nepřímá úměrnost trojčlenka

Nepřímá úměrnostTrojčlenka

Matematika – 7. ročník

Nepřímá úměrnostDefinice

Nepřímá úměrnostje taková závislost proměnné y na proměnné x, pro kterou platí:

Kolikrát se zvětší hodnota x, tolikrát se zmenší hodnota y.

Kolikrát se zmenší hodnota x, tolikrát se zvětší hodnota y.

Hodnoty y a hodnoty x se mění v převrácených poměrech.

Říkáme, že proměnná y je nepřímo úměrná proměnné x.


Trojčlenkou nazýváme úlohu, která obsahuje dvojice na sobě závislých veličin (přímo nebo nepřímo), z nichž tři údaje jsou známé a čtvrtý je třeba vypočítat.

Veličiny se zapíší do určitého schématu (stejné veličiny pod sebou), šipkami se vyjádří příslušné závislosti (souhlasně orientovanými šipkami přímá úměrnost, nesouhlasně orientovanými šipkami nepřímá úměrnost). Z praktických důvodů pro snadnější výpočet je vhodné začínat psát šipky vždy u proměnné x. Trojčlenku můžeme řešit různými způsoby, nejčastější je pomocí úměry nebo „přechodem přes jednotku”.

24 čerpadel ………………………….. 5 hodin

10 čerpadel ………………………….. x hodin


Řešení „přechodem přes jednotku”:

1 čerpadlo: 24 · 5



= 120

10 čerpadel: 120 : 10 = 12

24 čerpadel vyčerpá nádrž za 5 hodin. Jak dlouho by to trvalo 10 čerpadlům?

10 čerpadel vyčerpá nádrž za 12 hodin.


Řešení pomocí úměry:

1) Správně zapsat odpovídající veličiny pod sebe.



2) Rozhodneme o druhu závislosti.


3) Zakreslíme šipky (u nepřímé úměrnosti opačným směrem).4) Podle směru šipek sestavíme úměru.

x : 5 = 24 : 10

5) Vynásobíme vnější a vnitřní členy úměry a zapíšeme je do součinu.

10 · x = 24 · 5


Řešení pomocí úměry:

6) Vynásobíme čísla na pravé straně rovnice.



7) Výsledek vydělíme číslem u proměnné na levé straně.


8) Zapíšeme výsledek s jednotkami

9) Zapíšeme slovní odpověď.

x : 5 = 24 : 10

10 · x = 24 · 5

10 · x = 120

x = 120 : 10

x = 12

x = 12 hodin10 čerpadel vyčerpá nádrž za 12 hodin.


1) Správně zapsat odpovídající veličiny pod sebe.

7 trpaslíků .……………………… 15 dní

5 trpaslíků ………………………. x dní

2) Rozhodneme o druhu závislosti.

Sedm trpaslíků vykope tunel za 15 dní. Za jak dlouho by vykopalo tunel při stejných výkonech 5 trpaslíků?

3) Zakreslíme šipky (u nepřímé úměrnosti opačným směrem).4) Podle směru šipek sestavíme úměru.

x : 15 = 7 : 5

5) Vynásobíme vnější a vnitřní členy úměry a zapíšeme je do součinu.

5 · x = 7 · 15


6) Vynásobíme čísla na pravé straně rovnice.

7) Výsledek vydělíme číslem u proměnné na levé straně.

8) Zapíšeme výsledek s jednotkami

9) Zapíšeme slovní odpověď.

5 · x = 105x = 105 : 5x = 21x = 21 dní

5 trpaslíků vykope tunel za 21 dní.

x : 15 = 7 : 5

5 · x = 7 · 15

Sedm trpaslíků vykope tunel za 15 dní. Za jak dlouho by vykonalo při stejných výkonech tunel 5 trpaslíků?

7 trpaslíků .……………………… 15 dní5 trpaslíků ………………………. x dní

Nepřímá úměrnostPříklad č. 1

5 dělníků ……………………… 12 dní

4 dělníci ………………………. x dní

4 · x = 60x = 60 : 4x = 15x = 15 dní

Práce bude dokončena za 15 pracovních dnů.

x : 12 = 5 : 4

4 · x = 5 · 12

1) Firma dostala od obecního úřadu zakázku na vydláždění chodníku. Slíbila, že práci provede za 12 pracovních dnů. Mistr počítal s pěti dělníky, jeden z nich však onemocněl. Za kolik dnů bude práce na zakázce dokončena?


2) Hospodář chová telata. Zásobu sena na zimu má pro 15 telat na 9 měsíců. Na jak dlouho mu zásoba sena vystačí, když ještě 3 telata přikoupí?

7,5 měsíce


3) Důlní mistr vypočítal, že k odvodnění štoly je třeba, aby po dobu 17,5 hodiny byla v provozu 2 čerpadla. Chce urychlit vyprázdnění šachty a proto přidal další 3 stejná čerpadla. Za jak dlouho šachtu vyprázdní?

7 hodin


4) Schodiště má 36 schodů 20 cm vysokých. Kolik schodů vysokých 18 cm by mělo stejně vysoké schodiště?

40 schodů


5) Tři zaměstnanci budou lisovat objednané množství součástek 8 dní. Kolik zaměstnanců musí pracovat, aby se výroba zkrátila o 2 dny?

4 zaměstnanci

nepřímá úměrnost trojčlenka

Documents