neo physics center · 2016-05-16 · รายการ ติวเข้ม...

รายการ ตวเขม เตมเตมความร อ. พสฏฐ วฒนผดงศกด

NEO PHYSICS CENTER / KPN Smart 1 www.neophysics.net 0-2669-5111

วชา ฟสกส โดย

อ. พสฏฐ วฒนผดงศกด Neo Physics Center

และ KPN Smart

www.neophysics.net www.kpnsmart.com

www.facebook.com/neo.physics.center www.facebook.com/kpnsmart

0-2669-5111 0-2717-0188

http://www.neophysics.net/


http://www.kpnsmart.com/

http://www.facebook.com/neo.physics.center

http://www.facebook.com/kpnsmart



เอกสารประกอบการสอน วชาฟสกส ตวเขม เตมเตมความร

เรอง การเคลอนทแบบหมน Rotation การกระจดเชงมม ( ) คอ มมทวตถหมนกวาดไปไดทงหมด มหนวยเปน เรเดยน

การกระจดเชงมมเปนปรมาณเวกเตอร หาทศไดจากการใชมอขวาก ารอบแกนหมน ใหนวทงสช ไปทางเดยวกบทศการหมน นวหวแมมอขวาททาบไปตามแกนหมนจะชเปนทศของการกระจดเชงมม

ส าหรบความยาวสวนโคงทวตถหมนไปได เรยกวา การกระจดเชงเสน (S) ความเรวเชงมม ( ) คอ การกระจดเชงมมทวตถหมนไดใน 1 วนาท มหนวย เรเดยน/วนาท

ความเรวเชงมมเปนปรมาณเวกเตอร มทศเดยวกบทศของการกระจดเชงมม

ส าหรบความเรวทมทศสมผสกบวงกลมการหมน เรยกวา ความเรวเชงเสน (v) ความเรงเชงมม ( ) คอ ความเรวเชงมมทเปลยนไปใน 1 วนาท มหนวย เรเดยน/วนาท2

ส าหรบความเรงทมทศสมผสกบวงกลมการหมน เรยกวา ความเรงเชงเสน (a หรอ aT)

ความสมพนธระหวางปรมาณเชงเสนกบปรมาณเชงมม ปรมาณ ปรมาณเชงเสน ปรมาณเชงมม ความสมพนธ

การกระจด S S = .R

ความเรว v v = .R

ความเรง a a = .R

เปรยบเทยบสตรการเคลอนทแบบหมน และสตรการเคลอนทแบบเลอนท การเคลอนทแบบเลอนท การเคลอนทแบบหมน

1

22

3

4 2

5

12

2

2 2

12

2

.

.

.

.

.

v u at

su v

t

s ut at

v u as

s vt at

1

22

3

4 2

5

0

0

0

12

2

2

0

2

12

2

.

.

.

.

.

t

t

t t

t t

R

S

อ.พสฏ

ฐ วฒ

นผดง

ศกด

Neo Ph

ysics

Center

KPN Sm

art




โมเมนตความเฉอย (Moment of inertia , I) เปนความเฉอยของวตถทมการเคลอนทแบบหมน ซงเปนสมบตทจะตานการเปลยนสภาพการหมนของวตถ

จะหาโมเมนตความเฉอยของระบบไดจาก

โมเมนตความเฉอยเปนปรมาณสเกลาร มหนวย kg.m2 คาโมเมนตความเฉอยจะขนอยกบแกนหมนดวย วตถกอนเดยวกน ถาหมนรอบแกนหมนทตางกน จะมคาโมเมนตความเฉอยตางกนดวย ตวอยางโมเมนตความเฉอยของวตถทหมนรอบแกนทผานจดศนยกลางมวล

ทรงกลมตน

R

22

5cmI MR

ทรงกระบอกตน

R

21

2cmI MR

คานสม าเสมอ

L

21

12cmI ML

ทอรก (Torque) ทอรกมความหมายเดยวกบโมเมนต (ทางฟสกสนยมใชค าวาทอรก สวนทางวศวะ นยมใชค าวาโมเมนต)

