nel metodo indiretto la grandezza fisica di cui ci interessa la misura e` funzione di altre delle...
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Quale errore si attribuisce ad una grandezza misurata indirettamente?
Nel metodo indiretto la grandezza fisica di cui ci interessa la misura e` funzione di altre delle quali conosciamo gia` una valutazione degli errori. Esempio: Se conosciamo a con un’incertezza tale che a±Δa e m± Δm Quale sara` l’errore da attribuire a F? Se gli scarti di a e m sono “sufficientemente piccoli”
€
F = ma
€
xF = F − F = dFda
#
$ %
&
' (
a= a
a − a ( ) +dFdm#
$ %
&
' (
m= m
m −m ( )
e quindi
ΔF = dFda
#
$ %
&
' (
a= a
Δa +dFdm#
$ %
&
' (
m= m
Δm
Espressione che deriva da uno sviluppo in serie di Taylor
• Estendendo il risultato precedente ad una situazione piu` generale in cui F= F(G1,G2,G3,….,Gm) sia una funzione continua e derivabile
delle variabili Gi Per xF=F-F si ottiene:
€
xF = F − F = dFdGi
#
$ %
&
' (
G=G
Gi −G i( )i∑
oppure
xF = aixii∑ con
xi = Gi −G i
ai =dFdGi
#
$ %
&
' (
*
+ ,
- ,
G1 =G 1 ,G2 =G 2 ,G3 =G 3 ,...,Gm =G m
Il termine ai pesa la dipendenza di F dalla grandezza Gi nel senso che se ai e` forte (debole) l’errore di Gi contribuisce in parte rilevante (trascurabile) all’errore di F.
Quale valore di ?
• Abbiamo due possibilita`: 1. Calcolare il valore di F in corrispondenza dei valori medi delle
variabili Gi
2. Calcolare i valori di Fi per i diversi valori delle Gi e quindi farne la media
€
F
€
F = F(G 1,G 2,...G m )
€
F1 = F(G11,G1
2,...G1m )
F 2 = F(G21,G2
2,...G2m )
.
.
.F n = F(Gn
1,Gn2,...Gn
m )e quindi
F = 1n
F k
k=1
n
∑
• Si dimostra che a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo
Se gli scarti Sono sufficientemente piccoli
F(G1,G2,...Gm ) ≅1n
F (k )
k=1
n
∑
€
Gi(k ) −G i per i =1....m e k =1...n
• Si puo` inoltre dimostrare che se un errore XF e` una combinazione lineare di altri errori xi (di eventi compatibili e indipendenti ) che seguono ciascuno una distribuzione gaussiana con modulo di precisione hi anche XF segue una distribuzione gaussiana con modulo di precisione H tale che:
€
1H 2 =
ai2
hi2
i∑ Da cio` segue
che:
€
σF2 = ai
2σ i2
i∑
Con ai
€
ai =∂F∂Gi
#
$ %
&
' (
G1=G 1 ,G2=G 2 ,G3=G 3 ,...,Gm =G m
• Come abbiamo visto nell’esempio di F=ma, per gli errori massimi si sommano in valore assoluto i contributi degli errori massimi delle singole variabili
€
(xF )max = aixi,maxi∑
Esempio :
1. Determiniamo il semiperimetro di un rettangolo di cui abbiamo misurato i singoli lati
a=(18.1±0.1)cm
b=(12.0±0.1)cm
NB: gli errori massimi si sommano linearmente, gli errori statistici quadraticamente; si usa l’errore massimo quando la misura non e` stata ripetuta un numero n>10
Errore relativo
• In generale con il termine errori assoluti si indicano sia gli errori massimi che statistici (standard deviation)
ΔF • L’errore relativo e` invece definito come ΔF/F e il suo valore e` spesso
dato in % Esempio :
1. Determiniamo l’area del rettangolo di cui abbiamo misurato i singoli lati
a=(18.1±0.1)cm
b=(12.0±0.1)cm
NB: se F e` una somma o differenza di grandezze, gli errori assoluti si sommano linearmente se si tratta di errori massimi e quadraticamente se sono errori statistici
Se F e` un prodotto o un quoziente di grandezze si sommano gli errori relativi
( )∑=
−−
=N
kks ss
N 1
22
11
σ
Consideriamo una serie di misure delle grandezze x e y
Nxxxx ...321
Nyyyy ...321
di cui si prende la somma kkk yxs +=
Qual è la deviazione standard della somma s ?
