UNIVERZITET U NISUPRIRODNO–MATEMATICKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

Nebojsa Grozdanovic

PRIMENA LANACA MARKOVA U ZIVOTNOM

OSIGURANJU

Master rad

Mentor

dr Marija Milosevic

Nis, oktobar 2014.

Sadrzaj

Uvod 3

1 Osnovni pojmovi 5

2 Modeli zivotnog osiguranja koji se

baziraju na primeni lanaca Markova 10

2.1 Polisa osiguranja kao stohasticki proces . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Lanci Markova sa neprekidnim vremenom . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Alternativne definicije svojstva Markova . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Jednacine Chapman-Kolmogorova . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3 Intenziteti prelaza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4 Diferencijalne jednacine Kolmogorova . . . . . . . . . . . . . 152.2.5 Forward i backward integralne jednacine . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Osnovni modeli zivotnog osiguranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.1 Osiguranje jedne osobe u slucaju jednog uzroka smrti . . . . . 182.3.2 Osiguranje jedne osobe u slucaju kada postoji r uzroka smrti . 202.3.3 Model oboljenja, oporavka i smrti . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Fenomen izbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.1 Agregacija stanja lanca Markova . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Standardni ugovor sa vise stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.1 Ocekivane sadasnje vrednosti i prospektivne rezerve . . . . . 272.5.2 Backward diferencijalne jednacine Thielea . . . . . . . . . . . 292.5.3 Premija stednje i premija rizika . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.4 Integralne jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Uticaj efekta selekcije na smrtnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.7 Momenti viseg reda sadasnjih vrednosti suma osiguranja . . . . . . . 38

2.7.1 Numericki primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.8 Primena lanaca Markova u osiguranju

zavisnih zivota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.8.1 Pojam pozitivne zavisnosti slucajnih promenljivih . . . . . . . 432.8.2 Zavisnost izmedu sadasnjih vrednosti suma osiguranja . . . . . 452.8.3 Model lanca Markova u slucaju dva osiguranika . . . . . . . . 462.8.4 Uticaj radjanja na intenzitet smrtnosti . . . . . . . . . . . . . 49

Literatura 53

1

2

Zakljucak 54

Biografija 56

Uvod

Zadatak ovog master rada je da prikaze neke od modela koji se odnose na zivotnoosiguranje, kao i nekoliko uopstenja tih modela. U osnovi osiguranja su rizicni do-gadaji. Ugovori o osiguranju se sklapaju da bi se redukovale negativne posledice tihdogadaja zbog cega je, sa aspekta osiguravajuce kompanije, veoma bitno modeliranjeportfolija koji cine polise osiguranja.

Osnovni modeli u zivotnom osiguranju su predstavljeni u Glavi 1 i odnose se najednu osiguranu osobu, pri cemu je za osiguravajucu kompaniju od znacaja samoda li je smrt te osobe nastupila za vreme trajanja ugovora o osiguranju. Prirodnouopstenje takvih modela predstavljaju modeli koji obuhvataju vise uzroka smrtiosiguranika, pri cemu se, u opstem slucaju, suma osiguranja razlikuje u zavisnostiod uzroka koji je doveo do nastupanja smrti. Takvi modeli se uspesno primenjuju uslucajevima kada se osiguranje odnosi na bilo kakav nepovoljan dogadaj, ne nuznona smrt osiguranika.

Za adekvatno modeliranje portfolija osiguranja, prirodno je pretpostaviti da sepolise osiguranja opisuju stohastickim procesima sa konacnim skupom vrednosti, pricemu svaka vrednost odgovara nekom rizicnom dogadaju od cije realizacije zavisiiznos i nacin isplate sume osiguranja. U ovom radu se razmatra specijalan slucajkada se polise osiguranja modeliraju lancima Markova sa neprekidnim vremenom ikonacnim skupom stanja.

U drugoj glavi su najpre navedeni teorijski rezultati koji se odnose na lanceMarkova sa neprekidnim vremenom i konacnim skupom stanja. Zatim su predstav-ljeni reprezentativni modeli zivotnog osiguranja koji se baziraju na pretpostavci dastohasticki proces koji opsije polisu osiguranja ima svojstvo Markova. Na osnovu tepretpostavke se relativno lako izracunavaju odgovarajuce verovatnoce prelaza poliseiz jednog u drugo stanje, kao i ocekivane sadasnje vrednosti suma osiguranja, kojesu relevantne za takav model. U nastavku se prikazuje nacin na koji se izracunavajupremije stednje i premije rizika, koje su od velikog znacaja za poslovanje osigu-ravajucih kompanija.

Poznato je da osoba mora zadovoljavati odredene standarde (starosne, zdravstve-ne i slicno) da bi bila podlozna osiguranju, zbog cega se stope smrtnosti za osiguraneosobe razlikuju od stopa smrtnosti za nasumicno izabrane osobe. Takva pojava jepoznata kao efekat selekcije. Pritom se, u toku trajanja ugovora o osiguranju, mozedesiti da osoba prestane zadovoljavati standarde koje je zadovoljavala u trenutkunjegovog sklapanja. Takva pojava se takode moze sagledati primenom modela kojise baziraju na svojstvu Markova, sto je takode predstavljeno u ovom radu.

3

4

U zavrsnom delu ovog rada poseban akcenat je stavljen na ugovore o osigu-ranju koji se odnose na vise osoba, pri cemu bi stanja odgovarajucih polisa bilaodredena stanjima svake osobe koja je obuhvacena tom polisom. Kako su takvimodeli, u opstem slucaju, vrlo kompleksni, u ovom radu se razmatraju samo modelikoji se odnose na dva osiguranika, sa posebnim osvrtom na slucaj supruznika kojije ocigledan primer medusobno zavisnih zivota. Na samom kraju se prikazuje uticajradanja na stope smrtnosti u okviru zenske populacije, sto je motivisano cinjenicomda su naslednici osiguranika cesto korisnici osiguranja.

Cilj ovog master rada je sagledati kakvu primenu lanci Markova imaju u zivotnomosiguranju i kako se, pod pretpostavkom da vazi svojstvo Markova, olaksavajuizracunavanja koja su od znacaja za uspeh poslovanja osiguravajucih kompanija.

Posebnu zahvalnost dugujem svom mentoru, dr Mariji Milosevic, na ogromnomrazumevanju, pomoci i podrsci tokom izrade ovog master rada.

Glava 1

Osnovni pojmovi

Pojam osiguranja oznacava zastitu, sigurnost i poverenje. Osiguranje, kao nauka,se bavi proucavanjem rizika, ekonomskih posledica ostvarenog rizika, kao i izucava-njem nacina upravljanja rizikom kako bi se izbegle ili umanjile nezeljene posledice.

U osnovi osiguranja je rizican dogadaj. U tom smislu, osiguranje predstavljazastitu od rizika koji sa sobom nosi taj dogadaj. Rizicni dogadaji koji se osiguravajumogu biti razlicitog karaktera zbog cega postoji vise tipova osiguranja. Najvaznijapodela osiguranja je na zivotno i nezivotno osiguranje. Nezivotno osiguranje po-drazumeva osiguranje stvari i osiguranje od gradanske odgovornosti. Svrha ovogtipa osiguranja je naknada stete koja nastaje nad osiguranim stvarima. Zivotnoosiguranje obuhvata osiguranje zivota i osiguranje od posledica nesrecnog slucaja.U nekim slucajevima zivotno osiguranje je nacin stednje jer je po isteku periodatrajanja ugovora o osiguranju osiguranik dobija sumu osiguranja uvecanu za nekudobit.

Ugovori o osiguranju se kreiraju da bi se redukovali negativni uticaji nekogrizicnog dogadaja. Kod zivotnog osiguranja neizvesnost postoji samo u pogleduvremena realizacije rizicnog dogadaja, dok se iznos naknade u slucaju njegove real-izacije precizira u polisi osiguranja. Preciznije, rizicni dogadaji koji su obuhvaceniugovorima o zivotnom osiguranju, zavise od preostalog zivotnog veka osiguranika.Osnovne komponente ugovora o zivotnom osiguranju su suma osiguranja i premijaosiguranja.

U teoriji zivotnog osiguranja je od velikog znacaja preostali zivotni vek osigu-ranika, koji se opisuje slucajnom promenljivom T = T (x). Dakle, T predstavlja pre-ostali zivotni vek osobe starosti x. Neka je G funkcija raspodele slucajne promenljiveT, tj.

G(t) = PT < t, t ≥ 0.

Funkcija G(t) predstavlja verovatnocu da ce preostali zivotni vek neke osobe bitikraci od t godina. Tada je g(t) = G′(t) gustina raspodele slucajne promenljive T.

Internacionalna aktuarska drustva koriste tradicionalne oznake za pojedine verovat-noce. Cesto koriscena oznaka je

tpx = 1−G(t),

5

6

koja predstavlja verovatnocu da ce osoba starosti x godina ziveti jos najmanje tgodina.

Intenzitet smrtnosti (force of mortality) u aktuarskom smislu predstavlja stopusmrtnosti na godisnjem nivou. Intenzitet smrtnosti za osobu starosti x u perioduod x do x+ t godina se definise kao

µx+t =g(t)

1−G(t).

Intenzitet smrtnosti i prethodno definisanu verovatnocu dozivljenja narednih t god-ina, osobe starosti x godina, povezuje relacija

tpx = e−∫ t

0µx+sds.

Kako se, u opstem slucaju, premijske uplate realizuju pre isplate sume osiguranja,za uspostavljanje veze izmedu tih iznosa je neophodno uzeti u obzir delovanje kamatena novcana sredstva. U tom smislu, neka je i efektivna kamatna stopa (EKS) nagodisnjem nivou koja je konstantna. Tada je odgovarajuci faktor diskontovanja zaperiod od godinu dana jednak

v =1

1 + i.

Ako se u skladu sa polisom osiguranja u trenutku t isplacuje suma osiguranjaBt ukoliko u tom trenutku dode do smrti osiguranika, ocekivana sadasnja vrednostte sume je E[BTv

T ]. Ova vrednost se naziva jednokratna neto premija i predstavljasumu koju osiguranik placa osiguravajucem drustvu prilikom sklapanja ugovora o os-iguranju. Naziv ”neto premija” se odnosi na cinjenicu da ova suma ne sadrzi nikakvetroskove koji prate ugovor o osiguranju. Sa aspekta osiguravajuceg drustva povoljnoje da sadasnja vrednost svih premija bude veca ili jednaka ocekivanoj sadasnjoj vred-nosti svih suma osiguranja.

Osnovni tipovi osiguranja su: dozivotno osiguranje, osiguranje sa rokom, osigu-ranje dozivljenja, mesovito i odlozeno dozivotno osiguranje.

Dozivotno osiguranje podrazumeva isplatu osigurane sume neposredno nakonsmrti osiguranika. Sadasnja vrednost jedinicne sume osiguranja koja se isplacuje utrenutku smrti T jednaka je

Z = vT ,

pa je odgovarajuca jednokratna neto premija

Ax = EZ =

∫ ∞

0

vtg(t)dt =

∫ ∞

0

vtµx+t(1−G(t))dt =

∫ ∞

0

vtµx+t ·tpxdt.

Osiguranje koje podrazumeva isplatu sume osiguranja u trenutku smrti osigu-ranika samo ako ona nastupi u toku prvih n godina od trenutka sklapanja ugovora oosiguranju, poznato je kao osiguranje sa rokom n godina. U tom slucaju je sadasnjavrednost jedinicne sume osiguranja jednaka

Z = vT · IT<n.

7

Analogno se moze pokazati da je jednokratna neto premija ovog tipa osiguranjajednaka

A1x:nq

= EZ =

∫ n

0

vtg(t)dt =

∫ n

0

vtµx+t(1−G(t))dt =

∫ n

0

vtµx+t ·tpxdt.

Osiguranje dozivljenja u trajanju od n godina je vid osiguranja gde se isplatasume osiguranja vrsi samo u slucaju da je osiguranik doziveo kraj n− te godine.Tada je sadasnja vrednost jedinicne sume osiguranja

Z = vn · IT≥n.

Jednokratna neto premija takvog osiguranja dozivljenja

nEx = EZ = vn · PT ≥ n = vn ·npx

Mesovito osiguranje podrazumeva isplatu sume osiguranja u trenutku smrti akosmrt nastupi u prvih n godina od trenutka sklapanja ugovora o osiguranju, a inacese isplata vrsi na kraju n-te godine. Sadasnja vednost jedinicne sume osiguranjamesovitog osiguranja je

Z =

vT , T < n,vn, T ≥ n,

pa je odgovarajuca jednokratna neto premija

Ax:nq = A1x:nq

+ nEx.

U svim dosadasnjim slucajevima isplata sume osiguranja se vrsila jednokratno,u skladu sa ugovorom o osiguranju. Takode je vazila pretpostavka da se premijskauplata vrsi jednokratno. Medutim, kod slozenijih tipova osiguranja, premijske uplateili isplate na ime sume osiguranja se mogu obavljati i u serijama, sa konstantnom ilipromenljivom ucestaloscu, pri cemu ti iznosi ne moraju biti konstantni.

Serija od n isplata ili uplata koje se realizuju u jednakim vremenskim intervalimase naziva renta. U zavisnosti od toga kada se isplate realizuju razlikuju se:

• prenumerato renta, kod koje se isplate vrse na pocetku svakog perioda kon-verzije,

• postnumerato renta, kod koje se isplate vrse na kraju svakog perioda konver-zije.

U nastavku ce biti predstavljeni samo oni tipovi renti koji su relevantni za daljerazmatranje.

Neka se renta sastoji od godisnjih isplata jedinice valute na pocetku svake od nuzastopnih godina. Sadasnja vrednost prenumerato rente odredene na ovaj nacinjednaka je

anq = 1 + v + v2 + . . .+ vn−1 =1− vn

1− v=

1− vn

i1+i

=1− vn

d,

8

gde je d godisnja anticipativna EKS koja obezbeduje iste buduce vrednosti kapitalakao stopa i.

U slucaju kada se u toku n uzastopnih godina na kraju svake od njih vrse uplatejedinice valute, sadasnja vrednost takve postnumerato rente je

anq = v + v2 + . . .+ vn = v ·1− vn

1− v=

1

1 + i·1− vn

i1+i

=1− vn

i.

Ako n neograniceno raste, onda se radi o dozivotnoj renti. Sadasnja vrednostprenumerato dozivotne rente jednaka je

a∞q = 1 + v + v2 + . . . =1

1− v=

1

d,

a sadasnja vrednost postnumerato dozivotne rente iznosi

a∞q = v + v2 + . . . = v ·1

1− v=

1

1 + i·

1i

1+i

=1

i,

Neka je n ≥ 0, pri cemu n ne mora biti ceo broj. Vrednost, u trenutku t = 0,rente koja se isplacuje neprekidno u vremenskom intervalu [0, n] po konstantnojstopi isplate r(t) = 1 iznosi

anq =

∫ n

0

r(t)v(t)dt =

∫ n

0

e−δtdt =1

δ(1− e−δn) =

1− vn

δ, δ 6= 0,

gde je δ godisnji intenzitet kamate koji je ekvivalentan sa i.Sadasnja vrednost dozivotne neprekidne rente jednaka je

a∞q =

∫ ∞

0

r(t)v(t)dt =

∫ ∞

0

e−δtdt =1

δ.

Ako se isplate vrse pocev od k -te godine od danas u toku n uzastopnih godinai to na pocetku svake godine onda se govori o odlozenoj prenumerato dozivotnojrenti, cija je sadasnja vrednost jednaka

k|anq = anq · vk = an+kq − akq.

Analogno, sadasnja vrednost odlozene postnumerato dozivotne rente je

k|anq = anq · vk = an+kq − akq.

U aktuarskoj praksi se cesto susrecu ugovori koji podrazumevaju da se premi-jske uplate ili isplate suma osiguranja vrse u vidu nekog od prethodno predstavljenihtipova renti. Medutim, trajanje tih isplata nije unapred poznato vec zavisi od pre-ostalog zivotnog veka osiguranika.

Na primer, ukoliko se osiguravajuca kompanija obavezala da ce sve dok je osig-uranik ziv, ali ne duze od n godina, vrsiti isplate na ime sume osiguranja u vidu

9

neprekidne rente sa jedinicnom stopom isplate, sadasnja vrednost takvih isplata jejednaka

∫ n

0

e−δtI[T>t]dt,

gde je T preostali zivotni vek osiguranika (x). Odgovarajuca ocekivana sadasnjavednost je

axnq =

∫ n

0

e−δtP [T > t]dt.

Prethodno razmatranje se odnosi na slucaj kada su isplate periodicne isplatejedinicne ili se realizuju po neprekidnoj jedinicnoj stopi. Ukoliko bi one bile kon-stantne, ali ne nuzno jedinicne, odgovarajuce sadasnje vrednosti i jednokratne netopremije bi se dobile mnozenjem prethodno navedenih izraza odgovarajucom kon-stantom.

