ��

    ���� �� � � � � � ��

    ��� � � �

    ������� � ��� �� �

    ���� ��� ����� �

    ���

    ���� � ����� �� � � �

    �� ��� � �������

    ���

    ���� � � ��� �� �� � � ��� � �������

    �������� ������ �

    �����

    � � ��

    �� ���� �

    � � ��

    ����� ��� ������ �

    ���

    ����� � ������ �

    ����� �����

    ���� �� ���� �

    �����

    �����

    ��

    ���

    ����� � � ���� �� �

    11

  • ��

    ������ � ��

    ���

    �������

    �� �

    � ������ ��

    � ���� � ���� � �

    ����

    �� �� �

    �������� �

    � ������ �� � ��� � �

    ������ ��

    �� ������ ���� �� �� �� �

    ��

    ���

    �� � ��

    �����

    �������

    �� �

    ���

    arccot�

    �� �

    � �

    ���

    � � ��

    ������� �� �

    �arccot�� ���

    ���

    �� � �� �

    ������ �

    �� � � �� � �

    Visas formules galima ˛irodyti tiesioginiu diferencijavimu.Patikrinkime, pavyzdžiui,� formulę:

    ��� ���

    ��� ���

    ��

    ����� ��

    ��

    � ���

    ���� ��

    ����� ��

    1.5. PRATIMAI

    Raskite funkcijos��� pirmykštę funkciją� ���,tenkinaňcią sąlygą� ���� ��:

    1) ��� ����� � �� ; 2) ��� ��� �� � ��

    ��

    ��

    �;

    12

  • 3) ��� �

    � � ���� � �� .

    Raskite funkcij ˛a� ���:

    4) � ���� ���� ��� � ���� ���

    ;

    5) � ���� ��

    �� �� � ��� .

    Apskaǐciuokite� ����, kai� ���� ��� ir � ���� ��;

    6) ��� �

    � ��� �� �� �� � ��

    ;

    7) ��� ��

    ��� �� �� � �� �� �� �.

    Suintegruokite

    8)�

    ��

    � � ��;

    9)�

    ����� ���� ;

    10)�

    ����� � .

    ATSAKYMAI

    1) � ��� �� ��� �; 2) � ��� ����; 3) � ��� ��

    ������ ��;

    4) � ��� ���� ��

    ��; 5)�

    ��

    ���� ��; 6) � �

    ��

    ;

    7) � ��� �

    ; 8)

    ��

    ���������

    � �; 9)

    ������� ��� �;

    10)��

    ��� �� �;

    13

  • 2. PAGRINDINIAIINTEGRAVIMO METODAI

    2.1. TIESIOGINIS INTEGRAVIMAS

    Taikydami neapibṙežtinio integralo tiesiškumo savyb˛e ir elementari ˛ujųfunkcijų integral ˛u lentelę, integruojame šiuos integralus.

    PAVYZDŽIAI

    2.1.1.�

    �� � ����� � ����� �

    �����

    �������� �

    ���

    ���

    ��� � �� � ��� �� �� � �

    ��

    ���

    �� � �

    � ��

    ���

    �� ��� ��

    ��� � ��

    � �� � �� � ��

    2.1.2.�

    ���

    � � ����

    ����� � �� ��

    � � ���� �

    ���� �

    ���

    � � ��

    ��� � ������ �� �

    2.1.3.�

    ���� ���

    ����� ���

    ���� �

    ��� ���� �

    ���� ���

    ���

    ���� ����� ����� �� �

    14

  • 2.2. INTEGRAVIMAS, KEI ČIANT KINTAM ĄJĮ

    Kai � yra ne nepriklausomas kintamasis, o kito kintamojo� funkcija, taijo diferencialas�� ������� ir turime formulę:

    ������

    ��������������

    2.2.1 PAVYZDYS.�

    ��� ��� � ��� � ��

    Įveskime nauj ˛a integravimo kintamaj˛i: �� � �� �.Tada�� ���� �� �� ir turime�

    ��� ��� � ��� � ��

    ���

    �� �

    �� ��� ��� � �� ��� � ��� �� ��

    PASTABOS2.2.1. Iš lygties�� � �� � galima išreikšti� � � �� � � irpakeisti kintam ˛ajį � � �

    �� � � (arba� � ��� � �). Tarkime,

    kad� � ��

    � � �. Tada�� ��

    ��

    � � �ir pertvarkome integral ˛a

    ���� �

    �� � ��� �

    �� ��

    � � ��� � ��� ��� � �� � � ���

    ��

    � � �

    ���

    �� �

    Taigi gauname t ˛a pat˛i rezultatą.2.2.2. Galima pasteḃeti, kad vardiklio diferencialas yra lygus skaitik-liui: ���� � ��� �� ���� ����. Taigi

    ���� �

    �� � ��� � �� �

    ��

    �� �

    ���� � ��� �

    �� � ��� � �

    ir galime integruoti, mintinai keičiant������� �. Šis integravimobūdas vadinamas reiškiniǫikelimu po diferencialo ženklu.

    15

  • Pateiksime kelet ˛a įkelimo po diferencialo ženklu formuli ˛u��������

    �������

    ������

    ����� ���

    ������

    ���� �

    ����� ��� �

    ����� ��

    ������

    �������

    �� �� ����� �������

    ������

    � � ��

    ����� ������ �

    PAVYZDŽIAI

    2.2.2.�

    ��� �

    ���� ���

    ������ ��� �

    ���� �

    �� �

    2.2.3.�

    ����

    ���� ��� �

    �� ��� �

    ���� �

    ��� �� �

    2.2.4.�

    ��� ��� ����

    Pažyṁekime� �� �. Tada�� �

    �� ir turime�

    ��� ��� ���� �

    �������

    ��

    ��� �� � ��

    ��� ��� �� � �

    2.2.5.��� �������

    �keitinys: �� �

    ���� ��� �� ��

    ������� �����

    � � ���� �

    � �

    16

  • PASTABOS2.2.3.Taikydami�Æ neapibṙežtinio integralo savyb˛e, gauname

    2.2.4 pavyzdžio rezultat ˛a be keitinio� �� �.

    2.2.4.Su bet kuriais skaičiais� ir � (� � ): �� ������� ��

    Todėl galima integruoti, ˛ikeliant reiškin˛i �� � po diferencialo ženklu:���� ��� ����

    ���� ��� ������ ��

    PAVYZDŽIAI

    2.2.6.�

    ���

    � � �

    Keičiame� � � ��. Taigi � �� ��� � ��, �� ������ � � ir gauname�

    ���

    � � �

    �����

    ���� � �� ��

    ��

    �� � �

    ����� ���� � � �

    ��

    � � �� �

    � � � �

    � �

    2.2.7.�

    ������

    �������

    ��� � �

    �� ��� �

    ��� � � �� � ��� ��� �

    2.3. INTEGRAVIMAS DALIMIS

    Taikydami sandaugos diferencijavimo formul˛e

    ����������� ��������� � ���������

    ( arba jos kit ˛a pavidal ˛a ����� ��� � ��� ) ir Æ neapibṙežtinio inte-gralo savyb˛e, gauname�

    �������������

    ������ ��

    �����

    ����

    17

  • Taigi turime integravimo dalimis formul˛e

    ���� �� �

    ����

    arba jos kit ˛a pavidal ˛a

    ������������ �������� �

    ������������

    PAVYZDŽIAI

    2.3.1.�� ��� ��� �

    � � � �� ����� ��� �� � � � ��� ��� ��

    ��� �

    �� ��� �

    ��

    ���� ��� �� ��� �

    ���� �� �

    2.3.2.�

    ������ ���

    �� �� �� � � �

    ������ � � � �� ��� � ��

    ��

    ���

    � � �� ��

    ����

    � � �� ��

    ��� �� � ��� � �

    2.3.3.� �� � � ��� ��� � �� � � � ����

    �� � � ����� � ���� � ���� � ��

    �� � � ����� � ���� � � ��� �

    �� � � ����� ���� � ��� �� �� ��� ���

    �� � � ����� ���� � ��� �� � ����� �

    18

  • 2.3.1 PASTABA.Spręsdami paskutin˛i pavyzd˛i, dalimis integravome dukartus ir gavome tiesiogiai integruojam ˛a funkciją. Kitus du integralus2.3.4 ir 2.3.5 irgi du kartus integruosime dalimis, tačiau gausime t ˛apatį integralą (padaugint ˛a iš tam tikro koeficiento). Pažymėję duotaj˛iintegralą raide�, tuṙesime tiesin˛e algebrinę lygtį su nežinomuoju�.Išsprend˛e šią lygtį, gausime ieškom ˛a neapibṙežtinį integralą.

