nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása
DESCRIPTION
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása. Ábele-Nagy Kristóf. Páros összehasonlítás mátrixok Motiváció. Hány százalékban befolyásolják döntésünket az egyes szempontok? – Nehezen megválaszolható - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/1.jpg)
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása
Ábele-Nagy Kristóf
![Page 2: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/2.jpg)
Páros összehasonlítás mátrixokMotiváció
• Hány százalékban befolyásolják döntésünket az egyes szempontok? – Nehezen megválaszolható
• Helyette páros összehasonlítás: hányszor fontosabb az i szempont a j szempontnál?
• Ezeket az arányokat mátrixba rendezve ún. páros összehasonlítás mátrixot kapunk
![Page 3: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/3.jpg)
Páros összehasonlítás mátrixokDefiníció
![Page 4: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/4.jpg)
Páros összehasonlítás mátrixokTulajdonságok
• aij=1/aji (wi/wj=1/(wj/wi))
• aii=1 (wi/wi=1)
• aij>0
• Konzisztens, ha: aijajk=aik i,j,k(wi/wj * wj/wk = wi/wk)
• Konzisztencia nem várható el tapasztalati mátrixoktól
![Page 5: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/5.jpg)
Páros összehasonlítás mátrixokSúlyvektor számolása
• Sajátvektor módszer: Aw = nw, ha konzisztens, ebből Aw = maxw, maxn
• LLSM:
Belátható: wi az i. sor elemeinek mértani közepe, wi=1 normalizálással
![Page 6: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/6.jpg)
Páros összehasonlítás mátrixokInkonzisztencia mérőszámok
• Sajátvektor módszer: max , CR = ((max-n)/(n-1)) / ACIKonzisztencia: max =n, CR=0CR=0.1 önkényes küszöbérték
• LLSM: a célfüggvény értékeKonzisztencia: célfüggvényérték = 0Nincs küszöbérték
![Page 7: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/7.jpg)
Páros összehasonlítás mátrixok aggregálása
• Elemenként• Kváziaritmetikai közép• f(x,…,x)=x• f(1/x1,…1/xt)=1/f(x1,…,xt)
• f(sx1,…,sxt)=sf(x1,…,xt)• Aczél-Saaty-tétel:
Ezeknek a kritériumoknak egyedül a mértani közép felel meg
![Page 8: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/8.jpg)
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok
![Page 9: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/9.jpg)
Súlyvektor
• Sajátvektor módszer:Minimális inkonzisztenciájú kitöltésEz nem csak a súlyvektort adja meg, hanem a kitöltést is
• LLSM:Csak a kitöltött tagokra szummázunkKözvetlenül a súlyvektort adja meg, nem tartozik hozzá kitöltés
![Page 10: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/10.jpg)
Gráf reprezentáció
• A szempontoknak felelnek meg a pontok, két pont közt pontosan akkor megy él, ha a hozzájuk tartozó szempontok össze vannak hasonlítva, azaz ha a nekik megfelelő pozíción ki van töltve a mátrix
• Bozóki-Fülöp-Rónyai-tétel:A sajátvektor és az LLSM feladatnak is pontosan akkor létezik egyértelmű megoldása, ha a nem teljesen kitöltött mátrixhoz tartozó gráf összefüggő
![Page 11: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/11.jpg)
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása
• Ugyanúgy, mint a kitöltött esetben, de ha egy egyéni mátrixban egy elem nincs kitöltve, azt nem vesszük figyelembe
• Így az aggregátum elemei különböző számú elem aggregátumaként adódnak
• Az aggregátum pontosan ott lesz kitöltve, ahol legalább egy egyéni mátrix ki volt töltve
![Page 12: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/12.jpg)
Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?
• Motiváció: pótoljuk-e a hiányzó információt (egyfajta közelítéssel) aggregálás előtt?
• Csak a sajátvektor módszer jöhet szóba, mert kitöltésre is szükség van
• Véletlenszerűen, adott hiányzó elem számmal (az egyéni mátrixban) törlünk elemeket, így állítunk elő nem teljesen kitöltött egyéni mátrixokat
![Page 13: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/13.jpg)
Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?