Glava 2

Modeli zivotnog osiguranja koji se

baziraju na primeni lanaca

Markova

U ovoj glavi ce biti predstavljeno nekoliko modela zivotnog osiguranja u cijojosnovi je pretpostavka da se polisa zivotnog osiguranja moze opisati lancem Markovasa neprekidnim vremenom i konacnim skupom stanja. U zavisnosti od toga u komse stanju nalazi polisa osiguranja, osiguraniku ili korisniku osiguranja se isplacujeodgovarajuca suma osiguranja. Takvi modeli predstavljaju uopstenje modela kojisu u vezi sa klasicnim tipovima ugovora o osiguranju, predstavljenim u uvodnomdelu.

Da bi konkretni modeli ugovora o zivotnom osiguranju bili adekvatno opisani,najpre ce biti navedeni relevantni teorijski rezultati koji se odnose na lance Markova.Zatim se razmatra nekoliko modela koji se odnose na jednog osiguranika, ali serezlikuju prema broju uzroka smrti osiguranika, kao i ugovori o osiguranju kojise odnose na vise osiguranika. U tom smislu su predstavljeni neki tipovi zavisnostiizmedu preostalih zivotnih vekova osiguranika obuhvacenih istom polisom osiguranjai napravljeno je poredenje sa slucajem kada se pretpostavlja da su preostali zivotnivekovi nezavisne slucajne promenljive. Pored toga, opisan je uticaj selekcije meduclanovima populacije, prilikom osiguranja, na stope smrtnosti i naveden je modelkoji opravdava cinjenicu da se, u opstem slucaju, stope smrtnosti muske i zenskepopulacije, razlikuju.

2.1 Polisa osiguranja kao stohasticki proces

Razmatra se polisa osiguranja koja je izdata u trenutku t = 0 i odnosi se naperiod od n godina. U pitanju je polisa zivotnog, penzionog ili nekog drugog tipaosiguranja lica poput osiguranja u slucaju oboljenja. U ovakvim poslovnim situaci-jama sume osiguranja i premije obicno zavise od toga u kom se stanju nalazi polisa,pri cemu se podrazumeva da su ta stanja precizirana u okviru samog ugovora oosiguranju.

10

11

Dakle, pretpostavlja se da postoji odredeni skup stanja Z = 0,1, . . ., r i da jepolisa u svakom trenutku u iskljucivo jednom stanju, pocevsi od stanja 0 u trenutkut = 0. Neka je Z(t) stanje polise u trenutku t. Promene stanja polise se desavajuu slucajnim trenucima zbog cega je prirodno modelirati te prelaze stohastickimprocesom Z = Z(t), t ∈ [0, n] koji je definisan na prostoru verovatnoce (Ω,F , P ).Dakle, za svako ω ∈ Ω, Z(ω, t) je funkcija koja slika elemente segmenta [0, n] u skupZ, neprekidna je zdesna, ima konacan broj skokova i vazi da je Z(ω, 0) = 0.

Pri izboru matematickog modela koji bi opisao ovakvu situaciju, postoje dva os-novna kriterijuma koji su, u opstem slucaju, suprotstavljeni. Sa jedne strane, modelbi trebalo da u sto vecoj meri odgovara realnosti sto moze rezultirati njegovomslozenoscu. Sa druge strane, model mora biti matematicki pogodan, sto cesto po-drazumeva njegovu jednostavnost i omogucuje jednostavno izracunavanje velicinakoje su od interesa. Zbog toga je od znacaja odredivanje ravnoteze izmedu ova dvakriterijuma.

Ako se favorizuje jednostavnost modela, onda ce se razmatranje vrsiti pod pret-postavkama Markova koje dozvoljavaju relativno lako izracunavanje odgovarajucihverovatnoca i ocekivanih vrednosti koje su relevntne za takav model.

2.2 Lanci Markova sa neprekidnim vremenom

Na osnovu teorije stohastickih procesa je poznato da je stohasticki proces odredenfamilijom konacno-dimenzionalnih raspodela. U opstem slucaju, odredivanje takvefamilije je vrlo kompleksno. Medutim, u opisanom slucaju, gde stohasticki pro-ces Z ima konacan skup stanja, za odredivanje odgovarajuce familije konacno-dimenzionalnih raspodela je dovoljno odrediti verovatnoce elementarnih dogadajaoblika

⋂p

h=1[Z(th) = jh], pri cemu je 0 ≤ t1 < · · · < tp ≤ n i j1, . . . , jp ∈ Z. Tadavazi da je

P[

p⋂

h=1

[Z(th) = jh]]

=

p∏

h=1

P[

Z(th) = jh

∣

∣

∣

h−1⋂

g=0

[Z(tg) = jg]]

, (2.2.1)

gde je t0 = 0 i j0 = 0, zbog cega je [Z(t0) = j0] siguran dogadaj. Dakle, odredivanjekonacno-dimenzionalnih raspodela se svodi na odredivanje uslovnih verovatnoca kojese pojavljuju na desnoj strani jednakosti (2.2.1).

Taj postupak se znacajno pojednostavljuje ukoliko se pretpostavi da vazi svojstvoMarkova, tj. da je, za svako 0 ≤ t1 < · · · < tp ≤ n i j1, . . . , jp ∈ Z,

P[

Z(tp) = jp

∣

∣

∣

p−1⋂

h=1

Z(th) = jh,]

= P [Z(tp) = jp

∣

∣

∣Z(tp−1) = jp−1]. (2.2.2)

U tom slucaju je proces Z u potpunosti odreden (jednostavnim) verovatnocamaprelaza iz stanja j u trenutku t u stanje k u trenutku u, odnosno uslovnim verovatno-cama

pjk(t, u) = P [Z(u) = k | Z(t) = j], (2.2.3)

12

pri cemu je 0 ≤ t < u ≤ n i j, k ∈ Z. Dakle, ako vazi pretpostavka (2.2.2), onda jerelacija (2.2.1) oblika

P[

p⋂

h=1

[Z(th) = jh]]

=

p∏

h=1

pjh−1jh(th−1, th), (2.2.4)

i moze se zakljuciti da, za svako 0 ≤ t1 < · · · < tp < t < tp+1 < · · · < tp+q ≤ n ij1, . . . , jp, j, jp+1, . . . , jp+q ∈ Z, vazi da je

P[

p+q⋂

h=p+1

[Z(th) = jh]∣

∣

∣Z(t) = j,

p⋂

h=1

[Z(th) = jh]]

= P[

p+q⋂

h=p+1

Z(th) = jh

∣

∣

∣Z(t) = j

]

. (2.2.5)

Ako je t sadasnji trenutak, izraz (2.2.5) ukazuje na to da je buducnost procesa Znezavisna od njegove proslosti kada je sadasnjost poznata.

Ako se pretpostavi da za stohasticki proces Z vazi svojstvo Markova (2.2.2), tadase on naziva lanac Markova sa neprekidnim vremenom i skupom stanja Z.

Pomocu jednostavnih verovatnoca prelaza oblika (2.2.3) mogu se odrediti opstijeverovatnoce prelaza iz stanja j u neko od stanja iz skupa K ⊂ Z. Tada je

pjK(t, u) = P [Z(u) ∈ K | Z(t) = j] =∑

k∈K

pjk(t, u), (2.2.6)

pri cemu je

pjZ(t, u) =∑

k∈Z

pjk(t, u) = 1. (2.2.7)

2.2.1 Alternativne definicije svojstva Markova

Jasno je da su relacije (2.2.2), (2.2.4) i (2.2.5) ekvivaletne, zbog cega bilo kojaod njih predstavlja definiciju svojstva Markova. Ipak, da bi formula (2.2.4) naadekvatan nacin opisala to svojstvo potrebno je pretpostaviti da postoje nenegativnefunkcije pjk(t, u), j, k ∈ Z, 0 ≤ t < u ≤ n, tako da je

∑

k∈Z pjk(t, u) = 1 i da, zasvako 0 ≤ t1 < . . . < tp ≤ n i j1, · · · , jp ⊂ Z, vazi (2.2.4).

U nastavku ce biti predstavljene opstije definicije svojstva Markova.Za T ⊂ [0, n], neka je HT klasa svih dogadaja generisanih pomocu Z(t)t∈T .

Neka je Ht skup informacija o procesu Z u trenutku t i sastoji se od elementarnihdogadaja

Ø, Ω, [Z(t) = j], j = 0, . . . , r,

kao i svih mogucih unija tih dogadaja. Opstije, Ht1,...,tp je skup informacija oprocesu Z u trenucima t1, . . . , tp. Zatim, H≤t = H[0,t] predstavlja kompletnu istoriju

13

procesa Z do trenutka t, zakljucno sa njim, H<t = H[0,t) sadrzi informacije o procesupre trenutka t i H>t = H(t,n] informacije o procesu nakon trenutka t.

U tom smislu, za proces Z se kaze da je proces Markova ako, za svako B ∈ H>t,vazi da je

P [B | H≤t] = P [B | Ht]. (2.2.8)

Ovo je opsti oblik relacije (2.2.5).Alternativno, Z je proces Markova ako, za svaka dva dogadaja A ∈ H<t i B ∈

H>t, vazi da su uslovno nezavisni u odnosu na stanje procesa Z u trenutku t, tj.ako je

P [A ∩B | Ht] = P [A | Ht]P [B | Ht]. (2.2.9)

U slucaju kada je skup stanja procesa Z konacan lako se dokazuje da su relacije(2.2.8) i (2.2.9) ekvivalentne na osnovu konacno-dimenzionalnih raspodela tj, zaA ∈ Ht1,...,tp i B ∈ Htp+1,...,tp+q, pri cemu je t1 < · · · < tp < t < tp+1 < · · · < tp+q.Na slican nacin se dokazuje to tvrdenje kada je skup stanja procesa Z prebrojiv.

2.2.2 Jednacine Chapman-Kolmogorova

Za fiksirano t ∈ [0, n], dogadaji Z(t) = j, j ∈ Z, su uzajamno iskljucivi injihova unija je skoro siguran dogadaj. Na osnovu toga sledi da je, za proizvoljneu, s ∈ [0, n] i i, k ∈ Z,

P [Z(u) = k | Z(s) = i]

=∑

j∈Z

P [Z(t) = j, Z(u) = k | Z(s) = i]

=∑

j∈Z

P [Z(t) = j, Z(u) = k , Z(s) = i]

P [Z(s) = i]

=∑

j∈Z

P [Z(u) = k| Z(t) = j , Z(s) = i] · P [Z(t) = j, Z(s) = i]

P [Z(s) = i]

=∑

j∈Z

P [Z(t) = j | Z(s) = i] · P [Z(u) = k | Z(s) = i, Z(t) = j].

Ako je Z proces Markova i ako je 0 ≤ s ≤ t ≤ u, poslednji izraz se mozeekvivalentno zapisati u obliku

pik(s, u) =∑

j∈Z

pij(s, t)pjk(t, u), i, k ∈ Z, (2.2.10)

sto predstavlja jednacine Chapman-Kolmogorova.

14

2.2.3 Intenziteti prelaza

Za oderdivanje modela Markova od znacaja je preciziranje verovatnoca pjk(t, u)na takav nacin da izrazi sa desne strane jednakosti u (2.2.4) definisu verovatnocena konzistentan nacin. Ovo bi bilo lako kada bi Z bio diskretan lanac Markova cijiparametar t uzima konacno mnogo vrednosti 0 = t0 < t1 < . . . < tq = n. Tada bise verovatnoce pjk(tq−1, tq) mogle odrediti kao proizvoljni nenegativni brojevi kojizadovoljavaju uslov

r∑

k=0

pjk(tp−1, tp) = 1,

za svako j ∈ Z i p = 1, . . . , q. Dakle, odreduju se verovatnoce prelaza izmedu uza-stopnih trenutaka, na osnovu kojih se mogu odrediti sve relevantne verovatnoce.Medutim, ovaj jednostavan princip se ne moze usvojiti bez modifikacija u slucajukada t uzima neprebrojivo mnogo vrednosti. Prilagodavanje ove ideje neprekid-nom slucaju se bazira na uvodenju odredene karakteristike verovatnoca prelaza zabeskonacno kratke vremenske intervale.

U tom smislu se pretpostavlja da intenziteti prelaza iz stanja j u stanje k, defi-nisani kao

µjk(t) = limh↓0

pjk(t, t+ h)

h, (2.2.11)

postoje za svako j, k ∈ Z, j 6= k, t ∈ [0, n) i da su deo po deo neprekidne funkcije.Izraz (2.2.11) se ekvivalentno moze predstaviti u obliku

pjk(t, t+ dt) = µjk(t)dt+ o(dt), (2.2.12)

gde se o(dt) odnosi na cinjenicu da o(dt)/dt → 0 kada dt → 0. Dakle, pretpostavljase da su verovatnoce prelaza tokom kratkog vremenskog intervala (priblizno) propor-cionalne duzini intervala, pri cemu su faktori proporcionalnosti intenziteti prelazakoji, u opstem slucaju, zavise od vremena. Specijalno, ako su µjk(τ) priblizno kon-stantni i znatno manji od 1 za svako k 6= j i svako τ ∈ [t, t + 1], onda su µjk(t)priblizno jednaki odgovarajucim verovatnocama prelaza pjk(t, t + 1). Medutim, uopstem slucaju, intenziteti prelaza mogu uzimati proizvoljne pozitivne vrednosti,zbog cega se sustinski razlikuju od verovatnoca.

Za j 6∈ K ⊂ Z, intenzitet prelaza iz stanja j u skup stanja K za vreme t sedefinise kao

µjK(t) = limu↓t

pjK(t, u)

u− t=

∑

k∈K

µjk(t). (2.2.13)

Specijalno, ukupni intenzitet prelaza iz stanja j za vreme t je µj· = µj,Z\j(t), gdeje

µj.(t) =∑

k;k 6=j

µjk(t). (2.2.14)

Na osnovu (2.2.7) i (2.2.12) sledi da je:

pjj(t, t+ dt) = 1− µj.(t)dt+ o(dt). (2.2.15)

15

2.2.4 Diferencijalne jednacine Kolmogorova

Verovatnoce prelaza su dvodimenzionalne funkcije vremena i u opstem slucaju jetesko odrediti ih tako da one budu u skladu sa pojavom koja je predmet razmatranja.Intenziteti prelaza su, na drugoj strani, jednodimenzionalne funkcije vremena i,buduci da se lako interpretiraju, stvaraju prirodnu osnovu za odredivanje modela.Pored toga, oni na jedinstven nacin odreduju verovatnoce prelaza.

Neka je proces Z u stanju j u trenutku t. Za odredivanje verovatnoce da ceproces biti u stanju k u odredenom buducem trenutku u, od znacaja je sta se desavau vremenskom intervalu (t, t+dt]. Proces Z moze ostati u stanju j sa verovatnocom

1− µj.(t)dt+ o(dt)

i, pod uslovom da se taj dogadaj realizovao, verovatnoca da ce proces Z biti u stanjuk u trenutku u je pjk(t+dt, u). Sa druge strane, proces Z, u toku intervala (t, t+dt]moze imati skok do stanja g sa verovatnocom

µjg(t)dt+ o(dt)

i, pod uslovom da se taj dogadaj realizovao, verovatnoca da ce Z biti u stanju k utrenutku u je pgk(t + dt, u). Dakle, verovatnoca da ce Z biti u stanju k u trenutkuu je

pjk(t, u)=(1− µj.(t)dt)pjk(t+ dt, u)+∑

g;g 6=j

µjg(t)dtpgk(t+ dt,u)+o(dt). (2.2.16)

Neka je dtpjk(t, u) diferencijal funkcije pjk po prvom argumentu, tj.

dtpjk(t, u) = pjk(t+ dt, u)− pjk(t, u).

Tada se (2.2.16) moze zapisati kao

dtpjk(t, u) = µj.(t)dtpjk(t, u)−∑

g;g 6=j

µjg(t)dtpgk(t, u). (2.2.17)

Za dato k i u, diferencijalne jednacine oblika (2.2.17) odreduju funkcije pjk(·, u), j =0, . . . , r, na jedinstven nacin kada se uzme u obzir da je

pjk(u, u) = δjk, (2.2.18)

gde je

δjk =

1, j = k,0, j 6= k.

Potrebno je naglasiti da je relacija (2.2.16) mogla biti izvedena direktno na os-novu jednacina Chapman-Kolmogorova (2.2.10) zamenjivanjem s, t, i, j sa t, t +dt, j, g, respektivno. Medutim, u prethodnom razmatranju je ta relacija izvedena

16

na detaljan ali neformalan nacin, jer ce takav pristup biti od znacaja u daljem tek-stu. Taj pristup je poznat kao backward argument jer se odnosi na trenutak t kojiposmatrano iz bilo kog trenutka intervala [t, u] predstavlja proslost. U skladu sa tim,jednacine oblika (2.2.17) se nazivaju backward diferencijalne jednacine Kolmogorova.

U tackama neprekidnosti intenziteta prelaza, jednakost (2.2.17) se moze podelitisa dt, a zatim razmatrati u granicnom slucaju kada dt → 0. Dakle, u tim tackama(2.2.17) se moze predstaviti kao

∂

∂tpjk(t, u) = µj.(t)pjk(t, u)−

∑

g;g 6=j

µjg(t)pgk(t, u). (2.2.19)

Na osnovu ranije uvedene pretpostavke da su intenziteti prelaza deo po deoneprekidni, postoje tacke u kojima su ovi izvodi dobro definisani. Zbog toga jepogodnije primenjivati diferencijalni oblik (2.2.17) jer je on dobro definisan u svimtackama, pod datim pretpostavkama.