    PAVYZDŽIAI

    2.3.4.�

    ��������

    ��������� �

    ��� ��� �

    ��� ����� ��

    ��� �����

    ��� ��� �� ��

    ��� ����

    ��� ��� �� ��� ����� ��

    ��������

    � � �� �� ����� ������ ��� � �

    �� �� ����� ��� �� ��

    2.3.5.� �

    �� � � ��

    � ��� � � ��

    �� � ��� � � � �� ������ � �

    �� �� � � �

    19

  • ���� � ��

    �������� � �

    ���� � ��

    ���� � ��� ���� � �

    ��

    ���� � �� � � ��

    ���

    ��� � �

    �� � �

    ����� � � � ��

    ���

    ��� � �

    ��� �

    2.4. PRATIMAI

    Suintegruokite, taikydami tiesioginio integravimo metod ˛a

    1)�

    ��

    ����

    ; 2)�

    �� �

    �� ���; 3)

    ����

    �� ��� .

    Suintegruokite, keisdami kintam ˛ajį

    4)�

    ���� � �

    ��; 5)�

    �� � ��� ���; 6)�

    ���� � ��� ���.

    Suintegruokite dalimis

    7)�

    ������ ���; 8)�������; 9)

    ��� ���������.

    ATSAKYMAI

    1)� �

    ���

    � �; 2) �� � �� ��� ��� �; 3) ��

    ���������

    �� �;

    4)��� � � � �; 5)

    �� �

    ��

    � �; 6)

    ��� �

    ���;

    7) � ������ ����� �� � �; 8) ���

    ������ � ��� �� � �;

    9)�

    ��� ��������

    ��� �� � �

    ���� ����

    �� �.

    20

  • 3. RACIONALI ŲJŲ FUNKCIJ ŲINTEGRAVIMAS

    3.1. RACIONALIOSIOS TRUPMENOS

    3.1.1 APIBRĖŽIMAS. Racionaliąja trupmenavadinamas dviej ˛u dau-gianari ˛u santykis

    �����

    ��������

    � � ������ � � � � ����� ��

    ���� � ������ � � � � ����� ��

    Čia�����, ����� – daugianariai, neturintys bendr ˛u šakn ˛u; � ir yradaugianari ˛u lapsniai, t. y.�� � , �� � . Trumpena vadinamataisyk-lingąja, kai� � (skaitiklyje esaňcio daugianario laipnis yra mažesnisuž vardiklyje esaňcio daugianario laipsn˛i), priešingu atveju trupmenavadinamanetaisykling ˛aja.

    Netaisyklingoji trupmena gali b¯uti užrašyta tokiu pavidalu:

    �����

    ����� !��� �

    �����

    �����

    Čia!��� – daugianaris, kuris vadinamas trupmenos�����

    �����

    sveik ˛aja dalimi, o trupmena�����

    �����jau yra taisyklingoji. Trupmenos

    sveikajai daliai išskirti daliname daugianar˛i ����� iš daugianario����� panašiai kaip daliname "stulpeliu" skaičius.

    3.1.1 PAVYZDYS

    Išskirkime trupmenos��� � �� � ��� �

    �� � � sveikąją dal˛i.Dauginame�� � � iš �� tam, kad pašalinti���:

    ��� � �� ���� � �� � ���� ��� ��

    21

  • Užrašome pirm ˛ają liekan ˛a:

    ��� ��� ���� ��

    ��� ���

    ��� ����� �

    Toliau tęsiame dalijim ˛a:

    ���� ��� � � �� � ���� � �� �

    ir užrasome antr ˛ają liekan ˛a

    ��� ���� ���

    ��� ���

    ��� ���

    Taigi��� � �� � ��� �

    �� � � ��� ����� ���� � �

    3.1.2 PAVYZDYS. Pertvarkykime racionali ˛ają trupmen ˛a

    �� � � � ��� � �� � ��� �

    22

  • �� �� ���� ��� ����� ��

    ��� ��� ���

    ��� ����

    ��� ���

    ��� ��

    �� �

    � � ��� � �

    Matome, kad daugianaris�� � � � ��� � �� � � dalijasi iš�� � beliekanos:

    �� � � � ��� � �� � � �� � ��� � �� � ��� ��

    3.2. PAPRASČIAUSI ŲJŲ RACIONALI ŲJŲTRUPMENŲ INTEGRAVIMAS

    3.2.2 APIBRĖŽIMAS. Paprasčiausiomisracionaliosiomistrupmenomis vadinamos šios keturi ˛u tipų trupmenos:

    (I)�

    �� � � (II)�

    ��� �� � (III)���"

    �� � #�� $� (IV)

    ���"

    ��� � #�� $�

    Čia�� "� #� $ yra realieji skaǐciai, � � � – natūralusis skaičius,#� � �$ � , t. y. ��� ir �% tipų trupmen ˛u vardikliai neturi reali ˛ujųšakn ˛u.

    23

  • Suintegruokime vis ˛u keturių tipų paprašciausias trupmenas.

    (I)�

    �� ��� ������ ���� � � �� ��� ��� �

    (II)�

    ��� �� �� ��

    ��� ������� ��

    �� � ��

    ��� ���� � �

    Išskirkime��� ir �% tipų trupmen ˛u vardiklių pilnąjį kvadratą:

    �� � #�� $ ���

    #

    ���

    �$ � #

    ��

    ir pažyṁekime��#

    � �, $�#

    � �� � (diskriminantas neigiamas!).

    (III)�

    ���"

    �� � #�� $�� �

    ����

    �� � ���

    �" � �#

    ����

    �� � ��

    ��� ��� � ��� �

    �" ��#�

    � ��

    �������

    �� �

    ��� ��� � #�� $� �

    �" ��#��

    ��������

    #

    ��$ � #

    � �

    � ����� � #�� $ �

    �" ��#��

    ��������� #��$ � #�

    � �

    Pažyṁekime� ��

    ��� � ���

    �� � � � ir perrašykime�% tipo inte-

    24

  • gralą taip:

    (IV)�

    ���"

    ��� � #�� $�

    ��

    ��

    ��

    ��� � ���

    �" � �#

    ����

    ��� � ���

    ��� � �� ��

    ��� � ������ � � �

    Integralą � integruojame dalimis:

    ���

    ��� � ���

    �� � ���� � ��� � �� � �������� � �����

    �� �� � � �

    ��� � ���

    � ��

    ���� � ���� ����� � �����

    ��

    ��� � ���

    � ��

    ���

    ��� � ���

    � ����

    ���

    ��� � �����

    ��� � ���

    � ��� � �������

    Taigi gavome rekureňciąją formulę

    ��� �

    ����� �

    ��� � ���

    �� � �����

    �� � �� ��

    Kadangi�� � ���� � ��

    �������

    �� �, randame�� ir t. t.:

    ��

    ���

    ��� � ����

    ���� �

    ��� � �����

    ���������

    �� �

    3.2.1 PAVYZDYS.�

    ���

    �� � �� �

    25

  • �����

    ���

    ���

    ��� ��

    � �

    � �� ��� �� ��

    ��

    � ��� ��

    ���

    �� �

    ����

    �� �

    � ��

    ���

    �� �

    � ���� �

    �� �

    � ��

    ���

    �� �

    ��

    ��

    ���

    ��� �

    �� �

    �� ��

    ������

    ��

    ��

    ��� ��� � �� ��� ��

    ������

    ��� ��

    ��

    3.2.1 PASTABA.Tą pat˛i rezultatą gausime, jei��� tipo paprastosiostrupmenos integravimo formulėje paimsime� �, " , # $ �,