• Ezeket a mátrixokat aggregáljuk kétféleképpen: először kitöltjük őket optimálisan, vagy rögtön aggregálunk és csak utána töltjük ki az aggregátumot (ha szükséges)
• Az eljárások jóságát az eredeti kitöltött mátrixokból számolt aggregátum súlyvektorától vett távolsággal mérjük
![Page 14: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/14.jpg)
Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?
• 134db 4x4-es, 154db 6x6-os, 160db 8x8-as• Minden kísérletet 20-20 (8x8-as mátrixok
esetén 10-10) alkalommal futtatunk, az átlagos és a maximális eltérést, valamint legnagyobb sajátértéket nézzük
• Kétféle norma (1-es és 2-es)
![Page 15: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/15.jpg)
Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?Legnagyobb sajátértékek
• Az inkonzisztencia az aggregált mátrixban minden esetben 1% alatt volt.
• Ha először aggregálunk, akkor a kitöltetlen elemek számának függvényében emelkedő tendenciájú a legnagyobb sajátérték. Valószínű ok: egyre több információt vesztünk el a döntéshozók eredeti (remélhetőleg nem túl inkonzisztens) preferenciáiról
• Ha először kitöltünk, akkor csökkenő tendencia van, ez azért van mert a kitöltés inkonzisztenciára optimalizál
![Page 16: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/16.jpg)
Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?Súlyvektorok
6x6 8x8
![Page 17: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/17.jpg)
Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?Súlyvektorok
• Ha először kitöltjük, az jobb eredményt produkál átlagosan és maximálisan is.
• Értelmezés: Ha egy elem egy mátrixban nincs kitöltve, ott az adott döntéshozó véleményét nem vesszük figyelembe közvetlenül. Az eredmények alapján jobb, ha közelítjük a véleményét az adott kérdésben és azt használjuk fel, mint ha a többiek véleményével pótoljuk csak. Azaz jobb, ha közelítve is, de mindenkinek mindenbe van beleszólása.
![Page 18: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/18.jpg)
Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés?Hány elemet töltsünk ki?
• Nincs objektív válasz, túl sok minden befolyásolja• Önkényes küszöbérték: 0.02 (a maximális
távolság 1%-a)• Lehetséges befolyásoló tényezők:– Rangsorfordulás érdekes-e?– Döntéshozók száma– Kérdés természete (objektív vs. szubjektív)
• Javaslat: általában elég a kérdések felét feltenni (objektív és szubjektív mátrixok voltak vegyesen)
![Page 19: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/19.jpg)
Még kevesebb elem kitöltése• Aggregálás esetén lehetséges, hogy az egyéni mátrixok gráfjai
nem összefüggőek, ha az aggregátumé az• Ekkor nem tölthetjük ki előre az egyéni mátrixokat
• Bár elméletileg lehetséges, nem javasolt, a túl nagy hiba miatt
![Page 20: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/20.jpg)
Kevés döntéshozó által kitöltött elemek
• Kitöltés nélkül aggregálunk (Előfordul, hogy nincs lehetőség kitölteni)
• Kérdés: jobb-e azokat az elemeket törölni az aggregátumból és optimálisan kitöltve helyettesíteni, amiket csak kevés döntéshozó töltött ki? Ha igen, mi az a küszöbérték, aminél kevesebb döntéshozó általi kitöltésnél törlünk?