Pored pomenutih, postoje takode i forward diferencijalne jednacine Kolmogorova.One se dobijaju ako je fokus na onome sto ce se dogoditi na kraju vremenskog

intervala koji se razmatra. U skladu sa tim se dobija da je

pij(s, t+ dt) =∑

g;g 6=j

pig(s, t)µgj(t)dt+ pij(s, t)(1− µj.(t)dt) + o(dt),

odakle sledi da je

dtpij(s, t) =∑

g;g 6=j

pig(s, t)µgj(t)dt− pij(s, t)µj.(t)dt. (2.2.20)

Za dato i i s, diferencijalne jednacine (2.2.20) odreduju funkcije pij(s, ·), j = 0, . . . , r,na jedinstven nacin, pri cemu je

pij(s, s) = δij. (2.2.21)

U nekim jednostavnim slucajevima diferencijalne jednacine imaju pogodna anal-iticka resenja, ali u vecini netrivijalnih slucajeva moraju biti resene numericki.

Nakon odredivanja jednostavnih verovatnoca prelaza, moze se izracunati verovat-noca bilo kog dogadaja iz Ht1,...,tr, imajuci u vidu da su konacno-dimenzionalneraspodele procesa Z odredene sa (2.2.4). U slucaju kada skup Z ima konacnomnogo elemenata, svaka od tih verovatnoca predstavlja konacnu sumu verovatnocaelementarnih dogadaja, na osnovu (2.2.4). Verovatnoce slozenih dogadaja iz familijeHT gde T ima prebrojivo ili neprebrojivo mnogo elemenata, ne mogu u opstemslucaju biti izracunate na osnovu jednostavnih verovatnoca prelaza. Medutim, unekim specijalnim slucajevima je i tada moguce postaviti odgovarajuce diferencijalnejednacine koje se mogu resiti primenom odredenog metoda.

Od posebnog interesa je verovatnoca da ce proces ostati u trenutnom stanju utoku odredenog perioda, tj.

pjj(t, u) = P [Z(τ) = j, τ ∈ (t, u) | Z(t) = j]. (2.2.22)

17

Ocigledno, vazi da je

pjj(t, u) = pjj(t, s)pjj(s, u), t < s < u.

U skladu sa backward argumentom i relacijom (2.2.15), dobija se da je

pjj(t, u) = (1− µj.(t)dt)pjj(t+ dt, u) + o(dt), (2.2.23)

odnosnodtpjj(t, u) = µj.(t)dtpjj(t+ dt, u) + o(dt).

Analognim postupkom kao sto je dobijena jednacina (2.2.19), dobija se homogenalinearna diferencijalna jednacina

∂

∂tpjj(t, u) = µj.(t)pjj(t, u),

pri cemu je finalni uslov pjj(u, u) = 1. Odgovarajuce resenje te jednacine je

pjj(t, u) = e−∫ u

tµj.(s)ds. (2.2.24)

2.2.5 Forward i backward integralne jednacine

Na osnovu backward diferencijalnih jednacina dobijaju se ekvivalentne integralnejednacine, sto ce biti opisano u nastavku. Mnozenjem jednakosti (2.2.17) izrazome∫ u

tµj.(s)ds se dobija da je

dt(e∫ u

tµj.(s)dspjk(t, u)) = −e

∫ u

tµj.(s)ds

∑

g;g 6=j

µjg(t)dtpgk(t, u).

Integracijom prethodnog izraza u granicama od t do u, imajuci u vidu finalni uslov,dobija se

δjk − e∫ u

tµj.(s)dspjk(t, u) = −

∫ u

t

e∫ u

τµj.(s)ds

∑

g;g 6=j

µjg(τ)pgk(τ, u)dτ.

Konacno, mnozenjem prethodnog izraza sa −e−∫ u

tµj.(s)ds, na osnovu (2.2.24), dolazi

se do backward integralnih jednacina

pjk(t, u) =

∫ u

t

pjj(t, τ)∑

g;g 6=j

µjg(τ)pgk(τ, u)dτ + δjkpjj(t, u). (2.2.25)

Na slican nacin se, na osnovu relacije (2.2.20), dobijaju sledece forward integralnejednacine

pij(s, t) = δijpii(s, t) +∑

g;g 6=j

∫ t

s

pig(s, τ)µgj(τ)pjj(τ, t)dτ. (2.2.26)

18

Jednacina (2.2.26) ukazuje na to da se verovatnoca da proces iz stanja i utrenutku s prede u stanje j u trenutku t moze shvatiti kao suma verovatnoca el-ementarnih dogadaja. U tom smislu, prvi clan na desnoj strani jednakosti (2.2.26)se odnosi na slucaj kada proces iz stanja i prelazi direktno u stanje j. Taj clan nijenula samo kada je i = j zbog prisustva izraza δij. Drugi clan se odnosi na mogucnostda se proces nade u stanju j nakon sto je proveo odredeno vreme u nekom drugomstanju g 6= j. Zbog toga on predstavlja sumu, po svim stanjima g 6= j i svimbeskonacno malim intervalima (τ, τ + dτ) ⊂ (s, t), verovatnoca da ce proces dospetiu stanje j iz stanja g u toku intervala (τ, τ + dτ). Analogno se moze interpretirati ibackward integralna jednacina (2.2.25) gde se vrsi sumiranje verovatnoca da procesprvi put napusti stanje j u toku svakog intervala (τ, τ + dτ) ⊂ (t, u).

2.3 Osnovni modeli zivotnog osiguranja

U uvodnom delu je navedeno da zivotno osiguranje predstavlja osiguranje zivotai osiguranje od posledica nesrecnog slucaja. U tom smislu, kako smrt osiguraneosobe moze nastati usled delovanja razlicitih uzroka, u praksi se najcesce susrecupolise osiguranja u okviru kojih je precizirano na koje se uzroke one odnose. U ovompoglavlju ce biti predstavljeno nekoliko modela zivotnog osiguranja, u zavisnosti odbroja uzroka.

2.3.1 Osiguranje jedne osobe u slucaju jednog uzroka smrti

Najjednostavniji model u teoriji zivotnog osiguranja se odnosi na slucaj jednogosiguranika, pri cemu je od znacaja samo da li je za vreme trajanja ugovora o osig-uranju nastupila njegova smrt, zanemarujuci vezu izmedu uzroka nastupanja smrtisa iznosom i nacinom isplate sume osiguranja. Takav model se moze poistovetiti saslucajem osiguranja jedne osobe od jednog uzroka smrti.

Bez obzira na broj uzroka smrti koji su obuhvaceni modelom, u teoriji zivotnogosiguranja je od znacaja preostali zivotni vek osiguranika. On se modelira pozi-tivnom slucajnom promenljivom T sa funkcijom raspodele F i funkcijom dozivljenjaF (x) = 1− F (x), x ∈ R.

U slucaju kada je za polisu osiguranja relevantan samo jedan uzrok smrti, sto-hasticki proces Z, koji opisuje promenu stanja polise osiguranja, ima dva stanja:”ziv” i ”mrtav”. Ako se ova stanja oznace respektivno sa 0 i 1, onda je, za t ∈ [0, n],dogadaj da je proces Z u trenutku t u stanju 1 je ekvivalentan sa dogadajem da jepreostali zivotni vek osiguranika kraci od t godina, odnosno vazi da je

Z(t) = 1 = T ≤ t.

Proces Z je neprekidan zdesna jer, kada je on u nekom trenutku u stanju 0, onda jeocigledno da je bio u stanju 0 i pre toga. Medutim, ako se u nekom trenutku procesnalazi u stanju 1, jasno je da ce biti u tom stanju i u svakom buducem trenutku.

19

Verovatnoce prelaza su, za 0 ≤ s < t < n,

p00(s, t) = PZ(t) = 0|Z(s) = 0 = PT > t|T > s =PT > t

PT > s=

F (t)

F (s).

Na osnovu (2.2.10), jednacina Chapman-Kolmogorova se, za 0 ≤ s < t < u < n,svodi na oblik

p00(s, u) = p00(s, t)p00(t, u),

ili ekvivalnetno,F (u)

F (s)=

F (t)

F (s)

F (u)

F (t).

Postoji samo jedan nenula intenzitet prelaza i to µ01(t) = µ(t). Pritom se na osnovu(2.2.24) dobija da je

p00(t, u) = e−∫ u

tµ(s)ds. (2.3.27)

ZivStanje: 0

MrtavStanje: 1

µ

Slika 1: Model mortaliteta sa jednim uzrokom smrti

Diferencijalne jednacine Kolmogorova svode se samo na definiciju intenzitetaprelaza, sto se moze zakljuciti na osnovu (2.2.16). Zaista, na osnovu (2.2.16) sledida je

p00(t, u) = (1− µ0.(t)dt) · p00(t+ dt, u) + µ01(t)dt · p10(t+ dt, u) + o(dt)

= (1− µ0.(t)dt) · p00(t+ dt, u) + o(dt).

Specijalno, za u = t+ dt, dobija se da je

p00(t, t+ dt) = (1− µ0.(t)dt) · p00(t+ dt, t+ dt) + o(dt)

= 1− µ0.(t)dt+ o(dt),

sto predstavlja specijalan slucaj relacije (2.2.15) koja je ekvivalentna sa definicijomintenziteta prelaza.

20

Analogno, vazi da je

p01(t, u) = (1− µ0.(t)dt) · p01(t+ dt, u) + µ01(t)dt · p11(t+ dt, u) + o(dt)

= (1− µ0.(t)dt) · p01(t+ dt, u) + µ0.(t)dt+ o(dt),

a za u = t+ dt, se dobija da je

p01(t, t+ dt) = (1− µ0.(t)dt) · p01(t+ dt, t+ dt) + µ0.(t)dt+ o(dt)

= µ0.(t)dt+ o(dt),

sto predstavlja specijalan slucaj relacije (2.2.12) koja je takode ekvivalentna sa(2.2.11).

Jednostavan proces sa dva stanja gde je 1 stanje apsorpcije predstavljen je naSlici 1.

2.3.2 Osiguranje jedne osobe u slucaju kada postoji r uzrokasmrti

Slucaj koji je opisan u prethodnom odeljku je vrlo jednostavan, ali je od velikogznacaja za kreiranje kompleksnijih modela.

ZivStanje: 0

Smrt usleduzroka j

µj

Smrt usleduzroka 1

µ1

. . . . . . Smrt usleduzroka r

µr

Slika 2: Model mortaliteta sa r uzroka smrti

Slika 2 ilustruje uopstenje prethodnog modela, pri cemu je jedino stanje apsorpcije”mrtav” iz prethodnog modela zamenjeno sa r stanja apsorpcije koja odgovarajusvakom od uzroka smrti obuhvacenih polisom osiguranja. Primeri takvih stanja su”smrt usled nesrecnog slucaja”, ”smrt usled bolesti srca” itd. Indeks 0 u oznakamaintenziteta prelaza µoj ce biti izostavljen.

Relacija (2.2.14) ukazuje na to da je ukupni intenzitet prelaza iz stanja 0 (u ovomslucaju, intenzitet smrtnosti) jednak zbiru intenziteta prelaza iz stanja 0 u neko odpreostalih stanja, tj. intenziteta smrtnosti koji odgovaraju svakom od uzroka smrti,odnosno

µ(t) =r

∑

j=1

µj(t). (2.3.28)

21

Za osobu starosti t godina verovatnoca dozivljenja starosti u je p00(t, u), sto jeodredeno izrazom (2.3.27). Ovaj opstiji model uzima u obzir relativni znacaj svakoguzroka smrti pojedinacno i na taj nacin pruza bolji uvid u prirodu smrtnosti pop-ulacije kojoj odgovara. Na primer, zakon Gompertz-Makehama u jednostavnommodelu smrtnosti se moze primeniti u slucaju kada postoje dva uzroka smrti, jedansa intenzitetom α, nezavisnim od starosti (npr. smrt usled nesrecnog slucaja) i drugisa intenzitetom βct (prirodna smrt).

Verovatnoca da ce smrt osobe starosti t godina nastupiti usled uzroka j prestarosti u je

p0j(t, u) =

∫ u

t

e−∫ τ

tµ(s)dsµj(τ)dτ, (2.3.29)

sto sledi na osnovu (2.2.25) i uslova prr(t, u) = 1.Imajuci u vidu (2.3.28) i (2.3.29), zakljucuje se da povecanje jednog intenziteta

smrtnosti µk rezultira smanjenjem verovatnoce dozivljenja, kao i verovatnoca da cesmrt osiguranika nastupiti usled nekih drugih uzroka j 6= k. Na osnovu toga sledipovecanje verovatnoce da ce smrt nastupiti usled uzroka k. Dakle, procentualnopovecanje smrtnosti usled srcanih oboljenja i raka se moze objasniti cinjenicom da jenapredak medicine prakticno eliminisao smrtnost usled upale pluca, decije groznicei brojnih drugih oboljenja.

Prethodno razmatranje potvrduje da su intenziteti prelaza osnovni pojmovi umodelima koji se baziraju na svojstvu Markova. Oni opisuju faktore koji uticu napolise osiguranja u svakom stanju, dok verovatnoce prelaza predstavljaju rezultatdelovanja tih faktora.

2.3.3 Model oboljenja, oporavka i smrti

Slika 3 odgovara modelu koji je pogodan za analiziranje polisa osiguranja saisplatama koje zavise od zdravstvenog stanja osiguranika.

MrtavStanje: 2

σ(t)

ρ(t)

OboleoStanje: 1

µ(t) ν(t)

ZdravStanje: 0

Slika 3: Lanac Markova u modelu oboljenja, oporavka i smrti

22

Adekvatan primer je osiguranje koje podrazumeva periodicne isplate osiguranikuu toku perioda njegove bolesti. Jos jedan primer koji odgovara ovom slucaju jestekada u skladu sa ugovorom o osiguranju, osiguranik uplacuje periodicno premije, stim sto se oslobada te obaveze u toku perioda bolesti.

U opstem slucaju, model podrazumeva stanja 0, 1 i 2, gde stanje 2 odgovaraslucaju smrti. Veliki je broj situacija koje se mogu razmatrati u okviru ovog modela,a koje se razlikuju samo u definisanju stanja 0 i 1 procesa Z koji opisuje polisuosiguranja. Na primer, u vezi sa penzionim osiguranjem sa dodatnim beneficijamasupruzniku, stanja 0 i 1 bila bi ”nevencan” i ”vencan”, a u vezi sa osiguranjem uslucaju nezaposlenosti, ta stanja bila bi ”zaposlen” i ”nezaposlen”. U ovom slucaju,stanje 0 oznacava da je osiguranik zdrav, a stanje 1 da je bolestan.

Za osobu koju u trenutku s nije zadesio nijedan od slucajeva predvidenih polisomosiguranja, forward diferencijalne jednacine Kolmogorova (2.2.20) su oblika

∂

∂tp00(s, t) = p01(s, t)ρ(t)− p00(s, t)(µ(t) + σ(t)), (2.3.30)

∂

∂tp01(s, t) = p00(s, t)σ(t)− p01(s, t)(ν(t) + ρ(t)). (2.3.31)

Tada jep02(s, t) = 1− p00(s, t)− p01(s, t),

i pocetni uslovi (2.2.21) postaju

p00(s, s) = 1, (2.3.32)

p01(s, s) = 0. (2.3.33)

Za osobu koja je obolela u trenutku s forward diferencijalne jednacine se dobijajuzamenom prvog indeksa 0 sa 1 u izrazima (2.3.30) i (2.3.31), dok su pocetni uslovip10(s, s) = 0, p11(s, s) = 1.

Kada su intenziteti prelaza dovoljno jednostavne funkcije, moguce je eksplicitnoodrediti verovatnoce prelaza u ovakvom modelu.

2.4 Fenomen izbora

Model u okviru kojeg se pretpostavlja da stohasticki proces Z(t), t ∈ [0, n],koji opisuje promene stanja polise osiguranja tokom vremena, ima svojstvo Markova,u odredenoj meri pojednostavljuje realnu situaciju. Na primer, u modelu oboljenja,oporavka i smrti, svojstvo Markova podrazumeva da verovatnoca dozivljenja oboleleosobe ne zavisi od informacija o prethodnim oboljenjima i oporavcima niti od vre-mena koje je proteklo od prethodnog oboljenja. U opstem slucaju, oboljenja surazlicitog stepena, pocev od laksih, pracenih standardnim stopama smrtnosti, dotezih, pracenih visokim stopa-ma smrtnosti. U takvim situacijama, informacije oproslosti su veoma znacajne. Ako se poslednji put bolest javila davno, onda su

23

velike sanse da je u pitanju laksi oblik oboljenja. Medutim, ako se bolest nedavnomanifestovala, onda to najcesce znaci da se povecava verovatnoca smrtnosti.