    �:

    ����� � �� �� �

    � ������ ��� ��� � �� �

    3.3. KOMPLEKSINIO SKAI ČIAUS SĄVOKA

    Kaip yra žinoma iš mokykliṅes matematikos, lygtis

    &� ��26

  • neturi reali ˛ujų sprendini ˛u. Toḋel formalusis šios lygties sprendinys& ��� nėra realusis skaičius ir vadinamasmenamuoju vienetu. Skaǐcius' � � &� vadinamaskompleksiniu, � Re' – realioji dalis, � Im' – menamoji dalis. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais atliekamikaip su algebriniais reiškiniais, atsižvelgiant ˛i menamojo vieneto s ˛avybę&� ��:

    �� � �&� � ��� &� � � � � � � ��&� � �& � � � �& � ��&� �� �&� � &�� � �� �� � � ���� � �& �� � �&

    Kompleksini ˛u skaǐcių aiḃeje kvadratiṅe lygtis

    �'� � �' � � � � � �

    visada turi du sprendinius, kurie gali b¯uti kartotiniai (lygūs).Išskirkime kvadratinio trinario piln ˛ajį kvadratą

    �' �

    ��

    ��� �� �

    �� �

    ir pažyṁekime diskriminant ˛a( �� � ���. Tada�' �

    ��

    ��(

    ����

    ir

    ' ��

    ��

    �������������(

    ��� kai(

    �&��(

    ��� kai( �

    Kompleksinis skaǐcius ' � � &� vadinamas skaičiaus' � �&� jungtiniu . Taigi jei kvadratiṅe lygtis su realiais koeficientais turikompleksinę šakn˛i ' �� &�, tai kompleksinis jungtinis skaičius' �� &� irgi yra tos lygties šaknis. Pavyzdžiui, lygtis������� turi

    27

  • dvi šaknis�� �� � �& ir �� �� � �&. Pasteḃekime, taip pat, kadnepriklausomai nuo to, ar šaknys��, �� yra kompleksiṅes ar realiosios,kvadratin˛i trinarį visada galima išskleisti dauginamaisiais:

    ��� � ��� � ���� ������ ���

    3.4. RACIONALI ŲJŲ FUNKCIJ Ų REIŠKIMASPAPRASČIAUSI ŲJŲ TRUPMENŲ SUMA

    Bet kuris –ojo laipsnio daugianaris����� turi kompleksini ˛ušakn ˛u4, kurios gali būti ir kartotiṅes5. Tada

    ����� ���� � ���

    ��� � � � � � ������ �� ����� ������� ���� � � � ��� ����

    Čia �� � �� � � � � �� � � � �. Jei kompleksinis skaičius� � � &� yra daugianario su realiaisias koeficientais����� šaknis, taitarp kitų jo šakn ˛u ��� ��� � �� yra ir kompleksinis jungtinis skaičius6

    � � � &� . Tada�� � ���� � �� �� � ��� � �� � �� irpažyṁeję # ��� , $ �� � �� , perrašome sandaug ˛a taip:

    ����� ��� ������� ���� � � � ��� ��� ���� � #��� $���� ����� � #��� $���� � � � ��� � #��� $���� �

    �� � �� � � � �� �� � ���� � �� � � � �� ��� � � � �� � � ��#� � $� ) �� �� � ��

    4Tai yra algebros pagrindinė teorema.5Jei šaknis�� yra�–jo kartotinumo, tai

    ����� �������

    ���

    �������

    ���� � � �

    ���������

    ������ ��

    �������

    ����� �

    6Tokio pat kartotinumo. Pastebėkime, kad iš̌cia išplaukia kad bet kuris nelyginiolaipsnio daugianaris���������� ����� turi bent vien ˛a realiąją šakn˛i.

    28

  • Tarkime, kad�����

    �����taisyklingoji trupmena (� � ), tada egzistuoja

    tokie realieji skaǐciai ���, ���, �

    ���� , �

    ��, , �

    ���� , "

    �� , �

    �� , � � � ,

    "������ , ������� , kad

    �����

    �����

    ����� �� �

    ������ ���� � � � ��

    �������� ������ � � � ��

    ������ �� �

    ������ ���� � � � ��

    �������� ������ � � � ��

    �"���� �

    ��

    �� � #��� $�� � � �� "

    ����� �� �

    �����

    ��� � #��� $������� � � ��

    �"����� �

    ���

    �� � #���� $��� � � �� "

    ������ �� �

    ������

    ��� � #���� $�������

    Taigi kiekvieną taisykling ˛ają trupmen ˛a galima išskleisti paprasčiausi ˛uketurių �� ��� ���� �% tipų trupmen ˛u suma. Šios sumos pavidalas prik-lauso tik nuo trupmenos vardiklio����� šakn ˛u: kiekvien ˛a �–ojo kar-totinumo šakn˛i atitinka lygiai � ḋemen ˛u, realiąją šakn˛i atitinka � ir ��tipo paprašciausios trupmenos, kompleksin˛e šakn˛i atitinka ��� ir �%tipo trupmenos.

    3.4.1 PAVYZDYS.Nurodykime funkcijos

    �����

    ����� ���� � ������ � ������ � �� � � � ��

    reiškimo paprašciausi ˛u trupmen ˛u suma bendr ˛ajį pavidalą:

    �����

    ����� ����� ������ � ������ � ��

    ��"

    ����

    ���

    (

    �� ��

    *

    �� � ��

    ��� ��� �

    �+��,

    �� � ������

    ��� � ������� !

    �� � �

    29

  • 3.5. NEAPIBRĖŽTŲJŲ KOEFICIENT ŲMETODAS

    Parodykime pavyzdžiais kaip galima rasti skleidini ˛u koeficintus.

    3.5.1 PAVYZDYS.Raskime skleidinio

    ��� ����� �� �

    �� � �"

    �� �

    koeficientus� ir ". Suveskime ši ˛u trupmen ˛u sum ˛a prie bendro vardik-lio

    �� �

    ��� ����� �� ���� �� �"��� ��

    ��� ����� ��ir sulyginkime skaitiklius:

    � ���"��� ���"

    Kadangi ši ˛a lygybę turi tenkinti visi realieji�, turime sulyginti koefi-cientus prie vienod ˛u � laipsnių ir sudarome tiesini ˛u lyǧcių sistem ˛a�

    ��" �

    ���"

    Iš čia gauname, kad� �," � ir

    ��� ���� � �� �

    �� � ��

    �� �

    3.5.2 PAVYZDYS

    ��� � ��

    �� � �� � ��

    ��� � ��

    ���� ����� ��

    ��

    "

    �� � ��

    �� �

    ���� ���� � �� �"���� �� � ����� ��

    ���� ����� ��

    30

  • Sulyginame skaitiklius

    ��� � �� ���" � ���� � ��� �" � ���� ��

    ir užrašome tiesini ˛u lygčių sistem ˛a:�������" � � ��

    �� �" � � ������

    Iš čia gauname� �

    ," �

    ,�

    �ir

    ��� � ��

    �� � �� � �� �

    ���

    ��� �� ��

    ���� ��

    Parodykime kaip kitaip galima gauti kai kurias tiesines lygtis ne-apiḃežtiems koeficientams rasti. Šis kitas b¯udas vadinamasatskirųjųreikšmių metoduir jo idėja – priskirti kintamajam� tokias reikšmes sukuriomis greitai galima gauti tiesin˛e lygtį.

