Neposlušná golfová loptička

RNDr. Martin Plesch, PhD.

21. októbra 2011www.tmfsr.sk1

• Zadanie

Často sa stane, že golfová loptička z jamky po tom, ako do nej padla, vybehne. Vysvetlite tento jav a preskúmajte podmienky, za ktorých môže byť

pozorovaný.

www.tmfsr.sk2

• Porozumenie

• Predpokladáme reálnu golfovú loptičku a jamku (v zmysle pravidiel golfu)• Pod pojmom padla si predstavujeme, že sa ťažiskom dostala nad jamku, nie že nutne spadla na dno• Podmienky redukujeme na pohyb loptičky (ostatné sú známe parametre plus mínus nepresnosti)

www.tmfsr.sk3

• Parametre•Hmotnosť loptičky m=45,93 g• Polomer loptičky r=21,33 mm• Polomer jamky R=54 mm•Hĺbka jamky h=101,6 mm

•Koeficient trenia f=???•Koeficient reštitúcie rýchlosti k=???•Rýchlosť pohybu v0

www.tmfsr.sk4

• Prvé priblíženie

•Loptička smeruje na stred jamky• Loptička je homogénna guľa•Hrany jamky sú absolútne ostré•Odpor vzduchu neuvažujeme

www.tmfsr.sk5

• Vodorovný prelet bez rotácie•Model minimálneho trenia •Dopad na hranu• Loptička vylezie von, ak jej vodorovná rýchlosť po odraze bude kladná•Minimálna potrebná rýchlosť

www.tmfsr.sk6

212

1.64gR

v msr

• Vodorovný prelet bez rotácie•Dĺžka vodorovného letu•Hĺbka dopadu•Riešenie

•Vodorovná rýchlosť•Zvislá rýchlosť

www.tmfsr.sk7

2 22l R r d 2

2

0

1 1

2 2

ld gt g

v

0vodv v

0

2zvis

glv gt gd

v

22 2 2 2 20

222 2 2 2 2 2 0

24 4

216 4

dvR R r d r d

g

dvR r d R r d

g

• Vodorovný prelet bez rotácie•Celková rýchlosť

• Pre rýchlosti platí

• Pre vzdialenosti platí

•Rýchlosť kolmá na rovinu dopadu

www.tmfsr.sk8

sinr d

r

cos

sin

kolma

pozdl

v v

v v

( ) zvis

vod

vtg

v

2 2zvis vodv v v

• Vodorovný prelet bez rotácie•Rýchlosť kolmá na rovinu dopadu zmení smer a prenásobí sa k

•Rýchlosť v rovine dopadu sa nemení

• Loptička prejde za jamku, ak (približne)

www.tmfsr.sk9

'kolma kolmav kv

cos sinpozdl kolmav kv

'pozdl pozdlv v

• Pre veľké k nemôže byť splnené:

• Dosadenie

www.tmfsr.sk10

2 2

cos sin

sin cos cos sin

sin cos cos sin

sin cos cos sin cos

cos cos sin sin sin

1 cos sin cos sin cos sin

pozdl kolmav kv

k

k

k

k k

0 sin

• Pre malé k dostávame:

•Numerika dáva•Znamená, že loptička vybehne vždy

• Malý koeficient odrazu

www.tmfsr.sk11

2 21 cos sin cos sin cos sink k

cos sin sin cos

2

0

2

21

2 2o

gdr d r d

r v r

gd rd dv

r d

11,62ov ms

• Vodorovný prelet bez rotácie•Všeobecne sa dá riešiť len numericky

• Triviálna numerika riešenia nedáva (treba zistiť, ktoré riešenia sú fyzikálne)

• Presné riešenie vyžaduje spočítanie šikmého vrhu z miesta odrazu• Riešenie pre y=r musí existovať a musí v ňom byť |x|>R

www.tmfsr.sk12

• Vodorovný prelet s rotáciou• Pri odraze sa spotrebuje časť rotačnej energie na impulz rýchlosti•Zmena hybnosti v smere kolmo na dopad