Ovaj tip heterogenosti se moze dovesti u vezu sa modelom koji se bazira nasvojstvu Markova adekvatnom izmenom skupa stanja i to menjajuci jedno stanje”oboleo” sa vise stanja koja odgovaraju razlicitim stepenima oboljenja. Na tajnacin se, na osnovu modela Markova, dobija slozeniji model koji vise nije modelMarkova. Graficki se taj model moze predstaviti pomocu Slike 3, kada se stanje”oboleo” iz osnovnog modela zameni odgovarajucim skupom stanja.

U opstem slucaju, promenom skupa stanja i intenziteta prelaza, osnovni modelMarkova se moze prilagoditi veoma slozenim situacijama.

2.4.1 Agregacija stanja lanca Markova

Neka je Z lanac Markova sa neprekidnim vremenom predstavljen u Poglavlju 2.2i neka je Z0, . . . ,Zr particija skupa stanja Z, tj. Zg su disjunktni i njihova unijaje Z, pri cemu je 0 ∈ Z0. Stohasticki proces Z sa skupom stanja Z = 0, · · · , r sedefinise sa

Z(t) = g ⇔ Z(t) ∈ Zg. (2.4.34)

Dakle, ako nekoliko stanja lanca Markova Z imaju neko zajednicko svojstvo, opisanoskupom Zg, ona odgovaraju jednom stanju g stohastickog procesa Z.

Neka je proces Z u stanju i u trenutku s. Informacije o procesu Z se mogu dobitiizracunavanjem uslovnih verovatnoca u odnosu na prethodna stanja procesa Z. Tadaje, za s < t < u,

P [Z(u) = h | Z(s) = i, Z(t) = g] =1

piZg(s, t)

∑

j∈Zg

pij(s, t)pjZh(t, u).

Na osnovu prethodnog izraza se dobija uslovni intenzitet prelaza agregatnogprocesa Z, tj.

limu↓t

P [Z(u) = h | Z(s) = i, Z(t) = g]

u− t=

1

piZg(s, t)

∑

j∈Zg

pij(s, t)µjZh(t).

Potrebno je naglasiti da se ovde ne radi o intenzitetima prelaza zato sto biprethodni izraz, u opstem slucaju, bio drugacijeg oblika da su posmatrane uslovneverovatnoce u odnosu na veci skup informacija o procesu Z.

Kao primer, neka je u modelu oboljenja, oporavka i smrti, koji je opisan uPoglavlju 2.3.3 agregatni proces odreden pomocu Z0 = 0, 1 i Z1 = 2. Dakle,ovde je od znacaja samo da li je osiguranik ziv ili ne. Proces Z je proces Markovaimajuci u vidu ranije razmatranje. Verovatnoca da ce osiguranik doziveti naredniht godina u odnosu na trenutak sklapanja ugovora o osiguranju je

p00(0, t) = p00(0, t) + p01(0, t),

24

tj. jednaka je zbiru verovatnoce da ce osiguranik biti zdrav u intervalu (0, t) iverovatnoce da ce se razboleti u tom periodu.

Intenzitet smrtnosti u trenutku t je

µ(t) =p00(0, t)µ(t) + p01(0, t)ν(t)

p00(0, t) + p01(0, t),

tj. predstavlja tezinsku sumu intenziteta smrtnosti zdravih i obolelih osoba, gdetezinski koeficijenti zavise od verovatnoca da ce se osiguranik naci u tim stanjima.

U nastavku ce biti razmatran slucaj kada su verovatnoce prelaza pjZh(t, u), pos-

matrane kao funkcije od j, konstantne za svaki skup Zg. Na taj nacin je odredenstohasticki proces Z∗ sa skupom stanja Z∗, pri cemu je svaka particija Zg procesaZ zamenjena jednim stanjem iz skupa Z∗. Tada postoje funkcije pgh(t, u) takve da,za svako t < u i g, h ∈ Z∗, vazi da je

pjZh(t, u) = pgh(t, u), j ∈ Zg. (2.4.35)

Onda se moze reci da su verovatnoce prelaza izmedu podskupova Zg konstantne.Rezultat koji sledi je intuitivno jasan, ali ga ipak treba naglasiti.

Teorema 1 Ako su verovatnoce prelaza procesa Z izmedu podskupova Zg konstantne,onda je proces Z, odreden sa (2.4.34), proces Markova sa verovat-nocama prelazapgh(t, u) koje su date sa (2.4.35). Ako su µjk intenziteti prelaza procesa Z, onda suintenziteti prelaza µgh procesa Z∗ oblika

µgh = µjZh, j ∈ Zg. (2.4.36)

Dokaz. Najpre ce biti dokazano da proces Z ima svojstvo Markova u skladu sadefinicijom (2.2.8). U tom smislu je potrebno dokazati da, za svaki dogadaj A, kojizavisi samo od Z(τ)0≤τ<t, vazi da je

P [Z(u) = h | A, Z(t) = g] = pgh(t, u), t < u. (2.4.37)

Koristeci najpre cinjenicu da je

[Z(t) = g] =⋃

j∈Zg

[Z(t) = j],

pri cemu je rec o uniji uzajamno iskljucivih dogadaja, onda da A ∈ H<t, da je Zproces Markova, i konacno pretpostavku (2.4.35), dobija se

P [A, Z(t) = g, Z(u) = h]

=∑

j∈Zg

P [A,Z(t) = j, Z(u) ∈ Zh]

=∑

j∈Zg

P [Z(u) ∈ Zh|A,Z(t) = j] · P [A,Z(t) = j]

25

=∑

j∈Zg

P [Z(u) ∈ Zh|Z(t) = j] · P [A,Z(t) = j]

=∑

j∈Zg

P [A,Z(t) = j]pjzh(t, u)

= P [A, Z(t) = g]pgh(t, u),

sto je ekvivalentno formuli (2.4.37).Relacija (2.4.36) sledi direktno na osnovu (2.4.35). ♦

Neka je r stanje apsorpcije procesa Z koje predstavlja smrt i neka je H =0, . . . , r−1 skup stanja koja se odnose na slucaj kada je osiguranik ziv. Ako se pret-postavi da je smrtnost konstantna, to znaci da su svi intenziteti prelaza µjr, j ∈ H,jednaki, na primer, λ. Onda, na osnovu Teoreme 1, verovatnoca dozivljenja je jed-naka u svim stanjima j ∈ H, tj.

pjH(t, u) = e−∫ u

tλ(s)ds. (2.4.38)

Uslovna verovatnoca prelaza iz stanja j ∈ H u trenutak t u stanje k ∈ H u trenutkuu > t, pod uslovom da osiguranik dozivi trenutak u je, na osnovu (2.4.38), jednaka

pjk|H(t, u) =pjk(t, u)

pjH(t, u)= pjk(t, u)e

∫ u

tλ(s)ds. (2.4.39)

Kako je, na osnovu (2.4.39),

pjk(t, u) = pjk|H(t, u)e−

∫ u

tλ(s)ds, j, k ∈ H,

relacija (2.2.25) je oblika

pjk|H(t, u)e−

∫ u

tλ(s)ds

=

∫ u

t

e−∫ τ

tµj.H\j(s)ds−

∫ τ

tλ(s)ds

∑

g∈H\j

µjg(τ)pgk|H(τ, u)e−

∫ u

τλ(s)dsdτ

+δjke−

∫ u

tµj.H\j(s)ds−

∫ u

tλ(s)ds.

Mnozeci prethodni izraz sa e∫ t

sλ(u)du, zakljucuje se da uslovne verovatnoce date sa

(2.4.39), zadovoljavaju integralne jednacine (2.2.25) za verovatnoce prelaza u takoz-vanom parcijalnom modelu sa skupom stanja H i intenzitetima prelaza µj,k, j, k ∈ H.Dakle, da bi se odredile verovatnoce prelaza u polaznom modelu, prvo se odredujuverovatnoce u jednostavnijem parcijalnom modelu za stanja koja odgovaraju slucajukada je osiguranik ziv, a zatim se dobijene verovatnoce mnoze verovatnocom doziv-ljenja (2.4.38).

26

2.5 Standardni ugovor sa vise stanja

Neka je Z stohasticki proces sa trajektorijama koje su neprekidne zdesna i sanajvise konacnim brojem skokova. Ovom procesu se moze pridruziti odgovarajuciindikatorski proces Ij(t), t ∈ [0, n], gde je j ∈ Z = 0, 1, · · · , r, pri cemu je

Ij(t) = 1 ⇔ Z(t) = j.

Za j, k ∈ Z, pri cemu je j 6= k, definise se proces prebrojavanja Njk(t), t ∈ [0, n],koji opisuje broj prelaza iz stanja j u stanje k tokom vremenskog intervala (0, t], tj.

Njk(t) = #τ ;Z(τ−) = j, Z(τ) = k, τ ∈ (0, t].

Indikatorski proces Ij(t)t≥0 i procesi prebrojavanja Njk(t)t≥0 su povezani cinjen-icom da se Ij povecava/smanjuje za 1 tokom prelaza u/iz stanja j. Dakle, za beskona-cno mali vremenski interval, promena indikatorskog procesa se moze predstaviti sa

dIj(t) = dN.j(t)− dNj.(t), (2.5.40)

gde tacka na mestu indeksa oznacava da je rec o sumi po tom indeksu, tj.

Nj. =∑

k;k 6=j

Njk.

Pretpostavlja se da se radi o standardnom tipu polise, sto znaci da je funkcija isplate,koja predstavlja razliku isplate na ime sume osiguranja i priliva na ime premije,oblika

dB(t) =∑

k

Ik(t)dBk(t) +∑

k 6=l

bkl(t)dNkl(t), (2.5.41)

gde je Bk, za koje vazi da je

dBk(t) = bk(t)dt+Bk(t)−Bk(t−),

deterministicka funkcija isplate koja predstavlja isplate tokom vremena provedenogu stanju k (opsta zivotna renta). Funkcije bkl su takode detirministicke i odnose se naisplate pri prelasku iz stanja k u stanje l. Pretpostavlja se da funkcije bk i bkl uzimajukonacne vrednosti i da su deo po deo neprekidne. Skup tacaka diskontinuiteta bilokoje funkcije Bk je D = t0, t1, . . . , tq.

Pozitivni iznosi predstavljaju sume osiguranja a negativni premije. U praksi,premijske uplate se vrse samo jednom na godisnjem nivou. Podrazumeva se da suu trenutku t 6∈ [0, n] sve isplate jednake nuli.

Neka je r(t) godisnji intenzitet kamate u trenutku t. Sadasnja vrednost novcanogtoka u periodu (t, u) na ime polise osiguranja kada je ona u stanju j je

∫ u

t

e−∫ τ

0r(s)dsIj(τ)dBj(τ).

27

Ovaj integral se moze pojednostaviti primenom parcijalne integracije. U tomsmislu, neka je

u =

∫ u

t

e−∫ τ

0r(s)dsIj(τ), dv = dBj(τ).

Tada je

du =

∫ u

t

e−∫ τ

0r(s)ds(−r(τ))Ij(τ)dτ +

∫ u

t

e−∫ τ

0r(s)dsdIj(τ)

i v = Bj(τ). Imajuci u vidu relaciju (2.5.40), integral∫ u

t

e−∫ τ

0r(s)dsIj(τ)dBj(τ)

se moze izraziti kao∫ u

t

e−∫ τ

0r(s)dsIj(τ)dBj(τ) = e−

∫ τ

0r(s)dsIj(τ)Bj(τ)|

ut

−

∫ u

t

Bj(τ)e−

∫ τ

0r(s)ds[−r(τ)Ij(τ)dτ + dIj(τ)]

= e−∫ u

0r(s)dsIj(u)Bj(u)− e−

∫ t

0r(s)dsIj(t)Bj(t)

+

∫ u

t

e−∫ τ

0r(s)dsr(τ)Bj(τ)Ij(τ)dτ

−

∫ u

t

e−∫ τ

0r(s)dsBj(τ−)d(Nj.(τ)−N.j(τ)).

2.5.1 Ocekivane sadasnje vrednosti i prospektivne rezerve

U proizvoljnom trenutku t ∈ [0, n], razlika sadasnjih vrednosti buducih isplatana ime sume osiguranja i premijskih uplata, u skladu sa ugovorom o osiguranju, je

V (t) =

∫ n

t

e−∫ τ

tr(s)dsdB(τ). (2.5.42)

Ovaj iznos predstavlja rezervu koju ostvaruje osiguravac u periodu (t, n]. Neka jepolisa u stanju j u trenutku t. Onda je ocekivana vrednost rezerve V (t) pod uslovomda je polisa u stanju j, na osnovu (2.5.41), jednaka

Vj(t) = E[V (t)|Z(t) = j] =

∫ n

t

e−∫ τ

tr(s)ds

(

∑

k

E[Ik(τ)|Z(t) = j]dBk(τ)

+∑

l;l 6=k

bkl(τ)E[dNkl(τ)|Z(t) = j]dτ

)

.

Kako je

E[Ik(τ) | Z(t) = j] = pjk(t, τ),

E[dNkl(τ) | Z(t) = j] = pjk(t, τ)µkl(τ)dτ,

28

sledi da je

Vj(t) =

∫ n

t

e−∫ τ

tr(s)ds

∑

k

pjk(t, τ)

(

dBk(τ) +∑

l;l 6=k

bkl(τ)µkl(τ)dτ

)

. (2.5.43)

Prethodni rezultat se moze protumaciti na sledeci nacin. Sa verovatnocompjk(t, τ) polisa osiguranja ce biti u stanju k u trenutku τ, i ako se ovo dogodi zivotnarenta obezbeduje iznos dBk(τ) tokom perioda (τ, τ +dτ ]. Dakle, ocekivana sadasnjavrednost, u trenutku t, ove isplate je

pjk(t, τ)e−∫ τ

tr(s)dsdBk(τ).

Sa verovatnocompjk(t, τ)µkl(τ)dτ

polisa osiguranja prelazi iz stanja k u stanje l tokom perioda (τ, τ + dτ ], i ako seovo dogodi osiguranje pruza iznos bkl(τ). Dakle, ocekivana sadasnja vrednost, utrenutku t, ove isplate je

pjk(t, τ)µkl(τ)dτe−∫ τ

tr(s)dsbkl(τ).

Sumirajuci takve iznose po razlicitim stanjima k i trenucima τ ∈ (t, u] dobija se(2.5.43).

Neka je 0 ≤ t < u < n. Nakon odvajanja isplata u intervalu (t, u] i u (u, n]sa desne strane jednakosti (2.5.43) i primenom jednacina Chapman-Kolomogorova,dobija se

Vj(t) =

∫ u

t

e−∫ τ

tr(s)ds

∑

k

pjk(t, τ)

(

dBk(τ) +∑

l;l 6=k

bkl(τ)µkl(τ)dτ

)

+

∫ n

u

e−∫ u

tr(s)ds · e−

∫ τ

ur(s)ds

∑

k

∑

i

pji(t, u)pik(u, τ)

·

(

dBk(τ) +∑

l;l 6=k

bkl(τ)µkl(τ)dτ

)

=

∫ u

t

e−∫ τ

tr(s)ds

∑

k

pjk(t, τ)

(

dBk(τ) +∑

l;l 6=k

bkl(τ)µkl(τ)dτ

)

+e−∫ u

tr(s)ds

∑

i

pji(t, u) ·

∫ n

u

e−∫ τ

ur(s)ds

∑

k

pik(u, τ)

·

(

dBk(τ) +∑

l;l 6=k

bkl(τ)µkl(τ)dτ

)

=

∫ n

t

e−∫ τ

tr(s)ds

∑

k

pjk(t, τ)

(

dBk(τ) +∑

l;l 6=k

bkl(τ)µkl(τ)dτ

)

+e−∫ u

tr(s)ds

∑

i

pji(t, u)Vi(u). (2.5.44)

29

Tokom trajanja polise osiguravajuca kompanija mora odrzavati nivo rezervi dabi u buducnosti mogla ispostovati svoje platezne obaveze u skladu sa ugovorom oosiguranju. Ako je polisa u stanju j u trenutku t, kompanija mora obezbediti rezervukoja iznosi Vj(t). Prema tome, funkcija Vj se naziva prospektivna rezerva polise kojaodgovara stanju j.

Napomena: Poznato je da se odredivanje premija u zivotnom osiguranju bazirana primeni principa ekvivalentnosti, tj. na balansu izmedu ocekivane sadasnje vred-nosti svih isplata na ime suma osiguranja i svih premijskih uplata, u trenutku skla-panja ugovora t = 0. Na osnovu prethodnog razmatranja se moze zakljuciti da je, uovom slucaju, princip ekvivalentnosti primenjen u proizvoljnom trenutku t za vremetrajanja ugovora o osiguranju.