    3.5.3 PAVYZDYS

    ��� �

    ���� ��� �

    ��

    "

    �� � ��

    ��� ��� ���� ��� �"���� �� � ��

    ��� ��� �

    Įstatome ˛i lygtį

    ��� � ���� ��� �"���� �� � �� ���

    reikšmes� ir � �:

    � � � � � � � �� ��� �" � � �� �� � � � � ��� � � � � � � ��� ��� �" � � � ��� �� � � � � � � �

    31

  • Taigi gavome� �, � . Reikšmei" rasti reikia tuṙeti dar vien ˛alygtį, kurią galima gauti ˛ivairiais būdais. Raskime��� lygyḃes abiej ˛upusių išvestines:

    ���� ��� � ��� ��� �"���� �� � ��

    ���� �� �"���� �� �

    ir įstatome� �. Gauname� " � ir

    ��� �

    ��� ��� � �

    �� ��� � �

    ��� ���

    3.6. RACIONALI ŲJŲ FUNKCIJ ŲINTEGRAVIMO PAVYZDŽIAI

    Integruojant racionali ˛ają funkciją atliekame šiuos veiksmus:1) jei trupmena ṅera taisyklingoji — išskiriama jos sveikoji dalis;2) taisyklingoji trupmena isreiškiama paprasčiausi ˛u � � �% tipų trup-menų suma su neapibrėžtais koeficiantais;3) surandamos skledinio koeficient ˛u reikšṁes;4) integruojamos paprasčiausios trupmenos.

    3.6.1 PAVYZDYS.��� � �� � �

    �� � �� � ��

    �� � �� � �

    �� � �� � �� � �� � �

    ��� ���� � �� ���

    �� � ��

    �� ��

    ��� � �� � �

    �� � �� � �� �����

    ���

    �� � � ��

    ��

    �� �

    ��

    �� �� ��� ��� � �� ��� ��� �

    32

  • PAVYZDŽIAI

    3.6.2.�

    �� � �� ��� � ��� � �� �

    ��

    ���

    �� ����

    ���

    �� � � �� ��� �� � ������ �� �.

    3.6.3.�

    �� � ��

    �� � ��� � �� �

    ��

    ���

    �� ����

    �����

    �� � ���

    ��

    �� � �

    �� ��� ��� �� ��� � ��� ������ �� �.

    3.6.4.��� � �� � �� �

    � � ��� � ���

    ����

    �� � ��

    ���

    �� � �

    ��� ��� � �� � ������ �� �.

    3.7. PRATIMAI

    Suintegruokite

    1)����

    �� � �; 2)

    ���

    �� � �� �;

    3)�

    ��

    �� � ��� �� ; 4)�

    �� �

    �� � ��� � ��.

    ATSAKYMAI

    1)��

    � �� ������ �� �; 2) ��

    �������

    ��� ��

    ��;

    3)�

    ���

    ������ ��� ������ �; 4) � �� ��� ��� �� �� ��� ����.

    33

  • 4. IRACIONALI ŲJŲ BEITRIGONOMETRINI ˛U FUNKCIJ ŲINTEGRAVIMAS

    Tarkime, kad� ���� ��� � ���, ����� ��� � ��� yra daugianariai.Pažyṁekime

    ����� ��� � ��� � ���� ��� � ���

    ����� ��� � ���

    Tokio pavidalo funkcijos vadinamosracionaliosiomis. Pasteḃekime kadvisi algebriniai reiškiniai su kintamaisiais��� ��� � �� ir keturiais ar-itmetikos veiksmais (������ �) yra racionaliosios funkcijos. Toliau ši-ame skyriuje����� ��� � ��� žymima racionalioji funkcija.

    4.1. INTEGRALAI��

    ���

    ��

    ���� � �

    ��� �

    ���� � � � � ��

    ���� � �

    �� � �

    ������

    Pažyṁekime��� �

    ��� � �� , kai � yra skaǐcių ��� ��� � � mažiau-

    siasis bendrasis kartotinis:$ �

    �� ) �� �� � �. Tada

    � ���� ��� ��� � ��

    ���� ���������� ����� ���

    ��

    ����� �

    ��� �

    ��� ��� �

    ) �� �� � �

    ir integralą perrašome taip:

    ��

    ��� ��

    ����� �

    ��� �

    ���� � � � � ��

    ����� �

    ��� �

    ������

    �R̃�����

    34

  • Čia R̃��� yra vieno kintamojo racionalioji funkcija:

    R̃��� �

    ����� ��� ��� � �

    �� � � ����

    ���� ���������� �����

    PAVYZDŽIAI

    4.1.1.�

    ������ ������ ��

    � ��� ��� � �

    ��� ������ ��� �� � �

    �� ��� � �

    ��

    ��� ���� � ��

    Čia � �, � ��, � �, � ��, � �, � �, �� � �,$� �. Toḋel gauname

    �� ��� � �

    �� � �� ���� �� � ��

    ����

    ��� ���� �

    �� � ��� �� � �� �

    ��

    �� ��ir perrašome integral ˛a taip:� �

    �� ��� � �

    ��

    ��� ����� �� �

    ������ ����������� ����

    ��� ��� � �

    ��� ��� � � �

    4.1.2.��� �

    ��� �

    ��

    ��� � ����

    ��

    ��� �

    � � ��

    ��� � ��

    � ���

    ��� #�

    � #�

    �� #�

    � �� � ��� �� �����

    ��

    ��� � � � �

    �� ��� � ������� �

    ��� � �� � �

    �� � ���

    35

  • � ��� �

    �� � �

    ���

    �� � � ������ �� �

    ���� � � ������ �

    ��� �

    4.2. INTEGRALAI�������� �������

    Priminsime, kad visur���� �� žymima racionalioji funkcija. Keitinys

    ����

    � � � � ������ �� ��

    ���

    � � ��

    vadinamasuniversaliuoju trigonometriniu keitiniu. Pasteḃeję, kad

    ���� � ���

    � � �����

    ��

    � � ���

    ��� � �� ���� �

    � � �����

    �� ��� � ��

    gauname vieno kintamojo� racionaliosios funkcijos̃R��� integralą:�������� ��� ����

    ��

    ���

    � � ����� ��� � ��

    �� ���

    � � ��

    �R̃�����

    4.2.1 PAVYZDYS.�

    ��

    �� � ����� ��� �

    ����

    �� � ��� ��

    �� � ��� � ��

    �� ��� � ��

    36

  • ���

    ��� ��� �

    �� � � � �

    �� ��� ��

    � �

    Universal ˛ujį trigonometrin˛i keitinį galima taikyti visais atvejais, ta-čiau kai funkcija���� �� tenkina papildomus reikalavimus, galimi irkiti, dažnai efektyvesnitrigonometriniai keitiniai:1)��� ����� ��� �� �������� ��� ��� ��� � � ,����

    ��� ��� �� � ���

    �� �� ;2)�������� ��� �� �������� ��� ��� ���� � ,��� �

    ��� ��� �� ���

    �� �� ;

    3)��� ������ ��� �� ������� ��� ��� ���� � � �� ��� � ��

    ���� ��� ��

    � � ���� �

    ��� � ��

    � ��� � ��

    � � ���� �

    ��� � ��

    .

    Taigi kai funkcija������� ��� �� yra nelygiṅe sinusoatzvilgiu – keǐci-ame ��� � � , kai nelygiṅe cosinusoatzvilgiu – ���� � , kaifunkcija���� �� yra lygiṅe abiej ˛u kintamųjų atžvilgiu�������� ���� �� – keǐciame ��� � � .

    4.2.2 PAVYZDYS.�

    ��

    ���� ��� ��

    ���

    � ���� � ��� �

    Kadangi�

    � ���� ��� ��� �� ��

    � ���� � ��� �, pointegraliṅe funkcija

    tenkina 2) s ˛alygą ir keǐciame���� �:

    ���

    � ���� � ����

    � ����� ��

    ����

    �� �� �

    ��

    ������ ���

    � ��

    ��� �

    �� ����� � �

    ���

    ���

    ����� � ��� ������ �

    � �� ����

    ��

    ���

    ����� � ������ ��������� �

    37

  • Integruojant trigonometrines funkcijas, dažnai taikomos šios tapatybės

    ���� ��� � �

    ����� ��� �� � ��� ��� ��� �

    ���� ���� �

    ����� ��� ��� ��� ��� ��� �

    ���� ��� � �

    ����� ��� �� � ��� ��� ��� �

    ���� � �

    ���� ��� ��� � ���� � �

    ��� � ��� ���

    PAVYZDŽIAI

    4.2.3.�

    ��� � ��� ���� �

    ����� ��� ��� ��� ��

    ���� ��� �

    ����� ��� �;

    4.2.4.�

    ��� ���

    ������ �����

    � �� � ��� ��

    ����

    �� � � ��� ��� ���� ��

    ���

    ���

    ���� ���

    �� � ��� ��

    ���

    ���

    ���� ���

    ���� ��� �

    4.3. INTEGRALAI�����

    ���� � ��� ����

    Čia���� �� – racionalioji funkcija,� � . Pakeskime integravimo kin-tamąjį:

    � ���

    ��� �� ��� ��� � ��� � �

    ��� �

    �� �

    ���

    38

  • Pažyṁekime diskriminant ˛a �� � ��� ( ir išnagriṅekime visus7 gali-mus atvejus:1) � � ,( � ;2) � � ,( � ;3) � � ,( � ;4) � � ,( � (funkcijos apibṙežimo sritis yra tuš̌cioji aibė ).