Propagazione dell’errore casuale - 1. Somma
yxs +=chiaramente Nssss ...321
∑=
=N
kksN
s1
1
22yxs σσσ +=
Se x e y sono variabili indipendenti (in senso statistico) si trova:
( ) ( ) ( )[ ]2
11
22 11∑∑==
−+−=−=N
kkk
N
kks yyxx
Nss
Nσ
Propagazione dell’errore casuale - 1. Somma
( ) ( ) ( )( )∑∑∑===
−−+−+−=N
kkk
N
kk
N
kks yyxx
Nyy
Nxx
N 11
2
1
22 1211σ
2xσ
2yσ 2
xyσvarianza di x varianza di y covarianza di x e y
La covarianza di due variabili casuali può essere sia positiva che negativa
Dimostrazione
2222 2 xyyxs σσσσ ++=
Se x e y sono statisticamente indipendenti è ragionevole che gli scarti in x e y non siano correlati, ovvero che la covarianza sia piccola.
Definizione: due variabili casuali sono (statisticamente) indipendenti se la loro covarianza (su un numero molto grande di misure) è nulla
se x e y sono indipendenti 222yxs σσσ += 22
yxs σσσ +=
gli errori casuali si sommano quadraticamente
Propagazione dell’errore casuale - 1. Somma algebrica
2222
22
21
21
2 ... NNs aaa σσσσ +++=
generalizziamo alla somma algebrica di variabili indipendenti
Questo risultato ovviamente vale anche per la differenza yxd −= 222
yxd σσσ +=
NN xaxaxaxas ++++= …332211
∑=
=N
kkks a
1
222 σσovvero
se gli errori sono “piccoli” e le due variabili idipendenti:
∑∑ ==k
kkk
k yxN
pN
p 11
( )( ) ( ) ( )[ ]∑∑ +−+−+−−==k
kkkkk
kk yxyyxyxxyyxxN
yxN
p 11
nullo se x e y indipendenti yxp ⋅=
222222 2 xyxyp yxyx σσσσ ⋅++= + termini di grado superiore in Δx, Δy
2222xyp yx σσσ +=
Propagazione dell’errore casuale - 2. prodotto
Consideriamo una serie di misure delle grandezze x e y
Nxxxx ...321
Nyyyy ...321
di cui si prende il prodotto kkk yxp =
è utile riscrivere la formula come segue: 2
2
2
2
1
1
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
xxpp σσσ
l’errore relativo (o frazionario) di un prodotto è la somma quadratica degli errori relativi (frazionari) dei fattori.
...2
3
3
2
2
2
2
1
12
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛xxxP
P σσσσIn generale, posto ...321 xxxP =
Propagazione dell’errore casuale - 2. prodotto
Propagazione dell’errore casuale - 3. rapporto
yxR =
k
kk y
xR =ovvero
yxR =
2
2
2
1
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛xxRyxR σσσ
con le stesse approssimazioni si ottiene
Come si propaga l’errore sulla variabile indipendente x in una funzione generica?
(ma continua e derivabile)
( ) xy xf σσ ʹ′=
Propagazione dell’errore casuale - 4. funzione f(x)
Se gli scarti rispetto alla media sono piccoli si può espandere la funzione
( ) ( ) ( ) ( ) kkk xxfxfxxfxf Δʹ′+≅Δ+=
( )xfy =
( )xfy =
( ) ( ) ( ) 22
1
22
1
22
111
x
N
kk
N
kky xfx
Nxfyy
Nσσ ⋅ʹ′=Δ
−
ʹ′=−
−= ∑∑
==
Si consideri la funzione di più variabili ( ),...., yxfz =
Se l’unica variabile affetta da incertezza fosse x, si ricadrebbe nel caso precedente
( )xz x
yxfσσ
1
,...,∂
∂= l’unica differenza è che ora
si usa la derivata parziale
...,, yx yx σσ ±±se x, y, ... sono affette da errore casuale:
...22
22
2 +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂= yxz y
fxf
σσσ
Questa è l’espressione generale: da qui si possono ricavare tutte le altre!