Relacija (2.5.44) ukazuje na to da iznos rezerve Vj(t) koja odgovara stanju j utrenutku t treba da bude jednak zbiru ocekivanih sadasnjih vrednosti, u trenutkut, novcanog toka koji prati polisu u periodu od trenutka t do proizvoljnog trenutkau i svih rezervi u periodu (u, n]. Dakle, umesto principa ekvivalencije u klasicnomsmislu, ovde se primenjuje princip koji se bazira na primeni uslovnog matematickogocekivanja u odnosu na skup trenutno dostupnih informacija. Potrebno je naglasitida je u ovom slucaju, zbog pretpostavke da se polisa modelira lancem Markova, zaizracunavanje uslovnog ocekivanja relevantno samo stanje polise u trenutku t, tj.Z(t), iako su u tom trenutku dostupne informacije Z(s) : s ∈ [0, t].

2.5.2 Backward diferencijalne jednacine Thielea

U ovom odeljku je osnovna ideja da se dinamika rezervi predstavi u diferenci-jalnom obliku. Zbog toga je od znacaja slucaj kada u → t u relaciji (2.5.44). Ciljje izvodenje skupa odgovarajucih backward diferencijalnih jednacina i, stoga, trebaiskoristiti sansu da se primeni backward argument o kome je bilo reci u Poglavlju2.2.4.

Dakle, pretpostavlja se da je polisa u stanju j u trenutku t 6∈ D. Uzimajuci uobzir uslovno ocekivanje u odnosu na informacije o polisi u intervalu (t, t+ dt], kojije disjunktan u odnosu na D, dobija se da je

Vj(t) = bj(t)dt+∑

k;k 6=j

µjk(t)dtbjk(t)

+(1− µj.(t)dt)e−r(t)dtVj(t+ dt) +

∑

k;k 6=j

µjk(t)dte−r(t)dtVk(t+ dt).

Na taj nacin se direktno dobijaju backward diferencijalne jednacine Thielea kojeopisuju dinamiku prospektivnih rezervi za stanja polise pojedinacno i koje su dateizrazima

d

dtVj(t) = (r(t) + µj.(t))Vj(t)−

∑

k;k 6=j

µjk(t)Vk(t)

−bj(t)−∑

k;k 6=j

bjk(t)µjk(t), j = 1, 2, . . . , r. (2.5.45)

30

Diferencijalne jednacine (2.5.45) vaze kada t pripada otvorenim intervalima oblika(tp−1, tp), p = 1, . . . , q, i zajedno sa uslovima

Vj(tp−) = (Bj(tp)−Bj(tp−)) + Vj(tp), p = 1, . . . , q, j ∈ Z, (2.5.46)

one jedinstveno odreduju funkcije Vj.Treba dati komentar u vezi sa diferencijabilnoscu funkcije Vj. U tackama neprekid-

nosti funkcija bj, bjk, µjk i r, ona je diferencijabilna sto se moze zakljuciti na osnovu(2.5.43). U tackama moguceg prekida podintegralne funkcije u izrazu (2.5.43), izvodddtVj ne postoji. Ipak, posto je broj tacaka prekida konacan, one nece uticati na

taj integral. Zbog toga je oblik (2.5.45) dopustiv iskljucivo uzimajuci u obzir da ukonacno mnogo tacaka izvod funkcije Vj ne postoji, dok je izraz kojim je odredendiferencijal dVj uvek korektan ali je slozeniji.

Samo u retkim slucajevima koji nemaju praktican znacaj je moguce eksplicitnoodrediti resenja diferencijalnih jednacina oblika (2.5.45). U praksi se najcesce morajukoristiti numericke metode da bi se odredile prospektivne rezerve. Runge-Kuttametoda cetvrtog reda se pokazala kao vrlo pouzdana u skoro svim situacijama kojese srecu u praksi.

Diferencijalne jednacine oblika (2.5.45) se resavaju sukcesivno. Prvo se odred-uje resenje na intervalu (tq−1, n), imajuci u vidu finalni uslov (2.5.46), koji je, u tomslucaju, oblika

Vj(n−) = Bj(n)−Bj(n−),

jer je Vj(n) = 0 za svako j, po definiciji. Onda se odreduje resenje na prethodnomintervalu, primenom uslova

Vj(tq−1−) = (Bj(tq−1)−Bj(tq−1−)) + Vj(tq−1),

gde je Vj(tq−1) odredeno u prvom koraku. Opisani postupak se nastavlja do odrediva-nja rezerve u svakom trenutku trajanja ugovora o osiguranju.

Potrebno je naglasiti da su backward jednacine Kolmogorova (2.2.17) specijalanslucaj jednacina Thielea (2.5.45). U izrazu (2.2.17), verovatnoca prelaza pjk(t, u) semoze shvatiti kao prospektivna rezerva u stanju j u trenutku t u okviru jednostavnogugovora o osiguranju, gde se jedinicna suma osiguranja isplacuje u trenutku u akoje polisa u stanju k, i to bez kamate. Dakle, numericka procedura za racunanjeprospektivnih rezervi se takode moze primeniti za izracunavanje verovatnoca prelaza.

U skladu sa principom ekvivalentnosti, vazi da je

V0(0) = −B0(0). (2.5.47)

Da bi ovaj uslov vazio, funkcije bj, Bj, bjk, koje predstavljaju komponente ugovora oosiguranju, moraju zadovoljavati odredene uslove. Na osnovu principa ekvivalencijese odreduju iznosi premijskih uplata za date iznose suma osiguranja.

31

2.5.3 Premija stednje i premija rizika

Jednacina (2.5.45) se moze predstaviti u ekvivalentnom obliku

−bj(t)dt = dVj(t)− r(t)dtVj(t) +∑

k;k 6=j

Rjk(t)µjk(t)dt, (2.5.48)

gde je

Rjk(t) = bjk(t) + Vk(t)− Vj(t). (2.5.49)

Velicina Rjk(t) se naziva suma rizika i povezana je sa mogucim prelazom poliseosiguranja iz stanja j u stanje k u trenutku t. Ukoliko dode do takvog prelaza,osiguravajuca kompanija je u obavezi da odmah isplati sumu osiguranja i takodeobezbediti odgovarajucu rezervu Vk(t) u novom stanju, pri cemu mu je na raspola-ganju rezerva Vj(t) iz prethodnog stanja.

Dakle, poslednji sabirak u izrazu (2.5.48) je ocekivani neto izdatak u vezi samogucim prelazom iz trenutnog stanja j u periodu (t, t + dt) i naziva se premijarizika.

Prva dva sabirka sa desne strane jednakosti (2.5.48) odreduju premiju stednjeu periodu (t, t + dt). Naziv potice zbog cinjenice da se radi o iznosu koji trebaobezbediti da bi se nivo rezerve odrzao u trenutnom stanju i predstavlja razlikuprirastaja rezerve i ostvarene kamate na ime rezerve. Sa leve strane jednakosti(2.5.48) je premija placena u periodu (t, t+dt), sto pokazuje kako se premija razlazena komponentu koja je u vezi sa stednjom i onom koja je u vezi sa rizikom. Iakoje od pomoci pri interpretaciji, ovo razmatranje ne moze u potpunosti obrazlozitidiferencijalne jednacine (2.5.48) jer one mogu vaziti i ako je bj(t) pozitivno ili jednakonuli.

2.5.4 Integralne jednacine

Jednacina (2.5.45) se, nakon mnozenja izrazom e−∫ t

0(r(s)+µj.(s))ds,moze predstaviti

u obliku

d

dt

(

e−∫ t

0(r(s)+µj.(s))dsVj(t)

)

= −e−∫ t

0(r(s)+µj.(s))ds

(

∑

k;k 6=j

µjk(t)Vk(t) + bj(t) +∑

k;k 6=j

bjk(t)µjk(t)

)

.

Integracijom u granicama od t do u, pri cemu interval (t, u) ne sadrzi tacke skokovaBj(τ) − Bj(τ−) i imajuci u vidu da je e−

∫ τ

tµj.(s)ds = pjj(t, τ), prethodni izraz se

moze predstaviti u obliku integralne jednacine. U tom smislu se najpre uocava daje

e−∫ u

0(r(s)+µj.(s))dsVj(u−)− e−

∫ t

0(r(s)+µj.(s))dsVj(t)

= −

∫ u

t

e−∫ τ

0(r(s)+µj.(s))ds

(

∑

k;k 6=j

µjk(τ)Vk(τ)+ bj(τ)+∑

k;k 6=j

bjk(τ)µjk(τ)

)

dτ.

32

Mnozenjem prethodnog izraza sa e∫ t

0(r(s)+µj.(s))ds dobija se da je

e−∫ u

t(r(s)+µj.(s))dsVj(u−)− Vj(t)

= −

∫ u

t

e−∫ τ

t(r(s)+µj.(s))ds

(

∑

k;k 6=j

µjk(τ)Vk(τ)+ bj(τ)+∑

k;k 6=j

bjk(τ)µjk(τ)

)

dτ.

Odatle sledi da je

Vj(t) = e−∫ u

tr(s)ds · e−

∫ u

tµj.(s)ds · Vj(u−)

+

∫ u

t

e−∫ τ

tr(s)ds · e−

∫ τ

tµj.(s)ds

·

(

∑

k;k 6=j

µjk(τ)Vk(τ)+ bj(τ)+∑

k;k 6=j

bjk(τ)µjk(τ)

)

dτ

= pjj(t, u)e−

∫ u

tr(s)dsVj(u−)

+

∫ u

t

pjj(t, τ)e−

∫ τ

tr(s)ds

(

bj(τ)+∑

k;k 6=j

µjk(τ)(bjk(τ)+Vk(τ))

)

dτ. (2.5.50)

Dobijeni rezultat predstavlja uopstenje backward integralnih jednacina za verovatno-ce prelaza (2.2.25). Izraz sa desne strane jednakosti (2.5.50) se interpretira na sledecinacin: buduce isplate se dele na one koje se realizuju pre i one koje se realizuju posletrenutka prvog prelaza polise osiguranja iz trenutnog stanja, za vreme (t, u); ako setakav prelaz ne dogodi, onda se buduce isplate dele na one koje se realizuju pre ione koje se realizuju posle trenutka u.

U nastavku ce jednacina (2.5.50) biti izrazena u drugacijem obliku. U tomsmislu, neka je polisa u stanju j u trenutku t. Bice dokazano da je relacija (2.5.50)ekvivalentna sa

Vj(t)=

∫ u

t

pjj(t, τ)∑

k;k 6=j

µjk(τ)dτ(

∫ τ

t

e−∫ s

tr(v)dvbj(s)ds+e−

∫ τ

tr(v)dv(bjk(τ)+Vk(τ))

)

+pjj(t, u)(

∫ u

t

e−∫ s

tr(v)dvbj(s)ds+ e−

∫ u

tr(s)dsVj(u−)

)

. (2.5.51)

Da bi se to dokazalo potrebno je najpre uociti da na osnovu pjj(t, τ) = e−∫ τ

tµj·(s)ds

sledi da jed

dτpjj(t, τ) = −pjj(t, τ)µj·(τ)dτ.

Tada je

∫ u

t

pjj(t, τ)µj.(τ)

∫ τ

t

e−∫ s

tr(v)dvbj(s)dsdτ

= −

∫ u

t

d

dτpjj(t, τ)dτ

∫ τ

t

e−∫ s

tr(v)dvbj(s)ds.

33

Nakon promene redosleda integracije u poslednjem izrazu, dobija se da je∫ u

t

pjj(t, τ)µj.(τ)

∫ τ

t

e−∫ s

tr(v)dvbj(s)dsdτ

= −

∫ u

t

∫ u

s

d

dτpjj(t, τ)dτe

−∫ s

tr(v)dvbj(s)ds

= −pjj(t, u)

∫ u

t

e−∫ s

tr(v)dvbj(s)ds+

∫ u

t

pjj(t, s)e−

∫ s

tr(v)dvbj(s)ds.

Zamenom poslednjeg izraza u (2.5.51), dobija se (2.5.50).Ako funkcije koje opisuju ugovor o osiguranju ne zavise od rezervi, relacija

(2.5.43) daje eksplicitne izraze za iznose rezervi koje odgovaraju razlicitim stan-jima polise i diferencijalne jednacine (2.5.45) nisu potrebne u konstruktivne svrhe.Medutim, one su pogodne zbog postojanja razlicitih numerickih metoda za odrediva-nje njihovih aproksimativnih resenja. Pored toga, one daju uvid u dinamiku poliseosiguranja.

Situacija je u potpunosti drugacija ako se dozvoli da funkcije koje opisuju ugovoro osiguranju zavise od rezervi. Primer koji odgovara takvom slucaju se odnosi naprekid ugovora o osiguranju. Tada se osiguraniku isplacuje odredena suma iz fondarezervi. Podrazumeva se da takva mogucnost mora biti ukljucena u skup stanja Z.Jos jedan primer se odnosi na cinjenicu da se troskovi koji prate ugovor o osiguranju(kao sto su, na primer, troskovi sudskog vestacenja) finansiraju iz fonda rezervi.Takode, sume osiguranja mogu u nekim slucajevima biti odredene kao funkcije rez-ervi. U takvim situacijama diferencijalne jednacine su nezamenljivo sredstvo zaodredivanje rezervi i premija u skladu sa principom ekvivalencije. Primer koji topotvrduje ce biti predstavljen u nastavku.

Primer 2.5.1 Bracni par kupuje kombinovano zivotno osiguranje pri cemu se pre-mije u iznosu c isplacuju sve dok su oboje zivi. Osiguravajuca kompanija isplacujesumu osiguranja u iznosu b zeni, tokom perioda njenog zivota nakon smrti supruga.Medutim, ukoliko prvo nastupi smrt zene, onda se u trenutku smrti njenog supruga,njihovim naslednicima isplacuje jednokratno suma s. Polisa traje do trenutka n ipretpostavlja se da je neprekidna kamatna stopa konstantna i da iznosi r.

Odgovarajuci model Markova je prikazan na Slici 4.Diferencijalne jednacine (2.5.45) su specijalnog oblika, pri cemu ce biti izostav-

ljene one koje se odnose na trivijalan slucaj kada je V3(t) = 0, tj. kada smrt zenenastupi nakon smrti muskaraca. Pritom su ostala stanja polise: 0 - ”osiguranici suzivi”, 1 - ”nastupila je smrt muskaraca a zena je ziva” i 2 - ”smrt muskaraca jenastupila nakon smrti zene”.Odgovarajuce diferencijalne jednacine su oblika

d

dtV0(t) = (r + µ(t) + ν(t))V0(t)− µ(t)V1(t)− ν(t)V2(t) + c, (2.5.52)

d

dtV1(t) = (r + ν ′(t))V1(t)− b, (2.5.53)

d

dtV2(t) = (r + µ′(t))V2(t)− µ′(t)s. (2.5.54)

34

Smrt zeneStanje: 2

µ SmrtsuprugaStanje: 1

ν ν ′

Osiguranicisu zivi

Stanje: 0

µ′ Smrt obaosiguranikaStanje: 3

Slika 4: Model dva osiguranika

Razmatra se sada izmenjeni ugovor, po kome je odredeno da se 50% rezerviisplati suprugu u slucaju da postane udovac pre trenutka n, tj. isplacuje mu se deoustedevine. U okviru modifikovanog ugovora, samo prva od prethodnih jednacinase menja, pa je

d

dtV0(t) = (r + µ(t) + 0.5ν(t))V0(t) + c− µ(t)V1(t)− ν(t)V2(t). (2.5.55)

Zajedno sa uslovima Vj(n) = 0, j = 0, 1, 2, ove jednacine se lako resavaju.Ukoliko bi se, pod uslovima polaznog ugovora, ukljucili u razmatranje i ad-

ministrativni troskovi, koji delimicno zavise od rezerve, jednacine (52)-(54) bi biledrugacijeg oblika. Neka su administrativni troskovi aVj(t), j = 0, 1, 2, gde je aodgovarajuca stopa troskova. Tada rezerve Vj zadovojavalju izmenjene diferenci-jalne jednacine (52)-(54), u smislu da se desna strana znaka jednakosti, u svakoj odnjih, umanjuje za aVj(t). Dakle, troskovi administracije koji zavise od rezerve imajuisti efekat kao smanjenje kamatne stope r za a.

2.6 Uticaj efekta selekcije na smrtnost

Neka je x starost osobe u trenutku sklapanja ugovora o osiguranju. Oznaka(x) ce se odnositi na takvu osobu. U aktuarskoj praksi se najcesce pretpostavljada intenzitet smrtnosti za (x) zavisi od starosti x i od vremena t koje je proteklood sklapanja ugovora o osiguranju. Usled delovanja razlicitih faktora na zivot os-iguranika, priroda te zavisnosti moze biti vrlo kompleksna. Pritom se intenzitetsmrtnosti za (x) sustinski razlikuje od intenziteta smrtnosti proizvoljno izabraneosobe starosti x, jer je (x) izabran na osnovu odredenih kriterijuma iz populacijesvih osoba starosti x. Dakle, pomenuta razlika u intenzitetima smrtnosti za osobustarosti x i (x) potice od efekta selekcije. Kroz sledece primere ce efekat selekcijebiti detaljnije objasnjen.

Na primer, osobe koje su u losoj finansijskoj situaciji ne mogu priustiti kupovinuosiguranja, tako da se moze zakljuciti da osigurane osobe odrazavaju cinjenicu dasu odredenog finansijskog statusa. Jos jedan kriterijum selekcije koji se cesto srece

35

u praksi jeste zdravstveno stanje osobe, tj. da bi osoba mogla da se osigura njenozdravstveno stanje mora zadovoljavati odredene standarde.