    Pažyṁeję �� ��

    �� -� ( 1) ir 3) atveju ) arba�� �

    �� �-�

    ( 2) atveju ) gausime tokius integralus:

    1)�

    R������ � -���� – keitinys: � -

    ��� �arba �

    -

    ��� �

    2)�

    R������ � -���� – keitinys: � - ��� � arba � - ��� �

    3)�

    R����-� � ����� – keitinys: � - ��� � arba � - ��� �

    4.3.1 PAVYZDYS.�

    ������ � ��� ���

    �� � �� ��� ���� � ��� � �� �

    � � ���

    ��� � ��

    ������

    ��� �

    ��

    ���� ���

    �� �

    ��� �

    ����

    � �

    ���� �

    ��� �

    ��� �

    �� �

    ��� ���

    7Jei diskriminantas� � �, reiškinys�������� po šaknimi yra pilnasis kvadratasir turime racionaliosios funkcijos integral ˛a.

    39

  • ��� �� �

    � ��� ��

    � � ���� �� �

    ��

    � ���

    �� �� �

    ��� � ��� �

    � �

    PASTABOS4.3.1.Nagriṅejamiems integralams galima taikyti Oilerio8 keitinius:1) kai� � , keǐciame

    ���� � ��� � ����� �;

    2) kai � � , keǐciame���� � ��� � ����� ��;

    3) kai��� � ��� � ���� ������ ���, keǐciame���� � ��� � �� � ) �� �;

    Jei kvadratinis trinaris�������� tenkina kelias s ˛alygas, galima taikytikelis keitinius. Tǎciau sekmingas keitinio (ir ženklo�) parinkimas galismarkiai sumažinti darbo apimt˛i.4.3.2.Pamiṅekime dar irhiperbolinius keitinius

    � �����, � �����, � �����.

    4.4. INTEGRALAI��� �� � ����� ��

    Tokio pavidalo reiškiniai, kai , � ir # yra racionalieji skaičiai, vadi-namidiferencialiniu dvinariu. Pakeiskime integravimo kintam ˛ajį

    �� �, � ��

    � , �� �

    ���

    ���:

    ��� ��� ����� ��

    �������� ��� ���� ��

    ��� ��� ���� ��

    8Leonhard Euler (1707–1783) – šveicar ˛u matematikas, mechanikas ir fizikas.

    40

  • Čia pažyṁeta � �

    �� � $. Jei$, # arba$� # yra sveikasis skaičius,

    integralas turi jau išnagrinėtą pavidal ˛a. Kěciant kintam ˛ajį, gaunameracional ˛ujį reiškinį9 :1) # – sveikasis skaičius: keitinys �� �

    2) $ – sveikasis skaičius: keitinys �� ��� ��

    ( # � � – sveikasis, t. y.# #��

    )

    3) #� $ – sveikasis skaičius: keitinys�� ���

    �� ��

    4.4.1 PAVYZDYS.�

    ��

    ����� � �

    ������� � �� �� ��

    Kadangi ��, � �, # ���

    , � �, $ �� � �

    �� � �

    �turime trěciąjį atvejį: # � $ �� yra sveikasis skaičius. Keǐciamekintamąjį: ���� � � ��, � ��

    �� �� , �� ��� � ����

    � ��. Taigi

    integralas pertvarkomas taip:

    ���� ������ ��� �� ���� ���� ��

    ���

    ���

    ��� � ��

    ��

    PASTABOS4.4.1.Skaǐcius$

    � �

    ��� yra sveikasis tada ir tik tada, kai sveikasis

    yra skaǐcius � �

    �. Toḋel 2) ir 3) atvejus galima pakeisti:

    � �

    �arba

    � �

    �� # yra sveikasis skaičius.

    4.4.2. Integralai�

    ���� � ���� ���, kai $ ir yra racionalieji skaičiai,

    9Sakome, kad keitinysracionalina integralą.

    41

  • pertvarkomi taip:

    ����� � ���� ���

    �� ���� '��� � ��� '�� ��

    ��� ��� �'

    ����� � ������ � ��� ���

    �'��� '� ���� �'

    Taigi šis integralas išreiškiamas elementariosiomis funkcijomis kai yratenkinama viena iš s ˛alygų:1) $ yra nelyginis skaǐcius;2) yra nelyginis skaǐcius;3) $ � yra lyginis skaǐcius.

    4.5. NEIŠREIŠKIAMI ELEMENTARIOSIOMISFUNKCIJOMIS INTEGRALAI

    Jei funkcija��� yra tolydi kai� � ��� ��, tai ji turi pirmykštę funkciją� ��� � �� � ��� �� � ���� ���. Tačiau, iš to neišplaukia, kad� ���išreiškiama elementariosiomis funkcijomis. Jau išnagrinėtas diferen-cialinio dvinario integralas

    ������ ����� �� neišreiškiamas elemen-

    tariosiomis funkcijomis, kai ṅe vienas iš ši ˛u trijų skaǐcių #, ����

    ir����

    � # nėra sveikasis. Kitaip sakome, kad jis "nesuintegruojamas".Pateiksime dar kelet ˛a "nesuintegruojam ˛u" integral ˛u pavyzdži ˛u:�

    ��

    ���

    �����

    ����

    ��� ��� ��

    ���

    ���������

    ���� ����

    Kai kurios iš neelementari ˛ujų pirmykš̌cių funkcijų yra vadinamosspe-cialiosiomis. Jos gerai ištirtos ir taikomos taip kaip ir elementariosiosfunkcijos.

    4.5.1 PAVYZDYS. Integraliniu sinusu vadinama funkcija Si���, tenk-

    42

  • inanti sąlygas Si���� ����

    �� Si�� . Raskime apytiksl˛e integrali-

    nio sinuso reikšm˛e Si���. Užrašome funkcijai���� Teiloro10 formulę:

    ���� �� ��

    ����

    ��� � � �� ������� �

    ���� ��� ���������

    ir integruojame reiškin˛i: �����

    ���

    ��

    ��� �

    ����

    ��� � � �� ������� �

    ����

    ���� ��� ������������ �

    �� �

    �� ��

    ���

    ��� � � � � ������� �

    ����

    ���� ������

    �� ��

    �����

    � � � �� ������� �

    ����

    ���� �� � ���� ���

    Taigi

    Si��� � �� ��

    �����

    Si��� � � � ��

    ���

    ��

    ���

    Šioje formul̇eje ������ � �

    ��ir apskaǐciuotoji funkcijos reikšṁe užra-

    šyta su visais tiksliais skaitmenėmis, t. y. �!&��� � ���� � � ���.

    4.5.2 PAVYZDYS.FunkcijaIntegralinis cosinusasCi��� apibṙežiamataip:

    Ci��� ���� . � Cin���� Cin���� �� ��� ��

    � Cin��

    10Brook Taylor (1685–1731) – angl ˛u matematikas.