ทอรกมความหมายเดยวกบโมเมนต (ทางฟสกสนยมใชค าวาทอรก สวนทางวศวะนยมใชค าวาโมเมนต สตรการค านวณหาทอรกทเกดขน

ทอรก เปนปรมาณเวกเตอร ทศของทอรก จะมทศเดยวกบทศของความเรงเชงมม

ถาวตถมการหมนรอบจด c.m. และจด c.m. มการเลอนทไปจากเดมดวย เรยกวา วตถเคลอนทแบบกลง

กลงโดยมการไถล กลงโดยไมมการไถล

ทอรก = แรงระยะทางทลากจากจดหมนมาตงฉากกบแนวแรง

𝜏 = เมอ I = mR2

กลงโดยมการไถล กลงโดยไมมการไถล

ถาวตถกลงโดยมการไถล จะไดวา vเชงเสน(หมน) < vcm(เลอน)

ถาวตถกลงโดยไมมการไถล จะไดวา vเชงเสน(หมน) = vcm(เลอน)

mn

m3

nR

m1

m2

R3

R1

R2

OR

m

F

a

อ.พสฏ

ฐ วฒ

นผดง

ศกด

Neo Ph

ysics

Center

KPN Sm

art




การรวมกนไดของการเคลอนทเปลยนต าแหนง และการเคลอนทหมนของวตถ

ก. ไถลอยางเดยว ข. หมนอยางเดยว ค. กลงโดยไมมการไถล

ถาวตถกลงไปทางขวาโดยไมมการไถล

การค านวณโจทยทวตถมการหมนรอบจด c.m. และจด c.m. มการเลอนทไปจากเดมดวย

ตองค านวณ 2 ขนตอน คอ 1. การเลอนท ค านวณจากสตร F ma

2. การหมน ค านวณจากสตร I

และโยงทง 2 ความสมพนธ ดวยสตร a = R

NOTE ถาวตถกลงโดยไมมการไถล จะไดวา 𝑎เชงเสน = 𝑎𝑐.𝑚. ดวย โดย 𝑎เชงเสน = 𝛼. 𝑅

พลงงานจลนของการหมน

วตถหมนอยางเดยว วตถกลง

c.m

. vc.m. c.m

.

vc.m. c.m

.

vc.m.

F F

ถาวตถหมนอยางเดยว 𝐸𝐾หมน = 1

2𝐼𝜔2

ถาวตถกลง 𝐸𝐾กลง = 𝐸𝐾เลอน + 𝐸𝐾หมน

𝐸𝐾กลง = 1

2𝑚𝑣𝑐𝑚

2 +1

2𝐼𝜔2

c.m.

vc.m.

vc.m.

vc.m. P

c.m

.

vc.m.

vc.m.= 0

-vc.m. P

Q Q

c.m.

2vc.m

.

vc.m.

𝑣𝑃 = 0 P

Q

F F

mn

m3

nR

m1

m2

R3

R1

R2

อ.พสฏ

ฐ วฒ

นผดง

ศกด

Neo Ph

ysics

Center

KPN Sm

art




การใชกฎอนรกษพลงงานกบการเคลอนทแบบหมน

m

mh

h

1

2

โมเมนตมเชงมม (Angular momentum) โมเมนตมเชงมม (L) คอ ความสามารถของวตถทจะรกษาสภาพการหมนเอาไว ถาวตถใดรกษาสภาพการหมนอยไดนานกวา จะมโมเมนตมเชงมมมากกวา

โมเมนตมเชงมมเปนปรมาณเวกเตอร มทศเดยวกบทศของความเรวเชงมม มหนวยเปน kg.m2/s

โมเมนตมเชงมมทเปลยนแปลง ถาวตถหมนดวยความเรวเชงมมไมคงท โมเมนตมเชงมมของวตถนนจะมคาเปลยนแปลง ( L

) โดย

การดลเชงมม ถามแรงกระท าตอวตถไมผานจดหมน จะเกดทอรกขน จะท าใหวตถเกดการเปลยนแปลงโมเมนตม

เชงมม ถาทอรกทเกดขนกบวตถ เกดขนเปนเวลา t จะไดวา

โดยคา t.