Nepodlozan osiguranjuNeosiguranStanje: 3

ρx Podlozan osiguranjuOsiguranStanje: 1

κx κx

Podlozan osiguranjuNeosiguranStanje: 0

Nepodlozan osiguranjuOsiguranStanje: 2

Smrt osiguranikaStanje: 4

λxλx

σx σx

Slika 5: Model Markova koji uzima u obzir podloznost osiguranju, osiguranje i smrt

U nastavku ce biti predstavljen jednostavan model Markova koji obuhvata pri-sustvo efekta selekcije. Model Markova predstavljen na Slici 5, je kreiran za potrebeproucavanja efekata selekcije koji su posledica osiguravajucih standarda.

Populacija je grupisana u cetiri kategorije (stanja) u skladu sa dva kriterijuma,i to prema podloznosti osiguranju i prema cinjenici da li je odredeni clan te pop-ulacije osiguran ili ne. Za osobu se smatra da nije podlozna osiguranju, tj. da nezadovoljava osiguravajuce standarde, ako se proceni da je verovatnoca nastupanjanjene smrti dovoljno velika i da osiguranje takve osobe predstavlja preveliki rizikza osiguravajucu kompaniju. Dakle, i za osobu koja je prethodno sklopila ugovoro osiguranju se za vreme trajanja tog ugovora moze utvrditi da nije podlozna osig-uranju. Takode postoji i dodatna kategorija a to je smrt clana populacije. Dakle,stanja ovog lanca Markova su:

• 0 - ”podlozan osiguranju ali neosiguran”,

• 1 - ”podlozan osiguranju i osiguran”,

• 2 - ”nije podlozan osiguranju ali je osiguran”,

• 3 - ”nije podlozan osiguranju i nije osiguran”.

Pretpostavlja se da svaka osoba ulazi u stanje 0 kao novorodena i kasnije prelazi izjednog stanja u drugo u skladu sa lancem Markova sa neprekidnim vremenom uzodgovarajuce intenzitete prelaza koji zavise od njene starosti, kao sto je predstavljeno

36

na Slici 5. Osoba nije podlozna osiguranju ako se utvrdi da je podlozna ozbiljnimbolestima ili drugim okolnostima koje znatno povecavaju mogucnost nastupanjanjene smrti. Stoga se pretpostavlja da je

λx > κx; x > 0, (2.6.56)

odnosno da su vece sanse nastupanja smrti osobe za koju je utvrdeno da nijepodlozna osiguranju, nego one za koju je utvrdeno da je podlozna.

Neka je Z(x) stanje u kome se nalazi proizvoljna novorodena osoba u trenutkukada je njena starost x. Promena stanja u modelu koji se razmatra, u zavisnosti odstarosti osobe, opisuje se lancem Markova Z(x); x > 0.

Sledece formule slede direktno na osnovu podataka sa Slike 5, za svako x > 0 it > 0 :

p11(x, x+ t) = e−∫ x+t

x(σu+κu)du, (2.6.57)

p12(x, x+ t) =

∫ x+t

x

e−∫ u

x(σs+κs)ds · σu · e

−∫ x+t

uλsdsdu, (2.6.58)

p00(0, x) = e−∫ x

0(σu+κu+ρu)du. (2.6.59)

U toku svog zivotnog veka, osigurana osoba je ili podlozna osiguranju i osiguranaili nije podlozna osiguranju ali je osigurana, tj. ona je u stanju 1 ili 2. Medutim,osobe koje su u stanju 2 su sklopile ugovor o osiguranju pre nego sto su postalenepodlozne osiguranju. Ali, za osiguravajucu kompaniju nisu relevantni prelazi izstanja 1 u 2 vec samo informacije o osiguraniku vezane za starost x i za x+t. Drugimrecima, osiguravajuca kompanija poistovecuje osigurane osobe koje su podlozne i onekoje nisu podlozne osiguranju. Dakle, relevantna funkcija dozivljenja je

tp[x] = p11(x, x+ t) + p12(x, x+ t), (2.6.60)

i predstavlja verovatnocu da ce osoba koja je usla u stanje 1 sa x godina, dozivetix+ t godina.

Intenzitet smrtnosti koji odgovara funkciji dozivljenja (2.6.60) je

µ[x]+t =κx+tp11(x, x+ t) + λx+tp12(x, x+ t)

p11(x, x+ t) + p12(x, x+ t). (2.6.61)

U opstem slucaju, izraz sa desne strane jednakosti (2.6.61) zavisi od x i t, odrazavajuciprisustvo efekta selekcije.

Za predstojece razmatranje je pogodno fiksirati x+ t = y kako bi se proucavalazavisnost intenziteta smrtnosti od starosti osobe u trenutku sklapanja ugovora oosiguranju.

Teorema 2 Intenzitet smrtnosti je opadajuca funkcija starosti osobe u trenutkusklapanja ugovora o osiguranju, ako se uzme u obzir efekat selekcije.

37

Dokaz. Formula (2.6.61) se moze ekvivalentno predstaviti u obliku

µ[x]+y−x = κy + ζ(x, y)(λy − κy), (2.6.62)

gde je

ζ(x, y) =p12(x, y)

p11(x, y) + p12(x, y)=

1

1 + p11(x, y)/p12(x, y). (2.6.63)

Na osnovu (2.6.57) i (2.6.58) sledi da je

p12(x, y)

p11(x, y)=

∫ y

x

σue∫ y

u(σs+κs−λs)dsdu,

opadajuca funkcija po x sto, na osnovu (2.6.62) i (2.6.63), implicira da je µ[x]+y−x

opadajuca funkcija po x. ♦

Prethodna teorema ima sledecu interpretaciju. Formulom (2.6.61), intenzitetsmrtnosti µ[x]+y−x je predstavljen kao tezinska suma intenziteta prelaza κy i λy,pri cemu su tezinski koeficijenti uslovne verovatnoce da ce osoba biti podlozna,odnosno nepodlozna osiguranju, respektivno. Pritom je, na osnovu (2.6.56) inten-zitet prelaza λy veci od κy. Takode je tezinski koeficijent uz λy, na osnovu dokazaTeoreme 2 opadajuca funkcija po x. To tvrdenje se opravdava cinjenicom da ce sesa protokom vremena od sklapanja ugovora o osiguranju, t = y − x, povecati sanseda osoba postane nepodlozna osiguranju. U suprotnom, kada t opada, tj. x raste,te sanse se smanjuju. Specijalno, u trenutku sklapanja ugovora o osiguranju, kakose podrazumeva da je osoba podlozna osiguranju, vazi da je tezinski koeficijent uzλy jednak nuli, pa je µ[x] = κx.

Neka je µx intenzitet smrtnosti nasumicno izabrane osobe starosti x iz odredenepopulacije. Formula za µx se lako dobija na osnovu funkcije dozivljenja

xp0 =3

∑

i=0

p0i(0, x),

koja predstavlja verovatnocu da ce novorodena osoba doziveti starost x. Alterna-tivno, moze se odrediti na osnovu prethodnog razmatranja, imajuci u vidu cinjenicuda intenzitet smrtnosti proizvoljno izabrane osobe mora biti jednak onom koji odgo-vara osobama koje su osigurane u trenutku rodenja, tj. µy = µ[0]+y. Onda, kako jeµ[x]+y−x opadajuca funkcija po x i µy odgovara slucaju kada je x = 0, sledi da jeµy > µ[x]+y−x za svako x < y.

Ponovo je objasnjenje jednostavno: Kako se µ odnosi na osobe koje zadovoljavajuosiguravajuce standarde, procenat onih koji ne podlezu osiguranju ce biti manjimedu osiguranim osobama nego u celoj populaciji. Zbog toga ce intenzitet smrtnostiµ, koji se odnosi na celu populaciju, biti veci, od onog koji se odnosi na osiguraneosobe.

38

2.7 Momenti viseg reda sadasnjih vrednosti suma

osiguranja

Momenti slucajnih promenljivih, u opstem slucaju, blize odreduju te promenljive,sto predstavlja motivaciju za predstojece razmatranje. U tom smislu je potrebnoposebno istaknuti znacaj disperzije slucajne promenljive jer ona predstavlja merurizika. Pritom se, u kontekstu zivotnog osiguranja, ona odnosi na rizik kome suizlozene osiguravajuce kompanije imajuci u vidu da one odreduju visinu premijeunapred dok su iznos i vreme isplate suma osiguranja izlozeni razlicitim slucajnimuticajima.

Predmet razmatranja u ovom poglavlju je standardni ugovor o osiguranju kojise odnosi na period [0, n], u modelu Markova. Pritom je D = t0, t1, . . . , tm skuptrenutaka kada se mogu vrsiti isplate suma osiguranja korisniku tog osiguranja, gdeje t0 = 0 i tm = n.

Neka je V (t, u) sadasnja vrednost, u trenutku t, svih isplata u skladu sa ugov-orom, tokom vremenskog intervala (t, u]. Specijalno, V (t) = V (t, n) predstavljasadasnju vrednost, u trenutku t, svih buducih isplata. Cilj je odrediti momenteviseg reda za V (t). Na osnovu svojstva Markova, potrebno je odrediti samo uslovnemomente u odnosu na svako stanje lanca Markova, tj.

V(q)j (t) = E[V (t)q|Z(t) = j], q = 1, 2, ...

Teorema 3 Funkcije V(q)j su odredene pomocu diferencijalnih jednacina

d

dtV

(q)j (t) = (qr(t) + µj.(t))V

(q)j (t)− qbj(t)V

(q−1)j (t) (2.7.64)

−∑

k;k 6=j

µjk(t)

q∑

p=0

(

q

p

)

(bjk(t))pV

(q−p)k (t), t ∈ (0, n)\D,

tako da zadovoljavaju uslove

V(q)j (t−) =

q∑

p=0

(

q

p

)

(Bj(t)−Bj(t−))pV(q−p)j (t), t ∈ D. (2.7.65)

Dokaz. Ocigledno, za t < u < n, vazi da je

V (t) = V (t, u) + e−∫ u

tr(s)dsV (u). (2.7.66)

Tada, za svako q = 1, 2, . . . , na osnovu binomne formule sledi da je

V q(t) =

q∑

p=0

(

q

p

)

V (t, u)p(

e−∫ u

tr(s)dsV (u)

)q−p

. (2.7.67)

Razmatra se prvo beskonacno mali vremenski interval (t, t+dt], pod pretpostavkomda se u tom periodu nije realizovala nijedna isplata sume osiguranja. Ako se uvede

39

oznaka u = t + dt u (2.7.67), uslovno ocekivanje slucajne promenljive V q(t), poduslovom Z(t) = j, je

V qj (t) =

q∑

p=0

(

q

p

)

E[

V (t, t+ dt)p(

e−r(t)dtV (t+ dt))q−p∣

∣

∣Z(t) = j

]

. (2.7.68)

Koriscenjem ponovljenih ocekivanja, zavisno od toga sta se desava u malom vremen-skom intervalu (t, t+ dt], p−ti sabirak sa desne strane jednakosti (2.7.68) postaje

(

q

p

)

(1− µj.(t)dt)(bj(t)dt)pe−(q−p)r(t)dtV

(q−p)j (t+ dt) (2.7.69)

+

(

q

p

)

∑

k;k 6=j

µjk(t)dt(

bj(t)dt+ bjk(t))p

e−(q−p)r(t)dtV(q−p)k (t+ dt).

U nastavku ce posebna paznja biti posvecena nekim delovima prethodnog izraza,zanemarujuci izraze reda o(dt). Specijalno, za p = 0, prvi sabirak u izrazu (2.7.69)je oblika

(1− µj.(t)dt)e−qr(t)dtV

(q)j (t+ dt),

za p = 1, oblikaqbj(t)dte

−(q−1)r(t)dtV(q−1)j (t+ dt),

a za p > 1 je reda o(dt). Zatim je potrebno uociti da se izraz dt(bj(t)dt+ bjk(t))p u

drugom sabirku izraza (2.7.69) moze predstaviti u obliku

dt(bj(t)dt+ bjk(t))p = dt

p∑

r=0

(

p

r

)

(bj(t)dt)r(bjk(t))

p−r,

tj. da se zanemarujuci sabirke reda o(dt), on svodi na dt(bjk(t))p. Na taj nacin, drugi

sabirak u izrazu (2.7.69) postaje(

q

p

)

∑

k;k 6=j

µjk(t)dt(bjk(t))pe−(q−p)r(t)dtV

(q−p)k (t+ dt).

Dakle, na osnovu prethodnog razmatranja i (2.7.68) sledi da je

V(q)j (t)=(1− µj.(t)dt)e

−qr(t)dtV(q)j (t+ dt)+qbj(t)dte

−(q−1)r(t)dtV(q−1)j (t+ dt)

+

q∑

p=0

(

q

p

)

∑

k;k 6=j

µjk(t)dt(bjk(t))pe−(q−p)r(t)dtV

(q−p)k (t+ dt).

Sada se oduzimanjem V(q)j (t + dt) sa obe strane prethodne jednakosti i delj-enjem

sa dt, razmatra slucaj kada dt → 0. Kako je

limt↓0

e−qr(t)dt − 1

dt= −qr(t),

na taj nacin se dobija diferencijalna jednacina (2.7.64). Zamenom t i t+ dt sa t− dti t u (2.7.67), kada dt → 0, dobijaju se uslovi (2.7.65).

Detaljan dokaz ove teoreme se moze nacu u [5]. ♦

40

Centrirane momente slucajnih promenljivih je lakse interpretirati i zato oni imajuvecu primenu od momenata koji nisu centrirani. Ako se sam

(q)j oznaci q- ti centrirani

moment koji odgovara momentu V(q)j koji nije centriran, tada je

m(1)j (t) = V

(1)j (t), (2.7.70)

m(q)j (t) =

q∑

p=0

(−1)q−p

(

q

p

)

V(p)j (t)(V

(1)j (t))q−p. (2.7.71)

Na osnovu (2.7.70), (2.7.71) je jasno da je za odrdivanje centriranih momenata m(q)j

neophodno odrediti V(p)j , p = 1, 2, . . . , q. U tom smislu se prvo resavaju diferencijalne

jednacine (2.7.64) za t ∈ (tm−1, n), gde su uslovi (2.7.65) oblika

V(q)j (n−) = (Bj(n)−Bj(n−))q, (2.7.72)

jer je V(q)j (n) = δq0. Onda, ako je m > 1, date diferencijalne jednacine se resavaju za

t ∈ (tm−2, tm−1), uz uslov (2.7.65), specijalno za t = tm−1. Konacno resenje se dobijanastavljajuci opisani postupak za svaki interval (ti, ti+1).

2.7.1 Numericki primeri

U ovom odeljku ce biti izracunata prva tri momenta za neke standardne formeosiguranja koje se odnose na ranije razmatrani model oboljenja, oporavka i smrti.Neka je efektivna kamatna stopa konstantna i iznosi 4.5% godisnje. Odgovarajucaneprekidna kamatna stopa je

r = ln(1.045) = 0.044017.

Neka su intenziteti prelaza izmedu stanja, koji zavise samo od starosti osiguranikax, dati sa

µx = νx = 0.0005 + 0.000075858 · 100.038x,

σx = 0.0004 + 0.0000034674 · 100.06x,

ρx = 0.005.

Razmatra se primer muskarca starosti 30 godina koji se osigurao za vreme od30 godina. Kako je, po pretpostavci, µx = νx, na osnovu podataka na Slici 3 sezakljucuje da su odgovarajuci intenziteti smrtnosti jednaki, tj.

µ02(t) = µ12(t) = µ30+t.

Na isti nacin se moze zakljuciti da je µ01(t) = σ30+t, µ10(t) = ρ30+t, pri cemu je

0 < t < 30 = n. Centrirani momenti m(q)j , definisani sa (2.7.70) i (2.7.71, ) su

odredeni za stanja 0 i 1, u trenucima t = 0, 6, 12, 18, 24. Stanje 2 nije razmatranojer ono oznacava smrt osiguranika. Dobijeni podaci su prikazani:

41

• u Tabeli 1, za osiguranja sa rokom i jedinicnim sumama osiguranja, koje seisplacuju u slucaju smrti osiguranika, tj. za b02 = b12 = 1;

• u Tabeli 2, za rentu koja se isplacuje dok je osiguranik u stanju 0 - ”zdrav”,gde je stopa isplate rente jedinicna, tj. b0 = 1;

• u Tabeli 3, za rentu koja se isplacuje dok je osiguranik u stanju 1 - ”bolestan”,gde je stopa isplate rente jedinicna, tj. b1 = 1;

• u Tabeli 4, za kombinovanu polisu koja podrazumeva isplatu jedinicne sumeosiguranja u slucaju smrti osiguranika (b02 = b12 = 1) i isplatu rente po stopi0.5 u slucaju bolesti, pri cemu je osiguranik u obavezi da uplati neto premiju−b0 = 0.013108 kada je u stanju 0.