    43

  • Čia . ������

    ���

    ��

    �� �� ��� ��

    � ���������� – Oilerio ir

    Maskeronio11 konstanta. Taikydami Teiloro formul˛e funkcijai��� �:

    ��� � � �� ��

    ����

    ��� � � �� ����� �

    ��

    ������

    panašiai gauname

    Ci��� � ���� . � ��

    �� �

    ��� �� ������� �

    ��

    ���� � ����� �

    Ci���� � �� �� � ���� � ���

    �� ��

    �� ���

    Frenelio12integralai apibṙežiami kaip tokios pirmykštės funkcijos:

    C���� ������

    �� ��� �

    S���� ������

    �� !��

    PAVYZDŽIAI

    4.5.3.�

    ��� ���

    ���� �

    ��� !&��� ��

    4.5.4.�

    ��� �����

    ��

    �������

    ���

    ��

    �!����� � �

    11Lorenzo Mascheroni (1750–1800) – ital ˛u matematikas.12Augustin Jean Fresnel (1788–1827) – pranc¯uzų inzinierius ir fizikas.

    44

  • 4.6. PRATIMAI

    Suintegruokite

    1)�

    ������� �� ; 2)

    � ��� ����;

    3)���

    � � � ����

    ��; 4)� �

    �� � ���� �

    ��;

    5)�

    ��

    ��

    �� � � ; 6)�

    ��� � ��� ����;

    7)�

    ���� � ��� ���; 8)�

    ��

    � � ��� �;

    Išreikškite integral ˛a specialiosiomis funkcijomis

    9)�

    ��� ���

    � �����; 10)

    ���� ����

    ��� ����.

    Apskaǐciuokite apytiksliaitikimybių integralą erf����, kuris apibṙežia-

    mas taip: erf���� ���

    ��

    � erf��

    11)�� �; 12)�� ��.ATSAKYMAI

    1) ���������� �

    ��� ��

    �� �;

    2)��

    �������

    ��

    ��

    ���

    �� �� � �;

    3)�

    ���

    � � �

    ��

    � � �; 4)��

    �� �

    ���

    � �� �;

    5)���

    ������

    �� � ��

    �� �; 6)

    ��

    �� ��� ��

    �� �;

    7)�

    ��� ��� ��

    ���

    ���� ��

    ��� �; 8)

    ��

    ���

    ����������

    ���

    ����

    ����

    ������� �;9) Si����� � �; 10)

    �Si���� �� � �;

    11) erf��� ���; 12) erf���� ���.

    45

  • 5. MAPLE IRNEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS

    Program ˛a Maple gali naudoti ne tik matematikai, bet ir kit ˛u srǐcių spe-cialistai ir studentai. Svarbu, kad jie suprast ˛u tas matematikos s ˛avokas,kurias taiko savo tikslams. Studijuojančius matematik ˛a Maple13 galiišlaisvinti nuo daug darbo ir laiko reikalaujančių matematini ˛u pertvar-kymų. Tai leis daugiau ḋemesio skirti studijuojam ˛u metod ˛u esmei ir ˛isi-gyti giliasnes matematikos žinias.Maple puikiai atlieka ir labai rimtožinyno funkciją, kai uždavinio sprendimo b¯udas ṅera akivaizdus.

    5.1. KOMANDOS

    Maple komandos ˛ivedamos po sistemos kvietimo simbolio "�" ir baigia-mos kabliataškio simboliu "�". Po to reikia paspausti klaviš ˛a Enter irMaple išveda ˛ivykdytos komandos rezultat ˛a. Apibṙežkime, pavyzdžiui,

    funkciją ��� �� ���

    ��. Maple komandos bei j ˛u vykdymo rezultatas:

    � ���� � ��� � ��/��� Enter

    ��� ��� ���

    ��

    yra pavaizduoti (5.1.1 pav.) Maple sistemos darbo lape14.

    13Bei panašios programos: Mathematica, MathCAD, MatLab, REDUCE ir kt.14Komand ˛u išvedimo pavidal ˛a galima nustatyti sistemos komandomis

    Insert Standard Math Input

    46

  • 5.1.1 pav.Sistemos darbo lapas

    Integralui������ rasti reikia ˛ivesti komand ˛a ��:

    � �����������

    � �� ����

    � ��

    Norėdami matyti ˛iprastus matematinius žymėjimus, galime taikyti darvieną komand ˛a �:� ��������� ������������

    �� ���

    ���� � �� ���

    �� ��

    Atkreipkime ḋemes˛i, kad Maple rašo tik vien ˛a pirmykštę funkciją, t. y.praleidžia konstant ˛a�. Bet kurią pirmykštę funkciją� ��� galima gautitaip:� ���� � ���������� ���

    � ��� � � �� ����

    � ��

    � �

    47

  • Išsirinkime pirmykštę funkciją����, tenkinaňcią sąlygą�

    ��

    � :

    � � � � � ���� � ���������������

    ���� �� �� � ���� � � �

    PASTABOS5.1.1.Funkcija��� gali būti apibṙežta ir taip:� � � �� � ��� � ��/���5.1.2. Atkreipkime ḋemes˛i, kad funkcijai��� apibṙežti bei constantai� reikšmei priskirti taikoma komanda� (tai ṅera lygyḃes simbolis ""!);5.1.3.Matematiniams reiškiniams suprastinti taikoma komanda��������,kuri gali būti ir su parametrais15;5.1.4. Kai nenorime išvesti tarpini ˛u rezultat ˛u, komand ˛a baigiame nekabliataškiu "�", o dvitaškiu "�" (žr. � � � ).

    5.2. PATIKRINIMAS

    Patikrinkime, ar gautos funkcijos išvestinė yra lygi pointegralinei funkci-jai (����� ���):� ����������������������

    �� � ���

    ��

    5.3. GRAFIKAS

    Funkcijos���� grafikui (5.3.1 pav.) nubraižyti taikome komand ˛a:� ����������� ��

    ��� �

    �� �������� ���

    15Maple turi galing ˛aHelpsistem ˛a su komand ˛u taikymo pavyzdžiais.

    48

  • 5.3.1 pav.Funkcijos grafikas

    5.4. INTEGRAVIMO METODAI

    Kintamojo keitimasPrograma Maple turi komand ˛u ir tarpiniams integravimo veiksmams at-likti. Tarkime, kad integruodami reiškin˛i

    � ���� ��� � �

    � � ����

    norime pakeisti integravimo kintam ˛ajį�� �

    �� � ��:

    � ������������ � ������������ �!�"��� � #�/��� �� ��� ����� � #�/��� �����/�� � ��/�� � ������ ����

    ����� ���

    ����� �����

    ��� � �� � �� ������� � ��� ��49

  • PASTABOS5.4.1. Nors parametr ˛u �, � reikšṁes nenurodytos, Maple sekmingaiatlieka algebrinius pertvarkymus. Kartais tikslinga nurodyti papildomassąlygas kintamiesiems. Pavyzdžiui, komanda�������� � �� (žr. 5.8.2 pastab ˛a) nurodo, kad parametro reikšmėsgali būti tik teigiamos;5.4.2. Komanda������������ nurodo Maple paket ˛a ������, kursistema ieško komandos��� �!�".

    Integravimas dalimisKita tarpiniams veiksmams atlikti yra dalinio integravimo komanda:� ����"���������� � �� � ���# � ������ ���# � ����

    �����������

    ���

    ��� ���� � ����

    ���

    Matome, kad nurodyta komandoje����"�� funkcija ����� � �� inte-gravimo dalimis formul̇eje

    ���� �� � � ��� yra lygi �.

    Pabandykime suintegruoti�

    ���� ��� ��� ������:� ����� � � � #� � ����� � �������

    ���� ��� ��� ������

    ir Maple tik pakartoja komand ˛a. Taikome komand ˛a ����"��:� ������������ � �������������"�������� � � � #�

    � ���� � ������ �� � � � #����

    ����� ��� ��� ��� � � ���� ����� ��� �������

    Kadangi šio reiškinio integralas turi jau vienetu žemesn˛i laipsnį, gal-ime panašiai pertvarkydami j˛i, gauti rekureňcjiąją formulę integraluiskaǐciuoti: �� 0 � 1 ����. Formul̇es koeficintai0 , 1 prik-lauso nuo�, �, �, �, �. Ši formul̇e yra gremezdiška iřcia nepateikiama.

    50

  • Pasteḃekime, kad Maple turi daug priemoni ˛u matematiniams reiškini-ams pertvarkyti16.