เรยกวา การดลเชงมม (Angular impulse) โจทยทมทอรก (แรง) กระท าใหวตถหมน แลวก าหนดหรอถามเวลา มกจะค านวณดวยสมการการดล

เชงมมนเสมอ

การค านวณโจทยทวตถมการหมนรอบจด c.m. และจด c.m. มการเลอนทไปจากเดมดวย

จะตองค านวณ 2 ขนตอน คอ 1. การเลอนท ค านวณจากสตร ( )Ft m v u

2. การหมน ค านวณจากสตร 2 1( )t L I

𝜏 . 𝑡 = ∆𝐿 = 𝐿 2 − 𝐿 1

𝐸1 = 𝐸2 โดย 𝐸 = 𝐸𝑘 + 𝐸𝑝

12𝑚𝑣1

2 +1

2𝐼𝜔1

2 + 𝑚𝑔ℎ1 = 1

2𝑚𝑣2

2 +1

2𝐼𝜔2

2 + 𝑚𝑔ℎ2

หรอใชสตร 𝐸𝑘2 = 𝐸𝑘1 +𝑊1→2

1

2𝑚𝑣2

2 +1

2𝐼𝜔2

2 = 1

2𝑚𝑣1

2 +1

2𝐼𝜔1

2 + 𝑚𝑔(ℎ1 − ℎ2)

∆𝐿 = 𝐿 2 − 𝐿 1

โดยแทน L = I𝜔 = mvR

F F

อ.พสฏ

ฐ วฒ

นผดง

ศกด

Neo Ph

ysics

Center

KPN Sm

art




กฎอนรกษโมเมนตมเชงมม จาก

2 1.t L L L จะเหนวา ถา =0 จะท าให L =0 หรอ 1L =

2L

แสดงวา ถาผลลพธของทอรกทกระท าตอระบบมคาเปนศนย โมเมนตมเชงมมจะมคาคงทเสมอ เรยกวา กฎอนรกษโมเมนตมเชงมม

ตวอยางทใชกฎอนรกษโมเมนตมเชงมมอธบาย เชน นกสเกตน าแขงหมนตวบนลานน าแขง (ตอนเขาหมนตวโดยกางแขนและขา เขาจะหมนรอบตวชา เมอเขาหบแขนขาเขาหาล าตว จะหมนรอบตวเองเรวขน) , นกกฬากระโดดน า , ยนถอดมเบลบนแปนหมน หรอการชนกนของวตถแลวมการหมนไป

ถา จะไดวา

𝐿 𝑖 = 𝐿 𝑓 โดยแทน L = I𝜔 = mvR

อ.พสฏ

ฐ วฒ

นผดง

ศกด

Neo Ph

ysics

Center

KPN Sm

art




ตวอยางโจทย Ex.1 เหรยญถกกลงไปบนพนทมความฝดอยางเปนอสระ โดยไมมการ

ไถล ตามรป ทศทางของแรงเสยดทานทพน จะไปในทศทางใด

1. .ไปทางซาย 2. ไปทางขวา 3. ไมมแรงเสยดทาน 4. ไมมขอมลพอทจะแกปญหาได

Ex.2 จงเขยนทศของแรงเสยดทานทพนเอยงกระท าตอวตถ เมอวตถกลงโดยไมมการไถล

ก. วตถกลงลง ข. วตถกลงขน

Ex.3 ลอก าลงกลงไปโดยไมมการไถล โดยทจด O มความเรว v เทยบกบพน จด B เปนจดสงสด และจด A เปนจดต าสดทขณะใดๆ จงหาคาอตราสวนของอตราเรวของจด A ตออตราเรวของจด B

Ex.4 ทจดสงสดของวงลอนมสแดงแตมอย ตอมากลงลอนไปทางขวามอบนพนโดยไมไถลดวยความเรว (ของจด O) เทากบ v จดสแดงจะมความเรวทมขนาดเทาใด เมอจดนหมนลงมาถงระดบเดยวกบ O ทางดานหนาของ O