Tabela 1: Momenti u slucaju kada je b02 = b12 = 1

Trenutak t 0 6 12 18 24 30

m(1)0 (t) = m

(1)1 (t) : 0.0683 0.0771 0.0828 0.0801 0.0592 0

m(2)0 (t) = m

(2)1 (t) : 0.0300 0.0389 0.0484 0.0549 0.0484 0

m(3)0 (t) = m

(3)1 (t) : 0.0139 0.0191 0.0262 0.0343 0.0369 0

Tabela 2: Momenti u slucaju kada je b0 = 1

Trenutak t 0 6 12 18 24 30

m(1)0 (t) : 15.763 13.921 11.606 8.698 4.995 0

m(1)1 (t) : 0.863 0.648 0.431 0.230 0.070 0

m(2)0 (t) : 5.885 5.665 4.740 2.950 0.833 0

m(2)1 (t) : 7.795 5.372 3.104 1.290 0.234 0

m(3)0 (t) : -51.550 -44.570 -32.020 -15.650 -2.737 0

m(3)1 (t) : 78.888 49.950 25.099 8.143 0.876 0

Tabela 3: Momenti u slucaju kada je b1 = 1

Trenutak t 0 6 12 18 24 30

m(1)0 (t) : 0.277 0.293 0.289 0.239 0.119 0

m(1)1 (t) : 15.176 13.566 11.464 8.708 5.044 0

m(2)0 (t) : 1.750 1.791 1.646 1.147 0.364 0

m(2)1 (t) : 11.502 8.987 6.111 3.107 0.716 0

m(3)0 (t) : 15.960 14.835 11.929 6.601 1.277 0

m(3)1 (t) : -101.500 -71.990 -42.500 -17.160 -2.452 0

42

Tabela 4: Momenti u slucaju kada je b02 = b12 = 1;b1 = 0.5 i −b0 = 0.013108

Trenutak t 0 6 12 18 24 30

m(1)0 (t) : 0.0000 0.0410 0.0751 0.0858 0.0533 0

m(1)1 (t) : 7.6451 6.8519 5.8091 4.4312 2.5803 0

m(2)0 (t) : 0.4869 0.5046 0.4746 0.3514 0.1430 0

m(2)1 (t) : 2.7010 2.0164 1.2764 0.5704 0.0974 0

m(3)0 (t) : 2.1047 1.9440 1.5563 0.8686 0.1956 0

m(3)1 (t) : -12.1200 -8.1340 -4.3960 -1.5100 -0.1430 0

2.8 Primena lanaca Markova u osiguranju

zavisnih zivota

Poznato je da se ugovor o zivotnom osiguranju moze odnositi na vise osoba.U tom slucaju se stanja polise osiguranja nazivaju statusi i zavise od preostalogzivotnog veka svakog od osiguranika na koje se odnosi polisa. Aktuarske tablice zastatuse koji se odnose na vise osiguranika su bazirane na pretpostavci da su preostalizivotni vekovi osoba koje odreduju status, nezavisni. Pretpostavka o nezavisnostiolaksava odgovarajuca izracunavanja. Medutim, sa tehnoloskim razvojem, ta pret-postavka gubi na znacaju jer se i pod suprotnom pretpostavkom mogu izvesti takvaizracunavanja.

Neka su S i T realne slucajne promenljive, definisane nad nekim prostoromverovatnoce, koje predstavljaju preostale zivotne vekove dveju osoba osiguranih is-tom polisom. Na primer, neka su S i T preostali zivotni vekovi muskarca i njegovesupruge, respektivno.

Ne umanjujuci opstost, pretpostavlja se da su S i T skoro izvesno pozitivneslucajne promenljive i da je (S, T ) dvodimenzionalna slucajna promenljiva apsolutno-neprekidnog tipa.

Poznato je da su skoro izvesno pozitivne slucajne promenljive S i T stohastickinezavisne ako, za svako s, t > 0, vazi da je

P [S > s, T > t] = P [S > s]P [T > t].

Stohasticka nezavisnost slucajnih promenljivih S i T implicira nekoreliranost, tj.vazi da je cov(g(S), h(T )) = 0, za sve funkcije g i h za koje je kovarijansa dobrodefinisana.

Statisticki podaci ukazuju na to da su duzine zivota muskarca i njegove suprugemedusobno zavisne i pozitivno korelirane slucajne promenljive. Opravdanje ove em-pirijske cinjenice proizilazi iz slicnosti u nacinu zivota i uslovima zivota supruznika.Takode, u slucaju smrti jednog od supruznika, prisutan je ”efekat tugovanja” napreostali zivotni vek drugog supruznika.

43

Korelacija predstavlja meru zavisnosti slucajnih promenljivih. Medutim, ona seodnosi na linearnu zavisnost zbog cega nije adekvatna u okviru analize uzajamnezavisnosti preostalih zivotnih vekova osiguranika. Zbog toga ce u nastavku bitirazmatrani drugaciji tipovi zavisnosti slucajnih promenljivih.

2.8.1 Pojam pozitivne zavisnosti slucajnih promenljivih

Postoje razlicite mere uzajamne zavisnosti slucajnih promenljivih. Neke od njihce biti razmatrane u nastavku.

Definicija 1 Slucajne promenljive S i T su pozitivno kvadrantno zavisne (positivequadrant dependent), u oznaci PQD(S, T ), ako, za svako s, t > 0, vazi da je

P [S > s, T > t] ≥ P [S > s]P [T > t]. (2.8.73)

Osobina opisana prethodnom definicijom je simetricna, pa je

PQD(S, T ) = PQD(T, S).

Nejednakost (2.8.73) se ekvivalentno moze predstaviti u obliku

P [S > s|T > t] ≥ P [S > s]. (2.8.74)

U kontekstu osiguranja supruznika, relacija (2.8.74) ukazuje na to da se, znajuci dace zena ziveti bar t godina, povecava verovatnoca dozivljenja starosti s za njenogsupruga.

Definicija 2 Slucajne promenljive S i T su povezane (associated), sto se oznacavasa AS(S, T ), ako vazi da je

cov(g(S, T ), h(S, T )) ≥ 0, (2.8.75)

za sve funkcije g i h sa realnim vrednostima koje su rastuce po oba argumenta i zakoje kovarijansa postoji.

Takode je i prethodna definicija simetricna u smislu da je AS(S, T ) = AS(T, S).

Definicija 3 Desni rep raspodele slucajne promenljive S je rastuca funkcija desnogrepa raspodele za T, u oznaci RTI(S|T ), ako je

P [S > s|T > t] (2.8.76)

rastuca funkcija po t > 0 za fiksirano s > 0.

Ocigledno je da prethodna definicija nije simetricna.

Za svaki pojam pozitivne zavisnosti postoji odgovarajuci pojam negativne zav-isnosti. U tom smislu se kaze da su S i T negativno kvadrantno zavisne ako vazisuprotna nejednakost u odnosu na (2.8.73), odnosno, ako su slucajne promenljive

44

−S i T pozitivno kvadrantno zavisne. Moze se reci da su S i T negativno povezaneukoliko za njih vazi nejednakost, suprotna u odnosu na (2.8.75), tj. ukoliko su−S i T povezane. Takode, kaze se da je desni rep raspodele slucajne promenljiveS opadajuca funkcija desnog repa raspodele za T, u oznaci RTD(S|T ), ako jeP [S > s|T > t] opadajuca funkcija po t za svako fiksirano s, odnosno, ako vaziRTI(−S|T ). Kako se rezultati koji se odnose na pozitivnu zavisnost lako prevode urezultate koji se ticu negativne zavisnosti, u nastavku ce biti razmatran samo prvislucaj.

Najpre ce biti navedena teorema kojom se uspostavlja veza medu prethodnonavedenim tipovima zavisnosti slucajnih promenljivih.

Teorema 4 Za proizvoljne slucajne promenljive S i T vazi implikacija

RTI(S|T ) ⇒ AS(S, T ) ⇒ PQD(S, T ).

Dokaz. Dokaz prve implikacije RTI(S|T ) ⇒ AS(S, T ), ce biti izostavljen zbogslozenosti.

Za dokaz druge implikacijeAS(S, T ) ⇒ PQD(S, T ), neka je g(S, T ) = I(s,∞)(S) =I[S>s] i h(S, T ) = I(t,∞)(T ) = I[T>t]. Tada je (2.8.75) oblika

cov(I[S>s], I[T>t]) ≥ 0, (2.8.77)

sto je ekvivalentno sa (2.8.73).Kao delimicna kompenzacija nedostatka dokaza prve implikacije bice naveden

dokaz implikacije RTI(S|T ) ⇒ PQD(S, T ). Ako vazi svojstvo RTI(S|T ), onda jeP [S > s|T > t] ≥ P [S > s|T > 0], za t > 0, sto predstavlja relaciju (2.8.74). ♦

Definicija 4 Za slucajne promenljive S i T se kaze da imaju osobinu marginalnepovezanosti ako je

cov(g(S), h(T )) ≥ 0,

za sve rastuce funkcije g i h za koje date kovarijanse postoje.

Sledeca lema se odnosi na vezu izmedu pozitivne kvadrantne zavisnosti i margi-nalne povezanosti.

Lema 2.8.1 Za proizvoljne slucajne promenljive S i T i rastuce funkcije g i h, vazida je

PQD(S, T ) ⇔ cov(g(S), h(T )) ≥ 0,

pod uslovom da takva kovarijansa postoji.

Dokaz. Na osnovu (2.8.77) sledi da trazeni rezultat vazi za rastuce indikatorskefunkcije. Odatle se zakljucuje da vazi i za stepenaste rastuce funkcije oblika

g(S) = g0 +m∑

i=1

giI[S>si], h(T ) = h0 +n

∑

j=1

hjI[T>tj ],

45

tj. za stepenaste funkcije sa konstantnim koeficijentima gi i hj, pri cemu je gi >0, i = 1, . . . ,m i hj > 0, j = 1, . . . , n. Zaista, pod navedenom pretpostavkom vazida je

cov(g(S), h(T )) =m∑

i=1

n∑

j=1

gihjcov(I[S>si], I[T>tj ]) ≥ 0.

Na osnovu teoreme o monotonoj konvergenciji sledi da se svaka rastuca funkcija f :R → R moze predstaviti kao granicna vrednost niza rastucih stepenastih funkcija.Zbog toga, imajuci u vidu prethodno razmatranje, trazeni rezultat vazi za sve rastucefunkcije g(S) i h(T ). ♦

2.8.2 Zavisnost izmedu sadasnjih vrednosti suma osiguranja

U Tabeli 5 koja sledi su prikazani podaci koji se odnose na preostale zivotnevekove i funkcije dozivljenja za muskarca i njegovu suprugu, trajanje njihovog za-jednickog zivota i trajanje statusa poslednjeg prezivelog supruznika, odnosno periodkada je bar jedan supruznik ziv.

Tabela 5

Status (z) Preostali zivotni vek U Funkcija dozivljenja P [U > τ ]

Muskarac (x) S P [S > τ ]Supruga (y) T P [T > τ ]Zajednicki zivot (x, y) S ∧ T P [S > τ, T > τ ]Poslednji preziveli x, y S ∨ T P [S > τ ]+P [T > τ ]−P [S > τ, T > τ ]

Tabela 6 sadrzi izraze za sadasnje vrednosti i ocekivane sadasnje vrednosti sumaosiguranja koje se isplacuju statusu (z) u okviru osnovnih tipova ugovora o osig-uranju. Pritom je preostali zivotni vek statusa opisan slucajnom promenljivom U.

Tabela 6

Nacin isplate Sadasnja vrednost Ocekivana sadasnja vrednost

Osiguranje dozivljenja e−rnI[U≥n] nEz = e−rnP [U ≥ n]Neprekidna n-togodisnjarenta

∫ n

0e−rτI[U>τ ]dτ aznq=

∫ n

0e−rτP [U > τ ]dτ

Osiguranje sa rokomn godina e−rUI[U<n] A1

x:nq= 1−n Ez − aznq

Preostali zivotni vek za svaki status u Tabeli 5 je rastuca funkcija po S i T.Na osnovu podataka u Tabeli 6, moze se uociti da je, za proizvoljan status sa pre-ostalim zivotnim vekom U, sadasnja vrednost suma osiguranja dozivljenja i onih koje

46

odgovaraju renti, rastuca funkcija po U. Na drugoj strani, sadasnja vrednost sumeosiguranja sa rokom je opadajuca funkcija po U. Potrebno je naglasiti da se u tomslucaju suma osiguranja isplacuje ukoliko dode do okoncanja statusa, a u ostalimslucajevima se isplacuje pre njegovog okoncanja.

Kombinujuci ova zapazanja sa Teoremom 4, moze se zakljuciti sledece: Akovazi svojstvo PQD(S, T ), onda su sume osiguranja, koje se isplacuju pre okoncanjastatusa, pozitivno zavisne i one koje se isplacuju u slucaju okoncanja statusa su poz-itivno zavisne. Medutim, bilo koja suma osiguranja koja se isplacuje pre okoncanjastatusa je negativno zavisna u odnosu na proizvoljnu sumu osiguranja koja se is-placuje u slucaju njegovog okoncanja.

Na osnovu podataka iz prethodne dve tabele, mogu se izvesti zakljucci o uti-caju pretpostavke o nezavisnosti preostalih zivotnih vekova osiguranika, S i T, navisinu jednokratnih neto premija, odnosno na ocekivane sadasnje vrednosti sumaosiguranja.

Na primer, ukoliko je priroda zavisnosti slucajnih promenljivih S i T u skladu sasvojstvom PQD(S, T ), ali se izracunavanja vrse pod pretpostavkom o nezavisnosti,to ce dovesti do neadekvatnih izracunavanja jednokratnih neto premija.

Ukoliko se razmatra status zajednickog zivota (x, y), odgovarajuca jednokratnaneto premija osiguranja dozivljenja nE(x,y), pod pretpostavkom o nezavisnosti S iT, je

nE(x,y)=e−rnP [S ∧ T > n]=e−rnP [S > n, T > n]=e−rn · P [S > n] · P [T > n].

Kako za odgovarajucu premiju nE(x, y), u slucaju svojstva PQD(S, T ), vazi da je

nE(x,y) ≥ e−rn · P [S > n] · P [T > n] =n E(x,y),

sledi da je, pod pretpostavkom o nezavisnosti S i T, jednokratna neto premija pot-cenjena. Isti zakljucak vazi i u slucaju isplate suma osiguranja u vidu rente zastatus zajednickog zivota, dok je, pod pretpostavkom o nezavisnosti, jednokratnaneto premija osiguranja sa rokom precenjena.

U slucaju statusa poslednjeg prezivelog, jednokratna neto premija pod pret-postavkom o nezavisnosti S i T, odnosno pod pretpostavkom o svojstvu PQD(S, T ),su u suprotnom odnosu u poredenju sa prethodnim razmatranjem statusa zajednickogzivota.

2.8.3 Model lanca Markova u slucaju dva osiguranika

Odredivanje zajednicke raspodele za preostale zivotne vekove osiguranika, S i T,tako da ona odrazava prirodu njihove zavisnosti, u opstem slucaju nije jednostavno.Medutim, primenom modela koji se zasnivaju na slucajnim procesima, stvarajuse velike mogucnosti za adekvatno opisivanje zavisnosti izmedu preostalih zivotnihvekova osiguranika. Odgovarajuci model Markova je prikazan na Slici 4.

Na osnovu ( 2.2.24) i (2.3.29) sledi da je

p00(s, t) = e−∫ t

s(µu+νu)du,

47

p01(s, t) =

∫ t

s

e−∫ τ

s(µu+νu)duµue

−∫ t

τν′ududτ,

p02(s, t) =

∫ t

s

e−∫ τ

s(µu+νu)duνue

−∫ t

τµ′ududτ.

pa je zajednicka funkcija dozivljenja za osiguranike

P [S > s, T > t]

=

p00(0, t) + p00(0, s)p01(s, t), s ≤ t,p00(0, s) + p00(0, t)p02(s, t), s > t,

=

e−∫ t

0(µu+νu)du +

∫ t

se−

∫ τ

0(µu+νu)duµue

−∫ t

τν′ududτ, s ≤ t,

e−∫ s

0(µu+νu)du +

∫ s

te−

∫ τ

0(µu+νu)duνue

−∫ s

τµ′ududτ, s > t.

(2.8.78)

Marginalna funkcija dozivljenja osiguranika ciji je preostali zivotni vek T se dobijana osnovu (2.8.78), za s = 0, pa je

P [T > t] = p00(0, t) + p01(0, t)

= e−∫ t

0(µu+νu)du +

∫ t

0

e−∫ τ

0(µu+νu)duµue

−∫ t

τν′ududτ, t ≥ 0. (2.8.79)

Intuitivno je jasno da su slucajne promenljive S i T nezavisne ako µ′τ = µτ i

ν ′τ = ντ , za svako τ, sto ce biti dokazano u okviru Teoreme 5. Takode je, intuitivnojasno da ce slucajne promenljive S i T postati zavisne ako se dopusti da stopasmrtnosti zavisi od bracnog statusa. U nastavku ce biti razmatran slucaj kada sestopa smrtnosti poveca nakon gubitka supruznika.