    5.5. REKURENČIOSIOS FORMUL ĖS

    Parodykime kaip galima taikyti rekurenčiąsias formules. Pažyṁekime

    *�����

    ������ ��� � �

    ��������

    ��� � � *�������

    ir sudarykime Maple paprogram˛i17

    � $� � �"��� �� ��%���� �� ������ � ��� "���" ���������� � � ������� � $��� ������ �� �

    �� �"�� � Enter�

    Matome, kad Maple kol kas neatlieka joki ˛u veiksm ˛u. Noṙedami ap-skaǐciuoti, pavyzdžiui,

    ������, taikome komand ˛a:

    � $��&����

    ��� � ���� �

    �� � ��

    � � ���� � ���� � ��

    �16Be pamiṅetos komandos�������� yra ir kitų panaši ˛u komand ˛u: �����,

    ����, ����, ����, ���� ir kt.17Norėdami rašyti Maple komand ˛a naujoje eiluṫeje spaudžiame kart ˛u klavišus Shift

    ir Enter .

    51

  • 5.6. RACIONALIOSIOS FUNKCIJOS

    Suintegruokime�

    � � ��� � ���� � ��� ���� � � � ��� � ��� � ��� � �� �

    ����� � �� � ��� � �' � ��� � � � � �� ���� � ��� �� � � � ��� � � �� � � � �� � ��������/�������

    �� ��� ��� � �� ��� � �� � �� ��� � ��Išsiaiškinkime ingegravimo eig ˛a. Iš rasto integralo galutinio pavidalomatome, kad integruojamos trupmenos vardiklis išskledžiamas sandauga��� ����� � ����� � ��. Tai galima gauti ir kitaip:� �����"��� � � � �� � � � �� ��� � � ��� ���

    ��� ����� � ����� � ��Taigi iš racionali ˛ujų funkcijų integravimo teorijos išplaukia, kad pointe-gralinį reiškinį galima išskleisti paprasčiausi ˛u trupmen ˛u suma:

    � � ��� � ���� � ��� ���� � � � ��� � ��� � ��� �

    �� � �"�� �

    �� � ��(��*

    �� � �

    Koeficientus� , " ��, ( �, � * galima rastitaikant Maple komandas. Komanda�"��� suveda trupmen ˛u sum ˛aprie bendrojo vardiklio. Gauto daugianario koeficientams išskirti yrakomanda���� . Lygčių sistemai spr˛esti taikomos komandos iš bib-liotekos���� .

    5.7. IRACIONALIOSIOS FUNKCIJOS

    Jei Maple neintegruoja reiškinio18 galima pabandyti pakeisti kintam ˛ajį:� "����"� � ���� � �/���/�� � �����/������ ��/�� � �����/����

    ��� ���

    �� �

    ���

    ��

    �� �

    �18Vėlesni ˛u Maple versij ˛u galimyḃes, be abejo, tik diḋes.

    52

  • � ����������� ���

    �� �

    ���

    ��

    �� �

    � ��

    Pakeiskime integravimo kintam ˛ajį:� ������������ � ������������ �!�"���/�� � ��� ��� ������������

    ���

    ��� � ����� � ���� ��

    � �� � �����/���� � �� � ��� � �������

    ��� � ��� ��

    �� � � �

    ��� ��� � ��� �

    �� ��

    ��� ��� ��

    PASTABOS5.7.1.Norint sutrumpinti matematinius reiškinius, galima pažymėti tarpiniusrezultatus komanda�;5.7.2.Matematines formules bei j ˛u dalis (žr. 5.7.3 pav.) galima ˛iterpti įMaple komandas ir sistema užrašo reiškinius savo formatu.

    53

  • 5.7.1 pav.Formulių kopijavimas

    5.8. SPECIALIOSIOS FUNKCIJOS

    Kai kurie integralai išreiškiami specialiosiomis funkcijomis:� �������/���� ��������/������

    ������

    ��� Si���

    � "����"� � �������� � �� � ���� � �������� � ��������

    � ���� � � ������� �� ���� � Ci����

    Programa Maple atlieka veiksmus su specialiosiomis funkcijomis kai suelementariosiomis funkcijomis:� (���/�� �!����(���������� ����/�� �!��������)�������

    Si

    ��

    � ����

    Ci

    � �������

    54

  • Nubraižykime integralinio sinuso Si��� ir cosinuso Ci��� grafikus (5.8.1pav.):� "����"� � ������(���������� �� �

    �����

    ������" �#�����#���� � ������� ���

    5.8.1 pav.Funkcijos Si(x) ir Ci(x)

    PASTABOS5.8.1. Komanda"����"� išlaisvina visus kintamuosius nuo priskirt ˛ujiems reikšmi ˛u ir Maple "pamiršta" kad, pavyzdžiui,� jau buvo ˛igyjęsreikšmę� � �. Tokiu atveju� jau yra konstanta ir negali b¯uti integrav-imo kintamasis. Jei nenaudoti komandos"����"� Maple praneš apieklaidą:Error, (in int) wrong number (or type) of arguments.5.8.2.Komanda�������� � �� nurodo sistemai kintamojo apibrėžimosritį. Atkreipkite ḋemes˛i kaip Maple pažyṁejo kintam ˛ajį � � . Jeineįvesti apribojimo� � , Maple integruoja š˛i reiškinį kompleksini ˛uskaǐcių aiḃeje.

    55

  • 5.9. APYTIKSL ĖS FORMULĖS

    Kaip jau maṫeme, kai Maple napavyksta suintegruoti reiškinio komanda�� tik rašo integralo matematin˛i pavidalą. Tokiu atveju19 taikome apytik-sles formules pirmykštei funkcijai išreikšti. Integralo

    ���� �� ��� ����

    Maple neintegruoja:� "����"� � ���� � ���*� � ������� � ������������

    ��� �� ��� ����

    Kai � yra mažas skaičius, galima išskleisti pointegralin˛e funkciją Teiloroeilute taško� aplinkoje ir pirmykšṫe funkcija bus apytisliai lygidaugianario integralui. Parodykime atitinkamas Maple komandas:� +��� � �����"����*� � ��������� ������

    !��� ��

    �� �� � �

    ��� � � �

    ��� � �

    ������� �

    ��

    ����� � �

    ������ � "�����

    � ���� � ��!�"��+������������

    #��� ��

    �� �� � �

    ��� � � �

    ��� � �

    ������� �

    ��

    ����� � �

    ������

    � *��� � �����������

    $��� ��

    �� �� � �

    ��� �� �

    ��

    ��� � �

    ������ �

    ��

    ����� � �

    ������

    19Apytikslėmis formul̇emis galima pakeisti ir labai gremezdiškus reiškinius.

    56

  • 5.10. PRATIMAI

    Suintegruokite, taikydami Maple komandas

    1)�

    ��

    ��� � ��;

    2)�

    ��

    ��

    �� � ���;

    3)�

    ������� � ����

    ;

    4)�

    ��

    �� � ��� ���.

    ATSAKYMAI

    1) ���

    � � ��

    �� � ����

    ��� � ����

    � � �;

    2) ��

    �� � �� ��� � �� �

    ��

    �� � ����

    ��� � �

    ;

    3)�� � ��� � ��

    ;

    4)����

    ��

    �����

    ��

    .

    57

  • 6. KLAUSIMAIŽINIOMS PASITIKRINTI

    Kiekvienam klausimui si¯ulomi keli atsakymo variantai, tarp kuri ˛u yratik vienas teisingas. Keliolika pirm ˛ujų klausim ˛u skirti teoriṅems žin-ioms pasitikrinti ir nereikalauja skaičiavimų. Jie turi būti sprendžiamimintinai. Kiti klausimai yra vidutinio sunkumo integravimo uždaviniaiir skirti įgūdžiams pasitikrinti. Atkreipkime dėmes˛i, kad teisingam at-sakymui gauti b¯utina tvarkingai atlikti matematinius pertvarkymus, kuri-ems reikia toki ˛u elementariosios matematikos žini ˛u: trigonometrini ˛u

    funkcijų ���� ir ���� reikšṁes, kai� įgyja reikšmes,�

    �,�

    �,�

    ,

    �; redukcijos formul̇es��� ��� ��, ��� ��� ��, kai � įgyja tas pǎcias

    reikšmes; rodikliṅes bei logaritmiṅes funkcijos savyḃes.