•Zisk pre pozdĺžnu rýchlosť (prešmykovanie počas celej zrážky)

www.tmfsr.sk13

1 kolme kolmak mv F t d

1 5 51

7 7pozdl kolma kolmev fF t f k vm

d

• Vodorovný prelet s rotáciou•Maximálny zisk je daný rýchlosťou rotácie •Maximum získame, ak sa rotácia loptičky pri zrážke zastaví

•Upravená podmienka

www.tmfsr.sk14

0v

r

0

2

7pozdlMax v v

0

2cos sin

7pozdl kolmav v kv

• Vyskočenie s odrazom• Loptička dopadne na zvislú stenu jamky• Podmienka pre rýchlosť

•Stále platí podmienka z predchádzajúceho modelu

www.tmfsr.sk15

0

2

2

1

2

R r v t

gt h

2

10

0

1 22 0.6

2 2

R r gg h v R r ms

v h

212

1.64gR

v msr

• Vyskočenie s odrazom• Loptička sa odrazí späť, ale rotácia jej dodá extra zvislú rýchlosť smerom hore•Môže vyletieť na druhej strane jamky• Pre neznámu zvislú rýchlosť u platí

•Rovnosť platí pre dostatočné trenie

www.tmfsr.sk16

00

7 2 2

5 5

Rgm u m v u

v

• Vyskočenie s odrazom•Vodorovná rýchlosť bude k.v•Aby loptička na druhej strane vyskočila, musí platiť

•Musí vyskočiť vyššie, ako spadla•Dosadíme

www.tmfsr.sk17

2 22 1 2 1 2

2 2

R R Ru g gkv kv v

2 14 1

9 9

Rg Rv g k

v v k

• Vyskočenie s odrazom•Vyriešime pre v

• Pre veľké k

• Pre menšie k potrebná rýchlosť rastie• Jav nemôže nastať

www.tmfsr.sk18

2 9 97

2 2v gR k

k

12,91 .v m s

• Odraz od dna - úvaha•Hybnosť stratená pri odraze je

•Získať ju môžeme len z rotácie, maximum

• Podmienka nerovnosti

www.tmfsr.sk19

1 2p k m gh

0

2

7p mv

10

71 2 1 4.94

2v k gh k ms

• Odraz od dna - úvaha

• Priamo do jamky spadne len ak

•Má zmysel uvažovať len ak

www.tmfsr.sk20

10

71 2 1 4.94

2v k gh k ms

10 2 0.6

2

gv R r ms

h

71 2 2

2 2

21 0.12

7

gk gh R r

h

R rk

h

• Druhé priblíženie• Loptička nesmeruje na stred jamky•Zmeny:

• Pri prechode hranou získa rýchlosť smerom do stredu jamky• Pri odraze od hrany získa ďalšiu rýchlosť do stredu• Vzdialenosť, ktorú musí preletieť je kratšia

•Rovnice sa zapísať dajú, ale sem sa nezmestia

www.tmfsr.sk21

• Jeden-a-polté priblíženie• Loptička smeruje na okraj jamky, ťažiskom c od okraja•Zatočí sa dovnútra?

• Odstredivá sila

• Dostredivá sila

www.tmfsr.sk22

20

ods

mvF

R c

220

21dos ods

vc cF mg m F

r r R c

• Jeden-a-polté priblíženie• Podmienka pre v0 a c

www.tmfsr.sk23

2

0 21

c cv g R c

r r

• Na záver•V princípe je to triviálny mechanický problém•V skutočnosti je jeho analytické riešenie veľmi komplikované• Prirodzeným postupom je inteligentná simulácia• Pozor na vhodne zvolené parametre k a f• Pozor na kumuláciu nepresností • Podobné systémy môžu byť chaotické

www.tmfsr.sk24