Teorema 5 Ako je µ′τ ≥ µτ i ν ′

τ ≥ ντ , za svako τ , onda su slucajne promenljive Si T pozitivno zavisne u smislu RTI(S|T ), a time i u smislu AS(S, T ) i PQD(S, T ).Ako je µ′

τ ≤ µτ i ν ′τ ≤ ντ , za svako τ , onda su slucajne promenljive S i T negativno

zavisne u smislu RTD(S|T ), sto implicira AS(−S, T ) i PQD(−S, T ).Ako je µ′

τ = µτ i ν ′τ = ντ , za svako τ , onda su slucajne promenljive S i T nezavisne.

Dokaz. Razmatra se prvo slucaj kada je s ≤ t. Na osnovu (2.8.78) i (2.8.79) sedobija da je

P [S > s|T > t] =e−

∫ t

0(µu+νu)du +

∫ t

se−

∫ τ

0(µu+νu)duµτe

−∫ t

τν′ududτ

e−∫ t

0(µu+νu)du +

∫ t

0e−

∫ τ

0(µu+νu)duµτe

−∫ t

τν′ududτ

= 1−

∫ s

0e−

∫ τ

0(µu+νu−ν′u)duµτdτ

e−∫ t

0(µu+νu−ν′u)du +

∫ t

0e−

∫ τ

0(µu+νu−ν′u)duµτdτ

.

Od posebnog je znacaja imenilac drugog razlomka u prethodnoj jednakosti, kaofunkcija po t. Njegov izvod je

e−∫ t

0(µu+νu−ν′u)du(ν ′

t − νt).

48

Kako brojilac tog razlomka ne zavisi od t, sledi da je P [S > s|T > t] rastuca funkcijapo t, ako je ν ′

t ≥ νt, i opadajuca funkcija po t, ako ν ′t ≤ νt. Specijalno, za ν ′

t = νt,izvod imenioca po t je jednak 0, pa je funkcija P [S > s|T > t] konstantna za svakot ≥ s, odnosno

P [S > s|T > t] = P [S > s], t ≥ s. (2.8.80)

Neka je sada s > t, sto je slozeniji slucaj nego prethodni. Na osnovu (2.8.78) i(2.8.79) se dobija da je

P [S > s|T > t] =e−

∫ s

0(µu+νu)du +

∫ s

te−

∫ τ

0(µu+νu)duνue

−∫ s

τµ′ududτ

e−∫ t

0(µu+νu)du +

∫ t

0e−

∫ τ

0(µu+νu)duµue

−∫ t

τν′ududτ

.

Diferenciranjem po t prethodne jednakosti, moze se zakljuciti da je izraz

∂

∂tP [S > s|T > t]

istog znaka kao

(

e−∫ t

0(µu+νu)du+

∫ t

0

e−∫ τ

0(µu+νu)duµue

−∫ t

τν′ududτ

)(

− e−∫ t

0(µu+νu)duνte

−∫ s

tµ′udu

)

−

(

e−∫ s

0(µu+νu)du +

∫ s

t

e−∫ τ

0(µu+νu)duνue

−∫ s

τµ′ududτ

)

·

(

e−∫ t

0(µu+νu)du(−µt− νt)+e−

∫ t

0(µu+νu)duµt+

∫ t

0

e−∫ τ

0(µu+νu)duµue

−∫ t

τν′ududτ(−ν ′

t)

)

.

Mnozenjem prethodnog izraza sa

e∫ s

0(µu+νu)due

∫ t

0(µu+νu)du,

sto ne utice na njegov znak, dobija se

−

(

1 +

∫ t

0

e∫ t

τ(µu+νu−ν′u)duµudτ

)

e∫ s

t(µu−µ′

u+νu)duνt

+

(

1 +

∫ s

t

e∫ s

τ(µu−µ′

u+νu)duνudτ

)(

νt +

∫ t

0

e∫ t

τ(µu+νu−ν′u)duµudτν

′t

)

.

Zamenom izraza∫ s

t

e∫ s

τ(µu−µ′

u+νu)duνudτ =

∫ s

t

e∫ s

τ(µu−µ′

u+νu)du(µu − µ′u + νu)dτ

+

∫ s

t

e∫ s

τ(µu−µ′

u+νu)du(µ′u − µu)dτ

= e∫ s

t(µu−µ′

u+νu)du − 1 +

∫ s

t

e∫ s

τ(µu−µ′

u+νu)du(µ′u − µu)dτ

49

u prethodni, dobija se(

νt + ν ′t

∫ t

0

e∫ t

τ(µu+νu−ν′u)duµudτ

)∫ s

t

e∫ s

τ(µu−µ′

u+νu)du(µ′u − µu)dτ

+

∫ t

0

e∫ s

τ(µu+νu−ν′u)duµτdτ(ν

′t − νt).

Sledi da je P [S > s|T > t] rastuca funkcija po t < s, ako je µ′t ≥ µt i ν

′t ≥ νt, i

opadajuca funkcija po t, ako je µ′t ≤ µt i ν

′t ≤ νt.

Specijalno, za µ′t = µt i ν

′t = νt, ta funkcija je konstantna za svako t < s, tj. vazi

da je

P [S > s|T > t] = P [S > s], t < s. (2.8.81)

Dakle, imajuci u vidu prvi deo dokaza, sledi da su, za µ′t ≥ µt i ν

′t ≥ νt, slucajne

promenljive S i T pozitivno zavisne u smislu RTI(S|T ) i da su negativno zavisne usmislu RTD(S|T ) kada je µ′

t ≤ µt i ν′t ≤ νt. Specijalno, kada je µ′

t = µt i ν′t = νt, na

osnovu 2.8.80 i 2.8.81 sledi da su S i T nezavisne slucajne promenljive. ♦

2.8.4 Uticaj radjanja na intenzitet smrtnosti

U prethodnom razmatranju ugovora o osiguranju koji se odnose na vise osoba, polosiguranika nije bio od sustinskog znacaja. Medjutim, statisticki podaci pokazuju dase intenziteti smrtnosti muskaraca i zena razlikuju. Jedan od razloga takve pojaveje uticaj radjanja na intenzitet smrtnosti zena o cemu ce biti reci u predstojecemrazmatranju.

U okviru sema penzionog osiguranja, postoji mogucnost isplate odredene sumeosiguranja detetu mladem od 18 godina, ciji je staralac osiguran, u trenutku sm-rti osiguranika. Zbog toga je, iz tehnickih razloga, potrebno uzeti u obzir da liosiguranik ima potomstvo. Pored toga sto postojanje potomstva utice na obavezeosiguravajuce kompanije koja osigurava staraoca, prirodno je da se posebna paznjaposveti slucajevima kada su osigurane majke zbog uticaja radanja na intenzitet nji-hove smrtnosti. Dakle, prilikom razmatranja zivotnog osiguranja mora se napravitirazlika izmedu osiguranika prema njihovom polu, a u okviru razmatranja vezanihza osiguranike zenskog pola, razmatrati uticaj radjanja na intenzitet smrtnosti, asamim tim i na ugovore o osiguranju njihovog zivota.

U nastavku ce biti razmatrani samo osiguranici zenskog pola. Na sledecoj slici jeprikazan zivotni vek osigurane osobe zenskog pola, pri cemu se pretpostavlja da ceu njegovom toku biti najvise J rodenja. Pritom, d oznacava stanje smrti te osobe.Radi jednostavnosti se pretpostavlja da se razmatranje odnosi na osobu starosti 0godina i da se tok njenog zivota opisuje lancem Markova sa neprekidnim vremenom.U tom smislu su, za osobu starosti t godina, koja je rodila j dece, intenzitet smrtnostiµj(t) i intenzitet plodnosti φj(t), funkcije po t i j.

Neka se istorija radanja i smrti posmatra samo nakon smrti osigurane osobe,kada je potrebno isplatiti odredene sume osiguranja njenim naslednicima. Pret-postavlja se da statisticki podaci obuhvataju samo one osobe cija je smrt nastupila

50

ZivaBroj rodjenja: 0

Stanje: 0

φ0 . . . φj−1 ZivaBroj rodjenja: j

Stanje: j

φj . . .φJ−1 ZivaBroj rodjenja: J

Stanje: J

µ0 µj µJ

Smrt osigurane osobeStanje: d

Slika 6: Model koji ukljucuje uticaj rodjenja na intenzitet smrtnosti

i da za svaku od njih postoji kompletan dosije o trenucima radanja i smrti. Tada suintenziteti smrtnosti i plodnosti, za osobu starosti t godina koja je rodila j dece, poduslovom da je nastupila njena smrt, µ∗

j(t) i φ∗j(t), respektivno. Ovi podaci se odnose

na slucaj kada je proslost zenske osobe, koja je sklopila ugovor o osiguranju pre ugodina, u skladu sa lancem Markova koji je prethodno opisan, ali sa intenzitetimaprelaza

µ∗j(t) = µj(t)

1

pjd(t, u), (2.8.82)

φ∗j(t) = φj(t)

pj+1,d(t, u)

pjd(t, u). (2.8.83)

Ocigledno je da je µ∗j(t) ≥ µj(t), zbog toga sto se razmatra intenzitet smrtnosti

pod uslovom da je nastupila smrt osigurane osobe.Moguce je dokazati jos interesantniji rezultat. Ako se smrtnost osobe povecava

sa brojem radanja, tj. ako je

µj(t) ≤ µj+1(t), j = 0, . . . , J − 1, t > 0, (2.8.84)

onda je

φ∗j(t) ≥ φj(t), j = 0, . . . , J − 1, t > 0. (2.8.85)

Da bi se dokazalo da vazi (2.8.85), treba dokazati da je

pj+1,d(t, u) ≥ pjd(t, u), j = 1, . . . , J − 1.

U tom smislu je od znacaja verovatnoca da ce osoba starosti t godina sa j porodajaziveti u godina, tj.

pj(t, u) = 1− pjd(t, u) =J∑

k=j

pjk(t, u). (2.8.86)

51

Najpre se dokazuje tacnost hipoteza

Hj : pk(t, u) ≤ pj(t, u), k = j + 1, . . . , J, (2.8.87)

za j = 0, . . . , J−1, i to indukcijom, dokazujuci da Hj+1 implicira Hj. U tom smislu,neka je hipoteza Hj+1 tacna. Intenzitet smrtnosti osobe starosti u godina, pri cemuje u > t, koji odgovara funkciji dozivljenja (2.8.86) je

µj(t, u) =

∑

k≥j pjk(t, u)µk(u)∑

k≥j pjk(t, u). (2.8.88)

Odatle sledi da je

pj(t, u) = e−∫ u

tµj(t,s)ds. (2.8.89)

Jos dva moguca nacina predstavljanja verovatnoce pj(t, u), su

pj(t, u) =∑

k≥j

pjk(t, τ)pk(τ, u)

= e−∫ u

t(φj(s)+µj(s))ds

+

∫ u

t

e−∫ τ

t(φj(s)+µj(s))dsφj(s)pj+1(τ, u)dτ, (2.8.90)

pri cemu je t ≤ τ ≤ u.Na osnovu (2.8.84) i (2.8.88) se dobija da je

µj(u) ≤ µj+1(t, u), (2.8.91)

odakle jee−

∫ u

tµj(s)ds ≥ pj+1(t, u).

Stoga, na osnovu (2.8.90) sledi da je

pj(t, u) ≥ e−∫ u

tφj(s)dspj+1(t, u)

+

∫ u

t

e−∫ τ

tφj(s)dsφj(τ)pj+1(t, τ)pj+1(τ, u)dτ. (2.8.92)

Posmatrajuci poslednja dva cinioca pod znakom integrala, na osnovu (2.8.90) i(2.8.87) se dobija da je

pj+1(t, τ)pj+1(τ, u) =J∑

k=j+1

pj+1,k(t, τ)pj+1(τ, u)

≥

J∑

k=j+1

pj+1,k(t, τ)pk(τ, u)

= pj+1(t, u).

52

Zamenjivanjem prethodnog izraza u (2.8.92) dobija se

pj(t, u) ≥

(

e−∫ u

tφj(s)ds +

∫ u

t

e−∫ τ

tφj(s)dsφj(τ)dτ

)

pj+1(t, u) = pj+1(t, u).

Na taj nacin se zakljucuje da je hipoteza Hj tacna. Kako je hipoteza HJ−1 ociglednotacna, na osnovu prethodnog razmatranja se zakljucuje da je tvrdenje (2.8.85) tacno.

Literatura

[1] Sv. Jankovic, Teorija verovatnoca, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nisu,Prirodno-matematicki fakultet, Nis.

[2] Sv. Jankovic, Stohasticki procesi, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nisu,Prirodno-matematicki fakultet, Nis.

[3] M. Milosevic, Aktuarska matematika, autorizovana predavanja, Univerzitet uNisu, Prirodno-matematicki fakultet, Nis.

[4] R. Norberg, Basic Life Insurance Mathematics, Lecture notes, Laboratory ofActuarial Mathematics, University of Copenhagen, 2002.

[5] R. Norberg, Differential equations for moments of present values in life insur-ance. Insurance: Math. & Econ., 17 (1995) 171-180.

[6] H.U. Gerber, Life Insurance Mathematics (Third Edition), Springer, 1997.

53

Zakljucak

Osiguravajuce kompanije pruzaju mogucnost osiguranja od razlicitih rizicnih do-gadaja. Prilikom sklapanja ugovora o osiguranju preciziraju se dani kada osiguranikplaca osiguravajucem drustvu jednokratnu neto premiju ili periodicno vrsi premi-jske uplate. Sa aspekta osiguravajuceg drustva, povoljno je da vrednost svih premijabude veca ili jednaka u odnosu na ocekivanu sadasnju vrednost svih isplata na imesume osiguranja.

Vazan kriterijum prilikom sklapanja ugovora o osiguranju jeste zdravstveno stanjeosobe, tj. da bi osoba mogla da se osigura njeno zdravstveno stanje mora zado-voljavati odredene standarde. Samim tim, zdravstveno stanje osigurane osobe umnogome utice na iznos sume osiguranja.

U skladu sa potrebama klijenata, mogu se kreirati veoma slozeni ugovori o osigu-ranju, pa se time stvara prostor za formiranje slozenih matematickih modela koji bina adekvatan nacin opisali takve ugovore. Primena takvih modela bi omogucila osi-guravajucim kompanijama bolji uvid u dinamiku njihovog portfolija koji cine poliseosiguranja.

U ovom master radu je predstavljen jedan od pravaca uopstenja osnovnih modelazivotnog osiguranja koji se bazira na primeni lanaca Markova. U tom smislu se pret-postavlja da se polisa osiguranja, koja se u opstem slucaju odnosi na vise osiguranihdogadaja, modelira lancem Markova sa neprekidnim vremenom i konacnim skupomstanja. Pritom, iznos i nacin isplate sume osiguranja zavisi od toga u kom se stanjunalazi polisa.

Ovoj master rad obuhvata slucaj kada je za polisu osiguranja relevantan samojedan uzrok smrti, kao i slucaj sa r uzroka smrti. Pored toga, obuhvata standardniugovor o osiguranju sa vise stanja, kao i uticaj efekta selekcije na smrtnost.

Osim navedenih ugovora koji se odnose na jednog osiguranika, razmatraju se iugovori o osiguranju koji se odnose na vise osoba, sa posebnim akcentom na zavis-nosti izmedu duzine zivota muskarca i njegove supruge, tj. na uticaju smrti jednogsupruznika na na preostali zivotni vek drugog. Takode je razmatran slucaj ispateodredene sume osiguranja detetu mladem od 18 godina, ciji je staralac osiguran,i to u specijalnom slucaju kada je majka osigurana. Zbog toga je u razmatranjeukljucena i pretpostavka da radanje utice na intenzitet smrtnosti zenske populacije.

Uspostavljanjem veze izmedu ovih teorijskih modela i realnog sveta, redukuju segreske koje osiguravajuca kompanija moze da napravi kada sklapa ugovor o osigu-ranju, sto samim tim dovodi do njihovog uspesnijeg poslovanja.

Moguca uopstenja modela koji su ovde razmatrani pod pretpostavkom da je

54

55

polisa osiguranja opisana lancem Markova, mogu se vrsiti u smislu izostavljanjapretpostavke o markovskom svojstvu i uvodenjem pretpostavke o nekom slozenijemtipu zavisnosti izmedu buducih i prethodnih stanja polise.

Biografija

Nebojsa Grozdanovic je roden 11.08.1988. godine u Leskovcu, Republika Srbija.Osnovnu skolu ”Radoje Domanovic” u Leskovcu zavrsio je 2003. godine. Upisujemedicinsku skolu u Leskovcu, smer farmaceutski tehnicar, koju zavrsava 2007. go-dine.

Prirodno–matematicki fakultet u Nisu, Departman za matematiku, upisao jeskolske 2007/2008. godine. Osnovne akademske studije, sa zvanjem matematicar,zavrsio je septembra 2011. godine. Iste godine upisuje master akademske studije naPrirodno-matematickom fakultetu u Nisu, smer Primenjena matematika - matem-atika u finansijama.

56