    1 Jei"����� "�

    ���� ����, tai funkciju̧"���� ir "����skirtumas yra

    1� funkcijos���� pirmykšṫe funkcija;2� nulis;3� konstanta;4� funkcijos���� išvestiṅe.

    2�

    ��

    ���

    ��

    1� � � �'���'; 2� � � �����';

    3� � � �'��'; 4� � �'��';e� � �'���'.

    58

  • 3�$��������

    1� � $�������; 2� ��

    �$�����;

    3� ���$�����; 4� � � $�����;

    5� � $�����.

    4�

    ���"

    ��� ����� ��� ��

    1� 0 �������� ��� �

    ����� �;2� 0 �� ��� ��� 1

    �� � �2

    ��� ��� � �;3� 0 �� ��� ���1 �� ��� ��� �;4� 0 �� ��� ���1 �� ��� ��� 2

    �� � � �.

    5��3��3

    � � 3�

    1� � � �3�� ������ 3; 2� � �3�� ������ 3;3� � � �3�� ������ 3; 4� � �3�� ������ 3.

    6���� ��� �����

    1� ���� ��� ���� � ��� ��� ������;2� ��� ��� ���� � ��� ��� ������;3� ��� ��� ��� � � ��� ��� ������.

    59

  • 7� $�������

    ��

    1� � $������� ������

    �; 2�

    ��������$�����

    ;

    3� � �$�������� ��; 4� � � $������������

    .

    8�

    ���� � ����� ��

    1� � ����� � � ������;2� � � ����� � � ������;3� � ����� � � ������;4� � ������ � � �����.

    9 Kuri lygybė yra teisinga ? (� � ��������� )�,�

    �� ����������

    ��������� � ��

    �-�� ����

    ��������� ��

    �������� � �

    1� (B); 2� nė viena; 3� (A); 4� abi lygyḃes.

    10 Kuri lygybė yra teisinga ? (� � ��������� )�,�

    � ������� � � � ������ ����

    ���� � ��� ��

    �-�� ���

    � � ����

    ����������� � �

    1� (A); 2� (B); 3� nė viena; 4� abi lygyḃes.

    60

  • 11 Kuri lygybė yra teisinga ? (� � ��������� )�,�

    ���������� ���� � ��

    �-�� ���

    ��

    ���� ��� �

    ��

    ���� ��� � �

    1� (B); 2� (A); 3� abi lygyḃes; 4� nė viena.

    12 Kuri lygybė yra teisinga ? (� � ��������� )�,�

    ��� ���������� �

    ������ � ��

    �-�� ���

    ��������� � �

    ���������� � �

    1� (A); 2� nė viena; 3� abi lygyḃes; 4� (B).

    13 Nurodykite teising¸a skleidinio pavidal¸a.���

    � � ���� � ���� ��

    ��� ����� � ��� ����

    1� ���� �

    ���

    ��� ����

    ����� ���

    ��

    ��� ���

    ��������� � ��� �� �

    �������� � ��� ���� �

    ���������� � ��� ���� ;

    2� ���� �

    ���

    ��� ����

    ����� ���

    ��

    ��� ���

    ��������� � ��� �� �

    �������� � ��� �����

    ��������

    ��� � ��� ���� ���������

    ��� � ��� ��� ;3� teisingas skleidinys nenurodytas;4� ��

    ��� ���

    ��������� � ��� ���� .

    61

  • 14 Kuris keitinys racionalina integral¸a?

    � ����� � � ���

    ���� ���� ��

    ��� � �

    ������ ���� ��

    ��

    ��� ��

    ���� ���� ��

    ��� �

    ����� ���� ��

    ���� ���� � �

    ��

    1� ���� ���� ��

    ���; 2� ���� ���� ��

    ���;

    3� ���� ���� ��

    ��; 4� ���� ���� ��

    ��;

    5� ���� ���� ��

    ����; 6� ���� ���� ��

    ��.

    15 Tarkime, kad*���� ��� ir 4 ���� 5���.

    Tada�

    ���5�����

    1� *5 � � *�5; 2� *5 � � 4*��;3� 5 � � *�5; 4� *4 � � 4*��.

    16 Tarkime, kad���� yra funkcijos$���pirmykšṫe funkcija,�� � � �� �6� ����������.Tada����� ��� � �

    �$� ����� ��

    ��

    ���� �����

    1� �������� ��

    �� 6; 2� ���

    ����� ��

    �� 6;

    3� �������� ��

    �� 6; 4� ����

    ����� ��

    �� 6.

    62

  • 17 Tarkime, kad4 ��3� $�3� ir , ��3� $�3�.Kuris teiginys yra teisingas?��� "� � � � 4 �3� �,�3��"� ���� "� � � � 4 �3�

    ,�3� � �

    "�4 �3� �"�

    1� (2) ; 2� (1) ; 3� abu teiginiai; 4� nė vienas.

    18 Tarkime, kad� ��� ir ,��� yra dvi funkcijos$���pirmykšṫes funkcijos.Kuris teiginys yra teisingas?��� "� � � � � ��� � �,��� �� ��� �"����� "� � � � � ���,��� � ���� �"�

    1� (2) ; 2� (1) ; 3� nė vienas; 4� abu teiginiai.

    19 Kuris integralas išreiškiamaselementariosiomis funkcijomis ? (�� �� ���������� )

    �,�

    � ���� � �������

    ��

    ���

    �-�

    ����� � �

    ���� �

    ���������

    1� (B); 2� (A); 3� abu integralai; 4� nė vienas.

    63

  • 20�

    ��

    � � ���

    1� ������ � � �; 2� ������ ��� ��;3� ������ ��� � �;

    4� ������ ����

    � �; 5� ������ ���

    � �.

    21�

    ���������

    1� ������ � �; 2� ���������

    � �;

    3� ������� � �; 4� � ������� � �;5� � ������ � �; 6� �������

    ���.

    22 Raskite� ��, kai� ��� ir � ���� � ��� �

    �.

    1� �

    ; 2� ��; 3� ��

    ; 4� ��

    ;

    5� ���

    ; 6� �; 7� �

    .

    23 Raskite� ��

    ��, kai� �� ir

    � ���� �� ������ ��

    �� �� .

    1� ���

    �; 2� ��

    ��; 3� ��

    ��; 4� ���

    ��;

    5� ����

    ��; 6� �

    �; 7� ��

    ��.

    64

  • 24 Raskite� ���, kai� �� ir � ����

    �� ������� �

    � � ��.

    1� �

    �; 2� �

    �; 3� ��

    �; 4� ��

    �;

    5� �

    �; 6� ��

    �; 7� ��

    �.

    25 Raskite� ���, kai� �� ir � ���� ������ .

    1� ���

    ; 2� ���

    ; 3� � ���

    ; 4� � ��� ��

    ;

    5� ���

    ; 6� ��� ��

    ; 7� � ���

    .

    26 Raskite� � �

    � ��

    ��, kai� �

    ��� ir

    � ���� ��� ������ ���.

    1� ���

    ; 2� ���

    ; 3� ��

    ; 4� ���

    ;

    5� ��

    ; 6� ��

    ; 7� ���

    .

    27 Raskite� ��, kai� ����

    � ir � ���� ������.

    1� ��

    ; 2� ��

    ; 3� ���

    ;

    4� ���

    ; 5� �

    ��

    .

    65

  • 28 Raskite� ��

    ���, kai� �� ir � ���� ��� �������.

    1� � ����

    ���� � ��; 2� � �

    ������

    �� �

    �;

    3� � ����

    ��� �

    �;

    4� � ����

    �� ��; 5� � ����

    ����� ��.

    29 Raskite� ��

    �, kai� �� ir

    � ���� ��� ���������.

    1� � �

    ��� � ��; 2� � �

    ��� �

    �;

    3� � �

    ��� �

    �;

    4� � �

    �� � ��; 5� � �

    �� � ��.

    30 Raskite� ��