อ.พสฏ

ฐ วฒ

นผดง

ศกด

Neo Ph

ysics

Center

KPN Sm

art




Ex.5 ลอรศม R ก าลงกลงไปบนพนราบโดยไมมการไถล โดยจด C จะมอตราเรว 𝑣0 หยดน าทถกสลดออกไปจากจด A ในแนวระดบ จะตกกระทบพนระดบหางจด O ไปเปนระยะทางเทาใด

Ex.6 ทรงกลมตนมวล M มรศม R มโมเมนตความเฉอยรอบจดศนยกลางเปน 2

5MR2 กลงลงมาตามพนเอยง

ซงเอยงท ามม กบแนวราบ ถาทรงกลมกลงโดยไมมการไถล จงหาความเรงของจดศนยกลางมวลของทรงกลม และแรงเสยดทาน

Ex.7 จากรปแผนวงกลมรศม R มมวล M มโมเมนตความเฉอยตามสมการ I MR 12

2 ปลอยใหเคลอนทลงมาในแนวดง โดยมเชอกพนหลายรอบบนขอบของจานน จงหาแรงตงในเสนเชอก ความเรงเชงมมของจานรอบจด c.g. และความเรงเชงเสน

R

อ.พสฏ

ฐ วฒ

นผดง

ศกด

Neo Ph

ysics

Center

KPN Sm

art




Ex.8 รอกมวล 1 กโลกรม มรศม 10 เซนตเมตร ยดตดกบเพดานไว มเชอกเบาทไมยดคลองผาน แลวน าวตถทมมวล 1 และ 2 กโลกรม แขวนไวทปลายเชอกคนละขาง เมอปลอยใหเคลอนท จงหาความเรงของวตถทเคลอนท เมอโมเมนตความเฉอยของรอกมคาเปนตามสมการ I MR 1

2

2

Ex.9 ถาลอมโมเมนตความเฉอย I ถกยดไวใหหมนรอบแกนไดสดวกโดยไมมแรงเสยดทาน มวล m ผกไวดวยเชอกทพนรอบเพลารศม r จะไดความเรงเชงมมของลอเทาใด

Ex.10 รอกมวล 20 kg มรศม 0.2 เมตร วตถวางอยบนพนเอยงซงเอยงท ามม 37กบแนวราบ สปส.ความเสยดทานระหวางมวลกบพนเอยงเปน 0.25 มเชอกโยงมวล m = 5 kg ไปพนรอบรอก จงหาความเรงของ

มวล m และความตงเชอก ก าหนดโมเมนตความเฉอยของรอกเปน 4

1mR2

m

r

m

37

2 1

อ.พสฏ

ฐ วฒ

นผดง

ศกด

Neo Ph

ysics

Center

KPN Sm

art




Ex.11 ระบบรอกดงรป มคาโมเมนตความเฉอย I = 1.7 kg.m2 โดยท r1 = 50 cm. และ r2 = 20 cm. จงหาความเรงเชงมมของระบบรอก และแรงตงเชอกแตละขาง

Ex.12 ปลอยใหทรงกระบอกมวล M รศม R เรมกลงจากหยดนงลงมาจากพนเอยง ณ ต าแหนงทสงจากพน h

โดยทรงกระบอกกลงลงมาโดยไมมการไถล จงหาความเรวของจดศนยกลางมวลทรงกระบอกเมอกลงลง

มาถงปลายลางของพนเอยง ถาโมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกมคาตามสมการ 𝐼 = 1

2𝑀𝑅2

Ex.13 ลกบลเลยดมวล M รศม R มโมเมนตความเฉอย 22

5MR เดมอยนง ๆ บนพนเอยงสง 2.8 เมตร กลง

ลงมาตามพนเอยง เมอถงพนราบ ลกบลเลยดนมความเรวเทาใด (6.3 m/s)

r1

1.8 kg 2 kg

r2

h

v 2.8 m

อ.พสฏ

ฐ วฒ

นผดง

ศกด

Neo Ph

ysics

Center

KPN Sm

art




Ex.14 ลกโบวลงทรงกลมมวล 7.25 กโลกรม มรศม 10.5 เซนตเมตร กลงโดยไมมการไถลขนไปบนพนเอยง ถาลกโบวลงหมนทปลายลางพนเอยงดวยอตราเรวเชงเสน 5 เมตร/วนาท จงหาวาลกโบวลงจะกลงขนไปบนพนเอยงไดสงจากพนดนกเมตร จงหยดหมนพอด ก าหนดโมเมนตความเฉอยของทรงกลมเปนไปตาม