Propagazione dell’errore casuale - 5. funzione f(x,y,...)
dove x, y, ... sono variabili indipendenti, affette da errore casuale
( ),..., yxfz =è facile convincersi (v. pagina prec.) che
e sono indipendenti, allora
derivate calcolate in
( )...,, yx
Da quanto visto, l’errore casuale frazionario dell’espressione: λ
γβα
dcbaky =
22222
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
dcbaydcbay σ
λσ
γσ
βσ
ασ
sarà:
Propagazione dell’errore casuale - 6. potenza
( ) nkxxy =
Dalla formula generale: nxky = xn
y xkn σσ1−
=
ma è più facile, e più utile, ricordare la formula dell’errore relativo
xn
yxy σσ
=
Propagazione dell’errore casuale - 7. prodotto o rapporto di potenze
( ) 1−=ʹ′ nxknxy
Caso pratico
• Data una serie di N misure possiamo determinarci il valor medio
• Se con νj indichiamo il numero di volte che dalla misura abbiamo ottenuto il valore mj allora fj= νj /N rappresenta la frequenza relativa di mj
• Lo scarto dalla media dell’I-esima misura e`: • quindi lo scarto medio
• E lo scarto quadratico medio
m =mi
Ni∑
m =ν j
Nj∑ mj
€
xi = mi −m
€
θ =mi −m
ni∑ =
xi
ni∑
€
σ =
xi2
i∑n −1
Perche` si sceglie la media aritmetica come valore che meglio approssima il valore di aspettazione?
1. Il valor medio e` tale per cui
2. La media aritmetica dà un valore più vicino al vero di quanto mediamente non siano le singole misure
3.
ε = m - m* O
Per il valor medio m è minima la somma dei moduli degli scarti m-mi
€
S m( ) = (mi∑ −m)2€
xii∑ = 0
significa che la somma degli scarti che corrispondonoa misure > di m ugualia la somma di quelli corrispondentia misure < m
Calcolo dell’errore della media
• Consideriamo la media aritmetica come una funzione m=F(m1,m2,..mn)
E applichiamo la formula di propagazione degli errori quadratici
€
m = m1 + m2 + ....+ mn
n
€
σm =∂m ∂mi
$
% &
'
( )
2
Δmi2
i∑
∂m ∂mi
=1n
per poter fare la media aritmetica tutte le misure appartengono alla stessa gaussiana e quindiΔmi =σ
€
si deduce che
σm =nσ 2
n2 =σn
NB: se si ripete 10 volte una misura si riduce di circa 1/3 l’errore che si avrebbe sulla singola misura, per ridurlo di un’ordine di grandezza occorre fare almeno 100 misure e per ridurlo di due ordini di grandezza occorre misurare almeno 10000 la stessa grandezza
E` possibile quindi con la media avere un valore con un errore arbitrariamente piccolo?
• In teoria questo e` possibile. Ai fini pratici pero` fare un elevato numero di misure significa mantenere le condizioni di misura invariate per un tempo molto lungo e questo non sempre e` possibile. Entrano in gioco errori sistematici che vanificano molto spesso il tentativo di aumentare la precisione di un risultato.
Media pesata
Se la grandezza m è stata misurata n-volte ma non con la stessa precisione, nel senso che i valori m1, m2, m3….. mn hanno errori quadratici medi diversi tra loro σ1, σ2, σ3,…σn non è lecito in questo caso fare semplicemente la media aritmetica perche` le singole misure mi obbediscono a gaussiane diverse e quindi e` diverso il loro scarto quadratico medio .
La migliore stima in questo caso si ottiene “pesando “ diversamente le singole misure
Si dimostra che i pesi sono: ai =
∑ 1/σ2
1/σ2 i
i i 1
N
€
m = aimii∑
€
σm =11σ i2
1∑
Con lo scarto quadratico medio della media