• Motiváció: Ha sokan egyetértenek, de pont egy olyan tölti ki az adott elemet aki nem ért velük egyet, az torzíthatja a csoport véleményét
![Page 21: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/21.jpg)
Kevés döntéshozó által kitöltött elemek
• Mátrixok előkészítése a kísérlethez (csak 8x8):– Bizonyos (paraméter) számú mátrixot véletlenül kiválasztunk az
adatbázisból (döntéshozók száma)– Ezeket két csoportra bontjuk aszerint, hogy a véletlenszerűen kiválasztott
kritikus pozíciókon ki lesznek-e töltve, vagy sem• Kritikus pozíció: az a pozíció, amin az algoritmus szerinti
kettébontásban a mátrixok nagyobbik csoportja biztosan nem lesz kitöltve, a kisebbik (éppen küszöbérték elemszámú csoportban) biztosan ki lesz töltve
• A kitöltetlen elemek száma egy egyéni mátrixban adott, ha a nagyobbik csoportba tartozik, akkor a kritikus pozíciókon nem lesz kitöltve, a többi hiányzó elem pozíciója véletlen, ha a kisebbik csoportba tartozik, akkor a kritikus pozíciókon biztos ki lesz töltve, de a hiányzó elemek bárhol máshol lehetnek
![Page 22: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/22.jpg)
Kevés döntéshozó által kitöltött elemek
• Paraméterek:– Összes aggregálandó mátrixok száma (döntéshozók
száma)– Küszöbérték (= kisebbik csoport elemszáma)– Kitöltetlen elemek száma– Kritikus pozíciók száma
• Eredmények mindkét módszerrel számolva (sajátvektor és LLSM) mindkét normában
• 100-100 alkalommal futtatunk minden kísérletet
![Page 23: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/23.jpg)
Kevés döntéshozó által kitöltött elemek
• Súlyvektorok (mindegyik sv.-al és LLSM-el is):– A teljesen kitöltött mátrixokból származó– A nem teljesen kitöltöttek aggregátumából utólagos törlés
nélkül– A nem teljesen kitöltöttek aggregátumából utólag törölve a
legfeljebb küszöbértéknyi döntéshozó által kitöltött elemeketMegj.: Ez azt jelenti, hogy a kritikus pozíciókon biztosan törlünk, de előfordulhat, hogy a véletlen folytán más pozíciókon is
• Összehasonlítás: melyik súlyvektor lesz közelebb a teljesen kitöltött mátrixokból számolthoz?
![Page 24: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/24.jpg)
Kevés döntéshozó által kitöltött elemek
• 4 paraméter, mindegyik mentén egyesével léptetve rengeteg adat
• Ezért az összes mátrixok száma a kísérletben 7,15,50, az összes hiányzó elemek száma 6,8,12
• A kritikus pozíciók száma és a küszöbérték (amit meg akarunk határozni) egyesével
• Az eredmények teljesen egybehangzóak, ezért itt csak egy példán szemléltetünk
![Page 25: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/25.jpg)
Kevés döntéshozó által kitöltött elemek
15 mátrix aggregálásából sv. módszerrel számolt súlyvektorok távolsága a kitöltöttekből számolttól, 12 kitöltetlen elem és 3 kritikus pozíció esetén a
küszöbérték függvényében
![Page 26: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/26.jpg)
Kevés döntéshozó által kitöltött elemek
• 1-es küszöbértéknél hatalmas kiugrás a távolságban, ez minden paraméterérték mellett igaz marad. Így a következő megállapítást tesszük:
• Ha egy elemet csak egyetlen döntéshozó töltött ki, az mindenképpen érdemes törölni
![Page 27: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/27.jpg)
Kevés döntéshozó által kitöltött elemek
• A küszöbértékek megállapítása (ezen megközelítésben) önkényesen történik: ahol az átlagos távolság törlés esetén még „jóval kisebb” a törlés nélkülihez képest
• Küszöbértékek: 7 döntéshozó esetén 1, 15 esetén 3, 50 esetén 5
• Ezek önkényes megállapítások! További kutatási lehetőség konkrét szisztéma szerint megállapítani a küszöbértéket (és más adatbázisokon is)
![Page 28: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/28.jpg)
Kevés döntéshozó által kitöltött elemek
50 döntéshozó, 12 kitöltetlen pozíció, 2 kritikus hely Pontosan hol legyen a küszöbérték? 14-ig még mindig kisebb az átlag
![Page 29: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/29.jpg)
Kevés döntéshozó által kitöltött elemekÖsszefoglalás
• Az 1 döntéshozó által kitöltött elemeket mindenképp érdemes törölni
• A küszöbérték gyakorlatilag független– Az összes kitöltetlen elemek számától– A kritikus pozíciók számától– A használt módszertől (sajátvektor vagy LLSM)
• A küszöbérték és a mátrixok száma közt pozitív kapcsolat mutatkozik
![Page 30: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051402/56815e7b550346895dcd0245/html5/thumbnails/30.jpg)
Köszönöm a figyelmet!