สมการ 𝐼 = 2

5𝑀𝑅2 (1.75 เมตร)

Ex.15 ทรงกระบอกตนมวล m รศม R (มโมเมนตความเฉอยรอบแกนทผานจดศนยกลางมวล = 2

1mR2 )

ไถลลงพนเอยงจากหยดนงในรป ก. แตกลงลงโดยไมไถลจากความสงเดยวกนในรป ข. อตราเรว v1 ทปลายลางพนเอยงในรป ก. เปนกเทาของอตราเรว v2 ทปลายลางพนเอยงในรป ข.

h

พนลน

v1

รป ก.

พนไมลน

v2

รป ข.

m m

อ.พสฏ

ฐ วฒ

นผดง

ศกด

Neo Ph

ysics

Center

KPN Sm

art




Ex.16 จากรปรอกมรศม 0.2 เมตร มโมเมนตความเฉอย 0.4 kg.m2 ถาเชอกไมเกดการไถลบนรอก มวล 4 กโลกรม จะเคลอนทลงมากระทบพนดวยความเรวเทาใด

Ex.17 วตถทรงกลมขนาดเลกถกปลอยใหเคลอนทจากหยดนงทจด A วตถทรงกลมจะกลงไปตามรางโคงไดโดยไมมการไถล เมอไปถงต าแหนง B จะหลดออกไปจากรางโคงและจะตกลงไปสชองทต าแหนง C จงหาวาจะตองปลอยวตถทรงกลมนนจากต าแหนงสง h กเมตร ก าหนดโมเมนตความเฉอยของทรงกลมม

คาตามสมการ 2

5

2mRI

4

2 5m

2.4 m

h

37

A

B C อ.พสฏ

ฐ วฒ

นผดง

ศกด

Neo Ph

ysics

Center

KPN Sm

art




Ex.18 วตถทรงกลมตนมวล m รศม r กลงโดยไมมการลนไถลลงมาจากพนเอยง ณ ต าแหนงสงจากพน h ทปลายลางพนเอยงมรางวงกลมรศม R ตออย โดย R > r จงหาระยะ h ทนอยทสดในเทอม R ทจะท าให

วตถนนกลงใน loop ไดครบรอบพอด ก าหนดทรงกลมตนมโมเมนตความเฉอยตามสมการ 22

5I mr

Ex.19 ชายคนหนงยนอยบนแปนซงหมนรอบแกนดง มโมเมนตความเฉอย 10 กโลกรม-เมตร2 มอแตละขางถอดมเบลไว ดมเบลแตละอนมมวล 2 กโลกรม เหยยดแขนใหมวลอยหางแกนหมน 1 เมตร แลวหมนแปนจนกระทงมอตราเรวเปน 5 รอบ/นาท ตอไปหดแขนใหดมเบลอยหางแกนหมน 10 เซนตเมตร จงหาวาแปนหมนจะหมนดวยอตราเรวกรอบ/นาท และโมเมนตความเฉอยเปลยนแปลงไปเทาใด ไมคดความ

เสยดทานทแกนหมน (6.97 รอบ/นาท , 3.96 กโลกรม-เมตร2)

h R

อ.พสฏ

ฐ วฒ

นผดง

ศกด

Neo Ph

ysics

Center

KPN Sm

art




Ex.20 แปนไมกลมอนหนงมโมเมนตความเฉอย 4000 กโลกรม-เมตร2 ก าลงหมนรอบแกนหมนซงผานจดศนยกลางและตงฉากกบระนาบของแปนไมดวยอตราเรวเชงมม 3 เรเดยน/วนาท ชายคนหนงมวล 90 กโลกรม หยอนตวจากตนไมลงในแนวดงไปบนแผนไมกลมน โดยหางจากแกนหมน 3 เมตร เมอชายคนนยนอยบนแปนไมแลว แปนไมกลมนจะหมนดวยอตราเรวเชงมมเทาใด (2.5)

Ex.21 ศรรามมมวล 40 กโลกรม ยนอยทขอบของโตะกลมทมรศม 2 เมตร โดยโตะกลมหมนไดคลองใน

แนวราบและมโมเมนตความเฉอย 500 กโลกรม-เมตร2 ถาศรรามเรมวงบนโตะกลมในทศทวนเขมนาฬกาดวยอตราเรว 3 เมตร/วนาท ความเรวเชงมมของโตะกลมจะเปนเทาใด (0.48 เรเดยน/วนาท)

Ex.22 เปายงปนท าจากไมมมวล 450 กรม ตดตงอยบนแขนทหมนไดยาว 500 mm ลกปนถกยงออกไปดวยความเรวคงท 100 m/s พงเขาชนตรงกลางเปาพอดและฝงตดอยกบเปา จงหาวาหลงจากทลกปนกระทบเปาแลวเปาจะหมนดวยความถกรอบตอวนาท เมอลกปนมมวล 50 กรม จดหมนไมมความฝดและแขนม

มวลนอยมาก (

10 )

3m

2m

อ.พสฏ

ฐ วฒ

นผดง

ศกด

Neo Ph

ysics

Center

KPN Sm

art




Ex.23 วตถมโมเมนตความเฉอย 2 kg.m2 หมนดวยอตราเรวเชงมม 5 เรเดยน/วนาท ถาท าใหมโมเมนตความเฉอยเพมขนเปน 2.5 kg.m2 โดยไมเกดทอรก พลงงานจลนในการหมนของวตถเปลยนไปอยางไร (ลดลง 5 จล)

Ex.24 จงใหเหตผลประกอบวาท าไมลกขางเวลาหมนจงตงตรงได และท าไมเวลาขจกรยานสองลอจงสามารถตงตรงไดโดยไมหกลม

1. เพราะวาลกขางและลอจกรยานเวลาหมนมแรงเหวยงหนศนยมากในขณะหมนท าใหตงตรงได 2. เพราะวาลกขางมโมเมนตความเฉอยสง และตวจกรยานมโมเมนตมสงในขณะเคลอนท 3. เพราะวาลกขางและลอจกรยานมโมเมนตมเชงมมซงเปนปรมาณเวกเตอรและชทศทางใดทศทางหนง

แนนอน

4. เพราะวาลกขางมแรงเหวยงหนศนยสงซงชทศทางหนงคงท สวนตวจกรยานมโมเมนตม ททศทางคงทและลอจกรยานมโมเมนตมเชงมมคงทและชในทศใดทศหนงตลอด

อ.พสฏ

ฐ วฒ

นผดง

ศกด

Neo Ph

ysics

Center

KPN Sm

art




vO R

Ex.25 ระบบรอกดงรป มคาโมเมนตความเฉอย I = 1.7 kg.m2 โดยท r1 = 50 cm. และ r2 = 20 cm. จงหาความเรวของมวล 2 kg หลงจากเคลอนทตกจากหยดนงลงมาได 1.5 เมตร

Ex.26 ลกบลเลยดมวล M รศม R ถกกระทบดวยไมควในแนวผานจดศนยกลางมวล ท าใหมความเรวตน vO บนโตะทมสมประสทธความเสยดทานจลน อยากทราบวาลกบลเลยดจะเคลอนทไปไดไกลเปนเวลานานเทาใดและระยะทางเทาใด กอนทจะกลงอยางสมบรณเพยงอยางเดยวโดยไมมการไถล ก าหนด

โมเมนตความเฉอยของลกบลเลยดมคาตามสมการ 2

5

2mRI

r1

1.8 kg 2 kg

r2

อ.พสฏ

ฐ วฒ

นผดง

ศกด

Neo Ph

ysics

Center

KPN Sm

art


neo physics center · 2016-05-16 · รายการ ติวเข้ม...

Documents